Physique des Solides, des Semiconducteurs et Dispositifs · Atome dopant ionisé égativement Si Si Si Si Si Si Si Si B - e po no ca EC EV EF Eg n C E qVD1 p EF n Eg qVD2 Eg E C EV

Physique des Solides, des Semiconducteurs et Dispositifs

Professeur Olivier Bonnaud

Ancien élève de l’ENS Cachan Professeur des Universités

Professeur à l’Université de Rennes 1 Professeur à SUPELEC – Campus de Rennes

trou libre

Atom e dopantionisé négativem ent

Si Si Si

Si

SiSiSi

Si B - e-Octet

trou libre

Atome dopantionisé négativement

Si Si Si

Si

SiSiSi

Si B - e-Octet

EC

EV

EF

Eg

n

ECqVD1

p

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Eg

EC

EV

Emetteur Base Collecteur

EC

EV

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Eg

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Eg

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EV


n p

ND NA

pno

npo

np(0)pn(0)

expVF/VTexpVF/VT

W

n p

ND NA

pno

npo

np(0)pn(0)

expVF/VTexpVF/VT

W

N+ N+

source grille drain

substrat p

canal n induit par le champ

solant de grille / oxydeI

Juin 2003

Groupe Microélectronique/IETR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, Bât 11B, 35042 Rennes Cedex Tél : (+33) (0)2.23.23.60.71 Fax : (+33) (0)2.23.23.56.57 email : [email protected]

AVANT-PROPOS

Ce cou s, constitué de deux parties, est destin aux udiants de 1r é éte

e t s s e es s sf es s

s st ts es r es s

e t e c c r e t é es e s es s s

e e e es s s

fe e e e ct é

f s e es e e

ts s r e e s s

s e s tt e t ce s r s r r s t

e te r te s s s s

r t t t es s éc e c s t s r t

e t f c

e c c t s c e c e r r

est sse te r te e s

ère et 2ème année de SUPELEC et vient à la suite d l’enseignement de Mécanique Quantique .

L’objectif d ce cours es d’aborder la phy ique du emiconduct ur et d di positif électroniques afin de comprendre les bases du onctionnement d composant microélectroniquesqui constituent les briques des circuits intégrés ou des cartes utilisés dans pratiquement tous les y èmes électroniques d’aujourd’hui (informatique, élécommunications, électronique embarquée,

etc…). La connais ance d p incip de base, ces derniers comprenant la phy ique du solide, la statistiqu e la physiqu du semi ondu teu , constitu un atout e une n c ssité au niveau ingénieur. La connais ance du comport ment phy ique d composant et di positifs électroniques permet d mieux appréhend r les p rformances d circuit électroniques qui ont toujours limitées par les composants qui les constituent. Par ailleurs, il est raisonnable de prévoir que dans le cadre de leur vie pro ssionn lle, qu l qu soit le domaine effe if d’activités, les futurs ing nieurs auront au minimum à dialoguer avec les fabricants de circuits intégrés s’ils n’en conçoivent ou abriquent pa eux-même ou les équip mentiers qui fabriquent d cartes électroniques. Il faut

donc acquérir à la fois le vocabulaire et les principes fondamentaux de c tte disciplin .

L’approche physique utilisée est inhabituelle puisqu’il est nécessaire de raisonner avec des concep nouveaux et avec de ord es d grand ur de paramètres phy iques énormément différents. De plus, bien que ramenée à des concepts de base, la physique utilisée est suffisamment complexe pour es ayer en p rmanence d’en implifier l’approche afin d’abou ir à des solutions analy iquem n ac ssible . La combinaison des o dre de g andeu s trè différents e des équations comportant d nombreux termes permet nt la p ise d’hypo hèses simplificatrices à condition d’en bien connaître les t nant et les aboutis ant . Ce document cherche à implifier la p ésenta ion out en insis ant sur d explications et comparaisons à de fins p dagogiques ; d’autres do um nts, beau oup plu complets, existen dan la littérature (cf bibliog aphie) e perm tten d’appro ondir cette appro he.

