OSCILLATIONS P R O P R E S D E CAVITIES SPHI~ROIDALES

par l~douard RIVIER *

S o ~ x t a ~ . - On dtudie sur un module approchd sphdro~dal une cavitd conique rgentrante utilisge comme rgsonateur clans un osciUateur gt diode tunnel. Pour les cdnes de colatitude proche de 7:[2 on obtlent une expression appro- chde de la /rdquence proche de rdsonance et l'on montre, qu'h la limite de dg[ormation de sphdro'ide, les rdsultats

obtenus sur l'expression des champs re]oignent ceux, ant~rieurement connus, des ca~it~s sphdroconiques.

PLAN. �9 I. I n t r o d u c t i o n , �9 II . Approche du p r o b l ~ n ~ e . - ( I I . l ) . Choix du module reprJsen ta t i [ . - (II .2) . Coordonnges et notations adoptJes. � 9 l~tude thdorique de ia cav i td con[ocale --- ( H I . l ) . Mise en Oquation. - - ( I I I .2) . Forme canonique des dquations (11) et (12). ~quation di f[drentieUe des [onetions d'onde sphdrogdales . - ( I I I .3) . l~tude de l'~quation sphdro~dale ( 2 3 ) . - - ( I I I . 4 ) . Application aux gquations dif/gren- tielles radiale et angulaire (11) et (12), dJduites de l'dquation d ' o n d e - ( I I I .5) . Expression des solutions de l'gquation d'onde. - - ( I I I .6) . Application a la ca~itJ intgrieure 5 un ellipsogde "q = ~0. - - ( I I I .7) . ~tude d'un cas particulier; introduction d'une paroi h y p e r b o l i q u e . - ( I I I .S) . Expression des conditions aux l i m i t e s . - ( I I I .9) . Expression des autres composantes de champ. - - (II l .JO). Solution pour le demi-volume. �9 IV. l~tude pra t ique de la cavitd sphdro~dale, - - ( [ \ . J ) . ]~tude du cas approchd oit ~o eat tr~s petit et ~o tr~s grand. - -

(IV.2). RJsolution approchJe de l'gquation aux /rgquences propres. - - (IV.3). FrJquence [ondamentale. �9 V. D i s - cussion et in tevprdta t ion des rdsul ta ts obtenus . --~ (V.J ). Rappel des solutions de la car biconique. - - - (V.2) . Conclusion de l'gtude des [rgquences. - - (V.3). ~tude des champs. - - (V.4). ImpJdance d'onde.

�9 u Conclusion gdndrale. �9 Bibliographie (10 r~/.).

I . I N T R O D U C T I O N .

Afin de faire osciller une diode "~ effet tunnel h des fr6quences 61ev6es, on a 6t6 amen6 h coupler cet 616merit ~ une cavit6 de r6volution limit6e par ua cSne tronqu6 entrant dans un cylindre, la paroi interne de ce dernier et un plan de section droite, comme l'indique la figure 1.

a o

bo

Ftc.. I . - - C a v i l 6 rSentranl~'.

Les param~tres du syst~me sont le rayon b o du cylindre et l'6paisseur a0 de la partie centrale, off vient se loger la diode.

Des consid6rations physiques limitent cette 6rude #

des valeurs de a0 tr~s faibles. Par eontre, b o peut varier de mani~re importante, mais la colatitude d6finissant le cSne est prise constante et proche de =[2.

On s'int6resse partlculi~rement aux fr6quences propres et aux composantes du champ 61ectro- magn6tique.

I I . A P P R O C H E D U P R O B L I ~ . M E .

ILl. Choix du mod61e repr6sentatif.

O11 a cherch6 ~ d6terminer les fr6quences pro- pres et l'expression des champs d'une cavit6 proche de la pr6c6dente et constitu6e par le demi- volume int6rieur h u n hyperboloide .~ deux nappes et un ellipso~de, homofocaux et de r6volution autour de Oz (pattie hachur6e de la figure 2).

V/////VS, •

Fie,. 2 . - Cavit6 h6misph6roidale confoeale.

II.2. Coordonn6es et notations adopt6es.

Le syst~me 6tant de r6volution, on traite le pro- blame dans un plan m6ridien xOz. Un point dans ce

* Assistant ~ la Facult6 des Sciences (Laboratoire d'l~lectronique et de Radio61ectricit6), Grenoble.

