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Physique des ondes Physique des ondes

david.saby@prepas.org14 juin 2012

1 1 –– Généralités sur les phénomènes ondulatoires Généralités sur les phénomènes ondulatoires

Ondes progressivesOndes progressives

2 2 –– L’ effetL’ effet DOPPLERDOPPLER

3 3 –– Analyse spectrale (Fourier 1822)Analyse spectrale (Fourier 1822)

4 4 –– Ondes stationnairesOndes stationnaires

5 5 –– InterférencesInterférences

55-- DiffractionDiffraction

Notions sur les erreurs de mesure et les calculs d’ incertitudesNotions sur les erreurs de mesure et les calculs d’ incertitudes

1 1 –– Généralités sur les phénomènes ondulatoires Généralités sur les phénomènes ondulatoires –– ondes ondes progressivesprogressives

ONDES TRANSVERSALESONDES TRANSVERSALES ONDES LONGITUDINALESONDES LONGITUDINALES

La corde vibrante : équation de propagationLa corde vibrante : équation de propagation

T0 x

Py(xo,to)

y(x,t) Grandeur qui se propage = onde

y(x1,t1)

ONDES ONDES

TRANSVERSALESTRANSVERSALES

y(x + dx,t)

α(x,t)

α(x + dx,t)

Tg(x,t)

Td(x +

dx,t)

y(x,t)

y(x,t)

x x + dxPFD à la tranche dx de masse dm = µ.dx

0)cos(.cos =++− ααα dTT dg

²),(²

)sin(.sint

txydxdTT dg ∂

∂=++− µααα

0)cos(.cos =++− ααα dTT dg

Petites déformations : ααα ≈≈ sin;1cos

odg TTT =≈

²),(²

..t

txydxdx

xTdT oo ∂

∂=∂∂= µαα

²

),(²)sin(.sin

t

txydxdTT dg ∂

∂=++− µααα

x

y

dx

dxx

y

dx

dy

∂∂≈∂

∂

==≈ αα tan

),(²² ∂∂ txyy µ²

),(²)(

t

txy

x

y

xTo ∂

∂=∂∂

∂∂ µ

2 2

2 2 2

y 1 y 0

x c t

∂ ∂− =∂ ∂ µ

0Tc =

0²

),(²

²

² =∂

∂−∂∂

t

txy

Tx

y

o

µ

Equation de d’ALEMBERTEquation de d’ALEMBERT

Ondes sonores dans les fluides : équation de propag ationOndes sonores dans les fluides : équation de propag ation

P(t) = Patm + p(t)

Surpression p(t)

ONDES ONDES

LONGITUDINALESLONGITUDINALES

Ondes sonores dans les fluides : équation de propag ationOndes sonores dans les fluides : équation de propag ation

0²

),(².

²

),(² =∂

∂−∂

∂t

txp

x

txp χρ 0²

),(²

²

1

²

),(² =∂

∂−∂

∂t

txp

cx

txp

Masse volumique

Coefficient de compressibilité

SP

V

V)(

1∂∂−=χ

Air à 20°C : 3.21,1 −= mkgρ 1610.7 −−= Paχ 1343 −= msc

1−=Eau à 20°C : 11450 −= msc

Ondes sonores dans les solides: équation de propaga tionOndes sonores dans les solides: équation de propaga tion

0²

),(²

²

),(² =∂

∂−∂

∂t

tx

Ex

tx ξρξ

ρE

c =

Acier : module d’Young

masse volumique

MPaE 510.2=

3.7800 −= mkgρ

1.5000 −≈ smc

Substance Température °C

Vitesse m/s

Gaz

Gaz carbonique 0 259

Oxygène 0 316

Air 0 331

Comparatif Comparatif

Air 0 331

Air 20 343

Hélium 0 965

Liquide

Chloroforme 20 1004

Éthanol 20 1162

Mercure 20 1450

eau 20 1482

Solide

Plomb - 1960

Ondes dans un câble coaxialOndes dans un câble coaxial

Ondes dans un câble coaxialOndes dans un câble coaxial

)(2 a

bLnL o

πµ=

a

bLn

C ro επε .2=

i(x,t)

Ligne sans pertes :

u(x,t)

i(x,t)

0²

),(².

