Ondes mécaniques Les points du cours à connaîtrealain.lerille.free.fr/2016/Poly10.pdf · 1.2) Corde de violoncelle Un violoncelle baroque joue le la 3 dont la fréquence est =

physique année scolaire 2016/2017

Ondes mécaniques

Les points du cours à connaîtremardi 22 novembre 2016

I- Etablissement de l'équation de D'Alembert

1. Onde le long d'une corde

2. Propagation du son dans un solide

Approximation des milieux continus (dé�nition)

Loi de Hooke et module d'Young (dé�nition)

3. Généralisation : équation de d'Alembert

Equation de d'Alembert (dé�nition)

II- Solutions de l'équation de D'Alembert : ondes planes monochro-matiques

1. Ondes planes stationnaires monochromatiques

Onde stationnaire plane (dé�nition)

Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques (OSPM) (dé�nition)

N÷uds de vibration (dé�nition)

Ventres de vibration (dé�nition)

Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres (dé�nition)

2. Ondes planes progressives monochromatiques

Forme d'une OPPM (dé�nition)

Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période (dé�nition)

Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombre d'onde (dé�nition)

3. Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires

III- Paquet d'ondes

1. Notion de paquet d'ondes

Forme mathématique d'un paquet d'onde (dé�nition)

spé PC page n◦ 1 Janson de Sailly


2. Vitesse de groupe

Vitesse de groupe (dé�nition)

3. Propagation d'un paquet d'ondes

IV- Ondes électriques dans un câble coaxial (TP cours)

1. OPPM dans un câble coaxial

2. Ré�exion en bout de ligne

3. Ré�exion et transmission à une interface

4. Equations d'onde et relation de dispersion

Relation de dispersion (dé�nition)

5. Milieu absorbant / Onde amortie

6. Milieu dispersif

Vitesse de phase (dé�nition)

Milieu dispersif (dé�nition)



Techniques à maîtriserjeudi 24 novembre 2016

I- Les capacités exigibles

1. Etablir une équation d'onde

Établir l'équation d'onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante in�niment souple dansl'approximation des petits mouvements transverses en utilisant un système in�nitésimal.Relier la raideur des ressorts �ctifs à l'énergie de liaison et évaluer l'ordre de grandeur du moduled'Young.Établir l'équation d'onde dans une tige solide dans l'approximation des milieux continus en utilisant unsystème in�nitésimalReconnaître une équation de d'Alembert.Associer qualitativement la célérité d'ondes mécaniques, la raideur et l'inertie du milieu support.

ce qu'il faut savoir faire capacités

2. Chercher des solutions à l'équation d'onde

Di�érencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.Décrire les modes propres.En négligeant l'amortissement, associer mode propre et résonance en régime forcé.Utiliser qualitativement l'analyse de Fourier pour décrire une onde non harmonique.Déterminer la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion. Associer la vitesse de groupe à lapropagation de l'enveloppe du paquet d'ondes.


3. Etudier la discontinuité à une interface

Expliciter des conditions aux limites à une interface.Établir les expressions des coe�cients de transmission et de ré�exion.Associer l'adaptation des impédances au transfert maximum de puissance.


II- Méthodes


On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on prend garde à faire la di�érence entre lesactions qui s'exercent à gauche (−~F (x)) et à droite (+~F (x+ dx)).

A) Equation de propagation dans un milieu continu méthode



On part de l'étude d'un élément n, on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donneune équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus enfaisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n, n− 1 et n+ 1.On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.

B) Equation de propagation dans un milieu discontinu méthode


On injecte dans l'équation de propagation des ondes stationnaires. Cela donne la relation de dispersionentre k et ω. Puis on utilise les deux conditions aux limites pour déterminer la partie spatiale.

C) Ondes stationnaires sur une corde méthode

On cherche une onde de la forme :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−veck ~r−ϕ0) = ψ0 e

−j.(ω.t−kx.x−ϕ0)

On repasse ensuite aux réels.

D) Forme de l'onde solution méthode

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on écrit la loi des mailles et celle des n÷uds.On découple les deux équations couplées en les re-dérivant.

E) Equation de propagation dans un câble coaxial méthode

A�n d'arriver à la relation de dispersion, on recherche les solutions de l'équation de propagation sous la

forme ψ = ψ0.e−j.(ω t−k x−ϕ0). NB : on aurait pu tout aussi bien choisir ψ = ψ0.e

+j.(ω.t−k.x−ϕ0). Maisune fois fait le choix, on n'en change plus !On trouve ensuite k = f(ω).