- - 234 - -

t . 1 9 , n ~ 11-12, 1964]

plan est d6finl par l ' in te rsec t ion d ' une ellipse :

(1) z" x"- �9 -~, ~- ~ = 1, avec "

(2 ) a 2 - - b 2 = C 2,

et d 'une hyperbo le confocale :

Z 2 X 2 (3 ) a , 2 b, 2 J , a v e e "

(4) b '~ + a '~ = c ~.

La confocali t6 s ' expr ime par une va leur com- mune de c. On in t rodu i t alors les coordonn6es du sphgro~de (ou ellipso'ide) allongd en posan t :

(:-,) = , : h = <

a'[c = cos O, b'/c = sin O.

En a j o u t a n t la coordonn6e az imuta le ~ qui rep6re le p lan m6ridien choisi (pour plus de g6n6ralit6), les formules de t r a n s f o r m a t i o n so,~t les su ivantes :

((;) z = c ch 6 cos O, a: = c sh r, ~i. 0 eo~ '~,

y .... c sh r, sin 0 sin ,~.

Les surfaces -t~ = cons tan te forme,~t mm famille d 'el l ipsoides h o m o f o c a u x et les courbes 0 - - cons- t an te une famille d 'hyperbo lo ides h deux nappes, confocaux des pr6c6dents. Pour d6crire une lois et une seule chaque point , on dolt imposer aux c o o l donn6es les suj6t ions suivantes :

(7) 0 ~' t~ < -I- I)~<: O. .~Jx,

( ~ ,~ ~ 2r:.

III . ~ T U D E T H I ~ O R I Q U E D E L A CAVIT1~. C O N F O C A L E .

III .1 . Mise en 6quat ion .

Nous cherchons, pour les 6quat ions de Maxwell, en r6gime s ta t ionnaire , une solution de r&olution autour de Oz, la diode e t an t suppos6e avo i r la m6me sym6trie. Nous nous int6ressons en out re ~ une solu-

___>.

t ion avec un c h a m p 61ectrique E dans xOz, afin que le couplage soit de t y p e 61ectrique. Les patois sont suppos6es pa r f a i t emen t conductr ices .

Nous avons employ6 success ivement deux m6tho- des diff6rentes.

~) Premibre rndthode: appHcat lon directe du s y s t b m e de M a x w e l l .

Par tons du syst~me de Maxwell pour un r6gime sinusoidal :

(8) rot E = - - jo)tzH , ___~ .-~ __>

rot I t - jo)r

La solut ion particulibre ehoisie, dc r&:olut ion au tou r de Oz, sat isfai t it :

(9) ~r =_- 0,

O S C I L L A T I O N S P R O t ' I { E $ D E GAVIT. I~$ $ I ' t I I ~ , R O I D A L E S 2 / 7

en d6s ignant par ~ la d6riv6e part iel le par r app o r t ' ~ .

On pro je t te (8) sur les trois axes curvil ignes ('6 0, ~). Des six 6quat ions obtenues , nous ex t r ayons H+. En posan t :

(1 O) 1I~ = ~-(~).~3(0),

nous ob tenons les

d e .$- (11) c o t h

(12) d 2 ]3 . ~ - + cotg

od l 'on a pos6 :

(13)

deux 6quat io~s diff6rentielles :

d.$- d'q

+ ~-(~) = 0,

d~g

1 c 2 " ') t sin 2 0 + lr sin- O! 73(0) = O,

z~.(o') = k",

k ('.st une cons tan te de s6para t ion qui lie les deux 6quat ions .

Su ivan t le langage de B a t e m a n [2], nous appelons l ' 6qua t ion (1 2) l a / o r m e trigonomdtrique de l'dquation d'onde sph&o'idale.

(]d) se r6dui t h (12) par un changemen t imaginai re de la variable. Ses solutions sont les fonct ions sph6- roidales associ&s.

[5) Mgtbode g d o m d t r i q u e , g&rdraHsant u n e

m d t h o d e de Warnecke et Ou&tard [10].

On d6compose les champs en par t ies a p p a r t e n a n t au plan m61'idien (indiee m) et h la direct ion perpen- diculaire (indice ~b).

