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MP Cours de physique

Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 17

LECTROSTATIQUE

Chapitre 4

Conducteurs en quilibre lectrostatique

4.1. Dfinition dun conducteur

Conducteur en quilibre lectrostatique

Un conducteur est un milieu matriel dans lequel certaines charges lectriques, que lon nommera charges mobiles , sont susceptibles de se dplacer sous laction dun champ lectrique. Sagissant demtaux ou dalliages mtalliques, ces charges mobiles sont ngatives, portes par les lectrons deconduction.

Champ lectrique msoscopique

Nous parlons ici de champ thermodynamique , valeur moyenne du champ lchelle msoscopique(chelle trs petite par rapport lchelle du laboratoire et trs grande par rapport lchelle des atomes).

En effet, dans un tel matriau il existe galement des charges fixes, source de champs lectrostatiquesmicroscopiques : nous ne parlons pas ici du champ microscopique au voisinage immdiat de ces chargespas plus que du champ microscopique au voisinage des porteurs mobiles.

De la mme faon, lorsque nous parlons du dplacement des porteurs mobiles, nous parlons de leurventuel mouvement moyen au sens msoscopique. Les charges microscopiques sont soumises, y compris lquilibre lectrostatique, un mouvement stochastique incessant dagitation thermique. Cemouvement est de valeur moyenne nulle lchelle dune cellule de matire de dimension msoscopiqueet il ne lui correspond par consquent aucun dplacement msoscopique.

Le champ lectrique est nul au cur dun conducteur en quilibre lectrostatique

En labsence de champ lectrique dans le volume du conducteur, il ny a pas de dplacement de charge et,rciproquement, lquilibre lectrostatique dun conducteur implique la nullit du champ lectrique dansla totalit du volume du conducteur.

Le volume dun conducteur en quilibre lectrostatique est quipotentiel

Dire que le champ lectrique est nul, cela revient affirmer que le volume tout entier dun conducteur enquilibre lectrostatique est quipotentiel. Nous parlons bien sr du potentiel lectrique au sensmsoscopique du terme, valeur moyenne du potentiel lchelle de cellules msoscopiques de matire.

Champ et potentiel dans un conducteur en quilibre lectrostatique

Dans le volume dun conducteur Cen quilibre lectrostatique, le champ lectrique est nul et le

potentiel est uniforme.

M C: (((( ))))M 0E ====

et (((( )))) 0M teV V C= == == == =

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LECTROSTATIQUE Chapitre 4 Conducteurs en quilibre lectrostatique

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Charges de surface, thorme de Coulomb

En consquence du thorme de Gauss, nous dduisons que, dans le volume dun conducteur en quilibrelectrostatique, la densit volumique de charge est ncessairement nulle.

0E =

et

0

divE =

0 =

Si le conducteur est charg, les charges mobiles se dplacent en surface en se disposant de telle sorte quele champ lectrique soit nul dans tout le volume : nous admettrons, sans dmonstration, quune tellerpartition surfacique de charge est unique.

Rappelons la proprit de discontinuit du champ lectrique la traverse dune surface charge,dmontre au chapitre prcdent :

1 2 10

E E n

=

Cette proprit prend la surface dun conducteur lquilibre, le champ tant nul lintrieur, la forme

particulire du thorme de Coulomb.Thorme de Coulomb

Le champ lectrostatique la surface dun conducteur en quilibre lectrostatique est normal la surface, dirig vers lextrieur si le conducteur est porteur dune charge positive, vers

lintrieur si la charge est ngative. La valeur algbrique du champ orient par la normale

extrieure est gale au rapport par 0 de la densit surfacique de charge lectrique :

int0E ====

et

ext ext

0

E n

====

Capacit dun conducteur seul dans lespace

Dfinition

Considrons un conducteur seul dans lespace , porteur dune charge lectrique Qrpartie sa surfaceen une densit surfacique ( )M avec, S tant la surface du conducteur :

( )M

MQ dS

= S

Le potentiel du conducteur, lorigine tant choisie linfini, sexprime comme loppos de la circulationdu champ de linfini la surface du conducteur :

( )M

MV V E d

= =

Cette circulation est indpendante du parcours et aussi indpendante du point M considr la surface duconducteur. Le conducteur tant considr seul dans lespace, son potentiel est d la seule prsence descharges lectriques sa surface, soit :

( ) ( )

M0

M1P

4 PM

dSV V

= =

S

Imaginons une charge Qmultiplie par un scalaire quelconque. La charge surfacique ( )M en tout

point M de la surface sera multiplie par ce paramtre et ce sera aussi le cas du potentiel Vau cur duconducteur.

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LECTROSTATIQUE Chapitre 4 Conducteurs en quilibre lectrostatique

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Nous en dduisons que la charge dun conducteur seul dans lespace est proportionnelle au potentiel de ceconducteur, lorigine des potentiels tant choisie linfini. Le coefficient de proportionnalit est qualifide capacitdu conducteur seul dans lespace :

Q CV=

Cette capacit ne dpend a priorique du dtail de la forme gomtrique de la surface du conducteur.

Exemple dun conducteur sphrique seul dans lespace

Un conducteur sphrique de rayonRporteur dune charge Q lquilibre prsente, du fait de sa symtriesphrique, une charge surfacique uniforme 24Q R =

Nous avons dj exprim le champ et le potentiel cr dans tout lespace par une sphre uniformmentcharge en surface. Ce champ est nul lintrieur de la sphre, preuve quil sagit bien de la solutiondquilibre de la sphre conductrice charge. lextrieur de la sphre, le champ et le potentiel ont pourexpression :

( )2 2

2 20 0 0 0

pour , et4 4r r

Q R Q Rr R E e e V r r r r r

> = = = =

En particulier, la surface du conducteur sphrique, pour r R= , le potentiel a pour valeur 04V Q R=

et nous en dduisons la valeur de la capacit dun sphre de rayonRseule dans lespace :

04Q

C RV

= =

4.2. Condensateur

Thorme des lments de surface correspondants

Deux conducteurs 1C et 2C , porteurs de charges lectriques 1Q et 2Q , acquirent, lquilibre

lectrostatique, des distributions de charges correspondant des potentiels uniformes 1V et 2V dans les

volumes de chacun des conducteurs. Certaines lignes de champ joignent un conducteur lautre etlorientation de ces lignes de champ dfinit celui des conducteurs dont le potentiel est le plus lev :

Considrons un tube de champ lmentaire joignant le conducteur 1C au conducteur 2C et construisons

une surface ferme en posant des capuchons (reprsents en pointill sur la figure ci-dessus) dans levolume intrieur de chaque conducteur, chacune des extrmits du tube de champ.

Le flux sortant du champ lectrique travers cette surface ferme est nul. Il est nul travers les parois dutube de champ par le fait que, par dfinition, le champ lectrique est tangent au tube. Il est nul traversles capuchons par le fait que le champ lectrique est nul lintrieur des conducteurs lquilibre.

1V

2 1V V2 2 0dS