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MP – Cours de physique

Jean Le Hir, 12 octobre 2009 Page 1 sur 18

OPTIQUE ONDULATOIRE

Chapitre 3

Diffraction de la lumière

3.1. Limites du modèle de rayon lumineux

Nous avons vu que les phénomènes d’interférences optiques sont assez rares dans la nature, la cause étant le défaut de cohérence, tant spatiale que temporelle, des sources lumineuses réelles.

Par contre nous avons tous les jours l’occasion de constater très simplement que le modèle de propagation de la lumière en ligne droite le long de « rayons lumineux » est par trop simpliste. Regardons simplement passer la lumière à travers les mailles serrées d’un pull-over : nous constatons qu’elle se disperse, il apparaît sur l’obstacle des cercles de lumière qui ne sont en aucun cas les images des sources lumineuses au sens de l’optique géométrique.

Expérience de strioscopie

Un obstacle très structuré (une grille serrée, une plume d’oiseau) est éclairé par un faisceau lumineux spatialement cohérent, par exemple un faisceau cylindrique issu d’une source ponctuelle ( )S placée au

foyer d’une lentille ( )1L .

À l’aide d’une deuxième lentille ( )2L , on forme l’image de l’obstacle sur un écran. Nous observons alors

une image, conforme aux prévisions de l’optique géométrique, de l’ombre de l’objet grille sur l’écran. Par exemple, sur la figure ci-dessus, l’objet grille et l’écran sont dans la conjugaison 2 22 2f f′ ′↔ et le

grandissement est égal à 1− .

Toujours selon les lois de l’optique géométrique, le faisceau lumineux passe par le foyer image 2F ′ de la

lentille ( )2L , conjugué de la source ( )S à travers les deux lentilles ( )1L et ( )2L .

22 f ′ 22 f ′( )1L ( )2L

( )S

2F ′1F

1: ’ ’Expérience image de l ombre d une grille sur un écran

1f ′

OPTIQUE ONDULATOIRE Chapitre 3 Diffraction de la lumière

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Interposons en 2F ′ un cache ( )C censé intercepter la totalité du flux lumineux. Nous constatons alors que

la partie la plus importante du flux lumineux est effectivement absorbée par le cache et le cône de lumière n’éclaire plus l’écran. Cependant, il apparaît alors sur l’écran une trace lumineuse dessinant les contours de l’obstacle.

Cette lumière, qui n’est pas passée par le foyer image 2F ′ , n’obéit donc pas aux lois de l’optique

géométrique : nous dirons qu’il s’agit de lumière diffractée.

Cette expérience montre que les bords de l’obstacle éclairé par la source ( )S deviennent eux-mêmes

sources de lumière.

Un examen plus attentif nous montre que cette lumière diffractée est aussi présente dans la première expérience, mais elle n’apparaissait pas de façon évidente du fait de l’éclairement intense du fond de l’écran : la lumière diffractée ne représente que quelques pour cent du flux lumineux total, l’essentiel du flux se retrouvant dans l’image géométrique.

Impossibilité d’isoler un rayon lumineux

Nous disposons, avec les LASER, de sources de lumière qui nous donnent la meilleure représentation que l’on peut se faire d’un rayon lumineux.

Nous voulons obtenir un rayon encore plus fin et pour cela nous interposons sur le faisceau LASER un obstacle tout juste percé d’un trou d’épingle de quelques centièmes de millimètres de diamètre. Nous constatons immédiatement que nous arrivons au résultat inverse du résultat escompté : au lieu d’obtenir un faisceau cylindrique plus fin, nous avons provoqué la dispersion du faisceau lumineux dans un cône de lumière et ce cône est d’autant plus ouvert que le trou est petit.

Un examen plus attentif du faisceau LASER lui-même nous montre qu’il n’est pas rigoureusement cylindrique, cela ne saurait exister : la diffraction par la pupille de sortie de l’instrument fait que le faisceau LASER lui-même est nécessairement divergent.

22 f ′ 22 f ′( )1L ( )2L1f ′

( )S

2F ′

( )C

1F

2:Expérience lumière diffractée par une grille sur un écran

LASER

’Impossibilité d isoler un rayon lumineux


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3.2. Principe d’Huygens-Fresnel

Un peu d’histoire

Christiaan Huygens

Huygens, astronome, physicien et mathématicien Hollandais du XVIIe siècle se distingue particulièrement par ses désaccords exprimés avec Newton à propos de l’interprétation du phénomène lumineux. Newton était l’apôtre du modèle corpusculaire par lequel il expliquait avec succès les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière. Huygens lui opposa une interprétation ondulatoire dont il montra qu’elle permettait de rendre compte tout aussi bien de la réfraction tout en permettant une meilleure interprétation d’autres phénomènes et en particulier de la diffraction.

