Chapitre B-XVI

Initiation à la mécaniquelagrangienne et hamiltonienne.

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RÉSUMÉ :

La mécanique lagrangienne et hamiltonienne n’est pas ici présentée pour elle-même maisparce qu’elle sous-tend la mécanique quantique ; elle ne sera donc pas approfondie.

On montre qu’en utilisant des fonctions formelles des positions et des vitesses, considé-rées comme variables indépendantes et en introduisant un principe de moindre action, onse dote d’un puissant outil pour mettre en équations un problème de mécanique. On évoqueaussi les limitations de cette mécanique dans le cas de déformations élastiques ou de forcesde contact.

Les lois de conservation de l’énergie, de la quantité de mouvement et du moment ciné-tique sont déduites de l’homogénéité du temps, de l’homogénéité et de l’isotropie de l’espace.

On montre comment l’approche hamiltonienne, dans un contexte de résolution algorith-mique, est préferable à l’approche lagrangienne. On cite l’exemple de la mécanique céleste.

On montre comment gérer l’interaction électromagnétique, ce qui sera primordial enmécanique quantique.

On introduit enfin les crochets de Poisson pour leur analogie avec les commutateurs enmécanique quantique, en particulier pour les moments cinétiques.

2

Table des matières

B-XVI Initiation à la mécanique lagrangienne et hamiltonienne. 1

1 Genèse de la mécanique lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.a Système isolé de points matériels en interaction. . . . . . . . . . . 5

1.b Système en interaction avec un extérieur « imperturbable ». . . . 8

2 Principe de moindre action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.a Approche variationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.b Calcul des variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.c Présentation cartésienne du principe de moindre action. . . . . . . 10

3 Mécanique lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.a Coordonnées généralisées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.b Lagrangien d’un système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.c Intégrale d’action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.d Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Exemples d’application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.a Mouvement à force centrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.b Pendule double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.a L’interaction électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.b Indications sur les autres types de forces non conservatives. . . . . 18

6 Lois de conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.a Conservation de l’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.b Conservation de la quantité de mouvement. . . . . . . . . . . . . . 20

3

6.c Conservation du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Hamiltonien et équations de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.a Définition et propriétés essentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.b Application à un ensemble de points en interaction conservative. . 23

7.c Application à l’interaction électromagnétique. . . . . . . . . . . . 24

7.d Méthode des perturbations en mécanique céleste. . . . . . . . . . 25

8 Crochets de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.a Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.b Crochets de Poisson et hamiltonien. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.c Crochets de Poisson et moments cinétiques. . . . . . . . . . . . . 26

4

1 Genèse de la mécanique lagrangienne.

En mécanique classique, on insiste sur le fait que le théorème de l’énergie cinétiquene permet de résoudre un problème que si la position du système peut être décrite parun unique paramètre scalaire pour la simple raison que c’est un théorème scalaire et nonvectoriel.

La mécanique lagrangienne conduit à nuancer ce propos ; il s’agit d’une relecture trèsmathématisée des axiomes de la mécanique et il n’est pas ici inutile de rappeler qu’il y a peula « mécanique rationnelle » (mécanique du point et du solide, classique ou lagrangienne)faisait partie non du programme de physique mais de celui des mathématiques.

Le passage par le « principe de moindre action » analogue au « principe de Fermat » del’optique (voir le chapitre D-V), très à la mode jadis, permet d’extrapoler une formulationvalable dans tous les systèmes de paramètres possibles. La mécanique lagrangienne s’estainsi avérée un outil agréable pour l’étude des solides. Toutefois son intérêt est bien moindrequ’il ne semble ; la recherche industrielle tient désormais compte des déformations élastiqueset la « méthode des éléments finis », assistée par ordinateur, l’a totalement supplantée.

Si l’on présente ici cette mécanique, ce n’est pas en fait pour elle-même, mais parce queles pères de la mécanique quantique en étaient imprégnés et que les outils quantiques ensont directement issus. En quelque sorte la mécanique rationnelle est le chaînon manquantentre la mécanique classique et la mécanique quantique.

Signalons toutefois qu’en mécanique céleste, la mécanique hamiltonnienne permet assezaisément, par approximations successives, de gérer les perturbations entre planètes dans lesystème solaire, ce qui lui offre un petit îlot de survie.

1.a Système isolé de points matériels en interaction.

Soit un système deN points matériels repérés par un indice i, de massesmi, de positions−→r i(t) de composantes xi(t), yi(t) et zi(t) et de vitesses −→v i(t) de composantes dxidt notéeẋi(t) avec un point au dessus de la variable, dyidt = ẏi(t) et

dzidt = żi(t).

L’énergie cinétique totale K a pour expression :

K =i=N∑i=1

12mi−→v 2i =

i=N∑i=1

12mi (ẋ2i + ẏ

2i + ż

2i )

Si l’on considère K comme une fonction formelle de tous les ẋi, ẏi et żi, considérés

5

comme 3N variables indépendantes, alors pour une valeur donnée k de l’indice i, on a :

∂K

∂ẋk= mk ẋk = pxk

∂K

∂ẏk= mk ẏk = pyk

∂K

∂żk= mk żk = pzk

où l’on reconnaît les composantes de la quantité de mouvement −→p k = mk−→v k du pointmatériel d’indice k. En généralisant la notion de gradient, on peut conventionnellementnoter : −−→

grad−→v kK =−→p k

L’énergie potentielle d’interaction est somme des énergies d’interaction de tous lescouples de points d’indices i et j (avec j 6= i bien sûr) qui sont obligatoirement de laforme d’une fonction Uij de la distance rij entre les deux points soit :

Uij = Uij(rij) = Uij (‖−→r j −−→r i‖) = Uij(√

(xj − xi)2 + (yj − yi)2 + (zj − zi)2)

ce qui est une simple conséquence de la loi d’action et réaction appliquée aux momentsdynamiques (voir cours de mécanique du point aux chapitre B-II et B-VIII). On rappelleen outre (voir au même endroit) que les composantes de la force exercée par le point i surle point j sont

Fi→j,x = −∂Uij∂xj

= −dUijdrij

∂

∂xj

(√(xj − xi)2 + (yj − yi)2 + (zj − zi)2

)= · · ·

· · · = −dUijdrij

2 (xj − xi)2√

(xj − xi)2 + (yj − yi)2 + (zj − zi)2= −dUij

drij(xj − xi)

rij

et de même Fi→j,y = · · · = −dUijdrij(yj−yi)rij

et Fi→j,z = · · · = −dUijdrij(zj−zi)rij

que l’on peutformuler globalement de façon vectorielle :

−→F i→j = −

−−→grad−→r jUij = −

dUijdrij

−→r j −−→r irij

= −dUijdrij

−→u ij

en introduisant −→u ij , vecteur unitaire de −→r j − −→r i dirigé de i vers j. Bien sûr, on aaussi :

−→F j→i = −

−−→grad−→r iUij = −

dUijdrij

−→r i −−→r jrij

= −dUijdrij

−→u ji

avec −→u ji = −−→u ij .

