PHQ360 Lignes à transmission - Université de Sherbrooke

PHQ360 Lignes à transmission

1 Introduction

Dans cette expérience, nous utiliserons des notions rencontrées dans le cours de phy-sique des phénomènes ondulatoires. On y traite notamment de la propagation d'impulsionsélectriques dans les lignes à transmission. Ainsi, il sera fait appel aux équations diéren-tielles appropriées qui permettent de déterminer les vitesses de propagation et les coecientsd'atténuation et de réexion. Nous étudierons aussi le câble coaxial et nous dénirons soninductance, sa capacité ainsi que ses caractéristiques d'atténuation.

2 Théorie

2.1 Ligne à transmission

2.1.1 Ligne à retard discrète

Soit le réseau suivant représentant une ligne à retard typique :

C C C

a

L

I I

L L

C/2C/2 n+1 I n-1n

Figure 1: Schéma d'une ligne à retard discrète.

En tenant compte du fait que chaque bobine d'inductance L possède une résistance R, et ennégligeant la résistance associée aux condensateurs non-idéaux, on peut écrire pour la nième

maille l'équation suivante :

LIn +RIn +1

C(Qn −Qn+1) = 0 ou I ≡ dI

dt(1)

En dérivant (1) par rapport au temps et puisque In+1 − In = dQn+1

dt et In − In−1 = dQndt , on

a :

In +RInL

+1

LC(2In − In+1 − In−1) = 0 (2)

L'équation (2) correspond à une équation d'onde pour une ligne discrète. La résolution decette équation est faite en détails à l'annexe 1. La solution de l'équation (2) peut s'écriresous forme d'une série de Fourier :


I(n, t) =∑km

Ikmei(ω′km t−kmna)e−β

′n (3)

où Ikm est la composante en fréquence du mode(ω′km , km

)et β′ le coecient d'atténuation

par maille. Les unités de mesure de l'atténuation sont les dB, tels que décrits à l'annexe F.On peut aussi parler du coecient d'atténuation par unité de temps β, qui est donné par :

β =R

2Let β′ =

(β

v

)avec v la vitesse en mailles/seconde (4)

Pour une longueur de ligne à transmission nie, les valeurs de k sont quantiées. Cesvaleurs s'obtiennent à partir des conditions aux frontières. Si l'on considère des conditionsaux frontières xes (on a alors un n÷ud (I = 0) en chacun des bouts de la ligne), les valeurspossibles de k sont :

km =πm

Na(m : entier, N : nbre total de mailles) (5)

La relation de dispersion d'une ligne discrète est donnée par :

ω′2km =4

LCsin2

(kma

2

)− R2

4L2(6)

qui peut également s'écrire :

ω′2km = 4v2 sin2

(kma

2

)−β2 ou v =

1√LC

:

(mailles

seconde

)et β2 =

R2

4L2β′ =

R

2Z0Z0 =

√L

C

où Z0 est l'impédance caractéristique de la ligne (voir annexe 2). Cette relation est illustréegraphiquement à la gure 2.

k =kk

ω'

ω'

πa

c

max0

zone nondispersive

Figure 2: Relation de dispersion d'une ligne à retard discrète.

Remarquons qu'il y a une valeur critique de k dans (6) en deçà de laquelle la propagationn'est plus possible, i.e. ω′2k0 < 0. Le nombre d'onde critique k0 associé est de l'ordre del'atténuation par maille soit :

6.2


k0 ≈1

a

(β

v

)(7)

La dépendance en sin2() de ω′2km xe une limite supérieure aux valeurs possibles de ω′km . Lavaleur maximale que peut prendre ω′km est :

ω′c =√

4v2 − β2 ≈ 2√LC

(8)

Il n'y a pas de propagation possible au-delà de cette fréquence. ω′c est appelée fréquencede coupure . La demi-longueur d'onde à la fréquence de coupure est égale au pas du réseau.

Note : Il est important de se rappeler qu'ici R, L et C sont respectivement la résistance,l'inductance et la capacité par maille.

2.1.2 Ligne à retard continue sans pertes

La gure suivante montre une ligne à transmission idéale (sans pertes). À chaque maille,on retrouve maintenant une inductance par unité de longueur L de même qu'une capacitépar unité de longueur C, mais la résistance par maille est R = 0.

CδxLδx

I(x)

V(x) V(x+δx)

I(x+δx)

Figure 3: Ligne à retard continue sans pertes.

L'annexe 2 donne la solution détaillée de ce problème. Pour simplier la notation, nousdonnerons la solution en omettant de sommer sur toutes les composantes de Fourier. Latension et le courant sont donc donnés par :

V = V0ei(ωt−kx) (9)

I = I0ei(ωt−kx) (10)

la vitesse de phase (en mètre/seconde) est donnée par :

v =ω

k=

1√LC

(11)

et l'impédance caractéristique de la ligne est :

V0

I0=

√L

C= Z0 (12)

6.3


Remarquer la relation de dispersion (11) qui montre que toutes les composantes en fréquencese propagent à la même vitesse. Il s'ensuit qu'il n'y aura aucune déformation ni atténuationdu signal. Remarquer aussi que le courant est en phase avec la tension, ce qui n'était pasle cas dans la ligne discrète. L'impédance de la ligne est également indépendante de salongueur.

2.1.3 Ligne à retard continue avec pertes

Regardons maintenant le cas d'une ligne à transmission possédant une résistance parunité de longueur R en série avec l'inductance et une conductance par unité de longueur Gen parallèle avec la capacité.

Cδx

LδxLδx Lδx Rδx

1

RδxRδx

GδxCδx Cδx1Gδx

1Gδx

Figure 4: Ligne à retard continue avec pertes.

L'annexe 3 traite ce problème en détails. Voyons ce qui en résulte. On trouve une impédancecaractéristique complexe :

L = L+R

iωet C = C +

G

iω(13)

La vitesse de phase est donnée par :

v =1√LC

=1√(

L+ iRω) (C − iGω

) (14)

et l'impédance caractéristique est :

Z =

√L

C=

√L− iRωC − iGω

(15)

Il y aura donc un déphasage entre la tension et le courant dans la ligne. De plus, la vitessede phase dépend explicitement de la fréquence, ce qui cause de la dispersion. Des ondes defréquences diérentes auront des vitesses diérentes. Une impulsion composée de plusieursfréquences se verra donc déformée le long de la ligne. Il est donc important de réduire lespertes au maximum en utilisant des matériaux de qualité si on veut préserver la qualité dessignaux.

