Embed Size (px)
Citation preview
1
TD Cours Math-SES Corrigeacute et compleacutements Courbe de Lorenz Objectif du TD eacutetude des ineacutegaliteacutes de reacutepartition des revenus des meacutenages et comparaison avec le patrimoine
mise en eacutevidence agrave lrsquoaide de graphiques et drsquoindicateurs ( courbe de Lorenz et coefficient de Gini )
Les donneacutees tableaux et graphiques proviennent de lrsquoeacutetude de lrsquoINSEE laquo les revenus et patrimoines des meacutenages eacutedition 2006 raquo
drsquoapregraves lrsquoenquecircte 2003-2004
Partie A revenus disponibles des meacutenages construction drsquoune courbe de Lorenz
I- caracteacuteristiques de dispersion drsquoune seacuterie statistique meacutedianes quartiles deacuteciles
Les donneacutees collecteacutees lors drsquoune enquecircte sont regroupeacutees en vue drsquoune eacutetude statistique pour ecirctre analyseacutees et commenteacutees
Un graphique de base le regroupement par classe
Tableau des effectifs et des freacutequences
remarque sur ce graphique de lrsquoINSEE
les effectifs sont rameneacutes en pourcentage
de lrsquoeffectif total ( cest-agrave-dire du nombre
total de meacutenages) en ordonneacutee sont donc
repreacutesenteacutees les freacutequences de la seacuterie
statistique (Les donneacutees sont regroupeacutees
par ordre croissant du revenu)
lrsquoavantage de ce type de graphique est de voir
la reacutepartition des revenus par classe drsquoamplitude
100 euro mais ne permet pas une interpreacutetation en ( x12 pour le revenu annuel )
terme de dispersion (1)
Pour mettre en eacutevidence les caracteacuteristiques
de dispersion de la seacuterie statistique on deacutetermine
la meacutediane les quartiles et les deacuteciles
Pour cela on eacutetablit le tableau des freacutequences
cumuleacutees croissantes ou des effectifs cumuleacutes
croissants ( obtenu directement agrave lrsquoaide de logiciels
lorsqursquoil y a de nombreuses donneacutees )
(2) A lrsquoaide de la lecture du graphique ci-contre
compleacuteter le tableau suivant
2
Attention D1Q1 Me Q3 et D9 sont des valeurs du caractegravere de la seacuterie statistique (3)
Construire le diagramme en boicircte appeleacute aussi laquo boicircte agrave moustache raquo associeacute agrave cette seacuterie statistique
xi [ [ [ [ hellip [ [
effectifs ni
freacutequences fi
xi [ [ [ [ hellip [ [
freacutequence fi
freacutequences
cumuleacutees
100
Premier
deacutecile
D1
Premier
quartile
Q1
meacutediane
Troisiegraveme
quartile
Q3
Dernier
deacutecile
D9
11500 16 000 25000 36000 50000
2
En math on demandera souvent la valeur de lrsquoeacutecart interquartile Q3-Q1 = 36000-16000 = 20000 euro
Interpreacutetation lrsquoeacutecart des revenus annuels disponibles des meacutenages entre les 25 les plus riches et les 25 les plus pauvres est
supeacuterieur agrave 20 000 euro
En SES on demandera plutocirct les rapports interdeacuteciles exemple D1
D9 3411500
50000
Interpreacutetation le revenu des 10 les plus riches est au moins 43 fois supeacuterieur au revenu des 10 les plus pauvres
Vision des quartiles et lrsquoeacutecart interquartile sur lrsquo histogramme des freacutequences ( graphique ndeg1 ) On a hachureacute les 25 des effectifs des
valeurs en dessous de Q1 et les 25 des effectifs des valeurs au dessus de Q3 ( les aires des parties hachureacutees sont donc eacutegales) 50
des effectifs sont donc entre Q1 et Q3
(4)
Remarque en SES On emploie aussi le terme de deacutecile pour deacutesigner les ensembles (au nombre de 10) des donneacutees situeacutees entre
deux deacuteciles ( deacuteciles pointeacutes ) par exemple pour D6 ensemble des valeurs de la seacuterie obtenues entre 50 et 60 des effectifs ) On
obtiendrait pour D6 ] 25 000 29 000 ] Les 10 des meacutenages ayant un revenu supeacuterieur agrave celui des 50 les moins riches et
infeacuterieur agrave celui des 40 les plus riches ont un revenu compris entre 25 000 euro et 29 000 euro (5)
R
Les aires vertes entre chaque deacutecile sont eacutegales
3
Rappel ne pas confondre
moyenne et meacutediane
Que signifierait le constat drsquoun revenu moyen supeacuterieur au revenu meacutedian
Rappel la moyenne est aussi eacutegale agrave la moyenne des moyennes des sous groupes affecteacutes de leur proportion
Ainsi la moyenne des salaires de tous les meacutenages est eacutegale au milieu (6) de la moyenne des revenus des 50 les plus riches et de la
moyenne des 50 les moins riches
Lrsquo eacutecart entre le revenu meacutedian et le revenu moyen des 50 des meacutenages les plus riches est bien plus important que lrsquoeacutecart entre le
revenu meacutedian et le revenu moyen des 50 les moins riches
Interpreacutetation la proportion des meacutenages ayant un revenu infeacuterieur au salaire moyen est supeacuterieure agrave la proportion des meacutenages ayant
un salaire supeacuterieur au revenu moyen On en conclut que ceux qui ont un salaire supeacuterieur au revenu moyen perccediloivent un revenu
beaucoup plus eacuteleveacute que les autres
La moyenne est sensible aux valeurs extrecircmes alors que la meacutediane ne lrsquoest pas drsquoougrave le choix de lrsquoindicateur de la meacutediane
plutocirct que celui de la moyenne dans lrsquo eacutetude qui suit( mais lrsquoune et lrsquoautre se complegravetent drsquoougrave le tableau ci-dessus fourni par
lrsquoINSEE )
4
compleacutements sur la calcul de la moyenne
Pour calculer la moyenne des revenus de lrsquoensemble des meacutenages agrave lrsquoaide drsquoun tableau par regroupement par classe on multiplie les
effectifs ( ou les freacutequences) par le centre de la classe mais ce calcul ne permet que drsquoen trouver une valeur approcheacutee on ne sait pas
comment sont reacutepartis les revenus dans chaque classe Pour la valeur exacte on fait le calcul sur toutes les donneacutees ( fait par le
logiciel) ou on peut se servir drsquoun autre tableau fourni par lrsquoINSEE
Ainsi on pourra calculer la moyenne des revenus sachant que les meacutenages dans chaque tranche gagnent en moyenne le revenu moyen
de la tranche ( on calcule la moyenne agrave partir des moyennes des sous groupes )
018790 + 0113010+ 0115940+ 0119250+ 0122780+ 0126570+ 0130840+ 0136080+ 0143930+ 0172170 = 28936
euro
On retrouve bien sucircr ce reacutesultat avec les donneacutees de reacutefeacuterence fournies en compleacutement du tableau page 2
24837000
007186600000 28 935 ( = masse totale agrave partager effectif total )
Pourquoi nrsquoobtient-on pas le chiffre donneacute par lrsquoINSEE il faut rechercher les meacutethodes de calcul de lrsquoINSEE et en particulier ce qui
est pris en compte dans les revenus disponibles ou la base des euros constants hellip Par contre la valeur est coheacuterente avec le tableau ci-
dessous toujours fourni par lrsquoINSEE
REVENU DISPONIBLE MOYEN DE LENSEMBLE DES MENAGES en euros 2004an
Selon le type de meacutenage
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2002
reacutetropoleacutee 2003 2004
couple sans enfant 27 447 27 362 28 211 28 933 29 390 29 804 30 072 30 541 30 980 30 865
couple avec un enfant 33 211 33 083 34 304 35 057 35 715 36 968 37 689 38 040 37 359 37 551
couple deux enfants 36 777 36 745 37 371 38 188 39 186 39 897 40 636 40 949 41 336 41 337 couple avec trois enfants ou plus 36 437 37 509 38 486 39 643 40 948 41 659 43 881 44 311 43 924 43 457
famille monoparentale 21 599 21 397 21 748 22 172 22 416 23 223 23 730 24 028 23 493 23 677
personne seule 15 114 15 072 15 210 15 560 15 783 16 324 16 143 16 406 16 380 16 290 meacutenage sans famille principale 24 900 24 932 25 484 26 630 28 084 27 819 34 538 35 168 33 522 33 700
ensemble des meacutenages 26 195 26 110 26 651 27 171 27 617 28 201 28 476 29 071 29 010 28 935
note De 1996 agrave 2002 les enquecirctes Revenus fiscaux sappuyaient sur les recensements de 1990 et 1999 LERF 2002 reacutetropoleacutee correspond avec les
enquecirctes 2003 et 2004 au deacutebut dune nouvelle seacuterie de statistiques sur les revenus sappuyant sur les reacutesultats annuels du recensement de la population
Cette nouvelle seacuterie prend par ailleurs en compte les revenus soumis agrave preacutelegravevements libeacuteratoires
Source enquecirctes revenus fiscaux de 1996 agrave 2004 Insee-DGI
Champ meacutenages dont le revenu deacuteclareacute au fisc est positif ou nul et dont la personne de reacutefeacuterence nest ni eacutetudiante ni militaire du contingent
II- Evaluation de la dispersion du revenu disponible en utilisant les deacuteciles construction de la courbe de Lorenz
On adopte un autre point de vue pour les graphiques le revenu est fonction des pourcentages des deacuteciles correspondants
Revenu disponible en 2004 par deacutecile
5
Reacutefeacuterences 24 837 000 meacutenages pour une
masse totale de 718 660 millions drsquoeuros
Veacuterifier le valeur de D4 et D7 sur le graphique
ndeg2
Compleacuteter la quatriegraveme colonne du tableau ci-
contre puis construire en rouge dans le
graphique ci-dessous les points correspondants
( premiegravere colonne ( cumuleacutes des
correspondant aux deacuteciles) quatriegraveme colonne
( cumuleacutes des de la masse totale) ) et
joindre les points par des segments rouges
Compleacutements sur la construction du tableau et sur le calcul du pourcentage de la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
Les 3 de la premiegravere ligne sont obtenus par la formule 007186600000
24837000100
108790
003 donc 3
puisque les 10 des 24 837 000 meacutenages se partagent en moyenne 8790 euro chacun donc en tout ces 10 se partagent une masse en
euro de 87900124837000 soit selon le calcul ci-dessus 3 de la masse totale
A lrsquoaide drsquoun tableur on effectue le
calcul pour toutes les tranches des
deacuteciles
Remarque inversement agrave lrsquoaide drsquoun tableau comme ci-dessous on aurait pu obtenir la masse totale des revenus disponibles ( crsquoest
un tableau qursquoil est souvent demandeacute de compleacuteter dans un exercice drsquoeacuteconomie mais dans la pratique les logiciels fournissent sans
difficulteacute cette masse totale il permet simplement de comprendre la construction du tableau pour tracer la courbe de Lorenz surtout
lorsque les tableaux ne sont pas donneacutes avec les deacuteciles )
La masse totale des revenus disponibles des meacutenages obtenue diffegravere un peu de la valeur donneacutee par lrsquoINSEE du fait de
lrsquoapproximation des donneacutees ( drsquoougrave lrsquoimportance que lrsquoINSEE donne la valeur exacte ) mais cette diffeacuterence ne fait pas varier les
reacutesultats des pourcentages
deacutecile
limite supeacuterieure du
revenu disponible annuel ( en euro )
pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
Cumul du pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
D1 ( 10 ) 11 477 3 3 (003)
D2 ( 20 ) 14 408 45 75 (0075)
D3 ( 30 ) 17 581 55 13
D4 ( 40 ) 20 942 67 197
D5 ( 50 ) 24 599 79 276
D6 ( 60 ) 28 623 92 368
D7 ( 70 ) 33 171 107 475
D8 ( 80 ) 39 356 125 60
D9 ( 90 ) 49 554 152 752
supeacuterieur agrave D9 248 100
deacuteciles revenus disponibles moyens
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu
par chaque deacutecile
D1 8 790 0030
D2 13 010 0045
D3 15 940 0055
D4 19 250 0067
D5 22 780 0079
D6 26 570 0092
D7 30 840 0107
D8 36 080 0125
D9 43 930 0152
D10 72 170 0249
deacuteciles
nombre de
meacutenages pour un
total de 24 837 000 ni
revenus
disponibles
moyens pour chaque tranche xi
masse totale de revenu
deacutetenu par chaque tranche ni x xi
cumul de la masse totale de
revenu deacutetenu par chaque tranche en euro
pourcentage de la
masse totale des revenus par tranche par
rapport agrave la masse totale
deacutetenu par lensemble des meacutenages
cumul du pourcentage de
la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque tranche
D1 2 483 700 8 79000 euro 21 831 723 000 euro 21 831 723 000 euro 0030 0030
D2 2 483 700 13 01000 euro 32 312 937 000 euro 54 144 660 000 euro 0045 0075
