Introduction générale

Ce document présente les éléments de base de la théorie élastique des

plaques et des coques minces, selon les hypothèses de Love-Kirchhoff et de

Reissner-Mindlin-Bollé. Ce document s’adresse aux élèves ingénieurs, de

génie civil et de génie mécanique.

Après une présentation des outils mathématiques de la théorie des

surfaces nécessaires pour le calcul des plaques et des coques (chapitre 1), la

théorie de Love-Kirchhoff (chapitre 2) et celle de Reissner-Mindlin-Bollé

ont été introduites (chapitre 3). Ensuite, des problèmes d’équilibre portant

sur les coques sphériques, cylindriques, et sur les plaques rectangulaires et

circulaires sont résolus (chapitres 4, 5, 6 et 7).

La théorie présentée est restreinte aux matériaux élastiques, homogènes

et isotropes sous l’hypothèse des petites perturbations.

2

Chapitre 1

Théorie des surfaces

Ce chapitre présente les outils mathématiques de la théorie des surfaces

nécessaires pour l’analyse des plaques et des coques.

1. Position d’un point appartenant à une surface

La position d’un point, m, appartenant à une surface est définie par deux

paramètres notés x1 et x2. Ces paramètres appartiennent à un ouvert U de R2.

La position du point, m, est définie par la fonction vectorielle suivante :

( ) ( ) ( )2132121 ,,,: xxomRxxUxx =∈→∈ ππ (1.1)

Exemple : surface cylindrique

Un point m appartenant à une surface cylindrique est défini par :

( ) ( ) ] [ [ ]Π∈= 2,0,0,;sin

cos

, 21

1

2

2

21 xHxx

x

xR

xR

xxπ (1.2)

Exercice : Définir les fonctions vectorielles associées à une surface

plane rectangulaire, une surface plane circulaire, une surface sphérique et

une surface conique.

2. Plan tangent et vecteur normal à une surface

Le plan tangent à une surface peut être défini par les deux vecteurs

suivants :

2211 ;x

ax

a∂∂=

∂∂= ππ rr

(1.3)

3

Il est d’usage de ne pas normaliser les vecteurs 21 aetarr

. La

normale,Nr

, et la normale unitaire, nr , à la surface sont définies par :

21

2121 ;

aa

aanaaN rr

rrrrrr

∧∧=∧= (1.4)

3. Bases locales d’une surface

Comme première base locale à la surface, on définit :

( )naarrr

,, 21 (1.5)

La base ( )naarrr

,, 21 est généralement une base non orthonormée. On utilise

aussi une deuxième base, dite duale, définie par :

( ) βα

βα δ=aanaarrrrr

./,, 21 (1.6)

βαδ est le symbole de Kronecker et le symbole « . » désigne le produit

scalaire.

N.B. - les lettres grecques varient de 1 à 2 ;

- la relation (1.6) n’est pas très pratique pour définir la deuxième

base ; (voir paragraphe 1.10).

4

Exercice : Déterminer les bases locales des surfaces suivantes : une

surface plane rectangulaire, une surface plane circulaire, une surface

sphérique et une surface conique.

Exemple : surface cylindrique.

La base locale associée à la surface cylindrique est :

0

sin

cos

;

0

cos

sin

;

1

0

02

2

2

2

2211 x

x

nxR

xR

xa

xa −

−=

−=

∂∂==

∂∂=

rrr ππ (1.7)

4. Tenseurs métriques associés à une surface

Le tenseur métrique associé à la première base est défini par :

βααβαβ aaa

a rr.;

10

0=

(1.8)

(a..) est le tenseur métrique de la surface (dit tenseur deux fois

covariants : les deux indices sont en bas).

