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5/12/2018 Phd Renggli - slidepdf.com

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Resolution numerique d’equations de Navier-Stokes

parabolisees par des methodes d’elements finis

Loris Renggli

Departement de Mathematiques

Ecole Polytechnique Federale de Lausanne

CH-1015 Lausanne

ÉCOLE POLYTECHNIQUEFÉDÉRALE DE LAUSANNE

Novembre 1993



Typeset by AMS -LaTEX



Remerciements

Je voudrais en premier lieu adresser toute ma reconnaissance au docteur Philippe

Caussignac qui m’a incite a entreprendre ce travail et qui l’a dirige.

Je souhaite egalement apporter mes plus vifs remerciements a Madame le pro-fesseur L. Halpern, de l’Universite de Paris 13, ainsi qu’a Messieurs les professeurs

M. Deville, du Departement de Genie Mecanique de l’Ecole Polytechnique Federale

de Lausanne, et P. Lesaint, de l’Universite de Besancon, pour m’avoir fait l’honneur

d’etre membres du jury.

J’aimerais encore remercier tous mes collegues du Departement de Mathema-

tiques qui ont contribue par les nombreuses et interessantes discussions que nous

avons eues a l’elaboration de cette these.

Je voudrais aussi temoigner ma reconnaissance a toutes les autres personnes qui,directement ou indirectement, m’ont permis de mener a bien ce travail.

Enfin, je suis reconnaissant au Fonds National Suisse pour la Recherche Scienti-

fique qui a finance en partie ce travail.

i



ii



Resume

Nous nous interessons dans ce travail aux equations de Navier-Stokes parabolisees

bidimensionnelles incompressibles et compressibles.

Dans le cas incompressible, un resultat d’existence d’une solution est presentepour les equations linearisees. La technique utilisee s’inspire de la theorie des sys-

temes symetriques positifs de Friedrichs, en particulier pour la determination des

conditions aux limites. Quelques resultats sur une perturbation des equations sont

en outre etablis.

Ensuite, nous proposons un schema numerique base sur des elements finis dis-

continus pour lequel nous etablissons une majoration de l’erreur. Ce schema inclut

un terme de stabilisation sans lequel nous montrons que des instabilites peuvent ap-

paraıtre. Nous proposons egalement un algorithme de resolution pour les equationsnon lineaires.

La discretisation utilisee dans le cas incompressible est ensuite etendue au cas

compressible, et une methode d’adaptation de mail lage avec un critere base sur une

estimation de l’erreur d’interpolation est mise en œuvre.

Des resultats numeriques sont presentes dans le cas incompressible pour lequel

nous mettons en evidence les instabilites mentionnees plus haut. Dans le cas com-

pressible, des resultats sans et avec adaptation de mail lage sont presentes et permet-

tent de constater les avantages de la methode avec adaptation.

iii



iv



Abstract

In this work we deal with the 2-D Parabolized Navier-Stokes equations in both

the incompressible and compressible cases.

In the incompressible case, we give an existence result for the linearized equa-tions. We use techniques inspired from Friedrichs’ theory of symmetric positive

linear differential systems, particularly for the determination of the boundary condi-

tions. Some results concerning a perturbation of the equations are also presented.

Then, a numerical scheme based on discontinuous finite elements is proposed for

which we establish error estimates. This scheme includes a stabilization procedure

and we show that without it instabilities can occur. We also give an algorithm for

the resolution of the non-linear equations.

The discretization in the incompressible case is extended to the compressible caseand an adaptive mesh method is added based on an estimation of the interpolation

error.

Numerical results are presented for the incompressible equations and we also show

the above mentioned instabilities. Results in the compressible case are computed

without the adaptive mesh method and with it showing its advantages.

v



vi



Table des matieres

Introduction 1

1 Preliminaires 7

1.1 Le probleme physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Parabolisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Equations PNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Le probleme continu 13

2.1 Reformulation des equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Adimensionalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Forme symetrique des equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Systemes de Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Exemples de conditions aux limites admissibles . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Equations d’Euler incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2 Equations d’Euler isentropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Equations PNS incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.4 Equations PNS isentropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.5 Equations PNS compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Resultats d’existence et d’unicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Notations et definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.2 Formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.3 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Les equations PNS penalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Approximation numerique 51

3.1 Une discretisation pour les systemes de Friedrichs . . . . . . . . . . . 53

3.2 Un schema avec estimation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.1 Discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2 Estimation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.3 Instabilite de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

vii



viii

3.3 Discretisation dans le cas compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.1 Discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.2 Stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.3 Probleme non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Adaptation de maillage 75

4.1 Methode utilisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.1 Calcul des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.2 Choix des fonctions σn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Implantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1 Raffinage des maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.2 Structures de donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.3 Resolution des systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Resultats numeriques 89

5.1 Cas incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.1 Ordre de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.2 Instabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2 Cas compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.1 Couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.2 Plaque plane a Mach 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.3 Un cas a Mach 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.4 Ecoulement dans un conduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3 Commentaires finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

A Details du schema numerique 113

A.1 Matrices elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

A.2 Integration numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

A.3 Calcul des matrices M i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.5 Structures de donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.5.1 Stockage du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.5.2 Utilisation de MA28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Bibliographie 119

Curriculum vitæ 125



Table des illustrations

1.1 Corps emousse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Plaque plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Domaine Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Notations sur une bande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Decentrage amont. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1 Subdivision d’un element. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Subdivision illicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3 Nouveaux nœuds lors d’une subdivision. . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4 Arbre quaternaire et elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1 Test de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2 Cas instable : pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3 Cas instable : vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.4 Stabilisation : pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5 Stabilisation : vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.6 Couche limite : vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.7 Couche limite : temperature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.8 Maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.9 Nombre de Mach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.10 Pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.11 Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.12 Iteration 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.13 Iteration 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.14 Iteration 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.15 Iteration 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.16 Iteration 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.17 Iteration 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.18 Nombre de Mach (iteration 15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.19 Pression (iteration 15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.20 Temperature (iteration 15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.21 Ecoulement avec incidence : maillage initial. . . . . . . . . . . . . . . 1065.22 Maillage apres 14 iterations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.23 Pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.24 Detail du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

ix



x

5.25 Nombre de Mach dans la couche limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.26 Conduit : maillage initial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.27 Maillage apres 28 iterations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.28 Nombre de Mach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.29 Pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110



Introduction

Les equations de Navier-Stokes dites parabolisees sont issues de la dynamique

des fluides lorsque l’ecoulement considere est hypersonique. La recherche dans ce

domaine a ete particulierement active a la fin des annees 1950, debut des annees1960, lorsque debutait la conquete spatiale, puis a nouveau, dans une moindre me-

sure, au debut des annees 1970. Il s’agissait d’etudier les vols a tres haute altitude

et tres grande vitesse afin de permettre le retour sur terre des engins spatiaux, et

plus recemment de permettre la realisation de navettes spatiales ainsi que d’avions

hypersoniques. Les moyens informatiques a disposition a cette epoque n’etant de

loin pas aussi puissants qu’aujourd’hui, il etait indispensable si l’on desirait faire

une simulation numerique d’utiliser des equations plus simples que celles de Navier-

Stokes, mais qui permettaient neanmoins de tenir compte des phenomenes appa-

raissant lors d’ecoulements a tres grande vitesse. Et meme depuis l’avenement des

super-ordinateurs, les equations de Navier-Stokes restent de nos jours couteuses a

simuler, particulierement pour des fluides compressibles.

Le mot hypersonique a une definition peu precise; il est bien entendu qu’un

ecoulement hypersonique est supersonique, mais certains auteurs considerent que

le regime hypersonique est atteint si la vitesse est superieure a trois fois celle du

son, alors que d’autres le font debuter lorsque ce facteur est cinq. D’autres encorene parlent d’ecoulement hypersonique que lorsque non seulement la dynamique des

fluides est consideree, mais egalement les reactions chimiques dues aux tres hautes

temperatures apparaissant dans ces types d’ecoulements.

Lorsqu’un fluide s’ecoule autour d’un obstacle a une vitesse suffisamment elevee,

les effets dus a la viscosite sont concentres dans un voisinage proche de l’obstacle,

region appelee couche limite, et en aval de celui-ci. Une approche frequemment utili-

see pour simuler numeriquement un tel ecoulement consiste a considerer separement

la couche limite de la region au-dessus de celle-ci ou l’on neglige la viscosite de facon

1



2 Introduction

a obtenir des equations plus simples. Ainsi, on est amene a resoudre les equations

de la couche limite de Prandtl d’une part, et les equations d’Euler pour un fluide

ideal (i.e. sans viscosite) d’autre part. En regime hypersonique, cette approche n’estmalheureusement plus praticable. En effet, l’epaisseur de la couche limite est alors

proportionnelle au carre du nombre de Mach, et peut donc etre relativement grande,

voire meme s’etendre jusqu’au choc. Il n’est alors plus possible d’appliquer la theo-

rie habituelle de la couche limite qui permet le “decouplage” mentionne ci-dessus.

D’autres phenomenes peuvent se produire interdisant cette methode. Mentionnons

que c’est entre 1960 et 1965 que sont parus les premiers (et les seuls) ouvrages trai-

tant des ecoulements hypersoniques et qui sont aujourd’hui encore consideres comme

des ouvrages de reference. Pour une breve introduction a la dynamique des fluideshypersoniques, voir [And84] ainsi que [Ber88].

On a alors recours a des systemes d’equations dont la complexite peut etre consi-

deree comme etant a mi-chemin entre celle des equations de la couche limite et celle

des equations de Navier-Stokes, et qui sont valides aussi bien dans la couche limite

qu’en dehors de celle-ci. Un des premiers auteurs a avoir propose de telles equations

a ete Davis [Dav70]; elles sont connues sous le nom d’equations de la couche de

choc mince, et elles ont l’avantage d’etre de type parabolique, donc de resolution

numerique relativement aisee.

D’autres approximations ont ete proposees; les equations de Navier-Stokes para-

bolisees (que nous abregerons “PNS” d’apres la denomination anglaise Parabolized

Navier-Stokes equations) en sont un exemple et on pourra consulter [ATP84] pour

un expose plus complet.

Notons cependant qu’il existe plusieurs approximations dites parabolisees. Celle a

laquelle nous allons nous interesser, et qui est attribuee a Lubard et Helliwell [LH74],

s’obtient en supposant que les termes visqueux et de conduction thermique dans

une direction consideree comme privilegiee de l’ecoulement sont negligeables par

rapport aux termes de meme nature dans les autres directions. C’est sur la base

d’observations de resultats experimentaux qu’a ete fondee cette approximation qui

peut s’obtenir egalement de facon formelle en considerant les ordres de grandeurs

des differents termes apparaissant dans les equations de Navier-Stokes, comme pour

l’obtention formelle des equations de la couche limite, mais il n’est pas possible a

notre connaissance de rendre rigoureuse cette etude. Toutefois, Nataf [Nat89] donne

une justification a ces equations dans le cas incompressible et apres linearisation



Introduction 3

en montrant qu’il est possible de les obtenir en considerant la limite d’un certain

operateur lorsque la viscosite devient petite.

Contrairement a ce que leur nom pourrait laisser supposer, les equations de

Navier-Stokes parabolisees ne sont pas de type parabolique. C’est pourquoi Vigne-

ron et al. [VRT78] ont propose une modification de ces equations afin de les rendre

paraboliques; insistons sur le fait que bien qu’il soit fait mention dans la litterature

d’une methode de Vigneron pour resoudre les equations de Navier-Stokes paraboli-

sees, il s’agit en realite d’autres equations.

Les equations PNS ont fait l’objet d’une abondante quantite de publications

ces quinze dernieres annees. Nous allons, sans avoir la pretention d’etre exhaustif,citer quelques articles afin de cerner les difficultes rencontrees lors de la resolution

numerique de ces equations. Toutefois, seul l’aspect numerique est aborde, aucun

auteur, a notre connaissance, n’ayant aborde l’etude mathematique, a part Nataf

[Nat89] que nous avons deja mentionne.

Toutes les methodes numeriques sont basees sur des schemas de differences fi-

nies, a de rares exceptions pres pour lesquelles ce sont les volumes finis qui ont

ete utilises. Nous avons deja cite [LH74] qui ont propose une methode de resolu-

tion dans le cas compressible basee sur une methode de marche, i.e. les equations

sont resolues en suivant la direction privilegiee de l’ecoulement de facon explicite1;

par consequent, aucune condition aux limites a l’aval n’est imposee. Cependant,

les auteurs ont constate des instabilites se manifestant sous la forme de solutions

croissant exponentiellement qui ont recu le nom de “departure solutions”, car elles

apparaissent au depart de la methode de marche. Dans [VRT78], ce probleme est

resolu en faisant une analyse partielle des valeurs propres des matrices du systeme

d’equations aux derivees partielles ayant pour but d’identifier les termes respon-

sables de l’influence provenant de l’amont de l’ecoulement; cette analyse aboutit

a ne prendre en compte qu’une fraction du gradient de pression dans la direction

privilegiee, et de ce fait, modifie les equations a resoudre. Tres utilisee encore de nos

jours, cette approche possede le defaut de ne pas fournir une bonne approximation

lorsque la zone subsonique est grande. Rubin et Lin dans [RL80] s’interessent au

cas incompressible. Ils reconnaissent dans les “departure solutions” la manifesta-

tion d’un probleme mal pose, puisque les methodes de marche ne tiennent compte

1C’est une tentative pour exploiter le caractere parabolique de celles-ci.



4 Introduction

d’aucune condition aux limites a l’aval qui sont pourtant requises pour les equa-

tions PNS; ils affirment cependant que dans certains cas les solutions numeriques

sont satisfaisantes. Une methode de relaxation de la pression2

est introduite afin depouvoir continuer a utiliser malgre tout une methode de marche pour la resolution.

Elle consiste a resoudre iterativement les equations en utilisant la pression calculee a

l’iteration precedente. Ceci n’est pas penalisant au niveau des couts de calcul puisque

les equations non lineaires sont generalement resolues de facon iterative. Nous avons

experimente cette methode dans [CGLR90]. Chilukuri et Pletcher dans [CP80] trai-

tent egalement le cas incompressible et utilisent un algorithme iteratif ou la pression

est mise au second membre et, une fois le champ de vitesse calcule, la pression est

a son tour calculee en resolvant un probleme de Poisson. Les resultats numeriquessont compares avec des solutions calculees pour les equations de Navier-Stokes pour

des nombres de Reynolds relativement petits (10–7500) montrant un ecart de 5 pour

cent au plus. Schiff et Steger dans [SS80] anihilent egalement l’influence de l’amont

en supprimant les contributions des valeurs propres negatives dans la decomposition

spectrale des matrices jacobiennes des vecteurs de flux; c’est donc une technique as-

similable a celle de [VRT78]. Les conditions aux limites sont le sujet principal de

l’article [RS81] de Rudy et Strikwerda. Il sont en accord avec Oliger et Sundstrom

[OS78] pour affirmer qu’une condition aux limites est requise a l’aval et utilisent unemethode de resolution qui necessite en plus trois conditions aux limites numeriques.

La methode GPR est utilisee par Rubin et Reddy dans [RR83] avec la pression don-

nee comme condition aux limites a l’aval pour des ecoulements avec separation. Le

mauvais traitement des conditions aux limites par les methodes de marche est egale-

ment reconnu par Davis, Barnett et Rakich dans [DBR86] et ils font une analyse des

“departure solutions”. De plus, une methode de “shock fitting”3 est proposee dans

laquelle le choc est traite comme pour un fluide sans viscosite4. Dans sa these, Law-

rence [Law87] propose lui une methode originale basee sur une variante des schemas

de Roe pour les problemes hyperboliques. La methode des volumes finis est utilisee

par Gielda et Agarwal dans [GA89] en conjonction avec la methode de [VRT78].

Mentionnons encore que les equations PNS sont egalement utilisees pour le calcul

d’ecoulement dans des conduits; voir par exemple [Asl91]. Finalement, Rubin et

2La denomination anglaise est “global pressure relaxation” abregee aussi parfois “GPR”.3Le but de cette methode est de restreindre le domaine de calcul a la region situee entre l’obstacle

et le choc en determinant la position de ce dernier en meme temps que les equations sont resolues.4Sinon, le probleme de “shock fitting” serait mal pose; voir a ce sujet [BC92].



Introduction 5

Tannehill [RT92] est une reference recente faisant une revue des principales methodes

utilisees.

Nous pouvons relever deux points dans cette enumeration. Le premier est quece sont presque toujours des methodes de differences finies qui sont proposees; les

resolutions numeriques que nous allons decrire sont donc originales puisqu’elles sont

basees sur des elements finis. Quant au second, le traitement des conditions aux

limites est parfois discutable et a longtemps ete mal compris ou mal interprete (“de-

parture solutions”); nous repondrons partiellement a cette question en etablissant

des conditions donnant lieu a un probleme bien pose dans le cas incompressible et

lineaire.

Le decoupage en chapitres de ce travail est le suivant. Nous rapellerons tout

d’abord au chapitre 1 les equations de la dynamique des fluides newtoniens et nous

indiquerons comment les equations PNS sont obtenues. Au chapitre 2, nous transfor-

merons ces equations afin de les analyser en nous inspirant des systemes de Friedrichs

et nous presenterons des exemples de conditions aux limites obtenues pour les equa-

tions d’Euler et PNS en utilisant des notions empruntees a cette theorie. Un resultat

d’existence d’une solution faible sera demontre pour les equations PNS linearisees

dans le cas d’un fluide incompressible. Le chapitre 3 concerne l’approximation nume-

rique. Nous presenterons la discretisation et l’algorithme de resolution utilises, ainsi

qu’une estimation de l’erreur pour le cas incompressible. L’adaptation de maillage

fera l’objet du chapitre 4, et des resultats numeriques seront presentes au chapitre 5.



6



Chapitre 1

Preliminaires

1.1 Le probleme physique

Dans tout ce qui suit, nous nous limiterons a des ecoulements stationnaires et

bidimensionnels.

Commencons tout d’abord par examiner deux situations differentes d’application

des equations de Navier-Stokes parabolisees.

Considerons un corps dans un ecoulement hypersonique. Si le corps est emousse,

un choc detache se forme a l’avant du corps (cf. figure 1.1), et le domaine dans

choc

D

Figure 1.1. Corps emousse.

7



8 1. Preliminaires

lequel sont utilisees les equations PNS est indique par D; celui-ci peut etre delimite

par le choc ou s’etendre au-dela. Dans cette configuration, la direction privilegiee de

l’ecoulement est gouvernee par le profil du corps.Dans le cas d’une plaque plane, la situation est plus compliquee (cf. figure 1.2).

choc

couche limite

milieu continu

D

A

B

Figure 1.2. Plaque plane.

Le choc n’est pas detache, et au debut de la plaque le milieu n’est pas un continuum,

donc les equations de Navier-Stokes ne sont meme pas valides. Ensuite, le milieu peut

etre considere comme continu et une region (A) apparaıt dans laquelle la couche de

choc (i.e. la region entre la plaque et le choc) est confondue avec la couche limite.

Le domaine ou peuvent etre utilisees les equations PNS est designe par D, et plus

en aval, la situation peut eventuellement evoluer de facon a ce que les equations de

la couche limite conjointement avec les equations d’Euler soient applicables (B).



1.2. Notations 9

1.2 Notations

Avant de presenter les equations PNS, introduisons les grandeurs physiques quenous utiliserons dans de ce chapitre :

ρ masse volumique

u vitesse, u = (u, v)t

p pression

T temperature

e energie interne par unite de masse

E energie totale, E = ρ e + 12

ρ u2

µ viscosite

k conductivite thermique

c p, cv chaleurs specifiques

γ coefficient adiabatique, γ = c p/cv

R constante du gaz particulier, R = c p − cv

τ tenseur deviateur du tenseur des contraintes

d tenseur des taux de deformation

1.3 Parabolisation

Nous allons faire l’approximation de parabolisation decrite dans l’introduction;

a cette fin, nous allons tout d’abord exprimer les equations de Navier-Stokes com-

pressibles dans un repere cartesien. Nous ferons egalement quelques hypotheses sim-

plificatrices en supposant que certaines quantites sont constantes.