6

L’énergie potentielle totale, en veillant à ce que chaque couple de points n’interviennequ’une fois s’écrit :

U =∑∑

16i

1.b Système en interaction avec un extérieur « imperturbable ».

Nous supposons ici que les points matériels d’indice i font partie soit du système conte-nant N points (i ∈ [1, N ], on notera i ∈ I), soit d’un « extérieur »(i ∈ [(N + 1), Ntotal], onnotera i ∈ E).

Si le milieu extérieur est énorme par rapport au système (disons Ntotal � N), il n’estquasiment pas influencé par le système et les positions −→r i (donc les vitesses −→v i) des pointsde l’extérieur sont indépendantes des positions et vitesses des points du système. On peutdonc, avec des conditions initiales données, les considérer comme des fonctions données dutemps t indépendantes des positions −→r i (donc des vitesses −→v i) des points du système.

Si nous reprenons l’étude du paragraphe précédent, ce qui a été dit de l’énergie cinétiqueK du système est inchangée. Pour son énergie potentielle U , à la somme des énergiesd’interaction deux à deux des points du système, elle aussi inchangée, il faut ajouter lasomme des énergies d’interaction entre un point de l’extérieur (d’indice noté i) et un pointdu système (d’indice noté k). On a certes toujours, pour tout terme de cette somme,Uik = Uik(rik) = Uik (‖−→r k −−→r i‖) et

−→F i→k = −

−−→grad−→r kUik = −

dUikdrik

−→r k−−→r i‖−→r k−−→r i‖

mais avec

cette fois −→r i est une fonction donnée du temps ; Uik et−→F i→k n’apparaissent plus comme

des fonctions de −→r i et −→r k mais comme des fonctions de t et de −→r k, ce qui ne remet pasen jeu la relation

−→F i→k = −

−−→grad−→r kUik. Par sommation l’énergie potentielle totale sera

une fonction du temps t et de tous les −→r k du système ; mais la relation−−→grad−→r kU = −

−→F k

reste valable. La seule chose qui change c’est que U dépend explicitement du temps parl’interaction avec l’extérieur, sauf bien sûr si l’extérieur est indéformable.

Un exemple pour éclairer la chose : sur terre, l’énergie potentielle de pesanteur d’unsystème de masse total M est M g z dans un référentiel lié au sol ; mais dans un référentiellié à un ascenseur en mouvement vertical uniforme de vitesse v, elle sera M g (z+ v t) où z(du centre de masse) dépend des −→r k du système et où le temps apparaît bien explicitement.

2 Principe de moindre action.

2.a Approche variationnelle.

Imaginons un système de N points matériels d’indice i et considérons son évolutionentre deux instants t1 et t2. A l’instant initial t1 les positions −→r i(t1) et les vitesses −→v i(t1)sont connues. Les lois de la mécanique permettent théoriquement d’en déduire les positions−→r i(t2) et les vitesses −→v i(t2) à l’instant final t2. Entre les deux instants les positions ri(t)et les vitesses −→v i(t) dépendent du temps de façon conformes aux lois de la mécanique.

Imaginons maintenant une évolution arbitraire, non conforme aux lois de la mécanique,restant infiniment proche de l’évolution précédente. On note, à l’instant t, les positions−→r ′i(t) =

−→r i(t) +−→δri(t) avec ‖

−→δri(t)‖ � ‖−→r i(t)‖ pour tous les points et à tout instant.

Cette nouvelle évolution est supposée dérivable par rapport au temps (on adopte pour la

8

dérivée temporelle la notation avec un point au dessus de la fonction) de sorte que les

vitesses soient−→v′ i(t) =

−̇→r′ i(t) = −̇→r i(t)+

−̇→δri(t) = −→v i(t)+

−̇→δri(t) et l’on impose enfin que les

positions initiales et finales (mais pas les vitesses) soient les mêmes que dans la situationconforme aux lois de la mécanique, soit pour tous les points

−→δri(t1) =

−→0 et

−→δri(t2) =

−→0 . On

concède au lecteur moderne que l’idée (ainsi que celles qui suivent) est bien peu naturellemais elle a été féconde.

2.b Calcul des variations.

L’énergie potentielle U est une fonction formelle U(t,−→r 1,−→r 2, · · · ,−→r N ) du temps etde toutes les positions, ce que l’on notera ici U(t, {−→r i}) ({−→r i} signifie l’ensemble des −→r i).Calculons pour le « vrai » mouvement du système l’intégrale :

I =∫ t2t1

U(t, {−→r i(t)}) dt

et pour le mouvement imaginaire l’intégrale conçue de la même façon :

I ′ =∫ t2t1

U(t, {−→r′ i(t)}) dt

Grâce à un développement limité à l’ordre 1 de la fonction des N positions −→r i, lavariation de cette intégrale est :

δI = I ′ − I =∫ t2t1

(U(t, {

−→r′ i(t)})− U(t, {−→r i(t)})

)dt = · · ·

· · · =∫ t2t1

(U(t, {−→r i(t) +

−→δri(t)})− U(t, {−→r i(t)})

)dt =

∫ t2t1

∑i

−−→grad−→r iU ·

−→δri(t) dt = · · ·

· · · =∑i

∫ t2t1

−−→grad−→r iU ·

−→δri(t) dt = −

∑i

∫ t2t1

−→F i ·−→δri(t) dt

avec−−→grad−→r iU = −

−→F i (cf supra).

Raisonnons de la même façon avec l’énergie cinétique fonction formelle des vitesses ; onpose pour le « vrai » mouvement du système l’intégrale :

J =∫ t2t1

K({−→v i(t)}) dt

et pour le mouvement imaginaire l’intégrale conçue de la même façon :

J ′ =∫ t2t1

K(t, {−→v′ i(t)}) dt

9

On poursuit de même et l’on termine par une intégration par parties :

δJ = J ′ − J =∫ t2t1

(K({−→v′ i(t)})−K({−→v i(t)})

)dt = · · ·

· · · =∫ t2t1

(K({−→v i(t) +

−̇→δri(t)})−K({−→r i(t)})

)dt =

∫ t2t1

∑i

−−→grad−→v iK ·

−̇→δri(t) dt = · · ·

· · · =∑i

∫ t2t1

−−→grad−→v iK·

−̇→δri(t) dt =

∑i

[−−→grad−→v iK ·

−→δri(t)

]t2t1−∑i

∫ t2t1

ddt

(−−→grad−→v iK

)·−→δri(t) dt = · · ·

· · · = 0−∑i

∫ t2t1

d−→p idt·−→δri(t) dt

avec d’une part−→δri(t1) =

−→0 et

−→δri(t2) =

−→0 (cf supra) et d’autre part

−−→grad−→v iK =

−→p i(cf supra)

2.c Présentation cartésienne du principe de moindre action.

