PCSI 1 (O.Granier) Lycée Clemenceau Loi d’Ohm Effet …olivier.granier.free.fr/cariboost_files/Ohm-locale_.pdf · Calculer la force de Laplace agissant sur une portion plane quelconque

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Loi d’Ohm

Effet Hall

Force de Laplace

Olivier GRANIER


I – La loi d’Ohm locale et macroscopique

1 – Présentation du modèle de Drude (1900) :Dans un conducteur métallique (« ohmique ») soumis à une tension électrique, les électrons de conduction se mettent en mouvement.

On définit l’intensité I du courant électrique et le vecteur j densité de courant électrique :

ρρρρm : densité de charges mobiles (ρρρρm =nq, où n est la densité de charges mobiles).

v : vitesse des porteurs de charge q.

∫∫===)(

.;;S

m dSnjIvjdt

dqI

rrrrρ

Olivier GRANIER


Soit E le champ électrique responsable de la mise en mouvement des charges mobiles.

Une charge mobile est d’une part soumise à la force électrique :

Elle est également soumise à une force due aux charges fixes qui composent le réseau cristallin du conducteur métallique.

On modélise cette force par une force de type « frottement fluide » :

où k est une constante phénoménologique, dépendant du conducteur ohmique considéré.

Eqfél

rr=

vkfrés

rr−=

Olivier GRANIER


2 – Loi d’Ohm locale et conductivité d’un conducteur ohmique :Le PFD appliqué (dans le référentiel du laboratoire) à une charge mobile donne alors (m désigne la masse d’un porteur de charge) :

Soit :

On pose (temps de relaxation du milieu) :

vkEqdt

vdm

rrr

−=

Em

qv

m

k

dt

vd rrr

=+

m

k=

τ

1

Em

qv

dt

vd rrr

=+τ

1

Olivier GRANIER


La solution de cette équation différentielle est (lorsque le champ électrique est constant) :

En régime permanent (pour t >> ττττ) :

Le vecteur densité de courant s’en déduit :

Em

qv

dt

vd rrr

=+τ

1

Em

qtAv

rrr τ

τ+−= )exp(

Em

qv

rr τ=

Em

nqvnqj

rrr τ2

==

Olivier GRANIER


On pose : (conductivité électrique du milieu)

Avec :

La loi d’Ohm est ainsi expliquée à partir de la limitation de la vitesse de migration des porteurs du fait de leurs interactions avec le milieu matériel (les cations fixes du réseau métallique).

Em

nqvnqj

rrr τ2

==

m

nq τσ

2

=

)'( localeOhmdloiEjrr

σ=

VgradE −=r

Vgradj σ−=r

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3 – Ordres de grandeur :Les porteurs de charge sont des électrons.

Le tableau suivant donne les conductivités de quelques métaux usuels àtempérature ambiante (300 K) :

Pour le cuivre, on peut évaluer le temps de relaxation :

Le régime permanent est atteint très rapidement, du moins tant que les durées caractéristiques de variations du champ E sont très supérieures à 10-14 s.

0,103,654,555,886,21σ (107 S.m-1)

HgAlAuCuAg

s14

10.4,2−=τ

Olivier GRANIER


4 – Résistance électrique et loi d’Ohm macroscopique :On considère un conducteur ohmique cylindrique de section transverse s et de longueur L (un fil électrique en cuivre, par exemple).

Le champ à l’intérieur du fil est (en régime indépendant du temps) :

VAVB

Er

vr M (q,m)

L

xBA u

L

VVE

rr −=

xur

I

Olivier GRANIER


D’après la loi d’Ohm locale : . Par ailleurs :

D’où :

VAVB

Er

vr M (q,m)

L xur

Ejrr

σ=

jSSdnjIS

== ∫∫ )(.rr

IS

LVVet

L

VVSESI BA

BA

σσσ =−

−==

I

Olivier GRANIER


On pose : (résistance électrique du fil)

On définit aussi

VAVB

Er

vr M (q,m)

L xur

S

LR

σ=

)'( quemacroscopiOhmdLoiRIVV BA =−

S

LRérésistivit

ρ

σρ == :)(

1

I

Olivier GRANIER


II – L’effet Hall

1 – Action d’un champ magnétique sur le mouvement des porteurs de charges :Le conducteur ohmique est placé dans un champ magnétique B.

