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Buts :� Déterminer la résultante d'un système de forces concourantes.� Calculer les moments de force d'un système mécanique en équi-

libre.� Mesurer le temps de descente de di�érents cylindres sur un plan

incliné.

Devoir à remettre à votre arrivée au laboratoire :

1.5 m

2.5 m

L 1M 2M3M

Trois masses sont en équilibre sur une balançoire dont on néglige la masse. Si les massesM1 et M2 valent chacune 10 kg, et que la masse M3 vaut 30 kg, calculer la distance L quipermet de maintenir cet équilibre. Utiliser le fait que s'il n'y a pas de rotation, la sommedes moments de force doit être nulle.

1 Théorie

1.1 Forces concourantes

Les quantités physiques mesurables se divisent en deux catégories : les scalaires et les vec-teurs. Une quantité scalaire est caractérisée par un seul nombre (qui représente la grandeurde cette quantité dans des unités appropriées), alors qu'un vecteur est caractérisé par unegrandeur et une direction. Par exemple, pour spéci�er complètement la vitesse d'une parti-cule, on doit donner sa grandeur et sa direction, donc la vitesse est une quantité vectorielle.Par contre, la masse d'un solide est une quantité scalaire car seule sa grandeur est nécessairepour qu'elle soit complètement dé�nie.

Dans le cas où plusieurs forces agissent sur un même point, on parlera de forces concourantes.Lorsqu'on est en présence de forces concourantes, on peut montrer que celles-ci peuvent êtreremplacées par une seule force appelée résultante. L'e�et de la force résultante est le mêmeque celui produit par la somme des forces concourantes.

Prenons par exemple le cas d'un objet ponctuel placé au point O et subissant deux forcesreprésentées par les vecteurs . On suppose que l'objet est libre de se déplacer sous l'e�et des

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forces. La �gure suivante montre comment on peut additionner des forces concourantes a�nd'en déterminer la résultante.

OA

B

Figure 1: Forces concourantes

Les forces−→A et

−→B agissent sur le point O. Comme les deux forces sont concourantes, on

peut utiliser la méthode du polygone, qui consiste à déplacer le second vecteur à l'extrémitédu premier vecteur tout en conservant sa direction relative par rapport à ce dernier. Ontrace ensuite un vecteur du point O jusqu'à l'extrémité de

−→B . Ce nouveau vecteur

−→R est la

résultante.

OA

B

R

Figure 2: Vecteur résultant de l'addition de deux forces concourantes.

On note ici que la longueur des �èches représente la grandeur de chacune des forces . Dansle cas d'un système à trois forces, on procède comme sur la �gure suivante :

OA

A

B

B

C

C

R

Figure 3: Vecteur résultant de l'addition de trois forces concourantes.

Si la résultante des forces est non-nulle, alors l'objet situé en O va se déplacer et subir

6.2

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une accélération −→a telle que−→R = m−→a (loi de Newton). Pour qu'un objet soit en équilibre

et immobile (accélération nulle), il faut par conséquent respecter une des deux conditionssuivantes :

a) ou bien la résultante−→R est nulle.

b) ou alors on applique une force additionnelle (appelée équilibrante) qui vacompenser exactement l'e�et de la résultante.

1.2 Moments de force

Dans le cas où les forces appliquées sur un corps ne sont pas concourantes, il se peut quel'accélération du corps soit nulle mais qu'il tourne autour d'un axe (voir �gure suivante).

1F

2F

a b

Figure 4: Forces non concourantes.

Les forces−→F1 et

−→F2 sont appliquées à des points di�érents du disque. Comme elles sont d'égale

grandeur, il n'y aura pas d'accélération nette du disque (i.e. que le disque ne subira pas detranslation). Par contre, il se mettra à tourner dans le sens horaire de plus en plus vite :on parle alors d'accélération angulaire. Pour décrire cette situation, on dé�nit la quantitéappelée moment de force. Un corps subissant un moment de force non nul se mettra àtourner. Le moment de force est une quantité qui joue, en rotation, un rôle analogue à laforce en translation.

