TD 1 - Plans d’onde et lois de Descartes...1 ) L’onde incidente est une onde plane : les rayons sont tous parall`eles entre eux et les surfaces d’onde sont des plans perpendiculaires

Corrections TD Optique Ondulatoire

TD 1 - Plans d’onde et lois de Descartes

Rappels :

Définition de la phase d’une onde :L’amplitude d’une onde s’écrit :

A(~r, t) = A(~r) cos(ωt− ~k · ~r + ψ0︸︷︷︸

φ(~r,t)

)

La phase au point ~r et à l’instant t est définie comme φ(~r, t) = ωt− ~k · ~r + ψ0.

Définition d’une surface d’onde :Les surfaces d’onde sont les surfaces sur lesquelles la phase de l’onde est constante.

Théorème de Malus :Les surfaces d’onde (définies comme les surfaces sur lesquelles la phase est constante) sontperpendiculaires aux rayons

λ, k, ω, f dans un milieu d’indice n :

Dans le vide Dans un milieu d’indice n

Longueur d’onde λ0 λ =λ0n

Vecteur d’onde k0 =2π

λ0k =

2π

λ= nk0

Fréquence f =c

λ0f identique

Pulsation ω = 2πf ω identique

Vitesse c c/n

Phase φ(~r, t) = ωt− ~k0 · ~r + ψ0 φ(~r, t) = ωt− ~k · ~r + ψ0

Chemin optique (AB) = AB (AB) = nAB

Couleur Couleur identique

N.B. : La couleur d’un faisceau de lumière est reliée à sa fréquence ou à sa longueurd’onde dans le vide plutôt qu’à sa longueur d’onde tout court, car la longueur d’ondedépend de l’indice alors que la couleur et la fréquence n’en dépendent pas.

1◦) L’onde incidente est une onde plane : les rayons sont tous parallèles entre eux et les surfacesd’onde sont des plans perpendiculaires aux rayons.

Ici, on note φI = φ(~rI , t) et φJ = φ(~rJ , t).

Par définition d’un plan d’onde, φI et φJ sont égales (quelque soit t)

1


2◦) Après le passage dans le milieu d’indice n2 on a toujours des ondes planes.

Preuve : Principe de retour inverse : la situation serait exactement équivalentesi les rayons se propageaient dans l’autre sens, du milieu 2 au milieu 1. On peutdonc utiliser les mêmes arguments que pour le 1◦) : les plans d’ondes sont per-pendiculaires aux rayons qui sont parallèles entre eux, on a donc une onde plane.

Σ2 est donc un autre plan d’onde et φK = φL.

3◦) φIL = φL − φI et φJK = φK − φJ :φIL = φJK

4◦) Les chemins optiques entre I et L d’une part, J et K d’autre part sont :

(IL) = n2IL, (JK) = n1JK

Ces chemins optiques se relient aux déphasages par :

φIL = −2π

λ0(IL), φJK = −

2π

λ0(JK)

(Ils s’écrivent respectivement φIL = ~k2 ·−→IL et φJK = ~k1 ·

−−→JK.) On peut exprimer IL et KJ en fonction

de IK :IL = IK sin i2, JK = IK sin i1

d’où :

φIL = φJK =2π

λ0IKn1 sin i1 =

2π

λ0IKn2 sin i2

soit :n1 sin i1 = n2 sin i2

On a retrouvé la loi de Descartes de la réfraction.

2


Phénomène d’interférences :Comment s’additionnent deux faisceaux de lumière ? En réalité, ce sont les champs électriques quis’additionnent. Le champ électrique est un vecteur : son l’orientation s’appelle la polarisation. Cetteorientation n’a rien à voir avec la direction de propagation de l’onde.

On suppose que 2 rayons se rencontrent au même point de l’espace ~r. On notera pour le calculφ1,2(~r) = −~k1,2 · ~r. Les champs électriques ”associés à chacun des rayons” sont :

~E1(~r, t) = E10 ej(ω1t+φ1(~r))~e1

~E2(~r, t) = E20 ej(ω2t+φ2(~r))~e2

Les vecteurs ~e1 et ~e2 sont des vecteurs unitaires qui donnent les directions des polarisations. Le champélectrique total en ~r est la somme des champs électriques :

~E(~r, t) = ~E1(~r, t) + ~E2(~r, t)

L’intensité d’un champ électrique en notation complexe ~E est définie par :

I = K〈~E · ~E∗〉

où 〈...〉 est la moyenne temporelle et K est un certain coefficient de proportionnalité. L’intensité I de~E(~r, t) est donc :

I = K

〈(

~E1 + ~E2

)

·(

~E∗

1 +~E

∗

2

)〉

où on a omis d’écrire les dépendances (~r, t) pour alléger. Donc :

I = K 〈~E1 · ~E∗

1〉︸︷︷︸

I1

+K〈~E2 · ~E∗

2〉︸︷︷︸

I2

+K〈~E1 · ~E∗

2〉 +K〈~E2 · ~E∗

1〉 (1)

= I1 + I2 +〈

E10E20(

ej(

(ω1−ω2)t+φ1−φ2)

+ e−j(

(ω1−ω2)t+φ1−φ2))

