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Opérations dans N
ExErcicEs
1. On s’intéresse au quotient et au reste de la division euclidienne de 40 626 par 12. Voici quatre résultats erronés :
N° du résultat Quotient Reste1 348 82 3 384 183 3 382 64 3 383 0
Sans s’appuyer sur le calcul effectif du quotient et du reste, expliquer pourquoi ces résultats ne sont pas corrects. Pour cela, on utilisera un argument pour chacun des résultats ; ces quatre arguments doivent être de nature différente.
Correction2. a) L’égalité suivante est-elle vraie ?
b) Que pensez-vous du résultat obtenu avec une calculatrice ? Correction
3. Quel est le chiffre des dizaines de 23 567 × 4 532 334 × 825 × 160 719 × 60 092 ?Correction
4. Parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies ? (L’opération dont il est question est une multiplication ou une division).
a) Si une opération est juste alors la preuve par 9 de cette opération réussit.b) Si une opération est fausse alors la preuve par 9 de cette opération échoue.c) Si la preuve par 9 d’une opération échoue alors l’opération est fausse.d) Si la preuve par 9 d’une opération réussit alors l’opération est juste.
Correction5. Les lettres a et a’ représentent des entiers naturels.
Dans la division de a par 11, le reste est r. Dans la division de a’ par 11, le reste est r’.Déterminer le reste :a) dans la division de a + a’ par 11.b) dans la division de 3a par 11.
Correction
2
6. Soit A = 1 414 000 777 033
a) Quel est le reste de la division de A par 7 ?
b) Quel est le reste dans la division par 7 de 387A ? Et le reste de A2 ?Correction
7. a) Déterminez la base de numération de position dans laquelle .
b) Déterminer la base a (si elle existe) dans laquelle .
c) Déterminer la base b (si elle existe) dans laquelle .Correction
8. Voici comment on calcule le produit 34 × 71 selon la « technique russe ».
34 7117 142 8 284 4 568 2 1 136 1 2 272 34 × 71 = 2 272 + 142 = 2 414.
a) Calculer de la même façon le produit 86 × 213.
b) Décrire les différentes étapes de l’algorithme.
c) Montrer que cet algorithme est correct(8).Correction
9. Déterminer toutes les solutions de la multiplication à trous ci-contre. Les points sont donnés à titre indicatif : il n’est pas demandé de les utiliser tous.
Correction
8 Il s’agit de montrer, sur l’exemple de la question a), que si on exécute les différentes étapes de l’algorithme, on obtient bien le produit des nombres de la première ligne.
3
Opérations dans D, Q et R
ExErcicEs10. Ranger les trois nombres suivants du plus petit au plus grand (en justifiant la
réponse) :
Correction
11. Trois personnes se répartissent une somme qu’elles ont gagnée à une loterie. La
première reçoit les de la somme totale, la seconde les et la troisième 70 €.
Quel était le gain et combien chaque personne a-t-elle reçu ?Correction
12. Un commerçant achète un article 30 €.Ilsouhaitelerevendreavecunbénéficeégal
à du prix de vente. Calculer le prix de vente de cet article.
Correction
13. Les aiguilles d’une horloge indiquent qu’il est 3 heures. On se propose de chercher à quel instant la grande aiguille va dépasser la petite aiguille pour la première fois.On appelle x le nombre de minutes écoulées entre 3 heures et cet instant.a) Montrer par un raisonnement simple que 15 < x < 20.b) Trouver la valeur de x. Pour cela, exprimer en fonction de x la mesure de l’angle
formé par les deux aiguilles au bout de x minutes.Correction
14. CRPE Besançon 1997.On donne les nombres rationnels suivants :
et
.
Les nombres A, B et A + B sont-ils des nombres décimaux ?
Correction15. On considère deux nombres décimaux a et b tels que 3,185 < a < 3,186 et 12,018 < b < 12,019.
a) Trouver un encadrement décimal pour chacun des nombres suivants :
S = a + b ; P = a × b ; D = b – a ;
.
b) Donner pour chacun des nombres S, P, D et Q, le début de son écriture à virgule, avec le maximum de chiffres dont on peut être sûr.
Correction
4
16. a) Trouver la troncature à 10−4 près et le reste d’ordre 4 de 333 divisé par 106.b) Trouver la troncature à 10−4 près et le reste d’ordre 4 de 355 divisé par 113.
c) Comparer les nombres rationnels
et
sans utiliser les réponses aux questions précédentes.
Correction
17. Écrire le nombre suivant sans radical au dénominateur :
.
Correction18. Prouver que .
Correction
19. Écrire lesnombres suivantsennotationscientifique«10chiffres» (cf.§3.a)eneffectuant un arrondi sur le dixième chiffre :
x = 0,000 000 000 000 000 065 489 687 51y = 0,000 000 521 459 999 962 3z = 985 750 003 000 000 t = 778 542 654 251 660w = 0,000 789 655 000 034
Correction
20. a) Lorsqu’on tape « 97,453 × 5,925 », une calculatrice « 10 chiffres » affiche 577, 409 025. Est-ce une valeur exacte du résultat ? Argumenter.
b) Lorsqu’on tape « 97,453 1 ×5,9258»,unecalculatriceaffiche577,48758.Cerésultatest-ilunevaleurexacte?Vérifierparuncalcul.
Correction21. Chercher l’écriture à virgule illimitée de
. Pour cela, utiliser la technique
opératoire de la division et une calculatrice.
