Physique Central 1998

PHYSIQUE Filière MP

Un système de communication

On se propose d’examiner quelques phénomènes mis en œuvre dans un systèmede communication, ainsi que quelques méthodes utilisées pour coder des infor-mations. Dans tout le problème, le souligné est utilisé pour dénoter les gran-deurs complexes ( , ) où est tel que .

Partie I - Rayonnement d’une antenne

I.A - Dans les parties I et II, l’atmosphère terrestre est considérée comme un mi-lieu dont les propriétés sont celles du vide : et

.Un élément de courant ,placé à l’origine des espaces, lelong de l’axe , crée, en unpoint repéré par ses coordonnéessphériques , , (figure 1), un po-tentiel vecteur :

où est la vitesse de la lumièredans le vide.I.A.1) Le courant est sinusoïdal de pulsation etd’amplitude . Donner, en notationcomplexe, l’expression du poten-tiel vecteur en en introduisant le nombre d’onde .I.A.2) Pourquoi, dans la zone de rayonnement ( longueur d’onde durayonnement), est-il pertinent, lors d’une dérivation spatiale de , de négligerles termes résultant du facteur devant ceux résultant de l’exponentielle ?I.A.3) Identifier parmi les deux expressions données en notation complexe ci-dessous, celle du champ magnétique et celle du champ électrique créésen un point de la zone de rayonnement, par l’élément de courant .Justifier votre choix.

,

On rappelle éventuellement que :

et

Z A j j 2 1–=

ε0 1 36π⁄( ) 9–×10 F m 1–⋅=µ0 4π 7–×10 H m 1–⋅=

z

y

ϕ

x

θr

M er

eϕ

eθi t( )dzez

Figure 1

O

i t( )dzezO

O ez,( )M

r θ ϕ

d Aµ0i t r c⁄–( )

4πr-------------------------------= dzez

c

i t( ) I ωtcos=ω

IAd

M k ω c⁄=

r λ» λAd

1 r⁄

Bd EdM i t( )dzez

jωµ0I

4π--------e j ωt kr–( )

r------------------------ θdzeθsin jk I

4πε0c2------------------

e j ωt kr–( )

r------------------------ θdzeϕsin

rot f a( ) f rot a( ) grad f( ) a∧+= grad f r θ ϕ, ,( )( )r∂

∂f er1r-- θ∂

∂f eθ1

r θsin-------------- ϕ∂

∂f eϕ+ +=

Concours Centrale-Supélec 1998


I.A.4) Vérifier que le champ électromagnétique ( ) possède, dans cesconditions et localement, la structure d’une onde plane progressive dans la di-rection .

I.B - Une antenne demi-onde estconstituée d’un fil rectiligne de lon-gueur colinéaire à l’axe

et de point milieu originedes espaces (figure 2). Alimentée parun amplificateur de puissance non re-présenté, elle est parcourue par uncourant .I.B.1) Exprimer le courant d’an-tenne en notation complexe .I.B.2) On souhaite déterminer lechamp électrique en dans lazone de rayonnement.a) Pour ce faire, on considère un élé-ment de courant , au point de l’antenne à la cote . Exprimer enfonction de et , la différence de marche entre les ondes rayonnées en et

dans la direction .b) Déterminer, en notation complexe, l’expression du champ électrique rayonné par l’antenne en dans la direction . On donne :

c) En déduire le champ électrique cherché :

I.B.3) Donner l’expression du champ magnétique rayonné par l’anten-ne.I.B.4) Exprimer le vecteur de Poynting et la moyenne temporelle de sanorme .I.B.5) Sachant que

rot a( )1

r θsin-------------- θ∂

∂ θaϕsin( )ϕ∂

∂aθ– er

1r--

1θsin

----------- ϕ∂∂ar

r∂∂

r aϕ( )– eθ

1r--

r∂∂

r aθ( )θ∂

∂ar– eϕ+ +=

d E d B,

er

z

y

ϕ

x

θr

M

L2---

Figure 2

L2---–

O

L λ 2⁄=O ez,( ) O

i z t,( ) I0 πz L⁄( )cos ωtcos=

i z t,( )

E M t,( ) M

i z t,( )dzez N zz θ δ N

O θ ϕ,( )

E M t,( )M θ ϕ,( )

x e jaxcos xdπ2---–

π2---

∫ 2 aπ 2⁄( )cos1 a2–

--------------------------------=

E M t,( ) cµ0I0 π 2⁄( ) θcos( )cos

2πr θsin------------------------------------------------------- ωt kr–( )sin eθ–=

B r t,( )

Π<Π>



,

calculer la puissance moyenne rayonnée par cette antenne.I.B.6) Par définition, la résistance de rayonnement d’une antenne demi-ondeest la résistance définie par où est l’intensité au ventre d’in-tensité de l’antenne. Déterminer pour une antenne demi-onde et justifier ladénomination de résistance de rayonnement. Calculer numériquement .Quelle serait la valeur de l’intensité maximale pour une antenne demi-ondedont la puissance moyenne de rayonnement est (puissance del’émetteur Grande Ondes de France Inter à Allouis).

