PHS1101 – Mécanique pour ingénieurs

Contrôle périodique 1 Hiver 2012

« Spécial Déménagement»

Déménagement PHS1101 Inc. 514-314-1592

k

CM

Question 1:

Dans les annonces publicitaires de Ford F150, on annonce fièrement que le modèle 2012 du camion génère un couple maximal 420 lb-pi (570 Nm). Ce couple est un moment de force interne produit par le moteur et transmis à 100% aux roues arrières du camion. Votre patron vous demande de vérifier la force maximale de remorquage pouvant être produite par ce couple. Pour ce faire, on attache solidement le camion à un mur grâce à un gros ressort et on mesure l’élongation du ressort. Dans ce problème, vous devez prédire les résultats de l’expérience. Pour ce faire, utilisez les données suivantes: - Diamètre externe des roues du camion: 50 cm - Hauteur du ressort par rapport au sol: 40 cm - Supposez que le camion ne glisse pas au sol et que le ressort est étiré et à l’équilibre. - Le poids du camion est de 20 000 N A) Faites le DCL d’une des roues arrières du camion (séparée du camion) (20 points) B) Faites le DCL du camion au complet (5 points) C) Déterminer la grandeur de la force de réaction exercée par le sol sur la roue. Décrivez

tout autre DCL nécessaire. (15 points). D) Sachant que votre patron veut que le camion étire le ressort d’un mètre au maximum,

quelle est la constante de rappel du ressort que vous conseillez d’acheter? (10 points)

Question 1:

Question 1 – Solution :

A)

Ff

Ex

Ey

E

M

N

C)

Ff N N2

Un DCL bien choisi et bien fait conduit à une simplification majeure du problème:

ME 0D

2Ff M

M est le couple généré par le camion

W

FR

D/2

Ff

2M

D2280NEn utilisant le DCL de la roue:

B)

D) kFR

x

Ff

x

2M

D x

2 570

0,5 12,28 kN /m

20 points

5 points

15 points

10 points

Question 2

Masse M

G A

B

C Un ingénieur chargé du design d’une grue cherche à calculer la masse

maximale qu’elle peut soulever. La poutre horizontale a une masse mh de 200 kg et la poutre verticale a une masse mv de 300 kg. On peut négliger la masse de la membrure AC. Les pivots A B et C peuvent supporter une réaction maximale de 50 kN. Le point D est encastré dans le sol. 4 m

3 m 12 m

A) Tracer le DCL du système complet. (10 points) B) Calculer le système équivalent force-couple au point D si M = 1000 kg. (10 points) C) Quelles est la grandeur et l’orientation de la force et du moment de réaction à la base de la

grue si M = 1000 kg? (point D) (5 points) D) Tracer les DCL de la poutre horizontale et de la membrure AC. (10 points) E) Déterminer les réactions aux points A, B et C en fonction de M (la masse à soulever) et mh

(la masse de la poutre horizontale). (10 points) F) Quelle est la masse maximale pouvant être soulevée? La grue pourra-t-elle soulever la

masse de 1000kg? (5 points)

D

12 m

Déménagement PHS1101 Inc. 514-314-1592

Solution

Mg

G A

B

C

D x

y

mhg

mvg

RD

MD

A) Tracer le DCL du système complet. (10 points)

Solution B) Calculer le système force-couple équivalent au point D si M = 1000 kg. (10 points)

N14715

81,9)3002001000(

)(

jF

jjgmmMF

jgmgmMgFF

eq

vheq

vheq

Nm129492

81,9)120012000(612

612

eq

heq

hDeq

M

gmMM

gmMgMM

Solution C) Quelles est la grandeur et l’orientation de la force et du moment de réaction à la base de

la grue si M = 1000 kg? (point D) (5 points)

On peut également dire qu’il s’agira simplement de l’opposé de ce qui a été trouvé en B)

N1471581,9)3002001000(

0

jgmmMR

RgmgmMgF

vhD

Dvhy

Nm129492

81,9)120012000(612

0612

D

hD

DhD

M

gmMM

MgmMgM

Solution

Mg

G A B

x

y

mhg

D) Tracer les DCL de la poutre horizontale et de la membrure AC. (10 points)

A

C

RAy

RAx

RBy

RBx

RCy

RCx

RAy

RAx

Solution E) Déterminer les réactions aux points A, B et C en fonction de M (la masse à soulever)

et mh (la masse de la poutre horizontale). (10 points)

