Partie 1

Géométrie des masses

b Inerties

Cours de Dynamique

Kg.m2

S

r

M

()O

P

r

r

r1-5

1-5-1

ABC

x

z

y

xy

z

O

M(x,y,z)

S

r

M

()O

P

1-5-2

1-5-3

S

r

M

()O

PABC

DEF

xy

z

O

xM(x,y,z)

z

y

1-5-3

d

(S)

(a, b, 0)

H

()

G

x

y

z

M(x, y, z)

(G)

coupant le plan z= 0 en (a, b, 0)

d’

(’)

avec IG= I-md2

1-6

1-6-1

1-6-2

b ab a

F m.abG M(x, y, z)

a

b

M(x, y, z)

HOu

()

x

z

y(S)

On note que r = || OM || . |sin()|et que || OM u || = || OM || . |sin()|

r

1-6-3

1-7

1-7-1

M(x, y, z)

HO u()

x

z

y(S)

1-7-2

2 2

2 2

2 2 2

xy y z zxx x x y z

y y .dm y z x .dm x xy yz z .d  m

z z z x y xz x y z

2 2

2 2

2 2

(y z )dm xy.dm zx.dm

xy.dm (z x )dm yz.dm .  

zx.dm yz.dm (x y )dm

2 2

2 2

2 2

y z xy zx

xy z x yz .d  m

xz yz x y

1-7-3

M xyz

M’xy-z

O

(S)

xy

z1-7-4

M

O

(S)

y

z

x

O

yx

M

z

(S)

G

y

z

x

h/2

h/2

R

G

y

z

x

R

h

G

y

z

x

R

Gy

z

xa

b

c

G

y

z

x

R

G

y

z

x

h/2

h/2

r0

x y

z

G

ca

b

x

y

z

G R r

1-7-5 Opérateurs et formes géométriques de base

cb

a

O

x

y

z

c

b

a

(S)

G

(Gz)

(Gy)

(Gx)

1-8 HUYGENS GENERALISE A L’OPERATEUR D’INERTIE

cb

a

O

x

y

z

c

b

a

(S)

G

(Gz)

(Gy)

(Gx)

1-8 HUYGENS GENERALISE A L’OPERATEUR D’INERTIE

1-9-1 Inertie d’un solide obtenu par extrusion, par rapport à son plan de symétrie

x

yz

G

On fait intervenir la masse dans l’expression de avec

dm      dv       S dz Il s’écrit : d’où :

2xGy  sI       S   z dz  

h/23

h/2

z   S    

3

3

xGyh

     I        S  12

xGyI m      S h

3

xGyh

 I        S  12

m

  

S h

2

xGyh

   I       m  12

Recherche du moment d’inertie par rapport au plan (x, G, y ).

2xGy  sI       z dm  

On choisit pour volume de matière élémentaire, une plaque de section S et d’épaisseur dz.

Le moment d’inertie s’écrit :h/2

h/2

dz

z

Surface : S

Calcul du moment d’inertie solide extrudé quelconque, par rapport au plan perpendiculaire à la direction de l’extrusion, et en son centre de gravité

1-9 EXERCICES

1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre :- Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, z ).

On considère un tube de diamètre r et d’épaisseur drCe volume de matière élémentaire a pour masse :

G

y

z

x

R

SGdm      dv       dS X     h dr 2 r

h

rdr

r R2 3 s r 0C      r dm       2 h r dr    

r R4 4

r 0

 r R

    2 h       2 h4 4

Le moment d’inertie IGZ s’écrit :

On fait intervenir ma masse dans l’expression de IGZ avec 2m      R h

4RC     2 h   

4 

2 

m

  R h d’où

2m R     C    

2

1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre :- Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, z ).

On considère un tube de diamètre r et d’épaisseur drCe volume de matière élémentaire a pour masse :

G

y

z

x

R

SGdm      dv       dS X     h dr 2 r

h

rdr

r R2 3 s r 0C      r dm       2 h r dr    

r R4 4

r 0

 r R

    2 h       2 h4 4

Le moment d’inertie IGZ s’écrit :

On fait intervenir ma masse dans l’expression de IGZ avec 2m      R h

4RC     2 h   

4 

2 

m

  R h d’où

2m R     C    

2

1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite)- Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ).

On détermine d’abord le moment d’inertie par rapport au plan (x, G, y ).

y

z R

G

2xGy  sI       z dm  

On choisit pour volume de matière élémentaire, le disque de rayon R et d’épaisseur dz.

Le moment d’inertie s’écrit :

h/2

h/2 x

1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite)- Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ).

y

z R

On fait intervenir ma masse dans l’expression de avec

G

2dm      dv       R dz

zz

dz

Il s’écrit : d’où : 2 2xGy  sI       R   z dz  

h/232

h/2

z   R    

3

3 3 32 2

xGyh h h

   R                   I        R  24 24 12

xGyI 2m      R h

32

xGyh

 I        R  12

2

 m

  R h

2

xGyh

   I       m  12

On détermine d’abord le moment d’inertie par rapport au plan (x, G, y ).

