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A un concours d' enltré en faculté on pose le problème suivant.
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FLORENTIN SMARANDACHE Où se trouve la faute dans
ce raisonnement par reccurence?
In Florentin Smarandache: “Généralisations et Généralités”. Fès (Maroc): Édition Nouvelle, 1984.
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OU SE TROUv"h LA :;:'1I.UTE D.àlJS CE RAISmTNEI2il\fT
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Il Tr01.o..ver les po:CJ~lômes p(x) ù coei'ficients réels tels <l'.le :x:P(:;c-1) == (~:-3)r(x) ~ pour tout x riel. Il
Quelq1.~cs car.ë~id.ê.ts ont cru. pouvoir démontrer par récurrence Que les pol~'~Î.ô;':0~ de J' énOclCG sOLt ceux qui vérifient 12, proprijt~ sui V2"~'C(; g ?(x) = 0 pou:' tout entier l1.2.turel.
E:!l ei~fs~? :ï.is81lt··ils? si on pose x== 0 do,ns cette rc;lation, il en r.';::mLc ~.",J(; O,P(-l) == ·-3,F(O)? clo::J.c p(O) = O. De même, é1vec }: = l, on a g
- :~(,,\ ? v f ,) '.,.. .1.,1 \......} == -'"' ..... Dl \J.. ,QO.l.1v
On SUPl;ose que 10, propri·:jtj ost vrcio P(n-l) =- C, cO:; C' :,:'e~~cic c"'" qu t il on
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3?F(2) P(3) c,.:~ Ir.:' p(3).
c. r (3) ~:G;1.C (J == O. p(3) , cc qui n'entraîne paS. Que ; 2~ ~~f:~ cette éc~lit~ ost vraie ~our tout réel
LI 8rr,;ur .. ~,,_. -.'.c't cl"l1c 0.0 r::c J.' imYJlication ~
11(n=-3).P(n) = n.F(~î.-IJ o ~ pen) = On n'est p:=,.s juste.
On peut trouver facil(;8c:'l-~ <lue ?(x) = x(x-l)(x-2)k,kE.lR..