F) Etablir la relation de dispersion méthode

Il faut trouver la solution de la relation de dispersion de en utilisant k = kr + j.ki qui donne deuxéquations réelles.Une fois déterminés kr et ki, on réinjecte dans la forme de l'onde :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−k x−ϕ0) = ψ0.e

−ki.x.e−j.(ω.t−kr.x−ϕ0)

G) Forme de l'onde solution méthode

L'onde complexe est la superposition d'ondes monochromatiques :

ψ =

∫ ∞0

A (ω) .ej.(ωt−k.x)dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.

H) Paquets d'onde méthode



En faisant le développement limité autour de ω0, k0 :{ω = ω0 + u

k(ω) ≈ k0 + ∂k∂ωu = k0 + u

vg

on peut déterminer le paquet d'onde par le changement de variable ω → u :

ψ =

∫ ∞−∞

A (ω0 + u) .ej.(u t− u

vg

)ej.(ω0 t−k0 x)du


Il s'agit d'abord de déterminer la condition à l'interface. On écrit ensuite les ondes incidente, transmiseet ré�échie en complexe. Puis on réécrit les conditions de continuité à l'interface en faisant apparaître lescoe�cients de transmission et ré�exion en amplitude. Le tout donne un système d'équations qui permetde déterminer les coe�cients.

I) Coe�cients de transmission et de ré�exion méthode

Les conditions de continuité à l'interface sont :- la continuité de la déformation y

(y = y−0 , t

)= y

(y = y+

0 , t)∀t ;

- la continuité de la force Ty(y = y−0 , t

)= Ty

(y = y+

0 , t)∀t.

J) Transmission et de ré�exion pour une onde mécanique sur une corde méthode

III- Exercices


1.1) Corde tendue horizontalement

On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un axe Ox tendue avec la tension T0, de masselinéique µl. Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2

Célérité de l'onde c0 =√

T0

µl.

1.2) Corde de violoncelle

Un violoncelle baroque joue le la3 dont la fréquence est ν = 415Hz.1) Quelle est la tension T de la corde de longueur l = 50, 0cm, de masse volumique µ = 8000kg.m−3 et de

rayon r = 250µm ?

T = 67 N.

1.3) Corde verticale

On s'intéresse à une corde inextensible, de masse linéique µl, accrochée en un point O, l'axe Ox étant vertical,vers le bas. Déterminer l'équation d'onde que suit y(x, t), la coordonnée orthogonale à Ox.



∂2y∂t2 =

(T0

µl− g.x

). ∂

2y∂x2 − g ∂y∂x .

1.4) Corde avec frottement

On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumiseà une tension T0 avec une force de frottement �uide par unité de longueur ~ff = −λ.~v.On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de �l d'abscisse supérieure à x sur la partie de �ld'abscisse inférieure à x.Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.

∂2y∂t2 + 1

τ∂y∂t = c20

∂2y∂x2 avec la célérité de l'onde c0 =

√T0

µlet le temps caractéristique d'amortissement

τ = µlλ .

1.5) Chaine de ressorts

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox) de ressorts sans masse, tous identiques, de longueur àvide l0, de constante de raideur k, séparés par des particules ponctuelles toutes identiques, de masse m. Lamasse numéro n est à l'abscisse xn(t). On négligera la pesanteur.

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

c0 = a√

km .

1.6) Echelle de perroquet

On s'intéresse à un �l de torsion suivant un axe Oz vertical, le long duquel sont disposées à des distances ades barrettes horizontales identiques, de moment d'inertie J par rapport à Ox.

La barrette numéro n fait un angle θn(t) avec un axe Ox horizontal. Le �l entre les barrettes numéro n etn+ 1 exerce sur la barrette numéro n le moment

~Mn+1→n = Γ. (θn+1 − θn) ~uz

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂z2

c0 = a√

ΓJ .

1.7) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte

On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et lacapacité propre par unité de longueur c.

Montrer que tension V et intensité I véri�ent l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dansle câble ?

La célérité est c0 = 1√l.c.




2.8) Onde sur une corde �xée à ses deux extrémités

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, deux extrémités où elle est �xée, telle que l'élongationverticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c.

Montrer que les solutions possibles peuvent s'écrire

y(x, t) =

∞∑n=1

yn. sin

(2π

x

λn

). cos (2π.νn.t+ ϕG)

On donnera λn et νn.