La physiqu du semi ondu teur e des dispo itifs est don d’un appro he, a priori, difficilemais qui donne habituellement une ouv rture d’esp it fortement app éciée. Un minimum d’inv i ment personnel et une at ntion particulière aux p opos et analogies émis en courspermet nt en général aux élèves-ingénieurs SUPELEC d bien as imiler cet enseignement.

Olivier BONNAUD

SOMMAIRE

1ERE PARTIE

CHAPITRE I : ELEMENTS DE CRISTALLOGRAPHIE I Introduction aux réseaux cristallins p 1 II Réseaux cristallins

1°) Le cristal p 2 2°) Rangée, nœud, maille, indices de Miller p 3

III Réseaux réciproques p 5 IV Zone de Brillouin p 5 V Diffraction dans un cristal p 6 VI Représentation du cristal de silicium p 8 CHAPITRE II : ELECTRONS DANS UN CRISTAL I Potentiel d’un électron dans un cristal p 11 II Modèle de l’électron libre dans un cristal. Modèle de Sommerfeld p 11 III Modèle de l’électron quasi-libre dans un cristal p 12

1°) Considération sur la forme du potentiel p 12 2°) Considération sur la fonction d’onde p 13 3°) Méthode de calcul p 13 4°) Résolution simplifiée dans le cas d’une perturbation de potentiel p 14

VI Conclusion 1°) diagramme des phases d’un cristal réel p 16 2°) Gap direct et indirect p 17 3°) Remplissage des bandes d’énergie p 18

CHAPITRE III : NOTION DE STATISTIQUE. SYSTEMES DE PARTICULES I Pression et énergie d’une molécule dans un gaz parfait

1°) Introduction à la notion de statistique p 19 2°) Calcul de la pression p 19 3°) Energie cinétique moyenne p 20

II Distribution d’énergie des molécules dans un gaz parfait 1°) Probabilité des collisions p 21 2°) Calcul du facteur universel, β p 22

III Distribution de Maxwell 1°) Distribution maxwellienne des vitesses p 23 2°) Distribution des énergies p 24 3°) Conclusion p 25

VI Fonction de distribution de Fermi-Dirac 1°) Statistique de Fermi-Dirac p 25

a) Calcul du nombre d’états d’énergie dans le cristal p 25 b) Calcul de la probabilité a(E) p 26

2°) Distribution de Fermi-Dirac p 27 3°) Allure de la fonction de Fermi-Dirac p 28

CHAPITRE IV : INTRODUCTION A LA PHYSIQUE DU SEMICONDUCTEUR I Bandes d’énergie

1°) Semiconducteur parfait à T=0K p 31 2°) Statistique de remplissage des niveaux d’énergie p 32

a) Statistique de Fermi-Dirac p 33

b) Approximation de Maxwell-Boltzmann p 33 3°) Semiconducteur à une température T≠0 p 34

II Porteurs de charge 1°) Notion de trous p 35 2°) Masse effective des porteurs de charge p 36 3°) Concentrations des porteurs quasi-libres dans les bandes d’énergie. Densités d’états électroniques p 37

a) Cas de la bande de conduction p 38 b) Cas de la bande de valence p 39

4°) Concentration intrinsèque et niveau de Fermi à l’équilibre thermodynamique p 41 a) Concentration intrinsèque p 41 b) Position du niveau de Fermi dans un matériau intrinsèque p 42

III Semiconducteur extrinsèque 1°) Notion de dopage p43

a) dopage de type n ou donneur p 43 b) dopage de type p ou accepteur p 44

2°) Concentration des porteurs quasi-libres dans un semiconducteur dopé p 44 a) concentration des atomes ionisés p 44 b) cas d’un semiconducteur de type n p 45 c) cas d’un semiconducteur de type p p 46 d) cas général p 47

3°) Position du niveau de Fermi – Diagrammes d’énergie p 48 a) cas d’un semiconducteur de type n, affirmé p 48 b) cas d’un semiconducteur de type p, affirmé p 49 c) cas général en fonction de la température p 49 d) Variations du niveau de Fermi en fonction du type de dopage à température ambiante p 50

