chap1.1 Electrostatique et magnétostatique

8/3/2019 chap1.1 Electrostatique et magntostatique

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Anne 2000-01

CHAPITRE I

Electrostatique et magntostatique;

lois lmentaires ; quations de Maxwell dans le vide

Attention : ce chapitre est en principe connu des tudiants qui ont suivi un Deug dont la

finalit tait la physique ; quand bien mme ils nauraient pas tudi llectromagntisme dans

le vide le contenu de ce texte , et laide des TD sont suffisants pour quils prennent

connaissance des rsultats et des thormes sans avoir recours dautres livres

Existence de charges isoles

= exemples

Lexistence de charges lectriques ponctuelles , stables , est le fondement de llectromagntisme

classique ; on les rencontre accroches des supports matriels : cheveux , chiffons , nuages

interstellaires , conducteurs , ecrans .... ; elles constituent , une chelle microscopique , atomes ,

molcules , noyaux ... ; on les notera q ou q i au point r i . Leur existence rvle en mme temps

lexistence de champs appels lectriques . En physique moderne et des particules , la charge

se conserve aussi dans toutes les interactions , au mme titre que lnergie .

= existence de champs lectriques E ; caractres de cette grandeur vectorielle

On connait la notion de force et sa proprit dtre un vecteur . La relation suivante

dfinit un champ , une fois admis lexistence de charges ; elle montre que charge et champ sont

deux grandeurs physiques distinctes : on peut manipuler des charges dans un mme champ ou

appliquer diffrents champs une mme charge .

La force F applique une charge q place au point M o rgne un champ E(M) est donne par

la relation vectorielle :


2/21

2

Cette relation met en correspondance des grandeurs mcaniques et des grandeurs lectriques .

Cest une relation entre vecteurs . La charge q a un signe qui est soit positif ( cation , noyau ,

proton .. ) soit ngatif ( lectron q=-1.6022 1019

Cb , ... )

Champ cr par une charge lmentaire

Inversement , une charge q place l'origine des coordonnes produit un champ E(M) en

M ; on rvle lexistence du champ , son intensit et sa direction en mesurant la force F'(M) = qE(M) que subit en M une charge test q'

= La formule ci dessous donne la valeur du champ lectrique cr par une charge

lmentaire dans le vide , isole , place l'origine des coordonnes , loin de tout conducteur ; on

distingue dans la formule les aspects : gomtrie ( symtrie dans l'espace : symtrie sphrique ),

milieu intermdiaire ( le vide ici caractris par la constante physique 0 ), la charge q place

l'origine, le point r = M o l'on mesure le champ lectrique E ( r ) .

On retiendra que le module du champ varie comme r2

; c'est la loi lmentaire de Coulomb .

Le rapport1

40

est une grandeur qui caractrise le

milieu ( ici le vide ) dans lequel est place la charge q ; le facteur

numrique 4 tient au choix du systme d'units . La valeur de 0 est , dans le systme MKS : 8.854 10^(-12) farad/m ( F/m) ; on prendra souvent comme

approximation : 4 0

= 10^(-10)

= ligne de champ dans le cas dune seule charge

On appelle "ligne de champ" une ligne telle qu'en tout point M de la ligne le champlectrique E( M ) mesur au mme point lui est parallle ; dans le cas prsent la symtrie

sphrique de la charge et de l'espace entraine que toutes les lignes de champ soient des droites

qui passent par cette charge . Ces lignes de champ sont orientes dans la direction oppose la

charge si celle ci est positive .

Principe de superposition

= dans le vide il y a addition vectorielle des champs crs par plusieurs charges

ponctuelles ; on retiendra que cette loi de superposition ( ou d'addition ) n'est vraie que dans le

vide , par opposition au cas d'un dilectrique qui fera l'objet dun chapitre ultrieur .

F ( M ) = q E ( M)

E ( r ) = q1

40

r

r3


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3

= on gnralise la loi de Coulomb en l'tendant au cas d'une distribution continue de

charges ; ( densits volumiques , surfaciques , linaires )

Cette expression vectorielle donne le champ cr en r par une densit volumique de charges

( r' ). Lintgration stend au volume fini ou infini o existe une densit de charges ( sous

rserve quau point r il ny ait pas une densit infinie de charges afin que l'intgrale prcdentegarde une dfinition mathmatique simple ) .