λn = 2Ln et νn = n.c0

2L où n ∈ N .

2.9) Onde sur la corde de Melde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation deD'Alembert avec la célérité c. Une des extrémités est �xée

y(x = L, t) = 0 ∀t

quant à l'autre limite, en x = 0, un vibreur e�ectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a. cos (ω.t), donc :

y(x = 0, t) = a. cos (ω.t) ∀t

1) Donner la forme de la solution de l'équation de propagation pour la corde de Melde.2) Déterminer les conditions de résonance de la corde de Melde.

y(x, t) = asin(k.L) sin (k. (L− x)) . cos (ω.t). Résonance si kn = nπ

L où n ∈ N .

2.10) Onde sur la corde de Melde - le retour

1) Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, pour une longueur L de la corde et une masse Maccrochée à celle-ci, on obtient une fréquence de résonance à 19Hz pour deux fuseaux et une à 28Hz pour troisfuseaux.

1.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ?1.b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?

2) On donne la longueur de la corde : L = 117cm. Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbationsur cette corde ?

3) La masse accrochée à la corde est M = 25g.3.a) Quelle est la tension T0 de la corde ?3.b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique µl de la corde.

1) ν4 = 38Hz et ν5 = 47Hz.2) c = 22m.s−1.3) T0 = 0, 25N et µl = 0, 5g/m.

2.11) Solutions de la corde de Melde

Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur e�ectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a :

ψ (0, t) = a. cos (ω.t)

La corde, de longueur L, est �xée à l'autre extrémité, la tension de la corde étant T0.1) Déterminer les déplacements ψ (x, t) de tout point de la corde à tout instant.2) Donner les valeurs des fréquences de résonance.



ψ (x, t) = asin(k.L) cos (ω.t) . sin (k. (L− x)). Les fréquences de résonance valent νn = n c

2.L .

2.12) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert

Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.

k2 = ω2

c20.

2.13) Forme des ondes planes progressives

1) Montrer que ψ(t, x) = f(x− c0.t) ou h(t− x

c0

)est solution de l'équation de D'Alembert.

2) De même, montrer que ψ(t, x) = g(x+c0.t) oum(t+ x

c0

)est aussi solution de l'équation de D'Alembert.

1) On va chercher f(t, x) = f(u), où u est une fonction de x et de t. On voit que u = x− c0.t convient.2) On va chercher maintenant g(t, x) = g(v), où v est une fonction de x et de t. On voit que v = x+ c0.t

convient.

2.14) Réécriture de l'équation de D'Alembert à une dimension

1) montrer que l'éqution de D'Alembert à une dimension peut se réécrire sous la forme :

∂

∂u

∂

∂vψ = 0

où les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste, qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f(u) ;

• ψ = g(v).

2) Quel sens donner à ces deux types de solutions ?

On peut écrire(∂∂t − c0

∂∂x

) (∂∂t + c0

∂∂x

)ψ = 0.

2.15) Vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique

On dé�nit la vitesse de phase comme la vitesse à laquelle il faut se déplacer pour que la phase φ = ω t−~k ·~r−ϕsoit constante.

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique vers la droite.2) Même chose pour une onde plane progressive monochromatique vers la gauche.

vx = ±ωk = ±c0.

2.16) Vitesse de phase d'une onde plane progressive

On dé�nit la vitesse de phase comme la vitesse ~vϕ = vx~ux à laquelle il faut se déplacer pour qu'on retrouvela même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peu qu'on ait déplacé cetteforme de vx ∆t.

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive vers la droite.2) Même chose pour une onde plane progressive vers la gauche.

vx = ±c0.



2.17) Corde avec frottement

On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumiseà une tension T0 avec une force de frottement �uide par unité de longueur ~ff = −λ.~v.On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de �l d'abscisse supérieure à x sur la partie de �ld'abscisse inférieure à x.Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.

∂2y∂t2 + 1

τ∂y∂t = c20

∂2y∂x2 avec la célérité de l'onde c0 =

√T0

µlet le temps caractéristique d'amortissement

τ = µlλ .

2.18) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte

On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et lacapacité propre par unité de longueur c.

Montrer que tension V et intensité I véri�ent l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dansle câble ?

La célérité est c0 = 1√l.c.

2.19) ImpedanceCable

Les rayons de l'âme et de la gaine d'un câble coaxial de télévision valent respectivement a = 1mm etb = 3, 5mm.