︸︷︷︸

2 cos(

(ω1 − ω2)t+ φ1 − φ2)

~e1 · ~e2〉

(2)

On a encore omis les dépendances en ~r de φ1,2. Dans la précédente équation, on a reconnu un termede la forme ejx + e−jx = 2 cos(x). Or, on sait que la moyenne temporelle d’un cosinus est :

〈cos(ωt+ φ)〉 =∣∣∣∣∣

0 si ω 6= 0cosφ si ω = 0

(3)

donc le dernier terme est nul si ω1 6= ω2 (voilà pourquoi ω1 = ω2 est l’une des conditions de cohérence).Ce terme est aussi nul si ~e1 ⊥ ~e2, et maximal pour des vecteurs parallèles (une deuxième condition dela cohérence est ~e1//~e2). Si ω1 = ω2 et ~e1//~e2 :

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos(

φ1(~r) − φ2(~r))

(4)

Remarques sur les notations : En ”oubliant” les polarisations ~e1 et ~e2, on fait souvent cettedémonstration avec les amplitudes complexes a1 et a2 (en prenant par exemple a1(~r, t) =E10e

j(ω1t+φ1(~r) ), on écrit alors I = K〈a1 · a∗1〉. On peut aussi montrer la formule des interférencesavec des notations réelles : ~E1(~r, t) = E1m cos

(

ω1t + φ1(~r))

. L’intensité lumineuse s’exprime en

fonction des champs réels I = K ′〈 ~E · ~E〉 : le facteur de proportionnalité K ′ n’est pas nécessairementle même que le celui de la définition avec les champs complexes.

3


TD 1 - Mesure de l’indice d’un gaz

1◦) Les 2 fentes éclairées par l’arrière sont équivalentes à 2 sources ponctuelles. Si elles sont cohérentes,il y a un phénomène d’interférences sur l’écran, sinon on ne voit que deux taches.

Cohérence de deux faisceaux/deux sources : Deux sources 1 et 2 sont dites cohérentessi elles interfèrent, ce qui arrive si :

• Elles ont la même pulsation∗ ω1 = ω2 (ou la même longueur d’onde λ1 = λ2)• Les champs électriques sont parallèles∗ (même polarisation).• Les variations de phase à l’origine peuvent être annulées∗∗.• La différence de chemin optique est inférieure à la longueur de cohérence∗∗∗ : δ < ℓc.

∗voir rappel sur le phénomène d’interférences pour les conditions 1 et 2.

∗∗On envisage que les deux faisceaux/sources proviennent de la même source. Pour simplifier : lacondition 3 revient à peu près à dire qu’au niveau de la source, les deux ondes ont la mêmephase.(Attention, cela ne dit rien sur la phase en général en tous les autres points, en particuliercette condition n’est pas équivalente à φ1 = φ2).

∗∗∗La longueur de cohérence ℓc est la taille spatiale d’un train d’onde.

→ Si les sources sont incohérentes, alors les amplitudes complexes (donc les champsélectriques) se somment atot = a1 + a2 et les intensités aussi Itot = I1 + I2.→ Si les sources sont cohérentes, alors les amplitudes complexes se somment toujoursmais pas les intensités car Itot = I1 + I2 + {un terme d’interférence} (voir rappel sur lephénomène d’interférences).

La figure suivante montre la forme des surfaces iso-phase obtenues pour 2 sources cohérentes S1 etS2 (qui s’appellent des hyperbolöıdes de révolution, définis comme le lieu des points M tels queS1M −S2M = cste). Si on place l’écran de sorte que les sources sont l’une derrière l’autre par rapportà l’écran (position E, à droite), les intersections des surfaces isophases sont des cercles concentriqueset on observe des anneaux (à cause de la symétre de révolution). Si on place l’écran parallèlement àS1S2 (position E

′, en haut), on observe des franges rectilignes (au milieu de l’écran).

Ici, l’écran est parallèle à F1F2 donc on observe des franges d’interférence rectilignes parallèles.La formule de l’intensité sur l’écran le long de l’axe entre les fentes est (formule valable pour 2 sources

4


ponctuelles cohérentes rayonnant la même intensité) :

I(x) = 2I0(

1 + cos(φ(x))

= 2I0

(

1 + cos

(2π

λδ(x)

))

où φ(x) est le déphasage entre le rayon 1 et le rayon 2, δ est la différence de chemin optique.

O

F1

F2

M

x

zy

D

t/2

x,y

t/2

C1

C2

L

1

2

2◦) Il n’y a pas de déphasage entre les rayons avant l’arrivée sur les fentes car ils ont exactement lamême histoire. Calculons la différence de marche entre deux rayons 1 et 2 issus l’un de F1, l’autre deF2 qui se rejoignent en un point M de l’écran.

x0

δ(M) = (F1M) − (F2M)= nF1M − nF2M= F1M − F2M

Coordonnées (par rapport au point O = centre de l’écran percé) :

F1

t/200

F2

−t/200

M

xyD

F1M =√

(x− t/2)2 + y2 +D2

On suppose que D ≫ x, y, t. On utilise le DL :√

1 + u = 1 + u2 + ou→0(u).

