OPTIMISATION DU COMPORTEMENT VIBRO ...corps creux et des cavit´es acoustiques. En ce qui concerne les corps creux, une analyse modale particuli`ere permet de prendre en compte la

Numero d’ordre : 2006-34 Annee 2006

THESE

presentee devant

L’ECOLE CENTRALE DE LYON

pour obtenir le grade de

DOCTEUR

Specialite : Mecanique

par

Sebastien BESSET

OPTIMISATION DU COMPORTEMENT VIBRO-ACOUSTIQUE DES STRUCTURES

A L’AIDE D’UNE SYNTHESE MODALE GENERALISEE

Soutenue publiquement le 24 novembre 2006 devant le jury :

MM. A. COMBESCURE, Professeur, INSA Lyon, Villeurbanne Examinateur

M.N. ICHCHOU, Professeur, ECL, Ecully Examinateur

L. JEZEQUEL, Professeur, ECL, Ecully Directeur de these

R. OHAYON, Professeur, CNAM, Paris Rapporteur

C. SOIZE, Professeur, UMLV, Marne-la-Vallee Rapporteur

Y. TOURBIER, Chef de projet methodes et outils d’optimisation,

Renault, Guyancourt Examinateur

.

Resume

Les techniques de synthese modale constituent un moyen efficace d’analyser le comporte-

ment dynamique d’une structure complexe. L’objectif de cette these est la generalisation des

techniques de synthese modale permettant d’aboutir a une description d’un systeme compor-

tant des cavites acoustiques faisant intervenir des modes particuliers. Ces modes sont lies aux

differents elements qui decoulent d’une approche systemique de l’ensemble. Ainsi, le systeme

est decrit via des modes de volume, principalement associes aux cavites acoustiques, des modes

de surfaces, associes aux elements bidimensionnels, et des modes de lignes, associes aux sin-

gularites et aux elements monodimensionnels.

Les structures considerees sont proche des structures que l’on peut trouver dans l’industrie

automobile. Les elements constituants sont donc essentiellement des plaques, des coques, des

corps creux et des cavites acoustiques. En ce qui concerne les corps creux, une analyse modale

particuliere permet de prendre en compte la complexite de leur forme, en n’introduisant qu’un

nombre limite de degres de liberte.

Les methodes d’analyse modale utilisees pour la description des structures complexes

considerees dans ce memoire permettent d’envisager leur optimisation sous des criteres acous-

tiques. Ces criteres proviennent des matrices intervenant dans l’analyse modale des differents

elements en presence. Ils sont relatifs au niveau de pression dans les cavites acoustiques, et

permettent de distinguer les differents “chemins vibro-acoustiques” responsables des nuisances.

L’optimisation est faite d’une part sur la forme des corps creux, d’autre part sur les revetements

de mousse apposes sur les parois de la structure. Pour ce faire, on s’interesse a une methode

de couplage fluide-structure permettant de prendre en compte des materiaux poroelastiques.

Mots Cles :

Analyse modale, couplage fluide-structure, optimisation.

i

Abstract

Modal synthesis methods are an efficient way of analyzing the dynamic behaviour of com-

plex structures. The aim of this thesis is to generalize modal synthesis methods to allow the

description of systems featuring acoustical cavities using specific modes. These modes are lin-

ked to the various elements resulting from a systemic approach to the problem. Thus, volume

modes describe acoustical cavities, surface modes describe two-dimensional elements, and line

modes describe the linear elements and singularities of the system.

Structures considered in this report resemble those found in the automotive industry.

Constituting elements are thus plates, shells, hollow parts and acoustic cavities. Concerning

the hollow parts, a specific modal analysis method allows to take into account their structural

form, using only a small number of degrees of freedom.

The modal analysis methods described in this work can be used to optimize complex

structures based on acoustical criteria. These criteria stem from the matrices appearing in the

modal analysis process. They are linked to the pressure level in the acoustic cavities, and al-

low a separate analysis of the various “vibro-acoustical paths” responsible for the noise. First,

the optimization is performed on the geometry of the hollow parts of the structure. Secondly,

porous media are introduced on the plates constituting the structure, and the fluid-structure

coupling method is adapted to take the resulting phenomena into account.

Keywords :

Modal analysis, fluid-structure coupling, optimization.

ii

Ces travaux de these ont ete effectues au sein de l’equipe Dynamique des Systemes et des

Structures du Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systemes de l’Ecole Centrale de

Lyon. Ils ont ete finances par le Ministere de l’education nationale et de la recherche sous la

forme d’une allocation MENRT.

En premier lieu, je tiens a remercier M. Louis Jezequel, qui m’a accueilli dans son equipe

et qui a assure l’encadrement scientifique et la direction de ces trois annees de these, en m’ac-

cordant sa confiance, son soutien et une grande autonomie dans mes travaux de recherches.

Je remercie vivement M. Alain Combescure, Professeur a l’Institut National des Sciences

Appliquees de Lyon, qui m’a fait l’honneur d’accepter la presidence du jury. Je remercie tres

sincerement M. Roger Ohayon, Professeur au Conservatoire National des Arts et Metiers,

et M. Christian Soize, Professeur a l’Universite de Marne-la-Vallee pour l’interet qu’ils ont

porte a mon travail en acceptant d’etre rapporteurs de ce memoire. Je remercie egalement

M. Yves Tourbier, Ingenieur de recherche chez Renault et M. Mohammed Najib Ichchou,

Professeur a l’Ecole Centrale de Lyon, qui ont egalement accepte de faire partie du jury.

Enfin, j’adresse un grand merci a tous mes collegues chercheurs, ingenieurs, thesards, tech-

niciens, a la secretaire Isabelle Tixier, pour la bonne ambiance, les facilites de travail et les

echanges fructueux tout au long de ces annees. Je n’oublierai pas de mentionner ma famille,

et en particulier mon epouse, qui a fortement contribue a la reussite de mes dernieres annees

d’etude sur les plans professionnel, personnel et humain.

iv

Table des matieres

INTRODUCTION 1

1 Couplage fluide-structure 3

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Formulation continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Formulation (u, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Formulation (u,U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Formulation (u, p, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Modeles elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Modele (u,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Modele (u,U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Modele (u,ψ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4 Modele (u,p,φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Methodes de synthese modale 11

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Analyse d’une structure par double synthese modale . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Formulation primale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Formulation duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.4 Influence du nombre de modes de ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.5 Influence du nombre de modes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Analyse d’un systeme couple par triple synthese modale . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.3 Formulation primale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.4 Formulation duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.5 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

v

vi TABLE DES MATIERES

3 Analyse modale des corps creux d’une structure 51

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Analyse modale d’une structure in vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1 Analyse modale d’un troncon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Assemblage de plusieurs troncons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.3 Raccordement de structures selon le principe de la “double synthese

modale” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.4 Resultats in vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Analyse modale d’un corps creux : Prise en compte du couplage fluide-structure 65

3.3.1 Analyse modale d’un element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.2 Assemblage des troncons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.3 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Criteres modaux pour l’optimisation des structures couplees 73

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Criteres modaux pour l’optimisation d’une structure . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.1 Les parametres effectifs modaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.2 Criteres modaux pour l’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.3 Criteres d’optimisation derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.4 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Criteres modaux pour l’optimisation des systemes fluide-structure couples . . . 80

4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.2 Analyse du systeme fluide-structure couple . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.3 Determination de criteres d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.4 Analyse des criteres vibratoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5 Optimisation des structures 109

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 Techniques d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2.1 Optimisation multi-objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.2 Techniques d’optimisation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.3 Techniques d’optimisation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3 Optimisation des structures in vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.1 Parametres a optimiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.2 Rappel des criteres utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.3 Optimisation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3.4 Optimisation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4 Optimisation des revetements poroelastiques d’une structure couplee a des ca-

vites acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4.1 Modelisation des poroelastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4.2 Modelisation d’impedances de paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.4.3 Validite des simplifications adoptees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

TABLE DES MATIERES vii

5.4.4 Optimisation des caracteristiques des poroelastiques . . . . . . . . . . . 135

5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 147

Publications liees a la these 149

BIBLIOGRAPHIE 151

viii TABLE DES MATIERES

Introduction

Ce travail de recherche s’inscrit dans un projet de conception robuste initie par l’equipe

D2S du laboratoire LTDS de l’Ecole Centrale de Lyon et presente sous le nom de First De-

sign – Fiabilite et Robustesse des Structures –, en partenariat avec Renault notamment. La

problematique abordee ici est donc etroitement liee aux problemes de conception rencontres

dans l’industrie automobile. En effet, la prise en compte de criteres vibratoires pour le di-

mensionnement des caisses n’intervient souvent qu’a la fin du processus de conception. Les

solutions adoptees ne sont alors evidemment pas optimales, car il s’agit souvent de modifi-

cations minimes appliquees sur un modele deja concu. Notre travail entend donc fournir des

elements permettant d’inclure la prise en compte du comportement vibratoire des caisses dans

la partie avant-projet du processus de conception. A cela plusieurs avantages :

– une reduction des couts en evitant de modifier les solutions trop avancees dans le

cycle ;

– une reduction de la masse en evitant le rajout de mousses pour palier aux defauts

acoustiques reperes trop tard ;

– la robustesse de la conception qui en decoule.

Notre travail s’inscrit egalement dans une demarche d’etude large bande des phenomenes

etudies et des solutions adoptees. Outre le comportement a basses frequences de la caisse, les

methodes developpees ici permettent de tenir compte de plus hautes frequences, importantes

pour le confort acoustique des passagers.

Le premier chapitre s’attarde sur les techniques d’analyse des systemes fluide-structure.

Notre etude portant sur des structures contenant des cavites acoustiques, nous ne considerons

ici que le cas de fluides non pesants. Les notions consignees dans ce chapitre sont essentielles a

la comprehension des second et troisieme chapitres, consacres aux methodes d’analyse modale

des systemes fluide-structure.

Le second chapitre repose essentiellement sur les theories modales enoncees par Jezequel [38].

L’analyse modale des structures y est traitee, avec ou sans cavite acoustique. Les problemes de

troncature modale sont egalement evoques, et la procedure de minimisation de la troncature

par developpement en ω2 de la resolvante est explicitee.

Le troisieme chapitre traite de l’analyse modale des corps creux, frequemment rencontres

dans l’industrie automobile. Ces corps creux, qui constituent souvent le squelette des structures

etudiees, sont extremement couteux a modeliser de facon precise. Nous proposons donc une

methode d’analyse modale permettant de tenir compte des geometries detaillees des corps creux

tout en reduisant considerablement le nombre de degres de liberte necessaires. Le couplage

interne avec un fluide non pesant est egalement pris en compte.

1

2 INTRODUCTION

Les deux derniers chapitres de ce memoire sont consacres a l’exploitation des methodes de

synthese modale developpees dans les premiers chapitres, dans le but de definir des criteres

pertinents pouvant constituer une base pour l’optimisation des structures complexes.

Dans un premier temps est developpe un certain nombre de criteres d’optimisation, en

considerant d’abord une structure in vacuo, puis en generalisant ces criteres au cas de struc-

tures comportant des cavites acoustiques. Le developpement de ces criteres repose sur la

determination des matrices correspondant aux chemins vibratoires entre les points d’excitation

de la structure et l’habitacle.

Le cinquieme chapitre est consacre a l’optimisation des structures complexes basee sur une

approche systemique reposant sur les contenus developpes au chapitre precedent. Le cas d’une

structure in vacuo est traite en premier lieu ; une optimisation plus “poussee”, prenant en

compte le couplage fluide-structure, est ensuite envisagee. Afin de se rapprocher du probleme

industriel consistant a ameliorer le comportement vibro-acoustique d’une caisse automobile

possedant un traitement acoustique, une modelisation de materiaux poreux a ete menee. Cette

modelisation introduit une impedance de paroi calculee d’apres les equations analytiques du

modele de Biot. La procedure d’optimisation a alors ete appliquee avec succes pour determiner

les caracteristiques des materiaux amortissant donnant la meilleure qualite acoustique.

Chapitre 1

Couplage fluide-structure

1.1 Introduction

Il nous paraıt important, avant d’aborder les techniques de synthese modale adaptees aux

systemes fluide-structure, de detailler les equations relatives au couplage entre une structure

et une cavite acoustique. Ce type d’equation est maintenant bien connu. En particulier, les

ouvrages de Morand et Ohayon [52] et Ohayon et Soize [57] fournit une revue detaillee des

connaissances actuelles.

Dans un premier temps, nous rappelons les equations de couplage en formulation conti-

nue. Nous explicitons ensuite la discretisation par elements finis correspondante. Ces der-

niers developpements nous interessent particulierement car ils correspondent aux matrices

“recuperees” par l’intermediaire de codes elements finis standarts.

Dans la suite de nos travaux, nous aurons essentiellement recours a une formulation (u, p)

du probleme couple, la partie structurale etant representee par un champ de deplacements, la

partie acoustique par un champ de pressions. Neanmoins, a titre indicatif, d’autres formulations

seront passees en revue :

– une formulation deplacement-pression (u, p), symetrique ou non ;

– une formulation deplacement-deplacement (u,U), symetrique ;

– une formulation utilisant le potentiel des vitesses (u, φ), symetrique ;

– une formulation en (u, p, φ), symetrique.

La formulation deplacement-pression (u, p) presente l’avantage d’etre aisement traitee par

elements finis car elle conduit a une representation ne comportant qu’une inconnue par nœud.

Ce traitement par elements finis peut etre trouve dans [80]. De nombreux auteurs s’y sont

egalement interesses [13, 14, 21, 28, 54, 58, 60, 63, 79, 82]. L’inconvenient majeur de cette for-

mulation est son caractere non symetrique, peu pratique pour les methodes de resolution

numeriques. Il est cependant possible de symetriser artificiellement l’equation matricielle du

mouvement, par changement de variable par exemple. On trouvera des exemple de symetrisation

dans la litterature [17,18,26,27,33,53].

3

4 CHAPITRE 1. COUPLAGE FLUIDE-STRUCTURE

1.2 Formulation continue

Etant donne le caractere acoustique des problemes consideres, on ne tient pas compte ici

des effets lies a la pesanteur. La figure 1.1 rassemble les notations qui seront utilisees par la

suite :

– nf est le vecteur unitaire normal a l’interface fluide, dirige vers l’exterieur du volume de

fluide ;

– ns est le vecteur unitaire normal a l’interface solide, dirige vers l’exterieur du solide ;

– Σ est l’interface fluide-structure ;

– Ωs represente la partie solide ;

– ∂Ωs represente la surface de la partie solide ;

– Ωf represente la partie fluide.

nf

Σ

ns

ns

Ωf

Ωs

Fig. 1.1 – Notations utilisees pour l’etude du couplage fluide-structure

1.2.1 Formulation (u, p)

Les equations du mouvement exprimees en formulation (u, p) s’ecrivent comme suit :

σij,j (u) + ω2ρsui = 0 sur Ωs (1.1)

∆p+ω2

c2p = 0 sur Ωf (1.2)

σij (u)nsj = fi sur ∂Ωs\Σ (1.3)

σij (u)nsj = pn

fi sur Σ (1.4)

∂p

∂nf= ω2ρfu.n

f sur Σ (1.5)

ou l’on adopte les notations suivantes :

– σij,j est le tenseur des contraintes ;

– ω est la pulsation du systeme ;

– ρs est la masse volumique du materiau utilise ;

1.2 Formulation continue 5

– f est le vecteur des forces exterieures appliquees sur la structure ;

– u est le deplacement de la partie structurale ;

– p represente le champ de pression de la partie acoustique.

Les equations 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 et 1.5 regissent le comportement de l’ensemble :

– l’equation 1.1 regit le comportement interne de la partie solide ;

– l’equation 1.2 est l’equation classique de l’acoustique regissant le comportement de la

partie fluide (equation de Helmholtz) ;

– l’equation 1.3 concerne les forces appliquees sur la structure (elles ont ici la dimension

d’une pression) ;

– l’equation 1.4 traduit l’effet de la pression parietale sur l’interface fluide-structure ;

– l’equation 1.5 traduit la continuite des vitesses a l’interface fluide-structure.

La formulation faible associee a ces equations peut alors s’ecrire, pour la partie solide :

∀δu ∈ Cu

∫

Ωs

σij (u) εij (δu) dΩ−ω2

∫

Ωs

ρsuδudΩ−∫

Σpnf .δudΣ−

∫

∂Ωs\Σf .δudΣ = 0 (1.6)

ou Cu est l’ensemble des fonctions regulieres definies sur Ωs.

Pour la partie fluide, on obtient l’equation :

∀δp ∈ Cp1

ρf

∫

Ωf

∇p.∇δpdΩ − ω2

ρfc2

∫

Ωf

pδpdΩ − ω2

∫

Σu.nf δpdΣ = 0 (1.7)

ou Cp est l’ensemble des fonctions regulieres definies sur Ωf .

1.2.2 Formulation (u,U)

La formulation en deplacement (u,U) s’obtient en remplacant la pression p au moyen de

la relation :

p = −ρfc2divU (1.8)

ou U est le deplacement de la partie fluide. La formulation integrale s’ecrit alors :

∀ (δu, δU) ∈ Cdep

∫

Ωs

σij (u) εij (δu) dΩ + ρf c2

∫

Ωf

divUdivδUdΩ

− ω2

∫

Ωs

ρsu.δudΩ − ω2ρf

∫

Ωf

U.δUdΩ =

∫

∂Ωs\Σf.δudΣ (1.9)

ou Cdep est l’espace des fonctions admissibles verifiant les conditions de continuite a l’in-

terface fluide-structure :

Cdep =

(u,U) reguliers, (u− U) .nf = 0 sur Σ, rotU = 0 sur Ωf

(1.10)

Cette formulation est assez complexe a traiter, notamment en raison de la discretisation

de rotU.

Notons egalement que la formulation (u,U) peut donner lieu a une discretisation utilisant

le potentiel des vitesses ψ =ip

ωρfet aboutissant a une formulation elements finis en (u,ψ).


1.2.3 Formulation (u, p, φ)

La formulation du probleme couple en (u, p, φ) est la suivante :

σij,j (u) + ω2ρsui = 0 sur Ωs (1.11)

ρf∆φ+p

c2= 0 sur Ωf (1.12)

p

ρf c2=ω2

c2φ sur Ωf (1.13)

σij (u)nsj = fi sur ∂Ωs\Σ (1.14)

σij (u)nsj = ρsω

2φnfi sur Σ (1.15)

∂φ

∂nf= u.nf sur Σ (1.16)

La formulation faible correspondante s’ecrit, pour la partie relative a u :

∀δu ∈ Cu

∫

Ωs

σij (u) εij (δu) dΩ − ω2

∫

Ωs

ρsu.δudΩ − ω2

∫

Σρfφn

f .δudΣ = 0 (1.17)

ou l’espace Cu a ete defini precedemment. Pour la partie relative a φ, on a :

∀δφ ∈ Cφ −∫

Ωf

∇φ.∇δφdΩ +

∫

Σρfu.n

f δφdΩ +1

c2

∫

Ωf

pδφdΩ = 0 (1.18)

ou Cφ est l’espace des fonctions φ regulieres definies sur Ωf . Pour la partie relative a p, on

a :

∀δp ∈ Cp −∫

Ωf

p

ρf c2δpdΩ − ω2

∫

Ωf

φ

c2δpdΩ = 0 (1.19)

ou p a ete defini precedemment.

1.3 Modeles elements finis

Nous allons maintenant expliciter la discretisation des formulations faibles vues en 1.2.

1.3.1 Modele (u,p)

Il existe differentes methodes de discretisation permettant de traiter les equations integrales

vues en 1.2. De nombreux ouvrages, que l’on trouvera dans les references bibliographiques,

traitent de telles methodes [11, 19, 31, 61, 81]. La methode utilisee ici est la methode de Ritz-

Galerkin, qui consiste a rechercher une solution approchee des equations integrales dans un

sous-espace de dimension finie.

La discretisation de la formulation faible en (u, p) s’obtient en introduisant des fonctions

de forme Nu et Np definies comme suit :

1.3 Modeles elements finis 7

ue = Nuun (1.20)

pe = Nppn (1.21)

ue et pe sont une solution approchee du probleme dans un espace de dimension Nu×Np finie

Ee. Nous notons (uj, pk) (j = 1, . . . ,Nu, k = 1, . . . Np ) Nu +Np vecteurs formant une base de

Ee. Ces vecteurs permettent d’ecrire les equations 1.20 et 1.21. La solution approchee (ue, pe)

etant definie par extrapolation a partir des degres de liberte correspondant a la discretisation

du systeme, les vecteurs (un,pn) coıncident avec les valeurs de (ue, pe) aux nœuds du maillage.

Les equations 1.6 et 1.7 conduisent aux matrices M, MA, K, KA, C et au vecteur F

suivants :

∫

Ωs

σij (u) εij (δu) dΩ =⇒ δuTnKun (1.22)

∫

Ωs

ρsu.δudΩ =⇒ δuTnMun (1.23)

1

ρf

∫

Ωf

∇p.∇δpdΩ =⇒ δpTnKApn (1.24)

1

ρf c2

∫

Ωf

pδpdΩ =⇒ δpTnMApn (1.25)

∫

Σpδu.ndΣ =⇒ δuT

nCpn (1.26)

∫

∂Ωs\Σf .δudΣ =⇒ δuT

nF (1.27)

L’equation discretisee du mouvement s’ecrit alors sous forme matricielle :

([

K −C

0 KA

]

− ω2

[

M 0

CT MA

])

u

p

=

F

0

(1.28)

La matrice MA n’a rien d’une masse car elle est definie par l’integrale volumique du champ

de pression 1ρf c2

∫

ΩfpδpdΩ, selon l’equation 1.25. Neanmoins, nous adoptons la notation MA

par analogie avec l’equation du mouvement d’une structure. De meme, nous parlerons de masse

acoustique.

1.3.2 Modele (u,U)

La formulation integrale en (u,U) (cf. 1.2.2) conduit aux matrices donnees par les relations

suivantes :


∫

Ωs


∫

Ωs


∫

Ωf

ρfU.δUdΩ +

∫

Ωf

ρf c2divUdivδUdΩ =⇒ δUT

nKAUn (1.31)

∫

Σρf c

2divUδu.ndΣ =⇒ δuTnCUn (1.32)

∫


nF (1.33)

D’ou l’equation du mouvement discretisee en (u,U) suivante :

([

K 0

−CT KA

]

− ω2

[

M C

0 MA

])

u

U

=

F

0

(1.34)

1.3.3 Modele (u,ψ)

La formulation integrale en (u,U) mentionnee en 1.2.2 permet une discretisation utilisant

le potentiel des vitesses ψ =ip

ωρf:

∫

Ωs


∫

Ωs


∫

Ωf

ρf∇ψ.∇δψdΩ =⇒ δpTnKApn (1.37)

ρf

c2

∫

Ωf

ψδψdΩ =⇒ δpTnMApn (1.38)

∫

Σρfψδu.ndΣ =⇒ δuT

nCpn (1.39)

∫


nF (1.40)

D’ou l’equation du mouvement discretisee en (u,ψ) suivante :

([

K 0

0 KA

]

+ iω

[

0 C

−CT 0

]

− ω2

[

M 0

0 MA

])

u

ψ

=

F

0

(1.41)

1.3.4 Modele (u,p,φ)

Les matrices entrant dans la composition de l’equation du mouvement discretisee en (u,p,φ)

sont issues des equations faibles 1.17, 1.18 et 1.19 :

1.4 Conclusion 9

∫

Ωs


∫

Ωs


1

ρfc2

∫

Ωf

pδpdΩ =⇒ δpTnKppn (1.44)

∫

Ωf

ρf∇φ.∇δφdΩ =⇒ δφTnMφφn (1.45)

∫

Σρfφδu.ndΣ +

∫

Σρfδφu.ndΣ =⇒ δuT

nMuφφn + δφTnMT

uφun (1.46)

1

c2

(∫

Ωf

φδpdΩ +

∫

Ωf

δφpdΩ

)

=⇒ δpTnMpφφn + δφT

nMTpφpn (1.47)

Il est bien evidemment necessaire d’introduire des fonctions d’interpolation Nφ pour discretiser

les champs φ, telles que :

φe = Nφφn (1.48)

L’equation du mouvement discretisee s’ecrit alors :

K 0 0

0 Kp 0

0 0 0

− ω2

M 0 Muφ

0 0 Mpψ

MTuφ MT

pψ Mφ

u

p

φ

=

F

0

0

(1.49)

Remarquons que cette discretisation introduit un nombre de modes de “corps rigide” egal

au nombre de fonction d’interpolation de φ. C’est un probleme dans la recherche des valeurs

propres qui diminue l’interet de la symetrisation du probleme.

1.4 Conclusion

Ce chapitre a permis de passer en revue la theorie du couplage fluide-structure, ainsi que

la discretisation conduisant aux equations matricielles couplees. Les differentes formulations

possibles du probleme ont ete envisagees. Dans la suite de nos travaux, nous utiliserons essen-

tiellement la formulation en (u, p) decrite en 1.2.1. Cette formulation presente en effet l’interet

de pouvoir etre aisement manipulee du point de vue informatique ; en outre, les codes elements

finis qui nous permettront de generer des matrices de masse et de raideur de systemes couples

traitent ce type de formulation de maniere particulierement efficace, notamment du point de

vue du conditionnement des matrices.


Chapitre 2

Methodes de synthese modale

2.1 Introduction

L’objectif des methodes de synthese modale est de decrire le comportement dynamique des

structures a l’aide de modes specifiques. Un grand nombre de methodes de synthese modale a

d’ores et deja ete propose depuis plusieurs decennies. Parmi ces methodes, citons les methodes

utilisant des modes a interfaces fixes, introduites par Hurty [32], et adoptees par de nombreux

auteurs [15,42,69]. Hurty analyse les sous-structures d’un systeme par l’intermediaire de leurs

modes a interfaces fixes et de deformations statiques definies a partir des points de frontiere

entre les sous-structures. La methode d’analyse utilisant les modes encastres la plus connue est

la methode de Craig et Bampton [15]. Citons egalement la seconde grande famille de methodes

de synthese modale, qui repose sur l’utilisation de modes libres. Ces methodes ont ete proposees

par Goldman [29], et ont fait l’objet de nombreux travaux [16,30,49,62]. Le raccordement des

differentes sous-structures decrites par les modes libres peut etre assure implicitement par

imposition de conditions aux limites, ou explicitement, par l’intermediaire de multiplicateurs

de Lagrange, comme le propose Hou [30].

L’avantage souvent cite des methodes de synthese modale reside dans la possibilite de

decrire une structure en n’utilisant qu’un minimum de degres de liberte. Les couts de calculs

s’en trouvent souvent considerablement reduits. C’est indeniablement l’une des caracteristiques

les plus importantes et interessantes de ce type d’analyse, surtout lorsqu’elles sont utilisees

conjointement avec des methodes de sous-structuration : les sous-structures ne requierent cha-

cune que peu de modes, et le traitement de plusieurs petits modeles est toujours preferable a

l’analyse d’un gros systeme.

Dans le cadre de ce memoire, nous nous interessons a la formulation-meme des problemes

traites par analyse modale. La description modale d’une structure presente en effet l’avantage

de faire explicitement intervenir les modes des differentes parties de cette structure, permettant

une exploitation directe des matrices modales de masse et de raideur obtenues pour chaque

sous-structure, comme nous le verrons dans les chapitres suivants.

Le succes des methodes de synthese modale est principalement du a la grande etendue de

leur champ d’application, qui peut etre aussi bien experimental que numerique. En effet, la mise

en œuvre de ces methodes peut se faire par l’intermediaire de tests experimentaux, ces tests

permettant de deduire les caracteristiques des modes d’une structure pour les reconstituer [36,

11

12 CHAPITRE 2. METHODES DE SYNTHESE MODALE

37,39]. Notre travail s’est contente de l’utilisation de matrices issues de codes elements finis. A

partir de ces matrices, les modes des structures peuvent etre aisement calcules. Cette demarche

presente l’interet de pouvoir comparer ensuite l’efficacite des methodes proposees aux resultats

directement issus des modeles elements finis d’origine, qui peuvent etre consideres comme des

resultats de reference. De nombreux auteurs [59, 65, 75] se sont interesses a des methodes de

synthese modale utilisant des resultats issus de tels calculs elements finis.

Le manque de precision des methodes de synthese modale est souvent du a la troncature

modale induite par le choix des modes retenus. Dans ce chapitre, nous nous pencherons sur les

differents moyens de minimiser l’influence de cette troncature, notamment par l’utilisation des

“developpements en ω2” proposes par Jezequel [40, 41]. Nous verrons dans quelle mesure ces

developpements permettent d’ameliorer la precision des methodes etudiees. D’autres methodes

ont ete developpees pour permettre la minimisation des effets de troncature, parmi lesquelles

la troncature de type Rayleigh-Ritz et la troncature par projection [38, 40, 41], ou encore des

formulations de synthese modale plus precises, voire “exactes” [45–47,59].

Les structures etudiees dans ce chapitre sont composees de plusieurs sous-structures, qui

seront analysees separement avant d’etre assemblees. Le probleme se pose de la description

des interfaces entre les sous-structures. Le comportement de ces interfaces est parfois inclus

dans la description des sous-structures ; il est egalement souvent represente par des degres

de liberte nodaux, comme dans la methode de Craig & Bampton. Dans ce cas, les interfaces

entre sous-structures peuvent generer de lourdes matrices si elles sont precisement decrites.

Le principe de la double synthese modale proposee par Jezequel [40, 41] est d’introduire des

“modes de branche” pour representer les degres de liberte de frontiere entre les sous-structures.

De telles methodes seront detaillees dans un premier temps. Nous nous interesserons ensuite

a l’extension de ces notions a des systemes incluant des parties acoustiques.

2.2 Analyse d’une structure par double synthese modale

Nous nous interessons ici a la description et la mise en œuvre de la double synthese mo-

dale. La finalite de la methode est l’obtention d’un modele decrivant la structure etudiee au

moyen des modes (encastres ou libres) des sous-structures, et de modes de branche relatifs

aux frontieres entre sous-structures. De maniere plus generale, les modes de branche peuvent

decrire toute singularite de la structure (arretes constituant les frontieres entre sous-structures,

mais aussi raidisseurs, bossages. . .). L’etude de la double synthese modale sera conduite sous

deux angles differents et complementaires, une formulation primale (ie. en deplacement) et

une formulation duale (ie. en force). Dans chacune de ces etudes, le probleme sera decrit par

l’intermediaire d’une formulation continue, puis d’une formulation matricielle de type elements

finis.