IV Génération –recombinaison – Durée de vie des porteurs 1°) Génération-recombinaison thermique p 51 2°) Génération-lumineuse p 52 3°) Niveaux pièges dans un semiconducteur p 52 4°) Résultats de la théorie simplifiée de Schockley-Read-Hall p 52

a) cas d’un semiconducteur à l’équilibre thermodynamique p 54 b) cas d’un excès d’électrons et de trous dans le matériau p 54 c) déficit d’électrons et de trous dans le matériau p 54

CHAPITRE V : PHENOMENES DE TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS I Conductivité – Dérive dans un champ électrique

1°) Mobilité – Conductivité p 55 2°) Densité totale de courant de dérive dans un champ électrique. Résistivité p 57

II Diffusion des porteurs 1°) Loi de Fick. Coefficient de diffusion p 58 2°) Densités de courant de diffusion p 59

a°) Cas des électrons : p 59 b°) Cas des trous : p 59

III Densités de courant totales dans un semiconducteur p 60 IV Relation d’Einstein p 60 V Equations de continuité p 61 VI Equations de Poisson p 62 VII Densités de courant généralisées p 63 CHAPITRE VI : JONCTION PN – DIODES A JONCTION I Constitution

1°) Réalisation physique et définitions p65 2°) Concentrations et types de porteurs dans la jonction p65

II Etude de la jonction pn à l’équilibre thermodynamique 1°) Mouvement de charges au contact p66 2°) Tension de contact ou tension de diffusion p68 3°) Diagramme d’énergie p68 4°) Champ électrique et dimension de la zone de charge d’espace p69

III Etude de la jonction pn polarisée 1°) Analyse physique du problème p71 2°) Polarisation directe et inverse p72 3°) Profils de concentrations des porteurs dans les zones quasi-neutres – Densités de courant p73

a) Approximation de Boltzmann p73 b) Concentrations dans les zones quasi-neutres p74 c) Densités de courant injectées p76

4°) Effet de la recombinaison : diode courte et diode longue p78 a)°Longueur de diffusion grande – hypothèse de diode courte p81 b)°Longueur de diffusion petite – hypothèse de diode longue p81

5°) Caractéristique – Résistance différentielle p83 6°) Capacité de la jonction p83 7°) Jonction fortement polarisée en inverse p84

a) Effet d’avalanche p84 b)°Effet Zener p84

IV Jonctions dans les applications particulières de diode 1°) Diodes varicap p85 2°) Diode tunnel (Esaki) p85 3°) Photodiodes p86 4°) Diodes électroluminescentes p86

2EME PARTIE

CHAPITRE VII : LE TRANSISTOR BIPOLAIRE I Constitution

1°) Réalisation physique et définitions p87 2°) Profils de dopage p88 3°) Diagramme d’énergie de la structure à l’équilibre thermodynamique p89

II Principe de fonctionnement 1°) Régime de conduction p89 2°) Diagramme d’énergie en conduction normale p90 3°) Effet transistor. Bilan des injections ? Nécessité d’une base courte p91 4°) Effet des recombinaisons p92

a)° recombinaison dans l’émetteur p92 b)° recombinaison dans la zone de charge d’espace de la jonction émetteur-base p93 c)° recombinaison dans la base : facteur de transport dans la base p93 d)° courant inverse collecteur-base p93

5°) Bilan des courants p93 6°) Gain en courant du transistor p94 7°) Efficacité d’injection p95 8°) Caractéristique en fonctionnement normal p95

III Effet des recombinaisons 1°) Recombinaison dans l’émetteur p96 2°) Recombinaison dans la base – facteur de transport p96 3°) Effet des recombinaisons sur le gain en base commune p97 4°) Recombinaisons dans la zone de charge d’espace de la jonction émetteur-base p97 5°) Conséquences sur les courants ; Caractéristiques bas niveau p98

IV Autres effets et limites physiques principales 1°) Effet de la polarisation collecteur-base : effet Early p99

2°) Tension de claquage de la jonction collecteur-base p100 3°) Effet de la forte injection p101 4°) Effet du dopage de la base et de l’émetteur p102

CHAPITRE VIII : LE TRANSISTOR A EFFET DE CHAMP A GRILLE ISOLEE. TRANSISTOR MOS : METAL/OXYDE/SEMICONDUCTEUR I Constitution

1°) Réalisation physique et définitions p105 2°) Différents types de structures de base p106 3°) Symboles des différentes structures de base p106