Le syst~me (8) condui t aux 6quat ions vectorielles :

---~ ---)- -> +

(14) rot rot E -- k=' E = 0, -.--~ ---~ --> .->

rot rot H -- k 2 H = 0,

lesquelles se d6doublen t su ivan t les deux plans de pro jec t ion :

(t5) rot rot E~ -- k z E m = O,

rot r o t E ~ - - k zE+ = 0,

rot r o t H m - - k 2 H m = 0,

rot r o t H ~ - - k z H r 0.

Ceci condui t h 6tudier l ' in t6gra t ion d ' u n e dquation ~,ectorielle du type :

(t6) rot rot b - - k -~ b = 0.

W a r n e c k e [10] a mont r6 que pour le syst~me de coordonn6es du cyl indre circulaire, on peu t se r ame-

ner h l ' i n t6gra t ion d ' unc gquation scalaire en b (off

l 'on a pos6 b = t b . Nous avons utilis6 cet tc m6thode pour mon t r e r

- - 235 - -

3/7

que la r6solution de (16) est 6quivalente fi l'int6gra- tion de l '6quation scalaire :

(i8) V 2 b + (k 2 I ) c 2 sh 2 7] sin 2 0 b -- 0.

Comme il est dit plus haut, nous cherchons une

solution E e xOz (E - - E-~), dite de type 61eetrique (ou transverse magn6tique) selon la terminologie de Warnecke.

Nous r6solvons donc l '6quation (i8) en He, ce qui, apr~s s6paration des variables, redonne les deux 6quations diff6rentielles ( l i ) et (12).

111.2. Forme canonique des ~quations (11) et (12). l~quation difl~rentielle des Ionctions d'onde sph~!roidales.

A part ir des 6quations ( l l ) et (12), par le change- meat de var iable :

(19) ~ = ch ~, ~ = cos O,

avec :

(20) I ~ < ~ < + r - -1 ~<~z~<+ 1,

on peut se ramener h la forme que nous consid6rons comme canonique :

(2J) (~2 _ l) d~- y 9r dY

Z + 1 - - I

(22) (tz 2 -- 1) d2-----~ + 2~t d73 d~ 2 d~z

(~. + [ z z ~ l k2c2(~Z2 - - J ) )~( [Z)= 0.

On peut r6sumer ces deux 6quations en une seule, 6trite avee la variable complexe z :

(23) (z 2 - 1 ) z ' + 2zZ'

/~': c ~ (~2 __ ~)) 5(~) = O,

1 k 2c 2(z 2 l ) ) Z ( z ) = 0 . -- ) ,+z~ ~ --

Avec Meixner [4], Bateman [23 et Robin [9J, nous appellerons (23) l'dquation dif]&entietle sph&o~dale ou dquation di~drentielle des [onct~ons d'onde sphd- ro~dales.

E. R I V I E R {ANNALES DES T~L~COMMUI~ICATIO~

On peut 6galement les exprimer ~ l 'aide de s6ries de [onctions de Bessel sphdriques. Ces solutions sont dites radiales et d6nomm6es :

s U ' (=, (i = 1, 2, 3, 4).

III.4. Application aux ~quations difl6rentielles radiale et angulaire (11) et (12), d6duites de l't!quation d'onde.

a) Consid6rons l '6quation (12) off nous r6duisons ici X aux X~.

Cette forme trigonom6trique de l '6quation sph6- roidale se r6duit h l '6quation des fonctions de Legendre associ6es avec k~ = n(n + i) (n entier) pour k ---- 0.

Ceci nous incite fi choisir pour solutions les d6ve- loppements en s6rie de fonctions de Legendre asso- ci6es. Ce choix se justifie par le fait que les: Ps i (cos O, k s) et Qs~ (cos O, k s) convergent sur le domaine de d6finition des 0 (O ~< 0 ~< re), soit : - - I ~< z ~< I pour l '6quation canonique g6n6- rale (23), sauf peut-~tre aux points z = ~ i .

En effet, ces fonctions convergent h l 'int6rieur du cercle trait6 dans le plan complexe.

De plus, ce choix permet d 'obtenir une expression approch6e de la solution au voisinage de :j: l , en se servant des valeurs approch6es des fonctions de Legendre associ6es.