En 1690, Huygens publie son traité de la lumière où il énonce le principe selon lequel la lumière se propage de proche en proche, chaque point de l’espace atteint par l’onde de lumière devenant lui-même émetteur d’une ondelette, l’ensemble de ces ondelettes constituant le nouveau front d’onde.

Huygens ne possédait pas à cette époque l’outil mathématique suffisamment élaboré pour énoncer son principe en terme d’interférences : le concept de phase était absent dans son argumentaire.

Augustin Fresnel

Fort de la théorie ondulatoire de la lumière développée par Thomas Young, Fresnel publie en 1818 une théorie ondulatoire de la lumière dans laquelle il expose son interprétation des phénomènes de diffraction. Il retrouve les idées déjà énoncées par Huygens 130 ans plus tôt1 en y ajoutant l’idée que les ondelettes diffractées interfèrent entre elles constructivement ou destructivement selon leurs phases. Le calcul intégral permet alors de prédire avec succès les intensités lumineuses diffractées.

Associé à Arago, Fresnel montra la nature vibratoire vectorielle transversale de la lumière, ouvrant ainsi la voie à la modélisation du phénomène lumineux dans le cadre de la théorie électromagnétique quelques décennies plus tard.

Énoncé et formulation du principe d’Huygens-Fresnel

Énoncé du principe d’Huygens-Fresnel

Soit une source ponctuelle de lumière monochromatique et une surface ( )S entourant cette source.

Tout se passe comme si chaque surface élémentaire dS en chaque point P de la surface ( )S émettait une ondelette sphérique de

même fréquence que l’onde incidente, d’amplitude en P proportionnelle à l’amplitude de l’onde incidente en P et à la surface élémentaire dS et de phase en P égale à la phase en P de l’onde incidente.

L’onde reçue en un point M de l’espace extérieur à la surface ( )S résulte des l’interférences de l’ensemble de ces ondelettes.

1 Fresnel n’a évidemment jamais rencontré Huygens et n’avait semble-t-il pas connaissance de ses travaux.


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Formulation du principe d’Huygens-Fresnel

En posant 2

kππππ====

λλλλ et PMr ==== , l’amplitude complexe de l’onde diffractée en M s’exprime en

fonction de l’amplitude complexe de l’onde incidente en P par la relation intégrale :

(((( )))) (((( ))))M Pikr

S

ea K a dS

r==== ∫∫∫∫∫∫∫∫

où K est une constante homogène à l’inverse d’une longueur

Remarque : cette formulation du principe d’Huygens est déjà approximative. En réalité, l’amplitude des ondelettes n’est pas isotrope, elle est maximale dans la direction normale à la surface élémentaire dS. Nous nous contenterons de cette approximation et nos études quantitatives ne seront acceptables que si l’on s’intéresse à la lumière diffractée au voisinage d’une direction particulière.

Remarque importante : le terme 1 r est un terme très lentement variable par rapport au terme de

phase ikre . Assez souvent, en excellente approximation, ce terme 1 r pourra être considéré comme constant (approximation de Fraunhofer) ou alors remplacé par un développement limité au premier ordre non nul faisant la différence avec la valeur principale (approximation de Fresnel).

Généralité des phénomènes de diffraction

La diffraction se manifeste de façon très générale en accompagnement de tous les phénomènes physiques ondulatoires qu’il s’agisse des vagues à la surface de l’eau, qu’il s’agisse des ondes sonores ou même, dans un registre très différent, des « ondes de matière » associées en physique quantique à un faisceau de particules.

Onde incidentequasi plane

Onde diffractéequasi circulaire

Diffraction de vagues au passage entre une pointe et une île


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3.3. Diffraction dans les conditions de Fraunhofer

Formulation simplifiée du principe d’Huygens-Fresne l

Définition de la diffraction de Fraunhofer

Les conditions de Fraunhofer correspondent à une double exigence :

— la source lumineuse est idéalement décrite par une onde plane monochromatique ou, cela revient au même, par une source ponctuelle placée au foyer d’une lentille convergente.

— L’observation est faite à très grande distance ou, cela revient au même, sur un écran placé dans le plan focal d’une lentille convergente.

On dit aussi bien « diffraction à l’infini », ce qui sous-entend observation à l’infini et source à l’infini.

