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Persistance d'intersection avec la section nulle au cours d'une isotopie hamiitonienne dans un fibr~ cotangent

Francois Laudenbach et Jean-Claude Sikorav Universit6 Paris-Sud et UA 41169/du C.N.R.S., B~t. 425, F-91405 Orsay Cedex, France

w 1. Introduction

1.1. Soit M une vari6t6 ferm6e et T * M respace fibr6 cotangent, muni de sa forme symplectique canonique e); M . - , T * M est la section nulle. On se donne un hamiltonien Ht: T * M ~ R , d6pendant du temps,/t support dans un compact fixe; X t d6signe le champ de vecteurs associ6: i(Xt)e)= - d H r L'int6gration de X t donne lieu / t une isotopie ~0 t de T ' M , r dite isotopic hamiltonienne. Pour t petit, ~ot(M ) est le graphe de la diff6rentielle d'une fonction sur M; donc ~(~ot(M)~M ) est minor6 par C(M), le nombre minimum de points critiques d'une fonction C ~ sur M; g6n6riquement, /t savoir pour une intersection transversale, le minorant est Cg(M), nombre minimum de points critiques d'une fonction de Morse. Un des probl6mes classiques de la th6orie des intersections lagrangiennes est de savoir si ces in6galit6s persistent jusqu'/l t = 1. Signalons qu'il est reli6 /~ une version C~ d'un problame de points fixes en g6om6trie hamiltonienne (voir notre Corollaire 2).

Reprenant les outils de [Conley-Zehnder] pour le probl6me des points fixes, [Chaperon 1] 6tablit les minorations ci-dessus pour M = T " , le n-tore, r6solvant ainsi une conjecture d'[Arnold]. Une autre d6monstration, qui est la source d'inspiration de notre travail, est propos6e dans [Chaperon 2, 3]: la technique hilbertienne du calcul des variations y est tr6s 616gamment remplac6e par des arguments variationnels en dimension finie, comme dans la m6thode des ((g~od~siques bris~es~, telle qu'elle est expliqu6e dans [Bott]. Citons enfin deux r6sultats tout r6cents. [Gromov] d6montre que tout plongement lagrangien exact dans T * M rencontre la section nulle. D'autre part, [Hofer] d6montre une minoration que nous donnons comme corollaire de notre thdor6me.

1.2. Notons C(M) (resp. C~(M)) le hombre minimum de points critiques d'une fonction (resp. de Morse), d6finie sur un 2N-fibr6 en boules de base M et coincidant au voisinage du bord avec une forme quadratique sur les fibres, de signature (N, N), le minimum 6tant pris sur tous les fibr6s admettant une telle

350 F. Laudenbach et J.-C. Sikorav

forme. Les entiers C(M) et C~(M) sont des analogues stables de C(M) et Cg(M). On a C(M)< C(M) et Cg(M)< C~(M).

Th~or~me. On a la minoration:

~(r C(M).

Pour une intersection transversale, le minorant est C~(M).

Cet 6nonc6 r6duit l'in6galit6 conjectur6e ~t une question purement topologique: C(M)= C(M)? A notre connaissance rien n'est connu sur cette question. Dans le cas gbn6rique et lorsque M est simplement connexe de dimension au moins 6, d'apr6s [Smale] C~(M) se calcule homologiquement (voir [Franks], p. 13); donc par l'isomorphisme de Thorn, C~(M)= Cg(M). 1 Noter qu'en dimension 3, cette 6galit6 impliquerait la conjecture de Poincar6.

Soit, d'autre part, CL(M) la longueur de produit (cup-length) de l'anneau de cohomologie de M; on a C(M)> CL(M)+I (Lusternik-Schnirelmann) ([Bott] p. 342); de far analogue, avec l'isomorphisme de Thorn, on d6montre C(M)> CL(M)+ 1 (voir [Chaperon-Zehnder] p. 90). Nous obtenons donc

Corollaire 1. [Hofer]: #-(~pl(M)c~M)>= CL(M)+ 1.

L'application de notre r6sultat au probl6me des points fixes conduit au

Corollaire 2. Soit (V, g2) une vari&O symptectique ferrule et $t une isotopie hamiltonienne de V, C~ de l'identit~. Alors le nombre de points fixes de ~1 est minorO par C(V).

Avec la minoration par CL(V)+ 1, ce corollaire est dfi ~ [Weinstein 2].