F1M = D

√√√√√√

1 +

(x

D− t

2

)2

+y2

D2︸︷︷︸

u

≃ D(

1 +x2

2D2+

t2

8D2− xt

2D2+

y2

2D2

)

De même,

F2M ≃ D(

1 +x2

2D2+

t2

8D2+

xt

2D2+

y2

2D2

)

5


d’où :

δ(x, y) = −2D xt2D2

δ(x, y) = −xtD

Remarque 1 : Le signe ”-” est dû au fait qu’on a calculé δ(M) en faisant ”rayon 1 - rayon 2”. Cetteconvention n’a aucune importance car δ va ensuite aller dans un cosinus (pour calculer l’intensité) quiest une fonction paire : on a bien la même intensité si on est parti sur ”rayon 2 - rayon 1” (il arrived’ailleurs fréquemment qu’on trouve cette autre convention : peu importe). Toutefois, attention : dansla suite de l’exercice, on va être amenés à sommer cette différence de marche avec une autre : il fautbien sûr que l’autre δ soit calculé aussi en faisant ”rayon1 - rayon 2”.

Remarque 2 : Cette différence de marche ne dépend que de x : l’intensité sera donc modulée uni-quement dans la direction x. On pouvait se passer de donner une coordonnée y au point M puisquefinalement le résultat n’en dépend pas du tout.

3◦) I(x, y) = 2I0

(

1 + cos(

2πλ δ))

.

Définition d’une interfrange :L’interfrange est la distance entre 2 franges brillantes ou 2 franges sombres. Autrement dit,c’est la distance minimale entre 2 points A et B telle que :

∆φ = φ(B) − φ(A) = 2π∆δ = δ(B) − δ(A) = λ∆p = p(B) − p(A) = 1

Ainsi, l’interfrange sur l’écran i = |x − x′| est tel que |δ(x) − δ(x′)| = λ soit∣∣∣

xtD − x

′tD

∣∣∣ = λ. On en

déduit :

i = x− x′ = λDt

A.N. :

i =0.589 · 10−6 × 2

1 · 10−2 = 1.2 · 10−4 m ≃ 0.12 mm

4◦) L’indice fortement de la pression. Par exemple, si la cuve est remplie lentement, l’indice augmenteégalement lentement avec la pression.

O

F1

F2

M

x

zy

C1

C2

L

nNH3

n = 1

1

2

Il y a maintenant une différence de marche supplémentaire avant les fentes. Pendant que le rayon 1traverse une distance L dans le vide d’indice n = 1, le rayon 2 fait une distance L dans un milieud’indice nNH3 , cette différence de marche est donc (en faisant encore ”rayon 1 - rayon 2”) :

(1 × L) − (nNH3 × L) = L(nNH3 − 1).

6


La différence de marche totale est alors : δ′(x) = δ(x) + L(1 − nNH3).

Réponse à la question supplémentaire de la fin de l’exercice :

L’ajout d’une différence de chemin optique indépendante de x ne change pas l’interfrange. Par contre,cette modification en bloc de la différence de chemin optique en chaque point de l’écran décale la figured’interférence.

δ=0

δ=0

δ=0

x0

Pour s’en rendre compte, on cherche de combien s’est décalée la frange de différence de chemin optiqueégale à 0. Avant remplissage de C2 :

δ(x) = −xtD

= 0 ⇒ x = 0 (5)

Après remplissage :

δ′(x) = 0 = −xtD

+ L(1 − nNH3) ⇒ x = −LD

t(nNH3 − 1) < 0.

La frange en question s’est donc déplacée vers les x négatifs (de 0 vers −LDt (nNH3 − 1)). Si la cuve estremplie doucement, on voit un déplacement lent en bloc de la figure d’interférence au fur et à mesureque nNH3 augmente.

5◦) 17 franges délimitent 16 interfranges. Un décalage de la figure d’interférences de ∆x = 16 inter-franges correspond à :

— un déphasage ∆φ = 16 × 2π— une variation de la différence de marche de ∆δ = 16λ— une variation de l’ordre d’interférence ∆p = 16.

On a donc :|∆δ| = |δ′(x) − δ(x)| = 16λ = |L(nNH3 − 1)| = +L(nNH3 − 1)

(Attention : l’exercice ne précise pas dans quel sens se décale le système de franges, mais on saitmaintenant que la différence de chemin optique varie de −16λ ! On a mis des valeurs absolues pour nepas se tromper). Ainsi :

nNH3 =16λ

L+ 1

L’indice de l’ammoniac vaut :

nNH3 =16 × 0.589 · 10−6

1 · 10−2 + 1 = 1, 0009424

On peut évaluer la précision sur cette mesure en supposant qu’on a une incertitude d’une demi-interfrange. On a alors une incertitude :

δnNH3 =0.5 × 0.589 · 10−6

1 · 10−2 = 0.00002945

On a donc mesuré :nNH3 = 1.000942 ± 2.9 · 10−5

7


TD 1 - Vélocimétrie

Le montage est constitué d’une lentille brisée en deux en son milieu et dont les deux moitiés sontécartées l’une de l’autre. Entre les 2 moitiés écartées, on positionne un petit écran de sorte à couperles rayons directs qui arrivent sur le montage.

e

Préambule : Image d’un objet situé à 2f ′ d’une lentille :

B

A

B’

A’Of’ f’ f’ f’

Relation de Descartes :1

OA′− 1OA

=1

f ′

1

OA′+

1

2f ′=

1

f ′→ OA′ = 2f ′

Par application du théorème de Thalès on a également AB′ = AB.