Or pour tous les points, le principe fondamental de la dynamique d−→p idt =

−→F i ; on en

déduit que δI = δJ soit de façon plus parlante :

δ

∫ t2t1

(K − U) dt = 0

Ce que l’on exprime en disant que l’intégrale∫ t2t1

(K − U) dt calculée avec le vrai mou-vement est extrémale par rapport à tous les mouvements imaginaires infiniment voisins.Cette intégrale est appelée intégrale d’action et ce résultat démontré ici avec les seulescoordonnées cartésiennes est connu sous le nom de principe de moindre action.

Il s’agit de la même philosophie que le principe de Fermat en optique ; mais aucontraire de celui-ci qu’on interprète en terme de trajet le plus rapide, il est vain de cher-cher un sens physique à ce principe. Son intérêt est surtout d’en déduire aisément unegénéralisation de la physique valable pour tous les systèmes de paramètres possibles pourdécrire le système.

3 Mécanique lagrangienne.

3.a Coordonnées généralisées.

Les coordonnées cartésiennes, composantes xi, yi et zi des vecteurs positions −→r i nesont pas toujours les plus pertinentes ; on peut à partir d’un axe priviligié Oz, donner lescoordonnées cylindriques ri, θi et zi ou sphériques ri, θi et ϕi de chaque vecteur position −→r i.

10

Illustrons, par l’exemple des coordonnées cylindriques, l’incidence de ce type de choixsur l’expression formelle de l’énergie cinétique. Pour tout point i, dans la base locale clas-sique associée aux coordonnées cylindriques, la vitesse est (voir cinématique du point) :

−→v i = ṙi−→er + ri θ̇i−→eθ + żi−→ez

et l’énergie cinétique totale du système sera donc :

K =∑i

12mi (ṙ2i + r

2i θ̇

2i + ż

2i )

En coordonnées sphériques on aura (voir cinématique du point) :

−→v i = ṙi−→er + ri θ̇i−→eθ + ri sin θi ϕ̇i−→eϕ

etK =

∑i

12mi (ṙ2i + r

2i θ̇

2i + r

2i sin

2 θi ϕ̇2i )

Si le système est un solide, on pourra le repérer par six paramètres, les coordonnéescartésiennes du centre de gravité et les trois angles d’Euler (cf mécanique du solide).Nous ne développerons pas plus avant.

Retenons que la position de tout système peut être décrit par un ensemble de paramètresscalaires notés 2 traditionnellement qi, que son énergie potentielle est fonction uniquementdes positions donc des qi mais pas des vitesses donc pas des q̇i et éventuellement (cf supra)du temps ; on la note U(t, {qi}). Par contre, les exemples qui précèdent montrent quel’énergie cinétique totale ne dépend pas seulement des dérivées q̇i mais aussi de tout oupartie des qi, mais pas du temps ; on la note K({q̇i}, {qi}).

3.b Lagrangien d’un système.

Dans un changement de système de coordonnées, la transformation de la relation∀k ddt

(−−→grad−→v kK

)+−−→grad−→r kU =

−→0 est extrêmement délicate et déroutante. Par contre,

le principe de moindre action qui a une définition intrinsèque, indépendante du système decoordonnées permet une démonstration aisée.

Par définition la fonction lagrangienne ou plus simplement le lagrangien d’un systèmerepéré par les paramètres qi est la fonction formelle des qi, des q̇i et éventuellement dutemps définie par :

L(t, {q̇i}, {qi}) = K({q̇i}, {qi})− U(t, {qi})

2. Jusqu’ici, l’indice i était celui d’un point matériel ; maintenant, c’est celui d’un paramètre ; que lelecteur ne se trouble pas à cause de cela.

11

3.c Intégrale d’action.

On généralise ainsi l’intégrale d’action pour un mouvement conforme aux lois de lamécanique caractérisé par des paramètres dépendant du temps selon une loi horaire notéeqi(t), de dérivée q̇i(t) :

S(t1, t2) =∫ t2t1

L(t, {q̇i(t)}, {qi(t)}) dt

Pour un mouvement imaginaire, non conforme aux lois de la mécanique de paramètresqi(t) + δqi(t), de dérivée q̇i(t) + δ̇qi(t) où les δqi(t1) et les δqi(t2) sont tous nuls, l’intégraled’action variée est :

S′(t1, t2) =∫ t2t1

L(t, {q̇i(t) + δ̇qi(t)}, {qi(t) + δqi(t)}) dt

et, en reprenant le principe d’un calcul précédent, la variation de cette intégrale d’actionest, au premier ordre :

δS = S′−S =∫ t2t1

[L(t, {q̇i(t) + δ̇qi(t)}, {qi(t) + δqi(t)})− L(t, {q̇i(t)}, {qi(t)})

]dt = · · ·

· · · =∑i

∫ t2t1

∂L

∂q̇iδ̇qi(t) dt+

∑i

∫ t2t1

∂L

∂qiδqi(t) dt = · · ·

· · · =∑i

[∂L

∂q̇iδqi(t) dt

]t2t1

−∑i

∫ t2t1

ddt

(∂L

∂q̇i

)δqi(t) dt+

∑i

∫ t2t1

∂L

∂qiδqi dt = · · ·

· · · =∑i

0−∑i

∫ t2t1

[ddt

(∂L

∂q̇i

)− ∂L∂qi

]δqi dt = −

∑i

∫ t2t1

[ddt

(∂L

∂q̇i

)− ∂L∂qi

]δqi dt

3.d Equations de Lagrange

Le principe de moindre action stipule que ce résultat est nul quelque soit le mouvementvarié envisagé, en particulier quand toutes les fonctions δi(t) sont nulles sauf celle d’in-dice k ; on doit donc avoir, pour cet indice, quelconque en fait,

∫ t2t1

[ddt

(∂L∂q̇k

)− ∂L∂qk

]δqk dt

nul quel que soit le choix de qk(t) et si l’on choisit une fonction nulle partout sauf dans unintervalle très restreint autour d’un instant t, on en déduit qu’à cet instant, quelconque enfait, ddt

(∂L∂q̇k

)− ∂L∂qk est nul. On peut donc affirmer que :

∀k ∀t ddt

(∂L

∂q̇k

)=∂L

∂qk

ensemble d’équations connues sous le nom d’équations de Lagrange.

