Transmission Sur Lignes ARC NE Ch

Denis Prtre, dernire rvision : 23/09/2004 1

Transmission sur lignes

Rfrences: Cours 1998 de C. Brielmann Leitungstheorie, G. S. Moschytz, U. Brugger et J. Rosenblatt

1 Introduction

Une ligne lectrique est une structure deux conducteurs parallles dont la gomtrie transversale est uniforme sur toute la longueur. Les principales gomtries sont :

- la ligne coaxiale - la ligne bifilaire symtrique - la ligne bifilaire torsade - la ligne microruban

Le comportement d'une ligne ne satisfait pas aux quations de Kirchoff car les temps de propagation ne sont plus ngligeables. Par exemple, un instant donn, le courant entrant dans la ligne n'est pas gal au courant sortant l'autre extrmit, en particulier dans le cas d'un saut de courant. La Figure 1 illustre le cas dun rgime harmonique (le signal inject est de forme sinusodale).

I

I

EH

I

I

l

++ ++++ ++-- -- --- - +-

Q < 0 Q > 0

++ + - --+ -+ ++ ++ - -- --

Q < 0Q > 0

-- ------ -Q < 0

++ +++ +++ +

Q > 0

I

I++ ++ ++ ++ +

Q > 0

- -- -- -- --

Q < 0

I

I

Figure 1


HE-Arc, ingnierie 2

Pour que la thorie qui suit soit valable, on demande de plus que lloignement des conducteurs soit petit par rapport la longueur donde l du signal, sinon on a des effets tels que ceux qu'illustre la Figure 2.

I

I

- -- --- -- -Q < 0

+ ++ +++ ++ +

Q > 0

I

I+ ++ ++++ ++

Q > 0

-- ---- -- -

Q < 0

E

Figure 2

2 Reprsentation dune ligne

2.1 Niveau macroscopique

Dans la plupart des cas, une ligne est branche sur un gnrateur d'impdance Zg et une charge ZT (terminaison). Nous utiliserons la coordonne z dans le sens gnrateur charge et la coordonne d=L-z dans l'autre sens (voir Figure 3).

z

d

0

0

L

L

Gnrateur Charge

ZGZT

Ligne

Figure 3


HE-Arc, ingnierie 3

2.2 Niveau microscopique tronon lmentaire

Toute ligne rgulire et uniforme se laisse reprsenter lectriquement par une somme de tronons lmentaires trs petits (longueur dz), comme lillustre la Figure 4. Le comportement de la ligne n'est vraiment quivalent qu' la limite quand dz 0.

dz Figure 4

La reprsentation dun seul tronon lmentaire est illustre par la Figure 5.

R'.dz L'.dz

G'.dzC'.dzv(z,t) v(z+dz,t)

i(z,t) i(z+dz,t)

Figure 5

2.2.1 Paramtres primaires

Chaque tronon lmentaire est caractris par les quatre paramtres suivants :

- la rsistance linique R [W/m] - la conductance linique G [S/m] - l'inductance linique L [H/m] - la capacit linique C [F/m]

Ces paramtres sont dtermins par la gomtrie transversale de la ligne partir des quations de Maxwell et des proprits conductrices et dilectriques des matriaux constituant la ligne. Les paramtres L et C sont donns en annexe; ils sont indpendants de la frquence jusqu' 1 GHz environ. Le paramtre R reprsente les pertes ohmiques dans les conducteurs. Compte tenu de l'effet pelliculaire (en anglais : skin effect), R augmente avec la frquence. Le paramtre G reprsente les pertes dilectriques dans l'isolant entre les deux lignes. Il augmente aussi avec la frquence mais reste pratiquement ngligeable en-dessous de 1 MHz. On le dfinit souvent par rapport au facteur de qualit Q :

Q'C

'Gw

= (1)

Quelques exemples : Polythylne : Q 5000 Polystyrne : Q 5000


HE-Arc, ingnierie 4

Lorsque les paramtres R et G sont nuls, on dit que la ligne est sans pertes. Cette simplification est trs souvent admise pour les lignes courtes.

2.2.1.1 Ligne coaxiale

Pour une ligne coaxiale on montre que :

fd1

d1

'Rei

0

+

prm

= (2)

eep

=

i

e

0r

dd

ln

2'C (3)

pmm

=i

e0r

dd

ln2

'L (4) avec :

r rsistivit des conducteurs [Wm] Cu 20 C : r=17,5 nWm + 3,9/C Al 20 C : r=27,8 nWm + 4,0/C

di Diamtre du conducteur intrieur [m] de Diamtre du conducteur extrieur [m] e0 Permittivit du vide [As/Vm] e0 = 8.854210-12 As/Vm m0 Permabilit du vide [Vs/Am] m0 = 4p10-7 Vs/Am er Permittivit relative de lisolant [-] Polythylne : er 2.3

Polystyrne : er 2.5 mr Permabilit relative de lisolant [-] La plupart du temps, mr 1

2.2.1.2 Ligne bifilaire symtrique

Pour une ligne symtrique l'effet pelliculaire en haute frquence est modifi par la proximit des conducteurs. Le calcul est complexe et se trouve dans la littrature spcialise. Mais ces lignes sont surtout utilises en basse frquence et, jusqu' une dizaine de kHz, l'effet pelliculaire peut tre nglig.

2.2.2 Analyse du tronon lmentaire

En appliquant les lois de Kirchoff au circuit de la Figure 5 (Dveloppement complet dans lannexe 2), on obtient l'quation des lignes :

( ) )t,z(v'G'Rt

)t,z(v'C'R'G'L

t)t,z(v

'C'Lz

)t,z(v2

2

2

2

+

++

=

(5)

o v(z, t) est la tension en un point z de la ligne au temps t.


HE-Arc, ingnierie 5

Cette quation diffrentielle deux variables na pas de solution gnrale analytique. Nanmoins des solutions existent pour des cas particuliers.

Ligne sans perte Si Ret Gsont nuls, alors on a une quation des ondes classique.

Rgime harmonique Le signal transport est de forme sinusodale. Dans ce cas, la rsolution de (5) est aise.

3 Ligne sans pertes

Si R et G sont nuls, lquation des lignes (5) se simplifie :

2

2

2

2

t)t,z(v

'C'Lz

)t,z(v

=

(6) Lquation (6) est une quation donde classique. On pose :

2

2

2ph

2

2

t)t,z(v

v1

z)t,z(v

=

(7)

La vitesse de phase vph (dans ce cas prcis on a vph = vgr) caractrise la vitesse de propagation de londe. On trouve finalement (c: vitesse de la lumire) :

rrph

c'C'L

1v

me=

= (8)

Les solutions de (7) sont des fonctions vp(x) + vr(x), drivables deux fois, dont l'argument x est linaire en t et z :

)tvz(v)tvz(v)t,z(v phrphp ++-= (9)

o : vp(z-vpht) onde progressive non dformable vr(z+vpht) onde rflchie non dformable Londe progressive se dplace dans le sens de z et londe rflchie dans le sens de d (voir Figure 3 page 2). Ces deux fonctions vp et vr sont lies par les conditions aux extrmits (gnrateur et charge). Par exemple si la ligne est termine par un court-circuit en z=L, on a :

V0)tvL(v)tvL(v)t,L(v phrphp =++-= (10) On en conclut que, pour toute valeur t, on a :

)L(v)L(v pr -= (11) Cette situation est illustre par la Figure 6. On considre 3 valeurs de t :

t1 Londe progressive se dplace normalement du gnrateur vers le court-circuit. t2 Londe se situe en bout de ligne. Le court-circuit gnre une onde rflchie de tension

oppose celle de londe progressive de sorte que la tension en z=L soit toujours nulle.

t3 Londe rflchie se dplace normalement du gnrateur vers le court-circuit. Elle a une tension de signe oppos celle de londe progressive.


HE-Arc, ingnierie 6

z

t1

z=Lt3

t2

v(z,t) = vp(z-vph.t) + vr(z+vph.t)

Vph

Vph

vp(z-vph.t)

vr(z+vph.t)

Vph

Vph

Figure 6

4 Rgime harmonique

Le rgime harmonique admet que la tension et le courant varient sinusodalement dans le temps en tout lieu sur la ligne. Pour la tension, on aura la forme gnrale:

))z(tcos()z(V2)t,z(v eff j+w= (12)

La valeur efficace Veff et la phase j dpendent du lieu. On dfinit le phaseur de la tension par (lettre majuscule) :

)z(jeff e)z(V)z(V

j= (13) On retrouve la fonction du temps ainsi :

( ) ( )( ))z(Vargtcos)z(V2e)z(V2Re)t,z(v tj +w== w (14) La notion de phaseur est trs importante dans le domaine des tlcommunications; elle permet de saffranchir de la variable temporelle t en rgime harmonique. Ainsi, on retrouve des phaseurs lorsque lon tudie les diffrents types de modulations (AM, FM, PM, QAM, etc.). A prsent on rsout (5) laide de (13) et (14) :

( ) )z(V'G'R)z(V'C'R'G'Lj)z(V'C'Lz

)z(V 22

2

++w+w=

(15)

En simplifiant :

)z(V)z(V)'Cj'G()'Lj'R(z

)z(V 22

2

g=w+w+=

(16)

La solution de cette quation est:

z2

z1 eVeV)z(V

gg- += (17)

avec : )'Cj'G()'Lj'R(j w+w+=b+a=g (18)

Le terme z1 eVg- de (17) correspond londe progressive et le terme z2 eV

g correspond londe rflchie.