Correction22. a) Calculer
; trouver la troncature à 10−7 près de ce nombre.
b) Calculer
; trouver la troncature à 10−7
près de ce nombre.
c) Calculer
; trouver la troncature à 10−7
près de ce nombre.
d) Comparer π et ,obtenusavecunecalculatriceaffichant10chiffres,avecC.Correction
23.
a) Écrire sous forme fractionnaire les nombres ci-dessous :
5
b) Calculer les troncatures à 10-3 près de A , B, ,
.
c) Comparer π avec chacun des nombres A, B, C’, D’.Correction
6
calcul littéral
24. Simplifierl’expression2x(x – 1) + 3 (x – 1)2 – (x2 – 1). Correction25. Résoudre l’équation 2(x + 1)(2x – 1) – 4x(x + 3) = 0.
Correction26. a)Vérifierleségalitéssuivantes,puisdégagerunerèglegénérale.
22 – 12 = 2 + 132 – 22 = 3 + 242 – 32 = 4 + 3.
b) Démontrer la règle.c) Écrire 2003 sous la forme de la différence de deux carrés.
Correction27. a) Montrer que l’expression x2 – 2x + 2 peut s’écrire sous la forme (x – 1)2 + 1.
En déduire que l’équation x2 – 2x + 2 = 0 n’admet pas de solution dans R.b) Factoriser l’expression (x2 + 1)2 – (2x – 1)2.c) Déterminer toutes les solutions de l’équation (x2 + 1)2 – (2x – 1)2 = 0
Correction28. a) Un élève dit : « Moi, je sais comment calculer le carré des nombres de 2 chiffres
qui se terminent par 5. Par exemple pour 652 on prend le 6, on le multiplie par 7, ça fait 42, le carré de 65 ça fait 4225 ».- Vérifierlebien-fondédecetteprocédureendéveloppant(60+5)2.- Formuler cette procédure dans le cas général (on ne demande pas de
démonstration).- Utiliser cette procédure pour le calcul de 352.
b) Soit n un nombre naturel, prouver que (n + 1)2 = n2 + n + (n + 1). Compléter la phrase suivante : « Pour passer du carré d’un nombre entier à celui du nombre suivant… ».Utiliser cette procédure pour le calcul de 1012 et 362.
Correction29. Soit n un nombre entier naturel non nul. Si au carré de n on ajoute les carrés des
deux entiers précédant n et l’on retranche les carrés des deux entiers suivant n, on obtient 0. Trouver n.
Correction30. Déterminer les années de naissance et de décès de Dürer sachant que leur somme est
égale à 2 999 et que la différence de leurs carrés est égale à 170 943.Correction
7
31. Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = x et AC = 8 − 2x. Montrer que l’aire de ABC est égale à 4 – (x – 2)2. En déduire la valeur de x pour laquelle l’aire du triangle est la plus grande.
Correction32. La lettre p représente un nombre strictement positif donné et ABCD est un rectangle
dont le périmètre exprimé en centimètres est 2p.On nomme a la mesure exprimée en centimètres de l’un des côtés du rectangle ABCD.
a) Montrer que l’aire S du rectangle ABCD, exprimée en centimètres carrés, est
b) Démontrer que parmi tous les rectangles de périmètre 2p, le carré de côté
est
celui dont l’aire est la plus grande.Correction
33. On souhaite résoudre l’équation x2 + 6x – 36 = 0 (1).
a) Développer (x + 3)2.
b) En déduire que x est solution de l’équation (1) si et seulement si
c) Donner toutes les solutions de l’équation (1).Correction
34. Trouver tous les entiers naturels x et yvérifiant
Correction35. Trouver tous les nombres entiers naturels u et v tels que u2 – v2 = 28.
Correction36. a) Développer les expressions suivantes :
(1 – x)(1 + x)(1 – x)(1 + x + x2)(1 – x)(1 + x + x2 + x3).
b)Dégagerunerèglegénérale.Vérifiersurunexemple.
c) Utiliser l’identité remarquable établie à la question précédente pour résoudre le problème suivant.
Une personne place 1000 €, tous les ans, à la même date, pendant cinq ans, au taux de 3,5 % l’an. À la date anniversaire du dépôt, les intérêts acquis pendant l’année sont ajoutés au capital et deviennent porteurs d’intérêt. Combien cette personne possèdera-t-elle au bout de 5 ans ?
Correction
26. a) 22 – 12 = 2 + 1 car 4 − 1 = 3 = 2 +1.32 – 22 = 3 + 2 car 9 − 4 = 5 = 3 + 2.42 – 32 = 4 + 3 car 16 − 9 = 7 = 4 + 3.
Il se dégage la règle suivante.Pour tout entier naturel n, (n + 1)2 – n2 = (n + 1) + n.
b) En utilisant une identité remarquable on obtient(n + 1)2 – n2 = n2 + 2 × n × 1 + 12 – n2 = n2 + 2n + 1 – n2
= 2n + 1 = (n + 1) + n.
c) Ilsuffitd’écrire2003commesommededeuxnombresconsécutifs,etd’appliquerlarègleprécédente.2003=1002+1001=(1001+1)+1001=(1001+1)2–10012.Soit2003=10022–10012.
13. a) La grande aiguille dépasse la petite aiguille entre 3 h et 4 h (bornes exclues), à cet instant la petite aiguille se trouve nécessairement entre le repère 3 et le repère 4, et la grande aiguille aussi. Donc le nombre de minutes écoulées entre 3 h et le moment où les aiguilles se rencontrent est compris strictement entre 15 et 20 donc 15 < x < 20.
b) Entre 3 h et 4 h, en 60 min, la petite aiguille
balaie un angle de Donc en
1 min elle balaie un angle de
degré. En 60 minutes la grande aiguille balaie un angle de 360°, donc en 1 min
elle balaie un angle de degrés.