12

La prudence aurait voulu que l’on formulât les choses ainsi :

L est une fonction formelle L(t, {q̇i}, {qi}) des paramètres, de leurs dérivées temporelleset éventuellement du temps ; il en est donc de même des dérivées partielles ∂L∂qk et

∂L∂q̇k

. Sil’on considère dans ces expressions que les qi sont les qi(t) du mouvement conforme auxlois de la mécanique et les q̇i(t) leurs dérivées, ∂L∂qk et

∂L∂q̇k

deviennent alors des fonctions dutemps et l’on devrait insister sur ce changement de point de vue par un signe quelconque,par exemple un « chapeau », soit ∂̂L∂qk et

∂̂L∂q̇k

indiquant qu’on les considère désormais commefonction du temps. Les équations de Lagrange sont en fait :

∀k ∀t ddt

(∂̂L

∂q̇k

)=∂̂L

∂qk

Une fois que le lecteur a bien compris, on peut bien sûr alléger l’écriture mais pas avantsinon le lecteur est dans le brouillard. Peu d’auteurs partagent hélas mon point de vue.

4 Exemples d’application.

Donnons ici deux exemples pour illustrer l’intérêt historique de la méthode.

4.a Mouvement à force centrale.

Le premier exemple est de routine et ne montre pas la supériorité de la mécaniquelagrangienne sur la méthode classique. Dans un mouvement à force centrale où l’énergiepotentielle attractive est en U = −Kr , on sait que le mouvement est plan. En coordonnéespolaires r et θ dans le plan du mouvement, l’énergie cinétique d’un point matériel de massem est, classiquement, K = 12 m (ṙ

2 + r2 θ̇2) et le lagrangien :

L = K − U = 12m (ṙ2 + r2 θ̇2) +

K

r

Formellement on a ∂L∂r = mr θ̇2 − K

r2, ∂L∂θ = 0,

∂L∂ṙ = m ṙ et

∂L∂θ̇

= mr2 θ̇, d’où après

substitution ddt(∂L∂ṙ

)= m r̈ et ddt

(∂L∂θ̇

)= m ddt(r

2 θ̇).

Les équations de Lagrange sont ici :

ddt

(∂L

∂θ̇

)=∂L

∂θd’où m

ddt

(r2 θ̇) = 0

où l’on retrouve la loi des aires affirmant que r2 θ̇ est une constante du mouvement et

ddt

(∂L

∂ṙ

)=∂L

∂rd’où m r̈ = mr θ̇2 − K

r2

13

conforme à la projection classique du principe fondamental sur la direction radiale,soit :

m (r̈ − r θ̇2) = −Kr2

Certes cet exemple n’apporte rien de plus à la méthode classique... sinon le fait devérifier que c’est une méthode qui marche.

4.b Pendule double.

La figure 1 p. 14 montre un pendule double formé de deux tiges homogènes, rectilignesde section négligeable, de masse m, de longueur 2 ` et dont le moment d’inertie par rapportà un axe qui leur est perpendiculaire en leur milieu est J = 13 m`

2 (ce dernier résultat estici admis sans démonstration). Elles sont assujetties à se mouvoir dans un même planvertical fixe ; la première a pour extrémités O et A, la seconde A et B. Deux liaisonsparfaites imposent respectivement O à être fixe et A à être commun aux deux tiges. Ellessont repérées par les angles θ1 et θ2 qu’elles forment avec la verticale descendante. Toutceci est éclairé par la figure.

!

O

!

A

!

B!

"1

!

"2

!

G2

!

G1

!

! e "1

!

! e "2

Figure 1 – Pendule double.

Classiquement (voir le chapitre B-VIII) les énergies cinétiques des deux tiges sont res-pectivement pour OA, 12 m

−→v 2G1 +12 J θ̇

21 et pour AB,

12 m−→v 2G2 +

12 J θ̇

22 où

−→v G1 est d−→OG1dt

et −→v G2 se calcule par ddt(−→OA+

−→AG2). En introduisant les vecteurs unitaires orthoradiaux

relatifs à OA et AB (cf figure), l’on a comme énergie cinétique totale :

K =12m (` θ̇1−→eθ1)2 +

12m (2 ` θ̇1−→eθ1 + ` θ̇2

−→eθ2)2 +16m`2 θ̇21 +

16m`2 θ̇22 = · · ·

· · · = 12m`2 [θ̇21 + (4 θ̇

21 + 4 θ̇1 θ̇2 cos(θ2 − θ1) + θ̇22) +

13θ̇21 +

13θ̇22] = · · ·

· · · = 12m`2

[163θ̇21 + 4 θ̇1 θ̇2 cos(θ2 − θ1) +

43θ̇22)]

14

L’énergie potentielle de pesanteur est (attention à l’axe vertical descendant) :

U = −mg zG1 −mg zG2 = · · ·· · · = −mg ` cos θ1 −mg (2 ` cos θ1 + ` cos θ2) = −mg ` (3 cos θ1 + cos θ2)

et puisqu’il n’y a pas d’autre énergie potentielle (liaisons parfaites), le lagrangien estL = K − U dont on ne croit pas utile de recopier l’expression.

Ceci étant réalisé, montrons comment la mécanique lagrangienne conduit rapidementà un système d’équations directement exploitable.

Les dérivées formelles en considérant θ1, θ2, θ̇1 et θ̇2 comme quatre variables indépen-dantes sont :

∂L

∂θ̇1=

163m`2 θ̇1 + 2m`2 θ̇2 cos(θ2 − θ1)

∂L

∂θ̇2= 2m`2 θ̇1 cos(θ2 − θ1) +

43m`2 θ̇2

∂L

∂θ1= 2m`2 θ̇1 θ̇2 sin(θ2 − θ1)− 3mg ` sin θ1

∂L

∂θ2= −2m`2 θ̇1 θ̇2 sin(θ2 − θ1)−mg ` sin θ2

En considérant ensuite θ1 et θ2 comme des fonctions du temps et θ̇1 et θ̇2 comme leursdérivées, on a en outre :

ddt

(∂L

∂θ̇1

)=

163m`2 θ̈1 + 2m`2 θ̈2 cos(θ2 − θ1)− 2m`2 θ̇2 sin(θ2 − θ1) (θ̇2 − θ̇1)

ddt

(∂L

∂θ̇2

)= 2m`2 θ̈1 cos(θ2 − θ1)− 2m`2 θ̇1 sin(θ2 − θ1) (θ̇2 − θ̇1) +

43m`2 θ̈2

Finalement le système est régi par les deux équations de Lagrange suivantes

163m`2 θ̈1 + 2m`2 θ̈2 cos(θ2 − θ1)− 2m`2 θ̇2 sin(θ2 − θ1) (θ̇2 − θ̇1) = · · ·

· · · = 2m`2 θ̇1 θ̇2 sin(θ2 − θ1)− 3mg ` sin θ1

2m`2 θ̈1 cos(θ2 − θ1)− 2m`2 θ̇1 sin(θ2 − θ1) (θ̇2 − θ̇1) +43m`2 θ̈2 = · · ·

· · · = −2m`2 θ̇1 θ̇2 sin(θ2 − θ1)−mg ` sin θ2

qu’il eût été beaucoup plus long d’obtenir par les voies classiques.

