passage de P a Z

NOTES PERSONNELLES

CHAPITRE 3

LA TRANSFORMEE EN Z

3.1. DEFINITION ET PROPRIETES

3.1.1. Passage de la transformée de Laplace à la transformée en z

Une des expressions de la transformée de Laplace d'un signal échantillonné x*(t)

ne dépend de l'opérateur de Laplace p que par le terme (c.f. chapitre 2 - § 2.2.1) :

e-nTp

+00

X*(p) = 2 x(nT) e-nTPn=o

II est donc tentant, pour simplifier l'écriture, de poser :

Automatique - S.A.E. chapitre 3 : Transformée en z

© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

NOTES PERSONNELLES

Z = C p opérateur d'avance du temps T.

On définit ainsi la transformée en z du signal x(t) :

+00

X(z) = £x(nT)z-n

n=o

Remarque 1 : on constate immédiatement que X(z) ne dépend de x(t) qu'aux instants

d'échantillonnage. Toutes les fonctions ayant mêmes échantillons ont

donc la même transformée en z. Ainsi cette transformation n'est pas bi-univoque, dans la mesure où en appliquant à X(z) la transformée-inverse

on n'est pas certain de revenir à la fonction-origine x(t).

Remarque 2 : Vopérateur z est lié à une période d'échantillonnage donnée. Il est donc

fondamental que, dans un système discret, toutes les prises

d'échantillons aient lieu en synchronisme.

Remarque 3 : si la transformée de Laplace est appropriée à l'étude des signaux et

systèmes continus vis-à-vis du temps, la transformée en z joue un rôle

identique en théorie des systèmes à temps discret. La transformée en z est

définie pour des fonctions causales.

Remarque 4 : on notera indifféremment :

X(z), x(z), âS[x(t)], S£[x*(t)], â£[X(p)], â£[x(nT)]



NOTES PERSONNELLES3.1.2. Propriétés et règles de calcul

Elles découlent naturellement des propriétés de la transformée de Laplace.

1- Linéarité, homogénéité :

â£[ai Xl(t) + a2 x2(t)] = &1 X^z) + a2 X2(z)

2- Translation temporelle (retard) :

S£[x(t-XT] = zxX(z)

Notons qu'un retard pur de T se note : z"1

3- Translation complexe :

S£ [x(p+a)] = â£ [e'at x(t)] = X(z eaT)

4- Théorème de la valeur finale :

lim *(/ir)=lim [(z-l)X(z)]= lim | (—)X(z)l= lim [(l-z"l)X(z)]n->°° z->l z - > l L z J Z->1

5- Théorème de la valeur initiale :

lim x(nT)= lim [(l-z"1)^^ lim |— X(z)\= lim X(z)n~>0 z->oo z _ ^ o o L z J z _>oo



6- Théorème de la sommation

Si g(nT) = £ x(kT)k=o

g(nT) = g[(n-l)T] + x(nT)

m [g(nT)] = % [g[(n-l)T]] + & [x(nT)]

G(z) = z 1 G(z) + X(z)

G(z) = ̂ i-rX(z) = ̂ _X(z)

7- Théorème de la différence

Soit : Ax(nT) = x(nT) - x[(n-1 )T]

â£ [Ax(nT)] = X(z) - z 1 X(z) = (1 - z1) X(z)

^[Ax{nT}] = ̂ l-X(z)

3.1.3. Etablissement d'une table de transformées en z

A partir de la définition de la transformée en z d'une fonction du temps, dont on

connait la suite d'échantillons de période T, et des différentes propriétés qui viennent

d'être énoncées, il est aisé de construire une table de transformées en z de signaux et


NOTES PERSONNELLES


de fonctions habituellement utilisés en Automatique. Son établissement revient très

souvent à des calculs de séries, du fait de la sommation.

On trouvera les transformées en z des fonctions les plus courantes enfin de chapitre.

3.2. CORRESPONDANCE ENTRE LE PLAN DES p ET LE PLAN DES z

D'une façon générale, la variable p de Laplace est un nombre complexe de la

forme :

p = x + j w

Dans le plan des z, on aura alors :

z = eTp = eTx e>wT

Du fait de la périodicité du terme ejwT, à tout axe vertical d'abscisse x du plan des

p correspondra un cercle de centre 0 et de rayon eTx dans le plan des z. En particulier,

l'axe imaginaire aura pour transformé le cercle de centre 0 et de rayon-unité.