HE-Arc, ingnierie 7

On a :

V1 et V2 Constantes complexes g Exposant linique de propagation [m-1] a Affaiblissement linique [Np/m] b Dphasage linique [rad/m]

Si la ligne est sans perte (R= G= 0), on obtient le cas particulier :

'C'Ljj w=b=g (19)

4.1 Affaiblissement linique

On considre une ligne de longueur infinie sur laquelle se dplace une onde progressive seulement (pas donde rflchie : on verra plus tard que ce cas priori irraliste est possible en adaptant limpdance de terminaison ZT voir 4.5 page 10). On a :

( ) ( ))zt(jz1tjz)j(1 eeV2ReeeV2Re)t,z(v b-wa-wb+a- == (20) ( )( )1z1 VargztcoseV2)t,z(v +b-w= a- (21)

Cest une onde progressive qui sattnue exponentiellement. La Figure 7 illustre v(z, t=0) et v(z, t=T/4) pour un cas particulier de V1, a, b et w. On constate que londe se dplace en sattnuant de gauche droite le long de z.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

0.5

0.5

1V1 2

V1- 2

v z t0,( )

v z t1,( )

0 V1

e z( )

e z( )-

zmaxzmin z Figure 7

On appelle affaiblissement linique le paramtre :

)Re(g=a [Np/m] (22) On le donne trs souvent en dB, sachant que :

a=a 686.8dB [dB/m] (23) En fait, 8.686 = 20/ln(10). L'affaiblissement d'un tronon de ligne de longueur L, sans onde rflchie, vaut donc :

( ) LL)10ln(

20elog20

)Lz(V)0z(V

log20A dBL

1

1dB a=a===

== a (24)


HE-Arc, ingnierie 8

Si on imagine prsent une onde qui serait compose exclusivement dune onde rflchie (situation purement thorique), on obtient le cas troublant suivant :

( ) ( ))zt(jz1tjz)j(1 eeV2ReeeV2Re)t,z(v b+wawb+a == (25) ( )( )1z1 VargztcoseV2)t,z(v +b+w= a (26)

Cest une onde rflchie qui augmente exponentiellement le long de z ! Pas de panique. Il faut bien comprendre que cette onde se dplace en fait dans le sens de d, donc dans le sens contraire de z. Elle sattnue donc exponentiellement dans son sens de propagation. La Figure 8 illustre v(z, t=0) et v(z, t=T/4) pour un cas particulier de V2, a, b et w. On constate que londe se dplace en sattnuant de droite gauche le long de d.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

0.5

0.5

1V1 2

V1- 2

v z t0,( )

v z t1,( )

0 V1

e z( )

e z( )-

zmaxzmin z Figure 8

A noter que dans une ligne sans pertes, a = 0 (voir lquation (18)).

4.2 Dphasage linique

On appelle dphasage linique le paramtre :

)Im(g=b [rad/m] (27)

Il est dans le domaine spatial ce que la pulsation w est au domaine temporel. La priode spatiale sappelle longueur donde et est note par le symbole l.

Espace Temps p=lb 2 p=w 2T (28)

A noter que b et w sont lis par la trs importante formule suivante :

bw

=phv (29)

Les formules (28) et (29) sont connatre par cur.


HE-Arc, ingnierie 9

4.3 Vitesse de phase et vitesse de groupe

Les vitesses de phase et de groupe sont dfinies ainsi :

Vitesse de phase Vitesse de groupe

bw

=phv bw

=grv (30) La vitesse de phase sur une ligne est infrieure la vitesse c d'une onde lectromagntique dans le vide. On appelle coefficient de vitesse, le rapport vph/c. Il dpend essentiellement de la permittivit relative du dilectrique er et varie habituellement entre 0,7 et 0,9. La vitesse de phase correspond la vitesse avec laquelle le zro dune impulsion sinusodale se dplace. La vitesse de groupe est la vitesse avec laquelle lenveloppe dune impulsion sinusodale se dplace. Les vitesses de phase et de groupe sont illustres par la Figure 9.

vphvph vph vph vph

vgr

z

v(z)

Figure 9

Idalement, les vitesses de phase et de groupe sont gales. Lorsque ce nest pas le cas, on a de la dispersion. Le principe de la dispersion est illustr par la Figure 10. Si on gnre une impulsion de dure T1 au dbut dune ligne dispersive, celle-ci arrive en terminaison dforme et de dure T2>T1. A noter galement le retard pur t en terminaison, valable galement pour une ligne non dispersive.

Ligne

tT1 T2

ligne idaleligne dispersive

Figure 10

Attention La dispersion nest pas le seul phnomne qui dforme et largit les impulsions !

Un filtre passe-bas provoque le mme effet, mme sil nest absolument pas dispersif !


HE-Arc, ingnierie 10

4.4 Impdance caractristique

Considrons une ligne infinie sur laquelle n'existe pas d'onde rflchie (voir Figure 11).

z0

Gnrateur

ZG

Ligne

V(z)

I(z)

Z0 => Z0 =>

Figure 11

Les phaseurs de tension et de courant sont donns par :

z1 eV)z(V

g-= (31) z

1 eI)z(Ig-= (32)

Limpdance caractristique est le rapport des phaseurs de tension et de courant pour une onde progressive. On obtient (voir le dveloppement complet dans lannexe 2) :

'Cj'G'Lj'R

IV

e)z(Ie)z(V

)z(I)z(V

Z1

1z

1

z1

0 w+w+

==

== g-g-

(33)

4.5 Adaptation

Si limpdance de terminaison est gale limpdance caractristique (ZT = Z0), alors on est exactement dans la mme situation quune ligne de longueur infinie. On parle alors dadaptation. Du point de vue du gnrateur, la Figure 11 et la Figure 12 sont strictement identiques.

z0

Gnrateur

ZG

Ligne

V(z)

I(z)

Z0 => Z0

0

L

dL

Figure 12 On constate : a) Une ligne termine par son impdance caractristique n'a pas d'onde

rflchie. b) L'impdance l'entre d'une telle ligne est Z0. De manire gnrale, on a

Z(z) = Z0 quel que soit z.

Ladaptation dune ligne est trs souvent dsire pour viter les rflexions.



4.6 Comportement en basse frquence

On admet wL> R et wC>> G. On obtient pour les paramtres secondaires :

+=a

'C'L

'G'L'C

'R21

HF [Np/m] (39)

'C'LHF w=b [rad/m] (40)

'C'L

Z HF0 = [W] (41)

'C'L1

vvHFgrHFph

== (m/s) (42)

On constate : a) L'affaiblissement linique a varie en f cause de l'effet pelliculaire tant que G reste ngligeable.

b) L'impdance caractristique ne dpend plus de la frquence et est purement relle (Z0=R0). Les valeurs usuelles sont 50, 75, 300 W.

c) Les vitesses de phase et de groupe sont identiques et ne dpendent plus de la frquence.



4.7.1 Comportement dune ligne sans perte

Le comportement dune ligne sans perte est identique au comportement HF lexception de laffaiblissement linique a qui est nul.

4.7.2 Conclusion

Le comportement HF est quasiment toujours souhait. Anciennement, on rpartissait des inductances le long des lignes tlphoniques (88,5 mH tous les 1830 m) afin damliorer le rapport wL/R et par consquent le comportement de la ligne en basse frquence. Ce procd est appel pupinisation. Malheureusement, les lignes pupinises ont une bande passante trs limite et ne peuvent pas tre utilises pour les multiplex numriques 2B+D ou 2 Mbit/s. Pour cela elles doivent tre dpupinises.

4.7.3 Exemple dapplication

Ligne coaxiale PTT 2,6/9,5 100 kHz: R=12,8 W/km, L=0,265 mH/km, G=1 nS/km (environ) et C=47 nF/km.

Le comportement haute frquence est valable dans ce cas ds 100 kHz. A cette frquence, on obtient en calculant exactement (pas dapproximation) :

kmdB

694.0=a kmrad

219.2=b km832.2=l

c9439.0vph = c9451.0vgr = W-W= 7.2j14.75Z0 Avec les approximations HF du 4.7, on aurait obtenu :

kmdB

694.0=a kmrad

217.2=b km834.2=l

c945.0vv grph == W= 09.75Z0

4.8 Ligne dsadapte cas gnral

Au long de cet (trs) important chapitre, nous allons travailler avec le schma dfini par la Figure 13.

