PDM Partie2 Fin Chapitre3

7/25/2019 PDM Partie2 Fin Chapitre3

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2 Thorme de Castigliano

or on a :M

Pi= Mi. On en dduit que :

Ed

Pi=

ZL0

MMi

E Idx

o encore en gnralisant :

Ed

Pi=

ZL0

NNi

E S+Ty

Ty,i

GSyr

+Mf zMf z,i

E IGzdx

En rapprochant cette quation de (II.59), on en dduit que cette quantit correspond, pour

une force ou un moment concentr i, au dplacement ou rotation qui travaille avec cette

force/momenti :

ui(ou i) =Ed

Pi

Thorme 3.2 (de Castigliano) Soit une structureisostatiquedans un tat dquilibre

lastique. Le dplacement (ou la rotation) en un point dapplication dune force (ou dun

moment concentr)donne, connue, sur le systme est gal la drive partielle de lner-

gie de dformation par rapport cette force (ou moment) :

ui=Ed

Fiou i=

Ed

Ci

2.2 Thorme de la charge fictive

Le thorme de Castigliano permet de dterminer un dplacement/rotation en un point

dapplication dune sollicitation concentre donne. Dans le cas o lon cherche le dplace-

ment en un point o aucune charge concentre nest applique, on peut appliquer le tho-

rme de Castigliano en introduisant une charge fictive supplmentaire en ce point, qui

travaille avec le dplacement/rotation recherch(e).

ufM

Ff=Pf y

Figure II.33: Structure poutre soumise un chargement arbitraire et un charge fictive ~Ff

On considre la structure de la FigureII.33soumise un chargement quelconque. Afin

de dterminer le dplacement au point M, on introduit une charge fictive, supplmentaire,~Ff. On note lnergie de dformation de cette structure dans cet tat E

f

d. En suivant le mme

raisonnement que dans le paragraphe prcdent et en adoptant les mmes simplifications

Pratiques du Dimensionnement en Mcanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf 133


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3 Thormes nergtiques

de notation, le moment de flexion Msolution du problme avec sa charge fictive peut se

dvelopper sous la forme :

M({Pi}i=1...n, Pf) = M1P1 +M1P1 + . . .+MiPi+ . . .+MnPn+ MfPf= MfPf+n

Xi=1 MiPi

On en dduit que :

Ef

d

Pf=

Pf

1

2

ZL0

M2

E Idx

=

ZL0

1

E IMM

Pfdx=

ZL0

MMf

E Idx

En dveloppant, la dernire expression, on obtient :

Efd

Pf=

ZL

0M({Pi}i=1...n,Pf)

Mf

E Idx=

ZL

0M({Pi}i=1...n, Pf= 0)

Mf

E Idx+Pf

ZL

0Mf

Mf

E Idx

Ainsi, en posantPf= 0 (on annule la charge fictive ~Ff) et en utilisant (II.59) :

Ef

d

Pf

Pf=0

=

ZL0

M({Pi}i=1...n, Pf= 0)Mf

E Idx= uf

On en dduit le thorme de la charge fictive :

Thorme 3.3 (de la charge fictive) Soit une structureisostatiquedans un tat dqui-

librelastiquesoumise un chargement C . On cherche le dplacement (ou la rotation) en

un point quelconque M . On introduit une chargefictivesupplmentaire en M (char-

gement Cf) de valeur algbrique Pf(paramtre de chargement) et qui travaille avec le

dplacement/rotation recherch(e). Lnergie de dformation associe ltat dquilibre

avec la charge fictivesupplmentaire est note Ed(C+ Cf). Le dplacement (ou la rota-

tion) recherch(e) est donne par :

ui(oui) =

Ed(C+Cf)Pf

Pf=0

2.3 Mthodologie

La structure devant tre isostatique, le thorme de Castigliano ou celui de la charge fic-

tive ne sont pas les plus employs en pratique pour le calcul des dplacements hormis dans

134 Pratiques du Dimensionnement en Mcanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf


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2 Thorme de Castigliano

des cas spcifiques. La mthodologie pour les appliquer est la suivante :

Mthodologie pour dterminer lexpression du dplacement (ou de la rotation) en un

point quelconque dune structure par le thorme de Castigliano ou celui de la charge

fictive :

t Appliquer au systme isostatique une charge (force ou moment) concentre sui-

vant la direction du dplacement (ou rotation) recherch si ce nest pas dj le

cas.