Le moment de force −→τ sur une particule par rapport à l'origine O est dé�ni comme le produitvectoriel de la force

−→F appliquée au point P, avec le vecteur −→r joignant le point O et le

point P.−→τ = −→r ×

−→F (1)

Il s'agit d'une quantité vectorielle dont la grandeur vaut τ = r F sin θ et dont la directionest perpendiculaire au plan formé par −→r et

−→F .

6.3

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O

x

y

z

P

τ

rF

θ

Figure 5: Moment de force.

Reprenons l'exemple précédent :

1F

2F

a O b1r

2r

Figure 6: Moments de force sur un disque.

Le moment de force au point O produit par−→F1 vaut :

−→τ 1 = −→r 1×−→F 1. Il s'agit d'un vecteur

dont la direction pointe vers le plan de la feuille et de grandeur r1F1. Le moment au pointO produit par

−→F2 vaut :

−→τ 2 = −→r 2 ×−→F 2. Ici également, ce vecteur pointe vers le plan de

la feuille et possède une grandeur égale à r2F2. Dans le cas où la somme des forces est bienégale à zéro (donc pas de déplacement latéral), mais la somme des moments au point O estnon nulle. Ceci fait en sorte que l'accélération angulaire autour du point O sera non nulle.

Pour qu'un corps soit en équilibre en présence de forces non concourantes, il faut donc quela résultante des forces appliquées soit nulle mais aussi que la somme des moments de forceen un point quelconque du corps soit nulle.

Note : Pour plus de détails, vous référer aux exemples donnés dans les référencesbibliographiques.

6.4

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1.3 Moment d'inertie

Nous savons qu'en dynamique de rotation, c'est le moment de force qui joue le même rôle quela force en translation. Chacun a déjà expérimenté qu'une faible poussée peut faire ouvrirune porte, à condition que celle-ci soit appliquée perpendiculairement à la porte et le plusloin possible de ses gonds.

C'est l'équation suivante qui régit la dynamique d'une particule :

−→τ = d−→l

dt(2)

où −→τ est le moment de force et−→l le moment cinétique de rotation. On rappelle que le

moment cinétique de rotation est dé�ni par :

−→l = −→r ×−→p (3)

où −→r est le vecteur joignant l'origine au point A, où l'on calcule le moment, et −→p la quantitéde mouvement de ce point. Dans le cas d'un système formé de n particules, on montre que :

−→τ ext =d−→L

dtoù L =

n∑i=1

−→li (4)

où −→τ ext est la somme des moments extérieurs et−→L le moment cinétique total. Un des

systèmes de particules les plus importants est sans doute le solide. Soit un solide tournantà une vitesse ω autour d'un axe �xe. Chaque particule possède une énergie cinétique. Lavitesse tangentielle d'une particule est donnée par v = ωr. Son énergie cinétique vaut :

K =1

2mv2 =

1

2mr2ω2 (5)

On introduit ici la notion de moment d'inertie :

I =∑

mir2i (6)

ce qui nous permet de réécrire l'équation précédente sous la forme :

K =1

2Iω2 (7)

Bien que la masse d'un corps ne soit pas fonction de sa position, son inertie de rotationdépend de l'axe autour duquel il tourne. On peut aussi montrer que pour un solide, l'équationqui régit sa dynamique de rotation est donnée par :

τ = Iα où α =dω

dt(8)

ce qui relie directement le moment de force à l'accélération angulaire α (analogie avec F =ma en translation). On rappelle quelques valeurs de moments d'inertie de solides simples :

6.5

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Figure 7: Quelques moments d'inertie.

(images tirées de MÉCANIQUE, Resnick-Halliday, éd. Du Renouveau pédagogique, Mtl1979)

1.3.1 Problème d'un cylindre plein roulant sur un plan incliné

Un cylindre plein, de masse m et de rayon R, roule sur un plan incliné d'un angle θ. Onveut déterminer l'accélération du cylindre. Il y a plusieurs façons de résoudre ce problème.La plus simple est probablement d'utiliser la loi de conservation de l'énergie.

θ

Rx=0

haxe des x

� L'énergie potentielle est donnée par : mgh = mgL sin θ ici g est l'accélérationgravitationnelle et vaut 9.8m/s2.