Ddmonstration. On pose M= V x Vet co=p*[2-p*(2. La diagonale A_~V a un voisinage symplectiquement conjugu6 fi un voisinage de la section nulle dans T* V [Weinstein 1, p. 24]. Par cette conjugaison, l'isotopie du graphe de St est transport6e en une isotopie hamiltonienne cpt de plongements de V dans T* V. Les points fixes de ~ba sont en bijection avec Cpl(V)c~E []

w L'espace des trajeetoires bris~es et la fonctionnelle d'action g/m/~ralisbe

2.1. Jusqu'au 2.7, on consid6re le hamiltonien H t et son champ X t sur T*M. Par trajectoire (hamiltonienne), nous entendons une solution du champ de vecteurs Xt, pour te[0,1] . Nous envisageons des trajectoires bris6es, avec ( N - i ) discontinuit6s, aux instants 1/N . . . . . ( N - 1 ) / N , et condition initiale dans M. Pour param6trer les sauts, nous munissons M d'une m6trique auxiliaire; tes fibr6s TM et T*M sont alors munis de la connexion de Levi-Civita.

Par construction l'espace E de ces trajectoires brisdes est un fibr6 sur M, ouvert dans la somme directe de ( N - 1 ) copies de TM et de ( N - 1 ) copies de T*M. Un point eEE est not6 e=(qo,X,P ), off qoeM est la condition initiale,

t II est vraisemblable que les m6thodes introduites par [Mailer] permettent d'6tendre ce r6sultat au cas non simplement connexe

Persistance d'intersection avec la section nulle 351

Ofl Xe(ZqoM) N-l, X = ( X 1 . . . . . XN 1)' et off Pe(Tq*oM) N-i, P=(P1 . . . . . PN-1)" Le fibr6 E est l 'ouvert off (I; qIXil I :)~/2 est s tr ictement inf6rieur h la moiti6 du rayon d'injectivit6.

Pour te [0 , 1/N], (q(t),p(t)) est le point de T ' M , p(0eTq~])M, parcouran t la trajectoire hamil tonienne issue de qoEM, qui est identifi6 it (qo,O)eT* M. Elle about i t en z? = ( q l , P ~ ) . Le t ranspor t parall6le, le long du chemin q(t), de X l e t de X 1 et de P1 donne x~eTqr M e t pleTq*-M. On pose q~-=exp~c(xl ) et p+ =t(dexpqc(xl))-a(pl). Le passage de z; it z+=(q-[,p +) consti tue la premiere discontinuit6.

Par t ranspor t parall61e le long du chemin q(t), te [0 , 1/N], suivi de la g6od6sique de q~- it q~-, on obtient X~ . . . . . X~ leT_+ M e t P2' . . . . . ~ l eT~+ M.

�9 . . - - . t t l . - -

Pour rE [ l /N , 2/N], on suit la trajectolre hamll tontenne issue de z~- au temps t = l / N ; en t=2/N, elle about i t it z;=(q~,p~). On d6crit la seconde discontinuit6, puis les suivantes, de faqon analogue it la premi6re. F inalement la trajectoire bris6e about i t h z~ =(q;,p;). Noter qu'elle est lisse ssi, pour tout i, x i = 0 et P~=PF.

L e m m e 2.1. Pour N assez grand, les (q/-,pi), i= 1, ..., N - 1 , et q~ forment un systkme de coordonn~es locales sur E.

Dkmonstration. C o m m e on passe de z~ it zk- + 1 par int6gration de X t pendant un temps 1/N, pour N assez grand, le diff6omorphisme de T ' M , z/-~zk- + 1, est C ~ -proche de l 'identit6 et it suppor t dans un compac t fixe.

A l 'aide du t ranspor t parall~le entre deux fibres voisines, le long de la g6od6sique jo ignant leurs pieds, et pour un d6placement infinit6simal fie, on donne un sens it 6X i, ~SP~, 6x~, 6p~, etc . . . . Util isons ces nota t ions pour mont re r que, (qs 6tant fix6 et pour N assez grand, l 'appl icat ion compos6e xkw-,z + = (qk +, Pk+)~ qk + 1 est un diff6omorphisme local.

En effet, d 'une par t 6xk~--~6q~ est inversible it inverse born6 ind6- p e n d a m m e n t de N e t on a:

116p~-1[ = O(1)IlPkll 116xkll.

D 'au t re part, it un t ranspor t parall61e pros, on a

3qk+~ = (Id + O(1/N)) 6q~ + O(1/N) fiN.

Si Pk n 'appar t ien t pas au suppor t du hamiltonien, 6q~+ 1 = 6q~. On en d6duit la surjectivit6 6xk~--~ 6q~+ 1.