Dans les conditions de Fraunhofer, seul est à prendre en compte le terme de phase ikre et la formulation

du principe d’Huygens-Fresnel se simplifie. Avec les mêmes notations que précédemment, 2

kπ=

λ et

PMr = :

( ) ( )M P ikr

Sa K a e dS∫∫≃

où K est une constante homogène à l’inverse d’une surface

Diffraction de Fraunhofer par un obstacle plan

Pour notre niveau d’étude, nous nous limiterons encore davantage au cas particulier d’un obstacle plan. En notant ce plan Ox y , chaque élément de surface de l’obstacle sera alors noté dS dx dy= et l’intégrale de surface se ramène à une intégrale double.

De plus, nous considérerons, dans un premier temps, que l’obstacle plan est un trou parfaitement transparent et qu’il est disposé perpendiculairement à la direction de propagation de l’onde incidente. La phase de l’onde incidente est donc la même à chaque instant pour tous les points P du trou.

Une direction d’observation à l’infini est caractérisée par deux angles α et β. Nous pouvons ramener l’observation à distance finie en interposant une lentille convergente et en plaçant un écran dans le plan focal de cette lentille.

P

x

y

z

α

β

Y

X

M

( )L

f ′

dS dx dy=

O

MX

MY


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Les rayons qui, avant la lentille, avaient la direction ( ),α β convergent tous au même point M du plan

focal, foyer secondaire image correspondant à cette direction (rappelons, pour s’en convaincre, que le rayon passant par le centre optique de la lentille n’est pas dévié).

f ′ étant la distance focale image de la lentille, le point M a pour coordonnées cartésiennes dans le plan

de l’écran MX f ′= α et MY f ′= β .

L’onde émise en P dans la direction ( ),α β présente un déphasage en M par rapport à l’onde émise en O

dans la même direction ( ),α β et ce déphase ne dépend que du point P et de la direction d’observation :

( ) ( ) ( )P O OM M MkXx kYy

k x k yf f

ϕ = ϕ + α + β = ϕ + +′ ′

Le schéma suivant indique en deux dimensions (on y voit plus clair qu’en trois dimensions) comment se

détermine la différence de marche δ, et par suite, la différence de phase ( ) ( )P O

2M M k

πδϕ = ϕ − ϕ = δ =λ

.

Les surfaces tracées en pointillé vert ne sont pas des surfaces de phase de l’onde. Ce sont des surfaces de référence de phase du point M, ce qui signifie que le chemin entre le point M et un point quelconque d’une telle surface est indépendant du point choisi sur la surface de référence de phase. En disant cela nous traduisons tout simplement le fait que le point M est un foyer secondaire de la lentille.

La différence de marche δ a donc pour valeur algébrique OH sinxδ = = α

Rappelons que la formule de la diffraction n’est valable qu’à la condition que les rayons lumineux soient peu inclinés par rapport à la normale. L’approximation sinα α≃ s’impose donc et nous en déduisons :

( ) ( ) ( )P O OM M M kxϕ = ϕ + ϕ = ϕ + α .

Revenons à trois dimensions, toujours dans le cas plus simple où l’onde incidente est orthogonale à l’obstacle, ce qui implique que l’amplitude complexe de l’onde incidente est la même en tout point P de l’obstacle : ( ) ( )P O , Pa a= ∀ .

Selon le principe d’Huygens-Fresnel, l’onde diffractée en M a donc pour amplitude :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )O MM P O i ik x yikr

S Sa K a e dS Ka e e dx dyϕ α +β∫∫ ∫∫≃ ≃

P

x

z

α X

M

( )L

f ′

O MX f ′= αH

δ

α

Surfaces de référencede phase du point M


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Seul l’éclairement en M, proportionnel à ( ) 2Ma nous intéresse dans ce calcul. Le terme de phase ( )O Mieϕ

n’est donc d’aucun intérêt.

Nous remarquons que pour 0α = β = , l’intégrale de surface est tout simplement égale à la surface de la

pupille diffractante : S

S dx dy= ∫∫ .

Nous en déduisons la relation entre l’intensité lumineuse I dans une direction quelconque et l’intensité lumineuse 0I dans l’axe de l’onde incidente :

( ) ( )2

01

, ik x y

Se dx dy

Sα +βα β ∫∫I I≃

La puissance élémentaire diffractée dans l’angle solide élémentaire d d dΩ = α β autour de la direction

( ),α β aura alors pour expression d d d= α βP I . Si l’on interpose une lentille convergente de focale

image f ′ et que l’on observe cette puissance lumineuse dans le plan focal de la lentille au point M de

coordonnées X f ′= α et Y f ′= β , nous aurons 2d f dX dY dX dY′= =P I E , définissant ainsi

l’éclairement de l’écran au point M par la relation 2f ′=E I

Nous en déduisons la relation entre l’éclairement E en un point quelconque de l’écran et l’éclairement 0E

dans l’axe de l’onde incidente :

