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PCSI2 Savoir et savoir-faire
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SAVOIR ET SAVOIR-FAIRE Ci-dessous la liste des connaissances et des compétences à acquérir pour chaque chapitre du cours de physique avant une interrogation orale ou un devoir écrit. Les rubriques de la première page peuvent se mettre en place progressivement sur la première année ou sur l’ensemble des deux années de CPGE. Mais le plus tôt sera le mieux … Mesure et incertitudes
* Savoir que toute détermination expérimentale de la valeur d’une grandeur physique est entachée d’une erreur. * Distinguer les deux catégories d’incertitude-type : type A (incertitude de répétabilité pour plusieurs mesures : traitement statistique) et type B (une seule mesure effectuée : traitement probabiliste).
* Pouvoir calculer une incertitude-type de type A pour n valeurs de la grandeur yi :
€
u(y) =σ n−1
n avec
€
y = 1n
yii=1
N
∑ la moyenne et
€
σ n−1 =
yi − y ( )2
i=1
n
∑n −1
l’écart type (à l’aide de la calculatrice ou d’un tableur).
* Type B :
€
u(y) =d12
pour une échelle graduée dont la résolution est d ;
€
u(y) =p3
pour un appareil numérique dont p est la
précision (dernier digit). * Savoir que les u2(y) sont additifs pour des composantes indépendantes de l’erreur. * Connaître la loi de propagation des incertitudes dans les cas simples : additivité des u2(y) pour la somme et la différence, additivité des u2(y)/y2 pour le produit et le rapport. Savoir utiliser le logiciel GUM_MC dans les cas plus complexes (téléchargement gratuit sur http://jeanmarie.biansan.free.fr/gum_mc.html).
Présenter un résultat numérique
* Présenter un résultat numérique avec un nombre de chiffres significatifs convenable (le même que la grandeur physique en possédant le moins dans un énoncé), souvent deux, plus rarement un ou trois.
Analyse dimensionnelle
* Toujours vérifier l’homogénéité d’une relation établie (à partir des dimensions principales ou à partir de blocs de dimensions connues).
Modèles et modélisation
* Savoir que tout phénomène physique subit une modélisation, avec l’avantage de pouvoir être décrit par un petit nombre de paramètres reliés par des équations simples, mais aussi avec l’inconvénient de ses propres limites (domaine de validité, …).
Formulaire
* Formules trigonométriques de base (cosinus d’une somme, cosinus de l’angle double, …). * Dérivées et primitives usuelle (puissance, sinus, cosinus, logarithme, exponentielle, …). * Développements limités usuels (sin(x), cos(x), Ln(1+x), exp(x), (1+x)a, …) + formule de Taylor. * Manipulations de base sur les complexes (partie réelle, partie imaginaire, module, argument, …). * Solutions des équations différentielles linéaires à coefficients constants, du premier ou du deuxième ordre, avec ou sans second membre. * Systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques (vecteur position, déplacement élémentaire, surfaces élémentaires, volume élémentaire). * Aires et volumes des formes de base (cylindre, sphère, …). * Savoir réaliser un produit scalaire et un produit vectoriel de deux vecteurs dans une base orthonormée directe.
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Oscillateur harmonique
* Etablir l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique {masse-ressort} horizontal
€
m˙ ̇ x + kx = 0 à partir de la deuxième loi de Newton ou de la conservation de l’énergie mécanique (énergie potentielle fournie). Savoir la reconnaître quand on la rencontre. * Ecrire la solution sous la forme
€
x(t) = A cos ω0t +ϕ( ) ou
€
x(t) = C0 cosω0t +D0 sinω0t .
* Grandeurs caractéristiques : amplitude A, pulsation propre
€
ω0 =km
, fréquence propre
€
f0 =ω02π
, période propre
€
T0 =1f0
=2πω0
et phase à l’origine ϕ.
* Déterminer les constantes (A, ϕ) ou (C0, D0) à partir des conditions initiales
€
x(0) et
€
˙ x 0( ) . * Déterminer sur le graphe x(t) : A, T0, ϕ avec
€
ϕ =ω0Δt où Δt est le décalage temporel par rapport au cosinus, et ϕ > 0 si la courbe est en avance par rapport au cosinus (décalage vers la gauche).
Propagation d’un signal
* Décrire la propagation à la vitesse c dans le sens des x croissants d’une déformation sous la forme d’une fonction
€
y(x, t) = f (x − ct) ou
€
y(x, t) = g(t − x /c) en interprétant l’origine des termes ct et x/c. Faire de même en changeant x en –x pour une propagation dans le sens des x décroissants. * Décrire la propagation à la vitesse c dans le sens des x croissants d’une onde progressive sinusoïdale sous la forme d’une
fonction
€
y(x, t) = a cos ω t − xc
$
% &
'
( )
*
+ ,
-
. / = a cos ωt − kx( ) . Connaître la double périodicité : temporelle de période temporelle
€
T =2πω
où ω est la pulsation, et spatiale de période spatiale la longueur d’onde
€
λ =2πk
avec
€
k =ωc
. Relier les deux périodes avec
€
λ = cT . * Connaître les différents domaines du spectre électromagnétiques et leurs positions relatives. * Connaître le phénomène d’interférences obtenu par superposition des petits mouvements de deux sources synchrones S1 et S2 (même fréquence) et cohérentes (en phase). Décrire le champ d’interférences obtenu avec des trous d’Young ou une cuve à
ondes. Calculer l’amplitude de l’onde résultante
€
A = 2a cosϕ2
en fonction du déphasage ϕ en un point M de ce champ (calcul
avec les formules trigonométriques ou la représentation de Fresnel). Calculer le déphasage
€
ϕ =2πλδ en fonction de la
différence de marche δ = S2M – S1M. Calculer cette différence de marche
€
δ =axD
dans une géométrie simple des trous d’Young
(a distance entre les trous, D distance trous-écran, x position sur l’écran par rapport au plan médian des trous) et en déduire
l’interfrange
€
i =λDa
, distance entre deux franges brillantes consécutives (λ longueur d’onde de la lumière utilisée).
* Savoir qu’une onde progressive peut s’obtenir par superposition de deux ondes progressives de même direction, de même vitesse, de même amplitude, mais de sens opposé. La distinguer de l’onde progressive en l’écrivant sous la forme
€
y(x, t) = A cos kx +ψ( ) cos ωt +ψ( ) . Savoir repérer les ventres d’amplitude maximale et les nœuds d’amplitude minimale.
Connaître et pouvoir établir à partir de l’amplitude
€
A cos kx +ψ( ) la distance entre deux nœuds (ou ventres) consécutifs :
€
λ2
.
Pouvoir retrouver les pulsations de résonance (modes propres) d’une corde de Melde de longueur L (corde vibrante avec excitation sinusoïdale) à partir de l’expression de y(x, t) précédente et des conditions aux limites y(0, t) = y(L, t) = 0 : pulsation
des harmoniques de rang n
€
ωn = n.ω1 avec pulsation du fondamental (la plus basse)
€
ω1 =πcL
.
* Connaître l’existence du phénomène de diffraction lorsque la lumière traverse une ouverture de "petite" taille. Connaître et
savoir utiliser la formule donnant la demi-largeur angulaire de la tache centrale pour une fente de largeur a :
€
θ =λa
.
