Page €¦ · 3Page c) soit A l’aire de la partie limitée par (C), l’axe des asisses et les droites 1 x 2 et x=1. montrer que 3 17 ln2 A 4 16 8 d d . Exercice N°4 : On s’intéresse

2011-2012

www.zribimaths.jimdo.com Page 1

Exercice 1 :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O, u

, v

). On prendra 5 cm pour unité

graphique.

Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par :

z’ = 1 1

2 2i

z + 1.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’affixe ω), le rapport k et

l’angle θ.

2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 = f(An).

Déterminer les affixes des points A1 A2, A3 puis placer les points A0, A1, A2 et A3.

b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ΩAn. Justifier que la suite (un) est une suite

géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,

un = 2n

21 .

c. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre Ω et de rayon 0,1

3. a. Quelle est la nature du triangle ΩA0A1 ?

En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle ΩAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An-1An

On a ainsi : ln = A0A1 + A1A2 +…+ An-1An.

Exprimer ln, en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ln) ?

Exercice 2 :

1. Soit f la fonction définie sur 3

,2

par

2( )

xf x

x

.Montrer que pour tout réel non

nul x on a : 8

'( )9

f x

2. Soit la suite réelle U définie par : 0

1

3

2

2 n

n

n

U

UU n

U

a. Montrer par récurrence que pour tout n de * on a 3

32

nU

b. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis , que pour tout n de *

on a 1

82 2

9n nU U

c. Montrer que pour tout n de on a 8

29

n

nU

d. Déduire lim nn

U

.

L.S.Marsa Elriadh Epreuve 1

M : Zribi

4ème Maths Révision

2011-2012


Exercice 3 : Dans la figure ci-dessous :

(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j , d’une fonction f définie sur

[0,+∞[ \{e}.

(OA) est la tangente à (C) au point d’abscisse 1.

(D) :x=y est une asymptote à (C) au voisinage de +∞.

la droite d’équation x=e est une asymptote verticale pour (C).

1) Par une lecture graphique :

a) Déterminerx x x 1x e

f (x) 2lim f (x); lim f (x); lim f (x) x ; lim

x 1

.

b) Etudier le signe de f(x)-2x.

2) soit 1

1

2

I (x ln x )dx .

a) en utilisant une intégration par parties, montrer que J=ln 2 3

8 16 .

b) en déduire la valeur de J=1

1

2

(x 1 x ln x) dx .

3) on admet que f est la fonction définie sur [0,+∞[ par 1

f (x) x si x 01 ln x

f (0) 0

montrer que f est continue à droite en 0

4) a) montrer que pour tout x1

,12

; 2x≤ f(x) ≤ x+1-xlnx.

2011-2012


c) soit A l’aire de la partie limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites 1

x2

et x=1.

montrer que 3 17 ln 2

A4 16 8 .

Exercice N°4 : On s’intéresse à la durée de vie , exprimée en semaine , d’un composant électronique . On modélise cette situation par une loi de probabilité exponentielle p de paramètre > 0

définie sur 0, comme suit :

La probabilité que le composant ne soit plus en état de marche

au bout de t semaines est 0

0,

t

xp t e dx .

Une étude ; montrant qu’environs 50% d’un lot de ces composants sont encore en état de

marche au bout de 200 semaines ce qui permet donc de poser 0,200 0,5p

1. Montrer que ln(2)

200

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaine ? on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au cm prés

3. On admet que la durée de vie moyenne dm est la limite quand A tend vers de

0

A

xxe dx

( A > 0 ).

a. Montrer que 0

1A A A

x Ae exe dx

b. En déduire dm .On donnera la valeur exacte et la valeur approchée décimale à une semaine prés.

Exercice N°5 : On considère les équations différentielles E0 et E1 suivantes :

0

1

: '' 4 0

: '' 4 3cos( )

E y y

E y y x

1. Quelles sont sur les solutions g de l’équation E0 . 2. Vérifier que la fonction cosinus est solution sur de E1. 3. Montrer que toute fonction f définie sur par : f( x ) = g( x ) + cos( x ) est une

solution de E1 .où g est une solution de E0.

4. Déterminer la solution f de E1 dont la courbe passe par le point , 02

A

et dont la

tangente en A est parallèle à la droite d’équation y = x.

2011-2012


Exercice 1 :

Le plan P est muni d'un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère l'application

: \

2( ) '( ') : '

f P O P

iM z M z tel que z

z

1)a) soit A(1-i). calculer l'affixe du point A' image de A par f.

b)soit B'(2+i). calculer l'affixe du point B antécédent de B' par f.

2) on pose z= e i

; IR. Donner la forme exponentielle de z'.

3) a) montrer que OM'=2

OM.

b) en déduire que si M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors M' appartient à

un cercle ' que l'on précisera.

c) montrer que ( , ') ( , ) 2 ; .2

i OM i OM k k

.

d) en déduire une construction du point M' à partir d'un point M de .

Exercice 2:

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent

être bloqués par des événements extérieurs comme des chutes de pierre, des troupeaux sur la route, etc.

Un autocar part de son dépôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en

kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’au premier blocage. On admet que D suit une loi

exponentielle de paramètre 1

82 . On arrondira les résultats au millième.