Bien sûr, elles sont, classiquement dans ce contexte, non linéaires. Dans le cas simpledes oscillations de faible amplitude, en confondant les cosinus avec l’unité et les sinus avec

15

leur arguments et en négligeant les termes obtenus qui seraient d’ordre supérieur à 1 commeceux en θ̇1 θ̇2 θ1, on arrive au système linéarisé suivant :

163m`2 θ̈1 + 2m`2 θ̈2 = −3mg ` θ1

2m`2 θ̈1 +43m`2 θ̈2+ = −mg ` θ2

La solution est cherchée sous forme de combinaison linéaire de deux modes propres etnous renvoyons le lecteur au chapitre D-I de mécanique vibratoire qui développe ce grandclassique.

Comme nous l’avons mentionné plus haut, nous voyons sur cet exemple que la méca-nique lagrangienne est une alternative fort commode à la mécanique classique pourvu quen’interviennent pas de phénomènes de déformations élastiques (cf supra : l’informatiqueest plus puissante) ou de frottements (cf infra).

5 Généralisations.

5.a L’interaction électromagnétique.

Ce paragraphe est délicat et il n’y aurait aucune honte à le sauter.

La première approche de la mécanique lagrangienne suppose les forces conservatives,ce qui convient pour les forces de gravitation, les forces purement électrostatiques mais pasles forces électromagnétiques. Nous allons ici toutefois montrer que l’on peut adapter leformalisme pour inclure ces dernières.

Comme on peut aisément procéder par addition de particules (cf supra), nous allonsétudier le cas d’une seule chargée de charge électrique q placée dans un champ électrique−→E (−→r , t) et un champ magnétique

−→B (−→r , t). Nous appelons −→r (t), de composantes x(t),

y(t) et z(t), le vecteur position de la charge et −→v = −̇→r (t) sa vitesse. Nous travaillons icien coordonnées cartésiennes, le principe de moindre action permettant de généraliser lerésultat à tout autre système de repérage.

L’idée est de partir de la formulation classique et de lui donner une allure lagrangienne.En faisant abstraction des autres forces pour alléger l’exposé, l’équation du mouvementest :

m −̈→r (t) = q [−→E (−→r , t) + −̇→r (t) ∧

−→B (−→r , t)]

Introduisons le potentiel électrique V (−→r , t) et le potentiel-vecteur magnétique−→A (−→r , t),

on arrive (cf le chapitre C-VIII sur les équations de Maxwell), en reprenant la notationintroduite plus haut pour le gradient (et étendue au rotationnel) à :

m −̈→r (t) = q

[−−−→grad−→r V (

−→r , t)− ∂−→A (−→r , t)∂t

+ −̇→r (t) ∧ −→rot−→r A(−→r , t)

]

16

Pour viser une formulation lagrangienne, essayons d’introduire ddt [−→A (−→r (t), t)] ; on a :

ddt

[−→A (−→r (t), t)] = d

dt[−→A (x(t), y(t), z(t), t)] =

∂−→A

∂x

dxdt

+∂−→A

∂y

dydt

+∂−→A

∂z

dzdt

+∂−→A

∂t

soit encore, en pensant très fort à la mécanique des fluides et à la dérivée particulière(chapitre B-XIII) et en en reprenant les notations :

ddt

[−→A (−→r (t), t)] = (−→v ·

−−→grad−→r )

−→A +

∂−→A

∂t= (−̇→r ·

−−→grad−→r )

−→A +

∂−→A

∂t

On peut donc réécrire ainsi l’équation du mouvement et en allégeant les notations :

ddt

[m −̇→r + q

−→A]

= q [−−−→grad−→r V + (

−̇→r ·−−→grad−→r )

−→A + −̇→r ∧ −→rot−→r A]

Si l’on applique la formule d’analyse vectorielle (cf le chapitre A-IX) suivante :

−−→grad (

−→V ·−→W ) =

−→V ∧

−→rot−→W + (

−→V ·−−→grad )

−→W +

−→W ∧

−→rot−→V + (

−→W ·−−→grad )

−→V

au vecteur−→W =

−→A (−→r , t) et au vecteur

−→V = −̇→r considéré comme variable indépen-

dante de −→r (philosophie de la mécanique lagrangienne) dont les dérivées par rapport auxcomposantes de −→r sont donc nulles, on a :

−−→grad−→r (

−̇→r ·−→A ) = −̇→r ∧ −→rot−→r A+ (−̇→r ·

−−→grad−→r )

−→A

On peut donc écrire :

ddt

[m −̇→r + q

−→A]

=−−→grad−→r

[−q V + q −̇→r ·

−→A]

et même en ajoutant une constante vis-à-vis de −→r donc fonction f arbitraire de −̇→r

ddt

[m −̇→r + q

−→A]

=−−→grad−→r

[−q V + q −̇→r ·

−→A + f(−̇→r )

]De même essayons de présenterm −̇→r +q

−→A comme un gradient par rapport à la variable

formelle −̇→r . Puisque l’on peut écrire Ax, composante sur x de−→A sous la forme Ax =

∂(Ax ẋ)∂ẋ

soit encore Ax =∂(Ax ẋ+Ay ẏ+Az ż)

∂ẋ et analogues, on a−→A =

−−→grad−̇→r (

−̇→r ·−→A ) et bien sûr (cf

supra) −̇→r =−−→grad−̇→r

(12−̇→r

2)d’où en faisant intervenir une constante vis-à-vis de −̇→r donc

fonction f arbitraire de −→r :

ddt

[−−→grad−̇→r

(12m −̇→r

2+ q −̇→r ·

−→A + g(−→r )

)]=−−→grad−→r

(−q V + q −̇→r ·

−→A + f(−̇→r )

)17

Les deux expressions entre parenthèses sont identiques si l’on prend g(−→r ) = −q V (−→r , t)et f(−̇→r ) = 12 m

−̇→r2. En posant donc L = 12 m

−̇→r2

+ q −̇→r ·−→A (−→r , t)− q V (−→r , t), on retrouve

la formulation typique (cf supra) ddt(−−→

grad−̇→r L)

=−−→grad−→r L et L est donc bien l’expression

du lagrangien de cette charge dans ce champ. Retenons donc :

L =12m −̇→r

2+ q −̇→r ·

−→A (−→r , t)− q V (−→r , t)

ou si l’on préfère :

L =12m−→v 2 + q−→v ·

−→A (−→r , t)− q V (−→r , t)

Remarque 1 : Une démarche plus théorique consiste à justifier, dans le formalismequadri-vectoriel de la relativité, que le lagrangien d’une charge ne peut avoir que ce genred’expression et d’en déduire la théorie de l’electromagnétisme. C’est au delà des ambitionsde mon cours.