Z0 =√L/C est l'impédance lorsqu'on pose R = G = 0.

6.4


En supposant que R ωL (bonne conductivité le long de la ligne) et G ωC (faibleconductivité entre les lignes), on peut faire une expansion en série de Taylor pour obtenir :

k ≈ ω√LC

[1− i

2ω

(R

L+G

C

)](16)

Vous voyez ici que k est complexe et que cela donnera lieu à de l'atténuation. Rappelonsque la solution de l'équation d'onde est de la forme :

V = V0ei(ωt−kx) (17)

En remplaçant k par k = α+ iβ on a comme solution nale :

V = V0ei(ωt−kx) = V0e

−βxei(ωt−αx) (18)(α ≈ ω

√LC)est le vecteur d'onde (λ = 2π/α) et β est l'atténuation par unité de longueur.

Généralement, on peut écrire que :

β ≈ R

2Z0(19)

car G est généralement très faible pour une ligne à faible impédance comme le câble coaxial.

2.1.4 Déformation du signal

Dans l'expérience, vous devrez générer un train d'impulsions dont la tension en fonctiondu temps est donnée par :

V (t) = V0 t ∈ [T · j, T × j + ∆t]V (t) = 0 t ∈ [T · j + ∆t, T (j + 1)] où j = 0, 1, 2, ...

V(t)

V

∆t

T 2TT+t ∆t 2T+∆ t

0

Figure 5: Train d'impulsions.

Puisque ce signal est périodique (de période T ), on peut l'écrire en termes d'une série deFourier :

V (t) =∞∑

n=−∞Vne

iωnt (20)

6.5


On a V (t) = V (t+ T ), la période étant T = 2πnωn

.

Vn =1

2πT

∫ T

0V (T ) e−iωntdt (21)

Vn =V0

2πT

∫ ∆t

0e−iωntdt = − V0

2πT

(e−iωn∆t − 1

)iωn

Vn =V0

πTe−iωn∆t/2 · sin (ωn∆t/2)

ωn(22)

Le premier zéro de Vn(ω) se situe à ω = ωs = 2π/∆t. On peut considérer en premièreapproximation que l'impulsion ne comprend que des composantes de fréquences comprisesentre 0 et 2π/∆t. Pour qu'il n'y ait pas de déformation du signal lors du trajet dans lecircuit, il faut que la vitesse de phase soit la même pour toutes les composantes en fréquencede V (t) :

nω

nV

ω

∆tV2π t

ωe s

0

Figure 6: Composantes en fréquence d'un train d'impulsions.

donc égale à la vitesse de groupe(v = 1√

LC

). Il faut donc que l'étalement en fréquence du

signal se restreigne à la région linéaire de la relation de dispersion. Dans le cas de la lignediscrète, on est dans une telle situation si la largeur de l'impulsion vérie la relation :

∆t π√LC (23)

Si cette relation n'est pas respectée, le signal transmis sera déformé par rapport au signald'entrée.

6.6


k k k

ω

ω

cωs

ωε

max0

Figure 7: Relation de dispersion d'une ligne avec pertes.

Note : Pour β petit, la relation ω(k) est linéaire jusqu'à de très petites valeurs de k.Par conséquent, on peut considérer que les composantes de fréquence ωε et ωsse propagent à la même vitesse dans la ligne.

2.1.5 Coecient de réexion

Considérons le schéma suivant :

L

LZC

Figure 8: Fin d'une ligne à retard.

Quand l'impulsion arrive au bout de la ligne à retard, une partie sera rééchie dans la ligneet l'autre transmise dans la résistance de sortie. Le coecient de réexion (en tension) Γ estdonné par(Annexes D et E) :

Γ =ZL − Z0

ZL + Z0(24)

où ZL est l'impédance de charge et Z0 l'impédance caractéristique de la ligne. De façongénérale, on peut dénir les coecients de réexion et de transmission par :

Γ =Z2 − Z1

Z2 + Z1et T = 1 + Γ (25)

où Z1 est l'impédance du milieu incident et Z2 l'impédance du milieu vers lequel se dirigel'impulsion. Noter que pour la puissance, on a que PR + PT = Ptot.

Considérons maintenant 3 cas : ZL = Z0, ZL = 0 et ZL →∞

6.7


1. ZL = Z0 On a Γ = 0 il n'y aura pas de réexion dans le circuit. Toute l'impulsionsera transmise et le courant sera dissipé dans R0 : la ligne parait innie.

2. ZL = 0 On a Γ = −1 donc une réexion dure, pas d'onde transmise et la tensionrééchie sera inversée.

3. ZL →∞ On a Γ = 1 donc une réexion molle, la tension rééchie n'est pas inver-sée.

Suite à la diérence de phase entre la tension et le courant, on aura des valeurs diérentespour le coecient de réexion du courant. Il est facile de voir que Γ = 0, 1 et − 1 selon queZL = Z0, ∞ ou 0 respectivement.

2.2 Câble coaxial

Un câble coaxial est composé de deux conducteurs cylindriques coaxiaux tel qu'illustréici. Le volume entre les deux conducteurs est rempli par un diélectrique de constante diélec-trique ε et de perméabilité µ. On peut associer à ce câble des valeurs d'inductance et decapacité par unité de longueur.

2a2a = 0.94 mm2b = 2.896 mm

conducteurdiélectrique

2b

Figure 9: Schéma d'un câble coaxial.

2.2.1 Détermination de L (inductance par unité de longueur)

Une des formes de lignes à transmission est le câble coaxial. Il est formé d'un conducteurcentral de rayon a entouré d'une gaine conductrice de rayon b. Les deux conducteurs sontséparés par un isolant de constante diélectrique ε et de perméabilité µ. C'est normalementle conducteur externe du câble coaxial qui est mis à la masse. Cela signie que :

les champs à l'extérieur du câble sont très faibles et il n'y a presque pas d'émissionde radiations électromagnétiques.

les champs parasites extérieurs ne peuvent pénétrer le câble, ce qui réduit le bruit.

La télévision utilise des câbles de 75 Ω, qui minimisent les pertes de signal. Par contre, sion désire passer une grande puissance, l'impédance optimale du câble devrait être près de30 Ω. Les appareils de laboratoire sont majoritairement conçus pour avoir une impédance de50 Ω. On utilise donc des câbles coaxiaux de 50 Ω pour transférer le maximum de puissanceet de signal d'un appareil à l'autre.

