J. L. LIONS dell'Uninersit& di Nancy

Opfirateurs de transmutation et quations d'Euler Poisson

gdn ralis es Gonferenm tenuta il 15 aT~ile 1958 (*)

singuliers Darboux

SU.WTO - - Rappels sur les opfirateurs de transmutation singuliers. Diverses applications: au probl~me de CAUCHY par une ~quation hyperbolique singu- li~re, ~ l'intfigration fractionnaire,... Une proprifitfi asymptotique des opfira- teurs de transmutation est donn~e.

1. INTRODUCTIO.NL - - L ' o p & a t e u r d 'EULER POISSON DARBOUX s'introduit naturellement dans l '&ude des moyennes sph~riques: si M (x, t), x E R", est la moyerme d'une fonction f (x), ind~finiment dif- f~rentiable (hypoth~se qui peut ~videmment &re consid~rablement g~- n~ra]is~e), sur ]a sphere de centre x, rayon t > 0, alors cette fonction M (x, t) v~rifie l'~quation

(1.1) - - A z ( M (x, t ) ) + (D, ~ + (n - - 1) t -~ D , ) M (x, t) = O,

o~. ix= = i)12 + D2 ~- + ... + 19,", D, = ~i~x,, D, = ~l~t;

en outre M (x, t) v6rifie:

(1.9.) M (z, o) = f (z) ,

(1.3) D, M (z, o) = o .

L'opfrateur diff6rentiel intervenant darts (1.I) est l 'op6rateur d'EULxR POlSSON DARBOUX. Le probl~me de Cauchy singulier, avec

(*) Pervenuta in tipografia il 18 aprile 1958.

OPERATEURS DE TRANSMUTATIOI~ SII~GULIERS ET EQUATIONS D'EULER, ECC. 125

n - 1 remplac~ par ]c quelconque a ~t~ r~solu par A. WEINSTEIN [16] [18] [19]. Les valeurs exceptionnelles ]c = - 1 , - - 3 . . . , ont ~t~ d~convertes par WEINSTEIN- Une autre solution a ~t~ donn4e dans D I A Z - WEI~BERGER [ 5 ] - - Une nouvelle solution des cas ex- ceptionnels a ~t~ donn~e par E. K. BLUM [la]. Des g~n~ra]isations ont ~t~ donn~es dans F. Bureau [lb]. Un r4sultat plus precis sur ]'unicit~ a ~t~ donn6 par WALTER [20]. Les probl~mes mixtes singu- liers ont 4t~ 4tudi~s clans [7], Chap. I I et [8].

On va 4tudier ici des op~rateurs du type (1.1) - - consid~rablement g4n4ralis6s - - et diverses questions qui s'y rattachent, par util isation syst~matique des transmutations. La notion de t ransmutat ion a ~t~ introduite par DELSA~aTE dans [2] puis 4tudi4e et compl~t~e dans [12], [6], [3], [7], [8], [11] (cfr.-aussi [4] mais o~ le point de rue est different). On d~finit les op~rateurs de transmutation singuliers aux N ~ 2 et 3. On donne ensuite diverses applications.

2. 0 P ] ~ R A T E U R S D E T R A N S M U T A T I O N S I N G U L I E R S . - - On consid~re sur ]a droite R~ l'espace 8 , des fonctions ind~finiment diff~rentiables paires (~ valeurs complexes )muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact des fonctions et de chacune de leurs d~riv~es.

On consid~re sur 8 , l 'op6rateur diff~rentiel

f ----~- L f = D2f § x -1 M (x) D f + N (x) f , D = d/dx

o~ M (resp. N) est une fonction ind6finiment diff6rentiable paire. L'op6ratear L e s t lin6aire continu de 8 , dans lui mSme, on 6crit:

L ~ 2? (8,; 8 , ) .

Ddfinfition 2 . 1 . - On: •ppette op~r~teur de transmutation de L en D 2 un isomorphisme X de 8 , sur lui m~me, s'il en existe, tel que

(2.1) D2X = X L .