Partie II - Propagation entre l’ionosphère et la terre

II.A - Les ondes électromagnétiques rayon-nées par l’antenne rencontrent l’ionosphèrequi est l’ensemble des couches atmosphèri-ques situées entre et d’altitude.Ces dernières se modélisent en un gaz ionisé(plasma) occupant un milieu transparent dontla permittivité et la perméabilité sontcelles du vide. Ce plasma, électriquement neu-tre, est constitué d’ions pratiquement immobi-les et d’électrons de charge et de masse . Bien que lastructure de l’ionosphère soit complexe, noussupposerons que le nombre d’électrons parunité de volume est uniforme et égal à . En outre, nous admettronsque les interactions entre particules ainsi que leur agitation thermique peuventêtre négligées. Cela étant, considérons une onde électromagnétique plane, pro-gressive, monochromatique et polarisée rectilignement, se propageant dans unedirection orthogonale à l’interface (plan ) de l’atmosphère et de l’ionos-phère (figure 3). Sur l’interface, son champ électrique donnenaissance à :

• un champ électrique transmis ( )• un champ électrique réfléchi .

II.A.1) En négligeant la force magnétique, donner l’expression, en notationcomplexe, de la vitesse des électrons ionosphèriques dans le champ électro-magnétique transmis. En déduire le vecteur densité de courant de conduction créé par ce champ.

π 2⁄⟨ ⟩ θcos( )cos2

θsin----------------------------------------------- θd

0

π

∫ 1 22,=

P

Rr P Rr I02

2⁄= I0Rr

RrI0

P 2100kW=

z

xO

E r

Ionosphère

Atmosphère

BrEB

k

–k

k'

Bt E t

Figure 3

60km 300km

ε0 µ0

e– 1 6,–19–×10 C=

m 9 1, 31–×10 kg=

N 1012m 3–=

Oz z 0=E E 0e j ωt kz–( )ex=

E t E 0t ej ωt k 'z–( )ex= z 0>

E r E 0r e j ωt kz+( )ex=

v e

j



II.A.2) Écrire les équations locales vérifiées par le champ électromagnétiquedans l’ionosphère et établir l’équation de propagation du champ électrique .Démontrer la relation de dispersion où est la pulsa-tion plasma dont on donnera l’expression en fonction de , , et . Calculernumériquement la fréquence plasma . Les ondes émises par FranceInter G.O., de fréquence , peuvent-elles se propager dansl’ionosphère ? On rappelle que : .II.A.3) Donner les conditions aux limites (en ) que vérifient les champsélectriques et magnétiques des trois ondes incidente, transmise et réfléchie, ain-si que les relations, d’une part entre et , d’autre part entre et et enfinentre et .II.A.4) Établir l’expression du coefficient de réflexion en amplitude

de l’interface atmosphère-ionosphère et en déduire celle de son fac-teur de réflexion en puissance . Exprimer et en fonction du paramè-tre défini par . Comment se comporte cette interface vis à visdes ondes électromagnétiques de pulsation ? Conclure que les ondesrayonnées par l’émetteur de France Inter G.O. sont totalement réfléchies parl’ionosphère.

II.B - Les ondes électromagnétiques de cet émetteur sontréfléchies par l’ionosphère et aussi par la terre. On se propo-se d’examiner les conditions de cette propagation guidée enassimilant, dans la région étudiée, la terre et l’ionosphère àdeux plans conducteurs parfaits parallèles, distants de .Parmi les structures de champ pouvant se propager on nes’intéressera qu’à la structure transverse électrique (T.E.)orthogonale à la direction de propagation. Cette stuctu-re est définie, en notation complexe, par un champ électrique de la forme :

II.B.1) Écrire l’équation de Maxwell-Gauss vérifiée par le champ électriquedans l’atmosphère entre les deux plans et et déduire que ne dépend en fait que de la seule coordonnée .II.B.2) Établir l’équation de propagation du champ électrique . Démontrer,en intégrant l’équation de propagation, que le champ électrique est de laforme : ( ). Commenter la forme de l’ex-pression obtenue et le fait que soit indépendant de .II.B.3) En ne retenant que le mode dominant ( ), en déduire la relationde dispersion des ondes guidées où est une pulsationde coupure à expliciter en fonction de et . Calculer numériquement

E t

k '2 ω2 c2⁄( ) 1 ωP2 ω2⁄–( )= ωp

N e m ε0f p ωp 2π⁄=

f 164kHz=rot rot a( )( ) grad diva( )( ) a∆–=

z 0=

B E Bt E t

Br E r

r E 0r E 0⁄=R r 2= r R

n n2 1 ωp2 ω2⁄–=

ω ωp<

h

z

O xey

Terre

Ionosphère

h

Ox

E g E g y z,( )e j ωt k gx–( )ey=

z 0= z h= E g y z,( )z

E g

E g

E g E g0 nπz h⁄( )sin ωt k gx–( )cos ey= n N∈E g0 x

n 1=k g

2 ω2 c2⁄( ) 1 ωc2 ω2⁄–( )= ωc

c h



. Les ondes rayonnées par France Inter G.O. peuvent elles se propa-ger dans l’atmosphère entre l’ionosphère et la terre ?