1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans blocage soit :

a. comprise entre 50 et 100 km ;

b. supérieure à 300 km.

2. Sachant que l’autocar a parcouru 350 km sans blocage, quelle est la probabilité qu’il n’en

subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?

3. a. A l’aide d’une intégration par parties calculer 82

0

1( )

82

xA

I A xe dx

où A est un nombre

positif.

b. Calculer la limite M de I(A) lorsque A tend vers +∞. On admettra que M est la distance

moyenne parcourue par un autocar avant le premier blocage.

4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun entre le dépôt et le

lieu où survient un blocage sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de


M : Zribi


2011-2012


même loi exponentielle de paramètre 1

82 . d étant un réel positif, on note Xd la v.a. égale

au nombre d’autocars n’ayant subi aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.

a. Montrer que Xd suit une loi binômiale de paramètres N0 et de .

b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun blocage après avoir parcouru d

kilomètres.

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère orthogonal

( ; , )O i j .

Partie A

La courbe (C), donnée ci-contre, est la

courbe représentative d’une fonction f

dérivable sur [0 ; [, de fonction dérivée

f continue sur

[0 ; [.

La courbe (C) passe par les points O et

11,

2A

e

; et, sur [0 ; 1], est au dessus du

segment [OA].

1. Montrer que 1

0

1'

2f x dx

e .

2. Montrer que 1

0

1

4f x dx

e .

Partie B

On sait désormais que la fonction f considérée dans la partie A est définie sur [0 ; [ par :

2 1

xxef x

x

.

1. Déterminer la limite de f en . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2. On considère la fonction g définie sur [0 ; [ par : 3 2 1g x x x x .

Établir que l’équation 0g x admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; [.

3. a. Montrer que pour tout x de [0 ; [, f x et g x sont de signes contraires.

b. En déduire les variations de f sur [0 ; [.

4. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : 2n

nn

u f x dx .

a. Montrer que pour tout x de [0 ; [, 2

10

21

x

x

.

b. Montrer que pour tout entier naturel n, 210

2

n nnu e e .

A

(C)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

y

x

2011-2012


c. En déduire la limite de un quand n tend vers .

Exercice 4:

ABC est un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle de centre O. soit I le point

diamétralement opposé à C sur .

1/ montrer que le triangle OAI est équilatéral direct.

2/ soit f la similitude directe telle que f(I)=O et f(C)=B.

a) déterminer le rapport et l'angle de f.

b) montrer que le centre de f est un point commun des cercles circonscrits aux triangles OAI et OBC.

Construire.

c) montrer que f((AI))=(OA) et f((AC))=(BC).

d) en déduire que l'image A' de A par f est le milieu de [BC].

3/ soit R la rotation de centre O et telle que R(A)=C et h l'homothétie de centre B et de

rapport 2

1.

Montrer que f = hoR.

4/ soit g la similitude indirecte telle que g(I)=O et g(C)=B. on note J son centre.

a) déterminer le rapport de g.

b) montrer que g(B)=A' et que 'JA4JC .

c) montrer que l'axe ∆ de g est la perpendiculaire à (BC) en J.

Exercice 5 :

Le tableau ci-dessous présente l’évolution du nombre d’internautes en Chine de 2002 à 2009.

Les rangs des années sont calculés par rapport à l’année 2000.

Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Rang de l’année xi 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre d’internautes yi (en millions)

60 70 95 100 140 160 250 385

On cherche à étudier l’évolution du nombre d’internautes en fonction du rang x de l’année.

1) Représenter sur votre copie le nuage de points ;i i iM x y associé à cette série statistique

dans le plan muni d’un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

− Sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 1 an,

− Sur l’axe des ordonnées, 1 cm pour 20 millions d’internautes (en plaçant 50 à

l’origine).

2) On cherche dans un premier temps un ajustement affine.

a. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode

de Mayer (les coefficients arrondis à l’unité). Tracer cette droite sur le graphique

précédent.

b. En supposant que cet ajustement reste valable pour l’année suivante, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d’internautes en Chine en 2010.

2011-2012


3) On envisage un ajustement exponentiel et on pose z = ln y.

a. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième :

xi 2 3 4 5 6 7 8 9

lni iz y 4,094

b. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode

des moindres carrés (aucune justification n’est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis au millième).

c. En déduire une expression de y en fonction de x.

2011-2012


Exercice 1: le plan P est rapporté à un repère orthonormé; E l'ensemble des points M d'affixes z tels que

|z-i|+|z+1|=2.

1/ montrer que E est un ellipse dont on précisera les foyers et la longueur du grand axe.

2/ déterminer les coordonnées des sommets de l'ellipse E. Exercice 2:

L'objectif est d'étudier la suite (un) définie pour tout entier n 0 par :

1

02

0 xdx1

1u et, pour n 1, xd

x1

xu

1

0 2

n

n

.

1/ a) Soit f la fonction numérique définie sur [ 0 ; 1 ] par :

).x1xln()x(f 2 Calculer la dérivée f ' de f. En déduire u0 .

b) Calculer u1.