En une minute, la grande aiguille gagne
degrés sur la petite aiguille.
À 3 h l’angle formé par les deux aiguilles est de 90°.Au bout de x minutes, l’angle des deux aiguilles sera égal à
.
Les deux aiguilles se rencontrent lorsque cet angle devient nul, soit après un nombre x de minutes tel que
.
Soit .
Or
Convertissons
en secondes :
.
Les aiguilles se rencontreront à environ 3 h 16 min 21,82 s.
4. a) Si une opération est juste alors la preuve par 9 de cette opération réussit. Vrai.b) Si une opération est fausse alors la preuve par 9 de cette opération échoue. Faux.c) Si la preuve par 9 d’une opération échoue alors l’opération est fausse. Vrai.d) Si la preuve par 9 d’une opération réussit alors l’opération est juste. Faux.
18. Par définition de la racine carrée, dire que la racine de est égale à
équivaut à dire que . Or
On a donc bien .
Et par suite .
17.
30. Soit n l’année de naissance et m l’année de décès de Dürer.
n + m = 2 999m2 – n2 = 170 943On a donc(m – n)(m + n) = 170 943.D’où (m – n) × 2 999 = 170 943
m et n sont solutions du système :m + n = 2 999m – n = 57
En ajoutant membre à membre les deux égalités, on obtient :m + n + m – n = 2 999 + 57.Donc 2m = 3 056m = 1 528 et n = 2 999 − 1528 = 1471.Vérification : 1 528 + 1 471 = 2 999 1 5282 – 1 4712 = 170 943
• Conclusion Dürer est né en 1471. Il est mort en 1528.
12. Soit p le prix de vente. Le prix de vente est égal au prix d’achat (30 ), augmenté du
bénéfice ( du prix de vente). On a donc .
Soit .
En multipliant les deux membres par l’inverse de
on obtient
soit
.
Donc finalement p = 42 €.
25. Soit l’équation :2(x + 1)(2x – 1) – 4x (x + 3) = 0.
En développant le premier membre, on obtient2(x + 1) (2x – 1) – 4x(x + 3) = 4x2 + 4x – 2x – 2 – 4x2 – 12x = – 10x – 2.
L’équation est donc équivalente à –10x – 2 = 0Cette équation du premier degré admet une unique solution :
.
34.
x et y sont des diviseurs de 48. On voit facilement que x doit être strictement inférieur à 10, sinon . Donc x peut être égal à 1, 2, 3, 4, 6 ou 8.
Le plus simple est d’envisager les différents cas possibles :
* x = 1, alors y = 48 : impossible car .
* x = 2, alors y = 24 : impossible car .
* x = 3, alors y = 16 : impossible car .
* x = 4, alors y = 12 : impossible car .
* x = 6, alors y = 8 : impossible car .
* x = 8, alors y = 6 : solution car .
Le système admet donc une unique solution dans N : x = 8 et y = 6.
21.
Chercher l’écriture à virgule illimitée de
. Pour cela, utiliser la technique
opératoire de la division et une calculatrice.
Commençons l’opération « à la main » :
On a converti 1 unité en 100 centièmes, on a partagé les 100 centièmes en 17, il est resté 15 centièmes. Au lieu de les convertir en 150 millièmes en abaissant un 0,
convertissons-les en 1 500 000 000 dix-milliardièmes ( ), en abaissant huit 0, puis divisons 1 500 000 000 par 17, à la calculatrice :
1 500 000 000 ÷ 17 = 88 235 294,1…1 500 000 000 − 17 × 88 235 294 = 2.
On écrit alors 88 235 294 au quotient, et il reste 2 (dix-milliardièmes).
On répète l’opération avec le reste partiel 2 : on abaisse 8 zéros, on divise 200 000 000 par 17 (avec la calculatrice), on obtient 11 764 705 que l’on écrit au quotient, et il reste 15 (nous ne nommerons pas l’unité…).
Après ces deux étapes, on retombe sur le même reste partiel, les calculs vont se répéter indéfiniment : on abaisse 8 zéros, on divise 1 500 000 000 par 17, on obtient 88 235 294 que l’on écrit au quotient, on retranche 17 × 88 235 294, il reste 2 et ainsi de suite...L’écriture à virgule illimitée est donc périodique de période « 8823529411764705 ».
Soit
8. a)86 21343 42621 85210 1 704 5 3 408 2 6 816 1 13 632 86 × 213 = 13 632 + 3 408 + 852 + 426 = 18 318.
b) Faire deux colonnes. Au départ, écrire le multiplicateur dans la colonne de gauche et le multiplicande dans la colonne de droite. À chaque étape, écrire une nouvelle ligne obtenue à partir de la ligne précédente en divisant par 2 le nombre de gauche (division euclidienne) et en doublant le nombre de droite. Le processus s’arrête lorsqu’on obtient le nombre 1 dans la colonne de gauche. Barrer alors toutes les lignes sur lesquelles le nombre de gauche est pair. Calculer la somme des nombres (non barrés) de la colonne de droite : cette somme est égale au produit cherché.
c) Nous dirons qu’une ligne de l’algorithme est paire si le nombre de gauche est pair, nous dirons qu’elle est impaire si le nombre de gauche est impair. Reprenons l’exemple précédent.
86 21343 42621 85210 1 704 5 3 408 2 6 816 1 13 632
* Examinons le passage d’une ligne paire à la ligne qui la suit.86 × 213 = (43 × 2) × 213 = 43 × (2 × 213) = 43 × 426.Le produit des nombres situés sur une ligne paire est égal au produit des nombres de la ligne suivante (un produit ne change pas si on double l’un des facteurs et si l’on divise l’autre facteur par 2).