L'espace séparant l'âme et la gaine n 'est pas vide mais rempli d'un matériau isolant non magnétique(polyéthylène) de permittivité diélectrique relative εr = 2, 26. La capacité et l'inductance linéiques du câblesont respectivement : {

c = 2π.ε0.εrln( ba )

l = µ0

2π ln(ba

)1) Calculer la vitesse c0 de propagation des signaux électriques.2) Calculer l'impédance caractéristique Zc du câble.

c0 = 2.108m.s−1.

2.20) Equation de propagation dans un câble coaxial avec perte

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur l, unecapacité propre par unité de longueur c, une résistance par unité de longueur r1 et une conductance par unitéde longueur g2.

1) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.2) Véri�er que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

∂2V∂x2 = l.c∂

2V∂t2 + (r1.c+ l.g2) ∂V∂t + r1.g2.V (x, t).

2.21) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert

Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.

k2 = ω2

c20.



2.22) Equation de dispersion dans le cas d'une corde subissant un frottement �uide

Dans le cas de la corde subissant une force de frottement �uide, on aboutit à l'équation de propagation

∂2ψ

∂t2+

1

τ

∂ψ

∂t= c20

∂2ψ

∂x2

Déterminer alors l'équation de dispersion.

k2 = ω2

c20− j.ω

τ.c20.

2.23) Equation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif

Dans le cas d'un câble coaxial résistif, on aboutit à l'équation de propagation dite des "télégraphistes" :

∂2ψ

∂x2= l.c

∂2ψ

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂ψ

∂t+ r1.g2.ψ

Déterminer alors l'équation de dispersion.

k2 = l.c.ω2 + j. (r1.c+ l.g2)ω − r1.g2.

2.24) Equation de dispersion dans le cas d'une chaine de pendules couplés

La propagation d'onde le long d'une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L,couplés par des ressorts de raideur K, disposés à une distance a les uns des autres dans l'approximation desmilieux continus suit l'équation : ∂

2ψ∂t2 + ω2

p.ψ = c2 ∂2ψ∂x2 avec c2 = a2.ω2

p.Déterminer l'équation de dispersion.

ω2 = ω2p + c2.k2.

2.25) Equation de dispersion de Klein Gordon

On s'intéresse à un milieu qui véri�e la relation de dispersion de Klein-Gordon :

ω2 = ω2p + k2.c2

1) Calculer en fonction de ω, ωp et c :1.a) la vitesse de phase vϕ,1.b) la vitesse de groupe vg.

2) Exprimer vg en fonction de c et vϕ.3) Comparer chacune des vitesses à c.

vg = c2

vϕ.

2.26) Diverses ondes à la surface de l'eau

On peut montrer que la relation de dispersion d'une onde à la surface d'une eau de profondeur h est donnéepar :

ω2 =

(g.k +

γ.k3

µ

)th (k.h)

où g = 9, 81m.s−2 est l'accélération de la pesanteur, µ = 1, 0kg/L la masse volumique de l'eau et γ = 72.10−3SIla tension super�cielle à l'interface eau-air.

1) Calculer la vitesse de groupe d'une onde :



1.a) de marée (λ = 1000km et h = 5km),1.b) de houle (λ = 5m),1.c) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),1.d) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cm et h = 1mm).

Pour une onde de marée vg = 800km/h, pour une onde de houle vg = 5km/h, pour une onde de capillaritépour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde vg = 30cm.s−1 et pour une onde de capillarité pour unegoutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde vg = 20cm.s−1.

2.27) Onde absorbée

1) Une onde plane se déplace dans un milieu absorbant. On suppose que la puissance absorbée par unvolume élémentaire est proportionnelle à ce volume et à l'intensité de l'onde au voisinage du volume considéré.

1.a) Montrer alors que l'intensité de l'onde décroît exponentiellement avec la distance parcourue dansle milieu (loi de Beer-Lambert).

1.b) Que dire alors de l'intensité en décibels ?2) Application : une �bre optique présente une absorption de 0, 1dB.km−1. Au bout de quelle longueur

l'intensité d'entrée aura-t elle diminué de moitié ?

I(z) = I0.e−β.z et l'intensité en décibels est IdB = 10.log

(I0Iref

)− 10.β

ln(10)z.

L = 30km.