A tout point situé dans le demi-plan droit du plan complexe (plan des p)

correspondra un point situé à l'extérieur du cercle-unité dans le plan des z. Inversement,

l'intérieur de ce cercle correspondra au demi-plan gauche du plan complexe.


NOTES PERSONNELLES


Remarque : Le cercle-unité du plan des z jouera le même rôle pour la stabilité des

systèmes à temps discret, décrits par la transformée en z, que l'axe

imaginaire vis-à-vis de celle des systèmes continus, (c.f. chapitre 5).

3.3. INVERSION DE LA TRANSFORMEE EN z

3.3.1. Généralités

Comme nous l'avons déjà signalé, pour une période d'échantillonnage T donnée,

on peut définir une correspondance :

x(t) — *-X(z)


NOTES PERSONNELLES


mais la transformée-inverse n'est en général pas unique. On notera le résultat de

l'inversion : xz(t), sachant que toutes les fonctions possibles coïncideront avec x(t) pour

tout t = kT.

Généralement la fonction xz(t) obtenue par transformation-inverse sera la

fonction la plus monotone des fonctions du temps ayant pour échantillons tous les

x(kT).

On distingue quatre méthodes d'inversion de la transformée en z. Deux sont de

type analytique et fournissent donc un résultat sous la forme d'une relation

mathématique xz(t), continue vis-à-vis de la variable t. Les deux autres sont de type

numérique et ne donnent de x(t) que les valeurs numériques de la fonction aux instants

d'échantillonnage t = kT.

3.3.2. Méthodes analytiques

* Méthode des Résidus

+00

Soit X(z) = £ x(nT) z'nn=o

On multiplie par z11"1 les deux membres de cette relation :

z11'1 X(z) = x(o) z11'1 + x(T) zn'2 + + x(nT) z4+

or, d'après le théorème de CAUCHY, on a :


NOTES PERSONNELLES


1 i i , 11 pour k = -1I = -L I zk dz = / F

271J JY (Opourk^-1

où y est un contour du plan des z, parcouru dans le sens direct, entourant tous les points

singuliers de X(z).zn"1.

Si on applique ce résultat à la relation précédente, on obtient :

-L- I x(nT) z-1 dz = x(nT)271J I

*y

Toutes les autres intégrales du membre de droite du développement étant nulles, on peut

écrire :

x(nT)=-L| z*-1 X(z)dzJj

Cette intégrale s'évalue par application du théorème des résidus :

x(nT) = Y [résidus de zn-* X(z)]^"""^ L-i*~—Li\Zi l

où les Zj sont les pôles de X(z).


NOTES PERSONNELLES


Exemple :

X(z) = Tz fonction possédant un pôle double en z = 1(z-1)2

* pour n = o

x(o) = [résidu de z-1 -̂ -1 = 4~ (z-1)2 —I—I = 0[ (z-l)2Jz=i dz (z-l)2Jz=1

+ pour n quelconque > o

x(nT) = [résidu de zn-] -̂ -1 = -f [(z-1 )2 -3^_1 = JL Tz"! = nT[ (z-l)2Jz=l ^ (z-l)2Jz=i dz Jz=1

+00

X(z) = T X n z-nn=l

Xz(t) = t . Ht)

* Décomposition en fractions rationnelles

La méthode, bien connue en Calcul Opérationnel, consiste à décomposer X(z)

en éléments simples dont on trouve les originaux dans les tables. Ces éléments sont en

général des fractions rationnelles.


NOTES PERSONNELLES


Exemple :

z(5z-3,6)z2-l ,4z + 0,48

Cette fonction possède deux pôles : z = 0,8 et z = 0,6

Par séparation en fractions rationnelles et par identification, on obtient :

X(z) =-?|- + -%-z - 0,8 z - 0,6

Soit en se reportant aux tables de transformées (voir en fin de chapitre) :

xz(t) = 2e-0'223ï + 3e-°'511ï

Remarque : Cette méthode par décomposition en fractions rationnelles et report aux

tables de transformées en z est de loin la plus employée des deux méthodes

analytiques.

