LE QUADRILATERE :

Quadrilatère ( n.m.) du latin quadrilaterus , de quadri, préfixe signifiant quatre , et de lateris , signifiant côté ( comme dans latéral )

Un quadrilatère est une figure constituée de quatre côtés.

Ecriture d’un quadrilatère : Un quadrilatère se notera à l’aide des quatre sommets.

Un quadrilatère est un polygone ( figure à plusieurs côtés ) qui a quatre

côtés.

THEME :

LE PARALLELOGRAMME

non convexe

Remarquons que ce quadrilatère ABCD peut également s’appeler BCDA ou CDAB ou DABC ou ADCB ou DCBA ou CBAD ou BADC

Attention , le quadrilatère dessiné ci-contre ne s’appelle pas ABCD ,

mais ABDC.

Diagonales d’un quadrilatère : Une diagonale est, pour un polygone, un segment qui joint deux sommets non consécutifs ( deux sommets qui ne suivent pas ).

Remarquons que , dans un quadrilatère croisé, une diagonale peut se situer à l’extérieur du polygone.

Un quadrilatère a deux diagonales. Il est possible, sans dessin, de déterminer les diagonales .

Côtés opposés – Angles opposés :

LE PARALLELOGRAMME :

Parallélogramme ( n.m.) du latin parallelogrammum , du grec parallêlogrammon , de parallêlos , parallèle et de grammé, ligne.

���� I. Définition Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

� Si ABCD est un parallélogramme alors les droites (AB) et (DC) sont parallèles et les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

et � Si les droites (AB) et (DC) sont parallèles et les droites (AD) et (BC) sont parallèles alors ABCD est un parallélogramme.

Remarque : Un parallélogramme est l’intersection de deux bandes ( à bords sécants )

Côtés opposés

[AB] et [CD]

sont des côtés opposés. [AC] et [BD]

sont des côtés opposés.

Angles opposés

C et A ˆˆ sont des angles opposés.

D et B ˆˆ sont des angles opposés.

Ne pas confondre angles opposés ( dans un quadrilatère ) et angles opposés par le sommet

���� II. Première propriété caractéristique du parallélogramme.

Remarque : Nous savons qu’un parallélogramme est un quadrilatère ( figure à quatre côtés ). Cette propriété n’est pas une propriété qui caractérise, qui n’appartient qu’au parallélogramme. Un trapèze quelconque est également un quadrilatère. Une propriété caractéristique est une propriété qui n’appartient et qui ne définit que la figure en question. La propriété suivante est un propriété caractéristique du parallélogramme car seul le parallélogramme a cette propriété.

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Réciproquement, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.

Si ABCD est un parallélogramme alors les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu.

Réciproquement : Si des segments [AC] et [BD] ont même milieu alors ABCD est un parallélogramme.

Si alors

Remarque importante : Le parallélogramme a donc un centre de symétrie , le point de rencontre de ses diagonales.

Ce point ( O sur le dessin ci-dessus ) , milieu des deux diagonales, s’appelle le centre du parallélogramme.

Remarque : Considérons les points A, B , C et D ( cf. dessin ) tels que O soit milieu de [AC] et milieu de [BD] .

D’après la propriété précédente, comme O est milieu de [AC ] et de [BD] , alors ABCD est un parallélogramme. Ce parallélogramme particulier ( les quatre points A, B , C et D sont alignés ) s’appelle un parallélogramme aplati .

Construction 1 : � Soient A, B et O trois points non alignés. Construire les points C et D afin que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme de centre O.

O est le centre du parallélogramme ABCD donc, d’après la propriété précédente, O est milieu des diagonales de ce parallélogramme. Donc � O est milieu de [AC] Le point C est donc le symétrique de A par rapport à O.

� O est milieu de [BD] Le point D est donc le symétrique de B par rapport à O.

Centre du parallélogramme

Construction 2 : � Soient E, F et G trois points ( non alignés ) . Construire le point H afin que EFGH soit un parallélogramme.

Comme EFGH doit être un parallélogramme, ses diagonales [EG] et [FH] ont même milieu. Nous pouvons construire ( à l’aide de la médiatrice de [EG]) le milieu O de la diagonale [EG]. Le point H que nous cherchons est le symétrique de F par rapport à O.

���� III. Seconde propriété caractéristique du parallélogramme.

Les côtés opposés d'un parallélogramme ont même longueur. Réciproquement, si un quadrilatère ( non croisé ) a ses côtés opposés de même longueur,

alors c'est un parallélogramme.

Remarque :

Cette dernière propriété est fausse si nous ne précisons pas que le quadrilatère est non croisé. Dans l’exemple ci-contre ( quadrilatère croisé – sorte de sablier ), les côtés opposés [AB] et [CD] ont même longueur ainsi que les côtés [AD] et [BC] .