Optique géométrique
* Connaître la définition de l’indice de réfraction d’un milieu transparent n=c/v où c est la vitesse de la lumière dans le vide et v sa vitesse dans le milieu. En déduire que la longueur d’onde de la lumière dans le milieu est obtenue en divisant celle dans le vide par l’indice : λ = λo/n. * Différencier le spectre des différentes sources lumineuses (laser, LED, lampe à incandescence, lampe à décharge). * Connaître les manifestations du phénomène de dispersion (décomposition de la lumière par un prisme, arc-en-ciel) et son origine : n(λ). * Connaître et pouvoir expliquer les principales propriétés des rayons lumineux : propagation en ligne droite, indépendance,
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retour inverse, lois de Snell-Descartes pour la réflexion r = i et pour la réfraction n sin i = n’ sin i’ avec le vocabulaire (dioptre, rayon incident, normale, plan d’incidence, rayon réfléchi, rayon réfracté), les notations qui s’y rattachent (schéma) et le phénomène de réflexion totale lors du passage d’un milieu d’indice n’ à un autre d’indice n (condition d’existence n’ < n et
calcul de l’angle limite
€
il = arcsin n'n
).
* Savoir construire le rayon réfléchi par un miroir plan et placer l’image d’une source ponctuelle. * Connaître les conditions de Gauss : travail avec des rayons paraxiaux (peu éloignées de l’axe optique et peu inclinés par rapport à ce dernier), obtention (objets "petits", diaphragmes), intérêt (stigmatisme et aplanétisme approchés, à savoir définir). * Connaître les propriétés des lentilles minces : axe optique, centre optique O, définitions ([F, ∞] et [∞, F’]) et positions des foyers principaux objet F et image F’ (symétriques par rapport à O avec F’ à droite pour une lentille convergente et à gauche pour une lentille divergente), définition des distances focales objet
€
f =OF et
€
f '=OF ' , vergence C = 1/f’. * Connaître l’existence des relations de conjugaison de Descartes et de Newton (qui ne sont pas à mémoriser), pouvoir choisir la plus appropriée pour un problème donnée, et l’appliquer. Attention aux signes pour les mesures algébriques ! Connaître la
définition du grandissement
€
γ =OA'OA
et pouvoir appliquer la formule donnant son expression (fournie).
* Pouvoir construire l’image d’un objet à travers une lentille en utilisant la propriété du centre optique O (rayon non dévié) et celles des foyers. * Pouvoir construire la marche d’un rayon à travers une lentille en utilisant la propriété du centre optique et celles des foyers secondaires. * Connaître le dispositif de projection optique, connaître et pouvoir retrouver la condition D ≥ 4 f’ d’obtention d’une image réelle à partir d’un objet virtuel où D est la distance entre l’objet et l’image. * Modéliser l’œil à l’aide du modèle de l’œil réduit. Connaître l’ordre de grandeur de la résolution angulaire (1’) et de sa plage d’accommodation [25 cm, ∞].
Bases de l’électrocinétique
* Savoir que la charge électrique est quantifiée q = ± n e avec n entier et e la charge élémentaire, et qu’elle s’exprime en Coulomb (C).
* Connaître la définition de l’intensité électrique (débit de charges) :
€
I =dqdt
et qu’elle s’exprime en Ampère (A). Savoir que
l’intensité i est algébrique. Connaître la loi des nœuds : la somme algébrique des intensités des courants à un nœud est nulle (intensité affectée d’un signe + si le courant arrive, signe – dans le cas contraire). * Connaître l’existence de la notion de tension u (ou différence de potentiel). Savoir qu’elle s’exprime en Volt (V) et qu’elle est algébrique. Connaître la loi des mailles : la somme algébrique des tensions dans une maille est nulle (tension affectée d’un signe + si dans le sens positif choisi, signe – dans le cas contraire). * Savoir que l’on travaille toujours dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), c’est-à-dire à une fréquence suffisamment faible (< 1 MHz) pour que l’on puisse considérer que l’onde électromagnétique se propage quasiment instantanément, car la longueur des fils est faible devant la longueur d’onde. En conséquence, l’intensité est la même en tout point du fil. * Savoir qu’un dipôle est linéaire si u et i sont reliés par une équation différentielle linéaire. Connaître les dipôles linéaires d’utilisation courante (schéma, relation entre u et i en convention récepteur avec u et i en sens inverse, grandeurs caractéristiques avec nom et unité) : résistor avec résistance R en Ohm (Ω), accumulateur avec fem E en V et résistance interne r en Ω, bobine avec inductance L en Henry (H) et résistance interne r en Ω, condensateur avec capacité C en Farad (F). Connaître les ordres de grandeurs utilisés en TP : mA, V, kΩ, mH, µF. * Connaître le modèle équivalent des dipôles précédents en régime continu (indépendant du temps), appelé modèle de Thévenin, associé à l’équation u = r i – e (r étant la résistance interne en Ω et e la force électromotrice en V). Savoir qu’il est représenté graphiquement pas sa caractéristique u = f(i) qui est une droite, dont il faut savoir extraire la pente – r et l’ordonnée à l’origine e. * Reconnaître les associations série (dipôles traversés par la même intensité) et dérivation (ou parallèle, dipôles soumis à la même tension). Savoir que, pour les résistors, les résistances s’ajoutent en série, et que les conductances, inverses des résistances, s’ajoutent en dérivation. * Savoir utiliser les loi de Kirchhoff (loi des nœuds + loi des mailles) dans un circuit comportant un faible nombre des mailles et de nœuds pour déterminer des intensités et des tensions. Attention aux signes ! * Connaître les diviseurs idéaux de tension et de courant : schémas, formules. * Connaître la définition de la puissance en convention récepteur : P = u.i en Watt (W). Distinguer un dipôle récepteur (P > 0) d’un dipôle générateur (P < 0). Savoir que la tension aux bornes d’un condensateur (ou sa charge) est toujours continue et qu’il
contient une énergie
€
12Cu2 . Savoir que l’intensité du courant traversant une bobine est toujours continue et qu’elle contient une
énergie
€
12Li 2 .
Régime transitoire pour un système linéaire du premier ordre
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* Pouvoir établir à partir des lois de base de l’électrocinétique l’équation différentielle régissant le régime libre (sans générateur), ou la réponse à un échelon, d’un circuit simple (RC ou RL série, ou comportant deux mailles). * La résoudre (voir formulaire) en faisant apparaître sa constante de temps et en tenant compte des conditions initiales. * Etablir un bilan énergétique.
Régime libre pour un système linéaire d’ordre deux
* Pouvoir établir l’équation différentielle régissant le régime libre d’un circuit RLC série ou d’un système masse-ressort (horizontal ou vertical). Pouvoir généraliser à des systèmes simples obéissant au même type d’équation. * Connaître l’allure des portraits de phase
€
x, ˙ x ( ) de l’oscillateur harmonique (ellipse) et d’un système amorti du premier ordre en régime pseudo-périodique ou apériodique. * Etablir un bilan énergétique. * Résoudre l’équation différentielle (voir formulaire) : mise sous forme canonique (pulsation propre ω0, facteur de qualité Q), équation caractéristique, son discriminant, ses racines pour les trois types de régime (pseudopériodique, apériodique et apériodique critique), la forme des solutions de l’équation différentielle pour les trois types de régime. * Pouvoir effectuer la détermination des deux constantes d’intégration à partir des conditions initiales
€
x(0) et
€
˙ x (0) . * Connaître et pouvoir utiliser l’analogie électromécanique pour retrouver les résultats d’un cas connaissant ceux de l’autre.