* Examinons maintenant le passage d’une ligne impaire à la ligne suivante.43 × 426 = (21 × 2 + 1) × 426 = (21 × 2) × 426 + 426 = 21 × (2 × 426) + 426 = 21 × 852 + 426Le produit des nombres situés sur une ligne impaire est égal au produit des nombres situés sur la ligne suivante augmenté du nombre de droite de la ligne impaire.
* On en déduit aussitôt : le produit de la première ligne est égal au produit de la dernière ligne augmenté des nombres de droite des lignes impaires. Ainsi86 × 213 = 1 × 13 632 + 3 408 + 852 + 426 = 18 318.Puisque la colonne de gauche se termine par 1 (la dernière ligne est une ligne impaire), on voit qu’il suffit de barrer les lignes paires et d’ajouter les nombres (non barrés) de la colonne de droite pour obtenir le produit des nombres de la première ligne.
14. a) Écrivons A sous forme irréductible.
est écrit sous forme de fraction irréductible. La décomposition en facteurs
premiers de son dénominateur ne contient pas que des puissances de 2 ou des puissances de 5, donc A n’est pas un nombre décimal. De la même façon B n’est pas
un nombre décimal car
.
b)
La décomposition en facteurs premiers du dénominateur ne contient que des puissances de 2 ou de 5, donc A + B est un nombre décimal. On obtient son écriture à virgule en complétant le dénominateur pour avoir une puissance de 10 :
27. a) Soit l’équation x2 – 2x + 2 = 0.x2 – 2x + 2 = x2 – 2 × x × 1 + 12 + 1 = (x – 1)2 + 1.Or pour tout x réel, on a (x – 1)2 0.Donc (x – 1)2 + 1 > 0.Et par suite : (x – 1)2 + 1 ≠ 0 soit x2 – 2x + 2 ≠ 0.Cette équation n’admet donc pas de solution dans R.
b) Soit l’expression (x2 + 1)2 – (2x – 1)2.(x2 + 1)2 – (2x – 1)2 = [(x2 + 1) + (2x – 1)][(x2 + 1) – (2x – 1)]
= (x2 + 2x)(x2 – 2x +2) = x(x + 2)(x2 – 2x + 2).
La factorisation est terminée car on a vu à la question précédente que l’équation : x2 – 2x + 2 = 0 n’admet pas de solution dans R et que donc l’expression x2 – 2x + 2 ne peut pas se factoriser.
c) D’après la question précédente les équations (x2 + 1)2 – (2x –1)2 = 0 etx(x + 2) (x2 – 2x + 2) = 0 ont les mêmes solutions.Autrement dit, x est solution de l’équation (x2 + 1)2 – (2x –1)2 = 0 si et seulement si x = 0 ou x + 2 = 0.L’équation admet donc deux solutions : x = 0 et x = –2.
1. N° du résultat Quotient Reste
1 348 82 3 384 183 3 382 64 3 383 0
Résultat n° 1 : l’ordre de grandeur du quotient ne correspond pas.L’égalité 40 626 = 12 × 348 + 8 est fausse car 12 × 348 + 8 est de l’ordre de 3 000 alors que l’ordre de grandeur de 40 626 est de 40 000.
Résultat n° 2 : le reste est trop grand.Le reste doit être inférieur à 12 (le diviseur), donc le reste ne peut pas être égal à 18.
Résultat n° 3 : les chiffres des unités du quotient et du reste ne conviennent pas.Le chiffre des unités de 12 × 3 382 est égal au chiffre des unités de 2 × 2, soit 4 ; le chiffre des unités de 12 × 3 382 + 6 est égal au chiffre des unités de 4 + 6, soit 0. L’égalité 40 626 = 12 × 3 382 + 6 est fausse car le chiffre des unités de 12 × 3 382 + 6 est différent du chiffre des unités de 40 626.
Résultat n° 4 : 40 626 n’est pas multiple de 12.Si le reste était nul, 40 626 serait multiple de 12, donc multiple de 4. Le nombre formé avec ses deux derniers chiffres serait alors multiple de 4 (critère de divisibilité par 4), or 26 n’est pas multiple de 4 (4 × 6 < 26 < 4 × 7).
5. Cet exercice du concours porte sur le calcul du reste d’une somme et du reste d’un produit. a) Dans la division de a par 11, le reste est r. Dans la division de a’ par 11, le reste est r’.
Si on appelle q le quotient de la division de a par 11, et q’ le quotient de la division de a’ par 11, on aa = 11q + r avec r < 11.a’ = 11q’ + r’ avec r’ < 11.Donc a + a’ = 11q + r + 11q’ + r = 11 (q + q’) + r + r’.Le reste de la division de a + a’ par 11 n’est pas nécessairement r + r’ car r + r’ peut être supérieur ou égal à 11. Mais r et r’ étant inférieurs ou égaux à 10, r + r’ est inférieur ou égal à 20. Deux cas peuvent se produire :
- ou bien r + r’ < 11, dans ce cas le reste de la division de a + a’ par 11 est égal à r + r’,
- ou bien 11 r + r’ 20, dans ce cas retranchons 11 à r + r’ et ajoutons 11 à 11(q + q’).