2xGy  sI       z dm  

On choisit pour volume de matière élémentaire, le disque de rayon R et d’épaisseur dz.

Le moment d’inertie s’écrit :

h/2

h/2 x

1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite)- Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ).

y

z R

G

zz

dz

On détermine ensuite

On note que

2

Gzm R

  C  I    2

2 2Gx  sI       (y   z ) dm  

2 2Gz  sI       (x   y ) dm  

Or par raison de symétrie de révolution, 2

2 2 Gz s  s

I m R  x dm        y dm        

2 4

d’où 2 2

2 2 2 2Gx  s  s  s

m R m hI       (y   z ) dm      y dm    z dm         

4 12

2 2

GxR h

I         m  4 12

2

xGyh

  I       m  12

h/2

h/2 x

1-9-3 Inertie d’un parallélépipède rectangleApplication au cas d’un parallélépipède rectangle.En déduire l’opérateur d’inertie exprimé au centre de gravité.

Gy

z

x

a

b

c

Recherche des moments d’inertie par rapport aux trois plans parallèles aux axes du repère et passant par G.

Pour le plan (x, G, y), on extrude un rectangle de section ab entre –c/2 et +c/2.

On obtient :2

xGym c

  I        12

Pour le plan (y, G, z), on extrude un rectangle de section bc entre –a/2 et +a/2.

On obtient :2

yGzm a

  I       12

Pour le plan (z, G, x), on extrude un rectangle de section ca entre –b/2 et +b/2.

On obtient :2

zGxm b

  I        12

2 2

Gx zGx xGy Gxb c

I        I I       I      A    m12

2 2

Gy xGy yGz Gyc a

I        I I       I      B     m12

2 2

Gz yGz zGx Gza b

I        I I       I      C      m12

2-62 Inertie d’un parallélépipède rectangle (suite)Application au cas d’un parallélépipède rectangle.En déduire l’opérateur d’inertie exprimé au centre de gravité.

Gy

z

x

a

b

c

Recherche des moments d’inertie par rapport aux trois axes passant par G.

Pour l’axe (G, x),

On obtient :

2 2 2 2Gx  s  s  sI       (y   z ) dm     y dm  z dm

Pour l’axe (G, y),

On obtient :

2 2 2 2Gy  s  s  sI       (z   x ) dm     z dm  x dm

Pour l’axe (G, z),

On obtient :

2 2 2 2Gz  s  s  sI       (x   y ) dm     x dm  y dm

2 2

2 2

2 2

b cm 0 0

12

c a     0 m 0

12

a b0 0 m

12

1-9-3 Inertie d’un parallélépipède rectangle (suite)Application au cas d’un parallélépipède rectangle.En déduire l’opérateur d’inertie exprimé au centre de gravité.

Gy

z

x

a

b

c

On en déduit la diagonale de la matrice d’inertie

I(G,S)

B0

Puis les produits d’inertie : On remarque que les trois plan du repère sont plan de symétrie. Les produits d’inertie sont donc nuls.

1-9-4 Inertie d'une sphèreDéterminer l'opérateur d'inertie d'une sphère de rayon R par rapport à un repère situé en son centre G.

G

y

z

x

R

r

dr

2 2 2 2G  s  sI       r dm (x y   z ) dm

On remarque que tous les points situés sur une sphère d’épaisseur dr, de rayon r et centrée en G sont équidistants du centre G.On cherche donc le moment d’inertie par rapport au point G.

2dm    dv   4 r dr avec :R5 5

2 2 4G  s  s

r 0

r RI       r   4 r dr    4 r dr    4    4

5 5

On fait intervenir la masse dans l’expression de avec GI 34m      R

3

5

GR

 I        45

3

3 m

  4 R 

2

G3

    I       m R5

2-63 Inertie d'une sphèreDéterminer l'opérateur d'inertie d'une sphère de rayon R par rapport à un repère situé en son centre G.

G

zR

r

dr

On remarque une symétrie sphérique

2 2 2G s  s  s

1x dm      y dm    z dm I

3

2 2 2Gx Gy Gz s

2I       (y   z ) dm      m R I     I

5

On note les plans de symétrie qui annulent les produits d’inertie

21 0 0

2 mR    0 1 0

50 0 1

I(G,S)

B0

yx

1-9-5 Inertie d'une sphèreEn déduire l'inertie I du solide ci contre constitué de deux sphères identiques de masse M et de rayon R par rapport à l’axe (G1, y )

G1x

y

G G2

Le moment d’inertie de la première sphère par rapport à l’axe (G1, y )

1

2

G y2 M R

  I        5

On applique Huygens pour déterminer le moment d’inertie de la première sphère par rapport à l’axe (G, y )

1

2Gy G y  I      I      M d

Pour l’autre sphère le résultat est le même.

On en déduit que pour l’ensemble des deux sphères1

2Gy G y  I      2 (I     M d )

22

Gy4 M R

  I            2 M d5

Fin