( )2

01

,

X Yik x y

f f

SX Y e dx dy

S

+ ′ ′ ∫∫E E≃

Attention ! Rappelons les conditions de validité de ces formules :

Source lumineuse monochromatique plane ou située à l’infini ou ponctuelle au foyer d’une lentilleSatisfaire les Observation à l’infini ou dans le plan focal d’une lentille

conditions de Fraunhoferavec une inclinaison faible des rayons diffractés

L’obstacle doit être plan

L’obstacle doit être éclairé orthogonalement

La pupille diffractante doit être parfaitement transparente

Diffraction unidimensionnelle par une fente

C’est le calcul de diffraction le plus simple que l’on puisse imaginer : une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ est interceptée par une pupille en forme de fente rectangulaire très étroite de largeur a et très longue (de longueur b a≫ ).

La diffraction se produit alors uniquement dans la direction orthogonale à la longueur de la fente. La formule démontrée ci-

dessus s’applique donc avec 0β = , ce qui donne ( ) ( ) 2aα αI ≃

en posant :

( )2 2

0 0

2 2

a bik x ik x

S a ba e dx dy e dx dy

S ab

+ +α α

− −α = =∫∫ ∫ ∫

I I

α

α

k xδ α≃

2a−

2a+

x

αO

P

H


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La fonction sinus cardinal

( )( )

sinAinsi nomme-t-on la fonction sinc dont la définition est prolongée par continuitéen 0 à la valeur sinc 0 1.

uu

uu

== =

( )La fonction sinc s’annulle pour toutes les valeurs de multiples de , sauf bien sûr en 0u u uπ =

u

2sinu

u

u = π0u = −π 2u = π2u = − π

π 3π2π

−π2− π

3− π

1

0

0,2≈ −

u

sinu

u

1

u+

1

u−

( )2La fonction sinc s’annulle également pour toutes les valeurs de multiples de , sauf en 0.u u uπ =

( )2

1La fonction, majorée par , coïncide avec son enveloppe pour les valeurs 2 1

2Les maxima secondaires se produisent pour des valeurs de très proches des valeurs

et ont pour valeurs succe

n

n

u nu

u u

π= +

( )22 2 2

4 4 4ssives 4,7 % ; 1,6 % ; ; ;

9 25 2 1nπ π + π≃ ≃ ⋯ ⋯

4,7 %

1

1,6% 2

1

u

La fonction sinus cardinal au carré


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Cette intégrale se calcule aisément :

( )2

2 2 20 0

02

2

1

22

k a k ai iaik xa

ik x

aa

e e ea e dx

k aa a ik i

α α−+α+α

− −

−α = = = αα ∫

I II

Nous obtenons ainsi une expression réelle de l’amplitude complexe diffractée dans la direction α que l’on exprime sous la forme d’une fonction « sinus cardinal » :

( ) 0 0

sin2

sinc2

2

k ak a

ak a

α α α = = α

I I

Nous avons donc démontré que dans un faisceau diffracté par une fente, l’intensité lumineuse varie en fonction de l’angle d’ouverture α du faisceau selon une fonction sinus cardinal au carré :

20 sinc

2

k aα =

I I

L’expérience est très facile à réaliser : il suffit d’intercepter un faisceau LASER par une fente. La photographie ci-dessous témoigne de cette expérience réalisée avec un LASER hélium-néon de longueur d’onde 632,8 nm. La fente a une largeur 0,1 mma = . Observés sur un écran placé à une distance

10 mD = de la fente diffractante, les minima d’éclairement nul, que l’on appelle « pieds de diffraction »

sont distants de 9

33

633 10 1063 10 m 6,3 cm

0,1 10

D

a

−−

−

λ × ×= = × =×

Le lobe principal de diffraction a pour largeur 2

12,6 cmD

a

λ =

Diffraction par une ouverture rectangulaire

Une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ est interceptée orthogonalement par une pupille en forme de fente rectangulaire dont nous noterons a et b les cotés.

La formule simplifiée de la diffraction de Fraunhofer s’applique donc dans sa forme bidimensionnelle, ce

qui donne ( ) ( ) 2, ,aα β α βI ≃ en posant :

( ) ( ) 2 20 0

2 2

0

,

sinc sinc2 2

a bik x y ik x ik y

S a ba e dx dy e dx e dy

S ab

k a k b

+ +α +β α β

− −α β = =

α β =

∫∫ ∫ ∫I I

I

L’intensité lumineuse correspondante est donc : ( ) 2 20, sinc sinc

2 2

k a k bα β α β =

I I

α0a

λ 2

a

λ 3

a

λ2

a

λ−a

λ−3

a

λ−


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On observe alors sur un écran placé suffisamment loin de l’obstacle, une figure de diffraction correspondant à des tâches lumineuses principalement réparties sur une croix.