= premier exemple trait extensivement : le diple lectrique

On appelle diple lectrique l'association de deux charges de signes opposs +q et -q ,

places une distance d fixe l'une de l'autre .

La solution d'un problme de physique , en particulier le calcul du champ produit par une densit

de charges , commence toujours par l'tude de la symtrie ; elle permet trs souvent de simplifier

les calculs ; plus gnralement le principe de Curie assure que les "effets" ( le champ cr ) n'est

pas moins symtrique que la cause ( la distribution de charges ) . Pour le diple on distingue les

"oprations de symtrie gomtrique" suivantes : rotation autour de laxe du diple , symtriedans un plan contenant laxe du diple , symtrie par rapport un plan perpendiculaire au diple

et passant par son centre ; la connaissance de ces symtries permet de faire un choix de variables

plus simple , et de vrifier , tout calcul fait , que le champ obit bien aux lois de symtrie repres

; pour le diple , grande distance ( d


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4

= dfinition dune ligne de champ; appliquer aux exemples prcdents

= premires quations de Maxwell dans le vide :

- proprites locales ;

On appelle loi locale une expression , diffrentielle ou non , qui relie des grandeurs en

un mme point de lespace de configuration [ l'espace de configuration est un espace dont la base

comprend l'ensemble des paramtres qui caractrisent l'tat du systme : pour un gaz de la thorie

cintique l'ensemble des coordonnes r et t de chaque molcule ; pour l'lectromagntisme ce

sera l'ensemble r , t relatif aux deux champs coupls E ( r, t ) et B(r , t ) ]. L'exemple de loi

locale le mieux connu des tudiants est la loi de la dynamique d'un point matriel .

Le rotationnel et la divergence de E sont nuls en tout point r ( sauf lorigine ) pour le champ

cr par une seule charge place elle-mme l'origine car on dmontre directement que pour

r

0 :

.(r

r3) = 0 et rot (

r

r3) = 0

Le thorme daddition entrane que ces relations sont vraies aussi pour une collection de charges

ponctuelles , pourvu quelles soient places en des points distincts du point M o lon exprime la

relationlocale; il en rsulte qu'en tout point M o il n'y a pas de charge:

rot ( E ( M ) ) = 0 et div ( E ( M ) ) = 0

Ces deux relations vectorielles , soit quatre quations ( 3+1) , constituent les lois de Maxwell , enun point M , dans le vide ( l o il ny a pas de charge ) .

- proprits globales

On appelle loi "globale" une loi qui relie des quantits intgrales entre elles ; un exemple

simple est le suivant : deux particules qui font un choc conservent l'nergie totale , quel que soit

le type de choc ( lastique ou pas ) et quel que soit le nombre des produits de la raction .

: premire loi globale :

des rsultats mathmatiques gnraux , sous rserve de rgularit des fonctions , permettent

d'crire :

rot ( E( M ) ) ds(S) (M ) = 0 E( M ) d M(C) = 0

en somme , la circulation de E sur le contour ( C ) ferm ( thorme de Stokes ou thorme 1

dans lasuite ) est nulle ; cette conclusion rsulte de la proprit du rotationnel d'tre nul partout .

: deuxime loi globale :

div (E ( M ) ) dv( M )( V )

= 0 E ( M ) ds ( M )( S )

= 0 = (S)


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5

(S) est par dfinition le flux de E travers une surface ferme ( S ) ; il est nul ici si le volumedlimit par la surface (S) ne contient pas de charge ( thorme dOstrogradski ou thorme 2

dans la suite ).Dans les deux formules ds ( M ) est un lment de la surface S compt perpendiculairement

la surface au point considr M et orient par convention vers l'extrieur du volume dlimitpar

(S) ; dv ( M ) est un lment de volume , centr en M .

