1

PAR LE

PROFESSUR A. LAAMYEM

2

W. Wien Compton

Bohr Dirac

Planck Einstein

Schrödinger

Heisenberg L. deBroglie Ehrenfest

Rayleigh

COHEN

3

INTRODUCTION

Jusqu'en 1900 environ, les prédictions des théories de la physique (Mécanique, Electromagnétisme et Thermodynamique) ont toujours été en accord avec les résultats expérimentaux. Grossièrement, ces théories traduisaient par des modèles ce que l'homme observait directement. Les phénomènes observés étaient du domaine MACROSCOPIQUE et il est donc normal que la physique de cette époque et macroscopique aillent de pair.

A partir de cette date, les techniques expérimentales ont permis d'atteindre l'aspect MICROSCOPIQUE de la matière et les phénomènes mis en jeu sortent du domaine de la perception directe. Les théories existantes étaient insuffisantes pour expliquer les résultats mis en évidence et sont qualifiées depuis de "classiques".

Ainsi, s'affirme la nécessité d'une nouvelle théorie permettant de comprendre les effets microscopiques, rebelles aux théories classiques. Cette théorie, la MÉCANIQUE QUANTIQUE, est dans son formalisme actuel le fruit collectif d'une conjonction exceptionnelle de physiciens et de mathématiciens. Une vingtaine d'années fut nécessaire pour que l'on donne une forme précise à cette théorie basée sur la mécanique ondulatoire de Louis de Broglie et Schrödinger et sur le formalisme de Dirac unifiant la méthode matricielle d'Heisenberg et la mécanique ondulatoire

4

Tous les phénomènes nouveaux que l'on a pu découvrir au cours de ces cinquante dernières années n'ont jamais remis en cause la validité de la théorie quantique. Ses concepts ont permis non seulement l'interprétation des phénomènes atomiques (dont les distances caractéristiques sont de l'ordre de l'Angström et les énergies typiques de l'ordre de quelques électron-volt) mais aussi, ils s'appliquent avec le même succès à l'étude des particules élémentaires - constituants des noyaux et des atomes- (pour lesquelles les distances caractéristiques sont 106 fois plus petites et les énergies 109 fois plus élevées).

Aujourd'hui, on considère que la mécanique quantique est universelle, c'est à dire utilisable pour comprendre tous les phénomènes physiques. C'est une description du comportement de la matière et de la lumière dans tous leurs détails. Toutefois cette hégémonie de la mécanique quantique n'est que de principe car dans de très nombreux domaines la théorie classique suffit pour interpréter de façon satisfaisante les observations. Nous verrons par exemple que la mécanique quantique ne fait pas intervenir dans ses concepts la notion de trajectoire d'un mobile ou la notion de force. Il est évident que les ingénieurs qui lancent des satellites autour de la terre n'abandonnent pas ces notions qui se révèlent excellentes dans une large gamme de conditions physiques. Ceci découle de ce que la mécanique classique apparaît comme une approximation de la mécanique quantique. En fait, le champ d'application de cette nouvelle théorie couvre un vaste domaine:

5

- dans le domaine macroscopique (échelle macroscopique > Å), elle est équivalente à la physique classique;

- dans le domaine microscopique, où la physique classique n'est plus valable (échelle microscopique < μ), elle permet de justifier les résultats expérimentaux.

Il ne faut d'ailleurs pas croire que la théorie quantique ne serve qu'à interpréter des phénomènes étranges, éloignés du quotidien. Ainsi, l'existence et la stabilité de corps solides de taille quelconque ne peut s'expliquer que par la théorie quantique appliquée aux assemblages d'atomes. Les lasers, les transistors des appareils de radio, de télévision, des ordinateurs, que nous côtoyons tous les jours n'ont un fonctionnement compréhensible que dans le cadre de la théorie quantique. Les théories classiques sont incapables d'expliquer la stabilité de la matière, pas même celle d'un atome; des paramètres aussi simple que la densité, la chaleur spécifique, l'élasticité d'un solide ne sont calculables que dans le cadre de la théorie quantique.

Il faut savoir que la mécanique quantique continue à postuler l'existence de particules et de la théorie ondulatoire; elle permet une étude plus précise du mouvement et de l'interaction des particules en imposant un certain nombre de notions nouvelles que nous examinerons dans ce cours (nécessairement incomplet) et qui peuvent être citer de la façon suivante:

* la notion de localisation ponctuelle est remplacée par celle de probabilité de présence dans un certain volume;

* l'interprétation ondulatoire de la particule est nécessaire, à chaque particule est associé "un paquet d'onde";

* la notion de grandeur physique fait place à une grandeur dont la valeur ne peut être exactement prévue ou qui ne peut prendre que des valeurs discrètes.

6

Nous étudierons donc successivement

• Dans le premier chapitre, quelques expériences de la physique atomique mettant en échec les théories classiques. Nous introduirons la notion de photon, particule associée à la lumière et la notion d'onde associée à la matière. Enfin, nous illustrons sur des exemples le domaine d'utilisation de la mécanique quantique.

• Dans le deuxième chapitre, nous donnerons le formalisme mathématique de la mécanique quantique en se limitant aux notions nécessaires à notre cours.

• Dans le troisième chapitre, nous étudierons les postulats de la mécanique quantique.

• Dans le quatrième chapitre, nous donnerons quelques aspects de la mécanique ondulatoire et nous examinerons en particulier la fonction d'onde, solution de l'équation de Schrödinger;

7

Chapitre 1

INSUFFISANCES DE LA PHYSIQUE CLASSIQUE

DÉBUT DE LA THÉORIE QUANTIQUE

A/ CORPUSCULES LUMINEUX

1) Le rayonnement du corps noir. Hypothèse de Planck

2) L'effet photoélectrique

3) Le photon

B/ ONDES DE MATIERE

1) Hypothèse de Louis de Broglie. Diffraction de particules matérielles

2) Interprétation probabiliste

C/ PHYSIQUE CLASSIQUE OU PHYSIQUE QUANTIQUE

D/ CONCLUSION

8

A la fin du siècle dernier, des résultats expérimentaux ont posé de sérieux

problèmes aux physiciens car les théories existantes étaient incapables

de donner une interprétation satisfaisante. Les chercheurs ont été amenés

à émettre des hypothèses révolutionnaires. Nous allons donner quelques

exemples d'échecs de la physique classique, puis des solutions

historiquement proposées

A/ CORPUSCULES LUMINEUX

1) Le rayonnement du corps noir. Hypothèse de Planck

Un corps noir est un système qui absorbe intégralement tout

rayonnement qui frappe sa surface (système idéal). On peut constituer

un corps noir en utilisant une enceinte imperméable aux rayons

lumineux (donc il y fait très noir) porté à une température élevée et on

sait qu'un corps porté à haute température émet un rayonnement

lumineux (transformation de l'énergie calorifique en énergie lumineuse).

Par un orifice percé dans cette enceinte, des radiations lumineuses sont

émises et on peut, à l'aide de dispositifs appropriés, mesurer la densité

d'énergie U(l ,T) de ces radiations dans l'intervalle de longueur d'onde

[l, l+dl] (densité d'énergie "monochromatique") et construire ainsi pour

une valeur fixée T de la température la courbe U=f(l ).

9

On note expérimentalement que, pour chaque valeur de T, U(l)

passe par un maximum pour une longueur d'onde lm et décroît

rapidement vers les courtes longueur d'onde. Les résultats obtenus se

traduisent par les lois empiriques suivantes:

- La longueur d'onde maximale est inversement proportionnelle à la

température:

lm .T = cte c'est la loi de déplacement de Wien (1896)

- La densité totale d'énergie est proportionnelle à T4; soit :

0 Ul,T dl a T

4 loi de Stefan 1879

10

Ces lois ne peuvent pas être expliquées par la théorie classique car cette

dernière conduit, pour la densité d'énergie U, à la loi de Rayleigh-Jeans:

U(l,T) = 8p.kT.l-4 , avec k la constante de Boltzmann. On voit donc que

cette loi n'est en accord satisfaisant avec l'expérience que pour des

grandes longueurs d'onde (infrarouge et visible) alors que pour les ondes

courtes, elle présente un accroissement monotone et de plus très rapide

en contradiction flagrante avec les courbes et les lois empiriques

précédentes. Cette échec de la théorie classique fut appelé par Ehrenfest

"catastrophe ultraviolette". Il est important de savoir que la loi de Rayleigh-

Jeans est basée sur l'hypothèse classique d'un échange énergétique

continu entre l'énergie calorifique et l'énergie lumineuse.