Puisque AB est une membrure à deux forces, les réactions en A et C sont colinéaires, de normes égales mais de sens opposé. D’après la géométrie, on trouve donc que:

À l’aide du DCL de la poutre horizontale, on trouve:

AxBx

BxAxx

AyhBy

ByAyhy

RR

RRF

RgmMR

RRgmMgF

0

0

CyAAyCxAAx RRRRRR5

4et

5

3

Solution E) Déterminer les réactions aux points A, B et C en fonction de M (la masse à soulever)

et mh (la masse de la poutre horizontale). (10 points)

On trouve ensuite:

22324

16

9

244

3

324

244

3et24

4

5

24

03612

hhB

hBx

hhhBy

hAxhA

hAy

AyhB

mMmMgR

gmMR

gmMgmMgmMR

gmMRgmMR

gmMR

RgmMgM

Solution F) Quelle est la masse maximale pouvant être soulevée? (10 points)

Puisque la réaction maximale est 50kN, il faut trouver la valeur de M qui donnera

une réaction de 50kN ou moins pour A, B et C Vérifions si cette masse donne une réaction inférieure à 50kN en B:

kg4,9192

200

81,95

50000

25

244

5

hA

hA

m

g

RM

gmMR

N8,41739

2004,91934004,919416

9

32416

9

22

22

B

B

hhB

R

gR

mMmMgR

Solution F) Quelle est la masse maximale pouvant être soulevée? (10 points)

Pour une masse de 919,4kg, la réaction en A atteint 50kN alors qu’elle est inférieure

en B. De plus, puisque la réaction a la même norme en C qu’en A, on remarque que les pivots A et C sont les éléments limitant de la grue.

kg4,919MaxM

Question 3 Une remorque de déménagement (« trailer » en anglais) peut être modélisée comme montré sur la figure ci-dessous. L’axe z’ est

parallèle à z et est un axe de symétrie du camion. L’axe z’’ est parallèle à z et est axe de symétrie de la roue. L’axe y’ est un axe parallèle à y ; il est perpendiculaire à l’axe z’’ et passe sous les roues du côté droit du wagon, tel qu’indiqué sur la figure. La densité volumique est uniforme : ρ=80kg/m3.

On cherche à mesurer la propension de la remorque à basculer sur le côté en calculant son centre de masse et son moment d’inertie. A) Donner, en vos mots, toutes les étapes d’une démarche concise et cohérente pour déterminer le centre de masse de la

remorque. (10 points) B) Déterminer le centre de masse de la remorque au complet. (10 points) C) Calculer le moment d’inertie de chaque pièce selon l’axe passant par leur centre de masse respectif et parallèle à y. (10 points) D) Donner, en vos mots, toutes les étapes d’une démarche concise et cohérente pour trouver le moment d’inertie total de la

remorque autour de l’axe y’. (10 points) E) Déterminer le moment d’inertie de la remorque au complet par rapport à l’axe y’ ? (10 points)

Vue d’ensemble

6 m

3 m

3 m

1 m 1 m

R = 0.5 m

x y

z

O

Vue de profil

z’

0.25 m

0.5 m y’

z’’

Déménagement PHS1101 Inc. 514-314-1592

Question (Solution) A) Schématisation des pièces et démarche

+ + + +

Note: d’autres démarches et divisions de pièces sont également possibles et plus simples, par exemple on peut considérer les 4 roues comme un objet de masse 4mr dont le centre de masse est situé en plein centre du carré formé par les centres des 4 roues. Il ne reste plus qu’à calculer le centre de masse de 3 objets.

Démarche: On calcule le centre de masse de chacune des pièces et on fait la moyenne pondérée du produit de la position des CM des pièces par leur masse.

Question (Solution) B) Calcul du centre de masse

)56.1,00.3,50.1(6.4445

6.6919,

6.4445

8.13336,

6.4445

4.6668),,( zyx

Pièce Masse Position CM (xCM, yCM, zCM)