2/ a) Prouver que la suite (un) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer

un).

En déduire que la suite (un) est convergente.

b) Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a :

1 21 x 2 .

En déduire que, pour tout entier n 1, on a :

(1) 1n

1u

2)1n(

1n

.

Déterminer la limite de (un).

3/ Pour tout entier n 3, on pose : .xdx1xI1

0

22n

n

a) Vérifier que, pour tout entier n 3, on a : un + un2 = In.

Par une intégration par parties portant sur In, montrer que, pour tout entier n 3, on a :

nun + (n 1) un 2 = 2 .

b) En déduire que, pour tout entier n 3, on a :

(2) (2n 1)un 2 .

c) À l'aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite (nun) est convergente et calculer sa

limite. Exercice 3: soit ABC un triangle isocèle directe de sommet principal A; on construit à l'extérieur de ce

triangle les carrés ACDE et ABFG de centres respectifs O et O'. R la rotation de centre A et

d’angle 2

1/ a)déterminer R([CE])

démontrer que CG=BE; en déduire qu'il existe un unique déplacement f qui envoie C en B et

G en E.

b) vérifier que f est une rotation et construisez son centre w.


M : Zribi


2011-2012


2/ soit g= S(Aw) o f; déterminer la nature de g et donner sa forme réduite.

3/ a) vérifier que AD=AF; en déduire qu'il existe un unique antidéplacement h qui envoie A

en F et D en A.

b) démontrer que h n'a pas de points fixes.

c) donner la forme réduite de h.

4/ soit S la similitude directe qui envoie C en D et G en F.

a) déterminer l'angle de S.

b) déterminer S((AC)) et S((AG)).

c) En déduire la forme réduite de S.

5/ soit la similitude indirecte de centre C qui envoie A en O

et =S o .

Déterminer la nature et les élément caractéristiques de . Exercice 4

1/ soit f la fonction définie sur IR par f(x)=1e

1ex2

x2

.

On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a) montrer que f est impaire.

b) étudier les variations de f.

c) écrire une équations de la tangente ∆ à au point d'abscisse 0.

d) montrer que pour tout réel t : 0< f '(t) ≤1.

déduire que pour tout réel positif x on a f(x) ≤ x; et que pour tout réel x négatif on a : f(x)

≥ x.

e) construire et ∆.

f) calculer I= 2Log

0

dx)x(f .

2/ a) montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle que l'on précisera.

b) vérifier que pour tout réel x, on a f '(x)=1-(f(x))².

c) montrer que f -1

est dérivable sur ]-1,1[ et que (f -1

)'(x)=)²x1(

1

.

d) montrer que pour tout x]-1,1[ (f -1

)(x)= )x1

x1(Log

2

1

.

e) calculer alors J=

2

1

0

dx²x1

1.

f) à l'aide d'une intégration par parties, calculer

2

1

0

1dx)x(f .

Exercice 5: le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soit f l'application du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M'

d'affixe z'=(1+i)z+1-i.

Soit I le point d'affixe 1+i et r la rotation de centre I et d'angle 4

.

1/ a) déterminer la nature de f et sa forme réduite.

b) soit J le point d'affixe 1, g la similitude directe de rapport 2 , d'angle 4

3 et de centre

J. écrire la forme complexe de g.

a) Montrer que f o g est une homothétie que l'on caractérisera.

2011-2012


2/ soit s l'application de P dans P qui a tout point M d'affixe associe le point M' d'affixe z'=i z

.

a) montrer que s est une isométrie.

b) Montrer que s est la symétrie orthogonale d'axe ∆: y=x.

3/ soit =s o f.

a) montrer que r= s o s' ou s' est une symétrie orthogonale d'axe ∆' que l'on précisera.

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de .

2011-2012


Exercice 1 :

Dans le plan complexe, on considère l’ensemble E des points M d’affixe z tels que 2 2 2 2(1 ) (1 )z i z i

a. Déterminer et construire E.

b. Déterminer et construire l’ensemble F des points M tels que [ (1 )][ (1 )] 8z i z i

c. Vérifier qu’il existe un point de E F où les deux courbes ont même tangente.

Exercice 2 :

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB =2, 1 5AC et

,2

AB AC

.

1. a. démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.

b. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S.

2. On appelle le centre de S. Montrer que appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point .

3. On note D l’image du point C par la similitude S.

a. Démontrer l’alignement des points A, et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.

b. Montrer que 3 5CD .

4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).

a. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.

b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?

Exercice 3 :

Pour tout k entier on note kf l’application de [0 ; 1] dans définie par ( ) 1kkf x x x .

On appelle kC sa courbe représentative.

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de kf .

2. Donner, en distinguant suivant la valeur de k, le tableau de variations de kf .

3. Etudier les positions respectives de kC et 1kC . Tracer les courbes 0 1 2, ,C C C .

4. On pose 1

0

( )k kI f x dx . Calculer 1

00

( )f x dx .

a. Quel est le sens de variation de kI ? Montrer que kI converge vers une limite l que

l’on ne cherchera pas.

b. Montrer, en intégrant par parties que pour tout entier k > 0, on a 1

2

2 3k k

kI I

k

. En

déduire une expression de kI .

c. Montrer que pour tout k entier, on a 1

0

( )1

k

af x dx

k

où a est une constante que l’on

déterminera. En déduire la limite de kI .