Le probl~me est naturellement: existe-t-il toujours un (ou des) op~rateurs de transmutation de L en D~?

On dit aussi que X est un op~rateur de transmutat ion singulier, s cause de la pr6sence d'une singularit4 s l'origine dans L.

On commence par l '~tude d 'un cas particulier fondamental: on prend pour L l'op~rateur L, donn~ par

(2,2) Lp = D 2 + (2 p + 1) x -~ D , p ~ C .

Dans ce cas, pour des valeurs particuli~res de p, l 'existence d 'un

126 J . L . Lm~S

op~rateur X particulier est classique: c'est l'oTdrateur de Sonine, B~, donn~ par la formule

(2.3) Bpf(x) = b~ x . ( (x ~ - - y " - ) - ' -~ y~§ f (y) dy , o

avec

b o = ( 2 ~ ) / ( F ( p + l ) F ( - - p - - U 2 ) ,

formule valable pour - - 1 < Re p < ~ 1/2. Ceci dfifmit Bp ~ Z ~ ($.; $.) , et la fonction p --~ B~ est holomorphe

dans la bande - - 1 < R e p < - 1/2 ~ valeurs dans cet espace. On montre [7]:

Th3or~me 9..1.

1) On ~oeut prolonger analytiquement B~ en une fonction p ~ Bp enti~re h valeurs clans l'esTace .e ($.; $.) .

2) Pour p =/= 1, - - 2 , ..., Bp est un o,p3rateur de transmutation de L en D~:

D2B, = B , Lp . (l b~)

Pour l'expression explicite du prolongement analytique, cf. [7] (1). Pour ~ =/= - - 1 , - - 2, ..., l'inverse de Bp est not~ J3p. Pour Re ~ > - - 1/2, cet op~rateur est classique: op~rateur de PoIsso~ (cf. [1], [6]);

J3, f (x) : ~p x-'~P f (x 2 - - y~)P-'/" f (y) dy , o

= 2 r (p + 1) / r (p + 1/2)) .

Le prolongement analytique de 83~ est effeetu~ darts [7 ]. Evidem- ment:

(2.4) Lp 33p = r D ~ .

Signalons enfin l 'importante propri&&

(2.5) Bpf(0) : f ( 0 ) , ~3pf(0) : f ( 0 ) pour tout f e ~ . .

(i) Dans [I], p. 90, llgne 4 et 5 iL partir du bas, supprimer ,, qui n'utilise pas de prolonge- ment ~nalytique,~; en effet Bureau ut/Iise le prolongement &nalytique, suivant un proc~I6 d~

Weinstein; Diaz-Weinberger et Wei~aatein font ]e prolongement an~lytique de detcx mani- ares diff~rentes, ainsi que m'a aimablement sign&l~ M.A. We/nsteln.

(I bia) Cf. aussi, A. Erddlyi, Comm. Pure and Applied M&th. 9, 403.414 (1956).

OP~R~kTED-RS DE TRA/~SMUTATION SINGULIERS ET EQU~.TIOI'/S D'EULEP., ECC. 127

Le Th6or~me 2.1 fair r~apparaitre les valeurs singuli~res p = - - 1, 2, ..., que l'on retrouvera in6vitablement dans route th~orie g@-

n4rale; il est donc commode l'@crire L sous la forme suivante:

(2.6) M p f = D2 f + (2 p § 1) x -t D f § m (x) D f + n (x) f ,

m (resp. n) @rant une fonction ind@fmiment diff6rentiab]e impaire (resp. paire). Ceci pos@ on a le

Thdor~me 2.2.

Pour p ~: - - 1, - - 2, ..., il existe Xp opdrateur de transmutation de M~ en De:

(2.7) D2X~ = X~ Mp .

On peut choisir Xp de fa~on que la fonction p - ~ Xp soit enti~- re ~ valeurs dans Z ~ (8,; 8,), et que

Xpf(O) = f ( o ) pour tout f E ~ , . (2.s)

On posera:

(2.9)

Evidemment

(2.1o) Mp 2Cp = ,~'~ D 2 .