Pour tenter d'expliquer ce problème, Planck fut amené à proposer le 14

Décembre 1900, l'hypothèse suivante: L'échange d'énergie (calorifique

---> lumineuse) se fait de façon discontinue; autrement dit, l'énergie

lumineuse est émise par paquets ou QUANTA; un quantum possédant

l'énergie E=hn (n=c/l) où h est une nouvelle constante universelle ayant

les dimensions d'une action et appelé constante de Planck. La mesure la

plus précise de h est actuellement:

11

h = (6,626196 ± 0,000006 ) 10-34 J.s

Il faut seulement mais absolument retenir que h 10-34 J.s

Cette hypothèse, jointe aux méthodes de la mécanique statistique, a

permis d'expliquer les résultats relatifs au rayonnement du corps noir,

Planck a montré en effet que densité U(l,T) est de la forme:

U l,T 8phc

l5

1

exp hc

lkT 1

Dans certains cas, il est commode d'exprimer la formule de Planck en fonction

de n et T. Sachant que n=c/l et que U(l,T) dl= U(n,T) dn, on aura

12

Un,T 8phn3

c3

1

exp hn

kT 1

où le produit kT a les dimensions d'une énergie.

On voit donc que quand l tend vers zéro, U(l,T) tend aussi vers

zéro, ce qui lève la "catastrophe ultraviolette". On peut aussi remarquer

que pour l très grande on retrouve (par développement limité de la

fonction exponentielle) la loi classique de Rayleigh-Jeans. D'une

manière générale, les lois classiques peuvent être considérées comme

limites, dans des conditions données, de lois quantiques.

13

2) L'effet photoélectrique

C'est l'émission d'électrons par un métal sous l'action d'un

rayonnement électromagnétique. Cet effet fut mis en évidence par Hertz en

1887.

Le dispositif dans lequel l'interaction de la lumière se manifeste par

effet photoélectrique est une cellule photoélectrique. Il s'agit d'une ampoule

vide d'air que l'on a équipée de deux électrodes: l'une est formée d'une

plaque métallique et l'autre d'un fil fin en forme d'anneau afin que les rayons

lumineux puissent atteindre la plaque. On relie ces deux électrodes aux

bornes d'un générateur de telle sorte que la plaque constitue la cathode et le

fil constitue l'anode. un microampèremètre est placé sur le circuit et permet

ainsi de détecter le passage d'un courant électrique.

Le caractère essentiel de l'effet photoélectrique est l'existence d'un

seuil en fréquence: on n'observe le passage du courant électrique que pour

certaines radiations. En termes plus précis:

• si la lumière incidente a une fréquence n supérieure ou égale à une

certaine fréquence ns, le courant électrique circule ce qui signifie que des

électrons sont arrachés de la cathode et sont attirés par l'anode. La

fréquence ns est caractéristique du métal et est indépendante de l'intensité du

rayonnement incident.

• si la lumière incidente a une fréquence inférieure à ns, il n'y a pas de

courant qui circule.

14

Par ailleurs, on note expérimentalement l'absence d'un seuil de flux

lumineux: on enregistre un courant électrique même pour des valeurs très faibles

du flux lumineux. Ces résultats ne peuvent pas être interprétés par la théorie

classique. En effet, si les électrons ne sortent pas du métal c'est qu'il existe une

barrière d'énergie entre le métal et le vide. On pense qu'alors le courant électrique

est dû à certains électrons qui ont une énergie supérieure à cette barrière, mais la

théorie ondulatoire (théorie classique) impose dès lors que l'énergie des électrons

est proportionnelle à la densité d'énergie électromagnétique c'est à dire au flux

lumineux. On devrait donc obtenir un seuil en flux et non un seuil en fréquence, ce

qui est en contradiction avec les résultats précédents.

C'est Einstein en 1905 qui, reprenant l'hypothèse des quanta de Planck,

donna une interprétation satisfaisante à l'effet photoélectrique. Il postule donc que

les radiations lumineuses sont composées de quanta (grains, paquets, morceaux)

d'énergie.

Un quantum transporte l'énergie E=hn où h est la constante de Planck et n la

fréquence de la radiation excitatrice. Quand un quantum "tombe" sur la cathode, il

disparaît et son énergie peut être partagée en deux quantités: une quantité, Ws, est

utilisée pour extraire l'électron du métal (appelée travail d'extraction) et l'autre

quantité est communiquée à l'électron sous forme d'énergie cinétique. La

conservation de l'énergie s'écrit donc:

15

h n Ws 1

2 m v

2 relation d'Einstein

Nous pouvons poser Ws = hns et dès lors les radiations de fréquence

inférieure à ns ne permettent pas l'extraction de l'électron. Il existe donc

bien un seuil en fréquence. Notons de passage que l'effet

photoélectrique est l'une des méthodes utilisées pour la mesure de la

constante h de Planck.

3) Le photon

Nous avons montré que les résultats des deux expériences

précédentes ne peuvent pas être expliqués par la théorie qui attribue à la

lumière la notion d'onde (théorie ondulatoire de la lumière). Ces résultats ne

peuvent être correctement interprétés qu'en supposant l'existence d'une

particule associée à la lumière que l'on appelle le photon. Le photon est une

particule d'énergie E = h n de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la

lumière c et de quantité de mouvement p = h n/ c. Ainsi on associe à l'onde électromagnétique, une particule de

caractéristiques (E, p) qui sont liées aux caractéristiques de l'onde (w, k):

16

E h n h

2p E

p h

2p

c k p k

avec h

2p 1,054x 10

34J.s

La lumière possède alors le double aspect ondulatoire-corpusculaire.

Autrement dit, la lumière manifeste des propriétés spécifiques d'une nature

ondulatoire et également des propriétés de nature corpusculaire. Si l'on fait

abstraction de l'une ou de l'autre, on se trouve dans l'impossibilité d'expliquer

l'ensemble des faits expérimentaux observés sur les champs

électromagnétiques. on doit donc admettre que la lumière possède

"simultanément" ces deux natures dont les paramètres caractéristiques sont

reliés par la relation E = ђ qui est la relation de planck Einstein.

17

B/ ONDES DE MATIÈRE

1)Hypothèse de L. de Broglie. Diffraction de particules matérielles

En 1924 (peu de temps avant la thèse de L.de Broglie), Thomson a observé lors

de la traversée d'une feuille métallique (NaCl) par des électrons, une figure de

diffraction analogue à celle que l'on observe avec les rayons X. Ce phénomène

ne peut pas s'expliquer par la théorie classique qui exclut tout comportement

ondulatoire d'un corpuscule.

Louis de Broglie posa l'hypothèse suivante:

Non seulement la lumière, mais aussi la matière possède le double aspect

ondulatoire-corpusculaire. A toute particule de matière de quantité de

mouvement p = mv est associée une

onde de longueur d'onde l donnée par:

l h

p h est la constante de Planck.

lest appelée longueur d'onde de L. de Broglie.

18

Par analogie avec le rayonnement lumineux, l'énergie de la particule et

la pulsation (ou la fréquence) de l'onde associée sont liées par la

relation E=ђ w. Cette relation et la relation de L. de Broglie permettent

ainsi de relier les deux aspects ondulatoire et corpusculaire de la

matière.

Remarques:

Pour des objets macroscopiques la longueur d'onde associée est toujours

infime. Une particule de masse 10-5 g se déplaçant à la vitesse v=1cm/s aura une

longueur d'onde de L. de Broglie de l'ordre de 6,6 x10-22 cm ce qui est une

valeur ridiculement petite, de telle sorte que l'aspect ondulatoire de son

mouvement est indécelable. C'est pourquoi les ondes de matière ne sont pas

évidentes en physique macroscopique. Ainsi la physique non quantique

(physique classique ou relativiste) reste une excellente approximation

pour l'étude des mouvements à notre échelle.

19

2) Interprétation probabiliste

De la même manière que pour le photon, le carré du module de l’amplitude de l'onde de L. de Broglie donne la probabilité de présence d'une particule.

Ceci est justifié expérimentalement. En effet, dans l'expérience de diffraction des électrons on observe (sur plaque photographique) des endroits de noircissement maximal. Ce sont donc des régions où l'intensité c'est à dire le carré de l'amplitude de l'onde, est maximale. Ces noircissements sont crées par les impacts des électrons.

Il est donc naturel d'envisager une relation de proportionnalité entre l'intensité de l'onde et la densité d'électrons, n.