On appelle ces conditions (où l’objet et l’image sont éloignées de la lentilles de 2f ′ du centre de lalentille) les conditions de Silbermann. Conclusion : Dans les conditions de Silbermann, l’image estaussi à 2f ′ de la lentille, et fait la même taille que l’objet.

A]1◦) Chaque lentille produit une image de la source S1, S2, qui sont éloignées horizontalement duplan des lentilles de 2f ′ et verticalement de e/2 des axes optiques passant par O1 et O2 (voir schéma).Ces deux images de la source constituent deux sources ponctuelles ”virtuelles”, de sorte que le montageest équivalent à deux fentes devant une source. Ainsi, ce montage est équivalent à un montage defentes d’Young S1 et S2 écartées de 2e l’une de l’autre et éloignées de 4f

′ de la (”vraie”)source.

8


f’ f’f’ f’

O1

O2

S1

S2

S

e/2

e/2

e/2

e/2

L’interfrange est donnée par la même formule que dans l’exercice 1 : i = λ×{distance fentes-écran}{distance entre fentes} :

i =λ(L− 2f ′)

2e

2◦) On n’observe de franges que là où se rencontrent des rayons issus des 2 sources virtuelles. Pourdéterminer le champ d’interférence, on trace les rayons extrêmes arrivant sur chaque demi-lentille pourdélimiter les 2 faisceaux correspondants.

O1

O2

S1

S2

S

Champ d’interférences

Lmin

On voit que si l’écran se situe à moins qu’une distance minimale Lmin des lentilles, le champ d’in-terférence n’intersecte pas l’écran. On ne verra alors pas d’interférences (mais 2 taches correspondantaux images défocalisées de S par chaque demi-lentilles).

9


2f’O1

O2

S1

S2

S

e/2

Lmin

e/2

Φ/2θ

θ

H

K

JO

tan θ =φ/2 − e/2

2f ′dans le triangle S1HK

tan θ =φ/2 + e/2

Lmindans le triangle OKJ

d’où on tire en identifiant :

Lmin = 2f′ φ/2 + e/2

φ/2 − e/2A.N. :

Lmin = 2 × 0.50.04/2 + 0.001/2

0.04/2 − 0.001/2 = 1.05 m

3◦)

i =λ(L− 2f ′)

2e

A.N. :

i =0.5 · 10−6(1.5 − 0.5)

2 × 1 · 10−3 = 125µm

B]4◦) Le détecteur utilisé pour mesurer une intensité lumineuse s’appelle une photodiode. Une pho-todiode produit un courant ou une tension proportionnelle à l’intensité optique incidente. On placeune photodiode à un endroit où il n’y a normalement pas de lumière. En passant dans le champ d’in-terférence, la particule diffuse un flux lumineux (proportionnel à l’intensité qu’elle reçoit) dans toutesles directions, notamment vers ce détecteur :

Idiff(x, y) = αI(x, y)

si (x, y, L) est la position de la particule.

10


S

oscillo

PhotodiodeI (t)diff

La différence de chemin optique en un point repéré par x est celle d’un dispositif de fentes d’Young,soit, comme dans l’exercice 2 : δ(x) = x{écart entre fentes}{distance fentes-écran} , soit ici :

δ(x) =2ex

L− 2f ′ . (6)

L’intensité I(x, y) dans le plan d’évolution de la particule est donnée par la formule des interférences(ici comme dans l’exercice 2 cette intensité ne dépend que de x) :

I(x) = 2I0

(

1 + cos

(2π

λδ

))

= 2I0

(

1 + cos

(2π

λ

2ex

L− 2f ′))

I0 représente l’intensité totale arrivant sur une demi-lentille.

La position de la particule est

V t+ x00L

, l’intensité reçue par le détecteur est alors modulée lorsque

la particule traverse le champ d’interférence :

Idiff(t) = αI0

(

1 + cos

(2π

λ

2eV t

L− 2f ′ + φ0︸︷︷︸2π

λ

2ex0L

))

0

α4I0

I (t)

t

diff

Ainsi on détecte un signal de fréquence :

f =2eV

λ(L− 2f ′) =V

i

On remarque la conversion entre fréquence temporelle f et spatiale 1/i.

En mesurant cette fréquence, on peut donc déterminer V , les autres paramètres étant connus puisquece sont ceux utilisés pour le montage (L, e, f ′). Pour la mesurer, on branche la photodiode sur unoscilloscope et on mesure la tension à ses bornes, qui est proportionnelle à l’intensité reçue Idiff :

Vphot(t) = βIdiff(t)

11


5◦) Le détecteur a une fréquence de coupure fmax = 10 kHz. Cela signifie qu’au-delà de cette fréquence,le rapport de conversion β (qui dépend de la fréquence de Idiff) du détecteur entre l’intensité reçueIdiff et la tension de sortie, est très atténué.