Faisant passer un courant I dans une section de câble de longueur dl, on obtient d'après laloi d'Ampère un champ magnétique H tel que :

2πrH = I (26)

6.8


et le ux magnétique peut être exprimé comme suit :

dφdl

=ddlµ

∫H · dA (27)

dl

dr

ab

Figure 10: Section d'un câble coaxial.

dφdl

= µ

∫ b

a

I

2π

drr

car dA = drdl

dφdl

= µI

2πln

[b

a

]et l'on obtient l'inductance par unité de longueur :

L =dLtotdl

=µ

2πln

[b

a

](28)

car Ltot est dénie comme étant le ux total divisé par le courant.

2.2.2 Détermination de C (capacité par unité de longueur)

Si une charge +Q est répartie sur une longueur dl du conducteur intérieur, une charge−Qsera induite sur la surface du conducteur extérieur. Il y aura un champ dans le diélectriquequi est donné, à l'aide du théorème de Gauss, par :∫

E · dA =∑ Qinterieur

ε(29)

E · 2πrdl =dQε

E =dQ

2πεrdl(30)

Le potentiel entre deux conducteurs est déni par :

V =

∫E · dr (31)

6.9


V =

∫ b

a

dQ2πεdl

· drr

V =dQ

2πεdlln

[b

a

](32)

d'où on tire la capacité par unité de longueur :

C =2πε

ln[ba

] =dQV dl

(33)

car Ctot est dénie comme étant la charge totale divisée par le potentiel. Donc nous avonsaussi que :

Z0 =

√L

C=

ln[ba

]2π

√µ

ε(34)

et v =1√µε

(35)

ce qui donne :

ε =ln[ba

]2πZ0v

et µ =2πZ0

v ln[ba

] (36)

3 Partie expérimentale

3.1 Partie I : Ligne à retard

entrée entrée entrée

oscillosour

ce RL

sortie sortie sortie

masse masse masse masse massemasse

Figure 11: Ligne à retard.

Réaliser le montage de la gure précédente en utilisant 3 boites de 15 mailles L-Cchacune. Chaque maille comprend une capacité de 400 pF et une inductance de 0.1mH.

Choisir à la source des impulsions carrées d'une largeur d'environ 5 µs.

Le fait d'avoir 3 boites en série permet d'avoir un bon délai entre les impulsions et ainsid'utiliser une largeur d'impulsion grande devant π

√LC.

1. Avec RL = 0

En plus de l'impulsion d'entrée, vous observerez d'autres impulsions qui vont en décroissant.

D'où proviennent-elles ?

6.10


Décrire ce que vous voyez à l'oscilloscope et expliquer le mécanisme en cause. Ces impulsions décroissantes sont-elles déformées les unes par rapport aux autres ? Pourquoi la première impulsion n'a que 9 volt d'amplitude ?

2. Avec RL =∞

Y a-t-il une diérence avec le cas RL = 0 ? Décrire ce que vous voyez à l'oscilloscope etexpliquer le mécanisme en cause.

3. Reprendre RL = 0

a) Mesurer l'atténuation du signal en utilisant les 5 premiers pics rééchis.

On vous suggère d'utiliser la surface des pics (utiliser le logiciel disponible) et non seulementla hauteur pour caractériser l'atténuation du signal, car celui-ci reste déformé malgré noseorts pour choisir une bonne largeur d'impulsion.

Attention : Pour mesurer correctement l'atténuation due à la résistance de la ligne, ilfaut d'abord corriger les mesures en tenant compte de la perte de signal subielors des réexions. Discuter avec le moniteur de la façon de procéder pourfaire ces corrections.

La pente m du graphique de ln (surface des pics) en fonction du nombre de mailles traverséesvous donne une valeur pour β′ , β′exp = −m . Cette valeur de β′ est un test expérimentalde la théorie et en particulier de la formule β′ = R

2Z0(R=résistance/maille). Il s'agit ici de

l'atténuation par maille.

b) Chercher la valeur de RL qui permet d'annuler les pics rééchis par le circuit.Cette valeur de RL correspond à l'impédance caractéristique du circuit, Z0.

c) Reprendre RL = 0 et réduire la largeur des impulsions à la source. Lesimpulsions de retour sont-elles déformées les unes par rapport aux autres ?

d) Choisir une largeur d'impulsion que 5 µs . Vous voyez les impulsions sechevaucher, expliquer.

e) Choisir maintenant un signal très étroit pour faciliter la mesure de l'écart detemps entre les impulsions. Vous pourrez en tirer le nombre de mailles quetraverse le signal par unité de temps (v).

6.11


4. Débrancher la source et mesurer la résistance Rtot entre les deux extrémitésde la chaine d'inductance.

5. Vous avez maintenant accès aux paramètres suivants :

L =Z0

vC =

1

Z0vR =

Rtotnbre de mailles

β =Rv

2Zo(att./unité de temps) β′ =

R

2Z0(att./maille)

Pour les boites que vous utilisez, pour une maille on a que : L = 0.1mH et C = 400 pf.

6. À l'aide des valeurs de L et C, vous pouvez comparer la largeur de l'impulsionque nous avons choisie au temps caractéristique π

√LC associé à la fréquence

de coupure. Qu'en concluez-vous ?

3.2 Partie II : Câbles coaxiaux

3.2.1 Introduction aux réexions

source

source

source

source

oscillo

oscillo

oscillo

oscillo

2.5 m

2.5 m

10 m 2.5 m

2.5 m

2.5 m 2.5 m

2.5 m

A

B

C

D

2.5 m

adaptateur 50 Ω

adaptateur 50 Ω

Figure 12: Congurations pour observer des réexions.

Note : Pour les manipulations avec les câbles coaxiaux, vous devrez utiliser des im-pulsions d'une largeur de 10 ns (noter que vous devrez utiliser une fréquenced'au moins 10 kHz).

Discuter avec le moniteur de l'utilisation d'un atténuateur (6 dB) placé directement à lasortie de la source. Cela facilitera l'identication des pics.

6.12


Pour chacun des montages précédents, mesurer l'amplitude du premier et du deuxième(si possible) pic transmis à l'oscilloscope ainsi que le temps écoulé entre ces deux pics.Expliquer quantitativement les diérences observées entre les quatre situations.

Note : Il y a certains pics dont on ne peut calculer correctement les hauteurs. La guresuivante montre un exemple.

Figure 13: Pic provenant d'une réexion avec la source.