Remarque 2 : On sait (cf le chapitre C-VIII sur les équations de Maxwell) que pourun champ électromagnétique donné, le couple des potentiels n’est pas unique et que si(V,−→A ) en est un, (V ′,

−→A ′) avec

−→A ′ =

−→A +

−−→grad Φ et V ′ = V − ∂Φ∂t en est un autre. On

voit aisément que remplacer le premier couple par le second remplace le lagrangien L, enretrouvant (cf supra) une dérivée particulaire, par :

L′ = L+ q(−→v ·−−→grad Φ +

∂Φ∂t

)= L+

ddt

[Φ(−→r (t), t)]

Pour toute intégrale d’action entre (−→r1 , t1) et (−→r2 , t2) sur le chemin conforme aux loisde la mécanique ou sur un imaginaire de mêmes extrémités, ce changement de potentielsremplace donc, pour un même chemin, l’intégrale S par :

S′ = S +∫ t2t1

ddt

[Φ(−→r (t), t)] dt = S + [Φ(−→r (t), t)]t2t1 = S + [Φ(−→r 2, t2)− Φ(−→r 1, t1)]

Et donc la variation δS au premier ordre d’un chemin imaginaire par rapport au cheminréel est inchangée car la différence [Φ(−→r 2, t2)− Φ(−→r 1, t1)] ne dépend pas du chemin suivimais de ses seules extrémités. Le changement de couple de potentiels laisse donc invariantle principe de moindre action ; ce qui assure la cohérence de tout cela.

5.b Indications sur les autres types de forces non conservatives.

Il y a bien d’autres types de forces non conservatives et pour chaque type, on estamené à revoir l’expression du lagrangien comme on l’a fait ci-dessus pour l’interactionélectromagnétique.

18

Pour une force de frottement de type fluide, proportionnelle à la dérivée temporelled’un paramètre, ce ne sera guère difficile mais pour une force de frottement de type solidedont l’expression varie selon qu’il y a ou non glissement et si oui de la direction et du sensdu glissement et qui, en outre, demande de connaître la composante normale de la forcede contact, la situation sera ingérable dans le cadre strict de la mécanique lagrangienne.

En outre, dans des situations de roulement sans glissement qui lient deux dérivéestemporelles de paramètres, celles-ci ne peuvent plus être considérées comme variables in-dépendantes ce qui introduit des complexités supplémentaires 3.

Bref, on voit ici les limitations de la mécanique lagrangienne, surtout adaptée au situa-tions non dissipatives. Compte tenu de l’objectif de ce chapitre (cf supra), ce paragraphene sera pas développé au delà de ces considérations initiales.

6 Lois de conservation.

6.a Conservation de l’énergie.

Soit un système isolé, nous avons vu dans le tout premier paragraphe que le lagrangienne dépend pas explicitement du temps ; c’est donc une fonction formelle des coordonnées etde leur dérivées temporelles que l’on note L({qi}, {q̇i}). Pour un mouvement conforme auxlois de la mécanique où leurs paramètres et leurs dérivées temporelles sont des fonctions dutemps qi(t) et q̇i(t), si on les substitue aux paramètres formels, la lagrangien devient unefonction du temps dont la dérivée temporelle (dérivation de fonction composée à plusieursvariables) est :

ddtL({qi(t)}, {q̇i(t)}) =

∑i

∂L

∂qiq̇i +

∑i

∂L

∂q̇iq̈i

En y reportant pour tout i l’équation de Lagrange ddt(∂L∂q̇i

)= ∂L∂qi , utilisée de droite

à gauche, on a :

ddtL({qi(t)}, {q̇i(t)}) =

∑i

[ddt

(∂L

∂q̇i

)q̇i +

∂L

∂q̇i

ddt

(q̇i)]

=ddt

(∑i

∂L

∂q̇iq̇i

)

d’où l’on déduit que la quantité∑i

(∂L

∂q̇iq̇i

)−L est constante au cours du mouvement.

On a vu qu’en coordonnées généralisées L est, pour un système isolé, de la formeL = K({qi(t)}, {q̇i(t)}) − U({qi(t)}) et il n’est pas trop difficile de se convaincre 4 que

3. On doit utiliser la méthode des « multiplicateurs de Lagrange ».4. En gros les vecteurs positions des points sont de la forme−→r ({qi}) donc les vecteurs vitesses de la formeP

i∂−→r∂qi

q̇i et l’énergie cinétique fait intervenir les carrés des vitesses (voir les calculs aux paragraphes 3.ap. 10, 4.a p. 13 et 4.b p. 14 ).

19

K est somme de termes en q̇2i ou q̇i q̇j notée classiquement sous l’une des deux formeséquivalentes (dans la seconde aij = aji) :

K =∑i

aii({qk}) q̇2i +∑

16i

exploiterons ici cette propriété en disant qu’un changement d’origine ne doit pas modifierl’expression formelle du lagrangien.

Nous partirons d’un système de points matériels, repérés par un indice i et de vecteurspositions −→r i. Changer d’origine revient à remplacer les −→r i par −→r ′i =

−→r i + −→ε où −→εest le même pour tous les points et indépendant du temps de sorte que les vitesses sontinchangées. Nous raisonnerons ici avec un −→ε infiniment petit.

Dans ce changement, le lagrangien formel L est remplacé par L′ = L + δL où δL estdonné par un développement au premier ordre soit :

δL =∑i

−−→grad−→r iL ·

−→ε

qui doit être nul (L formellement invariant) quelque soit −→ε , donc en exploitant leséquations de Lagrange et en retrouvant en coordonnées cartésiennes les quantités demouvement

−−→grad−→v i = mi

−→v i = −→p i (cf supra) :

−→0 =

∑i

−−→grad−→r iL =

ddt

(∑i

−−→grad−→v iL

)=

ddt

(∑i

−→p i

)=

d−→p totdt

Ce qui lie la conservation de la quantité de mouvement totale −→p tot à l’homogénéité del’espace comme celle de l’énergie l’est à l’homogénéité du temps.