t Dterminer lnergie de dformation accumule sousleffet combindu char-

gement rel, initial, et de la sollicitation supplmentaire, fictive, ventuellement

ajoute.

t Dterminer le dplacement recherch en diffrentiant lnergie de dformation

obtenue par rapport la charge existante ou introduite au point considr puis

en rduisant zro la valeur de cette charge si celle-ci est fictive et non pr-

sente dans le systme de chargement initial. Dans le cas particulier o une charge

concentre est dj applique au point du dplacement/rotation cherch, il suffitde substituer la valeur de cette charge dans lexpression obtenue.

2.4 Application au capteur SRM

On sintresse nouveau au capteur de puissance (FigureII.11) tudi auChapitre II.1

et dont une modlisation a t propose en FigureII.12du chapitre en question. Plus pr-

cisment, on sintresse lune des quatre poutres bi-encastres. On considre ici que le

chargement appliqu lune des deux extrmits de la poutre est connu et lon souhaite d-

terminer les dplacements et la rotation induits cette mme extrmit. On propose ainsi la

modlisation de la Figure II.34. Lnergie de dformation emmagasine de la poutre de lon-

B

y

z x

A

TB

L

NB

MBx

G

Figure II.34: Poutre du capteur SRM soumise un chargement connu

gueurLdaxe ~xrsulte de la somme des nergies de dformation dveloppes par chaque

sollicitation. Pour ce problme plan, on a :

Ed=1

2

ZL0

N2

E S+

T2y

GSyr

+

M2f z

E IGzdx

Les efforts intrieurs sont :

N(x) = NB

Ty(x) = TB

Mf z(x) = MB+ TB(Lx)



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Les efforts NB, TBet MB tant connus ce problme est isostatique. Lapplication du thorme

de Castigliano donne :

uB=Ed

NB=

ZL0

N

E S

N

NBdx=

L

E SNB (II.62)

carTyet Mf zne dpendent pas deNB.

De mme, en appliquant le thorme de Castigliano pour dterminer le dplacement vBet la rotation B, on trouve :

vB =

Ed

TB=

ZL0

Ty

GSyr

Ty

TBdx+

ZL0

Mf z

E IGz

Mf z

TBdx

B =Ed

MB=

ZL0

Ty

GSyr

Ty

MBdx+

ZL0

Mf z

E IGz

Mf z

MBdx

(II.63)

carNne dpend ni deTBni deMB. On en dduit que :

vB = EdTB

=ZL

0

TBGS

yr

dx+ZL

0

MB+ TB(Lx)E IGz

(Lx) dx

B =Ed

MB=

ZL0

MB+ TB(Lx)

E IGzdx

(II.64)

soit :

vB =Ed

TB=

L3

3E IGz+

L

GSyr

TB+

L2

2E IGzMB

B =Ed

MB=

L2

2E IGzTB+

L

E IGzMB

(II.65)

que lon peut crire sous forme matricielle :

vBB

=

L

6E IGz

2L2

1+

y

4

3L

3L 6

TB

MB

= [S]

TBMB

(II.66)

avec y=12E IGz

L2GSyr

. Comme vu prcdemment (voir (II.61)), le terme y/4 permet dappr-

cier limportance de lnergie de dformation due leffort tranchant devant celle due au

moment flchissant. Dans le cas du capteur SRM, on a h= 6.5 mm,b= 9 mmet L= 17mm.

Cela donne un lancement de L/h= 2.6. Pour une section rectangulaire, on a Syr= kySavec

ky= 5/6. Lapplication numrique donne :

y

4=

3

L2E IGz

GkyS=

1+

2ky

h

L

2= 0.11

Le terme du leffort tranchant reprsente 11% de lnergie de dformation due au moment

flchissant.

Remarque 3.4 La matrice[S]dans(II.66)reprsente la souplesse de la poutre. Il est possible

de dterminer la matrice de rigidit correspondante en inversant[S]:

TBMB

=

E IGz

L3(1+y) 12 6L6L L2

4+y

vBB= [K]

vBB

avec [K] = [S]

1



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3 Thorme de Mnabra

3 Thorme de Mnabra

Le thorme de Mnabra peut tre vu comme une extension du thorme de Casti-

gliano aux systmes hyperstatiques.

