Optimisation de formes dans l’industrie:méthodes de résolution et exemples

1. Modélisation du problème d’optimisation de formes

2. Méthodes de résolution existantes

2.1 Méthode de descente

2.2 Méthode des algorithmes génétiques

2.3 Comparaison des deux méthodes

2.4 Méthode hybride

3. Exemple d’optimisation de formes dans l’industrie automobile

3.1 Présentation de la collaboration PSA/LJLL

3.2 Situation actuelle du projet

3.3 Perspectives

4. Autres exemples

5. Conclusion

Laurent Dumas (Maître de Conférences au Laboratoire Jacques-Louis Lions)

1. Modélisation du problème d’optimisation de formes

Le problème se ramène à minimiser une fonction J (par exemple le Cx d’une automobile ou une fonction erreur dans le cas d’un problème inverse) en fonction de N paramètres géométriques x = (x1,...,xN) sous certaines contraintes (géométriques, aérodynamiques, etc…).

La fonction J peut faire intervenir de manière indirecte dans son évaluation des variables auxiliaires, par exemple des variables aérodynamiques issues de la résolution d’une équation de Navier Stokes avec modèle de turbulence.

2. Méthodes de résolution existantes

• Différentes méthodes sont utilisées dans ce type de problèmes pouvant être classées en 2 grandes catégories: méthodes de type descente (gradient, quasi Newton) nécessitant le

calcul du gradient de J. méthodes de type algorithmes génétiques basées sur l’étude de

l’évolution d’une famille de solutions.

• Ces deux méthodes peuvent également faire l’objet d’un couplage donnant alors naissance à une méthode dite hybride.

2.1 Méthode de descente

• On cherche x*=arg min{J(x)J(x,W(x)), xO RN}

• W(x) représente les variables auxiliaires, par exemple les variables aérodynamiques ((x),U(x),E(x)) vérifiant une équation du type E(x,W(x))=0 (Euler, Navier Stokes k-).

• La principale difficulté consiste à calculer x J(x) (pour effectuer ensuite un algorithme de descente). Ce calcul peut être réalisé au niveau continu ou discret (privilégié en général).

2.2 Méthode des algorithmes génétiques

• La méthode de minimisation d’une fonction J par algorithmes génétiques repose sur le principe suivant:

Tirage au sort d’une certaine population d’individus (Np) associés à différentes valeurs des paramètres xO Rn. A chacun de ces individus est affecté un facteur de santé (inversement proportionnel à J).

la population évolue à chaque génération par un principe ‘Darwinien’ de sélection, de croisement et de mutation.

au bout de Ng générations, la santé globale des individus s’est (normalement) améliorée.

• Il s’agit d’un procédé stochastique ne possédant pas de véritable justification mathématique mais possédant l’avantage de ne pas nécessiter d’hypothèses de régularité sur J et de ne pas stationner en des minima locaux.

Temps de calcul Coût dépendant du nombre de variables Paramètres ajustables

Minimum global Pas de condition de régularité sur J Multi-objectif Parallélisable

Minimum local Complexité du calcul du gradient Pas de version multi-objectif

Rapidité Précision Coût indépendant du nombre de variables

Les moinsLes plusLes moinsLes plus

Méthode des Algorithmes génétiquesMéthode de descente

2.3 Comparaison des 2 méthodes

2.4 Méthode hybride

• Un procédé de couplage entre les deux approches a été développé en essayant de combiner les avantages de chacune des deux méthodes.

• Il consiste à effectuer un algorithme génétique dans lequel les meilleurs individus sont régulièrement améliorés par quelques itérations d’une méthode de descente.

3.1 Optimisation de formes dans l’industrie automobile: collaboration PSA/LJLL

• Une collaboration étroite entre les équipes du Laboratoire Jacques-Louis Lions et la Direction de la Recherche et de l’Innovation de PSA est en cours sur le problème de l’optimisation de formes depuis 1999.

• Les principaux membres impliqués sont d’une part, Olivier Pironneau (Pr) et Laurent Dumas (MC) pour le Laboratoire d’Analyse Numérique, Vincent Herbert et Laurent Elena pour la société PSA.

• Deux stages de DEA (Frédérique Muyl en 2000, Olivier Colin en 2001) et une thèse CIFRE (Frédérique Muyl de 2000 à 2003) ont également porté (ou portent) sur le sujet.

• Différentes méthodes hybrides ont été testées sur le cas des fonctions analytiques et ont permis de confirmer leur intérêt en termes d’accélération du temps de calcul par rapport aux algorithmes génétiques.

• Un premier calcul par une méthode hybride dans une configuration d’automobile (écoulement 3D incompressible turbulent) a été réalisé. Il consiste à minimiser le Cx d’une macroforme de monospace en fonction des angles de lunette (), diffuseur () et rétreint ()

3.2 Situation actuelle du projet

3.3 Perspectives

• D’ici 2003, l’objectif consiste à être capable d’optimiser une partie d’une automobile (par exemple un aileron) comprenant une vingtaine de paramètres.

• Pour cela, les outils actuels devront être améliorés, principalement au niveau de leur temps de calcul, grâce à différents procédés d’accélération (dont la parallélisation sur cluster).

• Pour plus de détails sur ce programme (abstract AMIF2002, article soumis à Computers & Fluids, …) , vous pouvez consulter la page:

http://www.ann.jussieu.fr/~dumas

4. Autres exemples

• Deux autres exemples d’optimisation de formes sont en cours de traitement à l’aide d’une méthode de type algorithmes génétiques:

dans le domaine médical: optimisation de

la forme d’une endoprothèse (ou stent) placée

dans un vaisseau sanguin après une sténose.

dans l’industrie des télécommunications:

optimisation des caractéristiques géométriques

(profil d’indice) d’une fibre optique en vue d’

optimiser ses performances.

5. Conclusion

• Depuis quelques années, l’essor des moyens de calcul a permis de voir l’émergence d’outils automatiques d’optimisation de formes dans différents contextes industriels (aérodynamique, télécommunications) ou médicaux.

• L’utilisation de méthodes simples et robustes comme les Algorithmes Génétiques a permis en particulier de déterminer des géométries originales quasi-optimales pour chaque problème traité et peut a priori s’adapter facilement à tout nouveau problème d’optimisation de formes.