= lois de Maxwell et thorme de Gauss ; expression plus gnrale des lois de Maxwell

On se place ici dans une situation qualitativement diffrente de celle dcrite prcdemment : on

veut examiner ce que deviennent les quations de Maxwell en prsence de charges lintrieur du

volume V limit par la surface S ; en procdant par tapes on a successivement :

- cas des charges ponctuelles

(S ) = ( kqk ) 1

0

Cest la premire forme du thorme de Gauss ; elle donne le flux de E travers une surface (S)

quelconque , ferme , contenant des charges ponctuelles qk

; ce thorme rsulte dun calcul

pralablement effectu pour une seule charge , entoure par une surface S qui est une sphre

centre sur la charge ;

- premires loi de Maxwell : gnralisation une distribution continue

On dmontre directement la deuxime loi de Maxwell ( loi locale ) en un point M o existe

une densit de charges volumique (M) - thorme de Gauss dans le cas dune distribution continue

div (E ( M ) ) dv( M )( V )

=

rot ( E ( M )) = 0

div ( E ( M )) = ( M )

0

( M )

0

dv ( M )

( V )

E ( M ) ds ( M )( S )

= (S )


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6

Cette formule rsume le fameux thorme de Gauss relatif au flux de E travers une

surface ( S) ferme contenant une densit de charges ; sous cette forme , cest une extension ,

en vertu du thorme daddition , de la forme quil prend pour une charge ponctuelle .

= exemples dapplication du thorme de Gauss

- exemple de la ligne uniformment charge ; densit linique ; calcul duchamp cr la distance r de la ligne ;

- exemple de la sphre uniformmnt charge en volume ; champ lintrieur et

lextrieur ;

- exemple du plan uniformment charg de densit surfacique = ; calcul duchamp la distance r du plan ;

E ( r ) = 2 0

r 0

- remarques la suite de ces exemples

Il est interessant de noter que le champ produit par un plan infini ( dimensionalit deux ) , charg

uniformment , varie la distance r du plan comme ( r )0

;

: le champ produit par une ligne infinie ( dimensionalit un ) charge uniformment varie comme

( r )1

; .

: le champ produit par une charge ponctuelle varie la distance r comme ( r )2

: on peut dire de

cette charge ( ou un groupe de charges dont la somme algbrique est non nulle ) que sa dimensionest zro car elle est localise .

: enfin pour un diple le champ varie grande distance r comme ( r )3

: sa charge totale est

nulle mais elle est fractionne en deux lments , positif et ngatif , placs distance finie l'un

de l'autre .

- remarque mathmatique ( voir aussi cours de maths )

On la not , la quantit div ( E ) est nulle partout o il ny a pas de charge ponctuelle ; ainsi ,le thorme de Gauss peut aussi scrire , quel que soit le volume V :

[

qdiv ( E( r ) ) ] dv ( r )

(V)

= 0 si (V) nentoure pas la charge ponctuelle

= 1 si (V ) entoure la charge ponctuelle

Selon cette prsentation , la quantit entre crochets nest autre que la distribution ( r ) trois dimensions que , par abus de language , les physiciens nomment fonction ( r ) avec laproprit :

f ( r ) ( r - r0 ) dv ( r )

(V)

= f ( r0 )


7/21

7

En vertu du mme abus de language , on dira que la densit de charge associe une charge

ponctuelle q place lorigine des coordonnes , est : ( r ) q ( r )

Potentiel lectrique

= dfinition du potentiel lectrique

- dfinition mathmatique :

C'est l'expression du potentiel lectrique V exprim au point M ; V est une grandeur scalaire ;

il est dfini une constante prs mais il en rsulte le mme champ ; la constante que l'on peut

vouloir ajouter ce potentiel a donc une valeur dont on peut convenir sans contrainte ; souvent

on dit que la "masse lectrique" est au potentiel nul ; elle joue le rle dvolu au rservoir en

thermodynamique et peut fournir un systme en contact lectrique avec elle des charges sans

changer son potentiel V=0 .

- proprit globale : circulation du champ lectrique dun point un autre :

Cette expression ne rsulte que des proprits mathmatiques de la fonction " gradient " ; la

constante que l'on peut vouloir ajouter au potentiel disparait dans cette expression .

- proprit locale : loi de Maxwell ; laplacien du potentiel : loi de Poisson

En combinant la divergence du champ et la dfinition du potentiel on obtient la loi de Poisson :

div ( E ( M ) ) = ( M )

0 On pourrait dire que cest la forme diffrentielle du thorme de

Gauss ; on a par consquent :

E ( M ) = - grad ( V( M ) ) = -V( M )

A

E (M ) . dM = V (A ) - V( B )


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8

C'est une loi locale valable en un point M o existe une densit volumique de charges .