Le rapport 6troit entre les solutions Ps et Qs et l '6quation trigonom6trique (12), li6e ~ Ia coordonn6e angulaire, explique le nora de solutions angulaire~ qui leur est donn6.

b) Consid6rons maia tenant l '6quation ( l i ) li6e ~ la coordonn6e radiale.

Le domaine de variat ion en ~ (0 ~< ~ < c~) cor- respond au domaine I ~< z < c~ pour l '6quation canonique (23).

Nous retiendrons alors, comme expi'ession de la solution, les d6veloppements en s6rie de fonctions de Bessel sph6riques S~ (]), qui convergent pour ]z I > I e t qui permet tent d 'avoir uae expression approch6e de la solution lorsque z---> r

III.5. Expression des solutions de l'~quation d'onde.

111.3. ]~tude de l'6quation sph~roidale (23).

C'est une 6quation h 3 singularit6s : les points z = + i et z--->c~.

Gette 6quation ne poss~de de solutions que pour des valeurs discr6tes du param~tre X que nous note- rons X~. Ces solutions sont les fonctions d'onde sph6roidales d' ordre I et de rang n.

On peut les exprimer ~ l'aide de d6veloppements en s6vie de [onctions de Legendre assocides. Elles sont dites alors angulaires et nous les no tons :

psi (z, k 2) et Qs~ (z, k2),

(notations voisines de celles de Meixner, Bateman et Robin).

D'apr~s la relation (10), ce seront donc les pro- duits de la forme :

(24) Psln (COS 0, k2).S~ 1(i) (ell ~, k2)~

ou Q 4 (cos 0, k2).@J~ (ca ~, k2).

III.6. Application ~ la cavity! inR!rieure a un cllipsoide ~ : ~o.

Les seuls points singuliers du domaine sont les foyers F et F' , lesquels correspondent ~ :

z = c o s 0 = + 1 .

II convient de rejeter la solution Qs~ (cos 0, k S) qui n 'est pas finie en cea points.

- - 236 - -

t, 19, n o* 11-I2, 196 ~ ]

Reste Ps~ (cos 0, k ~) qui est finie en z ----- ~ mais qui ae Pest pas en z -~ ~ 1, ~ moins de prendre n entler.

Nous supposerons doric par la suite n entier et n >/ 1 qui est le seul cas math6mat ique int6ressant et g6n6ral.

Nous excluons de mgme S~ ~ , fonet ion sph6ro~- dale de deuxi~me esp~ce comme Qs 1.

Avee Meixner, Ba teman et Robin, nous ne conser- vons que la solution S 1'1).

Nous avons alors l 'expression du champ h l'int6- rieur de l'ellipsoide ~ ~ ~o :

(25/ H~ ~ = A,~ S~ (~) (ch "~, k~). Pst~ (cos 0, k2),

oh A. est une constante arbitraire,

H , est la somme d'une infinit6 de composantes de ce type. Chacune satisfait s6par6ment aux condi- tions aux limites (cf. lII,8).

III.7. i~tude d'un cas particulier : Introduction d'une paroi hyperboliquc.

On 6tudie maintenant la cavit6 obtenue h part i r de la pr6c6dente par introduct ion d'un hyperbo- lo~de 0 ~ 0 o qui limite celle-ci (domaine haehur6 de la figure 3).

FIG. 3. - - - C a v i t 6 sph6ro'/dale c o n f o e a l e .

Cet hyperboloide a pour effet d 'exclure les foyers du domaine d'existenee du champ. Par suite, nous devons prendre l 'expression du champ sous sa forme la plus g6n6rale, soit d'apr~s (24) :

(25 bis l t,(~) S~ (~ (ch ~, k2! (A~ Ps~ (cos 0, k")

+ B~ Q4 (cos 0, ~2)),

car nous n 'avons plus de raison de rejeter la fonction angulaire de seconde esp~ce Qs~ (cf. III.6).

III.8. Expression des conditions aux limites.

Soient doric ~o, 0o les param6tres d6finissant l'ellipsoide et l'hypcrbolo~de~ formant les parois de la cavit6.