L’égalité devient :a + a’ = 11 (q + q’) + 11 + r + r’ – 11 = 11 (q + q’ + 1) + r + r’ – 11.Or 11 − 11 r + r’− 11 20 − 11 soit 0 r + r’ − 11 9.Donc dans ce cas r + r’ − 11 est le reste de la division de a + a’ par 11 .En résumé :
- si r + r’ < 11, le reste de la division de a + a’ par 11 est r + r’,- si r + r’ 11, le reste de la division de a + a’ par 11 est r + r’ − 11.
b) Avec les même notations, on peut écrire :3a = 3 × (11q + r) = 11 × 3q + 3r avec r < 11.3r est au plus égal à 30. Distinguons trois cas.
- Si 0 r 3, alors 0 3r 9, donc a fortiori 0 3r < 11. Le reste de la division de 3a par 11 est égal à 3r.
- Si 4 r 7, alors 12 3r 21. En retranchant 11 à 3r et ajoutant 11 à 11 × 3q, l’égalité devient :
3a = 11 × 3q + 11 + 3r – 11 = 11 × (3q + 1) + 3r – 11. Or 12 – 11 3r – 11 21 – 11 soit 1 3r – 11 10. Donc 3r – 11 est le reste de la division de 3a par 11.
- Si 8 r 10, alors 24 3r 30. En retranchant 11 × 2 à 3r, et ajoutant 11 × 2 à 11 × 3q, l’égalité devient :
3a = 11 × 3q + 11 × 2 + 3r – 11 × 2 = 11 (3q + 2) + 3r – 11 × 2. Or 24 – 11 × 2 3r – 11 × 2 30 – 11 × 2 soit 2 3r – 11 × 2 8.
Donc 3r – 11 × 2 est le reste de la division de 3a par 11.En résumé :
- si 0 r 3 , le reste de la division de 3a par 11 est égal à 3r,- si 4 r 7 , le reste de la division de 3a par 11 est égal à 3r − 11,- si 8 r 10 , le reste de la division de 3a par 11 est égal à 3r − 22.Remarque : dans cet exercice, on ne pouvait pas se contenter de dire que le reste de la division de a + a’ par 11 est égal au reste de la division de r + r’ par 11, ou que le reste de 3a dans la division par 11 est égal au reste de la division de 3r par 11. Il fallait donner un procédé de calcul plus précis.
31.
4 – (x – 2)2 = 4 – (x2 – 4x + 4) = – x2 + 4x = 4x – x2.On a donc bien Aire(ABC) = 4 – (x – 2)2.L’aire est donc maximale lorsque (x – 2)2 est minimal, c’est-à-dire lorsque (x – 2)2 est nul, c’est-à-dire pour x = 2.
9.
b est un chiffre dont le carré se termine par b. On a donc nécessairement b = 1 ou b = 5 ou b = 6.Envisageons les différents cas.1er cas : b = 1. En appliquant l’algorithme de la multiplication, on constate (colonne des dizaines) que a + a doit avoir pour chiffre des unités a, ce qui n’est pas possible (cf. tables d’addition) puisque a est non nul (le nombre cherché doit avoir deux chiffres).
2e cas : b = 5. De la même façon, on constate (colonne des dizaines) que 5a + 2 + 5a, soit10a + 2 doit avoir pour chiffre des unités a. Mais 10a + 2 est la décomposition du nombre qui a pour chiffre des dizaines a, et pour chiffre des unités 2. En conséquence a est nécessairement égal à 2.
3e cas : b = 6. De la même façon, on constate (colonne des dizaines) que 6a + 3 + 6a, soit 12a +3 doit avoir pour chiffre des unités a. On essaie mentalement toutes les valeurs possibles de a. Par exemple a = 1 ne convient pas parce 12 × 1 + 3 a pour chiffre des unités 5, et non 1. On constate que seul a = 7 vérifie cette contrainte, car le chiffre des unités de 12 × 7 + 3 (= 87) est égal à 7. En conséquence, a est nécessairement égal à 7.
En résumé, si le problème admet une solution c’est : - soit a = 2 et b = 5 ; - soit a = 7 et b = 6.
Vérifions que les deux couples trouvés sont bien solution du problème.
Conclusion : le problème admet deux solutions.
22.
a)
La calculatrice « 10 chiffres » affiche 3,166 666 667.La troncature de A à 10–7 près est donc 3,166 666 6.
b)
La calculatrice « 10 chiffres » affiche 3,162 280 702.La troncature de B à 10–7 près est donc 3,162 280 7.
c)
La calculatrice « 10 chiffres » affiche 3,162 277 66.La troncature à 10–7 près est 3,162 277 6.Remarque : il n’aurait pas été possible de déterminer la troncature à 10–8 près à partir du résultat affiché (on n’a pas le droit d’utiliser le dernier chiffre affiché pour trouver la troncature).
d) Comparons π, et C à partir de leurs troncatures à 10–7 près obtenues à l’aide de la calculatrice.
Nombre Affichage calculatrice Troncature à 10–7 prèsπ 3,141 592 654 3,141 592 6
3,162 277 66 3,162 277 6
C (rappel) 3,162 277 66 3,162 277 6
• On voit que C est une valeur approchée de et de π. Calculons l’écart entre ces valeurs.3,162 277 6 < C < 3,162 277 7
Donc Donc .
On ne peut pas dire si l’écart entre C et est positif ou négatif, c’est-à-dire si C est supérieur ou inférieur à , mais on sait que cet écart ne dépasse pas 10–7 (= 0,000 000 1) en valeur absolue. C est une valeur approchée à 10–7 près de .
• 3,162 277 6 < C < 3,162 277 73,141 592 6 < π < 3,141 592 7Donc 3,162 277 6 – 3,141 592 7 < C – π < 3,162 277 7 – 3,141 592 6Donc 0,020 684 9 < C – π < 0,020 685 1.Et donc 0 < C – π < 0,03.