2.2.1 Formulation primale

La figure 2.1 rassemble les differentes notations qui seront utilisees par la suite. Les

frontieres des sous-structures sont appelees Si (i = 1, 2, 3) et Γ. La notation Γ est utilisee

pour les frontieres entre sous-structures :

– la notation S1 correspond aux frontieres a deplacement impose ;

2.2 Analyse d’une structure par double synthese modale 13

– la notation S2 correspond aux frontieres a deplacement libre ;

– la notation S3 correspond aux frontieres a forces imposees.

Dans le cas de plusieurs sous-structures, les frontieres S1, S2 et S3 peuvent etre differenciees

au moyen des notations S1i, S2i et S3i, ou i indique le numero de la sous-structure consideree.

Nous verrons que les differences entre les formulations primale et duale que nous allons

developper resident essentiellement dans l’apprehension des frontieres S3 et Γ. Les deplacements

de ces frontieres seront en effet laisses libres ou fixes selon que l’on optera pour l’une ou l’autre

de ces formulations. Il est a noter que les forces exterieures appliquees sur les sous-structures

en presence seront ici considerees comme des singularites du systeme etudie, au meme titre

donc que les frontieres entre sous-structures.

Analyse modale d’une structure – formulation continue

Nous allons tout d’abord expliciter les formulations qui nous serons utiles. Ces notations

sont proches de celles adoptees lors des precedents travaux de l’equipe D2S du laboratoire

portant sur le sujet [40,41].

La formulation continue des methodes proposees sera traitee dans un premier temps. Cette

formulation continue est essentielle pour apprehender correctement les problemes relatifs a la

troncature modale resultant de la synthese modale. Cette formulation sera par la suite utilisee

pour developper une methode matricielle reposant sur une discretisation des structures.

La structure Ω est un espace fini de RN . Cette structure est composee de plusieurs sous-

structures. Les frontieres entre ces sous-structures sont notees Si. Les vibrations libres de la

structure satisfont alors l’equation suivante :

Au = −ρ∂2u

∂t2∀M ∈ Ω (2.1)

Dans cette equation, A est un operateur elliptique d’ordre 2m, defini par A = C⋆RC, en

accord avec les relations suivantes :

σ = Rε (2.2)

ε = Cu (2.3)

C⋆σ = −ρ∂2u

∂t2(2.4)

La figure 2.1 est un exemple de structure pouvant etre etudiee. Il s’agit de deux sous-

structures dont la frontiere commune est notee Γ. Plusieurs conditions limites regissent le

comportement des frontieres. Ces conditions limites sont explicitees dans les equations sui-

vantes :

∀M ∈ S1i Diu = 0 (2.5)

∀M ∈ S2i FiRCu = 0 (2.6)

∀M ∈ S3i FiRCu = fi (2.7)

Di est l’operateur imposant les conditions de deplacement sur les frontieres S1i (i corres-

pondant au numero de la sous-structure consideree). Fi est l’operateur imposant les conditions

de contrainte sur les frontieres S2i et S3i.


S1

S2

S2S3

fi

Γ

Fig. 2.1 – Conditions aux limites de la structure

L’energie elastique du systeme est associee a la forme bilineaire a(., .) :

a(u,v) = (Au,v) −m∑

i=1

(FiRCu,Div)Si(2.8)

Le produit scalaire a(., .)Si=

∫

Si

u.v dSi est associe aux fonctions de carre integrable

definies sur les frontieres Si. Les equations 2.5 et 2.6 permettent de modifier l’equation 2.8 :

a(u,v) = (Au,v) −m∑

i=1

(fi,Div)S3i(2.9)

Soit UL l’espace des deplacements qui satisfont la condition :

∀M ∈ Γi ∀M ∈ S1i FiDiu = 0 (2.10)

avec le produit scalaire :

a(u,v) = a(u,v) + (ρu,v) (2.11)

L’espace engendre par le produit scalaire (ρ., .) est appele L. UE ⊂ UL est l’espace complet

defini par :

UE =

u |u ∈ UL, ∀M ∈ Γi ∀M ∈ S3i Diu = 0

(2.12)

Cet espace, qui correspond aux conditions aux limites sur Γ et S3, caracterise la difference

entre les formulations primale et duale.

UE correspond aux deplacements a interface fixe, et UL correspond aux deplacements

a interface libre. LR correspond aux deplacements n’induisant pas de champ de contrainte

(deplacements de corps rigide).

LR =u |u ∈ L, RCu = 0

(2.13)

En formulation primale, un operateur GL est defini :


∀u,v ∈ UL = UL ∩ L⊥R a(GLu,v) = (ρu,v) (2.14)

le sous espace UL est inclus dans UL mais ne comprend pas les deplacements de corps

rigide. L’operateur GL est autoadjoint au regard des produits scalaires a(., .) et (ρ., .) :

∀u,v ∈ UL a(GLu,v) = a(u,GLv) (2.15)

∀u,v ∈ UL (ρGLu,v) = (ρu,GLv) (2.16)

Les vecteurs propres de l’operateur GL correspondent aux modes propres de la structure

avec interfaces libres. Soit XLi ces vecteurs propres. La structure peut avoir des modes de

corps rigide, auquel cas on introduira l’operateur GL :

∀u,v ∈ UL a(

GLu,v)

= (ρu,v) (2.17)

Les modes libres de la structure sont aussi solutions de la formulation faible :

∀v ∈ UL a (XLi,v) = ω2Li (ρXLi,v) (2.18)

Ils satisfont de plus les proprietes d’orthogonalite suivantes :

(ρXLi,XLj) = δij (2.19)

a (XLi,XLj) = ω2Liδij (2.20)

Notons que les valeurs propres γi de l’operateur GL sont les inverses des ω2i . D’autre part,

les valeurs propres de GL sont identiques a celles de GL, et incluent en plus les valeurs propres

correspondant aux modes de corps rigide Xri. Les modes de corps rigide Xri satisfont quant

a eux les proprietes :

(ρXLi,Xrj) = 0 (2.21)

a (XLi,Xrj) = 0 (2.22)

Des formulations duales et primales ont deja ete developpees dans le cadre de l’analyse

modale hybride [40, 41]. Cette methode repose largement sur la theorie de Weinstein [77] qui

permet d’evaluer par defaut les frequences propres d’une structure.

La formulation primale permet de trouver les valeurs propres d’une structure a interfaces

fixes a partir des modes de cette meme structure, mais a interfaces libres. La methode introduit

pour ce faire un probleme intermediaire d’ordre k :

∀u ∈ UEk∀pi ∈ U⊥

Eku− γ−1GLu =

k∑

i=1

piµi (2.23)

∀u ∈ UEk∀pi ∈ U⊥

E a (u, pi) = 0 (2.24)


ou γ−1 = ω2 et ω2 = 1+ω2. Les pi sont k vecteurs independants (1 ≤ i ≤ k) qui engendrent

un sous espace note U⊥Ek

⊂ U⊥E .

Dans le contexte de la double synthese modale, les pi sont associes aux modes de branche.

D’apres la theorie de Weinstein referencee plus haut, les γ(k)i sont tels que :

γLi < γ(k)i < γEi (2.25)

La resolution du probleme necessite l’introduction de la resolvante RL :

RL =(

I − ω2GL

)−1(2.26)

L’expression de la resolvante permet de deduire le deplacement. Ainsi, les equations 2.23

et 2.26 s’associent pour donner u :

u =

k∑

i=1

RLpiµi (2.27)

La resolvante RL peut s’ecrire en fonction des modes propres elastiques XLi et des nr

modes de corps rigide Xri :

RLpi =

∞∑

j=1

qijXLj +

nr∑

j=1

qrijXrj (2.28)

ou

qij =αij

1 − ω2

ω2Lj

(2.29)

αij = (ρpi,XLj) (2.30)

pour les modes elastiques, et

qrij =

αrij

−ω2(2.31)

αrij = (ρpi,Xrj) (2.32)

pour les modes de corps rigide. Notons que pi = pi + pri , ou pi ∈ UL et pr

i ∈ LR. Si seuls

les m premiers modes sont connus, l’expression 2.28 est tronquee.

Dans le but de minimiser l’influence de cette troncature, plusieurs methodes ont ete

developpees. Jezequel [38,40] propose differents types de troncature, parmi lesquelles la tron-

cature de type Rayleigh-Ritz, la troncature par projection, et la troncature reposant sur un

developpement en ω2.

Nous nous interesserons plus particulierement a la troncature par developpement en ω2,

qui permet de choisir le degre de precision de l’analyse a travers le choix de l’ordre du

developpement. Les resultats seront d’autant plus precis que cet ordre sera eleve. La tron-

cature de la resolvante s’effectue sur UL, en utilisant des pi qui sont les projections dans UL

des deformees statiques obtenues en appliquant des distributuins de forces sur les frontieres


S3i et Γ et en imposant r contraintes (si la structure possede r modes de corps rigide). Ainsi,

a l’ordre R, la resolvante s’ecrit :

RLpi = pi +ω2GLpi +ω4G2Lpi + . . .+ω2(R−1)GR−1

L pi +ω2Rm∑

j=1

αij

ω2RLj

(

1 − ω2

ω2Lj

)XLj (2.33)

Le principe de la double synthese modale est de considerer des pi associes a des “modes

de branche”, correspondant a des modes de deplacement de la structure assemblee condensee

aux frontieres. Au premier ordre, l’equation 2.28 devient :

RLpi =

m∑

j=1

qijXLj +

nr∑

j=1

qrijXrj +

k∑

j=1

µijXBj (2.34)

ou k est le nombre de modes de branche utilises. Pour des developpements a des ordres

plus eleves, l’equation 2.33 fournit l’expression de RLpi, avec pi =k∑

j=1

ζijXBja la place de pi

dans le second membre de l’equation.

Discretisation des formulations

La formulation continue nous a permis d’apprehender les problemes de troncature de

maniere physique. Nous nous interessons maintenant a la discretisation du probleme, essen-

tielle si l’on souhaite utiliser des matrices issues de codes elements finis. De telles formulations

sont souvent utilisees dans le domaine de l’analyse modale [59, 65, 75]. Des modeles elements

finis des differentes parties de la structure permettent de determiner les modes permettant de

la decrire. Un code elements finis classique fournit des matrices de masse et de raideur que

nous noterons M et K. L’equation du mouvement s’ecrit alors :

(−ω2M + K

)u = f (2.35)

ou f est le vecteur des forces exterieures appliquees sur la structure. Nous definissons

maintenant un certain nombre de matrices modales utiles pour la resolution du probleme :

– Φ est la matrice des modes libres de la structure, qui comprend les modes libres de

chaque sous-structure ;

– Ψr est la matrice des nr modes de corps rigide ;

– Ψa1 est la matrice des modes d’attache associes aux frontieres libres. Cette matrice est

obtenue en imposant nr conditions aux limites – permettant de s’affranchir des modes

de corps rigide – et une distribution de forces sur les frontieres ;

– Ψf est la matrice des modes d’attache associes aux frontieres Si et aux forces f .

Si la structure est depourvue de modes de corps rigide, la matrice Ψ1 = [Ψa1Ψf1] corres-

pond a la matrice de flexibilite statique K−1. La presence de modes de corps rigide induit la

relation :

Ψ1 = ATΨISO1 A (2.36)

ou


A = I − MΨrM−1rr ΨT

r (2.37)

ΨISO1 = K−1

ISO est une matrice de flexibilite isostatique, obtenue par l’imposition de nr

conditions aux limites sur la structure. Les modes de corps rigide sont ensuite ajoutes pour

corriger ΨISO1 et obtenir Ψ1.

Les matrices ainsi definies permettent d’ecrire le deplacement u au premier ordre :

u = ΦqL + Ψrqr + Ψa1qa + Ψf1f (2.38)

qL et qr s’ecrivent comme suit :

qL =(−ω2ΦTMΦ + ΦTKΦ

)−1 [(ω2ΦTMΨa1 − ΦTKΨa1

)qa1 + ΦT f

](2.39)

qr =(−ω2ΨT

r MΨr + ΨTr KΨr

)−1 [(ω2ΨT

r MΨa1 − ΨTr KΨa1

)qa1 + ΨT

r f]

(2.40)[ΦTMΦ

],[ΦTKΦ

],[ΨT

r MΨr

]et[ΨT

r KΨr

]sont des matrices diagonales. Φ correspond

aux modes libres notes XLj en 2.2.1, Ψr correspond aux modes de corps rigide notes Xrj , Ψa

et Ψf correspondent aux pi.

qa1 peut egalement s’ecrire en fonction de u au moyen de la matrice Ka :

qa1 = Kau (2.41)

ou Ka represente les lignes et colonnes de la matrice de raideur correspondant aux degres

de liberte relatifs a la frontiere Γ.

A l’ordre R, et en considerant l’equation 2.33, la formulation discrete devient :

u = ΦqL + Ψrqr + Ψa1qa + ω2Ψa2qa

+ . . .+ ω2(R−1)ΨaRqa + Ψf1f + ω2Ψf2f + . . .+ ω2(R−1)ΨfRf (2.42)

Les matrices Ψai (1 ≤ i ≤ R) composent le developpement en ω2 de Ψa. De la meme

maniere, les matrices Ψfi (1 ≤ i ≤ R) composent le developpement en ω2 de Ψf .

Les matrices Ψa et Ψf proviennent du developpement en ω2 de la flexibilite isostatique :

ΨISO =(−ω2M + KISO

)−1(2.43)

Ce developpement conduit a la matrice Ψi :

Ψi = [ΨaiΨfi] = ATΨISOi A (2.44)

qui donne les matrices Ψai et Ψfi.

La double synthese modale conduit alors a une formulation faisant aapparaıtrek modes

de branche (cf. eequation2.34). La matrice ΦB correspond a ces modes de branche, que l’on

determine d’apres la condensation de la structure complete sur les frontieres :

([−ω2

]ΨTMΨ + ΨTKΨ

)ΦB = 0 (2.45)


ou[−ω2

]est la matrice diagonale des valeurs propres et Ψ = [ΨaΨf ]. L’equation 2.42

devient :

u = ΦqL + Ψrqr + Ψa1ΦBaqb + ω2Ψa2ΦBaqb

+ . . .+ ω2(R−1)ΨaRΦBaqb + Ψf1ΦBfqb + ω2Ψf2ΦBfqb

+ . . .+ ω2(R−1)ΨfRΦBfqb (2.46)

ou ΦBa et ΦBf sont les parties de la matrice ΦB relatives a qa et qf .

2.2.2 Formulation duale

Analyse modale de la structure – formulation continue

Nous considerons ici une formulation en force ; l’equation 2.1 devient alors :

Bσ = ω2σ (2.47)

Notons la relations entre B, R et C :

B =1

ρRCC⋆ (2.48)

Les conditions aux frontieres sont les memes qu’en 2.2.1, formulees en contraintes :

∀M ∈ S1i Di1

ρC⋆σ = 0 (2.49)

∀M ∈ S2i Fiσ = 0 (2.50)

∀M ∈ S3i Di1

ρC⋆σ = diω

2 (2.51)

ou les deplacements di correspondent aux forces fi. Les notations Di et Fi ont ete definies

en 2.2.2. Ainsi, les equations des paragraphes precedents concernant la formulation primale

peuvent etre ecrites en formulation duale, ainsi qu’il est fait en [38,40]. Le sous-espace VE est

maintenant defini pour les fonctions verifiant des conditions de forces nulles sur S2i. Comme

pour la formulation primale, plusieurs espaces et produits scalaires sont definis. La forme

bilineaire b(., .) est d’abord introduite pour relier les formulations primale et duale :

b(σ, τ) = t (Bσ, τ) +

m∑

i=1

(ω2di, τi

)

S3i=

(1

ρC⋆σ,C⋆τ

)

(2.52)

E est l’espace des contraintes complete par le produit scalaire t(., .). L’espace ES est

egalement defini, analogue a LR en formulation primale :

ES =τ | τ ∈ E, C⋆τ = 0

(2.53)

Comme pour la formulation primale, un produit scalaire b(., .) est introduit qui correspond

au sous-espace VE ⊂ VE :


b(σ, τ) = b(σ, τ) + t(σ, τ) (2.54)

De la meme maniere que l’operateur GL en formulation primale, nous definissons un

operateur HE satisfaisant l’equation :

∀σ, τ ∈ V E b(HEσ, τ) = t(σ, τ) (2.55)

ou V E = E⊥S ∩ VE. Un operateur HE est defini dans le sous-espace VE . Cet operateur a les

memes valeurs propres que HE , auxquelles s’ajoutent celles correspondant aux fonctions du

sous-espace ES :

∀σ, τ ∈ VE b(HEσ, τ) = t(σ, τ) (2.56)

En formulation duale, nous appellerons la resolvante RE :

RE =(

I − ω2HE

)−1(2.57)

Cette resolvante permet d’ecrire les contraintes σ :

σ =

k∑

i=1

RE τiλ⋆i (2.58)

En utilisant les modes de contrainte YEi, cette resultante s’exprime sous la forme :

RE τi =

∞∑

j=1

βijYEi(ω2

Ei − ω2)ω2

Ei

(2.59)

ou βij = b(τj , YEi).

Si l’on desire obtenir une expression approchee de la resolvante RE n’utilisant que les

premiers modes de la structure, il faut tronquer cette resolvante. Un developpement en ω2

permet alors de minimiser l’effet de cette troncature. A l’ordre R, en utilisant m modes, on

obtient :

REτi = τi + ω2HEτi + ω4H2Eτi + . . .+ ω2(R−1)HR−1

E τi + ω2Rm∑

j=1

βijYEj

ω2REj

(

ω2Ej − ω2

)

ω2Ej

(2.60)

La double synthese modale utilise des modes de branche YBj pour s’affranchir des τi, comme

pour la formulation primale. Ainsi, si l’on considere m modes encastres et k modes de branche,

l’equation 2.59 devient :

REτi =

m∑

j=1

qijYEj +

k∑

j=1

λ⋆ijYBj (2.61)

ou YEj represente les modes encastres de toutes les sous-structures.

L’equation 2.58 permet d’exprimer les contraintes σ, mais il est plus commode de formuler

les equations en deplacement, afin d’etre en accord avec les sorties des codes elements finis les


plus courants. Pour ce faire, nous introduisons les deplacements wi qui sont lies aux contraintes

τi :

RCwi = τi (2.62)

Les wi satisfont les equations :

∀M ∈ Ω Awi = ρω2pi (2.63)

∀M ∈ S1j Djwi = 0 (2.64)

∀M ∈ S2j FjRCwi = 0 (2.65)

∀M ∈ S3j Djwi = fi (2.66)

∀M ∈ Γj Djwi = 0 (2.67)

Un operateur GE est introduit pour resoudre le probleme :

a(GEu, v) = (ρu, v) ∀u, v ∈ UE (2.68)

ou UE = UE ∩ L⊥R. Ainsi, la relation entre wi et pi peut s’ecrire :

wi = GEpi (2.69)

Un operateur GE est egalement introduit, qui prend en compte les modes de corps rigide.

GE est associe a wi et pi. En remplacant σ et pi dans les equations 2.58 et 2.60, on trouve

l’expression du deplacement u. Au premier ordre de developpement, on obtient :

u =n∑

i=1

qEiXEi +k∑

i=1

λ⋆i pi (2.70)


Nous nous interessons maintenant a la discretisation de la formulation duale continue, afin

de pouvoir utiliser cette methode d’analyse modale en association avec des matrices issues de

codes elements finis. L’equation 2.35 servira la encore de base.

Detaillons les matrices modales que nous utiliserons par la suite :

– Φ est la matrice des modes a interface fixe ;

– Ψa1 est la matrice des modes de contrainte, au premier ordre ;

– Ψf1 est la matrice des modes d’attachement associes aux frontieres S3i.

Les deplacements u peuvent s’exprimer au moyen de ces matrices. Au premier ordre :

u = Φqf + Ψa1qa + Ψf1f (2.71)

A l’ordre R, l’equation 2.71 devient :

u = Φqf + Ψa1qa + . . . + ω2(R−1)ΨaRqa + Ψf1f + . . .+ ω2(R−1)ΨfRf (2.72)

Les matrices Ψai et Ψfi (1 ≤ i ≤ R) proviennent d’un developpement en ω2 de la matrice

de flexibilite dynamique de la structure a interfaces fixees. Nous introduisons alors les indices


I, B et F , qui correspondent respectivement aux degres de liberte internes, aux degres de

liberte de frontiere et aux degres de liberte relatifs a S3i. Les matrices et vecteurs s’ecrivent

alors :

u =

uI

uB

uF

(2.73)

D =

DII DIB DIF

DBI DBB DBF

DFI DFB DFF

(2.74)

K =

KII KIB KIF

KBI KBB KBF

KFI KFB KFF

(2.75)

La matrice de flexibilite s’ecrit :

(KII − ω2DII

)−1(2.76)

Le vecteur u peut alors etre exprime au moyen des deplacements generalises introduits a

l’equation 2.63 :

Ψaqa = ΨaΨduΓj(2.77)

La formulation elements finis donnee a l’equation 2.35 fait intervenir un terme de forces f ,

nous n’exprimerons donc pas Ψf f en fonction des deplacements comme nous l’avons fait pour

Ψaqa.

La matrice Ψd peut s’ecrire en fonction des matrices de masse et de raideur D et K :

Ψd = −ω2DIB + KIB (2.78)

Au premier ordre, nous considerons que Ψd = KIB, et le vecteur qf s’ecrit :

qf =(−ω2ΦTDΦ + ΦTKΦ

)−1 [(ω2ΦTDΨa1 − ΦTKΨa1

)qa + ΦT f

](2.79)

La double synthese modale conduit a une formulation faisant intervenir k modes de branche.

ΦB est la matrice de ces modes de branche. Cette matrice est obtenue en resolvant l’equation

aux valeurs propres :

(−[ω2]ΨTDΨ + ΨTKΨ

)ΦB = 0 (2.80)

ou[ω2]

est une matrice diagonale de valeurs propres correspondant aux colonnes de ΦB

et Ψ = [ΨaΨf ].

Des exemples utilisant les deux types de formulation proposes en 2.2.1 aet2.2.2 sont presentes

en 2.2.3.


2.2.3 Resultats

Nous desirons ici comparer l’efficacite des differentes methodes de synthese modale, ap-

pliquees a differents ordres.

Cas de deux plaques couplees

La figure 2.2 represente la structure qui a ete utilisee pour les calculs. Il s’agit de deux

plaques, considerees comme deux sous-structures.

Fig. 2.2 – Modele elements finis utilise pour les calculs

La figure 2.3 represente les resultats de l’analyse modale de la structure. Les frequences des

premiers modes ont ete calculees selon les differentes methodes. Le modele de reference corres-

pond au calcul effectue par le code elements finis. Le meme modele et la meme discretisation

ont bien sur ete utilises pour toutes les methodes representees. Chacune des plaques est decrite

par 20 modes ; 40 modes sont utilises pour la frontiere. On constate que la formulation primale

donne de meilleurs resultats, pour un cout de calculs cependant un peu plus important.

Cas d’un bossage

L’efficacite de la double synthese modale ne se reduit pas a l’etude des jonctions entre sous

structures. Il est egalement possible de modeliser toute sortes de singularites. Nous traitons

ici le cas d’un bossage, illustre a la figure 2.4.

Les caracteristiques geometriques et structurales de ce modele sont donnees dans le ta-

bleau 2.1.

Nous analysons la partie plane au moyen de 8 modes encastres (analyses aux 1er et 2e

ordres), et considerons 20 modes de branche pour la singularite. La figure 2.5 montre les

resultats obtenus en excitant ponctuellement la plaque. Nous constatons une bonne correlation

des modeles modaux avec le modele “exact”, qui n’est autre que le calcul par elements finis. La

encore, nous constatons un gain de precision avec le calcul au second ordre. Les agrandissements

des figures 2.6 et 2.7 mettent d’ailleurs en evidence cet apport.


5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

200

400

600

800

1000

1200

1400

numero du mode

Fre

quen

ceen

Hz

Formulation primale : ordre 0Formulation primale : ordre 1Formulation duale : ordre 1Formulation duale : ordre 2Reference

Fig. 2.3 – Comparaison des differentes methodes

Fig. 2.4 – Bossage de la structure analysee

2.2.4 Influence du nombre de modes de ligne

Nous reprenons ici le modele de bossage represente a la figure 2.4, en faisant varier le

nombre de modes de ligne utilises. Les resultats sont representes aux figures 2.8, 2.9 et 2.10.

On constate une nette augmentation de la precision des resultats au passage de 15 a 25 modes

de ligne. Ces modes de ligne representant les modes globaux de la structure, cette constatation

etait a prevoir.


Dimensions Epaisseur Hauteur du Masse volumique Module d’Young

de la plaque de la plaque bossage ρ E

4 × 3 m 1 cm 20 cm 7850 kgm−3 2.0.1011 Pa

Tab. 2.1 – Caracteristiques du bossage

15 20 25 30 35 40 45−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)

Fig. 2.5 – Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, pour 20 modes de surface (— :

Calcul exact, - - : Calcul a l’ordre 1, · · · : Calcul a l’ordre 2)

2.2.5 Influence du nombre de modes de surface

Toujours en reprenant le modele de bossage represente a la figure 2.4, nous faisons main-

tenant varier le nombre de modes de surface utilises. Les resultats sont representes aux figures

2.11, 2.12, 2.13, 2.14 et 2.15. On constate qu’il est inutile d’augmenter le nombre de modes de

surface si le nombre de modes de ligne reste inchange. Ce sont donc bien les modes de ligne

qui sont reellement representatifs du comportement global de la structure assemblee.

2.2.6 Conclusion

Les methodes presentees ici permettent d’etudier une structure en n’utilisant que des degres

de liberte generalises. Ces degres de liberte correspondent aux differentes parties de la struc-

ture, ce qui permet de decomposer une structure complexe et d’isoler les comportements vi-

bratoires de ses differentes parties. Des modes ont ete utilises pour caracteriser les plaques et


16 17 18 19 20 21 22 23

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)

Fig. 2.6 – Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, autour de 20 Hz (— : Calcul

exact, - - : Calcul a l’ordre 1, · · · : Calcul a l’ordre 2)

24 26 28 30 32 34 36

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)

Fig. 2.7 – Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, autour de 30 Hz (— : Calcul

exact, - - : Calcul a l’ordre 1, · · · : Calcul a l’ordre 2)


15 20 25 30 35 40 45−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)

Fig. 2.8 – Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, pour 15 modes de ligne (— :


15 20 25 30 35 40 45−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)




15 20 25 30 35 40 45−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)



15 20 25 30 35 40 45−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)




15 20 25 30 35 40 45−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)



15 20 25 30 35 40 45−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)




15 20 25 30 35 40 45−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)



15 20 25 30 35 40 45−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Frequence en Hz

Rep

onse

de

last

ruct

ure

(dB

)



2.3 Analyse d’un systeme couple par triple synthese modale 31

les interfaces, mais toute autre singularite peut etre consideree separement de maniere modale

(bossage, raidisseurs. . .).

2.3 Analyse d’un systeme couple par triple synthese modale

2.3.1 Introduction

Nous avons precedemment explicite le principe de la double synthese modale dans le cadre

de formulations primale et duale, les methodes proposees s’approchant souvent de methodes

classiques [29,30,32,40,41]. Elles presentent toutefois la particularite d’introduire un nombre

minimal de degres de liberte, dans le but de d’etendre les techniques de synthese modale vers

les hautes frequences.

Nous nous interessons maintenant a la presence eventuelle de fluide couple a une structure.

Dans le cadre de cette these, l’analyse d’un fluide correspond a l’analyse du comportement

volumique d’un milieu qui ne presente pas de resistance au cisaillement. On s’affranchira des

modes de gravite dus a la pesanteur, ce qui revient a ecarter les fluides lourds. Nous allons donc

generaliser le concept de synthese modale aborde dans les sections precedentes aux systemes

couples fluide-structure. De meme que nous avons parle de double synthese modale dans le cas

de methodes de synthese modale utilisant des modes de branche, nous baptiserons la methode

proposee pour l’analyse modale acoustique triple synthese modale.

La mise en œuvre de cette methode de triple synthese modale consiste a decrire les parties

acoustiques d’un systeme couple par des modes volumiques. Une seconde condensation permet

de decrire les parties surfaciques au moyen de modes de surfaces. Enfin, des modes de branche

sont utilises pour representer les frontieres lineiques du systeme.

La methode proposee ici sera developpee, comme dans le cas de la double synthese modale,

en formulations duale et primale. La formulation initiale du probleme repose sur la theorie du

couplage fluide structure qui a ete rappelee en 1.

2.3.2 Principe

La double synthese modale nous a permis de decrire une structure par l’intermediaire de

modes de surface et de modes de ligne. Dans un contexte industriel (nous prendrons l’exemple

de la conception automobile dans la suite de ce memoire), les structures complexes sont le

plus souvent couplees a des parties acoustiques. Le role de ces parties acoustiques est fon-

damental si l’on s’interesse au comportement vibro-acoustique des systemes etudies, et plus

particulierement aux proprietes acoustiques d’un habitacle d’automobile. C’est pourquoi nous

allons ici generaliser les concepts vus lors de l’etude modale des structures a la description de

systemes couples. La figure 2.16 represente un systeme couple et fait apparaıtre les notations

concernant les frontieres entre les differentes parties du systeme.