Régime sinusoïdal forcé (RSF)
* Etablir à partir de la deuxième loi de Newton l’équation différentielle d’un oscillateur mécanique {masse-ressort} soumis à une excitation sinusoïdale de pulsation ω sous la forme :
€
m˙ ̇ x + f˙ x + kx = Fm cosωt . Pouvoir la mettre sous forme canonique en introduisant la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q. * Savoir que l’on cherche en régime sinusoïdal forcé, après extinction du régime transitoire, une solution de la forme :
€
x(t) = A cos ωt +ϕ( ) .
* Pouvoir mettre en place la notation complexe x = A ejωt avec l’amplitude complexe A = A ejϕ et j2 = -1 de telle façon que
€
x = Re x( ) , et en utilisant le fait que
€
d xdt
= jω x .
* Pouvoir résoudre le problème avec A =
€
A et ϕ = arg
€
A( ) . Attention à la manipulation de l’arc tangente (voir formulaire). * Connaître l’existence du phénomène de résonance d’élongation (passage de l’élongation A(ω) par un maximum pour une certaine pulsation ωr). Savoir que cette pulsation de résonance ωr est différente de la pulsation propre ω0 et qu’elle n’existe que si le facteur de qualité Q est suffisamment grand. Pouvoir caractériser l’acuité de la résonance par le facteur de qualité ou la bande passante à – 3 dB. Pouvoir extraire ω0 et Q des graphes de A(ω) et ϕ(ω). * Etablir à partir de la loi des mailles l’équation différentielle d’un dipôle RLC série soumis à une tension sinusoïdale de pulsation ω. * Savoir qu’il est équivalent pour le signe de ϕ de prendre u(t) = Um cos ωt et i(t) = Im cos (ωt-ϕ), ou i(t) = Im cos ωt et u(t) = Um cos (ωt+ϕ). * Savoir résoudre le problème pour trouver Im(ω) et ϕ(ω) par la méthode complexe ou en utilisant la représentation de Fresnel (introduite dans la chapitre sur les ondes).
* Connaître la définition de l’impédance complexe
€
Z =Um
Im d’un dipôle (en Ω). Savoir que l’on peut en extraire
€
Im (ω) =UmZ (ω)
avec l’impédance réelle
€
Z = Z , et
€
ϕ ω( ) = arg Z( ). Connaître l’impédance R d’un résistor, jLω d’une bobine idéale et
€
1jCω
d’un condensateur. Savoir que les impédances complexes en RSF suivent les mêmes lois d’associations que les résistances en continu (additivité des Z en série et des admittances Y=1/Z en dérivation). Savoir qu’il n’en est pas de même pour les impédances réelles Z (car elles n’intègrent pas les phases). * Savoir que toutes les relations vues en régime continu (loi des nœuds, loi des mailles, diviseurs idéaux, …) sont encore valables en RSF à condition de travailler avec les amplitudes complexes. * Connaître l’existence du phénomène de résonance d’intensité (passage de Im(ω) par un maximum pour une certaine pulsation). Savoir que cette pulsation de résonance se confond avec la pulsation propre ω0 et qu’elle existe toujours quelque soit le facteur de qualité Q. Pouvoir caractériser l’acuité de la résonance par le facteur de qualité ou la bande passante à – 3 dB. * Connaître l’analogie électromécanique pour les résonances (élongation A ⇔ UCm et vitesse V ⇔ Im). * Pouvoir généraliser à des systèmes linéaires simples obéissant au même type d’équation différentielle.
Filtrage linéaire
* Connaître la définition
€
s(t) =1T
s(t)dt0
T∫ de la valeur moyenne et celle
€
S = s2 (t) de la valeur efficace d’un signal s(t) T-
PCSI2 Savoir et savoir-faire
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périodique. Savoir que
€
s(t) = 0 et que
€
S =Sm2
pour un signal sinusoïdal d’amplitude Sm.
* Savoir que toute fonction périodique de fréquence f peut se décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales = décomposition en série de Fourier (DSF) : un fondamental à la fréquence f et des harmoniques de fréquences n.f avec n ≥ 2 entier. Pouvoir lire le spectre d’un signal où l’on porte les fréquences en abscisses et les amplitudes Cn des harmoniques de rang n en ordonnée. Savoir que la réponse d’un système linéaire à une excitation périodique est la superposition des réponses à chaque harmonique prise séparément.
* Connaître la définition
€
H jω( ) =VsVe
de la fonction de transfert d’un quadripôle. Savoir que, pour chaque pulsation, le gain
€
G ω( ) = H =VsVe
, module de la fonction de transfert nous donne Vs si l’on connaît Ve, et que
€
ϕ = arg H( ) , argument de la
fonction de transfert, nous donne le déphasage entre ve(t) et vs(t). Connaître la définition du gain en décibel : GdB = 20 log G. * Connaître l’existence du diagramme de Bode : GdB en fonction de log ω (ou log f) et ϕ en fonction de log ω (ou log f). Pouvoir en extraire la nature du filtre (passe-bas, passe-haut, sélectif, passe-bande, réjecteur, passe-tout), son ordre (1 pour une
pente à ± 20 dB/décade, 2 pour ± 40 dB/décade), sa (ou ses) pulsations ou fréquence(s) de coupure quand
€
G =Gmax2
, soit quand
€
GdB =GdB max − 3 . Savoir qu’on réalise un « intégrateur » dans la partie à – 20 dB/décade et un « dérivateur » dans la partie à + 20 dB/décade. Savoir qu’un opérateur « valeur moyenne » se réalise avec un filtre passe-bas dont la coupure est située entre la composante continue (0 Hz) et le fondamental. * Connaître l’intérêt de la notion de gabarit pour la réalisation d’un filtre dont on se donne le cahier des charges (nature, coupure, atténuation).
* Savoir qu’un filtre se caractérise aussi par son impédance d’entrée
€
Ze =VeIe
et son impédance de sortie
€
Zs =VsIs
"
# $ $
%
& ' '
générateur éteint
.
Savoir que la mise en cascade de filtres s’accompagne d’une modification de leurs fonctions de transfert, mais que l’on peut y remédier si les impédances d’entrée Ze sont très élevées et les impédances de sortie Zs très faibles. A défaut, on intercale un étage suiveur qui « transmet » la tension en « bloquant » le courant (réalisé par exemple avec un ALI).
Mécanique quantique
* Relations à connaître traduisant la dualité onde-corpuscule : relation de Planck-Einstein E = hf pour le photon où E est son énergie et f la fréquence de l’onde électromagnétique associée (h constante de Planck) ; relation de De Broglie λ = h/p où p = mv est la quantité de mouvement d’une particule et λ la longueur d’onde de l’onde associée. * Savoir que l’on associe à une particule une fonction d’onde Ψ(M, t) de telle façon que
€
Ψ(M , t) 2 représente la densité de probabilité de présence (probabilité par unité de volume) de cette particule.
* Connaître l’inégalité de Heisenberg spatiale
€
Δx.Δpx ≥ ! , avec
€
! =h2π
, où Δx est l’incertitude sur la position de la position de
la particule et Δpx celle sur sa quantité de mouvement. Elle traduit le fait que l’on ne peut pas mesurer précisément à la fois la positon et la vitesse. Il faut pouvoir retrouver cette relation sur l’expérience classique de diffraction par une fente. * Savoir que l’oscillateur harmonique quantique, contrairement à son homologue classique, possède une énergie minimale
€
Emin =!ω02
(ω0 étant sa pulsation de résonance) et pouvoir retrouver cette valeur à partir de l’inégalité de Heisenberg.
* Savoir que le confinement d’une particule provoque la quantification de ses niveaux d’énergie et pouvoir retrouver les valeurs correspondantes pour un puits rectangulaire infini par analogie avec la corde vibrante.