D3 2 483 700 15 94000 euro 39 590 178 000 euro 93 734 838 000 euro 0055 0130
D4 2 483 700 19 25000 euro 47 811 225 000 euro 141 546 063 000 euro 0067 0197
D5 2 483 700 22 78000 euro 56 578 686 000 euro 198 124 749 000 euro 0079 0275
D6 2 483 700 26 57000 euro 65 991 909 000 euro 264 116 658 000 euro 0092 0367
D7 2 483 700 30 84000 euro 76 597 308 000 euro 340 713 966 000 euro 0107 0474
D8 2 483 700 36 08000 euro 89 611 896 000 euro 430 325 862 000 euro 0125 0598
D9 2 483 700 43 93000 euro 109 108 941 000 euro 539 434 803 000 euro 0152 0750
D10 2 483 700 72 17000 euro 179 248 629 000 euro 718 683 432 000 euro 0249 1000
6
Lecture Compleacuteter agrave lrsquoaide du tableau et du graphique les phrases suivantes
En 2004 les 10 des meacutenages franccedilais qui avaient les revenus les plus bas touchaient au plus 11 477 euros et totalisent 3 du
revenu total alors que si la reacutepartition eacutetait eacutegalitaire ils toucheraient 10 du revenu total soit un eacutecart de 7 points
En 2004 les 10 des meacutenages qui avaient les revenus les plus eacuteleveacutes touchaient au moins 49 554 euros et totalisent 248 du
revenu total
En 2004 la moitieacute de la masse totale des revenus disponibles est deacutetenue par 72 de la part des meacutenages qui ont les revenus les plus
faibles et ceci signifie donc que 28 des meacutenages ayant les revenus les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 50 de cette masse totale des
revenus
La seconde courbe de Lorenz celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la droite drsquoeacutequireacutepartition ou diagonale correspond agrave la reacutepartition du
patrimoine et permet de montrer que les 20 des franccedilais qui ont le patrimoine le plus faible deacutetiennent seulement 015 de la masse
totale du patrimoine
De mecircme les 20 dont les revenus sont les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 639 de la totaliteacute du patrimoine
On peut donc ici mettre en eacutevidence que la part du patrimoine deacutetenue par les 20 les plus riches est 433 fois plus importante que la
part des 20 des meacutenages ayant les revenus les plus faibles
7
Partie B eacutetude de courbes de Lorenz deacutefinition du coefficient de Gini
Interpreacutetation en SES
Dans ce type de graphique ougrave les abscisses sont les deacuteciles (7) ( cumul croissant de freacutequences ) et en ordonneacutees les parts drsquoune
grandeur eacutetudieacutee (cumul croissant de pourcentages ) les courbes obtenues srsquoappellent des courbes de Lorenz Elles mettent en
eacutevidence la reacutepartition de la grandeur eacutetudieacutee pour permettre des comparaisons
Quelle est lrsquointerpreacutetation de la diagonale du graphique
Equireacutepartition signifie reacutepartition eacutegalitaire selon laquelle 50des richesses sont deacutetenues par 50
des meacutenages ( 1 des meacutenages gagne 1 de la masse totale etc hellip tous les meacutenages ont le mecircme
revenus situation improbable )
Quelle interpreacutetation peut-on donner de lrsquoeacuteloignement de la courbe de Lorenz des revenus
disponibles avec la diagonale
Plus la courbe srsquoeacuteloigne de la diagonale plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Comparer ( agrave lrsquoaide des tableaux ou des graphiques ) les valeurs des deux courbes de Lorenz du
revenu et du patrimoine drsquoabord de faccedilon geacuteneacuterale puis pour D2 D5 et D8 faire une phrase et
interpreacuteter
Graphiquement la courbe de Lorenz du patrimoine est bien plus eacuteloigneacutee de la diagonale que la
courbe de Lorenz du revenu donc la reacutepartition du patrimoine est bien plus ineacutegalitaire que la
reacutepartition du revenu disponible
Pour D2 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus pauvres deacutetiennent 45de la
masse totale des revenus disponibles et 015 de la masse totale du patrimoine
Pour D5 cela signifie qursquoen France les 50 des meacutenages deacutetiennent 275 de la masse totale des
revenus disponibles et 72 de la masse totale du patrimoine
Pour D8 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus riches deacutetiennent 402 de la
masse totale des revenus disponibles et 639 de la masse totale du patrimoine
Ceci permet de montrer des ineacutegaliteacutes en France aussi bien dans la reacutepartition des revenus disponibles que du patrimoine Cependant
on note que les ineacutegaliteacutes dans la reacutepartition du patrimoine sont beaucoup plus marqueacutees que celles dans la reacutepartition des revenus
disponibles
Lrsquoeacutetude de D8 (des 20 des franccedilais les plus riches) est significative elle montre qursquoils deacutetiennent
une part du patrimoine total bien supeacuterieure agrave celle du revenu disponible deacutetenu ( eacutecart de 237 points)
deacuteciles
Part du patrimoine
total posseacutedeacute par les meacutenages au seuil
indiqueacutes (en )
10 0
20 015
30 07
40 25
50 72
60 143
70 237
80 361
90 542
Reacutepartition du patrimoine
brut en France en 2003
Note le patrimoine deacutetenu comprend les biens immobiliers les actifs financiers ainsi que le patrimoine professionnel pour les actifs indeacutependants
8
On deacutefinit ainsi un nouvel indicateur le coefficient de Gini
Le coefficient de Gini noteacute souvent est eacutegal au rapport des deux aires
= OABtriangleduaire
vertfoncepartieladeaire
Proprieacuteteacutes Plus lrsquoeacutecart entre la courbe et la droite drsquoeacutequireacutepartition est grand et plus
le coefficient de Gini est grand
Ce coefficient compris entre 0 et 1 permet de comprendre que plus on se rapproche drsquoun coefficient proche de 0 plus la reacutepartition est
eacutegalitaire plus on se rapproche de 1 plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Ce nombre (un indicateur ) permet ainsi de mettre en eacutevidence lrsquoeacutevolution des ineacutegaliteacutes sur une peacuteriode la comparaison entre
pays ou entre des cateacutegories diffeacuterentes hellip
Avantages du calcul du coefficient de Gini ( un + par rapport au rapport interdeacutecile)
1) Permettre de comparer par exemple les ineacutegaliteacutes des revenus selon les pays cliquer sur le lien suivant pour visualiser les
dispariteacutes mondiales httpfrwikipediaorgwikiListe_des_pays_par_C3A9galitC3A9_de_revenus
lecture de ces donneacutees sur un graphique
Les pays historiquement eacutegalitaires ont un coefficient de lordre de 02 (Bulgarie Hongrie Slovaquie Tchegravequie Pologne) Les pays
les plus ineacutegalitaires au monde ont un coefficient de 06 (Breacutesil Guateacutemala Honduras ) En France le coefficient de Gini est de
036 (source INSEE revenus fiscaux 2004) Celui de la Chine est en train de monter et deacutepasse maintenant 05 ( wikipedia)
2) Permettre de suivre lrsquoeacutevolution du coefficient sur une peacuteriode
Evolution des indices de Gini des revenus par uniteacute de consommation (uc [5]) avant impocircts et apregraves impocircts et subventions
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
2
En math on demandera souvent la valeur de lrsquoeacutecart interquartile Q3-Q1 = 36000-16000 = 20000 euro
Interpreacutetation lrsquoeacutecart des revenus annuels disponibles des meacutenages entre les 25 les plus riches et les 25 les plus pauvres est
supeacuterieur agrave 20 000 euro
En SES on demandera plutocirct les rapports interdeacuteciles exemple D1
D9 3411500
50000
Interpreacutetation le revenu des 10 les plus riches est au moins 43 fois supeacuterieur au revenu des 10 les plus pauvres
Vision des quartiles et lrsquoeacutecart interquartile sur lrsquo histogramme des freacutequences ( graphique ndeg1 ) On a hachureacute les 25 des effectifs des
valeurs en dessous de Q1 et les 25 des effectifs des valeurs au dessus de Q3 ( les aires des parties hachureacutees sont donc eacutegales) 50
des effectifs sont donc entre Q1 et Q3
(4)
Remarque en SES On emploie aussi le terme de deacutecile pour deacutesigner les ensembles (au nombre de 10) des donneacutees situeacutees entre
deux deacuteciles ( deacuteciles pointeacutes ) par exemple pour D6 ensemble des valeurs de la seacuterie obtenues entre 50 et 60 des effectifs ) On
obtiendrait pour D6 ] 25 000 29 000 ] Les 10 des meacutenages ayant un revenu supeacuterieur agrave celui des 50 les moins riches et
infeacuterieur agrave celui des 40 les plus riches ont un revenu compris entre 25 000 euro et 29 000 euro (5)
R
Les aires vertes entre chaque deacutecile sont eacutegales
3
Rappel ne pas confondre
moyenne et meacutediane
Que signifierait le constat drsquoun revenu moyen supeacuterieur au revenu meacutedian
Rappel la moyenne est aussi eacutegale agrave la moyenne des moyennes des sous groupes affecteacutes de leur proportion
Ainsi la moyenne des salaires de tous les meacutenages est eacutegale au milieu (6) de la moyenne des revenus des 50 les plus riches et de la
moyenne des 50 les moins riches
Lrsquo eacutecart entre le revenu meacutedian et le revenu moyen des 50 des meacutenages les plus riches est bien plus important que lrsquoeacutecart entre le
revenu meacutedian et le revenu moyen des 50 les moins riches
Interpreacutetation la proportion des meacutenages ayant un revenu infeacuterieur au salaire moyen est supeacuterieure agrave la proportion des meacutenages ayant
un salaire supeacuterieur au revenu moyen On en conclut que ceux qui ont un salaire supeacuterieur au revenu moyen perccediloivent un revenu
beaucoup plus eacuteleveacute que les autres
La moyenne est sensible aux valeurs extrecircmes alors que la meacutediane ne lrsquoest pas drsquoougrave le choix de lrsquoindicateur de la meacutediane
plutocirct que celui de la moyenne dans lrsquo eacutetude qui suit( mais lrsquoune et lrsquoautre se complegravetent drsquoougrave le tableau ci-dessus fourni par
lrsquoINSEE )
4
compleacutements sur la calcul de la moyenne
Pour calculer la moyenne des revenus de lrsquoensemble des meacutenages agrave lrsquoaide drsquoun tableau par regroupement par classe on multiplie les
effectifs ( ou les freacutequences) par le centre de la classe mais ce calcul ne permet que drsquoen trouver une valeur approcheacutee on ne sait pas
comment sont reacutepartis les revenus dans chaque classe Pour la valeur exacte on fait le calcul sur toutes les donneacutees ( fait par le
logiciel) ou on peut se servir drsquoun autre tableau fourni par lrsquoINSEE
Ainsi on pourra calculer la moyenne des revenus sachant que les meacutenages dans chaque tranche gagnent en moyenne le revenu moyen
de la tranche ( on calcule la moyenne agrave partir des moyennes des sous groupes )
018790 + 0113010+ 0115940+ 0119250+ 0122780+ 0126570+ 0130840+ 0136080+ 0143930+ 0172170 = 28936
euro
On retrouve bien sucircr ce reacutesultat avec les donneacutees de reacutefeacuterence fournies en compleacutement du tableau page 2
24837000
007186600000 28 935 ( = masse totale agrave partager effectif total )
Pourquoi nrsquoobtient-on pas le chiffre donneacute par lrsquoINSEE il faut rechercher les meacutethodes de calcul de lrsquoINSEE et en particulier ce qui
est pris en compte dans les revenus disponibles ou la base des euros constants hellip Par contre la valeur est coheacuterente avec le tableau ci-
dessous toujours fourni par lrsquoINSEE
REVENU DISPONIBLE MOYEN DE LENSEMBLE DES MENAGES en euros 2004an
Selon le type de meacutenage
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2002
reacutetropoleacutee 2003 2004
couple sans enfant 27 447 27 362 28 211 28 933 29 390 29 804 30 072 30 541 30 980 30 865
couple avec un enfant 33 211 33 083 34 304 35 057 35 715 36 968 37 689 38 040 37 359 37 551
couple deux enfants 36 777 36 745 37 371 38 188 39 186 39 897 40 636 40 949 41 336 41 337 couple avec trois enfants ou plus 36 437 37 509 38 486 39 643 40 948 41 659 43 881 44 311 43 924 43 457
famille monoparentale 21 599 21 397 21 748 22 172 22 416 23 223 23 730 24 028 23 493 23 677