La première simulation présentée correspond à une photographie fortement saturée de la figure de diffraction. La deuxième simulation est une représentation 3D du même phénomène. Dans les deux cas, nous avons a b= : la pupille est carrée.

Notion de transparence

Filtres atténuateurs

Pour plus de généralité, sans changer de registre d’approximations, nous allons considérer le cas où l’amplitude incidente est multipliée à la traversée de l’obstacle par une fonction de transparence ( ),t x y ,

avec ( )0 , 1t x y≤ ≤ . L’amplitude diffractée s’écrit alors, dans l’approximation de Fraunhofer :

( ) ( ) ( )0, , ik x y

Sa t x y e dx dy

Sα +βα β = ∫∫

I

Dans le cas particulier où la fonction de transparence ( ),t x y est réelle, il s’agit simplement d’un filtre

atténuateur. Une fonction de transparence complexe correspond au cas, plus général, où il peut apparaître un retard de phase à la traversée de l’obstacle transparent.

Attention ! ( ),t x y est la fonction de transparence en amplitude. Il ne faut pas la confondre

avec le coefficient de transmission en puissance ( ) ( ) 2, ,T x y t x y=

Exemple : reprenons le calcul de diffraction unidimensionnelle par une fente de largeur a en interposant devant cette fente une diapositive correspondant à la photographie d’une frange d’interférence idéalement contrastée, parfaitement transparente en son milieu et parfaitement opaque sur les bords.

Le coefficient de transmission en puissance s’écrit ( ) 2cosx

T xa

π =

.

Nous lui associerons une fonction de transparence ( ) cosx

t xa

π= .

XY

X

Y


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L’intégrale simplifiée de Fraunhofer s’écrit alors : ( )2

0

2cos

aik x

a

xa e dx

a a

+α

−

πα = ∫I

En développant le cosinus en exponentielles, cette intégrale se calcule sans difficulté et conduit au résultat :

( ) 02 2 2

2

cos2 2

1

k a

ak a

α

α =π α−

π

I soit ( )

2

02 2 2 2

2

cos4 2

1

k a

k a

α α = π α− π

I I

où 0I représente l’intensité pour 0α = en l’absence de filtre transparent. Nous obtenons ici une intensité

diffractée dans la direction incidente qui est bien sûr inférieure : ( ) 0 02

40 = <

πI I I .

La fonction s’annule pour toutes les valeurs de α qui annulent le cosinus : 2n

ka ka

π πα = + , *n∈ℤ

La valeur 0n = est exclue. En effet, pour la valeur 2ka a

π λα = = , le dénominateur s’annule également et

la fonction est prolongée par continuité à la valeur 01

ka

π = π I I

Les quelques lignes de Maple suivantes réalisent le tracé de la fonction ( )0

αII

(courbe rouge).

La fonction sinus cardinal au carré correspondant à la diffraction par la même fente en l’absence de filtre transparent est tracée en bleu pour comparaison : le filtre a pour effet intéressant de supprimer pratiquement toute lumière dans les pieds de diffraction. Cela s’appelle le phénomène d’apodisation (suppression des pieds) .

> a:=int(cos(Pi*x)*exp(2*Pi*I*alpha*x),x=-1/2..1/2): b:=int(exp(2*Pi*I*alpha*x),x=-1/2..1/2): plot([abs(a)^2,abs(b)^2],alpha=-3..3,color=[red,b lue]);

aαλ

( )0

αII


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Objets de phase

Dans le cas particulier où la fonction de transparence est complexe et de module 1, nous dirons qu’il

s’agit d’un objet de phase. Nous écrirons alors ( ) ( ),, i x yt x y eφ= . L’objet de phase introduit dans le calcul

de diffraction pour chaque ondelette une phase supplémentaire ( ),x yφ dont la valeur dépend du point

émetteur.

Exemple : c’est ainsi que se comporte une « lame de Schmidt », lame de verre circulaire transparente dont l’épaisseur en fonction de la distance au centre, que l’on dispose à l’entrée de certains télescopes équipés d’un miroir principal sphérique. La lame ferme le tube du télescope et réalise une compensation du défaut de stigmatisme du miroir sphérique pour l’infini. La forme de la lame de Schmidt est étudiée de telle sorte que la traversée du verre n’introduise pas de défaut d’achromatisme. En effet, l’indice du verre dépend de la longueur d’onde et il ne s’agit pas de compenser un défaut en en introduisant un autre.