- potentiel linfini ; commentaires

- remarque mathmatique

en se souvenant dune remarque pralable , dans le cas de la charge ponctuelle, lquation de

Poisson montre que :

V ( r ) = 1

0

[ q0 ( r r0 ) ] = [q

04

0

1r r0

]

on obtient ainsi une galit entre deux distributions :

= exemples de calculs de potentiels

- cas dune charge isole

- cas dune ligne infinie charge une distance r

V ( r ) = -1

40

2 Log r /a

- cas du diple : cas limite du potentiel vu linfini ou une distance r du centre ;

expression du tenseur de champ lectrique ;

E ( r ) = -1

40

T

= p T

= =

1

3r

( 1

= 3

r r

2r

) V ( r ) =1

40

p r

r3

Ltudiant calculera , en coordonnes sphriques , les quations donnant le potentiel et les lignes

de force dun diple lectrique .

= potentiel et champ crs par une distribution continue de charges ; proprits de

continuit

V ( M ) = - ( M )

0

(1

r r0) 4 ( r r0 )


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9

- expression gnrale du potentiel

Cest la solution gnrale de lquation de Poisson en labsence de conditions aux limites

imposes sur les bords du volume considr ; V (r ) est continu dans toutes les circonstances ,

mme la traverse dune distribution superficielle de charges : cest une consquence

mathmatique de la forme de lintgrale prcdente tant que ou restent finis.- dmonstration

Pour ce faire on utilise l'galit entre "distributions " dmontre plus haut en appliquant

loprateur r aux deux membres de lexpression prcdente afin de vrifier que cette solutionsatisfait bien lquation de Poisson :

r V(r) = ( r' )1

4 0

r 1

r - r'dv ( r' )

( V )

= ( r' )1

40

[ - 4( r - r' ) ] dv ( r' )( V ) =

( r )

0

- application au calcul du champ

E ( r ) = - ( r' )1

4 0

( V ) r (1

r'-r) dv (r)

= ( r' )1

4 0

( V ) r ' (1

r'-r) dv ( r )

champ cr en r par une distribution volumique de charges ; le champ est continu en toutes

circonstances , sauf la traverse dune couche de densit superficielle ( voir paragraphes

suivants )

V ( r ) =

(V) ( r' )

1

4 0

1

r - r'dv ( r' )

E ( r ) = ( r' )1

4 0

( V ) r r'

r r'3

dv ( r )


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10

- dveloppement multipolaire dune densit de charges : application au calcul du

potentiel dans le cas de diverses symtries

Energie lectrostatique

= nergie dune charge dans un champ extrieur fixe .( premire exprience

dlectrostatique )

On appelle variation dnergie lectrostatique dune charge dans un potentiel extrieur

fixe la quantit dnergie , ou travail mcanique, quil faut lui fournir pour lamener dun point

un autre .Si f(M) est la force "exerce" sur la charge par le champ extrieur , la force extrieure

qu'un acteur doit "appliquer" pour la dplacer est ( -f(M) ) ; son travail est :

dWmecext

= (f(M).dM ) = dUel.stat

On peut aussi dire que cest la variation dnergie interne ou la variation d'nergie

lectrostatique du systme thermodynamique ( ici la seule charge ) dans le champ extrieur.

Entre deux points A et B la variation dnergie lectrostatique est donc :

Le travail total effectu sur une charge au cours d'un circuit ferm est nul ; de mme , il

importe peu de connatre quel est le chemin exact suivi pour aller de A en B .

Si V(A) = 0 , on a dfini lnergie lectrostatique . de la charge en B dans le champ extrieur :

Uel.st.

=q V(B).