0

ZG

Vin

I(z)

Zin ZT, rT

0

L

dL

rin =>V(z) VTZ(z)

r(z)

z

=>

Figure 13

Rappelons limportante quation (17) pour une ligne non adapte : z

2z

1 eVeV)z(Vgg- += (43)



On montre la relation suivante pour le phaseur de courant :

)eI(eIeIeI)z(I z2z

1z

2z

1gg-gg- --=+= (44)

On prfre parfois employer le phaseur rflchi -I2 que +I2 car le courant rflchi se dplace dans le sens de d et non de z, comme lindique la Figure 14.

z0

ZGV1e-gt

I1e-gt

ZT

0

L

dL

=> V2egt

-I2egt

=>

sens positif de V

sens positif de I

Figure 14

La Figure 14 est quelque peu trompeuse en ce sens que lon pourrait croire que les ondes progressive (V1(z), I1(z)) et rflchie (V2(z), I2(z)) sont localises en des endroits bien prcis de z et pas ailleurs. En fait, les ondes progressive et rflchie sont prsentes simultanment partout sur la ligne ! Les quations (43) et (44) sont valables pour toutes les valeurs de z. Les ondes progressive et rflchie sont individuellement soumises limpdance Z0, un peu comme si comme chacune de ses ondes parcourait individuellement une ligne adapte (voir (33)). On conclut :

1

1z

1

z1

0 IV

eIeV

Z =

= g-g-

(45)

2

2z

2

z2

0 IV

eIeV

Z -=-

= gg

(46)

4.8.1 Coefficient de rflexion

Le coefficient de rflexion r(z) est extrmement important. On le dfinit par le rapport entre le phaseur de tension de londe rflchie divis par celui de londe progressive :

z2in

z2

1

2z

1

z2 ee

VV

eVeV

)z( ggg-g

r==

=r [-] (47)

Le coefficient 1

2in V

V)0z( ==r=r correspond au coefficient de rflexion en dbut de ligne.

Le coefficient L2inT

e)Lz( gr==r=r correspond au coefficient de rflexion en terminaison. Lquation (47) sexprime encore ainsi :

( )Lz2T

z2in

ee)z( -gg r=r=r (48) d2

T

)dL(2

inee)d( g--g r=r=r (49)



Si on veut dfinir r par rapport aux phaseurs de courant, on trouve selon (45), (46) et (47) :

z2in

z2

1

2z2

10

20z2

1

2 eeII

eIZIZ

eVV

)z( gggg r=-=-

==r (50)

et on en conclut que :

1

2

1

2in I

IVV

-==r (51) On constate : a) Si la ligne est adapte (cas particulier), r(z)=0 quel que soit z. b) r(z) est priodique de priode l/2. c) Si la ligne est sans pertes (a=0, g=jb), on remarque daprs (48) que

=r=r=rTin

)z( constant quel que soit z. La Figure 15 illustre le parcours de r pour une ligne avec pertes.

Re

Im

z=0rin

zr(z0)

z0z0+l/2

rTz=L

d

Figure 15

Le module de r diminue avec d et augmente avec z. La courbe de r(z) effectue une rotation de 360 degrs chaque priode l/2. A noter que si la ligne tait sans pertes, le parcours de r(z) serait circulaire et non en forme de spirale.

4.8.2 Phaseurs pour une ligne dsadapte

Les quations (43) et (44) se laissent crire ainsi en tenant compte de (50) :

( ))z(1eV)z(V z1 r+= g- (52) ( ))z(1eI)z(I z1 r-= g- (53)

Lorsque z=0, on a les cas particuliers suivants :

( )in121in

1VVVV r+=+= (54)

( )in121in

1IIII r-=+= (55)



On en conclut (toujours en z=0) :

in

in1 1

VV

r+= 1in2 VV r= (56)

in

in1 1

II

r-= 1in2 II r-= (57)

4.8.3 Impdance dune ligne dsadapte

En prsence d'une onde rflchie, l'impdance le long de la ligne n'est plus constante mais vaut :

( )( ))z(1eI

)z(1eV)z(I)z(V

)z(Z z1

z1

r-r+

== g-g-

(W) (58) On simplifie en tenant compte de (45) :

)z(1

)z(1Z)z(Z 0 r-

r+= (59)

Par rapport d, on trouve :

)d(1

)d(1Z)d(Z 0 r-

r+= (60)

Ce rsultat dpend indirectement des constantes V1 et V2 qui dpendent leur tour des conditions aux extrmits (gnrateur et charge). On dduit facilement de (59) et (60) les relations suivantes :

0

0

Z)z(ZZ)z(Z

)z(+-

=r (61)

0

0

Z)d(ZZ)d(Z

)d(+-

=r (62) A la charge, les relations ci-dessus donnent :

0T

0TT ZZ

ZZ+-

=r (63) D'o l'impdance en fonction de la charge et de la distance :

)Lz(2

T

)Lz(2

T0 e1

e1Z)z(Z -g

-g

r-

r+= (64)

d2

T

d2

T0 e1

e1Z)d(Z g-

g-

r-

r+= (65)

On constate : a) Si ZT=Z0 (adaptation), on a rT=r(z)=0, Z(z)=Z0, V(z)=V1e-gz b) Si ZT=0 (court-circuit), on a rT = -1. c) Si ZT= (ligne ouverte), on a rT = 1.



4.8.3.1 Exemple dapplication

Soit une ligne avec les coordonnes suivantes :

Zg = 50 W impdance du gnrateur Z0 = 75 W impdance caractristique de la ligne ZT = 200 W impdance de terminaison a = 2 dB/km affaiblissement linique vph = 2.8108 m/s vitesse de phase de la ligne Vgen = 10 Veff Valeur efficace du signal au gnrateur f = 1 MHz frquence du sinus L = 1km longueur de la ligne

1) Donner lnergie dissipe par limpdance de terminaison. 2) Dterminer r(z), Z(z), |V(z)| et |I(z)| 3) Donner les tensions v(0, t) et v(L, t). On rsout en suivant soigneusement les tapes :

a) On trouve l et b :

m280101108.2

fv

6

8ph =

==l (66)

mrad

10244.22 2-=lp

=b (67) b) On convertit a :

mNp

10255.2kmNp

2255.0kmdB

2 4 ===a - (68) c) On trouve g :

1-24 m10244.2j10255.2j -- +=b+a=g (69) d) On calcule le coefficient de rflexion la terminaison :

455.07520075200

ZZZZ

0T

0TT

=+-

=+-

=r (70) e) On remonte le coefficient de rflexion jusqu la sortie du gnrateur :

226.0j181.0e L2Tin

-=r=r g- (71) f) On calcule limpdance Zin :

W-=r-

r+= 97.46j07.951

1ZZ

in

in0in (72)



g) Le schma de la Figure 13 est simplifi en z=0 par la Figure 16.

ZGZinVgen Vin

Iin

Figure 16

On trouve Vin :

eff146.0j

in

effinG

ingenin

Ve954.6V

V01,188.6ZZ

ZVV

-=

-=+

= (73)

h) Selon (52), on trouve en z=0 :

( )in1in

1VV r+=

=

in

inin Z

VI (74)

Donc, toujours pour z=0 (voir galement lquation (56)) :

eff

in

in1 V253.0j78.51

VV +=

r+= (75)

i) On reprend (52) pour z=L (phaseur de tension en terminaison) :

( )eff

736.2jT

effTL

1T

Ve716.6V

V647.2172.61eVV

g-

=

+-=r+= (76)

k) Puissance dissipe dans ZT :

mW226ZV

RePT

2T =

= (77)

On dtermine encore r(z) et Z(z) au moyen de (48) et (59) :

( )Lz2T

e)z( -gr=r )z(1

)z(1Z)z(Z 0 r-

r+= (78)



Le rsultat est illustr par la Figure 17.

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

Im r z( )( )

Re r z( )( )

200 100 0 100 200200

100

0

100

200

Im Z z( )( )

Re Z z( )( ) Figure 17

On voit que limpdance Z(z) devient parfois trs petite. Le module |Z(z)| est illustr par la Figure 18.

0 200 400 600 800 10000

100

200ZT

0 W

Z z( )

zmaxzmin z Figure 18

On constate comme prvu une priodicit de l/2=140 m. On dtermine V(z) et I(z) au moyen de (52) et (58) :

( ))z(1eV)z(V z1 r+= g- (79)

)z(Z)z(V

)z(I = (80)

0 200 400 600 800 10000

5

10Vg

0 Vg

V z( )

zmaxzmin z



0 200 400 600 800 10000

0.05

100 mA

0 mA

I z( )


On constate que la tension efficace varie le long de la ligne entre 7.5 Veff et 4 Veff. Pour la tension v(z=0, t), on trouve :

( ) V)146.0tf2cos(835.9eVRe2)t,0(v tf2jin -p== p (81) Pour la tension v(z=L, t), on trouve :

( ) V)736.2tf2cos(498.9eVRe2)t,L(v tf2jT +p== p (82) 4.9 Ligne sans pertes dsadapte

Lexemple prcdent est assez compliqu du fait que lon tient compte des pertes. Si lanalyse temporelle v(z=z0, t) reste possible, lanalyse spatiale v(z, t=t0) est extrmement lourde; il est quasi-impossible de sen sortir sans laide dun logiciel performant de type Mathcad.