II Principe de fonctionnement 1°) Sans polarisation de grille par rapport au substrat p107 2°) La grille est polarisée positivement par rapport au substrat p108 3°) La polarisation de la grille atteint la tension de seuil : VGS≥Vth p108 4°) Caractéristique IDS(VDS) d’un transistor NMOS normally on. p109

a)° La tension drain-source VDS est faible p109 b)° La tension de grille VGS>Vth et la tension drain-source VDS non négligeable p109 c)° Caractéristique de sortie du transistor IDS(VDS, VGS) p111

III Analyse physique de la structure métal oxyde semiconducteur idéale 1°) Diagramme d’énergie à l’équilibre thermodynamique p111 2°) Régime d’accumulation p112 3°) Régime de désertion p113 4°) Régime de faible inversion p113 5°) Régime de forte inversion p114 6°) Résolution de l’équation de Poisson p115 7°) Variation de la concentration de charge en surface en fonction de la polarisation de grille p117

a)° Régime d’accumulation p117 b)° Régime de désertion ou d’appauvrissement p117 c)° Régime de faible inversion p118 d)° Régime de forte inversion p118 e)° Variations de Qs en fonction de ψs p118

8°) Variation de ψs en fonction de la polarisation de grille p119 9°) Capacité équivalente de la structure MOS p120

IV Caractéristique de transistor MOS idéal 1°) Expression de la charge dans le canal p121 2°) Calcul du courant p122

V Défauts cristallins et de surface 1°) Différents types de défauts p123 2°) Etats énergétiques p124

CHAPITRE IX : LE TRANSISTOR A EFFET DE CHAMP A JONCTION :TRANSISTORS JFET I Constitution p125 II Symboles p126 III Principe de fonctionnement

1°) La tension drain-source est maintenue très faible p126 2°) La tension drain-source polarise en inverse la jonction drain-grille p127 3°) La tension drain-grille dépasse la tension de pincement p128 4°) Conclusion sur le comportement p129

IV Modélisation simplifiée de la structure 1°) La tension drain-source est maintenue très faible : régime linéaire p130 2°) Caractéristique statique jusqu’au régime de saturation p131 3°) Pincement et saturation du courant p132

CHAPITRE X : LA DIODE METAL-SEMICONDUCTEUR : DIODE SCHOTTKY I Constitution p135 II Diagrammes des bandes d’énergie p136

1°) Cas ou Φm > Φs p136 2°) Cas ou Φm < Φs p137

III Etude du contact Schottky : zone de charge d’espace 1°) Zone désertée p138 2°) Charge totale de la zone de charge d’espace dans le semiconducteur p139 3°) Capacité de la zone de charge d’espace p139

IV Effet d’abaissement de barrière : effet Schottky p140 1°) 1°) Electron dans le vide devant un plan métallique p141 2°) Abaissement de barrière ; effet Schottky p142

V Transport à travers la jonction p142 1°) 1°) Considérations générales p142

a)° Franchissement de la barrière par les électrons de la bande de conduction p143 b)° Franchissement de la barrière par effet tunnel p143 c)° Processus de génération-recombinaison dans la zone de charge d’espace p143 d)° Processus de génération-recombinaison dans le volume neutre p144

2°) Conduction des porteurs majoritaires p144 3°) Théorie thermoïonique p145 4°) Théorie de la diffusion p147 5°) Théorie mixte, thermoionique-diffusion p147 6°) Porteurs minoritaires p148

Quelques constantes physiques importantes p149

1ère PARTIE

Chapitre Eléments de cristallographie

CHAPITRE I

ELEMENTS DE CRISTALLOGRAPHIE Ce premier chapitre apporte des informations de base sur la cristallographie qui doivent

permettre de comprendre la structure et ses conséquences sur le comportement des électrons dans un cristal. En effet, les dispositifs électroniques que nous étudierons à la fin de ce cours, mettent en jeu le déplacement des électrons dans un cristal semiconducteur. Il s’agit donc de se définir un vocabulaire précis qui permettra aux spécialistes de dispositifs de se repérer.

