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Durée : 3 heures Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées. Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le barème d'évaluation. Les copies rendues seront numérotées. Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3; 2/3; 3/3. Ce sujet est constitué de 6 exercices indépendants. On prêtera attention à l’orthographe, à la mise en évidence des résultats (encadrer les expressions littérales, souligner les résultats numériques), à l’homogénéité dimensionnelle, à la présence des unités et au nombre de chiffres significatifs pour les applications numériques.

* * * I Etude d’une micro-balance à quartz Un certain nombre de balances fonctionnent sur le principe de l’allongement d’un corps déformable (ressort par exemple) pour déterminer la masse suspendue. Cette méthode est très efficace pour des masses courantes mais elle devient impossible à mettre en œuvre lorsque la masse à mesurer est extrêmement faible. La sensibilité du dispositif ne permet pas le recours à une mesure statique basée sur la détermination d’une position d’équilibre. On fait alors souvent appel à un phénomène périodique pour en déduire la valeur de la masse inconnue. Une microbalance à cristal de quartz (MCQ) fonctionne sur ce dernier principe. Le quartz, de formule brute SiO2, est un matériau dur (7 sur l’échelle de Mohs, sur un maximum de 10 pour le diamant), fragile et transparent, de masse volumique

€

ρq = 2,65.103kg.m−3. Le quartz est, en outre, un matériau piézoélectrique. Si on considère un morceau taillé de cristal de quartz et que l’on impose une tension électrique à ses bornes, le matériau réagit en subissant une contrainte mécanique. Inversement, si l’on soumet le quartz à une contrainte mécanique, une tension électrique apparaît entre ses bornes.

Figure 1 – Schéma d’une microbalance à quartz et modélisation des modes de résonance au sein du cristal La structure cristalline du quartz lui confère de très bonnes propriétés de résonance. Si l’on applique une tension électrique alternative au quartz à une fréquence proche de sa fréquence propre f0, on provoque l’apparition d’ondes progressives de cisaillement dans le cristal, analogues à des ondes sismiques, de célérité

€

cq = 3340m.s−1 , dont l’amplitude peut devenir très importante et qui déforment le cristal. On a représenté sur la figure 1 un exemple de microbalance à cristal de quartz (MCQ) et le type de résonance observée lorsqu’une

tension sinusoïdale de la forme

€

U (t) =Um cos2πT

t⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ est appliquée au cristal. Il s’agit du même type d’ondes que celles observées sur

une corde vibrante. On considère donc, par analogie, une corde tendue horizontalement d’axe (Ox). Deux ondes transverses s’y propagent en sens inverse l’une de l’autre, les élongations transversales de ces ondes sont modélisées par les équations :

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€

y+ (x, t) = Ym cos 2πtT−xλ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ et

€

y− (x, t) = Ym cos 2πtT

+xλ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +ϕ

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ .

1) Rappeler la relation qui relie pour une onde progressive sinusoïdale T, λ et

€

cq . 2) Dans quel sens se propage l’onde y+(x, t) ? 3) En tout point de la corde, et à tout instant, les déformations dues aux ondes s’additionnent.

a) Déterminer l’expression yr résultant de la superposition de y− et y+ sous la forme d’un produit de fonctions.

On donne :

€

cos p+ cos q = 2 cos p+ q2

cos p− q2

.

b) Représenter le champ de déformation yr aux instants t = 0 et t = T/2 en supposant ϕ = 0. c) Commenter.

Dans le cas du cristal de quartz, d’épaisseur b, la symétrie de l’excitation du système impose que la déformation soit nulle à tout instant en x = 0 et que son amplitude soit maximale en x = ± b/2.

4) Déterminer la valeur de ϕ. 5) Montrer que les conditions limites en x = ± b/2 imposent une quantification des valeurs de la longueur d’onde donnant lieu à un phénomène de résonance, celles-ci ne pouvant prendre que les valeurs

€

λ p à déterminer. 6) On note

€

fq la fréquence de résonance fondamentale (c’est-à-dire la plus basse). Calculer l’épaisseur b du cristal donnant lieu à une fréquence fondamentale de

€

5,00MHz . On considère dans la suite du problème que le cristal de quartz est taillé de manière à posséder une fréquence fondamentale de

€

5,00MHz . On dépose à présent un film homogène de masse

€

M f de manière uniforme à la surface S du résonateur à quartz étudié ci-dessus. Dans le cas où

€

M f est négligeable devant

€

Mq , la masse du cristal de quartz résonant, Günter Sauerbrey montra en 1959 que la fréquence

fondamentale du quartz était déplacée d’une quantité

€

δfq vérifiant la relation :

€

δfqfq

= −M f

Mq.

On introduit les masses par unité de surface

€

mf =M f

S et

€

mq =Mq

S.

