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PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS:RAPPELS ET FONDAMENTAUX
A: Éléments d’histoire des semiconducteurs
- des questions des pionniers…- …aux chefs d’œuvre des bâtisseurs
B: Symétries et périodicité- Réseau réciproque- États de Bloch- Zone de Brillouin
C: Structure de Bandes- Modèle de l’électron quasi-libre- Modèle chimique LCOA- Gaps (directs et indirects)- Densité d’états
D: Quelques éléments de réponse- métal, isolant, semiconducteur- semiconducteurs IV-IV, III-V et II-VI
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W. Smith1873 (Nature)
Découverte de l’effet photovoltaïque et photoconducteur
Edmond Becquerel X1836
1839 (CRAS)
- Se
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Ferdinand BraunPrix Nobel 1909
Découverte du point contact rectifier (poste à galène)
Premier radar
Cu
CuO2Rad lab MIT1939 - 1945
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Michael Faraday1883
Quelques problèmes insolubles vers 1900…
Cu, Au, Fe, …
Ag2 S
Ré
sist
ivit
é
Temperature
Negative temperature coefficient
Paul Drude1896
> 10-910-1410-11Temps entre choc (s)
102210191016Densité (cm-3)
SC BTGazGaz
« Les électrons semblent ne pas être diffusés par les atomes du cristal »
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Diffraction des rayons X vers 1910
Max von Laue (1914)
Sir W. H. Bragg, Sir W. L. Bragg (1915)
X rays
Ecran
SiC
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Louis de Broglie découvre que les électrons se comportent comme des ondes
1925
E = h 2
2 m1
λ2 Relation entre la longueur d’onde et l’énergied’un électron
Énergie des électrons
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Aux Bell Labs, Davisson confirme la nature ondulatoire des électrons….
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Bande d’énergies interdites
6 eV0.5 nm
1930
Wigner, Seitz, Bloch décrivent la structure de bandes des solides
λ= h
2 m Eλ = 1 . 2 nm
E eV
4 eV0.6 nm
énergie
0.5 nm
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ZONE DE CHARGES D’ESPACE (Mott, Schottky, Pohl)
STATISTIQUE DANS LES SEMICONDUCTEURS (Fermi)
TROU (Wilson, Seitz)
1930-1938
A cet instant, la micro-électronique devient un miracle annoncé…
¿ 1 µm
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LE COMMUTATEUR TELEPHONIQUE EN 1937
L’ORDINATEUR AVANT LE TRANSISTOR:ENIAC
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Il faut dire que les composants sont imposants…
LA TRIODE DE LEE De FOREST
LE CROSSBAR
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UNE PROPOSITION ASTUCIEUSE…
MAIS IL MANQUE LA PHYSIQUE QUANTIQUE
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Melvin Kelly, directeur des Bell Labs, a foi dans la nouvelle physique quantique
Il embauche les premiers spécialistes américains de physique quantique dont:
John BardeenWilliam Shockley
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Décembre 1947Bardeen, Shockley, Brattain
The famous lab book entree
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Décembre 1947
Le premier transistor
1958
(Jack Kilby)
Le premier circuit intégré
2005
(Intel)
Circuit à 1 000 000 000 de transistors
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L’EXPLOSION DE LA MICROELECTRONIQUE
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PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS:RAPPELS ET FONDAMENTAUX
A: Éléments d’histoire des semiconducteurs
- des questions des pionniers…- …aux chefs d’œuvre des bâtisseurs
B: Symétries et périodicité- Réseau réciproque- États de Bloch- Zone de Brillouin
C: Structure de Bandes- Modèle de l’électron quasi-libre- Modèle chimique LCOA- Gaps (directs et indirects)- Densité d’états
D: Quelques éléments de réponse- métal, isolant, semiconducteur- semiconducteurs IV-IV, III-V et II-VI