2.3.3 Formulation primale

Formulation continue

Nous presentons en premier lieu le principe de la triple synthese modale en formulation


Γ

Structure ΩS (3 sous-structures sont representees ici)

Σ1

Σ2

S3

S1 S2

fi

ΩF

Fig. 2.16 – Triple synthese modale : systeme etudie

primale. Nous considerons donc un ensemble de deux sous-structures couplees a une cavite

acoustique. Les equations de ce probleme s’ecrivent :

ASuS = −ρS∂2uS

∂t2sur la partie structurale ΩS (2.81)

∇p = −ρF∂2uF

∂t2

p = −ρF c2div (uF )

dans la cavite acoustique ΩF (2.82)

∂p

∂n= ρF

∂2uS.n

∂t2sur les surfaces Σi (2.83)

DuS = 0 sur S1i (2.84)

FRCuS = 0 sur S2i (2.85)

FRCuS = fi sur S3i (2.86)

Comme pour la double synthese modale, la forme bilineaire aF (., .) est associee a l’energie

elastique du systeme :

aF (u,v) = (AFu,v) −m∑

i=1

(p,Dv)Σi(2.87)

Le produit scalaire aF (., .) est alors ainsi defini :

aF (u,v) = aF (u,v) + (ρF u,v) (2.88)

Ce produit scalaire est associe a l’espace des deplacements admissibles dans ΩF . LF est

l’espace engendre par le produit scalaire (ρF ., .). Nous introduisons le sous-espace LFR qui

correspond aux deplacements de corps rigide :


LFR =

uF |uF ∈ LF , p = 0

(2.89)

L’operateur GFL peut etre defini :

∀u,v ∈ UFL = UF

L ∩ LFR

⊥a(GF

Lu,v)

= (ρF u,v) (2.90)

L’operateur GFL est egalement introduit :

∀u,v ∈ UFL aF (GF

Lu,v) = (ρF u,v) (2.91)

Les modes “libres” de la partie acoustique (modes de cavite) sont solutions de la formulation

faible :

∀u ∈ UFL a

(XF

Li,u)

= ωFLi

2 (ρFXF

Li,u)

(2.92)

et satisfont les proprietes d’orthogonalite :

(ρXF

Li,XFLj

)= δij (2.93)

a(XF

Li,XFLj

)= ωF

Li

2δij (2.94)

De la meme maniere que pour la double synthese modale, un probleme intermediaire d’ordre

k est considere :

∀u ∈ UFEk ∀pi ∈ UF

Ek⊥ u− 1

ω2GF

Lu =

k∑

i=1

piµi (2.95)

ou ω2 = 1 + ω2 et UFEk ⊂ UF

E est l’espace defini par :

UFE =

u|u ∈ UFL ,∀M ∈ Σi Diu = 0

(2.96)

Les pi sont k vecteurs independants qui engendrent le sous-espace UFEk

⊥. Les pi corres-

pondent donc a des deplacements generalises sur les frontieres Σi. La resolvante RFL est intro-

duite :

RFL =

(

I− ω2GFL

)−1(2.97)

Le deplacement uF peut alors s’ecrire :

uF =k∑

i=1

RFL piµi (2.98)

Ce deplacement peut egalement s’exprimer en fonction des modes propres XFLi et Xr :

RFL pi = qr

iFXr +

∞∑

j=1

qFijX

FLj (2.99)

ou :


qFij =

(

ρF pi,XFLj

)

1 − ω2

ωFLj

2

(2.100)

Si seuls les m premiers modes sont connus, l’expression 2.99 est tronquee. L’effet de cette

troncature peut etre minimise par le biais d’un developpement en ω2 qui conduit a l’equation

sur la resolvante RFL associee a l’espace UF

L :

RFLpi = pi + ω2GF

Lpi + ω4G2Lpi + . . .+ ω2(R−1)GR−1

L pi + ω2Rm∑

j=1

qFij

ωFLj

2RXF

Lj (2.101)

Les pi sont les projections sur UFL des deformees statiques des frontieres Σi lorsqu’une

distribution de forces y est appliquee.

Ainsi, les deplacements dans ΩF sont decrits au moyen de degres de liberte generalises. Il

est cependant interessant de considerer la pression dans la cavite acoustique. En effet, la vision

en deplacement du fluide est assez rarement utilisee. Nous introduisons donc les contraintes ci

correspondant aux deplacements pi :

ci = −ρF c2∇pi (2.102)

Les contraintes ci satisfont les equations :

∆ci =ω2

c2τ i (2.103)

∂ci

∂n= −ρFω

2uSi (2.104)

(2.105)

Ces equations proviennent de la formulation duale qui sera presentee en 2.3.4. Les contraintes

τ i, definies dans l’equation 2.148, sont analogues aux deplacements pi utilises en formulation

primale.

L’operateur HL est utilise pour la resolution du probleme. HL est defini au moyen des

produits scalaires b(., .) et t(., .) qui seront eux-meme definis en 2.3.4 :

b (HLu,v) = t(u,v) (2.106)

Ainsi, la relation entre ci et τ i s’ecrit :

ci = HLτ i (2.107)

Cette equation permet de trouver l’expression de la pression p plutot que du deplacement

uF .

Nous nous interessons maintenant aux deplacements dans ΩS. Notons que Σi ⊂ ΩF .

Soit USL l’espace des deplacements admissibles qui satisfont les conditions 2.83, 2.84 et 2.85.

Le produit scalaire aS(., .) est associe a l’energie elastique de la structure :


aS(u,v) = (ASu,v) −m∑

i=1

(FiRCu,Div)S3i(2.108)

Le produit scalaire aS(., .) est maintenant defini :

∀u,v ∈ USL aS(., .) = aS(., .) + (ρu,v) (2.109)

Nous notons LS l’espace engendre par le produit scalaire (ρ., .) et LSR le sous-espace cor-

respondant aux deplacements de corps rigide :

LSR =

u|u ∈ LS ,RCu = 0

(2.110)

Les operateurs GSL et GS

L sont respectivement definis pour les sous-espaces USL ∩LS

R et USL :

∀u,v ∈ USL ∩ LS

R aS(GS

Lu,v)

= (ρu,v) (2.111)

∀u,v ∈ USL aS

(

GSLu,v

)

= (ρu,v) (2.112)

Les modes libres de la structure chargee des pressions acoustiques sur Σi sont les solutions

de la formulation faible :

∀u,v ∈ USL ∩ LS

R a(XS

Li,u)

= ωSLi

2 (ρXS

Li,u)

(2.113)

Le probleme intermediaire d’ordre k est alors :

∀u ∈ USEk ∀si ∈

(

USEk

)⊥u− 1

ω2GS

Lu =

k∑

i=1

siµi (2.114)

ou USEk ⊂ US

E , qui est l’espace defini par :

USE =

u|u ∈ USL ,∀M ∈ Γi Diu = 0

(2.115)

USE ⊂ US

L est le sous-espace des deplacements admissibles satisfaisant aux conditions de

frontieres fixes. Les si sont k vecteurs independants qui engendrent le sous-espace USEk. La

resolvante utilisee ici est definie comme suit :

RSL =

(

I− ω2GSL

)−1(2.116)

Le deplacement peut alors s’ecrire :

∀u ∈ USL u =

k∑

i=1

RSLsiµi (2.117)

Les modes libres definis a l’equation 2.113 permettent d’ecrire le deplacement :

RSLsi =

nr∑

j=1

qrij

SXSrj +

∞∑

j=1

qSijX

SLj (2.118)


ou nr est le nombre de modes de corps rigide de la structure. Si seuls les m premiers modes

sont connus, l’expression 2.118 est tronquee, et nous reduirons l’effet de cette troncature au

moyen d’un developpement en ω2, comme il a ete explique dans le cas des modes acoustiques

a l’equation 2.101.

Enfin, les si sont exprimes en fonction de modes de branche XBi comme dans le cas de la

double synthese modale.


La methode proposee ci-avant et formulee de maniere continue est maintenant mise en

pratique matriciellement, dans le but de l’utiliser conjointement avec des resultats issus de

codes de calculs elements finis. Nous utiliserons notamment des matrices de masse et de raideur

intervenant dans l’equation classique du mouvement d’une structure :

(−ω2M + K

)u = f (2.119)

En ce qui concerne la partie acoustique du systeme, nous avons vu au chapitre 1 que la

discretisation classique des equations de l’acoustique conduit a des matrices de masse et de

raideur acoustiques :

(−ω2Ma + Ka

)p = 0 (2.120)

Nous avons ici choisi une formulation en pression. D’autres formulations existent, qui per-

mettent notamment de s’affranchir des matrices non symetriques en presence ici.

La formulation du probleme couple fait intervenir une matrice de couplage C :

(

−ω2

[

M 0

CT Ma

]

+

[

K −C

0 Ka

])

u

p

=

f

0

(2.121)

Nous introduisons les matrices suivantes :

– Φa est la matrice des m premiers modes libres de la cavite acoustique, correspondant

aux XFLj ;

– Ψ1a est la matrice de flexibilite de la formulation donnee a l’equation 2.120, en considerant

p = 0 sur les surfaces Σi, au premier ordre.

Au premier ordre, la pression p peut s’exprimer :

p = Φaqa + Ψ1aqΣ (2.122)


p = Φaqa + Ψ1aqΣ + ω2Ψ2

aqΣ + . . .+ ω2(R−1)ΨRa qΣ (2.123)

Decomposons p selon les degres de liberte internes et parietaux. Les matrices et vecteurs

s’ecrivent alors :

p =

pΣ

pI

(2.124)


Ma =

[

MΣΣa MΣI

a

MIΣa MII

a

]

(2.125)

Ka =

[

KΣΣa KΣI

a

KIΣa KII

a

]

(2.126)

Ces notations permettent d’exprimer la matrice de flexibilite Ψa :

Ψa =(−ω2DII

a + KIIa

)−1 (−ω2DIΣa + KIΣ

a

)(2.127)

Les matrices Ψja constituent le developpement en ω2 de Ψa. qa s’ecrit :

qa =(−ω2ΦT

a MaΦa + ΦTa KaΦa

)−1 (ω2ΦT

a MΦa − ΦTa KΦa

)qΣ (2.128)

En ce qui concerne les deplacements de la structure, ils s’expriment en fonction des modes

libres de la structure chargee acoustiquement, au moyen de matrices :

– Φs est la matrice des m premiers modes libres de la structure ;

– Ψrs est la matrice des nr modes de corps rigide de la structure ;

– Ψs est la matrice des modes d’attache associes aux frontieres libres (cf. a ce propos la

discretisation effectuee en double synthese modale).

Si le systeme ne presente aucun mode de corps rigide, la matrice des modes d’attache

se resume a la matrice de flexibilite statique K−1S , ou KS est la matrice de raideur de la

structure chargee. Dans le cas de la presence de modes de corps rigide, une matrice de flexibilite

isostatique ΨISOs est definie en imposant nr conditions aux limites sur la structure. La matrice

Ψs est alors calculee au moyen de la relation :

Ψs = AT ΨISOs A (2.129)

ou :

A = I − MSΨrsM

−1rr Ψr

sT (2.130)

Ainsi, qΣ et les deplacements u s’ecrivent :

u

qΣ

= Φsqs + Ψrsq

rs + Ψsqb + Ψf f (2.131)

ou Φs est la matrice obtenue par resolution de l’equation :

(−[ω2]MΣ + KΣ

)Φs = 0 (2.132)

[ω2]

est une matrice diagonale de valeurs propres. KΣ et MΣ sont les matrices de raideur

et de masse de la partie structurale chargee sur Σi.

Les vecteurs qs et qrs s’expriment alors :

qs =(−ω2ΦT

s MΣΦs + ΦTs KΣΦs

)−1 [ΦT

s f +(ω2ΦT

s MΣΦs − ΦTs KΣΦs

)qb

](2.133)


qrs =

(

−ω2ΨrsTMΣΨr

s + ΨrsTKΣΦr

s

)−1 [

ΨrsT f +

(

ω2ΦrsTMΣΨr

s − ΨrsTKΣΨr

s

)

qb

]

(2.134)

Enfin, les vecteurs qb et f sont exprimes au moyen de la matrice ΦB des modes de branche

du systeme couple, obtenus en resolvant le probleme condense sur les frontieres Γ et S3i :

(−[ω2]MB + KB

)ΦB = 0 (2.135)

MB et KB sont les matrices de masse et de raideur du systeme couple condense.[ω2]

est

la matrice diagonale des valeurs propres correspondantes.

2.3.4 Formulation duale

Formulation continue

Le principe de la triple synthese modale est a present explicite a travers une formulation

duale. Les equations constitutives du probleme deviennent donc :

BSσS = ω2σS sur ΩS (2.136)

∆p− ω2

c2p = 0 sur ΩF (2.137)

∂p

∂n= −ρFω

2uS sur les surfaces Σi (2.138)

Di1

ρC⋆σS = 0 sur S1i (2.139)

FiσS = 0 sur S2i (2.140)

Di1

ρC⋆σS = diω

2 sur S3i (2.141)

ou BS = 1ρS

RCC⋆. Nous definissons le sous-espace V FE pour les fonctions verifiant une

condition nulle de pression sur Σi, ainsi que la forme bilineaire t(., .) :

b(p, π) = t(BF p, π) +m∑

i=1

(∂p

∂n, πi

)

S3i

=

(1

ρF∇p,∇π

)

(2.142)

ou BF = ρF c2∆. EF est l’espace des pressions complete au moyen du produit scalaire

t(., .). L’espace EFS est analogue a l’espace LF

R defini en formulation primale :

EFS =

p|p ∈ EF ,∇p = 0

(2.143)

Le produit scalaire b(., .) est introduit ; il correspond au sous-espace V FE ⊂ V F

E :

b(p, π) = b(p, π) + t(p, π) (2.144)

L’operateur HFE est utilise pour la resolution du probleme. Il est defini comme suit :

∀p, π ∈ VFE b

(HF

Ep, π)

= t(p, π) (2.145)

avec :


VFE =

(EF

S

)⊥ ∩ V FE (2.146)

L’operateur HFE et le produit scalaire b(., .) sont egalement introduits afin de tenir compte

du sous-espace EFS :

∀p, π ∈ V FE b

(

HFEp, π

)

= t(p, π) (2.147)

Le probleme intermediaire d’ordre k s’ecrit alors :

p− ω2HFEp =

k∑

i=1

τiλ⋆i (2.148)

Les τi sont k vecteurs independants qui engendrent le sous-espace(

WFEk

)⊥, avec :

(

WFEk

)⊥⊂(

WFE

)⊥(2.149)

WFE = V F

E ⊖ V FL (2.150)

V FL ⊂ V F

E (2.151)

ou V FL est le sous-espace correspondant aux conditions libres sur Σi :

V FL =

p|p ∈ V FE ,∀M ∈ Σi Fip = 0

(2.152)

La pression p peut alors s’ecrire au moyen de la resolvante RFE =

(

I − ω2HFE

)−1:

p =k∑

i=1

RFE τiλ

⋆i (2.153)

Cette resolvante RFE peut s’exprimer au moyen des modes de contrainte Y F

Ei :

RFE τi =

∞∑

j=1

b(

τj , YFEj

)

Y FEj

(

ωFEi

2 − ω2)

ωFEi

2(2.154)

Si seuls les premiers modes acoustiques sont connus, l’expression donnee a l’equation 2.154

est tronquee. L’erreur alors generee est minimisee par un developpement en ω2 de la resultante

RFE associee a HF

E :

RFEτi = τi + ω2HF

Eτi + ω4(HF

E

)2τi

+ . . .+ ω2(R−1)(HF

E

)(R−1)τi + ω2R

m∑

j=1

b(

τj, YFEj

)

Y FEj

(

ωFEj

2 − ω2)

ωFEj

2(R+1)(2.155)

L’equation 2.155 permet la description de la partie acoustique ΩS au moyen de degres de

liberte generalises. Soit V SE l’espace des contraintes admissibles sur ΩS .


Comme pour la partie acoustique, nous definissons les produits scalaires bS(., .) et bS(., .) :

∀σ, τ ∈ V SE bS(σ, τ) =

(1

ρC⋆

Sσ,C⋆Sτ

)

(2.156)

∀σ, τ ∈ V SE bS(σ, τ) =

(1

ρC⋆

Sσ,C⋆Sτ

)

+ t(σ, τ) (2.157)

Le sous-espace ESS est analogue au sous-espace LS

R defini en formulation primale.

ESS =

σ|σ ∈ ESF ,C

⋆σ = 0

(2.158)

ou ESF est l’espace des contraintes complete avec le produit scalaire t(., .). Les operateurs

HSE et HS

E sont definis :

∀σ, τ ∈ V SE ∩ ES

S bS(HS

Eσ, τ)

= t(σ, τ) (2.159)

∀σ, τ ∈ V SE bS

(

HSEσ, τ

)

= t(σ, τ) (2.160)

Le probleme intermediaire d’ordre k est alors :

∀σ ∈ W SEk∀zi ∈

(

W SEk

)⊥σ − ω2HS

Eσ =

k∑

i=1

ziλ⋆i (2.161)

W SEk ⊂ W S

E , ou W SE est le sous-espace defini par :

W SE =

σ|σ ∈ V SE ,∀M ∈ Γi Fiσ = 0

(2.162)

Les zi sont k vecteurs independants qui engendrent le sous-espace(

W SEk

)⊥. Nous intro-

duisons la resolvante RSE pour resoudre le probleme :

RSE =

(

I− ω2HSE

)−1(2.163)

Les contraintes σ s’ecrivent alors :

∀σ ∈ V SE σ =

k∑

i=1

RSE ziµi (2.164)

Compte tenu des modes fixes de la structure chargee sur Σi, l’equation 2.164 devient :

RSE zi =

∞∑

i=1

qSijY

SEj (2.165)

Si seuls les premiers modes sont connus, l’expression donnee a l’equation 2.165 est tronquee,

et cette troncature est minimisee par un developpement en ω2.

Afin d’obtenir les deplacements u a partir des contraintes apparaissant dans les equations

2.164 et 2.165, nous introduisons les deplacements di, qui correspondent aux contraintes zi :


RCdi = zi (2.166)

Les deplacements di satisfont les equations de la formulation primale :

Adi = ρω2si (2.167)

Dj di = 0 (2.168)

FjRCdi = 0 (2.169)

ou les si ont ete definis a l’equation 2.114. Ces equations permettent d’obtenir les deplacements

u a partir des equations 2.164 et 2.165.

Les zi sont alors exprimes a l’aide de modes de branche Y Bi , comme dans le cas de la double

synthese modale.


Nous allons ici discretiser les equations definies au paragraphe precedent. Nous adopterons

les notations utilisees en 2.3.3. Ainsi, l’equation du systeme couple est presentee a l’equation

2.121.

Nous introduisons les matrices modales utiles pour la resolution :

– Φa est la matrice des modes acoustiques correspondant a Y FEj ;

– ψra est un vecteur analogue a une matrice de modes de corps rigides dans un cas struc-

tural ;

– Ψa1 est la matrice de flexibilite au premier ordre, definie a partir de la matrice de

flexibilite isostatique(KISO

a1

)−1.

On obtient la matrice ΨISOa1 en imposant une condition limite sur Σ. Ainsi :

Ψa1 = ATΨISOa1 A (2.170)

ou :

A = I − Daψrm−1rr ψ

Tr (2.171)

mrr est un scalaire faisant partie de la matrice de masse acoustique Da. Les matrices que

nous avons definies ici permettent d’exprimer la pression p au premier ordre :

p = ΦaqE +ψraqr + Ψa1qΣ (2.172)


p = ΦaqE +ψraqr + Ψa1qΣ + ω2Ψa2qΣ + . . .+ ω2(R−1)ΨaRqΣ (2.173)

Les matrices Ψai (1 ≤ i ≤ R) constituent le developpement en ω2 de la flexibilite dynamique

Ψa, que l’on obtient a partir de la flexibilite isostatique ΨISOa :

ΨISOa =

(−ω2DISO

a + KISOa

)−1(2.174)

Ainsi :

Ψai = ATΨISOai A (2.175)


Les vecteurs qE et qr peuvent s’exprimer :

qE =(−ω2ΦT

a DaΦa + ΦTa KaΦa

)−1 (ω2ΦT

a DaΨa − ΦTa KaΨa

)qΣ (2.176)

qr =(

−ω2ΨraTDaΨ

ra + Ψr

aTKaΦ

ra

)−1 (

ω2ΨraTDaΨa − Ψr

aTKaΨa

)

qΣ (2.177)

La partie structurale (chargee sur Σi) est maintenant decrite au moyens de modes a inter-

faces fixes.

– Φs est la matrice des modes a interface fixe de la structure ;

– Ψ1s et Ψ1

f sont les matrices des modes d’attache.

Ces matrices permettent d’exprimer le deplacement u et les degres de liberte qΣ au premier

ordre :

u

qΣ

= ΦsqSE + Ψ1

sqa + Ψ1f f (2.178)

ou les qa sont les deplacements sur Γi. Le vecteur qSE peut s’exprimer :

qSE =

(−ω2ΦT

s DsΦs + ΦTs KsΦs

)−1 [(ω2ΦT

s DsΨ1s − ΦT

s KsΨ1s

)qa + ΦT

s f]

(2.179)

Enfin, des modes de branche permettent d’exprimer les deplacements sur Γ a partir de

degres de liberte generalises :

qa

f

= ΦBqB (2.180)

La matrice ΦB des modes de branche est calculee a partir de l’equation du systeme condense

sur Γi et S3i.

Le systeme couple est maintenant entierement decrit par des degres de liberte generalises.

2.3.5 Resultats

Les resultats presentes ici ont ete obtenus par l’utilisation d’une methode “hybride”, dans

le sens ou une formulation primale a ete retenue pour decrire la partie acoustique du systeme,

et une formulation duale a ete choisie pour la partie structurale.

La figure 2.17 represente le modele utilise pour les calculs. Il s’agit d’un modele simple de

deux plaques couplees a une cavite acoustique.

F est une force ponctuelle appliquee sur l’une des deux plaques. Les figures 2.20 et 2.21

donnent les reponses en un point de la cavite pour differents domaines frequentiels. Les figures

2.18 et 2.19 donnent la reponse d’un point de la seconde plaque. Les calculs presentes ont ete

effectues en utilisant des developpements en ω2 au premier, second et troisieme ordres pour la

partie acoustique.

Nous constatons qu’il n’y a pratiquement aucune difference entre les resultats obtenus aux

second et troisieme ordres. Remarquons neanmoins que le second ordre est bien plus precis

que le premier ordre, notamment en ce qui concerne la reponse de la partie acoustique, et ce

meme aux basses frequences. Ce phenomene s’explique par une meilleure prise en compte des


phenomenes de diffraction par les developpements aux ordres eleves, qui tiennent compte des

modes superieurs.

Partie acoustiquePremiere plaqueF

Seconde plaque

Autres parois :deplacement nul

Fig. 2.17 – Modele utilise pour les calculs – triple synthese modale

0 50 100 150−65

−60

−55

−50

−45

−40

−35

−30

−25

Frequence en Hz

Methode elements finisAnalyse modale au 1er ordreAnalyse modale au 2e ordre

Fig. 2.18 – Fonction de transfert (en dB) entre le deplacement en un point de la seconde

plaque et une excitation sur la premiere plaque – de 1 a 150 Hz

La figure 2.22 represente un plan de coupe dans la cavite acoustique. Ce plan de coupe

P est utilise pour representer le champ de pression aux trois ordres de developpement en ω2.


150 160 170 180 190 200 210 220 230−65

−60

−55

−50

−45

−40

−35

−30

−25

Frequence en Hz


Fig. 2.19 – Fonction de transfert (en dB) entre le deplacement en un point de la seconde

plaque et une excitation sur la premiere plaque – de 150 a 230 Hz

Les figures 2.23, 2.24, 2.25 et 2.26 permettent de comparer les resultats obtenus et l’efficacite

de chacune des methodes. Les differences ne sont pas aisement reperable, c’est pourquoi nous

representons, sur les figures 2.27, 2.28 et 2.29, les differences entre chaque methode et la

methode “exacte” que constitue le calcul par element finis. On constate une difference entre

le premier et le deuxieme ordre, mais peu d’apport en ce qui concerne le troisieme ordre.

Les methodes utilisant le second et le troisieme ordre donnent effectivement de meilleurs

resultats que la methode utilisant un developpement au premier ordre. Il est cependant encore

une fois montre que le troisieme ordre n’apporte presque rien.

2.4 Conclusion

Les methodes proposees dans ce chapitre permettent de decrire des systemes fluide-struc-

ture de facon modale. Cette description autorise alors l’acces aux moyennes frequences, selon

le nombre de modes choisis pour l’analyse modale. Il est egalement interessant de noter que

chaque partie du systeme est representee independamment :

– les modes de ligne sont lies aux singularites de la structure ;

– les modes de surface permettent de decrire la partie structurale ;

– les modes de cavite permettent de decrire la partie acoustiques.

Differents types de modes interviennent donc, qui permettent de caracteriser chaque partie

du systeme. La figure 2.30 presente d’ailleurs les densites modales de chaque type de mode.

2.4 Conclusion 45

0 50 100 150−125

−120

−115

−110

−105

−100

−95

−90

−85

−80

Frequence en Hz


Fig. 2.20 – Fonction de transfert entre la pression en un point de la cavite acoustique et une

excitation sur la premiere plaque – de 1 a 150 Hz

Dans la suite de ce memoire, nous allons tirer partie de cette propriete pour determiner des

chemins vibratoires particuliers qui permettront d’optimiser une structure au niveau acous-

tique.

Comme dans le cas de methodes de syntheses modales classiques, les methodes que nous

avons proposees permettent d’utiliser un nombre reduit de degres de liberte. Il est egalement

possible d’etudier separement chaque partie de la structure. Ces avantages diminuent fortement

les couts de calcul.


150 160 170 180 190 200 210 220 230−120

−115

−110

−105

−100

−95

−90

−85

−80

−75

−70

Frequence en Hz


Fig. 2.21 – Fonction de transfert entre la pression en un point de la cavite acoustique et une

excitation sur la premiere plaque – de 150 a 230 Hz

P

Fig. 2.22 – Position du plan de coupe P

2.4 Conclusion 47

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x 10−5

Fig. 2.23 – Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – calculs par elements finis

– x et y sont donnes en metres

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x 10−5

Fig. 2.24 – Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – premier ordre – x et y

sont donnes en metres


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x 10−5

Fig. 2.25 – Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – deuxieme ordre – x et y


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x 10−5

Fig. 2.26 – Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – troisieme ordre – x et y


2.4 Conclusion 49

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Fig. 2.27 – Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – comparaison entre premier

ordre et methode par elements finis (l’echelle de gris est en pourcentages) – x et y sont donnes

en metres

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Fig. 2.28 – Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – comparaison entre

deuxieme ordre et methode par elements finis (l’echelle de gris est en pourcentages) – x et

y sont donnes en metres


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Fig. 2.29 – Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – comparaison entre

troisieme ordre et methode par elements finis (l’echelle de gris est en pourcentages) – x et

y sont donnes en metres

0 5 10 15 20 25 300

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Modes acoustiques

Modes de surface

Modes de branche

Fre

quen

ceen

Hz

Numero du mode

Fig. 2.30 – Densite modale acoustique, structurale et lineique

Chapitre 3

Analyse modale des corps creux

d’une structure

3.1 Introduction

Les structures complexes auxquelles nous nous interessons dans ce memoire comportent

le plus souvent des corps creux qui forment leur squelette, l’exemple d’application type etant

une caisse automobile construite de toles embouties et soudees par points. Il est extremement

important de se pencher sur le comportement de ces corps creux qui est en grande partie

responsable du comportement global des structures etudiees.

Ces corps creux sont utilises sous la forme de profiles minces situes aux principales arretes

des structures ; ils peuvent egalement constituer des raidisseurs, dans le but de modifier le

comportement d’une plaque par exemple. Enfin, les corps creux peuvent etre des composants

a part entiere de la structure qui peuvent etre responsables de transferts vibro-acoustiques

susceptibles de degrader les qualites acoustiques d’une structure.

Une modelisation precise des corps creux est donc requise si l’on desire obtenir des resultats

satisfaisants sur la structure complete. Malheureusement, une telle modelisation ne peut en

general etre obtenue que par elements finis, methode qui se traduit par de lourds calculs,

surtout si l’on opte pour un maillage suffisamment fin en accord avec le domaine frequentiel

etudie. D’autre part, l’aspect “guide d’ondes” des corps creux incite a prendre en compte l’air

lors de la modelisation, ce qui d’une part alourdit encore les calculs, et d’autre part interdit

l’utilisation de methodes de representation par poutres equivalentes.

La methode d’analyse que nous proposons dans ce chapitre repose largement sur les tech-

niques d’analyse modale et de sous-structuration existantes. Il s’agit ici de generer des matrices

pouvant regir le comportement d’un corps creux a partir de l’analyse d’un troncon le compo-

sant. Toutefois, a la difference des methodes de sous-structuration classiques, elle ne necessite

pas la presence de degres de liberte nodaux residuels pour l’assemblage des differents troncons.

Ainsi, un choix judicieux des modes retenus pour l’analyse d’un troncon permet de l’assem-

bler a un second de maniere presque transparente, les elements de corps creux ainsi generes

s’“emboıtant” comme pour un assemblage de matrices issues d’une analyse par elements finis.

Nous nous interesserons dans un premier temps a l’etude de corps creux in vacuo. A

travers differents exemples, nous pourrons comparer les resultats issus de la methode que nous

51

52 CHAPITRE 3. ANALYSE MODALE DES CORPS CREUX D’UNE STRUCTURE

proposons a des calculs elements finis classiques. Dans un deuxieme temps, nous aborderons

le cas du couplage fluide-structure au sein des corps creux. Quelques essais nous permettront

de valider la methode proposee.

3.2 Analyse modale d’une structure in vacuo

Le corps creux que nous considerons ici est represente a la figure 3.1. Pour les besoins de

l’analyse, cette structure est partitionnee en plusieurs elements que nous appellerons troncons.