Cinématique
* Connaître le modèle du point matériel et pouvoir trouver le barycentre G d’un système de deux points matériels {M1(m1), M2
m2)} à partir de sa définition :
€
OG =m1OM1 +m2OM 2
m1 +m2 ou
€
m1GM1 +m2GM 2 =! 0 .
* Connaître les systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques : les trois paramètres de position et leurs plages de variation, les caractéristiques des vecteurs de base (direction, sens, norme), la décomposition sur ces vecteurs du
vecteur position
€
OM et du déplacement élémentaire
€
dOM (voir formulaire). Savoir qu’en coordonnées polaires
€
d! e rdθ
=! e θ et
€
d! e θdθ
= −! e r (rotation de +π/2 lors de la dérivation). Connaître l’existence de la base de Frénet (abscisse curviligne s, vecteurs
tangent
€
! T et normal
€
! N ). Savoir projeter un vecteur : projection de
€
! F sur l’axe Ox :
€
Fx =! F .! e x = F .cos(
! F ,! e x ) . Faire la
distinction entre le vecteur (
€
! F ), sa norme (F > 0) et sa projection Fx algébrique. N’écrire que des relations dont les deux
membres sont de même nature (vecteur ou scalaire).
PCSI2 Savoir et savoir-faire
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* Connaître la définition de la trajectoire (ensemble des positions occupées par le point M dans l’espace au cours du temps).
* Connaître la définition de la vitesse instantanée
€
! v = dOMdt
et connaître son expression en coordonnées cartésiennes,
cylindriques et dans la base de Frénet.
* Connaître la définition de l’accélération
€
! γ =
d! v dt
=d 2OM
dt 2 et connaître son expression en coordonnées cartésiennes,
cylindriques et dans la base de Frénet. * Connaître les mouvements simples pour un point matériel : mouvement rectiligne (trajectoire, vitesse, accélération, mouvement rectiligne uniforme si
€
! v = cte et
€
! γ =! 0 , mouvement uniformément varié si γ = cte), mouvement circulaire
(trajectoire, vitesse, accélération, mouvement uniforme si v = cte mais
€
! v ≠ cte et
€
! γ ≠! 0 normale centripète, période),
mouvement à accélération constante (trajectoire parabolique en général à savoir retrouver en tenant compte des conditions initiales). * Connaître les mouvements simples pour un solide (système indéformable AB = cte, quelque soit A et B) : translation rectiligne (le segment AB reste parallèle à lui même au cours du mouvement et le mouvement de chaque point est rectiligne), translation circulaire (le segment AB reste parallèle à lui même au cours du mouvement et le mouvement de chaque point est circulaire), rotation autour d’un axe fixe (la trajectoire de chaque point du solide est un cercle, qui est parcouru à la même vitesse angulaire ω pour tous les points).
Bases de la dynamique
* Connaître la première loi de Newton (principe d'inertie) : un système isolé (qui n'est soumis à aucune force) ou pseudo-isolé (soumis à des forces qui se compensent) dans un référentiel galiléen est en mouvement rectiligne uniforme (
€
! v G = Cte) ou au repos (
€
! v G =! 0 ).
* Connaître la deuxième loi de Newton :
€
! F ext =
d! p dt
avec
€
! p = m! v G , soit
€
! F ext = m ! γ G si m = cte.
* Savoir que la condition nécessaire (mais non suffisante) d’équilibre est
€
! F ext =
! 0 . Savoir qu’un équilibre est stable si le
système écarté de sa position d’équilibre y revient spontanément (instable sinon). * Connaître la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques) :
€
! F 1→ 2 +
! F 2→1 =
! 0 .
* Connaître les principales interactions : gravitation, force électrostatique, réaction de support (dont les lois de Coulomb), force de rappel d’un ressort (loi de Hooke), poussée d’Archimède (direction, sens, norme). * Connaître la méthode de résolution générale : choix du système et du référentiel, inventaires des forces s’appliquant sur le système, écriture de la deuxième loi de Newton sous forme vectorielle, projection dans une base appropriée, intégration compte tenu des conditions initiales pour obtenir les équations paramétriques du mouvement, élimination du temps pour obtenir l’équation de la trajectoire. Pouvoir l’appliquer dans les cas simples suivants (et ceux qui en découlent directement) : chute libre (vide, air avec frottement visqueux linéaire), balistique (vide, air avec frottement visqueux linéaire), pendule simple, solide tiré sur une plan horizontal avec une force constante (sans frottement solide, avec frottement solide), solide posé sur un plan incliné (sans frottement solide, avec frottement solide). * Connaître l’allure du portrait de phase du pendule plan et pouvoir y distinguer les trois types de régime : oscillatoire harmonique (ellipse), oscillatoire non harmonique (fermé non elliptique), mouvement de révolution (ouvert sans annulation de la vitesse).
Energie
* Savoir définir la travail d’une force
€
W =! F .d! l ∫ et sa puissance
€
P =δWdt
=! F .! v .
* Connaître le théorème de la puissance cinétique en référentiel galiléen
€
P =dEcdt
avec
€
Ec =12mv2 ; et celui de l’énergie
cinétique
€
W = ΔEc . * Connaître la définition d’une énergie potentielle Ep dont dérive une force conservative :
€
W = −ΔEp . Connaître, et savoir
retrouver, l’énergie potentielle de pesanteur ± mgz + cte, l’énergie potentielle gravitationnelle
€
−GMmr
, l’énergie potentielle
d’interaction électrostatique entre deux charges ponctuelles
€
Qq4πε0r
ou d’une charge dans un champ uniforme (dérivant d’un
potentiel V) qV, l’énergie potentielle élastique
€
12kx2 pour une élongation x.
* Connaître la définition de l’énergie mécanique Em = Ec + Ep. Savoir qu’elle se conserve si toutes les forces sont conservatives ou ne travaillent pas (absence de frottement en général). Savoir que, dans le cas contraire, la variation d’énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives : W = ΔEm. * Savoir appliquer cette conservation dans les cas simples (et ceux qui en découlent directement) : oscillateur harmonique
PCSI2 Savoir et savoir-faire
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{masse-ressort} horizontal, pendule plan, point mobile sans frottement sur une sphère, tir dans le vide. * Savoir utiliser le profil énergétique du système donnant l’énergie potentielle en fonction du paramètre de position x (ou θ) (présence de puits ou de barrière de potentiel) pour en déduire des informations sur le comportement du système (mouvement oscillatoire ou de révolution, distance minimale d’approche, …). * Savoir utiliser le profil énergétique du système donnant l’énergie potentielle en fonction du paramètre de position x (ou θ)
pour en déduire les positions d’équilibre possibles (extremum pour
€
dEpdx
= 0 ) et leur stabilité (minimum pour une position
d’équilibre stable soit
€
d 2Epdx 2
> 0, maximum pour une position d’équilibre instable soit
€
d 2Epdx 2
< 0).
* Savoir que tout système au voisinage d’une position d’équilibre stable se comporte comme un oscillateur harmonique. Pouvoir retrouver sa pulsation propre en utilisant la formule de Taylor.
Mouvement de particules chargées dans le vide
* Savoir qu’un champ électrostatique
€
! E est produit par des charges fixes. Savoir qu’un champ électrostatique uniforme peut
être produit par un condensateur plan « infini ». On a alors E = U/d où U est la ddp entre les armatures et d la distance qui les sépare. * Savoir qu’un champ magnétostatique
€
! B est produit par des charges en mouvement (courant) ou un aimant permanent. Savoir
qu’un champ magnétostatique uniforme peut être produit par un solénoïde (bobine) infini ou par le dispositif des bobines de Helmholtz (deux bobines plates, identiques, parallèles, de même axe, parcourues par la même intensité dans le même sens, et séparées d’une distance égale à leur rayon commun). * Connaître l’expression de la force de Lorentz subie par une particule chargée de charge q dans un champ électromagnétique :
€
! F = q
! E + ! v ∧
! B ( ) .