MxCM MyCM MzCM

Rectangle 1 4320 kg (1.5, 3, -1.5) m 6480 12960 -6480

Cylindre 1 31.4 kg (0.5, 1.5, -3.5) m 15.7 47.1 -109.9

Cylindre 2 31.4 kg (0.5, 4.5, -3.5) m 15.7 141.3 -109.9

Cylindre 3 31.4 kg (2.5, 1.5, -3.5) m 78.5 47.1 -109.9

Cylindre 4 31.4 kg (2.5, 4.5, -3.5) m 78.5 141.3 -109.9

Total 4445.6 kg 6668.4 13336.8 -6919.6

Question (Solution) C) Moments d’inertie par rapport à l’axe passant par leur centre de masse et

parallèle à y

322

11, 64803312

1kgmMI CMy

322

3,, 6.25.05.0312

1kgmMI roueCMy

D) Moments d’inertie selon y’ du camion de déménagement

rouesyyrouesyecarrosseriycamiony IIIII ,'1,',',','

Démarche: On calcule le moment d’inertie selon y’ des différentes pièces. Tout d’abord, par rapport au centre de masse puis par rapport à y’ en utilisant le théorème des axes parallèles. On effectue alors la somme du moment d’inertie de toutes les pièces.

Question (Solution) E) Moments d’inertie selon y’ des roues

3

222

,,

2

2

2

1,,,'

293

9.2667.154.1025.025.024

224

kgm

MMI

dMdMII

roueroueroueCMy

roueroueroueCMyrouey

3

,'1,',' 3809329337800 kgmIII rouesyycamiony

322

11,

2

11,1,' 3780031320648015.2 kgmMIdMII CMyCMyy

On cherche à déménager un meuble de hauteur H, de masse M et de densité homogène. Le meuble est placé dans une caisse en bois munie de roulettes qui peuvent être bloquées pour prévenir leur rotation. Le coefficient de frottement statique entre le plancher et chacune des roulettes vaut μS. Vous devez déplacer cette armoire sur un plan incliné dont l’angle θ avec l’horizontale peut-être ajusté à votre guise.

Dans le cas où les deux roulettes sont bloquées, vous cherchez à déterminer l’angle maximal

du plan à partir de l’horizontale pour que l’armoire puisse demeurer immobile sur le plan, sans glisser ni basculer.

Pour ce faire: A. Faites le DCL complet de l’armoire (utilisez le système d’axes spécifié) (15 points) B. Déterminez le poids supporté par chacune des roues en fonction des paramètres du

problème (10 pointes) C. Déterminez l’angle minimal pour que l’armoire bascule en fonction des paramètres du

problème (10 points) D. Déterminez l’angle minimal pour que l’armoire glisse en fonction des paramètres du

problème (10 points) En utilisant les valeurs numériques suivantes pour les paramètres du problème: H=1,5m, W =

0,5m, M = 60kg, μS = 0,25

E. Si vous augmentez l’angle du plan doucement, l’armoire se mettra-t-elle à glisser avant de

Question 4

Schéma de la question 4:

θ

Question 4 (solution)

NA

NB

Mg

FfA

FfB

A)

20 points

B) v

M Av 0 WNB

v k

v r AG m

v g

v r AG

W

2

v i

H

2

v j , m

v g mg sin

v i cos

v j

v r AG m

v g mg

W

2cos mg

H

2sin

v k

0 WNB mgW

2cos mg

H

2sin

NB

mg

2cos 1

H

Wtan

Fy 0 NA NB mgcos

NA mgcos NB mgcos 11

2

H

2Wtan

NA mgcos1

2

H

2Wtan

G

Question 4 - solution (suite)

C) v

M Bv r BG m

v g

v 0

v r BG m

v g mg

W

2cos mg

H

2sin

v k

v 0

Juste avant que l’armoire ne bascule, la normale au point A est nulle. Le moment de l’armoire par rapport au point de bascule cesse alors d’être nul.

W

Htan

On peut aussi utiliser une approche géométrique. Pour que l’équilibre soit possible il faut que le moment du poids soit positif, donc que la ligne d’action du vecteur poids intersecte le sol entre A et B. Si la ligne d’action fait intersection avec le sol au-delà du point B, il y a un moment net négatif sur le système et l’armoire bascule. Cette condition peut être représentée par le diagramme ci-contre. On trouve immédiatement:

Mg

H/2

W/2

θ

θ W

Htan

Question 4 (solution-suite)

D) Pour que l’armoire glisse il faut que les deux forces de frottement ne parviennent plus à opposer la composante en x du poids.

Fx 0 FfA FfB mgsin

S NA NB mgsin

Fy 0 NA NB mgcos

Smgcos mgsin S tan

E) Application numérique: glisse arctan S arctan0,25 14

bascule arctanW

Harctan

1

318,4

L’armoire glisse avant de basculer.