Chaque troncon est maille de maniere a ne faire intervenir des degres de liberte que sur ses faces,

ainsi que l’illustre la figure 3.2. Notons qu’il n’est pas absolument necessaire de s’affranchir

des degres de liberte internes, qui pourraient etre aisement representes de maniere modale ;

toutefois, la prise en compte de ces degres de liberte alourdirait notablement les equations sans

reel apport scientifique.

x

y z

L

Fig. 3.1 – Corps creux etudie

3.2.1 Analyse modale d’un troncon

La figure 3.2 represente un “troncon” de corps creux qui servira de base a l’elaboration de

notre methode d’analyse modale. Lors de cette analyse, nous prendrons soin de conserver des

degres de liberte nodaux, dans le but de coupler le corps creux a une structure annexe. Etant

donne que les exemples test mettent en avant un raccordement avec une seule plaque, seuls

deux degres de liberte nodaux seront consideres, en accord avec la figure 3.2. Le comportement

du troncon considere est regi par l’equation du mouvement suivante :

(

−ω2

[

MLL MLR

MRL MRR

]

+

[

KLL KLR

KRL KRR

])

uL

uR

=

fL

fR

(3.1)

ou les matrices de masse et de raideur M et K sont partitionnees de maniere a mettre en

evidence les degres de liberte de la face de gauche, notes L, et ceux de la face de droite, notes

3.2 Analyse modale d’une structure in vacuo 53

x

y z

δz

nœud retenu

nœud retenu

Fig. 3.2 – “Troncon” considere (element du corps creux)

R. Cette notation indicielle est egalement adoptee pour les vecteurs u et f .

Les vecteurs uL et uR sont ensuite divises de nouveau afin de distinguer les degres de

liberte, notes ugL et u

gR, qui prendront part a la synthese modale, de ceux qui seront conserves

et notes ukL et uk

R :

uL =

ukL

ugL

, uR =

ukR

ugR

(3.2)

Soit φR la matrice des modes du troncon lorsqu’un nœud de la face de droite reste fixe,

comme indique a la figure 3.3.

x

y z

δz

nœud de droite maintenu fixe

face de droite du troncon

Fig. 3.3 – Analyse de la face de droite du troncon

ΦR est la matrice modale correspondant aux nœuds de la face de droite du troncon. ΦR


est donc une partition de la matrice φR. En accord avec la theorie de Craig et Bampton [15],

les deplacements de la face de droite du troncon peuvent s’ecrire :

ugR = ΦRqR + ΨRuk

R (3.3)

ou ΨR est la matrice des modes statiques de liaison qui correspondent en fait aux modes

de corps rigide du troncon, puisqu’un unique nœud est fixe.

Des matrices analogues sont definies pour ce qui concerne la partie gauche du troncon. Soit

φL la matrice des modes du troncon lorsqu’un nœud de la partie gauche est fixe. ΦL est la

matrice correspondant au relevement statique sur le nœud reste fixe, et qui correspond donc

aux modes de corps rigide du troncon. Les deplacements des nœuds de gauche peuvent alors

s’ecrire :

ugL = ΦLqL + ΨLuk

L (3.4)

Ainsi, les deplacements u peuvent etre exprimes en fonction des degres de liberte generalises

qL et qR :

ukL

ugL

ukR

ugR

=

I 0 0 0

ΨL ΦL 0 0

0 0 I 0

0 0 ΨR ΦR

ukL

qL

ukR

qR

(3.5)

Notons que les degres de liberte relatifs a la face de gauche du troncon ne dependent pas

des modes de la face de droite, et inversement. C’est cette particularite, issue du choix des

modes consideres, qui permettra un assemblage aise des differents troncons.

3.2.2 Assemblage de plusieurs troncons

Afin d’assembler deux troncons de corps creux, il convient d’ecrire les relations entre les

degres de liberte des faces de droite et de gauche de deux troncons juxtaposes. Les degres de

liberte de la face de droite du premier troncon, notes ukR1 et u

gR1, sont identiques aux degres

de liberte de la face gauche du second troncon, notes ukL2 et u

gL2 :

ukR1 = uk

L2

ugR1 = u

gL2

(3.6)

L’equation 3.6 peut egalement s’ecrire en considerant les structures n et n+ 1 :

ukRn

= ukLn+1

ugRn

= ugLn+1

(3.7)

L’equation 3.6 conduit alors a une expression des degres de liberte de la face de gauche du

second troncon en fonction des degres de liberte du premier troncon :

ukL2 = uk

R1

qL2 = ΦL

(ΦRqR1 + (ΨR − ΨL)uk

R1

) (3.8)

ce qui peut etre formule pour deux troncons consecutifs n et n+ 1 :


ukLn+1

= ukRn

qLn+1= ΦL

(ΦRqRn + (ΨR − ΨL)uk

Rn

) (3.9)

ou ΦL est une pseudo-inverse de la matrice ΦL :

ΦL =(ΦT

LΦL

)−1ΦT

L (3.10)

Les equations 3.8 permettent d’assembler N troncons par le biais des matrices de passage

Tn :

Ktot =N∑

n=1

TTnKTn (3.11)

Mtot =

N∑

n=1

TTnMTn (3.12)

Notons que l’assemblage des matrices est aussi aise que si elles etaient issues d’un calcul

elements finis. Dans le cas de deux troncons, les matrices Tn se construisent de la maniere

suivante :

T1 =

I 0 0 0 0 0

0 I 0 0 0 0

0 0 I 0 0 0

0 0 0 I 0 0

(3.13)

T2 =

0 0 I 0 0 0

0 0 ΦL (ΨR − ΨL) ΦLΦR 0 0

0 0 0 0 I 0

0 0 0 0 0 I

(3.14)

Il est egalement possible d’utiliser l’equation 3.14 pour construire la matrice T1. La ma-

trice qui resulte de l’equation 3.11 est plus simple, mais il peut etre interessant d’utiliser des

formulations identiques pour chaque troncon. Ainsi, pour N troncons, les matrices Tn peuvent

s’ecrire :

Tn =

0 · · · 0 I 0 0 0 0 · · · 0

0 · · · 0 ΦL (ΨR − ΨL) ΦLΦR 0 0 0 · · · 0

0 · · · 0 0 0 I 0 0 · · · 0

0 · · · 0 0 0 0 I 0 · · · 0

(3.15)

︸︷︷︸

2(n− 1) colonnes︸︷︷︸

2(N − n) colonnes


L’equation 3.15 peut s’appliquer pour n = 1 . . . N . Cependant, pour n = 1, il est possible

d’utiliser la matrice T1 suivante :

T1 =

I 0 0 0 0 · · · 0

0 I 0 0 0 · · · 0

0 0 I 0 0 · · · 0

0 0 0 I 0 · · · 0

(3.16)

︸︷︷︸

2(N − 1) colonnes

Il est interessant de remarquer que dans le cas d’un corps creux de geometrie periodique,

il existe une relation entre les matrices ΦL et ΦR :

ΦR = AΦL (3.17)

ou A est une matrice diagonale definie comme suit :

A(i, i) = −1 si i correspond a : − la translation selon z

− la rotation selon x

− la rotation selon y

A(i, i) = 1 sinon

(3.18)

Les matrices ΨL et ΨR correspondent aux modes de corps rigide des troncons, comme il

a ete vu plus haut. On peut donc ecrire :

ΨL = ΨR (3.19)

Les equations 3.17 et 3.19 permettent de simplifier notablement les matrices de passage

Tn.

3.2.3 Raccordement de structures selon le principe de la “double synthese

modale”

Les corps creux dont il est question dans le present chapitre sont integres a des structures

complexes comprenant egalement des plaques, voire du fluide. Lors de l’analyse modale qui a

ete effectuee sur les troncons de corps creux, nous avons pris soin de retenir deux degres de

liberte nodaux par troncon. Le corps creux assemble, les degres de liberte le constituant se

divisent en deux categories : un ligne nodale permettant de raccorder une structure annexe, et

des degres de liberte generalises definissant des “modes de section”. Le modele modal obtenu est

donc proche d’un modele elements finis a une dimension (de type poutre) auquel serait adjoints

un certain nombre de modes permettant de representer plus precisement le comportement des

corps creux.

La structure annexe que l’on desire raccorder au corps creux peut alors etre analysee par

le biais d’une methode d’analyse modale classique, de type Craig et Bampton par exemple. Ce

type d’analyse modale permet de representer la sous-structure au moyen de modes encastres,

tout en gardant une ligne nodale destinee au raccordement structural. De cette maniere, l’as-

semblage de la sous-structure et du corps creux s’effectue tres simplement par les degres de

liberte communs.


Dans le cadre des travaux relates dans ce memoire, il est interessant de representer les

lignes nodales resultant de l’assemblage des sous-structures par des modes de branche au

moyen d’une methode de double synthese modale, comme il en a ete question dans le chapitre

2.2. L’equation du mouvement de l’assemblage des deux structures s’ecrit :

−ω2

MHH MHB MHS

MBH MBB MBS

MSH MSB MSS

+

KHH KHB KHS

KBH KBB KBS

KSH KSB KSS

qH

uB

qS

= f (3.20)

ou l’indice H designe les degres de liberte generalises concernant les corps creux, qui sont

des “modes de section”. L’indice B renvoie aux degres de liberte de frontiere, et l’indice S aux

degres de liberte generalises de la seconde structure. f est le vecteur des forces generalisees

appliquees sur le systeme.

ΦB est la matrice des modes de branche relatifs a la double synthese modale. Cette matrice

est determinee au moyen de l’equation :

(−[ω2

i

]MBB + KBB

)ΦB = 0 (3.21)

ou[ω2

i

](1 < i < N) est la matrice diagonale des N valeurs propres des modes de branche.

Les degres de liberte de frontiere uB s’expriment alors :

uB = ΦBqB (3.22)

ce qui permet de decrire la totalite du systeme au moyen de modes : “modes de section” pour

les corps creux, “modes de surface” pour la plaque, “modes de branche” pour le raccordement.

3.2.4 Resultats in vacuo

Analyse d’un guide d’onde infini

Le premier resultat presente utilise un modele de corps creux periodique de longueur infinie.

Les matrices de masse et de raideur d’un troncon sont partitionnees de maniere a separer les

termes relatifs aux degres de liberte des faces de gauche et de droite. Les courbes de dispersion

du systeme sont alors tracees en utilisant les matrices de masse et de raideur directement issues

de la formulation elements finis d’une part (notees M et K), et les matrices modales issues de

l’analyse precedemment effectuee d’autre part (et notees M et K). La methode d’obtention

des courbes de dispersion d’un guide d’onde modelise par elements finis a plusieurs fois ete

traite au sein de l’equipe D2S du laboratoire LTDS de l’Ecole Centrale de Lyon [1,4, 48].

Pour ce faire, on utilise l’equation du mouvement d’un troncon 3.25 dont les caracteristiques

sont donnees dans les tableaux 3.1 et 3.2, et l’on definit les notations suivantes :

Z(ω) = −ω2M + K (3.23)

Z(ω) = −ω2M + K (3.24)


[

ZLL(ω) ZLR(ω)

ZRL(ω) ZRR(ω)

]

uL

uR

=

fL

fR

(3.25)

Module d’Young Cœfficient de poisson Masse volumique

2.0e11 Pa 0.33 7850 kg.m−3

Tab. 3.1 – Proprietes du materiau

Epaisseur Section Longueur

0.01 m 1 × 1 m2 infinie

Tab. 3.2 – Geometrie de la structure

La structure est periodique, d’ou la relation :

uR = αuL (3.26)

fR = −αfL (3.27)

ou α = e−ik∆l. Les parties reelle et imaginaire de k = kR + ikI sont exprimees en fonction

de α :

kR = ℜ(k) = −arg(α)

∆l

kI = ℑ(k) =ln (|α|)

∆l

(3.28)

L’equation 3.25 devient alors :

[

ZLL(ω) −I

ZRL(ω) 0

]

uL

fL

= α

[

−ZLR(ω) 0

−ZRR(ω) −I

]

uL

fL

(3.29)

Dans le cas des matrices modales, l’equation s’ecrit :

[

ZLL(ω) −I

ZRL(ω) 0

]

qL

fL

= α

[

−ZLR(ω)B 0

−ZRR(ω)B −C

]

qL

fL

(3.30)

ou les matrices B et C proviennent de l’analyse modale d’un troncon. Ces matrices per-

mettent d’ecrire les relations entre les vecteurs qR et qL, et fR et fL :

qR = αBqL (3.31)

fR = −αCfL (3.32)


fR et fL sont les vecteurs modaux des forces associees aux matrices modales M et K.

Les courbes de dispersion donnent k en fonction de f =ω

2π(k doit etre reel).

Les courbes obtenues d’apres les matrices elements finis sont donnees a la figure 3.4. Les

courbes obtenues d’apres les matrices modales sont donnees aux figures 3.5, 3.6 et 3.7.

f (Hz)

k (m−1)

Fig. 3.4 – Courbes de dispersion – modele elements finis

La figure 3.5 represente les courbes de dispersion obtenues par utilisation d’une matrice

modale comprenant 10 modes de section. Les resultats ne sont pas satisfaisants ; en effet, les

courbes de dispersion obtenues sont incompletes, certaines n’apparaissent plus, et d’autres sont

anormalement situees. En utilisant davantage de modes de section, il est possible d’obtenir un

resultat se rapprochant du calcul elements finis ; la figure 3.6 montre les resultats obtenus pour

30 modes de section, et la figure 3.7 pour 60 modes de section. Nous constatons la qu’un grand

nombre de modes est necessaire a l’obtention d’un resultat correct. . .

Cette necessite de retenir un grand nombre de modes de section pour representer correcte-

ment le comportement d’un guide d’ondes de longueur infinie trouve son explication dans le fait

que le raccordement entre deux sections est l’unique parametre entrant dans les calculs. Ainsi,

dans le cas d’un corps creux de longueur finie, les conditions aux limites aux extremites du

corps creux sont sources d’apparition d’ondes stationnaires qui permettent un resultat meilleur

en n’utilisant qu’un nombre reduit de modes, comme nous allons le constater par la suite.

Analyse modale d’un corps creux isole

Nous considerons ici un corps creux du meme type que celui represente a la figure 3.1. Ce

corps creux est divise en troncons, eux-meme du meme type que celui represente a la figure

3.2.

Les proprietes des materiaux utilises dans cet exemple d’application sont reunies dans le


f (Hz)

k (m−1)

Fig. 3.5 – Courbes de dispersion – 10 modes

f (Hz)

k (m−1)


tableau 3.3. Les caracteristiques geometriques de la structure sont donnees dans le tableau 3.4.

La structure est representee a la figure 3.8.

Le tableau 3.5 rassemble les frequences propres trouvees par la methode modale que nous


f (Hz)

k (m−1)


Module d’Young Cœfficient de Poisson Masse volumique

2.0e11 Pa 0.33 7850 kg.m−3


Epaisseur Section Longueur

0.001 m 0.1 × 0.1 m2 0.2 m

Tab. 3.4 – Caracteristiques geometriques de la structure

proposons et les frequences propres calculees via le modele elements finis. Le modele elements

finis utilise ici est constitue de 144 degres de liberte pour chaque troncon, alors que le modele

modale n’utilise que 41 degres de liberte, dont 35 modes de section. On constate que les

resultats sont satisfaisants, malgre la faible longueur du corps creux considere.

La figure 3.9 met en evidence l’evolution de la precision des resultats de notre methode en

fonction du nombre de modes de section retenus pour l’analyse modale d’un troncon. Cette

figure montre que les resultats sont d’autant plus precis que ce nombre de modes retenus est

eleve. Constatons au passage que le nombre de modes necessaire a l’obtention de resultats

corrects est inferieur au nombre de modes requis lors de l’etude d’un guide d’onde de longueur

infinie.


x

yz

Fig. 3.8 – Structure etudiee

Frequences propres issues d’une Frequences propres trouvees par la methode Erreur

etude par elements finis (Hz) modale proposee – 41 × 25 d.d.l. – (Hz) (%)

– 144 × 25 d.d.l. – (35 modes par section)

138.0 137.9 0.08

141.4 141.9 0.36

240.4 239.0 0.62

249.8 247.3 0.99

282.5 272.6 3.6

312.0 315.5 1.1

321.9 375.8 14.3

335.7 392.0 14.3

401.8 393.6 2.1

408.3 424.4 3.8

411.6 425.2 3.2

444.4 455.2 2.3

Tab. 3.5 – Frequences propres du corps creux

Raidisseur couple a une plaque

L’efficacite de la methode proposee etant demontree pour l’analyse d’un corps creux isole,

il est interessant de s’interesser maintenant au cas de l’assemblage d’un tel corps creux avec

une seconde sous-structure. La structure consideree ici sera donc un assemblage de deux

sous-structures, un corps creux et une plaque. La figure 3.10 represente cet assemblage. Les

proprietes du materiau utilise sont indiquees dans le tableau 3.6, les caracteristiques de la

geometrie de l’ensemble sont consignees dans le tableau 3.7.

Cet exemple est d’autant plus interessant a etudier que les plaques entrant dans la com-

position d’une structure complexe sont souvent associees a des raidisseurs, qui ne sont autres

que des corps creux...

Nous avons calcule les frequence propres du systeme assemble par trois methodes differentes.


1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4 4

4 4

4

5 5

5 5

5

6 6 6 6

6

7 7 7 77

Mode

Err

eur

(%)

Fig. 3.9 – Erreur sur les premiers modes en fonction du nombre de modes de section retenus

(1 : 10 modes, 2 : 15 modes, 3 : 20 modes, 4 : 25 modes, 5 : 30 modes, 6 : 35 modes, 7 : 40

modes)

Fig. 3.10 – Corps creux couple a une plaque

La premiere methode, qui sert de reference, utilise un modele elements finis. La seconde utilise

la methode proposee dans ce chapitre. La troisieme methode utilise une modelisation de type

poutre de Timoshenko.

Les resultats mettent en evidence la superiorite de notre methode sur la modelisation par

une poutre. Les figures 3.11 et 3.12 representent l’erreur des differentes methodes par rapport


Module d’Young Cœfficient de poisson Masse volumique

2.0e11 Pa 0.33 7850 kg.m−3


Epaisseur Section Longueur du corps creux Plaque

0.001 m 0.1 × 0.1 m2 0.5 m 1.2 × 0.5 m2

Tab. 3.7 – Proprietes geometriques de la structure

au modele de reference (ie. le calcul elements finis). Dans cette application, nous avons d’abord

utilise pour notre methode 10 modes de section par troncon (figure 3.11), puis 50 modes de

section (figure 3.12). L’utilisation de 50 modes procure evidemment de meilleurs resultats,

mais la difference de precision n’est pas aussi grande que l’on pourrait croire. Le comportement

general du systeme est en fait du en grande partie a la plaque, et l’on peut considerer que le

raidisseur est correctement represente des l’utilisation de 10 modes de section. Il est egalement

interessant de noter que le nombre de modes retenus est inferieur a celui necessaire a l’analyse

d’un corps creux isole, comme on l’a vu en 3.2.4, l’influence de la plaque sur le comportement

global du systeme autorisant une moindre precision sur l’analyse du corps creux. De plus, la

rigidification de la plaque par le corps creux, mais aussi la rigidification du corps creux par la

plaque, tendent a faciliter l’analyse de la structure.

1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Numero du mode

Err

eur

(%)

Fig. 3.11 – Erreur par rapport au calcul elements finis (noir : 10 modes de section retenus,

blanc : modele de poutre)


1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Numero du mode

Err

eur

(%)

Fig. 3.12 – Erreur par rapport au calcul elements finis (noir : 50 modes de section retenus,

blanc : modele de poutre)

3.3 Analyse modale d’un corps creux : Prise en compte du

couplage fluide-structure

Dans cette section, le corps creux etudie en 3.2 sera considere en tenant compte de l’aspect

acoustique resultant du couplage fluide-structure interieur au systeme.

3.3.1 Analyse modale d’un element

Les corps creux consideres ici sont decoupes en troncons, comme pour le cas des corps

creux in vacuo.

Les problemes de couplage fluide-structure ont deja ete etudies, et les equations de cou-

plage sont connues ( [35,55,56]). La formulation elements finis du probleme couple conduit a

l’equation du mouvement :

(

−ω2

[

MS 0

C MA

]

+

[

KS −CT

0 KA

])

u

p

=

f

0

(3.33)

Les matrices indicees S sont relatives a la partie structurale du systeme. Les matrices

indicees A correspondent a la partie acoustique.

La methode utilisee pour l’etude du systeme couplee est relativement semblable a la

methode adoptee pour le probleme in vacuo. Les modes relatifs a la partie fluide seront calcules

dans un premier temps. L’analyse de la partie structurale sera ensuite effectuee.

Analyse de la partie acoustique du systeme

Il est la encore necessaire d’effectuer un partitionnement des matrices de masse et de raideur


si l’on souhaite pouvoir aisement assembler deux troncons de raidisseur. Ce partitionnement

conduit aux matrices suivantes :

MA =

[

MALL MALR

MARL MARR

]

(3.34)

KA =

[

KALL KALR

KARL KARR

]

(3.35)

Le vecteur des pressions p est partitionne de la meme maniere :

p =

pL

pR

(3.36)

La matrice φAR est d’abord introduite. Il s’agit de la matrice des modes acoustiques d’un

troncon lorsqu’un nœud de la face de droite est fixe a pkR = 0 (se reporter a la figure 3.3 pour

les notations). ΦAR est la partie de la matrice φA

R relative aux nœuds de la face de droite du

troncon.

Nous introduisons ensuite la matrice ΦAL des modes acoustiques d’un troncon lorsqu’un

nœud de la face de gauche est fixe a pkL = 0. ΦA

L represente la partie de la matrice ΦAL relative

aux nœuds de la face de gauche du troncon.

Le vecteur des pressions p peut alors s’ecrire en fonction des degres de liberte generalises

qAL et qA

R et de la pression aux nœuds fixes pkR et pk

L :

pgL = ΦA

LqAL + ΨA

LpkL (3.37)

pgR = ΦA

RqAR + ΨA

RpkR (3.38)

Notons que les degres de liberte generalises relatifs a chacune des faces d’un troncon ne

dependent que des degres de liberte nodaux de la meme face. C’est cette particularite issue du

choix des modes retenus qui nous permettra d’assembler simplement deux troncons.

Analyse de la partie structurale du systeme

L’analyse modale de la partie structurale d’un troncon a d’ores et deja ete effectuee en

3.2.1. En adoptant les memes notations, les deplacements des nœuds relatifs aux deux faces

d’un troncon peuvent s’exprimer comme suit :

ugL = ΦLqL + ΨLuk

L (3.39)

ugR = ΦRqR + ΨRuk

R (3.40)

De meme que pour la partie acoustique, les degres de liberte generalises d’une face d’un

troncon ne dependent que des degres de liberte nodaux de cette meme face.


3.3.2 Assemblage des troncons

Dans l’optique d’assembler deux troncons de corps creux, il convient tout d’abord d’ecrire

les relations nodales reliant la face de droite du troncon n et la face de gauche du troncon

(n+ 1) :

ukLn+1

= ukRn

ugLn+1

= ugRn

pkLn+1

= pkRn

pgLn+1

= pgRn

(3.41)

Associee aux equations 3.37, 3.38, 3.39 et 3.40, l’equation 3.41 conduit aux relations :

ukLn+1

= ukRn

qLn+1= ΦL

(ΦRqRn + (ΨR − ΨL)uk

Rn

)

pkLn+1

= pkRn

qALn+1

= ΦA

L

(ΦA

RqRn +(ΨA

R − ΨAL

)pk

Rn

)

(3.42)

Ces relations permettent d’obtenir des matrices de passage pour assembler les differents

troncons constituant le corps creux, comme il a ete explique en 3.2.2 (equations 3.11 et 3.12).

3.3.3 Resultats

Cette section est consacree a la comparaison des resultats obtenus en appliquant la methode

proposee a un corps creux coude aux resultats experimentaux obtenus sur ce meme corps creux.

Partie experimentale

Le corps creux utilise lors des essais est representee a la photo 3.13.

Fig. 3.13 – Corps creux utilise lors des tests

L’excitation est produite au moyen d’un marteau de chocs. Un microphone permet de

mesurer le champ de pression alors obtenu. Ce microphone est place dans le corps creux,

comme le montre la photo 3.14. Le materiel d’acquisition est represente sur la photo 3.15. Les


orifices du corps creux ont ete hermetiquement bouches, la photo 3.14 ayant ete prise avant

l’obturation.

Fig. 3.14 – Microphone utilise dans la partie experimentale

Fig. 3.15 – Materiel d’acquisition utilise

Analyse modale et comparaison des resultats

La structure est maintenant etudiee au moyen de la methode modale que nous proposons.

Un element particulier doit etre utilise pour modeliser la partie coudee du corps creux. Les

deux types d’elements utilises sont representes aux figures 3.16 et 3.17.

Les proprietes du materiau utilise pour cet exemple sont donnees dans le tableau 3.8. Le

module d’Young a ete recale de maniere a fournir les meilleurs resultats possibles. En theorie,

le materiau presente un module d’Young de 2.0e11 Pa. Apres recalage, nous optons pour une

valeur de 1.96e11 Pa.


Fig. 3.16 – Troncon utilise pour l’analyse modale

Fig. 3.17 – Element utilise pour modeliser la partie coudee

Module d’Young Cœfficient de poisson Masse volumique Section Longueur

1.96e11 Pa 0.33 7850 kg.m−3 0.08 × 0.08 m2 0.9 m / 0.65 m

Tab. 3.8 – Proprietes du materiau utilise pour les tests

La figure 3.18 montre les resultats obtenus pour cet exemple. Le comportement de corps

creux est relativement bien predit par notre methode. Remarquons la forte chute de la courbe

experimentale aux alentours de 350 Hz. Cette chute correspond a la frequence de coupure du

marteau de chocs utilise. Au-dela de 350 Hz, il est donc normal que les resultats experimentaux

et les calculs ne concordent pas. Pour les frequences inferieures a 350 Hz, on remarque que

les deux courbes sont relativement proches. Les differences peuvent s’expliquer de differentes

facons. Tout d’abord, le corps creux, pour les besoins de l’experimentation, a ete suspendu a

une barre metallique rigide au moyen de tendeurs. Ces tendeurs induisent donc une raideur

tres faible qui n’a pas ete modelisee par notre methode. D’autre part, bien que les extremites

du corps creux aient ete bloquees, le passage du fil du microphone a pu generer des fuites


100 150 200 250 300 350 400

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Frequence (Hz)

Pre

ssio

nac

oust

ique

(dB

)

Methode modale

Experience

Fig. 3.18 – Methode modale et mesures : comparaison des resultats

acoustiques. A ces deux sources d’erreurs presumees, il convient egalement d’ajouter les erreurs

dues a la precision des manipulations.

3.4 Conclusion

La methode proposee dans ce chapitre permet d’etudier les parties creuses d’une structure

avec une precision satisfaisante, au moyen de degres de liberte generalises correspondant a des

modes de section du corps creux etudie. Le raccordement de deux troncons de corps creux

ne necessite pas de degres de liberte nodaux, ce qui est assez interessant du point de vue

du cout des calculs. De plus, les modes choisis permettent de generer des matrices de masse

et de raideur relatives aux troncons pouvant s’assembler aussi simplement que des matrices

directement issues d’un code de calcul par elements finis. Il s’agit donc en somme d’“elements

finis modaux”.

Les essais numeriques proposes sur un guide d’onde de longueur infinie et sur un corps

creux de dimensions finies ont montre que la methode proposee etait capable de donner des

resultats corrects, meme si les resultats obtenus dans le cas infini sont moins satisfaisants que

dans les autres cas. Les resultats experimentaux ont egalement debouche sur une conclusion

3.4 Conclusion 71

satisfaisante.


Chapitre 4

Criteres modaux pour l’optimisation

des structures couplees

4.1 Introduction

Le present chapitre a pour vocation d’elaborer plusieurs criteres vibratoires pouvant etre

utilises dans un processus d’optimisation structurale. Dans le cadre de ce memoire, nous pre-

nons le parti de baser notre demarche sur les formulations modales developpees aux chapitres

precedents. Nous utiliserons donc des donnees issues de l’analyse modale des structures, et en

particulier des matrices modales de masse et de raideur.

Utiliser de telles matrices modales dans le cadre d’une demarche d’optimisation presente

plusieurs avantages. La structure analysee, les criteres developpes deviennent tres simples a cal-

culer, puisqu’ils utilisent les matrices resultant de cette analyse. De plus, les criteres developpes

font nettement apparaıtre les modes de la structure associes aux phenomenes d’amplification

dynamique et de couplage ; cette particularite permet de comprendre l’origine des nuisances

a reduire, et d’agir en connaissance de cause. Une telle demarche de recherche de criteres vi-

bratoires pour l’optimisation a ete effectuee par Lemerle [44] dans le cadre de la discretion

acoustique des navires.

Les structures auxquelles nous nous interessons ici sont des structures complexes compre-

nant des plaques, des raidisseurs ou corps creux et du fluide. L’analyse modale de tels systemes

couples requiert les notions de double et triple syntheses modales que nous avons developpees

au chapitre 2 de ce memoire. Ainsi, les structures considerees sont decrites au moyen de modes

acoustiques, de modes de surface, de modes de section et de modes de branche. Lors de cette

etude, nous avons tente de nous rapprocher de geometries existantes, c’est pourquoi les struc-

tures etudiees representent grossierement un vehicule de tourisme. La finalite de ce memoire

n’etant pas l’application directe industrielle des methodes developpees, ces geometries ne sont

choisies que pour montrer l’adequation des techniques developpees a un environnement indus-

triel futur.

73

74 CHAPITRE 4. CRITERES MODAUX POUR L’OPTIMISATION

4.2 Criteres modaux pour l’optimisation d’une structure

Nous nous interessons en premier lieu a une structure depourvue de fluide. Dans ce cadre,

nous developperons des criteres proches de ceux proposes par P. Lemerle [44]. Ces criteres

reposent sur la notion de parametre effectif modal.

4.2.1 Les parametres effectifs modaux

La definition des parametres effectifs modaux que nous utiliserons ici requiert un descriptif

de la structure analysee et un rappel des notations modales utilisees.

Analyse modale de la structure etudiee

La structure consideree est, comme nous l’avons dit dans l’introduction, une structure

complexe comprenant des corps creux et des plaques. Les corps creux forment le squelette de

la structure, ainsi que l’illustre la figure 4.1.

F2 F1P

Fig. 4.1 – Structure etudiee

Les plaques sont fixees sur ce squelette. Remarquons que la geometrie de la structure etudiee

rappelle un vehicule de tourisme. Ses dimensions sont toutefois reduites afin de permettre des

calculs plus rapides. Ce redimensionnement n’affecte pas la credibilite de la methode proposee.

En effet, les logiciels utilises pour l’etude (Matlab et Femlab) ne sont pas destines a l’analyse

de modeles de grandes dimensions, contrairement aux logiciels de calculs elements finis utilises

dans l’industrie (Nastran, Ansys. . .). Toutefois, dans une optique de recherche avant-projet,

de tels logiciels offrent la possibilite de tester rapidement des methodes, d’ou la philosophie

adoptee.