²

),(² =∂

∂−∂

∂t

txiCL

x

txi

Vitesse des ondes dans le câble : r

oc

CLc

ε==

.

1 avec 18 .10.3.

1 −≈= smcoo

o εµ

Ondes électromagnétiques (en espace libre)Ondes électromagnétiques (en espace libre)

Propagation d’un champ Propagation d’un champ électrique et d’un champ électrique et d’un champ

magnétiques couplésmagnétiques couplés

Ondes électromagnétiques (en espace libre)Ondes électromagnétiques (en espace libre)

+MÉquations de propagation du champ EM : x

0²

),(²²

),(² =∂

∂−∂

∂t

tME

x

tMEooεµ

0²

),(²²

),(² =∂

∂−∂

∂t

tMB

x

tMBooεµ

vide

1Célérité des ondes EM dans le vide :

18 .10.3.

1 −≈= smcoo

o εµ

EQUATIONS DE D’ALEMBERTEQUATIONS DE D’ALEMBERT :

2 2

2 2 2

y 1 y 0

x c t

∂ ∂− =∂ ∂

Solution générale de l’équation de propagationSolution générale de l’équation de propagation

2 2

2 2 2

y 1 y 0

x c t

∂ ∂− =∂ ∂

)()(),(c

xtg

c

xtftxy ++−=

Signification de : )(),(c

xtftxy −=

À t0),(),( 11 txytxy oo =

c

xt

c

xt 2

21

1 −=−

À t1

cc

0).( 1212 >−=− ttcxx

Homogène à une vitessevitesse

La fonction f(t La fonction f(t –– x/c) représente une onde PLANE, P ROGRESSIVE, qui x/c) représente une onde PLANE, PROGRESSIVE, qui se propage à la vitesse (célérité) c dans le sens d es x croissantsse propage à la vitesse (célérité) c dans le sens d es x croissants

La fonction g(t + x/c) représente une onde PLANE, P ROGRESSIVE, qui La fonction g(t + x/c) représente une onde PLANE, P ROGRESSIVE, qui se propage à la vitesse (célérité) c dans le sens d es x décroissantsse propage à la vitesse (célérité) c dans le sens d es x décroissants

)()(),(c

xtg

c

xtftxy ++−=

µ

0Tc = Vitesse de l’onde. Corde de piano:

mg /22=µNTo 3000=

1.370 −= smc .370= smc

L’onde est L’onde est PLANE PLANE : dans une direction orthogonale à la direction de : dans une direction orthogonale à la direction de propagation, la grandeur qui se propage est uniform e à un instant donné.propagation, la grandeur qui se propage est uniform e à un instant donné.

Plan d’onde

Ondes planes progressives harmoniquesOndes planes progressives harmoniques

)(),(c

xtftxy −=Supposons

OPPH : )].

(2cos[.)](cos[.)(),(Tc

x

T

tA

c

xtA

c

xtftxy −=−=−= πω

Posons : Tc.=λ Longueur d’onde = distance parcourue pendant une période

22 ππ]..cos[.)]

22cos[(.),( xktAxt

TAtxy −=−= ω

λππ

Double périodicitéDouble périodicitéxuk

λπ2=

Vecteur d’ondeVecteur d’onde

Structure des ondes électromagnétiques (OPPH)Structure des ondes électromagnétiques (OPPH)

L’évolution temporelle du champ électrique dans le

plan d’onde donne l’état de POLARISATIONPOLARISATION de l’onde

Mesures de longueur d’onde (ondes ultrasonores)Mesures de longueur d’onde (ondes ultrasonores)

Hz

Emetteur Récepteur

Oscilloscope

I II

GBF

•Partir de signaux en phase

•Déplacer le récepteur sur 10 longueurs d’onde et en déduire une valeur de

•Connaissant f = 40 kHz, déduire une valeur de la célérité c du son

•Relever les valeurs de c des 10 groupes de TP et procéder à une estimation de l’incertitude sur la valeur de c .