� L'énergie cinétique de translation vaut : 12mv2.

� L'énergie cinétique de rotation vaut : 12Iω2 où I est le moment d'inertie du cylindre

plein, et vaut 12mR2, et ω est la vitesse angulaire donnée par vR .

6.6

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Pour assurer la conservation de l'énergie, il faut que l'énergie potentiel en tout point, soitégale à la somme des énergies cinétiques de translation et de rotation. On a donc que :

1

2mv2 +

1

2Iω2 = mg x sin θ (9)

1

2mv2 +

1

2

(1

2mR2

)v2

R2= mg x sin θ (10)

1

2mv2 +

1

4mv2 = mg x sin θ (11)

3

4mv2 = mg x sin θ (12)

3

4m

(dx

dt

)2= mg x sin θ (13)

6

4mdx

dt

d2x

dt2=dx

dtmg sin θ (14)

On trouve donc que :

a =dx2

dt2=

2

3g sin θ (15)

L'accélération est constante et ne dépend pas de la masse du cylindre ni de son rayon !Le cylindre creux, lui, possède une dépendance à ses rayons (nous ne démontrons pas celaici).

2 Partie expérimentale

2.1 Équilibre des forces

Vous allez maintenant utiliser une table de force (voir �gure suivante) a�n de pouvoir véri�erles notions vues sur les forces concourantes et non concourantes.

Figure 8: Table de forces et moments de force.

6.7

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La table est composée d'un plateau métallique muni d'une tige en son centre. Un anneaumétallique est déposé autour de la tige centrale et est libre de glisser. On peut appliquerplusieurs forces sur l'anneau en y �xant des �ls reliés à des masses suspendues à l'aide depoulies. La table de force est graduée de 0 à 360o, permettant ainsi d'identi�er la directionde chacune des forces appliquées.

Note : Prendre soin de mettre la table à l'horizontale à l'aide du niveau à bulle.

Le moniteur vous fournira un tableau contenant une série de deux masses et une autrede trois masses dont vous devrez trouver la résultante ainsi que l'équilibrante à l'aide descomposantes x et y des forces (Utiliser une feuille supplémentaire pour e�ectuer vos calculs etannexez-la à votre rapport.). Obtenir expérimentalement la valeur de l'équilibrante, calculerl'erreur à l'aide de la méthode du polygone et comparer avec la prédiction théorique.

M1 θ1 M2 θ2 Mé θé Mé (théo.) θé(théo.)250 g 0o 250 g 120o

Calcul de l'équilibrante à l'aide des composantes x et y :

6.8

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Méthode du polygone :

M1 θ1 M2 θ2 M3 θ3 Mé θé Mé (théo.) θé(théo.)250 g 0o 250 g 120o 350 g 240o

Calcul de l'équilibrante à l'aide des composantes x et y :

6.9

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Méthode du polygone :

Discussion :

2.2 Moments de force et forces non-concourantes

Vous allez maintenant transformer la table de force en table de moments de force en ajou-tant un plateau métallique par-dessus celui reposant sur la table. On insèrera trois billesmétalliques entre les deux plateaux de telle sorte que le plateau supérieur puisse se déplacerlibrement.

Le dessus de la table de moments ressemble à ceci :

6.10

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Figure 9: Application des forces sur les pivots.

Pour que le disque soit en équilibre, il ne doit pas toucher à la tige cylindrique qui traverse soncentre. Les forces seront maintenant appliquées sur des tiges (pivots) pouvant être inséréesdans chacun des petits trous. À chacune des tiges est attachée une corde passant sur unepoulie. Une masse suspendue à cette corde appliquera la force.

poulie1F 2F

3F

Figure 10: Disque supérieur de la table des moments de force.

A�n de pouvoir prendre en note les directions relatives de chacune des forces appliquées,placer une feuille de papier perforée en son centre sur la plaque métallique avant d'enfoncerles tiges où seront appliquées les forces. Vous n'aurez qu'à tracer une ligne le long des cordesallant des anneaux aux poulies.

1) Trouver les conditions nécessaires pour maintenir en équilibre un système detrois masses (choisissez des masses d'au moins 200 g) reliées à des pivots devotre choix. Identi�er et annexer la feuille utilisée à votre rapport.