* Mouvement dans un champ électrique : pouvoir à l’aide de la conservation de l’énergie mécanique calculer la différence de vitesse entre deux points en fonction de la ddp entre ces deux points, savoir que l’on peut négliger le poids devant la force électrique et pouvoir le justifier par un calcul d’ordres de grandeur, pouvoir retrouver l’équation de la trajectoire parabolique (mouvement à accélération constante) par application de la deuxième loi de Newton en coordonnées cartésiennes. * Mouvement dans un camp magnétique (vitesse initiale
€
! v 0 orthogonale à
€
! B ) : savoir que l’on peut négliger le poids devant la
force magnétique et pouvoir le justifier par un calcul d’ordres de grandeur, savoir que la force magnétique ne travaille pas et pouvoir le justifier (
€
! F orthogonale à
€
! v ), pouvoir déterminer le rayon de la trajectoire circulaire par application de la deuxième
loi de Newton dans la base de Frénet
€
R =mv0qB
.
Système en rotation autour d’un axe fixe
* Connaître la définition du moment cinétique (vecteur) d’un point M par rapport à un point A :
€
! σ A (M ) = AM ∧
! p . Savoir définir le moment cinétique (scalaire) de ce même point M par rapport à un axe Δ (de vecteur unitaire
€
! u Δ )et pouvoir l’exprimer en fonction de la masse m de M, de sa distance à l’axe r et de sa vitesse angulaire de rotation ω :
€
σΔ (M ) =! σ A (M ).! u Δ = mωr 2 .
* Savoir que pour un solide, on a
€
σΔ = JΔω où
€
JΔ est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe Δ (fourni). * Connaître la définition du moment (vecteur) d’une force
€
! F s’appliquant sur un point M par rapport à un point A :
€
! M A (
! F ) = AM ∧
! F . Savoir définir le moment (scalaire) de cette même force par rapport à un axe Δ et pouvoir l’exprimer en
fonction de la distance r de M à l’axe et de la composante orthoradiale
€
Fθ de la force :
€
MΔ
! F ( ) =
! M A
! F ( ).! u Δ = r.Fθ . Savoir que
ce moment s’exprime aussi en fonction du bras de levier d (distance entre l’axe Δ et sa projection orthogonale sur la droite support de la force
€
! F ) :
€
MΔ (! F ) = ±Fd .
* Savoir que la totalité des actions mécaniques s’exerçant sur un solide est décrite par un torseur :
€
! F ,!
M A{ } , qu’un couple est
un torseur de résultante nulle
€
! 0 ,"
M A{ } , et qu’une liaison pivot idéale assurant la seule rotation d’un solide autour d’un axe fixe se caractérise par un moment total des actions de contact par rapport à Δ nul :
€
MΔ = 0 . * Connaître le théorème du moment cinétique (TMC) pour un point matériel M soumis à une force
€
! F , et appliqué en un point A
fixe d’un référentiel galiléen :
€
d ! σ A (M )dt
=!
M A! F ( ) . Connaître sa version scalaire pour une rotation autour d’un axe fixe Δ :
€
dσΔ (M )dt
= MΔ
! F ( ) . Savoir qu’à l’équilibre, on a
€
! F ,!
M A{ } =! 0 ,! 0 { } ou
€
! F ,MΔ{ } =
! 0 ,0{ } . Savoir que pour un solide en rotation à
la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe Δ, ce même théorème s’écrit :
€
JΔ ˙ ω = MΔext , où
€
MΔext est le moment par rapport à Δ des actions extérieures s’appliquant sur le solide. Savoir appliquer ce dernier théorème sur des cas simples pour obtenir l’équation du mouvement : pendule simple, pendule pesant, pendule de torsion.
PCSI2 Savoir et savoir-faire
8/12
* Savoir que l’énergie cinétique d’un solide ne rotation autour d’un axe fixe Δ s’écrit :
€
Ec =12JΔω
2 . Savoir que le théorème de
la puissance cinétique s’écrit alors :
€
dEcdt
= MΔ .ω . Pouvoir l’appliquer dans des cas simples (pendules) pour obtenir l’équation
du mouvement. Savoir que pour un système déformable les forces intérieures travaillent : description et interprétation de l’expérience du « tabouret d’inertie ». * Connaître l’analogie existant en la translation d’un point matériel et la rotation d’un solide autour d’un axe fixe. S’en servir pour retrouver les résultats du deuxième cas connaissant ceux du premier.
Mouvement dans un champ de force central conservatif
* Pouvoir définir une force
€
! F centrale :
€
OM //! F . En connaître les propriétés et pouvoir les justifier : conservation de la
constante des aires
€
! C = OM ∧
! v (
€
d! C
dt=! 0 ) et du moment cinétique (application du TMC), planéité (
€
OM orthogonal à
€
! C ), loi
des aires indiquant que le rayon vecteur
€
OM balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux (
€
dS =12Cdt ).
* Savoir que les forces newtoniennes
€
! F = k
r 2! e r (forces électrostatique avec
€
k =Qq4πε 0
et gravitationnelle avec
€
k = −GMm ) sont
centrales et conservatives et pouvoir donner les énergies potentielles dont elles dérivent
€
Ep =kr
(chapitre sur l’énergie).
* Pouvoir définir l’énergie potentielle effective
€
Epeff (r) par
€
Em =12
m˙ r 2 + Epeff (r) et pouvoir en déduire sa valeur :
€
Epeff (r) =12m C 2
r 2+kr
. Savoir définir un état lié (r borné) et un état de diffusion (r non borné). Savoir les distinguer sur le
graphe
€
Epeff (r) en résolvant graphiquement l’inégalité :
€
Epeff (r) ≤ Em (car
€
˙ r 2 ≥ 0). * Connaître l’énoncé des trois lois de Képler : 1 – Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe l’un des foyers, 2 – le rayon vecteur issue du Soleil balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux (loi des aires), 3 – Les carrés des temps de révolution sont proportionnels aux cubes des grands axes
€
T 2 ∼
€
(2a)3 (à savoir retrouver pour une orbite
circulaire
€
T 2
r 3=4π 2
GM, retrouver la loi générale
€
T 2
a3=4π 2
GM pour un ellipse en remplaçant r par a).
* Savoir retrouver l’énergie mécanique sur une trajectoire elliptique
€
Em = −GΜm2a
(en écrivant qu’au périhélie P et à l’aphélie
A on a
€
Epeff (r) = Em car
€
˙ r = 0et en écrivant que la somme des racines du trinôme en r obtenu vaut le grand axe
€
rA + rP = 2a ).