λ

Erreurs et incertitudesErreurs et incertitudesValeur vraie : Mvrai

La mesure : m

Une erreur de mesure: ER = (m – Mvrai)

Meilleur estimateur pour N mesures: <m> (moyenne )

Une mesure mi parmi les N est différente de <m> : erreur aléatoire ERa = mi - <m>

Erreur systématique : ERs = <m> - Mvrai

elle prend la même valeur ‘inconnue) lors de chaque mesure (contrairement à l’erreur aléatoire)aléatoire)

Grandeur à mesurer : x

N mesures xi, de valeur moyenne <x>

Erreur aléatoire : EA = <x> - xi

Le résultat d’une mesure est PRECISPRECIS lorsque les indications données parl’instrument (dit FIDELEFIDELE) sont très voisines et s’écartent peu de la valeurmoyenne.

Le résultat d’une mesure est EXACTEXACT (appareil JUSTEJUSTE) s’il est proche de la

Evaluation de l’incertitude sur c (méthode statisti que)Evaluation de l’incertitude sur c (méthode statisti que)

valeur vraie (établie avec un appareil de référence).

Un instrument dont le zéro est mal réglé peut donner un résultat PRECISPRECIS maisFAUXFAUX..

Si le nombre de mesures était infini, on utiliserait l’écart type (l’erreur aléatoire suit une loi Gaussienne).

Lorsque le nombre de mesures n’est pas infini (égal à N), on évalue l’intervalle de confiance dans lequel la valeur exacte doit être comprise par la méthode de Studentméthode de Student .

Méthode de Student

Ntxx

σ.±>=<

Ecart-type:

1

)²(1

−

><−=∑

=

N

xxN

ii

σ

Coefficient de Student (selon intervalle de confiance)

Erreurs et incertitudes (évaluation statistique)

N = 10 valeurs <c> = 352,432 m.s-1 (résultats calculatrices)

176,0=σt95 = 2,26

125,010

176,0.26,2. ===∆

Ntc

σ

Résultat :Résultat : 1.)2,04,352( −±= smcRésultat :Résultat : 1.)2,04,352( −±= smc

1 chiffre significatif1 chiffre significatif

SignificationSignification:: lala manipulationmanipulation donnedonne uneune probabilitéprobabilité dede9595%% queque lele résultatrésultat dede lala mesuremesure sese trouvetrouve dansdansl’intervallel’intervalle [[352352,,22 –– 352352,,66]]

Aspects énergétiques (ondes sonores)Aspects énergétiques (ondes sonores)

Puissance sonore moyenne (en W) transportée par l’onde: Puissance sonore moyenne (en W) transportée par l’onde:

mms vStxpvFP .).,(. ==Surpression acoustique Vitesse des particules fluides

),(..),( txvctxp mρ=Or

Sc

txpPs .

),²(

ρ=

Intensité sonore I : puissance moyenne par unité de surfaceIntensité sonore I : puissance moyenne par unité de surface

c

txp

S

PI s

.),²(

ρ><==

En W.m-2

Seuil d’audibilité : Io = 10-12 W.m-2

Cas d’une OPPH : ]..cos[.),( xktptxp o −= ωc

pI o

.2²

ρ=

La puissance moyenne transportée par l’onde est La puissance moyenne transportée par l’onde est proportionnelle au carré de l’amplitude de la grand eur qui proportionnelle au carré de l’amplitude de la grand eur qui

se propage. se propage.

Niveau d’intensité sonore :Niveau d’intensité sonore :)log(.10

odB I

IL =

I (W.m–2) IdB p0 (Pa) v0 (m.s–1)

seuil absolu à 3 kHz 10–13 – 10 10–5 2.10–8

seuil à 1kHz 10–12 0 3.10–5 7.10–8

chuchotement 10–11 10 10–4 2.10–7

voix basse 10–10 20 3.10–4 7.10–7

campagne 10–9 30 10–3 2.10–6

avenue 10–4 80 0,3 7.10–4

marteau piqueur 10–2 100 3 7.10–3

seuil douloureux 1 120 30 7.10–2

Aspects énergétiques Aspects énergétiques

(ondes électromagnétiques et optiques)(ondes électromagnétiques et optiques)

].cos[. xktEE o −= ω

].cos[. xktBB o −= ω²..

21

oo EcI ε>=Π=<

Intensité en W.m-2

λc

hU .=

Interprétation des méthodes Interprétation des méthodes spectroscopiquesspectroscopiques

2 – L’ effet DOPPLER

Christian Andreas Doppler(1803/1853)Mathématicien et physicienautrichien.