Si l'on désigne par F l'amplitude de l'onde, son intensité est donnée par IFI2,

soit IFI2 = a. n

Si d3P est la probabilité de trouver un électron à l'instant t dans l'élément de volume d3r, on a:

d3P

nombre d' électrons arrivant dans le volume d3r

nombre d' électrons arrivant dans tout l' espace

n . d3r

N

20

En posant IY I2 = A IF I2 avec A=1/a N (= cte) , on obtient alors:

d3P = IYI2 d3r

et, on dit que IYI2 est une densité de probabilité de présence de la

particule. On voit donc que seule IYI2 (et non Y) a une réalité

physique.

Cette interprétation impose une condition évidente sur la fonction

Y (r,t) : la probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est

égale à 1; soit:

IY(r,t)I2 d3r = 1 quelque soit t

C'est la condition de normalisation. En d'autres termes, la fonction Y(r,t) doit

être une fonction bornée dans tout l'espace de façon à ce que l'intégrale

converge; on dit que Y(r,t) est une fonction de carré sommable. De plus Y(r,t)

doit être continue et admettre une dérivée première également continue.

21

La condition de normalisation exprime donc que la particule est

nécessairement localisée dans une région finie de l'espace, en dehors

de laquelle la densité de probabilité de présence doit être nulle. On

s'attendra donc à ce que l'onde associée à une particule sera

d'étendue limitée spatialement et on pourra à chaque instant définir

IYI2 comme une fonction de la position dans l'espace. Ainsi il sera

possible à partir de cette onde de localiser avec une certaine

probabilité la particule qui lui est associée .

22

C/ PHYSIQUE CLASSIQUE OU PHYSIQUE QUANTIQUE.

On sait que la mécanique classique, telle que l'on peut la tirer de la loi

fondamentale de la dynamique cesse d'être applicable quand les vitesses

relatives des particules deviennent comparables à la vitesse c

(c=3x108 m/s). Un tel critère est donc basé sur l'existence de la constante

c (constante fondamental de la mécanique relativiste). Par analogie, on

peut formuler un critère pour décider quand on doit appliquer la mécanique

quantique ou quand la théorie classique convient. En effet, la constante h

de Planck va servir à définir la frontière entre les domaines de validité des

théories classique et quantique. Remarquons d'abord que d'après la

relation de Planck-Einstein (E=hn ), h a pour dimensions: (énergie) x

(temps) = [ML2T-1]; de même d'après la relation de L. de Broglie (l=h/p), h

a pour dimensions (quantité de mouvement) x (longueur) = [MLT-1 .L].

23

Ces dimensions ne sont rien d'autres que celles du moment cinétique. Une

telle grandeur physique s'appelle une action et la constante h s'appelle le

quantum (fondamental) d'action. Dans le système S.I., l'unité d'une action

est le Lagrange (L). On a donc:

1 L = 1 Kg . m2.s-1 = 1 J.s = 1034 h

Le critère est le suivant, si dans un système physique une quelconque

grandeur ayant les dimensions d'une action prend une valeur numérique de

l'ordre de celle de la constante de Planck h, le comportement du système

doit être décrit dans le cadre de la mécanique quantique. Si au contraire une

grandeur physique homogène à une action a une valeur très grande par

rapport à h, les théories classiques sont largement suffisantes pour

comprendre les phénomènes qui se produisent. Notons enfin qu'il n'est pas

possible qu'un phénomène physique possède une action très inférieure à h;

si une combinaison de grandeurs physiques conduit à une telle action, cette

combinaison n'a pas de sens physique.

24

Conclusion générale

Les expériences réalisées depuis la fin du XIXème siècle

posaient de sérieux problèmes aux physiciens et l'essentiel de ces

problèmes peut se résumer ainsi:

-Au point de vue des théories des ondes électromagnétiques,

les phénomènes ondulatoires tels que la diffraction ou les

interférences semblaient exclure toute théorie corpusculaire de la

lumière. Néanmoins des expériences telles que celles que nous

avons présentées dans ce chapitre ont conduit les chercheurs à

inventer un corpuscules lumineux: le photon.

- Au point de vue de la théorie corpusculaire, c'est à dire des

particules telles que l'électron, il est totalement impossible de rendre

compte par les théories classiques du comportement ondulatoire de

particule de matière.

Pour traiter les ondes de matière, on doit renoncer à la

mécanique classique qu'il faut remplacer par la mécanique

quantique.

25

Cette théorie conduit à:

i) décrire l'état d'une particule par une fonction d'onde, Y(r,t), qui contient

toutes les informations qu'il est possible d'obtenir sur la particule. Cette

notion de fonction d'onde remplace pour la particule la notion classique de

trajectoire dont on déduisait en mécanique classique la position, la vitesse

et l'accélération de la particule à tout instant.

ii) interpréter IY(r,t)I2 comme une densité de probabilité de présence de la

particule à l'instant t. Autrement dit: d3P = IYI2.d3r représente la

probabilité de trouver la particule à l'instant t dans le volume infinitésimal

d3r entourant le point r. Cette physique n'est donc pas déterministe mais,

contrairement à la physique classique, elle est probabiliste. Le caractère

probabiliste de cette théorie impose la condition de normalisation ou plus

généralement la convergence de l’intégrale I:Y(r,t) est dite une fonction

de carré sommable.

I = IY(r,t)I2 d3r

26

Chapitre 2

LE CADRE MATHÉMATIQUE DE LA

MÉCANIQUE QUANTIQUE

27

INTRODUCTION

I. ESPACE DES FONCTIONS D'ONDES

II. BASES ORTHONORMÉES. RELATION DE FERMETURE

1) Bases discrètes

2) Bases continues

III. NOTATION DE DIRAC. VECTEUR-KET. VECTEUR-BRA

IV. OPÉRATEURS

1) Définitions

2) Opérateur adjoint

3) Opérateur inverse. Opérateur unitaire

4) Opérateur hermétique

V. RELATIONS D'ORTHONORMALISATION ET DE FERMETURE

EN NOTATION DE DIRAC

VI. VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES D'UN OPÉRATEUR

1) Définitions

2) Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d'un opérateur

VII. OBSERVABLES. THÉOREMES FONDAMENTAUX. E. C. O. C.

28

INTRODUCTION

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que la fonction Y(r,t) qui

décrit l'état d'une particule matérielle à l'instant t doit satisfaire à une condition

qui découle de l'interprétation de IY(r,t)I2 comme représentant une densité de

probabilité (celle de trouver la particule en r à l'instant t). La condition requise

est que Y(r,t) doit faire partie des fonctions de r de carré sommable; c'est à dire

pour lesquelles l'intégrale I:

I = IY(r,t)I2 d3r

ait un sens (intégrale convergente). Les fonctions qui satisfont cette

propriété appartiennent à un espace de Hilbert, dénoté L2, (espace vectoriel

des fonctions de module carré intégrale).

29

Cependant l'espace L2 est trop vaste pour nos besoins; en

effet, étant donné la signification attribuée à IY(r,t)I2, les

fonctions utilisées doivent posséder des propriétés de

régularités: fonctions partout définies, continues, bornées et

indéfiniment dérivables; (une véritable discontinuité ne

pouvant physiquement être distinguée d'une variation très

rapide sur un domaine de variation de r plus petit que ce qui

est accessible à nos observations). Nous considérons donc

que les fonctions d'onde font partie d'un ensemble F qui

sera un sous-espace de L2.

30

I.ESPACE F DES FONCTIONS D'ONDE

• L'ensemble des fonctions de carré sommable possède la structure d'un

espace vectoriel:

Si Y(r,t) et F(r,t) à F et l,mdes complexes ===> lY(r,t) +

mF(r,t) à F c'est à dire que leur combinaison linéaire est aussi de carré

sommable.

• L'espace F est muni d'un produit scalaire:

À tout couple F(r,t) et Y(r,t) appartenant à F, pris dans cet ordre,

correspond un nombre complexe, noté (F,Y) et appelé produit scalaire de

Fpar Y . Ce nombre vaut par définition:

(F,Y) = F*(r,t) Y(r,t) d3r

où F*(r,t) est l'expression conjuguée de F(r,t).

Ce produit scalaire possède les propriétés suivantes:

- linéarité à droite : (F,lY1+ mY2) = l(F,Y1) + m(F,Y2)

- antilinéarité à gauche : (lF1+mF2,Y) = l* (F1,Y) + m* (F2,Y)

- symétrie hermétique: (F,Y) = (Y,F)*.

31

II. BASES ORTHONORMÉES. RELATIONS DE FERMETURE.

1)Bases discrètes.