Cela impose une limite supérieure à la vitesse détectable :

Vmax =λ(L− 2f ′)

2efmax = ifmax

A.N. : Vmax = 125 · 10−6 × 10 · 103 = 1.25 m · s−1

TD 2 - Diffraction à l’infini

1◦) Sur l’écran Ei, on voit apparâıtre une figure de diffraction. Il s’agit de la diffraction de Fraunhöfer(diffraction ”en l’infini”) et non de Fresnel (diffraction ”à distance finie” de la fente) car l’écran estplacé au plan foyer objet d’une lentille. La lentille projette alors sur l’écran la figure de diffractionobtenue en l’infini, c’est-à-dire la figure de diffraction de Fraunhöfer. L’intensité en un point M(x, y)est donnée par la formule de la diffraction de Fraunhöfer par une fente mince :

I(M) = I0 sinc2(πax

λf ′

)

= I0 sinc2(

πau)

M

x

zyf’

(x,y)

f’

S O

Pkikd

θ

θ

On peut démontrer cette formule en appliquant le principe de Huygens-Fresnel :

12


Principe de Huygens-Fresnel :Amplitude en M diffractée par une fente de forme quelconque dans le plan (x, y) (O est unpoint fixe de la fente, P est un point qui parcourt toute la fente et dS(P ) est l’élément desurface autour de P ) :

a(M) = C

∫∫

fenteaO(M) e

j[(φS→P + φP →M) − (φS→O + φO→M)] dS(P )

avec C une constante homogène à l’inverse d’une surface. Les déphasages valent∗ :

φS→P =−→SP · ~ki

φP →M =−−→PM · ~kd

φS→O =−→SO · ~ki

φO→M =−−→OM · ~kd

avec ~ki le vecteur d’onde des rayons incidents sur la fente et ~kd celui des rayons diffractés.On en déduit une expression un peu plus simplifiée du principe de Huygens-Fresnel :

a(M) = C

∫∫

P ∈fenteaO(M) e

j[−−→OP · (~ki − ~kd)] dS(P )

∗ Remarque : dans la définition initiale des déphasages, ils étaient définis comme φS→P = −~ki ·−→SP :

avec un signe moins, mais, comme on l’a déjà vu, les signes des déphasages et des différences de

marche ne sont pas pertinents, tant qu’on utilise la même convention pour tous les déphasages d’un

problème.

Signification physique de la formule du principe de Huygens-Fresnel : Le principede Huygens-Fresnel dit que chaque point de l’ouverture d’un écran percé placé devant unesource se comporte lui-même comme une source. Comme ce sont des sources cohérentes,on a seulement le droit de sommer les amplitudes dues à chacun de ces points, et pas lesintensités (voir le rappel sur le phénomène d’interférence). L’amplitude totale en M s’écritdonc comme la somme des contributions à l’amplitude en M de chaque source secondairePi :

atot = aP1(M) + aP2(M) + aP3(M) + ... (7)

On suppose que les amplitudes aPi(M) dues à tous les points Pi ont le même module (chaquesource secondaire émet autant de lumière), et un certain déphasage par rapport à l’amplitudeen O qui vaut φS→Pi→M −φS→O→M = (φS→Pi + φPi→M ) − (φS→O +φO→M ). Notons le φPimomentanément pour simplifier. On écrira alors la contribution de la source secondaire Pià l’amplitude en M :

aPi(M) = aO(M)ejφPi (8)

L’amplitude totale en M est alors :

atot = a(O)∑

i

(

ejφPi)

(9)

et comme il y a en fait une continuité de points sources sur les fentes, on aura une intégrale(double, sur toute la surface de la fente) plutôt qu’une somme discrète, d’où la formuledonnée.

13


On considère un point M(x, y) de l’écran (Ei) : les rayons qui arrivent en M (passent par le mêmepoint du plan foyer objet de (L2) donc) sont parallèles avant (L2). On note θ leur angle avec l’axeoptique. On note P un point de la fente :

P

dS(P)

O

x

y

a

b

−−→OP =

xPyP0

~ki =2π

λ

001

~kd =2π

λ

sin θ0

cos θ

a(M) = Ca0(O)

∫ b/2

y=−b/2

∫ a/2

x=−a/2e−j 2π

λsin θ xP

dxP dyP (10)

= Ca0(O)b

∫ a/2

x=−a/2e−j 2π

λsin θ xP

dxP (11)

Ce calcul est fait dans les outils mathématiques, on a donc :

a(M) = Ca0(O) ba sinc(πa sin θ

λ

)

et on a en considérant le rayon arrivant en M et passant par le centre de (L2) :

tan θ =xif ′

≃ θ ≃ sin θ

donc :a(M) = Ca0(O) ba sinc

(πaxiλf ′

)

L’intensité est par définition :I(M) = Ka(M)a∗(M)

avec K un facteur qui tient compte, entre autres, de la fonction de réponse du détecteur ou de l’écran,d’où :

I(M) = KC2|a0(O)|2 (ba)2︸︷︷︸

I0

sinc2(πaxiλf ′

)

= I0 sinc2(πaxiλf ′

)

= I0 sinc2(

πau)

2◦)a) On translate la fente de h selon l’axe x. On peut reprendre le calcul de l’amplitude en remplaçant :

∫ a/2

x=−a/2→

∫ h+a/2

x=h−a/2

14


D’après les résultats des outils mathématiques, cela revient à multiplier l’amplitude par un facteur dephase :

a(M) → ej2πhxi

λf ′ a(M)

a∗(M) → e−j2πhxi

λf ′ a∗(M)

I(M) → e−j2πhxi

λf ′ ej

2πhxiλf ′ I(M) = I(M)

Le facteur de phase disparâıt lorsqu’on prend le module au carré de l’amplitude pour trouver l’intensité.Conclusion : lorsqu’on translate la fente, la figure de diffraction n’est pas modifiée.