Si une onde acoustique est émise à une certainefréquence, lorsque la distance entre l'émetteur et lerécepteur varie en fonction du temps, la fréquence del'onde semble varier. Ce phénomène physique estconnu sous le nom d’ effet Doppler (1842).

Emetteur mobile Emetteur mobile –– Récepteur immobileRécepteur immobile

c est la vitesse du son (c > Ve)

Pendant une période Te du son : le 1er front d’onde a parcouru df = c.Te

Pendant ce temps, l’émetteur s’est déplacé de de = Ve.Te

Le 2ème front d’onde a moins de distance à parcourir, il est espacé du premier de: d = df – de = (c – Ve).Te (de même pour les fronts d’onde suivants)

Chaque front a une vitesse c, la période de perception du récepteur sera donc :

ee T

c

Vc

c

dT

)( −== Fréquence du son perçu:ee

e

ffVc

cf >

−=

eee

ffVc

cf >

−=

Le son paraît plus aigu

Les front d’onde sont resserrés

ereçu λλ <

Si c=340 m/s ; Ve = 90 km/h ; fe = 400 Hz alors f = 432 Hz

Emetteur mobile Emetteur mobile –– Récepteur immobileRécepteur immobile

Lorsque le véhicule s’éloigneLorsque le véhicule s’éloigne

d = (c + Ve).Te

ffVc

cf e

e

<+

=Vc e+

Le son perçu est plus grave

Emetteur et récepteur en mouvementEmetteur et récepteur en mouvement

x

Sens positif = sens de propagation du son

eex

rx fVc

Vcf

−−=

exVc−

Lorsque qu’émetteur et récepteur ne se déplacent pas sur la même direction, la relation reste valable avec les projections des vitesses sur le direction de c.

Application : Radar routierApplication : Radar routierL'antenne diffuse vers une cible potentielle l'onde électromagnétique produite par un émetteur. Réfléchie par la cible, captée par l'antenne (qui joue donc un double rôle), cette onde est transmise au récepteur. Le changement de fréquence du signal par effet Doppler, permet de mesurer vitesse et position de la cible.

Radar fixe (34,3 GHz)

Le radar fixe doit être réglé à 25° par rapport à l’axe du dépassement

Exemples :Exemples :Un véhicule circulant en agglomération (vitesse limitée à 50km/h) est contrôlé par un radar Doppler de la gendarmerie de type Mesta 208 (fe = 24,125 GHz). Au passage du véhicule la variation de fréquence enregistrée est ∆f = 2 500 Hz.L'angle de visée a est tel que α = 25°.Ce véhicule est-il en infraction ?

Un radar Doppler OEM de fréquence fe = 21 GHz, placé sur le central de Roland Garos enregistre une variation de fréquence ∆f = 7,5 kHz lors d'un service de Jo-Wilfried Tsonga. L'angle de visée Doppler αest de 20°.Quelle est la vitesse de la balle de Tsonga ?

Autres applications :Autres applications :Echographie Doppler :Echographie Doppler : La différence des fréquences

d'émission et de réception des ultrasons renvoyés par les éléments du sang permet de calculer la vitesse et la direction des globules rouges.

Une source en mouvement (une étoile parexemple) émet des ondes qui se modifient

Astronomie :Astronomie :

exemple) émet des ondes qui se modifient(ce décalage apparait dans les raies duspectre).Plus la source va vite par rapport al’observateur, plus ce décalage seraimportant. Quand la source s’approche del’observateur, les raies sont décalées versle bleu ; quand la source s’en éloigne,elles sont décalées vers le rouge. C’est cedécalage quasiment systématique de lalumière des galaxies vers le rouge qui adémontre que l’univers était en expansion(Loi de Hubble).