M : Zribi


2011-2012


Exercice 4 :

1. On considère x et y des entiers relatifs et l’équation (E) 91x +10y = 1.

a. Énoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à l’équation (E).

b. Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière del’équation(E’) : 91x +10y = 412.

c. Résoudre (E’).

2. Montrer que les nombres entiers An = 32n −1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).

3. On considère l’équation (E’’) A3 x + A2 y = 3296.

a. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation (E’’).

b. Montrer que (E’’) admet pour solution un couple unique d’entiers naturels. Le déterminer.

Exercice 5 :

Partie A :

On considère l’équation différentielle : (E)

23

3' 3

1 x

ey y

e

.

On donne une fonction dérivable sur et la fonction f définie sur par 3( ) ( )xf x e x .

1. Montrer que f est dérivable sur et pour tout réel x, exprimer '( ) 3 ( )x x en

fonction de f ’(x).

2. Déterminer f de sorte que soit solution de (E) sur et vérifie (0)2

e .

Partie B :

Soit la fonction f définie sur par : 1 3

3( )

1

x

x

ef x

e

. On désigne par C sa courbe

représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en et en , puis étudier les variations de f .

2. Tracer C.

3. Pour réel non nul, on pose 0

( ) ( )I f x dx

.

a. Donner le signe et une interprétation graphique de ( )I en fonction de .

b. Exprimer ( )I en fonction de .

c. Déterminer la limite de ( )I lorsque tend vers .

Partie C :

On définit sur * la suite (un) par : 1

0

( )

x

nnu f x e dx , où f est la fonction définie dans la

partie B. On ne cherchera pas à calculer un.

1. a. Donner, pour tout n de *, le signe de un.

b. Donner le sens de variation de la suite (un).

c. La suite (un) est-elle convergente ?

2011-2012


2. a. Montrer que pour tout n de *, 1

1 1n

nI u e I où I1 est l’intégrale de la partie B

obtenue pour égal à 1.

b. En déduire la limite de la suite (un). Donner sa valeur exacte.

2011-2012


Exercice 1: répondre par vraie ou faux en justufiant la réponse.

Soit la fonction ( ) 3 xf x x e et C sa courbe représentative.

a. Pour tout 0, on a : ( ) 3.x f x x

b. La droite d’équation 0y est asymptote à la courbe C.

c. La dérivée de f est '( ) (2 ) xf x x e .

d. La fonction f admet un unique extremum.

e. Pour tout réel 2m e , l’équation ( )f x m admet soit 0 soit 2 solutions.

f. La fonction ( ) ( 3)x

g x x e

n’est pas dérivable en 0.

g. La fonction f est-elle une solution de l’équation différentielle ' 7 xy y e ?

h. La valeur moyenne de f entre 0 et 1 est …

Exercice 2 : Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct ( ; , )O u v , on considère les

points A d’affixe 3i et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.

Partie A

1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.

Partie B

1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe ' 2 6z i z où z désigne le conjugué de z.

Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.

2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport 1

2. On pose g f h .

a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.

b. On désigne par M’’ l’image du point M d’affixe z par la transformation g. Montrer que l’écriture complexe de g est '' 2 2z i z i où z’’ est l’affixe de M’’.

c. Montrer qu’il existe sur l’axe ( ; )O v un unique point invariant par g ; on le note L.

Reconnaître alors la transformation g.

d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h’ suivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h’.

3. Déterminer les droites telles que f ( ) et soient parallèles.

Exercice 3: Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20 % au premier fournisseur, 50 % au deuxième fournisseur et 30 % au troisième fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique 97 % d’ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique 98 % d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95 % d’ampoules sans défaut.

1. On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note

D l’événement « l’ampoule est défectueuse »,

F1 l’événement « l’ampoule provient du premier fournisseur »,


M : Zribi


2011-2012


F2 l’événement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur » et

F3 l’événement « l’ampoule provient du troisième fournisseur ».

a. Calculer la probabilité de l’événement D, notée P(D).

b. Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité PD(F1) qu’elle provienne du premier fournisseur ?

Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 10−3 près de PD(F1).

2. On suppose que la probabilité qu’une ampoule soit sans défaut est de 0,969.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une ampoule au plus soit défectueuse. On donnera une valeur approchée à 10−3 près de R.

3. La durée de vie en heures d’une ampoule, notée T, suit une loi de durée de vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre = 1/50 000 = 2.10−5.

Selon cette loi, pour tout x de [0 ; +∞[, 0

( )x

tP T x e dt .

a. Quelle est la probabilité P1 qu’une ampoule dure plus de 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P1.

b. Quelle est la probabilité P2 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures ? Donner la valeur exacte de P2.

c. Quelle est la probabilité P3 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures, sachant qu’elle a déjà duré 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P3.

Exercice 4:

Il s’agit de résoudre dans le système

13 19

6 12

nS

n

.

1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.

(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).

Vérifier que, pour un tel couple, le nombre 13 12 6 19N v u est une solution de (S).