Le tenseur métrique associé à la deuxième base est défini par :

βααβαβ

aaaa rr

.;10

0 =

(1.9)

Il est aisé d’établir que :

[ ] [ ] 1;; −••

•• =•=•=• aaaaaaaa βαβαβ

αβα rrrr (1.10)

5

Exercice : Déterminer le tenseur métrique des surfaces suivantes : une

surface plane rectangulaire, une surface plane circulaire, une surface

sphérique et une surface conique.

Exemple : Tenseurs métriques de la surface cylindrique.

Les tenseur métriques associés à surface cylindrique sont:

( ) ( )

=

= ••

••2

21

0

01;

0

01

R

aR

a (1.11)

En utilisant les tenseurs métriques, la deuxième base peut être définie

par :

2222

111

R

aaaa

aaaar

rr

rrr

==

==

ββ

ββ

(1.12)

5. Tenseur de courbure d’une surface

Une surface est caractérisée par le tenseur de courbure qui est défini

par :

βα

βααβ

π

πππ

xxn

xxxxaC

∂∂∂=

∂∂∂

∂∂

∂∂=

2

2

21

.

,,1

r

(1.13)

a est le déterminant du tenseur métrique et ( )cbarrr

,, est le produit mixte

des trois vecteurs cetbarrr

,, .

6

Le tenseur de courbure peut être écrit dans la base des tenseurs d’ordre

deux en utilisant les vecteurs de la première base locale, ceux de la

deuxième base locale ou en utilisant les vecteurs des deux bases. La

projection du tenseur de courbure C sur les différentes bases s’écrit :

βα

αβ

βαβ

α

βααβ

βααβ

aa

aa

aaC

aaCC

C

Crr

rr

rr

rr

⊗=

⊗=

⊗=

⊗=

(1.14)

En utilisant les relations entre les vecteurs de la première base et ceux de

la deuxième base, les relations suivantes peuvent être obtenues aisément:

λαβλ

αβλβ

λααβ

βλαλ

βα

a

aC

aC

CC

C

C

=

=

=

(1.15)

Exercice : Démontrer les relations précédentes et déterminer les

différentes relations entre les composantes du tenseur de courbure pour les

surfaces suivantes : une surface plane rectangulaire, une surface plane

circulaire, une surface sphérique et une surface conique.

Le tenseur de courbure est relié à la variation de la normale nr par la

relation :

ββαα aC

x

n rr

−=∂∂ (1.16)

Deux fois covariants

Deux fois contravariants

Mixte co-contravariant

Mixte contra-covariant

7

Exemple : Surface cylindrique

Le tenseur de courbure d’une surface cylindrique est :

[ ] [ ]

=

= •

•••R

CR

C 10

00;

0

00 (1.17)

Le tenseur de courbure C possède deux directions principales X et Y

définies par :

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

YaR

YC

XaR

XC

2

1

1

1

=

= (1.18)

1/R1 et 1/R2 sont les courbures principales. Elles réalisent les extremums

des courbures des sections normales : la courbure au point considéré d’une

section normale quelconque vérifie :

1/R2<1/R<1/R1 (1.19.a)

Ceci est équivalent à dire que toute courbe tracée sur une surface

possède un rayon de courbure Rc vérifiant :

1/R2<1/Rc<1/R1 (1.19.b)

Par exemple, sur une surface cylindrique, on ne peut pas tracer une

courbe dont la courbure dépasse 1/R ou bien de rayon de courbure inférieur

à R.

8

6. Dérivation des vecteurs de la base locale

La dérivée partielle des vecteurs de la première base peut s’écrire

comme suit :

nax

a rrr

ΓΓ +=∂∂ 3

αβλλαββ

α (1.20.a)

Γiαβ sont les coefficients de Christoffel et ils vérifient :

λβαλ

αβ

αβαβ

ax

a

C

rr

.