= nergie dun diple lectrique dans un champ extrieur ; actions mcaniques ( deuxime

exprience dlectrostatique )

- nergie dun diple dans un champ extrieur E ( r )

Compos de deux charges opposes tenues rigidement l'une avec l'autre , dans un champ extrieur

le diple a une nergie lectrostatique qui peut tre calcule directement en utilisant le rsultat de

la premire exprience

Uel.st. = q E ( M ) dMA

B

= q ( V(B) -V(A) )=U


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11

U= (-q) V ( r ) + ( q ) V ( r+ d ) = q l . V = - p.E ( r )

- forces "exerces" sur le diple par un champ extrieur ; forces "appliques" sur

un diple pour le dplacer dans un champ extrieur

le travail (dW)ext des forces appliques au diple dans un dplacement-rotation lmentaire

dM-d est tel que :

(dW)ext = - dW = dU el.st. = -d ( p.E )= -(p.dE + E.dp)

pour un diple indformable on a dp = d x p ( rotation simple )et p.dE = [ (E.p) ] . dM ( translation densemble ) ; ainsi:

(dW)ext = - [ (E.p) ] . dM - E.( d x p ) = - [ (E.p) ] . dM - d . ( pxE )

la force "exerce" sur le diple au diple est donc : [ (E.p) ]la force "applique" pour effectuer ce dplacement est : - [ (E.p) ]le couple "exerc" dans une rotation d est : p x E

- Si l'chelle du dipole le champ extrieur est uniforme , les deux charges

subissent deux forces "exerces" en sens contraire ; seul un couple C est "exerc" ; C=pXE

ou encore C()= pE sin( )En raison de ce couple , l'nergie potentielle mcanique du diple dpend de son orientation ;

lorsqu'un couple mcanique "appliqu" travaille il change de l'nergie avec le diple et :

dU el.st.= -C() d ; dont on dduit : U el.st.() = -pE cos()

son nergie lectrostatique est minimum pour =0 (alignement dans le champ )

= nergie interne lectrostatique dun systme de charges

On utilisera le terme "nergie lectrostatique d'un systme de charges" pour dsigner le travail

qu'il faut effectuer pour assembler les diffrentes composantes de ce systme en les amenant

depuis l'infini , o leur nergie interne est nulle , la position qu'elles doivent occuper chacune

dansltat final .

- cas des charges ponctuelles ( troisime exprience dlectrostatique )

U el.stat.=

1

40

1

2

kq lq

kr lr k,l =

1

2 kq

k

kV

= expression gnrale de lnergie lectrostatique interne dune distribution continue de

charges ; ( quatrime exprience dlectrostatique )

U el.st.=1

40

1

2 ( r1 ) ( r2 )

1

r1 r2 dv(r1 ) dv (r2 )


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12

- expression en termes de potentiel

U el.st. =

1

40

1

2 ( r 1 ) V( r1 ) dv ( r 1 )

Cette intgrale stend au seul volume o il existe une densit de charge

- expression en termes de champ lectrique

lintgrale stend tout lespace o rgne le champ .

Units electrostatiques

Lunit de charge est le Coulomb qui est aussi le produit dune intensit par un temps :

( charge ) = ( intensit de courant ) * ( temps) ( Coulomb ) = ( Ampre ) * ( seconde )La loi de Coulomb et lexpression de lnergie dune charge donnent par ailleurs le rapport entre

force , charge , champ lectrique et longueur

( potentiel lectrique ) = ( champ lectrique ) * ( longueur ) = = ( nergie ) * ( charge ) ^-1

( Volt ) = ( kilogramme ) *( metre ) ^2*( Coulomb ) -1 * ( seconde ) ^-2On en dduit exprimentalement une valeur de : = 8.854 *10^-12 * ( Coulomb) ^2*(seconde)^2*(kilogramme)^-1*(metre)^-3ou encore , de manire simplifie :

conducteur en electrostatique ; quation de Poisson et conditions aux limites

= discussion physique relative la surface dun conducteur

U el.st.= 0

2 E ( r ) E ( r ) dv (r )

( V )

1

40 = 9 * 10^9


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13

!

#

% &

!

#

#

1

3

5

% &

!

#

3

= quilibre dun conducteur charg lectriquement ; quilibre dans un champ extrieur

- Dfinitions des grandeurs de surface : densit surfacique de charges

Pour un lment de volume quelconque , on dfinit sans ambigit la densit de charges par

unit de volume et la quantit de charges dQ dans un volume dv :

= dQ

dv

Pour un volume ABCDABCD dcoup dans lespace tel que dS est la surface du volume

et dl sa hauteur :

dv = dS dl

( voir figure 1 ci dessous )


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14

8 9

A

8 B

C

D

E

F

C G

D G

E

G

F G

C C G R D D G R U U U R 8 B

A

G R a

A

figure 1

dS dl = dQ > dl = dQ

dS

Si , en diminuant dl dS constantedQ

dS reste fini , on a dfini une densit de charges par

unit de surface = limite (dQ

dS ) = limite ( dl )

Bien entendu cette opration na dintrt que si la surface limite que lon obtient quand dl-

>0 prsente une singularit : le fait davoir une densit surfacique ; autrement :

limite ( dl ) ->0 et lon revient au cas dune densit de charge rgulire .