O S C I L L A T I O N S P R O P R E S DE CAVITES S P H E R O I D A L E S ~ / 7

Nous arrivons h une expression simple des deux ->

conditions eux limites en expr imant que le champ E est normal aux patois pour chaque mode d'oscil- lation :

(26) (3n (sh ~q. H4))n=no = 0 pour l'ellipso~de,

(27) (~0 (sin 0.H4))0=0. -- 0 pour l'hyperbolo/de

D'ofi les deux conditions :

S~ ~11' (oh ~o. k21 sh ~o -- coth ~o (?~) 'Qnl(1) (-P!' "/~0" k?~

poltc Fellipsoide,

(2,q) - ~in 2 00 (A,, Psi' (co~ 00. ]~2) + B= Q4' (co,~ 0 o, k'~ +

co~ 0 o (A~ Ps~ (cos 0 o, k 2) + B~ Q 4 (cos 0 o, k~)) = 0,

pour l'hyperboloyde.

La formule (28) sert h d6terminer la fr6quence et la formule (29) le rapport B=[A~.

III.9. Expression des autres composantes de champ.

A par t i r des 6quations de Maxwell, nous avons obtenu les expressions :

(30) E~ = ~ ~o (sin O.H4), ]r162 sin 0 V t ~ ~,~ + sin 2 0

- - I (31) E0 = - - - - .Sn (sh ~.H,) ,

]O)Zc sh ~ ~lsh 2 7] + sin 2 0

so i l en nota t ion canonique :

(32) E~ = ~ 3~ ( t / ( t -- tz 2) .H4),

(33) E~ = -- 1 b5 (V(~ 2 -- I) .Ur

Cette solution figure, fi un signe pros toutefois, dans Meixner [4] d'aprb~s un travail de Nimura [6] (cf. Moon et Spencer [5]).

III.10. Solution pour le demi-volume.

Dans la cavit6 pr6c6dente, on place un plan m6tallique en z ~ 0 et l 'on consid~re la cavit6 limit6e par oe plan, par l'ellipso~de : ~ = ~o et par le demi-hyperboloide : 0 = 0 o z > / 0 (fig. 2].

D'apr~s le travail de 3. Bernier [3], les modes de cette demi-cavit6 seront pris parmi les modes de la cavit6 enti6re qui vient d 'etre consid6r6e.

Nous conservons donc la mgme expression des champs en introduisant une condition linfite suppl6- mentaire :

(34) [E~lz= 0 = 0 soit [E~Io=,~/2 = 0 d'apr6~ (6)

ce qui s'6crit, d'apr~s (30) :

( t ~0 (si,, 0.H~)) = 0 . ]r162 ~/sh 2 ~ + sin 2 0 0=~!2

- - 237

5/7

On abouti t h la condition :

(35) [ -- sin ~ 0(A,, Psi' (cos 0, k 2) + B. Qs~' (cos 0, ke)) + cos 0 (A~ Ps~ (cos 0, k 2) + Bn Qs~ (cos 0, k2)] }0-~/~. = 0,

qui se r6duit donc h :

(35 b i B ) B , 1 Psi ' (cos 0, k2) I An Qsn ~' (cos 0, k 2) 0==1~

Si l 'on prend n impair :

(36) n = 2 p + t,

d'apr~s la relation 6tablie pour les fonctions sph6- roidales angulaires

(37) (d~ Ps~+zv (z, /r = 0,

il s 'ensuit que Ps~+x tend vers 0 lorsque 0 tend vers 7~[2. Comme il n 'en va pas de mgme pour Qsev+~ , le rapport Bz~+]IA2v+I tend vers O lorsque 0 tend vers ~/2.

Par suite, dans le cas du demi-volume, nous sommes en droit de n6gliger les fonctions angulaires de seconde esp~ce introduites dans la relation (25 bis).

La formule (25) nous donne donc | 'expression du champ et il suffit de remplir la condition (36) pour que la condition (34) soit toujours assur6e.

I V . ~ T U D E PBATIQUE DE LA CAVIT~ SPI-I~BOIDALE.

La distance locale c intervient comme un para- m~tre d 'homoth6tie du syst~me.