3

∂∂

=

=

Γ

Γ (1.20.b)

La dérivée partielle des vecteurs de la deuxième base peut s’écrire

comme suit :

nCax

a rrr

αβ

λαλββ

α+−=

∂∂

Γ (1.21)

7. Dérivation d’un champ de vecteur défini sur une surface

Soit un champ de vecteur ωur défini sur une surface ω (défini par la

fonction vectorielle π) telle que :

nuaunuauurrrrr

33 +=+= ααλ

λω (1.22)

On montre que :

λαλα

λαλα

uau

uau

=

= (1.23)

La variation du vecteur ωur par rapport à l’un des paramètres de la

surface est :

9

( ) ( ) nuCuaCuux

u rrr

βλβλ

ααβ

αββ

ω,33 ++−=

∂∂

⊥ (1.24)

αβ⊥u est la dérivée covariante ; elle est définie par :

Γ+=⊥αλβ

λαβ

αβ uuu , (1.25)

La virgule dans les formules désigne la dérivée partielle ββx

BB

∂∂=, .

Si on choisit la décomposition du vecteur ωur sur la base duale, on

montre que :

( ) ( ) nuCuaCuux

u rrr

βλβλ

ααββαβ

ω,33 ++−=

∂∂

⊥ (1.26)

βα ⊥u est la dérivée covariante ; elle est définie par :

Γ−=⊥λαβλβαβα uuu , (1.27)

La relation entre les deux dérivées covariantes est celle reliant les

composantes mixtes et deux fois covariants d’un tenseur :

αλβλ

αβ

αλλ

ββα

auu

auu

⊥⊥

⊥⊥

=

= (1.28)

8. Transformation d’une surface

Soit une surface ω, définie par π, qui subit une transformation définie

par le vecteur déplacement ωur . La surface transformée est notée ω’ et est

définie par π’ :

10

π’ = π + ωur

(1.29)

La surface transformée est caractérisée par les caractéristiques de la

surface non déformée. La base locale de la surface transformée est définie

par :

''

'''

''

21

21

1

aa

aan

x

ua

xa

rr

rrr

rrr

∧∧=

∂∂+=

∂∂= α

ωαα

π

(1.30)

En utilisant les résultats établis par les équations (1.24) et (1.26), on a :

( ) ( ) nuCuaCuuaarrrr

αλαλ

λλα

λααα ,33' ++−+= ⊥ (1.31)

Le tenseur métrique de la surface transformée est défini par (en ne

gardant que les ternes du premier ordre) :

( ) Cuuuaa αβαββααβαβ 3' 2−++= ⊥⊥ (1.32)

La normale unitaire,'nr , à la surface transformée est définie, au premier

ordre, par :

( ) αλαλα aCuunn

rrr+−= ,3' (1.33)

Le tenseur variation de courbure est défini par :

αβαβαβ CCK −= ' (1.34)

11

On montre que :

( ) ( )( ) ( ) ( )

−++

+++=

⊥⊥

⊥⊥⊥⊥

λβλα

λαβλ

λβαλ

αλβλβ

λαλαββα

αβCCuCuCu

CuCuuuK

3

,3,3

22

1 (1.35)

Le tenseur K est un tenseur symétrique.

Le tenseur de déformation de la surface, dit tenseur membranaire, est

défini par :

( ) ( ) αβαββαβαβαβγ Cuuuaa a 3'

2

1

2

1 −+=−= ⊥⊥ (1.36)

9. Dérivation d’un tenseur d’ordre deux

La dérivée covariante d’un tenseur d’ordre deux est définie de la même

manière que celle d’un tenseur d’ordre un. En utilisant les résultats de la

dérivation covariante d’un tenseur d’ordre 1, on peut établir les relations

suivantes :

δα

βδλ

βδ

δαλλ

βαλ

βα

δαδ

λββδα

δλλβα

λβα

δαβδλ

δβαδλλ

αβλ

αβ

δαδβλδβ

δαλλαβλαβ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

ΓΓ

ΓΓΓΓΓΓ

+−=

−+=

++=

−−=

⊥

⊥

⊥

⊥

,

,

,

,

(1.37)

Chapitre 2

Les coques minces de Love-Kirchhoff

1. Définitions

Une coque est un milieu continu (voir figure 2.1) défini par :

ω x ]h/2,h/2[. h est l’épaisseur de la coque et ω est une surface

caractérisée par π. L’épaisseur h est considérée très petite devant les

dimensions caractéristiques de la coque.