Si la ligne est considre comme sans pertes (a=0, g=jb), lanalyse peut tre plus pousse et les rsultats sont plus intressants.

4.9.1 Phaseur de tension pour une ligne sans pertes et dsadapte

On r-crit (52) pour une ligne sans pertes, en tenant compte de (48) et (49) :

( ))Lz(2jT

zj1 e1eV)z(V

-bb- r+= (83)

( )d2jT

)Ld(j1 e1eV)d(V

b--b r+= (84) Retenons uniquement (84) et considrons le module :

d2jT1

e1V)d(V b-r+= (85)



Cette fonction varie le long de la ligne, comme lexplique la Figure 20.

1

r(d)V(d)/V1

d

|V|min/|V1|

r = |rT|= |rin|Re

Im

|V|max/|V1| Figure 20

A chaque demi-longueur donde l/2, le coefficient de rflexion r fait un tour complet. Si on avait considr une ligne avec pertes, une spirale remplacerait le cercle de la Figure 20. On dduit immdiatement :

( )||1VVT1max

r+= (86)

( )||1VVT1min

r-= (87)

Ces deux quations bien pratiques permettent de connatre les valeurs min et max de la tension sur la ligne. On dfinit le rapport d'onde stationnaire :

T

T

min

max

11

V

VROS

r-r+

== (88)

Le ROS permet donc de mesurer simplement le coefficient de rflexion (module seulement). On constate : a) Si ZT=Z0 (adaptation), on a V(z)=V1, donc |V|max = |V|min = |V1|. Le cercle de

la Figure 20 a un rayon nul, ce nest quun point. b) Si ZT=0 (court-circuit) ou si ZT= (ligne ouverte), on a |rT| = 1. Le cercle de

la Figure 20 a un rayon r=1, il passe donc par lorigine. On a |V|max=2|V1|, |V|min=0 et ROS=. Cela signifie quil existe des endroits o il ny a pas de tension du tout (|V|min=0) et dautres ou la tension est gale deux fois londe progressive (|V|max=2|V1|).

4.9.1.1 Emplacement des min et max

Les quations (86) et (87) ne disent rien quant lemplacement des min et des max de |V(z)| le long de z ou d. En examinant la Figure 20, on dduit pour |V|max :

T

d2j

Tmaxmaxe)d( r=r=r b- (89)

On dveloppe un peu :

( ) plp

-r r=r 2kjT

d4

jargj

Teee

maxT avec kZ (90)



et on trouve, en comparant les arguments :

( )2

karg4

dTmax

l+r

pl

= avec kZ (91) En tenant un raisonnement identique, on trouve dmin :

( )( )2

karg4

dTmin

l+p+r

pl

= avec kZ (92)

4.9.1.2 Exemple dapplication (avec charge en terminaison)

Soit une ligne sans pertes avec les coordonnes suivantes :

Zg = 50 W impdance du gnrateur Z0 = 75 W impdance caractristique de la ligne ZT = 100 + j100 W impdance de terminaison vph = 2.8108 m/s vitesse de phase de la ligne Vgen = 10 Veff Valeur efficace du signal au gnrateur f = 1 MHz frquence du sinus L = 1 km longueur de la ligne

1) Donner le ROS. 2) Donner les valeurs de tension maximales et minimales sur la ligne et leurs emplacements. a) On trouve l=280 m et b=2.24410-2 rad/m. b) On calcule le coefficient de rflexion la terminaison :

807.0j

0T

0TT

e511.075j10010075j100100

ZZZZ =

++-+

=+-

=r (93) c) On remonte le coefficient de rflexion jusqu la sortie du gnrateur :

046.0j509.0eL

4j

Tin-=r=r

lp

- (94)

d) On calcule limpdance Zin :

W-=r-

r+= 7.28j2281

1ZZ

in

in0in (95)

e) En z=0, on a le shma quivalent suivant :

ZGZinVgen Vin

Iin

Figure 21

On trouve Vin :

effinG

ingenin V184.0j22.8ZZ

ZVV -=

+= (96)



f) Selon (56), on trouve pour z=0 :

eff0084.0j

eff

in

in1 Ve445.5V046.0j445.51

VV =+=

r+= (97)

g) On a donc les valeurs de tension maximales et minimales suivantes (phaseurs) :

( )( ) effT1min

effT1max

V66.2||1VV

V23.8||1VV

=r-=

=r+= (98)

h) Attention, les valeurs donnes correspondent des phaseurs. Si on veut les valeurs de

tension relles, on a : v(z, t)max=11.64 V et v(z, t)min = 3.76 V. i) Voyons o se situent les nuds et les ventres.

( )2

karg4

dTmax

l+r

pl

= avec kZ (99)

( )( )2

karg4

dTmin

l+p+r

pl

= avec kZ (100) Si on tablit un tableau :

d z MAX MIN 17.97 m 982.03 m x 87.97 m 912.03 m x 157.97 m 842.03 m x 227.97 m 772.03 m x 297.97 m 702.03 m x 367.97 m 632.03 m x 437.97 m 562.03 m x 507.97 m 492.03 m x 577.97 m 422.03 m x 647.97 m 352.03 m x 717.97 m 282.03 m x 787.97 m 212.03 m x 857.97 m 142.03 m x 927.97 m 72.03 m x 997.97 m 2.03 m x



La Figure 22 illustre le rsultat |V(z)| calcul avec Mathcad :

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 10000

5

10Vg

0 Vg

V z( )

Vmax

Vmin


Si on calcule la valeur instantane v(z, t) pour diffrentes valeurs de t, on a le rsultat de la Figure 23.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

10

5

0

5

102 Vmax

2- Vmax

v z t0,( )

v z t1,( )

v z t2,( )

v z t3,( )

v z t4,( )

v z t5,( )

v z t6,( )

v z t7,( )

V z( ) 2

V z( )- 2


En ligne continue est dfinie lenveloppe des tensions possibles sur z, en lignes traitilles sont donnes quelques possibilits v(z, t=ti).



4.9.1.3 Exemple dapplication (avec court-circuit en terminaison)

Reprenons exactement les mmes donnes qu'au 4.9.1.2, mais avec un court-circuit en terminaison (ZT = 0W, rT= -1). Sans refaire tout le dveloppement, voici l'quivalent de la Figure 23 :

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

10

0

10

2 Vmax

2- Vmax

v z t0,( )

v z t1,( )

v z t2,( )

v z t3,( )

v z t4,( )

v z t5,( )

v z t6,( )

v z t7,( )

V z( ) 2

V z( )- 2


On constate : a) Il y a des valeurs de z (appels des nuds) o la tension est toujours nulle !

Ces points reprsentent des court-circuits locaux. b) Il y a des valeurs de z (appels des ventres) o l'oscillation est maximale

(|V|max=2|V1|).



4.9.1.4 Exemple dapplication (avec ligne ouverte en terminaison)

Reprenons exactement les mmes donnes qu'au 4.9.1.2, mais avec une ligne ouverte en terminaison (ZT = , rT=1). Sans refaire tout le dveloppement, voici l'quivalent de la Figure 23 :

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

10

5

0

5

10

2 Vmax

2- Vmax

v z t0,( )

v z t1,( )

v z t2,( )

v z t3,( )

v z t4,( )

v z t5,( )

v z t6,( )

v z t7,( )

V z( ) 2

V z( )- 2


On constate : a) Il y a des valeurs de z (appels des nuds) o la tension est toujours nulle,

quand bien mme la ligne est ouverte en terminaison ! Ces points reprsentent des court-circuits locaux.

b) Il y a des valeurs de z (appels des ventres) o l'oscillation est maximale (|V|max=2|V1|).



4.9.1.5 Exemple dapplication (avec adaptation en terminaison)

Reprenons exactement les mmes donnes qu'au 4.9.1.2, mais avec une ligne adapte en terminaison (ZT = Z0, rT=0). Voici encore une fois l'quivalent de la Figure 23 :

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

5

0

5

1.5 Vmax

1.5- Vmax

v z t0,( )

v z t1,( )

v z t2,( )

v z t3,( )

v z t4,( )

v z t5,( )

v z t6,( )

v z t7,( )

V z( ) 2

V z( )- 2


On constate qu'il n'y a plus ni ventres ni nuds; il ne reste qu'une onde progressive qui se dplace du gnrateur la charge.