10 1. Preliminaires

1.3.1 Equations de Navier-Stokes

Les equations de conservation suivantes regissent l’ecoulement d’un fluide com-

pressible en l’absence de forces exterieures (voir par exemple [Ryh85]);

conservation de la masse

div(ρu) = 0 , (1.1)

conservation de la quantite de mouvement

ρ(u∇)u +∇ p−

div τ = 0 , (1.2)

conservation de l’energie

div

(E + p)u

− div(k ∇T ) = div(τ · u) . (1.3)

De plus, nous supposerons que le fluide considere est un gaz parfait regi par les

equations d’etat

e = cvT , (1.4)

p = ρRT . (1.5)

Lorsque le fluide est suppose newtonien , et en faisant l’hypothese de Stokes, on

peut exprimer le tenseur τ selon

τ = 2µd− 1

3I divu

, (1.6)

ou I designe le tenseur identite, et ou le tenseur d est

dij =1

2

∂ui

∂x j+

∂u j

∂xi

. (1.7)

La substitution de l’expression pour τ dans (1.2) fournit les equations de Navier-

Stokes. En eliminant de (1.3) l’energie E au profit de la temperature T grace a (1.4)

et en supposant c p, µ et k constantes, on obtient

∂

∂x (ρu) +

∂

∂y (ρv) = 0 , (1.8)



1.3. Parabolisation 11

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y+

∂p

∂x− µ

4

3

∂ 2u

∂x2+

∂ 2u

∂y2+

1

3

∂ 2v

∂x∂y

= 0 , (1.9)

ρu∂v

∂x+ ρv

∂v

∂y+

∂p

∂y− µ

∂ 2v

∂x2+

4

3

∂ 2v

∂y2+

1

3

∂ 2u

∂x∂y

= 0 , (1.10)

ρc p

u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y

−

u∂p

∂x+ v

∂p

∂y

− k

∂ 2T

∂x2+

∂ 2T

∂y2

= Φ , (1.11)

ou nous avons introduit la fonction de dissipation Φ = τ : d,

Φ = µ2∂u

∂x2

+ 2 ∂v

∂y2

−2

3 ∂u

∂x

+∂v

∂y2

+ ∂u

∂y

+∂v

∂x2

. (1.12)

Bien que ce soient (1.9)-(1.10) que l’on nomme equations de Navier-Stokes, nous

nous refererons au systeme (1.8)-(1.11) en ces termes, parfois meme selon equations

de Navier-Stokes completes, par opposition aux equations parabolisees.

1.3.2 Equations PNS

Nous supposerons que la direction privilegiee de l’ecoulement est selon l’axe

de coordonnee Ox; le systeme (1.8)–(1.11) est alors transforme en supprimant les

derivees partielles par rapport a x dans les termes de dissipation dus a la viscosite

et a la conduction thermique. Le nouveau systeme est alors

∂

∂x(ρu) +

∂

∂y(ρv) = 0 , (1.13)

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y+

∂p

∂x− µ

∂ 2u

∂y2= 0 , (1.14)

ρu∂v

∂x+ ρv

∂v

∂y+

∂p

∂y− µ

4

3

∂ 2v

∂y2= 0 , (1.15)

ρc p

u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y

−

u∂p

∂x+ v

∂p

∂y

− k

∂ 2T

∂y2= Φ , (1.16)

avec

Φ = µ∂u

∂y 2

+4

3 ∂v

∂y2

. (1.17)



12 1. Preliminaires

Ce sont les equations de Navier-Stokes parabolisees compressibles. Nous

nous interesserons egalement au cas ou le fluide est suppose incompressible, i.e. ρ =

constante. Le systeme se reduit alors a trois equations a trois inconnues, et sa formeest notablement plus simple puisque le tenseur τ exprime en (1.6) devient

τ = 2µd , (1.18)

d’ou

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 , (1.19)

ρu∂u∂x

+ ρv ∂u∂y

+ ∂p∂x

− µ ∂ 2u∂y2

= 0 , (1.20)

ρu∂v

∂x+ ρv

∂v

∂y+

∂p

∂y− µ

∂ 2v

∂y2= 0 . (1.21)

Mentionnons encore l’approximation pour un fluide isentrope, c’est-a-dire celle ou

l’equation d’etat (1.5) est remplacee par p = Aργ , A > 0 constante, permettant ainsi

d’eliminer une des deux inconnues ρ ou p et decouplant l’equation de conservation

de l’energie. Nous reviendrons plus en detail au § 2.3.2 sur cette approximation dans

le cas particulier d’un fluide ideal (µ = 0, equations d’Euler).

Pour terminer ce chapitre, notons qu’il est bien entendu possible d’effectuer cette

parabolisation dans un systeme de coordonnees curvilignes, et c’est generalement

sous cette forme que sont utilisees les equations PNS dans les problemes pratiques.

Cependant, le fait d’utiliser des coordonnees curvilignes ou cartesiennes n’affecte pas

les proprietes intrinseques des equations. C’est pour cette raison que nous utiliserons

uniquement des coordonnees cartesiennes.



Chapitre 2

Le probleme continu

Afin de pouvoir resoudre les equations introduites au chapitre 1, il faut encore

specifier un domaine du plan R2 dans lequel on desire les resoudre ainsi que des

conditions aux limites. Ce dernier point va etre etudie en s’inspirant de la theorie

des systemes symetriques positifs de Friedrichs rappeles au § 2.2. Mais auparavant

nous reformulerons certaines equations au § 2.1 afin de pouvoir appliquer (partielle-

ment) cette theorie, et le § 2.3 expose quelques exemples de conditions aux limites

obtenues dans ce cadre. Ensuite, un resultat d’existence d’une solution faible pour les

equations PNS incompressibles linearisees est presente au § 2.4; un resultat d’uni-cite est egalement etabli, mais avec l’aide d’une hypothese supplementaire sur la

regularite de la solution faible. Nous considererons finalement un probleme penalise

au § 2.5 pour lequel nous avons aussi un resultat d’existence et des resultats de

convergence.

13



14



2.1. Reformulation des equations 15

2.1 Reformulation des equations

Il sera plus commode d’introduire une notation matricielle pour etudier les sys-temes presentes au § 1.3; c’est l’objet du § 2.1.2, mais auparavant les equations

auront ete adimensionalisees au § 2.1.1. Enfin, le § 2.1.3 sera consacre a la lineari-

sation des equations.

2.1.1 Adimensionalisation

Les equations de la dynamique des fluides peuvent etre exprimees en utilisant des

variables sans dimension au lieu des variables “physiques”. Ceci permet de carac-

teriser des ecoulements similaires au moyen d’un nombre restreint de parametres.

Il est tres courant de s’interesser notamment a la similitude dynamique de deux

ecoulements. Notons qu’il y a plusieurs facons de proceder a l’adimensionalisation

des equations selon les phenomenes que l’on desire etudier.

Considerons donc l’ecoulement d’un fluide autour d’un obstacle et designons

par un indice “∞” la valeur des variables dans l’ecoulement non perturbe par la

presence de l’obstacle; nous introduisons alors les nouvelles variables sans dimensionsuivantes :

u∗ = u/u∞, ρ∗ = ρ/ρ∞, T ∗ = T/T ∞,

x∗ = x/L, y∗ = y/L, p∗ = p/(ρ∞u2∞),

ou L est une longueur caracteristique de l’obstacle, par exemple son diametre ou sa

longueur. Les nombres sans dimension suivants seront en outre d’un usage frequent :

nombre de Reynolds Re =ρ∞u∞L

µ

nombre de Prandtl P r =c pµ

k

nombre de Mach M ∞ =u∞√

γRT ∞



16 2. Le probleme continu

En substituant les variables adimensionnelles dans le systeme (1.13)–(1.16) il vient

div(ρ∗u∗) = 0 , (2.1)

ρ∗(u∗∇)u∗ +∇ p∗ − 1

Re

∂ 2u∗

∂y2= 0 , (2.2)

ρ∗u∗

(γ − 1)M 2∞∇T − u∗∇ p∗ − 1

(γ − 1)M 2∞ R e P r(

∂ 2T ∗

∂y2) = Φ , (2.3)

ou nous avons pose u∗ = (u∗, 4 v∗/3) et Φ = ∂ yu∗· ∂ yu

∗/Re . L’equation d’etat (1.5)

devient quant a elle

p∗ =ρ∗T ∗

γM 2∞. (2.4)

Ainsi, nous caracteriserons un ecoulement par la donnee de quatre parametres, a

savoir γ, M ∞ , R e , P r . Afin de ne pas surcharger inutilement les notations, nous

omettrons dorenavant les asterisques pour distinguer les variables adimensionnelles;

la presence (ou l’absence) des parametres ci-dessus dans les equations indiqueront

clairement quelles sont les variables utilisees le cas echeant.

2.1.2 Forme symetrique des equations

Dans le cas d’un fluide ideal (i.e. sans viscosite ni conductivite thermique), il est

connu que les lois de conservation regissant son ecoulement peuvent se mettre sous

la forme d’un systeme matriciel d’equations aux derivees partielles avec des matrices

symetriques (cf. [Smo83, Har83]). Pour le systeme (2.1)–(2.3), c’est encore possible.

En effet, eliminons tout d’abord la masse volumique ρ grace a (2.4) dans (2.1)–

(2.3); il vient

γM 2∞ p

T (u∇)u +∇ p − 1

Re

∂ 2u

∂y2= 0 , (2.5)

γ

γ − 1

pu

T 2∇T − u

T ∇ p − λ

Re T

∂ 2T

∂y2=

1

T Φ , (2.6)

γM 2

∞

p

T divu +

u

p∇

p −u

T ∇

T = 0 , (2.7)



2.1. Reformulation des equations 17

avec

λ = (γ

−1)M 2∞ P r

−1(2.8)

que l’on ecrit sous la forme

Ax(w)∂ w

∂x+ Ay(w)

∂ w

∂y− D(w)

∂ 2w

∂y2= F (w) , (2.9)

ou w = (u , v, T, p)t, et

Ax =

γM 2

∞

pu

T 0 0 1

0 γM 2∞ pu

T 0 0

0 0γ

γ − 1

p u

T 2− u

T

1 0 − u

T

u

p

, (2.10)

Ay =

γM

2

∞

pv

T 0 0 0

0 γM 2∞ pv

T 0 1

0 0γ

γ − 1

p v

T 2− v

T

0 1 − v

T

v

p

, (2.11)

D =1

Re

diag1,4

3

,λ

T

, 0 , (2.12)

F =

0, 0,1

T Φ, 0

. (2.13)

Si nous procedons de meme dans le cas d’un fluide incompressible, nous obtenons

un systeme de la meme forme que (2.9), mais avec w = (u,v,p)t, F = 0,

Ax(w)

∂ w

∂x + Ay(w)

∂ w

∂y − D

∂ 2w

∂y2 = 0 , (2.14)




et avec les matrices

Ax = u 0 1

0 u 0

1 0 0

, Ay = v 0 0

0 v 1

0 1 0

, (2.15)

D =1

Rediag (1, 1, 0) . (2.16)

2.1.3 Linearisation

Dans le cas incompressible, le systeme (2.14) est linearise autour d’un etat

constant w0 en remplacant w par w0 + ǫw+ o(ǫ) et en negligeant les termes d’ordre

superieur a ǫ. Comme la dependance en w de Ax(w), Ay(w) donnees en (2.15) est

lineaire, nous obtenons

Ax(w0)

∂ w

∂x+ Ay(w

0)∂ w

∂y− D

∂ 2w

∂y2= 0 . (2.17)

La linearisation du systeme (2.9) ne peut pas se justifier de la meme maniere

puisque cette fois la dependance en w de Ax(w), Ay(w) et D(w) donnees en (2.10)–

(2.12) n’est plus lineaire. Mais nous considererons le systeme de la forme analogue

a (2.17),

Ax(w0)

∂ w

∂x+ Ay(w

0)∂ w

∂y− D(w0)

∂ 2w

∂y2= F (w0) . (2.18)

Le systeme (2.17) peut maintenant etre etudie en s’inspirant des systemes de

Friedrichs.



2.2. Systemes de Friedrichs 19

2.2 Systemes de Friedrichs

Ce paragraphe a pour but de rappeler dans ses grandes lignes la theorie dessystemes d’equations aux derivees partielles symetriques du premier ordre exposee

dans [Fri58] 1, ainsi que d’introduire des notations que nous utiliserons dans la suite.

Les demonstrations des resultats que nous enoncerons sans preuve se trouvent dans

l’article cite.

Une des caracteristiques de cette theorie est la possibilite de ramener un probleme

d’analyse, a savoir existence et unicite de solutions, a un probleme algebrique. En

effet, il s’agit de mettre tout d’abord le systeme a resoudre sous une certaine forme,

ce qui peut requerir des manipulations algebriques, puis de trouver des matrices

ayant certaines proprietes qui definiront des conditions aux limites a prescrire de

facon a ce que le probleme possede exactement une solution.

Soit Ω un ouvert de Rn de frontiere Γ, C 1 par morceaux, dont la normale exte-

rieure unite sera notee ν , de composantes ν i, i = 1, . . . , n. Soit encore L2 = L2(Ω)m

muni du produit scalaire usuel,

(u,v)L2 = Ω (u, v) dx,

(u,v) etant le produit scalaire euclidien de Rm. Nous noterons l’espace des applica-

tions lineaires d’un espace U dans lui-meme par L(U ). L’espace des fonctions indefi-

niment derivables et a support compact sera note D(Ω), et nous posons D = D(Ω)m;

nous posons egalement C 1 = C 1

Ωm

.

L’operateur A est defini par

Au =n

i=1 Ai∂ u

∂xi+ K u , u

∈C 1 , (2.19)

ou Ai sont des matrices symetriques de L(Rm) dependant de x = (x1, . . . , xn)t et

appartenant a C 1(Ω, L(Rm)), et ou K ∈ L∞(Ω, L(Rm)).

L’adjoint de A au sens des distributions est defini par la relation

(Aϕ,ψ)L2 = (ϕ, A∗ψ)L2 ∀ϕ,ψ ∈ D ,

1Cet article est d’une lecture plutot ardue, les notations et les concepts ayant passablementevolue depuis sa parution; pour une reference plus recente avec une presentation sommaire maisavec des exemples, voir [DL88].




et son expression est

A∗u =−

n

i=1 Ai∂ u

∂xi+ K t

−

n

i=1∂Ai

∂xi u .

Comme pour le cas de la theorie variationnelle des problemes aux limites ellip-

tiques, la notion de coercivite joue ici un role important.

Definition 2.1 A est dit coercif s’il existe une constante α > 0 telle que

(Au,u)L2 αu2L2 ∀u ∈ C 1 . (2.20)

Pour trouver des conditions suffisantes de coercivite de l’operateur A, integrons

par parties le membre de gauche de (2.20); comme

Ω

Ai

∂ u

∂xi,u

dx =

Ω

∂ u

∂xi, Aiu

dx

= − Ω

u,

∂Ai∂xi

u

dx−

Ω

u, Ai

∂ u

∂xi

dx +

+ Γ (u, ν iAiu) dγ ,

en posant

C = K + K t −ni=1

∂Ai∂xi

,

B =ni=1

ν iAi sur Γ ,

nous obtenons une egalite d’energie

2(Au,u)L2 = Ω

(C u,u) dx + Γ

(Bu,u) dγ ∀u ∈ C 1 . (2.21)

Definition 2.2 L’operateur A est dit positif si quel que soit x ∈ Ω la matrice C

est definie positive.

Remarque 2.1 Si A est positif, alors A∗ l’est aussi, et reciproquement. (Il suffit de

constater que la matrice C est la meme pour les deux operateurs).




Definition 2.3 Une matrice M ∈ C 0(Γ, L(Rm)) telle que quel que soit x ∈ Γ,

M + M t est semi-definie positive ,

est dite semi-admissible; des conditions aux limites homogenes definies par

(B − M )u = 0 sur Γ

sont dites egalement semi-admissibles.

Ainsi, au vu de (2.21), un operateur positif avec des conditions aux limites semi-

admissibles est coercif .

Considerons le probleme (P ) suivant. Etant donnee f ∈ L2 et M semi-admissible,trouver u telle que

Au = f dans Ω ,

(B − M )u = 0 sur Γ .

Definition 2.4 Une fonction u ∈ L2 est dite solution faible du probleme (P )

ci-dessus si elle satisfait

(u, A∗

ϕ)L2 = (f ,ϕ)L2 ∀ϕ ∈ C 1

, ϕ ∈ Ker(B + M t

) sur Γ . (2.22)

La condition ϕ ∈ Ker(B + M t) apparaissant dans (2.22) provient du calcul

suivant. Nous integrons par parties le terme Au apres l’avoir multiplie par une

fonction ϕ ∈ C 1,

(Au,ϕ)L2 = (u, A∗ϕ)L2 + Γ

(Bu,ϕ) dγ ; (2.23)

or, si u verifie les conditions aux limites u ∈ Ker(B − M ) sur Γ,

Γ

(Bu,ϕ) dγ = 12 Γ

((B − M )u,ϕ) dγ + 12 Γ

((B + M )u,ϕ) dγ

=1

2

Γ

u, (B + M t)ϕ

dγ ,

Ainsi, lorsque ϕ ∈ Ker(B + M t), l’integrale de bord disparaıt de (2.23).

Nous definissons encore le probleme adjoint (P ∗). Etant donnee f ∈ L2 trouver

u telle que

A∗u = f dans Ω ,

(B + M t)u = 0 sur Γ .




pour lequel les conditions aux limites sont aussi semi-admissibles. En effet, si M est

semi-admissible pour A, alors M t l’est pour A∗.

Enoncons maintenant un resultat d’unicite lorsque la solution est suffisamment

reguliere.

Lemme 2.1

Les problemes (P ) et (P ∗) ont au plus une solution dans C 1.

Friedrichs donne plusieurs resultats d’existence de solutions. Pour ce qui est des

solutions faibles, on a le

Theoreme 2.2

Si A est positif et M semi-admissible, alors le probleme (P ) possede une solution

faible u quelle que soit f ∈ L2 et cette solution verifie

uL2 1

αf L2 .

Les autres resultats que donne Friedrichs assurent l’existence de solutions faibles

plus ou moins regulieres lorsque le second membre est lui aussi regulier, mais moyen-nant certaines hypotheses supplementaires sur A.

Lorsque l’on obtient une solution faible d’un probleme, celle-ci ne verifie gene-

ralement pas les conditions aux limites que l’on s’etait donnees au sens classique,

mais dans un certain sens a preciser (par exemple au sens des traces). Dans le cas

present, il faut exiger une condition supplementaire pour qu’une telle interpretation

soit possible lorsque la solution est suffisamment reguliere, a savoir

Im(B − M ) ∩ Im(B + M ) = 0 , (2.24)

qui est equivalente a

Ker(B − M ) + Ker(B + M ) = Rm . (2.25)

Definition 2.5 Une matrice M semi-admissible verifiant (2.24) ou (2.25) est dite

admissible; par extension, des conditions aux limites donnees au moyen d’une telle

matrice seront aussi dites admissibles.




Remarque 2.2 Il existe toujours au moins une matrice admissible, a savoir la ma-

trice ayant les memes vecteurs propres que B mais dont les valeurs propres sont les

valeurs absolues des valeurs propres de B, notee √B2

.

Il n’y a pas unicite de la solution faible en general. C’est pourquoi on introduit

la definition suivante.

Definition 2.6 Une solution u du probleme (P ) est dite solution forte si elle est

limite d’une suite ukk∈N, uk ∈ C 1,uk ∈ Ker(B − M ) dans la norme du graphe de

l’operateur A, i.e.

limk→∞ ( uk − uL2 + Auk − f L2 ) = 0

En utilisant (2.21), il est facile de voir qu’une solution forte, lorsqu’elle existe, est

unique. Friedrichs a demontre des resultats d’existence de solutions fortes sous cer-

taines hypotheses. Le resultat suivant de Lax et Phillips [LP60] requiert moins d’hy-

potheses que les resultats de Friedrichs.

Theoreme 2.3

Soit A positif, Γ de classe C

2

, M admissible et Ker(B − M ) variant continument sur Γ ; alors le probleme (P ) possede exactement une solution forte pour toute f ∈ L2.

Pour terminer ce paragraphe, nous allons demontrer un resultat qui concerne

le nombre de conditions aux limites a prescrire sur le bord; ce resultat est souvent

utilise dans la litterature mais nous n’en avons pas trouve de preuve.

Theoreme 2.4

Si les conditions aux limites sont admissibles, alors leur nombre est egal au nombre

de valeurs propres negatives de la matrice B.