En tout point m de la surface, l’ensemble des points matériels se

trouvant sur la normale s’appelle la fibre normale et sera notée ω⊥ .

Figure 2.1. Schéma d’une coque cylindrique

Surface moyenne ω

Fibre normale

ω⊥

13

2. Hypothèse de Love-Khirchhoff

Les fibres normales (ω⊥ ) à la surface non déformée restent normales à

la surface déformée et conservent leur longueur (voir figure 2.2).

Fibre normale non déformée Fibre normale déformée

Figure 2.2 Hypothèse de Love-Khirchhoff

3. Base locale de la coque

La position d’un point M appartenant à la coque non déformée est

définie par :

nxomoMr3+= (2.1)

La base locale de la coque est définie par :

λλαααα aCxa

x

oMA

rrr3−=

∂∂= (2.2)

x3 est la coordonnée normale. Le tenseur métrique associé à cette base

est défini par :

)(

2. 3

ordrepremierau

CxaAAA αβαββααβ −== (2.3)

h h

14

4. Champ de déplacement de Love-Khirchhoff

Le champ de déplacement de la surface est défini par :

nuaunuauurrrrr

33 +=+= ααλ

λω (2.4)

La position d’un point M’ appartenant à la coque déformée est définie

par :

''' 33 nxuomnxomoMrrr

++=+= ω (2.5)

Le champ de déplacement de Love-Khirchhoff s’écrit, dans la base

locale de la surface moyenne, pour une coque :

( )( ) αλ

αλαα

α

ωω

aCuuxnuau

nnxunxunx

MmmmMmMMU

rrr

rrrrrr

r

+−+=

−+=++−=

=++==

,33

3

333 ''

''''

(2.6.a)

L’équation (2.6.a) s’écrit aussi :

( )),(3

,33

nau

CuuxuU

rr

r

α

λαλαα +−

= (2.6.b)

5. Tenseur de déformation

Le tenseur métrique de la coque non déformée est :

αβαββααβ CxaAAA 32. −== (2.7.a)

15

Le tenseur métrique de la coque déformée est :

'3'''' 2. αβαββααβ CxaAAA −== (2.7.b)

Le tenseur de déformations est donc défini par :

( ) ( ) ( )

0;0

2

1

2

1

333

3

'3''

==

−=

−−−=−=

εε

γ

ε

α

αβαβ

αβαβαβαβαβαβαβ

Kx

CCxaaAA

(2.8)

où

( ) ( ) αβαββαβαβαβγ Cuuuaa a 3'

2

1

2

1 −+=−= ⊥⊥

(2.9)

( ) ( )( ) ( ) ( )

−++

+++=

⊥⊥

⊥⊥⊥⊥

λβλα

λαβλ

λβαλ

αλβλβ

λαλαββα

αβCCuCuCu

CuCuuuK

3

,3,3

22

1

6. Equations d’équilibre

Pour déterminer les équations d’équilibre et les conditions aux limites, le

principe des travaux virtuels est utilisé.

Travail des efforts intérieurs

Pour le modèle de Khirchhoff et après transformations par intégration, le

travail des efforts intérieurs s’écrit

16

[ ][ ][ ] ( )[ ]∫∫

∫

∫

∂⊥⊥

∂

⊥

⊥⊥⊥

Γ−−+Γ+−+

−++

−−=

ωαβ

αβα

αββ

ωα

αλβ

λββ

αβω

λβλα

αβαβαβαβ

αβω

αα

λβλβα

λλβ

βαβ

β

νννν

ω

ω

duMMduCMN

duCCMMCN

duCMCMNWi

*3

*

*3

*

2

2

(2.10)

[N] est le tenseur des efforts normaux et [M] est le tenseur des moments.