2◦)b) La figure de diffraction est perpendiculaire à l’axe ”de la fente” (l’axe selon lequel la fente estle plus allongée). Lorsqu’on fait tourner la fente dans son propre plan, la figure de diffraction tourneégalement sur elle-même du même angle.

2◦)c) La tache centrale est de taille 2λfa (entre les 2 premiers minima de la fonction sin ou sinc2). Si

a augmente, la figure de diffraction est donc resserrée.

3◦) On n’a plus des rayons en incidence normale sur l’écran qui porte la fente :

M

x

zyf’

(x,y)

f’

S

O

Pki kd

θ

θ

θ


4◦) Cas de sources incohérentes : Si les sources dont incohérentes, on peut sommer les intensités(et uniquement dans ce cas). On a alors 2 sinc2, centrés, l’un en xA0 et l’autre en xB0 . On ne lesdistingue que s’ils sont séparés de plus d’une demi-largeur de la tache centrale (c’est le critèrede Rayleigh).

Les premiers minima de part et d’autre de x = 0 de sinc2(

πaxλf ′

)

sont les mêmes que ceux de sin, ils

sont obtenus pour x± = λf ′a . La largeur totale de la tache de diffraction est donc :

∆x =2λf ′

a

On distingue les taches de diffraction si elles sont distantes de plus de la demi-largeur λf′

a donc pour :

|a0 − b0| <λf ′

a

Comparaison des cas de l’ouverture circulaire et de la fente rectangulaire :

Dans le cas d’une lunette astronomique, ce sont les bords de la lentille-objectif qui diffractent,qui est en général circulaire. La diffraction est alors la même que si on avait un écran percéd’un trou circulaire. Dans ce cas, la figure de diffraction s’appelle une tache d’Airy. Lafigure suivante représente une ouverture circulaire et une fente rectangulaire et les figuresde diffraction correspondantes si chaque ouverture est éclairée par 1 source ponctuelle ou 2sources ponctuelles (incohérentes).

M1 M2

M1 M2

1.22 f’λ

D

Dr =

r

λf’

a

d

d =

a

Dans le cas de l’ouverture circulaire, le critère de Rayleigh s’écrit alors :

||−−−−→M1M2|| >1.22λf ′

D

avec D le diamètre de l’ouverture ou de la lentille.Dans le cas de la fente rectangulaire, le critère de Rayleigh s’écrit :

||−−−−→M1M2|| >λf ′

a

Cas de sources cohérentes : Si A0 et B0 sont des sources cohérentes, il peut y avoir des interférencesentre les figures de diffraction. Appelons aA0(M) (resp. aB0(M)) la contribution à l’amplitude en Mde la source A0 (resp B0). Les amplitudes se somment :

a(M) = aA0(M) + aB0(M)

16


L’intensité vaut alors :

I(M) = K

[

aA0(M)aA0∗(M) + aB0(M)aB0

∗(M) + 2ℜ(

aA0(M)aB0∗(M)

)

︸︷︷︸

Terme d’interférence

]

Notons I0 l’intensité des sources a0 et b0 la position des sources :

I(M) = I0

[

sinc2(πa(xi − a0)

λf ′

)

+ sinc2(πa(xi − b0)

λf ′

)

+ 2 sinc(πa(xi − a0)

λf ′

)

sinc(πa(xi − b0)

λf ′

)

︸︷︷︸

Terme d’interférence

]

soit une figure de diffraction centrée en a0, une en b0 et un terme d’interférence.

— Si |a0 − b0| ≫ λfa , les 2 sinc du terme d’interférence ne seront jamais non-nuls en même tempsdonc le terme d’interférence peut être négligé. On a juste 2 figures de diffraction.

— Si |a0 − b0| ≃ λfa , le terme d’interférence ne peut pas être négligé. L’intensité n’est plus lasomme des intensités de A0 et B0.

— Si |a0 − b0| ≪ λfa , l’interférence est maximale : l’intensité est alors :

I(M) = 4I0 sinc2(πa(xi − a0)

λf ′

)

soit 2 fois plus élevée que la simple somme des intensités.