2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à

0

0

19

12

n n

n n

.

b. Démontrer que le système

0

0

19

12

n n

n n

équivaut à 0 12 19n n .

3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13.

On divise n par 228 = 12 19. Quel est le reste r de cette division ?

2011-2012


Exercice 5 : Dans la figure ci-dessous :

(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j , d’une fonction f définie sur

]0,+∞[ ; (D) la droite d’équation x=y.

1) par une lecture graphique :

a) déterminer f(1), f’(1).

b) étudier le signe de f(x)-x, pour x≥0.

2) on admet que la fonction f est définie par f (x) x x² ln x x 0

f (0) 0

.

f (x) f (0) x x² ln xlim lim lim 1 x ln x 1

x xx 0 x 0 x 0

montrer que f est dérivable en 0 ; et

vérifier que D est la tangente à (C) au point d’abscisse 0.

3) ∝ un réel appartenant à ]0,1[ ; on désigne par A(∝) la mesure de l’aire de la partie du plan

limitée par (C) ; la droite (D) et les droites d’équation x=∝ et x=1.

a) calculer en utilisant une intégration par partie A(∝).

b) calculer 0

lim A( )

.

4) soit U la suite définie par 0

n 1 n

1U

2

U f (U ) ;n IN

.

a) montrer que , pour tout n∈IN ; 0<Un<1 .

b) montrer que la suite U est décroissante.

c) en déduire que U est convergente et calculer sa limite

2011-2012


Exercice 1 : 1. Déterminer PGCD(2688 ; 3024).

2. Dans cette question, x et y sont deux entiers relatifs.

a. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes

(1) 2688x + 3024y = −3360 ;

(2) 8x + 9y = −10.

b. Vérifier que (1 ; −2) est une solution particulière de l’équation (2).

c. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).

3. Soit un repère orthonormal ( ; , , )O i j k de l’espace.

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives x + 2y − z = −2 et 3x − y + 5z =

0.

a. Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

b. Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

c. En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs. Exercice 2 :

ABCD est un carré tel que ,2

AB AC

. Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du

segment [CD].

On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On désigne par le centre de cette similitude. 1 est le cercle de diamètre [AI], 2 est le

cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que est l’un des points d’intersection de 1 et 2 .

Placer sur la figure.

3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le

point K image par s du point I.

4. On pose h s s (composée de s avec elle même).

a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).

b. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A, et K sont alignés.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )A u v , choisi de manière à

ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2, 2 + 2i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitudes est 1

12

z iz i .

2. Calculer l’affixe du point .

3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure. Exercice 3: Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct

(O ; u

, v

), l'unité graphique est 1 cm. On considère la courbe (C) d'équation :

7x2 + 13y

2 6 3 xy 30 = 0.

Le but de l'exercice est de déterminer la nature et les éléments remarquables de la courbe (C)

puis de la tracer.


M : Zribi


2011-2012


1. On considère la transformation f du plan qui au point M d'affixe z associe le point M'

d'affixe z' tel que : z' = ( 3 i) z.

Déterminer la nature de f et préciser ses éléments géométriques.

2. Exprimer les coordonnées (x ; y) de M en fonction des coordonnées

(x' ; y') de M'.

3. a) Montrer que l'image (C') de la courbe (C) par la transformation f est, dans le repère (O

; u

, v

), la courbe d'équation : x2 + 4y

2 = 36.

b) En déduire que (C') est une conique dont on déterminera la nature et les éléments

remarquables. Tracer (C').

4. Déduire des questions précédentes la nature de la courbe (C) et la tracer.

Exercice 4 :

soit nIN*, la fonction fn définie sur ]-1,+∞[ par: fn(x)=)x1(

en

x

. soit n la courbe

représentative de fn dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( unité graphique 2cm).

A/ 1/ a) étudier les variations de f1 et f2.

b) étudier la position relative de 1 et 2 et les construire.

2/ soit Un la valeur minimale de fn sur ]-1,+∞[.

a) montrer que Un=fn(n-1).

b) pour x ≥ 0 comparer fn+1(x) et fn(x).

c) en déduire que la suite U est décroissante et qu'elle est convergente.

d) calculer la limite de la suite U en +∞.

B/

soit x] [,e

1 on pose F(x)=

Logx

02

dt)t(f .

1/ justifier l'existence de F(x) pour tout x] [,e

1 .

2/ montrer que pour tout x]e -1

,1[; F(x) ≤ x(1-Logx1

1

).

en déduire )x(Flim

)e

1(x

.

3/ a) à l'aide d'une intégration par parties montrer que pour tout x>e -1

:

F(x)=

Logx

03

dt)t(f21)²Logx1(

x.

b) en déduire que pour tout x ≥ 1 ; F(x) ≥ 1)²Logx1(

x

calculer la limite de F en +∞.

4/ montrer que F réalise un bijection de ] [,e

1 sur IR.

2011-2012


Exercice 5 Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires, exprimé en milliers d’euros, réalisé par une

chaîne commerciale :

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Rang de l’année xi 0 1 2 3 4 5

Chiffre d’affaires en milliers

d’euros yi

55 58 64 85 105 112

PARTIE 1

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi ) dans le plan muni

d’un repère orthogonal d’unités : 2 cm pour une année en abscisse et 1 cm pour 10

milliers d’euros en ordonnée.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G(x ; y) et le placer sur la figure précédente.

