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Applications des mathématiques
Perspective
Jean-Marc Ledermann Lycée Denis-de-Rougemont
C(0)=H1(6)
B(0)=N1(9)
A(0)=G1(6)
I1(6)=O1(9)
D(0)=J1(6)
F(0)=K1(6)
M1(6)=Q1(9)
E(0)=P1(9)
S1(12)
L1(13)
FAB FBC
L’
Fp
L1’
N’
Q’
M’
’
M’
N’
K’
K’
Q’
G’
G’
l*
l
h*
Géométrie cotée Perspective – 1 –
1 Géométrie cotée
Avant de représenter des corps en perspective, il est nécessaire de décrire l'emplacement de
points et de droites dans l'espace. On utilise pour cela une méthode appelée géométrie cotée.
Pour fixer l'emplacement d'un point P de l'espace en géométrie cotée, on donne sa projection
orthogonale P1 sur le sol (le sol étant représenté par la feuille de papier) et on indique sa cote
(hauteur). La cote du point peut être indiquée, entre parenthèse, à côté de sa projection sur le
sol, ou simplement donnée par un texte.
Une droite d, définie par 2 points A et B, est donnée par sa projection d1 sur le sol complété
par les cotes et les projections sur le sol de A et de B.
Pour mesurer la vraie grandeur d'un segment AB donné les projections et cotes de A et de B,
on "rabat" sur le sol le plan vertical contenant ce segment. On obtient ainsi deux points, (A)
(se dit A–rabattu) et (B).
Le segment rabattu (A)(B) est en vraie grandeur, il a la même longueur que le segment AB.
Cette méthode de rabattement est utilisée pour toute mesure d’une vraie grandeur.
P1 (cote)
A1 (2 cm) B1 (3 cm)
d1
A1 (2 cm) B1 (3 cm)
d1
(B)
(A) (d)
3 cm 2 cm
P1
cote
sol
3 cm 2 cm
B
A
A1 B1
d1
d
3 cm 2 cm
B
A I=I1
A1
B1
d1
d
(A)
(B) 3 cm
2 cm
P
Géométrie cotée Perspective – 2 –
Exercices
1 Une droite d de l'espace est donnée par
la projection sur le sol et la cote de 2
points A et B.
En utilisant un rabattement de la droite d
sur le sol,
a) déterminer la cote du point C de d, C
donné par C1;
b) construire la projection D1 sur le sol
d’un point D de d dont la cote est
4 cm;
c) construire le point E de d dont la cote
est nulle;
d) construire la projection F1 sur le sol
d’un point F du segment AB, F situé à
distance 4 cm de A.
2 On donne un cube ABCDEFGH d'arête 5
cm, dont la face ABCD est sur le sol.
M est le milieu de l'arrête AB et N le mi-
lieu de EF.
Construire la vraie grandeur
a) du triangle CMN
b) du triangle CMF
3 Un tétraèdre régulier ABCD dont la face
ABC est sur le sol est donné par A et B.
Construire C1 et D1, puis trouver la cote
du point D.
4 On donne les points A (de cote nulle), B
(de cote 3 cm) et S (de cote 5 cm) ainsi
qu’une droite l du sol.
Les droites SA et SB coupent le plan ver-
tical contenant l en A' et B'.
Construire la vraie grandeur du segment
A'B'.
A1 (2 cm)
B1 (5 cm)
C1
A1
B1
l
A = A1 = E1 B = B1 = F1
C = C1 = G1 D = D1 = H1
A=A1
B1
S1
Perspective d’un objet Perspective – 3 –
2 Perspective d’un objet
On appelle perspective d’un objet O, la figure O’ de sa projection centrale sur un écran verti-
cal.
Le centre de la perspective est un point S par lequel passent les lignes de projections.
La droite d’intersection de l’écran et du sol est la ligne de terre notée l.
Pour le représenter la perspective A’ d’un point A sur une feuille (le sol), on rabat l'écran au-
tour de l sur le sol et l’on note encore A' le point obtenu.