Avant de procéder aux mesures, nous allons jeter un coup d'oeil sur le choix de la largeurd'impulsion. Réaliser le montage A et regarder le signal à l'oscilloscope. Varier la largeurd'impulsion de 5 à 40 nsec (la source doit avoir une fréquence de répétition d'au moins 10kHz pour produire des impulsions de 5 nsec). Vous voyez que le signal subit une atténuationmarquée lorsque la durée de l'impulsion est très courte. Les mesures de hauteur seront donctoujours inférieures aux prédictions théoriques. Remettre la largeur des impulsions à 10 nsecet procéder aux mesures demandées plus haut.

3.2.2 Réexions et caractéristiques des câbles coaxiaux

Réaliser maintenant le montage suivant :

source

oscillo

RL 10 m

2.5 m

Figure 14: Réexions d'un câble de 10 m.

Pour RL = ∞, vous devriez obtenir un signal à l'oscilloscope qui ressemble à ceci(avec une largeur d'impulsion faible) :

6.13


Figure 15: Signal normalement observé avec le câble de 10 m.

Expliquer d'où proviennent les 5 premiers pics du signal que vous observez à l'os-cilloscope. Pour vous aider, mesurer le temps écoulé entre chaque pic et calculer ladistance parcourue par le signal en utilisant la vitesse spéciée par le fabricant.

En utilisant RL = 0, décrire ce que vous obtenez maintenant. Utiliser le potentiomètre et varier RL de façon à faire disparaitre les réexions au

bout du câble. Quelle est la valeur de Z0 obtenue ? Noter qu'il faut évitez les boitesà décades dont les résistances sont constituées d'enroulements de l résistif à causede leur inductance.

Comparer la valeur de Z0 avec la résistance CC du câble qui est de 28.9 ohm/km. Pourquoi la plupart des sources CA ont-elles une impédance de sortie voisine de

50 Ω ? Mesurer la vitesse de propagation v en m/s à partir du temps séparant les pics 1 et

5. Dites comment vous avez procédé pour obtenir une valeur précise (longueur ducâble, etc.).

À l'aide des valeurs obtenues de Z0 et v, calculer L, C, µ et ε. Discuter des valeurs obtenues pour la vitesse de propagation, µ et ε. Comparer les

valeurs obtenues pour L et C aux spécications du câble.

6.14


3.2.3 Atténuation par unité de longueur

source

oscillounion

(câbles: 5m, 10m, 15m, ...)

câble amorce 1m

Figure 16: Montage pour mesurer l'atténuation.

Utiliser des impulsions de 10 ns de largeur et de 5 V d'amplitude. Pour déterminer l'atténuation

(V = V0e

−βx), il n'est pas nécessaire ici de mesurer lasurface sous l'impulsion, on se contentera de sa hauteur. Pour cela, réaliser le montageci-dessus.

Mesurer d'abord la hauteur du signal V0 transmis à l'oscilloscope en utilisant uni-quement le câble d'amorce.

Mesurer de nouveau la hauteur de ce signal, mais en ajoutant d'autres câbles (pos-sibilité de les mettre en série) au bout du câble d'amorce. Vous pouvez égalementutiliser le câble de 215 m.

Calculer le coecient d'atténuation par unité de longueur : β = R2Z0

Pouvez-vous expliquer la perte de signal par β seulement ? De quoi avons-nous omisde tenir compte ? Faites une mesure avec une impulsion d'une durée de 1µs avec unlong câble (215 m) pour appuyer votre réponse.

3.2.4 Atténuation en fonction de la fréquence (à la discrétion du moniteur)

N.B. Ne pas utiliser d'atténuateur à la sortie de la source.

Ici on n'utilisera pas des impulsions mais bien un signal sinusoïdal. Utiliser seulement le câble d'amorce et régler la fréquence du générateur à 1 MHz

avec une amplitude de 5 Vpp. Mesurer cette amplitude de référence à l'oscilloscope. Mesurer maintenant l'atténuation en dB (voir annexe F) du câble de 215 m en fonc-

tion de la fréquence. Faites la mesure pour des fréquences de 1-10-50-100 et 200MHz. Comparer avec les spécications du fabricant sachant que la bande passantede l'oscilloscope utilisé est de 200MHz.

Est-ce que les câbles coaxiaux sont bien adaptés pour le transport de l'informationnumérique sur de longues distances ?

6.15


Spécications du câble coaxial BELDEN 58 A/U 8219

Références

[1] Purcell A. M. Gutmann C. and Lallemand P. Électricité et magnétisme (Berkeley :cours de physique, volume 2). Librairie Armand Colin, 1973.

[2] Chedd G. Sound : From communication to Noise Pollution. Doubleday, 1970.

[3] Brophy James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.

[4] Crawford F. S. Ondes (Berkeley : cours de physique, volume 3). Dunod, 1999.

6.16


Annexe A : Ligne à retard discrète

Soit le réseau suivant représentant une ligne à retard typique :

C C C

a

L

I I

L L

C/2C/2 n+1 I n-1n

Figure A-1: Ligne à retard discrète.

En tenant compte du fait que chaque bobine d'inductance L possède une résistance R, et ennégligeant la résistance associée aux condensateurs non-idéaux, on peut écrire pour la nième

maille l'équation suivante :

LIn +RIn +1

C(Qn −Qn+1) = 0 où I ≡ dI

dt(A-1)

En dérivant (A-1) par rapport au temps et puisque In+1 − In = dQn+1

dt et In − In−1 = dQndt

On a :

In +RInL

+1

LC(2In − In+1 − In−1) = 0 (A-2)

L'équation (A-2) correspond à une équation d'onde pour une ligne discrète. Posons unesolution du type :

In = I0ei(ωt−kna) In+1 = I0e

i(ωt−kna)e−ika In−1 = I0ei(ωt−kna)e+ika (A-3)

Portant cette solution dans (A-2) on obtient :

−ω2I0 +R

LiωI0 +

IoLC

(2− eika − e+ika

)= 0

−ω2 +R

Liω +

1

LC(2− 2 cos ka) = 0

ω2 − iωRL

+2

LC(cos ka− 1) = 0

ω2 − iωRL− 4

LCsin2 ka

2= 0

On cherche les racines de cette équation :

ω =iRL ±

(i2R2

L2 + 16LC sin2 ka

2

)1/2

2

Comme la fréquence doit être positive :

ω =

(4

LCsin2 ka

2− R2

4L2

)1/2

+ iR

2L(A-4)