Le th6or~me 2.2 est annonc@ dans [8]. La d@monstration, trop longue pour ~tre rapport@e ici, sera donn@e ailleurs (cf. aussi ~o 3 9i apr~s).

Procddd de calcul de 2gp. Posons:

(2.11) (cos (sx)) = (x, s)

De (2.10) et de ~pf(0)----f(0) il r~sulte:

(2.12) Mpa(x , s ) § = 0, a(0, s)---- 1, apa i re en x.

Les ~quations (2.12) d4finissant a, de sorbe que ~p et donc Xp est compl~tement ddtermind par (2.7) et (2.8).

L'op4rateur gt', est d~fini par tun noyau distribution ~(~ (x, y) (cf. [13], [14]); r (x, y) peut @tre une vraie distribution, d'ordre arbi- trairement ~lev4; cette distribution est ~ support dans ]a r4gion: l Y I ~ - - ] x I" On peut @crire symboliquement:

128 J . L . LIONS

~p f (x) = f ~p (x, y) f (y) dy , - - X

soit, par parit6: X

~ , f (x) = 2j ~', (x, y) f (y) dy , o

On a done:

d'ofi ]a formule:

(2.13)

si x ~ 0 ,

x , y ~ O .

2 / ,~p (x, y) cos (s y) dy = ~(x, s), o

O O

~ p ( x , y ) - - 1 / = j 3 (x , s ) cos(sy) ds.

o

Cette formule dolt ~tre prise au sens des distributions. Cf. [15].

Remarque 2.1. ~ On peut consid4rer un op4rateur de la forme (2.6) mais sur un intervalle f i r / ] - - a , + a[, les fonctions m et n ~tant ind~- finiment diff6rentiables dans l'ouvert ] - - a , + a[. On a des r6sultats analogues. Pour des exemples explicites, cf. M. THYSSEN, Bull. Soc. Royale Sc. Liege, t. 26 (1957), p. 87-96.

3. D]~FINITION DIRECTE D E ~ p . - - On va clans ce N ~ donner un proc~d~ de construction de l 'op~rateur ~p , adaptation de [2]. On d6signe par u (x, y) la solution du probl~me de CAUCHu singulier:

(3.1) (Mp)~ u (x, y) - - D~ 2 u (x, y) = O,

(3.2) u (0, y) = f ( y ) , f donn4e dans ~ , ,

(3.3) D~u (0, y) = O .

On montre (cf. [8]) que ce probl~me admet une solution unique, paire en x et y, d@endant continument de f, ind~finiment diit4rentiable en x et y, sous la seule condition: p = / = - 1, - - 2 , ....

Dans ces conditions, on a le r~sultat suivant:

Thdor~me 3.1.

L'opdrateur r est donnd par

(3.4) / ( x ) = u (x, o ) .

Notons que, si l 'on admet que le probl~me (3.1), (3.2), (3.3) poss~de

OFI~RATEURS DE TRANSMUTATION SL~TGULIERS ET I~QU~.TIO~S D'EULER, ECC. 124{}

une solution unique, alors il est imm6diat de v6rffier que l 'op~rateur g~p ~ f i n i par (3.4) est un op~rateur de transmutat ion de D 2 en Mp. L'op~rateur X~, inverse de ~9C~, peut ~tre construct de fa~on analogue: on d~signe par v (x, y) la solution du probI~me:

(3.5) (Mp), v (x, y) - - D2v v (x, y) = 0 ,

(3.6) v(x, 0) = f ( x ) , f donn~e dans ~ , ,

(3.7) D r v (x, 0) = 0 .

S i p r - - 1, - - 2 , ..., ce probl~me admet encore une solution uni- que, ind6fmiment difl6rentiable, paire en x et y, d@endant continfiment de f. On a:

(3.8) x ~ f (y) - v (o, y).