I Introduction aux réseaux cristallins A partir du modèle de l’atome hydrogénoïde, vu en mécanique quantique, nous savons

qu’il existe des niveaux d’énergie pour les électrons et des orbitales qui correspondent à des orientations particulières par rapport au centre de l’atome pour lesquelles l’électron a une grande probabilité de se trouver. La position de ces orbitales (par exemple l’orientation des lobes) n’est pas aléatoire et correspond en fait à un certain nombre de symétries. Suivant les valeurs prises par le nombre quantique magnétique et le nombre quantique azimutal, nous avons pu voir que les directions des lobes pouvaient être très différentes (à π, π/2, etc..).

Le fait de rapprocher l’un de l’autre deux atomes, par exemple identiques, à des distances de l’ordre de grandeur de l’extension spatiale de la fonction d’onde de chacun d’entre eux, va permettre aux électrons des deux atomes d’interagir, en particulier pour ceux qui sont les moins liés, c’est-à-dire ceux qui sont situés sur les couches externes. Cette interaction va se faire dans les directions privilégiées, c’est à dire celles où les électrons ont une grande probabilité de présence. Autrement dit, les atomes vont s’agencer de façon à respecter ces orientations ; en fait cette situation correspond à un niveau d’énergie minimal auquel les électrons vont avoir tendance à rejoindre. Intuitivement, nous pouvons bien imaginer que dans le cas d’un grand nombre d’atomes, ils vont tous se positionner en respectant ces directions privilégiées et constituer progressivement une structure périodique.

Cette mise en commun de ces électrons des couches externes va constituer la liaison chimique, mais aussi légèrement modifier les niveaux d’énergie. Dans le cas de deux atomes identiques, deux niveaux d’énergie différents vont être créés de manière à répondre au principe d’exclusion de Pauli.

En considérant les électrons des couches externes, suivant la forme et la symétrie de leurs orbitales, ils peuvent se retrouver dans des situations d’attraction ou de répulsion : attraction de l’électron par le noyau de l’atome voisin, répulsion par l’électron homologue de son voisin, par exemple.

Dans ces conditions, pour les électrons, deux orbitales vont se générer, orbitale liante et orbitale anti-liante, tout en respectant un certain nombre de symétries.

O. Bonnaud, Physique des solides, juin 2003 1


Pour de faibles énergies d’agitation thermique des atomes, c’est-à-dire aux basses températures (cette notion sera précisée plus loin), un grand nombre d’atomes peuvent se lier entre eux tout en respectant les symétries des orbitales. Les atomes étant identiques, dans une première approche, la distance inter-atomique étant constante, une structure périodique se constitue de proche en proche. Cet arrangement constitue le cristal.

Parallèlement, pour continuer à respecter le principe d’exclusion de Pauli, la création de nombreuses liaisons chimiques va multiplier le nombre de niveaux d’énergie. Intuitivement, du fait que nous sommes partis de niveaux d’énergie discrets d’un seul atome, nous allons successivement dédoubler ces niveaux, qui restent à des valeurs très voisines. Ainsi dans un cristal de grande dimension, nous allons trouver des regroupements d’une quasi-infinité de niveau d’énergie. De la sorte, nous dirons que des bandes d’énergie, correspondant à des pseudo-continuum se constituent. Le terme pseudo provient de la non-infinité des atomes et donc de la non-continuité des états d’énergie.

II Réseaux cristallinx

1°) Le cristal

Comme nous venons de l’évoquer, le cristal est un arrangement périodique d’atomes répondant à un certain nombre de symétries qui sont l’inversion, la rotation, la réflexion dans un parallélépipède. Nous dénombrons 7 classes de parallélépipèdes ou 7 systèmes cristallins. Le tableau ci-dessous recense ces systèmes qui sont différentiés par leurs angles et par les dimensions relatives des cotés.