4.9.2 Comportement de l'impdance Z(d) pour ZT = 0 ou ZT =

Lorsque la terminaison d'une ligne sans pertes est un court-circuit (rT= -1), on r-crit (60) l'aide de (49) :

( )dtgZjeeee

Ze1e1

Ze1

e1Z)d(Z 0djdj

djdj

0d2j

d2j

0d2T

d2T

0 b=+-

=+-

=r-

r+= b-b

b-b

b-

b-

g-

g-

(101) Lorsque la terminaison d'une ligne sans pertes est une ligne ouverte (rT= 1), on obtient :

( )dtgZj

eeee

Ze1e1

Ze1

e1Z)d(Z 0djdj

djdj

0d2j

d2j

0d2T

d2T

0 b-

=-+

=-+

=r-

r+= b-b

b-b

b-

b-

g-

g-

(102) Dans les deux cas ci-dessus les impdances sont purement ractives (pertes ngliges). De tels tronons appels stubs sont utiliss en UHF et en hyperfrquence pour remplacer des ractances localises.



4.10 Abaque de Smith

L'abaque de Smith permet de dterminer graphiquement, en rgime harmonique, l'impdance et le coefficient de rflexion le long d'une ligne dsadapte et sans pertes. La mthode est base sur les relations (49) et (62), que lon rappelle ici :

0

0

Z)d(ZZ)d(Z

)d(+-

=r (103)

d4

j

Td2j

Td2

Teee)d(

lp

-b-g- r=r=r=r (104) Hypothses:

- modle HF valable (Z0 = rel) - pertes ngligeables (a = 0 et g = jb)

On dfinit l'impdance normalise :

xjrZ

)d(Xj

Z)d(R

Z)d(Z

z000

+=+== (105)

En transformant un peu, on adapte (103) :

2222

22

0

0

x)1r(x2

jx)1r(1xr

xj)1r(xj)1r(

1Z

)d(Z

1Z

)d(Z

)d(++

+++-+

=+++-

=+

-=r (106)

L'abaque de Smith est un plan complexe de la variable r(d) en fonction des paramtres r et x dfinis ci-dessus. Pour cela on reprsente les deux jeux de courbes :

a) r = constante (r = 0 ... ) b) x = constante (x = - ... +).

On montre que les courbes "r = constante" sont des cercles de caractristiques suivantes dans le plan complexe :

centre = j01r

r+

+ rayon =

1rr+

(107)



La Figure 27 illustre quelques exemples du parcours de r(d) pour quelques valeurs constantes de r.

Re(r)

Im(r)

r=0

r=1

r=3

r=1/3

Figure 27

On montre encore que les courbes "x = constante" sont des cercles de caractristiques suivantes dans le plan complexe :

centre = xj

1+ rayon =x1

(108) La Figure 28 illustre quelques exemples du parcours de r(d) pour quelques valeurs constantes de x.

x=1

x= -1

x=0 Re(r)

Im(r)

x= -0.5 x= -2

x= 2x= 0.5

Figure 28



On distingue sur labaque les situations dadaptation, de court-circuit et de ligne ouverte, comme lillustre la Figure 29.

Re(r)

Im(r)

Ligne ouverte,r = 1

Adaptation,r = 0

Court-circuit,r = -1

sen

s de z

(vers l

a cha

rge)

sens de d

(vers le gnrateur)

Demi-plan suprieur :impdances de type inductif

Demi-plan infrieur :impdances de type capacitif

Figure 29

4.10.1 Dplacement le long de la ligne

En dveloppant (104), on trouve pour une ligne sans pertes : d

4j

Td2j

Td2

Teee)d(

lp

-b-g- r=r=r=r (109)

Le coefficient de rflexion tourne dans le sens des aiguilles d'une montre de 2 tours par longueur d'onde parcourue sur la ligne en direction du gnrateur (sens de d), comme lillustre la Figure 29 ci-dessus.

4.10.2 Exemple dapplication

Soit une ligne sans pertes avec les coordonnes suivantes : Z0 = 50 W impdance caractristique de la ligne ZT = 100 + j100 W impdance de terminaison l=280 m longueur donde L = 30 m longueur de la ligne

Donner limpdance de ligne Zin au moyen de labaque de Smith.

a) On normalise limpdance de terminaison j22ZZ

xjrz0

TTTT +==+= .

b) On cherche sur labaque lintersection des cercles r=2 et x=2. c) A laide dun compas dont la pointe est plante dans r=0, on fait pivoter le point obtenu en

b) de oo 1.77360m140m30

==j dans le sens de d (sens des aiguilles de la montre). On

constate quon a adapt le tour complet 360 la demi-longueur donde 140m. A remarquer que cette opration est bien plus facile excuter si on se rfre lchelle externe de labaque.

d) On lit sur labaque au point obtenu en c) 7.1j1.1xjrz ininin -=+=

c) On dnormalise : W-== 85j55ZzZ 0inin



5 Rgime impulsionnel

La rponse indicielle dune ligne est la rponse de cette ligne un saut unit, comme lillustre la Figure 30.

u(t) Z0 ZT

ZGs(t)

rponse indicielle s(t)

fonction indicielle u(t)

t Figure 30

Une impulsion rectangulaire p(t) de dure T peut tre dcompose en deux sauts u(t) dcals de T :

)Tt(u)t(u)t(p --= (110) Dans un systme linaire, la rponse q(t) se dcompose de la mme manire :

)Tt(s)t(s)t(q --= (111) Ce principe de linarit est illustr par la Figure 31.

p(t) Z0 ZT

ZGq(t)

t

T p(t) q(t)s(t)

-s(t-T) Figure 31

Le principe s'applique toute suite priodique ou alatoire d'impulsions rectangulaires. Il suffit donc de connatre s(t) pour pouvoir dterminer la forme d'une impulsion ou d'une suite d'impulsions rectangulaires l'mission.



5.1 Effet pelliculaire et non-linarit

L'tude des rgimes impulsionnels dans les lignes est simplifi si l'on nglige les pertes comme nous le verrons un peu plus bas. Sur les lignes longues on doit tenir compte de l'effet pelliculaire. La distribution du courant dans les conducteurs varie pendant le transitoire, donc la rsistance linique dpend du temps: R=R(t). L'quation des lignes n'est plus linaire.1 On approxime ce problme de la manire suivante :

a) La rponse indicielle est compose d'un retard pur (temps de propagation Tp et longueur de ligne L) :

)Tt(s)'t(s p-= (112)

HFphp v

LT = (113)

b) et d'un transitoire (norm entre 0 et 1) :

-='t2

aerf1)'t(s (114)

avec : a = paramtre fonction de la ligne et de sa longueur

et =

- p

=x

0p

p dpe2

)x(erf2

fonction derreur La Figure 32 montre un exemple des principes voqus plus haut.

t, t'

Tp

s(t) s(t')

t=0 t=Tpt'=0

Figure 32

Le temps dcal pour obtenir 50 % de la valeur finale vaut :

fL

't22

5,0 pa

= (115)

Le facteur (a2/f) est constant et est dtermin sur la caractristique de laffaiblissement linique a(f). On connat encore :

5,09,0 't30't = (90% de la valeur finale) (116)

5,095,0 't110't = (95% de la valeur finale) (117)

1 En principe, le principe de superposition (voir quation (111)) ne sapplique plus pour un systme non-linaire ! Dans la pratique, on lapplique parfois, sachant que laspect approximatif de notre approche est encore plus prononc.



La fonction s(t) crot tout dabord rapidement, puis ensuite trs lentement vers une asymptote horizontale s(t)=1. La Figure 33 montre un exemple avec une valeur norme en abscisse t=t/t0,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11

0

s t( )

100 t Figure 33

5.2 Rflexions multiples sur une ligne sans pertes

Alors qu'en rgime harmonique (rgime permanent) on a seulement une onde progressive et une onde rflchie qui englobent les multiples rflexions produites l'enclenchement, l'analyse d'un rgime transitoire sur une ligne dsadapte ncessite le calcul de ces multiples rflexions la charge et au gnrateur. En fait, en rgime harmonique, on tudie un systme stationnaire (les ondes progressive et rflchie sont stabilises), alors quen rgime impulsionnel, on est toujours dans une situation transitoire.

5.2.1 Rflexion la charge

On considre une impdance de charge purement relle ZT=RT, ainsi quune impdance caractristique Z0 purement relle elle aussi.

La Figure 34 illustre un cas o RT < Z0, alors que la Figure 35 illustre un cas o RT > Z0.

z

t1

z=Lt3

t2


Vph

Vph

vp(z-vph.t)

vr(z+vph.t)

Vph

Vph

Figure 34



z

t1

z=Lt3 t2


Vph Vph

vp(z-vph.t)vr(z+vph.t)

Vph

Vph

Figure 35

Note - Lorsque RT < Z0, limpulsion rflchie est de signe inverse limpulsion progressive

(situation de la Figure 34). Dans le cas extrme o RT =0 (court-circuit), le rapport entre les deux est de 1.