I1 est facile alors de construire un fie tel que ~ q ? = 0 et 6p~=0 pour i = 1 . . . . . N - 1 , et que 6qff soit donn6 / t l 'avance. On proc~de de faqon analogue pour 6p~_~ puis 6q~_~, etc . . . . Ainsi e~---~((q-[,p 0 .... ,qff) est de rang maximum. [ ]

2.2. On 6tablit la propri6t6 suivante pour les d6placements infinit6simaux laissant les q~- fixes, i = 1 . . . . . N.

Propri&& ,,6x~ll = O ( 1 ) ,16p~,l.

D~monstration. Si 6p~=0 pour i # k , le seul segment de trajectoire hamil tonienne qui est d6plac6 est celui de z~- it z~-+ ~. Donc fix~=0 pour i # k.

352 F. L a u d e n b a c h et J.-C. S iko ra v

Comme le diff6omorphisme Zk+I--*Z ~ est O(1/N)-proche de ridentit6, on a: 116q;I[ =O(1/N)ll@~ I[. Si Pk n'appartient pas au support du hamiltonien, on a ~Xk=O. Sinon, en inversant l'exponentielle, l 'estimation ci-dessus donne le r6sultat cherch6. []

2.3. Pour k = l . . . . . N, on d6finit la k i~me int6grale d'action Ak: E ~ F , par Ak(e) k/N

= ~ (pdq-Htd t ) , l'int6grale 6rant prise sur le segment de trajectoire (k- a)/u k - 1

hamiltonienne passant par z]_ 1 h rinstant t = . On rappelle la formule de la variation premi6re [Chaperon 3]: N

(~ A k = (p~ , 6q; ) -- <p~_ 1, c~q~_ 1 ),

oO pg=O et q~=qo. On pose A = A I + . . . + A u. La fonctionnelle d'action g6n6ralis6e est d6finie par:

N 1

S= ~ (Pi, Xi)+A" 1

Comme le transport parall61e pr6serve l 'accouplement T* M | Tq M ~ It, on peut 6crire:

<Pi, xi> = < Pi, Xi>.

Donc S - A est une forme quadratique sur E, non d6g6n6r6e et d'indice N - 1 .

2.4. La diffOrentielle de S.

On a: 6 <Pi, xi) = <@i, Xi> "~ <Pi , (~Xi>"

D'autre part 6q+=(dexpq; - (x i ) )6x i+(~expq; (x i ) )6q i - , la lettre D

rappelant que, dans le d6placement infinit6simal, le vecteur x~ est d6plac6 horizontalement. Si donc on pose:

t D + Yi = (~q~ eXpq,-(xi))(Pi )--P~,

il vient: N--1

(2.4.1.) gS ----- 2 (<(~Pi, Xi) - - <Yl, 6q~ )) + (p~, 6qTv ). i = 1

Compte tenu du Lemme 2.1, on voit, comme dans [Chaperon 3] que les points critiques de S v6rifient x~=O (pas de sauts dans la base), y~=O (pas de sauts dans les fibres) et p~ =0. On obtient donc que les points critiques de S sont en correspondance avec les points de M dont la trajectoire hamiltonienne lisse aboutit au temps 1 sur la section nulle:

(2.4.2) # crit S = ~ ((p ~ (M) ~ M).

2.5. Darts cette correspondance, les points critiques non d6g6n6r6s sont associ6s aux points d'intersection transversale. En effet, eomme dans [Chaperon 3], darts les coordonn6es (Pi,q?,qN), gradS=(x~ , -Y l ,PN) et, vu

Pers i s t ance d ' in t e r sec t ion avec la sec t ion nul le 353

que (qo, Xl, y~) forment aussi un syst6me de coordonn6es, det (D grad S) -- 0 0p~

6quivaut /t ~ non inversible, ce qui signifie que ~01(M ) n'est pas transverse

M au point consid6r6.

Remarque. La fonction S permet de donner un sens, ind6pendamment de N, non pas ~t rindice de Morse d'un point de (p~(M)c~M, mais /~ la diff6rence des indices de deux points,

Lemme 2.6. On a une majoration < CN par une constante d@endant de N.

D~monstration. C'est clair par compacit6 si P e s t borne. Or si Pk n'appartient ~A

pas au support du hamiltonien, A est ind6pendant de Pk; donc aussi ~ .