3.4. Interférences et diffraction

Les fentes d’Young

Reprenons l’expérience des fentes d’Young et étudions le phénomène d’interférences du point de vue de la diffraction. Les fentes sont parallèles, distantes de a entre axes, et ont une largeur b.

Nous faisons l’hypothèse que le plan des deux fentes parallèles est éclairé sous incidence normale par un faisceau lumineux cylindrique (parfaite cohérence spatiale) et monochromatique (parfaite cohérence temporelle). L’observation est faite à l’infini ou, cela revient au même, dans le plan focal d’une lentille convergente. Nous sommes donc dans les conditions où s’applique l’approximation de Fraunhofer la plus simple pour la diffraction unidimensionnelle.

( )2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

a b a bik x ik x ik x

S a b a ba e dx dy e dx e dx

S a

− + + +α α α

− − + −

α = = +

∫∫ ∫ ∫I I

Ces deux intégrales se ramènent à la même intégrale formelle pourvu que l’on effectue les changements de variable 2u x a= + pour la première et 2u x a= − pour la deuxième :

( ) ( ) ( )2 2 22 20 0 2 2

2 2 2

0

2 2

cos sinc2 2

[ ]ik a ik ab b b

ik u a ik u a ik u

b b ba e du e du e e e du

b b

k a k b

α α+ + +−α + α − α

− − −

α = + = +

α α=

∫ ∫ ∫I I

I

Soit finalement : ( )2

0 sinc 1 cos2 2

k bk a

α α = − α

II

Nous observons donc des franges d’interférences dont l’intensité est modulée par la fonction de diffraction par une fente rectangulaire.

α

α

k xδ α≃

2 2a b+ +

x

αO

P

H

2 2a b+ −

2 2a b− −

2 2a b− +


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La figure suivante représente la fonction ( )αI dans le cas particulier où 5b a= . Il apparaît que la

visibilité du phénomène d’interférences est essentiellement restreinte au lobe principal de diffraction.

Interférences ou diffraction ?

Considérons le cas particulier où la largeur des fentes est tout juste un peu inférieure à leur distance entre axes. La simulation ci-dessous correspond au cas particulier 0,8b a= , ce qui signifie que la bande opaque séparant les deux fentes est très étroite et a pour largeur 0,2a b a− = .

La courbe de lumière est alors la suivante (courbe rouge) :

( )0

αII

α

b

λ 2

b

λ2

b

λ−b

λ−

a

λ

1

La présence d’un obstacle central atténue la lumière dans le lobe principal de diffraction au profit des lobes secondaires

a

λ 2

a

λ2

a

λ−a

λ−

( )0

αII

1,8Diffraction par une fente de largeur a

Diffraction par une fente de largeur a

α


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L’interprétation de cette courbe de lumière en terme d’interférences entre les deux fentes est tout à fait acceptable, nous disons alors que nous observons essentiellement trois franges d’interférences dans le lobe principal de diffraction par une fente de largeur a.

Une autre interprétation est possible : il s’agit d’une fente de largeur 1,8a b a+ = avec une obstruction centrale de largeur 0,2a b a− = . Le phénomène de diffraction correspond donc à une fente de largeur 1,8a légèrement perturbé par un obstacle central de largeur 0,2a . Dans cette interprétation, nous dirons que les franges d’ordre 1− et 1+ sont des lobes secondaires de diffraction, l’obstacle central ayant pour effet d’augmenter le flux lumineux dans ces lobes secondaires au dépend du lobe principal.

Alors, s’agit-il de franges d’interférences ou de lobes secondaires de diffraction ? La question est aussi pertinente que de savoir s’il y a deux petites fentes très proches ou une grande fente imparfaite… Blanc bonnet et bonnet blanc.

Remarque : la loi de diffraction par une fente de largeur 2a peut être interprétée comme une loi d’interférence entre deux demi-fentes adjacentes de largeur a chacune. Cette affirmation correspond à l’identité suivante :

( )2

2 1sinc sinc 1 cos

2 2

k ak a k a

α α = − α

3.5. Modélisation numérique de la diffraction par u ne ouverture circulaire

Les questions traitées dans cette section ne font pas partie du cours de MP. Nous traitons ici quelques problèmes de diffraction relatifs aux ouvertures circulaires en voyant les choses d’un point de vue strictement numérique par l’utilisation d’un langage de calcul formel (en l’occurrence Maple). Toutes les expériences correspondantes sont très faciles à réaliser et les résultats de ces études sont de la plus grande importance.