Construction du parallélogramme : � Soient A, B et C trois points (non alignés dans notre exemple ) ; Construire le point D afin que ABCD soit un parallélogramme. Etape 1 : Avoir une idée de la position du point D Etape 2 : Comme dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur, le côté [CD] a la même

longueur que le côté [AB]. A l’aide du compas, il suffit de prendre la longueur AB puis de la reporter à partir du point C. Etape 3 : Comme dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur, le côté [AD] a la même

longueur que le côté [BC]. A l’aide du compas, il suffit de prendre la longueur BC puis de la reporter à partir du point A.

Etape 4 : Le point d’intersection des deux arcs de cercle est le point D recherché.

Application : construction d’une parallèle : Soit une droite ∆ et A un point extérieur à cette droite.

Construire ( à l’aide de la règle et du compas ) la parallèle à la droite ∆ passant par le point A.

Il existe déjà deux méthodes connues : � Avec une équerre que l’on fait « glisser » le long d’une règle. ( construction peu rigoureuse )

� En traçant tout d’abord une perpendiculaire à la droite ∆ ( passant ou non par le point A ) puis en traçant à nouveau une perpendiculaire à cette nouvelle droite passant par le point A. ( cf. cours sur la médiatrice )

Autre méthode :

Prenons , sur la droite ∆ , deux points B et C quelconques. Puis construisons le point D afin que ABCD soit un parallélogramme.

Comme ABCD est un parallélogramme, les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Nous venons ainsi de construire la parallèle à la

droite ∆ passant par A. Il est d’ailleurs inutile de tracer les côtés du parallélogramme.

���� IV. Troisième propriété caractéristique du parallélogramme.

Un quadrilatère ( non croisé ) ayant deux côtés opposés parallèles et de même longueur

est un parallélogramme.

Remarque : Cette dernière propriété est fausse si nous ne précisons pas que le quadrilatère est non croisé. Dans l’exemple ci-contre ( quadrilatère croisé – sorte de sablier ), les côtés opposés [AB] et [CD] sont parallèles et ont même longueur

���� IV. Quatrième propriété caractéristique du parallélogramme.

Dans un parallélogramme, les angles opposés ont même mesure. Réciproquement, si un quadrilatère ( non croisé ) a des angles opposés de même mesure, alors ce quadrilatère est un parallélogramme

Remarque : ( démonstration de la première propriété )

Les droites (AD) et (BC) sont parallèles ( ce sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD )

Les angles xBA et BAD ˆˆ sont alternes-internes

Donc les angles xBA et BAD ˆˆ ont même mesure . xBA BAD ˆˆ =

Les droites (ABD) et (DC) sont parallèles ( ce sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD )

Les angles BCD et xBA ˆˆ sont alternes-internes

Donc les angles BCD et xBA ˆˆ ont même mesure . BCD xBA ˆˆ =

xBA BAD ˆˆ = et BCD xBA ˆˆ = donc BCD BAD ˆˆ = Une même démonstration permet d’arriver à la même conclusion pour les deux autres angles opposés.

Remarque : Cette dernière propriété est fausse si nous ne précisons pas que le quadrilatère est non croisé. Dans l’exemple ci-contre ( quadrilatère croisé – sorte de sablier ), les

angles opposés C et A ˆˆ ont même mesure , ainsi que les angles opposés

D et B ˆˆ .

Remarque : Angles consécutifs

Les deux angles xBA et BAD ˆˆ ont même mesure .

°=+ 180 xBA CBA ˆˆ ( angles supplémentaires )

Remplaçons xBA ˆ par BAD ˆ . Nous avons donc :

180 BAD CBA =+ ˆˆ °

C’est à dire, en simplifiant les écritures :

180 B A =+ ˆˆ

Deux angles consécutifs ( qui se suivent) sont supplémentaires ( somme égale à 180° )

x

x

Supplémentaires

A compléter , dans les classes ultérieures

UN QUADRILATERE EST UN PARALLELOGRAMME ?

Il suffit de démontrer que les côtés opposés sont parallèles.

Il suffit de démontrer que les diagonales ont même milieu.

Il suffit de démontrer que le quadrilatère ( non croisé ) a des côtés opposés de même mesure.

Il suffit de démontrer que le quadrilatère ( non croisé ) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur.

Il suffit de démontrer que le quadrilatère ( non croisé ) a des angles opposés de même mesure.

CO

MM

EN

T D

EM

ON

TR

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E E

ST

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PA

RA

LLELO

GR

AM

ME ?

Autres propriétés, moins utilisées, fausses si le quadrilatère est croisé.

Aire d’un parallélogramme ( rappel )

AAAA = hb×