2.7. Principe de continuation

On introduit un param6tre de d6formation ue[0, 13, cet intervalle 6tant aussi [ J L ~k-1 k ]

d~coup6 en N parties 6gales. Pour ue . ~T , , on introduit un hamiltonien H,,,, ddfini par:

Ht, u=Ht pour t<__(k-1)/N,

H ~ , u = ( N u - k + l ) H t pour (k-1)/N<=t<=k/N,

Ht,, = 0 pour t > k/N.

Les constructions prbc6dentes peuvent 6tre faites sur l'espace 6tendu E x [0, 1], ((au-dessus de l'intervalle des u)), munissant E x {u} du hamiltonien Ht, ~ et de son champ Xt, .. I1 y a deux syst6mes de coordonn6es (%, X, P, u) et (q-, p, u); les majorations (2.2) et (2.6) sont uniformes en u. Noter qu'il importe peu que H~, u soit discontinu 1/t off la trajectoire est bris6e. La fonction S

f k - 1 k ] devient Su. Pour u ~ [ ~ , ~ ] ,

kiN

Su-S(k- 1)/N = ~ (pdq- Ht,,dt) (k- 1)/N

rint6grale 6tant prise sur la trajectoire de Xt, ~ issue du point z~-1 a 1'instant (k -1) /N . Si %, X, P sont fix6s, z~- 1 est ind6pendant de u. Il en r6sulte immgdiatement, /~ l'aide de Gronwall, que, dans le syst6me de coordonn6es (qo, X, P, u), on a:

(2.7.1) t?Su O(1) pour N--, + oe. =

{S~,ue[0,1]} est un chemin continu C ~ par morceaux de fonctions lisses, N--1

joignant S ~ la forme quadratique S o = ~ (P/, Xi). 1

354 F. Laudenbach et J.-C. Sikorav

w 3. D6monstration du th6or6me

Le th6or6me r6sulte de la proposition suivante:

Proposition 3.1. I1 existe une norme sur E, un fibrd en boules V c E pour cette norme et une isotopie ~p, de plongements V ~ E v~rifiant:

(*) S, o ~ . = S pros de (3 E

Rdsumd. L'id6al serait de trouver un fibr6 en boules Vtel que le germe de S, au voisinage de 0 V soit stable. Pour N tr~s grand, cela sera le cas/~ e pr6s (comme l'indiquent les in6galit6s (3.3.2-3)). On construira d'abord un champ Z. sur E, puis une norme de carr6 not6 F. On aura dS , (Z , )>O au voisinage de ?V, ce qui

(?S, permettra de d6finir ~ . = 2 , Z , avec 2 , d S , ( Z , ) + - ~ u = O ; alors 0 , sera d6fini par

int6gration du champ ~,. En r6sum6, nous mettons en oeuvre la m6thode classique de [Moser]. Les probl~mes d'int6grabilit6 n6cessitent quelques estimations pr61iminaires.

3.2. D~finition de Zu

La m6trique sur M est normalis6e de sorte que le rayon d'injectivit6 soit 6gal 4. Pour une constante R fi pr6ciser ult6rieurement, on choisit une fonction C~R: N+--*[0, 1] v6rifiant:

ag(r )=0 si r<=R,

=1 si r > 2 R .

Pour une fonction g: E x [ 0 , 1 ] ~ n l , ~ ( e , u ) et xi(e,u ) appartiennent tJF i ?g

Tq?M; ainsi, pour le produit scalaire de la m6trique riemannienne, X.•p N-I Og 0g

= ~; xi.~p~p ~ est une fonction sur E x {u}. De la marne faqon, ~ ( e , u ) et

P~+~. . (e ,u) appartiennent h Tq*M et l'on peut former leur produit scalaire

dans le cotangent: ~A~\ gg N-1 / c~Au\ c3g

i Le champ Z u, tangent fi Ex{u}, est caract6ris6 par la formule:

dg(Z~) = X" ~p + ~R(I] n 1[) [P + ~ ) " O X"

D'apr6s (2.4.t),

= ( P , X ) + A u , on a

x 0S, il vient -~-p=ltxll2=lIXllL D'autre part, comme S~

p 0A,,\ ~?S, P ~A. 2 " D ' o a :

Persistance d'intersection avec la section nulle 355

(3.2.1) dSu(Z.)= iiX[12 + 3A. 2 ~R(IIPIr) P + ~ - ~ .

Comme IIPII 2= Hpll 2 on a x ' 0 I[PII 2 - 2 ( p , x) = (2P, X). De plus 01IP[I2 -0 , d'ofi: ~p ~?X

(3.2.2) d(lIPII 2)(Zu)= 2 ( P, X).