Demonstration

Decomposons l’espace Rm selon les sous-espaces propres associes aux valeurs propres

positives, negatives et nulles de la matrice B (certains de ces sous-espaces peuvent

etre eventuellement reduits a 0 ) :

Rm = E + ⊕ E − ⊕ E 0.

Nous allons utiliser les deux lemmes suivants.




Lemme 2.5

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et une forme bilineaire symetrique sur

E . Soient E +, respectivement E −, des sous-espaces de E de dimension maximale

sur lesquels la forme est definie positive, respectivement definie negative, et soit E 0

le sous-espace sur lequel la forme est degeneree. Alors, on a la decomposition

E = E + ⊕ E − ⊕ E 0,

et les dimensions des sous-espaces sont independantes de la decomposition obtenue.

Lemme 2.6

Si M est admissible, alors le sous-espace N

+

= Ker(B − M ) est maximal pour la condition (Bu,u) 0.

Ainsi E 0 ⊂ N + (puisque N + est maximal), et par le lemme 2.5 on a donc

dim N + = dim E + + dim E 0,

autrement dit

codim N +

= dim E −

,

mais codim N + est justement le nombre de conditions aux limites, d’ou le resultat.

Nous ne demontrons que le lemme 2.6. Pour une demonstration du lemme 2.5,

voir [Gre67], chapitre IX.

Demonstration du lemme 2.6

Le cas N + = Rm est trivial, nous supposerons donc N + Rm. Par l’absurde, soit unsous-espace N contenant strictement N + et tel que l’on ait encore (Bu,u) 0 sur

N . Comme M est admissible, il existe u0 ∈ N −∩N , u0 /∈ N + ou N − = Ker(B +M ).

Posons x = u0 + λu+, λ ∈ R, u+ ∈ N +; donc x ∈ N et par hypothese

(Bx,x) = 2λ

Bu0,u+

+ λ2

Bu+,u+ 0 ,

ceci quel que soit λ. Comme u+ est quelconque, on en deduit

Bu0,u+ = 0 ∀u+ ∈ N +.




De facon analogue, en posant x = u0 + λu− on peut demontrer que

Bu0,u− = 0

∀u−

∈N −.

Puisque N + + N − = Rm, on a donc

(Bu0,u) = 0 ∀u ∈ Rm ,

d’ou on en tire que Bu0 = 0. Mais on a aussi M u0 = 0 (car u0 ∈ N −), donc

u0 ∈ N +, contradiction.

Remarque 2.3 La notion de maximalite pour les conditions aux limites est attri-

buee par Friedrichs a Lax qui l’a utilisee notamment dans ses etudes des systemes

hyperboliques. Friedrichs donne une demonstration du lemme 2.6 dans son article,

ainsi que de sa reciproque, i.e. pour tout sous-espace maximal, il existe une matrice

M admissible.

Remarque 2.4 Les resultats d’existence de solutions fortes s’obtiennent en consi-

derant la limite de solutions faibles regularisees, ce sont des resultats difficiles a etablir. D’autre part, il existe des preuves d’existence de solutions fortes necessitant

des hypotheses moins restrictives que celles du theoreme 2.3 (voir [PS66]).




2.3 Exemples de conditions aux limites

admissibles

La theorie du paragraphe precedent peut s’appliquer a de nombreux systemes

d’equations aux derivees partielles et permet de determiner des conditions aux li-

mites homogenes donnant lieu a un probleme bien pose. Remarquons que pour

imposer des conditions inhomogenes, il suffit de relever les conditions aux limites,

ce qui revient a ajouter un second membre au systeme d’equations.

Nous allons presenter quelques exemples de conditions aux limites admissibles

pour des problemes poses dans le domaine Ω = (0, 1) × (0, 1); le bord Γ de Ω est

decompose selon Γ = Γ− ∪ Γ+ ∪ Γ1 ∪ Γ2 ou

Γ− = (x, y) ∈ Ω : x = 0 , 0 < y < 1 ,

Γ+ = (x, y) ∈ Ω : x = 1 , 0 < y < 1 ,

Γ1 = (x, y) ∈ Ω : y = 0 ,

Γ2 = (x, y) ∈ Ω : y = 1 ,

et nous posons Γ0 = Γ1 ∪ Γ2, Γ± = Γ− ∪ Γ+. Sur le bord Γ de Ω, la normale

c

x

y

Γ 1

Γ 2

Γ +

Γ − n

c

nΩ

Figure 2.1. Domaine Ω.

exterieure unite sera notee n = (nx, ny). Nous supposerons donne un champ vectoriel

c = (c, d) ∈ C 1(Ω)2, tel que

c · n = 0 sur Γ0 , (2.26)

c · n < 0 sur Γ− , c · n > 0 sur Γ+ . (2.27)

Remarque 2.5 L’admissibilite des conditions aux limites est une notion indepen-

dante de la positivite du systeme. En effet, c’est en considerant l’egalite d’energie



2.3. Exemples de conditions aux limites admissibles 27

(2.21) que nous avons ete amenes a requerir la positivite des deux integrales au

membre de droite afin que l’operateur A de (2.19) soit coercif, mais ce ne sont

pas des conditions necessaires. Aussi, nous presenterons des conditions aux limites admissibles meme lorsque le systeme n’est pas positif 2.

Nous poserons les equations des paragraphes qui vont suivre dans un cadre infor-

mel; en particulier, il ne sera pas fait mention des espaces fonctionnels dans lesquels

elles sont considerees; lorsqu’il sera possible de les mettre sous forme de systemes

de Friedrichs, le cadre fonctionnel est celui du paragraphe precedent. D’autre part,

nous considererons uniquement des equations lineaires, et nous omettrons de men-

tionner chaque fois que les equations traitees sont obtenues apres linearisation le cas

echeant.

2.3.1 Equations d’Euler incompressibles

Considerons le probleme de trouver (u, p)t tel que, dans Ω

(c∇)u +∇ p = f ,

divu = h ,(2.28)

pour (f , h)t donne. Nous allons etablir des conditions aux limites admissibles pour

ces equations. En posant

Ax =

c 0 1

0 c 0

1 0 0

, Ay =

d 0 0

0 d 1

0 1 0

, (2.29)

w = (u,v,p)t

, F = (f , h)t

, (2.30)

on recrit alors (2.28),

Ax∂ w

∂x+ Ay

∂ w

∂y= F .

La matrice C pour les equations d’Euler est ainsi

C = − diag(div c, div c, 0) ,

2Nous demontrerons d’ailleurs au paragraphe 2.4 l’existence d’une solution aux equations PNSincompressibles (qui ne forment pas un systeme positif ) avec des conditions aux limites admissibles.




qui n’est pas definie positive. Comme dit dans la remarque 2.5, il est malgre tout

possible de considerer les conditions admissibles de ce systeme. Mais auparavant,

mentionnons un probleme penalise qui peut etre utilise pour la resolution numeriquede (2.28) et pour lequel la theorie s’applique. Nous considerons le probleme perturbe

suivant. Trouver (uǫ, pǫ) tel que(c∇)uǫ +∇ pǫ = f ,

divuǫ + εpǫ = h ,(2.31)

ou ε > 0. La matrice C pour ce systeme est

C = diag(− div c, − div c, 2ε),

qui est definie positive des que div c < 0. Il est cependant possible de s’affranchir

de cette derniere condition sous certaines hypotheses en faisant le changement de

variables w = weαx, avec α > 0 que nous allons determiner. Le nouveau systeme

est alors

Ax∂ w

∂x+ Ay

∂ w

∂y+ (K ε + αAx) w = F , (2.32)

ou nous avons pose

K ε = diag(0, 0, ε) ,et dont la matrice C correspondante est

C =

2αc − div c 0 2α

0 2αc − div c 0

2α 0 2ε

.

On peut se convaincre que si div c = 0 et c > 0 dans Ω, alors (2.32) est bien un

systeme de Friedrichs des que α < c ε, et les conditions aux limites pour (2.31) seront

definies de la meme facon que pour (2.28), car les matrices B de ces deux systemessont identiques.

Remarque 2.6 L’interet de cette penalisation est donc de permettre d’aboutir a

un probleme entrant dans le cadre de la theorie du paragraphe precedent; d’autre

part, notons que la meme perturbation est utilisee pour le probleme de Stokes (voir

[BF91]) permettant d’inclure l’equation d’incompressibilite dans une formulation

mixte et rendant ainsi, dans une certaine mesure, son traitement numerique plus

aise. Nous reviendrons sur les equations PNS perturbees de la meme facon au §2.5.




Reprenons notre investigation du systeme (2.28) et donnons des conditions aux

limites admissibles.

• Sur Γ− (amont), la matrice B est

B =

−c 0 −1

0 −c 0

−1 0 0

,

dont les valeurs propres sont les racines du polynome (c + λ)(λ2 + λc − 1), i.e.

λ0 = −c, λ± = 12

(−c ± √c2 + 4) ; (2.33)

il y a donc deux valeurs propres negatives (puisque c > 0 par (2.27)), et en vertu du

theoreme 2.4 il faut prescrire deux conditions aux limites. Une matrice admissible

est

M =

c 0 −1

0 c 0

1 0 0

. (2.34)

En effet, M est semi-definie positive, et comme

B − M =

−2c 0 0

0 −2c 0

−2 0 0

, B + M =

0 0 −2

0 0 0

0 0 0

,

on a bien Im(B

−M )

∩Im (B + M ) =

0

. Les conditions aux limites sont donc

donnees par

(B − M )

u

v

p

= 0, i.e. u = v = 0.

• Sur Γ+ (aval),

B =

c 0 1

0 c 0

1 0 0

,




ayant une seule valeur propre negative, il faut donc specifier une condition aux

limites. Une matrice admissible est

M =

c 0 −10 c 0

1 0 0

, (2.35)

qui donne la condition aux limites p = 0.

• Sur Γ2,

B =

0 0 0

0 0 1

0 1 0

, M =

0 0 0

0 0 1

0 −1 0

,

avec u · n = 0 comme condition aux limites.

• Sur Γ1 on obtient la meme condition aux limites que sur Γ2.

D’autres conditions aux limites peuvent etre obtenues, par exemple au moyen de la

matrice

M =

c 0 1

0 c 0

−1 0 0

, (2.36)

qui fournit les conditions aux limites

cu + p = 0

v = 0

sur Γ− ,

u = u ·n = 0 sur Γ+ .

2.3.2 Equations d’Euler isentropes

Nous considerons a nouveau le cas d’un fluide ideal, mais cette fois avec l’equation

d’etat

p = Aργ , A > 0 constante (fluide isentrope).

La vitesse du son est alors donnee par

a = γp

ρ = Aγργ −1




et le systeme d’equations a considerer deduit des equations de conservation (1.1)–

(1.3) apres linearisation est

ρ0(c∇)u +∇ p = f ,

ρ0 divu +1

a2c∇ p = h .

Afin de simplifier l’analyse, posons ρ0 = 1 et supposons a constante. On obtient

Ax∂ w

∂x+ Ay

∂ w

∂y= F , (2.37)

avec

Ax = c 0 1

0 c 01 0

c

a2

, Ay = d 0 0

0 d 10 1

d

a2

,

et w, F donnes par (2.30). Comme dans le cas incompressible, c’est un systeme

de Friedrichs des que div c < 0; ou alors en faisant le changement de variables

w = weαx, nous pouvons etablir que si

• c > a, alors c’est un systeme de Friedrichs des que

α > 0 si div c = 0,

α > maxdiv c

2(c − a)sinon ;

• c < a, alors c’est un systeme de Friedrichs des que

maxdiv c

2(c + a)< α < min

div c

2(c − a)si div c < 0 et c > 0 .

Pour donner des conditions aux limites, nous aurons besoin de considerer les parties

du bord ou le champ c donne est superieur, respectivement inferieur, a la vitesse du

son a; nous posons donc

Γs = (x, y) ∈ Γ : c(x, y) > a,

Γi = (x, y) ∈ Γ : c(x, y) < a.

La matrice B de (2.37) sur Γ− est

B =

−c 0 −1

0 −c 0

−1 0 −c

a2

,




ayant trois valeurs propres strictement negatives si c > a, deux sinon. Donc il faut

specifier deux conditions aux limites sur Γ− ∩ Γi, et trois sur Γ− ∩ Γs. La matrice

M =

c 0 10 c 0

1 02

c− c

a2

donne les conditions aux limites cu + p = 0, v = 0 sur Γ− ∩ Γi. Sur Γ+, la matrice

B est

B =

c 0 1

0 c 0

1 0c

a2

,

qui a trois valeurs propres positives ou nulles si c a, seulement deux si c < a. Il

ne faut donc aucune condition sur Γ+ ∩ Γs et une sur Γ+ ∩ Γi. La matrice

M =

c 0 1

0 c 0

1 02

c− c

a2

donne la condition aux limites p = 0 sur Γ+

∩Γi.

Finalement, sur Γ0 on peut montrer que la condition u · n = 0 est admissible.

2.3.3 Equations PNS incompressibles

Les equations sont ici dans Ω

(c∇)u +∇ p − µ∂ 2u

∂y2= f ,

divu = h .

(2.38)

Pour se ramener a un systeme du premier ordre, nous introduisons les inconnues

auxiliaires r = ∂u/∂y, s = ∂v/∂y et (2.38) devient

Ax∂ w

∂x+ Ay

∂ w

∂y+ K w = F , (2.39)

avec les matrices

Ax =

Ax 0

0 0

, Ay =

Ay At

A 0

, At =

−µ 0

0 −µ

0 0

,




ou Ax, Ay sont les matrices des equations d’Euler donnees par (2.29), et avec

K = diag(0, 0, 0, µ , µ),

w = (u,v,p,r,s)t, F = (f , h, 0, 0)t .

A nouveau, le systeme (2.39) est positif des que div c < 0, et en ce qui concerne les

conditions aux limites, il est evident que sur Γ± nous obtiendrons que les conditions

admissibles pour les equations d’Euler incompressibles le sont egalement dans le cas

present.

Sur Γ0, B = ±Ay, et la matrice

M =

0 0 0 −µ 0

0 0 1 0 −µ

0 −1 0 0 0

µ 0 0 0 0

0 µ 0 0 0

(2.40)

fournit les conditions u = v = 0 sur Γ2; les memes conditions sur Γ1 s’obtiennent

par la matrice −M . En echangeant M et −M , c’est-a-dire en prenant −M sur Γ2

et M sur Γ1, on obtient les conditions

∂u

∂y= 0 ,

− p + µ∂v

∂y= 0 .

La matrice M =

A2x sur Γ± interviendra dans la discretisation des equations

(voir § 3.2). Donnons son expression pour determiner quelles conditions aux limites

elle fournit.

M =

A2x =

1

∆

c2 + 2 0 c

0 ∆ c 0

c 0 2

, ∆ =√

c2 + 4 ,

et, en utilisant les notations introduites en (2.33),

Ax − M =2

∆

cλ+ − 1 0 λ+

0 0 0

λ+ 0 −1

, Ax + M =

2

∆

−cλ− + 1 0 −λ−

0 c∆ 0

−λ− 0 1

.




Les conditions aux limites sont donc

uλ−

− p = 0

v = 0 sur Γ− ,

uλ+ − p = 0 sur Γ+ .

2.3.4 Equations PNS isentropes

Mentionnons qu’il est possible d’obtenir des resultats similaires pour les equa-

tions PNS isentropes puisque, a nouveau, les conditions sur Γ+ et Γ− seront les

memes que celles pour les equations d’Euler isentropes (2.37), et qu’une matriceanalogue a (2.40) donne les memes conditions sur Γ0 que ci-dessus, c’est-a-dire

u = v = 0.

2.3.5 Equations PNS compressibles

Nous n’avons pas pu trouver de matrices admissibles pour les equations PNS

compressibles. Cependant, pour ce qui est des conditions aux limites sur Γ− et Γ+,

nous pouvons considerer la matrice Ax (2.10) et determiner le nombre de conditionsaux limites au moyen du theoreme 2.4. Il faudrait donc a priori calculer les valeurs

propres de Ax et determiner leur signe. Une facon simple de connaıtre le signe de ces

valeurs propres consiste a remarquer que les trois premiers mineurs principaux de

Ax sont positifs; il suffit alors de calculer le determinant et de considerer son signe.

Nous notons (abusivement) u, p, T , les fonctions provenant de la linearisation des

equations et apparaissant dans la matrice Ax; nous avons

det(Ax) =

γ 2M 2∞γ − 1

p2u2

T 4 M 2∞ u

2

− T .

La vitesse du son locale a est donnee (en variables adimensionnelles) par

a2 = γRT T ∞u2∞

=T

M 2∞.

Par consequent, le determinant de Ax est

det(Ax) =

γ 2M 4∞γ − 1

p2u2

T 4 u2

− a2 ,



2.4. Resultats d’existence et d’unicite 35

et nous concluons donc que Ax n’a aucune valeur propre negative si u > a, seulement

une si u < a. Ce qui donne les nombres de conditions aux limites recapitules dans

le tableau suivant.

Γ− (amont) Γ+ (aval)

u < a 3 1

u > a 4 0

Nous choisirons

A2x comme matrice M et sur Γ0, il est possible de montrer que

les conditions aux limites u = v = T = 0 sont semi-admissibles pour le systeme

linearise (2.18) ramene a un systeme du premier ordre de la meme facon que pour(2.38)–(2.39).

2.4 Resultats d’existence et d’unicite

Bien que le systeme des equations PNS incompressibles (2.38) ne soit pas positif

au sens de Friedrichs, il est possible de demontrer l’existence d’une solution avec

certaines conditions aux limites admissibles. Cette demonstration se fera en utili-

sant la meme demarche qu’au § 2.2 en posant un probleme faible et son adjoint.

Cependant, comme nous le verrons, la solution faible que l’on obtient ne possede

que peu de regularite a priori. Aussi, pour demontrer un resultat d’unicite, nous

ferons une hypothese supplementaire de regularite.

Le systeme que nous allons considerer dans le domaine Ω defini au paragraphe

precedent n’est pas celui donne en (2.39) qui est du premier ordre, mais le systeme

(2.38) que l’on ecrit sous la forme

Ax∂ w

∂x+ Ay

∂ w

∂y− D

∂ 2w

∂y2= e , (2.41)

avec les matrices Ax, Ay, definies en (2.29), D definie en (2.16) et w = (u, p)t,

e = (f , h)t. Les conditions aux limites que nous imposerons sont les suivantes,

u = 0 sur Γ0 ∪ Γ− ,

u · n = 0 sur Γ+ .




En outre, nous supposerons que le champ donne c ∈ C 1

Ω2

verifie

div c = 0 dans Ω ,c · n = 0 sur Γ0 ,

c > 0 sur Γ± .

2.4.1 Notations et definitions

Nous reprendrons les notations deja introduites au § 2.2, sauf pour le produit

scalaire euclidien de Rm qui sera note par “

·”. Pour alleger l’ecriture, les derivations

partielles seront aussi notees ∂ x, ∂ y au lieu de ∂/∂x, ∂/∂y. Les notations usuelles

pour l’espace L2(Ω) et les espaces de Sobolev H k(Ω) seront utilisees; cependant nous

omettrons systematiquement l’indice Ω pour noter les produits scalaires, normes et

semi-normes correspondantes comme . 0, . 1, | . |1, et nous utiliserons abusive-

ment la meme notation pour le produit scalaire et la norme d’un espace que pour le

produit scalaire et la norme d’une puissance de cet espace.

Nous introduisons les espaces fonctionnels suivants :

L20(Ω) =

f ∈ L2(Ω) :

Ω

f dx = 0

, (2.42)

X = L2(0, 1; H 10(0, 1))2 × L20(Ω) , (2.43)

Y = L2(Ω)2 × L2

0(Ω) , (2.44)

V =

(u, p)t ∈ H 1(Ω)3 : u = 0 sur Γ0, p ∈ L20(Ω)

, (2.45)

V K =w ∈ V : w ∈ Ker(B + M t) sur Γ±

, (2.46)

ou B = nxAx+nyAy est la matrice associee aux equations (2.41) et M est la matriceadmissible donnee par (2.34) sur Γ− et par (2.36) sur Γ+.

L’espace X est muni du produit scalaire

(w,w′)X = Ω

(u · u′ + ∂ yu · ∂ yu′ + pp′) dx

ou w = (u, p)t, w′ = (u′, p′)t, et c’est un espace de Hilbert dont la norme corres-

pondante est

w2X = u

20 + ∂ yu

20 + p

20 .