4. APPLICATION AUX I~QUATIONS D']~ULER POISSOST DARBOUX OI~.-

NfiRALIS~ES. - - Dans l'espace R~', on consid~re l'op~rateur

(4.1) A -- ~ D~ (a,i(x) Di) , i , i = x

les fonctions a~j 6tant par exemple ind6finiment diff6rentiable r~elles ton ne s'occupe pas ici des hypotheses de rfigularit6 minima), % t x ) = = a~i(x), l 'op6rateur A ~tant unfform6ment elliptique au sens suivant:

(4.2) x a,;(x) ~, ~, > , (I ~, I ~ + . . . . + [ ~ Iq, " > 0 .

On consid~re le probl~me de C.~(Jcn~ singuiier suivant: on cherche une fonction u (x, t), solution ind~finiment diff~rentiable, paire en t, de

(4.3) A, u (x, t) § D, ~ u (x, t) + (2 p + 1) t-' D, u(x , t) +

+ m (t) Dt u (x, t) + n (t) u (x, t) = O ,

o~t m (t) et n (t) sont ind~finiment diff6rentiables, respectivement im- paires et paires, a v e r

(4.4) u (z, o) = f ( z ) ,

(4.5) D t u (x, 0) = 0 (ce qlLi r~sulte de l'hypoth~se de paritY).

La fonct ionf est donn~e dans l'espace $ (R, ~) des fonctions ind6- tiniment difffirentiables en x. On cherche u ind~finiment difffirentiable en x et t.

On sup'pose p C - - l , - - 2 , ....

8 n ~ i z ~ r ~ o M a t . t ~ . d i M i l , , ~ . vol. xxv In 10

130 J . L . L~O~S

On peut dire: u est ind~finiment diff~rentiable, paire, en t, k va- leurs dans l 'espace ~ ( R ~ ' ) . On peut donc consid~rer (Xp)t u (x, t), de fa~on plus precise:

f x p (t, (x, ":) d'~ (t, ":) ~tant ]e de l'op~rateur (~). Xp Xp U noyau

--t

Posons donc

(4.6) (Xp), u (x, t) = w (x, t).

La fonction w (x, t) est ind~finiment diff~rentiable en x et t, paire en t et d'apr~s les propri~t~s de Xp, on dolt avoir

(4.7) A~ w (x, t) + Dt 2 w (x, t) --- 0 ,

(4.8) w (x, O) = f (x) , D t w (x, O) -= O .

Et les deux prob]~mes sont dquivalents: si w est solution du deu- xi~me prob]Sme, alors

(4.9) u (x, t) = (~PC'p) t w (x, t) .

Mais le probl~me (4.7), (4.8) est un probl~me de CAUCHu usuel, pour un op~rateur hyperbolique du deuxi~me ordre; donc w existe et est unique et par cons4quent:

Thdor~me 4.1.

S i p : / : - 1, - - 2 , ..., et si (4.2) a lieu, le probldme (4.3), (4.4),

(4.5) admet une solution unique, ddpendant con t indment de f . L a solut ion est donnde par (4.9).

Remarques diverses.

1) La m~thode ~i dessus vaut ~ga]ement pour des probl~mes mixtes comme dans [7].

2) On peut plus g~n~ralement consid~rer des op~ratettrs A de la forme (4.1) mais s coefficients d@endant de x et de t. La m~thode ~i dessus s 'adapte encore s ce cas, mais les d~tails sont beaucoup plus compliqu~s. Cf. [8], [10].

3) On peut par des m~thodes essentiellement diff~rentes consi- d~rer des probl~mes quasi lin~aires avec singu]arit~. Nous y revien- drons. Cf. d~ja [9].

(~) Ceci prend une forme plus precise en utilisant les produits tensoriets topologiques de Grothendieck, comme dans [7].

OP]~RATEURS DE TRANSMUTATIOI~ SING, U'LIERS ET EQUATIONS D'EULER, ECC. 131

5. INT]~GRATION FRACTIONNAIRE. - - O n d~signe par 9 o' l'espace des distributions sur ]a droite R~ k snpport dans x _ 0. On pose:

1 - (x~-l) Y F(~) P ] " ~>o, ~ R non entier _<0,

Y = 3~-=~ si ~ est un entier n~gatif, =~-'~ d~signant la d~riv~e d'or- dre ~ de la masse de DIRAC 3 k l'origine.