Dans la formule suivante, di6ze d6signe l'isomorphisme, donn6 par la Dx i

m6trique riemannienne, du tangent vers le cotangent; ~ &ant une cPi

Dxi # application lin6aire du cotangent vers le tangent, ~mD.(xi ) est un vecteur

tangent, dont on fait le produit scalaire avec xl. Avec une sommation muette, il vient:

(3.2.3) d(llXI2)(Z,):2x.D~p(X*)+2c~,(HPH)~P+~-,/ 0A= X ) .

De ces formules on d6duit les propri6t6s suivantes: D'apras (2.6), pour R>2CN, on a:

II/'IL 2 (3.2.4) dS.(Z.)> [IXIt2+c~R(IIPH) 4

Vu l'hypothhse sur le rayon d'injectivit& on a IIXIL <2; donc:

(3.2.5) IIPII >2R ~ Id(llPll2)(z,)l < 2 IIPII 2.

D'apr& (2.2), ~ - < ~ , C ne d6pendant pas de Dx C N; d'autre part pour IlPll >R, II c p II 1,r

0A 2 1 0A 2 on a P + ~ < ~ P + ~ . I1 vient donc, pour tout P,

( 3 . 2 . 6 ) Id([IXll2)(z")l<C Hxll2 +8~R(HPII) P +~X 2.

3.3. Construction d'une norme

On pose F=sup(HXll 2,]IPH2~ ~ T I ; c'est le carr6 d'une norme sur

@ (TMOT*M) et F - I ( [0 ,4D est contenu dans E. La fonction F n'est pas ( N - 1)

diff6rentiable, mais la d6riv6e sup6rieure dF(Z~) est bien d6finie. On est dans l'une ou l'autre des situations suivantes:

1) F = IlXll 2 et df(Zu)=d(llXlh2)(Z,); alors, d'apr6s (3.2.1) et (3.2.6), on a:

sup I d=.i=.,l

356

2) F = IIPII2 [ IIPII2\ et dF(Z.)=d ~ R i - ~ ( Z , ) ; alors,

R>2C N, il vient, d'apr6s (3.2.4) et (3.2.5):

- - 2

dF(Z,) <~5 dS,(Z,).

En conclusion, pour N assez grand et R assez grand, choisi aprOs N, sur F - x ( [ 1 , 4 D on a:

(3.3.1) dS,(Z,)>O, par (3.2.4),

(3.3.2) dF(Z.) < edS,(Z,),

aussi petite que soit la constante e. SymOtriquement, on peut avoir pour la dOrivOe infOrieure:

(3.3.3) dF(Z,) > - edS,(Z,).

F. Laudenbach et J.-C. Sikorav

si F > I , on a I4PII>2R, et si

3.4. Fin de la ddmonstration

Le fibr6 en boules annonc6 est V = F - I ( [ 0 , 2 ] ) . Soit 4, un champ de vecteurs sur E de la forme ~u=2.Zu, off 2, vOrifie sur F 1([1,4[):

~u

(c'est possible d'apr6s (3.3.1)).

Soit eoeE et ~u(eo) la solution de l '6quation = ~,(ff,(eo) ), de condit ion initiale e o. On calcule:

diff6rentielle d(~bu(e0) )

d ( ( s , o ~ku)(eo))= (2.dSu(Z,)+~)(~u(eo)).

Donc, si ~9s(eo)~F-l([1,4[) pour tout s~[0, u], on a Suot),(eo)=So(eo). I1 reste /~ prouver que si e o est proche de •V, alors ~u(eo) est d6fini pour tout u~[0, 1] et ~.(eo)eF- 1([1, 4[).

Or, d'apr6s (3.3), sur F - I ( [ 1 , 4 D , dE(i,) et -dF(r sont major6es par

e sup 0 u " Comme ~u est born6 ind6pendamment de N (2.7.1), on peut

choisir e pour avoir dF(r et -dF(r Donc si ~=rteo)=~,3< r ' r " < 5 on a la conclusion cherchOe.

Remerciement. Nous remercions chaleureusement Marc Chaperon pour les encouragements fi poursuivre notre travail malgr6 l 'apparition de r6sultats concurrents.

D'autres probl6mes de disjonction de sous-vari6t6s lagrangiennes par isotopic hamiltonienne seront &udi6s dans un travail ult6rieur; on y verra apparaltre la K-th6orie alg6brique.

Persistance d'intersection avec la section nulle 357

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