Les matrices resultant de l’analyse modale de la structure developpee tout au long de

la partie sont partitionnees de maniere a faire apparaıtre les differents degres de liberte

generalises relatifs aux differentes parties de la structure. Les degres de liberte correspondant

aux corps creux sont composes des modes de section, qui sont notes qHc, et des modes de

4.2 Criteres modaux pour l’optimisation d’une structure 75

branches, notes qHb. Ces deux types de degres de liberte sont regroupes sous l’appellation

qH =

qHc

qHb

. L’equation du mouvement qui en resulte s’ecrit alors :

(

−ω2

[

MHH MHP

MPH MPP

]

+

[

KHH KHP

KPH KPP

])

qH

qP

=

fH

fP

(4.1)

Les degres de liberte generalises utilises dans l’equation 4.1 peuvent s’ecrire en fonction

des degres de liberte nodaux :

uP = ΦP qP + ΨP uHb

uHc = ΦHcqHc + ΨHcuHb

uHb = ΦHbqHb

(4.2)

ΦP est la matrice modale des modes encastres des plaques. ΨP est la matrice correspondant

au relevement statique, en accord avec la theorie de Craig & Bampton.

Les matrices ΦHc et ΨHc sont les matrices modales qui resultent de l’analyse des corps

creux decrite au chapıtre 3.

La matrice ΦHb correspond aux modes de branche issus de la double synthese modale.

Obtention des parametres effectifs modaux

Les parametres effectifs modaux utilises par P. Lemerle [44] relient des degres de liberte

soumis a un deplacement impose, que nous appellerons degres de liberte excites, a des degres

de liberte dont le deplacement doit etre minimise.

L’obtention des parametres effectifs modaux necessite l’analyse des matrices modales presen-

tees au debut de ce chapitre. Il convient egalement de distinguer les degres de liberte excites,

qui doivent etre conserves en tant que degres de liberte nodaux.

Nous considerons ici que les nœuds excites font partie des nœuds de frontiere entre les

plaques et les corps creux. Il seront notes uHe. Ces notations conduisent a l’equation 4.3, qui

repose sur l’equation 4.2 :

uP = ΦPqP + ΨPuHb + ΨPeuHe

uHc = ΦHcqHc + ΨHcuHb + ΨHeuHe

uHb = ΦHbqHb

(4.3)

Les proprietes d’orthogonalite des modes issus de l’analyse modale de la structure per-

mettent de reformuler l’equation 4.1. Nous supposons que la matrice d’amortissement est ici

diagonale dans la base modale (hypothese de Basile) :


−ω2

MEE MEHc MEHb MEP

MHcE MHcHc MHcHb MHcP

MHbE MHbHc mHb MHbP

MPE MPHc MPHb mP

+ iω

0 0 0 0

0 cHc 0 0

0 0 cHb 0

0 0 0 cP

+

KEE KEHc KEHb 0

KHcE KHcHc KHcHb 0

KHbE KHbHc kHb 0

0 0 0 kP

uHe

qHc

qHb

qP

=

fE

fHc

fHb

fP

(4.4)

Dans cette equation, les matrices designees par des caracteres minuscules [mHb], [mP ],

[kHb], [kP ], [cHb], [cP ] et [cHc] sont diagonales. Nous noterons [mHbk], [mPk], [kHbk], [kPk],

[cHbk], [cPk] et [cHck] la composante (k, k) de ces matrices (il s’agira donc de scalaires).

Les parametres modaux effectifs sont obtenus en exprimant uP en fonction de fP et uHe.

Pour ce faire, il convient d’ecrire la derniere ligne de l’equation 4.4, qui est elle-meme une

equation matricielle :

− ω2(

MkPEuHe + Mk

PHcqHc + MkPHbqHb + mPkq

kP

)

+ iωcPkqkP + kPkq

kP = f

kP (4.5)

MkPE, Mk

PHc, MkPHb sont les keme lignes des matrices MPE , MPHc, MPHb. fP peut s’ex-

primer en fonction de fP :

fP = ΦTP fP (4.6)

L’equation 4.5 devient alors :

qkP =

ΦkTP fP + ω2

(Mk

PEuHe + MkPHcqHc + Mk

PHbqHb

)

−ω2mPk + iωcPk + kPk(4.7)

ou ΦkP correspond a la keme colonne de la matrice ΦP . L’equation 4.7 peut egalement

s’ecrire :

uP =∑

k

ΦkPqPk + ΨP uHb + ΨPeuHe

=∑

k

(Φk

PΦkTP

−ω2mPk + iωcPk + kPk

)

fP

+

∑

k

ω2Φk

P

(

MkPE − Mk

PHcΨHe

)


+ ΨPe

uHe

+

∑

k

ω2Φk

P

(

MkPHb − Mk

PHcΨHc

)


+ ΨP

uHb

+∑

k

(

−ω2ΦkP Mk

PHc


)

uHc (4.8)


ou MkPHb = Mk

PHbΦHb et MkPHc = Mk

PHcΦHc, ce qui permet de calculer la matrice

MkPHc :

MkPHc = ΦHcM

kPHc (4.9)

La matrice ΦHc est une pseudo-inverse de la matrice ΦHc.

L’equation 4.8 permet de formuler deux parametres effectifs modaux. D’une part, la matrice

de flexibilite dynamique G definie comme suit :

G(ω) =∑

k

(Φk

P ΦkTP


)

(4.10)

La flexibilite dynamique correspond au rapport entre une force appliquee sur la plaque et

le deplacement que cette force engendre.

D’autre part, nous definissons la matrice de transmissibilite dynamique de la maniere

suivante :

T(ω) =∑

k

ω2ΦkP

(

MkPE − Mk

PHcΨHe

)


(4.11)

La transmissibilite dynamique correspond au rapport entre les deplacements aux points

d’excitation et les deplacements engendres sur les plaques.

La flexibilite et la transmissibilite dynamiques font apparaıtre les parametres effectifs mo-

daux G et T :

G(ω) =∑

k

1

1 −(

ωωk

)2+ 2iξk

ωωk

Gk (4.12)

T(ω) =∑

k

(ωωk

)2

1 −(

ωωk

)2+ 2iξk

ωωk

Tk (4.13)

ou

Gk =Φk

P ΦkTP

ω2kmPk

(4.14)

Tk =Φk

P

(

MkPE − Mk

PHcΨHe

)

mPk(4.15)

avec les notations cPk = 2ξk√

kPkmPk et ωk =√

kPk

mPk.

Les matrices Gk et Tk sont appelees parametres effectifs modaux.


4.2.2 Criteres modaux pour l’optimisation

Nous pouvons maintenant deduire des criteres modaux pouvant etre utilises lors de demar-

ches d’optimisation des structures a partir des flexibilite et transmissibilite definies en 4.2.1.

Les sommes∑

k

() qui apparaissent dans ces matrices mettent en evidence la superposition

modale induite par les methodes d’analyse modale utilisees. Les criteres modaux peuvent alors

s’ecrire :

CG = maxk

∣∣∣∣

ΦkP ΦkT

P

ω2kmPk

∣∣∣∣

(4.16)

CT = maxk

∣∣∣∣∣∣

ΦkP

(

MkPE − Mk

PHcΨHe

)

mPk

∣∣∣∣∣∣

(4.17)

ou la norme matricielle |x| correspond a la composante maximale de la matrice x. Ces

criteres peuvent etre utilises pour optimiser la reponse vibratoire d’une structure complexe.

De plus, il peut etre interessant de determiner la valeur kmax correspondant au mode le plus

influent au regard des criteres retenus.

Les criteres developpes ici ne sont pas derivables, ce qui peut poser probleme, notamment

dans le cas d’algorithmes d’optimisation de type gradient. Pour remedier a ce probleme, nous

definissons des criteres equivalents, qui, eux, sont derivables.

4.2.3 Criteres d’optimisation derivables

Les criteres Cn ne pouvant etre derives, nous introduisons les criteres Cn definis comme

suit :

Cn =1

4log∑

k

∣∣∣C

kn

∣∣∣

4(4.18)

Nous allons montrer que ces criteres sont tres proches des criteres Cn, et possedent quasi-

ment les memes extrema. Pour ce faire, considerons la fonction fp suivante :

fp : x −→ p√

a1(x)p + a2(x)p + · · · + an(x)p (4.19)

ou aq(x) > 0 ∀q ≤ n ∀x. On peut alors ecrire :

limp→+∞

fp(x) = max [a1(x), a2(x), . . . , an(x)] (4.20)

En effet :

p

√

max [a1(x), a2(x), . . . , an(x)]p < fp(x) <p

√

nmax [a1(x), a2(x), . . . , an(x)]p ∀p ∈ N.

(4.21)

L’equation 4.21 conduit a la formulation suivante :

max [a1(x), a2(x), . . . , an(x)] < fp(x) <p√nmax [a1(x), a2(x), . . . , an(x)] ∀p ∈ N. (4.22)


Etant donne que limp→+∞

p√n = 1, il est possible de deduire la limite de fp(x) :

limp→+∞

fp(x) = max [a1(x), a2(x), . . . , an(x)] (4.23)

Ainsi, si p est suffisamment grand, les criteres Cn ont des extrema tres proches des criteres

Cn. Dans la pratique, on s’apercoit que meme des valeurs raisonnables de p permettent d’ob-

tenir de bons resultats. On se contentera donc de la valeur p = 4.

4.2.4 Resultats

Une premiere analyse des criteres CG et CT permet de determiner les modes responsables

des vibrations a reduire. La figure 4.2 represente les valeurs des composantes CkG du critere

CG :

CkG =

∣∣∣∣

ΦkPΦkT

P

ω2kmPk

∣∣∣∣

(4.24)

La meme demarche est effectuee pour CkT :

CkT =

∣∣∣∣∣∣

ΦkP

(

MkPE − Mk

PHcΨHe

)

mPk

∣∣∣∣∣∣

(4.25)

La figure 4.3 represente les valeurs des composantes CkT du critere CT :

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Mode k

Val

eurs

du

criter

eC

k G

Fig. 4.2 – Valeurs de CkG

Les figures 4.2 et 4.3 montrent que les modes preponderants ne sont pas necessairement les

memes pour chacun des criteres. Dans cet exemple, nous n’avons retenu que les 50 premiers

modes de la structure. La figure 4.3 met en evidence la participation importante de 45e mode


0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Mode k

Val

eurs

du

criter

eC

k T

Fig. 4.3 – Valeurs de CkT

pour le critere CG. En ce qui concerne le critere CT , la figure 4.2 montre que les modes

preponderants sont les 6e, 7e, 22e et 23e modes.

4.3 Criteres modaux pour l’optimisation des systemes fluide-

structure couples

4.3.1 Introduction

Nous nous interessons maintenant a une structure complexe comprenant une partie acous-

tique. Alors qu’au paragraphe precedent les criteres presentes utilisaient les parametres modaux

effectifs pour developper les criteres d’optimisation, nous nous interesserons ici aux differents

“chemins” susceptibles d’etre responsables du niveau de pression a l’interieur d’une cavite pour

une excitation donnee.

Notre etude repose toujours sur l’analyse modale d’une structure complexe, comprenant a

present une partie fluide. Cette partie fluide est divisee en deux cavites, la premiere definissant

le bloc moteur du vehicule considere, la seconde representant l’habitacle. La quantite a mini-

miser est le niveau de pression dans cette seconde cavite. Les techniques d’analyse modale sont

toujours celles presentees dans la partie . Les differents “chemins vibro-acoustiques” que nous

analyserons ici passeront donc par les corps creux de la structure, par les plaques entourant la

seconde cavite, et par la plaque separant les deux cavites.

4.3.2 Analyse du systeme fluide-structure couple

La structure que nous considerons est representee a la figure 4.4. F1 et F2 sont respective-

ment la premiere et la seconde cavite acoustiques. La plaque separatrice de ces deux cavites

est notee P.

4.3 Criteres modaux pour l’optimisation des systemes fluide-structure couples 81

P F1F2

Fig. 4.4 – Systeme a optimiser

Analyse elements finis du systeme couple

L’equation du mouvement relative a la structure de la figure 4.4 peut s’ecrire au moyen de

matrices provenant d’une formulation elements finis :

−ω2

MHH MHP1MHP2

0 0

MP1H MP1P1MP1P2

0 0

MP2H MP2P1MP2P2

0 0

MF1H MF1P1MF1P2

MF1F1MF1F2

MF2H MF2P1MF2P2

MF2F1MF2F2

+

KHH KHP1KHP2

KHF1KHF2

KP1H KP1P1KP1P2

KP1F1KP1F2

KP2H KP2P1KP2P2

KP2F1KP2F2

0 0 0 KF1F1KF1F2

0 0 0 KF2F1KF2F2

uH

uP1

uP2

pF1

pF2

(4.26)

Les degres de liberte notes uH correspondent aux corps creux de la structure ; les degres

de liberte notes uP1sont representatifs des plaques (sauf de la plaque notee P a la figure 4.4) ;

les degres de liberte notes uP2correspondent a la plaque P definissant la frontiere entre les

deux cavites acoustiques. Enfin, les degres de liberte pF1(respectivement pF2

) correspondent

a la premiere cavite notee F1 (respectivement la seconde cavite notee F2).

Le couplage fluide-structure apparaıt dans les matrices sous la forme d’un terme de couplage

CF :


CF =

[

MF1H MF1P1MF1P2

MF2H MF2P1MF2P2

]

= −

KP2F1KP2F2

KF1F1KF1F2

KF2F1KF2F2

T

(4.27)

Analyse modale du systeme couple

La partie acoustique du systeme est ici etudiee a travers les modes de cavite du fluide.

Les corps creux de la structure sont analyses selon la methode elaboree au chapitre 3. Ces

corps creux constituent le squelette de la structure. Les plaques sont ensuite assemblees sur le

squelette au moyen des degres de liberte nodaux residuels du modele modal de corps creux. Les

lignes nodales restantes sont alors representees par les modes de branche definis au chapitre

2.2.

Les matrices de masse et de raideur resultant de l’analyse modale sont partitionnees de

maniere a separer les degres de liberte relatifs aux deux cavites acoustiques, aux plaques et aux

corps creux. Parmi les degres de liberte constitutifs des corps creux, il convient de distinguer

les modes de section, notes qHc, les modes de branche, notes qHb, et les points excites, qui

restent decrits de maniere nodale et sont notes uE . Ces degres de libertes sont regroupes sous

la notation qH =

uE

qHc

qHb

.

Les degres de libertes generalises decrits ici sont lies aux degres de liberte nodaux par les

relations suivantes :

pF1= ΦF1qF1

pF2= ΦF2qF2

uP1= ΦP1qP1 + ΨP1uHb + ΨP1euE

uP2= ΦP2qP2 + ΨP2uHb + ΨP2euE

uHc = ΦHcqHc + ΨHcuHb + ΨHeuE

uHb = ΦHbqHb

(4.28)

Les matrices ΦF1 et ΦF2 sont les matrices des modes acoustiques du systeme.

Les matrices ΦP1 et ΦP2 sont les matrices des modes de surface encastres de la structure.

Les matrices ΨP1 et ΨP2 representent les relevements statiques correspondant, toujours en

accord avec la theorie de Craig & Bampton.

Les matrices ΦHc et ΨHc sont les matrices issues de l’analyse modale des corps creux

decrite au chapitre 3.

Enfin, la matrice ΦHb represente les modes de branche de la structure.

Les nœuds excites ne sont pas representes par des degres de liberte generalises, mais restent

definis de facon nodale. Ils sont notes uE.

L’equation du mouvement devient alors :


−ω2

MEE MEHc 0 MEP1 MEP2 0 0

MHcE mHc MHcHb 0 0 0 0

0 MHbHc mHb MHbP1 MHbP2 0 0

MP1E 0 MP1Hb mP1 0 0 0

MP2E 0 MP2Hb 0 mP2 0 0

MF1E 0 MF1Hb MF1P1 MF1P2 mF1 0

MF2E 0 MF2Hb MF2P1 MF2P2 0 mF2

+ iω

0 0 0 0 0 0 0

0 cHc 0 0 0 0 0

0 0 cHb 0 0 0 0

0 0 0 cP1 0 0 0

0 0 0 0 cP2 0 0

0 0 0 0 0 cF1 0

0 0 0 0 0 0 cF2

+

KEE 0 0 0 0 KEF1 KEF2

0 kHc 0 0 0 KHcF1 KHcF2

0 0 kHb 0 0 KHbF1 KHbF2

0 0 0 kP1 0 KP1F1 KP1F2

0 0 0 0 kP2 KP2F1 KP2F2

0 0 0 0 0 kF1 0

0 0 0 0 0 0 kF2

uE

qHc

qHb

qP1

qP2

qF1

qF2

=

fE

fHc

fHb

fP1

fP2

0

0

(4.29)

ou les matrices [mF2], [mF1], [mP2], [mP1], [mHb], [mHc], [kF2], [kF1], [kP2], [kP1], [kHb]

et [kHc] sont des matrices diagonales. Nous adoptons l’hypothese de Basile pour imposer une

matrice d’amortissement diagonale.

4.3.3 Determination de criteres d’optimisation

Analyse de l’equation du mouvement

La derniere ligne de matrices de l’equation 4.29 conduit a l’expression suivante :

− ω2(

MkF2EuE + M

kF2HbqHb

+MkF2P1qP1 + M

kF2P2qP2 + mk

F2qkF2

)

+ iωckF2q

kF2 + kk

F2qkF2 = 0 (4.30)

ou MkF2E , M

kF2Hb, M

kF2P1 et M

kF2P2 sont les ke lignes des matrices MF2E, MF2Hc, MF2Hb,

MF2P1 et MF2P2. qkF2 est la ke composante du vecteur qF2.

L’equation 4.30 conduit alors a la relation :

qkF2 =

−ω2(

MkF2EuE + M

kF2HbqHb + M

kF2P1qP1 + M

kF2P2qP2

)

−ω2mkF2 + iωck

F2 + kkF2

(4.31)


Nous notons ΦkF2 la kecolonne de la matrice ΦF2. L’equation 4.31 devient :

p =∑

k

ΦkF2qF2

=∑

k

[

ω2ΦkF2M

kF2E

−ω2mkF2 + iωck

F2 + kkF2

]

uE

+∑

k

[

ω2ΦkF2M

kF2Hb

−ω2mkF2 + iωck

F2 + kkF2

]

ΦHbuHb

+∑

k

[

ω2ΦkF2M

kF2P1

−ω2mkF2 + iωck

F2 + kkF2

](

ΦP1 (uP1 − ΨP1uHb − ΨP1euE))

+∑

k

[

ω2ΦkF2M

kF2P2

−ω2mkF2 + iωck

F2 + kkF2

](

ΦP2 (uP2 − ΨP2uHb − ΨP2euE))

(4.32)

Determination des parametres modaux

L’equation 4.32 permet de definir des parametres modaux dans l’optique d’optimiser le

systeme sur des criteres vibratoires. Ces parametres modaux correspondent a differents chemins

vibratoires : un chemin direct, un chemin a travers les corps creux de la structure, un chemin

a travers les plaques, et un chemin passant par la premiere cavite acoustique et la plaque

separant F1 et F2. Ces chemins sont explicites au moyen du schema systemique de la figure

4.5.

• Chemin direct

Le chemin direct est directement obtenu a partir de l’equation 4.32. Le point d’excitation

est situe sur une plaque attenante a la cavite F2. Rappelons que les excitations considerees ici

sont des excitations en deplacement. La figure 4.6 represente le schema systemique associe au

chemin direct.

Le parametre modal correspondant a ce chemin est note GE (ω) et s’ecrit :

GE (ω) =∑

k

(ωωk

)2

1 −(

ωωk

)2+ 2iξk

ωωk

GkE (4.33)

ou

GkE =

ΦkF2

(

MkF2E −M

kF2P1ΦP1ΨP1e − M

kF2P2ΦP2ΨP2e

)

mkP2

(4.34)

avec les notations ckF2 = 2ξk

√

kkF2m

kF2 et ωk =

√

kkF2

mkF2

.

Remarquons que ce parametre modal est nul si les nœuds excites et la cavite F2 ne sont

pas adjacents.


Plaques attenantes

a la cavite F1

Plaques attenantes

a la cavite F2

P

F1 F2

Corps creux

Point d’excitation Point d’excitation

p

Chemins vibratoires

Fig. 4.5 – Schema systemique recapitulatif des chemins vibratoires

• Chemin passant par les corps creux

Le chemin vibratoire passant par les corps creux est illustre par le schema systemique de

la figure 4.7.

Ce chemin vibratoire est donne par la composante en uHb de l’equation 4.32. uHb doit

ensuite etre ecrit en fonction de uE par le biais de l’equation 4.29 :

− ω2(

MkHbHcqHc + mk

HbqkHb + M

kHbP1qP1 + M

kHbP2qP2

)

+ iωckHbq

kHb + kk

HbqkHb + KHbF1qF1 + KHbF2qF2 = fHb (4.35)

Le parametre modal correspondant a ce chemin est note GH (ω). Les equations 4.35 et

4.30 permettent alors d’ecrire :

GH (ω) =

∑

k

(ω

ω1k

)2

1 −(

ωω1k

)2+ 2iξ1k

ωω1k

GkH1

∑

k

(ω

ω2k

)2

1 −(

ωω2k

)2+ 2iξ2k

ωω2k

GkH2

(4.36)

ou


Plaques attenantes

a la cavite F2

p

F2

Chemin direct

Point d’excitation

Fig. 4.6 – Schema systemique relatif au chemin direct

GkH1 =

ΦkF2M

kF2HbΦHb

mkF2

(4.37)

GkH2 =

ΦkHb

(

MkHbHcΦHcΨHe − M

kHbP1ΦP1ΨP1e − M

kHbP2ΦP2ΨP2e

)

mkHb

(4.38)

avec les notations ckF2 = 2ξ1k

√

kkF2m

kF2 et ω1k =

√

kkF2

mkF2

, ckHb = 2ξ2k

√

kkHbm

kHb et ω2k =

√

kkHb

mkHb

.

• Chemin passant par les plaques

Le chemin passant par les plaques est illustre par le schema systemique de la figure 4.8.

Ce chemin est donne par la composante en uP1 de l’equation 4.32. uP1 est ensuite exprime

en fonction de uE au moyen de l’equation 4.29 :

− ω2(

MkP1EuE + M

kP1HbqHb + mk

P1qkP1

)

+ iωckP1q

kP1 + kk

P1qkP1 + KP1F1qF1 + KP1F2qF2 = fP1 (4.39)

Le parametre modal correspondant a ce chemin est note GP1 (ω). Les equations 4.39 et

4.30 conduisent alors a la relation :


Plaques attenantes

a la cavite F1

Plaques attenantes

a la cavite F2

p

F2

Corps creux

Chemin passant par les corps creux



Fig. 4.7 – Schema systemique relatif aux chemin passant par les corps creux

G1P1 (ω) =

∑

k

(ω

ω1k

)2

1 −(

ωω1k

)2+ 2iξ1k

ωω1k

GkP11

∑

k

(ω

ω2k

)2

1 −(

ωω2k

)2+ 2iξ2k

ωω2k

GkP12

(4.40)

G2P1 (ω) =

∑

k

(ω

ω1k

)2

1 −(

ωω1k

)2+ 2iξ1k

ωω1k

GkP11

×

∑

k

(ω

ω2k

)2

1 −(

ωω2k

)2+ 2iξ2k

ωω2k

GkP13

×

∑

k

(ω

ω3k

)2

1 −(

ωω3k

)2+ 2iξ3k

ωω3k

GkP14

(4.41)

ou


Plaques attenantes

a la cavite F1

Plaques attenantes

a la cavite F2

p

F2

Corps creux

Chemin passant par les plaques


Fig. 4.8 – Schema systemique relatif au chemin passant par les plaques

GkP11 =

ΦkF2M

kF2P1ΦP1

mkF2

(4.42)

GkP12 =

ΦkP1M

kP1E

mkP1

(4.43)

GkP13 =

ΦkP1M

kP1HbΦHb

mkP1

(4.44)

GkP14 = Gk

H2 (cf. equation 4.38) (4.45)


√

kkF2m

kF2 et ω1k =

√

kkF2

mkF2

, ckP1 = 2ξ2k

√

kkP1m

kP1 et ω2k =

√

kkP1

mkP1

,

ckHb = 2ξ3k

√

kkHbm

kHb et ω3k =

√

kkHb

mkHb

.

• Chemin passant par la cavite F1 et la plaque P

Le chemin passant par la premiere cavite acoustique F1 et la plaque P est illustre par le

schema systemique de la figure 4.9.

Ce chemin s’exprime via les cinquieme et sixieme lignes de l’equation 4.29, qui engendrent

l’equation matricielle :


Plaques attenantes

a la cavite F1

P

p

F1 F2

Chemin relatif a la premiere cavite F1


Fig. 4.9 – Schema systemique relatif au chemin passant par la premiere cavite

− ω2(

MkP2EuE + M

kP2HbqHb + mk

P2qkP2

)

+ iωckP2q

kP2 + kk

P2qkP2 + K

kP2F1qF1 + K

kP2F2qF2 = fP2 (4.46)

− ω2(

MkF1EuE + M

kF1HbqHb + M

kF1P1qP1 + M

kF1P2q

kP2 + mk

F1qF1

)

+ iωckF1q

kF1 + kk

F1qkF1 = 0 (4.47)

Le parametre modal correspondant a ce chemin est note GP2 (ω). Les equations 4.46, 4.47

et 4.30 permettent alors d’ecrire :


GP2 (ω) =

∑

k

(ω

ω1k

)2

1 −(

ωω1k

)2+ 2iξ1k

ωω1k

GkP21

×

∑

k

1

1 −(

ωω2k

)2+ 2iξ2k

ωω2k

GkP22

×

∑

k

(ω

ω3k

)2

1 −(

ωω3k

)2+ 2iξ3k

ωω3k

GkP23

(4.48)

ou

GkP21 =

ΦkF2M

kF2P2ΦP2

mkF2

(4.49)

GkP22 =

ΦkP2K

kP2F1ΦF1

ω22km

kP2

(4.50)

GkP23 =

ΦkF1

(

MkF1E −M

kF1P1ΦP1ΨP1e − M

kF1P2ΦP2ΨP2e

)

mkF1

(4.51)


√

kkF2m

kF2 et ω1k =

√

kkF2

mkF2

, ckP2 = 2ξ2k

√

kkP2m

kP2 et ω2k =

√

kkP2

mkP2

,

ckF1 = 2ξ3k

√

kkF1m

kF1 et ω3k =

√

kkF1

mkF1

.

4.3.3.1 Criteres modaux pour l’optimisation des structures

Les parametres modaux definis dans les paragraphes precedents conduisent a des criteres

vibratoires correspondant aux differents chemins analyses :


CE = maxk

∣∣∣G

kE

∣∣∣ (4.52)

CH1 = maxk

∣∣∣G

kH1

∣∣∣ (4.53)

CH2 = maxk

∣∣∣G

kH2

∣∣∣ (4.54)

CP11 = maxk

∣∣∣G

kP11

∣∣∣ (4.55)

CP12 = maxk

∣∣∣G

kP12

∣∣∣ (4.56)

CP13 = maxk

∣∣∣G

kP13

∣∣∣ (4.57)

CP14 = maxk

∣∣∣G

kP14

∣∣∣ (4.58)

CP21 = maxk

∣∣∣G

kP21

∣∣∣ (4.59)

CP22 = maxk

∣∣∣G

kP22

∣∣∣ (4.60)

CP23 = maxk

∣∣∣G

kP23

∣∣∣ (4.61)

Les liens entre ces criteres et les chemins de propagation vibratoires sont mis en evidence au

moyen de schemas explicatifs representes aux figures 4.10 et 4.11. Les chemins ont ete repartis

sur deux schemas afin d’alleger les figures et de faciliter leur comprehension.

critere CE

criteres CH1 et CH2uE

uE

uEuE

Fig. 4.10 – Exemple de chemins de propagation des vibrations

Les figures 4.10 et 4.11 illustrent donc les relations entre les criteres vibratoires et les

chemins de propagation. Dans le cas d’un probleme d’optimisation d’une structure complexe,


P F1F2

criteres CP11, CP12, CP13 et CP14

criteres CP21, CP22 et CP23

critere CP11 (passant par la plaque)uE

uE

Fig. 4.11 – Exemple de chemins de propagation des vibrations

il est possible de faire usage de ces criteres pour jouer sur le chemin ou la partie du chemin

que l’on juge le plus a-propos de traiter. Neanmoins, les criteres developpes ici ne sont pas

derivables, ce qui peut poser probleme, notamment dans le cas d’algorithmes d’optimisation

de type gradient. Pour remedier a ce probleme, nous definissons des criteres equivalents, qui,

eux, sont derivables.

Criteres d’optimisation derivables

De la meme maniere qu’en 4.2.3, nous definissons des criteres derivables proches des criteres

Cn. Ces criteres sont definis par l’equation :

Cn =1

4log∑

k

∣∣∣λ (ω) Gk

n

∣∣∣

4(4.62)

ou λ (ω) est un cœfficient dependant de la frequence. Pour GkE par exemple, on aura :

λGk

E(ω) =

(ωωk

)2

1 −(

ωωk

)2+ 2iξk

ωωk

(4.63)

Rappelons que ces criteres ont presque les memes extrema que les criteres Cn, et presentent

l’enorme avantage d’etre derivables.


4.3.4 Analyse des criteres vibratoires

Visualisation des criteres a travers un exemple

Nous considerons ici le cas d’un unique point d’excitation situe sur un corps creux adjacent

a la cavite acoustique F1. Comme nous l’avons vu, le chemin direct n’est alors pas effectif,

il est donc inutile de calculer sa participation. La figure 4.12 recapitule les differents chemins

qu’il faut prendre en compte.

P F1F2

criteres CH1 et CH2



uE

Fig. 4.12 – Relation entre les chemins de propagation vibratoire et les criteres d’optimisation

Les figures 4.13, 4.14 et 4.15 expliquent ensuite plus en detail les differents chemins consideres

a la figure 4.12.