6.17


On voit donc apparaitre une partie imaginaire à la fréquence, ce qui va donner lieu à l'atté-nuation du signal en fonction du temps. En reportant cette solution dans (A-3), on trouve :

I(n, t) = I0ei

[(i R2L

+(

4LC

sin2 ka2−R

2

4L

)1/2)t−nka

]

I(n, t) = I0ei[ω′t−nka]e−

R2Lt (A-5)

avec :

ω′ =

(4

LCsin2 ka

2− R2

4L2

)1/2

(A-6)

On peut aussi réécrire (A-6) comme étant :

ω′2km = 4v2 sin2

(kma

2

)− β2 où v =

1√LC

(mailles

seconde

)et β2 =

R2

4L2

(attenuation

seconde

)Très souvent, on écrit la solution en termes des coecients de Fourier pour mettre en évidencece qui se passe en fonction de la fréquence. Pour la ligne discrète, les valeurs possibles de ksont :

km = mπNa avec m entier et N, le nombre total de mailles.

La solution peut donc s'écrire :

I(n, t) =∑km

Ikmei(ω′km t−kmna)e−βt avec β =

R

2L(A-7)

L'atténuation est contenue dans le terme e−βt. Cette forme n'est pas très pratique puisqueen réalité, on mesure plutôt une atténuation par unité de maille. On peut donc réécrire :

I(n, t) =∑km

Ikmei(ω′km t−kmna)e−β

′n (A-8)

où β′ =(βv

)est l'atténuation/maille et v la vitesse en mailles/seconde.

Remarquer que l'atténuation dépend de la fréquence par l'entremise du vecteur d'onde car :

t = navϕ

= nakmω′km

, ce qui conduit à une atténuation de la forme :

e

−Rna2L

km(4LC

sin2 kma2 − R2

4L2

)1/2

C'est uniquement lorsque R2

L2 4LC sin2 kma

2 et que kma est faible que l'atténuation devientla même pour diérentes fréquences.

6.18


Annexe B : Ligne à transmission continue idéale

La gure suivante montre une ligne à transmission idéale (sans pertes). À chaque maille,on retrouve une inductance par unité de longueur L de même qu'une capacité par unité delongueur C, mais la résistance par maille est R = 0.

CδxLδx

I(x)

V(x) V(x+δx)

I(x+δx)

Figure B-1: Ligne à retard continue sans pertes.

La diérence de potentiel entre deux points le long de la ligne s'écrit :

4V =∂V

∂xδx = −Lδx∂I

∂t(B-9)

Cela nous dit que le courant varie selon la position :

∂I

∂xδx = −Cδx∂V

∂t(B-10)

On peut réécrire (B-9) et (B-10) sous la forme :

∂V

∂x= −L∂I

∂t(B-11)

∂I

∂x= −C∂V

∂t(B-12)

Ces deux dernières équations portent le nom d'équations des télégraphistes . Diérencions(B-11) par rapport au temps :

∂2V

∂x∂t= −L∂

2I

∂2t(B-13)

et diérencions (B-12) par rapport à x :

∂2I

∂x2= −C ∂2V

∂t∂x(B-14)

En reportant (B-13) dans (B-14) cela donne :

∂2I

∂x2= LC

∂2I

∂t2(B-15)

On reprend le même raisonnement en diérenciant (B-11) par rapport à x et (B-12) parrapport au temps et on trouve :

∂2V

∂x2= LC

∂2V

∂t2(B-16)

6.19


Les équations (B-15) et (B-16) sont des équations d'onde pour le courant et la tension dansla ligne par rapport à la masse. La vitesse de propagation des ondes est :

v =1√LC

(B-17)

Les solutions de ces équations sont de la forme :

V = V0ei(ωt−kx) (B-18)

I = I0ei(ωt−kx) (B-19)

et la vitesse de phase est donnée par :

v =ω

k=

1√LC

(B-20)

Comme l'inductance et la capacité par unité de longueur sont des valeurs positives, celaimplique que si la fréquence est réelle, alors le vecteur d'onde sera aussi réel. L'onde sepropage donc le long de la ligne avec une amplitude constante. C'est normal car nous avonssupposé qu'il n'y avait pas de résistance sur la ligne.

En reportant la solution dans (B-11) et (B-12), on trouve :

kV0 = ωLI0 (B-21)

kI0 = ωCV0 (B-22)

d'où :V0

I0=

√L

C= Z0 (B-23)

Le rapport de la tension sur le courant est appelé impédance caractéristique de la ligne.

Noter que comme L et C sont des valeurs réelles, le courant et la tension sont en phase,contrairement au cas de la ligne discrète.

6.20


Annexe C : Ligne à transmission continue avec pertes

Attaquons-nous maintenant au problème plus réel d'une ligne à transmission possédantune résistance par unité de longueur R en série avec l'inductance et une conductance parunité de longueur G en parallèle avec la capacité.

Cδx

LδxLδx Lδx Rδx

1

RδxRδx

GδxCδx Cδx1Gδx

1Gδx

Figure C-1: Ligne à retard continue avec pertes.

Pour écrire les équations qui régissent la tension et le courant, on se réfère au schéma suivant :

Lδx RδxCδx Gδx

1V(x)

I(x)

V(x+δx)

I(x+δx)

Figure C-2: Courant et tension dans une ligne à retard continue avec pertes.

On peut donc écrire :∂V

∂x= −L∂I

∂t−RI (C-24)

∂I

∂x= −C∂V

∂t−GV (C-25)

Pour simplier, considérons que nous avons une onde qui se propage avec une seule fréquencebien dénie ω. Nous verrons plus loin la justication de cette supposition. Dans ce cas, onpeut remplacer chaque dérivée temporelle par iω :

∂V

∂x= −iωLI −RI = −L∂I

∂t(C-26)

∂I

∂x= −iωCV −GV = −C ∂V

∂t(C-27)

avec :

L = L+R

iωet C = C +

G

iω(C-28)

6.21


Les équations (C-24) et (C-25) sont identiques à celles trouvées pour une ligne idéale àcondition de remplacer C et L par les quantités complexes C et L. On peut donc solutionnerles équations comme dans le cas de la ligne idéale et obtenir la vitesse de phase :

v =1√LC

=1√(

L+ iRω) (C − iGω

) (C-29)

et pour l'impédance caractéristique :

Z =

√L

C=

√L− iRωC − iGω

(C-30)