Caractéristique Type Paramètres Degré de

symétrie Forme

Régulier Cubique a=b=c, α=β=γ=π/2 48

aa

a

aa

a

Axe principal Quadratique a=b≠c, α=β=γ=π/2 16

aac

aac

Axe principal Hexagonal a=b≠c, α=β=π/2, γ=2π/3 24

a

c

a a

c

a

Axe principal Rhomboédrique a=b=c, α=β=γ≠π/2 12 a

aa a

aa

Sans axe principal Orthorhombique a≠b≠c, α=β=γ=π/2 8

abcabc

Sans axe principal Monoclinique a≠b≠c, α≠β=γ=π/2 4

a

cb

a

cb

Sans axe principal Triclinique a≠b≠c, α≠β≠γ≠α 2

a

cbb

a

cbb



Ces systèmes sont caractérisés par les paramètres du parallélépipède. Suivant les considérations de translation (suivant la première diagonale par exemple), nous sommes amenés à singulariser 14 types d’arrangement du point de vue des symétries qui constituent les 14 réseaux de Bravais. Nous pouvons noter qu’une forme de base, appelée maille, non élémentaire permet parfois de mieux décrire les relations de symétrie qu’une maille dite élémentaire. Le meilleur exemple sera donné plus loin pour le silicium.

Les 14 réseaux de Bravais sont : - cubique simple, cubique centré et cubique faces centrées, - tétragonal simple, tétragonal centré, - orthorhombique simple, orthorhombique centré, orthorhombique faces centrées,

orthorhombique à deux faces centrées, - trigonal et trigonal hexagonal, - monoclinique, monoclinique à deux faces centrées, - triclinique. Ces réseaux sont bien sûr importants pour représenter des cristaux. La figure 1 présente les

réseaux de base de nombreux cristaux et plus particulièrement ceux qui nous intéressent, à savoir, le réseau cubique simple, le cubique centré (un atome au centre du cube), et le cubique faces centrées (un atome sur chaque face du cube).

aa

a

aa

a

Figure 1 : réseaux cubique simple, cubique centré et cubique faces centrées. Ces réseaux sont les trois réseaux de Bravais à base de cubes.

Nous verrons dans la suite qu’une combinaison de cubes faces centrées permet de représenter un réseau tétraédrique correspondant à celui des principaux semiconducteurs utilisés en microélectronique.

2°) Rangée, nœud, maille, indices de Miller

Nous allons dans ce paragraphe donner quelques définitions utilisées par les cristallographes qui permettent de décrire de façon précise le cristal avec ses périodicités. Nous allons travailler dans un espace à 3 dimensions, donc dans un cristal en volume sachant que des cristaux « surfaciques » existent dans la nature. Nous allons donc considérer trois vecteurs non colinéaires, , , , qui représentent des distances périodiques suivant les trois directions de l’espace (cf. Figure 2)

ar b

rcr



ar

br

cr

ar

br

cr

Figure 2 : Représentation d’une maille construite sur la base d’un parallélépipède défini par les trois vecteurs non colinéaires, ,

r, ,. a

r b cr

- nœud : extrémité du vecteur n : , cw b v au rrrr

++=n- rangée : toute droite passant par deux nœuds, - maille : tout parallélépipède construit sur 3 vecteurs non colinéaires, - plan réticulaire : tout plan passant par trois nœuds portés par trois vecteurs non

colinéaires, Parallèlement à un plan réticulaire, il existe par translation d’une combinaison linéaire des

vecteurs de base, une infinité de plans réticulaires. Ils constituent donc une famille de plans réticulaires. C’est la raison pour laquelle il sera choisi le représentant de cette famille qui se trouve dans la maille élémentaire portée par les trois vecteurs de base des périodicités.

L’équation d’un plan réticulaire peut s’écrire sous la forme : lz ky hx ++=t avec h, k, l et t entiers relatifs (1)

Si t = 0, le plan passe par l’origine Si t = ±1, le plan est le premier plus proche de l’origine.

- indices de Miller : le plan réticulaire est défini par son vecteur directeur qui a les coordonnées entières suivant les 3 directions de l’espace, h, k, l. Par commodité, on appellera ce plan (h, k, l).

Les nombres entiers relatifs, h, k, et l sont appelés indice de Miller. La figure 3 montre la position du plan appelé (2,3,1) qui est représenté en pratique dans la

maille élémentaire parallélépipédique définie par les vecteurs , , . ar b

rcr

arbr

cr

11/2

1

11/3

x

y

z

arbr

cr

11/2

1

11/3

x

y

z

Figure 3 : exemple de représentation d’un plan réticulaire dans une maille élémentaire. Le plan d’indice (2,3,1) est représenté dans la première maille élémentaire comme indiqué sur la figure. De ramener la famille de plans à la première maille permet de simplifier énormément les représentations.