Soit un ensemble de fonctions ui ( r ) repérées par un indice i entier ( i =

1,2,3,...). Cet ensemble est dit discontinu ou discret et le note : {ui ( r )} .

• {ui ( r )} est orthonormal si

(ui, uj ) = ui*( r ) uj ( r ) d3r = dij

(où dij est le symbole de Kronecker, égal à 1 si i = j et à 0 si i # j ).

• {ui( r )} constitue une base de F si toute fonction Y( r ) appartenant à F

peut être mise sous la forme d'un développement:

Y( r ) = ci ui ( r )

les ci étant les nombres complexes qui constituent les coordonnées

(ou les composantes) de Y( r ) sur la base des ui ( r ). Il est évident que

ci = (ui, Y).

i

32

Ce second point peut être exprimé par une relation, dite relation de fermeture,

que l'on peut établir à l'aide de la distribution dde Dirac. Celle-ci peut être

définie par les relations suivantes:

f ( r ') d( r - r ' ) d3r = f ( r ) et d( r - r ' ) = 0 si r # r '

d se conduit comme une fonction presque partout nulle sauf en r = r' où elle

n'est pas définie en tant que fonction. C'est donc une distribution qui fait

correspondre à une fonction sa valeur en un point donné.

La fonction Y( r ) peut s'écrire:

Y( r ) = ci ui ( r ) = (ui, Y) ui ( r )

=

i

i

i

d3r ' ui*( r ') Y( r ') ui ( r ) =

d3r ' Y( r ') ui*( r ') ui ( r )

i

33

et, compte tenu de la définition de d, on peut alors identifier

Siui*( r ') ui ( r )

à la fonction de Dirac : d( r - r '):

soit :

ui*( r ') ui ( r ) = d( r - r ') appelée relation de fermeture

Ainsi, un ensemble de fonctions ui ( r ) forme une base orthonormée de

F si les relations suivantes sont satisfaites:

(ui, uj ) = dij relation d'orthonormalisation (en abrégé R.O.)

ui*( r ') ui ( r ) = d( r - r ') relation de fermeture (en abrégé R.F.)

i

i

34

Notons enfin que le produit scalaire de Fpar Ys'écrit:

avec F( r ) = bi ui ( r ) et Y( r ) = cj uj ( r )

(F , Y) = bi*cj d3r ui*( r ) uj ( r ) = bi*cj (ui, uj )

= bi*cj dij

===> (F , Y) = bi*ci .

En particulier (Y , Y) = ci*ci IciI2 ; soit pour Ynormée à

l'unité : IciI2 = 1.

i

i

j

i

i

j

i

i

j

j

i

35

2) Bases continues.

Plus généralement, nous pouvons choisir pour base un ensemble continu de

fonctions Wa( r ), repérées par un indice continu a. {Wa( r )} est base

orthonormée si:

• ( Wa, Wa' ) = d3r Wa*( r ) Wa' ( r ) = d(aa') R.O.

• da Wa*( r ') Wa ( r ) = d(r r ') R.F.

36

(L'intégrale sur apouvant être simple, double ou

triple).

Cette dernière relation exprime que toute

fonction Y( r ) peut être développée sur les Wa(r),

soit:

Y(r) = da.c(a) Wa( r )

avec c(a) = ( Wa, Y) = d3r Wa*(r)Y( r ).

Le produit scalaire de Fpar Ys'écrit dans ce cas:

(F,Y)= da b*(a) da'c(a') d3rWa*(r)Wa' (r)

= da b*(a) da' c(a') d(aa')

===> (F , Y) = da b*(a) c(a)

37

Exemples:

- L'ensemble des fonctions d'onde planes:

Vp0( r ) = (2pђ )-3/2 ei p0.r / ђ

- L'ensemble des distributions de Dirac:

dr0 ( r ) = d( r - r0)

On montre sans difficultés que chacun de ces ensembles

vérifient

R.O. et R.F. En conséquence, on peut écrire:

38

On considère les fonctions (px) et Y(x) transformées de

Fourier l'une de l'autre définies par :

(px) = p2

1 Y(x) e-ipx.x / dx = T.F[Y(x)]

Y(x) = p2

1 (px) e+ipx.x /dpx = T.F[(px)]

39

• Pour {Vp0( r )}:

Y(r)= ( p0).Vp0(r)d

3

p0=(2p )-3/2 ( p0)ei p0.r / d

3

p0

avec

( p0) = (Vp0, Y) = (2p )-

3/2 e-i p0.r / Y( r ) d3

r

( p0) et Y( r ) sont donc transformées de Fourrier l'une de

l'autre.

• Pour {dr0 ( r )}:

Y( r ) = ( r0) dr0 ( r ) d

3

r0 = ( r0) d( r - r0)

d3r0

avec ( r0) = (dr0 , Y) = d( r - r0) Y( r ) d

3

r = Y(r0)

On voit donc sur ce dernier exemple que les composantes ( r0)

de Y( r ) s'identifient toutes à la valeur de la fonction Y au point

r0.

40

III. NOTATION DE DIRAC. VECTEUR - KET. VECTEUR - BRA

Nous avons vu que la fonction d'onde Y( r ) associée à une particule peut aussi

bien être représentée par :

ses "coordonnées" ci sur une base discrète {ui ( r )} appelée

Représentation discrète: [i]

ses "coordonnées" ( p0) sur une base continue {Vp0( r )} appelée

Représentation impulsion: [p0];

ses "coordonnées" Y( r0) sur une base continue {dr0 ( r )} appelée

Représentation position: [r0].

À noter que les représentations [ r0] et [ p0] sont connectées par transformations

de Fourrier.

41

En mécanique quantique, on utilise la notation IY> pour écrire un vecteur de

l'espace E des états et selon Dirac, le vecteur IY> est appelé un vecteur ket ou tout

simplement un ket (ici ket "psi"). Une représentation étant choisie, le ket IY>

appartenant à E s'écrit sous forme d'une matrice à une colonne:

[i] [ r0] [ p0]

c1 . .

c2 . .

. . .

. Y(r0) (p0)

. . .

. . .

IY> ----> . IY> ----> . IY> ----> .

. Y(r'0) (p'0)

. . .

. . .

. . .

42

Dans l'espace E, on définit le produit scalaire, IF>, IY>, du ket IF> par le ket

IY> et selon Dirac ce produit s'écrit <FIY> où la notation <FI désigne un

vecteur appartenant à un autre espace vectoriel noté E* (dual de E). <FI est

appelé vecteur bra ou tout simplement bra (ici bra "fi"). A tout ket on fait

correspondre un bra; ce dernier est caractérisé, dans une représentation donnée,

par une matrice à une ligne dont les éléments sont complexes conjugués des

composantes du ket associé.

dans [i] dans [ r0] dans [ p0]

<IY---->(c1*, c2

*, .........); (...Y*(r0 )...Y*(r0').....) ; (...*(p0)...*(p0').....)

Entre les bras et les kets, on a la correspondance:

IY><=========> <YI

IlY>= lIY> <=========> <lYI = l*<YI

IlY+ mF> = lIY> + mIF> <=========> <lY + mFI = l*<YI + m*<FI

où let msont des nombres complexes.

43

<FIY> = (F , Y) = F*( r ) Y( r ) d3r

Effectuons le produit au sens matriciel d'un bra <FI par un ket IY>, par

exemple dans la représentation [i] où IF>est représenté par ses composantes

bi et IY>par ses composantes cj:

c1

c2

c3

<FIY> = (b1*, b2

*, b3*, . . . .) . = Si bi

*ci .

.

.

Ce produit s'identifie au produit scalaire des fonctions d'onde F( r ) par Y( r

). On a donc:

44

Ce qui justifie que l'on peut transporter toutes les propriétés obtenues pour le

produit scalaire des fonctions d'onde au produit matriciel d'un bra par un ket à

savoir: linéarité à droite pour le ket, antilinéarité à gauche pour le bra et la

symétrie hermétique:

<FIY> = <YIF>*.

La notation <FIY> peut donc s'interpréter comme:

-le produit scalaire dans l'espace F des fonctions d'ondes F( r )

et Y( r ) : (F , Y)

-le produit scalaire du ket IF> par le ket IY>: (IF>, IY>)

-le produit matriciel du bra <FI par le ket IF> : <FIY>.

Le symbole < I > s'appelle "braket" (crochet) d'où l'origine de l'appellation bra

pour la partie gauche < I et ket pour la partie droiteI >du symbole.