On décide d’effectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prévisions.

PARTIE 2

1. a. Déterminer à l’aide de la calculatrice une équation de la droite de régression D de y

en x par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à 10−1

près.

b. Tracer cette droite sur le graphique de la partie 1.

2. En supposant que l’évolution constatée se maintienne, estimer le chiffre d’affaires réalisé

en 2011 (on précisera la méthode utilisée).

PARTIE 3

On décide d’ajuster le nuage de points de la partie 1 par la courbe Cf représentant, dans le

repère déjà défini, une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par ( ) xf x ab , où a et b

sont deux nombres réels strictement positifs.

1. On impose à la courbe représentative de la fonction f de passer par les points A(0 ;

55) et B(5 ; 112).

Calculer les valeurs exactes de a et b telles que la fonction f vérifie cette condition, puis

donner la valeur approchée arrondie à 10−2

près de b.

2. Pour la suite, on considérera que ( ) 55 1,15xf x pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[.

Estimer grâce à ce nouvel ajustement le chiffre d’affaires, en milliers d’euros, réalisé en

2011 (on arrondira le résultat au centième).

2011-2012


Exercice 1: On considère l'équation (E) : 36x - 25 y = 5 , ( x , y ) Z².

1) Déterminez deux entiers relatifs u et v tels que 36u + 25v = 1.

2) Donnez alors une solution particulière de (E).

3) Quel est l'ensemble des solutions de (E) ?

4) ( x , y) étant une solution particulière de (E), on appelle d le PGCD de x et y.

a) Quelles sont les valeurs possibles de d?

b) Quelles sont les solutions (x , y) de (E) telles que x et y soient premiers entre eux? Exercice 2:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On désigne par M, N, P trois points distincts de ce plan d'affixes respectives m, n, p.

1. Démontrer que le triangle MNP est rectangle en N si et seulement si le complexe p n

im n

est

un réel non nul.

2. Dans cette question, M, N, P sont d'affixes respectives z, z2, z

4.

a. Quelles conditions doit vérifier z pour que M, N, P soient distincts deux à deux ?

b. Démontrer que l'ensemble des points M d'affixe z = x + iy du plan tels que le triangle MNP

soit rectangle en N est une conique (H) d'équation 2

21 1

2 4x y

, privée de deux points

que l'on précisera.

3. Préciser la nature de (H) et déterminer ses éléments géométriques (sommets, foyers, excentricité, asymptotes).

4. Représenter (H) et mettre en place sur la figure les sommets, les foyers et les asymptotes de

(H).

Exercice 3 :

Dans le plan orienté P, on donne un carré ABCD de centre O tel que ]2[2

)AD,AB(

.

On désigne par I, J et K les milieux respectifs de [AB], [AD] et [CD].

1/ a) montrer qu'il existe un unique déplacement f qui envoie A en B et D en A.

b) déterminer les éléments caractéristiques de f.

c) montrer que l'antidéplacement g transformant A en B et D en A est une symétrie

glissante que l'on caractérisera.

2/ soit S la similitude directe qui envoie A en D et B en J.

a) déterminer l'angle et le rapport de S.

b) construire le centre de S.

c) déterminer S((AC)) et S((BC)).

En déduire que le triangle OC est rectangle.

d) déterminer l'image du carré ABCD par S.

e) montrer que les points A, et K sont alignés. Exercice 4:

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j . L’unité graphique est 3 cm..

A .

On considère la fonction f définie sur [0 ; [ par ( ) ln( )x xf x e e et on désigne par (C) sa

courbe représentative dans le repère ( ; , )O i j .


M : Zribi


2011-2012


1. a. Déterminer la limite de f en .

b. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; [, on a 2( ) ln(1 )xf x x e . En déduire

que la courbe (C) admet comme asymptote la droite D d’équation y = x.

c. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote D.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Construire la courbe (C) et

l’asymptote D,

B.

Pour tout x de l’intervalle [0 ; [ on pose 2

0

( ) ln(1 )x

tF x e dt . On ne cherchera pas à

calculer F(x).

1. Soit a un réel positif. En utilisant la partie A , donner une interprétation géométrique de F(a).

2. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle [0 ; [ .

3. Soit a un réel strictement positif. Démontrez que :

Pour tout t de [0 ; a], 1 1

11 1a t

. En déduire que ln(1 )1

aa a

a

.

4. Soit x un réel positif. Déduire de la question 3. que 2

2

20 0

( )1

tx xt

t

edt F x e dt

e

puis que

2 21 1 1 1ln 2 ln(1 ) ( )

2 2 2 2

x xe F x e .

5. On admet que la limite de F(x) , lorsque x tend vers , existe et est un nombre réel noté

L. Etablir que 1 1

ln 22 2

L .

6. Pour tout entier naturel n, on pose 1

2ln(1 )n

tn

n

u e dt

.

a. On considère la fonction h définie sur [0 ; [ par 2( ) ln(1 )th t e . Étudier le sens de

variation de h.

b. Démontrer que pour tout naturel n : 20 ln(1 )nnu e .

c. Déterminer la limite de (un) lorsque n tend vers .