2.4.2 Formulation faible

Nous procedons comme pour les systemes de Friedrichs; l’equation (2.41) est

multipliee par une fonction test w′ ∈ D(Ω)3 puis est integree par parties. Il vient

Ω

w′ · (Ax∂ xw + Ay∂ yw) − ν u′ · ∂ 2yu

dx =

Ω(w · (−Ax∂ xw

′ − Ay∂ yw′) + ν∂ yu · ∂ yu

′) dx , (2.47)

avec ν = 1/Re . Aussi, nous definissons la forme bilineaire

a : X × V → R ,a(w,w′) =

Ω

(w · (−Ax∂ xw′ − Ay∂ yw

′) + ν∂ yu · ∂ yu′) dx

= Ω

(u · (−(c∇)u′ −∇ p′) + ν∂ yu · ∂ yu′ − p divu′) dx ,

et nous sommes maintenant en mesure de poser le probleme faible.

Probleme (P ). Etant donne e ∈ Y , trouver w ∈ X tel que

a(w,w′) = (e,w′)L2 ∀w′ ∈ V K . (2.48)

La demonstration de l’existence d’une solution de (P ) fait appel au probleme faible

adjoint (P ′).

Probleme (P ′). Etant donne e′ ∈ X , trouver w′ ∈ V K tel que

a(w,w

′

) = (e

′

,w)X ∀w ∈ X . (2.49)

2.4.3 Resultats

Commencons par demontrer le resultat d’unicite suivant pour le probleme

adjoint.

Lemme 2.7

Le probleme (P ′

) possede au plus une solution.




Demonstration

Dans (2.49), prenons w = w′; il vient au membre de gauche en integrant par parties

a(w′,w′) = Ω

(w′ · (−Ax∂ xw′ − Ay∂ yw′) + ν∂ yu′ · ∂ yu′) dx

= Ω

(w′ · (Ax∂ xw′ + Ay∂ yw

′) + ν∂ yu′ · ∂ yu

′) dx +

− Γw′ · Bw′ dγ ;

(2.50)

donc

a(w′,w′) = −1

2

Γ±w′ · Bw′ dγ + ν ∂ yu

′20

=1

2 Γ±w′ · M tw′ dγ + ν ∂ yu′20 ,

(2.51)

puisque w′ ∈ Ker(B + M t); on obtient

ν ∂ yu′20 +

1

2

Γ±w′ · M tw′ dγ = (e′,w′)X . (2.52)

Si maintenant w′ est solution de (P ′) pour e′ = 0, alors, puisque M t est semi-definie

positive, on a ∂ yu′

= 0, ce qui entraıne u′

= 0 car u′

s’annule sur Γ0. En substituantce resultat dans (2.49) il vient

a(w,w′) = − Ωu ·∇ p′ dx = 0 ∀w ∈ X ,

et on en deduit que ∇ p′ = 0 donc p′ = 0 puisque p′ ∈ L20(Ω).

Interessons-nous maintenant aux solutions de (P ′).

Lemme 2.8

Tout w′ ∈ V K est solution de (P ′) pour un second membre e′ ∈ X .

Autrement dit, l’operateur qui au second membre e′ du probleme adjoint associe,

lorsqu’elle existe, la solution w′ est surjectif.

Demonstration

Fixons w′ ∈ V K ; alors, a( · ,w′) definit sur X une forme lineaire continue. Le theo-

reme de representation de Riesz permet d’affirmer qu’il existe un unique e′ ∈ X




tel que

a(w,w′) = (e′,w)X ∀w ∈ X.

Posons maintenant

H = e′ ∈ X : ∃w′ ∈ V K solution de (P ′) avec e′ au second membre .

H n’est evidemment pas trivial en vertu du lemme 2.8. Pour e ∈ Y fixe, definissons

la forme lineaire

L : H −→ R

e′ −→ L(e′) = (e,w′)L2 ,

ou w′ est la solution de (P ′) correspondant au second membre e′; L est bien definie

par le lemme 2.7. Nous allons exhiber une solution de (P ) dans X en prolongeant

la forme L sur X et en utilisant a nouveau le theoreme de representation de Riesz;

mais auparavant, il faut demontrer la continuite de L.

Lemme 2.9

La forme L est continue sur H muni de la norme de X .

Demonstration

Il faut demontrer que la norme

LH ′ = supe′∈H

e′

X=0

|L(e′)|

e′

X

est bornee. En utilisant l’inegalite de Cauchy-Schwarz, on a que

|L(e′)| = |(e,w′)L2| f 0u′0 + h0 p′0 . (2.53)

Il suffit donc de demontrer que e′X majore u′0 et p′0. Nous noterons par C 1,

C 2, etc. les constantes apparaissant dans les majorations.

Une premiere majoration de p′0 est obtenue en choisissant w = (u, 0) dans (2.49)

avec u ∈ H 10 (Ω)2.




En integrant par parties (2.49), il vient

a(w,w′) = Ω (u

·(

−(c∇)u′

−∇ p′) + ν∂ yu

·∂ yu

′) dx

= Ω

(u′ · (c∇)u + p′ divu + ν∂ yu · ∂ yu′) dx

= (e′,w)X

= Ω

(f ′ · u + ∂ yf ′ · ∂ yu) dx ,

puis en utilisant les inegalites de Cauchy-Schwarz et de Poincare Ω

p′ divu dx C 1u1

u′0 + ν ∂ yu

′0 + f ′0 + ∂ yf

′0

.

Or, on sait que (cf. [GR79])

inf p∈L2

0

p0=0

supu∈H 1

0

u1=0

Ω

p divu dx

p0u1 β > 0 , (2.54)

donc

p′0 C 2

u′0 + ν ∂ yu

′0 + f ′0 + ∂ yf ′0

. (2.55)

Nous procedons maintenant a une majoration de u′0.

Pour u′ ∈ L2(0, 1; H 10(0, 1))2, on a l’inegalite de Poincare

u′0 C 3∂ yu′0 . (2.56)

En appliquant l’inegalite de Cauchy-Schwarz au second membre de l’egalite (2.52)

et en utilisant (2.55), (2.56) ainsi que l’admissibilite de M , on a

ν ∂ yu′

20 Ω (f

′

· u′

+ ∂ yf ′

· ∂ yu′

+ h′

p′

) dx

f ′0u′0 + ∂ yf ′0∂ yu

′0 + h′0 p′0 C 4∂ yu

′0f ′0 + ∂ yf

′0

+ C 2h′0

(C 3 + ν )∂ yu′0 + f ′0 + ∂ yf

′0

donc

∂ yu′20 C 5∂ yu

′0f ′0 + ∂ yf

′0 + h′0

+ C 6h′0 f ′0 + ∂ yf ′0 (2.57)




On utilise maintenant plusieurs fois l’inegalite de Young; (2.57) est de la forme

γ 2 C 5γ (α + β ) + C 6αβ

12

γ 2 +12

C 25

α2 + 2αβ + β 2

+12

C 6

α2 + β 2

,

donc

γ 2

2C 25 + C 6

α2 + β 2

.

Autrement dit,

∂ yu

′

2

0

C 7e′

2

X , (2.58)

et par (2.56),

u′0 C 8e′X . (2.59)

Donc nous avons etabli la premiere des deux majorations cherchees.

Reprenons la majoration (2.55); grace a (2.56), (2.58), elle devient

p′

0 C 2 (C 3 + ν )∂ yu′

0 + √2 e′

X C 9e′X .

(2.60)

En combinant (2.59), (2.60) dans (2.53) nous obtenons finalement

|L(e′)| C 10e0e′X , (2.61)

ce qui termine la demonstration.

Nous sommes maintenant en mesure de demontrer l’existence d’une solution pour

le probleme (P ).

Theoreme 2.10

Le probleme (P ) possede au moins une solution dans X qui verifie

wX C e0 , (2.62)

ou C > 0 est une constante.




Demonstration

L etant continue pour la norme de X , le theoreme de Hahn-Banach peut s’appliquer

et permet de la prolonger sur X en une forme notee L qui verifie

LH ′ =LX′

.

Par le theoreme de representation de Riesz, il existe un unique w ∈ X tel que

L(e′) = (w, e′)X ∀e′ ∈ X .

Si e′ ∈ H ⊂ X , on a L(e′) = L(e′) et

L(e′) = (e,w′)L2 ,

L(e′) = (e′,w)X = a(w,w′) ,

donc, en vertu du lemme 2.8,

a(w,w′) = (e,w′)L2 ∀w′ ∈ V K ,

ce qui montre que w est solution de (P ). Comme le theoreme de representation de

Riesz definit une isometrie et grace a l’inegalite (2.61), nous deduisons l’inegalite

wX =LX′

= LH ′ C e0 .

En supposant plus de regularite pour la solution faible, nous pouvons montrer le

resultat suivant.

Theoreme 2.11Si la solution faible de (P ) est dans V , alors elle verifie (2.41) au sens des distribu-

tions, les conditions aux limites au sens des traces, et elle est unique.

Demonstration

Posons w′ = (u′, 0) avec u′ ∈ D(Ω)2 dans (2.48); nous obtenons

a(w,w′) = Ω

(u · (−(c∇)u′) + ν∂ yu · ∂ yu′ − p divu′) dx

= Ω f · u′ dx , ∀u′

∈ D(Ω)2

,




donc

(c∇)u +∇ p

−∂ 2yu = f en distribution . (2.63)

De meme, en prenant w′ = (0, p′) avec p′ ∈ D(Ω), on a

a(w,w′) = Ω

−u ·∇ p′ dx

= Ω

divu p′ dx

= Ω

h p′ dx , ∀ p′ ∈ D(Ω) ,

ce qui signifie que

divu = h en distribution . (2.64)

Pour ce qui est des conditions aux limites, on a d’abord u = 0 au sens des traces sur

Γ0 car w ∈ V . En utilisant maintenant f et h donnes par (2.63), (2.64) au second

membre de (2.48) (ce qui est licite puisque (2.63) montre que ∂ 2yu ∈ L2(Ω) ), et en

integrant par parties, il vient

Γ±w′ · Bw dγ = 1

2 Γ±w′ · (B − M )w dγ = 0 ∀w′ ∈ V K , (2.65)

car w′ ∈ Ker(B + M t); ce qui signifie que les conditions aux limites sur Γ± sont

bien verifiees puisque M est admissible.

L’unicite se demontre en etablissant une egalite d’energie analogue a (2.52). En

multipliant (2.41) par w et en posant e = 0 au second membre, il vient en integrant

par parties

12 Γ±

Bw ·w dγ + ν Ω

(∂ yu)2 dx = 12 Γ±

(u · u)(c · n) dγ + ν ∂ yu20 = 0 ,

ce qui implique que u = 0 car c · n > 0 sur Γ± et u = 0 sur Γ0. En substituant

cette valeur pour u dans (2.48) on trouve

− Ω

p divu′ dx = Ω∇ p · u′ dx = 0 ∀u′ ∈ V k ,

d’ou p = 0 puisque p ∈ L20(Ω).




2.5 Les equations PNS penalisees

Au§

2.3.1 nous avons presente une perturbation des equations d’Euler donnant

lieu a un systeme de Friedrichs; nous allons maintenant considerer les equations PNS

perturbees de la meme facon et leur appliquer les methodes utilisees au paragraphe

precedent. Le probleme obtenu peut etre utilise pour la resolution numerique des

equations PNS, voir [BCR].

En procedant comme au § 2.4.2, nous definissons la forme bilineaire

aε : X × V → R ,

aε(w,w′

) = a(w,w′

) + ε ( p,p′

)L2 ,

avec ε > 0, et nous considerons le probleme faible (P ε) correspondant.

Probleme (P ε). Etant donne e ∈ Y , trouver wε ∈ X tel que

aε(wε,w′) = (e,w′)L2 ∀w′ ∈ V K .

Le probleme adjoint (P ′ε) se definit a partir du probleme (P ε) d’une facon ana-

logue a celle utilisee au § 2.4.2 pour definir le probleme (P ′) a partir du probleme

(P ), aussi nous ne l’ecrirons pas explicitement. En reprenant les raisonnements du

§ 2.4.3 et en les appliquant au probleme (P ε) on aboutit au resultat suivant.

Theoreme 2.12

Le probleme (P ε) possede au moins une solution wε ∈ X qui verifie

wεX C e0 (2.66)

ou C > 0 est une constante independante de ε. De plus, si wε ∈ V , alors la solution

est unique.

Demonstration

Il suffit de suivre le meme cheminement que pour la demonstration du theoreme 2.10;

il est immediat d’etablir les lemmes analogues aux lemmes 2.7 et 2.8 pour le probleme

faible adjoint (P ′ε). Ensuite, en examinant attentivement la demonstration du lemme

2.9, nous constatons que la majoration (2.55) est encore vraie pour le probleme (P ε)

car le terme ε p n’intervient pas. La majoration (2.59) utilise essentiellement (2.52)



2.5. Les equations PNS penalisees 45

dont la version pour le probleme (P ε) fait apparaıtre un terme positif au membre

de gauche, donc (2.59) reste vraie aussi. Nous concluons alors de la meme facon que

pour le theoreme 2.10.

Il est naturel de se poser la question de savoir ce qu’il se passe lorsque ε tend

vers zero. Une premiere reponse est donnee par le resultat suivant.

Theoreme 2.13

Soit wεε une suite de solutions du probleme (P ε) pour ε tendant vers zero. Alors

on peut extraire une sous-suite qui converge faiblement dans X vers une solutiondu probleme (P ).

Demonstration

La suite wεε est bornee independamment de ε en vertu de (2.66). On peut donc

en extraire une sous-suite qui converge faiblement vers un element w0 ∈ X ; nous

noterons wεkk∈N cette sous-suite. D’autre part, pour w′ fixe, a( · ,w′) et aε( · ,w′)

sont lineaires et continues, et

aε(w,w′) − a(w,w′) = ε ( p,p′)L2 ,

donc

|aε(w,w′) − a(w,w′)| ε p0 p′0 εwX p′0 ,

d’ou, lorsque ε → 0,

supw∈X

wX=0

aε(w,w′) − a(w,w′)

wX ε

p′

0 →0 ,

ce qui signifie que aε( · ,w′) converge fortement dans X ′ vers a( · ,w′). Lorsque εk →0, comme wεk w0, on a (cf. [Bre83], prop. iii.5)

aεk(wεk ,w′) → a(w0,w′) ∀w′ ∈ V K ,

ce qui demontre que w0 est solution faible du probleme (P ).




Il est possible d’obtenir une sous-suite de solutions du probleme perturbe (P ε) qui

converge fortement en introduisant la notion de solution forte analogue a celle pour

les systemes de Friedrichs (definition 2.6); nous posons d’abord

V 0 = w ∈ V : w ∈ Ker(B − M ) sur Γ± (2.67)

et nous definissons la forme bilineaire

aε : V 0 × X → R ,

aε(w,w′) = Ω

(Ax∂ xw + Ay∂ yw) ·w′ + ν∂ yu · ∂ yu

′

dx + ε ( p,p′)L2 .

La forme bilineaire correspondante pour le probleme non perturbe (i.e. ε = 0) sera

notee a.

Nous posons ensuite la definition suivante.

Definition 2.7 Pour ε 0, wε ∈ X est dite solution forte du probleme (P ε)

(respectivement (P ) lorsque ε = 0) s’il existe une suite w jε j∈N ⊂ V 0 telle que

i) lim j→∞

w jε −wε

X

= 0 ;

ii) lim j→∞

supw′∈X

w′X=0

aε(w j

ε,w′

) − (e,w′

)L2w′X = 0 .

Remarque 2.7 Il est immediat de voir que toute solution forte est faible.

Une solution forte est unique. Plus precisement, nous avons le theoreme suivant.

Theoreme 2.14

Si wε est solution forte de (P ε), alors elle verifie

wεX e0 , (2.68)

et par consequent elle est unique.

Demonstration

La majoration (2.68) s’obtient en procedant comme dans les lemmes 2.7 et 2.9, mais

en utilisant la forme aε. Fixons w′ = (u′, 0) avec u′ ∈ H 10(Ω) et posons

δ j =

aε(w jε,w

′)

−(e,w′)L2

w′X .




En integrant par parties aε(w jε,w

′), il vient

aε(w jε,w

′)

−(e,w′)L2 = Ω −u

jε

·(c∇)u′

− p jε divu′ + ν∂ yu

·∂ yu

′

dx

−(e,w′)L2

= δ jw′X .

Par consequent, Ω

p jε divu′ dx

u′1

δ j + C 1u jε0 + ν

∂ yu jε

0

+ e0

,

et en utilisant (2.54) nous trouvons (comparer avec (2.55))

p jε0 C 2 δ j + u jεX + e0 .

En passant a la limite lorsque j → ∞, il vient

pε0 C 3 (uεX + e0) ,

puisque δ j → 0 par hypothese.

Nous omettrons la suite de la demonstration car elle se fait en continuant a suivre

celle du lemme 2.9 et aboutit a (2.68).

Moyennant l’hypothese que le probleme (P ε) possede des solutions fortes, on a le

resultat suivant.

Theoreme 2.15

S’il existe ε0 tel que le probleme (P ε) possede une solution forte wε pour tout

ε ∈ ]0, ε0], alors wε → w0 dans X lorsque ε → 0 et w0 est solution forte

de (P ); de plus, on a la majoration

wε −w0X C ε e0 , (2.69)

ou C > 0 est une constante independante de ε.

Demonstration

Considerons une suite εkk∈N ⊂ ]0, ε0] telle que limk→∞

εk = 0.

a) Soient les solutions fortes wεn, wεm de (P εn), (P εm) respectivement. Puisque

aεn(w jεn −w jεm,w′) = aεn(w jεn,w′) − aεm(w jεm,w′) + (εm − εn) p jεm, p′L2 ,




nous voyons que (wεn −wεm) est solution forte de (P εn) mais avec le second membre

(0, (εm − εn) pεm)t. La majoration (2.68) donne alors

wεn −wεmX C |εm − εn| e0,

ce qui montre que wεkk∈N est une suite de Cauchy dans X.

b) Par hypothese, le probleme (P ε) possede une solution forte pour tout ε ∈ ]0, ε0],

donc nous considerons la suite de solutions fortes wεkk∈N, ou wεk est solution du

probleme (P εk), qui est une suite de Cauchy en vertu du point a) et dont la limite

est w0 = limk→∞

wεk . Nous allons construire une suite dans V 0 satisfaisant i) et ii) de

la definition 2.7 avec w0 a la place de wε et a a la place de aε demontrant ainsi que

w0 est solution forte de (P ).

Fixons δ > 0; on a

∃K 1 tel que wεk −w0X δ

2des que k K 1 ,

∃K 2 tel que εk

δ

2+ C e0

δ

2des que k K 2 ,

et posons K = max(K 1, K 2). Comme wεk est solution forte,

∀k, ∃ J (k) tel que w jεk −wεkX δ

2

etaεk(w jεk ,w′) − (e,w′)L2

δ

2w′X des que j J (k) .

Donc la suite w jεkk∈N ⊂ V 0 verifie pour j J (k) avec k K w jεk −w0

X

w jεk −wεk

X

+ wεk −w0X δ ,

et i) est satisfait. Pour montrer que ii) l’est aussi, on calcule pour k K et w′ fixe

a(wJ (k)εk ,w′) − (e,w′)L2

a(wJ (k)εk ,w′) − aεk(wJ (k)εk ,w′)

+ aεk(wJ (k)εk ,w′) − (e,w′)L2 .

Or, d’une part nous avonsa(wJ (k)εk ,w′) − aεk(wJ (k)εk ,w′) = εk

pJ (k)εk , p′L2

εkw′X

pJ (k)εk − pεk

0

+ pεk0

εkw′X

δ

2+ C e0

δ

2w′X




et, d’autre part,

aεk(wJ (k)εk ,w′)

−(e,w′)L2

δ

2w′

X ,

d’ou

a(wJ (k)εk ,w′) − (e,w′)L2 δw′X .

Comme w′ est quelconque, ii) est bien verifie.

c) Finalement, la majoration (2.69) s’obtient comme au point a) en remarquant

que w0 − wε est solution du probleme (P ) pour le second membre (0, ε pε) et enappliquant l’inegalite (2.66).