Les valeurs des criteres Cn peuvent evoluer avec la frequence d’excitation, en raison de la

dependance frequentielle de λ (ω). Les figures 4.16, 4.17, 4.18, 4.19, 4.21 et 4.22 montrent les

valeurs de certains de ces parametres en fonction de la frequence d’excitation f . On constate

sur ces courbes l’importance de la dependance frequentielle des criteres. Il est par exemple

interessant de remarquer que le critere CP22 grandit plus rapidement que les autres avec la

frequence f . Ainsi, les chemins vibratoires faisant intervenir la plaque P prennent de l’impor-

tance en hautes frequences.

Notons que les criteres CP13 et CH2 laissent apparaıtre des pics qui correspondent aux

modes globaux de la structure. En effet, les matrices modales entrant dans la composition de

ces criteres correspondent aux modes des corps creux de la structure.


P F1F2

critere CP21 :de la plaque P a la cavite F2

critere CP22 :de la cavite F1 a la plaque P

critere CP23 :de uE a la cavite F1

uE

Fig. 4.13 – Chemin de propagation vibratoire a travers la plaque P

P F1F2

critere CH1 :des corps creux a la cavite F2

critere CH2 :

a travers les corps creux

uE

Fig. 4.14 – Chemin vibratoire passant par les corps creux

4.3.4.1 Resultats sur les parametres modaux

Nous analysons ici les parametres modaux GkH1, Gk

H2, GkP21, Gk

P22, GkP23, Gk

P11, GkP13

et GkP14. Cette analyse doit pouvoir permettre de determiner les importances respectives des


P F1F2

critere CP11 :des plaques a la cavite F2

critere CP13 :des corps creux aux plaques

critere CP14 :de uE aux corps creux

uE

Fig. 4.15 – Chemin vibratoire passant par les plaques

0 50 100 150 200 250 30040

60

80

100

120

140

160

180

f (Hz)

Val

eur

du

par

amet

re

Fig. 4.16 – Valeur du parametre CH1 en fonction de f

modes en presence dans les valeurs des criteres vibratoires.


0 50 100 150 200 250 300−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

f (Hz)

Val

eur

du

par

amet

re

Fig. 4.17 – Valeur du parametre CH2 en fonction de f

0 50 100 150 200 250 3000

20

40

60

80

100

120

140

f (Hz)

Val

eur

du

par

amet

re

Fig. 4.18 – Valeur du parametre CP21 en fonction de f

Chemin passant par la cavite F1

Nous nous interessons ici au chemin passant par la premiere cavite acoustique F1 et par

la plaque P. Ce chemin fait intervenir trois parametres modaux, chacun responsable d’une


0 50 100 150 200 250 300−289.6

−289.4

−289.2

−289

−288.8

−288.6

−288.4

f (Hz)

Val

eur

du

par

amet

re


0 50 100 150 200 250 300−60

−40

−20

0

20

40

60

80

ω

Val

eur

du

par

amet

re


partie du chemin vibratoire. Les figures 4.23, 4.24 et 4.25 representent les valeurs de ces trois

parametres, via les grandeurs GkP21, Gk

P22 et GkP23, en fonction des numeros des modes notes

k, pour une frequence d’excitation de 50 Hz. Les figures 4.26, 4.27 et 4.28 representent les


0 50 100 150 200 250 30020

40

60

80

100

120

140

160

f (Hz)

Val

eur

du

par

amet

re


0 50 100 150 200 250 300−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

f (Hz)

Val

eur

du

par

amet

re


valeurs de ces trois memes parametres pour une frequence d’excitation de 300 Hz.

La figure 4.24 met en evidence la preponderance d’un mode pour ce qui concerne la partie

du chemin relative a la plaque P. Le critere implique ici est CP22, qui represente l’action du


0 10 20 30 40 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Mode nok (modes de la cavite F2)

Val

eur

du

par

amet

re

Fig. 4.23 – Valeurs du parametre∣∣∣Gk

P21

∣∣∣ en fonction de k pour une frequence d’excitation de

50 Hz

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

x 10−13

Mode nok (modes de la plaque P)

Val

eurs

du

par

amet

re


P22


50 Hz

fluide de la premiere cavite sur la plaque P. Le couplage fluide −→ structure est classi-


0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

14


Val

eurs

du

par

amet

re


P23


50 Hz

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

4


Val

eur

du

par

amet

re


P21


300 Hz

quement beaucoup moins fort que le couplage inverse, c’est pourquoi l’on observe des valeurs


0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 10−13

Mode nok (modes de la plaque P)

Val

eurs

du

par

amet

re


P22


300 Hz

0 5 10 15 200

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500


Val

eurs

du

par

amet

re


P23


300 Hz

relativement faibles du parametre. Neanmoins, il peut etre interessant de traiter le mode mis en


cause dans cet exemple si l’on souhaite ameliorer les caracteristiques vibratoires de la structure.

• Chemin passant par les corps creux

Dans le cas du chemin passant par les corps creux, deux parametres modaux sont concernes.

Les figures 4.29 et 4.30 representent les valeurs des parametres GkH1 et Gk

H2 en fonction du

numero k du mode concerne, pour une frequence d’excitation de 50 Hz. Les figures 4.31 et

4.32 representent les valeurs de ces deux parametres modaux pour une frequence d’excitation

de 300 Hz.

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

4


Val

eurs

du

par

amet

re


H1


50 Hz

Les figures 4.29 et 4.30 mettent en evidence un grand nombre de modes intervenant dans

ce chemin vibratoire. Toutefois, les valeurs du critere CH2 sont relativement plus faibles que

celles du critere CH1. On peut donc choisir de traiter la partie du chemin relative a CH1, qui

semble etre preponderante. Mais il peut egalement paraıtre interessant de jouer sur le critere

CH2 qui presente l’avantage d’entrer egalement dans la composition du chemin passant par

les plaques et qui sera traite plus loin. Reduire les valeurs de ce critere revient a traiter deux

chemins en meme temps.

• Chemin passant par les corps creux et les plaques

Nous nous interessons maintenant au chemin passant par les corps creux et les plaques.

Trois parametres modaux entrent en jeu, GkP11, Gk

P13 et GkP14. Les figures 4.33 et 4.34

representent ces parametres GkP11 et Gk

P13 en fonction du numero du mode k pour une

frequence d’excitation de 50 Hz. Les figures 4.35 et 4.36 representent ces parametres pour une

frequence d’excitation de 300 Hz. Il est interessant de remarquer que GkP14 = Gk

H2. Comme


0 20 40 60 80 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Mode nok (modes des corps creux)

Val

eurs

du

par

amet

re


H2


50 Hz

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x 106


Val

eurs

du

par

amet

re


H1


300 Hz

nous l’avons vu precedemment, traiter la partie du chemin relative au critere GkP14 = Gk

H2


0 20 40 60 80 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

Mode nok (modes des corps creux)

Val

eurs

du

par

amet

re


H2


300 Hz

permet de traiter le probleme a la source et de jouer sur deux chemins a la fois.

0 10 20 30 40 500

500

1000

1500

2000


Val

eurs

du

par

amet

re


P11


50 Hz


0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Mode nok (modes relatifs aux plaques)

Val

eurs

du

par

amet

re


P13


50 Hz

0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

14

16

x 104


Val

eurs

du

par

amet

re


P11


300 Hz

Les figures 4.33 et 4.34 mettent en evidence une grande homogeneite dans l’importance des


0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

Mode nok (modes relatifs aux plaques)

Val

eurs

du

par

amet

re


P13


300 Hz

modes. Comme precedemment, on peut opter pour une optimisation suivant le critere CP11,

dont les valeurs sont les plus elevees. Mais une optimisation suivant le critere CP14 = CkH2

presentera l’avantage indeniable d’œuvrer sur deux chemins a la fois.

4.4 Conclusion

Nous avons ici mis en evidence un certain nombre de criteres voues a l’optimisation des

structures complexes.

Dans le cas d’une structure in vacuo, nous avons defini des criteres lies aux parametres

modaux effectifs developpes par Lemerle [44]. Ces criteres visent a minimiser les vibrations de

la structure en considerant deux cas. En premier lieu, on considere qu’une excitation (moteur,

passage de roue. . .) ne doit pas donner lieu a une vibration trop importante de la structure

entourant l’habitacle du vehicule : c’est le critere en transmissibilite. Dans un second temps,

on considere qu’une force appliquee sur la structure a l’interieur de l’habitacle (coup donne par

un passager, vibration du moteur et des organes, vibration induite par un element interieur,

ou meme excitation acoustique des parois de l’habitacle) ne doit pas etre trop repercutee sur

la vibration des plaques entourant cet habitacle : c’est le critere en flexibilite.

La demarche adoptee dans le cas d’une structure dont les cavites acoustiques sont modelisees

est differente. On cherche alors a minimiser le niveau de pression a l’interieur de l’habitacle,

en considerant une excitation de type deplacement appliquee sur un corps creux du squelette

de la structure. Peuvent alors etre mis en evidences plusieurs types de chemins permettant la

propagation des vibrations du point d’excitation a l’habitacle. La connaissance de ces chemins

4.4 Conclusion 107

permet de choisir les criteres utiles a l’optimisation desiree.


Chapitre 5

Optimisation des structures

5.1 Introduction

Au cours du precedent chapitre, nous avons pu developper un certain nombre de criteres

dans le but d’optimiser une structure complexe du point de vue vibro-acoustique. Dans le

present chapitre, nous allons utiliser ces criteres pour optimiser des systemes fluide-structure

complexes, comme nous en avons vus precedemment.

Nous commencerons en premier lieu par quelques rappels concernant les methodes d’op-

timisation, en particulier celles qui nous seront utiles. Nous nous interesserons ensuite a des

applications concretes de ces methodes, que nous mettrons en œuvre avec les criteres que nous

avons developpes.

5.2 Techniques d’optimisation

De nombreux ouvrages traitent de techniques d’optimisation, ces techniques etant utilisees

dans beaucoup de domaines. Parmi ces ouvrages, citons en particulier ceux de Walter et

Pronzato [76] et de Ciarlet [12].

Nous distinguerons ici deux types d’optimisation. Les algorithmes d’optimisation globale

permettent, a partir d’une population de points repartie sur l’ensemble de l’espace de concep-

tion, de trouver le ou les sous-domaines susceptibles de contenir une ou des solutions. Dans cette

categorie d’algorithmes, nous nous interesserons en particulier aux algorithmes genetiques. Les

algorithmes d’optimisation locale explorent l’espace de conception en partant d’un point de

conception nominal. Ces methodes necessitent souvent la connaissance d’informations locales

(gradient de la fonction objectif). Ainsi, ces algorithmes sont essentiellement indiques si l’on

connaıt prealablement le domaine probable de la solution cherchee.

Il apparaıt interessant d’allier ces deux types d’optimisation dans une meme demarche. Une

premiere optimisation, globale, peut en effet permettre d’approcher des solutions qui pourront

etre affinees au moyen d’un algorithme d’optimisation locale.

109

110 CHAPITRE 5. OPTIMISATION DES STRUCTURES

5.2.1 Optimisation multi-objectifs

Formulation du probleme

La plupart des problemes industriels donnant lieu a une demarche d’optimisation font

intervenir plusieurs criteres a minimiser. Il peut s’agir par exemple de criteres lies a la vibration

de la structure ou de criteres de masse. Il est alors souvent difficile de satisfaire au mieux chaque

critere, et les “solutions” d’un tel probleme sont alors multiples.

Un probleme d’optimisation classique est en general pose sous la forme d’une fonction cout

a minimiser sous un certain nombre de contraintes. Dans le cas qui nous occupe, il s’agira de

minimiser la masse de la structure sous des contraintes de type vibratoires. Mathematiquement,

on formulera le probleme global de la facon suivante :

Minimiser F (x) = f1(x), f2(x), . . . , fp(x)

sous les contraintes

hj(x) = 0, j = 1, . . . , q

gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . , r

xminj ≤ xj ≤ xmax

j , j = 1, . . . , n

(5.1)

F est la fonction cout (liee a la masse dans notre cas). Les contraintes correspondent aux

criteres vibratoires. Les problemes d’optimisation multi-objectifs ont fait l’objet de nombreux

travaux dont on trouvera les references en bibliographie [10,43,70,78].

Les minima locaux sont quant a eux recherches a partir de la formulation locale :

x est un minimum local ⇐⇒ ∃ε > 0 tq ∀y tq ||x− y|| < ε

F (x) < F (y)

hj(x) = 0, j = 1, . . . , q

gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . , r

xminj ≤ xj ≤ xmax

j , j = 1, . . . , n

(5.2)

avec la notation :

F (x) < F (y) ⇐⇒ ∀j ∈ [1, p] fj(x) < fj(y) (5.3)

Notion de front de Pareto

Des lors qu’il peut se trouver plusieurs points de l’espace de conception presentant un

interet particulier au niveau d’un critere ou d’un autre, il convient de representer l’ensemble

de ces points interessants. Le front de Pareto est adapte a ce type de representation. Il regroupe

les points de l’espace de conception verifiant la condition :

x⋆ est un point de Pareto ⇔

∀x ∈ Ω, ∀j ∈ 1, . . . , p ,fj (x) < fj (x⋆) ⇒ ∃i 6= j, fi (x) > fi (x

⋆)(5.4)

Cette condition traduit le fait qu’un point de pareto doit toujours presenter un avantage

par rapport a un point ordinaire de l’espace de conception. La generation des points de Pareto

5.2 Techniques d’optimisation 111

a ete etudiee a travers plusieurs methodes, dont on trouvera un apercu dans les references

bibliographiques [22,50,64].

Methodes de resolution

Il est possible de traiter un probleme d’optimisation multi-objectifs en se ramenant a un

probleme simple objectif. La difficulte reside dans le choix de la fonction objectif utilisee qui

doit englober les differentes contraintes. Nous utiliserons cette technique dans le cadre d’une

optimisation locale.

Il est egalement possible d’utiliser des algorithmes permettant une obtention rapide du

front de Pareto. Les algorithmes genetiques sont alors particulierement indiques. Par le biais

de differentes methodes de selection, ces dernieres permettent en effet de determiner une popu-

lation de points de l’espace de conception se rapprochant du front de Pareto a chaque iteration.

De telles methodes seront egalement utilisees par la suite.

5.2.2 Techniques d’optimisation globale

Les techniques d’optimisation globale permettent d’explorer la quasi-totalite de l’espace de

conception a la recherche de points optimaux. Nous detaillerons ici rapidement le principe des

algorithmes genetiques. Ces algorithmes presentent l’avantage de ne pas necessiter la connais-

sance du gradient de la fonction cout. Ils reposent essentiellement sur une estimation de cette

fonction en certains points judicieusement choisis.

Les algorithmes genetiques, auxquels nous nous interessons ici, permettent de parcourir

l’espace de conception a la recherche de solutions optimales, sans toutefois presenter l’in-

convenient d’une recherche aleatoire qui pourrait s’averer d’une lenteur excessive. En effet,

a partir d’une population de depart raisonnablement dispersee dans l’espace de conception,

un algorithme genetique opere une serie d’operations permettant de garder les “meilleurs”

points et d’en generer de nouveaux. Il s’agit donc d’une simulation du processus darwiniste de

l’evolution.

Les termes employes pour designer les points de l’espace de conception et les operations

effectuees dans l’algorithme sont empruntes a la genetique. On parlera de chromosome pour

un point de l’espace de conception, et de genes pour les differents parametres de conception.

De maniere generale, un algorithme genetique suit les etapes suivantes :

– generation d’une population initiale ;

– selection d’un certain nombre de points aptes a faire evoluer favorablement cette popu-

lation ;

– reproduction ;

– bouclage et critere de terminaison.

L’etape de selection doit tenir compte des contraintes imposees dans la formulation de

l’equation 5.1. L’etape de reproduction repose sur differentes techniques telles que la mutation

et le croisement. La mutation consiste a modifier aleatoirement certains genes d’un chromo-

some. Le croisement consiste a echanger des genes entre deux chromosomes.


5.2.3 Techniques d’optimisation locale

Les methodes locales reposent sur l’exploration de l’espace de conception aux alentours

d’un point de depart donne dans l’algorithme. Une telle methode necessite la connaissance

d’informations locales qui permettent de determiner le sens de recherche du point optimum.

Parmi les methodes locales les plus connues, on peut citer la methode de quasi-newton ou la

methode du simplexe. Pour plus de precisions sur ces methodes, nous renvoyons aux ouvrages

specialises (cf. [12,76]).

La methode a laquelle nous nous interesserons particulierement a ete developpee par Suweca

et reprise par Lemerle [44,71,72]. Elle repose sur l’elaboration d’une fonction objectif satisfai-

sant les conditions de Kuhn & Tucker.

Conditions de Kuhn & Tucker

Nous considerons le probleme pose a l’equation 5.1. Nous n’allons prendre en compte que

des contraintes de type egalite. Il sera ensuite possible de passer a des conditions d’inegalite

lors de la resolution du probleme.

Nous etudions ici le cas d’une unique fonction cout F dependant de plusieurs parametres

x = x1, x2, . . . , xp et soumise a un certain nombre de contraintes. Nous pouvons recrire le

probleme sous la forme :

P

Minimiser F (x) ou x = x1, x2, . . . , xpsous les contraintes hj (x) = 0, j = 1, 2, . . . , q

(5.5)

Les fonctions hj (x) = 0 (j = 1, 2, . . . , q) sont supposees de classe C1 par rapport a x. Au

premier ordre, le developpement de la fonction cout F s’ecrit :

F (x+ ∂x) = F (x) + ∇F (x)T ∂x+O (|∂x|) (5.6)

De meme, toujours au premier ordre, les contraintes hj s’ecrivent :

hj (x+ ∂x) = hj (x) + ∇hj (x)T ∂x+O (|∂x|) (5.7)

En principe, si le point x considere est regulier (c’est-a-dire qu’en ce point les contraintes

sont independantes les unes des autres), on peut affirmer que ∇hj (x) 6= 0. Nous appelons Ec

l’espace des points verifiant les contraintes. Ainsi :

x ∈ Ec ⇐⇒ ∀j = 1, 2, . . . , q hj (x) = 0 (5.8)

ce qui entraıne :

x ∈ Ec ⇐⇒ ∀j = 1, 2, . . . , q hj (x+ ∂x) −∇hj (x)T ∂x = 0 (5.9)

Si l’on souhaite que x + ∂x appartienne egalement a Ec, l’equation suivante doit etre

satisfaite :

x+ ∂x ∈ Ec ⇐⇒ ∀j = 1, 2, . . . , q hj (x+ ∂x) = 0 (5.10)

Les equations 5.9 et 5.10 conduisent alors a la relation :


∀j = 1, 2, . . . , q ∇hj (x)T ∂x = 0 (5.11)

L’equation 5.11 definit un espace vectoriel pour ∂x que nous nommons E.

Supposons maintenant que xmin soit une solution du probleme P. Pour qu’un point x soit

egalement solution de P, il faut que soient verifiees les relations suivantes :

x est solution de P ⇐⇒

F (x) = F (xmin)

x ∈ Ec

(5.12)

⇐⇒

F (x) = F (xmin)

x = xmin + ∂x

∂x ∈ E

(5.13)

⇐⇒

F (xmin + ∂x) = F (xmin)

x = xmin + ∂x

∂x ∈ E

(5.14)

⇐⇒

∇F (xmin)T∂x = 0

x = xmin + ∂x

∂x ∈ E

(5.15)

On peut deduire de cette equation que ∇F (xmin) ∈ E⊥. Or, E⊥ est defini par les ∇hj (x).

∇F (xmin) peut donc s’exprimer comme une combinaison lineaire des ∇hj (xmin) :

∇F (xmin) +

q∑

j=1

λj∇hj (xmin) = 0 (5.16)

Les conditions de Kuhn et Tucker portent sur la fonction Ψ :

Ψ (x, λ) = F (x) + λTh (x) (5.17)

avec les notations :

x = x1, x2, . . . , xpλ = λ1, λ2, . . . , λqh (x) = h1 (x) , h2 (x) , . . . , hq (x)

(5.18)

Forts de ces notations, nous pouvons enoncer les conditions de Kuhn et Tucker, qui sont

des conditions de stationnarite sur Ψ :

x est un minimum local ⇒ ∃λj tq

∀j = 1, 2, . . . , q∂Ψ

∂λj(x, λ) = 0

∀j = 1, 2, . . . , p∂Ψ

∂xj(x, λ) = 0

(5.19)

Remarquons que l’utilisation de ces conditions revient a transformer un probleme d’opti-

misation avec contraintes en un probleme d’optimisation sans contraintes.


Methode d’optimisation employee

La methode que nous decrivons ici est relativement proche de la methode du gradient que

l’on peut trouver dans la litterature [12], et reposant sur les conditions de Kuhn et Tucker

decrites a l’equation 5.19. Cette methode a ete developpee par Suweca [71] et reprise par

Lemerle [44].

Recrivons le probleme d’optimisation a resoudre dans le cas de deux contraintes h1 et h2 :

Trouver x tq ∃ (λ1, λ2) , ∀j = 1, 2, . . . , q∂F

∂xj+ λ1

∂h1

∂xj+ λ2

∂h2

∂xj= 0 (5.20)

Si∂F

∂x6= 0, cette condition peut egalement s’ecrire :

∀j = 1, 2, . . . , q λ1

∂h1

∂xj

∂F

∂xj

+ λ2

∂h2

∂xj

∂F

∂xj

= −1 (5.21)

On introduit ensuite un parametre de relaxation γ. L’equation 5.21 devient :

xj = γxj −

(1 − γ)

λ1

∂h1

∂xj

∂F

∂xj

+ λ2

∂h2

∂xj

∂F

∂xj

xj (5.22)

Il est alors possible d’etablir une relation de recurrence pour trouver les xj :

xk+1j = γxk

j −

(1 − γ)

λk

1

∂h1

∂xj

∂F

∂xj

∣∣∣∣∣∣∣∣xj=xk

j

+ λk2

∂h2

∂xj

∂F

∂xj

∣∣∣∣∣∣∣∣xj=xk

j

xk

j (5.23)

Si cette relation converge, elle permet de trouver une solution x. L’etude de la convergence

de la methode peut etre etudiee a la lumiere de la methode classique du gradient. En effet, les

formulations que nous avons presentees rappellent une methode du gradient dont la direction

de descente serait :

dk = − (1 − γ)Rj (x) xkj (5.24)

avec :

Rj (x) = 1 +

∂h1

∂xj

∂F

∂xj

∣∣∣∣∣∣∣∣xj=xk

j

+ λ2

∂h2

∂xj

∂F

∂xj

∣∣∣∣∣∣∣∣xj=xk

j

(5.25)

On deduit alors des conditions de convergence de la methode du gradient, que l’on trouvera

dans la litterature [12], la convergence de la methode de relaxation proposee. Ainsi, la fonction

R : x −→ Rj (x) xj doit satisfaire les equations :


∃κ > 0 ∀x, y 〈R (x) − R (y) , x− y〉 ≥ κ ||x− y||2 (5.26)

∃ξ > 0 ∀x, y∣∣∣

∣∣∣R (x) − R (y)

∣∣∣

∣∣∣ ≤ ξ ||x− y|| (5.27)

On sait qu’il est alors possible de trouver une valeur de γ permettant la convergence :

1 − 2κ

ξ2< γ < 1 (5.28)

La convergence de l’algorithme sera d’autant plus rapide que γ sera proche de 1 − 2κ

ξ2, et

d’autant plus robuste que γ sera proche de 1.

Notons qu’il n’est pas toujours possible de verifier les conditions enoncees a l’equation 5.26,

du fait que la fonction R n’est pas toujours suffisamment connue. Dans ce cas, il faudra tester

la convergence en fonction des valeurs de γ.

La recurrence sur les xj doit s’accompagner d’une seconde recurrence sur les λj. En ef-

fet, les valeurs des λj dependent des xj puisqu’elles varient a chaque iteration. Nous allons

donc maintenant expliciter une technique permettant de trouver les λj par approximations

successives. Pour ce faire, considerons l’equation suivante sur la contrainte h1 :

∆h1 (x1, x2, . . . , xp) = h1 (x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, . . . , xp + ∆xp) − h1 (x1, x2, . . . , xp)(5.29)

=

q∑

i=1

∂h1

∂xi∆xi (5.30)

De meme, sur la contrainte h2 :

∆h2 (x1, x2, . . . , xp) = h2 (x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, . . . , xp + ∆xp) − h2 (x1, x2, . . . , xp)(5.31)

=

p∑

i=1

∂h2

∂xi∆xi (5.32)

La methode d’optimisation consideree etant locale, il est realiste de considerer que l’on se

trouve non loin d’une solution. Ainsi, on considere que les conditions sur les contraintes seront

satisfaites a l’increment (x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, . . . , xp + ∆xp), ce qui entraıne les relations :

h1 (x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, . . . , xp + ∆xp) = 0 (5.33)

h2 (x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, . . . , xp + ∆xp) = 0 (5.34)

D’ou les expressions des contraintes :

h1 (x1, x2, . . . , xp) = −p∑

i=1

∂h1

∂xi∆xi (5.35)

h2 (x1, x2, . . . , xp) = −p∑

i=1

∂h2

∂xi∆xi (5.36)


On peut alors calculer les increments ∆xj en utilisant la recurrence sur les parametres de

conception xj formulee a l’equation 5.23 :

∆xj = xk+1j − xk

j

= (γ − 1)

1 + λk1

∂h1

∂xj

∂F

∂xj

∣∣∣∣∣∣∣∣xj=xk

j

+ λk2

∂h2

∂xj

∂F

∂xj

∣∣∣∣∣∣∣∣xj=xk

j

xk

j (5.37)

En substituant ∆xj dans les equations 5.35 et 5.36, on obtient un systeme permettant de

trouver λ1 et λ2 :

p∑

j=1

(∂h1

∂xj

)2

∂F

∂xj

xkj

p∑

j=1

∂h1

∂xj

∂h2

∂xj

∂F

∂xj

xkj

p∑

j=1

∂h2

∂xj

∂h1

∂xj

∂F

∂xj

xkj

p∑

j=1

(∂h2

∂xj

)2

∂F

∂xj

xkj

λk1

λk2

=

h1

1 − γ−

p∑

j=1

∂h1

∂xjxk

j

h2

1 − γ−

p∑

j=1

∂h2

∂xjxk

j

(5.38)

Cette relation permet de recalculer λk1 et λk

2 a chaque iteration de la formule de recurrence

sur les xj donnee a l’equation 5.23.

5.3 Optimisation des structures in vacuo

Nous avons effectue deux types d’optimisation sur une structure representee a la figure 5.1.

Cette structure est composee de corps creux, analyses selon la methode proposee au chapitre 3,

ainsi que d’une plaque. Il s’agit en fait d’une structure semblable a la structure definie en 4.2.1.

5.3.1 Parametres a optimiser

Nous avons ici choisi d’optimiser la geometrie des corps creux. La figure 5.2 represente la

geometrie des corps creux a optimiser. Deux parametres sont consideres ; D est la largeur des

corps creux,D

λest l’epaisseur du materiau.

Nous considererons 16 troncons de corps creux differents composant la structure 5.1, chacun

caracterise par un jeu de parametres (D,λ).

Une premiere optimisation, reposant sur un algorithme genetique, permet de balayer l’en-

semble des valeurs acceptables de l’espace de conception. L’obtention d’un front de Pareto

conduit alors a la determination d’un certain nombre de solutions qui representent autant de

compromis vis-a-vis des criteres d’optimisation choisis. Apres cette premiere optimisation, une

optimisation locale est effectuee, reposant sur les techniques explicitees en 5.2.3.

5.3 Optimisation des structures in vacuo 117

P F1F2

Fig. 5.1 – Structure consideree pour l’optimisation

D

Dλ

Fig. 5.2 – Geometrie des corps creux a optimiser

5.3.2 Rappel des criteres utilises

Les deux criteres vibratoires utilises ici ont ete definis en 4.2. Nous rappelons ces criteres

dans les equations suivantes :

CG = maxk

∣∣∣∣

ΦkPΦkT

P

ω2kmPk

∣∣∣∣

(5.39)

CT = maxk

∣∣∣∣∣∣

ΦkP

(

MkPE − Mk

PHcΨHe

)

mPk

∣∣∣∣∣∣

(5.40)

Les criteres CkG et Ck

T ont egalement ete definis pour permettre de quantifier l’importance

des participations des differents modes. CkG et Ck

T sont rappeles ci-dessous :


CkG =

∣∣∣∣

ΦkP ΦkT

P

ω2kmPk

∣∣∣∣

(5.41)

CkT =

∣∣∣∣∣∣

ΦkP

(

MkPE − Mk

PHcΨHe

)

mPk

∣∣∣∣∣∣

(5.42)

Nous avons constate que les criteres CG et CT n’etaient pas differentiables. Pour palier a

ce probleme, nous avons introduit les criteres CG et CT en 4.2.3 :

CG =1

4log∑

k

∣∣∣C

kG

∣∣∣

4(5.43)

CT =1

4log∑

k

∣∣∣C

kT

∣∣∣

4(5.44)

Ces criteres sont derivables et permettent donc d’utiliser des algorithmes d’optimisation

necessitant l’emploi du gradient. A ces deux criteres vibro-acoustiques, il convient de rajouter

le critere classique correspondant a la masse de la structure.

5.3.3 Optimisation globale

Nous presentons ici les resultats obtenus par l’emploi d’un algorithme genetique. Cet al-

gorithme, relativement simple a mettre en œuvre, est schematise a la figure 5.3. Soit αi les p

parametres a optimiser. A1 est la matrice representant N premiers jeux de parametres.

A1 =

α11 α1

2 · · · α1p−1 α1

p

α21 α2

2 · · · α2p−1 α2

p...

.... . .

......

αN−11 αN−1

2 · · · αN−1p−1 αN−1

p

αN1 αN

2 · · · αNp−1 αN

p

(5.45)

Les lignes de la matrice A1 sont donc les N jeux de parametres choisis pour la premiere

iteration de l’algorithme. Les valeurs des criteres CG et CT sont calculees pour ces jeux de

parametres. La masse de la structure constitue un troisieme critere. Les “meilleurs” jeux de

αi sont alors selectionnes. Les autres jeux de αi sont recombines pour creer la matrice A2 de

N jeux de parametres qui comprendra egalement les jeux selectionnes.

Les resultats de l’optimisation genetique sont presentes sous la forme de fronts de Pareto.