- densit de charge la surface dun conducteur ; ligne de champ perpendiculaire

la surface ; courants tangentiels nuls ; discontinuit des composantes perpendiculaires du champ

travers la surface

La dmonstration se fait laide du thorme de Gauss ; pour cela on examine le flux du champ

lectique travers la surface du volume lmentaire ABCDABCD de la figure 2


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15

c d

e

c f

g

h

i

p

g q

h q

i q

p q

g g q t h h q t w w w t c f

e e

e j

l n n

l n e l e j

n

n

n

; la surface de sparation des milieux 1 et 2 est charge ; on a construit le volume lmentaire

de manire ce que linterface des milieux 1 et 2 partage ce volume et reste toujours compris

d son intrieur quand dl-> 0 .

Dans lutilisation du thorme , le flux du champ travers les surfaces latrales tend vers 0

quand dl-> 0 ; il ne reste que celui travers les deux grandes surfaces ds ; ( attention au sens

des normales sur chacune des ces faces ) .

De lapplication du thorme il rsulte la premire quation de continuit donne ci dessous ; la

deuxime rsulte du thorme sur le rot ( E ) = 0

n ( M ) ( E+ ( M ) E- ( M ) ) = ( M )

0

n ( M ) ( E+( M ) E- ( M ) ) = 0


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16

Ces deux quations rgissent la continuit de E la traverse dune couche de densit

superficielle de charges .

Dans le cas particulier de la surface dun conducteur , des raisons physiques imposent que

, dans le conducteur , le champ lectrique soit nul lquilibre ; on a donc E = O ; ainsi , pourun point M de la surface , mais juste lextrieur , les composantes de champ parallles la

surface doivent tre nulles et celle qui lui est perpendiculaire doit tre gale la densit de

charge divise par 0 .On peut dailleurs tenir un petit raisonnement qui montre que ce champ est le rsultat , dans le

vide dune moiti( M )

2 0du champ total , lautre provenant de toutes les autres charges du

conducteur

z { | } ~

z ~ |

B

|

8

A

~

z

B B

A

z { | } ~

z ~ |

B

|

8

A

~

z

B B

A

z { | } ~ z

~ | A

|

z { |

8

| z

z { | } ~ z

A ~ |

B

|

z { |

8

| z

B

z { | } ~ |

B

A

B

| } }

8

B G

8

} |

B

8

B G

A

B

A

B

figure 3

- cas particulier du conducteur creux ; c'est une autre consquence du thorme de

Gauss qu'il n'y ait pas de champ l'intrieur d'un conducteur creux .


17/21

17

a

a

a

a

a

z A

8

z

z

~

A

B B

z { | } ~

B G

z |

z

= conditions aux limites imposes aux quations de Poisson ; le potentiel doit obir aufait que la surface d'un conducteur est une quipotentielle et au thorme des lments

correspondants

z A

8

z

z A

8

z

B

A

8

z { | } ~

G

G

B

}

A z

~ A

8

| A A

G G B

z { |

A |

B

= solutions des quations de Poisson en prsence de surfaces conductrices;

On a crit dans les paragraphes prcdents une solution formelle pour V( r ) dans un

espace infini quand il est engendr par une densit de charges quelconque . Aprs tout , on

pourrait aussi adopter la solution formelle analogue :

V( r ) = 1

40

( r' )

r r'ds ( r' )

( S )


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18

elle obit bien lquation de Poisson et elle satisfait les conditions aux limites requises ( E ( r

)+ = V

n

). Mais il est difficile , pratiquement , de suivre cette voie sinon dans quelques

circonstances o la symtrie et la solution se devinent ( plan uniformment charg ; surface

sphrique isole ) .