[N] et [M] sont les efforts généralisés définis par :

[ ]∫−

=

2

2

31222113122211

122211 1h

h

dxxMMM

NNN σσσ (2.11)

Travail des efforts extérieurs

Les forces considérées sont : des forces volumiques fv définies sur ω x

]-h/2, h/2[ et des forces surfaciques fs définies sur ω∂ x ]-h/2, h/2[ :

nfaffnfaff sssvrrrrrr

33 ; +=+= αα

αα (2.12)

Pour le modèle de Khirchhoff et après transformations par intégration, le

travail des efforts extérieurs s’écrit :

[ ] [ ][ ] [ ]∫∫

∫∫

∂⊥

∂

⊥

Γ++Γ−

++−=

ω

αα

ωα

αλ

λαω

αα

ωα

αλ

λα ωω

dumFduCmF

dumFduCmFW

ssss

e

*3

3*

*3

3*

(2.13)

17

Les forces extérieures «généralisées» sont définies par :

∫∫−−

==2

2

332

2

3 ;

h

h

h

h

ii dxxfmdxfF αα

Travail des efforts d’inertie

Pour le modèle de Khirchhoff et en négligeant les termes associés aux

rotations, le travail des efforts d’inertie s’écrit :

[ ]∫ +−=ω

αα ωρ duuuuhWi

*3

3* (2.14)

Equations d’équilibre et conditions aux limites

En appliquant le principe des travaux virtuels, les équations d’équilibre

et les conditions aux limites s’écrivent :

( )

=++−−

=−++−∂

=++−+

=−+−−

⊥⊥⊥

⊥⊥

⊥⊥⊥

0

02

2

3

33

ss

ss

FmMM

CmFCMNsur

uhFmCCMMCN

uhCmFCMCMNsur

αααβ

αβα

αββ

αλ

λααλβ

λββ

αβ

ααλβ

λα

αβαβαβαβ

αβ

ααλ

λααλβ

λβαλ

λββ

αββ

νν

ννω

ρ

ρω

&&

&&

(2.15.a)

18

Ou

( )

( ) ( )( )

=++−−

=−++−∂

=++−+

=−+−−

⊥⊥⊥

⊥⊥

⊥⊥⊥

0

02

2

3

33

ss

ss

FmMM

CmFCMNsur

uhFmCCMaMCN

uhCmFCMCMNsur

ααβ

αβα

αββα

λαλα

λαβ

βλβ

βα

αα

λβ

αλ

βααβ

λβαλ

αα

βα

αλαλα

βλα

λβ

λα

ββλ

ββα

νν

ννω

ρ

ρω

&&

&&

(2.15.b)

Pour la théorie membranaire (effet du moment négligeable), les

équations d’équilibre se réduisent à :

=+

=+⊥

33 uhFCN

uhFNsur

&&

&&

ρ

ρω

αβαβ

αααββ

(2.16)

Pour le cas des plaques, les équations d’équilibre et les conditions aux

limites s’écrivent :

( )

=++−−

=+−∂

=++

=+

⊥⊥⊥

⊥⊥

⊥

0

0

3

33

ss

s

FmMM

FNsur

huFmM

huFNsur

αααβ

αβα

αββ

αβ

αβ

αα

αβαβ

αααββ

νν

νω

ρ

ρω

(2.17)

7. Lois de comportement généralisées

Pour une plaque/coque homogène, isotrope et élastique, les efforts

généralisés s’écrivent :

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]IKTrKDM

ITrDN

ννγνγν

+−−=+−=

1

1

1

2 (2.18)

19

Les coefficients D1 et D2 sont respectivement les rigidités à la flexion et

la rigidité membranaire, et sont définies par :

( ) ( )222

3

11

;112 v

EhD

v

EhD

−=

−= (2.18)

E et ν sont respectivement le module de Young et le coefficient de

Poisson.

