P-EX03-17-CM

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Physique

MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE DORAL

-EXERCICE 17.3-

ENONCE : Chute dun tube du haut dune armoire

On considre un tube de longueur 2L=40cm, pos en quilibreinstable sur le haut d'une armoire (H=1,80m / sol).A t=0, on pousse lgrement le tube qui amorce une rotationautour de l'arte de l'armoire; on suppose qu'il y a assez defrottements pour que le glissement n'apparaisse pas.Dans cette phase du mouvement, la position du tube est reprepar l'angle qu'il fait avec la verticale.La masse du tube est note m, et son moment d'inertie parrapport un axe passant par l'arte de l'armoire est note J.

2L

H armoire

tube

Pour les calculs, on pourra prendre :

243mLJ = , et 29,81 .g m s= .

1) Dterminer langle 0 partir duquel le tube cesse dtre en contact avec larmoire ; en dduire la vitesse de rotation 0 acquise par le tube cet instant, ainsi que la vitesse

verticale 0z

v du centre dinertie G au mme instant.

(on suppose que le mouvement se fait dans un plan perpendiculaire larte de larmoire, et que le tube est homogne)

2) Dterminer langle 1 dont a tourn le tube sur lui-mme lorsque G touche le sol. 3) En pratique, il y a de fortes chances pour quune extrmit du tube vienne buter contre le

sol avant que G ne touche ce dernier : de quelle hauteur devrait tomber le tube pour que

1 soit gal 3 / 2 ? (dans ce dernier cas, le tube touche le sol en position horizontale).


Physique


CORRIGE : Chute dun tube du haut dune armoire

1)

H armoire

x

z

o

y

re!

e!

Le rfrentiel sera le sol et le systme le tube; les forcesappliques sont le poids et la raction de l'arte de l'armoiresur le tube: cette raction se dcompose en une composantenormale N et une composante tangentielle T.Le contact entre le tube et l'armoire cesse lorsque N=0.

Le poids mg! sapplique en G= milieu du tube, et la raction scrit : rR Ne Te= +! ! !

; en

projection sur re!

, le TRC donne :

2 cosm L mg N = + ; il faut une autre quation pour liminer utilisons le TEC, qui est une intgrale premire du mouvement et donne directement accs 2 . En fait, puisquil ny a pas de glissement, T ne travaille pas ( N , quant elle, ne travaille jamais) la seule force prendre en compte est le poids, qui drive dune nergie potentielle nous appliquerons la conservation de lnergie mcanique ; il vient alors :

210 cos2

mgL J mgL + = + (en prenant lorigine des nergies potentielles en O)

Rq : lnergie cintique a lexpression ci-dessus car la rotation se fait bien autour dun axe fixe (larte de larmoire), ceci en labsence de glissement.

Aprs limination de 2 et en se plaant en 0 (o 0N = ), on a :

00

cos1 cos2

gmgL J mgLL = + 0

2

1 3cos51

2JmL

= =+

0 53 =

Par ailleurs : 20 0cosgL

= 10 5,42 .rad s =

et : 0

10 0sin 0,867 .zv L m s = = (le mouvement de G tant circulaire, Gv

! est orthoradiale)

2) Dans la deuxime phase du mouvement, le tube est en chute libre (mis part les frottements avec lair, que nous ngligerons) et la seule force agissante est le poids, dont le

moment en G est nul ; le TMC indique que cste = 0 0( )t t = + (1) (t compt partir de linstant o le contact tube-armoire cesse).


Physique


Le mouvement de G est alors uniformment acclr ; en tenant compte de 0 0 0

sinzv L = et de 0(0) cosGz L = , il vient pour lordonne du centre dinertie G :

20 0 0

1( ) sin cos2G

z t gt L t L = + (2)

Pour 1,80 Gz m= , 1t est solution de : 29,81 0,867 1,92

2t t+ 1 0,543 st = ( 1 0t " ) ;

alors : 1 0 0 1 222t = + # ( 10 5,42 .rad s # , convertir en 1.s )

3) Cette fois, avec 2 270 = , on trouve 2t (grce la relation (1)) : 2 0,699 t s=

On reporte cette valeur dans (2) pour obtenir : 2( ) 2,88 GH z t m= # Rq : on peut facilement raliser cette exprience, qui confirme assez bien les valeurs numriques trouves dans les cas o le tube tombe plat ; on constatera la grande importance de labsence de glissement pendant toute la rotation autour de larte de larmoire (avec du glissement, 0 est plus faible et les angles de rotation galement).

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