Nous nous rapproehons de la cavit6 r6elle, objet de cette 6rude, en nous pla~ant dans le cas :

(38) a~ << c << no,

oh c, a o et ao sont les constantes de l'ellipsoide = ~0 et de l 'hyperboloide 0 = 0 o (fig. 2). En effet, avec a o >> ao, dans les parois de la

cavit6, l 'hyperbole vient se confondrc prat iquement avec ses asymptotes et la colatitude du c6ne form6 par ees dernigres est voisine de =[2, puisque la pente des asymptotes vaut :

(39) z :1 <<t si c,~<<c. x v(cla') 2 - 1

De plus, en ce cas, l'ellipse limite tend/a se confon- dre avec une circonf6rence (c << no) , m a i s cornme l 'ouverture du cbne est faible, l 'arc de circonf6rence est proche du cylindre d'axe Oz et de rayon b o.

Nous devons doric, sur l '6quation canonlque, traiter le cas approch6 :

t (40) ~t 0 = aolc = cos 0 o -+ 0

~o = ao Ic = ch "~0 --> oo

IrA. l~tude du cas approch6 o~ it0 est tr6s petit et ~o tr6s grand.

a) J~tude de la pattie angulaire.

I1 n'existe pas de formule d 'approximation simple de Ps, ~, (cos O, k ~) au voisinage de cos 0 = 0 ; mais ayan t pris n = I + 2p la relation (35) nous montre

E. RIVIER [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION~

que la condition aux limites (29) est identiquement v6rifi6e pour 0 o = rc[2, soit V% = 0.

On admettra qu'elle l 'est aussi pour des valeurs tr~s voisines des pr6c6dentes. La paroi hyperbo- lique n' intervient plus alors pour fixer la fr6quence.

b) J~tude de la partie radiale.

Par contre, il existe une expression asymptotique de la partie radiale :

(4l) S. ',lJ (~, k 2) ~_ (11kc~) eo~ [ kc~ - (n + I) =12] (~ .-. ,::o)

et on peut la d6river. En reportant cette expression dans la condition

aux limites pour l'ellipsoide (28), on obtient :

(42) kc.tg [,',.c~ - (n + ]) = /2 ] = 1/~).

C'est l'dquation aux/rdquences propres de la cavit6 dans le cas approch6 envisags

IV.2. Rfisolution approchde de l'~quation aux Irdquences propres.

Le param~tre c a une valeur finie. I1 en est de

m~me de k = co X / ~ , qui peut avolr une valeur net tement sup6rieure h l 'unit6 si 1'on envisage un fonctionnement /a plus de I 000 MHz.

Le second membre de (42) est un infiniment petit ; il dolt en ~tre de m~me du premier, donc de la tangente.

Nous r6solvons alors l '6quation approch6e obte- hue en prenant la plus petite d6termination de l 'argument de la tangente :

(43) /,.c [kC~,o- (n + 1) 7:/2] -- 1/~. Toutes les autres d6terminations correspondent

6videmment h une valeur de kc~ o augment6e d 'un multiple entier de 7:. La r6solution approch6e de cette 6quation du deuxi~me degr6 en kc nous conduit ~ la solution en k :

' 2c~~ (1 4 ) (44) k - (/2 -~ ]) 7]: (/2 -~" ])2=2 ~ '

soit, en introduisant la longueur d'onde k = 2rc[k et en se souvenant que c~ o = ao, d'apr~s (19) et (5) :

(45) x"~ '~~ (t 4c2 ) n + t (n+])2=2 a~"

IV.3. Fr~quence fondamentale.

L'6tude math6matique nous ayant amen6 /~ prendre n impair et n ) 1, la longueur d'onde pour le fondamental est :

(46) ~, _~ 2ao [ i - c21 =~ ~,~],

que nous 6crivons d'apr~s (3) en introduisant le petit axe de l'ellipse :

(47) ; ~ 2b o ('1 + c212b~) (] -- c21= 2 b~),

ou, en n6gligeant les infiniment petits d'ordre sup6- rieur h 2 :

[ ,)] ( 4 s ) x_~21,0 I+;] --~ .

- - 238

t . 19, n ~ 11-12, 1964] OSCILLATIONS I't/OPI/EN DE CiVITI~S SPtII~IIOIU,A.LES 6/7

V . D I S Q U S S I O N E T I N T E R P R E T A T I O N

D E S B ] ~ S U L T A T S O B T E N U S .

Pour v6rifier la validit6 des r6sultats obtenus, il vient h l 'esprit de les rapprocher des solutions 6ta- blies pour une configuration de cavit6 voisine de la cavit6 confoca[e particuli6re 6tudi6e pr6sentement at qui en est un cas limite.