45

Dans les exemples précédents des deux bases continues, position et

impulsion, on adopte pour des raisons de simplification d'écriture, la

notation :

Idr0 > Ir

0 > et IVp

0 > Ip

0 >.

Le développement d'un ket IY>s'écrit donc:

dans la base {Ir0 >} : IY>= d

3r

0 Y( r

0) Ir

0 > avec Y( r

0) = <r

0IY>

dans la base {Ip0 >} : IY> = d

3p

0 ( p

0) Ip

0 > avec ( p

0) =<p

0IY>

De ce point de vue, la fonction Y( r ) elle même s'écrit <r I Y>et peut

donc s'interpréter de la façon suivante:

Y( r ) est une composante de IY> dans la représentation position

[ r ], appelée aussi représentation de Schrödinger;

ou la projection du vecteur IY>sur le vecteur Ir > de la base {Ir >};

46

IV. OPÉRATEURS

1)Définitions.

Un opérateur, A, est un être mathématique qui à tout ket IY>

appartenant à E fait correspondre un autre ket If>appartenant à

E. C'est donc une application de E dans E :

IY>--------------------> A IY> = If>.

• A est un opérateur linéaire si:

A ( l IY>+ mIF>) = lAIY>+ m AIF>let m sont des complexes.

• Somme : (A + B) IY> = A IY> + B IY>

• Produit : (AB) IY>= A (B IY>)

47

On conçoit donc que l'action du produit AB sur IY>ne donne pas en général le

même résultat que l'action du produit BA. C'est pourquoi on définit le

commutateur de A et B que le note [A,B] et est égal à AB-BA.

[A,B] = AB-BA

Si [A,B] = 0, on dit que A et B commutent.

• Soient IY>et IF>deux kets appartenant à E, le nombre complexe

<FIAIY>est appelé élément de matrice entre IF>et IY>.

• Étant donné une base, un opérateur A est représenté par une matrice

dont les éléments sont:

cas discret : { Iui > } ---> <ui I A I uj >Aij

cas continu : {IWa>} ---> <WaI A I Wa‘ >A(a,a')

i et a indices ligne; j et a' indices colonne.

48

2) opérateur adjoint de A.

• soit A un opérateur linéaire agissant sur les éléments de E, on désigne par A+

l'opérateur adjoint de A défini par:

<FI A+IY><YI A IF>* IF> et IY>E

• Dans une base, la matrice représentant A+ est donc la transposée conjuguée de

la matrice représentant A dans cette base. Par exemple dans {Iui >}:

Aij+ = <uiI A

+ Iuj ><ujI A Iui >*Aji*

• Si AIY>= If>===> <fI = <YIA+.

En effet, quelque soit Iui >appartenant à E, on a:

<fIui >= <ui If>*= <ui I A IY>*= <YIA+Iui > ===> <fI = <YIA+.

• On peut établir sans difficultés les propriétés suivantes:

(A+)+ = A , (lA)+ = l* A+ , (A + B)+ = A+ + B+ et (AB)+ = B+ A+.

49

Avec la notion de A+, on peut établir l'adjoint d'une

expression quelconque contenant tous les symboles

utilisés en notation de Dirac. Pour cela, il suffit de

remplacer ket IY>par bra <YI, bra <FI par ket IF>,

opérateur A par opérateur adjoint A+, nombre complexe

l par nombre complexe conjugué l* et inverser l'ordre

d'écriture de ces symboles

50

3) Opérateur inverse. Opérateur unitaire

• A-1 est un opérateur inverse de A si AA-1 = A-1A = 1 où 1 est

l'opérateur identité; (opérateur qui ne modifie pas le ket auquel

on l'applique: 1IY>= IY>).

Dans ces conditions, si AIY>= If > alors IY>= A-1If >

( puisque A-1 If>= A-1 AIY>= 1IY> = IY>).

• A est un opérateur unitaire si AA+ = A+A = 1 c'est à dire si son

adjoint coïncide avec son inverse.

Un tel opérateur ne modifie pas le braket, donc la norme d'un

ket.

51

4) Opérateur hermétique

Un opérateur A est dit hermétique s'il est identique à son adjoint,

soit A = A+ ou encore

<FI A IY><YI A IF>*IF> et IY>SE

Exemple:

l'opérateur projecteur P sur l'état I> défini par

P= I ><I où <I >1.

On peut alors remarquer que:

•Une combinaison linéaire à coefficients réels d'opérateurs

hermétiques est hermétique.

•Le produit de deux opérateurs hermétiques est hermétique si ces

opérateurs commutent.

52

V. R.O. et R.F. EN NOTATION DE DIRAC

• R.O. Un ensemble discret {Iui >}ou continu {IWa>}est

orthonormé si:

<uiIui >dij et <WaIWa'>d(aa')

• R.F.

{Iui >}est base ===>

IY>= Sici Iui>avec ci= <uiIY>

IY>= Si<uiIY>Iui>= (SiIui><uiI) IY>

par conséquent:

SiIui> <uiI = (opérateur identité).

De même pour le cas continu: {IWa>}constitue une base:

IY>= da.c(a)IWa>= da<WaIY> IWa>= daIWa> <WaIY>;

soit:

da IWa> <WaI = .

53

VI. VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES

D'UN OPÉRATEUR

1) Définitions

Soit A un opérateur et IY>un ket. Nous dirons que IY>est vecteur propre

de A si le transformé de IY> par action de A est un vecteur proportionnel à

IY>; soit:

A IY>lIY>létant un nombre à priori complexe).

On dit alors que lest une valeur propre de A et IY>vecteur propre associé

à cette valeur propre l. L'équation A IY>lIY>est appelée équation aux

valeurs propres de A et l'ensemble des valeurs propres constitue ce que l'on

convient d'appeler spectre de l'opérateur A; il peut être soit discret, soit

continu, soit en partie discret et en partie continu. Afin de distinguer entre

les diverses vecteurs propres de A, on utilise un indice n qui affecte aussi les

valeurs propres correspondant et l'équation aux valeurs propres se note:

A IYn>lnIYn>.

54

Si à une valeur propre donnée ln, correspond un seul ket propre (à un

coefficient de proportionnalité près), ln est dite une valeur propre simple. Si par

contre un nombre gn supérieur à 1 de kets propres linéairement indépendants

(c'est à dire dont aucun ne peut être écrit sous forme d'une combinaison linéaire

des autres) sont associés à la valeur propre ln, on dira que ln est une valeur

propre dégénérée, son ordre de dégénérescence étant égal à gn. Dans ce cas on

rajoute un autre indice, p, pour distinguer entre les différents vecteurs propres

associés à la même valeur propre et l'équation s'écrit donc en général:

A IYn, p >lnIYn, p >

Notons enfin que dans ce cas, on pourra par combinaison linéaire des gn kets

propres linéairement indépendants engendrer tout un sous-espace vectoriel,

de dimension gn, de kets qui sont tous kets propres de A pour la valeur

propre ln. Ce sous-espace, noté En, est dit "sous-espace propre" associé à la

valeur propreln.

55

2) Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d'un opérateur

soit {Iui>} une base orthonormée dans E que nous supposerons de dimension finie

N (i =1,2,3,...,N). Alors tout ket IY>peut s'écrire:

IY>= Sici Iui>,avec ci=<uiIY> et SiIui><uiI=1 (relation de fermeture).

L'opérateur A sera représenté dans cette base par ses éléments de matrice:

<uiI A Iuj >Aij.

L'équation aux valeurs propres est : A IY> l IY>. En la projetant sur les

différents kets Iui>de la base, nous aurons N équations:

<uiI A IY>l<uiIY>= lci

qui s'écrivent en insérant la relation de fermeture entre A et IY>:

Sj <uiI A Iuj ><ujIY>lci

soit : Sj Aijcj lci

ou encore : Sj ( Aijldijcj 0

56

A11lA12 A13 ............... A1N

A21 A22l A23 ............... A2N

. .

Dét . . =0

. .

AN1 AN2 AN3 ............... ANN l

Les valeurs propres cherchées sont donc les diverses racines de l'équation

en l (dite "équation caractéristique" ou encore "équation séculaire").