La fonction = -+ Y est enti~re ~ valeurs dans 9 o' (cf. [15]). 0n ddsigne par J l'op~rateur de composition par Y ; la fonction a - + J= est enti~re ~ valeurs dans Z~(9o'; 9o~), et vdrifie J . JB = J=+p, D J = Jo-1.

Ddsignons maintenant par 9 o l'espace des fonctions inddfmiment diff~rentiables sur R~, s support dans x > 0 (ou bien, en prolongeant par parit4, le sous espace de ~ , form~ des fonctions dont routes los ddriv~es sont nulles s l'origine). S i f E 9 o, Y~. f e s t dans 90, de sorte que ~--+ J est ~galement une fonction enti~re k valeurs dans A~ (9o; 90). On pose maintenant:

(5.1) K , -- ~ J2o Xp, p . - - 1 , - - 2 , . . .

Les op6rateurs Xp et ocFp appliquent 9 o sur luJ m~me, de sorte que la formule (5.1) d~fmit K E g ~ (~o; 90)- On a l e

Thdor~me 5.1.

La fonction o~-+-K est enti~re a valeurs clans gY (90; 9o). On a:

K . K ~ = K ~ + ~ ; M ~ K = K _ ~ .

La v6rification est imm6diate. Ce th6or6me compl6te les indications de HILLE-PHILLIPS [5 bis]

p. 672. On a des g6ndralisations analogues en ce qui concerne les intd-

grales de M. RIESZ.

6. PROP~I]~T~ ASYMPTOTIQUE DE ~p. -- On se propose dans ce N ~ de montrer le

Thdor~me 6.1.

Lorsque Re p - + § oo, 2)Cpf (x)---+ f (0) unifarmdment sur tout com- pact.

Dgmonstration. - - On utilise la d~finition de r donn~e au N ~ 3. Soit done u (x, y) = up (x, y) la solution de (3.1), (3.2), (3.3). Soit a et b deux nombres positifs fixes arbitrairement, a > b. On consid~re

132 J . L . rzO~S

(cf. fig. 1) le point A = (0, a), le point B d'abcisse b, tel que la pente de BA soit - - 1; A' et B ' sont les points symm4triques de A et B par rap- port b, l 'axe des x. 0 n d6signe par ~2 l 'ouvert contenu s l 'intdrieur du

trapeze AA'BB ' , par 5~ sa fronti~re. On rappelle l'identit~

(6.1) 2Re ~ ( b~u 5"~u) - 6x ~ bx 2 by z

b 5

- ~ (1 ~]~ + t~,~J ~) ~y (~,~ ~ + ~,~ ~).

Posons

Multiplions (3.1) par ~ , prenons deux lois la pattie r~elle; utilisant (6.1), on obtient:

8a a

+ 2 R e f n (x) u g. dxdy = O. .Q

Soit ~ l'ordoml~e de B. On a: Q

> (1 ~. + I~,1 ~) dy I/' (Y)] ~ d~ Oa - - ~ -.-a

de sorte que I'on d4duit de (6.2)

f f (6 .3) ([u.l~+lu~l~)dy+2(2Re~+l) x-llu~12dxdy+

l ] s - - a

Pour x ~ [0, b], In(x) l_< cl (constante d~pendant de b), ~de sorte q u e

j f f I n u u ~ d x d y l g c ' , l u l ~ d x d y + c ~ lull ~dxdy" ~2 12 ~2

Mais

0 ~ - - a

A B

0

A

OP~RATEURS DE TR~TSMUTATIOtff SXNGULIERS ET ]~UATIONS D~EULER, ECC. 133

de sorte que l 'on d~duit finalement de (6.3): a

r

_< c~f (I/I 2 + IS' I~) ay. - - a

Les constantes c~ et c 5 d~pendent de b. Mais, pour x E [0, b], on a: (4 Re p § 2) x - 1 - c 4 > x -1 Re p pour

Re p assez grand. On obtient donc:

j j~ "(lu~ + + :p tu~12exd~_< (6.4) ]2 ]uvl2) dy Re x -~

(~ = b) a j. _<c 6 (If(y)] 2 + ] f ' ( y )12)dy=c , .