6.11

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Schéma des forces et directions :

2) Utiliser la méthode du polygone pour véri�er l'équilibre des forces. Reproduiregraphiquement le calcul dans l'espace ci-dessous.

Calculs :

Comme le disque ne tourne pas, cela nous dit que la somme des moments de force qui leferait tourner dans le sens horaire est égale à la somme des moments qui le ferait tournedans le sens antihoraire.

6.12

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3) Obtenir la valeur de chacun des moments de force par rapport à un pointquelconque (sauf le centre) du disque métallique et calculer leur somme. Vousdevez véri�er que la somme des moments horaires est égale à la somme desmoments antihoraires. Recommencer la même opération, mais en calculant lesmoments de force par rapport à un autre point du disque (di�érent du centre).

6.13

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Calculs des moments à partir du premier point choisi :

6.14

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Calculs des moments à partir du deuxième point choisi :

6.15

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Discuter de la précision des résultats :

Question : Dans l'expérience précédente, si on déplace le point d'application d'une desforces selon la direction de cette même force, est-ce que la résultante seraittoujours nulle ? Qu'arriverait-il à la somme des moments ? Quel mouvementaurait le disque s'il était libre de se mouvoir ?

2.3 Système complexe

Vous avez à votre disposition le montage suivant :

15

119

500 g

200 g

A

BC

D

poulie

rapporteur d’angle

dynamomètre

dynamomètre

Figure 11: Équilibre des forces non concourantes.

Reproduire ici le schéma des forces présentes dans le montage avec les masses choisies parle moniteur. Prendre soin de relever la distance entre chacun des rapporteurs d'angle �xéssur la tige.

6.16

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Schéma des forces et des directions :

Sur des feuilles que vous annexerez à votre rapport, déterminer lamasse et la position du centre de gravité de la tige. Pour ce faire, expliquer clairementla façon de procéder et faites des diagrammes indiquant votre façon de calculer ces deuxquantités. Comme la tige n'a pas de mouvement de translation, la somme des forces est nulleet cela doit vous permettre de trouver le poids de la tige. Comme la tige ne tourne pas, lasomme des moments est nulle et cela doit vous permettre de trouver le centre de masse dela tige. En e�et, on peut considérer que le poids de la tige s'exerce à son centre de masse.

Discuter vos résultats :

2.4 Rotation sur un plan incliné

Vous avez à votre disposition un plan incliné, un chronomètre et des cylindres variés.

6.17

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2.4.1 Cylindre plein

Utiliser le cylindre d'aluminium plein de 7.3 cm de diamètre. Mesurer précisément le tempsde descente et comparer avec la prédiction théorique. Nous avons vu que l'accélération ducylindre plein est donnée par :

a =2

3g sin θ (16)

On sait que la distance parcourue par un objet soumis à une accélération constante, sansvitesse initiale, est donnée par :

d =1

2a t2 (17)

Note : Vous devez mesurer l'inclinaison du plan pour obtenir θ. Mesurer également ladistance parcourue par le cylindre.

Angle du plan incliné : Longueur parcourue par le cylindre : Temps dedescente mesuré :

Calcul de la prédiction théorique :

Discuter vos résultats :

6.18

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2.4.2 Cylindre creux

Faire rouler, côte à côte, le cylindre plein d'aluminium de 7.3 cm de diamètre avec le cylindrecreux (même diamètre externe) de laiton. Noter que les deux cylindres ont exactement lamême masse. Noter vos observations ? Expliquer votre résultat avec ce que vous connaissezdes moments d'inertie.

Discuter vos résultats :

2.4.3 Cylindres pleins

Faire rouler côte à côte les deux cylindres d'aluminium (diamètre de 7.3 et 3.8 cm). Décrirevos observations et comparer avec la prédiction théorique.

Conclusion

6.19

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Références

[1] Resnick R. et Halliday D. Mécanique. Ed. du renouveau pédagogique, 1979. P. 546.

[2] Knight W. D. & Ruderman M. A. Kittel C. Mécanique (Berkeley vol. 1). LibraireArmand Colin, 1972. p. 301.

6.20