personne seule 15 114 15 072 15 210 15 560 15 783 16 324 16 143 16 406 16 380 16 290 meacutenage sans famille principale 24 900 24 932 25 484 26 630 28 084 27 819 34 538 35 168 33 522 33 700
ensemble des meacutenages 26 195 26 110 26 651 27 171 27 617 28 201 28 476 29 071 29 010 28 935
note De 1996 agrave 2002 les enquecirctes Revenus fiscaux sappuyaient sur les recensements de 1990 et 1999 LERF 2002 reacutetropoleacutee correspond avec les
enquecirctes 2003 et 2004 au deacutebut dune nouvelle seacuterie de statistiques sur les revenus sappuyant sur les reacutesultats annuels du recensement de la population
Cette nouvelle seacuterie prend par ailleurs en compte les revenus soumis agrave preacutelegravevements libeacuteratoires
Source enquecirctes revenus fiscaux de 1996 agrave 2004 Insee-DGI
Champ meacutenages dont le revenu deacuteclareacute au fisc est positif ou nul et dont la personne de reacutefeacuterence nest ni eacutetudiante ni militaire du contingent
II- Evaluation de la dispersion du revenu disponible en utilisant les deacuteciles construction de la courbe de Lorenz
On adopte un autre point de vue pour les graphiques le revenu est fonction des pourcentages des deacuteciles correspondants
Revenu disponible en 2004 par deacutecile
5
Reacutefeacuterences 24 837 000 meacutenages pour une
masse totale de 718 660 millions drsquoeuros
Veacuterifier le valeur de D4 et D7 sur le graphique
ndeg2
Compleacuteter la quatriegraveme colonne du tableau ci-
contre puis construire en rouge dans le
graphique ci-dessous les points correspondants
( premiegravere colonne ( cumuleacutes des
correspondant aux deacuteciles) quatriegraveme colonne
( cumuleacutes des de la masse totale) ) et
joindre les points par des segments rouges
Compleacutements sur la construction du tableau et sur le calcul du pourcentage de la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
Les 3 de la premiegravere ligne sont obtenus par la formule 007186600000
24837000100
108790
003 donc 3
puisque les 10 des 24 837 000 meacutenages se partagent en moyenne 8790 euro chacun donc en tout ces 10 se partagent une masse en
euro de 87900124837000 soit selon le calcul ci-dessus 3 de la masse totale
A lrsquoaide drsquoun tableur on effectue le
calcul pour toutes les tranches des
deacuteciles
Remarque inversement agrave lrsquoaide drsquoun tableau comme ci-dessous on aurait pu obtenir la masse totale des revenus disponibles ( crsquoest
un tableau qursquoil est souvent demandeacute de compleacuteter dans un exercice drsquoeacuteconomie mais dans la pratique les logiciels fournissent sans
difficulteacute cette masse totale il permet simplement de comprendre la construction du tableau pour tracer la courbe de Lorenz surtout
lorsque les tableaux ne sont pas donneacutes avec les deacuteciles )
La masse totale des revenus disponibles des meacutenages obtenue diffegravere un peu de la valeur donneacutee par lrsquoINSEE du fait de
lrsquoapproximation des donneacutees ( drsquoougrave lrsquoimportance que lrsquoINSEE donne la valeur exacte ) mais cette diffeacuterence ne fait pas varier les
reacutesultats des pourcentages
deacutecile
limite supeacuterieure du
revenu disponible annuel ( en euro )
pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
Cumul du pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
D1 ( 10 ) 11 477 3 3 (003)
D2 ( 20 ) 14 408 45 75 (0075)
D3 ( 30 ) 17 581 55 13
D4 ( 40 ) 20 942 67 197
D5 ( 50 ) 24 599 79 276
D6 ( 60 ) 28 623 92 368
D7 ( 70 ) 33 171 107 475
D8 ( 80 ) 39 356 125 60
D9 ( 90 ) 49 554 152 752
supeacuterieur agrave D9 248 100
deacuteciles revenus disponibles moyens
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu
par chaque deacutecile
D1 8 790 0030
D2 13 010 0045
D3 15 940 0055
D4 19 250 0067
D5 22 780 0079
D6 26 570 0092
D7 30 840 0107
D8 36 080 0125
D9 43 930 0152
D10 72 170 0249
deacuteciles
nombre de
meacutenages pour un
total de 24 837 000 ni
revenus
disponibles
moyens pour chaque tranche xi
masse totale de revenu
deacutetenu par chaque tranche ni x xi
cumul de la masse totale de
revenu deacutetenu par chaque tranche en euro
pourcentage de la
masse totale des revenus par tranche par
rapport agrave la masse totale
deacutetenu par lensemble des meacutenages
cumul du pourcentage de
la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque tranche
D1 2 483 700 8 79000 euro 21 831 723 000 euro 21 831 723 000 euro 0030 0030
D2 2 483 700 13 01000 euro 32 312 937 000 euro 54 144 660 000 euro 0045 0075
D3 2 483 700 15 94000 euro 39 590 178 000 euro 93 734 838 000 euro 0055 0130
D4 2 483 700 19 25000 euro 47 811 225 000 euro 141 546 063 000 euro 0067 0197
D5 2 483 700 22 78000 euro 56 578 686 000 euro 198 124 749 000 euro 0079 0275
D6 2 483 700 26 57000 euro 65 991 909 000 euro 264 116 658 000 euro 0092 0367
D7 2 483 700 30 84000 euro 76 597 308 000 euro 340 713 966 000 euro 0107 0474
D8 2 483 700 36 08000 euro 89 611 896 000 euro 430 325 862 000 euro 0125 0598
D9 2 483 700 43 93000 euro 109 108 941 000 euro 539 434 803 000 euro 0152 0750
D10 2 483 700 72 17000 euro 179 248 629 000 euro 718 683 432 000 euro 0249 1000
6
Lecture Compleacuteter agrave lrsquoaide du tableau et du graphique les phrases suivantes
En 2004 les 10 des meacutenages franccedilais qui avaient les revenus les plus bas touchaient au plus 11 477 euros et totalisent 3 du
revenu total alors que si la reacutepartition eacutetait eacutegalitaire ils toucheraient 10 du revenu total soit un eacutecart de 7 points
En 2004 les 10 des meacutenages qui avaient les revenus les plus eacuteleveacutes touchaient au moins 49 554 euros et totalisent 248 du
revenu total
En 2004 la moitieacute de la masse totale des revenus disponibles est deacutetenue par 72 de la part des meacutenages qui ont les revenus les plus
faibles et ceci signifie donc que 28 des meacutenages ayant les revenus les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 50 de cette masse totale des
revenus
La seconde courbe de Lorenz celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la droite drsquoeacutequireacutepartition ou diagonale correspond agrave la reacutepartition du
patrimoine et permet de montrer que les 20 des franccedilais qui ont le patrimoine le plus faible deacutetiennent seulement 015 de la masse
totale du patrimoine
De mecircme les 20 dont les revenus sont les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 639 de la totaliteacute du patrimoine
On peut donc ici mettre en eacutevidence que la part du patrimoine deacutetenue par les 20 les plus riches est 433 fois plus importante que la
part des 20 des meacutenages ayant les revenus les plus faibles
7
Partie B eacutetude de courbes de Lorenz deacutefinition du coefficient de Gini
Interpreacutetation en SES
Dans ce type de graphique ougrave les abscisses sont les deacuteciles (7) ( cumul croissant de freacutequences ) et en ordonneacutees les parts drsquoune
grandeur eacutetudieacutee (cumul croissant de pourcentages ) les courbes obtenues srsquoappellent des courbes de Lorenz Elles mettent en
eacutevidence la reacutepartition de la grandeur eacutetudieacutee pour permettre des comparaisons
Quelle est lrsquointerpreacutetation de la diagonale du graphique
Equireacutepartition signifie reacutepartition eacutegalitaire selon laquelle 50des richesses sont deacutetenues par 50
des meacutenages ( 1 des meacutenages gagne 1 de la masse totale etc hellip tous les meacutenages ont le mecircme
revenus situation improbable )
Quelle interpreacutetation peut-on donner de lrsquoeacuteloignement de la courbe de Lorenz des revenus
disponibles avec la diagonale
Plus la courbe srsquoeacuteloigne de la diagonale plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Comparer ( agrave lrsquoaide des tableaux ou des graphiques ) les valeurs des deux courbes de Lorenz du
revenu et du patrimoine drsquoabord de faccedilon geacuteneacuterale puis pour D2 D5 et D8 faire une phrase et
interpreacuteter
Graphiquement la courbe de Lorenz du patrimoine est bien plus eacuteloigneacutee de la diagonale que la
courbe de Lorenz du revenu donc la reacutepartition du patrimoine est bien plus ineacutegalitaire que la
reacutepartition du revenu disponible
Pour D2 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus pauvres deacutetiennent 45de la
masse totale des revenus disponibles et 015 de la masse totale du patrimoine
Pour D5 cela signifie qursquoen France les 50 des meacutenages deacutetiennent 275 de la masse totale des
revenus disponibles et 72 de la masse totale du patrimoine
Pour D8 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus riches deacutetiennent 402 de la
masse totale des revenus disponibles et 639 de la masse totale du patrimoine
Ceci permet de montrer des ineacutegaliteacutes en France aussi bien dans la reacutepartition des revenus disponibles que du patrimoine Cependant
on note que les ineacutegaliteacutes dans la reacutepartition du patrimoine sont beaucoup plus marqueacutees que celles dans la reacutepartition des revenus
disponibles
Lrsquoeacutetude de D8 (des 20 des franccedilais les plus riches) est significative elle montre qursquoils deacutetiennent
une part du patrimoine total bien supeacuterieure agrave celle du revenu disponible deacutetenu ( eacutecart de 237 points)
deacuteciles
Part du patrimoine
total posseacutedeacute par les meacutenages au seuil
indiqueacutes (en )
10 0
20 015
30 07
40 25
50 72
60 143
70 237
80 361
90 542
Reacutepartition du patrimoine
brut en France en 2003
Note le patrimoine deacutetenu comprend les biens immobiliers les actifs financiers ainsi que le patrimoine professionnel pour les actifs indeacutependants
8
On deacutefinit ainsi un nouvel indicateur le coefficient de Gini
Le coefficient de Gini noteacute souvent est eacutegal au rapport des deux aires
= OABtriangleduaire
vertfoncepartieladeaire
Proprieacuteteacutes Plus lrsquoeacutecart entre la courbe et la droite drsquoeacutequireacutepartition est grand et plus
le coefficient de Gini est grand
Ce coefficient compris entre 0 et 1 permet de comprendre que plus on se rapproche drsquoun coefficient proche de 0 plus la reacutepartition est
eacutegalitaire plus on se rapproche de 1 plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Ce nombre (un indicateur ) permet ainsi de mettre en eacutevidence lrsquoeacutevolution des ineacutegaliteacutes sur une peacuteriode la comparaison entre
pays ou entre des cateacutegories diffeacuterentes hellip
Avantages du calcul du coefficient de Gini ( un + par rapport au rapport interdeacutecile)
1) Permettre de comparer par exemple les ineacutegaliteacutes des revenus selon les pays cliquer sur le lien suivant pour visualiser les
dispariteacutes mondiales httpfrwikipediaorgwikiListe_des_pays_par_C3A9galitC3A9_de_revenus
lecture de ces donneacutees sur un graphique
Les pays historiquement eacutegalitaires ont un coefficient de lordre de 02 (Bulgarie Hongrie Slovaquie Tchegravequie Pologne) Les pays
les plus ineacutegalitaires au monde ont un coefficient de 06 (Breacutesil Guateacutemala Honduras ) En France le coefficient de Gini est de
036 (source INSEE revenus fiscaux 2004) Celui de la Chine est en train de monter et deacutepasse maintenant 05 ( wikipedia)
2) Permettre de suivre lrsquoeacutevolution du coefficient sur une peacuteriode
Evolution des indices de Gini des revenus par uniteacute de consommation (uc [5]) avant impocircts et apregraves impocircts et subventions
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
3
Rappel ne pas confondre
moyenne et meacutediane
Que signifierait le constat drsquoun revenu moyen supeacuterieur au revenu meacutedian
Rappel la moyenne est aussi eacutegale agrave la moyenne des moyennes des sous groupes affecteacutes de leur proportion
Ainsi la moyenne des salaires de tous les meacutenages est eacutegale au milieu (6) de la moyenne des revenus des 50 les plus riches et de la
moyenne des 50 les moins riches
Lrsquo eacutecart entre le revenu meacutedian et le revenu moyen des 50 des meacutenages les plus riches est bien plus important que lrsquoeacutecart entre le