La figure 5.4 represente le front de Pareto obtenu en trois dimensions (relatives aux trois

criteres d’optimisation choisis). Pour une lecture plus aisee des resultats, les figures 5.5, 5.6 et

5.7 representent des projections 2D de ce front de Pareto.

La figure 5.8 montre l’evolution du nombre de points de Pareto en fonction de l’avancement

de l’algorithme d’optimisation. L’algorithme s’arrete lorsqu’un nombre maximal de points est

atteint, c’est-a-dire qu’une etape supplementaire ne change pas les points retenus.


Determination de N premiers jeux

de parametres (lignes de A1)

Evaluation des criteres

Selection des meilleurs jeux

Les jeux non selectionnes

sont recombines

Les meilleurs jeux

restent inchanges

Determination de N nouveaux jeux

de parametres (lignes de An+1)

Critere d’arret

n = 1

n← n + 1

Fig. 5.3 – Algorithme d’optimisation genetique utilise


19

20

21

22

23

24

2536 38 40 42 44 46 48

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

CG

CT

CM

Fig. 5.4 – Front de Pareto 3D

19 20 21 22 23 24 2536

38

40

42

44

46

48

CG

CT

Fig. 5.5 – Optimisation genetique : resultats 2D

5.3.4 Optimisation locale

Les resultats obtenus par l’algorithme genetique sont interessants car il permettent de choi-

sir un point parmi les points de Pareto obtenus, chaque point etant plus ou moins avantageux

selon l’importance relative accordee aux differents criteres (CG, CT et la masse CM ) :

– un point extreme privilegie la masse de la structure au detriment des criteres vibro-

acoustiques : D est minimal, λ est maximal, dans les limites acceptables imposees par

l’algorithme ;


19 20 21 22 23 24 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

4

CG

CM


36 38 40 42 44 46 480

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

4

CT

CM


– certains points privilegient le critere CT au detriment de la masse, mais pas forcement

du critere CG, comme l’indique la figure 5.5 ;

– certains criteres privilegient le critere CG au detriment de la masse, comme l’indique la

figure 5.6, mais pas forcement du critereCT .

Une optimisation locale permet d’affiner les resultats obtenus. A partir d’un point choisi

sur le front de Pareto, l’algorithme que nous utilisons ici (presente en 5.2.3) permet de trouver

le point optimal le plus proche du compromis souhaite.


0 5 10 15 20 25 3040

60

80

100

120

140

160

Iteration de l’algorithme

Nom

bre

de

poi

nts

de

Par

eto

Fig. 5.8 – Evolution du nombre de points de Pareto

La figure 5.9 represente la vitesse quadratique en un point d’une plaque ; la figure 5.10

montre l’evolution de la valeur des criteres au cours de l’optimisation.

0 50 100 150 200−150

−100

−50

0

50

100

Frequence (Hz)

Imped

ance

de

tran

sfer

t(d

B)

Fig. 5.9 – Vitesse quadratique d’un point d’une plaque (— : Non optimise, · · · : Optimise)

La figure 5.9 ne montre pas de nette amelioration du niveau vibratoire de la structure ;

neanmoins, la figure 5.10 montre une diminution significative de la masse totale de la structure.

L’optimisation conduit donc a une reduction de masse pour un niveau vibratoire maintenu.

5.4 Optimisation des revetements poroelastiques 123

0 5 10 15 200.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

Frequence (Hz)

Val

eur

des

criter

es

Fig. 5.10 – Evolution des criteres (— : Masse, · · · : CG, − · − : CT )

5.4 Optimisation des revetements poroelastiques d’une struc-

ture couplee a des cavites acoustiques

Nous nous interessons ici a une structure couplee a des cavites. Des criteres modaux ont

ete explicites pour de telles structures en 4.3. Pour une approche plus realiste du probleme,

nous considerons a present des couches de mousse sur les plaques composant la structure. Pour

une structure donnee, nous optimiserons alors les parametres lies a ces couches de mousse.

Nous nous interessons donc en premier lieu a la modelisation des elements poroelastiques

et a leur prise en compte dans les modeles proposes jusqu’ici.

5.4.1 Modelisation des poroelastiques

Les milieux poroelastiques ont ete le sujet de nombreux travaux depuis le milieu du siecle

dernier. Le point de depart des modelisations couramment utilisees actuellement est la theorie

de Biot proposee en 1956 [5, 6], qui considere le milieu poreux comme la superposition de

deux milieux continus homogenes couples, une phase fluide et une phase solide. Ce modele a

ensuite ete affine [2, 9, 34,51] pour conduire a un formalisme connu sous le nom de modele de

Biot-Allard.

Generalites sur les poroelastiques

Les milieux poreux sont des milieux heterogenes composes de deux phases :

– une phase solide, que nous considererons avoir des proprietes elastiques, qui constitue le

squelette du materiau ;

– une phase fluide (de l’air dans le cas qui nous interesse) qui sature le reseau de pores.

La figure 5.11 represente une coupe d’un tel materiau. La caracteristique la plus interessante


de ce type de materiau reside dans sa capacite a dissiper l’energie mecanique. Utilises judi-

cieusement, les poroelastiques sont donc susceptible d’ameliorer le comportement vibratoire

d’une structure, ainsi que le confort acoustique des habitacles.

La forte propension des materiaux poreux a dissiper l’energie s’explique si l’on considere

les mecanismes suivants :

– la vibration du squelette provoque des deformations irreversibles qui induisent une perte

d’energie “par effet structural” ;

– le couplage acoustique entre les deux phases constituant le materiau induit des pertes

“par effet thermique” : la conductivite thermique de l’air est plus faible que celle de la

phase solide, les echanges de chaleur conduisent donc a un rechauffement du solide, et

surtout a une expulsion de l’energie mecanique, sous forme de chaleur, vers le milieu

exterieur ;

– la circulation de l’aire dans les pores induit un phenomene de viscosite qui depend de la

taille des pores et des caracteristiques du fluide les saturant (ici de l’air).

Fig. 5.11 – Coupe d’un materiau poreux

Modele de Biot

Un bonne synthese des modelisations existantes peut etre trouvee en [20]. Les hypotheses

necessaires a l’elaboration de la theorie sont les suivantes :

– le materiau, a l’echelle macroscopique, est considere comme homogene et isotrope (un

modele relatif au cas anisotrope a toutefois ete elabore par Biot [7, 8]) ;

– la taille des heterogeneites est petite devant celle du volume elementaire representatif ;

– la taille du volume elementaire representatif est petite devant celle des phenomenes

etudies ;


– la distribution du volume des pores est concentree autour d’une valeur moyenne ;

– les parois des pores sont impermeables ;

– la matrice solide est saturee en fluide ;

– la matrice est elastique ;

– les pores sont interconnectes et en contact avec l’exterieur ;

– hypothese de petites transformations ;

– la diffraction sur la surface des pores est negligeable ;

– le fluide au repos est en equilibre thermodynamique ;

– les effets visqueux et thermiques sont independants ;

– macroscopiquement, la phase fluide est non visqueuse.

La theorie de Biot consiste a decrire les deux phases constituant le poreux a l’aide des

relations classiques de modelisation d’un milieu continu. Les tenseurs des contraintes (respec-

tivement Ts et T

f pour les phases solide et fluide), appeles tenseurs des contraintes partielles,

s’ecrivent ainsi :

Ts =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

(5.46)

Tf =

−hP 0 0

0 −hP 0

0 0 −hP

(5.47)

avec les notations suivantes :

– h est la porosite (rapport du volume occupe par le fluide et du volume total) ;

– P est la pression interstitielle ;

– σij represente les contraintes de la phase solide.

Les tenseurs des deformations sont explicites de la meme maniere :

Es =

εsxx εsxy εsxz

εsyx εsyy εsyz

εszx εszy εszz

(5.48)

Ef =

εfxx 0 0

0 εfyy 0

0 0 εfzz

(5.49)

avec les notations suivantes :

– εsij represente les deformations de la phase solide ;

– εfij represente les deformations de la phase fluide.

Fort de ces definitions, Biot introduit la densite d’energie cinetique T definie par :

T =1

2

(

ρ11u.u + 2ρ12u.U + ρ22U.U)

(5.50)



– u est le deplacement de la phase solide ;

– U est le deplacement de la phase fluide ;

– les masses volumiques apparentes ρ11, ρ12 et ρ22 sont definies par :

ρ11 = (1 − h) ρs − ρ12 (5.51)

ρ22 = hρf − ρ12 (5.52)

ρ12 = −hρf (α∞ − 1) (5.53)

– ρs est la densite du materiau constituant la phase solide ;

– ρf est la densite de l’air ;

– α∞ est la tortuosite geometrique du materiau. Cette quantite est liee au fait que le trajet

parcouru par l’air dans les pores est plus long que le trajet direct, comme l’illustre la

figure 5.12. Ainsi, la tortuosite s’exprime de la facon suivante :

α∞ =

(Distance moyenne parcourue dans le fluide

d

)2

(5.54)

ou d est la distance entre les points A et B.

d

A

B

Fig. 5.12 – Illustration de la tortuosite

Biot ecrit alors les equations du mouvements relatives aux phases solide et fluide :

∇.Ts = ρ11∂2u

∂t2+ ρ12

∂2U

∂t2(5.55)

∇.Tf = ρ12∂2u

∂t2+ ρ22

∂2U

∂t2(5.56)


Des relations contraintes deformations sont alors definies. Le but est de s’affranchir des

termes ∇.Ts et ∇.Tf dans les equations 5.55 et 5.56, et d’obtenir ainsi des relations liant

directement les grandeurs u et U, deplacements respectifs des phases solide et fluide. Biot

obtient une relation pour chacune des phases en appliquant les relations de Maxwell a la

densite d’energie de deformation W definie par :

2W = Ts : E

s + Tf : E

f (5.57)

Les relations obtenues s’ecrivent alors :

Ts (u,U) = A∇.uI + 2NE

s (u) +Q∇.UI (5.58)

Tf (u,U) = R∇.UI +Q∇.uI (5.59)

Ces relations laissent clairement apparaıtre deux termes de couplage Q∇.UI et Q∇.uI. Les

cœfficients A, Q et R sont donnes par Biot et Willis [8] :

A =(1 − h)

(

1 − h− Kb

Ks

)

Ks + hKsKb

Kf

1 − h− Kb

Ks+ hKs

Kf

− 2N

3(5.60)

Q =

(

1 − h− Kb

Ks

)

hKs

1 − h− Kb

Ks+ hKs

Kf

(5.61)

R =h2Ks

1 − h− Kb

Ks+ hKs

Kf

(5.62)


– Ks est le module d’incompressibilite du materiau constituant le solide ;

– Kb est le module d’incompressibilite du materiau solide in vacuo ;

– Kf est le module d’incompressibilite du materiau consituant le fluide (l’air dans notre

cas).

– A et N sont les cœfficients de Lame correspondant a la phase solide.

Les relations 5.60, 5.61 et 5.62 sont simplifiables si l’on ne considere que les materiaux po-

reux utilises en acoustique [20]. En effet, les approximations Kb ≪ Ks et Kf ≪ Ks conduisent

aux relations :

A =(1 − h)2

hKf + 2N

ν

1 − 2ν(5.63)

Q = (1 − h)Kf (5.64)

R = hKf (5.65)

Les relations contraintes deformations explicitees aux equations 5.58 et 5.59 permettent

d’ecrire les equations du mouvement couplees suivantes :


N∇2u + ∇ [(A+N)∇.u +Q∇.U] =∂2

∂t2(ρ11u + ρ12U) (5.66)

∇ (R∇.U +Q∇.u) =∂2

∂t2(ρ12u + ρ22U) (5.67)

Viscosite et modele de Biot

Biot a propose une amelioration de son modele par l’introduction d’un cœfficient de dissi-

pation visqueuse b. Ce cœfficient introduit une dependance frequentielle des masses volumiques

apparentes. Sont ainsi definies les masses volumiques ρ11, ρ22 et ρ12 a partir de ρ11, ρ22 et ρ12 :

ρ11 = ρ11 − ib

ω(5.68)

ρ22 = ρ22 − ib

ω(5.69)

ρ12 = ρ12 − ib

ω(5.70)

Le cœfficient b peut s’exprimer selon la formule suivante, que l’on peut trouver en [2] :

b = σh2

√

1 +4iα2

∞ηρ0ω

σ2Λ2h2(5.71)

ou :

– σ est la resistance a l’ecoulement du fluide ;

– η est le cœfficient de viscosite dynamique du fluide ;

– Λ est la longueur caracteristique visqueuse du materiau, qui depend de la taille et de la

forme des pores.

Les equations du mouvement s’ecrivent alors, dans le domaine des frequences :

N∇2u + ∇ [(A+N)∇.u +Q∇.U] = −ω2 (ρ11u + ρ12U) (5.72)

∇ (R∇.U +Q∇.u) = −ω2 (ρ12u + ρ22U) (5.73)

Modele de Biot-Allard

Les equations 5.72 et 5.73 du modele de Biot n’ont cesse d’etre ameliorees. Les differentes

contributions a l’amelioration du modele de Biot conduisent au modele de Biot-Allard, qui

se caracterise en particulier par une dependance frequentielle du cœfficient b introduit au

paragraphe precedent. Cette dependance frequentielle est issue des travaux de Johnson et

al. [34]. Nous n’expliciterons pas davantage cette modelisation, qui ne nous sera pas utile par

la suite. On pourra trouver davantage d’explications dans [20] ou [2].

Formulation elements finis

Les modeles de mousse explicites jusqu’ici peuvent etre discretises. Des formulations de-

placement-deplacement et deplacement-pression ont ete elaborees, notamment par Atalla [3].


Nous allons nous interesser en particulier a la formulation deplacement-pression. Pour aboutir

a cette formulation, Atalla [3] considere les relations 5.72 et 5.73 sous la forme suivante :

divσs = −ω2 (ρ11u + ρ12U) (5.74)

divσf = −ω2 (ρ12u + ρ22U) (5.75)

ou σs et σf sont les tenseurs des contraintes pour les parties solide et fluide du poreux. La

relation classique divσf = −h∇p, ou p est la pression, permet deja de recrire l’equation 5.75

sous la forme :

h∇p = ω2 (ρ12u + ρ22U) (5.76)

Il est maintenant necessaire de s’affranchir du deplacement de la phase fluide U. Pour ce

faire, il est possible d’exprimer ce deplacement en fonction de p et u a partir de l’equation 5.76 :

U =h

ρ22ω2∇p− ρ12

ρ22u (5.77)

Nous nous interessons d’abord a la formulation (u, p) de l’equation du mouvement de la

phase solide. Le remplacement de U dans l’equation 5.74 donne alors :

ω2

(

ρ11 −(ρ12)

2

ρ22

)

u + hρ12

ρ22∇p+ divσs = 0 (5.78)

Notons que cette derniere formulation depend encore de U a travers l’expression de σs (u,U) :

divσs = N∇2u + ∇ [(A+N)∇.u +Q∇.U] (5.79)

La dependance en U peut etre exprimee en fonction de p par l’intermediaire de la relation :

− h∇p = ∇ (Q∇.u +R∇.U) (5.80)

Des lors, on peut introduire le tenseur σs (u) qui ne depend plus de U :

divσs = N∇2u + ∇ [(A+N)∇.u] + ∇ [Q∇.U]

= N∇2u + ∇ [(A+N)∇.u] +Q

R(−h∇p−∇ [Q∇.u])

= N∇2u + ∇ [(A+N)∇.u] − Q

R∇ [Q∇.u]

︸︷︷︸

divσs

−hQR∇p (5.81)

On peut alors ecrire l’equation du mouvement pour la partie solide, en adoptant les notation

d’Atalla [3] :

divσs (u) + ρω2u + γ∇p = 0 (5.82)


ou :

ρ = ρ11 −(ρ12)

2

ρ22(5.83)

γ = h

(ρ12

ρ22− Q

R

)

(5.84)

Pour ce qui est de la phase fluide, l’operateur ∇ applique a l’equation 5.76 donne :

h∆p = ω2 (ρ12∇.u + ρ22∇.U) (5.85)

On utilise alors l’expression de ∇.U en fonction de p :

− hp = RdivU +Qdivu (5.86)

On peut alors ecrire l’equation de la phase fluide :

∆p+ρ22

Rω2p+

ρ22

h2γω2divu = 0 (5.87)

Fort de cette formulation (u, p), Atalla construit les matrices necessaires a la formulation

elements finis du poreux a partir de la formulation faible du probleme :

∫

Ωp

σs (u) : εs (δu) dΩ − ω2

∫

Ωp

ρu.δudΩ −∫

Ωp

γ∇p.δudΩ −∫

∂Ωp

(σs.n) .δudS = 0 (5.88)

∫

Ωp

(h2

ω2ρ22∇p.∇δp − h2

Rpδp

)

dΩ −∫

Ωp

γ∇δp.udΩ +

∫

∂Ωp

(

γu.n− h2

ω2ρ22

∂p

∂n

)

δpdS = 0

(5.89)

La pression et le deplacement solide sont discretises au moyen de fonctions de forme

regissant les matrices Ns et Nf . Pour un element e, les expressions de p et u sont donc :

ue = Nsuen (5.90)

pe = Nfpen (5.91)

ce qui permet d’obtenir les matrices elements finis suivantes :

∫

Ωp

σs (u) : εs (δu) d Ω =⇒ δuTnKun (5.92)

∫

Ωp

ρu.δudΩ =⇒ δuTnMun (5.93)

∫

∂Ωp

γ∇p.δudS =⇒ δuTnCpn (5.94)

∫

Ωp

h2

ρ22(∇p.∇δp) dΩ =⇒ δpT

nHpn (5.95)

∫

Ωp

h2

Rp.δpdΩ =⇒ δpT

nQpn (5.96)

∫

∂Ωp

γu.∇δpdS =⇒ δpTnCTun (5.97)


Ainsi, l’equation du mouvement s’exprime comme suit :

(

−ω2

[

M 0

CT Q

]

+

[

K −C

0 H

])

un

pn

=

Fs

Fp

(5.98)

Notons que les matrices M, C, Q et H dependent de ω. Notons egalement que l’equation

5.98 presente de fortes similitudes avec l’equation 2.121 classique du couplage fluide-structure

formule en (u,p).

5.4.2 Modelisation d’impedances de paroi

Le probleme de la modelisation des poreux en couches minces peut etre aborde de differentes

facons. Les poreux peuvent en effet etre modelises comme des plaques [73,74]. Une modelisation

par elements finis de ces plaques peut etre introduite dans un modele elements finis classique.

On trouve egalement des travaux portant sur des modelisations d’impedance analytiques,

permettant egalement la modelisation de systemes multicouches [23–25].

Notre but est de modeliser une couche de poreux disposee sur une plaque metallique. La

figure 5.13 represente le probleme considere.

z

z = 0

z = l

u0

ul mousseairplaque

Fig. 5.13 – Structure poreuse consideree

Au niveau de l’interface entre un fluide et un poroelastique, on peut ecrire la relation de

couplage (dont l’obtention est explicitee dans la reference [3]) :

(

1 − h− hQ

R

)

ul −(

γul −h2

ρ22ω2

∂p

∂z(z = l)

)

=1

ρ0ω2

∂p

∂z(z = l) (5.99)

Afin de prendre en compte l’epaisseur de la mousse et le solide sur lequel elle est fixee, il

convient d’exprimer ul, le deplacement a l’interface air/mousse, en fonction de u0, le deplacement

au niveau de la structure. Pour cela, on considere l’equation 5.87 en considerant que les

deplacements en x et y sont nuls :

∂2p

∂z2+ ω2 ρ22

Rp− ω2 ρ22

h2γ∂u

∂z= 0 (5.100)

Si l’on considere que l’epaisseur l de la couche de mousse est faible, on peut ecrire :


∂u

∂z=ul − u0

l(5.101)

∂2p

∂z2=

∂p∂z

(z = l) − ∂p∂z

(z = 0)

l(5.102)

Si l’on considere une liaison rigide mousse/solide, on peut exprimer ∂p∂z

(z = 0) comme suit :

∂p

∂z(z = 0) = ρ0ω

2u0 (5.103)

l’equation 5.100 devient alors :

1

l

∂p

∂z(z = l) + ω2 ρ22

Rp− ω2 ρ22

h2lγ

[

ul −(

1 − h2ρ0

ρ22γ

)

u0

]

= 0 (5.104)

Cette equation permet d’exprimer ul en fonction de u0 :

ul =

(

1 − h2ρ0

ρ22γ

)

u0 +h2

ω2ρ22γ

∂p

∂z+h2l

Rγp (5.105)

L’equation de couplage s’ecrit alors :

[1

ρ0−(

1 − h− hQ

R

)h2

ρ22γ

]∂p

∂z− ω2

(

1 − h− hQ

R− γ

)h2l

Rγp

= ω2

(

1 − h− hQ

R− γ

)h2l

Rγ

(

1 − h2ρ0

ρ22γ

)

u0 (5.106)

On retrouve la forme de l’equation classique de couplage

∂p

∂z− jωρ0

Zpξ1p = ρ0ω

2ξ2u0 (5.107)


Zp = −j Rγ

ωh2lξ1(5.108)

ξ1 =1 − h− hQ

R− γ

1 − ρ0

(

1 − h− hQR

)h2

ρ22γ

(5.109)

ξ2 =

(

1 − h− hQR− γ)(

1 − h2ρ0

ρ22γ

)

1 − ρ0

(

1 − h− hQR

)h2

ρ22γ

(5.110)

L’equation 5.107 permet de prendre en compte la presence d’une couche de materiau

poroelastique appliquee sur une plaque lors d’un couplage fluide-structure. On note la presence

des cœfficients ξ1 et ξ2, qui traduisent le couplage air/poreux, ainsi que le terme d’impedance

Zp, qui est inversement proportionnel a l’epaisseur du poreux. On constate que si l tend vers

0, l’impedance devient infinie et l’on retrouve le cas d’un couplage classique fluide-structure


a impedance de paroi infinie. De meme, si la porosite h tend vers 0 (pas de phase fluide), on

obtient ξ −→ 0 et Zp −→ +∞, donc le cas fluide-structure classique. La figure 5.14 montre

la reponse a une excitation ponctuelle en un point d’une cavite dont une paroi est recouverte

de mousse ; plusieurs calculs ont ete effectues, pour des epaisseurs de mousse differentes. On

constate un net affaiblissement de la reponse a mesure que croıt l’epaisseur de poreux.

Si l’on considere que le squelette constituant le mariaux poroelastique est rigide, l’equation

de couplage 5.107 se trouve relativement simplifiee. En effet, l’egalite ul = u0 implique la

condition :

∂u

∂z= 0 dans le poreux (5.111)

L’equation de couplage simplifiee s’ecrit alors :

∂p

∂z+ ω2 lρ22

Rp = ρ0ω

2u0 (5.112)

Cette equation peut s’ecrire sous la forme :

∂p

∂z− iω

ρ0

ZRp = ρ0ω

2u0 (5.113)

avec l’impedance de paroi ZR suivante :

ZR = −i Rρ0

ωlρ22(5.114)

Cette derniere equation est beaucoup plus proche de l’equation classique car elle s’affran-

chit des termes ξ1 et ξ2. Ainsi, elle est beaucoup plus simple a implementer. La validite de

l’hypothese de rigidification du squelette utilisee lors de cette simplification sera etudiee plus

loin.

5.4.3 Validite des simplifications adoptees

Le modele retenu pour la modelisation des poroelastiques fait appel a une simplification

des equations de Biot qu’il convient d’analyser correctement si l’on desire connaıtre le niveau

de precision obtenu.

Le fait de ne pas considerer les deplacements transversaux du materiau est une hypothese

couramment utilisee, notamment par Allard [2] d’impedance (pp. 136–139). Cette hypothese

se justifie dans le cas d’une plaque recouverte d’une couche mince de mousse.

L’interpolation lineaire de la pression du fluide interne au materiau poreux est valable pour

une petite epaisseur (au regard des longueurs d’onde des phenomenes consideres).

La suppression des degres de liberte structuraux internes au materiau revient a condenser

celui-ci sur la plaque. L’approximation qui en decoule est alors l’equivalent de l’approximation

effectuee lors d’une condensation classique de Guyan. La partie structurale du materiau poreux

intervient donc comme une masse ajoutee, et le squelette du poroelastique est donc considere

comme rigide.

Toutes ces hypotheses conduisent a une simplification du modele de Biot-Allard. En prin-

cipe, trois ondes doivent etre prises en compte pour une bonne description des poroelastiques.

Une onde de cisaillement et deux ondes de compression, dont l’une est liee a la souplesse du


80 100 120 140 160 180 200

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

Frequence en Hz

Rep

onse

de

laca

vite

(dB

)

Fig. 5.14 – Niveau de pression a l’interieur d’une cavite dont une paroi est recouverte de

mousse (— : 0,1 mm, · · · : 1 mm, - - : 5 mm)

squelette. Le blocage des degres de liberte transversaux conduit a negliger l’onde de cisaille-

ment. Allard montre, au moyen d’une comparaison calcul/essais, que le fait de negliger cette

onde ne conduit pas a des resultats errones [2] (pp. 139–140). Le modele adopte dans notre

etude ne tient compte que d’une onde. Nous pouvons evaluer l’influence de cette simplification

en effectuant des calculs d’impedance de surface sur une couche de poroelastique collee sur un

mur rigide, comme le montre la figure 5.15. L’impedance de surface, couramment utilisee en

acoustique, est definie comme suit :

Z =p(−l)iωu(−l) (5.115)

ou p(−l) est la pression et iωu(−l) est la vitesse de l’air au point x = −l. Les calculs

correspondant ne sont pas rappeles ici mais se trouvent dans l’ouvrage d’Allard [2]. Les ca-

racteristiques du poroelastique considere sont consignees dans le tableau 5.1.

L’impedance de paroi definie aux equations 5.108 et 5.114 est equavalente a l’impedance

de paroi definie a l’equation 5.115 si l’on pose u0 = 0 dans les equations 5.107 et 5.113. Nous

pouvons donc comparer le modele d’impedance propose par Allard [2], le modele propose a

l’equation 5.114 et celui propose a l’equation 5.108.

Les resultats sont presentes aux figures 5.16, 5.17, 5.18, 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23, 5.24

et 5.25, qui correspondent a des epaisseurs l de 5, 1, 0,5, 0,2 et 0,1 cm. On constate que les

resultats deviennent d’autant meilleurs que l devient faible. Pour une epaisseur de 5 mm, les

resultats sont tres bon, et les deux courbes se confondent pour une epaisseur de 1mm. Pour

les epaisseurs plus importantes, la partie imaginaire de l’impedance est bien decrite, mais la


Air

x0−l

Mur

rigideMateriau poreux

Epaisseur l

du materiau poreux

Fig. 5.15 – Calcul de l’impedance de surface d’une couche de poroelastique

Tortuosite Masse volumique Porosite Cœfficient Module N

α∞ du squelette h de Poisson

1, 06 130 kgm-3 0, 94 0 220(1 + 0, 1i)

Tab. 5.1 – Caracteristiques du poroelastique considere pour les calculs d’impedance

partie reelle est sous estimee. On constate egalement que la simplification adoptee a l’equation

5.114 induit une erreur importante quelle que soit l’epaisseur l consideree.

5.4.4 Optimisation des caracteristiques des poroelastiques

Nous nous interessons ici a l’optimisation des caracteristiques des poreux entrant dans la

composition des structures complexes. La structure consideree est representee a la figure 5.26.

La structure est composee de corps creux, de plaques, et de deux cavites acoustiques. Les

differentes plaques qui constituent la structure sont recouvertes de mousse. Nous optimisons 4

regions differentes :

– mousse 1 : mousse recouvrant les plaques entourant la seconde cavite, exceptee la paroi

entre les deux cavites ;

– mousse 2 : mousse recouvrant la paroi situee entre les deux cavites, du cote de la seconde

cavite ;

– mousse 3 : mousse recouvrant la paroi situee entre les deux cavites, du cote de la premiere

cavite ;

– mousse 4 : mousse recouvrant les plaques entourant la premiere cavite, exceptee la paroi


0 500 1000 1500 2000 2500 30000

100

200

300

400

500

600

700

800

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)

Fig. 5.16 – Partie reelle de l’impedance de surface d’une couche de 5 cm de materiau poreux

(— : Modele de reference, - - : Modele propose Z, · · · : Modele simplifie ZR)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000−1800

−1600

−1400

−1200

−1000

−800

−600

−400

−200

0

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)

Fig. 5.17 – Partie imaginaire de l’impedance de surface d’une couche de 5 cm de materiau

poreux (— : Modele de reference, - - : Modele propose Z, · · · : Modele simplifie ZR)


0 500 1000 1500 2000 2500 300050

100

150

200

250

300

350

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)

Fig. 5.18 – Partie reelle de l’impedance de surface d’une couche de 1 cm de materiau poreux


0 500 1000 1500 2000 2500 3000−9000

−8000

−7000

−6000

−5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)

Fig. 5.19 – Partie imaginaire de l’impedance de surface d’une couche de 1 cm de materiau



0 500 1000 1500 2000 2500 3000150

200

250

300

350

400

450

500

550

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)

Fig. 5.20 – Partie reelle de l’impedance de surface d’une couche de 5 mm de materiau poreux


0 500 1000 1500 2000 2500 3000−18000

−16000

−14000

−12000

−10000

−8000

−6000

−4000

−2000

0

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)

Fig. 5.21 – Partie imaginaire de l’impedance de surface d’une couche de 5 mm de materiau



0 500 1000 1500 2000 2500 3000400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)



0 500 1000 1500 2000 2500 3000−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

4

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)




0 500 1000 1500 2000 2500 3000800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)



0 500 1000 1500 2000 2500 3000−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

4

Frequence en Hz

Imped

ance

Z(P

am

−1s)




mousse 1

mousse 2 mousse 3

mousse 4

Fig. 5.26 – Systeme a optimiser

entre les deux cavites ;

Nous utilisons une methode d’optimisation semblable a celle decrite en 5.3.3. La structure

est excitee ponctuellement en deplacement sur un corps creux entourant le bloc moteur. Le

front de Pareto obtenu est donne a la figure 5.27. Le critere vibratoire utilise est le critere CP23

determine au moyen des equations 4.51 et 4.61. La masse est bien sur prise en consideration

par l’intermediaire d’un second critere. Les deux criteres consideres ici ont ete normalises pour

une lecture plus aisee des resultats. Les parametres consideres sont les epaisseurs des quatre

mousses.