2.28) Paquet d'onde à spectre rectangulaire

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre rectangulaire :{A(ω) = A0

∆ω si ω ∈[ωm − ∆ω

2 ;ωm + ∆ω2

]A(ω) = 0 sinon

ψ(x, t) = A0.sinc[

∆ω2

(t− x

vg

)]. cos (ωm.t− km.x).

2.29) Paquet d'onde à spectre gaussien

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre gaussien :

A(ω) =A0√

2.π.∆ωe−

(ω−ωm)2

2.∆ω2

On donne : ∫ ∞−∞

e−α2.x2+j.β.x.dx =

√π

αe−

β2

4.α2

pour tout réel β et tout complexe α d'argument compris entre −π4 et +π4 .

ψ(x, t) = A0.e− (∆ω)2

2

(t− x

vg

)2

. cos (ωm.t− km.x).

2.30) Interférence d'un paquet d'onde

On s'intéresse à un paquet d'onde de largeur spectrale ∆ω, faible devant la pulsation � moyenne � ωm dupaquet.

1) Calculer l'amplitude du paquet d'ondes suivant :

ψ(x, t) =

n=+N−12∑

n=−N−12

A0. cos (ωn.t− kn.x)



où ωn = ωm + nN∆ω. On supposera pour simpli�er les calculs que N est impair.

2) Quelle durée caractéristique ∆t peut être attribuée aux bou�ées d'ondes de ce paquet ? Commenter sadépendance vis-à-vis de sa largeur spectrale ∆ω.

ψ(x, t) = A0.sin[

∆ω2

(t− x

vg

)]sin[

∆ω2.N

(t− x

vg

)] . cos (ωm.t− km.x).

2.31) RelationDeuxVitesses

1) Démontrer la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe qui fait intervenir comme variablela longueur d'onde λ :

vg = vφ − λdvφdλ

2) On suppose que la relation de dispersion s'écrit ω = A.kα où A et α sont indépendants de k. Exprimerla vitesse de groupe en fonction de vφ et α.

vg = α.vφ.


3.32) Coe�cients de ré�exion au bout d'un câble coaxial

On considère un câble coaxial d'impédance caractéristique Zc, pour x < x0. Le câble se termine sur uneimpédance Z en x = x0.

1) Déterminer les coe�cients de ré�exion en amplitude pour la tension et l'intensité.2) En déduire le coe�cient de ré�exion en énergie.

rV = Z−ZcZc+Z

= −rI et R =|Z−Zc|2|Zc+Z|2 .

3.33) Coe�cients de ré�exion et transmission à la jonction de deux câbles coaxiaux

On considère deux câble coaxiaux connectés en x = x0 :

• pour x < x0, l'impédance est Zc1 ;

• pour x > x0, l'impédance est Zc2 .

1) Déterminer les coe�cients de ré�exion et transmission en amplitude pour la tension et l'intensité.2) En déduire les coe�cients de ré�exion et transmission en énergie.

1) rI =Zc1−Zc2Zc1+Zc2

= −rV et tI =2.Zc1

Zc1+Zc2=

Zc1Zc2

tV .

2) R =(Zc1−Zc2)

2

(Zc1+Zc2)2 et T =

4.Zc1 .Zc2

(Zc1+Zc2)2 .

3.34) Coe�cients de ré�exion et transmission à la jonction de deux cordes

On s'intéresse à une corde très longue qui est composée de deux tronçons de masses linéiques µ1 (si x < 0)et µ2 (si x > 0), la tension étant toujours T0 ; le n÷ud en x = 0 est sans masse.

1) Déterminer les coe�cients de ré�exion et transmission en amplitude.

2) Entre quelles limites peuvent-ils varier ? Discuter ces cas suivant la valeur du coe�cient α =√

µ2

µ1.

r =√µ1−√µ2√

µ1+√µ2

et t =2.√µ1√

µ1+√µ2.



Travaux dirigésvendredi 25 novembre 2016

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

Les cordes d'une guitare électrique

extrait de l'article wikipédia � Corde de guitare �

Changer l'épaisseur pour changer la note.

Accord des cordesL'accord de référence, pour les six cordes à vide, est Mi, Si, Sol, Ré, La, Mi de l'aigu au grave.

Tirant de cordesLe tirant des cordes, c'est leur diamètre. Cette valeur est exprimée en millièmes de pouces.