Noter que comme l'impédance est complexe, il y aura un déphasage entre la tension et lecourant dans la ligne. De plus, la vitesse de phase dépend explicitement de la fréquence, cequi cause de la dispersion. Des ondes de fréquences diérentes auront des vitesses diérentes.Une impulsion composée de plusieurs fréquences se verra donc déformée le long de la ligne. Ilest donc important de réduire les pertes au maximum en utilisant des matériaux de qualitési on veut préserver la qualité des signaux. Rappelons que la solution de l'équation d'ondeest de la forme :

V = V0ei(ωt−kx) (C-31)

et que la vitesse de phase est donnée par v=ωk . En introduisant la vitesse de phase dans la

relation (C-29), cela nous permet donc d'écrire que :

k = ω√LC

√(1− iR

ωL

)(1− iG

ωC

)(C-32)

En supposant que R ωL (bonne conductivité le long de la ligne) et G ωC (faibleconductivité entre les lignes), on peut faire une expansion en série de Taylor pour obtenir :

k ≈ ω√LC

[1− i

2ω

(R

L+G

C

)](C-33)

On voit donc que cette fois-ci, c'est le vecteur d'onde qui contient la partie imaginaire quiva mener à l'atténuation du signal. Si on pose :

k = α+ iβ (C-34)

alors les parties réelle et imaginaire donnent :

α ≈ ω√LC (C-35)

et

β ≈ 1

2

(R

Z0+GZ0

)(C-36)

où Z0 =√L/C est l'impédance lorsqu'on pose R = G = 0. Normalement, on néglige le

deuxième terme et il ne reste que :

β ≈ R

2Z0(C-37)

6.22


La solution nale est donc :

V = V0ei(ωt−kx) = V0e

−βxei(ωt−αx) (C-38)

α est le vecteur d'onde (λ = 2π/α) et β est l'atténuation par unité de longueur.

Remarquer que la partie réelle du vecteur d'onde(α ≈ ω

√LC)est indépendante de

R et G. Cela signie que la longueur d'onde de l'onde se propageant dans la ligne n'estpresque pas aectée par les pertes. Normalement, l'utilisation d'un bon câble donne un βassez faible. Cela permet de propager des impulsions sur de bonnes distances. L'équation(C-36) montre que l'atténuation sur une ligne de haute impédance résulte principalementde la conductance entre les câbles. Pour un câble de faible impédance, c'est la résistance lelong de la ligne qui est la principale cause de l'atténuation.

6.23


Annexe D : Coecient de réexion (adaptation d'impédance)

Lorsqu'on utilise une ligne à transmission, c'est pour faire parvenir une onde d'un pointà un autre. Lorsqu'on termine la ligne en la branchant sur une charge (ou un appareil ayantlui aussi une certaine impédance), on voit apparaitre des réexions dès que la charge nepossède pas une impédance égale à celle de la ligne utilisée. Dans un cas où il y a réexion,la solution de l'équation d'onde devient :

V = V0ei(ωt−kx) + ΓV0e

i(ωt+kx) (D-39)

Il s'agit d'une superposition d'ondes qui se propagent dans des directions diérentes. Demême, pour le courant on aura :

I =V0

Z0ei(ωt−kx) − ΓV0

Z0ei(ωt+kx) (D-40)

Noter le signe négatif du deuxième terme. Cela provient des équations (B-11) et (B-12) del'annexe sur la ligne à transmission continue idéale. Regardons maintenant au bout de laligne à transmission, où nous avons placé la charge ZL. Supposons qu'elle occupe la positionx = 0 :

L

LZC

Figure D-1: Bout d'une ligne à transmission.

V = V0eiωt (1 + Γ) (D-41)

I =V0

Z0eiωt (1− Γ) (D-42)

Ce qui donne :

ZL =V

I= Z0

1 + Γ

1− Γ(D-43)

On peut maintenant trouver le coecient de réexion Γ, qui nous donne l'amplitude relativeet la phase de l'onde rééchie, et on trouve :

Γ =ZL/Z0 − 1

ZL/Z0 + 1=ZL − Z0

ZL + Z0(D-44)

6.24


Γ est le coecient de réexion en tension. Le coecient de réexion en courant est la valeurnégative de Γ :

ΓI =Z0 − ZLZL + Z0

= −Γ (D-45)

En résumé, si la ligne de transmission est terminée par une charge ZL 6= Z0, le courant etla tension seront rééchis dans la ligne. Si au contraire ZL = Z0, alors il n'y aura aucuneréexion. Noter que pour une ligne à transmission idéale, Z0 est réelle, donc pour adapterl'impédance d'une telle ligne, il faut utiliser une résistance pure. Dans ce cas, toute l'énergieest dissipée par eet Joule dans la résistance.

Regardons maintenant ce qui se passe à un point xe dans le temps. Pour cela, écrivons latension donnée par une ligne de transmission terminée par une charge donnant une réexion :

V = V0eiωt(e−ikx + Γeikx

)(D-46)

Si on pose K = |K| eiφ, alors la tension s'écrit :

V = V0e(iωt+φ

2)(e−i(kx+φ

2 ) + |Γ| ei(kx+φ2 ))

(D-47)

La tension mesurée est la partie réelle donnée par :

Re [V ] = V0

[(1 + |Γ|) cos

(ωt+

φ

2

)cos

(kx+

φ

2

)+ (1− |Γ|) sin

(ωt+

φ

2

)sin

(kx+

φ

2

)](D-48)

Ce qui veut dire qu'à un temps donné, la tension varie de façon sinusoïdale le long de laligne et que la variation d'amplitude est comprise entre 1− |Γ|et 1 + |Γ|.

Puissance rééchie

Considérons des signaux sinusoïdaux pour lesquels on s'intéresse uniquement aux valeursmoyennes des puissances incidentes et rééchies. Nous travaillerons donc avec les valeursréelles des tensions et des courants. Si on place une charge ZL en x0, on aura :

Pinc (x0, t) = ZLI2inc (x0, t) (D-49)

Pref (x0, t) = −ZLI2ref (x0, t) (D-50)

On dénit le coecient de réexion énergétique R comme la valeur absolue du rapport entrela puissance moyenne rééchie sur la puissance moyenne incidente.