Disque d’Airy, résolution angulaire d’un télescope

Présentation du calcul

Une pupille circulaire de diamètre D est éclairée normalement par une onde plane monochromatique et l’on observe la figure de diffraction à l’infini.

Nous sommes donc dans les conditions d’application de la formule de diffraction de Fraunhofer la plus simple et nous pouvons encore simplifier l’expression en limitant le calcul à une direction θ dans le plan xOz. En effet, le problème étant de révolution autour de l’axe Oz, nous aurons ainsi l’expression générale de l’amplitude diffractée à l’infini en coordonnées polaires d’axe polaire Oz.

( ) 0 ik x

Sa e dx dy

Sθθ ∫∫

I≃

Avec, bien sûr, en posant 2D R= , 2S R= π . Cette intégrale double peut se calculer en intégrant y sur le

domaine 2 2 2 2,R x R x − − + −

, puis x sur le domaine [ ],R R− + , soit :

( )2 2

2 2

0 0 2 22 2

2R R x Rik x ik x

R R x Ra e dy dx R x e dx

R R

+ − +θ θ

− − − −

θ = −

π π ∫ ∫ ∫

I I≃

x

y

θ

O

P

z


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Cette intégrale formelle ne fait pas partie du répertoire connu à notre niveau d’étude. Nous pouvons

toutefois nous ramener à une intégrale purement numérique en faisant le changement de variable x

uR

= .

Définissons alors la fonction ( )1

2

1

21 iXuF X u e du

+

−= −

π ∫ et l’amplitude diffractée s’écrit :

( ) 0 02

kD Da F F

θ π θ θ = = λ I I , soit pour l’éclairement 2

0D

Fπ θ = λ

I I

Calcul formel et graphe

Le calcul et le graphe de cette fonction F ne pose aucun problème pour un logiciel classique de calcul. Nous le faisons ici en langage Maple.

> F:=X->2/Pi*int(sqrt(1-u^2)*exp(I*u*X),u=-1..1);

:= F → X2π d⌠

⌡

-1

1

− 1 u2 eeee( )u XI

u

> E:=abs(F(X))^2: plot(E,X=-10..10);

Nous pouvons facilement obtenir la position du premier « pied de diffraction » ainsi que la valeur du premier maximum secondaire :

> X1=fsolve(E=0,X=0..5); = X1 3.831705970

Cela correspond à une ouverture angulaire 11 1,22

X

D D

λ λθ = =π

.

Enfin, nous pouvons déterminer l’intensité lumineuse maximale dans le premier anneau de diffraction :

> X:=fsolve(diff(E,X)=0,X=4..6): E1=E;

= E1 0.01749786279

Cette valeur de 1,7 % peut sembler très petite, mais il ne faut pas oublier que pour évaluer la puissance lumineuse dans le premier anneau de diffraction, il faut intégrer l’éclairement sur toute la surface de l’anneau. On montre ainsi que le disque central de la figure d’Airy contient 84 % de la puissance totale tandis le premier anneau de diffraction en contient 7 %, ce qui laisse encore 9 % de puissance dispersée par le phénomène de diffraction dans l’ensemble des anneaux de rang supérieur.


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Suivent deux simulations de la figure de diffraction. Sur la simulation 3D, le disque central est tronqué à 10 % de sa valeur maximale.

Pouvoir séparateur théorique d’un télescope : critère de Rayleigh

Le premier pied de diffraction correspond à une ouverture angulaire 11 1,22

X

D D

λ λθ = =π

.

À partir de ce résultat, nous définissons le pouvoir séparateur théorique d’un instrument d’optique à

ouverture circulaire, selon le critère de Rayleigh, comme cet angle 1 1,22D

λθ = , considérant que si deux

étoiles de même magnitude sont plus proches angulairement que cet angle 1θ , il ne sera pas possible de

les séparer : les images des deux étoiles se confondent en une seule tâche de diffraction. Les courbes ci-dessous représentent les profils d’intensité lumineuse selon un axe joignant les deux étoiles.

Remarque : il ne faut pas oublier qu’il s’agit d’une limite théorique de séparation. Dans la réalité des observations astronomiques, les images de diffraction des étoiles sont toujours perturbées et parfois très perturbées par la turbulence atmosphérique (le scintillement des étoiles) due principalement à l’instabilité thermique des couches basses de l’atmosphère.