Remarque 2.8 En faisant le meme changement de variables qu’au § 2.3.1 pour les

equations d’Euler penalisees, les equations PNS penalisees peuvent se mettre sous la

forme d’un systeme de Friedrichs. Par consequent, il doit etre possible de demontrer

l’existence d’une solution forte au probleme (P ε) et satisfaire ainsi les hypotheses du

theoreme 2.15.



50



Chapitre 3

Approximation numerique

Les equations PNS incompressibles et compressibles vont etre resolues numeri-

quement au moyen d’une methode d’elements finis discontinus; ces derniers sont par-

ticulierement bien adaptes a la resolution des problemes hyperboliques (voir [Les75],

[JP86]).

Pour les equations PNS, la convection a lieu principalement dans la direction

privilegiee de l’ecoulement, et les termes dissipatifs ne sont presents que dans la

direction perpendiculaire a celle-ci. Cela suggere l’utilisation d’elements finis dis-

continus dans la direction privilegiee et continus dans la direction perpendiculaire.Dans le cas incompressible et lineaire, nous etablirons au § 3.2 une estimation de

l’erreur pour une discretisation basee sur ce type d’elements. Le § 3.3 presente la

discretisation pour le cas compressible; nous utiliserons les memes elements, mais

cette methode de resolution presentant des instabilites lorsque la viscosite devient

petite, nous la modifierons en effectuant un decentrage afin de la stabiliser. En outre,

nous utiliserons une methode iterative pour resoudre la non-linearite.

Les discretisations que nous utilisons sont basees sur celle pour les systemes de

Friedrichs avec des elements finis discontinus aussi ce sujet sera tres brievement

rappele au § 3.1.

Mentionnons encore que les methodes numeriques de ce chapitre peuvent s’eten-

dre a des situations plus generales; en particulier il est possible de les formuler dans

des coordonnees curvilignes pour pouvoir traiter des geometries plus complexes, et

aussi de les adapter au cas tridimensionnel.

51



52



3.1. Une discretisation pour les systemes de Friedrichs 53

3.1 Une discretisation pour les systemes de

Friedrichs

Reprenons le cadre des systemes de Friedrichs avec les notations du § 2.2, et

exposons la facon de poser le probleme discret comme dans [Les75] pour un probleme

pose dans Ω = (0, 1) × (0, 1).

Nous nous proposons de chercher une solution dans un sous-espace de dimension

finie V h de H 1(Ω)m

. Le probleme approche (P h) sera defini en utilisant la formulation

faible du probleme (P ), § 2.4.2. Cependant, cette derniere prescrit des conditions

aux limites adjointes dans l’espace des fonctions tests, aussi, nous allons d’abord la

modifier de facon a pouvoir utiliser le meme espace pour les fonctions tests que pour

la solution.

Si la solution faible u de (2.22) est suffisamment reguliere, il est possible d’inte-

grer par parties (2.22) et il vient

(u, A∗ϕ)L2 = (Au,ϕ)L2 − Γ

(u, Bϕ) dγ

= (Au,ϕ)L2 − 1

2

Γ

u, (B − M t)ϕ

dγ

= (Au,ϕ)L2 − 12 Γ

((B − M )u,ϕ) dγ

= (f ,ϕ)L2 ∀ϕ ∈ C 1

Ωm

, ϕ ∈ Ker(B + M t) sur Γ .

(3.1)

Au vu de (3.1), nous posons le probleme discret suivant.

Etant donne f ∈ L2, trouver uh ∈ V h tel que

(Auh,vh)L2 − 1

2

Γ

((B − M )uh,vh) dγ = (f ,vh)L2 ∀vh ∈ V h . (3.2)

La formulation pour des elements finis discontinus consiste a utiliser (3.2) element

par element.

Donnons-nous une triangulation T de Ω, dont les elements sont notes K . Nous

definissons le sous-espace de L2 de dimension finie

W h =u ∈ L2 : u|K est polynomiale

.

Pour un element K donne, posons uinth = uh|K et designons par uext

h la valeur de uh

prise sur les elements adjacents a K ; l’equation (3.2) appliquee element par element

aboutit au probleme discret suivant.



54 3. Approximation numerique

Etant donne f ∈ L2 et des matrices M K = M |∂K , trouver uh ∈ W h tel que

K ∈T (Auh,vh)L2(K ) −1

2 ∂K (B − M K )(uint

h − u

ext

h ),vint

h dγ = (f ,vh)L2 ∀vh ∈ W h . (3.3)

C’est une discretisation de ce type que nous allons adapter pour les equations PNS.

3.2 Un schema avec estimation de l’erreur

L’estimation d’erreur que nous allons presenter a ete etablie dans le cas in-

compressible. Le systeme dont nous desirons approcher une solution est le suivant

(cf. (2.41)),

Ax∂ w

∂x+ Ay

∂ w

∂y− D

∂ 2w

∂y2= e dans Ω ,

(B − M )w = 0 , M =√

B2 sur Γ± ,

u = 0 sur Γ0 ,

(3.4)

ou e = (f , h)t est donne, w = (u, p)t, Ax, Ay sont definies en (2.29) et D est definie

en (2.16).

Nous supposons que le champ c ∈ C 1

Ω2

donne verifie

c > 0 sur Ω ,

div c = 0 dans Ω ,

c·n = 0 sur Γ0 .

Nous procedons comme au § 2.4, avec les memes definitions et notations, excepte

pour la matrice M sur Γ± du § 2.4.1 dont la definition est remplacee par celle donnee

en (3.4) ci-dessus, et en remplacant L20(Ω) par L2(Ω) dans les definitions des espaces

de fonctions (2.43)–(2.45). En effet, la matrice M =√

B2 sur Γ± fait apparaıtre

explicitement la pression dans les conditions aux limites (voir § 2.3.3), celle-ci n’est

donc plus definie a une constante pres comme c’etait le cas au § 2.4.

Nous posons le probleme faible suivant.



3.2. Un schema avec estimation de l’erreur 55

Probleme (P c). Etant donne e ∈ Y , trouver w ∈ X tel que

a(w,w′) = (e,w′)L2

∀w′

∈V K . (3.5)

L’existence d’une solution faible a ce probleme est demontree dans [CGLR90] et

lorsque cette derniere est suffisamment reguliere1, elle est unique.

3.2.1 Discretisation

Afin de pouvoir definir les espaces de discretisation, nous considerons d’abord

une subdivision de Ω comme suit. Soient I et J deux entier positifs, et soient des

nombres reels x0 < x1 < .. . < xI et y0 < y1 < .. . < yJ ou x0 = y0 = 0, xI = yJ = 1.

Nous posons pour i = 1, . . . , I et j = 1, . . . , J , (cf. figure 3.1)

K i = [xi−1, xi] × [0, 1] , K ij = [xi−1, xi] × [y j−1, y j] ,

∂K −i = xi−1 × [0, 1] , ∂K +i = xi × [0, 1] , ∂K ±i = ∂K −i ∪ ∂K +i .

∂K i+

∂K i−

whext

whext

xi

xi−1

K i

whint

Figure 3.1. Notations sur une bande.

Les elements sont bien sur K ij . L’espace des fonctions polynomiales a une variable

de degre inferieur ou egal a k est note P k, et nous allons approcher aussi bien la

vitesse que la pression dans l’espace Φh,

Φh =

ϕ ∈ L2(Ω) : ϕ|K i ∈ C 0(K i) , ϕ|K ij( · , y) ∈ P 0 , ϕ|K ij(x, · ) ∈ P 1

. (3.6)

1Plus exactement, si elle appartient a H 1(Ω)3.




Avec cette definition, il y a deux nœuds par element. Nous adoptons la convention

qu’ils sont situes sur le milieu des aretes horizontales et ont donc les coordonnees

suivantes dans l’element K ij ,

(xi−1/2, y j−1) , (xi−1/2, y j) , ou xi−1/2 = (xi−1 + xi)/2 .

Soit N n le nombre total de nœuds; si ces derniers sont notes par am, m = 1, . . . , N n,

une base usuelle de Φh est donnee par les fonctions ϕl definies par la relation

ϕl(am) = δl,m , 1 l, m N n ,

ou δl,m est le symbole de Kronecker.

L’espace de dimension finie dans lequel nous allons chercher une solution est

V h =wh ∈ Φ3

h : wh = (uh, ph) , uh = 0 sur Γ0

.

Sur les bandes K i, i = 1, . . . , I , nous definissons

winth = wh|K i sur ∂K ±i , wext

h =

wh|K i−1 sur ∂K −i ,

wh|K i+1 sur ∂K +i ,

Bi = B|K i et M i = B2i sur ∂K ±i , (3.7)

et nous definissons en outre

hij = diam(K ij) , h = maxi,j

hij .

Le probleme discret s’obtient en raisonnant comme pour (3.3) pour les derivees

d’ordre 1, a la difference que la somme se fait bande par bande (puisque les fonctions

de V h sont continues dans la direction y), et en integrant par parties les derivees

d’ordre 2 comme pour l’obtention du probleme faible (3.5).

Nous posons le probleme suivant.

Probleme (P h). Etant donne e ∈ Y , trouver wh ∈ V h tel que

ah(wh,w′h) − 1

2

I i=1

∂K ±

i

(Bi − M i)(wint

h −wexth ),w′hint

dγ + ch(wh,w′h) =

(e,w′

h)L2 +I

i=1J

j=1 K ij hij

(f ,∇ p′h

) dx∀w′

h ∈V h

, (3.8)




avec

ah(wh,w′h) =I

i=1 K i (Ax∂ xwh + Ay∂ ywh,w′h) + (D∂ ywh, ∂ yw

′h) dx , (3.9)

ch(wh,w′h) =I i=1

J j=1

K ij

hij

(c∇)uh +∇ ph − ν∂ 2yuh,∇ p′h

dx . (3.10)

Remarque 3.1 Il est possible de definir d’autres discretisations en choisissant

d’autres matrices M i que celles definies en (3.7); si nous avons fait ce choix par-

ticulier, c’est afin de pouvoir etablir une estimation de l’erreur.

Remarque 3.2 Le terme ch(wh,w′h) defini en (3.10) stabilise la discretisation (3.8).

Si ch(wh,w′h) ≡ 0, des oscillations peuvent apparaıtre sur la pression (voir § 3.2.3).

Nous stabiliserons ce type de discretisation d’une autre facon pour les equations

compressibles au § 3.3.2.

Remarque 3.3 Etant donnee la discretisation utilisee, les derivees partielles par rapport a x et les derivees partielles secondes par rapport a y sont nulles dans le

probleme (P h). Nous les conservons car on pourrait utiliser la meme formulation pour

une approximation avec des polynomes P k– P k+1 au lieu de P 0– P 1 dans l’espace Φh.

Remarque 3.4 Pour les applications pratiques, des conditions aux limites inho-

mogenes sont imposees dans (3.8) et les matrices M sur Γ± ne sont pas √

B2 mais

plutot celles donnees en (2.34), et (2.35) ou (2.36).

3.2.2 Estimation de l’erreur

Pour etablir une estimation de l’erreur, nous devrons supposer que le probleme

continu (P c) possede une solution suffisamment reguliere. Plus precisement, nous

definissons l’espace

X =w ∈ L2(Ω)3 : w|K i ∈ H 1(K i)

3 , ∂ 2yu|K i ∈ L2(K i)2 ,

u|Γ0∩∂K i = 0 pour i = 1, . . . , I .




Nous posons W 2,∞ = W 2,∞(Ω)3

et nous supposerons desormais que (P c) possede

une unique solution dans X ∩ W 2,∞.

Nous introduisons la forme Bh : X × X → R,

Bh(w,w′) = ah(w,w′)

− 1

2

I i=1

∂K ±

i

(Bi − M i)(wint −wext),w′int

dγ + ch(w,w′) , (3.11)

et nous definissons encore quelques notations. Les bords verticaux des bandes K i

seront aussi notes S i = xi × [0, 1], et nous introduisons les notations suivantes ou

i = 1, . . . , I , et j = 1, . . . , J , sauf mention contraire.

w+ = w|K i+1 , w− = w|K i sur S i ,

wih = wh|K i ,

w0h = wI +1h = 0 ,

BS i = B|S i , M S i = M |S i pour i = 0, . . . , I ,

B+i = B|K i sur ∂K +i ,

B−i = B|K i sur ∂K −i .

Nous remarquons que la matrice Ax varie continument sur Ω et que par consequent

B+i = −B−

i+1 pour i = 1, . . . , (I − 1). Le saut (au sens des traces) d’une fonction

w ∈ X a travers S i sera note [w] = w+ −w−.

L’estimation se fera dans la norme dependant du maillage suivante,

w2h = ∂ yu20 +I i=1

J j=1

hij∇ p20,K ij +I i=1

[w]20,S i .

Remarquons que l’expression ci-dessus est bien une norme sur X puisque si w∈

X

et wh = 0, alors il est clair que u = 0 et p|K i est constant; nous deduisons que

p = 0 puisque la norme [w]20,S i des sauts est nulle et en raison des conditions aux

limites choisies sur Γ± qui font apparaıtre explicitement p.

Finalement nous ferons l’hypothese que le maillage est quasi-uniforme, i.e. il existe

une constante r > 0 independante de h telle que

r h hij h ∀ i,j . (3.12)

Nous avons tout d’abord une propriete de coercivite pour Bh dans la norme · h.




Lemme 3.1

Il existe des constantes h0 > 0 et C > 0 telles que

C wh2h Bh(wh,wh) ∀wh ∈ V h , (3.13)

des que h h0.

Demonstration

Integrons par parties ah(wh,wh) comme pour l’obtention de (2.51); il vient

a(wh,wh) =

I i=1ν K i (∂ yuh)2 dx +

1

2 ∂K ±i

Biwinth ,winth dγ .

Traitons en premier les integrales de bord dans Bh(wh,wh). Une partie de celles qui

apparaissent dans (3.11) compensent celles ci-dessus, et d’autre part

I i=1

∂K +

i

B+i w

exth ,winth

dγ +

∂K −

i

B−i w

exth ,winth

dγ

=

I −1

i=1 ∂K +i B+

i w

i+1

h ,wi

h dγ +

I

i=2 ∂K −i B−

i w

i−1

h ,wi

h dγ

+ Γ−

B−1 w

0h,w

1h

dγ +

Γ+

B+I wI +1h ,wI h

dγ

= 0

puisque w0h = wI +1h = 0, B−

i+1 = −B+i et les matrices Bi sont symetriques.

Les integrales de bord restantes deviennent

I i=1

∂K ±

i

M i(w

inth −wext

h ,winth

dγ =

I i=0

S i

M S i(w

i+1h −wih),wi+1h −wih

dγ

=I i=0

S i

(M S i [wh], [wh]) dγ

car

(B−i+1)2 =

(B+i )2 = M S i pour i = 1, . . . , (I − 1).

En utilisant le fait que les fonctions wh sont constantes dans la direction x sur

chaque bande K i et que les derivees secondes s’annulent, l’expression de Bh(wh,wh)




se resume a

Bh(wh,wh) = ν ∂ yuh20+i,j

hij K ij

d (∂ yuh,∇ ph) dx + ∇ ph20,K ij+

1

2

I i=0

S i

(M S i [wh], [wh]) dγ

:= B1 + B2 + B3

Or, en utilisant les inegalites de Cauchy-Schwarz et de Young nous obtenons

K ijd (∂ yuh,∇ ph) dx + ∇ ph20,K ij −1

2d ∂ yuh20,K ij +

1

2∇ ph20,K ij

−1

2d20,∞∂ yuh20,K ij +

1

2∇ ph20,K ij

et, en choisissant h et C qui verifient les relations suivantes,

h <2 ν

d20,∞, 0 < C min(

1

2, ν − 1

2hd20,∞)

nous avons

B1 + B2

ν − 1

2hd20,∞

∂ yuh20 +

i,j

hij1

2∇ ph20,K ij

C ∂ yuh20 +

i,j

hij∇ ph20,K ij ,

ce qui termine la demonstration puisque la minoration de B3 est immediate.

Ce lemme a comme consequence immediate le lemme suivant.

Lemme 3.2

Il existe une constante h0 > 0 telle que le probleme (P h) possede une unique solution

des que h h0.

Le resultat suivant etablit un resultat de consistance.

Lemme 3.3

Si w ∈ W 2,∞∩X et wh sont les solutions des problemes (P c) et (P h) respectivement,

alors

Bh(w −wh,w′h) = 0 ∀w

′h ∈ V h . (3.14)




Demonstration

Comme wh est solution de (P h), on a

Bh(wh,w′h) = (e,w′

h)L2 +i,j

K ij

hij (f ,∇ p′h) dx .

D’autre part, en integrant par parties les derivees d’ordre 2 dans (3.11) il vient

Bh(w,w′h) =I i=1

K i

Ax∂ xw + Ay∂ yw− D∂ 2yw,w′

h

dx

− 1

2

I i=1

∂K ±

i

(Bi − M i)(wint −wext),w′

hint

dγ

+i,j K ij

hij (f ,∇ p′h) dx

= (e,w′h)L2 +

i,j

K ij

hij (f ,∇ p′h) dx ,

puisque w ∈ W 2,∞ ⊂ C 0

Ω3

, (B − M )w = 0 sur Γ±, et en vertu de (2.63)–(2.65).

Ainsi (3.14) est demontree.

Nous aurons besoin d’utiliser l’interpolation par des fonctions de V h; aussi, nousdefinissons l’operateur d’interpolation de Lagrange aux nœuds des elements

πh : C 0

Ω

−→ Φh

u −→ πhu ,

et nous utiliserons abusivement la meme notation πh pour l’interpolation de vecteurs

de C 0

Ω

3.

L’erreur d’interpolation interviendra dans les majorations d’erreur, nous enoncons

donc le lemme suivant.

Lemme 3.4

Pour w ∈ W 2,∞, on a les majorations suivantes.

w − πhw0,K i C h3

2 , (3.15)

∂ y(w− πhw)0,K i C h3

2 , (3.16)

w − πhw0,S i C h . (3.17)




La demonstration de ces majorations est basee sur les resultats classiques d’interpo-

lation, voir par exemple [Cia78]. En particulier, la majoration (3.15) peut se deduire

de celle pour un element que nous demontrons au chapitre 4, lemme 4.1.Le theoreme suivant concerne l’estimation de l’erreur proprement dite.

Theoreme 3.5

Si w ∈ W 2,∞ et wh sont les solutions des problemes (P c) et (P h) respectivement,

alors il existe une constante C > 0 telle que

w −whh C h1

2 . (3.18)

Demonstration

Nous noterons C 1, C 2, etc. les constantes intervenant dans les majorations. Appli-

quons l’inegalite triangulaire au membre de gauche de (3.18).

w −whh w − whh + wh −whh ∀wh ∈ V h .

Une majoration du premier terme dans le membre de droite ci-dessus s’obtient en

posant wh = πhw et en utilisant (3.15)–(3.17).

w− πhw2h = ∂ y(w − πhw)20+i,j

hij∇( p − πh p)20,K ij +I i=1

[w − πhw]20,S i

C 1

h2 + h∂ x p20 + h∂ y(w − πhw)20 + h

C 2(h + h2 + h3) .

Nous remarquons donc deja qu’il ne sera pas possible d’obtenir une estimation

meilleure que O(h1

2 ) en procedant ainsi.

Pour majorer le second terme, on a tout d’abord grace a (3.14), (3.13)

C 3 w′h2h Bh(w

′h,w

′h) + Bh(w −wh,w

′h)

= Bh(w−wh + w′h,w

′h) ∀w′

h ∈ V h .

Nous posons a nouveau wh = πhw et en prenant w′h = wh − wh, il vient

C 3 wh − wh2h Bh(w − wh,wh − wh) .




Nous noterons desormais q = w − wh, qh = wh − wh et nous allons etablir une

majoration de Bh(q, qh).

Commencons par integrer par parties ah dans l’expression de Bh. Apres avoir rear-

range les integrales de bord, il vient

Bh(q, qh) =I i=1

K i

(q, −Ax ∂ xqh − Ay ∂ yqh) + (D∂ yq, ∂ yqh) dx

− 1

2

I i=0

S i

(BS i + M S i)q

−, [qh]

+

(BS i − M S i)q+, [qh]

dγ

+ ch(q, qh)

:= B1 + B2 + B3 .

Pour majorer |B2|, nous remarquons que quels que soient w, w′ ∈ R3,

|((B ± M )w,w′)| 2 (M w,w)1

2 (M w′,w′)1

2 . (3.19)

En effet, M = √B2, donc B et M ont les memes vecteurs propres, et par conse-quent en se placant dans cette base de vecteurs propres (3.19) est une consequence

immediate de l’inegalite de Cauchy-Schwarz.