Les minima secondairesinterfèrent destructivement

Interférenceconstructricedes figures

Pas (peu) d’interférence

4I0

3I0

2I0

I0

0

4I0

3I0

2I0

I0

0

4I0

3I0

2I0

I0

0λf’a

λf’a

- -xA0-xB0

0 -xA0-xB0

0 -xA0-xB00

x

Inte

nsité

x x

y

x

y

x

y

x

On ne distinguepas les pics

TD 2 - Le dispositif des fentes de Young

P

x

zyf’

(x,y)

f’

S

kikd

θ

θ

O

F1

F2

a

a

2b

1◦) On a à la fois de la diffraction et des interférences. Si les fentes sont infiniment fines, la tachecentrale de diffraction est infiniment large, elle recouvre tout l’écran. Par conséquent, on ne voitpas ses bords, on peut ”oublier” la diffraction et il reste simplement des franges d’interférencesperpendiculaires à x (l’axe entre les fentes). On a juste :

I(P ) = 2I0

(

1 + cos

(2π

λ

xP (2b)

f ′

))

(12)

17


2◦) On prend maintenant en compte la diffraction. Sur l’écran, on aura alors des franges d’interférencesà l’intérieur d’une figure de diffraction. On va le montrer par le calcul.

On cherche à écrire l’intensité en P un point de l’écran I(P ) = Ka∗(P )a(P ). On cherche donc a(P )l’amplitude de l’onde lumineuse en P . Les amplitudes se somment (toujours) donc :

a(P ) = aF1(P ) + aF2(P )

où aF1(P ) représente l’amplitude diffractée par la fente F1. Autre manière de le voir : on calculel’amplitude totale a(P ) en appliquant le principe de Huygens Fresnel, c’est-à-dire en faisant l’intégraledouble sur toute la surface ”ouverte” de l’écran percé, soient les deux fentes. On peut découper cetteintégrale en 2, une pour F1 et une pour F2.

R

dS(R)

O

x

y

2b

2c

aF1(P ) = Ca0

∫∫

R∈F1ej(

~ki−~kd)·−→OR dS(R)

R est un point qui parcourt toute la surface la fente lorsqu’on intègre (analogue au P du cours maisici P est déjà le point de l’écran).Paramétrage :

−−→OR =

xRyR0

~ki =2π

λ

001

~kd =2π

λ

sin θ0

cos θ

≃ 2π

λ

θ01

≃ 2π

λ

xPf ′

01

avec xP la coordonnée de P selon x. On a utilisé tan θ =xPf ′ ≃ θ ≃ sin θ.

On reporte dans le principe de Huygens Fresnel. La fente F1 est de dimensions (on pose) 2c × 2b ,attention aux bornes car elle n’est pas centrée en x = 0 :

aF1(P ) = Ca0

∫ c

yR=−c

∫ a+b

xR=a−be

−j 2πλ

xP xRf ′ dxRdyR

= Ca02c

∫ a+b

a−be

−j 2πλ

xP xRf ′ dxR

= Ca0(2c)(2b)e−j 2π

λ

axPf ′ sinc

(π

λ

xP (2b)

f ′

)

(cf.f outils mathématiques pour la dernière intégration). Pour la fente F2, on remplace :

∫ a+b

a−b→

∫ −a+b

−a−b

soit :

aF2(P ) = Ca0(2c)(2b)e+j 2π

λ

axPf ′ sinc

(π

λ

xP (2b)

f ′

)

18


L’amplitude totale est :

a(P ) = aF1(P ) + aF2(P )

= Ca0(2c)(2b) sinc(π

λ

xP (2b)

f ′

)

︸︷︷︸

diffraction

(

e+j 2π

λ

axPf ′ + e

+j 2πλ

axPf ′

)

︸︷︷︸

interférences

= Ca0(2c)(2b)sinc(π

λ

xP (2b)

f ′

)(

2 cos

(2π

λ

axPf ′

))

L’intensité est alors :

I(P ) = |Ca0|2(4bc)2︸︷︷︸

I0

sinc2(π

λ

xP (2b)

f ′

)

× 4(

cos

(2π

λ

axPf ′

))2

et en utilisant cos2 a = 1+cos 2a2 :

I(P ) = 2I0 sinc2(π

λ

xP (2b)

f ′

)

︸︷︷︸

diffraction

(

1 + cos

(2π

λ

(2a)xPf ′

))

︸︷︷︸

interférences

On trouve donc un produit de la figure de diffraction et de la figure d’interférences dans le cas où onconsidère les deux phénomènes.

On veut représenter la figure obtenue. Les premiers minima de la figure de diffraction sont en xP =±λf ′/(2b) donc la taille de la tache centrale de diffraction est :

∆x =λf ′

b

L’interfrange des interférences est par ailleurs :

i =λf ′

2a

Si a = 4b, on a donc :∆x

i= 8

Il y a donc 8 interfranges à l’intérieur de la tache centrale de diffraction.

2I0

I0

00λf’

(2b)-λf’

(2b)-2 λf’

(2b)λf’

(2b)2

Inte

nsité

x

λf’(2a)

19


TD 3 - Analyse d’une figure de diffraction

Figure de diffraction : (croix) rectangulaire plus haute que large, alignée avec les axes verticalet horizontal, donc les ouvertures sont rectangulaires plus larges que hautes, alignées avec les axesvertical et horizontal.

La largeur de la tache est h = 2λDa , où a est la largeur de la fente. Donc :

a =2λD

h. (13)

On mesure h = 6 cm donc a ≃ 21µm.

Idem pour la hauteur L = 8 cm de la tache/la hauteur b de la fente : b ≃ 16µm.

Figure d’interférence : Franges rectilignes inclinées de 45◦ par rapport à l’horizontale. Il y a doncdeux ouvertures. L’axe entre les deux ouvertures est perpendiculaire aux franges donc incliné de -45◦

par rapport à l’horizontale.