- Lorsque RT = Z0, on a adaptation. Il ny a pas dimpulsion rflchie ! Limpulsion progressive est totalement absorbe par RT.

- Lorsque RT > Z0, limpulsion rflchie est de mme signe que limpulsion progressive. Dans le cas extrme o RT = (ligne ouverte), le rapport entre les deux est de 1.

Considrons t1, t2 et t3.

t1) Onde progressive, on a : 0php

php Z)tvz(i

)tvz(v=

-

- (118)

t3) Onde rflchie, on a : 0phr

phr Z)tvz(i)tvz(v

=+-+

(119) t2) A la charge, on a : )tvL(v)tvL(v)t(v phrphpT ++-= (120)

)tvL(i)tvL(i)t(i phrphpT ++-= (121)

)t(iR)t(v TTT = (loi dOhm en z=L) (122) On dfinit (toujours la terminaison z=L) :

)tvL(i)tvL(i

)tvL(v)tvL(v

php

phr

php

phrT +

--=

+-

=r (123) On dduit :

0T

0TT ZR

ZR+-

=r (124)



5.2.2 Rflexion au gnrateur

On considre une impdance de sortie du gnrateur purement relle ZG=RG, ainsi quune impdance caractristique Z0 purement relle elle aussi. Par un raisonnement analogue au chapitre prcdent, on montre que :

0G

0GG ZR

ZR+-

=r (125)

5.2.3 Mthode de calcul

Il suffit de calculer les ondes progressives et rflchies successives. A tout instant la tension totale sur la ligne est la somme de toutes ces ondes.

5.2.3.1 Exemple dapplication (impulsion)

Soit une ligne sans pertes avec les coordonnes suivantes : ZG = 25 W impdance de sortie du gnrateur Z0 = 75 W impdance caractristique de la ligne ZT = 100 W impdance de terminaison vph = 2.8108 m/s longueur donde L = 50 m longueur de la ligne

On injecte une impulsion de dure T=10 ns et de tension Vg=10 V. On a la situation classique de la Figure 36.

z

d

0

0

L

L

Gnrateur Charge

ZGZT

Ligne

=> Z0Vg

T

rTrG

Figure 36

On aimerait les tensions (resp. les courants) en z=0 (sortie du gnrateur) et z=L (terminaison) pour les valeurs t=0, Tp, 2Tp, , 5Tp. a) On cherche les coefficients de rflexion : 5.0G -=r et 143.0T =r b) On cherche le temps de propagation Tp = L/vph = 178 ns. On a un rgime impulsionnel

propre, dans la mesure o le temps de propagation est plus long que la dure de limpulsion.



Aux bornes du gnrateur, limpulsion voit limpdance Z0, exactement comme si la ligne tait infinie. De fait, elle peut tre considre comme telle, avant que limpulsion narrive la terminaison et ne soit rflchie. Le schma quivalent est donn par la Figure 37.

ZGZ0

Vg

T

V01

I01

Figure 37

c) On calcule donc la premire tension la sortie du gnrateur :

V5.7VZZ

ZV g

g0

001 =+

= mA100ZZ

VI

g0

g01 =+

= (126) A prsent on peut remplir le tableau :

z=0 (sortie du gnrateur, rG= -0.5) z=L (terminaison, rT= 0.143) vp vr vtot ip ir itot vp vr vtot ip ir itot t = 0 7.5 V 0 V 7.5 V 100 mA 0 mA 100 mA 0 V 0 V 0 V 0 mA 0 mA 0 mA t = Tp 0 V 0 V 0 V 0 mA 0 mA 0 mA 7.5V 1.071 V 8.571 V 100 mA -14.3 mA 85.7 mA t = 2Tp -0.536 V 1.071 V 0.536 V -7.14 mA -14.3 mA -21.4 mA 0 V 0 V 0 V 0 mA 0 mA 0 mA

t = 3Tp 0 V 0 V 0 V 0 mA 0 mA 0 mA -0.536 V -0.077 V -0.612 V -7.14 mA 1.02 mA -6.12 mA

t = 4Tp 0.038 V -0.077 V -0.038 V 0.51 mA 1.02 mA 1.53 mA 0 V 0 V 0 V 0 mA 0 mA 0 mA

t = 5Tp 0 V 0 V 0 V 0 mA 0 mA 0 mA 0.038 V 0.005 V 0.044 V 0.51 mA -0.07 mA 0.44 mA

5.2.3.2 Exemple dapplication (saut indiciel)

Soit une ligne sans pertes identique celle du 5.2.3.1. On injecte une impulsion de dure illimite et de tension Vg=10 V.

On aimerait les tensions (resp. les courants) en z=0 (sortie du gnrateur) et z=L (terminaison) pour les valeurs t=0, Tp, 2Tp, , 5Tp. On remplit le tableau en se souvenant de toutes les ondes progressives et rflchies :

z=0 (sortie du gnrateur, rG= -0.5) z=L (terminaison, rT= 0.143) vp vr vtot ip ir itot vp vr vtot ip ir itot t = 0 7.5 V 0 V 7.5 V 100 mA 0 mA 100 mA 0 V 0 V 0 V 0 mA 0 mA 0 mA t = Tp 7.5 V 0 V 7.5 V 100 mA 0 mA 100 mA 7.5V 1.071 V 8.571 V 100 mA -14.3 mA 85.7 mA t = 2Tp -0.536 V 1.071 V 8.036 V -7.14 mA -14.3 mA 78.6 mA 7.5V 1.071 V 8.571 V 100 mA -14.3 mA 85.7 mA

t = 3Tp -0.536 V 1.071 V 8.036 V -7.14 mA -14.3 mA 78.6 mA -0.536 V -0.077 V 7.959 V -7.14 mA 1.02 mA 79.6 mA

t = 4Tp 0.038 V -0.077 V 7.997 V 0.51 mA 1.02 mA 80.1 mA -0.536 V -0.077 V 7.959 V -7.14 mA 1.02 mA 79.6 mA

t = 5Tp 0.038 V -0.077 V 7.997 V 0.51 mA 1.02 mA 80.1 mA 0.038 V 0.005 V 8.003 V 0.51 mA -0.07 mA 80.03mA



On constate : a) Le courant itot se stabilise vers la valeur Vg/(Zg+ZT) aprs plusieurs trajets. Limpdance caractristique Z0 nintervient pas dans la valeur de stabilisation de itot (dans notre exemple, 80 mA). Z0 na en fait de linfluence que dans la rapidit laquelle itot converge vers sa valeur de stabilisation. Plus on est proche de ladaptation, plus cette convergence est rapide. En cas dadaptation (cas idal limite), on atteint la stabilisation en un seul trajet (pas donde rflchie) !

b) La tension vtot se stabilise vers la valeur Vg ZT/(Zg+ZT) aprs plusieurs trajets. Mme remarque que pour le point a) en ce qui concerne la valeur de Z0.

La Figure 38 illustre les parcours de tension et de courant en z=0 et z=L pour une dizaine de trajets.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 127

7.5

8

8.5

9Tensions successives en z=0 et z=L

9 V

7 V

Ugn

Ut n

Uinf

Nmax1 n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.06

0.08

0.1

Courants successifs en z=0 et z=L110 mA

50 mA

Ign

It n

Iinf

Nmax1 n Figure 38



6 Standardisation

6.1 Lignes utilises par les PTT suisses

a) Paires torsades conducteurs Cu, isolation au papier. plusieurs diamtres de 0,4 1,5 mm selon l'affaiblissement dsir. toronnage en quartes DM ou quartes-toile. cbles constitus de plusieurs paires (jusqu' 3'200) en couches ou faisceaux de quartes utilises pour les cbles d'abonns et les cbles intercentraux. pupinisation: augmentation de l'inductance par des inductances rparties le long de la

ligne (88,5 mH tous les 1830 m) pour diminuer l'affaiblissement dans une plage rduite de frquence. Les lignes pupinises ont une bande passante trs limite et ne peuvent pas tre utilises pour les multiplex numriques 2B+D ou 2 Mbit/s. Pour cela elles doivent tre dpupinises.

b) Paires ariennes conducteurs: bronze, Cu, Al, acier cuivr diamtres de 2 4 mm espacement: env 30 cm trs faible affaiblissement et comportement HF pour les frquences vocales principalement utilises pour les lignes d'abonns

c) Paires coaxiales (Voir en annexe) conducteurs Cu, isolation polythylne+air (er= 1,1 env.). 3 grandeurs (Dint/Dext): mini coax (0,65/2,8), coax petit diamtre (1,2/4,4) et coax

grand diamtre (2,6/9,5). utilises pour les multiplex dans le rseau interurbain.