C'est celle form6e par an cSne ~ dcux nappes et unc sphere concentriques que nous avons 6tudi6e.

V.1. Rappel des solutions de la cavit6 biconique.

Nous nous r6f6rons pour cette 6tude h l 'ouvrage de Ramo ct Whinnery [6] et h celui d 'Angot [1].

a) La sphere creuse.

Consid6rons d'abord la sphere creuse (fig. 4) sans le c6ne. On pent montrer, h partir du syst6me de Maxwell, par projection sur un tri~dre de coordon- n6es orthosph6riques (r, t, ~r qu'il existe une solu- t ion dite transverse magndtique ayant pour compo- sautes non nulles :

He = F1 (r) sin t, (49) E, = F 2 (r) cos t,

Et -= F3 (r) sin t.

•

r

7-

I

I t"lc;, e j . . ( ;avi td s p h 6 r o c o n i q u e .

Mais il existe 6galement une solution transverse dlectromagndtique avee E~ == 0, of] les composantes non nulles sont :

(5o) H , \ , =-:~1~,,,i . . . . . . . ,.

C cos kr Et =: , C : = constante.

sin t r

b) La cavitg biconique.

L'introduction d 'ua c6ne m6tallique h deux nappes ne perturbe pas la solut;on transverse 61eetro- magn6tique, 'h condition tout~foi~ qu'il existe une s~paratlon infinitdsimale des deux lutppes.

En ce cas limite, les relations (50) montrent que :

(51) X = 4Ro (R o rayon de la sphere),

(il suffit d 'annuler Et sur la paroi de la sphere). Nous remarquons bien qu'il s'agit d 'un cas limite,

valable toutefois quelle que soit l'ouverture t o du c6ne. Par contre, la solution TM est for tement pertur-

b6e. Comme nous l 'avons fair pour le sph6roide, il est loisible de penser que la solution de la sphere creuse reste acceptable pour la cavit6 biconique /~ condition d' introduire une condition aux limites suppl6mentaire sur la paroi eonique.

Pour un c6ne d'ouverture t o quelconque, cette condition qui fait intervenir les fonctions de Legen- dre associ6es ne pent s'expliciter simplement.

Pla~ons-nous dans l 'approxlmation d'un cdne tr~s aplati (t o '~ =/2).

D'apr~s les formules (49), E , est n6gligeable devant Et pour t o voisin de ~[2. La paroi conique perturbera donc peu les lignes de champ donn6es pour l'essentiel par Et. Nous pourrons doncprendre en ce cas, comme valeur de d6part indicative, la longueur d'onde du mode TM de la sphere creuse, solt :

(52) X ~ 2,29 B0,

pour le fondamental .

c) Demi-caviN ddduite du bicdne.

Le fait de prendre ensuite la moiti6 de la cavit6 pr6c6dente n'alt~re pas, pour l'essentiel, les r6sul- tats acquis. La condition suppl6mentaire impos6e par la paroi plane fixe simplement la parit6 des modes, comme pour le sph6roide.

V.2. Conclusion de l'6tude des fr6quences.

D'apr~s ce qui pr6c~de, on pourrait gtre tent6 de faire apparaltre un mode TEM (avec E~ = 0) sur le sph6ro~de. L'6tude de ce cas montre qu'on abou- t i t h une contradiction. On ne pent donc pas espgrer voir un mode du type T E M s'gtablir dans la cavit~ sphgro~dale con[ocale, saul peut-~tre h la limite 0 ~ 7~[2, oh l 'on peut lever, de mani&e approchde, la contradiction.

Les cavit6s effectivement construites se rappro- chant de mani~re assez imparfaite des types confo- caux ou biconiques pr6eit6s, pour des raisons de technologie et d'usinage 6videntes. I1 apparalt diMcile d'6tablir avec pr6cision leur fr6quence. Les valeurs donn6es pour le sph6roi'de confoeal et la cavit6 bieonique apparaissent alors comme des valeurs extrgmes d61imitant la bande de fr6quences dans laquelle il faut s 'attendre h voir r6sonner le syst~me objet de la pr6sente 6tude.

V.3. ]~tude des champs.