6.c Conservation du moment cinétique.

L’espace est aussi isotrope en ce sens que les lois de la physique ne dépendent pas del’orientation du système isolé auquel on les applique. Nous exploiterons ici cette propriétéen disant qu’une rotation des axes ne doit pas modifier l’expression formelle du lagrangien.

Nous partirons d’un système de points matériels, repérés par un indice i et de vecteurspositions −→r i et de vitesses −→v i. Une rotation infiniment petite des axes revient (voir chan-gement de référentiel, chapitre B-I, ou mécanique des solides, chapitre B-VIII) à remplacerl’expression de tout vecteur

−→V par

−→V ′ =

−→V +

−→δV où

−→δV =

−→δϕ ∧

−→V avec

−→δϕ de direction

l’axe de rotation et de module l’angle de rotation. C’est en particulier le cas des vecteurspositions et des vecteurs vitesses.

Dans ce changement, le lagrangien formel L est remplacé par L′ = L + δL où δL estdonné par un développement au premier ordre soit, en utilisant les propriétés du produit

21

mixte :

δL =∑i

−−→grad−→r iL ·

−→δri +

∑i

−−→grad−→v iL ·

−→δvi = · · ·

· · · =∑i

−−→grad−→r iL · (

−→δϕ ∧ −→r i) +

∑i

−−→grad−→v iL · (

−→δϕ ∧ −→v i) = · · ·

· · · =∑i

[−→δϕ · (−→r i ∧

−−→grad−→r iL) +

−→δϕ · (−→v i ∧

−−→grad−→v iL)

]= · · ·

· · · =−→δϕ ·

∑i

[−→r i ∧ −−→grad−→r iL+−→v i ∧ −−→grad−→v iL]

qui doit être nul (L formellement invariant) quelque soit−→δϕ donc, avec par définition

(cf supra)−−→grad−→v i =

−→p i, grâce à aux équations de Lagrange qui donnent−−→grad−→r iL =

ddt

(−−→grad−→v iL

)= d

−→p idt et puisque

−→v i = d−→r idt :

−→0 =

∑i

[−→r i ∧ −−→grad−→r iL+−→v i ∧ −−→grad−→v iL] = · · ·· · · =

∑i

[−→r i ∧

d−→p idt

+d−→r idt∧ −→p i

]=

ddt

[∑i

−→r i ∧ −→p i

]

La quantité∑i

−→r i ∧−→p i où l’on reconnaît l’expression du moment cinétique calculée à

l’origine du repère, est donc une constante du mouvement, propriété liée donc à l’isotropiede l’espace.

7 Hamiltonien et équations de Hamilton.

7.a Définition et propriétés essentielles.

Pour un système décrit par N coordonnées généralisées, les N équations de Lagrangesont N équations différentielles d’ordre 2 à N variables. Si elles ne sont pas linéaires, ce quiest le cas le plus courant, une résolution algorithmique assistée par ordinateur s’impose.Malheureusement au contraire de la résolution algorithmique de équations d’ordre 1 qui estparfaitement maîtrisée, celle des équations d’ordre 2 souffre de graves problème de stabilitéet de convergence. La mécanique hamiltoniennne est une solution à cet inconvénient.

Pour un système décrit par les paramètres généralisé qi, on généralise la notion d’im-pulsion (ancien nom de la quantité de mouvement) en appelant impulsions généralisées lesgrandeurs pi = ∂L∂q̇i ; les équations de Lagrange s’écrivent alors

∂L∂qi

= dpidt = ṗi.

Soit un système décrit par le lagrangien L({qi}, {q̇i}, t), dépendant éventuellement du

22

temps de façon explicite ; sa différentielle est, compte tenu de ce qui précède :

dL =∑i

∂L

∂q̇idq̇i +

∑i

∂L

∂qidqi +

∂L

∂t=∑i

pi dq̇i +∑i

ṗi dqi +∂L

∂tdt

Par analogie avec la thermodynamique (définition de l’enthalpie ou de l’énergie libreà partie de l’énergie interne), on définit la fonction hamiltonienne ou plus simplement lehamiltonien du système par H =

∑i pi q̇i − L dont la différentielle est :

dH = (∑i

dpi q̇i+∑i

pi dq̇i)−(∑i

pi dq̇i+∑i

ṗi dqi+∂L

∂tdt) =

∑i

q̇i dpi−∑i

ṗi dqi−∂L

∂tdt

Ce qui montre en considérant H comme fonction des N coordonnées généralisées qiet des N impulsions généralisées pi (et éventuellement du temps) et en assimilant lescoefficients de dqi et dpi (et de dt) aux dérivées partielles que l’on a :

∂H

∂qi= −ṗi et

∂H

∂pi= q̇i

(et anecdotiquement ∂H∂t = −dLdt ) que l’on peut réécrire

ṗi = −∂H

∂qiet q̇i =

∂H

∂pi

qu’on appelle équations de Hamilton et qui sont 2N équations différentielles d’ordre 1dont les 2N variables sont les N coordonnées qi et les N impulsions pi, ce qui se prêtebeaucoup mieux aux résolutions algorithmiques.

Une remarque intéressante : si le hamiltonien ne dépend pas explicitement d’un qiparticulier, alors ṗi = −∂H∂qi = 0 et l’impulsion pi correspondante est une constante dumouvement.

7.b Application à un ensemble de points en interaction conservative.

On choisit les coordonnées cartésiennes des points, que l’on regroupe trois par troisde façon à présenter les dérivées partielles comme des gradients (cf supra) vis-à-vis desvecteurs positions −→r i ou formellement des vecteurs vitesses −→v i. On a vu au début de cechapitre que :

L =∑i

12mi−→v 2i − U({−→r k}), t)

où la dépendance vis-à-vis du temps existe ou non selon le contexte (cf supra).

On retrouve rapidement −→p i =−−→grad−→v iL = mi

−→v i d’où :

H =∑i

−→p i · −→v i − L =∑i

mi−→v 2i − L =

∑i

12mi−→v 2i + U({−→r k}), t)

23

ce qui montre que le hamiltonien se confond, dans ce contexte, avec l’énergie mécanique.