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GaAs
Cristal et périodicité
Réseau direct Ri = n1 a1 n2 a2 n3 a3
V r =∑i
U r−Ri L’interaction cristal-électron est périodique
Cellule élémentaire
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Réseau réciproque
Réseau réciproqueGi = n1 a1∗ n2 a2∗n3 a3∗¿
¿
avec ai a j∗= 2 π δ ijV r = ∑
G ∈RR
V G ei G r
Analyse en série de Fourier
a
x
Réseau direct
k x0−a∗¿ − 2π
a
a∗= 2π
a
Réseau réciproque
a1∗= 2 πa 2× a3
a1 . a2×a3
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Onde électronique libre
E
k x
E = ℏ2 k 2
2 m
H Ψ r = E Ψ r
− ℏ 2
2 m∇ 2Ψ r = E Ψ r
Hamiltonien décrivant l’électron libre dans le vide
Ψ k r = eik r
E k = ℏ 2 k 2
2 m
États et énergies propres
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Conditions de Bragg
R
eik r
eik R
eik ' r
eik ' R
Terme de retard de phase entre les ondes diffractées
ei k −k ' . R
Contribution de toutes les ondes diffractées par un milieu périodique
∑R∈RD
ff R ,k ,k ' ei k −k ' . R
Contribution non nulles pour: k ' = k GG ∈ RR
Bragg+ von Laüe RR
kk '=−k
k =G
2
Réflexion totale
Les points G/2 vont être interdits
Miroirs de Bragg
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Zone de Brillouin
ΓX
L
Léon Brillouin
k x
k y
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Théorème de BLOCH-FLOQUET
Les états propres d’un Hamiltonien H =− ℏ2
2 m∇ 2 U r
peut se mettre sous la forme du produit d’une onde électronique libre et d’une fonction
présentant la périodicité du cristal:
Ψk r = uk r e i k r
uk r R = uk r
avec
où le potentiel U (r) est périodique U r R = U r pour tout R du réseau direct
Felix Bloch1925
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Démonstration (courte!) (1)
T R H Ψ = H r R Ψ r R = H r Ψ r R = H T RΨ
T R T R'f r = f r R R '
∣T R Ψ∣=∣Ψ∣= 1 T R∗ T R= T−R T R = 1
T R f r = f r R On considère l’opérateur translation:
Quelques propriétés de l’opérateur:
T R T R'= T R'
T R= T R R'
T R H = H T R
Théorème de Floquet: si l’opérateur TR commute avec l’Hamiltonien du cristalR ∈ RD
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Démonstration (courte!) (2)
T R T R'= T R'
T R= T R R' c R R ' = c R c R'
∣T R Ψ∣=∣Ψ∣= 1 ∣c R ∣= 1
Il existe donc une base d’états propres communs à H et TR
H ψ = E ψ
T R ψ = c R ψ
c R = eik R
Ψ r R =Ψ r ei k R ∀ R ∈ RD
Ψ r = [Ψ r R e−i k r R ] e i k r ∀ R ∈ RD
uk r = uk r R'
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PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS:RAPPELS ET FONDAMENTAUX
A: Éléments d’histoire des semiconducteurs
- des questions des pionniers…- …aux chefs d’œuvre des bâtisseurs
B: Symétries et périodicité- Réseau réciproque- États de Bloch- Zone de Brillouin
C: Structure de Bandes- Modèle de l’électron quasi-libre- Modèle chimique LCOA- Gaps (directs et indirects)- Densité d’états
D: Quelques éléments de réponse- métal, isolant, semiconducteur- semiconducteurs IV-IV, III-V et II-VI
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Théorie des bandes d’énergies
Bandes d’énergie
Liaisonschimiques
Diffractiond’ondes électroniques
Fonction de Greendu propagateur
Pseudo-Momentum
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Electrons quasi-libres
a
V x
V x = ∑G∈RR
V G ei G x
Le potentiel cristallin périodique se développe en série de Fourier
Les états propres des électrons sont solutions de l’équation de Schrödinger
− ℏ 2
2 md 2
dx2Ψ k x ∑G VG ei G x Ψ k x = Ek Ψ x
Les parties périodiques des fonctions de Bloch se développent aussi en série de Fourier:
Ψk r = uk r e i k r Ψ k x = ∑G ' ∈RR
CG' k e i G '−k x
− ℏ 2
2 md 2
dx2Ψ k x U cos g x Ψ k x = Ek Ψ x
SimplificationPC
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Bande d’énergie interdite
Pourquoi une bande d’énergie interdite ?