- - Q

I1 r4sulte de (6.4) que

(6.5) x -~/2 u~--~ 0 dans L~(~2) lorsque Re:p-~ ~ .

I1 r~sulte de l~:

f ( u (b, y) - - f (y) 12 dy--~, O lorsque Re :p-~ + (6.6) 0O.

Notons maintenant que D~ u (x, y), r entier quelconque, v~rifie des 4quations analogues ~ u (x, y), off il suffit de remplacer f (y ) par f'*' (y).

Par consequent:

(6.7) ~ I D2,~u (b, y) - - f ~) (y) ]~ -~ 0 lorsque Re:p--+ + OO.

Ceci signifie que u (b, y) - ->f (y) dans l'espace ~ , (R~) lorsque Re :p -+-t- ~ , et d'apr~s les majorations faites plus haut, unfform~ment lorsque b parcourt un compact de R.

Donc:

(6.8) ~ ) u (x, y)---~ f (y) lorsque Re:p---> + co, dans ~ , (R~), lmifor- m6ment pour x dans un compact.

t 34 J . L . Lm~CS

En particulier, u (x, 0)-->f(0) uniform~ment pour x duns un compact. Comme u (x, 0 ) = r ceci d~montre la Th4or~me.

Remarque 6.1. - - Une lois le r6sultat precedent obtenu il est bien naturel de se demander si (3.5), (3.6), (3.7) permet un ra isonnement analogue. Or on constate que le raisonnement pr6c~dent ne donne aucun r~sultat. Consid~rons alors le cas particu]ier o~ M~ --- Lp est donn~ par (2.2). On v~rifie facilement que

(6.9) Bpx 2 = 2 ( p § 1)x 2.

Lorsque Re p- , - + c~, ceci ne t end pus vers O, donc: l'analogue du thdar~me 6.1 n'est pas vrai pour Xp.

Appliquons main tenant le Th~or~me 6.1 au probl~me de CAucI{Y du N ~ 4. On a, d'apr~s (4.9) et le Th~or~me 6.1 le

Thdar~me 6.2.

Si Re p--)- § ~ , u (x, t)--)-]" (x) dans $ (R~n), uniformdment pour t clans un compact.

Dans le cas particulier oh A = - - A, Mp -- L~, mais avec la seule hypoth~se ((f continue )), ce th~or~me est dfi ~ WEI~STEIN [17].

Remarque 6.2. - - Le Th~or~me 6.1 signifie en termes de noyaux que ~t~ (x, y) -~ ~ dans l'espace des distributions ~ support compact en y, soit 8~', uniform~ment pour x duns un compact. Soit r l 'espace des transformes de FOURIER de $~'; on rappelle que cet espace coincide avec l 'espace des fonctions enti~res de type exponentiel, s croissance polynomiale sur l 'axe r~el. Soit donc

O O J' j 'exp ( - - i s y) (x, y) dy = 2 cos (s y) (x, y) dy 2C,, o

la transform~e de FOURIER de ~)Cp (x, y). D'apr~s le N ~ 2 cette fonction est 0 (x, s); par consequent:

si Re p- - ) -+ cr 0 (x, s) tend vers 1 dans l'espace r uniformd- ment pour x dans un compact.