6.2 Normes pour la transmission locale de donnes

a) Paires symtriques

Pour la transmission de donnes sur de courtes distances (



a1) Norme EIA* RS423 (rsume): circuit asymtrique (1 fil par signal + masse commune) un circuit pour chaque sens tensions nominales l'mission: 1:[-3,6...-6 V], 0:[+3,6...+6 V] dbit binaire: 1 kbit/s pour 1200 m, 10 kbit/s pour 120 m, 100 kbit/s pour 12 m

(maximum) configuration: 1 metteur, max. 10 rcepteurs

* EIA: Electronic Industries Association, USA, fonde en 1924 a2) Norme EIA RS422 (rsume):

circuit symtrique (2 fils par signal) cble tlphonique torsad, section selon distance, termin avec rsistance entre 90 et

150 W. un circuit pour chaque sens tensions nominales l'mission: 1:[-2...-5 V], 0:[+2...+6 V] dbit binaire: 100 kbit/s pour 1200 m, 1 Mbit/s pour 120 m, 10 Mbit/s pour 12 m

(maximum) configuration: 1 metteur, max. 10 rcepteurs

a3) Norme EIA RS485 (rsume): circuit symtrique (2 fils par signal). cble tlphonique torsad, section selon distance, termin avec rsistance entre 90 et

150 W. un circuit pour chaque sens (Full duplex) ou un circuit pour les deux sens (Semi-duplex) tensions nominales l'mission: 1:[-1,5...--5 V], 0:[+1,5...+5 V] dbit binaire: comme RS422. configuration:fontionnement en rseau linaire avec max. 32 metteurs et max. 32

rcepteurs. b) Sur paires coaxiales

Norme IEEE 802.3 (Ethernet)

(Voir cours de Tlinformatique)

7 Transmission full-duplex sur deux fils

Une ligne lectrique (2 fils) peut transmettre des signaux lectriques simultanment dans les deux sens (full-duplex), comme tout autre milieu linaire et bidirectionnel. Cest ce qui est pratiqu sur la ligne dabonn, numrique ou analogique. La difficult pour un metteur-rcepteur consiste :

- Extraire le signal reu du signal mis. Cest dautant plus difficile raliser que la puissance du signal reu est faible par rapport la puissance du signal mis. Cette opration est effectue par un suppresseur dcho.

- Passer dun systme 4 fils un systme 2 fils et vice-versa. Cette opration est effectue par un termineur, encore appel hybride (anglais : hybrid).



La Figure 39 illustre une ligne de type 2fils/full-duplex classique.

micro

haut-parleur

suppr.d'echo

2 fils

2 fils -

hybride

+

hybride suppr.d'echo

2 fils

2 filsmicro

haut-parleur

2 fils

Ligne, Z0

Figure 39

La suppression dcho ne sera pas tudie dans ce cours. Elle requiert une technologie de traitement du signal avance.

7.1 Passage 2 fils / 4 fils

Un exemple de termineur est dcrit par la Figure 40. Ligne

Zo

VE1

VR1ZB1

RB1 RA1ZR1 RA2

VR2

ZR2

ZB2

RB2

VE2

Figure 40

7.1.1 Valeurs des lments

RA1 = RA2 Z0 En basse frquence lgalit nest pas possible car Z0 est complexe. ZB1 = ZB2 = 10Z0 Ou un autre rapport > 10. RB1 = RB2 = 10RA1 Dans le mme rapport que prcdemment. ZR1 = ZR2 = Rcepteurs haute impdance.

7.1.2 Fonctionnement

Lmission de VE1 vers VR2 est illustre par la Figure 41 (VE2=0). Ligne

Zo

VE1

VR1ZB1

RB1 RA1ZR1

RA2 VR2

ZR2

ZB2 RB2

RA2~

Vin

Figure 41



La ligne est termine par RA2, donc elle est peu prs adapte.

Emission Comme ZB1RB1 et RA2RA1, on a VR10 et VinVE1/2. Rception Comme ZR2, VR2Vin. On reoit la tension mise affaiblie d'un facteur 1/2 ( -6 dB) par le passage 2 fils - 4 fils, en plus de l'affaiblissement de la ligne.

7.1.3 Proprits et limites dun tel circuit

- Z0 varie de ligne en ligne (temprature, pissures, etc.) et |Zo| varie en fonction de la frquence (environ 600 W 1 kHz, 140 W 100 kHz).

- L'adaptation n'est donc jamais parfaite et une partie du signal mis se retrouve sur le rcepteur du ct metteur: on parle d'cho local comme si l'on avait rflexion.

- L'affaiblissement de rflexion peut descendre jusqu' 10 100 dB.

ANNEXE 1

Caractristiques liniques

1

Annexe 2

Equation des lignes Du circuit quivalent un lment de ligne on tire les deux quations suivantes :

t)t,z(i

dz'L)t,z(idz'R)t,dzz(v)t,dzz(v)t,z(dv

--=+-+= (1)

t)t,z(v

dz'C)t,z(vdz'G)t,dzz(i)t,dzz(i)t,z(di

--=+-+= (2)

En divisant par dz et en faisant tendre dz 0, ces deux quations deviennent :

t)t,z(i

'L)t,z(i'Rz

)t,z(v

--=

(3)

t)t,z(v

'C)t,z(v'Gz

)t,z(i

--=

(4)

On limine le courant en drivant (3) par rapport z et (4) par rapport t :

zt)t,z(i

'Lz

)t,z(i'R

z)t,z(v 2

2

2

-

-=

(5)

2

22

t)t,z(v

'Ct

)t,z(v'G

tz)t,z(i

-

-=

(6)

On r-crit (5) laide de (6) et (4) :

-

--

---=

2

2

2

2

t)t,z(v

'Ct

)t,z(v'G'L

t)t,z(v

'C)t,z(v'G'Rz

)t,z(v (7)

Et finalement :

( ) )t,z(v'G'Rt

)t,z(v'C'R'G'L

t)t,z(v

'C'Lz

)t,z(v2

2

2

2

+

++

=

(8)

Par un raisonnement identique, on obtient lquation pour le courant :

( ) )t,z(i'G'Rt

)t,z(i'C'R'G'L

t)t,z(i

'C'Lz

)t,z(i2

2

2

2

+

++

=

(9)

Annexe 2

2

Impdance caractristique De (3) on conclut pour un rgime harmonique :

)z(I)'Lj'R(z

)z(Vw+-=

(10)

On considre une ligne adapte (pas de rflexion). On a :

z1 eV)z(V

g-= z1 eVz)z(V g-g-=

(11)

z1 eI)z(I

g-= (12)

En introduisant (11) dans (10), on obtient : z

1z

1 eI)'Lj'R(eVg-g- w+-=g- (13)

Donc :

'Cj'G'Lj'R

)'Cj'G()'Lj'R()'Lj'R()'Lj'R(

IV

1

1

w+w+

=w+w+

w+=

gw+

= (14)

Limpdance caractristique est le rapport des phaseurs de tension et de courant pour une onde progressive. On a donc :

'Cj'G'Lj'R

IV

e)z(Ie)z(V

)z(I)z(V

Z1

1z

1

z1

0 w+w+

==

== g-g-

(15)

R R f( ):= R 0.058W m1-

=

G G f( ):= G 5.935 108-

W1-

m1-

=

Calculs :

g R i w L+( ) G i w C+( ):= g 3.905 10 4- 0.044i+ m 1-=

a Re g( ):= a 3.905 10 4- Np m 1-= a 0.391 Npkm

= a 3.392dB

km=

b Im g( ):= b 0.044rad m 1-=

Longueur d'onde : l2 p

b:= l 142.915m=

Vitesse de phase : vphw

b:= vph 2.858 10

8

m

s=

Impdance caractristique : Z0R i w L+

G i w C+:= Z0 74.08 0.651i- W=

Annexe 3 - Exemple de rgime sinusodal

Cet exemple est bas sur un cble coaxial d'impdance caractristique 75 ohms. On considre l'impdance du gnrateur nulle, c'est dire Zg = 0 ohms.

Donnes gnrales :

e0 8.854187817 1012-

C

2s2

kg m3

:= m0 4 p 10

7-

kg m

C2

:= Np 1 dB 8.6861-

Np

Cble coaxial :

er 1.1:= tgd 0.0001:= Cuivre : s 58 106

W1-

m1-

:=de 9.5 mm:=di 2.6 mm:=

R f( )m0

s p

1

de

1

di+

f:=

Lm0

2 pln

de

di

:= L 0.259mH

km=

C2 p er e0

lnde

di

:=C 47.227

nF

km=

G f( ) 2 p f C tgd:=

Donnes externes :

f 2 MHz:= w 2 p f:= Long 1 km:=

Z Long( ) 25W=Zin 46.696W=Zin 46.684 1.055i- W=Zin Z 0 m( ):=Z z( ) Z01 r z( )+

1 r z( )-

:=

rin 0.227=rin 0.227- 6.551i 103-

-=rin r 0 m( ):=r z( ) rT e2 g z Long-( )

:=

rT 0.495=rT 0.495- 3.314i 103-

+=rT

ZT Z0-

ZT Z0+:=

ZT 25 W:=

Maintenant la ligne n'est plus adapte. On pose l'autre bout de la ligne une rsistance de charge :

0 200 400 600 800 100015

129

63

036

912

15

vp0 z( )

vp1 z( )

z

vp1 z( ) vp zl

4 vph,

:=

vp0 z( ) vp z 0 s,( ):=

vp z t,( ) 2 Vgeff Re eg- z

ei w t

( ):=

Vgeff 10 V:=z 0 mLong

NbPts, Long..:=NbPts 10000:=

Onde progressive :

On va considrer en premier lieu le cas de la ligne adapte. Seule reste l'onde progressive.