Savoir retrouver l’énergie mécanique sur une trajectoire circulaire
€
Em = −GΜm2r
(en écrivant
€
Em = Ec + Ep et en déterminant
l’énergie cinétique à partir de la deuxième loi de Newton). Savoir que l’on peut retrouver la première expression de l’énergie mécanique en remplaçant r par a dans la deuxième. * Savoir que l’on peut avoir des états liés (ellipse, cercle) si
€
Em < 0 mais aussi des états de diffusion : parabole si
€
Em = 0 (vitesse nulle à l’infini) ou hyperbole si
€
Em > 0 (vitesse non nulle à l’infini). * Pouvoir retrouver les caractéristiques des trajectoires dans certains cas particuliers : orbite circulaire basse (première vitesse cosmique et période à partir de l’application de la deuxième loi de Newton), orbite géostationnaire (altitude pour une orbite circulaire dans le plan équatorial avec une période de 24h pour rester en permanence au dessus du même point de la Terre), vitesse de libération = deuxième vitesse cosmique pour échapper à l’attraction terrestre (
€
Em = 0 ). Introduction à la thermodynamique
Connaître les définitions suivantes : système ouvert (échange de matière avec l’extérieur), système fermé (pas d’échange de matière avec l’extérieur), système isolé (ni échange de matière ni échange d’énergie avec l’extérieur), parois athermanes (sans transfert thermique) ≠ parois diatherme ou diathermane, paramètre ou variable d’état intensive (indépendante de la quantité de matière) ≠ extensive, équation d’état (reliant les variables d’état), équilibre (thermodynamique = mécanique + thermique + …) lorsque les variables d’état sont devenus indépendantes du temps (donc du point de l’espace), transformations (irréversible en l’absence de précautions particulières et/ou avec des phénomènes diffusifs et/ou des frottements …, quasi-statique lorsque les états intermédiaires sont des états d’équilibre internes, réversible si l’on peut revenir en arrière en inversant les contraintes), transformations particulières (isochore à volume constant, monotherme à température extérieure constante, isotherme à température constante, monobare à pression extérieure constante, isobare à pression constante, adiabatique sans transfert thermique, cyclique quand on revient au point de départ), fonction d’état (fonction des variables d’état dont la variation ne dépend que de l’état initial et de l’état final et non du chemin).
Théorie cinétique du gaz parfait
PCSI2 Savoir et savoir-faire
9/12
* Connaître l’équation d’état du gaz parfait PV = nRT, son champ d’application (pression < 1 bar), les unités dans le système international (Pa, m3, mol, K) et le passage aux unités dérivées (1 bar = 105 Pa, 1atm = 101325 Pa = 760 mmHg, 1 m3 = 103 L, T(K) = t(°C) + 273). * Connaître les hypothèses de travail : molécules monoatomiques sans interactions assimilées à des points matériels, volume élémentaire de taille mésoscopique (1µm soit 10-18 m3) donc densité particulaire n = dN/dτ = N/V = cte, distribution des vitesses homogène (indépendante du point de l’espace) et isotrope (indépendante de la direction), toutes les molécules de vitesse
identique
€
u = v 2 égale à la vitesse quadratique moyenne des molécules, des molécules se déplaçant uniquement suivant
trois directions de l’espace dans les deux sens, des chocs avec les parois élastiques avec conservation de l’énergie cinétique donc de v.
* Pouvoir calculer la pression cinétique
€
P =13nmu2 où m est la masse d’une molécule monoatomique : on calcule la variation
de quantité de mouvement pour une molécule lorsqu’elle heurte normalement une surface élémentaire dS prise sur la paroi ; on somme sur toutes les molécules (contenues dans un cylindre de section dS et de longueur u.dt) susceptibles de venir heurter dS pendant l’intervalle de temps dt en considérant que cela ne concerne qu’environ 1/6 des molécules ; on applique la deuxième loi de Newton pour calculer la force exercée par la paroi sur ces molécules ; on utilise la troisième loi de Newton et la définition de la pression (force par unité de surface) pour en déduire la pression exercé par les molécules sur la paroi. Pouvoir en déduire en utilisant l’équation d’état du gaz parfait l’expression de la vitesse quadratique moyenne u en fonction de la température T :
€
u =3kTm
.
* Connaître la définition de l’énergie interne d’un gaz
€
U = Ec + Ep , et calculer sa valeur en fonction de la température
€
U = Ec =32kT pour une mole de gaz parfait monoatomique. Pouvoir en déduire sa capacité thermique molaire à volume
constant
€
Cvm =dUdT
=32R (en J.K-1.mol-1), sa capacité thermique massique à volume constant
€
cv =CvmM
(en J.K-1.kg-1) où M est
la masse molaire (en kg.mol-1), et sa capacité thermique à volume constant
€
Cv = nCvm = mcv (en J.K-1) où n est le nombre de moles de gaz et m sa masse. * Connaître la définition du libre parcours moyen d’une molécule : distance parcourue en moyenne entre deux chocs consécutifs. Pouvoir donner une condition de choc entre deux molécules : le centre de la molécule incidente doit traverser normalement une surface centrée sur la molécule cible et égale à la section efficace de collision σ = πd2 où d est le diamètre des
molécules. Pouvoir en déduire une estimation du libre parcours moyen
€
l =1nσ
(pendant l’intervalle de temps dt, il y a collision
de la molécule incidente avec toutes les molécules se trouvant à l’intérieur d’un cylindre droit de section σ et de longueur v.dt ;
on en déduit la fréquence de collision f = n.v.σ puis le temps moyen entre deux chocs
€
1nσv
puis enfin l).
Description macroscopique d’un système thermodynamique
* Connaître les définitions des grandeurs suivantes et pouvoir les calculer pour le gaz parfait : volume molaire
€
Vm =Vm
=RTP
,
masse volumique
€
ρ =mV
=PMRT
, volume massique
€
v =1ρ
, densité par rapport à l’air
€
d =M (g.mol−1)
29.
* Etre conscient des limites du modèle du gaz parfait : existence d’une pression interne si on tient compte des interactions entre molécules, et d’un covolume si on prend en compte le volume des molécules. Pouvoir utiliser l’équation de Van Der Waals fournie. * Pouvoir travailler avec un mélange idéal de gaz parfaits (s’il est lui même idéal) : définition de la pression partielle d’un gaz (qu’il aurait s’il occupait seul le volume du mélange à la même température que lui), calcul de cette pression partielle
€
Pi = xiP
avec la fraction molaire du gaz
€
xi =nin
, loi de Dalton
€
Pi
= Pi∑ (car
€
xii∑ = 1), masse molaire du mélange
€
M = xiM ii∑ .
* Savoir que pour une phase condensée, liquide ou a fortiori solide, compte tenu de la faible compressibilité, et sauf indication contraire, on considère que l’énergie interne U ne dépend que de la température T. * Pouvoir décrire un système comportant plusieurs phases : nom des phases et des transitions de phase, allure du diagramme d’état du corps pur donnant P en fonction de T (monophasé = plan, diphasé = courbe, triphasé = point triple, point critique C) et pouvoir décrire les états successifs du système lorsque l’on se déplace à l’intérieur y compris la continuité de l’état fluide au dessus de C. * Pouvoir décrire un système diphasé liquide-gaz : pression de vapeur saturante Psat(T), distinction de l’ébullition et de l’évaporation dans la vaporisation, diagramme de Clapeyron donnant P en fonction de v (allure des isothermes d’Andrews, position des différents états, point critique, courbe de saturation = courbe d’ébullition + courbe de rosée, définition et calcul d’un titre
massique en vapeur sur un palier de changement d’état
€
x =mv
m=vv − vvv − vl
, conséquence du taux de remplissage des bouteilles sur la
sécurité du stockage, existence possible de retard, détermination d’un état final (pression, composition) sans ou avec atmosphère inerte par un raisonnement de type conditionnel (hypothèse a priori, confirmée ou infirmée a posteriori par le calcul).