7. Pour tout entier naturel n on pose 1

0

n

n i

i

S u

. Exprimer Sn à l’aide de F et de n. La suite

(Sn) est–elle convergente ? Dans l’affirmative quelle est sa limite ?

2011-2012


Exercice 1:

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun

point.

Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n

− 1 ».

Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l’équation 2 0 modulo 6x x alors

0 modulo 3x ».

Proposition 3 : « L’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x − 5y = 3 est l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k ».

Proposition 4 : « Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et

PPCM(a, b) − PGCD(a, b) = 1 ».

Exercice2:

on dispose d'une urne contenant 4 boules rouges et 2 boules blanches indiscernable au

toucher, et deux dés parfaits D1 et D2.

Les faces de D1 sont numérotées: 0,0,1,1,1,1. Les faces de D2 sont numérotées de 1 à 6.

1/ on lance les deux dés et on désigne par X l'aléa numérique qui indique le nombre de fois ou

l'on a obtenu une face qui porte le numéro 1. Déterminer la loi de probabilité de X.

2/ on considère l'épreuve suivante:

On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne: - si on obtient au moins une boule blanche, on lance le dé D1 deux fois de suite.

- si les deux boules tirées sont rouges, on lance le dé D2 trois fois de suite.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants:

A:"obtenir une face qui porte le numéro 5 pour la première fois au deuxième lancé".

B:"obtenir une seule fois une face qui porte le numéro 1".

3/ on répète l'épreuve précédente n fois de suite ( n>1) en remettant à chaque fois les boules

tirées dans l'urne. on désigne par Y l'aléa numérique indiquant le nombre d'épreuves ou

l'évènement B est réalisé.

a) calculer en fonction n, la probabilité pn de l'évènement (Y ≥ 1).

b) déterminer le plus petit entier n tel que pn > 0,9.

Exercice3: P est le plan rapporté à un repère orthonormé.

1/ résoudre dans C l'équation: z3-(2+i)z²+(-3+4i)z+10-5i=0 sachant qu'elle admet deux

solutions conjuguées.

2/ A, B et C sont les points du plan d'affixes respectives 2-i, 2+i et -2+i. a) montrer que ABC est un triangle rectangle en B.

b) déterminer l'ensemble des centres des similitudes de rapport 2 et transformant A en B.

3/ S la similitude directe transformant A en B et B en C.

b) déterminer le rapport de cette similitude, donner une mesure de son angle et

construire son centre.

c) Construire l'image C’ de c par S.

4/ soit ∆ une droite du plan, on désigne par S(AB), S(BC) et S∆ les symétries orthogonales d'axes

respectifs (AB), (BC) et ∆.

On pose F=S(AB) o S(BC) oS∆.

a) montrer que F est une symétrie orthogonale si et seulement si la droite ∆ passé par le

point B. préciser son axe.


M : Zribi


2011-2012


b) On suppose que la droite ∆ ne passe pas par le point B. quelle est la nature de F.

préciser ces éléments caractéristiques (on pourra utiliser le point H projeté orthogonal de B sur ∆) .

Exercice 4:

Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 on considère la fonction fn définie sur ]0 ; [ par

2

1 ln( )n

n xf x

x

.

Partie A

I.

1. Calculer ( )nf x et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont

le numérateur est 2 2 lnn n x .

2. Résoudre l’équation ( ) 0nf x . Etudier le signe de ( )nf x .

3. Déterminer les limites de fn en et en 0.

4. Etablir le tableau de variation de fn et calculer sa valeur maximale en fonction de n.

II. .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité graphique 5 cm. On note Cn la

courbe représentative de fn dans ce repère.

1. Tracer C2 et C3.

2. Calculer 1( ) ( )n nf x f x . Cette différence est-elle dépendante de l’entier n.

3. Expliquer comment il est possible de construire la courbe de C4 à l’aide de C2 et C3. Tracer C4

.

Partie B :.

1. Calculer à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale 2

1

lne xI dx

x .

2. En déduire l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par les courbes Cn et Cn+1 et les droites d’équation x = 1 et x = e.

3. On note An l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par la courbe Cn, l’axe des

abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e. Calculer A2. Déterminer la nature de la

suite (An) en précisant l’interprétation géométrique de sa raison. Exprimer An en fonction de

n.

Exercice 5: ABC est un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle de centre O. soit I le point

diamétralement opposé à C sur .

1/ montrer que le triangle OAI est équilatéral direct.

2/ soit f la similitude directe telle que f(I)=O et f(C)=B.

e) déterminer le rapport et l'angle de f.

f) montrer que le centre de f est un point commun des cercles circonscrits aux

triangles OAI et OBC.

Construire.

g) montrer que f((AI))=(OA) et f((AC))=(BC).

h) en déduire que l'image A' de A par f est le milieu de [BC].

2011-2012


3/ soit R la rotation de centre O et telle que R(A)=C et h l'homothétie de centre B et de

rapport 2

1.

Montrer que f = hoR.