3 – Analyse spectrale (Fourier 1822)Soit v(t) une fonction périodique quelconque de période T (c réneau,triangle, sinusoïde…), sous les conditions de régularité d e Dirichlet (voircours de Maths), cette fonction peut se décomposer en une sér ieconvergente de fonctions sinusoïdales de pulsations multi ples entiersde

T

πω 2=

∑∞

=

++=1

)]..sin(.)..cos(.[)(n

nno tnbtnaAtv ωω

∫>==<T

o dttvT

tvA ).(1

)(

∫=T

n dttntvT

a ).cos().(2 ω

T

∫=T

n dttntvT

b ).sin().(2 ω∑

∞

++=n

nno tnCAtv )..cos(.)( ϕωoù

Spectre :

REPRESENTATIONSREPRESENTATIONS

Fréquentielle Fréquentielle Temporelle Temporelle

Signal créneau alternatif

Onde monochromatique = 1 raie

Signal créneau alternatif

∑∞

=

++

=0

].).1.2[(sin)1.2(

1.4)(

p

tpp

Etv ω

π

Harmoniques de rangs impairs , décroissance

en 1/n

Exemple de décomposition simple : signal modulé en amplitude (radio AM)Exemple de décomposition simple : signal modulé en amplitude (radio AM)

).cos()).cos(.1.()( ttmAts Ω+= ωAmplitude modulée =

signal BF à transmettrePorteuse HF envoyée sur

l’antenne

tAm

tAm

tAts )cos(2

.)cos(

2

.)cos(.)( ωω +Ω+−Ω+Ω=

Ω

ω−Ω ω+Ω

Poids des harmoniques : synthèse de Fourier Poids des harmoniques : synthèse de Fourier

Créneau d’amplitude 1 : ...])5sin(5

1)3sin(

3

1)[sin(

4)( +++= tttts ωωω

π

Harmoniques de basses fréquences : allure « général e » du signal (T…)Harmoniques de basses fréquences : allure « général e » du signal (T…)

Harmoniques de hautes fréquences : « détails » du s ignal (points anguleux…)Harmoniques de hautes fréquences : « détails » du s ignal (points anguleux…)

Plus un signal est « complexe » plus son spectre es t riche en harmoniques de Plus un signal est « complexe » plus son spectre es t riche en harmoniques de fréquences élevéesfréquences élevées

Harmoniques et timbre d’un son Harmoniques et timbre d’un son

La fréquence du fondamental f définit la HAUTEUR HAUTEUR d’un son

La répartition et l’amplitude des harmoniques définissent le TIMBRE TIMBRE d’un son

LaLa33 (440Hz)(440Hz)

Le La du piano est plus sombre (contient des

harm. BF plus intenses) que celui d’une guitare avec cordes en acier

4 – Ondes stationnaires

Corde fixée à ses deux extrémités : y(0,t) = y(L,t) = 0

0)()(),0( =+= tgtfty si ].sin[.)( xktAc

xtf −=− ω)()( tgtf −=0)()(),0( =+= tgtfty si ].sin[.)( xktA

ctf −=− ω

].cos[]..sin[.2]sin[.]sin[.),( txkAkxtAkxtAtxy ωωω −=+−−=

)()( tgtf −=

].cos[]..sin[.2),( txkAtxy ω−=

Onde stationnaireOnde stationnaire

Conditions aux limites :Conditions aux limites : y(L,t) = 0y(L,t) = 0 0).sin( =Lk

πλπ

.).2

( nL = 2.λ

nL =

λ

Mode n = 1Mode n = 1 t1t2

t3t4Pas de propagation : l’énergie Pas de propagation : l’énergie

reste confinée entre les nœudsreste confinée entre les nœuds

2λ

Mode n = 2Mode n = 2Ventre Nœud

Choix du mode de vibration

Excitation de Excitation de conditions initiales conditions initiales

particulièresparticulières

Corde pincée au milieu : Corde pincée au milieu : excitation mode n = 1excitation mode n = 1

fréquence f fréquence f

Chevalet placé au milieu : Chevalet placé au milieu : excitation mode n = 2excitation mode n = 2

fréquence 2.f fréquence 2.f

Tuyaux sonores : même principeTuyaux sonores : même principe

Tuyau ferméTuyau fermé

Tuyau ouvert : application Tuyau ouvert : application à la flûte où on ouvre les à la flûte où on ouvre les trous (nœuds de pression)trous (nœuds de pression)

Expérience des fentes d’Young :Expérience des fentes d’Young :

5– Interférences

x

Frange sombreFrange sombre

Frange brillanteFrange brillante

Interfrange iInterfrange i

Interprétation du phénomène d’interférencesInterprétation du phénomène d’interférences

)cos().cos( 111 ϕωω −=−= tErktEE oo

)cos().cos( 222 ϕωω −=−= tErktEE oo

Champ total : )()()( 21 MEMEME +=

)2

cos().2

)cos(.2[ 1212

21

ϕϕωϕϕ +−−=+= tEEEE O

Intensité sur l’écran : ><= ².)( EMI αIntensité sur l’écran : ><= ².)( EMI α

)2

²(cos).2

²(cos².4² 2112 ϕϕωϕϕ +−−= tEE o

)2

)cos(1²(.2

2

1).