revenu meacutedian et le revenu moyen des 50 les moins riches
Interpreacutetation la proportion des meacutenages ayant un revenu infeacuterieur au salaire moyen est supeacuterieure agrave la proportion des meacutenages ayant
un salaire supeacuterieur au revenu moyen On en conclut que ceux qui ont un salaire supeacuterieur au revenu moyen perccediloivent un revenu
beaucoup plus eacuteleveacute que les autres
La moyenne est sensible aux valeurs extrecircmes alors que la meacutediane ne lrsquoest pas drsquoougrave le choix de lrsquoindicateur de la meacutediane
plutocirct que celui de la moyenne dans lrsquo eacutetude qui suit( mais lrsquoune et lrsquoautre se complegravetent drsquoougrave le tableau ci-dessus fourni par
lrsquoINSEE )
4
compleacutements sur la calcul de la moyenne
Pour calculer la moyenne des revenus de lrsquoensemble des meacutenages agrave lrsquoaide drsquoun tableau par regroupement par classe on multiplie les
effectifs ( ou les freacutequences) par le centre de la classe mais ce calcul ne permet que drsquoen trouver une valeur approcheacutee on ne sait pas
comment sont reacutepartis les revenus dans chaque classe Pour la valeur exacte on fait le calcul sur toutes les donneacutees ( fait par le
logiciel) ou on peut se servir drsquoun autre tableau fourni par lrsquoINSEE
Ainsi on pourra calculer la moyenne des revenus sachant que les meacutenages dans chaque tranche gagnent en moyenne le revenu moyen
de la tranche ( on calcule la moyenne agrave partir des moyennes des sous groupes )
018790 + 0113010+ 0115940+ 0119250+ 0122780+ 0126570+ 0130840+ 0136080+ 0143930+ 0172170 = 28936
euro
On retrouve bien sucircr ce reacutesultat avec les donneacutees de reacutefeacuterence fournies en compleacutement du tableau page 2
24837000
007186600000 28 935 ( = masse totale agrave partager effectif total )
Pourquoi nrsquoobtient-on pas le chiffre donneacute par lrsquoINSEE il faut rechercher les meacutethodes de calcul de lrsquoINSEE et en particulier ce qui
est pris en compte dans les revenus disponibles ou la base des euros constants hellip Par contre la valeur est coheacuterente avec le tableau ci-
dessous toujours fourni par lrsquoINSEE
REVENU DISPONIBLE MOYEN DE LENSEMBLE DES MENAGES en euros 2004an
Selon le type de meacutenage
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2002
reacutetropoleacutee 2003 2004
couple sans enfant 27 447 27 362 28 211 28 933 29 390 29 804 30 072 30 541 30 980 30 865
couple avec un enfant 33 211 33 083 34 304 35 057 35 715 36 968 37 689 38 040 37 359 37 551
couple deux enfants 36 777 36 745 37 371 38 188 39 186 39 897 40 636 40 949 41 336 41 337 couple avec trois enfants ou plus 36 437 37 509 38 486 39 643 40 948 41 659 43 881 44 311 43 924 43 457
famille monoparentale 21 599 21 397 21 748 22 172 22 416 23 223 23 730 24 028 23 493 23 677
personne seule 15 114 15 072 15 210 15 560 15 783 16 324 16 143 16 406 16 380 16 290 meacutenage sans famille principale 24 900 24 932 25 484 26 630 28 084 27 819 34 538 35 168 33 522 33 700
ensemble des meacutenages 26 195 26 110 26 651 27 171 27 617 28 201 28 476 29 071 29 010 28 935
note De 1996 agrave 2002 les enquecirctes Revenus fiscaux sappuyaient sur les recensements de 1990 et 1999 LERF 2002 reacutetropoleacutee correspond avec les
enquecirctes 2003 et 2004 au deacutebut dune nouvelle seacuterie de statistiques sur les revenus sappuyant sur les reacutesultats annuels du recensement de la population
Cette nouvelle seacuterie prend par ailleurs en compte les revenus soumis agrave preacutelegravevements libeacuteratoires
Source enquecirctes revenus fiscaux de 1996 agrave 2004 Insee-DGI
Champ meacutenages dont le revenu deacuteclareacute au fisc est positif ou nul et dont la personne de reacutefeacuterence nest ni eacutetudiante ni militaire du contingent
II- Evaluation de la dispersion du revenu disponible en utilisant les deacuteciles construction de la courbe de Lorenz
On adopte un autre point de vue pour les graphiques le revenu est fonction des pourcentages des deacuteciles correspondants
Revenu disponible en 2004 par deacutecile
5
Reacutefeacuterences 24 837 000 meacutenages pour une
masse totale de 718 660 millions drsquoeuros
Veacuterifier le valeur de D4 et D7 sur le graphique
ndeg2
Compleacuteter la quatriegraveme colonne du tableau ci-
contre puis construire en rouge dans le
graphique ci-dessous les points correspondants
( premiegravere colonne ( cumuleacutes des
correspondant aux deacuteciles) quatriegraveme colonne
( cumuleacutes des de la masse totale) ) et
joindre les points par des segments rouges
Compleacutements sur la construction du tableau et sur le calcul du pourcentage de la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
Les 3 de la premiegravere ligne sont obtenus par la formule 007186600000
24837000100
108790
003 donc 3
puisque les 10 des 24 837 000 meacutenages se partagent en moyenne 8790 euro chacun donc en tout ces 10 se partagent une masse en
euro de 87900124837000 soit selon le calcul ci-dessus 3 de la masse totale
A lrsquoaide drsquoun tableur on effectue le
calcul pour toutes les tranches des
deacuteciles
Remarque inversement agrave lrsquoaide drsquoun tableau comme ci-dessous on aurait pu obtenir la masse totale des revenus disponibles ( crsquoest
un tableau qursquoil est souvent demandeacute de compleacuteter dans un exercice drsquoeacuteconomie mais dans la pratique les logiciels fournissent sans
difficulteacute cette masse totale il permet simplement de comprendre la construction du tableau pour tracer la courbe de Lorenz surtout
lorsque les tableaux ne sont pas donneacutes avec les deacuteciles )
La masse totale des revenus disponibles des meacutenages obtenue diffegravere un peu de la valeur donneacutee par lrsquoINSEE du fait de
lrsquoapproximation des donneacutees ( drsquoougrave lrsquoimportance que lrsquoINSEE donne la valeur exacte ) mais cette diffeacuterence ne fait pas varier les
reacutesultats des pourcentages
deacutecile
limite supeacuterieure du
revenu disponible annuel ( en euro )
pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
Cumul du pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
D1 ( 10 ) 11 477 3 3 (003)
D2 ( 20 ) 14 408 45 75 (0075)
D3 ( 30 ) 17 581 55 13
D4 ( 40 ) 20 942 67 197
D5 ( 50 ) 24 599 79 276
D6 ( 60 ) 28 623 92 368
D7 ( 70 ) 33 171 107 475
D8 ( 80 ) 39 356 125 60
D9 ( 90 ) 49 554 152 752
supeacuterieur agrave D9 248 100
deacuteciles revenus disponibles moyens
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu
par chaque deacutecile
D1 8 790 0030
D2 13 010 0045
D3 15 940 0055
D4 19 250 0067
D5 22 780 0079
D6 26 570 0092
D7 30 840 0107
D8 36 080 0125
D9 43 930 0152
D10 72 170 0249
deacuteciles
nombre de
meacutenages pour un
total de 24 837 000 ni
revenus
disponibles
moyens pour chaque tranche xi
masse totale de revenu
deacutetenu par chaque tranche ni x xi
cumul de la masse totale de
revenu deacutetenu par chaque tranche en euro
pourcentage de la
masse totale des revenus par tranche par
rapport agrave la masse totale
deacutetenu par lensemble des meacutenages
cumul du pourcentage de
la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque tranche
D1 2 483 700 8 79000 euro 21 831 723 000 euro 21 831 723 000 euro 0030 0030
D2 2 483 700 13 01000 euro 32 312 937 000 euro 54 144 660 000 euro 0045 0075
D3 2 483 700 15 94000 euro 39 590 178 000 euro 93 734 838 000 euro 0055 0130
D4 2 483 700 19 25000 euro 47 811 225 000 euro 141 546 063 000 euro 0067 0197
D5 2 483 700 22 78000 euro 56 578 686 000 euro 198 124 749 000 euro 0079 0275
D6 2 483 700 26 57000 euro 65 991 909 000 euro 264 116 658 000 euro 0092 0367
D7 2 483 700 30 84000 euro 76 597 308 000 euro 340 713 966 000 euro 0107 0474
D8 2 483 700 36 08000 euro 89 611 896 000 euro 430 325 862 000 euro 0125 0598
D9 2 483 700 43 93000 euro 109 108 941 000 euro 539 434 803 000 euro 0152 0750
D10 2 483 700 72 17000 euro 179 248 629 000 euro 718 683 432 000 euro 0249 1000
6
Lecture Compleacuteter agrave lrsquoaide du tableau et du graphique les phrases suivantes
En 2004 les 10 des meacutenages franccedilais qui avaient les revenus les plus bas touchaient au plus 11 477 euros et totalisent 3 du
revenu total alors que si la reacutepartition eacutetait eacutegalitaire ils toucheraient 10 du revenu total soit un eacutecart de 7 points
En 2004 les 10 des meacutenages qui avaient les revenus les plus eacuteleveacutes touchaient au moins 49 554 euros et totalisent 248 du
revenu total
En 2004 la moitieacute de la masse totale des revenus disponibles est deacutetenue par 72 de la part des meacutenages qui ont les revenus les plus
faibles et ceci signifie donc que 28 des meacutenages ayant les revenus les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 50 de cette masse totale des
revenus
La seconde courbe de Lorenz celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la droite drsquoeacutequireacutepartition ou diagonale correspond agrave la reacutepartition du
patrimoine et permet de montrer que les 20 des franccedilais qui ont le patrimoine le plus faible deacutetiennent seulement 015 de la masse
totale du patrimoine
De mecircme les 20 dont les revenus sont les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 639 de la totaliteacute du patrimoine
On peut donc ici mettre en eacutevidence que la part du patrimoine deacutetenue par les 20 les plus riches est 433 fois plus importante que la
part des 20 des meacutenages ayant les revenus les plus faibles
7
Partie B eacutetude de courbes de Lorenz deacutefinition du coefficient de Gini
Interpreacutetation en SES
Dans ce type de graphique ougrave les abscisses sont les deacuteciles (7) ( cumul croissant de freacutequences ) et en ordonneacutees les parts drsquoune
grandeur eacutetudieacutee (cumul croissant de pourcentages ) les courbes obtenues srsquoappellent des courbes de Lorenz Elles mettent en
eacutevidence la reacutepartition de la grandeur eacutetudieacutee pour permettre des comparaisons
Quelle est lrsquointerpreacutetation de la diagonale du graphique
Equireacutepartition signifie reacutepartition eacutegalitaire selon laquelle 50des richesses sont deacutetenues par 50
des meacutenages ( 1 des meacutenages gagne 1 de la masse totale etc hellip tous les meacutenages ont le mecircme
revenus situation improbable )
Quelle interpreacutetation peut-on donner de lrsquoeacuteloignement de la courbe de Lorenz des revenus
disponibles avec la diagonale
Plus la courbe srsquoeacuteloigne de la diagonale plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Comparer ( agrave lrsquoaide des tableaux ou des graphiques ) les valeurs des deux courbes de Lorenz du
revenu et du patrimoine drsquoabord de faccedilon geacuteneacuterale puis pour D2 D5 et D8 faire une phrase et
interpreacuteter
Graphiquement la courbe de Lorenz du patrimoine est bien plus eacuteloigneacutee de la diagonale que la
courbe de Lorenz du revenu donc la reacutepartition du patrimoine est bien plus ineacutegalitaire que la
reacutepartition du revenu disponible
Pour D2 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus pauvres deacutetiennent 45de la
masse totale des revenus disponibles et 015 de la masse totale du patrimoine
Pour D5 cela signifie qursquoen France les 50 des meacutenages deacutetiennent 275 de la masse totale des
revenus disponibles et 72 de la masse totale du patrimoine
Pour D8 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus riches deacutetiennent 402 de la
masse totale des revenus disponibles et 639 de la masse totale du patrimoine
Ceci permet de montrer des ineacutegaliteacutes en France aussi bien dans la reacutepartition des revenus disponibles que du patrimoine Cependant
on note que les ineacutegaliteacutes dans la reacutepartition du patrimoine sont beaucoup plus marqueacutees que celles dans la reacutepartition des revenus
disponibles