57

VII. OBSERVABLES. THÉOREMES FONDAMENTAUX. E. C. O. C.

Avant d'introduire de nouvelles notions, il est important de savoir que

l'intérêt des opérateurs hermétiques réside dans les deux propriétés

suivantes:

• Les valeurs propres d'un opérateur hermétique sont toutes réelles:

A hermétique: A IFn> = lnIFn>===> lnR

• Deux kets propres associés à deux valeurs propres différentes d'un

opérateur hermétique sont orthogonaux:

A hermétique A IFn> = lnIFn>etA IFm> = lmIFm>avec

ln ≠lm ===> <FnIFm>= 0

Notons que la seconde propriété ne s'applique pas aux vecteurs propres

IFn,p> correspondant à une même valeur propre dégénérée (p est l'indice

relatif à cette dégénérescence) car en général <Fn,pIFn,q> 0

58

1) observables.

soient ln et IFn,p>valeur et vecteur propre d'un opérateur A. On dira que

A est une observable si:

i) A est hermétique.

ii) L'ensemble des vecteurs propres IFn,p>de A constituent une base orthonormée

dans l'espace des états.

La condition i) implique que les valeurs propres ln de A sont réelles et la condition

ii) entraîne que les IFn>vérifient les relations:

• d'orthonormalisation <Fn,pIFm,q>= dnmdpq

• de fermeture SnSpIFn,p> <Fn,pI = 1

59

2) théorèmes fondamentaux.

Considérons deux observables A et B qui commutent, soit

[A,B] = 0.

Nous pouvons énoncer les théorèmes suivants:

• Si IY> est ket propre de A pour la valeur propre a, alors BIY> est

également ket propre de A pour la même valeur propre.

• Si IY> et IF> sont deux kets propres de A asociés à deux valeurs

propres différentes, alors l'élément de matrice <YIB IF>est nul.

• [A,B] = 0 <===> A et B ont au moins une base constituée par

des vecteurs propres communs.

60

3) E. C. O. C.

Soient A, B, ... des observables; on dit qu'elles forment un Ensemble Complet

d’Observables qui Commutent (en abrégé E. C. O. C.) si:

i) A, B,... commutent deux à deux.

ii) La donnée des valeurs propres an, bm, ..., compatibles entre elles, de A, B,...

suffit à déterminer un vecteur propre commun qui est unique, à un facteur

multiplicatif près. Autrement dit, deux vecteurs propres commun à A, B,... n'ont

pas les mêmes valeurs propres, à la fois pour A, B,...

La notion d'observables et celle d'un E. C. O. C. sont très utiles en mécanique

quantique. Comme on le verra par la suite, c'est avec une observable qu'on

représentera une grandeur physique. Les E. C. O. C. permettent en particulier de

connaître l'état d'un système physique après avoir effectuer la mesure d'une

grandeur associée au système.

61

Chapitre 3

POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

62

I. CARACTÉRISATION D'UN SYSTEME QUANTIQUE

1) Postulats

2) Conditions quantiques. Règle de symétrisation

II. POSTULATS SUR LA MESURE

1) Principe de "quantification"

2) Principe de décomposition spectrale

3) Principe de réduction du paquet d'ondes

a) Enoncés du principe

b) Compatibilité des grandeurs

III. ÉVOLUTION DANS LE TEMPS DE L'ÉTAT D'UN SYSTEME

1) Postulat

2) Cas du système conservatif

IV. VALEUR MOYENNE D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE

1) Définition

2) Evolution dans le temps. Constante du mouvement

V. THÉOREME DE HEISENBERG

1) Enoncé

2) Applications

a) Relations d'incertitude spatiales

b) Relation d'incertitude temporelle

c) Grandeurs compatibles

63

I. CARACTÉRISATION D'UN SYSTEME QUANTIQUE

1) Postulats

Pour décrire une particule en mécanique classique, on l'assimile en général à

un point matériel de masse m; son mouvement est déterminé si l'on connaît,

en fonction du temps, le vecteur position r(x,y,z) et le vecteur vitesse

v(x,y,z). Toutes les grandeurs physiques (énergie, moment cinétique...) que

l'on peut associer à la particule s'expriment en fonction de r et v. Une

particule est défini si l'on connaît en particulier son énergie et son impulsion.

Ainsi, en mécanique classique, la connaissance de l'état d'un système

physique est équivalente à la connaissance des grandeurs associées. Cette

équivalence n'a pas de sens en mécanique quantique: on distingue l'état du

système et les grandeurs physiques et on postule:

64

i) L'état d'un système physique est défini, à un instant t fixe, par la donnée

d'un ket IY(t)> appartenant à l'espace des états E; (espace de Hilbert). Il faut

noter que, comme E est un espace vectoriel, toute combinaison d'états

possibles du système est aussi un état du système (principe de superposition).

Par ailleurs, la normalisation des kets permet une interprétation physique.

ii) Une grandeur physique mesurable A est représentée par une observable A:

opérateur linéaire, hermétique et dont les vecteurs propres forment une base

orthonormée dans E. Cette observable agit sur les éléments IY(t)> de E.

Toute observable ayant un équivalent en mécanique classique se construit à

partir des observables X, Y, Z, Px, Py, Pz (position et impulsion) par la règle de

correspondance:

A (x, y, z, px, py, pz) ------------------> A (X, Y, Z, Px, Py, Pz)

65

2) Conditions quantiques. Règle de symétrisation

On sait qu'en représentation position, on a:

< r

I X I Y > x < r

I Y > e t < r

I P x I Y > i

x < r

I Y >

O n e n t i r e < r

I X , P x I Y > < r

I i

1 I Y >

soit [X,Px] = i où est l'opérateur identité

De la même façon, on établit: [Y, Py] = [Z, Pz] = i

alors que [X , Y] = [X , Z] = [Y , Z] = 0 et [Px , Py] = [Px, Pz] = [Py , Pz] = 0

66

Toutes ces relations peuvent s'écrire sous la forme

condensée:

[Rm , Pn] = i dmn

[Rm , Rn] = 0 avec m,n= x,y,z et en posant Rx=X ,

Ry=Y, Rz=Z

[Pm , Pn] = 0

Ces conditions quantiques imposent une règle de

symétrisation. En effet, on a:

xpx = pxx alors que XPx # PxX

De plus XPx (ou PxX) n'est pas un opérateur hermétique

:

67

II. POSTULATS SUR LA MESURE

1) Principe de "quantification«

Une mesure de la grandeur physique A ne peut donner comme résultat que

l'une des valeurs propres de l'observable A correspondante.

2) Principe de décomposition spectrale

Ce principe donne la règle permettant de calculer la probabilité d'obtenir

telle où telle valeur propre de A. Supposons que le spectre de A est discret,

soit {a1,a2,...an,....} l'ensemble de ses valeurs propres que l'on considère

simples et notons par IFn >le vecteur propre associé à an. Le principe est le

suivant:

La probabilité P(an) d'obtenir an comme résultat de mesure de la grandeur A

représentée par l'observable A est :

P(an) = I<Fn I Y>I2

où IY> est l'état quantique normé du système au moment de la mesure de A

68

3) Principe de réduction du paquet d'ondes

La mécanique quantique considère que, lorsqu'on fait une mesure, on perturbe

en général le système physique, c'est à dire que l'état quantique du système

n'est plus le même après la mesure qu'avant. Ce principe indique quel serait

l'état du système après la mesure.

Considérons la grandeur A représentée par l'observable A de valeurs propres an

supposées simples et de vecteurs propres IFn>et supposons qu'avant la mesure

le système est dans l'état IY> normé. On postule:

Immédiatement après la mesure, l'état quantique du système est IFn>: vecteur

propre de A associé à la valeur propre an et non plus IY>. (IFn> à un facteur de

proportionnalité près).

69

III. EVOLUTION DANS LE TEMPS DE L'ÉTAT D'UN SYSTEME

1) Postulat

Connaissant l'état quantique, IY(t0)>, d'un système à un instant t0, l'état de ce

même système à un instant t quelconque (t0<t) est l'état solution de l'équation de

Schrödinger :

où H(t), hamiltonien, est l'observable correspondant à l'énergie totale du

système. La norme du vecteur d'état d'un système reste constante au cours du

temps. C'est là une condition nécessaire de cohérence de la théorie qui découle de

l’herméticité de l'hamiltonien H. En effet, on montre facilement que:

d

d t < Y t I Y t > 0 N o r m e d e I Y t > c o n s t a n t e

i ђ d

d t I Y t > H t I Y t >

70

Remarques:

• Si le système est soumis à un champ de force

invariable dans le temps, l‘ hamiltonien est indépendant

du temps: H(t) = H.

• L'équation de Schrödinger est une équation

différentielle du premier ordre en t, la connaissance des

conditions initiales jointe à la résolution de l'équation

permet de déterminer sans ambiguïté l'état quantique

du système à un instant t quelconque à condition qu'on

n'effectue pas de mesure sur le système entre temps.