S
S1
A
A1
A’
A’
l
S
S1
Écran
Objet O
Sol
Ligne de terre l
Perspective O’ de l’objet O
Centre S de la perspective (observateur)
Lignes de projections
l
Perspective d’un objet Perspective – 4 –
A1
A
S1
S
A’1
On considère une perspective de centre S sur un écran vertical donné par sa ligne de terre l.
Un point A étant donné, la construction de la perspective A' du point A se fait en utilisant un
rabattement sur le sol du plan vertical contenant les points S et A.
Marche à suivre de la construction de A’
Le point A est donné par sa cote et sa projec-
tion A1 sur le sol. La construction de la pers-
pective A' de centre S (donné par S1 et sa cote)
dans l'écran vertical donné par l peut se faire
de la façon suivante.
1) Construire A'1, intersection de la droite
S1A1 et de l.
2) Construire (A') en rabattant sur le sol le
plan vertical contenant S et A.
A1 (1 cm)
S1 (2 cm)
l
S1
S
A’1 A1
A
(A)
(S) (A’)
S
S1
A
(A)
(A’)
A’
l
A1
(S)
A1 (1 cm)
S1 (2 cm)
l A'1
A1 (1 cm)
S1 (2 cm)
l A'1
(A')
(S)
(A)
1 cm
2 cm
Perspective d’un objet Perspective – 5 –
3) Relever (A') pour obtenir A'.
La distance entre A'1 et (A') est la même
que celle entre A'1 et A'.
Exercices
5 La face ABCD d'un cube ABCDEFGH est sur le sol.
Construire la perspective A'B'C'D'E'F'G'H' de ce cube sur l'écran vertical passant par l, à
partir du point S, de cote 4 cm.
l
S1
A=A1=E1
B=B1=F1
C=C1=G1
D=D1=H1
S1
S
A’1 A1
A
(A)
(S) (A’)
A’
A1 (1 cm)
S1 (2 cm)
l A'1
(A')
(S)
(A)
A'
Perspective d’un objet Perspective – 6 –
6 La face ABC du tétraèdre régulier ABCD est dans le sol. Construire C1, D1 et la cote de D.
Construire ensuite la perspective A'B'C'D' du tétraèdre sur l'écran contenant l à partir du
point S.
S1
A1 B1
l
Cote de S
Perspective d’un objet Perspective – 7 –
7 Construire la perspective de 2 droites horizontales et parallèles a et b sachant que a est à
hauteur 3 cm et b à hauteur 1 cm.
Soit c,la parallèle à a et passant par S (de cote 6 cm). Construire le point d'intersection F
de c et de l'écran.
Ce point F est appelé le point de fuite de la direction des droites a, b et c.
8 Construire la perspective de centre S (de cote 2 cm) de 2 droites parallèles a et b sachant
que a passe par A (de cote 0) et B (de cote 2 cm) et que b passe par C (de cote 1 cm).
Soit c la droite parallèle à a passant par S. Construire le point d'intersection F de c et de
l'écran.
S1
l A1 C1
B1
b1 a1
S1
b1 a1
l
Points de fuite Perspective – 8 –
3 Points de fuite
Les perspectives a' et b' de deux droites parallèles a et b se coupent en un point F appelé point
de fuite. Les perspectives de toute les droites parallèles aux droites a et b passent par le même
point de fuite.
Le point de fuite F d'une droite a est l'intersection de la parallèle à a passant par S et de
l'écran.
Les points de fuite des droites horizontales ont la même cote que S, ils forment une droite
horizontale dans l’écran nommée ligne d'horizon et notée h.
Exemple
Deux droites a et b
sont horizontales et
parallèles; a est sur le
sol, la cote de b vaut 1
cm et la cote de S est
de 2 cm.
On construit d’abord la
perspective a’de a.
La droite a' passe par
l’intersection de a avec
l’écran (sur le sol, donc
sur la ligne de terre l)
et par la perspective A’
d’un point A de a.
a1
S1
l
b1
a1
S1
l
b1
2cm
a'
A1
A'
(A')
(S)
Imaginons que S représente l’œil d’un
observateur. S’il suit du regard un point
courant de la droite a qui s’éloigne, son
regard devient toujours plus parallèle à la
droite a à mesure que le point tend vers
l’infini. À la limite son regard sera paral-
lèle à a et le point (à l’infini) aura sa
perspective en F.
a
b
a'
b'
Point de fuite des droites a et b. Droite parallèle à a et passant par S.