3.3.3. Méthodes numériques

* Division suivant les puissances croissantes de z"1

Lorsque X(z) se présente sous la forme de fractions rationnelles en z (ou en z"1),

il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur pour obtenir une série en z"1, dont

les coefficients sont les valeurs x(nT) désirées.


NOTES PERSONNELLES


+00

En effet : X(z) = ]T xn . z~n

n=o

d'où x*(t) = £xn.ô(t-nT)n=0

avec : xn = x(nT)

Remarque : Cette propriété montre qu'il est plus facile de calculer l'originale d'une

fraction rationnelle en z que d'une fraction rationnelle en p. Notons que

cette simplicité se paie par la perte de l'information entre les instants

d'échantillonnage.

Exemple :

Soit le signal : X(z) = ——2z2 - 3z + 2

La division du polynôme-numérateur par celui du dénominateur conduit à :


NOTES PERSONNELLES


z z2 - 3 z + 2

0 + 3 - 2 z ] z1 + 3 z,2 + 7 z3 + 15 z"4 + 31 z5 +

0 + 7 z 1 - 6z 2

0 + 1 5 z 2 - 1 4 z 3

0 + 31z3-30z-4

0 +

d'où : X(z) = z'1 + 3 z 2 + 7 z3 + 15 z4 + 31 z5 +

comme z"k est la transformée de 6(t-kT), on peut donc écrire :

x*(t) = ô(t-T) + 3ô (t-2T) + 7ô (t-3T) + 15 ô (t-4T) + 318 (t-5T) +

Dans ce cas particulier, on peut reconnaître que le terme général x(kT) est

donné par : 2k-l.

* Méthode de l'équation aux différences (équation récurrente)

Cette méthode consiste à déduire la valeur de l'échantillon x(nT) de la

connaissance des échantillons précédents aux instants : (n-l)T, (n-2)T,... (le nombre des


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESéchantillons nécessaires dépend de l'ordre de la relation étudiée). On procède ainsi de

manière itérative en progressant pas à pas de période en période.

Exemple : Soit un système à temps discret S de fonction de transfert en z :

Y(z) = iU(z) z - 0,5

Remarque : On verra au chapitre suivant que cette fonction de transfert correspond à un

système du premier ordre précédé d'un bloqueur d'ordre zéro.

On peut écrire :

Y(z) - 0,5 z 1 Y(z) = z 1 U(z)

soit yz(t)-0,5yz(t-T) = u(t-T)

et pour t = kT :

y(kT) = 0,5y[(k-l)T]+u[(k-l)T]

que l'on peut écrire plus simplement :

Yk = 0>5 Yk-i + %i

Si u(t) est un échelon-unité, tous les uk valent 1, quelque soit k. D'autre part, on

suppose que le système est de type causal, ce qui signifie que s(-kT) = 0 ; on peut alors

calculer les premiers termes de la réponse du système S à un échelon-unité :

Automatique - S.A.E. chapitre 3 : Transformée en z 3 .13


y0 = o

y, = 0 + 1 = 1

y2 = 0,5x 1 + 1 = 1,5

y3 = 0,5x 1,5 + 1 = 1,75

d'où : y*(t) = 8(t - T) + 1,5 ô(t - 2T) + 1,75 ô(t - 3T) + 1,875 ô(t - 4T) +

Ce type de calcul peut se programmer très simplement. Toujours pour cet

exemple, on peut concevoir l'algorithme suivant :

calcul des 2l premiers échantillons de la réponse indicielle

y(o) = 0

pour k = 0 à 20

u(k) = 1

fin pour

écrire 0, u(o), y(o) écriture du premier point

pour k - 1 à 20

y(k) = 0,5*y(k-l) + u(k-l)

écrire k, u(k), y(k) écrire du keme point

fin pour

fin


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESEn appliquant le théorème de la valeur finale, on voit que la réponse indicielle

(réponse à un échelon-unité) d'un tel système tend vers :

fz-1 1 z 1lim y(kT) = lim — = 2

k_>oo z_>iL z z -O.Sz- l j

Remarque 1 : Ces deux méthodes numériques d'inversion de la transformée en z sont

bien utilisées, l'une et l'autre, pour la détermination rapide des signaux

échantillonnés.