3.1 Enonc et dmonstration

On sintresse une structure lastiquehyperstatiquereposant sur desappuis parfaits

dont le travail des forcesde liaison estnul (conditions de dplacement zro) (Figure II.35).

LaFigure II.35montre une structure poutre hyperstatique de degrs 2.

A B

RB= RB y

F1

C

RC= RC y

YAXA

MA

A B

F1

C

YAXA

MA

Structure hyperstatique

Structure isostatique associe

RB= RB y RC= RC y

Figure II.35: Structure poutre hyperstatique sur appuis parfaits (qui ne travaillent pas)

A cette structure hyperstatique (hyperstatique de degrh), on associe unsystme iso-

statique associsur lequel sont supprims les h liaisons surabondantes. On remplace ces

liaisons surabondantes parhforces ou couples inconnus quelles exeraient sur le systme

rel. Ces hractions hyperstatiques inconnues ont des valeurs algbriques notes {Qi}i=1...h.

Dans le cas de la FigureII.35, les inconnues hyperstatiques choisies sont au nombre de 2

(h= 2) et sont les deux composantes suivant ~ydes ractions aux appuis ~RB et ~RC savoir

{RB, RC}.

Le systme rel, initial, et le systme isostatique associ subissent le mme chargement.

Elles possdent ainsi la mme nergie de dformation. Dans le systme rel, les appuis as-

socis aux inconnues hyperstatiques tant parfaits et fixes, chacun des dplacements as-

socis ces actions de liaison doit tre nul (travail nul des appuis). Ainsi, en appliquant le

thorme de Castigliano la structure hyperstatique en considrant les inconnues hypersta-

tiques comme connues, on a :Ed

Qi= 0, i= 1 .. . h (II.67)

Sur lexemple de laFigure II.35, on a ainsi :

Ed

RB = 0 et

Ed

RC = 0.



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Les efforts intrieurs de la structure hyperstatique dpendant des inconnues hypersta-

tiques et du chargement en efforts imposs de valeurs algbriques {Pj}j=1...n, lnergie de d-

formation est donc telle que : Ed= Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h

. Les hquations (II.67) viennent

complter les quations dquilibre pour dterminer les hinconnues de liaison correspon-

dantes. Aprs rsolution, on trouve les hrelations manquantes de la forme :

Qi= fi({Pj}j=1...n), i= 1 . . .h

En injectant, ceshrelations dans lexpression de lnergie de dformation, on obtient for-

mellement :

Ed= Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h

= Ed

{Pj}j=1...n, {fi({Pj}j=1...n)}i=1...h

Lapplication du thorme de Castigliano peut permettre de donner le dplacement/rotation

en un point donn de la structure o une charge concentre est impose :

ui(ou i) =

Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h

Pi

=

Ed{Pj}j=1...n, {fi({Pj}j=1...n)}i=1...h

Pi

Cette dernire relation montre bien limportance dappliquer le thorme de Castigliano

des structures isostatiques ou tout du moins aux structures hyperstatiques dont les incon-

nues hyperstatiques ont t dtermines afin de driver correctement lnergie de dforma-

tion par rapport aux paramtres de chargement, les inconnues hyperstatiques dpendant

elles-mmes du chargement impos.

Thorme 3.4 (de Mnabra) Soit une structurehyperstatiquede degr h dans un tat

dquilibrelastiqueet reposant sur desappuis parfaits qui ne travaillent pas. Les h r-

actions hyperstatiques inconnues associes aux h liaisons surabondantes ont des valeurs

algbrique notes{Qi}i=1...h. Les inconnues de liaisons hyperstatiques rendent minimales

lnergie de dformation :Ed

Qi= 0, i= 1 .. . h

3.2 Exemple dapplication

On reprend lexemple dvelopp enSection 1.2.2et dont une modlisation a t propo-se enFigure II.28. On souhaite :

dterminer linconnue (hyperstatique)RB;

dterminer la rotation au pointBinduite par le chargement.