F
s'
l
Points de fuite Perspective – 9 –
On construit encore la
perspective b’ de b.
b' passe par l’inter-
section de b avec
l’écran et par la pers-
pective B’ d’un point B
de b.
On constate que les
perspectives a’ et b’
des droites parallèles a
et b se coupent en un
point F, le point de
fuite de ces droites.
Ce point de fuite F est
l’intersection de l'écran
et d’une parallèle aux
droites a et b passant
par S.
Les droites étant hori-
zontales, F est situé sur
la ligne d’horizon h.
Toutes les parallèles à
a ont des perspectives
qui passent par F.
Remarque
On utilise souvent le point de fuite pour construire la perspective d' d'une droite horizontale d.
d est donnée par d1 et
sa cote, S par S1 et h.
La perspective d’ de d
passe par les points E’
(intersection de d et de
l’écran) et F (point de
fuite de d).
Intersection de d et de l'écran
l
h
S1
d1 cote de d
F
d'
Point de fuite de d
Parallèle à d1 passant par S1
E’
a1
S1
l
a' b'
b1
h F'
a1
S1
l
2cm
1cm
a' b'
B’ B1
b1
(S)
(B’)
(B)
Points de fuite Perspective – 10 –
Exercices
9 Construire la perspective de l'horizontale d (de cote 3 cm), la cote de S étant 5 cm.
Marche à suivre:
dessiner la ligne d'horizon h ;
construire A', perspective de l'intersection de d et de l'écran ;
construire F, le point de fuite de d ;
dessiner d' passant par A' et F.
10 Construire la perspective des points A et B du sol, puis du milieu M du segment AB.
Trouver le point X du segment AB tel que X' soit le milieu de A'B'. La cote de S est 5 cm.
N’effectuer aucun rabattement !
S1
l
d1
S1
l A1 = A
B1 = B
Points de fuite Perspective – 11 –
11 Un échiquier de 16 cases est peint sur le sol.
Construire, sur l'écran vertical donné par l et à partir du point S, la perspective de cet
échiquier.
S1 (4,5 cm)
l
Perspectives d'objets divers Perspective – 12 –
4 Perspectives d'objets divers
12 Construire la perspective sur l'écran vertical donné par l et à partir du point S, de la ma-
quette d’un bâtiment décrit ci-dessous.
Les points ABCD sont dans le sol, les points EFGH sont de cote 4 cm et les points I et J
de cote 6 cm.
Les faces du bâtiment sont opaques, sauf la face BFIGC.
Déplacer l en l* avant de rabattre l'écran.
La cote de S est 3 cm.
B1=B=F1
l*
l
S1
I1 C1=C=G1
J1 A1=A=E1 D1=D=H1
Perspectives d'objets divers Perspective – 13 –
6 cm
4 cm
3 cm
3 cm 1,5 cm
13 Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH de hauteur 3
cm est posé sur le sol.
Construire sa perspective sur un écran déplacé de l en l*.
Compléter cette perspective en trouant le volume
comme indiqué ci contre.
La cote de S est 4 cm.
A1 = E1
l*
l
S1
B1 = F1
C1 = G1
D1 = H1
Perspectives d'objets divers Perspective – 14 –
Remarques
1) Pour construire la perspective d'un segment, on peut le prolonger jusqu'à ce qu'il coupe
l'écran.
Exemple
Construction de la perspective d’un segment horizontal AB de cote 2 cm.
2) Pour construire la perspective d'un point, on utilise souvent une droite auxiliaire qui passe
par le point, en général une droite perpendiculaire à l'écran.
Exemple
Construction de la perspective A' d'un point A de cote 2 cm, en utilisant une droite p per-
pendiculaire à l'écran et passant par A.
h
l
S1
A1
h
l
S1
A1
Fp
2cm
A'
p1
p’
h
l
S1
A1
B1
h
l
S1
A1
B1
FAB
2cm
B' A'
Perspectives d'objets divers Perspective – 15 –
14 On donne un cube ABCDEFGH posé sur le sol par la perspective A'B' d'une arête dans le
sol. Construire la perspective du cube.
l
h
A'
B'
S1
Perspectives d'objets divers Perspective – 16 –
15 Construire la perspective de l'objet ABCDEFGHI formé d'un parallélépipède rectangle
de hauteur 4 cm surmonté d'une pyramide droite de hauteur 4 cm également. La cote de S
est 10 cm.