8. Commentaires sur le modèle de Kirchhoff

Le modèle de Khirchhoff conduit à des résultats pertinents pour les

coques et les plaques « minces ». L’adjectif « minces » est relatif. Notons

que:

- pour un chargement constant dans l’espace, le mot « minces »

désigne un rapport très faible (<1/10) entre l’épaisseur et la

dimension caractéristique de la plaque/coque.

- pour un chargement variable dans l’espace, le mot « minces »

désigne un rapport très faible (<1/10) entre l’épaisseur et la

longueur d’onde du chargement.

Le modèle de Khirchhoff aboutit à une très mauvaise détermination de

l’effort tranchant et des contraintes de cisaillement. Pour une meilleure

détermination des contraintes de cisaillements, le modèle de Reissner-

Mindlin-Bollé (chapitre 3) peut être utilisé. D’autres modèles appelés des

modèles d’ordre supérieur permettent de mieux déterminer l’effet du

cisaillement et l’évolution, selon x3, des contraintes et des déplacements.

20

Chapitre 3

Les coques « épaisses »

de Reissner- Bollé -Mindlin

1. Introduction

Pour mieux estimer les contraintes de cisaillement, Reissner (1944),

Bollé (1947) et Mindlin (1951) ont présenté, par différentes approches, une

théorie, dite de premier ordre, découplant les rotations et le déplacement

transversal.

2. Hypothèse de Reissner-Bollé-Mindlin

Une fibre normale ( ω⊥ ) à la surface non déformée ne reste pas normale

à la surface déformée mais elle conserve sa longueur.

3. Champ de déplacement de Reissner-Bollé-Mindlin

Le champ de déplacement de Reissner-Bollé-Mindlin s’écrit, dans la

base locale de la surface moyenne :

ββω

αα

α

rrr

rr

3

),(3

3

xuu

xuU

na

+=+

= (3.1)

ωur est le vecteur déplacement de la surface moyenne et β

rest le vecteur

rotation.

21

4. Tenseur de déformation

Le tenseur de déformation associé au champ de déplacement (3.1)

s’écrit :

( ) ( ) ( )ωαβαβωβαβ ρβγγε uxxu 33 −+= (3.2)

où ( ) ( ) αβαββαβγ Cwwww a 32

1 −+= ⊥⊥ (3.3.a)

( ) { }λβλα

λαβλ

λβαλαβρ CCwCwCww 32

2

1 −+= ⊥⊥ (3.3.b)

5. Equations d’équilibre

Pour déterminer les équations d’équilibre et les conditions aux limites, le

principe des travaux virtuels est utilisé.

5.1. Travail des efforts intérieurs

Pour le modèle de Reissner-Bollé-Mindlin et après transformations par

intégration, le travail des efforts intérieurs s’écrit :

( )[ ] [ ][ ][ ]

∫∫

∫

∫

∫∫

∂∂

∂

⊥

⊥⊥⊥

Γ−Γ−

Γ+−+

−++

−+−−=

ωα

α

ωαβ

αβω

ααλβ

λββ

αβω

λβλα

αβαααβ

αβω

αααβ

βω

ααλ

λλ

αβ

λβαββ

νβν

νν

ω

ωβω

duTdM

duCMN

duCCMTCN

dTMduCTCMNWi

*3

*

*

*3

**

(3.4)

22

[N] est le tenseur des efforts normaux, [M] est le tenseur des moments et

[T] est le vecteur des efforts tranchants. [N], [M] et [T] sont les efforts

généralisés définis par :

[ ]

∫

∫

−

−

=

=

2

2

323

13

2

1

2

2

31222113122211

122211 1

h

h

h

h

dxT

T

dxxMMM

NNN

σσ

σσσ

(3.5)