3.2.1 Dtermination de linconnue hyperstatique

On rappelle que le structure modlise enFigureII.28est hyperstatique de degr 1. Un

choix possible dinconnue hyperstatique est de prendre linconnueRB. On se propose duti-

liser le thorme de Mnabra pour dterminer dabord cette inconnue. Pour se faire, on

exprime dabord les efforts intrieurs utiles au calcul de lnergie de dformation, savoir,



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3 Thorme de Mnabra

le moment de flexionMf zet leffort normalN. Lnergie de dformation due leffort tran-

chantTysera nglige. Ceci est en accord avec lhypothse cinmatique dEuler-Bernoulli.

On a :

Pourx[0, x1], Mf z(x) =

GB~RB+GC~F1

= (Lx)~xRb~n (x1x)~xF1~y

= RB(L

x)sin

F1(x1

x)Mf z(x)

RB= (Lx)sin

Pourx[x1, L], Mf z(x) =

GB~RB= RB(Lx)sinMf z(x)

RB= (Lx)sin

Pourx[0,L], N(x) = ~RB~x=RBcosN(x)

RB= cos

On a en ngligeant lnergie de dformation due leffort tranchantTy:

Ed

RB=

ZL

0

NE S

NRB

+Mf z

E IGz

Mf z

RBdx

=

Zx10

RB(cos)2

E S+ [RB(Lx)sinF1(x1x)]

sin(Lx)

E IGzdx+ . . .

. . .+

ZLx1

RB(cos)2

E S+

RB(sin)2(Lx)2

E IGzdx

=

ZL0

RB(cos)2

E S+

RB(sin)2(Lx)2

E IGzdx

Zx10

F1(x1x)sin(Lx)

E IGzdx

=RB(cos)

2L

E S+

RB(sin)2L3

3E IGz

Fsinx21

6E IGz

(3Lx1)

Daprs le thorme de Mnabra, on a Ed

RB= 0 et on retrouve la relation (II.57) :

RB=F1

L

x21(3Lx1)sin

2L2(sin)2 +6IGz

S(cos)2

3.2.2 Dtermination de la rotation au point B

On introduit un moment fictifMBau pointBFigureII.36. Pour cette nouvelle configu-

ration, le moment de flexion et leffort normal le long de la poutre ont pour expression :

Pourx[0, x1], Mf z(x) = MB+GB~RB+

GC~F1

= MB+ RB(Lx)sinF1(x1x)Mf z(x)

RB= (Lx)sin

Pourx[x1, L], Mf z(x) = MB+GB~RB= MB+ RB(Lx)sin

Mf z(x)

RB= (Lx)sin

Pourx[0, L], N(x) = ~RB~x= RBcosN(x)

RB = cos



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MA YA

XAA B

x1

L

Tirant

RB=RB n

F1= -F1 y

Cx

G

MB

Figure II.36: Introduction dun moment fictifMBdans le modle simplifi du support cat-

naire pour la dtermination de la rotation au pointB

On a en ngligeant lnergie de dformation due leffort tranchantTy :

Ed

RB=ZL

0

N

E S

N

RB+

Mf z

E IGz

Mf z

RB dx

Il est facile de voire que lon rajoute le terme :

ZL0

MB

E IGzsin(Lx) dx=

MB

E IGzsin

L2

2

par rapport au calcul du paragraphe prcdent. Ainsi :

Ed

RB=

RB(cos)2L

E S+

RB(sin)2L3

3E IGz

Fsinx216E IGz

(3Lx1)+MBsinL

2

2E IGz

Daprs le thorme de Mnabra, on a Ed

RB= 0 et on trouve cette fois-ci la relation :

RB=sin

L

F1x

21(3Lx1)3MBL

2

2L2(sin)2 +6IGz

S(cos)2

(II.68)

On obtient donc une expression de linconnue hyperstatique en fonction du chargement F1et du moment fictifMB :RB= f(F1, MB).

La rotation au point B, B, peut maintenant tre dtermine par le thorme de la chargefictive :

B=Ed(F1, RB)

MB

MB=0

On notera bien queRBdpend deMBselon (II.68). En notant :

RB = RB|MB=0=F1

L

x21(3Lx1)sin

2L2(sin)2 +6IGz

S(cos)2

R0B =RB

MB=

3Lsin

2L2(sin)2 +6

IGz

S (cos)2



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3 Thorme de Mnabra

Toujours en ngligeant lnergie de dformation due leffort tranchantTy, on a :

Ed

MB=

ZL0

N

E S

N

MB+

Mf z

E IGz

Mf z

MBdx

En notant que, pourx[0, L] :

NMB

=

RBMB

cos=R0Bcos

Mf z

MB= 1+

RB

MB(Lx)sin= 1+R0B(Lx)

On obtient ainsi :

E IGzEd

MB=

ZL0

IGz

SN N

MB+Mf z

Mf z

RBdx

=

Zx10

[MB+ RB(Lx)sinF1(x1x)]

1+R0B(Lx)sin

dx. . .