Exemple en corde souples : le pack 8/38 (.008/.038 : .008/.011/.014/.022/.030/.038 - Extra light) où il fautcomprendre :

• tirant du mi grave = 38 (0, 97 mm)

• tirant du mi aigu = 8 (0, 2 mm)

L'âme et le �lage

Une corde de guitare possède une âme (c'est-à-dire un �l principal) autour de laquelle vient s'enrouler unsecond �l, qui formera le �lage.

Les cordes de guitare d'une guitare électrique sont souvent en acier plaqué nickel. L'acier permet une inter-action très forte avec les aimants des micros, pour un son plus fort en sortie de guitare, tandis que le nickelprotège la corde de la corrosion et améliore le toucher.

Enoncé

Combien d'octaves séparent les notes mi de la plus �ne et de la plus épaisse corde de guitare électrique pourl'accord de référence ?Données :

• Longueur d'une corde de guitare : 25,5 pouces

• Masse volumique du nickel : 8, 9 g · cm−3

• Masse volumique de l'acier : 7, 8 g · cm−3

• 1 pouce =2,54 centimètres



Devoir non surveillévendredi 25 novembre 2016

Le document est à lire, l'exercice est à rendre.

Les câbles électriques dans les transports

Extraits de "Développement d'une méthodologie dédiée à la ré�ectométrie en vue du diagnostic �laire"thèse de doctorat de MOSTAFA KAMEL SMAIL soutenue le mardi 7 décembre 2010

Utiliser la propagation et la ré�exion des ondes pour détecter les pannes dans uncâble électrique.

Les câbles et leurs applicationsDepuis l'apparition des premiers systèmes élec-

troniques, le câble électrique fut le premier sup-port physique permettant de faire circuler un cou-rant électrique. Jusqu'à aujourd'hui, le câble élec-trique est toujours d'actualité et a connu des mo-di�cations intrinsèques permettant de s'adapteraux contraintes électriques et environnementalesde plus en plus sévères. Les câbles électriquessont omniprésents dans beaucoup de domaines oùl'acheminement de l'énergie et de l'information estnécessaire pour garantir le bon fonctionnementd'un système. Le type de câble est di�érent suivantla nature du signal que l'on désire transmettre etde l'environnement dans lequel évolue le système.Les signaux peuvent être analogiques ou numé-riques, de faible ou de forte puissance et de basses,moyennes ou hautes fréquences. A titre d'exemple,un réseau informatique peut utiliser trois types decâbles : le câble coaxial, la paire torsadée ou la �bre optique. Le choix de ces câbles dépend du débit souhaité, dela longueur du réseau et de l'environnement dans lequel évolue le réseau. Les réseaux électriques haute tensionutilisent des câbles de transport d'énergie dont la constitution est di�érente de ceux utilisés pour les réseauxinformatiques car ces câbles sont conçus pour transporter et distribuer de l'énergie électrique à fort courant etbasses fréquences (50 Hz) sur de très longues distances à travers le pays. L'aéronautique et le spatial sont deparfaits exemples d'applications où plusieurs types de câbles sont utilisés avec des longueurs cumulées allantjusqu'à 500 km pour un long courrier (Airbus A380), longueur en constante augmentation depuis les quarantedernières années, Figure 1.1. L'utilisation de câbles légers, souples, peu encombrants, d'une grande �abilité etrésistants à divers environnements sont les principales contraintes imposées par ces industries.

La Figure 1.2 donne une très bonne vision des di�érents types decâbles utilises et de leur complexité. Nous trouvons des câbles pourles zones pressurisées, des câbles résistant au feu ou a la chaleur, descâbles coaxiaux pour les systèmes de transmission hautes fréquences(radio, radar, données) et des câbles d.alimentation pour transporterde la puissance. En général, ces câbles sont constitues d.un ou plusieursconducteurs en cuivre ou en aluminium protégés par des matériauxisolants comme le polyimide, la �bre de verre ou le mica.

Le problème de défauts de câblage a eu une grande attention àla �n des années 90 en raison de deux accidents tragiques : le 17juillet 1996 l'explosion en plein air du Boeing 747 du vol TWA 800et le crash d'un MD-11 de Swissair le 2 septembre 1998. La NTSB(National Transportation Safety Board) a déterminé par la suite la



cause de l'accident de la TWA 800 qui était une explosion du réservoirde kérosène due à un arc électrique. Pour Swissair c'était à cause d'unincendie provoqué par un court-circuit dans un câble. Bien que les accidents du Boeing 747 de TWA 800 etle MD-11 de Swissair sont cités comme les causes de l'impulsion de la recherche et le développement dansle domaine de la �abilité de câblage, il y a eu un nombre considérable d'incidents qui n'ont pas abouti à desaccidents, mais ont été attribués à des défaillances de câblage (en janvier 2008 : Boeing 757 de AA, février 2009 :Airbus340 de VA) [PORT 03]. S'ajoutent à ces problèmes le vieillissement de la �otte de la marine américaine,� la NAVY �, et ses conséquences sur la maintenance des câbles embarqués.