En utilisant (3.19) et l’inegalite de Cauchy-Schwarz nous avons la majoration sui-

vante pour |B2|.

|B2| I

i=0 S i M S iq

−, q−

1

2 +

M S iq

+, q+

1

2

(M S i[qh], [qh])

1

2 dγ

C 4

I i=0

S i

(q−)2 + (q+)2

dγ

1

2I i=0

S i

[qh]2 dγ

1

2

C 5

I i=0

q−20,S i

+q+2

0,S i

1

2

qhh

C 6h1

2qhh ,

par la majoration (3.17). Les termes B1 et B3 vont etre regroupes differemment avant

de proceder a leur majoration. Exprimons B1 en utilisant le fait que les fonctions




discretes sont dans Φh donc constantes dans la direction x,

B1 = Ω u− ˜uh, −d ∂ y(

uh − ˜

uh) −

∇

( ph − ˜ ph)− ( p − ˜ ph)(∂ y(vh − vh))

+1

Re

∂ y(u− uh), ∂ y(uh − uh)

dx

= Ω

u− uh, −d ∂ y(uh − uh)

− ( p − ˜ ph)(∂ y(vh − vh))

+1

Re

∂ y(u− uh), ∂ y(uh − uh)

dx

− Ω

u− uh,∇( ph − ˜ ph)

dx

:= B4 + B5 .

|B4| se majore aisement en utilisant (3.15) et (3.16),

|B4| q0d0,∞∂ yqh0 + p − ˜ ph0∂ yqh0 +1

Re∂ yq0∂ yqh0

C 7 h qhh .

La majoration de |B3 + B5| est un peu plus longue et s’obtient comme suit.

|B3 + B5| i,j

hij

(c∇)(u− uh)0,K ij +

1

hiju− uh0,K ij

+ ∇( p − ˜ ph)0,K ij + ν ∂ 2y(u− uh)

0,K ij

∇( ph − ˜ ph)0,K ij

=i,j

hij β ij ∇( ph − ˜ ph)0,K ij

i,j

hij β 2ij 1

2

qhh

Remarquons que l’on a

(c∇)(u− uh)20,K ij = K ij

c2((∂ xu)2 + (∂ xv))2 dx + K ij

d2(∂ y(u− uh))2 dx

C 8∂ xu20,K ij + ∂ y(u− uh)20,K ij

.

Donc, en utilisant (3.12), (3.15), (3.16) et le fait que les derivees par rapport a x et




les derivees secondes sont nulles, ainsi que w ∈ W 2,∞,

i,j hijβ 2ij C 9i,j hij ∂ xu

20,K ij

+

∂ y(u

−uh)

20,K

ij

+1

h2ij u

−uh

20,K ij

+∇( p − ˜ ph)20,K ij + ν 2∂ 2y(u− uh)

20,K ij

C 10

h +i,j

hij

∂ yq2

0,K ij+

1

h2ij

q20,K ij

C 11

h + h3

Finalement, en regroupant ces differentes ma jorations nous obtenons

qhh (C 6 + C 7)h1

2 + C 11√h + h3et (3.18) est demontre.

Remarque 3.5 En utilisant des techniques plus fines, il est possible de majorer

l’erreur dans la norme de X au lieu de la norme · h, voir [BCR]. Cependant,

l’estimation obtenue reste du meme ordre O(√

h).

Remarque 3.6 Pour les problemes de convection-diffusion stationnaire, auxquels

les equations PNS sont assimilables, il est possible de demontrer un ordre de conver-

gence superieur, a savoir O(hk+1) pour des elements finis discontinus avec une ap-

proximation polynomiale de degre k. Il faut cependant admettre certaines hypotheses

sur l’uniformite du maillage; voir a ce sujet [Ric87] (cite dans [Pir88]).

Remarque 3.7 La majoration (3.18) n’est probablement pas optimale. Nous ver-

rons que l’ordre de convergence calcule numeriquement sur un exemple (avec des

maillages uniformes) au § 5.1.1 est de O(h).

3.2.3 Instabilite de la pression

Comme mentionne dans la remarque 3.2, la discretisation (3.8) peut presenter

des instabilites lorsque ch = 0. Celles-ci peuvent provenir de certains modes de la

pression, appeles modes de pression parasites, comme lors de la discretisation du

probleme de Stokes (voir [SGLG81, BF91]). Nous allons exhiber un de ces modes




pour un choix particulier des matrices M sur Γ±, c’est-a-dire des conditions aux

limites sur Γ±.

Nous considerons une discretisation uniforme de Ω, i.e. xi−xi−1 = y j−y j−1 = h

pour i = 1, . . . , I et j = 1, . . . , J et I = J . Supposons que les inconnues sur les ele-

ments soient numerotees dans l’ordre croissant bande par bande et selon la direction

y. Nous prenons comme sous-espace de dimension finie V h comme au paragraphe pre-

cedent et nous notons U , P , les vecteurs contenant les composantes des fonctions uh,

ph, exprimees dans la base usuelle de Φh. Le vecteur des inconnues est W = (U, P )t,

et nous considerons le systeme lineaire obtenu de (3.8) avec ch(wh,w′h) ≡ 0 sous la

forme

AW =

A Bt

B A′

U

P

= F . (3.20)

Les modes de pression indesirables sont les vecteurs (0, P )t dans le noyau de

A, autrement dit, les vecteurs P satisfaisant Bt P = 0 et A′ P = 0, a l’exception

du vecteur P 1 = (1, . . . , 1) lorsque la pression n’apparaıt pas dans les conditions

aux limites sur Γ± puisque dans ce cas elle est definie a une constante pres. Pour

expliciter les matrices Bt

et A′

, il faut analyser, au vu de (3.8), les contributions destermes

K i

(Ay∂ ywh,w′h) dx , (3.21)

∂K ±i

(Bi − M i)(wint


dγ . (3.22)

Commencons par (3.21). Puisque la matrice Ay est

Ay =

d 0 0

0 d 1

0 1 0

,

nous voyons que seul l’element (Ay)23 = 1 contribuera a Bt. Sur un element, la

matrice elementaire correspondante est

h

2 −1 1

−1 1 .




Avec la numerotation choisie pour les inconnues, nous obtiendrons apres assemblage

la contribution suivante pour Bt,

h

2

0 0 0

−1 0 1

0 0 0

−1 0 1. . .

. . .. . .

,

et nous voyons que les vecteurs

P 1 = (1, 1, . . . , 1) ,P 2 = (1, −1, 1, −1 . . . ) ,

sont dans le noyau de cette matrice. Pour la contribution due a (3.22), nous choi-

sissons des matrices M sur Γ± telles que (B − M )(0, 0, 1)t = 0, comme par exemple

(2.34) et (2.36). Remarquons maintenant que pour les fonctions dont les compo-

santes sont W 1 = (0, P 1) et W 2 = (0, P 2), les sauts winth −wext

h dans (3.22) sont nuls

sur ∂K ±i sauf peut-etre sur Γ±, donc ces termes n’entrent pas en ligne de compte; et

sur Γ±, les integrales sont egalement nulles grace au choix des matrices M ci-dessus.Finalement, la matrice A′ n’est constituee que de contributions provenant de (3.22).

Par consequent, W 1 et W 2 sont bien dans le noyau de A, et P 2 est un mode de

pression.




3.3 Discretisation dans le cas compressible

La discretisation utilisee pour la resolution des equations PNS compressibles est

semblable a celle du paragraphe precedent.

Le systeme que nous allons resoudre est le suivant (cf. (2.18)),

Ax(w0)

∂ w

∂x+ Ay(w

0)∂ w

∂y− D(w0)

∂ 2w

∂y2= F (w0) ,

(B − M )w = wΓ± , M =√

B2 sur Γ± ,

u = uΓ0 , T = T Γ0 sur Γ0 .

(3.23)

ou w0, wΓ±, uΓ0 et T Γ0 sont donnes.

Afin de ne pas surcharger les notations, nous omettrons la dependance en w0 pour

les matrices puisque celle-ci ne sera pas indispensable.

3.3.1 Discretisation

Nous reprenons les notations introduites au paragraphe precedent. Nous consi-

derons la meme subdivision de Ω que precedemment et a nouveau, nous allons

approcher la vitesse, la temperature et la pression dans l’espace Φh

defini en (3.6).

Le sous-espace de dimension finie V h dans lequel nous allons chercher une solution

est

V h =wh ∈ Φ4

h : wh = (uh, T h, ph)t , uh = uΓ0 et T h = T Γ0 sur Γ0

.

L’espace de dimension finie V 0h pour les fonctions tests est simplement l’espace V h

mais avec des conditions homogenes sur Γ0,

V 0h =

wh ∈ Φ4

h : wh = (uh, T h, ph)t , uh = 0 et T h = 0 sur Γ0

.

Nous utilisons les memes notations qu’au § 3.2.1, et la meme definition pour les

matrices M i, a savoir M i =√

B2. Le probleme discret s’obtient alors de la meme

facon que pour (3.8) et est le suivant.

Probleme (P h). Trouver wh ∈ V h tel que

ah(wh,w′h) − 1

2

I i=1

∂K ±

i

(Bi − M i)(wint


dγ

= (e,w′h)L2 ∀w′h ∈ V 0h , (3.24)



3.3. Discretisation dans le cas compressible 69

avec

ah(wh,w′h) =I

i=1 K i (Ax∂ xwh + Ay∂ ywh,w′h) +

(D ∂ ywh, ∂ yw′h) + (∂ yD ∂ ywh,w

′h)

dx . (3.25)

Les details de cette discretisation (integration numerique, calcul des matrices M i,

etc.) sont exposes dans l’annexe A.

Nous discuterons la resolution du systeme lineaire obtenu de (3.24) un peu plus

loin, mais auparavant nous allons modifier cette discretisation car elle presente des

instabilites et indiquer comment le probleme physique non lineaire est resolu.

3.3.2 Stabilisation

La pression calculee en resolvant le probleme (P h) presente des oscillations

lorsque la viscosite est petite. Comme nous l’avons vu au paragraphe precedent,

il est possible de stabiliser le schema par adjonction de certains termes dans le cas

incompressible (voir le paragraphe precedent et [BCR]). Nous avons opte pour une

autre solution, celle qui consiste a decentrer certains termes dans la direction y enutilisant une technique de decomposition de flux ( flux-splitting , voir [SW81]) que

nous appliquons de la facon suivante. La matrice Ay est decomposee selon

Ay = Ay + A0 (3.26)

ou A0 ne contient que les termes constants de Ay. Ensuite, nous diagonalisons A0,

A0 = ODOt, et nous posons

A+ = OD+Ot , A− = OD−Ot ,

avec D+, D− les matrices diagonales ne contenant que les valeurs propres positives,

respectivement negatives, de A0. Plus precisement,

A0 =

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 1 0 0

,




A+ =1

2

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 00 1 0 1

, A− =

1

2

0 0 0 0

0 −1 0 1

0 0 0 00 1 0 −1

.

L’idee de la methode consiste, en difference finies, a decentrer amont les termes

pour A+ et aval ceux pour A−; cela peut se faire dans le schema elements finis en

modifiant les fonctions tests pour les termes concernes. Si la discretisation dans la

direction y est uniforme avec y j − y j−1 = hy pour j = 1, . . . , J , alors nous prenons

au lieu de w′h,

w′h + hy

2∂ w′h

∂ypour A+ ,

w′h −

hy2

∂ w′h

∂ypour A− .

Ces fonctions tests donnent plus de poids a l’amont ou a l’aval produisant ainsi le

decentrage souhaite2. La figure 3.2 illustre cette modification dans le cas unidimen-

sionnel. Dans le systeme discret, cela consiste donc a remplacer (Ay∂ ywh,w′h) dans

ϕl

ϕl+ __ ___

h y ∂ϕl

2 ∂y

Figure 3.2. Decentrage amont.

la definition de ah (3.25) par

Ay∂ ywh,w

′h

+

A+∂ ywh,w

′h +

hy2

∂ yw′h

+

A−∂ ywh,w

′h −

hy2

∂ yw′h

=

(Ay∂ ywh,w′h) +

hy2

((A+ − A−)∂ ywh, ∂ yw′h) (3.27)

Cette derniere expression permet l’interpretation suivante pour le probleme continu;

2C’est le meme genre d’idee qui est exploitee dans les methodes SUPG (streamline upwinding

Petrov-Galerkin ). Voir par exemple [HB79], [JN81].




le dernier terme au membre de droite de (3.27) correspond aux termes

−hy2

∂ 2v

∂y2 dans la 2eme equation ,

− hy2

∂ 2 p

∂y2dans la 4eme equation ,

integres par parties pour autant que soit verifiee l’hypothese p′ = 0 sur Γ0 pour

annuler les integrales de bord. Le decentrage utilise est donc presque equivalent a

rajouter de la diffusion artificielle dans la direction y au moyen des derivees secondes

ci-dessus.

3.3.3 Probleme non lineaire

Nous avons jusqu’a present considere uniquement des problemes linearises. Or,

le probleme physique que nous desirons resoudre est non lineaire (cf. (2.9)); nous

allons maintenant decrire deux algorithmes differents pour resoudre le probleme non

lineaire.

Un premier algorithme

Pour une fonction wh ∈ V h, nous noterons W le vecteur de ses composantes

dans la base usuelle de V h. Nous pouvons ecrire le systeme lineaire provenant de la

discretisation (3.24) sous la forme

A(W 0) W = F(W 0) , (3.28)

ou W 0 est le vecteur correspondant a une interpolation w0h de la donnee w0, et le

probleme non lineaire s’ecrit quant a lui

A(W ) W = F(W ) . (3.29)

Une methode de style Picard est utilisee pour resoudre le probleme non lineaire.

L’algorithme est le suivant.




Algorithme I.

1. Poser k = 1, et determiner W 0 a partir de w0;

2. resoudre le systeme lineaire suivant pour W k,

A(W k−1) W k = F(W k−1) ; (3.30)

3. pour une tolerance δ donnee, si la conditionwkh −wk−1h

L2wkhL2 δ (3.31)

est satisfaite, alors fin des iterations;

sinon, incrementer k et recommencer au point 2.

Nous n’avons pas demontre la convergence de cet algorithme, mais les resultats

numeriques obtenus sont satisfaisants.

Resolution des systemes lineaires. Indiquons comment sont resolus les sys-

temes (3.30). Supposons que les inconnues soient numerotees bande par bande; la

numerotation est donc contigue sur chaque bande, et considerons la solution discrete

sur une bande wi = wh|K i dont le vecteur des composantes dans la base usuelle de

V h est note W i. Il est facile de se convaincre que la matrice A du systeme lineaire est

tridiagonale par blocs. En effet, sur une bande interne K i, la discretisation (3.24)

ne fait intervenir que la solution sur K i et sur les bandes adjacentes K i−1, K i+1; sur

les deux bandes extremes K 1 et K I , ce sont la solution sur la bande et sur la bande

adjacente interne qui interviennent ainsi que les conditions aux limites sur Γ− et Γ+

(dans ce dernier cas, les termes correspondants contribueront au second membre).

Designons par Li, Di et U i les matrices blocs qui sont respectivement au-dessous

de, sur, et au-dessus de la diagonale bloc; l’equation (3.30) devient ainsi

Li(W k−1)W ki−1 + Di(W k−1)W ki + U i(W k−1)W ki+1 = Fi(W k−1) , i = 1 . . . I ,

(3.32)

avec la convention que W k0 et W kI +1 sont donnes par les conditions aux limites sur

Γ± quel que soit k. La resolution de (3.32) peut s’effectuer de differentes facons,

en particulier en utilisant une methode directe ou une methode iterative qui prend

egalement en compte la non linearite et permet ainsi de formuler une version modifiee

de l’algorithme I.




Methode directe. La resolution de (3.32) s’effectue au moyen d’une decomposi-

tion LU de la matrice A, et celle-ci s’effectue par blocs afin d’exploiter la structure

tridiagonale par blocs de A. Les blocs Li, Di et U i ne sont assembles que lorsqu’ilsinterviennent dans la decomposition (comme pour une methode frontale). Detaillons

quelque peu cette decomposition, car en l’effectuant judicieusement, il est possible

de reduire la taille memoire necessaire a la resolution.

Une decomposition LU peut s’ecrire de deux facons; il est habituel de choisir la

matrice L de telle sorte que sa diagonale ne contienne que des 1. Ce choix n’est pas

indique ici. En effet, si nous procedons ainsi dans la decomposition par blocs, alors il

est facile de voir qu’il faudra stocker en memoire tous les blocs Di et U i; par contre,

en choisissant la decomposition avec une matrice U ayant une diagonale unite, alors

il suffira de ne conserver en memoire que les blocs U i.

Un autre algorithme

Nous noterons W ki le vecteur des inconnues sur la bande K i a l’iteration k, et

nous posons

W i,k−1

= W k

1 , . . . , W k

i−1, W k−1

i , . . . , W k−1

I t .

L’equation (3.32) suggere un nouvel algorithme qui est le suivant.

Algorithme II.

1. Poser k = 1, et determiner W 0 a partir de w0;

2. pour i = 1, . . . , I , resoudre les systemes lineaires suivants pour W ki ,

Li(W i,k−1)W ki−1 + Di(W i,k−1)W ki = Fi(W i,k−1) − U i(W i,k−1)W k−1i+1 ;

3. pour une tolerance δ donnee, si la conditionwkh −wk−1h

L2wkhL2 δ

est satisfaite, alors fin des iterations;

sinon, incrementer k et recommencer au point 2.




Cet algorithme n’est rien d’autre en fait qu’une methode de Gauss-Seidel par

blocs non lineaire, qui est particulierement economique en memoire puisqu’elle ne

requiert que le stockage des trois blocs ci-dessus. Elle correspond a une “methode demarche” consistant a resoudre le systeme discret en progressant bande par bande.

D’apparence attractive, puisque tres economique en memoire et permettant de

resoudre la non linearite, cette methode n’est pas praticable lorsque le nombre de

Mach est grand et la viscosite petite; en effet, nous avons constate sur des essais

numeriques qu’elle ne converge que tres lentement, voire meme pas du tout selon la

donnee initiale W 0 fournie.



Chapitre 4

Adaptation de maillage

En regime supersonique, les equations PNS compressibles donnent lieu a un choc;

remarquons qu’il ne s’agit pas d’une discontinuite au sens mathematique puisqu’il

y a des termes de viscosite et de conductivite thermique dans les equations. Afin

d’obtenir une bonne approximation de ce choc, nous allons mettre en œuvre une

methode de maillage adaptatif.

Les methodes d’adaptation de maillage consistent a trouver un maillage du do-

maine de calcul bien adapte au probleme que l’on cherche a resoudre. Ainsi, la

solution numerique obtenue sera plus precise et ceci pour un moindre cout. Lorsquedes estimations d’erreur existent pour le probleme considere, ces dernieres permet-

tent de quantifier la qualite de la solution numerique et d’utiliser cette information

localement afin de raffiner le maillage a certains endroits, et de le rendre plus grossier

a d’autres. Cependant, les estimations d’erreur font generalement appel a une norme

de la solution exacte qui n’est elle pas connue. Il est toutefois possible dans certains

cas d’etablir des estimations d’erreur a posteriori , i.e. la majoration fait intervenir la

norme de la solution calculee. Si l’on ne dispose pas d’estimations a posteriori, il peut

etre raisonnable de calculer la norme necessaire en remplacant la solution exacte par

la solution approchee. Dans notre cas, nous ne disposons d’aucune estimation, aussi

nous nous contenterons des majorations pour l’erreur d’interpolation estimee au

moyen de la solution approchee. Cette approche est basee sur l’observation que c’est

generalement l’erreur d’interpolation qui permet d’etablir des estimations d’erreur.

Malgre ses avantages, l’adaptation de maillage presente l’inconvenient d’une plus

grande complexite de mise en œuvre informatique, particulierement en ce qui con-

cerne l’organisation et la gestion des donnees.

75



76



4.1. Methode utilisee 77

4.1 Methode utilisee

Nous commencons par exposer les idees generales de certaines methodes d’adap-tation de maillage dont nous nous inspirerons pour formuler un algorithme.