. . .+ZL

x1

[MB+ RB(Lx)sin]1+R0

B(Lx)sin dx. . .. . .+

ZL0

IGz

SRBR

0

B(cos)2 dx

=

ZL0

[MB+ RB(Lx)sin]

1+R0B(Lx)sin

dx. . .

. . .

Zx10

[F1(x1x)]

1+R0B(Lx)sin

dx. . .

. . .+

ZL0

IGz

SRBR

0

B(cos)2 dx

On en dduit que :

E IGzB = E IGz Ed(F1,RB)MB

MB=0

= RBsin

ZL0

(Lx) dx+RBR0

B(sin)2

ZL0

(Lx)2 dx. . .

. . .F1

Zx10

(x1x) dxF1 R0

Bsin

Zx10

(Lx)(x1x) dx. . .

. . .+LIGz

SRBR

0

B(cos)2

= RBL2 sin

1

2+R0B

L

3sin

F1

x212

F1R0

Bx21

6sin(3Lx1) . . .

. . .+ LIGzS

RBR0B(cos)2

Avec les notations introduites, on obtient :

B=F1x

21

4E IGz

SL(Lx1)(sin)

26IGz(cos)

2

SL2(sin)2 +3IGz(cos)2

Dans les cas particuliers, o = 0 et =/2, on a :

B =

F1x21

2E IGzpour = 0

B =

F1x21(Lx1)

4E IGzL pour =/2



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3.2.3 Remarque sur la technicit de calcul

Le calcul prcdent est un peu long, on peut faire lconomie de plusieurs calculs. En

effet, lapplication du thorme de la charge fictive donne :

u(ou ) =Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

Pf

Pf=0

=Ed

{Pj}j=1...n, {fi({Pj}j=1...n, Pf)}i=1...h, Pf

Pf

Pf=0

Comme les inconnues hyperstatiques {Qi}i=1...hdpendent des paramtres de chargement

extrieurs {Pj}j=1...net de la charge fictive Pf travers les quations :

Qi= fi({Pj}j=1...n,Pf), i= 1 . . .h

il sagit ici de driver une composition de fonctions. Ainsi :

Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h,PfPf

=

hXi=1

Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, PfQi

Qi

Pf

!. . .

. . .+nX

j=1

Ed

{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

Pj

Pj

Pf

!

. . .+Ed

{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

Pf

Pf

Pf

Sachant que les paramtres de chargement extrieurs {Pj}j=1...net la charge fictive Pf sont

indpendants, on en dduit que le deuxime terme dans le membre de gauche (somme sur

lindice j) est nul :nX

j=1

Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...

h, PfPj

Pj

Pf

!= 0

carPj

Pf=0. Par ailleurs, en notant que les inconnues hyperstatiques {Qi}i=1...hvrifient les

quations :

Qi= fi({Pj}j=1...n,Pf), i= 1 . . .h

qui proviennent des drives partielles par rapport aux {Qi}i=1...hde la structure isostatique

associe avec charge fictive :

Ed

{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

Qi = 0, i= 1 .. . hon en dduit quepour les inconnues hyperstatiques {Qi}i=1...h qui vrifient :

Qi= fi({Pj}j=1...n,Pf), i= 1 . . .h

le premier terme dans le membre de gauche (somme sur lindice i) est aussi nul. On peut

ainsi en dduire que :

Ed{Pj}j=1...n, {fi({Pj}j=1...n, Pf)}i=1...h,Pf

Pf

= . . .

