Par Clément en vacances sur la Côte d’AzurLe 15 Avril 2012

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NOMBRES en BOUCLES

Arithmétique Junior – Chapitre 8

Découverte Junior – Gérard Villemin

Carré des Chiffres avec 15

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En partant de 15, il se forme une boucle : 16, 37 … 20, 4, 16, 37…

Je note un nombre (15). Je prends le carré de chaque chiffre (1 et 25). J’ajoute ces carrés (26). Je recopie cette somme (26) et calcule à nouveau la somme des carrés des chiffres (40). Je recommence autant de fois que possible.

Arrivé à16, je constate que ce nombre à déjà été traité plus haut.C’est la naissance d’une boucle. Son plus petit nombre est 4.

Carré des Chiffres avec 96

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Avec 96, je trouve le nombre 26 qui se trouve dans la boucle rencontrée dans la diapositive précédente.

En partant de 96, on retrouve la boucle: 26, 40, 16 …16 …

Je me demande si on trouve la boucle chaque fois que l’on choisit un nombre.Ce serait bizarre! Pourquoi ce serait toujours vrai?Je vais commencer par regarder tous les premiers nombres et en faire un tableau

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Carré des Chiffres avec 1, 2 … 20Je place d’abord la boucle que je connais. Celle qui commence par 4 (jaune) et qui tourne sur huit nombres..

Puis je calcule la somme des carrés des chiffres pour les autres dans l’ordre.

Je m’arrête dès que je rencontre un nombre déjà présent dans le tableau (bleu).

Parfois la suite des calculs arrive à 1 et y reste (vert).

Pour les nombres de 1 à 20, il y a deux boucles:celle qui commence par 4 et une qui tourne sur le 1.

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Je récapitule tous les nombres déjà trouvés. Ils aboutissent tous à l’une ou l’autre des boucles.Tous de 1 à 20 et aussi: 24, 25, 28, 29, 30, 36, 37, 40, 41, 42, 45, 46, 49, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 61, 63, 64, 65, 68, 70, 73, 79, 80, 81, 82, 85, 86, 89, 90, 92, 94, 97, 98, 100, 130, 145.

Carré des Chiffres avec 1, 2 … 20De 1 à 20, j’ai déjà rencontré beaucoup de nombres. Lesquels?Je redessine ma boucle en 4 et je branche tous les autres à cette boucle. Par exemple 61 => 36 + 1 = 37. Le nombre 61 est collé à côté du 37.

Je fais de même avec la boucle en 1.

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Carré des Chiffres avec 20 à 60Je voudrais savoir ce qui se passe après le nombre 20.J’utilise un tableur. Je note les deux chiffres(C1 et C2) et leur carré (C1² et C2²). Puis, en dernière colonne leur somme (S).

En bleu les somme inférieures à 20 car on a déjà vu que ça boucle.En marron clair, nombres qui appartiennent à la liste de la diapo précédente. Il suffit de faire le calcul sur les nombres qui restent.

Tous les nombres de 1 à 60 tombent dans l’une des deux boucles. On croit que cela est

vrai pour tous les nombres.

Nombre et son inversé - 2 chiffres

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Je prends un nombre à deux chiffres (37) .Je forme un nombre en inversant les chiffres (73). Je soustrais le plus grand (73) du plus petit (37). J’obtiens un nouveau nombre (73 – 37 = 36).Je répète cette opération autant que possible (63 – 36 = 27) …J’arrive à 9 et ne pas aller plus loin.

Je recommence avec d’autre nombres.Je m’arrête si je trouve 9 ou un nombre déjà présent dans la première boucle.Tous les nombres à droite des tableaux sont des multiples de 9.

Pour les nombres à deux chiffres, la suite des opérations se termine toujours par 9, ou par 0 si les chiffres sont répétés.

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Nombre et son inversé - 3 chiffresJe prends un nombre à trois chiffres (456) .Avec les chiffres, je forme le plus grand nombre possible (654) et le plus petit (456).Je soustrais le plus petit du plus grand (654 – 456 = 198).Je recommence cette opération avec le nouveau nombre.Je termine sur 495 sans pouvoir aller plus loin

Je recommence avec d’autre nombres.Je m’arrête si je trouve 495 ou un nombre déjà présent dans la première boucle.Tous les nombres à droite des tableaux sont des multiples de 9.

Pour les nombres à trois chiffres, la suite des opérations se termine toujours par 495 , sauf si les chiffres sont répétés.

Si les chiffres sont répétés, on trouve 0 ou 99.

Cycle de Syracuse

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Règle

Exemple

Je prends un nombre quelconque.S’il est pair, je le divise par deux.S’il est impair, je le multiplie par 3 et j’ajoute un.Je recommence tant que c’est possible avec le nouveau nombre obtenu.

En commençant par le nombre 5, je me dirige vers le 1 qui

produit une boucle: 1, 4, 2, 1…

Le nombre 5 devient 5 x 3 + 1 = 16.Puis 16, divisé par 2, donne 8. Etc.

Cycle Syracuse: programme

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J’ai écrit un petit programme. L’exemple montre le résultat pour le nombre 35 qui atterrit aussi à 1.

Programme expliqué:Je fais tourner une boucle 1000 fois au maximum.Test vaut 0 si n est pair et 1 si impair.Si pair: diviser n par 2. Si impair multiplier par 3 plus un.Imprimer le numéro du calcul (i) et le nombre recalculer (n).Si n vaut 1, c’est la fin. On force le numéro de boucle (i) à prendre la valeur finale (1000). Le programme s’arrête.

Le cycle de Syracuse pour 35 se termine par 1. Est-ce souvent vrai?

Traduction des mots anglais du programme: lprint = imprimer; for … from … to … od = pour …de … à … faire; mod calcule le reste de la division par 2. if … then…. = si …alors …; fi = fin de l’instruction si; od = fin de l’instruction do

Cycle Syracuse: de 10 à 20

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Avec mon programme, j’explore les nombres. Voici, par exemple, les résultats pour les nombres de 10 à 20.On tombe toujours sur le 1 final; parfois rapidement comme avec 10, 16 ou 20; parfois il faut 20 calculs comme pour 18 et 19.Je me suis aperçu que la fin était toujours pareille, alors j’ai descendu toutes les suites de nombres vers le bas pour avoir tous les 1 sur la même ligne.

Le cycle de Syracuse pour tous les nombres que j’ai essayés se termine toujours par 1.

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Cycle Syracuse: mon record

Avec le nombre 82, il faut 110 calculs pour arriver au 1.

On pense que le cycle de Syracuse se termine par 1 pour tous les nombres.

Découverte Junior – Gérard Villemin