Avec le temps, les réseaux de câbles des avions ou des bateaux sefragilisent et se détériorent en augmentant ainsi la probabilité d'appa-rition de défauts de toutes sortes. Les problèmes liés aux câbles coûtentexcessivement cher et impliquent un temps d'immobilisation assez im-portant. Le gouvernement américain a donc encouragé les industries etles universités à développer des systèmes intelligents de détection, dediagnostic et de prévention pour déceler toute apparition d'anomaliesur les câbles.

Parfois suivant l'environnement où le réseau de câbles évolue (aé-ronautique, automobile, nucléaire, bâtiment...), l'inaccessibilité pourcontrôler son état pose un véritable problème. Cette inaccessibilitédiminue l'e�cacité de la maintenance du réseau par les technicienset augmente donc la probabilité d'avoir une défaillance des systèmesélectroniques.

La possibilité de connaître l'état d'un câble est devenue une néces-sité pour rendre plus e�caces les opérations de maintenance lorsqu'undéfaut �laire met en panne tout un système.

La constitution d'un câble peut varier d'un fabricant à un autre,mais en général ils sont réalisés à partir de :

• Fils simples constitués d'un conducteur isolé

• Paires de �ls parallèles qui peuvent être blindées, Figure 1.7

• Fils blindés constitués d'un conducteur isolé entouré d'un écran

• Paires simples constituées de deux conducteurs isolés torsadés, Fi-gure 1.8

• Paires blindées constituées d'une paire simple entourée d'un écran

• Câbles coaxiaux constitués d'un conducteur central, d'un diélec-trique et d'une tresse extérieure, Figure 1.9

Les méthodes de détection et localisation de défauts dans les câbles électriquesIl existe plusieurs types de défauts ayant chacun leurs propres caractéristiques, c'est pour cette raison que

de nombreuses méthodes ont été développées pour tester l'état des câbles. Il existe di�érentes méthodes pourdétecter et localiser des défauts de câblage des techniques basses, moyennes ou hautes fréquences. Certainesméthodes nécessitent des outils de mesure directement couples électriquement aux extrémités du câble et d'autrespar des outils de mesure sans contact (sonde de courant) pour diagnostiquer le câble.

Certaines méthodes de diagnostic ne permettent pas d.analyser un câble lorsque celui-ci n.est pas déconnectéou lorsque d.autres signaux y sont présents (diagnostic hors ligne). D.autres méthodes permettent une analysedu câble lorsque d'autres signaux y sont transmis (diagnostic en ligne).

La méthode capacitive et inductive permet de déterminer la présence d'un circuit ouvert ou d'un court-circuit. La méthode est basée sur la mesure de la capacité ou de l'inductance du câble. La mesure de la capacitéest utilisée pour localiser un circuit ouvert et la mesure de l'inductance est utilisée pour localiser un court-circuitsur le câble.

Il existe une méthode haute fréquence qui a l'avantage d'obtenir une image de l'état du câble en se position-nant a une extrémité de celui-ci. Cette méthode s'appelle la ré�ectométrie et repose sur l'analyse d'une onderé�échie par rapport à une onde incidente en utilisant les phénomènes de propagation des ondes dans les milieuxphysiques. Pour l'utiliser dans l'analyse des câbles électriques, il est nécessaire d'injecter des signaux dont lalongueur d'onde est petite ou équivalente à la longueur du câble. Ceci implique donc l'utilisation de signauxhaute fréquence.Théorie des lignes de transmission

La di�érence principale entre la théorie des circuits et la théorie des lignes de transmission est la tailleélectrique. L'analyse de type circuit suppose que les dimensions physiques d'un réseau sont beaucoup plus



petites que la longueur d'onde électrique, alors que les lignes de transmission peuvent être une petite fractionde longueur d'onde, voire plusieurs longueurs d'onde. Une ligne de transmission est donc un réseau distribué deparamètres où les tensions et les courants peuvent varier en amplitude et en phase le long de la ligne.