∣Ψ ±G /2 r ∣2
-2 -1 0 1 2
0
1
2
3
4
E(k)
k
U = .1
= k / G /2
Réseau réciproque
k x
0G=− 2π
aG= 2π
a
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Théorie des bandes d’énergies: modèle des liaisons fortes (1)
H m=p2
2 m V x−m a
∣n, m ⟩ =Ψ n ,m x = Ψ n x −m a
H m ∣n ,m ⟩ = E n∣n,m ⟩
En
x
m m1m−1
∣n, m ⟩
On va chercher des solutions combinaison linéaire d’orbitales atomiques (CLOA)∣n,m ⟩
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Rappel: Liaison chimique (1)
H= p2
2 m V x−m a V x− m1 a
Hamiltonien de deux atomes voisins:
{∣n ,m ⟩ , ∣n,m1 ⟩ }Approximation des liaisons fortes: 1- Les niveaux En sont indépendants
2- La base est complète
L’espace de Hilbert décrivant les deux atomes voisins est de dimension 2:
⟨n ,m∣H ∣n ,m⟩ = En ⟨n ,m∣V x − m1 a ∣n,m⟩ ≈ En
Termes diagonaux
⟨n ,m∣H ∣n ,m1 ⟩ = En ⟨n ,m∣n ,m1 ⟩ ⟨n ,m∣V x− m a∣n ,m1 ⟩ ≈−An
Termes non diagonaux
m m1
En
∣n, m ⟩ ∣n, m1 ⟩
En−1
Tunnel
En 0
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Rappel: Liaison chimique (2)
H =[ E n − An
−An E n ]En = En An
En−= En − An ∣n⟩= 1
2 ∣n ,m⟩ ∣n ,m1 ⟩
∣n⟩−= 1
2 ∣n ,m⟩ − ∣n ,m1 ⟩
En
En−1
2An
liant
Anti-liant
Linus Pauling
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Théorie des bandes d’énergies: modèle des liaisons fortes (2)
H n=[ . . . −An 0 0
−An E n −An 0
0 −An En −An
0 0 −An . . . ]Considérant tout le cristal et ne prenant que les plus proches voisins:
−An cn ,m−1 En cn ,m− An cn,m1 = E cn ,mSuite de Fibonacci
cn ,m= λ m= ei m α= e i k m a
car n de carré sommable
ψn =∑m
cn ,m ∣n ,m ⟩
H n ψ n = E ψ n
Les états propres sont des CLOA
solutions de l’équation de Schrödinger
E k = En − 2 An cos k a
[. . .cn,m−1
cn ,m
cn,m1
. . .]
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k
En
En−1
π
a−π
a
En k = E n − 2 An cos k a
En−1 k = E n−1 − 2 An−1 cos k a
E k
Théorie des bandes d’énergies: modèle des liaisons fortes (3)
En
En−1
Bord de zone de Brillouin
bande interdite
bande de conduction
bande de valence
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Masse effective
En k = E n − 2 An cos k a E k
k
Ec
mv =ℏ 2
2 a2 An−1
0
En k − E c≈ An a2 k2
En k − E c≈ℏ 2
2 mc
k 2mc =
ℏ2
2 a2 An
0
Près d’un extremum:
Pour l’instant pas de connection avec la dynamique
E k = ℏ ω k =Eext ℏ2
2 k − k ext tM−1 k − k ext
Près d’un extremum, concept de masse effective:
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Théorie des bandes d’énergies: modèle des liaisons fortes (5)
Ψ n, k =∑m
ei k m a Ψ n x−m a = [∑m e i k r Ψ n r ] e−i k x
un , k périodique
En
x
un , k ⇔ signalei k x ⇔ porteuse
Ψ n x
un,k : réminiscence du matériau hôteeikr : indépendante du matériau, non diffusé
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Structure de bande de l’arséniure de gallium
k x
k y
k z
Surface d’équi-énergie
En k = Ec ℏ2
2 mc
k 2
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Structure de bande du silicium
Surface d’équi-énergie
En k = Ec ℏ2
2 Δk x2
ml
k
y2
mt
k
z 2
mt
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PHYSIQUE DES SEMICONDUCTEURS:RAPPELS ET FONDAMENTAUX
A: Éléments d’histoire des semiconducteurs
- des questions des pionniers…- …aux chefs d’œuvre des bâtisseurs
B: Symétries et périodicité- Réseau réciproque- États de Bloch- Zone de Brillouin
C: Structure de Bandes- Modèle de l’électron quasi-libre- Modèle chimique LCOA- Gaps (directs et indirects)- Densité d’états
D: Quelques éléments de réponse- métal, isolant, semiconducteur- semiconducteurs IV-IV, III-V et II-VI
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Wolfgang Pauli
Remplissage des bandes: principe de Pauli
Natomes niveauxde l’énergie
Usuellement: N electrons
N atomes
= entier Entier pairEx: Si, C, …
Entier impair:Ex: Li, Al,..
Ec k
k
Isolant Métal
F
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MétalGap = 0 eV
Semiconducteur0 eV< Gap < 4 eV
IsolantGap > 4 eV
Métal, Isolant, Semiconducteur
qq kT h
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Tableau de Mendelieev
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Tableau de Mendeljeev
Semiconducteur IV-IV
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Tableau de Mendeljeev
Semiconducteur III-V
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Tableau de Mendeljeev
Semiconducteur II-VI