R =

∣∣∣∣〈Pref 〉〈Pinc〉

∣∣∣∣ ou encore R =

∣∣∣∣ZL − Z0

ZL + Z0

∣∣∣∣2 = |Γ|2 (D-51)

Si la terminaison est une des trois situations suivantes :- sortie ouverte : ZL =∞-en court circuit : ZL = 0-ZL imaginaire pur : ZL = iX

6.25


alors R = 1 et la terminaison est dite parfaite. Les terminaisons parfaites ne dissipent pasd'énergie. Lorsque la ligne est fermée sur son impédance caractéristique, alors la réexion estnulle. Toute la puissance est absorbée dans la terminaison. On dit alors qu'il y a adaptationd'impédance.

6.26


Annexe E : Réexion et transmission de façon imagée

https://en.wikipedia.org/wiki/Reflections_of_signals_on_conducting_lines

Nous allons étudier ici le cas des réexions à partir des lois de conservation, ce qui nous estbeaucoup plus familier et intuitif. Prenons l'exemple d'une fonction de type marche, V u(t)(où V est la hauteur de la marche et u(t), la fonction escalier d'une durée t), appliquée àun bout d'une ligne sans perte. Regardons ce qui se passe selon la terminaison de la ligne.La marche va donc se propager sur la ligne avec une vitesse κ, une tension incidente vi et àun point x de la ligne, on a :

vi = V u(κt− x)

Le courant incident ii est fonction de l'impédance caractéristique de la ligne (Z0) et estdonné par :

ii =viZ0

= Iu(κt− x)

iv

x

x

rv

iv ligne à transmission( )Vu trv

riii

Figure E-1: Fonction marche injectée dans une ligne à transmission.

Ligne en circuit ouvert

L'onde incidente qui parcourt la ligne n'est pas aectée par le fait que la ligne soit encircuit ouvert. En eet, cela ne produit aucun eet tant que l'impulsion n'atteint pas lebout de la ligne. Si la ligne possède une longueur l, l'impulsion arrivera au bout de la ligneaprès un temps égal à t = l/κ, et à ce point, le courant est nul (par dénition d'un circuitouvert). Comme les charges continuent d'arriver au bout de la ligne par le courant incident,et qu'aucun courant ne quitte la ligne, la conservation de la charge implique qu'il doit y

6.27


avoir un courant égal et de valeur opposée qui provient du bout de la ligne. Ce courant estle courant rééchi ir et comme

ir =vrZ0

il doit y avoir une tension vr qui produit le courant rééchi le long de la ligne. Cette tensionde réexion doit exister pour la satisfaire la conservation d'énergie. La source fournit del'énergie au rythme de viii. Cette énergie n'est pas dissipée dans la ligne (supposée idéale),ni dans aucune terminaison et doit donc aller quelque part. La seule direction est de retournerdans la ligne dans l'autre direction. Comme l'amplitude du courant rééchi est la même quecelle du courant incident, on a donc que :

vr = vi

Ces deux tensions vont s'additionner lorsque l'impulsion est rééchie et deux fois la tensionincidente apparaitra au bout de la ligne. Après un autre intervalle t = l/κ, l'impulsionrééchie revient au générateur et l'on retrouvera encore les conditions de zéro courant etdouble tension comme tout au long de la ligne. Si maintenant le générateur possède lamême impédance que la ligne (Z0), l'impulsion sera absorbée par la résistance interne dugénérateur et il n'y aura plus de réexions.

Cette histoire de tension doublée est pour le moins contre-intuitive. On peut essayer des'en faire une idée en considérant une ligne tellement courte qu'on peut l'ignorer dans notreanalyse. Le circuit équivalent d'un générateur dont l'impédance est adaptée à une charge Z0

à laquelle on applique une tension V est représenté à la gure suivante.

0Z0Z2V V

Figure E-2: Circuit équivalent d'un générateur relié à une ligne à transmission de longueurnégligeable, et adaptée à une charge Z0.

Le générateur peut être représenté par un générateur idéal d'une tension double de celle quevoit la charge Z0. Par contre, si le générateur est laissé en circuit ouvert, une tension 2Vapparait sur les terminaux de sortie du générateur, tel que l'illustre la gure suivante.

0Z2V 2V

Figure E-3: Circuit équivalent d'un générateur en circuit ouvert.

6.28


La même situation persiste si on insère une courte ligne à transmission entre le générateur etle circuit ouvert. Par contre, si on insère une ligne susamment longue d'impédance carac-téristique Z0, produisant un délai notable entre les deux bouts, un générateur initialementadapté avec l'impédance de la ligne aura une tension V à la sortie. Après un intervalle detemps susant (une fois une impulsion émise), une réexion reviendra du bout de la ligneavec l'information de la terminaison de la ligne, et la tension sera de 2V , comme avant.

Ligne en court-circuit

On peut décrire la réexion dans le cas en court-circuit de la même façon que dans le casdu circuit ouvert. Dans le cas du circuit ouvert, le courant est nul au bout de la ligne alorsqu'en court-circuit, c'est la tension qui est nulle au bout de la ligne. Toute l'énergie doitdonc encore être rééchie. La tension rééchie doit donc être égale, mais de signe opposée,à la tension incidente.

vr = −viir = −ii

La réexion revient donc le long de la ligne et la somme des deux tensions s'annule. Pour cequi est des courants, on a que :

Itot = ii − ir = ii − (−ii) = 2ii (E-52)

Impédance arbitraire

Pour une ligne qui se termine avec une charge équivalente à sa propre impédance, il n'yaura pas de réexion. Par dénition, terminer une ligne avec une impédance de charge égaleà l'impédance caractéristique de la ligne elle-même est l'équivalent d'une ligne de longueurinnie. Toute autre impédance de charge produira une réexion. L'amplitude de la réexionsera plus petite que l'amplitude de l'onde incidente si la l'impédance de la terminaisonest totalement ou partiellement résistive, car une partie de l'énergie de l'onde incidentesera dissipée dans cette résistance. La tension V0 aux bornes de ZL peut être calculée enremplaçant la n de la ligne par le générateur équivalent de la gure suivante :

0Z2 iV LZoV

Figure E-4: Circuit équivalent d'une onde incidente sur une ligne de transmission arrivantsur une impédance de charge.

Vo = 2ViZL

Zo + ZL

6.29


La tension de réexion Vr doit être telle qu'elle satisfasse Vi + Vr = V0.

Vr = Vo − Vi = 2ViZL

Zo + ZL− Vi = Vi

ZL − Z0

ZL + Z0

On dénit le coecient de réexion Γ par la relation :

Γ ≡ VrVi

De sorte qu'en substituant dans l'expression de Vr, on trouve :

Γ =VrVi

=ZL − Z0

ZL + Z0

Note : En imposant que Vi + Vr = V0, on voit immédiatement que l'on a que :1 + Γ = T , où T est coecient de transmission (vous n'avez qu'à diviser tousles termes par Vi).