L’interfrange vaut i = λDt où t est l’écartement entre ouvertures. Donc :

t =λD

i. (14)

On mesure i = 1.4 cm, soit t ≃ 45µm.

TD 3 - Examen de figures de diffraction

a) • Tache de diffraction carrée → trou carré• Pas d’interférence → une seule ouverture

→ 6

b) • Tache de diffraction rectangulaire plus haute que large → trou rectangulaire plus large quehaut

• Pas d’interférence → une seule ouverture→ 4

c) • Tache de diffraction ronde (tache d’Airy) → trous circulaires• Franges d’interférence rectilignes → deux ouvertures (axe entre ouvertures perpendiculaire

aux franges)→ 2

d) • Tache de diffraction ”illimitée” verticalement → fentes ”infiniment” fines dans le de lalargeur (horizontal) = fentes fines verticales

• Franges d’interférence rectilignes → deux ouvertures (axe entre ouvertures perpendiculaireaux franges)→ 3

TD 3 - Association d’une pupille diffractante et de sa figure de dif-

fraction à l’infini

• a → 3• b → 4• c → 2• d → 1

20


TD 3 - Diffraction par deux ouvertures

La figure de diffraction est circulaire (tache d’Airy) donc les ouvertures sont circulaires. Il y a desfranges rectilignes verticales donc il y a deux ouvertures disposées l’une à côté de l’autre surl’axe horizontal.

Le diamètre de la tache de diffraction est environ

a = 1.22λ f ′

d, (15)

où d est le diamètre de l’ouverture. Ainsi

d = 1.22λ f ′

a. (16)

On mesure a ≃ 15 mm soit d ≃= 260µm.

Cela correspond à 13 franges soient 12 interfranges, donc i ≃ 1.25 mm. L’interfrange vaut pour destrous d’Young

i =λ f ′

t, (17)

où t est l’écart entre trous. Donc t = λ f′

i soit t ≃ 2.5 mm.

TD 3 - Interférences à N ondes à l’infini par une lame de verre

1◦) Coefficients de réflexion et de transmission en énergie avec n1 = 1 et n2 = 1.5 :

R =(n1 − n2)2(n1 + n2)2

= 0.04 (18)

T = 1 −R = 0.96 (19)

Le verre réfléchit très peu d’énergie et en transmet beaucoup.

2◦) Le premier faisceau réfléchi ne subit qu’une réflexion, donc son intensité I1 est :

I1 = RI0 (20)

Le pième faisceau réfléchi (p > 0) subit 2 transmissions et 2p− 3 réflexions :

Ip = T2R2p−3I0 (21)

Le pième faisceau transmis subit 2 transmissions et 2p− 2 réflexions :

I ′p = T2R2p−2I0 (22)

3◦) Ces faisceaux sont cohérents car ils proviennent de la même source (sauf peut-être ceux qui sesont réfléchis de très nombreuses fois, de telle sorte que δ > ℓc la longueur de cohérence, mais leurintensité diminue aussi avec le nombre de réflexions).

Les faisceaux réfléchis sont tous parallèles entre eux, les faisceaux transmis sont tous également pa-rallèles entre eux. Ils ”se croisent en l’infini” – autrement dit, les faisceaux réfléchis interfèrent enl’infini du côté de la source, les faisceaux transmis interfèrent en l’infini de l’autre côté.

Il s’agit d’un dispositif à division d’amplitude.

21


4◦) Les franges d’interférences sont également invariantes par rotation autour de la normale à la lame :ce sont des cercles concentriques.

5◦)Le verre transmet beaucoup de lumière et en réfléchit peu : on a plus de lumière du côté desfaisceaux transmis.

Le contraste est d’autant plus important que les intensités des faisceaux qui interfèrent sont proches.Le premier faisceau transmis a une intensité :

I ′1 = T2I0 = 0.92I0, (23)

et le deuxième :I ′2 = T

2R2I0 = 0.0015I0, (24)

il est donc environ 650 fois moins brillant. Les suivants sont encore moins brillants, ils ne sont pasdéterminants pour le contraste.

Le premier faisceau réfléchi est peu intense :

I1 = RI0 = 0.04I0, (25)

et le deuxième :I2 = T

2RI0 = 0.037I0, (26)

ils ont donc presque la même intensité. Le contraste est donc bien plus important du côté réflexion.6◦) Dans ce cas, T = 1 −R = 0.1 :

I ′1 = T2I0 = 0.01I0, (27)

et le deuxième :I ′2 = T

2R2I0 = 0.0081I0, (28)

Les faisceaux transmis sont d’intensité faible mais proches les unes des autres.

I1 = RI0 = 0.9I0, (29)

et le deuxième :I2 = T

2RI0 = 0.009I0, (30)

Les faisceaux réfléchis sont intenses mais le deuxième est déjà 100 fois moins intense que le premier.Il y a alors plus de lumière côté réflexion mais plus de contraste côté transmission.

22

Documents

TD 1 - Plans d’onde et lois de Descartes...1 ) L’onde incidente est une onde plane : les rayons sont tous parall`eles entre eux et les surfaces d’onde sont des plans perpendiculaires