PCSI2 Savoir et savoir-faire
10/12
Premier principe de la thermodynamique
* Connaître les deux formes de transfert d’énergie entre un système et l’extérieur : travail W (
€
− PextdV∫ dans le cas général,
€
− PdV∫ si quasi-statique ou réversible, ± aire sous la courbe ou ± aire du cycle dans le diagramme de Clapeyron) et transfert thermique Q (distinguer les trois modes : conduction, convection et rayonnement). Connaître la convention de signe du système « égoïste » pour les échanges (> 0 si reçu, < 0 si cédé à l’extérieur). * Pouvoir énoncé le premier principe pour un système fermé immobile
€
ΔU =W +Q ou pour un système fermé en mouvement
€
ΔU + ΔEc =W +Q . * Connaître la définition de la fonction d’état enthalpie H = U + PV et pouvoir justifier son intérêt (Q = ΔH pour une transformation isobare ou monobare, alors que Q = ΔU si elle est isochore). * Pouvoir calculer les fonctions d’état et leurs variations pour les différents états possibles d’un système : gaz parfait (
€
ΔU = CvΔT et
€
ΔH = CpΔT avec la relation de Mayer
€
Cp = Cv + nR donnant la capacité thermique à pression constante), phase condensée (
€
Q ≈ ΔU ≈ ΔH ≈ CΔT avec C la capacité thermique), système liquide-gaz (
€
Δh = Lv enthalpie massique de vaporisation pour la traversée d’un palier de la courbe d’ébullition à celle de rosée pour 1 kg,
€
h = xhv + 1− x( )hl soit
€
x =hv − hhv − hl
pour un système de titre massique en vapeur x en utilisant l’extensivité donc l’additivité de H, de même
€
u = xuv + 1− x( )ul ,
€
ΔhAB = xB − xA( )Lv pour sur un palier aller de A à B). * Connaître les méthodes calorimétriques de base pour mesurer des capacités thermiques (description du matériel, protocole et écriture du bilan calorimétrique à l’aide du premier principe) : méthode des mélange pour les solides, méthodes électriques pour les liquides.
Propriétés énergétiques des gaz parfaits
* Etre capable d’appliquer le premier principe pour calculer les transferts d’énergie lors de transformations particulières du
système : isotherme réversible (
€
WAB = − PdVA
B∫ = −nRT dV
VA
B∫ = −nRTLn VB
VA et
€
QAB = −WAB car
€
ΔUAB = 0 ), isotherme
irréversible (
€
WAB = − PextdVA
B∫ = −PextΔV si monobare), adiabatique réversible (loi de Laplace
€
PVγ = cte avec
€
γ = Cp /Cv et
ses autres déclinaisons en utilisant l’équation d’état,
€
W = ΔU car Q = 0), adiabatique irréversible (Laplace non utilisable, on
résout
€
W = ΔU avec
€
WAB = − PextdVA
B∫ pour obtenir l’état final), isochore (W = 0 et Q = ΔU), isobare (
€
W = −PΔV et
€
Q = ΔH
). * Connaître les deux principaux cycles moteurs de référence : cycle de Carnot (réversible, deux adiabatiques et deux isothermes,
identité de Carnot Clausius
€
QcTc
+Qf
T f= 0 avec la loi de Laplace, rendement
€
ρCarnot =−WQc
=Qc +Qf
Qc= 1+
Qf
Qc= 1−
T f
Tc avec le
premier principe), moteur à explosion à 4 temps (cycle idéalisé avec admission + compression + explosion + échappement,
calcul du rendement en fonction du taux
€
a =VmaxVmin
de compression :
€
ρ = 1− a1−γ , cycle réel de Beau de Rochas).
Entropie et second principe
* Pouvoir décrire quelques expériences simples, se faisant dans un sens bien déterminé, montrant l’insuffisance du premier principe et la nécessité du second : diffusion des molécules sur la détente de Joule Gay-Lussac, conduction thermique dans un barreau métallique, effet Joule, … * Avoir quelques idées sur la construction microscopique de l’entropie (AD) : dénombrement des microétats pour un macroétat donné du système sur la détente de Joule Gay-Lussac. * Savoir énoncer le second principe : la variation d’entropie est égale à l’entropie d’échange plus l’entropie de création
€
ΔS = Se + Sc avec
€
Se =QText
=
Qii∑T0i
et
€
Sc ≥ 0 (= si réversible ou > si irréversible).
* Connaître l’allure du diagramme entropique donnant T en fonction de l’entropie massique s (même allure que le diagramme de Clapeyron mais isobares croissantes). * Pouvoir calculer les variations d’entropie pour les différents états possibles d’un système : gaz parfait et phases condensées
(utilisation des formules fournies), système diphasé liquide-gaz (
€
Δs =LvT
pour la traversée d’un palier de la courbe d’ébullition
à celle de rosée pour 1 kg, calcul d’un titre massique en vapeur sur un palier de changement d’état
€
x =sv − ssv − sl
).
PCSI2 Savoir et savoir-faire
11/12
* Pouvoir effectuer le bilan entropique pour des expériences simples (et les extrapoler à d’autres situations) : corps en contact avec un thermostat, deux corps en contact thermique, transitions de phase …
Machines thermiques
* Pouvoir établir l’inégalité de Carnot-Clausius à partir du second principe pour un système effectuant un cycle entre plusieurs
thermostats :
€
Qii∑T0i
≤ 0 (
€
Sc ≥ 0 avec
€
ΔS = 0 ).
* Connaître et pouvoir justifier le théorème de Carnot pour un système quelconque effectuant un cycle moteur entre deux thermostats :
€
ρ ≤ ρCarnot . * En plus des moteurs vus dans un chapitre précédent (Qc > 0, Qf < 0 et W < 0), connaître les machines « frigorifiques » dithermes cycliques destinées à refroidir (réfrigérateur, congélateur), à chauffer (pompe à chaleur), ou les deux (climatiseur) avec Qc < 0, Qf > 0 et W > 0 (sens inverse du sens spontané) : éléments principaux (compresseur, évaporateur, condenseur, détendeur), calcul de l’efficacité maximale en fonctionnement réversible à l’aide des deux principes de la thermodynamique (
€
η =Qf
W=
T f
Tc −T f pour le réfrigérateur et
€
η =−Qc
W=
TcTc −T f
=1
ρCarnot pour la pompe à chaleur, avec des températures en
Kelvin). * Pouvoir établir et utiliser dans les cas simples (détente de Joule-Kelvin, turbine, tuyère, …) le premier principe pour les systèmes ouverts dans le cas particulier d’un fluide parfait (non visqueux) en écoulement permanent (indépendant du temps) :
€
Pu + Pth = DmΔ h +c 2
2+ gz
#
$ %
&
' ( pour les puissances ou
€
wu + q = Δ h +c 2
2+ gz
#
$ %
&
' ( pour les valeurs massiques, Pu est la puissance
utile (autre que celle de pression), Pth la puissance thermique, Dm le débit massique, h l’enthalpie massique, c la vitesse de translation d’ensemble, g l’accélération de la pesanteur, z l’altitude, wu le travail utile massique et q le transfert thermique massique. * Connaître et pouvoir utiliser le diagramme enthalpique (ou diagramme des frigoristes) donnant la pression P en fonction de l’enthalpie massique h.
Statique des fluides
* Connaître ou pouvoir retrouver rapidement les surfaces et le volume élémentaires dans les différents systèmes de coordonnées (cartésiennes, cylindriques et sphériques). Savoir s’en servir pour retrouver des aires et des volumes de formes simples par le calcul à l’aide d’intégrales multiples. * Savoir que l’on travaille sur des particules de fluides au repos , volume élémentaire mésoscopique petit à notre échelle mais contenant un grand nombre de molécules. Toutes les grandeurs physique sont nivelées, c’est-à-dire moyennées sur ce volume,
comme la masse volumique
€
ρ =dmdτ
ou la vitesse
€
! v =! 0 .