4/ soit g la similitude indirecte telle que g(I)=O et g(C)=B. on note J son centre.

d) déterminer le rapport de g.

e) montrer que g(B)=A' et que 'JA4JC .

f) montrer que l'axe ∆ de g est la perpendiculaire à (BC) en J.

2011-2012


Exercice 1:

Pour chacune des questions suivantes ; une ou plusieurs réponses sont exactes. Cocher la ou

les réponses correctes.

Questions Propositions

A et B deux événements indépendants tels que : P( A ) = 0,3 et

P( B ) = 0,5 0,15P A B

0,8P A B

/ 0,2P B A

/ 0,3P A B

On considère l’arbre de probabilité ci-dessous :

0,6 C

0, 2 A D

0,3 C

B

D

/ 0,08P D A

0,56P B D

/ 0,875P B D

La durée de vie T d’une machine « en années » suit une loi

exponentielle de paramètre 0,3 .

La probabilité qu’une machine soit encore en état de marche

après cinq années est :

5

0,3

0

0,3 te dt

5

0,3

0

1 te dt

0,15te

Exercice 2 :

Soit le réel et ( E ) l’équation 2: 0i iE z i e z ie

1. Résoudre dans l’équation ( E )

2. Soit dans le plan muni d’un repère orthonormé directe , ,O i j les points A et M

d’affixes respectives i et ie

a. Déterminer l’affixe zN du point N pour que le quadrilatère OANM soit un

parallélogramme

b. Construire l’ensemble E des points N lorsque varie dans l’intervalle ;2 2

.

3. Soit P le point de E d’ordonnée 1

2

a. Déterminer les coordonnées de P

b. Vérifier que P appartient à la médiatrice de [O A] puis le construire

c. Placer ; en expliquant ; le point B d’affixe 3 .

d. Démontrer que les points A , P et B sont alignées .

Exercice 3 :

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé , , ,O i j k . On considère les points

A( 4,0,0), B(0,-2,0) et C(0,0,2).

1. Déterminer les composantes du vecteur AB AC qu’on notera u .

;2 2


M : Zribi


2011-2012


2.

a. Montrer qu’une équation du plan ( ABC) est 2 2 4 0x y z

b. Calculer le volume v du tétraèdre OABC

3. Soit S l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tels que 2 2 2 4 2 2 0x y z x y z .

Montrer que S est un sphère dont on précisera le centre I et le rayon R.

4. Montrer que le tétraèdre OABC est inscrit dans la sphère S .

5. Déterminer le rayon r et le centre du cercle ( C ) circonscrit au triangle ABC .

Exercice 4 : I. La courbe Cf ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur dans un repère

orthonormé , ,O i j . On donne

le point de la courbe 2

1,Ae

.

En utilisant le graphique :

1. Déterminer les limites de f en et en .

2. Préciser le sens de variations de

f

3. Déterminer f( 1 ) et f ‘ ( 1 )

4. Que représente le point A pour

la courbe Cf

5. Décrire le comportement de la

courbe Cf aux voisinages de

l’infinie

6.

a. Justifier que f réalise une

bijection de sur un

intervalle J que l’on

précisera

b. Etudier la dérivabilité de la fonction réciproque f -1

de f

c. Construire sur le même repère la courbe de f -1

en précisant ces caractéristiques .

II. La courbe C est en fait celle de la fonction f définie sur par 2( ) 1 xf x x e . Pour

tout entier naturel n , on désigne par An l’aire de la partie du plan limitée par la courbe

Cf , l’axe des ordonnées et la droite x = n .

a. Soit 0

n

x

nI xe dx . Montrer que 1 ( 1) n

nI n e

b. Vérifier que pour tout réel x ,on a : '( ) ( ) 2 xf x f x xe

c. En déduire An en fonction de n .

d. Calculer lim nn

A

.

Exercice 5

Dans le plan orienté, on considère un triangle isocèle ABC tel que :

AB = AC et (AB, AC) .4

2011-2012


Soit I le point tel que le triangle CAI soit isocèle rectangle avec Pour la figure,

que l'on complétera en traitant les questions, on prendra AB = 5 cm.

1. On appelle rA la rotation de centre A qui transforme B en C et rC la rotation de centre C et

d'angle . On pose f = rC o rA.

a. Déterminer les images par f de A et de B.

b. Démontrer que f est une rotation dont on précisera l'angle et le centre O. Placer O sur la

figure.

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABOC ?

2. Soit s la similitude directe de centre O qui transforme A en B. On appelle C' l'image de C par s, H le milieu du segment [BC] et H' son image par s.

a. Donner une mesure de l'angle de s. Montrer que C' appartient à la droite (OA).

b. Donner l'image par s du segment [OA] et montrer que H' est le milieu de [OB].

c. Montrer que (C'H') est perpendiculaire à (OB). En déduire que C' est le centre du cercle

circonscrit au triangle OBC.

(CA,CI) .2

2

Documents

Page €¦ · 3Page c) soit A l’aire de la partie limitée par (C), l’axe des asisses et les droites 1 x 2 et x=1. montrer que 3 17 ln2 A 4 16 8 d d . Exercice N°4 : On s’intéresse