Exemple : pour un télescope de 400 mm d’ouverture et pour la longueur d’onde 550 nmλ = , nous avons 6

1 1,7 10 rad 0,34 d’arc− ′′θ = × = . La turbulence atmosphérique est toujours bien supérieure à cela (au

moins 1 d’arc′′ ) et le pouvoir séparateur théorique n’est jamais atteint.

1séparation impossible

∆α < θ 1limite théorique de séparation

∆α = θ 1séparation possible

∆α > θ

∆α ∆α ∆α

1θ1θ1θ


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Diffraction para focale, latitude de mise au point d’un instrument

Nous allons traiter le cas d’un miroir concave éclairé en lumière monochromatique cohérente plane se propageant parallèlement à l’axe optique.

Le miroir présente une symétrie de révolution et son profil est décrit par une fonction ( )h r .

Nous nous contenterons simplement du développement limité de ( )h r à l’ordre 4 en 0r = . ( )h r étant

une fonction paire, cela s’écrit : ( ) 2 4h r r r= α + β .

Pour un miroir parabolique de paramètre p, nous aurons 1

2pα = et 0β = .

Pour un miroir sphérique de rayon de courbure R, la valeur de h est précisément 2 2h R R r= − − et

nous aurons donc 1

2Rα = et

3

1

8Rβ =

Nous voulons évaluer l’intensité diffractée en un point M quelconque de l’axe optique suffisamment éloigné du miroir pour que l’on puisse appliquer l’approximation de Fraunhofer. Le fait que la surface du miroir ne soit pas plane se traduira seulement par un terme de phase :

— D’une part les éléments de surface autour de points P situés sur les bords émettent des ondelettes en avance de phase par rapport aux ondelettes émises par l’élément de surface situé au sommet S du miroir. L’écart de phase dépend du profil du miroir.

— D’autre part la distance PM diffère de la distance SM, selon une loi qui dépend également du profil du miroir

L’avance de phase de l’onde incidente en P est égale à ( )k h r tandis que le retard de phase dû à la

propagation de l’onde sphérique est égal à PMk , avec ( )22 2 2PM HM HP z h r= + = − + . Nous

devons donc considérer que le retard de phase en M a pour expression :

( )h r

r

P

MS

Hz

r


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( )mm

Miroirparabolique

Miroirsphérique

( ) ( )( ) ( )2 2,r z k z h r r h r ϕ = − + −

Nous pouvons donc appliquer en M la formule simplifiée de Fraunhofer :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, , ,

0 0 02

D Di r z i r z i r z

Sa z K e dS K d e r dr K e r dr

πϕ ϕ ϕ= θ = π∫∫ ∫ ∫ ∫≃

En posant ( )0, )2 i zK Keϕ′ = π et ( ) ( ), 0,r z zψ = ϕ − ϕ , cela s’écrit : ( )2

0

Dia z K e r drψ′∫≃

Il est exclu de calculer cette intégrale formellement, nous nous contenterons de calculs numériques.

Remarquons toutefois que si le terme ieψ oscille de façon importante sur le domaine d’intégration, la sommation résultante ne sera pas bien importante en module. Le développement limité de ψ en r s’écrit :

( )2 4 52 3

1 12 2

2 2 8k r k r o r

z z z

α ψ = − α − − β − + +

Le foyer du miroir correspond à la valeur particulière de z pour laquelle le premier terme de ce

développement est nul, soit F1

4z f= =

α.

Nous étudions ce qui se passe au voisinage du foyer sur l’axe en posant z f x= + .

Ensuite, c’est une affaire de calcul numérique. Le programme Maple ci-dessous réalise le calcul de diffraction para focale d’un miroir parabolique de diamètre objectif 400 mmd = , ouvert à 5f (courbe bleue) ainsi que d’un miroir identique de forme sphérique (courbe rouge).

Le premier miroir, rigoureusement stigmatique de l’infini, forme de belles images dans son plan focal. Le miroir sphérique, quand à lui, éparpille la lumière longitudinalement sur plus de trois millimètres au-delà du foyer : il s’en suit que les images sont floues.

> lambda:=560e-6: d:=400: f:=2000:# millimètres

a:=proc(h) local psi, PM: PM:= sqrt(r^2+(z-h)^2): psi:=2*Pi/lambda*(PM-h-z): psi:=convert(taylor(psi,r,6),polynom): z:=f+x: 8/d^2*int(r*exp(I*psi),r=0..d/2): end proc;

h:=1/4/f*r^2: parabole:=plot(abs(a(h))^2,x=-3..0.6,color=blue):

h:=2*f-sqrt(4*f^2-r^2): sphere:=plot(abs(a(h))^2,x=-3..0.6,color=red):

with(plots):display(parabole,sphere);

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