Quelle procdure systmatique faut-il utiliser pour dterminer des solutions qui obissent

en mme temps aux conditions de surface nonces ci dessus ? cest dire dans un espace infini

o il y a des surfaces charges , conductrices , relies des potentiels diffrents .

- on montre dabord que la solution est unique ; cest un rsultat gnral ( voir

thorme de Kirchhoff dans le quatrime chapitre )

- que pour des surfaces qui ne stendent pas jusqu linfini , grande distance , le

potentiel dcrot au moins aussi vite que 1/r .

- aprs quoi il est ncessaire de reprer la symtrie du problme , et de chercher

des solutions gnrales de lquation de Poisson qui satisfassent cette symtrie ( gomtrie etconditions aux limites ) ainsi quune bonne dcroissance linfini

- la solution convenable est impose par les conditions aux limites qui

slectionnent les solutions particulires dans lensemble prcdent .

= exemple du cylindre dans un champ extrieur perpendiculaire son axe

On considre un cylindre creux, de surface mtallise , infiniment long , daxe z, de rayon R ; un

point de la surface du cylindre est donc repr par ses coordonnes cylindriques : ( R , , z ) ;de mme , un point de lespace est repr par ( r , , z ) ; ce cylindre , reli en permanence un

potentiel nul , est plac dans un champ lectrique extrieur E0

, uniforme , dirig

perpendiculairement son axe z ; langle =0 correspond lorientation du champ extrieur :

E0

( r , , z ) = E0

On demande de calculer le champ lectrique total ET

( r , , z ) en tout point de lespace , et la

rpartition des charges induites sur la surface du cylindre .

: symtrie du problme :

comme il y a invariance par translation du systme le long de laxe z il ny aura aucune

dpendance du potentiel , du champ total ou de la rpartition de charge en fonction de cette

variable ; le plan =0 passant par laxe du cylindre sera un plan de symtrie pour le systme total: cylindre + champ extrieur ; une fois le calcul termin on vrifiera que la solution obit ces

symtries .: lquation de Poisson porte donc sur le potentiel total V

T( r , ) qui se dcompose , comme

le champ , en une contributiuon provenant des charges rparties sur le cylindre : Vsurf

( r , ) et

en une autre , le potentiel extrieur Vext

quil est ais de calculer :

Vext

( r , ) = - r cos ( ) E0

en coordonnes cylindriques lquation de Poisson scrit :


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19

[ VT

( r , ) ]= [ (1

r

r

) ( r

r) +

1

r2

2+

z2

] VT

(r , ) = 0

la solution la plus gnrale de cette quation est bien complique , mais la dpendance en cos()du potentiel extrieur invite chercher une solution en cos ( ) o les variables r et serontspares ( comme dans lquation diffrentielle ) :

VT

( r , ) = a n rn

cos ()n

les inconnues sont les coefficients a et la ou les valeurs de n possibles ;

en reportant dans lquation de Poisson on voit vite que lon est contraint satisfaire :

( n2

1) a n rn2

cos ()n = 0

ce qui oblige choisir ncessairement choisir n =1 ou n = -1 ;

lextrieur du cylindre la solution n = 1 convient : cest mme la contribution du potentiel

extrieur ; mais n=-1 convient aussi , car cette solution remplit la condition que les chargesrparties sur la surface ne peuvent donner un potentiel croissant avec la distance r quand r tend

vers linfini ; ainsi la contribution de aux charges superficielles et le potentiel total seront :

Vsurf

= a/r cos ( )

VT

( r , , z ) = a/r cos ( ) - r cos ( ) E0

la constante dintgration est dtermine par la condition aux limites : valeur du potentiel sur la

surface , soit :

VT

( R , , z ) =0

ce qui entrane simplement que a = E

0

R2

et donc :

VT

( r , , z ) = ( - r +R

2

r) E

0cos ( )

on peut en dduire les valeurs du champ lectrique en tout point extrieur au cylindre ; on connait

dj la contribution du champ extrieur mais il est utile de la dcomposer en ses projections

E r ext = E0 cos ( ) et E ext = - E0 sin ( )

le champ d aux charges se calcule partir de

Vsurf

( r , , z ) =R

2

rE

0cos ( ) avec r > R soit :

E r surf( r , , z ) =R 2

r2

E0

cos ( ) et E surf( r , , z ) =R 2

r2

E0

sin ( )

: lintrieur du cylindre on ne peut choisir la solution n =-1 car cela signifierait quau centre ( r

= 0 ) le champ ou le potentiel seraient infinis ; si mathmatiquement cest possible ,

physiquement , cest interdit ; reste donc la seule possibilit n = 1. Mais comme lintrieur de

cette lectrode mtallique le potentiel doit tre nul , on en dduit que le champ d aux charges

superficielles est exactement oppos au champ extrieur ; la rsultante des deux est nulle .