Lrsquoeacutetude de D8 (des 20 des franccedilais les plus riches) est significative elle montre qursquoils deacutetiennent
une part du patrimoine total bien supeacuterieure agrave celle du revenu disponible deacutetenu ( eacutecart de 237 points)
deacuteciles
Part du patrimoine
total posseacutedeacute par les meacutenages au seuil
indiqueacutes (en )
10 0
20 015
30 07
40 25
50 72
60 143
70 237
80 361
90 542
Reacutepartition du patrimoine
brut en France en 2003
Note le patrimoine deacutetenu comprend les biens immobiliers les actifs financiers ainsi que le patrimoine professionnel pour les actifs indeacutependants
8
On deacutefinit ainsi un nouvel indicateur le coefficient de Gini
Le coefficient de Gini noteacute souvent est eacutegal au rapport des deux aires
= OABtriangleduaire
vertfoncepartieladeaire
Proprieacuteteacutes Plus lrsquoeacutecart entre la courbe et la droite drsquoeacutequireacutepartition est grand et plus
le coefficient de Gini est grand
Ce coefficient compris entre 0 et 1 permet de comprendre que plus on se rapproche drsquoun coefficient proche de 0 plus la reacutepartition est
eacutegalitaire plus on se rapproche de 1 plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Ce nombre (un indicateur ) permet ainsi de mettre en eacutevidence lrsquoeacutevolution des ineacutegaliteacutes sur une peacuteriode la comparaison entre
pays ou entre des cateacutegories diffeacuterentes hellip
Avantages du calcul du coefficient de Gini ( un + par rapport au rapport interdeacutecile)
1) Permettre de comparer par exemple les ineacutegaliteacutes des revenus selon les pays cliquer sur le lien suivant pour visualiser les
dispariteacutes mondiales httpfrwikipediaorgwikiListe_des_pays_par_C3A9galitC3A9_de_revenus
lecture de ces donneacutees sur un graphique
Les pays historiquement eacutegalitaires ont un coefficient de lordre de 02 (Bulgarie Hongrie Slovaquie Tchegravequie Pologne) Les pays
les plus ineacutegalitaires au monde ont un coefficient de 06 (Breacutesil Guateacutemala Honduras ) En France le coefficient de Gini est de
036 (source INSEE revenus fiscaux 2004) Celui de la Chine est en train de monter et deacutepasse maintenant 05 ( wikipedia)
2) Permettre de suivre lrsquoeacutevolution du coefficient sur une peacuteriode
Evolution des indices de Gini des revenus par uniteacute de consommation (uc [5]) avant impocircts et apregraves impocircts et subventions
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
4
compleacutements sur la calcul de la moyenne
Pour calculer la moyenne des revenus de lrsquoensemble des meacutenages agrave lrsquoaide drsquoun tableau par regroupement par classe on multiplie les
effectifs ( ou les freacutequences) par le centre de la classe mais ce calcul ne permet que drsquoen trouver une valeur approcheacutee on ne sait pas
comment sont reacutepartis les revenus dans chaque classe Pour la valeur exacte on fait le calcul sur toutes les donneacutees ( fait par le
logiciel) ou on peut se servir drsquoun autre tableau fourni par lrsquoINSEE
Ainsi on pourra calculer la moyenne des revenus sachant que les meacutenages dans chaque tranche gagnent en moyenne le revenu moyen
de la tranche ( on calcule la moyenne agrave partir des moyennes des sous groupes )
018790 + 0113010+ 0115940+ 0119250+ 0122780+ 0126570+ 0130840+ 0136080+ 0143930+ 0172170 = 28936
euro
On retrouve bien sucircr ce reacutesultat avec les donneacutees de reacutefeacuterence fournies en compleacutement du tableau page 2
24837000
007186600000 28 935 ( = masse totale agrave partager effectif total )
Pourquoi nrsquoobtient-on pas le chiffre donneacute par lrsquoINSEE il faut rechercher les meacutethodes de calcul de lrsquoINSEE et en particulier ce qui
est pris en compte dans les revenus disponibles ou la base des euros constants hellip Par contre la valeur est coheacuterente avec le tableau ci-
dessous toujours fourni par lrsquoINSEE
REVENU DISPONIBLE MOYEN DE LENSEMBLE DES MENAGES en euros 2004an
Selon le type de meacutenage
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2002
reacutetropoleacutee 2003 2004
couple sans enfant 27 447 27 362 28 211 28 933 29 390 29 804 30 072 30 541 30 980 30 865
couple avec un enfant 33 211 33 083 34 304 35 057 35 715 36 968 37 689 38 040 37 359 37 551
couple deux enfants 36 777 36 745 37 371 38 188 39 186 39 897 40 636 40 949 41 336 41 337 couple avec trois enfants ou plus 36 437 37 509 38 486 39 643 40 948 41 659 43 881 44 311 43 924 43 457
famille monoparentale 21 599 21 397 21 748 22 172 22 416 23 223 23 730 24 028 23 493 23 677
personne seule 15 114 15 072 15 210 15 560 15 783 16 324 16 143 16 406 16 380 16 290 meacutenage sans famille principale 24 900 24 932 25 484 26 630 28 084 27 819 34 538 35 168 33 522 33 700
ensemble des meacutenages 26 195 26 110 26 651 27 171 27 617 28 201 28 476 29 071 29 010 28 935
note De 1996 agrave 2002 les enquecirctes Revenus fiscaux sappuyaient sur les recensements de 1990 et 1999 LERF 2002 reacutetropoleacutee correspond avec les
enquecirctes 2003 et 2004 au deacutebut dune nouvelle seacuterie de statistiques sur les revenus sappuyant sur les reacutesultats annuels du recensement de la population
Cette nouvelle seacuterie prend par ailleurs en compte les revenus soumis agrave preacutelegravevements libeacuteratoires
Source enquecirctes revenus fiscaux de 1996 agrave 2004 Insee-DGI
Champ meacutenages dont le revenu deacuteclareacute au fisc est positif ou nul et dont la personne de reacutefeacuterence nest ni eacutetudiante ni militaire du contingent
II- Evaluation de la dispersion du revenu disponible en utilisant les deacuteciles construction de la courbe de Lorenz
On adopte un autre point de vue pour les graphiques le revenu est fonction des pourcentages des deacuteciles correspondants
Revenu disponible en 2004 par deacutecile
5
Reacutefeacuterences 24 837 000 meacutenages pour une
masse totale de 718 660 millions drsquoeuros
Veacuterifier le valeur de D4 et D7 sur le graphique
ndeg2
Compleacuteter la quatriegraveme colonne du tableau ci-
contre puis construire en rouge dans le
graphique ci-dessous les points correspondants
( premiegravere colonne ( cumuleacutes des
correspondant aux deacuteciles) quatriegraveme colonne
( cumuleacutes des de la masse totale) ) et
joindre les points par des segments rouges
Compleacutements sur la construction du tableau et sur le calcul du pourcentage de la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
Les 3 de la premiegravere ligne sont obtenus par la formule 007186600000
24837000100
108790
003 donc 3
puisque les 10 des 24 837 000 meacutenages se partagent en moyenne 8790 euro chacun donc en tout ces 10 se partagent une masse en
euro de 87900124837000 soit selon le calcul ci-dessus 3 de la masse totale
A lrsquoaide drsquoun tableur on effectue le
calcul pour toutes les tranches des
deacuteciles
Remarque inversement agrave lrsquoaide drsquoun tableau comme ci-dessous on aurait pu obtenir la masse totale des revenus disponibles ( crsquoest
un tableau qursquoil est souvent demandeacute de compleacuteter dans un exercice drsquoeacuteconomie mais dans la pratique les logiciels fournissent sans
difficulteacute cette masse totale il permet simplement de comprendre la construction du tableau pour tracer la courbe de Lorenz surtout
lorsque les tableaux ne sont pas donneacutes avec les deacuteciles )
La masse totale des revenus disponibles des meacutenages obtenue diffegravere un peu de la valeur donneacutee par lrsquoINSEE du fait de
lrsquoapproximation des donneacutees ( drsquoougrave lrsquoimportance que lrsquoINSEE donne la valeur exacte ) mais cette diffeacuterence ne fait pas varier les
reacutesultats des pourcentages
deacutecile
limite supeacuterieure du
revenu disponible annuel ( en euro )
pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
Cumul du pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
D1 ( 10 ) 11 477 3 3 (003)
D2 ( 20 ) 14 408 45 75 (0075)
D3 ( 30 ) 17 581 55 13
D4 ( 40 ) 20 942 67 197
D5 ( 50 ) 24 599 79 276
D6 ( 60 ) 28 623 92 368
D7 ( 70 ) 33 171 107 475
D8 ( 80 ) 39 356 125 60
D9 ( 90 ) 49 554 152 752
supeacuterieur agrave D9 248 100
deacuteciles revenus disponibles moyens
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu
par chaque deacutecile
D1 8 790 0030
D2 13 010 0045
D3 15 940 0055
D4 19 250 0067
D5 22 780 0079
D6 26 570 0092
D7 30 840 0107
D8 36 080 0125
D9 43 930 0152
D10 72 170 0249
deacuteciles
nombre de
meacutenages pour un
total de 24 837 000 ni
revenus
disponibles
moyens pour chaque tranche xi
masse totale de revenu
deacutetenu par chaque tranche ni x xi
cumul de la masse totale de
revenu deacutetenu par chaque tranche en euro
pourcentage de la
masse totale des revenus par tranche par
rapport agrave la masse totale
deacutetenu par lensemble des meacutenages
cumul du pourcentage de
la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque tranche
D1 2 483 700 8 79000 euro 21 831 723 000 euro 21 831 723 000 euro 0030 0030
D2 2 483 700 13 01000 euro 32 312 937 000 euro 54 144 660 000 euro 0045 0075
D3 2 483 700 15 94000 euro 39 590 178 000 euro 93 734 838 000 euro 0055 0130
D4 2 483 700 19 25000 euro 47 811 225 000 euro 141 546 063 000 euro 0067 0197
D5 2 483 700 22 78000 euro 56 578 686 000 euro 198 124 749 000 euro 0079 0275
D6 2 483 700 26 57000 euro 65 991 909 000 euro 264 116 658 000 euro 0092 0367
D7 2 483 700 30 84000 euro 76 597 308 000 euro 340 713 966 000 euro 0107 0474
D8 2 483 700 36 08000 euro 89 611 896 000 euro 430 325 862 000 euro 0125 0598
D9 2 483 700 43 93000 euro 109 108 941 000 euro 539 434 803 000 euro 0152 0750
D10 2 483 700 72 17000 euro 179 248 629 000 euro 718 683 432 000 euro 0249 1000
6
Lecture Compleacuteter agrave lrsquoaide du tableau et du graphique les phrases suivantes
En 2004 les 10 des meacutenages franccedilais qui avaient les revenus les plus bas touchaient au plus 11 477 euros et totalisent 3 du
revenu total alors que si la reacutepartition eacutetait eacutegalitaire ils toucheraient 10 du revenu total soit un eacutecart de 7 points
En 2004 les 10 des meacutenages qui avaient les revenus les plus eacuteleveacutes touchaient au moins 49 554 euros et totalisent 248 du
revenu total
En 2004 la moitieacute de la masse totale des revenus disponibles est deacutetenue par 72 de la part des meacutenages qui ont les revenus les plus
faibles et ceci signifie donc que 28 des meacutenages ayant les revenus les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 50 de cette masse totale des
revenus
La seconde courbe de Lorenz celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la droite drsquoeacutequireacutepartition ou diagonale correspond agrave la reacutepartition du
patrimoine et permet de montrer que les 20 des franccedilais qui ont le patrimoine le plus faible deacutetiennent seulement 015 de la masse
totale du patrimoine
De mecircme les 20 dont les revenus sont les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 639 de la totaliteacute du patrimoine
On peut donc ici mettre en eacutevidence que la part du patrimoine deacutetenue par les 20 les plus riches est 433 fois plus importante que la
part des 20 des meacutenages ayant les revenus les plus faibles
7
Partie B eacutetude de courbes de Lorenz deacutefinition du coefficient de Gini
Interpreacutetation en SES
Dans ce type de graphique ougrave les abscisses sont les deacuteciles (7) ( cumul croissant de freacutequences ) et en ordonneacutees les parts drsquoune
grandeur eacutetudieacutee (cumul croissant de pourcentages ) les courbes obtenues srsquoappellent des courbes de Lorenz Elles mettent en
eacutevidence la reacutepartition de la grandeur eacutetudieacutee pour permettre des comparaisons
Quelle est lrsquointerpreacutetation de la diagonale du graphique
Equireacutepartition signifie reacutepartition eacutegalitaire selon laquelle 50des richesses sont deacutetenues par 50
des meacutenages ( 1 des meacutenages gagne 1 de la masse totale etc hellip tous les meacutenages ont le mecircme