7) Exprimer

€

mq en fonction de

€

ρq et b.

8) En déduire que :

€

δfqfq

= −2m f fqρqcq

.

9) Calculer la valeur de

€

mf donnant lieu à un décalage en fréquence de 1,00 Hz. On exprimera le résultat en ng.cm−2.

En considérant que la masse volumique du matériau déposé est d’environ

€

ρ f ≈ 3.103kg.m−3, estimer l’ordre de grandeur de

l’épaisseur e du dépôt. Commenter. 10) Outre l’extrême sensibilité de cette méthode à la masse déposée, quels avantages présentent l’utilisation d’une microbalance à quartz ? 11) La faible variation de fréquence en rend la mesure difficile. Pour pallier à ce problème, on additionne électroniquement les tensions issues de deux microbalances, l’une étant à vide et l’autre supportant le film déposé. Quel phénomène se produit alors ? Quelle est qualitativement l’allure du signal obtenu ? Comment peut-on en déduire aisément l’écart de fréquence δfq (on ne demande pas de justification) ?

II Vagues Un train de vagues parallèles, de longueur d'onde λ = 20,0 m se propage à la célérité c = 3,00 m.s-1. On divise le train de vagues en deux trains parallèles. Le premier poursuit sa course à la même célérité. Le second traverse une zone de longueur L = 100 m de profondeur réduite où la célérité vaut c' = 2,40 m.s-1, puis rejoint l'autre train et la célérité c. On admet que les deux trains de vagues sont amenés à superposer leurs effets dans une zone de recouvrement située au delà de la zone de longueur L.

1) Faire un schéma du dispositif et y faire figurer les notations. 2) Calculer la fréquence f de l'onde. 3) Calculer la longueur d'onde λ' dans la zone de faible profondeur. 4) Calculer la durée de traversée de la longueur L pour chacun des deux trains de vagues. 5) La phase de l'onde est nulle au début de la division. Calculer les phases des deux trains à la sortie de la division. 6) En déduire le déphasage Δϕ. Y a-t-il interférence, interférences constructives, interférences destructives entre les deux ondes ?

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III Mascaret Un mascaret est une vague solitaire remontant un fleuve au voisinage de son estuaire, et provoquée par une interaction entre son écoulement et la marée montante.

On considère ici un mascaret se déplaçant à la vitesse c = 20 km·h-1 le long d’un fleuve rectiligne, et on définit un axe (Ox) dans la direction et le sens de propagation. Ci-contre, photographie d’un mascaret à proximité du Mont Saint-Michel.

À l’instant t0 = 0, le profil de niveau de l’eau du fleuve a l’allure ci-dessus. On repère les positions à l'instant t = 0 des points caractéristiques de la déformation :

- de la tête de l'onde (point T) : xT ; - de la crête de l'onde (point C) : xC ; - de la queue de l'onde (point Q) : xQ.

1) Faire un schéma du profil de niveau du fleuve à t = 1, 0 min, en supposant que l’onde se propage sans déformation. 2) Un surfeur attend avec sa planche de surf à l’abscisse xS = 2, 0 km. À quel instant va-t-il recevoir la vague ? 3) Un détecteur fixe, enregistrant la hauteur du fleuve en fonction du temps, est placé à l’abscisse xd = 1, 4 km. Dessiner l’allure des variations y(x, t) en fonction de t (décompté en minutes). 4) En réalité, l’onde se déforme petit à petit car la vitesse de propagation augmente avec la profondeur. Comment évolue le profil de la vague ?

IV Mesure d’une vitesse de propagation On utilise un oscilloscope et on observe, en bicourbe, les tensions délivrées par deux microphones, un fixe en O et l’autre mobile en M captant une onde progressive sinusoïdale émise par un haut-parleur (figure 1. ci-contre). Lorsque les deux microphones sont placés en O, on observe sur un oscilloscope la figure 2. Tous les résultats seront fournis avec deux chiffres significatifs.

1) Quelle est la fréquence f de l’onde ?

Figure 2 Figure 3

T

C

Q

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Figure 4 Figure 5 Les quatre graphes des figures 2, 3, 4 et 5 présentent en bicourbe les tensions délivrées par le microphone en O et le second microphone situé respectivement en quatre points d’abscisses x2, x3, x4 = 21 cm et x5. Les situations des oscillogrammes s’observent périodiquement lorsqu’on éloigne M de O. Les oscillogrammes sont obtenus lors des premières observations, lorsque M est au plus proche de O.

2) Quelle est la longueur d’onde de l’onde sonore ? 3) Que vaut la vitesse de propagation c de l’onde sonore ? 4) Déterminer les abscisses x3 et x5.