Partie III - Modulation

III.A - Le champ électromagnétique rayonné par l’antenne doit être modulépour qu’il puisse véhiculer des informations. Supposons d’abord que le signal demodulation soit sinusoïdal . Ce signal module la porteuse

qui est la tension appliquée à l’antenne d’émission en l’absen-ce de modulation. La porteuse est fournie par un oscillateur sinusoïdal hautefréquence dont la fréquence d’oscillation ( ) est parti-culièrement stable.III.A.1) La modulation s’effectue à l’aided’un circuit (figure 4) comprenant un multi-plieur de constante multiplicative et unadditionneur. Montrer que le signal moduléest de la forme

où est l’in-dice de modulation que l’on explicitera.III.A.2) Afin de mesurer l’indice de modu-lation du signal porteur, on réalise les deux oscillogrammes représentés (figure5). Quels sont les modes de l’oscilloscope utilisés pour la réalisation de chacunde ces oscillogrammes ? Exprimer l’indice de modulation en fonction des ten-sions extrémales , et le calculer numériquement.III.A.3) Déterminer le spectre de fréquences du signal modulé et le repré-senter. En déduire, pour ce type de modulation, la largeur du spectre de fréquen-ces nécessaire à la transmission d’un signal sinusoïdal de fréquence .III.A.4) En l’absence de modulation ( ), la puissance rayonnée par l’an-tenne est . Quelle puissance rayonne cette antenne quand l’indi-ce de modulation a la valeur calculée à la question III.A.2.III.A.5) Plus généralement, le signal de modulation occupe une plage de fré-quences (figure 6). Représenter le spectre de fréquences du signal mo-dulé. En radiodiffusion et , quelle est la largeur de laplage de fréquences occupée par le signal modulé ? Quel écart minimal de fré-quence doit-il exister entre les fréquences des porteuses de deux émet-teurs pour que leurs émissions ne soit pas mutuellement brouillées ?

f c ωc 2π⁄=

v m t( ) V m ωmtcos=v p t( ) V p ωptcos=

f p ωp 2π⁄= f p f m» ωm 2π⁄=

Xkxy +1

Σ

v m t( )

v p t( )

+1v t( )

Figure 4

k

v t( ) V p 1 m ωmtcos+( ) ωptcos= m

V 1 2V= V 2 18V=

v t( )

f m

m 0=P 2100kW= Pt

m

f m1 f m2,[ ]f m1 300Hz= f m2 4 5kHz,=

∆f min



III.B - En fait, le signal modulé doit être amplifiéavant d’être appliqué à l’antenne. Pour cela, on in-tercale entre la sortie du modulateur délivrant lesignal et l’antenne, un amplificateur sélectifdont le circuit équivalent est donné figure 7. Latransconductance de l’amplificateur est uneconstante réelle dans la bande de fréquences uti-lisée et le circuit est accordé sur la fré-quence du signal porteur ( ). Lefacteur de qualité du circuit est où larésistance inclut, pour l’essentiel, la résistance de rayonnement calculée dansla question I.B.6.III.B.1) Calculer l’impédance complexe du circuit et montrer quepour des pulsations telles que , elle peut s’écrire

. En déduire les expressions du module et del’argument .III.B.2) En déduire, que la tension à la sortie de l’amplificateur est

,expression dans laquelle on explicitera, et le nouvel indice de modulation . Commenter l’expression de

obtenue.

t

v t( ) V 2

V 1

v m t( )

v t( )

V 2

Figure 5

f m1 f m2

f

0

Amplitude

Figure 6v t( )

g

R L C,,( )f p LCωp

2 1=Q R Lωp⁄=

R

Z R L C,,( )ω ∆ω ω ωp–= ωp«

Z jω( ) R 1 j 2Q∆ω ωp⁄+( )⁄= Z Z=ϕ Z( )arg=

v' t( )v' t( ) V 'p 1 m'+ ωmt ϕ'+( )cos[ ] ωpt( )cos=V 'p ϕ' m' v ' t( )



III.B.3) À quelles conditions le signalamplifié est-il une image non défor-mée du signal modulé , lorsque lapulsation du signal de modulationvarie entre et ? Vérifier que cesconditions sont réalisées lorsque

.