revenus situation improbable )
Quelle interpreacutetation peut-on donner de lrsquoeacuteloignement de la courbe de Lorenz des revenus
disponibles avec la diagonale
Plus la courbe srsquoeacuteloigne de la diagonale plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Comparer ( agrave lrsquoaide des tableaux ou des graphiques ) les valeurs des deux courbes de Lorenz du
revenu et du patrimoine drsquoabord de faccedilon geacuteneacuterale puis pour D2 D5 et D8 faire une phrase et
interpreacuteter
Graphiquement la courbe de Lorenz du patrimoine est bien plus eacuteloigneacutee de la diagonale que la
courbe de Lorenz du revenu donc la reacutepartition du patrimoine est bien plus ineacutegalitaire que la
reacutepartition du revenu disponible
Pour D2 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus pauvres deacutetiennent 45de la
masse totale des revenus disponibles et 015 de la masse totale du patrimoine
Pour D5 cela signifie qursquoen France les 50 des meacutenages deacutetiennent 275 de la masse totale des
revenus disponibles et 72 de la masse totale du patrimoine
Pour D8 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus riches deacutetiennent 402 de la
masse totale des revenus disponibles et 639 de la masse totale du patrimoine
Ceci permet de montrer des ineacutegaliteacutes en France aussi bien dans la reacutepartition des revenus disponibles que du patrimoine Cependant
on note que les ineacutegaliteacutes dans la reacutepartition du patrimoine sont beaucoup plus marqueacutees que celles dans la reacutepartition des revenus
disponibles
Lrsquoeacutetude de D8 (des 20 des franccedilais les plus riches) est significative elle montre qursquoils deacutetiennent
une part du patrimoine total bien supeacuterieure agrave celle du revenu disponible deacutetenu ( eacutecart de 237 points)
deacuteciles
Part du patrimoine
total posseacutedeacute par les meacutenages au seuil
indiqueacutes (en )
10 0
20 015
30 07
40 25
50 72
60 143
70 237
80 361
90 542
Reacutepartition du patrimoine
brut en France en 2003
Note le patrimoine deacutetenu comprend les biens immobiliers les actifs financiers ainsi que le patrimoine professionnel pour les actifs indeacutependants
8
On deacutefinit ainsi un nouvel indicateur le coefficient de Gini
Le coefficient de Gini noteacute souvent est eacutegal au rapport des deux aires
= OABtriangleduaire
vertfoncepartieladeaire
Proprieacuteteacutes Plus lrsquoeacutecart entre la courbe et la droite drsquoeacutequireacutepartition est grand et plus
le coefficient de Gini est grand
Ce coefficient compris entre 0 et 1 permet de comprendre que plus on se rapproche drsquoun coefficient proche de 0 plus la reacutepartition est
eacutegalitaire plus on se rapproche de 1 plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Ce nombre (un indicateur ) permet ainsi de mettre en eacutevidence lrsquoeacutevolution des ineacutegaliteacutes sur une peacuteriode la comparaison entre
pays ou entre des cateacutegories diffeacuterentes hellip
Avantages du calcul du coefficient de Gini ( un + par rapport au rapport interdeacutecile)
1) Permettre de comparer par exemple les ineacutegaliteacutes des revenus selon les pays cliquer sur le lien suivant pour visualiser les
dispariteacutes mondiales httpfrwikipediaorgwikiListe_des_pays_par_C3A9galitC3A9_de_revenus
lecture de ces donneacutees sur un graphique
Les pays historiquement eacutegalitaires ont un coefficient de lordre de 02 (Bulgarie Hongrie Slovaquie Tchegravequie Pologne) Les pays
les plus ineacutegalitaires au monde ont un coefficient de 06 (Breacutesil Guateacutemala Honduras ) En France le coefficient de Gini est de
036 (source INSEE revenus fiscaux 2004) Celui de la Chine est en train de monter et deacutepasse maintenant 05 ( wikipedia)
2) Permettre de suivre lrsquoeacutevolution du coefficient sur une peacuteriode
Evolution des indices de Gini des revenus par uniteacute de consommation (uc [5]) avant impocircts et apregraves impocircts et subventions
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
5
Reacutefeacuterences 24 837 000 meacutenages pour une
masse totale de 718 660 millions drsquoeuros
Veacuterifier le valeur de D4 et D7 sur le graphique
ndeg2
Compleacuteter la quatriegraveme colonne du tableau ci-
contre puis construire en rouge dans le
graphique ci-dessous les points correspondants
( premiegravere colonne ( cumuleacutes des
correspondant aux deacuteciles) quatriegraveme colonne
( cumuleacutes des de la masse totale) ) et
joindre les points par des segments rouges
Compleacutements sur la construction du tableau et sur le calcul du pourcentage de la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
Les 3 de la premiegravere ligne sont obtenus par la formule 007186600000
24837000100
108790
003 donc 3
puisque les 10 des 24 837 000 meacutenages se partagent en moyenne 8790 euro chacun donc en tout ces 10 se partagent une masse en
euro de 87900124837000 soit selon le calcul ci-dessus 3 de la masse totale
A lrsquoaide drsquoun tableur on effectue le
calcul pour toutes les tranches des
deacuteciles
Remarque inversement agrave lrsquoaide drsquoun tableau comme ci-dessous on aurait pu obtenir la masse totale des revenus disponibles ( crsquoest
un tableau qursquoil est souvent demandeacute de compleacuteter dans un exercice drsquoeacuteconomie mais dans la pratique les logiciels fournissent sans
difficulteacute cette masse totale il permet simplement de comprendre la construction du tableau pour tracer la courbe de Lorenz surtout
lorsque les tableaux ne sont pas donneacutes avec les deacuteciles )
La masse totale des revenus disponibles des meacutenages obtenue diffegravere un peu de la valeur donneacutee par lrsquoINSEE du fait de
lrsquoapproximation des donneacutees ( drsquoougrave lrsquoimportance que lrsquoINSEE donne la valeur exacte ) mais cette diffeacuterence ne fait pas varier les
reacutesultats des pourcentages
deacutecile
limite supeacuterieure du
revenu disponible annuel ( en euro )
pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
Cumul du pourcentage de la masse totale des revenus
disponibles reccedilu par chaque
deacutecile
D1 ( 10 ) 11 477 3 3 (003)
D2 ( 20 ) 14 408 45 75 (0075)
D3 ( 30 ) 17 581 55 13
D4 ( 40 ) 20 942 67 197
D5 ( 50 ) 24 599 79 276
D6 ( 60 ) 28 623 92 368
D7 ( 70 ) 33 171 107 475
D8 ( 80 ) 39 356 125 60
D9 ( 90 ) 49 554 152 752
supeacuterieur agrave D9 248 100
deacuteciles revenus disponibles moyens
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu
par chaque deacutecile
D1 8 790 0030
D2 13 010 0045
D3 15 940 0055
D4 19 250 0067
D5 22 780 0079
D6 26 570 0092
D7 30 840 0107
D8 36 080 0125
D9 43 930 0152
D10 72 170 0249
deacuteciles
nombre de
meacutenages pour un
total de 24 837 000 ni
revenus
disponibles
moyens pour chaque tranche xi
masse totale de revenu
deacutetenu par chaque tranche ni x xi
cumul de la masse totale de
revenu deacutetenu par chaque tranche en euro
pourcentage de la
masse totale des revenus par tranche par
rapport agrave la masse totale
deacutetenu par lensemble des meacutenages
cumul du pourcentage de
la masse totale des
revenus disponibles reccedilu par chaque tranche
D1 2 483 700 8 79000 euro 21 831 723 000 euro 21 831 723 000 euro 0030 0030
D2 2 483 700 13 01000 euro 32 312 937 000 euro 54 144 660 000 euro 0045 0075
D3 2 483 700 15 94000 euro 39 590 178 000 euro 93 734 838 000 euro 0055 0130
D4 2 483 700 19 25000 euro 47 811 225 000 euro 141 546 063 000 euro 0067 0197
D5 2 483 700 22 78000 euro 56 578 686 000 euro 198 124 749 000 euro 0079 0275
D6 2 483 700 26 57000 euro 65 991 909 000 euro 264 116 658 000 euro 0092 0367
D7 2 483 700 30 84000 euro 76 597 308 000 euro 340 713 966 000 euro 0107 0474
D8 2 483 700 36 08000 euro 89 611 896 000 euro 430 325 862 000 euro 0125 0598
D9 2 483 700 43 93000 euro 109 108 941 000 euro 539 434 803 000 euro 0152 0750
D10 2 483 700 72 17000 euro 179 248 629 000 euro 718 683 432 000 euro 0249 1000
6
Lecture Compleacuteter agrave lrsquoaide du tableau et du graphique les phrases suivantes
En 2004 les 10 des meacutenages franccedilais qui avaient les revenus les plus bas touchaient au plus 11 477 euros et totalisent 3 du
revenu total alors que si la reacutepartition eacutetait eacutegalitaire ils toucheraient 10 du revenu total soit un eacutecart de 7 points
En 2004 les 10 des meacutenages qui avaient les revenus les plus eacuteleveacutes touchaient au moins 49 554 euros et totalisent 248 du
revenu total
En 2004 la moitieacute de la masse totale des revenus disponibles est deacutetenue par 72 de la part des meacutenages qui ont les revenus les plus
faibles et ceci signifie donc que 28 des meacutenages ayant les revenus les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 50 de cette masse totale des
revenus
La seconde courbe de Lorenz celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la droite drsquoeacutequireacutepartition ou diagonale correspond agrave la reacutepartition du
patrimoine et permet de montrer que les 20 des franccedilais qui ont le patrimoine le plus faible deacutetiennent seulement 015 de la masse
totale du patrimoine
De mecircme les 20 dont les revenus sont les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 639 de la totaliteacute du patrimoine
On peut donc ici mettre en eacutevidence que la part du patrimoine deacutetenue par les 20 les plus riches est 433 fois plus importante que la
part des 20 des meacutenages ayant les revenus les plus faibles
7
Partie B eacutetude de courbes de Lorenz deacutefinition du coefficient de Gini
Interpreacutetation en SES
Dans ce type de graphique ougrave les abscisses sont les deacuteciles (7) ( cumul croissant de freacutequences ) et en ordonneacutees les parts drsquoune
grandeur eacutetudieacutee (cumul croissant de pourcentages ) les courbes obtenues srsquoappellent des courbes de Lorenz Elles mettent en
eacutevidence la reacutepartition de la grandeur eacutetudieacutee pour permettre des comparaisons
Quelle est lrsquointerpreacutetation de la diagonale du graphique
Equireacutepartition signifie reacutepartition eacutegalitaire selon laquelle 50des richesses sont deacutetenues par 50
des meacutenages ( 1 des meacutenages gagne 1 de la masse totale etc hellip tous les meacutenages ont le mecircme
revenus situation improbable )
Quelle interpreacutetation peut-on donner de lrsquoeacuteloignement de la courbe de Lorenz des revenus
disponibles avec la diagonale
Plus la courbe srsquoeacuteloigne de la diagonale plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Comparer ( agrave lrsquoaide des tableaux ou des graphiques ) les valeurs des deux courbes de Lorenz du
revenu et du patrimoine drsquoabord de faccedilon geacuteneacuterale puis pour D2 D5 et D8 faire une phrase et
interpreacuteter
Graphiquement la courbe de Lorenz du patrimoine est bien plus eacuteloigneacutee de la diagonale que la
courbe de Lorenz du revenu donc la reacutepartition du patrimoine est bien plus ineacutegalitaire que la
reacutepartition du revenu disponible
Pour D2 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus pauvres deacutetiennent 45de la
masse totale des revenus disponibles et 015 de la masse totale du patrimoine
Pour D5 cela signifie qursquoen France les 50 des meacutenages deacutetiennent 275 de la masse totale des
revenus disponibles et 72 de la masse totale du patrimoine
Pour D8 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus riches deacutetiennent 402 de la
masse totale des revenus disponibles et 639 de la masse totale du patrimoine
Ceci permet de montrer des ineacutegaliteacutes en France aussi bien dans la reacutepartition des revenus disponibles que du patrimoine Cependant
on note que les ineacutegaliteacutes dans la reacutepartition du patrimoine sont beaucoup plus marqueacutees que celles dans la reacutepartition des revenus
disponibles
Lrsquoeacutetude de D8 (des 20 des franccedilais les plus riches) est significative elle montre qursquoils deacutetiennent