En basse fréquence lorsque la longueur d'onde est grande devant la longueur de la ligne, la di�érence depotentiel entre les deux conducteurs est la même tout au long de la ligne. Par contre en haute fréquence lorsquela longueur d'onde est petite ou comparable à la longueur de la ligne, ce n'est plus le cas. Ce phénomène a étémis en évidence par le physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz sur la ligne bi�laire.

En haute fréquence une ligne de transmission peut se modéliser à l'aide de quatre paramètres qui constituentle modèle à constantes réparties. La Figure 1.19 montre une ligne de transmission qui est souvent représentéeschématiquement comme une ligne bi�laire et le modèle équivalent. Il n'est valable que pour une longueurin�nitésimale de ligne, à condition que la longueur L de la ligne de transmission soit inférieure ou égale audixième de la longueur d'onde guidée λg.

L'onde peut se propager grâce aux échanges d'énergie électrique et d'énergie magnétique. Ces e�ets semodélisent respectivement par la présence d'une capacité linéique C et une inductance linéique L. La capacitélinéique C dépend de l'écart entre les deux conducteurs, du diamètre des conducteurs et de la permittivitédu diélectrique et s'exprime en Farad/m. L'inductance linéique L dépend du diamètre des conducteurs, del'écart entre les deux conducteurs et de la perméabilité des matériaux et s'exprime en Henry/m. La capacitéet l'inductance modélisent les e�ets de propagation dans la ligne. Les pertes par e�et de Joule sont modéliséespar une résistance linéique R, qui est due aux pertes ohmiques dans les conducteurs, dépend des diamètreset matériaux des conducteurs et s'exprime en ohms/m. La conductance linéique G traduit les pertes dues audiélectrique. Elle dépend de la capacité linéique et de l'angle de perte du diélectrique et s'exprime en Siemens/m.R et G représentent les pertes.



Les paramètres du modèle à constantes réparties sont appelés paramètres primaires. Ces quatre paramètressu�sent pour modéliser le comportement d'une ligne de transmission en haute fréquence. Cependant certainsparamètres sont sensibles aux variations de la fréquence. D'une façon générale, l'inductance et la capacitélinéique dépendent de la fréquence jusqu'à environ 1 GHz. La résistance linéique augmente lorsque la fréquenceaugmente et la conductance linéique augmente également avec la fréquence mais reste négligeable en dessousde 1 MHz.

Pour une ligne de transmission réelle (avec pertes), l'impédance caractéristique est une grandeur complexe.Cette impédance caractéristique est di�érente selon le type de câble. En vidéo, les câbles utilisés sont des câblescoaxiaux d'impédance caractéristique 75 ohms. En hyperfréquence, les lignes de transmission utilisées ont pour laplupart une impédance caractéristique de 50 ohms. Le réseau CAN utilise une paire torsadée dont l'impédancecaractéristique est de l'ordre de 120 ohms. FlexRay est un protocole qui véhicule des données sur une pairetorsadée d'impédance caractéristique de 90 ohms. L'impédance caractéristique dépend de la géométrie et de laconstitution du câble.

Chaque discontinuité dans un câble est associée à un coe�cient de ré�exion qui donne une information surla polarité des champs dans le milieu de propagation et la quantité d'énergie renvoyée vers le plan le générateur.

Enoncé

1) A l'aide du modèle électrique équivalent donné dans le document, déterminer l'équation d'onde (dite"des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité dans les câbles électriques.

2) Véri�er que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas non résistif. En déduire l'expression dela célérité vp des ondes dans le câble en fonction de L et C.

3) A partir des données de L et de C de di�érents câbles, véri�er les valeurs des vitesses et des impédances

caractéristiques Zc =√

LC indiquées dans le tableau du document.

4) On s'intéresse au montage de la �gure 1.20 (on supposera le câble sans résistance).4.a) Donner la formes des OPPM complexes incidentes et ré�échies sur le câble.4.b) Rappeler la dé�nition des coe�cients de ré�exion en intensité et en tension en z = 0.4.c) Ecrire les conditions aux limites en z = 0 et en z = −l.4.d) Déterminer les coe�cients de ré�exion en intensité et en tension en z = 0 en fonction de ZL et ZC .


Documents

Ondes mécaniques Les points du cours à connaîtrealain.lerille.free.fr/2016/Poly10.pdf · 1.2) Corde de violoncelle Un violoncelle baroque joue le la 3 dont la fréquence est =