* Connaître la relation fondamentale de la statique des fluides (RFSF)
€
dPdz
= ±ρg (± suivant le sens de la verticale, P devant
augmenter lors de la descente dans le fluide) dans l’hypothèse où la seule force autre que celle de pression est la pesanteur. Pouvoir la retrouver (application de la deuxième loi de Newton traduisant l’équilibre de la particule de fluide, cylindre d’axe vertical). * Connaître et pouvoir retrouver à partir de la loi précédente la formule donnant l’évolution de la pression avec l’altitude pour un fluide incompressible (ρ = cte) dans un champ de pesanteur uniforme :
€
P = ±ρgz + cte . * Connaître les conséquences immédiates de la RFSF : théorème de Pascal (transmission intégrale des variations de pression dans un fluide incompressible), horizontalité de la surface libre d’un fluide au repos, baromètre de Torricelli, force exercée sur une paroi séparant un fluide incompressible de l’atmosphère, modèle de l’atmosphère isotherme avec l’interprétation du facteur de Boltzmann, pression uniforme dans un gaz pour une faible dénivellation contrairement à un liquide. * Connaître l’énoncé du théorème d’Archimède (force verticale vers le haut égale en module au poids du fluide déplacé) et pouvoir l’utiliser dans des cas simples : sous-marin, montgolfière, …
Sources de champ magnétique
* Connaître la définition du flux
€
Φ =! B .! S d’un champ magnétique
€
! B uniforme à travers une surface
€
! S (orientée à partir du sens
de circulation sur le contour par la règle du tire-bouchon ou de la main droite). Savoir que le champ magnétique est à flux conservatif (flux nul à travers toute surface fermée). * Connaître les principales sources de champ magnétique : fil rectiligne « infini », spire circulaire, solénoïde (bobine), bobine plate, solénoïde « infini », bobines de Helmholtz, aimant permanent. * Pouvoir lire une carte de champ : lignes de champ, uniformité du champ quand les lignes sont parallèles et champ fort quand elles se resserrent, … (du au fait que le champ est à flux conservatif). * Pouvoir calculer un champ avec une formule fournie pour tous les dispositifs, à l’exception du solénoïde infini pour lequel la
PCSI2 Savoir et savoir-faire
12/12
formule B = µ0 n I est à mémoriser (avec n nombre de spires par unité de longueur). * Connaître la définition du moment magnétique d’une spire
€
! M = I
! S , où I est l’intensité du courant dans la spire et
€
! S est le
vecteur surface orienté par le courant (tire-bouchon ou main droite). Savoir que l’on peut généraliser à un aimant. Action d’un champ magnétique
* Connaître l’expression de la force de Laplace s’exerçant sur un conducteur rectiligne de longueur L parcouru par un courant d’intensité I et placé dans un champ magnétique uniforme
€
! B :
€
! F = I
! L ∧! B (
€
! L orienté dans le sens de I). Savoir que cette force
s’exerce au milieu du conducteur. * Connaître le dispositif des rails de Laplace. Pouvoir calculer la force résultante sur le barreau et sa puissance. * Pouvoir calculer le torseur des actions mécaniques s’exerçant sur une spire rectangulaire susceptible de tourner autour d’un axe vertical passant par les milieux de deux côtés opposés, parcourue par un courant d’intensité I, et plongée dans un champ magnétique uniforme horizontal : résultante nulle (comme sur tout circuit fermé), moment (couple)
€
! C =
! M ∧
! B , puissance.
Savoir que la spire possède deux positions d’équilibre : une stable pour
€
! M //! B , une instable pour
€
! M anti //
! B . Savoir qu’un
aimant permanent a le même comportement. * Savoir comment produire un champ tournant : deux bobines identiques d’axes orthogonaux parcourus par des courants sinusoïdaux de même intensité, synchrones (même pulsation ω) mais en quadrature de phase (déphasage de ± π/2). Pouvoir montrer que la norme du vecteur champ est constante et calculer sa vitesse angulaire de rotation (ω). Savoir qu’un aimant placé à l’intérieur du dispositif tourne à la vitesse angulaire ω (tendance à s’aligner sur le champ) et permet donc de réaliser un moteur élémentaire.
Induction électromagnétique
* Connaître la loi de Lenz (le phénomène d’induction s’oppose par ses effets à la cause qui lui a donné naissance).
* Connaître la loi de Faraday
€
e = −dΦdt
donnant la fem d’induction. Le signe « - » traduit la loi de Lenz à condition de respecter
les conventions de signe : on choisit un sens positif pour l’intensité du courant i dans le circuit ce qui donne l’orientation de la normale par la règle du tire-bouchon ou de la main droite ; la fem e positive est prise dans le sens du courant ; on a alors i = e/R où R est la résistance du circuit. * Connaître le cas de Neumann correspondant à un circuit fixe dans un champ variable. Pouvoir calculer la fem d’auto-induction avec la loi de Faraday à partir du flux propre
€
Φo = Li où L (> 0) est l’inductance du circuit et i l’intensité du courant le traversant. Pouvoir alors retrouver la loi de l’électrocinétique donnant la tension aux bornes d’une bobine (L, r) en convention
récepteur : .
€
u = ri + L didt
. Dans le cas d’une interaction entre deux bobines par couplage magnétique, savoir que la tension u1
aux bornes de la bobine n°1 est donnée par la relation (en convention récepteur)
€
u1 = r1i1 + L1di1dt
+M di2dt
, où i2 est l’intensité
du courant dans la bobine n°2 et M est l’inductance mutuelle (en Henry) entre les deux bobines (le signe de M change suivant l’orientation relative des courants dans les deux bobines). De même pour u2, mutatis mutandis. Pouvoir calculer L et M dans le cas simple de deux solénoïdes infinis en influence totale (coaxiaux et emboîtés). Connaître le principe du transformateur (bobine primaire avec N1 spires, bobine secondaire avec N2 spires, carcasse métallique canalisant les lignes de champ pour un
bon couplage). Pouvoir calculer en RSF dans le cas d’un couplage idéal (
€
M = L1L2 )
€
U 2U1
=N 2N1
dans le cas où le secondaire est
ouvert, et
€
I 2I1
= −N1N 2
dans le cas d’un secondaire en court-circuit.
* Connaître le cas de Lorentz correspondant à un circuit mobile dans un champ permanent. Pouvoir établir dans des cas classique (rails de Laplace, spire en rotation) les deux équations couplées électrique et mécanique. Pouvoir en déduire l’évolution de l’intensité électrique et/ou de la vitesse (linéaire ou angulaire) au cours du temps. Pouvoir en déduire un bilan énergétique. Remarquer que l’on a toujours
€
PLaplace + ei = 0, relation généralisable à d’autres dispositifs. * Connaître l’existence des courants de Foucault (apparition des courants volumiques induits), leurs avantages (freinage, chauffage, ) et leurs inconvénients (pertes dans les parties métalliques des transformateurs que l’on peut minimiser par feuilletage). * Connaître la structure et le principe du moteur à courant continu. Pouvoir calculer le couple et la fem induite. * Connaître la structure d’un haut-parleur réel et la modélisation que l’on peut en faire dérivée du dispositif des rails de Laplace. Pouvoir établir les deux équations couplées électrique et mécanique. Pouvoir en déduire un bilan énergétique. Pouvoir calculer l’impédance du haut-parleur en RSF.