7. T R A N S F O R M A T I O ~ DE ~'~ANKEL GI~.NI~.RALIS]~E. - - O n d6signe p a r

8 , l 'espace des fonctions de ~ , qui sont ~ d6croissance rapide. (Cf. [15]. Si l 'on pose

(7.1) C f ( y ) = ~ - . cos (xy) f ( x ) dx , 0

OP~RATEURS DE TRANSMUT&TIOI~ 8I~GULIERS ET EQUATIONS D'EULER, ECO, 135

o n a :

'COS C f ~ S , E et f (x) ~- (x y) C f (y) dy.

o

Ddfinition 7.1. - - On d6signe par E ( M ) l'espace ~p (r162 muni de la topologie transport6e par ~p.

Si f E E ( M p ) , ona: f = il)Ep (g), g E S , , de sorte que X , f E S , ; on peut donc consid6rer l 'op6mteur

(7.2) Hp = C X ;

H, est un op6rateur Iin6aire continu de E (Mp) dans e , , et c'est mSme un isomorphisme d'inverse

(7.3) = 2c , c .

Notons maintenant que M.~ est un op6rateur lin6aire continu de E ( M ) dans lui mSme; en effet, si f = r (g) E E (M~), g E S, , on a Mp f = ~v D = g ~ E (M~) car D = g E ~*, d'ofi le r6sultat.

Notons maintenant le

Thdardme 7.1.

Pour tout f E E (Mp), p V= - - 1, - - 2, ..., on a:

(7.4) Hp M~ f = - - x ~ Hp f .

La v6rification est imm6diate.

Ddfinition 7.2. - - La transformation f--> Hp f est dire transforma~ tion de-HANKEL g6n6ralis6e, attach6e ~ M,.

Probt~me non rdsotu. - - Caract6riser Hp directement k partir de p, m (x) et n (x).

On v6rifie facilement ceci: si l 'on pose

0 o

o n a :

j"=, H, (x, y) = 2 (4, y) cos (x !) d~,

Y

\/--2 i (x, y) = 2 (x, ~) cos (y ~.) d~ . 0

136 J .L. LIONS

Exemple:

si M = L~ (i. e. = m = n = 0), on trouve:

1 Hp (x, y) - F (p + f) 2-~-~I2 V' -~ (x yF +~ Jp (xy) ,

1 I-I (x, y) -- . V / ~ 2 ~+lle F (29 + 1) (x y)-P Jp (xy) .

Ce sont les noyaux de la t ransformat ion de HAI~KEL usuelle.

8. U N Tg]~OREME D'APPROXIMATION. - - O n s u p p o s e toujours q u e

p :/ :--- 1, - - 2 , ....

Dans l 'espaee 8 , , les fonctions x 2~, m = 0, 1, ..., forment une b~se. I1 en est done de re@me du syst@me

(8.1) ~ (x~m) = ~2~-

Les fonctions '2~ sont caract6ris6es par les propri6t6s suit-antes:

(8.2) Mp ~o = 0 , ~o (0) = 1 , ~o o paire;

(8.3) M~ ,~m = 2 m (2 m - - 1) ~ _ ~ , m >__ 1, ,o~(0) = ~ ( 0 ) ] = 0.

Donc:

Thdor@me 8.1.

S i p ~ ~ 1, - - 2, ..., le syst~me de fonctions ~2,~ ddfini par les dqua- tions (8.2), (8.3), est une base de ~, .

Ce r6sultat ne semblait pas 6vident ~ priori.

9. AUTRES APPLICATIONS. - - Tout r6cemment, par utilisation, d 'une par t des op6rateurs Bp et d 'autre par t de la th6orie des fonctions moyenne p6riodiques, M. DELSARTE a d6montr6 le Th6or~me suivant: si une fonction f (disons continue) dans R ~ est @gale h ses moyennes sph@riques sur les spheres de rayon a et b, nombres positffs fix6s, alors elle est harmonique (saul peut @tre pour des couples (a, b) exception- nels, en nombre au plus fmi).

Diverses g6n6ralisations de ce Th6or~me seront donn@es dans tin article de M. DELSARTE et moi m~me:

"Moyennes gdndralisdes", Commentari i Math. Helv., (1958).

OPERATERS DE TRAI~SMUTATKOI~ SINGULIERS ET ~QUATIO17S D~EULER, ECC. 137

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