On peut voir voluer r(z) et Z(z) en coordonnes polaires. Sans pertes, on n'aurait qu'un cercle !

0.5 0 0.50.5

0

0.5

Im r z( )( )

Re r z( )( )

0 50 100 150 200 250125

100

75

50

25

0

25

50

75

100

125

Im Z z( )( )

0

Re Z z( )( )

L'impdance Z(z) varie considrablement le long de z !

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

Z z( )

z

On voit bien le glissement des ondes progressive et rflchie de l/4.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100030

2418

126

06

12

1824

30

vp z t,( )

vr z t,( )

vtot z t,( )

0

z

tl

4 vph:=Deuxime cas :

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100030

2418

126

06

12

1824

30

vp z t,( )

vr z t,( )

vtot z t,( )

0

z

t 0 s:=Premier cas :

On ne considre ici que la tension V(z,t). On pourrait considrer galement le courant.

vr z t,( ) 2 Re V1 eg- z

r z( ) ei w t

( ):=

vp z t,( ) 2 Re V1 eg- z

ei w t

( ):=

vtot z t,( ) 2 Re V1 eg- z

1 r z( )+( ) ei w t :=

Cherchons l'onde complte, puis ses composantes progressive et rflchie :

V1 V2+ 10V=V2 2.932- 0.11i- V=V2 V1 rin:=V1 12.932 0.11i+ V=V1Vgeff

1 rin+:=

Vrification :Comme on considre Zg=0 (cas purement thorique), on trouve directment :

Vgeff 10V=

Au gnrateur, l'impdance d'entre sera la suivante :

ZT 25W=EnvV Long( )

EnvI Long( )25W=

Z Long( ) 25W=EnvV Long( ) 6.245V=EnvV 0 m( ) 14.142V=

Z 0 m( ) 46.684 1.055i- W=2Vgeff

Z 0 m( ) 0.303A=EnvI 0 m( ) 0.303A=

Vrifications :

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

EnvI z( )

z

EnvI z( ) 2 V1 eg- z

1 r z( )+( ) 1Z z( )

:=

La tension peut monter assez haut ! Quant au courant, son enveloppe sera diffrente.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

EnvV z( )

z

EnvV z( ) 2 V1 eg- z

1 r z( )+( ):=

Cherchons l'enveloppe :

Vtot aura des creux et des bosses en suivant z !

Examinons prsent l'tat de tension le long de z pour diffrentes valeurs de t :

T1

f:= to

T

20:=

t0 0 T to+:= t1T

8t0+:= t2

T

4t0+:= t3

3T

8t0+:=

t4T

2t0+:= t5

5T

8t0+:= t6

6T

8t0+:= t7

7T

8t0+:=

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

20

10

0

10

20vtot z t0,( )

vtot z t1,( )

vtot z t2,( )

vtot z t3,( )

vtot z t4,( )

vtot z t5,( )

vtot z t6,( )

vtot z t7,( )

EnvV z( )

EnvV z( )-

0

z

U5 rg U4:=

5me tape: sortie du gnrateur

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Itot 79.592mA=Itot

1

4

n

In=

:=Utot 7.959V=Utot

1

4

n

Un=

:=

I4 1.02mA=I4 rt- I3:=U4 0.077- V=U4 rt U3:=

4me tape: terminaison

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Itot 78.571mA=Itot

1

3

n

In=

:=Utot 8.036V=Utot

1

3

n

Un=

:=

Itot 80.029mA=Itot

1

6

n

In=

:=Utot 8.003V=Utot

1

6

n

Un=

:=

I5 0.51mA=I6 rt- I5:=U6 5.466 103-

V=U6 rt U5:=


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Itot 80.102mA=Itot

1

5

n

In=

:=Utot 7.997V=Utot

1

5

n

Un=

:=

I5 0.51mA=I5 rg- I4:=U5 0.038V=

Utot 7.5V=Utot

1

1

n

Un=

:=

I1 100mA=I1

U1

Z0:=U1 7.5V=U1

Z0

Zg Z0+Uq:=

1re tape: sortie du gnrateur

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

rt 0.143=rtZt Z0-

Zt Z0+:=rg 0.5-=rg

Zg Z0-

Zg Z0+:=

Uq 10 V:=Zt 100 ohm:=Z0 75 ohm:=Zg 25 ohm:=

Annexe 4 - Rflexion indicielle, exemple

I3 7.143- mA=I3 rg- I2:=U3 0.536- V=U3 rg U2:=


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Itot 85.714mA=Itot

1

2

n

In=

:=Utot 8.571V=Utot

1

2

n

Un=

:=

I2 14.286- mA=I2 rt- I1:=U2 1.071V=U2 rt U1:=


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Itot 100mA=Itot

1

1

n

In=

:=

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


U10 rt U9:= U10 2.789 105-

V= I10 rt- I9:= I10 3.719- 104-

mA=

Utot

1

10

n

Un=

:= Utot 8V= Itot

1

10

n

In=

:= Itot 80mA=

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


U11 rg U10:= U11 1.395- 105-

V= I11 rg- I10:= I11 1.859- 104-

mA=

Utot

1

11

n

Un=

:= Utot 8V= Itot

1

11

n

In=

:= Itot 80mA=

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


U12 rt U11:= U12 1.992- 106-

V= I12 rt- I11:= I12 2.656 105-

mA=

Utot

1

12

n

Un=

:= Utot 8V= Itot

1

12

n

In=

:= Itot 80mA=

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


U7 rg U6:= U7 2.733- 103-

V= I7 rg- I6:= I7 0.036- mA=

Utot

1

7

n

Un=

:= Utot 8V= Itot

1

7

n

In=

:= Itot 79.993mA=

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


U8 rt U7:= U8 3.905- 104-

V= I8 rt- I7:= I8 5.206 103-

mA=

Utot

1

8

n

Un=

:= Utot 8V= Itot

1

8

n

In=

:= Itot 79.998mA=

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


U9 rg U8:= U9 1.952 104-

V= I9 rg- I8:= I9 2.603 103-

mA=

Utot

1

9

n

Un=

:= Utot 8V= Itot

1

9

n

In=

:= Itot 80.001mA=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.06

0.08

0.1

Courants successifs en z=0 et z=L

Ign

It n

Iinf

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 127

7.5

8

8.5

9Tensions successives en z=0 et z=L

Ugn

Ut n

Uinf

n

(Valeurs paires pour la terminaison) Itn si mod n 2,( ) 0= Itotn, Itotn 1-,( ):=Utn si mod n 2,( ) 0= Utotn, Utotn 1-,( ):=(Valeurs impaires pour le gnrateur) Ign si mod n 2,( ) 0= Itotn 1-, Itotn,( ):=Ugn si mod n 2,( ) 0= Utotn 1-, Utotn,( ):=

Attention : il convient de ne pas mlanger les tensions la sortie du gnrateur et en terminaison, qui reprsentent deux courbes bien diffrentes !

Iinf 80mA=Iinf Uq1

Zg Zt+:=Valeur de courant stabilise :

Uinf 8V=Uinf UqZt

Zg Zt+:=Valeur de tension stabilise :

Itot0 0 A:=

Utot0 0 V:=Itotn1

n

k

Ik=

:=Utotn1

n

k

Uk=

:=n 1 Nmax..:=

In si mod n 2,( ) 0= rt- In 1-, rg- In 1-,( ):=Un si mod n 2,( ) 0= rt Un 1-, rg Un 1-,( ):=I1 100mA=U1 7.5V=n 2 Nmax..:=Nmax 12:=

Au milieu du cble, on verra passer toutes les ondes progressives et rflchies avec une dure gale. Ailleurs dans le cble, les dures seront simplement ingales. Au milieu du cble, donc, on voit ceci :

Note : observez le dcalage de 0.5 !

n 0 Nmax..:=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 127

7.5

8

8.5

9Tensions successives au milieu du cble

Utot n

Uinf

n 0.5-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.07

0.08

0.09

0.1

Courants successifs au milieu du cble

Itot n

Iinf

n 0.5-

ANNEXE 5

Abaque de Smith

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