L'expresslon des champs obtenue pour la cavit6 confocale apparalt comme coh6rente avee les r6sul- tats 6nonc6s pour la cavit6 biconique.

Le champ E 0 (ou Et) est maximal sur raxe des z, o6 il tend vers l'infini comme le facteur t i c sh ,1 (on l lr ).

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7/7

Au contraire, le champ E~ garde sur l 'axe des z une valeur finie au centre qui ne d6pend que de 0o, quel que soit 0 o.

Pareillement, le champ H, , qui eontient le fae- teur ~q~) reste fini sur l 'axe des z(~ = 0), comme ~ n ,

S~O). I1 e n e s t de m~me du champ ealcul~ pour le bieSne, qui se r6duit sur l 'axe ~ Ckl(] sin t).

Au eontraire, H , est maximum sur la pdripMrie, avec le faeteur sin kr 6gal h 1 sur la paroi sph6rique, pour le bic6ne. Pour la cavit6 confoeale H , a un comportement tout ~ fait analogue. Les formules offrent une grande ressemblance avec un compor- tement en 1 [r ou 1 [c eh ~.

V.4. Impfidance d'onde.

Nous pouvons alors introduire une imp6danee d'onde au voisinage du centre de la cavit6 confocale par :

Hr j6)~c b.a H, + s ~ H~ ~-~o H,.

H , 6tant une fonetion continue, monotone et nulle au centre. En effet, d'apr~s L. Robin [9] lorsque ~ - + 0 :

S 1(I) (tit ~'~ l) ]) A~l.l.t(k 2) x 21a+l ~, k 2) __ 2(p + (2/, +

1 Ke~+~ (k)~/(eh ~) -- t)/2.

Ceei s'annule au centre (~1 = 0). En outre la d6riv6e est finie et 6gale h 112 au centre, de sorte que ~ H , est aussi finie en ee point.

L'imp6danee d'onde au voisinage du centre se r6duit alors au r appor t :

(54) Z0 = - [1/jr c sh ~]~-~0.

Nous l'6crirons plutbt :

Cette 6criture nous permet de la comparer /t l 'imp6dance d 'onde obtenue dans le cas de la cavit6 biconique :

soit, au voisinage du centre :

(57) 7~0 ~ r ~ 0).

Les deux [ormules se rdduisent l'une it l'autre gt condition de prendre

r = c s h ~ .

Or, physiquement lorsqu'on envisage la valeur asymptotique ~o = ao[c--> co, il faut bien garder h la cavit6 une paroi elliptique h distance a o (ou b0) finie du centre. Autrement dit, nous devons faire tendre vers O le param6tre d'homoth6tie c ; mais alors h la limite, si l 'on eonvient de maintenir un rapport a'o [c donn6 quand c ---> 0, la paroi hyperbo- lique vient se confondre avec le c6,e form6 par ses asymptotes, I1 s'ensuit que, lorsque c--->0, la

E . R I V I E R [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION$

cavit6 sph6roidale se r6duit & la cavit6 blconique. L'ellipsoide et la sphere viennent se confondre et l 'on a rigoureusement b = r.

Mais, d'apr~s (5): c sh ~1 = b. Les formules (55) et (57) deviennent identiques et l 'on v6rifie bien qu'h /a limite ofz les deux types de cavitds se con[on- dent, les impddances d'ondes it l'origlne sont les m c m e 3 .

VI. G O N G L U S I O N G]~N~.RALE.

Le syst~me triple orthogonal du sph6roide allong6 diff~re profond6ment des syst6mes cart6sien, eylin- di~ique ou sph6rique. En effet on ne peut r6duire l '6quation vectorielle d 'Helmholtz h une 6quation scalaire par la m6thode de Bromwich-Borgnis. I1 n'est donc pas possible d'isoler le hombre k dans une relation du type : F(u) + G(~) -t- S(w) + k = 0 F, G, S 6tant des op6rateurs. Mais on obtient un systgme de deux 6quations dont chacune contient k lequel dolt prendre la m~me valeur darts les deux 6quations.

Nous n'avons su r6soudre qu 'un cas limite oh l 'on 6limine l'une de ces deux 6quations. La r6solution du cas g6n6ral semble pr6senter de grandes diffieult6s math6matiques.

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