• Cette équation est linéaire, on vérifie bien que toute

combinaison linéaire est aussi solution de l'équation.

71

2) Cas du système conservatif

H ne dépend pas explicitement du temps c'est à dire que l'énergie potentielle est

indépendante du temps.

Soient IFn>et En vecteur et valeur propres de l'observable H, donc

H IFn>= En IFn>

H étant une observable ===> IY(t) >Sn cn(t) I Fn>

avec cn(t) = <FnIY(t)>et<FnIFm>dnm.

L'équation de Schrödinger s'écrit

i ђ d

d t n

c n t I F n > H n

c n t I F n >

72

i ђ n

d

d t c n t I F n >

n

c n t E n I F n >

En multipliant à gauche par <FmI, on obtient:

i ђ d

d t c m t E m c m t

soit : cm(t) = D e-iEm

t / ђ

D étant une constante que l'on détermine par les conditions initiales:

D = cm(t0) e+iE

mt0/ђ et donc cm(t) = cm(t0) e

-iEm (t-t0

)/ђ

73

En définitif, l'état quantique s'écrit:

IY(t)>Smcm(t0) e- iE

m (t-t

0)/ђ IFm>

La dépendance en t est alors parfaitement précisée.

Remarque: si à t = t0 on fait une mesure de l'énergie, et si on obtient comme

résultat Ek. Alors, selon le principe de réduction de paquet d'ondes, le système

se trouve après cette mesure dans l'état IFk> soit, pour l'état quantique

complet:

IY(t)>ck(t0) e-iEk (t-t0)/ђ IFk>

Toute autre mesure de l'énergie redonnerait avec certitude la valeur Ek.

L'énergie est donc constante au cours du temps et c'est pourquoi l'état

quantique précédent est appelé un état stationnaire. IY(t)>et IFk>ne diffèrent

que par un facteur de phase, ils sont physiquement indiscernables: deux kets

proportionnels représentent le même état physique car ils ne changent aucun

des résultats physiques.

74

Attention:

eia1IY1>représente le même état que IY1>

eia2IY2>représente le même état que IY2>

Mais

IY>l1IY1>l2IY2>ne décrit pas le même état que IF>

l1eia

1IY1>l2eia

2IY2>

sauf si a1= a2+ 2np ,(n entier) car dans ce cas, on aura :

IF>eia1(l1IY1>l2IY2> e

ia1IY>décrivant le même état

que IY>.

Donc un facteur de phase n'affecte pas les prédictions physiques

mais les phases relatives des coefficients d'un développement sont

significatives.

75

IV.VALEUR MOYENNE D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE

La mécanique quantique confère une description probabiliste à un système physique.

Il en résulte que lorsqu'un système est dans un état et que l'on effectue sur ce système

la mesure d'une grandeur A qui lui est associée, le résultat ne peut être prévu

exactement. Les seuls résultats possibles sont les valeurs propres de l'observable A

représentant la grandeur A.

Supposons que le spectre de A est discret et notons par IFn>le vecteur propre de A

associé à la valeur propre an:

une 1ère mesure de A donne a1 avec la probabilité:

P(a1) = I<F1 IY>I2

une 2ème mesure de A donne a2 avec la probabilité

P(a2) = I<F2 IY>I2

la nème mesure de A donne an avec la probabilité P(an) =I<Fn IY>I2

En statistique la valeur moyenne <A> de la grandeur A est définie par:

<A> = Sn P(an) an

76

En utilisant le postulat de décomposition spectrale, on aura:

<A> = SnI<Fn IY>I2 an = Sn<Y IFn><Fn IY> an

= <Y ISnanFn><Fn IY>=<Y ISnA IFn><Fn IY>

<Y IA (SnFn><Fn ) IY>

Comme SnIFn><FnI = 1 (relation de fermeture),

la valeur moyenne <A> de A est donc:

<A> <Y IA IY>

qui est bien une quantité réelle puisque A est hermétique.

77

Par exemple, pour un système conservatif, la valeur moyenne de l'énergie est

simplement égale à la valeur propre de l'opérateur hamiltionien associé au

système:

<H> <FnIHI Fn>En <FnIFn>En

Remarque:

Dans le cas où le spectre de A est continu, on montre que la valeur moyenne

de A est toujours donnée par <YI A IY>. (Pour cela, il suffit de faire

intervenir la densité de probabilité)

Enfin, comme en statistique, la dispersion des résultats est caractérisée par

l'écart quadratique DA moyen tel que:

(DA)2 = <(A-<A>)2> = <A2> <A>2 <YIA2 IY>(<YI A IY>2

Plus DA est faible, meilleure sera la précision de la mesure. Pour la position

par exemple, plus Dx est faible meilleure sera la localisation de la particule.

78

Evolution dans le temps. Constante du mouvement

Considérons une grandeur physique A et soit A l'observable

correspondante. La vitesse de variation pendant le temps dt de la

valeur moyenne <A> de A est :

<A >tdt <A >t

dt

d

dt<A >

d

dt <Yt I AIYt>

En utilisant l'équation de Schrödinger, on établit sans difficultés que:

d

dt<A >

1

ih < At , Ht > <

A

t >

En particulier, dans le cas où A est indépendante du temps, la vitesse de

variation dans le temps de la valeur moyenne de la grandeur A s'identifie

(au coefficient 1/i près) à la valeur moyenne de l'opérateur [A,H].

79

Remarque:

A est dite constante de mouvement si:

• A ne dépend pas explicitement du temps A

t 0

• A,H 0

alors d

dt <A > 0 <A > n' évolue pas quelque soit l' état du système.

80

V. THÉOREME DE HEISENBERG

1)Énoncé

Le produit des écarts quadratiques moyens de deux grandeurs physiques A et

B est au minimum égal à la moitié du module de la valeur moyenne, dans un

état quelconque normé, du commutateur correspondant; soit :

DA . DB 1

2 <YI A,B IY >

2) Applications

a)Relations d'incertitude spatiales

Prenons A = x et B = px ===> A = X et B = Px

Or on sait que [X,Px] = iђ1 donc:

D x . D px≥ ђ ∕ 2

81

De même pour les autres composantes on aura :

Dy . D py≥ ђ ∕ 2 et D z . D pz≥ ђ ∕ 2

Les trois inégalités constituent ce que l'on convient d'appeler les

relations d'incertitude spatiales de Heisenberg.

Ces relations affirment que l'on ne peut pas connaître en même

temps avec une grande précision la position et l'impulsion de la

particule c'est à dire si l'on affine le résultat de la précision d'une

mesure de la position, c'est au détriment de la mesure de

l'impulsion et inversement.

82

b) relation d'incertitude temporelle (ou la 4ème relation d'incertitude)

Posons B = H hamiltonien du système => (D H)2= <H2> - <H>2 = (DE)2.

L'application du théorème de Heisenberg donne:

DA . D E1/2 I <Y I [A,H] IY>I (*)

Or nous avons établi que :

soit pour une grandeur ne dépendant pas explicitement du temps:

d

d t < Y I A I Y >

1

i ђ < Y I A , H I Y > < Y I

A

t I Y >

< Y I A , H I Y > i ђ d

d t < Y I A I Y > i ђ

d

d t < A >

83

En portant dans (*) et en posant t= dt(DA/d<A>), grandeur

homogène à un temps, on obtient :

DE . t≥ ђ / 2

C'est la relation d'incertitude temporelle de Heisenberg

Cette nouvelle inégalité relie l'extension en énergie d'un système à

sa durée d'évolution caractéristique. Le contenu totalement nouveau

par rapport à la physique classique réside en l'impossibilité d'avoir

une valeur unique bien déterminée de l'énergie d'un système, même

isolé, à tout instant.

84

MÉCANIQUE

ONDULATOIRE

OU

MÉCANIQUE QUANTIQUE

DE

SCHRÖDINGER

85

INTRODUCTION

I.ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

1)Cas d'un système libre (non relativiste)

2) Cas d'un système soumis à des forces dérivant d'un potentiel

3) cas du système conservatif. Etats stationnaires

II. PAQUETS D'ONDES

1)Onde associée à une particule

2) Inégalités spectrales

3) Déplacement du paquet d'ondes. vitesse de groupe

86

INTRODUCTION

Selon le premier principe de la mécanique quantique, l'état d'un système

physique est décrit par un vecteur ket IY> appartenant à l'espace des états E. Ce

vecteur est caractérisé par ses composantes dans une base donnée, on dit aussi

dans une représentation donnée. La mécanique quantique formulée dans la

représentation position {Ir >} constitue la mécanique ondulatoire dite aussi la

mécanique quantique de Schrödinger.