2²(cos².4² 1212 ϕϕϕϕ −+=−>=< oo EEE

))(cos1²(.².)( MEEMI o Φ+>=<= αα

))(cos1()( MIMI o Φ+= avec 12)( ϕϕ −=Φ M

))(cos1()( MIMI o Φ+=

Si ondes en phase en M : Si ondes en phase en M :

maxi d’intensité (maxi d’intensité ( interférences interférences constructivesconstructives ))

Si ondes en opposition de phase en M :Si ondes en opposition de phase en M :

mini d’intensité (mini d’intensité ( interférences interférences destructivesdestructives ))

Position des franges sur l’écran Position des franges sur l’écran

)(2

).()( 121212 rrrrkM −=−=−=Φλπϕϕ

D D

xarr

.12 ≈−

LD

xaM δ

λπ

λπϕϕ 2.2

)( 12 ==−=Φ

Abscisses des franges brillantes (max d’intensité) :Différence de marche

Abscisses des franges brillantes (max d’intensité) :

πλπ

2..2

)( ND

xaM ==Φ )( ZN ∈

a

DNxN

..λ=

Frange sombreFrange sombre

Frange brillanteFrange brillante

Interfrange iInterfrange i

InterfrangeInterfrange

a

Di

.λ=

Mesure de l’interfrange (et incertitude)

a

Di

.λ=

nm8,632=λ Détecteur nm8,632=λ

mD 50,1=

mma 49957,0=

mmi 9,1=

Détecteur OVISIO

IncertitudeIncertitude

(grandeur exprimée à partir d’autres grandeurs mesu rées)

Si x est la grandeur mesurée : ),( 21 xxfx =

)²)²(()²)²((2

21

1 x

fx

x

fxx

∂∂∆+

∂∂∆=∆

Propagation des Propagation des incertitudesincertitudes

),,(.

iDfi

Da λλ == )²

²

.²()²²()²²(

i

Di

iD

i

Da

λλλ ∆+∆+∆=∆

)².

)²(()²)²(()²)²((i

D

i

i

i

D

D

D

i

Da

λλλλλ ∆+∆+∆=∆

)²()²()²(.i

i

D

Daa

∆+∆+∆=∆λλ Formule à fournir aux Formule à fournir aux

élèvesélèves

nm8,632=λmD 50,1=

mmi 9,1=

nm1,0=∆λmD 01,0=∆

mmi 1,0=∆

mma 0265,0=∆

Résultat final : Résultat final : mma )03,050,0( ±=

Interférences en lumière blancheInterférences en lumière blanche

NOTION DE COHERENCE DES SOURCESNOTION DE COHERENCE DES SOURCES

6 – Diffraction

Éparpillement des ondesÉparpillement des ondes

En optique : on trouve la lumière En optique : on trouve la lumière dans des zones non prévues par les lois de l’optique géométrique

Le phénomène de diffractionLe phénomène de diffraction

Par un objet:

Par une ouverture:

Huygens

(1629-1695)Le principe de HuygensLe principe de Huygens--FresnelFresnel

Fresnel

(1788-1827)

∫∫∑∈

−=P

ie dSe

PMPEKME PM .

1).(.)( ϕ

Diffraction à l’infini par une fente rectangulaireDiffraction à l’infini par une fente rectangulaire

a

f '.2

λa

b

f '.2

λ

xx

x

y

Fente fine :

²

......

sin()(

=

D

ayD

ay

IMI o

λπ

λπ

Largeur de la tâche centrale : a

Dy

..2λ=∆

Diffraction différente selon la longueur d’onde : r éseauxDiffraction différente selon la longueur d’onde : r éseaux

Diffraction (et interférences) par deux fentes fine s

2 fentes fines de largeur e et distantes de a

Diffraction par une ouverture circulaire de diamètr e D

Résolution des instruments d’optique