. . .Ed

{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

Pf Qi=fi({Pj}j=1...n,Pf)

i=1...h



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3 Thorme de Mnabra

o il est important de noter que les inconnues hyperstatique {Qi}i=1...h sont quelconques

dans lexpression de Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h,Pf

dans le terme de droite. Ce rsultat permet

ainsi de faire lconomie de plusieurs calculs (et erreurs de calcul !). Ainsi, la dmarche de

rsolution est la suivante :

1. Dtermination de lnergie de dformation de la structure isostatique associe :

Ed= Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

2. Application du thorme de Mnabra pour chaque inconnue de liaison hypersta-

tique sur la structure isostatique associe :

Ed

Qi= 0, i= 1 .. . h

3. Rsolution du systme de hquations prcdent et dtermination des inconnues hy-

perstatiques sur la structure isostatique associe :

Qi=fi({Pj}j=1...n), i= 1 .. . h

4. Dtermination du dplacement/rotation dsir par le thorme de la charge fictive laide de la nouvelle relation :

u(ou ) =Ed

{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

Pf

Qi=fi({Pj}j=1...n,Pf)

i=1...h

et Pf=0

(II.69)

o lon notera bien que les inconnues hyperstatiques {Qi}i=1...h sont quelconques

dans lexpression deEd{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

dans le terme de droite.

Cela permet donc de driver lnergie de dformation de la structure isostatique associe

avantdinjecter lexpression des inconnues hyperstatiques

Qi= fi({Pj}j=1...n, Pf)

i=1...h.

Afin de juger de la rapidit de calcul de la dmarche propose, on reprend lexemple

prcdent. On a :

Pourx[0, x1], Mf z(x) = MB+ RB(Lx)sinF1(x1x)

Pourx[x1,L], Mf z(x) = MB+ RB(Lx)sin

Pourx[0, L], N(x) = RBcos

Toujours en ngligeant lnergie de dformation due leffort tranchantTy, on a :

Ed

MB=

ZL0

N

E S

N

MB+

Mf z

E IGz

Mf z

MBdx

Cette fois-ci, on calcule cette drive partielle en considrantRB,MBetF1 indpendants !

Ainsi, on aMf z

MB= 1 et

N

MB= 0 et :

E IGzEd

MB=

ZL0

Mf zMf z

MBdx

=

Zx10

[MB+ RB(Lx)sinF1(x1x)]dx. . .

. . .+

ZLx1

[MB+ RB(Lx)sin]dx. . .

=

ZL0

[MB+ RB(Lx)sin]dx

Zx10

[F1(x1x)]dx

=

L2RBsinF1x21+2LMB

2



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Ainsi :

Ed

MB=

L2RBsinF1x21+2LMB

2E IGz

En appliquant, la relation (II.69), le thorme de la charge fictive permet dcrire :

B =Ed(F1, RB, MB)

MB

RB=f(F1,MB) etMB=0

=L2RBsinF1x

21

2E IGz

RB=f(F1,MB) etMB=0

avec :RB= f(F1, MB) =sin

L

F1x

21(3Lx1)3MBL

2

2L2(sin)2 +6IGz

S(cos)2

On obtient ainsi de manire plus rapide le rsultat attendu :

B=F1x21

4E IGz

SL(Lx1)(sin)26IGz(cos)2

SL2(sin)2 +3IGz(cos)2

Remarque 3.5 De la mme manire, pour le thorme de Castigliano, on aura une expressionsimilaire (II.69):

u(ou) =Ed

{Pi}j=1...n, {Qi}i=1...h

Pj

Qi=fi({Pj}j=1...n)

i=1...h

o Pjest le paramtre de chargement de la charge concentre (force ou moment) qui travaille

avec le dplacement/rotation recherch(e). La dmonstration est similaire.



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4 Ce quil faut retenir


4.1 En rsum

t Thorme de de rciprocit de Maxwell-Betti : Soit une structure dans deux tatsdquilibrelastique. Le travail des efforts extrieurs de ltat (1) dans les dplacements

de ltat (2) est gal au travail des efforts extrieurs de ltat (2) dans les dplacements de

ltat (1).