Dans cette représentation, on sait qu'un ket IY>a pour composantes: <rIY>=

Y(r). Ainsi, en mécanique ondulatoire, l'état d'un système est décrit par une

fonction d'onde Y(r); (fonction de carré sommable).

87

I. ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

On sait que l'évolution dans le temps de l'état d'un système est

régi par:

i ђ

t I Y t > H t I Y t >

1)cas d'un système libre (non relativiste):

La grandeur classique associée à l'énergie d'une particule libre

(fonction de Hamilton) est: H = p2/2m. Sachant que, d'après le principe

de correspondance (P.C), la grandeur impulsion p est représentée par

l'observable P, alors H sera représentée par l'observable H = P2/2m.

Dans ce cas, l'équation ci-dessus s'écrit en représentation position:

88

< r

I i ђ

t I Y t > < r

I P

2

2 m I Y t > i ђ

t < r

I Y t > 1

2 m < r

I P 2 I Y t >

a v e c < r

I P

I Y t > i ђ

< r

I Y t > e t < r

I Y t > Y r

, t

i ђ

t Y r

, t h

2

2 m D Y r

, t

C'est l'équation de Schrödinger d'un système libre dépendant du temps

89

2) Cas d'un système soumis à des forces dérivant d'un potentiel U(r,t)

À la grandeur physique U(r,t) on fait correspondre, en mécanique quantique,

l'observable U (R,t); soit :

H(t) = P2 / 2m + U (R,t)

i ђ

t Y r

, t < r

I P

2

2 m I Y t > < r

I U R

, t I Y t >

o n s a i t q u e R

I r

> r

I r

> e t U R

I r

> U r

I r

> a v e c U R

h e r m i t i q u e

i ђ

t Y r

, t ђ

2

2 m D Y r

, t U r

, t Y r

, t

s o i t i ђ

t Y r

, t

ђ 2

2 m D U r

, t

Y r

, t H t Y r

, t

90

3) cas du système conservatif. États stationnaires

Pour un tel système: U ( r ,t) = U ( r )

i ђ

t Y r

, t h

2

2 m D Y r

, t U r

Y r

, t 1

Cherchons une solution de la forme Y( r ,t) = F( r ).f(t)

tY r

,t F r

. d

dtft et D Y r

,t ft . DF r

portons dans (1) et divisons par F(r).f(t), on aura:

i ђ 1

f d f

d t

ђ 2

2 m D F r

F r

U r

91

L'égalité n'est possible que si chacun des membres est égal à une

constante A

i ђ 1

f d f

d t A

d f

f

i

ђ A d t f t C t 0 e

i ђ A t t 0

Le rapport A/ђ est donc homogène à l'inverse d'un temps; or [h] =

[énergie] x [temps], on en déduit que A est homogène à une énergie et on pose A

= E

ђ

2

2 m D F r

F r

U r

E ђ

2

2 m D F r

U r

F r

E F r

2

C'est l'équation de Schrödinger indépendante du temps

92

La fonction d'onde totale s'écrit donc:

Y( r ,t) = C(t0) e -i E (t - t0) / ђ F(r)

Avec F (r) solution de l'équation (2) qui est une équation aux valeurs

propres de l'opérateur:

H ђ

2

2 m D U r

F( r ) est donc fonction propre de H associée à la valeur propre E :

H F( r ) = E F( r )

Dans la mesure où l'on recherche des solutions qui soit de carré sommable,

on s'attend à ce que de telles solution n'existent pas pour toutes les valeurs

de E. Le spectre des valeurs propres qui conduisent à des fonctions d'onde

normées est, dans beaucoup de systèmes, discret. Ce résultat est à l'origine

de la quantification de l'énergie.

93

Par ailleurs IY(r,t)I2 = IF(r)I2 (car E est une quantité réelle); la densité de

probabilité de présence de la particule est indépendante du temps. pour cette

raison Y( r ,t) décrit un état stationnaire.

1) Afin de distinguer entre les diverses fonctions propres de H, on utilise,

comme il a été déjà signalé, un indice n qui affectera aussi les valeurs propres

:

H Fn( r ) = En Fn( r )

===> Yn( r ,t) = Cn(t0) e -i En (t - t

0) / ђ Fn( r )

2) Comme H est un opérateur linéaire, toute fonction de la forme:

Y( r ,t) = Sn Cn(t0) e -i En (t - t0

) / ђ Fn( r )

est aussi solution de l'équation de Schrödinger générale (1).

94

3) Il est facile de retrouver l'expression générale de Y( r ,t) en partant

directement de celle du ket que nous avons établie dans le chapitre 3.

En effet, nous avons obtenu:

IY(t) >= Sn Cn(t0) e -i En (t - t

0) / ђ IFn> soit en projetant sur Ir >

< r I Y(t) >= Sn Cn(t0) e -i En (t - t

0) / ђ <rIFn>

===> Y( r ,t) = Sn Cn(t0) e -i En (t - t

0) / ђ Fn( r )

95

Nous allons ici donner une forme explicite de la fonction d'onde représentant un

système matériel et en déduire les relations d'incertitude d'Heisenberg.

1)Onde associée à une particule

Considérons une particule libre de masse m. On lui attribue une impulsion p et

elle possède au moins classiquement, une énergie purement cinétique p2/2m. En

suivant les idées de L. de Broglie, on va associer à cette particule une onde de

vecteur d'onde k = p / ђ et de pulsation = E / ђ; Cette onde sera représentée par:

Y( r ,t) = C exp i [ p . r - E (p) t ] / ђ = C exp i [ k . r - (k) t ]

II. PAQUETS D'ONDES

96

Il est clair que l'on doit associer à la particule une onde d'étendue limité

spatialement. Une telle onde est obtenue mathématiquement par superposition

d'ondes planes monochromatiques chacune est caractérisée par son vecteur

d'onde k et sa pulsation ; on lui donne couramment le nom de paquet

d'ondes. Il s'écrit:

Y( r ,t) = d3k g( k ) exp i [ k . r - (k) t ]

où g(k) est une fonction, à priori complexe, ne présentant de valeurs

notables que dans un intervalle relativement étroit centré autour d'une

valeur k0 et est pratiquement nulle en dehors de cet intervalle

97

a)relations d'incertitude spatiales.

Posant g(k) exp[- i (k) t] = G(k ,t), le paquet d'onde peut s'écrire:

Y( r ,t) = d3k G( k ,t) exp i [ k . r ]

et, on peut remarquer que les fonctions Y(r,t) et G(k,t) sont transformées

de Fourrier l'une de l'autre. Dans ces conditions, il est bien établi que

quand IG(k,t)I ne prend de valeurs appréciables que si k est voisin de k0

alors IY(r,t)I ne prend aussi à son tour de valeurs appréciables que si r est

voisin de r0; la valeur de r0 dépend de k0 et les voisinages Dk de k0 et Dr de

r0 sont étroitement lié. On montre par exemple que si (à une dimension) Dx

est l'étendue de Y(x,t) et Dkx celui de G(k,t), plus Dk.x est étroit, plus Dx est

étalé et ceci s'exprime par la relation dite inégalité spectrale spatiale:

Dx.Dkx ≥ 1 / 2

1/2

98

Cette inégalité jointe à la relation de L.de Broglie

px = ђkx donne ce que l'on convient d'appeler relation

"d'incertitude" spatiale de Heisenberg:

Dx . Dpx ђ/ 2

Dans un espace à 3 dimensions, rapporté à des axes

rectangulaires, on aurait:

Dx . Dpx ђ/2 Dy. Dpy ђ /2 Dz . Dpz ђ/2

dont le sens physique a été discuté au chapitre

précédent.

99

3) Déplacement du paquet d'ondes. Vitesse de groupe.

Plaçons nous dans le cas où seule la variable x intervient et considérons une onde

caractérisée par le facteur oscillant exp i(k.x - t). Elle se déplace sur l'axe des x

avec la vitesse v appelée vitesse de phase et est définie par:

v

k

Pour une onde électromagnétique se propageant dans le vide, on sait que =kc; par

conséquent vest indépendante de k et égale à c. Il en est de même pour un

ensemble composé d'ondes électromagnétiques, toutes se déplacent la vitesse c. Par

contre, dans un milieu dispersif la situation est différente car v= c/n(l) où n(l) est

l'indice du milieu qui varie avec la longueur d'onde l donc avec le vecteur d'onde k

(IkI= 2pl).