C est plus grand que π et la différence entre C et π est inférieure à
. C est une valeur
approchée de π à
près par excès.
35. Puisque u2 – v2 = (u – v)(u + v), chercher les nombres vérifiant u2 – v2 = 28, revient à
chercher les nombres vérifiant (u – v)(u + v) = 28. Donc u – v et u + v sont des entiers positifs, diviseurs de 28.
Comme u et v sont des entiers naturels, u + v u – v.
Résoudre le problème revient donc à déterminer tous les couples d’entiers naturels a et b tels que : a × b = 28 et a b.
Il faut ensuite, pour tous les couples solutions, résoudre le système u – v = au + v = b
En nous aidant de la décomposition en facteurs premiers de 28, soit 22 × 7, on obtient les trois décompositions suivantes :28 = 1 × 28 28 = 2 × 14 28 = 4 × 7
Il faut donc résoudre les trois systèmes suivants :u – v = 1u + v = 28
u – v = 2u + v = 14
u – v = 4u + v = 7
Le premier système n’admet pas de solution dans N, car en ajoutant les deux équations membre à membre on obtient 2u = 29, soit u = 14,5.
Le dernier système non plus car en ajoutant membre à membre les deux équations on obtient 2u = 11, soit u = 5,5.
En revanche, en ajoutant membre à membre les deux équations du deuxième système, on obtient 2u = 16, soit u = 8, et donc v = 14 – 8 = 6.
En résumé, s’il existe des entiers u et v tels que u2 – v2 = 28, ce sont nécessairement u = 8 et v = 6.
Inversement, on vérifie facilement que 8 et 6 sont bien solutions de l’équation puisque : 82 – 62 = 64 – 36 = 28.
Le problème admet donc une unique solution : u = 8 et v = 6.
7. a) S’il existe une base a dans laquelle a vérifie 8a + 2 = 3 × (2a + 8).Soit : 8a + 2 = 6a + 24 8a – 6a = 24 – 2 2a = 22 a = 11.Vérifions que l’égalité est vraie en base onze. En base onze,
On a bien puisque 90 = 3 × 30.
b) Pour déterminer la base a dans laquelle , il est plus rapide de raisonner comme à l’exercice précédent. Si cette égalité est vraie, en base a on a
Or 3 + 2 est nécessairement égal à cinq. La seule base dans laquelle cinq s’écrit
est la base quatre. Donc a est nécessairement égal à quatre.
Vérifions que l’égalité est vraie en base quatre
On a bien 23 = 9 + 14.
c) Déterminer la base b (si elle existe) dans laquelle : .S’il existait une telle base, on aurait dans cette base , or 6 + 2 représente la quantité huit, et la seule base dans laquelle représente huit est la base cinq. Or cette égalité ne peut pas être écrite en base cinq puisque le chiffre 6 y est utilisé. Donc il n’existe pas de base b dans laquelle .
32. a)
Si a est la mesure d’un côté et p le demi-périmètre, la mesure de l’autre côté du rectangle est égale à p − a, et l’aire S du rectangle est égale àS = a(p − a).
Factorisons l’expression de l’énoncé :
Donc
b) Les rectangles de périmètre 2p ont pour demi-périmètre p. D’après la question précédente leur aire S vérifie :
(a désigne la mesure de l’un des côtés).
Leur aire est maximale lorsque
est minimal. Cette quantité positive est
minimale lorsqu’elle est nulle, c’est-à-dire lorsque
. Dans ce cas, l’autre
côté du rectangle est aussi égal à
Parmi les rectangles de périmètre 2p, le rectangle d’aire maximale est le carré
de côté
28. a) (60 + 5)2 = (6 × 10 + 5)2 = (6 × 10)2 + 2 × 6 × 10 × 5 + 52
= 62 × 100 + 6 × 100 + 25 = (62 + 6) × 100 + 25 = 6 × (6 + 1) × 100 + 25 = 6 × 7 × 100 + 25 = 4 225
• Pour calculer le carré d’un nombre à deux chiffres s’écrivant , calculer a × (a + 1) puis, à la droite de l’écriture de ce résultat, écrire les chiffres 25, le nombre écrit est le carré cherché.
• 352 = ?3 × (3 + 1) = 12 donc 352 = 1 225.
b) Soit n un nombre naturel.(n + 1)2 = n2 + 2n + 1 = n2 + n + (n + 1).
• Pour passer du carré d’un nombre entier à celui du nombre suivant, il suffitd’ajouter à ce carré le nombre lui-même, puis son suivant.
• 1012 = 1002 + 100 + 101 = 10 201.362 = 352 + 35 + 36 = 1 225 + 35 + 36 = 1 296.
15. a) Appliquons les règles d’encadrement du §1.a. (elles sont valables pour les décimaux positifs).
* 3,185 + 12,018 < S < 3,186 + 12,019 soit 15,203 < S < 15,205.* 3,185 × 12,018 < P < 3,186 × 12,019 soit 38,277 33 < P < 38,292 534.* 12,018 – 3,186 < D < 12,019 – 3,185 soit 8,832 < D < 8,834.
*
Si on effectue la division à la main en allant jusqu’à la quatrième décimale, on obtient :
On en déduit
Et donc 3,772 1 < Q < 3,773 7.
b) S = 15,20… (la décimale suivante peut être 3 ou 4). P = 38,2… (on ne sait pas si la décimale suivante est 7, 8 ou 9). D = 8,83… (on ne sait pas si la décimale suivante est 2 ou 3). Q = 3,77… (on ne sait pas si la décimale suivante est 2 ou 3).