V Mesure de la distance Terre - Lune Pour mesurer la distance D entre la Terre et la Lune avec une grande précision, on envoie un faisceau laser en direction de la Lune. Une partie de la lumière du laser est réfléchie par un rétro-réflecteur, dispositif qui a la propriété de renvoyer la lumière dans la direction d'où elle arrive et qui a été déposé sur le sol lunaire par les astronautes de la mission Apollo 11 en 1969. Un télescope terrestre recueille ensuite une partie de la lumière renvoyée par le rétro-réflecteur. La mesure précise de la durée τ de l'aller-retour de la lumière entre la surface terrestre et la surface lunaire permet de déduire la distance entre ces surfaces.

1) Sachant que D ≈ 3,76.108 m, évaluer τ. La précision de l'horloge atomique utilisée étant de 50 ps (pico = 10-12), calculer la précision relative δτ/τ sur la valeur de τ et en déduire la précision absolue δD sur D. On donne la célérité de la lumière dans le vide

€

c = 3,00.108m.s−1. 2) Le faisceau au départ de la Terre a un diamètre a = 1,5.10-2 m et sa longueur d'onde est λ = 532 nm. Calculer son demi-angle d'ouverture θ sachant que le sinus de cet angle est égal à 1,22 fois le sinus du demi-angle d'ouverture d'un faisceau diffracté par une fente de largeur a. Calculer le diamètre D’ de la tache que fait le faisceau sur le sol lunaire. 3) Le rétro-réflecteur est un carré de côté L = 1,0 m. Calculer la fraction ρ de l'énergie lumineuse émise de la Terre qui est reçue par le rétro-réflecteur. 4) Expliquer pourquoi le télescope récepteur à la surface de la Terre ne capte qu'une très petite fraction ρ’ de la lumière réfléchie par le rétro-réflecteur (une réponse simplement qualitative est attendue). Au total, le flux lumineux reçu à l'arrivée est environ 10-17 fois le flux émis au départ. La diffraction est-elle la seule cause des pertes ?

VI Lunette astronomique Rappel : relations de conjugaison et de grandissement Pour une objet (AB), d’image (A’B’) à travers une lentille mince de centre optique O, de foyer objet F et de foyer image F’, de distance focale image f’ :

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Formules de Descartes :

€

γ =A'B'AB

=OA'OA

Formules de grandissement

€

1OA'

−1OA

=1OF '

=1f '

Formule de conjugaison

Formules de Newton :

€

A'B'AB

= γ =f 'FA

=−F ' A'f '

Formules de grandissement

€

FA.F ' A' = − f ' � Formule de conjugaison

La lunette astronomique représentée sur la figure ci-contre est constituée des deux lentilles minces convergentes

€

L1 et

€

L2 , respectivement assimilées à un objectif et à un oculaire de distances focales images

€

f '1= 115mm et

€

f '2 = 20mm. L’oculaire est placé de telle sorte que l’instrument soit afocal, c’est-à-dire que ses foyers étant rejetés à l’infini, la lunette conjugue un objet à l’infini avec une image à l’infini.

1) Quelle doit être pour ce faire la disposition relative des deux lentilles ? Exprimer alors le grandissement angulaire (ou grossissement)

€

Ga de la lunette (rapport de l’angle d’inclinaison des rayons par rapport à l’axe optique à la sortie de la lunette sur l’angle d’inclinaison des rayons à l’entrée) en fonction de

€

f '1 et

€

f '2. 2) La limite de résolution angulaire de l’œil étant de 1,5’ (1’ = 1 minute d’arc = 1/60 degré), quel doit être l’écart angulaire

€

θm minimal entre deux étoiles afin qu’elles apparaissent séparées à travers la lunette ? On exprimera le résultat en minute d’arc. 3) A quelle distance

€

p'1 de

€

O2 trouve-t-on l’image de

€

O1 par

€

L2 ? Ce résultat constitue la position de ce que l’on appelle le « cercle oculaire ». 4) Le diamètre de la monture circulaire de

€

L1 est de 4 cm. Quelle est le diamètre

€

D'1 de l’image de la monture de

€

L1 par

€

L2 ? Ce résultat constitue donc la taille du cercle oculaire. Quel est l’intérêt pour l’utilisateur de placer la pupille de son œil au niveau de ce cercle oculaire ? 5) La lunette est désormais utilisée pour observer un objet situé à 50 m de

€

L1 sans effort d’accommodation. De quelle distance d faut-il déplacer l’oculaire pour obtenir une image nette de l’objet à travers l’instrument ? 6) On retire

€

L2 puis on place un photodétecteur dans le plan focal image de

€

L1. Le diamètre apparent de la galaxie d’Andromède, assimilée à un objet optique circulaire situé à l’infini, étant de 2,5°, quel est le diamètre D’ de l’image de cette galaxie dans le plan focal image de

€

L1?

* * *