5.2.Travail des efforts extérieurs

Les forces considérées sont : des forces volumiques fv définies sur ω x

]-h/2, h/2[ et des forces surfaciques fs définies sur ω∂ x ]-h/2, h/2[ :

nfaffnfaff sssvrrrrrr

33 ; +=+= αα

αα (3.6)

Pour le modèle de Reissner-Bollé-Mindlin et après transformations par

intégration, le travail des efforts extérieurs s’écrit :

[ ][ ]∫

∫

+++

++=

ωα

αα

αω

αα

αα

ωβ

ωβ

duFmuF

duFmuFW

sss

e

*3

3**

*3

3**

(3.7)

Les forces extérieurs «généralisées» sont définies par :

∫∫−−

==2

2

332

2

3 ;

h

h

h

h

ii dxxfmdxfF αα

23

5.3. Travail des efforts d’inertie

Pour le modèle de Reissner-Bollé-Mindlin, le travail des efforts d’inertie

s’écrit :

( )∫

++−=

ωα

αα

α ωββρρ dh

uuuuhWi*

3*3

3*

12 (3.8)

5.4. Equations d’équilibre et conditions aux limites

En appliquant le principe des travaux virtuels, les équations d’équilibre

et les conditions aux limites s’écrivent :

( )

( )

=+−

=+−

=++−

∂

=+−+

=−

=+−−

⊥

⊥

⊥⊥

0

0

0

12

3

33

3

s

s

s

FT

mM

FCMN

sur

uhFCCMTCN

hTM

uhFCTCMN

sur

αα

αβ

αβ

ααλβ

λββ

αβ

λβλα

αβαααβ

αβ

αααββ

αααλ

λβ

αλ

λβαββ

ν

ν

νν

ω

ρ

βρ

ρ

ω

&&

&&

&&

(3.9)

Pour le cas des plaques, les équations d’équilibre et les conditions aux

limites s’écrivent :

24

( )

=+−

=+−

=+−

∂

=+

=−

=+

⊥

⊥

⊥

0

0

0

12

3

33

3

s

s

FT

mM

FN

sur

uhFT

hTM

uhFN

sur

αα

αβ

αβ

αβ

αβ

αα

αααββ

αααββ

ν

ν

ν

ω

ρ

βρ

ρ

ω

&&

&&

&&

(3.11)

ou bien

( )( )

=+−

=+−

=+−

∂

=+

=−

=+

⊥

⊥

⊥

0

0

0

12

3

33

3

s

s

FT

mM

FN

sur

uhFT

hTM

uhFN

sur

αα

αββα

αββα

αα

ββα

ββα

ν

ν

ν

ω

ρ

βρ

ρ

ω αα

αα

&&

&&

&&

(3.11)

6. Lois de comportement généralisées

Pour une plaque/coque homogène, isotrope et élastique, les efforts

généralisés s’écrivent :

( ) ( ) ( )[ ][ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ][ ]

[ ]33

1

2

1

1

uDT

IuTruDM

IuTruDN

∇+=

−+−−=

+−=

β

ρβγνρβγν

γνγν

ωω

ωω

rr

rrrr

rr

(3.12)

25

Les coefficients D1 et D2 sont respectivement les rigidités à la flexion et

la rigidité membranaire, et sont définies par :

( ) ( ) ( )v

EhD

v

EhD

v

EhD

+=

−=

−=

12;

1;

1123222

3

1 (3.13)

E et ν sont respectivement le module de Young et le coefficient de

Poisson.

7. Commentaires sur le modèle de Reissner -Mindlin-Bollé

Le modèle de Reissner -Mindlin-Bollé conduit à des résultats pertinents

pour les coques et les plaques « relativement épaisses ». La contrainte de

cisaillement est constante sur l’épaisseur, donc les conditions aux limites

aux surfaces inférieure et supérieure de la plaque ou de la coque ne sont pas

vérifiées. Par rapport au modèle de Khirchhoff, l’effort tranchant, issu du

modèle de Reissner -Mindlin-Bollé est « bien » estimé.