t Thorme de Castigliano : Soit une structure isostatiquedans un tat dquilibre

lastique. Le dplacement (ou la rotation) en un point dapplication dune force (ou

dun moment concentr)donne, connue, sur le systme est gal la drive partielle

de lnergie de dformation par rapport cette force (ou moment) :

ui=Ed

Fiou i=

Ed

Ci

tThorme de la charge fictive : Soit une structure isostatique dans un tat dquilibre

lastiquesoumise un chargementC. On cherche le dplacement (ou la rotation) en

un point quelconqueM. On introduit une charge fictive supplmentaire enM(char-

gementCf) de valeur algbriquePf(paramtre de chargement) et qui travaille avec le

dplacement/rotation recherch(e). Lnergie de dformation associe ltat dqui-

libreavec la charge fictivesupplmentaire est noteEd(C+Cf). Le dplacement (ou la

rotation) recherch(e) est donne par :

ui(ou i) =Ed(C+Cf)

Pf

Pf=0

t Thorme de Mnabra : Soit une structure hyperstatiquede degrhdans un tatdquilibrelastiqueet reposant sur des appuis parfaits qui ne travaillent pas. Lesh

ractions hyperstatiques inconnues associes auxhliaisons surabondantes ont des va-

leurs algbrique notes {Qi}i=1...h. Les inconnues de liaisons hyperstatiques rendent mi-

nimales lnergie de dformation :Ed

Qi= 0, i= 1 .. . h

4.2 Mthodologie de rsolution dun problme hyperstatique

Le choix de la mthode de rsolution dpend du contexte, des habitudes et des connais-

sances acquises. On notera en effet que lintrt des thormes nergtiques rside dans le

fait :

de pouvoirexploiter avantageusement des solutions de problmes lmentaires [Cour-

bon et Theillout 1988] ;

de navoir besoin que des efforts intrieurs, aprs avoir dterminer les inconnues hy-

perstatiques bien entendu. Noter que pour le thorme de Maxwell-Betti, il faut d-

terminer la dforme des diffrentes configurations auxiliaires.

Dans ce paragraphe, une mthodologie de rsolution dun problme hyperstatique est pro-

pose. Bien entendu, il faudra de lexprience et de la pratique pour laffiner, la simplifier et

ladapter au problme trait.



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Soit une structure hyperstatiquede degr hdans un tat dquilibre lastiqueet repo-

sant sur desappuis parfaits qui ne travaillent pas. On sintresse aux deux problmes sui-

vants :

Problme 1: dtermination dinconnues hyperstatiques ;

Problme 2: dtermination du dplacement/rotation en un point quelconque de la

structure par : Le thorme de la charge fictive;

Le thorme de la charge unitaire.

Il est noter que la rsolution du Problme 2 ncessite de savoir rsoudre le Problme 1.

4.2.1 Problme 1 : dtermination dinconnues hyperstatiques

La dmarche est la suivante (voirFigure II.37) :

1. Dtermination du degr dhyperstatisme h;

2. Dtermination des h inconnues hyperstatiques {Qi}i=1...h:

(a) Choix des inconnues hyperstatiques / choix dun systme isostatique associ.

(b) Dtermination des efforts intrieurs (N, Ty, Mf z...) pour le systme isostatique as-

soci sous leffet du chargement en efforts imposs de valeurs algbriques {Pj}j=1...net deshinconnues hyperstatiques {Qi}i=1...h( partir des diagramme defforts in-

trieurs ou par calcul) ;

(c) Dtermination de lnergie de dformation :

Ed= Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h

(d) Application du thorme de Mnabra pour chaque inconnue de liaison hyper-

statique :

EdQi

= 0, i= 1 . . .h

(e) Rsolution du systme dehquations prcdent et dtermination des relations :

Qi=fi({Pj}j=1...n), i= 1 .. . h

Remarque 3.6 Le choix de la structure isostatique associe nest pas unique. LaFigureII.37

en propose deux exemples.

4.2.2 Problme 2 : dtermination du dplacement/rotation en un point quelconque

4.2.2.1 Par lethormede la charge fictive: La dmarche est la suivante (voir Figure II.38) :

1. Dtermination du degr dhyperstatisme h.

2. Dtermination du dplacement/rotation en un point quelconque :


(b) Dtermination des efforts intrieurs sur le systme isostatique associ sous les

effets combins :

des efforts imposs de valeurs algbriques {Pj}j=1...net des hinconnues hyper-

statiques {Qi}i=1...h;

dune charge fictive de valeur algbriquePfqui travaille avec le (la) dplace-

ment/rotation recherch(e).



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A B

RB= RB y

F1

C

RC= RC y

YAXA

MA

A B

F1

C

YAXA

MA



RB= RB y RC= RC y

uf ?