La base ABCD de l’objet est posée sur le sol.
S1
A1=E1
C1=G1
B1=F1
D1=H1
I1
l
h
Perspectives d'objets divers Perspective – 17 –
16 Un édifice à 2 blocs est posé sur le sol. La hauteur du grand bloc inférieur est 3 cm, celle
du petit bloc supérieur est 2 cm. La cote de S est 4 cm.
Construire la perspective de cet édifice.
l*
l
S1
Perspectives d'objets divers Perspective – 18 –
17 Une rue est bordée de bâtiments parallélépipédiques rectangles dont on donne la hauteur
(en cm).
La cote de S est 4 cm.
Construire la perspective de cette scène.
S1
l
6
2
11
2
11
8
l*
Perspectives d'objets divers Perspective – 19 –
18 Un tronc de pyramide régulière à base hexagonale est posé sur le sol, sa hauteur est de
3.5 cm.
Construire sa perspective.
l
l*
S1
h*
Perspectives d'objets divers Perspective – 20 –
19 On donne un parallélépipède rectangle ABCDEFGH posé sur le sol par sa perspective
ainsi que la perspectives de 3 points, K, un point de la face AEHD, L, un point de la face
ABFE et M, un point de la face EFGH.
Construire la perspective M1’ de la projection de M sur le sol, puis de construire la pers-
pective de la section du parallélépipède avec le plan contenant KLM.
K’
L’
l A’
B’ D’
E’
F’
G’
H’ M’
Perspectives d'objets divers Perspective – 21 –
20 On donne la perspective A'B'CD' d'une pyramide posée sur le sol.
Construire la projection A1B1C1D1 de cette pyramide sur le sol et donner la cote de D.
A'
B'
C'
D'
D'1
h
l
S1
cote de S
Perspective – 22 –
211 Construire la perspective intérieure de la maquette de la chambre ci-dessous. La cote de S
est 4 cm.
1 D'après un exercice d'un cours de perspective de la section d'architecture de l'EPFL.
S1
l
l*
h*
La chambre, d'une hauteur de 6
cm, comporte une porte d'une
hauteur de 5 cm, une armoire
munie d'une porte d'une hauteur
de 3 cm et d'une deuxième
armoire d'une hauteur de 2 cm.
Utilisation du logiciel Cabri Perspective – 23 –
5 Utilisation du logiciel Cabri
22 Avec le logiciel Cabri, dessiner une droite l, un point S, un point P ainsi qu'un segment
représentant la cote de S, comme représenté dans la figure ci-dessous.
a) Construire la perspective P' du point P du sol, puis cacher les traits de construction.
Indication : pour reporter la cote de S, sélectionner "Compas"
b) Tracer un cercle, puis faire appartenir le point P à ce cercle (via l’outil "Redéfinir un
objet") puis faire dessiner le lieu géométrique du point P' lorsque le point P parcourt
le cercle.
c) Construire la perspective d'un cercle c contenu dans un plan horizontal ainsi que
celle de la projection c1 de ce cercle dans le sol. Faire encore tracer le lieu géomé-
trique des segments verticaux qui relient un point P du cercle à sa projection dans le
sol P1 lorsque P parcours le cercle c.
23 Dans Cabri, se donner une droite l, un point S, un segment représentant la cote de S ainsi
qu'un carré ABCD, comme représenté dans la figure ci-dessous.
Le carré est formé de 4 segments, perpendiculaires deux à deux et de même longueur.
Construire la perspective du cube ABCDEFGH de base ABCD posée sur le sol.
Indications : construire la perspective d'un point (par exemple E), créer ensuite la macro
permettant de construire la perspective de ce point, puis appliquer cette
macro aux autres sommets du cube.
24 Refaire, en utilisant le logiciel Cabri, l’une ou l’autre des constructions des exercices pré-
cédents.