Remarque 2 : Utiliser la transformée en z n'implique pas un échantillonnage réel (onrejoint en cela le calcul numérique). Une application intéressante de cette

transformation, à laquelle on ne pense guère, correspond au calcul de la

réponse d'un système continu à une entrée quelconque. Par un

échantillonnage fictif, respectant la règle de SHANNON, on peut accéder

aux échantillons y(nT) de la réponse d'un système continu, connu par sa

fonction de transfert H(p), à une entrée quelconque dont on connaît les

échantillons u(nT).

Y(p) = H(p).U(p)

y(z) = H(z).u(z)



f(t) F(p) f(z)

8 (t) 1 1ô(t-kT) ekTp z k

T(t) 1 z _ 1p z-1 1-z"1

t 1 Tz Tz-1

P2 ( z - l ) 2 ~( i_ z ->) 2

It2 1 T'z(z + l) TV'(l + z-')

'M' 2(l_z-1)3

t3 J_ T3 z(z2 + 4z + l)6 p 6[ (z-1)4 j

fm 1 a(z) A(z)^m+l / -ixm-l-l / i \m+l

m! P (z-!) (l-z-1)avec lim A(z) = este

z-^l

1 1~ _i_ o - , avec « - eP + a z-a l-az"1

t - e a t 1 Tza T.a.z"1

(P + ̂ r (z-a)2 (l-az-1)2

il e-at 1 T2az T2a2z2 (p + a)3 2(z-a)2 ' (z-a)3

!-e"at a z(l-a) _ z-'(l-a)p(p + a) (z-l)(z-«) (1-z-1) (l-az-1)

l-e~at a Tz (l-a)za P2(p + a) (z-1)2 a (z-1) (z-a)

RAPPEL : Toutes les fonctions f(t) considérées sont de type causal,c'est-à-dire nulles pour tout t < 0.

TABLE DE TRANSFORMÉES EN Z (1/3)


f(t) F(p) f(z)

«*>f s-i-c;, v K KT2 (z + 1) KT2 (l + z-^z-1

B°'P)y 2 (z-1)2 ~ 2 (1-z-l)2

( ) K Kfl-a^Kfl-aK 1

^1 + ̂ P z-a 1-az-1

T

avec a=e T

Processus g , . Ke"113 Kz^fbjz^ + bjz-2)

précédés I+TP 1-az"1

d'un bloqueur avec r = d.T+L T L-Td'ordre zéro d entier ; ° ~ L < T avec a = e - b1=l- e —

( L û_l-e-Tp b2=a CT-1

B oP ~ nP ^ J

E(p) K Y z{T-i(l-a)}-aT + T(l-a)°^ ' p(l+tp) " (z-l)(z-a)

T

avec oc=e T

F5n(P) K z(l-al-a2-^) + ala2+ôw (l + tlP)(l + T2P) ^ (z-a1)(z-a2)

T TT T >\ a2T1 ~a1T2tt! =.e Ti a2 = e T: À = / l L z

^2-^1

•B0(p). K ? K(b lZ+b2) K(b1z-1 + b2z-2)

2E P 7 ~ 1 9

IH — — p-H-^-r z +.a]Z + a2 1 + ajZ +a2z^n COn x x

avec £ < l e t avec b, .= 1-a P+^-^ô ;/r^" ^ ^ ô)p=con A / l-r x x

b2 = a2 + a c ° n .ô P ;lœp J

aj=-2ap; a2 = a2 ;

a = e"^"T ; p = coscopT ;

ô = sincopT




f(t) F(p) f(z)

sinrot œ z.sinœT2+ œ2 zz -2z.coscûT+l

z^.sincoTl-2z~1.coscoT+z~2

p-at d n m t œ z.a.sincoT _aTe . sm CD i _ avec oc = e(p + a)2+co2 z2-2za.cosœT +a2

coscot P zfz~coscoTjp2+C° z2-2z.coscoT+r

l-z^.cosooT

l-2z"1.coscoT+z~2

e-at . cosfot P + a z2 - az . cos coT(p + a)2 + co2 z2-2z.a.cosœT + a2

at K 7e at.cos— t z

T z-e-aT

f(t) F(p) f(z)


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