Partie IV - Démodulation

IV.A - L’antenne du récepteur capte un signal modulé qui est appliqué à l’entréed’un amplificateur à commande automatique de gain (CAG), c’est-à-dire que cesignal sera d’autant plus amplifié que son amplitude au niveau de l’antenne estplus faible. L’amplificateur délivre un signal de la forme

avec constante par CAG. Ce dernier signalest ensuite appliqué à l’entrée d’un démodulateur dont le rôle est de fournir unsignal image du signal de modulation . Le démodulateur(figure 8) comprend un oscillateur local délivrant un signal synchrone de la porteuse, un multiplieur de constante multiplicative , un filtrepasse-bas idéal d’amplification pour et un filtre dont l’am-plificateur opérationnel est idéal.IV.A.1) Déterminer la fonction de transfert du filtre . Quel est letype de ce filtre ? Quelle est l’amplification de ce filtre en bande passante ?Calculer pour avoir une fréquence de coupure à sachant que

. Quel est le rôle de l’amplificateur opérationnel ? Tracer le diagram-me de Bode (courbe de réponse en gain et courbe de réponse en phase) de .IV.A.2) Établir l’expression du signal démodulé à la sortie du filtre .IV.A.3) On isole à l’aide d’un soustracteur la composante continue du signal

en utilisant les signaux délivrés par les filtres et . Exprimer . Quelrenseignement nous fournit cette composante continue et à quoi peut-onl’utiliser ?

CL Rgv t( )v t( ) v ' t( )

Figure 7

v' t( )v t( )

ωmωm1 ωm2

ωm ωp⁄ 1 2Q( )⁄«

v'' t( ) V ''p 1 m' ωmtcos+( ) ωptcos= V ''p

v d t( ) v m t( ) V m ωmtcos=v 0 t( ) V 0 ωptcos=

kF 1 K 1 1= f f p≤ F 2

H2 jω( ) F 2K 2

R f m1 10⁄C 100nF=

F 2

v d t( ) F 2

Uu t( ) F 1 F 2 U

Oscillateurlocal

C+

–∞

u t( ) u' t( )v'' t( )

v 0 t( )

v d t( )RXkxy

Filtre

Filtre F 1

F 2Figure 8



IV.B - En fait, il est pratiquement impossible de réaliser un oscillateur localparfaitement synchrone de la porteuse. En effet, la phase instantanée de l’os-cillateur local est de la forme où est une fonction aléatoire dutemps avec .IV.B.1) Dans cette hypothèse, calculer le signal délivré par le démodu-lateur. Conclure que l’amplitude du signal démodulé fluctue alétoirement et dé-tériore le signal audible (fading).IV.B.2) Pour corriger ce défaut, on remplace l’oscillateur local par un circuitalimenté par la tension modulée et dont le rôle est de fournir une tensionsinusoïdale parfaitement synchrone de la porteuse. Ce circuit réalise une“boucle à verrouillage de phase” (figure 9). Il est constitué d’un oscillateur com-mandé en tension OCT délivrant un signal d’amplitude constante etde phase instantanée , c’est-à-dire de pulsation instantanée

avec où est la tension de commande de l’OCTet une constante dimensionnée réelle positive telle qu’à tout instant :

. Le circuit comprend, en outre, un multiplieur de constante multi-plicative , un filtre passe-bas idéal qui transmet sans atténuation les si-gnaux de fréquence et, enfin, un circuit déphaseur introduisant undéphasage de à la fréquence . Quelle est l’équation différentielle vé-rifiée par ?

IV.B.3) Sachant que , intégrer l’équation différentielleprécédente et montrer que la boucle se verrouille, c’est-à-dire que tendvers et que la pulsation de l’OCT tend vers pulsation de la porteuse.IV.B.4) Cependant, une fois la boucle verrouillée, peut-on substituer le signal

délivré par l’OCT à celui délivré initialement par l’oscillateur local(figure 8) ? Quel est le rôle du déphaseur ?

••• FIN •••

ωpt ϕ0+ t( ) ϕ0 t( )d ϕ0 dt⁄ ωp«

v'd t( )

v'' t( )v'0 t( )

v'0 t( ) V 0ωpt ϕ0 t( )+

ωp d ϕ0 dt⁄+ d ϕ0 dt⁄ av c t( )= v c t( )a

av c t( ) ωp«k F 3

f f p≤ϕ π 2⁄–= f p

ϕ0 t( )

u' t( ) v 0'' t( )v'' t( )

v'0 t( )

Xkxy

Filtre F 3

v'0 t( )

v c t( )ϕ

Déphaseur

Figure 9

OCT

1xcos

------------- xd∫ x2---

π4---+

tanln=ϕ0 t( )

π 2⁄ ωp

v '0 t( ) v 0 t( )


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