2. a) Si l’égalité suivante était vraie
on aurait (produit en croix) :54 608 393 × 3 166 815 962 = 38 613 965 × 4 478 554 083.
Or le chiffre des unités du premier produit est égal au chiffre des unités de 3 × 2, soit 6, et le chiffre des unités du second produit est égal au chiffre des unités de 5 × 3, soit 5.
Ces deux nombres ne peuvent pas être égaux puisque leurs chiffres des unités sont différents. Il en résulte que l’égalité est fausse.
b) Une calculatrice 10 chiffres de type « Collège » donne :
Dans les deux cas la calculatrice affiche l’arrondi à la 9e décimale. L’égalité des valeurs approchées des deux quotients ne permet d’affirmer ni que ces quotients sont égaux ni qu’ils sont différents.
29. Les deux entiers précédant n sont n − 1 et n − 2. Les deux entiers suivant n sont n + 1 et n + 2.
Si n satisfait les contraintes de l’énoncé, alors :n2 + (n – 1)2 + (n – 2)2 – (n + 1)2 – (n + 2)2 = 0n2 + n2 – 2n + 1 + n2 – 4n + 4 – n2 – 2n – 1 – n2 – 4n – 4 = 0n2 – 12n = 0n(n – 12) = 0.Donc n = 0 ou n = 12.n étant supérieur ou égal à 2, le nombre cherché est n = 12.Vérification (non indispensable)122 + 112 + 102 – 132 – 142 = 144 + 121 + 100 – 169 – 196 = 365 – 365 = 0.
23. a)
•
•
•
•
b) Nombre Affichage calculatrice Troncature à 10−3 près
2,976 046 176 2,976
3,142 225 032 3,142
2,963 387 701 2,963
3,395 238 095 3,395
c) Calculons l’écart entre π et les nombres A, B, C’, D’. La troncature de π à 10–3 près est 3,141.
• 2,976 < A < 2,9773,141 < π < 3,142.Donc 3,141 – 2,977 < π – A < 3,142 – 2,976. Soit 0,164 < π – A < 0,166.
Et a fortiori
.
A est inférieur à π et l’écart entre π et A est inférieur à
. A est une valeur
approchée de π à
près par défaut.
• 3,142 < B < 3,1433,141 < π < 3,142.Donc 3,142 – 3,142 < B - π < 3,143 – 3,141. Soit 0 < B – π < 0,002.
B est supérieur à π et l’écart entre B et π est inférieur à
. B est une valeur approchée de π à
près par excès.
• 2,963 < C’ < 2,9643,141 < π < 3,142.Donc 3,141 – 2,964 < π – C’ < 3,142 – 2,963. Soit 0,177 < π – C’ < 0,179.
Et a fortiori
.
C’ est inférieur à π et l’écart entre π et C’ est inférieur à
. C’ est une valeur
approchée de π à
près par défaut.
• 3,395 < D’ < 3,3963,141 < π < 3,142.Donc 3,395 – 3,142 < D’ – π < 3,396 – 3,141. Soit 0,253 < D’ – π < 0,255.
Et a fortiori
.
D’ est supérieur à π et l’écart entre D’ et π est inférieur à
. D’ est une valeur
approchée de π à
près par excès.
6. a) A = 1 400 000 000 000 + 14 000 000 000 + 777 000 + 33 A = 14 × 1011 + 14 × 109 + 777 × 103 + 33 A = 7 × 2 × 1011 + 7 × 2 × 109 + 7 × 111 × 103 + 7 × 4 + 5
A = 7 × (2 × 1011 + 2 × 109 + 111 × 103 + 4) + 5. Comme 5 < 7, le reste de la division de A par 7 est égal à 5.
b) Le reste de la division de 387 par 7 est égal à 2 (387 = 7 × 55 + 2 et 2 < 7). Le reste de la division par 7 de A est égal à 5. Le reste de la division de 387A par 7, est égal au reste de la division de 2 × 5 par 7, soit 3 car 10 = 7 × 1 + 3.Le reste de la division de A2 par 7 est égal au reste de la division de 5 × 5 par 7, soit 4 car 25 = 7 × 3 + 4.Propriété utilisée : le reste de la division de a × b par 7, est égal au reste du produit du reste de a et du reste de b, dans la division par 7 (cf. §4).
10. Écrivons les fractions sous forme irréductible.
La décomposition en facteurs premiers permet de prouver que la fraction est irréductible.
Il reste à comparer
Pour cela prenons comme dénominateur commun le PPCM de 7, 14 et 6.
Comme 14 = 2 × 7 et 6 = 2 × 3, le PPCM de ces trois nombres est 2 × 3 × 7 = 42. En prenant le PPCM comme dénominateur commun on obtient
D’où il résulte
Et donc
36. a) (1 – x)(1 + x) = 1 – x2
(1 – x)(1 + x + x2) = 1 + x + x2 – x – x2 – x3 = 1 – x3
(1 – x)(1 + x + x2 + x3) = 1 + x + x2 + x3 – x – x2 – x3 – x4 = 1 – x4
b) (1 – x)(1 + x + x2 + … + xn) = 1 – xn+1
Vérifions pour n = 4.(1 – x)(1 + x + x2 + x3 + x4) = 1 + x + x2 + x3 + x4 – x – x2 – x3 – x4 – x5
= 1 – x5.RemarqueOn utilise souvent cette identité sous la forme (x ≠1) :
.
c) Augmenter une quantité de 3,5% revient à la multiplier par 1,035. Le premier versement à la fin de la première année devient 1 000 × 1,035 , cette somme est augmentée de 3,5% à la fin de la deuxième année et devient (1 000 × 1,035) × 1,035 = 1 000 × 1,0352. À l’issue des 5 années le 1er versement s’est transformé en un avoir de 1 000 × 1,0355 .Le 2e versement ne produit des intérêts que pendant 4 ans.