Remarque : le plan réticulaire de la famille (h,k,l), ne peut passer par les points A(h,0,0), B (0,k,0) et C (0,0,l)

que si |h|=|k|=|l|=1. Par exemple, le plan le plus proche de l’origine de la famille repérée par les indices de Miller

(2,3,1), coupe les axes des coordonnées respectivement en 1/2, 1/3, 1 mais correspond aussi à la famille de plans

parallèles à celui coupant les axes en A (3,0,0), B (0,2,0), C (0,0,6).

III Réseau réciproque Le réseau réciproque prend toute son utilité dans l’étude des phénomènes de propagation

électromagnétique dans le réseau cristallin ; en effet, l’analyse des réseaux depuis le début de la cristallographie s’effectue essentiellement par analyse d’un faisceau de photons diffractés. L’interaction photon-atome transforme le faisceau et aboutit à une transformée de Fourrier du faisceau de photon incident. L’image du réseau n’est plus dans ce cas une image directe, mais une image transformée. Cette nouvelle image du réseau, qui sera celle observée par les cristallographes est appelée réseau réciproque. En d’autres termes, l’image d’un réseau cristallin, donne aussi un réseau contenant des nœuds, mailles etc.. mais qui sera de type différent de celui du réseau dit direct.

Par définition, le réseau réciproque est défini par ses vecteurs unitaires en utilisant la notation de Dirac :

ijii aa πδ2.* =rr avec et (2) jisiij ≠= 0δ jisiij == 1δ

L’astérisque repère les vecteurs élémentaires du réseau réciproque. Le terme 2π provient de la propagation des ondes et de la transformée de Fourrier, et apparaît ici afin de simplifier les écritures. Ainsi :

π2.* =aa rr (3) 0.* =barr 0.* =ca rr

Propriétés intéressantes : - le réseau réciproque du réseau réciproque est le réseau direct, - tant rangée du réseau réciproque est perpendiculaire à la famille des plans réticulaires

de même indice du réseau direct,

),,(**** lkhplanclbkahr ⊥++=rrrr (4)

- la relation entre les volumes des mailles est issue du produit mixte et fait apparaître le coefficient (2π)3 :

( )3* 2. π=oo vv rr (5)

IV Zone de Brillouin Cette zone se détermine dans le réseau réciproque. En effet, la zone de Brillouin va

correspondre au domaine d’influence d’un atome sur les autres atomes voisins. Il faudra raisonner sur les énergies, et donc en fonction des fonctions d’onde. Intuitivement, plus les atomes sont éloignés de l’atome considéré, moins ils auront d’influence. Nous allons ainsi



définir des zones d’influence, donc essentiellement avec les plus proches voisins. La notion même de fonction d’onde, rappelle que la quantité de mouvement est très étroitement liée au terme spatialement dépendant de la fonction d’onde. L’espace des phases (les vecteurs k) va en pratique correspondre à celui du réseau réciproque (son origine en fait).

Par définition, la zone de Brillouin, est la maille de Wigner-Seitz correspondante. Cette maille est déterminée par les plans médiateurs entre les plus proches voisins d’un atome. Pour simplifier cette présentation, nous pouvons prendre l’exemple d’un réseau bidimensionnel et carré.

La figure 4 met en évidence la première zone de Brillouin repérée par 1 et la deuxième zone repérée par 2, délimitées dans ce cas par les médiatrices (des droites).

1

2

2

221

2

2

22

Figure 4 : Représentation dans un réseau bidimensionnel des deux premières zones de Brillouin, notées 1 et 2 sur la figure. Elles sont obtenues à partir de la construction de médiatrices successives entre les plus proches voisins. Médiatrices verticales et horizontales pour la zone 1, à π / 4 pour la zone 2.

V Diffraction dans un cristal La périodicité spatiale des atomes du réseau cristallin va permettre après diffraction d’une

onde incidente, d’obtenir, dans une direction donnée, des ondes secondaires cohérentes entre elles, et donc des phénomènes d’interférence. La différence de chemin optique, δ, est calculée entre deux rayons diffractés par les atomes dans la même direction, comme présenté sur la figure 5.