En général, Γ est une fonction complexe, mais l'expression précédente nous dit que sonamplitude est limitée à

|Γ| ≤ 1 quand <(ZL), <(Zo) > 0

L'interprétation physique de cette relation est que la réexion ne peut être supérieure àl'onde incidente si uniquement des éléments passifs sont impliqués. Pour les cas particuliersdécrits plus tôt, on a :

Terminaison

circuit ouvert

court-circuit

Γ

L LZ R=

0 0Z R=

1Γ =1Γ = −

( ) 1,ℜ Γ <

( ) 0ℑ Γ =

Quand Z0 et ZL sont tous deux purement résistifs, Γ est purement réel. Dans le cas général, Γest complexe, ce qui a pour eet d'introduire un changement de phase entre l'onde incidenteet celle rééchie.

Annexe F : Les décibels

Les bels ou les décibels constituent une échelle de mesure logarithmique de l'intensité oude la puissance d'un signal. Cette mesure d'intensité est toujours faite relativement à uneintensité de référence, la valeur de celle-ci dépendant du contexte dans lequel on travaille.De manière générale, l'intensité en bels, IB, d'un signal d'intensité absolue I sera donnépar :

IB = log10

(I

I0

)6.30


où I0 est l'intensité de référence. On voit donc qu'un accroissement de IB d'une unitécorrespond à augmentation de l'intensité absolue par un facteur 10. Dans la plupart descas, le bel est une unité de mesure trop grande. On préfère alors utiliser le décibel, unité dixfois plus petite. L'intensité en décibels (dB) est donc donnée par :

IdB = 10 IB = 10 log10

(I

I0

)Il importe de bien savoir comment on dénit l'intensité de référence I0 dans une situationdonnée, an de pouvoir faire la correspondance entre l'intensité relative (en bels ou endécibels) et l'intensité absolue d'un signal.

L'intensité de référence

L'exemple le plus courant de l'utilisation des décibels se situe dans le domaine de l'acous-tique. L'intensité ou la puissance sonore est dénie par le ux d'énergie transportée par uneonde par unité de surface et par unité de temps (watts par mètre carré). L'oreille hu-maine permet d'entendre des sons dont l'intensité varie entre environ 10-12 et 10 watts/cm2.Cette plage est particulièrement grande, ce qui justie l'utilisation d'une échelle logarith-mique pour quantier l'intensité d'un son. Dans le cas de l'acoustique, l'intensité de réfé-rence I0 est choisie comme étant égale à la puissance correspondant au seuil de l'auditionpour l'oreille humaine normale, soit I0 = 10−12 watt/cm2. On aura alors, par exemple :

1 db = 1 décibel = facteur 100.1 = intensité de 1.26 fois supérieure à I0

1 bel = 10 db = intensité 10 fois supérieure à I0

2 bels = 20 db = intensité 100 fois supérieure à I0

3 bels = 30 db = intensité 1000 fois supérieure à I0

etc...

Sans entrer dans les détails, rappelons simplement que l'intensité de la voix humainese situe vers 70 dB alors que le seuil de la douleur correspond à des sons dont l'intensitédépasse 120 dB (ex : sirène d'ambulance).

On utilise aussi les décibels dans plusieurs domaines. Par exemple, en électronique, onpeut mesurer le gain d'un amplicateur en dB. La puissance du signal à la sortie (P) del'amplicateur est alors mesurée par rapport à la puissance à l'entrée (P0), celle-ci servantdonc de valeur de référence. Cette puissance de référence peut être choisie arbitrairementdans une certaine plage de valeurs acceptables pour l'amplicateur considéré.

Gain (dB) = 10 log10

(P

P0

)

L'unité dBm

Le choix arbitraire de l'intensité de référence peut devenir un inconvénient dans certainscas, puisque si on ne connait pas la valeur de P0 (ou I0), on ne peut déterminer la valeur deP (ou I ) à partir de la puissance ou de l'intensité en dB. Pour contourner cette diculté,

6.31


on choisit souvent en pratique de prendre P0 = 1 mW. Pour bien spécier que l'on a fait cechoix de puissance de référence, on utilise le symbole dBm, plutôt que dB, pour caractériserla puissance. On aura par exemple que :

PdB (ref. = 1W) = PdB (ref. = 1mW )− 30 dB = PdBm − 30 dB

Donc, un signal à 0 dB référencé à 1 watt correspond à un signal de 30 dBm. De même, ilest facile de montrer qu'un signal ayant une puissance de 1 kW correspond à 60 dBm.

Exemple 1

Calculons l'atténuation d'un signal traversant un câble de transmission. Supposons quele signal d'entrée a une amplitude de 1 Volt alors que le signal à la sortie du câble possèdeune amplitude de 0.1 Volt. Par dénition, l'atténuation, tout comme le gain, impliquent lerapport des puissances et non des amplitudes. Nous aurons donc :

att.(dB) = 10 log10

(V 2S /R

V 2e /R

)= 20 log10

(VSVe

)

att.(dB) = 20 log10

(0.1

1

)= −20 dB

Exemple 2

Calculons le rapport signal/bruit (en dB) d'une source de 20 W possédant un bruitinhérent de 10 mW. Le rapport signal/bruit vaut : 20W

0,01W = 2000. Pour l'exprimer en dB, onfait :

AS/B = 10 log10

[20W

0, 01W

]≈ 33 dB

ou encore,

AS = 10 log10

[20W

10−3 W

]≈ 43 dB

AB = 10 log10

[0.01W10−3 W

]≈ 10 dB

AS/B = 43 dBm− 10 dBm = 33 dBm

On voit donc qu'à une division de puissance correspond une soustraction des niveaux depuissance exprimés en dB. De même, à une multiplication des puissances correspond uneaddition des niveaux exprimés en dB. Le résultat obtenu est indépendant du niveau deréférence.

Exemple 3

Supposons que la puissance optique d'une diode électro-luminescente soit de -3 dBm.Quelle est la puissance P de cette source de lumière ? On a que :

6.32


−3 dB = 10 logP

P0

alors,P = P010

−310 = P0 × 0.5W = 5× 10−4W = 0.5mW

6.33

Documents

PHQ360 Lignes à transmission - Université de Sherbrooke