À l’issue des 5 années :- le 2e versement s’est transformé en un avoir de 1 000 × 1,0354 - le 3e versement s’est transformé en un avoir de 1 000 × 1,0353 - le 4e versement s’est transformé en un avoir de 1 000 × 1,0352 - le 5e versement s’est transformé en un avoir de 1 000 × 1,0351 .
Au bout de 5 ans la personne possèdera :1 000 × 1,0351 + 1 000 × 1,0352 + 1 000 × 1,0353 + 1 000 × 1,0354 + 1 000 × 1,0355 .Soit : 1 000 × 1,0351 (1 + 1,0351 + 1,0352 + 1,0353 + 1,0354).En appliquant l’identité remarquable de la question précédente, on peut écrire
.
La somme possédée est donc égale à
.
33. a) (x + 3)2 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = x2 + 6x + 9.
b) x2 + 6x − 36 = x2 + 6x + 9 − 45 = (x + 3)2 − 45
x est solution de l’équation (1) si et seulement si
Donc .Donc .
c) L’équation (1) admet deux solutions :
19. Pour x, la calculatrice donne 6,548 968 751 × 10–17. Pour y, la calculatrice donne 5,214 600 000 × 10–7 = 5,214 6 × 10–7. Pour z, la calculatrice donne 9,857 500 030 × 1014 = 9,857 500 03 × 1014. Pour t, la calculatrice donne 7,785 426 543 × 1014. Pour w, la calculatrice donne 7,896 550 000 × 10–4 = 7,896 55 × 10–4.
3. Déterminons les deux derniers chiffres de 23 567 × 4 532 334 × 825 × 160 719 × 60 092. On effectue le produit de proche en proche à partir de la gauche en ne retenant que les deux derniers chiffres :67 × 34 = 2 27878 × 25 = 1 95050 × 19 = 95050 × 92 = 4 600
Les deux derniers chiffres du produit 23 567 × 4 532 334 × 825 × 160 719 × 60 092 sont les mêmes que les deux derniers chiffres de 4 600. Le chiffre des dizaines de ce produit est donc 0.
Remarque : on pouvait procéder plus rapidement. Les deux derniers chiffres de 825 × 60 092 sont les mêmes que les deux derniers chiffres de 25 × 92 = 2 300, soit 00. Il en résulte que 825 × 60 092 est un multiple de 100, et par suite que le produit de l’énoncé est un multiple de 100. Son chiffre des dizaines est donc 0.
16. a) On peut utiliser la technique opératoire de la division à virgule.
La troncature à 10-4 près du quotient
est 3,141 5.
Le reste d’ordre 4 est égal à
.
b)Nousallonsutiliseruneautreméthode.Unecalculatrice«10chiffres»affiche
.
Prenons la troncature à 10-4prèsdurésultataffiché,soit3,1415.Cherchonslerested’ordre 4 en calculant à la machine 355 – 113 × 3,141 5.Lacalculatriceaffiche0,0105.Ainsi donc, si l’on avait effectué la division de 355 par 113 à la main jusqu’à la quatrième décimale, on aurait bien obtenu 3,1415 au quotient et le reste partiel serait 105.En conclusion, la troncature à 10-4 près du quotient
est égale à 3,141 5. Le reste
d’ordre 4 est égal à
.
c) Pour comparer
et
, calculons
.
.
Donc .
24. 2x(x – 1) + 3(x – 1)2 – (x2 – 1) = 2x(x – 1) + 3(x – 1)(x – 1) – (x – 1)(x + 1) = (x – 1) [2x + 3(x – 1) – (x + 1)] = (x – 1) [2x + 3x– 3 – x – 1] = (x – 1) (4x – 4) = 4(x – 1)2.
11. Soit S la somme gagnée exprimée en euros
Soit
D’où S = 3 × 70 = 210 Le gain était donc de 210 .La première personne a perçu La deuxième personne a perçu La troisième personne, on le sait, a perçu 70 .
20. a) 97 453 × 10–3 × 5 925 × 10–3 = 97 453 × 5 925 × 10–3 × 10–3 = 97 453 × 5 925 × 10–6.
Le produit de l’énoncé s’obtient à partir du produit des nombres entiers 97 453 et 5 925, en plaçant une virgule devant le 6e chiffre en partant de la droite. Or 97 453 < 100 000 et 5 925 < 6 000, donc le produit est inférieur à 600 000 000. Il en résulte que le produit de ces deux nombres entiers s’écrit avec moins de 10 chiffres.
Le produit 97,453 × 5,925 peut donc être affiché par la calculatrice sans faire d’approximation. Le résultat affiché est donc la valeur exacte du produit.
b) 97,453 1 × 5,925 8 = 974 531 × 10–4 × 59 258 × 10–4 = 974 531 × 59 258 × 10–8.
Calculons le produit 974 531 × 59 258.
974 531 × 59 258 = 974 531 × 59 × 1 000 + 974 531 × 258 = 57 497 329 000 + 251 428 998 = 57 748 757 998.La valeur exacte du produit est donc97,453 1 × 5,925 8 = 57 748 757 998 × 10-8 = 577,487 579 98.
La machine ne pouvant afficher que 10 chiffres a arrondi la 7e décimale, ce qui donne 97,453 1 × 5,925 8 ≈ 577,487 580 0.
Soit, puisque les zéros à droite ne sont pas affichés,97,453 1 × 5,925 8 ≈ 577,487 58.