Le PFD appliqué à un porteur devient :

Soit :

En régime permanent (t >> ττττ) :

vkBvEqdt

vdm

rrrrr

−∧+= )(

)(1

BvEm

qv

dt

vd rrrrr

∧+=+τ

)( BvEm

qv

rrrr∧+=

τ

Olivier GRANIER


2 – Mise en évidence de l’effet Hall : (exercice n°2)

a

b

L

M (q,m)vr

zuBBrr

=

Paroi (1)

Paroi (2)

x

y

z

O

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

I

xHH uEErr

−=

En régime permanent, on constate : yuvvrr

=

condEr

Olivier GRANIER


ya

b

L

M (q,m) vr

zuBBrr

=

Paroi (1)

Paroi (2)

x

z

O+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

I

xHH uEErr

=

0rrrr

=∧+ BvqEq H

xzyH uvBuBuvBvErrrrrr

−=∧−=∧−=

H

b

xx

b

xH VVVVVvbBudxuvBudxE ∆=−=−−==−= ∫∫−−

211200

)().(.rrrr

Olivier GRANIER


ya

b

L

M (q,m) vr

zuBBrr

=

Paroi (1)

Paroi (2)

x

z

O+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

I

xHH uEErr

=

vbBVH =∆

Or : , donc : nqvabjabI ==

a

IB

nqbB

nqab

IVH

1==∆

Olivier GRANIER


ya

b

L

M (q,m) vr

zuBBrr

=

Paroi (1)

Paroi (2)

x

z

O+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

I

xHH uEErr

=

Si q = - e (cas d’électrons de conduction, avec I < 0 sur le dessin) :

,1

(1

neRavec

a

IBR

a

IB

neV HHH =−=−=∆ constante de Hall)

Application : mesure de champ magnétique (sonde à effet Hall)

Olivier GRANIER


III – La force de Laplace1 – Force subie par un conducteur dans un champ magnétique B :L’ensemble du conducteur (électrons de conduction et cations métalliques) est soumis, de la part du champ magnétique B aux forces :

ya

b

L

M (q,m) vr

zuBBrr

=

Paroi (1)

Paroi (2)

x

z

O+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

I

xHH uEErr

=

Olivier GRANIER


• Sur les électrons de conduction :

• Sur les cations métalliques (immobiles) :

Globalement, le conducteur est donc soumis à la force :

L’intensité I s’exprime sous la forme :

D’où :

[ ]BveEeabLn H

rrr∧−+−)(

[ ]HEeabLnr

)(

[ ]BveabLnFL

rrr∧−= )(

nevabjabI −==

BLIBuILF yL

rrrrr∧=∧=

Olivier GRANIER


2 – Généralisation (cas d’un conducteur filiforme) :On considère un tronçon de circuit filiforme parcouru par un courant d’intensité I et plongé dans un champ magnétique B quelconque.

lr

d

IBr Le conducteur est soumis à la force

(appelée force de Laplace) :

BdIFd L

rlrr

∧=

τdjdsjdjsdIsoitjsIr

lr

lr

lr

====

s

En notant que :Volume

dττττ

BdjFd L

rrr∧= τ

Olivier GRANIER


3 – Exemple d’application (exercice n°2) :Calculer la force de Laplace agissant sur une portion plane quelconque (ACD), parcourue par un courant d'intensité I et placée dans un champ magnétique uniforme et perpendiculaire au plan du circuit.

Étudier le cas où (ACD) est un demi-cercle.

zuBBrr

=

A

C

DI

lr

dI

LFdr BdIFd L

rlrr

∧=

BADIBdIBdIFACDACD

L

rrlrr

lrr

∧=∧

=∧= ∫∫ )()(

Cette force ne dépend pas de la forme du contour (ACD).

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