Supposons que nous desirions calculer une approximation uh d’une solution u

d’un certain probleme avec une tolerance ε donnee dans la norme de H 1(Ω),

u − uh1,Ω ε . (4.1)

Si nous disposons d’une estimation de l’erreur commise, par exemple

u − uh21,Ω C 2 K ∈T

h2K |u|22,K ,

alors (4.1) sera verifiee sur un maillage T dont les elements sont notes K des que

K ∈T

h2K |u|22,K

ε

C

2

ou hK designe le diametre de l’element K .

Nous allons proceder comme suit pour construire un tel maillage. Partant d’unmaillage T 0 donne, nous calculons une solution approchee uh. En supposant que

l’erreur commise en approchant |u|2,K par |uh|2,K est negligeable, nous posons

ηK = hK |uh|2,K .

Les nombres ηK sont traditionnellement appeles estimateurs locaux (ou tout sim-

plement estimateurs) puisqu’ils fournissent une estimation de l’erreur commise par

element. Nous considerons ensuite les elements pour lesquels

η2K >

1

N

ε

C

2,

ou N est le nombre total d’elements. Ces elements sont alors subdivises en elements

plus petits formant ainsi un nouveau maillage T 1. Ce procede est repete jusqu’a ce

que la condition K ∈T k

η2K

ε

C

2

soit verifiee pour un certain indice k.



78 4. Adaptation de maillage

En procedant de cette facon, nous voyons que nous obtiendrons sur chaque ele-

ment une erreur qui sera sensiblement la meme, aussi parle-t-on dans ce cas d’equire-

partition de l’erreur. Dans la pratique, il se posera entre autres le probleme d’estimernumeriquement la constante C .

Une analyse de ce type de methode est donnee dans [EJ88] pour des problemes

elliptiques lineaires.

Nous allons concevoir un algorithme en nous basant sur les considerations qui

precedent. Soit N un sous-ensemble de 1, 2, 3, 4 et considerons les fonctions σn

pour n ∈ N choisies parmi les fonctions u, v, p, T .

Etant donne un maillage T , nous estimons l’erreur d’interpolation ηn,K pour lesfonctions σn dans la norme de L2(K ),

σn − πhσn0,K ηn,K ,

et nous posons

η2n =1

N

K ∈T

η2n,K (4.2)

ou N est le nombre total d’elements du maillage T . Le nouveau maillage sera

construit a partir de l’ancien en raffinant certains elements. Plus precisement, un

element K sera subdivise si pour au moins un indice n la condition

ηn,K ρnηn (4.3)

est verifiee, ou ρn sont des poids permettant, si besoin est, de controler la selection

des elements; nous avons constate que des poids ρn = 1 donnent deja de bons

resultats.

Remarque 4.1 En introduisant l’ecart-type sn des estimateurs ηn,K , (4.2) devient

η2n = η2n+ s2n ou ηn est la moyenne des estimateurs ηn,K . Un critere parfois utilise en

maillage adaptatif consiste a raffiner les elements pour lesquels ηn,K ηn + s (voir

par exemple [WC90]). Le critere (4.3) avec des poids ρn = 1 est moins restrictif,

plus d’elements seront raffines.

Un algorithme possible est le suivant.




Algorithme d’adaptation de maillage.

1. Poser k = 0 et se donner un maillage de departT 0;

2. calculer une solution sur le maillage T k en resolvant le probleme (P h);

3. calculer les estimateurs ηn,K pour n ∈ N sur chaque element;

4. • si pour une tolerance donnee δ on a

ηn δ ∀n ∈ N , (4.4)

ou si aucun element ne verifie (4.3),alors fin des iterations;

• sinon,

– subdiviser les elements satisfaisant la condition (4.3);

– incrementer k et generer un nouveau maillage T k;– interpoler la solution calculee en 2. sur le maillage T k;

5. recommencer au point 2.

Remarque 4.2 Il peut effectivement se produire qu’aucun element ne verifie (4.3);

cela depend des poids ρn choisis.

Remarque 4.3 Si ρn = 1, il y aura toujours au moins un element qui verifiera (4.3)

car

ηn maxK

ηn,K .

Remarque 4.4 A la fin de l’etape 4. de l’algorithme, il faut interpoler la solution

sur le nouveau maillage, car c’est cette solution qui est utilisee dans le calcul des

matrices Ax, Ay et D de la discretisation (3.24) pour l’iteration suivante.

Remarque 4.5 Le choix de δ dans l’algorithme ci-dessus pose probleme, car il n’est

pas evident a priori d’avoir une idee de l’ordre de grandeur de l’erreur d’interpola-

tion (d’autant plus que nous n’utilisons qu’une estimation de celle-ci). Aussi, dans

la pratique, nous remplacerons la condition exprimee dans l’inegalite (4.4) par une




limite sur les ressources informatiques. Plus precisement, les iterations seront in-

terrompues lorsque la memoire disponible sera epuisee ou bien lorsque le temps de

calcul depassera une limite donnee.

Cet algorithme peut etre ameliore en incluant un critere de deraffinage, i.e. si

l’erreur estimee sur un groupe d’elements adjacents devient trop petite au cours des

iterations, ceux-ci sont regroupes en un seul element. En effet, la solution appro-

chee evolue lors des iterations et il peut se produire que l’erreur estimee diminue

plus qu’il n’est necessaire. Cependant, ce critere de deraffinage devrait etre choisi

judicieusement pour eviter que l’erreur estimee n’augmente trop a nouveau, ce qui

conduirait a des oscillations raffinage – deraffinage. Le deraffinage est particuliere-

ment indique pour le calcul de solutions de problemes instationnaires. Nous nous

sommes restreints ici au raffinage seulement.

4.1.1 Calcul des estimateurs

Soit un element K = I x × I y ou nous avons defini

I x = [xi−1, xi] , hx = xi − xi−1 , i = 1, . . . , I ,

I y = [y j−1, y j] , hy = y j − y j−1 , j = 1, . . . , J .

Soit en outre une fonction u ∈ W 2,∞(K ), et soit πh l’operateur d’interpolation de

Lagrange usuel deja introduit au § 3.2.2. Etablissons une majoration de l’erreur

d’interpolation sur un element.

Lemme 4.1

Sur un element K , nous avons la majoration

u − πhu20,K C hx hy

h2x

∂ xu20,∞,K

+ h4y

∂ 2yu20,∞,K

, (4.5)

ou C > 0 est une constante independante de hx et hy.

Demonstration

Soit x ∈ I x fixe; nous avons

|u(x, y) − πhu(x, y)|2 3|u(x, y) − u(x, y)|2 + |u(x, y) − πhu(x, y)|2

+|πhu(x, y) − πhu(x, y)|2 . (4.6)




Or, par le theoreme des accroissements finis,

K |u(x, y)

−u(x, y)

|2 dx K h

2x ∂ xu

2

0,∞,K dx = h3

x hy ∂ xu2

0,∞,K .

En outre, on sait que (cf. [Cia78], theoreme 3.1.6),

u(x, ·) − πhu(x, ·)0,2,I y C 0 |I y|1

2 h2y |u|2,∞,I y ,

donc K

|u(x, y) − πhu(x, y)|2 dx C 1 hx h5y

∂ 2yu20,∞,K

.

Finalement, en choisissant x = (xi−1 + xi)/2, le dernier terme de (4.6) est nul et

nous obtenons bien (4.5).

Nous voudrions utiliser (4.5) avec la solution discrete que nous avons calculee

en lieu et place de la solution continue. Cependant, etant donnee la discretisation

utilisee, les deux derivees partielles dans la somme (4.5) sont nulles lorsque l’on

remplace la solution continue par la solution calculee. Aussi, nous allons definir des

approximations

σxn,K ≈ ∂ xσn0,∞,K

,

σyyn,K ≈∂ 2yσn

0,∞,K

.

Ces approximations sont obtenues en ayant recours aux valeurs sur les elements

voisins et en utilisant des differences finies. Designons par σextn la valeur de σn prise

sur les elements voisins de l’element considere ou donnee par la valeur a l’exterieur

du domaine lorsque l’element a une arete sur Γ±. L’approximation σxn,K est pour

i = 1, . . . , I ,σxn,K = max

y∈I y

1

hx(σextn (xi, y) − σext

n (xi−1, y)) .

L’approximation σyyn,K sera calculee en x = (xi+xi−1)/2 et il faut faire une distinction

de cas si l’element est adjacent ou non a un bord y = 0, y = 1. Nous definissons

pour l = 1, . . . , J − 1,

Dl(σn) =1

hy

σn(x, yl+1) − σn(x, yl)

yl+1 − yl− σn(x, yl) − σn(x, yl−1)

yl − yl−1

.

Sur l’element K = I x × I y nous posons donc




• pour j = 1,

σyyn,K = D1(σn) ,

• pour j = 2, . . . , J − 1,

σyyn,K = max ( D j−1(σn) , D j(σn) ) ,

• pour j = J ,

σyyn,K = DJ (σn) .

Nous sommes maintenant en mesure de definir les estimateurs locaux sur K par

η2n,K = hx hyh2x (σxn,K )

2 + h4y (σyyn,K )

2 .

Remarque 4.6 Une approximation analogue de l’erreur d’interpolation est utilisee

dans [EJ88] ou une justification en est donnee dans un cadre particulier.

4.1.2 Choix des fonctions σn

Nous allons indiquer quel est le sous-ensemble N que nous avons choisi. Il y a deux

regions ou la solution varie beaucoup dans les ecoulements que nous calculerons :

la couche limite et le choc. Aussi, nous choisirons N = 1, 4, i.e. l’adaptation de

maillage sera guidee par la premiere composante u de la vitesse et par la pression

p. Ce choix se base sur la constatation que u varie plus que les autres variables

dans la couche limite, et p est la quantite qui varie le plus au choc. Les poids ρn

correspondants intervenant dans le critere de raffinage (4.3) seront choisis sur la

base d’essais numeriques et seront precises lors de la presentation des resultats.



4.2. Implantation 83

4.2 Implantation

L’incorporation de l’adaptation de maillage dans un schema numerique existant

doit se faire de facon efficace afin de ne pas augmenter inconsiderement les besoins en

temps de calcul et en memoire. Il est egalement souhaitable que cette incorporation

se fasse avec le moins de modifications possible. Une structure de donnees repondant

a ces besoins de maniere satisfaisante est exposee au § 4.2.2, et pour comprendre

quelles sont les difficultes rencontrees nous exposons en premier lieu quelques details

sur le raffinage des elements.

4.2.1 Raffinage des maillages

Les elements que nous utilisons sont des quadrilateres et comme les solutions

discretes calculees sont constantes dans la direction x, lineaires par morceaux dans la

direction y, il n’y a que deux nœuds par element. Le raffinage d’un element consiste

a subdiviser celui-ci en quatre nouveaux quadrilateres (cf. figure 4.1). L’element

Figure 4.1. Subdivision d’un element.

subdivise sera appele “pere” et les quatre nouveaux elements sont les “fils”. Cela

produit des maillages non conformes et il faudra par consequent imposer certaines

contraintes que nous exposerons plus loin. A chaque element est associe un entier

indiquant le niveau de raffinage, les elements du maillage initial ayant le niveau 0, etchaque fois qu’un element est subdivise, le niveau des fils est obtenu en incrementant

de 1 le niveau du pere. Pour simplifier la gestion des donnees et eviter des transitions

trop abruptes dans les maillages crees, nous imposons la restriction qu’un element

ne peut etre subdivise qu’a la condition que la difference de niveau entre cet element

et ses voisins soit au plus de 1. La figure 4.2 donne un exemple de situation dans

laquelle la subdivision en grise n’est pas autorisee.

Cette restriction, habituelle pour ce genre de maillages, n’est pas limitative

puisque d’une part il est peu probable qu’un estimateur devienne grand sur un




Figure 4.2. Subdivision illicite.

element sans le devenir sur ses voisins, et d’autre part lorsqu’une subdivision n’est

pas autorisee, il suffit de raffiner les elements voisins1 pour que celle-ci devienne

possible. Dans le cas general, cette facon de proceder doit etre formulee de maniere

recursive puisque les subdivisions des elements voisins peuvent elles aussi ne pas etrepossibles. Dans la pratique cependant, nous avons constate qu’il est tres rare qu’une

subdivision ne soit pas possible.

Indiquons maintenant les consequences de la non conformite du maillage. Lors-

qu’un element est subdivise, quatre nouveaux elements apparaissent, l’element sub-

divise n’est plus pris en compte, mais seulement deux nouveaux nœuds ou il faudra

calculer la solution apparaissent. En effet (cf. figure 4.3), la solution aux nœuds n1,

n1

anciens noeuds

nouveaux noeuds

n2

n3

m1

m2

m3

Figure 4.3. Nouveaux nœuds lors d’une subdivision.

n2, n3 est la meme, ainsi qu’aux nœuds m1, m2, m3, puisque l’approximation est

constante dans la direction x. Nous parlerons alors de contraintes pour les nœuds

n1, n3, et m1, m3.

Cette situation peut etre traitee de deux facons. La premiere consiste simplement

a rajouter les equations dans le systeme lineaire exprimant l’egalite des inconnues

aux nœuds ci-dessus. La seconde, qui est celle que nous avons retenue, consiste

1Meme si ceux-ci ne verifient pas le critere (4.3).




a identifier les nœuds ou les inconnues sont egales avant d’assembler le systeme

lineaire et offre l’avantage de ne pas augmenter la taille de celui-ci plus qu’il n’est

necessaire. La mise en œuvre pratique de cette methode se fait en generant unenouvelle numerotation des nœuds qui associe a chaque nœud un nouveau numero et

les nœuds auxquels les inconnues sont egales se verront attribuer le meme numero.

Au moment de l’assemblage des matrices elementaires, il suffira de tenir compte de

cette nouvelle numerotation.

Remarque 4.7 Lorsqu’un element est traite, la discretisation que nous utilisons

fait non seulement intervenir les valeurs aux nœuds mais egalement les valeurs aux

nœuds sur les elements voisins. Cela a pour consequence qu’il faut distinguer huit

situations differentes pour calculer les contributions des integrales de bord selon la

position relative et la taille des elements voisins puisque ceux-ci peuvent avoir un

niveau de subdivision different de l’element concerne.

4.2.2 Structures de donnees

Nous avons mentionne dans l’introduction de ce chapitre que l’adaptation demaillage engendrait une plus grande complexite dans la mise en œuvre informatique,

en particulier pour la gestion des donnees. Pour stocker de maniere efficace toutes

les informations necessaires aux calculs, nous utilisons en premier lieu une structure

de donnees en arbre quaternaire2 ou “quadtree” selon la denomination anglaise (voir

par exemple [CSW88, E+91]). Une telle structure de donnees consiste a stocker pour

chaque element du maillage initial ses descendants dans un arbre ayant pour racine

cet element (cf. figure 4.4).

1 2 3 4

5 6 7 8

0

6

1 2

35

784

0

Figure 4.4. Arbre quaternaire et elements.

2Puisque le raffinage d’un element produit quatre nouveaux elements.




Nous memoriserons donc pour chaque element des pointeurs sur son pere et ses fils

(s’ils existent) ainsi que les informations geometriques (numero des sommets) et le

niveau de raffinage. Les avantages evidents de cette structure de donnees sont lafacilite avec laquelle un element pourra etre subdivise puisque les coordonnees des

sommets des elements sont aisement accessibles, le fait qu’elle ne necessite que peu

de memoire et peut etre incorporee sans avoir a apporter de grandes modifications

dans un code existant. Le parcours de la liste des elements, notamment pour le

calcul des matrices elementaires, se fera simplement en parcourant les arbres et en

ne traitant que les elements sans descendants (“feuilles” de l’arbre).

Nous avons vu qu’il fallait en outre connaıtre les voisins d’un element pour

pouvoir le raffiner et pour calculer la discretisation. Avec la restriction imposee sur

les niveaux de raffinage des elements, il ne pourra y avoir que huit voisins au plus

par element; ainsi, le nombre maximum de voisins est connu, ce qui est une autre

caracteristique a l’avantage de ce type de maillage qui fait qu’il n’y a pas besoin

d’envisager des structures de donnees dynamiques. Le stockage des voisins se fera

donc dans un simple tableau indice par les elements.

Finalement, un tableau indice par les nœuds est utilise pour memoriser les

contraintes, la nouvelle numerotation et les autres informations relatives aux nœuds

(par exemple, l’appartenance a un bord du domaine).

La description detaillee de ces structures est donnee au § A.5.

4.2.3 Resolution des systemes lineaires

La matrice du systeme lineaire obtenu sur des maillages adaptes n’aura plus en

general la structure tridiagonale par blocs decrite au § 3.3.3. Neanmoins, il serait

encore possible de numeroter judicieusement les inconnues pour obtenir un matrice

tridiagonale par blocs, mais avec des blocs dont la taille varierait au cours des

iterations d’adaptation de maillage. Pour nous eviter d’avoir a gerer ces problemes,

nous avons prefere changer de methode de resolution et nous utilisons la bibliotheque

MA28 (voir [DR79]). C’est un ensemble de sous-programmes implantant une methode

de resolution directe, c’est-a-dire une methode d’elimination de Gauss, pour des

matrices creuses, mais avec un stockage “Morse”, i.e. seuls les elements non nuls de

la matrice du systeme lineaire sont stockes (voir [DER86, Zla91] pour un expose de

ces methodes).




L’algorithme utilise dans MA28 se divise en deux parties bien distinctes. Dans

un premier temps, la structure de la matrice est analysee afin de determiner quels

seront a priori les elements autres que ceux deja stockes qui interviendront au coursde la resolution; c’est egalement lors de cette phase que les lignes et colonnes sont

eventuellement reordonnees afin d’assurer la stabilite des calculs tout en essayant de

reduire autant que possible la taille memoire necessaire. Ensuite, la resolution pro-

prement dite est effectuee. Lorsque plusieurs systemes sont resolus avec des matrices

ayant la meme structure, la phase d’analyse n’est pas repetee, et si nous mention-

nons ce point, c’est parce que l’analyse est plus couteuse que la resolution (d’un

facteur 5 environ pour les cas typiques que nous aurons a traiter).

Dans notre cas, la structure de la matrice depend du maillage, et nous resolvons

plusieurs systemes lineaires sur le meme maillage pour resoudre le probleme non

lineaire au moyen de l’algorithme I du § 3.3.3. La phase d’analyse n’est donc effectuee

qu’une seule fois par maillage.

Quelques details pratiques sur l’utilisation de MA28 figurent dans le paragraphe

A.5.2.



88



Chapitre 5

Resultats numeriques

Nous presentons dans ce chapitre les resultats obtenus au moyen des methodes

numeriques presentees dans les chapitres 3 et 4. Ce sont principalement les equations

compressibles qui vont etre traitees, hormis un test dans le cas incompressible destine

a determiner l’ordre de convergence de la discretisation proposee, et un autre cas

pour exhiber les instabilites dont il a ete question au § 3.2.3.

Les resolutions numeriques avec et sans adaptation de maillage seront comparees

et montreront, comme on pouvait s’y attendre, les avantages de l’adaptation.

Tous les resultats presentes dans ce chapitre ont ete calcules sur un ordinateur

Silicon Graphics 4D380 .

89



90



5.1. Cas incompressible 91

5.1 Cas incompressible

5.1.1 Ordre de convergence

Pour calculer numeriquement l’ordre de la discretisation (3.8) du probleme (P h),

nous avons besoin de connaıtre une solution exacte des equations PNS non lineaires.

A cette fin, nous allons rajouter un second membre au systeme (2.14), et nous posons

we = (u,v,p)t , (5.1)

ou

u = y2 + 14

x2 y ,

v = −1

4x y2 ,

p = x y2 ,

ν = 1/Re = 10−2 ;

ainsi, we est solution des equations PNS non lineaires avec le second membre suivant,

e = (f 1, f 2, g) ,

f 1 =1

16x3 y2 − 2 ν + y2 ,

f 2 =1

16x2 y3 + 2 x y − 1

4y4 +

1

2ν x ,

g = 0 .

Les equations PNS sont resolues en utilisant la discretisation (3.8) modifiee de facon

a tenir compte des conditions aux limites inhomogenes donnees par we et avec

w0 = we. Le probleme a resoudre est donc lineaire puisque w0 est connu, et nous

sommes ainsi dans le cadre des estimations d’erreur du § 3.2.2. Les equations sont

resolues pour 4 maillages uniformes de Ω, et les resultats obtenus sont rassembles

dans le tableau 5.1 avec les notations suivantes,

N i nombre d’intervalles dans les directions x et y;

hi pas de discretisation; hi = 1/(N i + 1);

E i erreur commise, E i = wh −weL2 ;



92 5. Resultats numeriques

Oi ordre estime, Oi = log(E i/E i−1)/ log(hi/hi−1) .