une part du patrimoine total bien supeacuterieure agrave celle du revenu disponible deacutetenu ( eacutecart de 237 points)
deacuteciles
Part du patrimoine
total posseacutedeacute par les meacutenages au seuil
indiqueacutes (en )
10 0
20 015
30 07
40 25
50 72
60 143
70 237
80 361
90 542
Reacutepartition du patrimoine
brut en France en 2003
Note le patrimoine deacutetenu comprend les biens immobiliers les actifs financiers ainsi que le patrimoine professionnel pour les actifs indeacutependants
8
On deacutefinit ainsi un nouvel indicateur le coefficient de Gini
Le coefficient de Gini noteacute souvent est eacutegal au rapport des deux aires
= OABtriangleduaire
vertfoncepartieladeaire
Proprieacuteteacutes Plus lrsquoeacutecart entre la courbe et la droite drsquoeacutequireacutepartition est grand et plus
le coefficient de Gini est grand
Ce coefficient compris entre 0 et 1 permet de comprendre que plus on se rapproche drsquoun coefficient proche de 0 plus la reacutepartition est
eacutegalitaire plus on se rapproche de 1 plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Ce nombre (un indicateur ) permet ainsi de mettre en eacutevidence lrsquoeacutevolution des ineacutegaliteacutes sur une peacuteriode la comparaison entre
pays ou entre des cateacutegories diffeacuterentes hellip
Avantages du calcul du coefficient de Gini ( un + par rapport au rapport interdeacutecile)
1) Permettre de comparer par exemple les ineacutegaliteacutes des revenus selon les pays cliquer sur le lien suivant pour visualiser les
dispariteacutes mondiales httpfrwikipediaorgwikiListe_des_pays_par_C3A9galitC3A9_de_revenus
lecture de ces donneacutees sur un graphique
Les pays historiquement eacutegalitaires ont un coefficient de lordre de 02 (Bulgarie Hongrie Slovaquie Tchegravequie Pologne) Les pays
les plus ineacutegalitaires au monde ont un coefficient de 06 (Breacutesil Guateacutemala Honduras ) En France le coefficient de Gini est de
036 (source INSEE revenus fiscaux 2004) Celui de la Chine est en train de monter et deacutepasse maintenant 05 ( wikipedia)
2) Permettre de suivre lrsquoeacutevolution du coefficient sur une peacuteriode
Evolution des indices de Gini des revenus par uniteacute de consommation (uc [5]) avant impocircts et apregraves impocircts et subventions
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
6
Lecture Compleacuteter agrave lrsquoaide du tableau et du graphique les phrases suivantes
En 2004 les 10 des meacutenages franccedilais qui avaient les revenus les plus bas touchaient au plus 11 477 euros et totalisent 3 du
revenu total alors que si la reacutepartition eacutetait eacutegalitaire ils toucheraient 10 du revenu total soit un eacutecart de 7 points
En 2004 les 10 des meacutenages qui avaient les revenus les plus eacuteleveacutes touchaient au moins 49 554 euros et totalisent 248 du
revenu total
En 2004 la moitieacute de la masse totale des revenus disponibles est deacutetenue par 72 de la part des meacutenages qui ont les revenus les plus
faibles et ceci signifie donc que 28 des meacutenages ayant les revenus les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 50 de cette masse totale des
revenus
La seconde courbe de Lorenz celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la droite drsquoeacutequireacutepartition ou diagonale correspond agrave la reacutepartition du
patrimoine et permet de montrer que les 20 des franccedilais qui ont le patrimoine le plus faible deacutetiennent seulement 015 de la masse
totale du patrimoine
De mecircme les 20 dont les revenus sont les plus eacuteleveacutes deacutetiennent 639 de la totaliteacute du patrimoine
On peut donc ici mettre en eacutevidence que la part du patrimoine deacutetenue par les 20 les plus riches est 433 fois plus importante que la
part des 20 des meacutenages ayant les revenus les plus faibles
7
Partie B eacutetude de courbes de Lorenz deacutefinition du coefficient de Gini
Interpreacutetation en SES
Dans ce type de graphique ougrave les abscisses sont les deacuteciles (7) ( cumul croissant de freacutequences ) et en ordonneacutees les parts drsquoune
grandeur eacutetudieacutee (cumul croissant de pourcentages ) les courbes obtenues srsquoappellent des courbes de Lorenz Elles mettent en
eacutevidence la reacutepartition de la grandeur eacutetudieacutee pour permettre des comparaisons
Quelle est lrsquointerpreacutetation de la diagonale du graphique
Equireacutepartition signifie reacutepartition eacutegalitaire selon laquelle 50des richesses sont deacutetenues par 50
des meacutenages ( 1 des meacutenages gagne 1 de la masse totale etc hellip tous les meacutenages ont le mecircme
revenus situation improbable )
Quelle interpreacutetation peut-on donner de lrsquoeacuteloignement de la courbe de Lorenz des revenus
disponibles avec la diagonale
Plus la courbe srsquoeacuteloigne de la diagonale plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Comparer ( agrave lrsquoaide des tableaux ou des graphiques ) les valeurs des deux courbes de Lorenz du
revenu et du patrimoine drsquoabord de faccedilon geacuteneacuterale puis pour D2 D5 et D8 faire une phrase et
interpreacuteter
Graphiquement la courbe de Lorenz du patrimoine est bien plus eacuteloigneacutee de la diagonale que la
courbe de Lorenz du revenu donc la reacutepartition du patrimoine est bien plus ineacutegalitaire que la
reacutepartition du revenu disponible
Pour D2 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus pauvres deacutetiennent 45de la
masse totale des revenus disponibles et 015 de la masse totale du patrimoine
Pour D5 cela signifie qursquoen France les 50 des meacutenages deacutetiennent 275 de la masse totale des
revenus disponibles et 72 de la masse totale du patrimoine
Pour D8 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus riches deacutetiennent 402 de la
masse totale des revenus disponibles et 639 de la masse totale du patrimoine
Ceci permet de montrer des ineacutegaliteacutes en France aussi bien dans la reacutepartition des revenus disponibles que du patrimoine Cependant
on note que les ineacutegaliteacutes dans la reacutepartition du patrimoine sont beaucoup plus marqueacutees que celles dans la reacutepartition des revenus
disponibles
Lrsquoeacutetude de D8 (des 20 des franccedilais les plus riches) est significative elle montre qursquoils deacutetiennent
une part du patrimoine total bien supeacuterieure agrave celle du revenu disponible deacutetenu ( eacutecart de 237 points)
deacuteciles
Part du patrimoine
total posseacutedeacute par les meacutenages au seuil
indiqueacutes (en )
10 0
20 015
30 07
40 25
50 72
60 143
70 237
80 361
90 542
Reacutepartition du patrimoine
brut en France en 2003
Note le patrimoine deacutetenu comprend les biens immobiliers les actifs financiers ainsi que le patrimoine professionnel pour les actifs indeacutependants
8
On deacutefinit ainsi un nouvel indicateur le coefficient de Gini
Le coefficient de Gini noteacute souvent est eacutegal au rapport des deux aires
= OABtriangleduaire
vertfoncepartieladeaire
Proprieacuteteacutes Plus lrsquoeacutecart entre la courbe et la droite drsquoeacutequireacutepartition est grand et plus
le coefficient de Gini est grand
Ce coefficient compris entre 0 et 1 permet de comprendre que plus on se rapproche drsquoun coefficient proche de 0 plus la reacutepartition est
eacutegalitaire plus on se rapproche de 1 plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Ce nombre (un indicateur ) permet ainsi de mettre en eacutevidence lrsquoeacutevolution des ineacutegaliteacutes sur une peacuteriode la comparaison entre
pays ou entre des cateacutegories diffeacuterentes hellip
Avantages du calcul du coefficient de Gini ( un + par rapport au rapport interdeacutecile)
1) Permettre de comparer par exemple les ineacutegaliteacutes des revenus selon les pays cliquer sur le lien suivant pour visualiser les
dispariteacutes mondiales httpfrwikipediaorgwikiListe_des_pays_par_C3A9galitC3A9_de_revenus
lecture de ces donneacutees sur un graphique
Les pays historiquement eacutegalitaires ont un coefficient de lordre de 02 (Bulgarie Hongrie Slovaquie Tchegravequie Pologne) Les pays
les plus ineacutegalitaires au monde ont un coefficient de 06 (Breacutesil Guateacutemala Honduras ) En France le coefficient de Gini est de
036 (source INSEE revenus fiscaux 2004) Celui de la Chine est en train de monter et deacutepasse maintenant 05 ( wikipedia)
2) Permettre de suivre lrsquoeacutevolution du coefficient sur une peacuteriode
Evolution des indices de Gini des revenus par uniteacute de consommation (uc [5]) avant impocircts et apregraves impocircts et subventions
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
7
Partie B eacutetude de courbes de Lorenz deacutefinition du coefficient de Gini
Interpreacutetation en SES
Dans ce type de graphique ougrave les abscisses sont les deacuteciles (7) ( cumul croissant de freacutequences ) et en ordonneacutees les parts drsquoune
grandeur eacutetudieacutee (cumul croissant de pourcentages ) les courbes obtenues srsquoappellent des courbes de Lorenz Elles mettent en
eacutevidence la reacutepartition de la grandeur eacutetudieacutee pour permettre des comparaisons
Quelle est lrsquointerpreacutetation de la diagonale du graphique
Equireacutepartition signifie reacutepartition eacutegalitaire selon laquelle 50des richesses sont deacutetenues par 50
des meacutenages ( 1 des meacutenages gagne 1 de la masse totale etc hellip tous les meacutenages ont le mecircme
revenus situation improbable )
Quelle interpreacutetation peut-on donner de lrsquoeacuteloignement de la courbe de Lorenz des revenus
disponibles avec la diagonale
Plus la courbe srsquoeacuteloigne de la diagonale plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Comparer ( agrave lrsquoaide des tableaux ou des graphiques ) les valeurs des deux courbes de Lorenz du
revenu et du patrimoine drsquoabord de faccedilon geacuteneacuterale puis pour D2 D5 et D8 faire une phrase et
interpreacuteter
Graphiquement la courbe de Lorenz du patrimoine est bien plus eacuteloigneacutee de la diagonale que la
courbe de Lorenz du revenu donc la reacutepartition du patrimoine est bien plus ineacutegalitaire que la
reacutepartition du revenu disponible
Pour D2 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus pauvres deacutetiennent 45de la
masse totale des revenus disponibles et 015 de la masse totale du patrimoine
Pour D5 cela signifie qursquoen France les 50 des meacutenages deacutetiennent 275 de la masse totale des
revenus disponibles et 72 de la masse totale du patrimoine
Pour D8 cela signifie qursquoen France les 20 des meacutenages les plus riches deacutetiennent 402 de la
masse totale des revenus disponibles et 639 de la masse totale du patrimoine
Ceci permet de montrer des ineacutegaliteacutes en France aussi bien dans la reacutepartition des revenus disponibles que du patrimoine Cependant
on note que les ineacutegaliteacutes dans la reacutepartition du patrimoine sont beaucoup plus marqueacutees que celles dans la reacutepartition des revenus
disponibles
Lrsquoeacutetude de D8 (des 20 des franccedilais les plus riches) est significative elle montre qursquoils deacutetiennent
une part du patrimoine total bien supeacuterieure agrave celle du revenu disponible deacutetenu ( eacutecart de 237 points)
deacuteciles
Part du patrimoine
total posseacutedeacute par les meacutenages au seuil
indiqueacutes (en )
10 0
20 015
30 07
40 25
50 72
60 143
70 237
80 361
90 542
Reacutepartition du patrimoine
brut en France en 2003
Note le patrimoine deacutetenu comprend les biens immobiliers les actifs financiers ainsi que le patrimoine professionnel pour les actifs indeacutependants
8
On deacutefinit ainsi un nouvel indicateur le coefficient de Gini
Le coefficient de Gini noteacute souvent est eacutegal au rapport des deux aires
= OABtriangleduaire
vertfoncepartieladeaire