Les points de Pareto qui apparaissent sur la figure 5.27 correspondent aux meilleurs com-

promis masse / critere. On constate que les epaisseurs de mousse des parties mousse 3 et

mousse 4 sont augmentees le plus possible par l’algorithme. Ce resultat est logique car le

critere d’optimisation CP23 correspond justement au chemin vibratoire correspondant a la se-

conde cavite. Les figures 5.28, 5.29, 5.30 et 5.31 mettent en evidence les epaisseurs de mousse

optimales des quatre mousses en fonction de la masse totale de la structure. Si l’on constate que,

globalement, les epaisseurs des mousses 3 et 4 correspondant a la cavite abritant le moteur

sont augmentees en priorite, on constate egalement certaines irregularites. Ces irregularites

sont dues a l’algorithme employe et au nombre de points retenus a chaque iteration : certaines

parties du front de Pareto sont mieux decrites que d’autres, et surtout comportent des points

plus “optimises”.

Le gain obtenu en dB est indique a la figure 5.32. Ce gain n’est pas tres important car les

epaisseurs de mousse considerees ici restent faible. Neanmoins, on observe un affaiblissement

du signal.

A titre indicatif, nous avons egalement teste l’algorithme d’optimisation en utilisant un

second parametre, la porosite du materiau poroelastique. De meme que pour l’epaisseur de

la mousse, une porosite differente est utilisee pour chacune des mousses 1 a 4. La figure 5.33


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Critere vibratoire

Mas

sede

lam

ouss

e

Fig. 5.27 – Front de Pareto pour les epaisseurs de mousse

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

−3

Masse de la structure (normalisee)

Epai

sseu

rde

lam

ouss

e1

Fig. 5.28 – Epaisseur optimale de la mousse 1 en fonction de la masse de la structure

montre le diagramme de Pareto obtenu.

Ces optimisations, utilisant deux criteres, permettent une visualisation des resultats en

deux dimensions. Dans le cas de la prise en compte d’un critere supplementaire, le diagramme


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

−3


Epai

sseu

rde

lam

ouss

e2


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014


Epai

sseu

rde

lam

ouss

e3


de Pareto doit etre visualise en trois dimensions.


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014


Epai

sseu

rde

lam

ouss

e4


100 120 140 160 180 200−115

−110

−105

−100

−95

−90

−85

−80

Frequence en Hz

Niv

eau

acou

stiq

ue

endB

Fig. 5.32 – Niveaux de pression dans la cavite 1 (— : modele initial, · · · : modele optimise)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Critere vibratoire

Mas

sede

lam

ouss

e

Fig. 5.33 – Front de Pareto pour les epaisseurs et porosites de la mousse

5.5 Conclusion

Ce chapitre a permis de mettre en evidence l’efficacite des criteres d’optimisation developpes

au cours de cette these. L’application d’une methode d’optimisation a un systeme fluide-

structure comportant des elements poroelastiques a egalement permis de valider la demarche

dans un cadre proche du contexte industriel. Certes, les structures presentees ici ne sont ni aussi

complexes ni aussi grandes que ne le seraient les modeles rencontres chez les professionnels de

l’automobile, mais il s’agissait essentiellement de montrer la faisabilite des methodes, ce qui a

pu etre effectue.


Conclusions et perspectives

Cette recherche a permis de proposer une strategie d’optimisation des structures complexes

reposant sur une synthese modale generalisee, donnant lieu a une analyse systemique des

phenomenes responsables des nuisances sonores a l’interieur des habitacles de vehicules. La

demarche conduisant a l’optimisation a necessite trois etapes :

– l’analyse modale de la structure et des cavites qui lui sont liees, et la description de

l’ensemble au moyen de modes particuliers, adaptes aux specificites des elements en

presence (corps creux, plaques, cavites acoustiques) ;

– la determination de criteres d’optimisation permettant de degager plusieurs termes repre-

sentatifs des differentes causes de nuisances vibratoires ;

– l’optimisation proprement dite, reposant sur les criteres sus-cites, et prenant eventuelle-

ment en compte la presence d’elements poreux aux interfaces air-structure.

L’interet d’un tel processus d’optimisation reside dans sa propension a s’inscrire en amont

de la phase de conception d’un produit. C’est la une caracteristique importante de la demarche

First Design telle qu’elle est formulee au sein de l’equipe D2S du laboratoire LTDS de l’Ecole

Centrale de Lyon.

Si les calculs ont ete developpes dans une optique principalement orientee vers l’indus-

trie automobile, les structures considerees sont constituees d’elements relativement classiques ;

ainsi, la methode proposee dans ce memoire fait figure de processus generique propre a s’adap-

ter a toute structure presentant les specificites relatees lors des analyses successives de ce

rapport.

Au niveau des resultats obtenus, notons que les criteres developpes ont permis une optimi-

sation efficace des structures considerees, aussi bien globalement que localement. La methode

retenue pour la prise en compte des materiaux poreux avoue ses limites pour les couches

epaisses, mais reste exploitable en couches minces.

Le travail consigne dans ce memoire ouvre la porte a un certain nombre de perspectives

qu’il nous semble interessant de mentionner ici. Ces perspectives sont de quatre types, que l’on

peut classifier de la facon suivante :

• Application des theories developpees a un contexte industriel : Les modeles

consideres dans cette etude, bien qu’ils comportent effectivement des elements represen-

tatifs des structures utilisees dans l’industrie, restent des modeles generiques ne verifiant

pas un certain nombre de caracteristiques specifiques aux modeles industriels, parmi

lesquels on peut entre autre citer :

147

148 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

– la complexite des geometries, tant au niveau des plaques que des coques et des corps

creux ;

– les caracteristiques des materiaux en presence ;

Il peut donc etre interessant d’appliquer les theories developpees a des modeles realistes,

representatifs de l’industrie automobile.

• Complexification des schemas d’optimisation : La complexification des modeles

pouvant decouler du point precedent peut engendrer une complexification des criteres

vibratoires developpes dans ce memoire. Il peut etre interessant d’analyser les ramifica-

tions du schema systemique faisant intervenir les differents criteres vibratoires a grande

echelle, afin de degager une procedure d’optimisation reposant sur des choix particuliers.

• Complexification de la modelisation des materiaux poroelastiques : L’introduc-

tion de materiaux poroelastiques a ete etudiee dans le dernier chapitre de ce memoire.

Toutefois, bien que la modelisation adoptee donne des resultats satisfaisants, il peut etre

interessant de considerer davantage de phenomenes, afin de permettre, par exemple, la

prise en compte de couches de mousse d’epaisseur importante. Enfin, il conviendrait d’in-

troduire d’autres composants tels que des joints, des liaisons boulonnees, de la mousse

dans les corps creux. . . Autant de complexifications qui permettraient par ailleurs de

degager de nouveaux parametres d’optimisation (position des mousses dans les corps

creux par exemple).

• Prise en compte du caractere aleatoire de certaines grandeurs : L’optimisation

des structure complexes, dans un contexte industriel, requiert une certaine robustesse

vis-a-vis des parametres de conception. Dans le cadre de la philosophie First Design,

sur laquelle s’appuie cette etude, on peut donc imaginer d’integrer dans les criteres

vibro-acoustiques une composante relative a la dispersion eventuelle de ces parametres,

ou encore integrer dans la description des structures des composants de caracteristiques

incertaines ainsi que des sous-structures “floues” ; le principe des structures floues a ete

longuement developpe par Soize [66–68] a travers deux lois (type I et II).

Si le present memoire permet donc d’aborder la problematique de l’optimisation sous

criteres vibro-acoustiques de maniere originale, il est neanmoins evident que les perspectives

de travail sur le sujet restent tres vastes.

Publications liees a la these

Revues internationales avec comite de lecture :

Acceptees :

– S. Besset et L. Jezequel, Dynamic substructuring based on a double modal analysis,

Journal of Vibration and Acoustics, acceptee le 16 juin 2006.

– S. Besset et L. Jezequel, Optimization of structural dynamic behaviour based on effective

modal parameters, International Journal for Numerical Methods in Engineering, acceptee

le 27 aout 2006.

Soumises :

– S. Besset et L. Jezequel, Modal criteria for optimization of the acoustical behaviour of a

coupled fluid-structure system based on a systemic approach, International Journal for

Numerical Methods in Engineering, soumise le 21 juillet 2006.

– S. Besset et L. Jezequel, Vibroacoustical analysis based on a multimodal strategy : triple

modal synthesis, Journal of Vibration and Acoustics, soumise le 6 fevrier 2006.

– S. Besset et L. Jezequel, A Modal analysis method to study fluid-structure coupling in

hollow parts of a structure, Journal of Computational Acoustics, soumise le 12 juillet

2006.

Colloques internationaux avec actes publies :

– S. Besset et L. Jezequel, Modal analysis of hollow parts of a structure, IMAC XXIV,

fevrier 2006, Saint Louis, Missouri, Etats-Unis.

– S. Besset et L. Jezequel, Optimization of a coupled fluid-structure system using a modal

approach, ICSV13, juillet 2006, Vienne, Autriche.

– S. Besset et L. Jezequel, Triple modal synthesis for complex structures analysis, RASD2006,

juillet 2006, Southampton, Royaume-Uni.

– S. Besset et L. Jezequel, Optimization of a complex structure using a modal approach,

ISMA2006, septembre 2006, Louvain, Belgique.

Colloques nationaux avec actes publies :

– S. Besset et L. Jezequel, Analyse modale du couplage fluide-structure interne d’un corps

creux, 15eme colloque Vibrations Chocs et Bruits, juin 2006, Ecully, France.

149

150

Bibliographie

[1] S. Akrout. Comportement dynamique deterministe et large bande des structures guidees.

These de doctorat, Ecole Centrale de Lyon, 2005.

[2] J. Allard. Propagation of sound in porous media, Modeling sound absorbing materials.

New York and London, 1993.

[3] N. Atalla, R. Panneton, P. Debergue. A mixed displacement-pressure formulation

for poroelastic materials. Journal of the Acoustical Society of America, 104(3), 1998.

[4] J. Berthaut. Contribution a l’identification large bande des structures anisotropes –

Application aux tables d’harmonie des pianos. These de doctorat, Ecole Centrale de

Lyon, 2004.

[5] M. Biot. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-filled-saturated porous solid.

Journal of the Acoustical Society of America, 28, 168–178, 1956.

[6] M. Biot. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-filled-saturated porous solid

– ii. higher frequency range. Journal of the Acoustical Society of America, 28, 179–191,

1956.

[7] M. Biot. Acoustics, elasticity, and thermodynamics of porous media, Twenty one papers

by M. A. Biot. New York, Acoustical Society of America, 1992.

[8] M. Biot, D. Willis. The elastic coefficients of the theory of consolidation. Journal of

Applied Mechanics, 24, 179–191, 1957.

[9] Y. Champoux, J. Allard. Dynamic tortuosity and bulk modulus in air-satured porous

media. Journal of Applied Physics, 70, 1975–1979, 1991.

[10] W. Chen, A. Sahai, A. Messac, G. J. Sundararaj. Exploration of the effectiveness of

physical programming in robust design. J. of Mechanical design, 122, 155–163, 2000.

[11] P. G. Ciarlet. The finite element method for elliptic problems. North-Holland, 1979.

[12] P. G. Ciarlet. Introduction a l’analyse numerique matricielle et a l’optimisation. Dunod,

1998.

[13] A. Craggs. The transient response of a coupled plate-acoustic system using plate acoustic

finite elements. J. Sound Vib., 15, 509–528, 1971.

[14] A. Craggs, G. Stead. Sound transmission between enclosures. a study using plate and

acoustic finite elements. Acustica, 35, 89–98, 1976.

[15] R. R. Craig, M. C. C. Bampton. Coupling of substructures for dynamic analysis. AIAA

Journal, 6, 1313–1321, 1968.

151

152 BIBLIOGRAPHIE

[16] R. R. Craig, C. J. Chang. Free-interface methods of substructure coupling for dynamic

analysis. AIAA J., 14, 1633–1635, 1976.

[17] W. J. T. Daniel. Modal methods in finite element fluid-structure eigenvalue problems.role

of part inversion in fluid-structure problems with mixed variables. Int. J. Num. Meth.

Eng., 15, 1161–1175, 1980.

[18] W. J. T. Daniel. Performance of reduction methods for fluid-structure eigenvalue pro-

blems. Int. J. Num. Meth. Eng., 15, 1585–1594, 1980.

[19] R. Dautray, J. L. Lions. Analyse mathematique et calcul numerique pour les sciences

et les techniques. Masson, 1987.

[20] O. Dazel. Synthese modale pour les materiaux poreux. These de doctorat, Institut

National des Sciences Appliquees de Lyon, 2003.

[21] E. H. Dowell, G. F. Gorman, D. A. Smith. Acoustoelasticity general theory, acoustic

natural modes and forced response to sinusoidal excitation, including comparison with

experiments. J. Sound Vib., 52, 519–542, 1977.

[22] M. Ehrgott, S. Nickel. On the number of criteria needed to decide pareto optimality.

Math. Methods of Operations Research, 55, 329–345, 2002.

[23] B. Faverjon. Modelisation et validation experimentale d’un modele d’impedance acous-

tique dans le domaine des myennes et hautes frequences pour un systeme multicouche

compose d’un materiau poreux epais insere entre deux plaques minces. These de doctorat,

Conservatoire National des Arts et Metiers, 2002.

[24] B. Faverjon, C. Soize. Equivalent acoustic impedance model. prt 1 : experiments and

semi-physical model. J. Sound Vibration, 276, 571–592, 2003.

[25] B. Faverjon, C. Soize. Equivalent acoustic impedance model. prt 2 : analytical approxi-

mation. J. Sound Vibration, 276, 593–613, 2003.

[26] C. A. Felippa. Symmetrization of the contained compressible-fluid vibration eigenpro-

blem. Comm. in Appl. Num. Meth., 1, 241–247, 1985.

[27] C. A. Felippa, R. Ohayon. Mixed variational formulation of finite element analysis of

acoustoelastic/slosh fluid-structure interaction. Int. J. of Fluids and Structures, 4, 35–57,

1990.

[28] G. M. L. Gladwell. A variational formulation of damped acousto-structural vibration

problems. J. Sound Vib., 4, 172–186, 1966.

[29] R. L. Goldman. Vibration analysis by dynamic partitioning. AIAA Journal, 7, 1152–

1154, 1968.

[30] S. N. Hou. Review of modal synthesis techniques and a new approach. Shock and

Vibration Bulletin, 40, 25–30, 1969.

[31] T. J. R. Hughes. The finite element method. Prentice Hall, 1987.

[32] W. C. Hurty. Dynamic analysis of structural systems using component modes. AIAA

Journal, 3, 678–685, 1965.

[33] B. M. Irons. Role of part inversion in fluid-structure problems with mixed variables.

AIAA Journal, 7, 568, 1970.

BIBLIOGRAPHIE 153

[34] D. Johnsons, J. Koplik, R. Dashen. Theory of dynamic permeability and tortuosity

in fluid-satured porous media. Journal of Fluid Mechanics, 176, 379–402, 1987.

[35] M. C. Junger. Acoustic fluid-elastic structure interactions : Basic concepts. Computers

& Structures, 65(3), 287–293, 1997.

[36] L. Jezequel. A method of damping synthesis from substructures tests. ASME Journal

of Mechanical design, 102, 286–294, 1980.

[37] L. Jezequel. Hybrid method of modal synthesis using vibrations tests. Journal of Sound

and Vibration, 100(2), 191–210, 1985.

[38] L. Jezequel. Synthese modale : theorie et extensions. These d’etat, Ecole Centrale de

Lyon, 1985.

[39] L. Jezequel. Procedure to reduce the effects of modal truncation in eigensolution rea-

nalysis. AIAA journal, 28(5), 896–902, 1990.

[40] L. Jezequel, H. D. Setio. Component modal synthesis methods based on hybrid models,

part i : Theory of hybrid models and modal truncation methods. ASME Journal of Applied

Mechanics, 61, 100–108, 1994.

[41] L. Jezequel, H. D. Setio. Component modal synthesis methods based on hybrid models,

part ii : Numerical tests and experimental identification of hybrid model. ASME Journal

of Applied Mechanics, 61, 109–116, 1994.

[42] K. Kubomura. A theory of substructure modal synthesis. ASME J. Appl. Mech., 49,

903–909, 1982.

[43] A. Kunjur, S. Krishnamurty. A robust multi-criteria optimization approach. Mecha-

nical Machine Theory, 32, 797–810, 1997.

[44] P. Lemerle. Optimisation des structures selon des criteres imposes par la discretion

acoustique des navires. These de doctorat, Ecole Centrale de Lyon, 1994.

[45] A. Y. T. Leung. An accurate method of dynamic condensation in structural analysis.

Int. J. Numer. Meth. Eng., 12, 1705–1715, 1978.

[46] A. Y. T. Leung. Accelerated convergence of dynamic flexibility in series form. Eng.Int.

J. Numer. Meth. Eng., 14, 1241–1256, 1979.

[47] A. Y. T. Leung. An accurate method of dynamic substructuring with simplified compu-

tation. Int. J. Numer. Meth. Eng., 14, 1241–1256, 1979.

[48] S. Lignon. Approche robuste du risque sismique. These de doctorat, Ecole Centrale de

Lyon, 2006.

[49] R. H. MacNeal. A hybrid method of component mode synthesis. Comput. Struct., 1,

581–601, 1971.

[50] A. Messac, A. Ismail-Yahaya, C. A. Mattson. The normalized normal constraint

method for generating the Pareto frontier. Springer Berlin, 2003.

[51] Y. Miki. Acoustical properties of porous materials – generalizations of empirical models.

Journal of the Acoustical Society of America, 11(1), 25–28, 1990.

[52] H. J.-P Morand, R. Ohayon. Interactions fluides-structures. Masson, 1992.

154 BIBLIOGRAPHIE

[53] W. C. Muller. Performance of reduction methods for fluid-structure eigenvalue pro-

blems. Int. J. Num. Meth. Eng., 15, 1585–1594, 1980.

[54] D. J. Nefske, , Jr. Wolf, L. J. Howell. Structural-acoustic finite element analysis of

the automobile passenger compartment : a review of current practice. J. Sound Vib., 80,

247–266, 1982.

[55] R. Ohayon. Reduced symetric models for modal analysis of internal structural-acoustic

and hydroelastic-sloshing systems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engi-

neering, 190, 3009–3019, 2001.

[56] R. Ohayon. Reduced models for fluid-structure interaction problems. International

Journal for Numerical Methods in Engineering, 60, 139–152, 2003.

[57] R. Ohayon, C. Soize. Structural Acoustics and Vibration. Academic press, San Diego,

London, 1998.

[58] M. Petyt, S. P. Lim. Finite element analysis of the noise inside a mechanically excited

cylinder. Int. J. Num. Meth. Eng., 13, 109–122, 1978.

[59] J. B. Qiu, Z. G. Ying, F. W. Williams. Exact modal synthesis techniques using residual

constraint modes. International Journal for Numerical Methods in Ingineering, 40, 2475–

2492, 1997.

[60] J. V. Ramakrishnan, L. R. Koval. A finite element model for sound transmission

through laminated composite plates. J. Sound Vib., 112(3), 433–446, 1987.

[61] P. A. Raviart, J. M. Thomas. Introduction a l’analyse numerique des equations aux

derivees partielles. Masson, 1982.

[62] S. Rubin. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis.

AIAA J., 13, 995–1006, 1975.

[63] G. E. Sandberg, P. A. Hansson, M. Gustavsson. Domain decomposition in acoustic

and structure-acoustic analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Enginee-

ring, 190, 2979–2988, 2001.

[64] V. N. Sastry, S. Ismail Mohideen. Modified algorithm to compute pareto-optimal

vectors. J. of Optim. Theory and Appl., 103, 241–244, 1999.

[65] W. H. Shyu, Z. D. Ma, G. M. Hulbert. A new component mode synthesis method :

Quasi-static mode compensation. Finite Elements in Analysis and Design, 24, 271–281,

1997.

[66] C. Soize. A model and numerical method in the medium frequency range for vibroacoustic

predictions using the theory of structural fuzzy. J. Acoust. Soc. Am., 94(2), 849–865, 1993.

[67] C. Soize. Vibration damping in low-frequency range due to structural complexity. a model

based on the theory of fuzzy structures and model parameters estimation. Computers &

structures, 58(5), 901–915, 1995.

[68] C. Soize. Estimation of the fuzzy substructure model parameters using the mean power

flow equation of the fuzzy structure. ASME Noise Control and Acoustic Division, 1,

23–30, 1996.

[69] L. E. Suarez, M. P. Suarez. Improved fixed interface method for modal synthesis. AIAA

J., 30, 2952–2958, 1992.

BIBLIOGRAPHIE 155

[70] V. S. Summanwar, V. K. Jayaraman, B. D. Kulkarni, H. S. Kusumakar, K. Gupta,

J. Rajesh. Solution of constrained optimization problems by multi-objective genetic

algorithm. Computers and chemical engineering, 26, 1481–1492, 2002.

[71] I. W. Suweca. Controle vibratoire des structures. Memoire de these, Ecole Centrale de

Lyon – Ecully, France, 2000.

[72] I. W. Suweca, L. Jezequel. Optimal structural design with damping constraint limi-

tations. International journal for numerical methods in engineering, 35, 21–35, 1992.

[73] D. D. Theodorakopoulos, D. E. Beskos. Flexural vibrations of fissured poroelastic

plates. Archive of Applied Mechanics, 63(6), 413–423, 1993.

[74] D. D. Theodorakopoulos, D. E. Beskos. Flexural vibrations of poroelastic plates.

Acta Mechanica, 103, 191–203, 1994.

[75] D. M. Tran. Component mode synthesis methods using interface modes. application to

structures with cyclic symmetry. Computers and Structures, 79, 209–222, 2001.

[76] E. Walter, L. Pronzato. Identification de modeles parametriques. Masson, 1994.

[77] A. Weinstein, W. Stenger. Intermediate problems for eigenvalues. Theory and rami-

fications. Academic press – New York and London, 1972.

[78] C. Zhang, H. P. Wang. Robust design of assembly and machining tolerance allocation.

IIE Transactions, 30, 17–29, 1998.

[79] O. C. Zienkiewicz, P. Bettess. Fluid-structure interaction and wave forces. an intro-

duction to numerical treatment. Int. J. Num. Meth. Eng., 13(1), 1–17, 1978.

[80] O. C. Zienkiewicz, R. E. Newton. Coupled vibrations of a structure submerged in a

compressible fluid. Int. Symp. Finite Element Techn., Stuttgart, 1969.

[81] O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. The finite element method. Fourth edition,. Mc

Graw-Hill, vol. 1, 1989.

[82] O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. The finite element method. Fourth edition,. Mc

Graw-Hill, vol. 2, 1991.

156 BIBLIOGRAPHIE

Table des figures

1.1 Notations utilisees pour l’etude du couplage fluide-structure . . . . . . . . . . . 4

2.1 Conditions aux limites de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Modele elements finis utilise pour les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Comparaison des differentes methodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Bossage de la structure analysee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, pour 20 modes de surface

(— : Calcul exact, - - : Calcul a l’ordre 1, · · · : Calcul a l’ordre 2) . . . . . . . . 25

2.6 Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, autour de 20 Hz (— : Calcul

exact, - - : Calcul a l’ordre 1, · · · : Calcul a l’ordre 2) . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7 Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, autour de 30 Hz (— : Calcul

exact, - - : Calcul a l’ordre 1, · · · : Calcul a l’ordre 2) . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8 Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, pour 15 modes de ligne (— :

Calcul exact, - - : Calcul a l’ordre 1, · · · : Calcul a l’ordre 2) . . . . . . . . . . . 27





2.11 Reponse de la plaque a une excitation ponctuelle, pour 5 modes de surface (— :










2.16 Triple synthese modale : systeme etudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.17 Modele utilise pour les calculs – triple synthese modale . . . . . . . . . . . . . . 43

2.18 Fonction de transfert (en dB) entre le deplacement en un point de la seconde

plaque et une excitation sur la premiere plaque – de 1 a 150 Hz . . . . . . . . . 43

2.19 Fonction de transfert (en dB) entre le deplacement en un point de la seconde

plaque et une excitation sur la premiere plaque – de 150 a 230 Hz . . . . . . . . 44

157

158 TABLE DES FIGURES

2.20 Fonction de transfert entre la pression en un point de la cavite acoustique et

une excitation sur la premiere plaque – de 1 a 150 Hz . . . . . . . . . . . . . . 45

2.21 Fonction de transfert entre la pression en un point de la cavite acoustique et

une excitation sur la premiere plaque – de 150 a 230 Hz . . . . . . . . . . . . . 46

2.22 Position du plan de coupe P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.23 Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – calculs par elements

finis – x et y sont donnes en metres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.24 Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – premier ordre – x et

y sont donnes en metres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.25 Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – deuxieme ordre – x et


2.26 Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – troisieme ordre – x et


2.27 Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – comparaison entre pre-

mier ordre et methode par elements finis (l’echelle de gris est en pourcentages)

– x et y sont donnes en metres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.28 Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – comparaison entre

deuxieme ordre et methode par elements finis (l’echelle de gris est en pourcen-

tages) – x et y sont donnes en metres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.29 Champ de pression au niveau du plan P (f = 200 Hz) – comparaison entre

troisieme ordre et methode par elements finis (l’echelle de gris est en pourcen-

tages) – x et y sont donnes en metres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.30 Densite modale acoustique, structurale et lineique . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1 Corps creux etudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 “Troncon” considere (element du corps creux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Analyse de la face de droite du troncon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Courbes de dispersion – modele elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Courbes de dispersion – 10 modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



3.8 Structure etudiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.9 Erreur sur les premiers modes en fonction du nombre de modes de section retenus 63

3.10 Corps creux couple a une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.11 Erreur par rapport au calcul elements finis – 10 modes . . . . . . . . . . . . . . 64

3.12 Erreur par rapport au calcul elements finis – 50 modes . . . . . . . . . . . . . . 65

3.13 Corps creux utilise lors des tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.14 Microphone utilise dans la partie experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.15 Materiel d’acquisition utilise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.16 Troncon utilise pour l’analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.17 Element utilise pour modeliser la partie coudee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.18 Methode modale et mesures : comparaison des resultats . . . . . . . . . . . . . 70

4.1 Structure etudiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

TABLE DES FIGURES 159

4.2 Valeurs de CkG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Valeurs de CkT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4 Systeme a optimiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5 Schema systemique recapitulatif des chemins vibratoires . . . . . . . . . . . . . 85

4.6 Schema systemique relatif au chemin direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.7 Schema systemique relatif aux chemin passant par les corps creux . . . . . . . . 87

4.8 Schema systemique relatif au chemin passant par les plaques . . . . . . . . . . 88

4.9 Schema systemique relatif au chemin passant par la premiere cavite . . . . . . 89

4.10 Exemple de chemins de propagation des vibrations – 1 – . . . . . . . . . . . . . 91

4.11 Exemple de chemins de propagation des vibrations – 2 – . . . . . . . . . . . . . 92

4.12 Relation entre les chemins de propagation vibratoire et les criteres d’optimisation 93

4.13 Chemin de propagation vibratoire a travers la plaque P . . . . . . . . . . . . . 94

4.14 Chemin vibratoire passant par les corps creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.15 Chemin vibratoire passant par les plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.16 Valeur du parametre CH1 en fonction de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.17 Valeur du parametre CH2 en fonction de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.18 Valeur du parametre CP21 en fonction de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96





4.23 Valeurs du parametre∣∣∣Gk

P21

∣∣∣ en fonction de k pour une frequence d’excitation

de 50 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


P22


de 50 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


P23


de 50 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


P21


de 300 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


P22


de 300 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


P23


de 300 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


H1


de 50 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


H2


de 50 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


H1


de 300 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


H2


de 300 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


P11


de 50 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104



P13


de 50 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


P11


de 300 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


P13


de 300 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1 Structure consideree pour l’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2 Geometrie des corps creux a optimiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3 Algorithme d’optimisation genetique utilise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4 Front de Pareto 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5 Optimisation genetique : resultats 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120



5.8 Evolution du nombre de points de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.9 Vitesse quadratique d’un point d’une plaque (— : Non optimise, · · · : Optimise) 122

5.10 Evolution des criteres (— : Masse, · · · : CG, − · − : CT ) . . . . . . . . . . . . . 123

5.11 Coupe d’un materiau poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.12 Illustration de la tortuosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.13 Structure poreuse consideree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.14 Niveau de pression a l’interieur d’une cavite dont une paroi est recouverte de

mousse (— : 0,1 mm, · · · : 1 mm, - - : 5 mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.15 Calcul de l’impedance de surface d’une couche de poroelastique . . . . . . . . . 135

5.16 Partie reelle de l’impedance de surface d’une couche de 5 cm de materiau poreux

(— : Modele de reference, - - : Modele propose Z, · · · : Modele simplifie ZR) . 136

5.17 Partie imaginaire de l’impedance de surface d’une couche de 5 cm de materiau

poreux (— : Modele de reference, - - : Modele propose Z, · · · : Modele simplifie

ZR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.18 Partie reelle de l’impedance de surface d’une couche de 1 cm de materiau poreux


5.19 Partie imaginaire de l’impedance de surface d’une couche de 1 cm de materiau


ZR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.20 Partie reelle de l’impedance de surface d’une couche de 5 mm de materiau poreux


5.21 Partie imaginaire de l’impedance de surface d’une couche de 5 mm de materiau


ZR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138





ZR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

TABLE DES FIGURES 161





ZR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.26 Systeme a optimiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.27 Front de Pareto pour les epaisseurs de mousse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.28 Epaisseur optimale de la mousse 1 en fonction de la masse de la structure . . . 142




5.32 Niveaux de pression dans la cavite 1 (— : modele initial, · · · : modele optimise) 144

5.33 Front de Pareto pour les epaisseurs et porosites de la mousse . . . . . . . . . . 145


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OPTIMISATION DU COMPORTEMENT VIBRO ...corps creux et des cavit´es acoustiques. En ce qui concerne les corps creux, une analyse modale particuli`ere permet de prendre en compte la