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: les conditions la limite sur la surface du cylindre sont bien vrifies : en particulier le champ

total tangent est nul

E T ( R, , z) = 0

la composante r de ce champ total pour r =R donne la densit superficielle en tout point , soit :

(R, , z) = 0 2E 0 cos ( )

: conclusion : on comparera ce rsultat avec celui dune sphre mtallique creuse place dans le

mme champ extrieur ; moins que ltudiant ne veuille se lancer dans le calcul de ce nouveau

problme par imitation avec celui-ci .

= capacit

Les quations de llectrostatique sont linaires ; les potentiels sont proportionnels aux

charges, quelle que soit leur distribution ; si donc on a faire des conducteurs ( 1, ...j , ...) dont

la charge est Qj on est en droit dcrire :

Vi = pij

j

Qj

Ces quations tant linaires et homognes , on peut les inverser et crire :

Qi = Cij Vjj

en faisant ainsi apparatre les coefficients influence C ij ; la capacit dun conducteur est donc la

charge totale dun conducteur lorsquil est maintenu au potentiel unit et que tous les autres sont

au potentiel nul .

Les mmes formules pour lnergie montrent que

U el.st. = 1

2 QiVi1

n

=1

2 C ijViVj1

n

1n

Mthode des images

La mthode des images , si elle est pas susceptible dtre employe en toute

circonstance , est un bon example pour comprendre les rgles de llectrostatique ; ce titre , ce

paragraphe peut servir dexercice dapplication pour les tudiants.

On emploie cette mthode lorsque lon considre une ou plusieurs charges ponctuelles au

voisinage dune surface de discontinuit ; ici il sagit de la surface dun conducteur ; on verra plus


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tard le cas dune interface entre le vide et un dilectrique . Dans les cas pratiquables , la

gomtrie du systme suggre que la surface conductrice peut tre remplace par une ou plusieurs

charges fictives , ou images , dont leffet est dassurer sur le lieu gomtrique de la surface les

conditions imposes au champ lectrique dans la situation relle . Ces images doivent tre places

hors du volume rel puisque la solution de lquation de Poisson dans le volume est impose .

= cas du plan

Un exemple simple fera comprendre ce language . Soit un plan conducteur infini reli au

potentiel 0; la distance D du plan on place une charge Q ; il nest pas difficile de voir que si

derrire le plan on place une charge -Q la distance D on reproduit une distribution de champ

lectrique qui satisfait aux conditions aux limites sur le conducteur ; la force de Coulomb qui

attire les deux charges Q et -Q est identique celle qui attire la charge Q vers le plan

conducteur .

= cas de la sphre

Un deuxime exemple , classique lui aussi , est le suivant . On considre une sphre de

rayon a , mtallique , relie la masse ; on approche la distance r du centre une charge Q

; on demande de calculer le potentiel en tout point de lespace et la charge sur chaque lment de

surface de la sphre .

Il est vident que par symtrie la direction r =r n devra porter la ou les charges

images ; supposons quil ny ait besoin que dune seule charge image Q , la distance r du

centre ; en un point R=R u extrieur la sphre le potentiel serait :

V(R) =1

40

Q

R r+

1

40

Q'

R r'

V(a) =1

40

Q

a u nr

a

+1

40

Q'

r' n ua

r'

Si lon veut que ce potentiel soit nul il faut la fois :Q

a=

Q'

r'et

r

a=

a

r'Ce sont deux

quations qui dterminent Q et r . On sait alors calculer la densit de charge en un point

quelconque de la sphre et la force dattraction de la sphre sur Q . On demande aux tudiants dersoudre le mme problme en imposant cette fois que la sphre soit un potentiel fixe U .

Documents

chap1.1 Electrostatique et magnétostatique