Attention toutefois, la philosophie du hamiltonien veut qu’on le considère comme fonc-tion des −→r i et des −→p i ; avec −→v i =

−→p imi

, on doit donc écrire :

H =∑i

−→p 2i2mi

+ U({−→r k}, t)

Pour mémoire les équations de Hamilton sont ici :

−̇→p i = −−−→grad−→r iH = −

−−→grad−→r iU({

−→r k}, t) =−→F i

d’une part (avec le lien classique entre force et énergie potentielle) et d’autre part

−→v i = −̇→r i =−−→grad−→p iH =

−→p imi

ce qui bien sûr n’apporte rien de plus que la mécanique lagrangienne.

7.c Application à l’interaction électromagnétique.

Comme pour l’approche lagrangienne, on raisonne sur une seule charge ponctuelle ; ilne restera qu’à faire une sommation sur toutes les charges. On part (voir paragraphe 5.ap. 16) de :

L =12m−→v 2 + q−→v ·

−→A (−→r , t)− q V (−→r , t)

L’impulsion est donc 7 :

−→p =−−→grad−→v L = m

−→v + q−→A

et le hamiltonien :

H = −→p · −→v − L =(m−→v 2 + q−→v ·

−→A)−(

12m−→v 2 + q−→v ·

−→A − q V

)=

12m−→v 2 + q V

qu’il faut exprimer en fonction de −→p et −→r (cf supra) soit avec m−→v = −→p − q−→A :

H =1

2m(−→p − q

−→A )2 + q V

A vrai dire les équations de Hamilton sont ici malaisées à exploiter et nous en resteronsà l’expression du hamiltonien que l’on a ici établi pour son intérêt en mécanique quantique 8.

7. avec un crayon et un bout de papier ou en retrouvant plus haut comment démontrer la relation−→A =

−−→grad−̇→r (

−̇→r ·−→A )

8. Toutefois, l’interaction magnétique n’est pas étudiée dans mon cours d’initiation à la mécaniquequantique.

24

7.d Méthode des perturbations en mécanique céleste.

Imaginons que nous voulions étudier l’influence de Jupiter sur le mouvement de laTerre. On simplifiera ici le système solaire ainsi : un soleil fixe (à l’origine masse M) etuniquement la Terre (masse mT , position −→r T et impulsion −→p T ) et Jupiter (masse mJ ,position −→r J et impulsion −→p J). En notant G la constante de gravitation universelle, lehamiltonien, qui s’identifie (cf supra) à l’énergie mécanique est :

H =1

2mJ−→p 2J +

12mT

−→p 2T −GM mJ‖−→r J‖

− GM mT‖−→r T ‖

− GmJ mT‖−→r T −−→r J‖

En première approximation le dernier terme, énergie potentielle d’interaction Jupiter-Terre est négligeable. Si l’on utilise les équations de Hamilton sans ce dernier terme, lesystème obtenu se séparera en un système d’équations pour Jupiter et un système pour laTerre, chacun d’entre eux redonnant une situation de mouvement à force centrale dont lessolutions sont connues et notées −→r J0(t) et −→r T0(t).

Un approximation plus fine consistera à introduire le terme négligé mais en y remplaçant−→r J et −→r T respectivement par −→r J0(t) et −→r T0(t) car l’erreur commise dans un termecorrectif est doublement négligeable. GmJ0(t)mT‖−→r T0(t)−−→r J‖ devient alors une fonction du temps quigénérera dans les équations de Hamilton des fonctions du temps qui maintiendront ledécouplage et ne compliqueront guère la résolution, les nouvelles solutions seront notées−→r J1(t) et −→r T1(t) et l’on peut itérer le processus.

Cette méthode dite des perturbations dans le cadre d’équations différentielles d’ordre 1s’avère très efficace et reste couramment utilisée en astrophysique, bastion resté fidèle à lamécanique rationnelle.

8 Crochets de Poisson.

On n’introduit cette notion uniquement pour son analogie avec les commutateurs enmécanique quantique et on taira leur intérêt en mécanique hamiltonienne car cela nous mè-nerait trop loin dans des domaines qui relèvent plus des mathématiques que de la physique.Cette partie sera donc traitée de façon minimaliste.

8.a Définition.

Soit un système repéré par les coordonnées généralisées qi associées aux impulsionsgénéralisées pi ; soit f et g deux fonctions des qi et des pi et éventuellement du temps. Ondéfinit le crochet de Poisson associé aux fonctions f et g par :

{f, g} =∑i

(∂f

∂pi

∂g

∂qi− ∂f∂qi

∂g

∂pi

)

25

qui est manisfestement linéaire vis-à-vis de f et de g (bilinéaire donc) et anti-symétrique(la permutation de f et g donne un résultat opposé).

8.b Crochets de Poisson et hamiltonien.

Dans le même contexte soit f une fonction des qi et des pi et éventuellement du temps.Pour un mouvement donné du système, on a, grâce aux équations de Hamilton :

ddt

[f({qi(t)}, {pi(t)}, t)] =∂f

∂t+∑i

∂f

∂qi

dqidt

+∑i

∂f

∂pi

dpidt

= · · ·

· · · = ∂f∂t

+∑i

(∂f

∂qi

∂H

∂pi− ∂f∂pi

∂H

∂qi

)=∂f

∂t+ {H, f}

Dans le cas d’une fonction f ne dépendant pas explicitement du temps (∂f∂t = 0), si{H, f} est nul, alors f({qi(t)}, {pi(t)}) est une constante du mouvement et réciproquement.On retrouvera le pendant de cette propriété en mécanique quantique.

8.c Crochets de Poisson et moments cinétiques.

Raisonnons sur un point matériel ; il sera aisé de généraliser par sommation. Si lescomposantes de son vecteur position −→r sont x, y et z et si celles de son vecteur impulsion−→p sont px, py et pz, alors celles de son moment cinétique L =

−→r ∧−→p sont Lx = y pz−z py,

Ly = z px − x pz et Lz = x py − y px.

Calculons le crochet de Poisson entre deux composantes de−→L , par exemple les deux

premières :

{Lx, Ly} = · · ·

· · · =(∂Lx∂px

∂Ly∂x− ∂Lx

∂x

∂Ly∂px

)+(∂Lx∂py

∂Ly∂y− ∂Lx

∂y

∂Ly∂py

)+(∂Lx∂pz

∂Ly∂z− ∂Lx

∂z

∂Ly∂pz

)= · · ·

· · · = [0 (−pz)− 0 z] + [(−z) 0− pz 0] + [y px − (−py) (−x)] = · · ·· · · = y px − x py = −Lz

On a donc {Lx, Ly} = −Lz et, par permutation circulaire, on peut affirmer que l’on a{Ly, Lz} = −Lx et {Lz, Lx} = −Ly ; l’anti-symétrie donne les trois autres crochets pos-sibles.

On retrouvera cette propriété en mécanique quantique et c’est pourquoi elle figure ici.

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