La figure 5.1 represente E en fonction de h avec une echelle logarithmique.

N i hi E i Oi

10 0.1 3.5151 10−2 −20 0.05 1.7598 10−2 0.998

40 0.025 8.8903 10−3 0.985

80 0.0125 4.4815 10−3 0.988

Tableau 5.1. Estimation de l’ordre de convergence.

0.005

0.01

0.02

0.03

0.04

0.01 0.02 0.03 0.05 0.1

h

E

Figure 5.1. Test de convergence.




5.1.2 Instabilites

Nous allons montrer l’influence de ch dans la discretisation (3.8) en calculant

un ecoulement d’abord sans ce terme, puis avec. La discretisation utilisee est celle

donnee en (3.8) modifiee pour tenir compte de conditions aux limites inhomogenes

et en utilisant les matrices (2.34), (2.36) sur respectivement Γ−, Γ+, comme indique

dans la remarque 3.4. L’ecoulement que nous allons calculer sera de type Poiseuille,

i.e. avec un profil de vitesse parabolique comme condition aux limites a l’aval.

Les conditions aux limites sont donc

u = 1 , v = 0 sur Γ− , u = 6 y (y

−1) , sur Γ+ ,

u = 0 sur Γ0 .

La viscosite est ν = 10−2, et l’algorithme I est utilise pour la resolution du

probleme non lineaire avec δ = 10−4 sur un maillage uniforme 10×10. Les figures

5.2 et 5.3 (page 94) montrent respectivement la pression et le champ de vitesse sur

Ω lorsque ch = 0. Il est a noter que la vitesse n’est pas affectee par les instabilites.

Lorsque ch est pris en compte, les instabilites disparaissent comme on peut le

constater sur la la figure 5.4 (page 95) qui montre la pression stabilisee. La figure5.5 quant a elle represente le champ de vitesse correspondant.




0

0.20.4

0.6

0.8

00.2

0.40.6

0.8

x

y

Figure 5.2. Cas instable : pression.

Figure 5.3. Cas instable : vitesse.




0

0.20.4

0.6

0.8

00.2

0.40.6

0.8

x

y

Figure 5.4. Stabilisation : pression.

Figure 5.5. Stabilisation : vitesse.




5.2 Cas compressible

Pour tous les cas que nous avons calcules, nous imposons comme conditions aux

limites u et T sur les bords horizontaux (Γ0); sur les bords verticaux, les conditions

aux limites sont donnees par la matrice√

B2 a l’amont (Γ−) et a l’aval (Γ+) (voir

§ 2.3.5). Les valeurs pour l’ecoulement non perturbe sont imposees sur Γ−, et sur

Γ+ ce sont les valeurs fournies par les resultats obtenus au moyen d’autres codes qui

sont imposees (Navier-Stokes et couche limite compressibles).

Dans tous les resultats que nous presentons, les courbes de niveau dans les figures,

lorsqu’il y en a, sont equidistantes.

5.2.1 Couche limite

Nous avons calcule l’ecoulement dans la couche limite sur une plaque plane avec

les parametres suivants (ou les unites habituelles sont utilisees pour les grandeurs

avec dimension),

ρ∞ = 4.563 10−2 ,

u∞

= 5.967 102 ,

v∞ = 0 ,

T ∞ = 2.216 102 ,

γ = 1.4 ,

M ∞ = 2 ,

Re = 1.65 106 ,

P r = 0.72 .

Le domaine de calcul est [0, 1] × [0, 6.1 10−3], et le maillage utilise est regulier avec

40 intervalles dans chaque direction.

Les resultats sont compares avec les valeurs calculees par un programme de

resolution pour la couche limite (CL) compressible. Les figures 5.6 et 5.7 (page 97)

representent respectivement la premiere composante de la vitesse et la temperature

a l’abscisse x = 0.5. Les resultats concordent pour la vitesse, mais sont legerement

differents pour la temperature. En particulier, la valeur maximale de la temperature

est moins elevee pour les equations PNS.



5.2. Cas compressible 97

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0 100 200 300 400 500 600

PNS

CL

Figure 5.6. Couche limite : vitesse.

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

220 225 230 235 240 245 250 255 260

PNS

CL

Figure 5.7. Couche limite : temperature.




5.2.2 Plaque plane a Mach 2

Ce cas est calcule dans les variables sans dimension et les parametres de l’ecou-

lement sont

γ = 1.4 ,

M ∞ = 2 ,

Re = 1000 ,

P r = 0.72 .

Le domaine de calcul est [0, 0.87]×

[0, 0.8] et la plaque debute a l’abscisse x = 0.2. Un

maillage relativement fin est utilise comportant 70 par 63 elements, uniforme dans

la direction x et en progression geometrique avec une raison 1.025 dans la direction

y. La figure 5.8 represente ce maillage.

Figure 5.8. Maillage.

L’algorithme I du § 3.3.3 a ete utilise pour la resolution avec δ = 5 10−3; quatre

iterations ont ete necessaires et ont demande 3617 secondes de calcul. Les figures

5.9–5.11 aux pages 99–100 representent respectivement les courbes de niveau du

nombre de Mach, de la pression et de la temperature, et le choc est nettement visible.

Qualitativement, ces resultats sont bien ceux auxquels on pouvait s’attendre.




Figure 5.9. Nombre de Mach.

Figure 5.10. Pression.




Figure 5.11. Temperature




Adaptation de maillage

Le meme cas que nous venons de presenter est resolu mais cette fois avec adap-

tation du maillage. Les fonctions choisies pour appliquer le critere (4.3) (page 78)

sont la premiere composante de la vitesse u et la pression p comme mentionne au

§ 4.1.2. Les poids correspondants sont

ρ1 = 2 , ρ4 = 1 .

L’algorithme I est utilise mais avec MA28 pour resoudre les systemes lineaires, et

δ = 5 10−3.

Les figures 5.12–5.17 representent le maillage a differentes iterations et compor-

tent les nombres d’elements resumes dans le tableau suivant avec les temps de calcul

en secondes pour la resolution. La colonne “temps CPU” est le temps pour l’itera-

iteration elements temps CPU temps CPU cumule

1 110 1.74 1.78

2 269 4.55 6.35

3 422 8.73 15.15 818 21.4 55.5

10 1820 95.5 429.3

15 2744 278.4 1315

Tableau 5.2. Nombre d’elements et temps de resolution.

tion correspondante alors que “temps CPU cumule” est le temps total. Les figures

5.18 a 5.20 representent les courbes de niveau du nombre de Mach, de la pression etde la temperature1.

Commentaires. On distingue nettement sur les figures 5.12–5.17 la region du

choc, et l’on remarque egalement que la region de la couche limite est elle aussi raf-

finee. Les estimateurs choisis fournissent donc de bonnes indications sur les endroits

ou le maillage doit etre raffine. Nous remarquons que les resultats presentes dans

1La mauvaise qualite des courbes de niveau est due entre autres au logiciel de representationgraphique qui n’est pas concu pour des maillages non conformes.




Figure 5.12. Iteration 1. Figure 5.13. Iteration 2.






les figures 5.18–5.20 sont pratiquement pareils a ceux sans adaptation, mais avec

un temps de calcul qui a ete approximativement divise par trois. L’adaptation de

maillage se revele donc avantageuse pour ce cas.

Figure 5.18. Nombre de Mach (iteration 15).




Figure 5.19. Pression (iteration 15).

Figure 5.20. Temperature (iteration 15).




5.2.3 Un cas a Mach 5

Nous considerons un ecoulement avec incidence sur une plaque plane. L’ angle

d’attaque est de −10, et les autres parametres de l’ecoulement sont

γ = 1.4 ,

M ∞ = 5 ,

Re = 4 106 ,

P r = 0.72 .

Le domaine de calcul est [0, 1]×

[0, 0.38] et nous mettons en œuvre l’adaptation de

maillage avec des poids

ρ1 = 2 , ρ4 = 1.5 .

L’algorithme I est utilise avec MA28 pour resoudre les systemes lineaires et δ = 5 10−3.

Les calculs ont necessite 4347 secondes pour 14 iterations de maillage.

Les figures 5.21–5.23 representent respectivement le maillage initial avec 156

elements, le maillage apres 14 iterations comportant 3012 elements et les courbes

de niveau pour la pression. L’allure de la solution pour le nombre de Mach et la

temperature etant similaires, nous ne les presentons pas.

La figure 5.24 represente le maillage au debut de la plaque agrandi 160 fois dans

la direction y pour observer l’ecoulement dans la couche limite, et la figure 5.25

represente le nombre de Mach sur cet agrandissement.

Commentaires. A nouveau, l’adaptation du maillage au choc est nettement vi-

sible, mais semble moins bonne que celle du cas precedent. Cela n’est guere surpre-

nant au vu du petit angle que forme le choc avec la plaque : ce cas est plus difficilea calculer. En outre, le nombre de Reynolds est beaucoup plus grand que celui du

cas precedent (106 contre 103 auparavant), ce qui accroıt encore la difficulte.




Figure 5.21. Ecoulement avec incidence : maillage initial.

Figure 5.22. Maillage apres 14 iterations.





Figure 5.24. Detail du maillage.

Figure 5.25. Nombre de Mach dans la couche limite.




5.2.4 Ecoulement dans un conduit

Nous avons mentionne dans l’introduction que les equations PNS etaient ega-

lement utilisees pour le calcul d’ecoulements dans des conduits. Nous presentons

un tel ecoulement avec entree supersonique; plus precisement, les parametres de

l’ecoulement sont

γ = 1.4 ,

M ∞ = 2 ,

Re = 1000 ,

P r = 0.72 .

Le domaine de calcul est [0, 1.25] × [0, 1] et nous mettons en œuvre l’adaptation de

maillage avec des poids

ρ1 = 2 , ρ4 = 1 .

L’algorithme I est utilise avec MA28 pour resoudre les systemes lineaires et δ = 5 10−3.

Les calculs ont necessite 4440 secondes pour 28 iterations de maillage.

Les figures 5.26–5.27 representent respectivement le maillage initial avec 440

elements et le maillage apres 28 iterations comportant 4187 elements. Les courbes

de niveau pour le nombre de Mach sont representees dans la figure 5.28, et celles

pour la pression dans la figure 5.29.

Commentaires. Ce cas pose plus de problemes pour sa resolution puisque nous

remarquons que peu d’elements n’ont pas ete raffines. Cependant, et cela malgre

un temps de calcul relativement long, les chocs semblent trop diffus, mais il est vrai

aussi que le nombre de Mach est modere et que le nombre de Reynolds n’est pas tres

eleve (i.e. la viscosite est grande). Nous remarquons egalement qu’il aurait peut-etre

ete judicieux de mailler plus finement la couche limite sur le maillage initial.




Figure 5.26. Conduit : maillage initial.

Figure 5.27. Maillage apres 28 iterations.




Figure 5.28. Nombre de Mach.




5.3. Commentaires finals 111

5.3 Commentaires finals

Dans l’ensemble, les resultats que nous venons de presenter sont satisfaisants. Les

resultats obtenus pour PNS sont en accord avec ceux obtenus pour la couche limite,

et l’adaptation de maillage apporte une amelioration indeniable tout en reduisant

les couts de calcul. On remarquera en outre qu’il a ete possible de calculer un cas a

nombre de Mach 5 et a nombre de Reynolds eleve (106) sans observer des problemes

de stabilite ou de convergence.

Dans la methode d’adaptation de maillage, le choix des poids ρi ne pose pas

vraiment de difficultes comme on aurait pu le supposer. De plus, nous avons fait

quelques essais numeriques en variant ceux-ci et avons constate que l’allure dessolutions obtenues ne change pas enormement. L’effet le plus visible est celui auquel

nous nous attendions, a savoir qu’en donnant plus de poids a la pression, c’est la

region du choc qui est la plus raffinee, alors qu’en donnant plus de poids a la premiere

composante de la vitesse, c’est dans la couche limite que les effets de l’adaptation

sont les plus visibles.

Le code de resolution peut bien entendu encore etre ameliore. En premier lieu,

pour pouvoir traiter des cas plus complexes et plus realistes, les coordonnees cur-

vilignes devraient etre introduites. Ensuite, il est certainement possible de tirer un

meilleur parti de l’adaptation de maillage en choisissant au mieux les poids utilises

dans le critere de raffinage et en implantant egalement le deraffinage; concernant ce

dernier point, relevons que la structure de donnees utilisee (quadtree) est exactement

celle qu’il faut.



112



Annexe A

Details du schema numerique

Nous allons exposer quelques details sur la discretisation (3.24) des equations

PNS compressibles et sur la facon dont le programme de resolution a ete concu.

A.1 Matrices elementaires

Le systeme lineaire a resoudre est obtenu en assemblant les matrices elementaires

calculees sur chaque element provenant de la discretisation (3.24) qui est

ah(wh,w′h) − 1

2

I i=1

∂K ±

i

(Bi − M i)(wint

h −wexth ),w′

hint

dγ = (e,w′h)L2 ,(A.1)

avec

ah(wh,w′h) =I i=1

K i

(Ay∂ ywh,w

′h) +

(D ∂ ywh, ∂ yw′

h) + (∂ yD ∂ ywh,w′

h) dx . (A.2)

Nous supposons que la linearisation (2.18) a ete obtenue de telle facon que les coef-

ficients des matrices Ay, Bi− M i et D sont constants dans la direction x sur chaque

bande K i. Soit α un coefficient quelconque de l’une de ces matrices; soit un element

K lm = [xl−1, xl] × [ym−1, ym] et soient ψ1, ψ2 les fonctions de forme sur cet element.

Nous posons encore hx = xl− xl−1. Au vu de (A.1), (A.2), les matrices elementaires

qui interviennent pour le calcul du systeme lineaire ont donc des coefficients ayant

les formes suivantes avec 1 i, j 2,

113



114 A. Details du schema numerique

S ij = K lm

α ∂ yψ j ψi dx = hx

ymym−1

α ∂ yψ j ψi dy ,

Rij = K lm

α ∂ yψ j ∂ yψi dx = hx ymym−1

α ∂ yψ j ∂ yψi dy ,

Mij = ∂K ±

lm

α ψ j ψi dγ = ymym−1

(α ψ j ψi)x=xl−1 dy + ymym−1

(α ψ j ψi)x=xl dy .

Pour etre tout a fait rigoureux, il faudrait restreindre l’expression de Mij ci-dessus

aux bandes K i internes et traiter les cas particuliers sur Γ±; comme ces cas ne pre-

sentent aucune difficulte, nous ne les ecrirons pas explicitement. Au second membre,

le calcul du vecteur elementaire fait intervenir des integrales de la forme

fi = K lm

α ψi dx = hx ymym−1

α ψi dy .

De plus, nous avons utilise la stabilisation decrite au § 3.3.2 que nous ne recrirons

pas ici.

A.2 Integration numerique

Toutes les integrales ci-dessus peuvent etre approchees par la methode des tra-

pezes. Nous avons egalement experimente une autre methode d’integration nume-

rique qui consiste a supposer la fonction α constante sur chaque element et a evaluer

les integrales restantes exactement. En procedant ainsi, le calcul des matrices ele-

mentaires se fait une fois pour toutes (gain de temps), et nous avons constate sur

des essais numeriques que cette facon d’operer n’affectait pas la qualite de la so-

lution obtenue; aussi c’est celle que nous avons utilisee. De plus, il est ainsi facile

d’exprimer les contributions que l’on obtient pour une matrice. Par exemple, pourcalculer les contributions dues a la matrice Ay (cf. 3.26) dans (A.2), nous supposons

celle-ci constante (en fait, nous prenons sa valeur moyenne notee Ay sur l’element);

la matrice elementaire correspondante pour α = 1 est

S ij = K lm

∂ yψ j ψi dx ,

donc

S =

hx

2 −1 1

−1 1 ,



A.3. Calcul des matrices M i 115

et par consequent on en deduit que la contribution totale due a Ay est la matrice

blocs

hx2−

¯Ay

¯Ay−Ay Ay .

Les autres contributions sont traitees de facon analogue.

A.3 Calcul des matrices M i

L’expression algebrique des matrices M i = B2

i qui interviennent dans le schemaest trop complexe pour pouvoir etre utilisee (elle fait intervenir les racines de po-

lynomes de degre 3). Nous les avons donc calculees numeriquement grace a la bi-

bliotheque EISPACK (voir [S+76, G+77]) en utilisant les sous-programmes TRED2 et

TQL2.

A.4 Conditions aux limites

Les conditions aux limites sur Γ0 ont ete prises en compte par penalisation dans

le systeme lineaire.

A.5 Structures de donnees

A.5.1 Stockage du maillage

Nous explicitons dans ce paragraphe les structures de donnees dont il a ete

question au § 4.2.2. L’arbre quaternaire est stocke dans un tableau indice par les

elements dont la declaration FORTRAN est INTEGER ELEM(16,MAXEL) ou MAXEL est

le nombre maximum d’elements. Les 16 entiers par element contiennent les infor-

mations indiquees dans le tableau A.1 Les informations relatives aux nœuds sont

stockees dans un tableau indice par les nœuds dont la declaration FORTRAN est

INTEGER NOEUDS(2,MAXNOE) ou MAXNOE est le nombre maximum de nœuds. Pour

chaque nœud, la signification des deux entiers est donnee dans le tableau A.2.



116 A. Details du schema numerique

indice contenu

1 niveau de raffinage2 numero de l’ancetre au niveau 0

3 numero du pere

4–12 numeros des sommets et des sommets au centre ou au

milieu des aretes (lorsqu’ils existent)

13–16 numeros des fils

Tableau A.1. Champs du tableau ELEM.

indice contenu

1 0 si le nœud n’a pas de contrainte; sinon, le numero du

nœud auquel il est lie;

2 0 si le nœud n’est pas sur un bord du domaine; sinon,

le numero du bord.

Tableau A.2. Champs du tableau NOEUDS.

A.5.2 Utilisation de MA28

Le stockage “Morse” est utilise pour la matrice du systeme lineaire resolu au

moyen de la bibliotheque MA28 (voir § 4.2.3); plus precisement, si NZMAX designe le

nombre maximum de coefficients non nuls de la matrice, alors la matrice est stockee

dans les trois tableaux suivants donnes par leur declaration FORTRAN,

DOUBLE PRECISION ANZ(NZMAX) les coefficients de la matrice;

INTEGER INZ(NZMAX) indices ligne des coefficients;

INTEGER JNZ(NZMAX) indices colonne des coefficients.

Remarque A.1 Cette facon de stocker la matrice pose un probleme lors de l’as-

semblage. En effet, connaissant les indices ligne et colonne d’un coefficient, il faut

memoriser celui-ci au bon endroit de la matrice si une contribution a deja ete sto-

ckee pour cette paire d’indices, ou a la fin du tableau ANZ sinon. Rechercher dans



A.5. Structures de donnees 117

les tableaux INZ et JNZ si la paire d’indices y figure deja est extremement couteux;

aussi, nous utilisons un tableau auxiliaire nomme IANZ contenant pour chaque ligne

les indices colonne des coefficients et de cette facon il suffit uniquement de tester sil’indice colonne figure dans la ligne concernee.



118



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124



Curriculum vitæ

Je suis ne le 4 juillet 1961. Apres avoir effectue ma scolarite obligatoire, j’ai frequente

le gymnase francais de Bienne ou j’ai obtenu une maturite de type C en 1980. Entre

1980 et 1982, puis entre 1983 et 1986, j’ai poursuivi mes etudes a l’universite de

Neuchatel qui ont ete sanctionnees par l’obtention d’une licence es sciences, orien-

tation mathematiques. De mars 1986 a juin 1988 j’ai ete assistant du professeur J.

Rappaz avec lequel j’ai travaille sur des problemes d’electro-magnetisme, d’abord a

l’Universite de Neuchatel, puis a l’ Ecole Polytechnique Federale de Lausanne. Apres

cela, j’ai travaille avec le docteur Ph. Caussignac jusqu’en juin 1992 sur les equations

de Navier-Stokes parabolisees. Finalement, entre octobre 1992 et septembre 1993,

j’ai ete assistant du professeur P. Buser pour un projet de calcul des valeurs propres

de l’operateur de Laplace sur des surfaces de Riemann.

125

Documents

Phd Renggli