M

A B

RB= RB y

F1

C

RC= RC y

XA

Autre structure isostatique associe

Figure II.37: Structure hyperstatique de degr 2 (h= 2) et structure isostatique associe

On pourra avantageusement utiliser le principe de superposition.

(c) Dtermination des hinconnues hyperstatiques en fonction des {Pj}j=1...net de Pfpar le thorme de Mnabra (voir Section 4.2.1) :

Qi=fi({Pj}j=1...n, Pf), i= 1 .. . h

(d) Dtermination de lnergie de dformation associe :

Ed = Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

= Ed

{Pj}j=1...n, {fi({Pj}j=1...n,Pf)}i=1...h, Pf

(e) Application du thorme de la charge fictive :

u(ou ) =Ed

{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

Pf

Pf=0

=Ed{Pj}j=1...n, {fi({Pj}j=1...n, Pf)}i=1...h,Pf

Pf

Pf=0



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On notera bien que les h inconnues hyperstatiques {Qi}i=1...h dpendent de Pf travers les fonctions {fi({Pj}j=1...n, Pf)}i=1...h. Il est donc important den tenir

compte lors de la drivation par rapport la charge fictive Pf. On pourra gale-

ment utiliser avantageusement la relation (II.69) :

u(ou ) =Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

Pf

Qi=fi({Pj}j=1...n,Pf)

i=1...h

et Pf=0

o les inconnues hyperstatiques {Qi}i=1...hsont ici considres comme quelconques,

indpendantes, dans lexpression de Ed{Pj}j=1...n, {Qi}i=1...h, Pf

dans le terme de

droite.

A B

RB= RB y

F1

C

RC= RC y

YA XA

MA

A B

F1

C

YA

XA

MA


Structure isostatique associe et charge ctive

RB= RB y RC= RC y

M

uf ?

M

Ff= Pf y

Figure II.38: Structure hyperstatique de degr 2 (h= 2) et structure isostatique associe avec

sa charge fictive

4.2.2.2 Par lethormede la charge unitaire : La dmarche est la suivante (voir Figure II.39) :

1. Dtermination du degr dhyperstatisme h.

2. Dtermination du dplacement/rotation en un point quelconque :


(b) Dtermination des efforts intrieurs sur le systme isostatique associ pour les

deux cas de chargement suivant :

Cas 1 : Dtermination deN1, Ty,1etMf z,1... pour les efforts imposs de valeurs

algbriques {Pj}j=1...net deshinconnues hyperstatiques {Qi}i=1...h;

Cas 2 : Dtermination deN2, Ty,2etMf z,2... uniquement pour une charge uni-

taire de valeur algbriqueP= 1 qui travaille avec le (la) dplacement/rotation

recherch(e) (sans les {Qi}i=1...h).



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On pourra avantageusement utiliser le principe de superposition.

(c) Dtermination des hinconnues hyperstatiques pour le cas 1 en fonction des {Pj}j=1...npar le thorme de Mnabra (voir Section 4.2.1) :

Qi=fi({Pj}j=1...n), i= 1 .. . h

(d) Application du thorme de la charge unitaire :

u(ou ) =

ZL0

N1N2

E S+Ty,1

Ty,2

GSyr

+Mf z,1Mf z,2

E IGz.. . dx

On veillera bien remplacer les h inconnues hyperstatiques {Qi}i=1...hpar leurs

expressions {fi({Pj}j=1...n)}i=1...hdans les efforts intrieurs N1, Ty,1et Mf z,1... avant

de calculer lintgrale prcdente. On rappelle galement que :

Etat indic 1 : systme isostatique associ soumis uniquement la charge uni-

taire.

Etat indic 2 : systme isostatique associ soumis aux efforts imposs de va-leurs algbriques {Pj}j=1...net deshinconnues hyperstatiques {Qi}i=1...h.



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A B

RB= RB y

F1

C

RC= RC y

YAXA

MA

A B

F1

C

YAXA

MA



RB= RB y RC= RC y

uf ?

M

A

YAXA

MA

Charge unitaire

M

Ff= -1y

Figure II.39: Structure hyperstatique de degr 2 (h= 2), structure isostatique associe avec et

sans sa charge unitaire


Documents

PDM Partie2 Fin Chapitre3