Proprieacuteteacutes Plus lrsquoeacutecart entre la courbe et la droite drsquoeacutequireacutepartition est grand et plus
le coefficient de Gini est grand
Ce coefficient compris entre 0 et 1 permet de comprendre que plus on se rapproche drsquoun coefficient proche de 0 plus la reacutepartition est
eacutegalitaire plus on se rapproche de 1 plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Ce nombre (un indicateur ) permet ainsi de mettre en eacutevidence lrsquoeacutevolution des ineacutegaliteacutes sur une peacuteriode la comparaison entre
pays ou entre des cateacutegories diffeacuterentes hellip
Avantages du calcul du coefficient de Gini ( un + par rapport au rapport interdeacutecile)
1) Permettre de comparer par exemple les ineacutegaliteacutes des revenus selon les pays cliquer sur le lien suivant pour visualiser les
dispariteacutes mondiales httpfrwikipediaorgwikiListe_des_pays_par_C3A9galitC3A9_de_revenus
lecture de ces donneacutees sur un graphique
Les pays historiquement eacutegalitaires ont un coefficient de lordre de 02 (Bulgarie Hongrie Slovaquie Tchegravequie Pologne) Les pays
les plus ineacutegalitaires au monde ont un coefficient de 06 (Breacutesil Guateacutemala Honduras ) En France le coefficient de Gini est de
036 (source INSEE revenus fiscaux 2004) Celui de la Chine est en train de monter et deacutepasse maintenant 05 ( wikipedia)
2) Permettre de suivre lrsquoeacutevolution du coefficient sur une peacuteriode
Evolution des indices de Gini des revenus par uniteacute de consommation (uc [5]) avant impocircts et apregraves impocircts et subventions
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
8
On deacutefinit ainsi un nouvel indicateur le coefficient de Gini
Le coefficient de Gini noteacute souvent est eacutegal au rapport des deux aires
= OABtriangleduaire
vertfoncepartieladeaire
Proprieacuteteacutes Plus lrsquoeacutecart entre la courbe et la droite drsquoeacutequireacutepartition est grand et plus
le coefficient de Gini est grand
Ce coefficient compris entre 0 et 1 permet de comprendre que plus on se rapproche drsquoun coefficient proche de 0 plus la reacutepartition est
eacutegalitaire plus on se rapproche de 1 plus la reacutepartition est ineacutegalitaire
Ce nombre (un indicateur ) permet ainsi de mettre en eacutevidence lrsquoeacutevolution des ineacutegaliteacutes sur une peacuteriode la comparaison entre
pays ou entre des cateacutegories diffeacuterentes hellip
Avantages du calcul du coefficient de Gini ( un + par rapport au rapport interdeacutecile)
1) Permettre de comparer par exemple les ineacutegaliteacutes des revenus selon les pays cliquer sur le lien suivant pour visualiser les
dispariteacutes mondiales httpfrwikipediaorgwikiListe_des_pays_par_C3A9galitC3A9_de_revenus
lecture de ces donneacutees sur un graphique
Les pays historiquement eacutegalitaires ont un coefficient de lordre de 02 (Bulgarie Hongrie Slovaquie Tchegravequie Pologne) Les pays
les plus ineacutegalitaires au monde ont un coefficient de 06 (Breacutesil Guateacutemala Honduras ) En France le coefficient de Gini est de
036 (source INSEE revenus fiscaux 2004) Celui de la Chine est en train de monter et deacutepasse maintenant 05 ( wikipedia)
2) Permettre de suivre lrsquoeacutevolution du coefficient sur une peacuteriode
Evolution des indices de Gini des revenus par uniteacute de consommation (uc [5]) avant impocircts et apregraves impocircts et subventions
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
9
y = 33173x5 - 66353x4 + 4663x3 - 07235x2 + 03781x - 00011
-02
0
02
04
06
08
1
12
0 02 04 06 08 1 12
3) Attention inconveacutenients de lrsquoutilisation de du coefficient de Gini
Linconveacutenient du coefficient de Gini est que des courbes de Lorenz tregraves
diffeacuterentes peuvent correspondre agrave la mecircme valeur du coefficient de Gini G On
a repreacutesenteacute ainsi sur la figure ci-contre deux courbes qui se croisent la courbe
1 reflegravete une distribution plus deacutefavorable pour les deux premiers quintiles la
courbe 2 une distribution plus favorable pour le 5e quintile Que ces courbes
correspondent agrave la mecircme valeur de G ou agrave des valeurs diffeacuterentes il est
impossible daffirmer quune distribution est plus ineacutegale que lautre degraves lors que
les courbes se croisent On en a la preuve si lon calcule lineacutegaliteacute pour chaque
distribution avec divers indicateurs Selon que ceux-ci sont plus sensibles aux
bas ou aux hauts revenus ils classeront la distribution 1 avant ou apregraves la
distribution 2 Pour pouvoir affirmer quune distribution 1 est plus ineacutegale que
la distribution 2 quel que soit lindicateur choisi il faut quil y ait dominance
cest-agrave-dire que la courbe 1 englobe en totaliteacute la courbe 2 (cf fig 1) Par suite
dans tous les cas ougrave il ny a pas dominance il faut compleacuteter le coefficient de
Gini par le recours agrave dautres indicateurs dineacutegaliteacute afin de donner une
information plus complegravete et objective
Interpreacutetation en math
Une courbe de Lorenz repreacutesente une fonction f veacuterifiant au moins les trois conditions suivantes
- f est deacutefinie sur lrsquointervalle [ 0 1 ] (attention aux pourcentages compris entre 0 et 1 )
- f est croissante sur [ 0 1 ] et f (x) x pour x [ 0 1 ]
- f (0) = 0 et f ( 1 ) = 1
En utilisant un tableur ajustons les donneacutees agrave lrsquoaide drsquoun ajustement polynomial pour le revenu disponible 2004 ( il existe bien
drsquoautres ajustement pour une courbe de Lorenz voir exercices ) (8)
On obtient f (x) = (33173x5 - 66353x
4 + 4663x
3 - 07235x
2 + 03781x - 00011 trouveacutee au videacuteo avec EXCEL en direct )
deacutecile
limite supeacuterieure du revenu disponible annuel
pourcentage de la masse totale des revenus disponibles reccedilu par chaque deacutecile
cumul du pourcentage de la masse totale reccedilu par chaque deacutecile
0 0 0
01 D1 11 477 3 300 003
02 D2 14 408 45 750 0075
03 D3 17 581 55 1300 013
04 D4 20 942 67 1970 0197
05 D5 24 599 79 2760 0276
06 D6 28 623 92 3680 0368
07 D7 33 171 107 4750 0475
08 D8 39 356 125 6000 06
09 D9 49 554 152 7520 0752
1 supeacuterieur agrave D9 248 10000 1
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
10
On va supposer que cette fonction satisfait aux conditions ci-dessus
A lrsquoaide du tableau de valeur de la calculatrice construire en vert la
courbe repreacutesentant f en placcedilant des points de 005 en 005 sur
lrsquoaxe des abscisses Qursquoobserve-t-on
la courbe passe tregraves pregraves des points correspondants aux donneacutees
statistiques
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe en utilisant une inteacutegrale
puis calculer le coefficient de Gini correspondant R
La fonction f est continue et positive sur [01] une primitive est
F(x) = xxxxxx 00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
3173323456
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et
les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire agrave
1
0
23451
0 0011037810723066346353631733 dxxxxxxf(x) dx
= 1 0 23456
00011- 2
03781 3
07235 - 4
4663 5
63536 6
31733 xxxxxx
= 0 - 100011- 2
1 03781 31 07235 -
41 4663
51 63536
61 31733
23456 asymp0338
Or lrsquoaire situeacutee entre les deux courbes est 05 ndash 0338 asymp 0162 ( lrsquoaire du triangle est 1 2 car moitieacute du carreacute )
Donc R asymp 2times0162 asymp 0324 ( car diviser par frac12 revient agrave multiplier par 2 )
De mecircme la courbe repreacutesentant du patrimoine peut ecirctre modeacuteliseacutee par la courbe repreacutesentant la fonction (9)
g(x) =
)4 60(
60
31
xexe
pour x [ 0 1 ]
Calculer lrsquoaire situeacutee sous la courbe puis calculer le coefficient de Gini correspondant P
La fonction g est continue et positive sur [01] une primitive est
G(x) = )
4 60(
60 460
11 xee
car
)4
60()4
60( 3460)( xx ee x
du type ( eu )rsquo=ursquotimeseu
Drsquoapregraves le cours lrsquoaire situeacutee sous la courbe lrsquoaxe des abscisses et les deux droites drsquoeacutequations x = 0 et x = 1 est eacutegale en uniteacute drsquoaire
agrave )4
0 60(
60
)4
1 60(
60
)4
60(
60
)4
60(
60 460
11
460
11
1
0460
111
0
311
0
e
ee
ee
e dxex
eg(x) dx xx asymp0188
donc P asymp 2times ( 05 - 0188) asymp 0624
Comparer les deux coefficients de Gini R lt P ( coheacuterent avec la lecture graphique faite lors de lrsquoeacutetude preacuteceacutedente )
Remarque Le recours au calcul inteacutegral intervient dans la theacuteorie matheacutematique en particulier pour les distributions statistiques et
fonction de reacutepartition Dans le cas de donneacutees de type INSEE lrsquoaire sous la courbe se calcule souvent comme somme des aires
des trapegravezes sous les segments joignant les donneacutees des deacuteciles
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
11
Remarques sur la courbe de Lorenz et le coefficient de Gini
- Une courbe de Lorenz a une pente constamment croissante car les revenus de la population ayant eacuteteacute rangeacutes par ordre croissant les
classes successives ont une part du revenu total M qui croicirct de plus en plus vite Ce qui correspond matheacutematiquement au fait que la
deacuteriveacutee seconde ( f rsquorsquo) est positive ( on parle de fonction convexe )
- On exprime parfois lindice de Gini en pour-cent en parlant de coefficient de Gini Cest ainsi quun indice de Gini de 75 eacutequivaut agrave
un coefficient de Gini de 075
Partie C conclusion ( explication des ineacutegaliteacutes en SES) Synthegravese
Lrsquoeacutetude de ces deux courbes de Lorenz met en eacutevidence une reacutepartition ineacutegalitaire des revenus et du patrimoine dans
la socieacuteteacute franccedilaise dans les anneacutees 2004 avec des diffeacuterences notables agrave prendre en compte
La reacutepartition des revenus est moins ineacutegalitaire que celle du patrimoine ce que les courbes de Lorenz permettent de
montrer en effet celle qui est la plus eacuteloigneacutee de la diagonale est celle de la reacutepartition du patrimoine
Crsquoest aussi celle qui a un coefficient de Gini le plus proche de 1
Raisons permettant de comprendre cet eacutecart
Le revenu disponible correspond agrave diffeacuterentes composantes
des revenus du travail mixtes ou de la proprieacuteteacute(nommeacutes aussi revenus du patrimoine ou du capital) qui peuvent
accroicirctre les ineacutegaliteacutes car ces derniers sont majoritairement deacutetenus par les meacutenages dont les revenus sont les
plus eacuteleveacutes
des revenus sociaux ou de transferts qui pour la plupart dentre eux sont lieacutes agrave des conditions de ressources et vont
donc jouer un rocircle reacuteducteur au niveau des ineacutegaliteacutes
des preacutelegravevements obligatoires (impocircts sur les revenus primaires +impocircts fonciers + cotisations sociales )qui sont
aussi pour les impocircts sur le revenus progressifs et vont donc ecirctre un eacuteleacutement de reacuteduction des ineacutegaliteacutes
Le patrimoine correspond agrave un stock cest ce que possegravede un meacutenage et dont il est proprieacutetaire effectivement( les biens immobiliers
pour lesquels des emprunts sont encore en cours ne font pas partie du patrimoine )Cette remarque a son inteacuterecirct quant on sait
quaujourdhui certains creacutedits agrave la proprieacuteteacute sont pris sur une dureacutee de 35 anshellip
Les mesures visant agrave reacuteduire les ineacutegaliteacutes du patrimoine en France sont prises au moment de la transmission de celui-ci par ce qui
correspond aux droits de succession Cet effet est cependant atteacutenueacute par des mesures visant agrave favoriser cette transmission devenue plus
tardive et plus compliqueacutee avec laugmentation de lespeacuterance de vie
Remarque drsquoautres graphiques peuvent ecirctre utiliseacutes pour comparer des ineacutegaliteacutes type strobiloiumldes (page 143 du manuel ) chacun
avec des avantages et des inconveacutenients et donc se compleacutetant (10)
12
12