( ) (JLKJ +=δ )

( )2πϕθδ −+= SindSind

( )ϕθδ CosSind −=



I

KJ

Ld

I

KJ

Ld

Figure 5 : Phénomène de diffraction dans un réseau. Entre deux plans consécutifs, la différence de chemin optique crée des phénomènes d’interférence dans une direction donnée.

Les conditions de réflexion donnent la relation entre les angles, θ et ϕ .

2πϕθ +=

L’intensité de l’onde réfléchie dans la direction ϕ, sera maximale si la différence de chemin optique est un multiple entier de la longueur d’onde de la fonction d’onde considérée.

( )( ) λθπθθδ kSindCosSind ==+−= 22

λθ kSind =2 (6)

Cette formule est appelée formule de Bragg. Remarque : il faut que la longueur d’onde, λ, soit du même ordre de grandeur que la distance entre les plans

réticulaires, d. Il faut donc que λ soit de quelques Angström au maximum. Il sera possible d’observer de la

diffraction avec des rayons X ou avec des faisceaux d’électrons suffisamment énergétiques. Rappelons que la

longueur d’onde associée à un faisceau d’électrons est donnée par la formule issue des relations de Planck-

Einstein :

AngströmenUUmq

h 3,1212

==λ (7)

Il sera donc possible d’obtenir de la diffraction avec des tensions d’accélération de quelques 100V à quelques

kV, ce qui est tout à fait contrôlable dans un microscope électronique à balayage.

En raisonnant dans un espace à trois dimensions, cela signifie que nous aurons un maximum d’intensité lumineuse en un point du plan focal d’une lentille situé dans la direction du faisceau réfléchi. S’il existe d’autres plans réticulaires, (suivant les 3 directions spatiales), nous allons trouver d’autres points dans ce même plan focal. En réalité, nous construisons progressivement une image du réseau réciproque. L’existence même de ce réseau réciproque est justifié par ce type d’observation. C’est à partir de ce réseau réciproque qu’il est possible de remonter au réseau direct. Par exemple, un réseau réciproque cubique centré a pour réseau direct un réseau cubique faces centrées.

La difficulté d’analyser un réseau cristallin vient de son aspect tridimensionnel. Nous verrons dans le prochain chapitre, qu’une approche à une dimension est déjà très complexe



mais permet de décrire des phénomènes observés, à savoir des bandes d’énergie accessibles et interdites.

VI Représentation du cristal de silicium Le cristal de silicium va représenter dans le cadre de ce cours un élément privilégié

puisqu’une écrasante majorité des dispositifs microélectronique fabriqués à ce jour sont à base de ce matériau semiconducteur. L’aspect semiconducteur sera justifié plus loin.

Le cristal de silicium est composé de liaisons entre les atomes qui constituent un tétraèdre régulier. La structure du cristal est identique à celle du diamant, que l’on appelle aussi zinc-blende, comme présenté figure 5 (d = 2 ,35Å).

d

θ

Si

Si

SiSi

Si

d

θ

Si

Si

SiSi

Si

Figure 5 : Structure cristalline du silicium, similaire à celle du diamant. Les atomes de silicium sont disposés au sommet d’un tétraèdre régulier.

Pour représenter une suite de tétraèdres qui font des angles entre eux non droits, directement, cela complique fortement le dessin. En réalité, il est possible, par le jeu des périodicités de reconstituer le réseau tétraédrique à partir d’un réseau cubique faces centrées. Pour bien comprendre la construction du réseau nous construisons tout d’abord, figure 6, un réseau cubique faces centrées. Dans ce réseau, les atomes occupent les 8 sommets du cube ainsi que le centre de chacune des 6 faces. Pour les deux faces supérieure et inférieure, nous avons fait apparaître les diagonales pour mieux les repérer sur la figure. Les 4 atomes au centre des faces verticales (à mi-hauteur) sont reliées par un carré en perspective tracé en pointillés.

Figure 6 : réseau cubique faces centrées. Nous avons repéré la première diagonale du cube qui va servir à la construction du réseau complet.



A ce stade, nous ne retrouvons pas la construction du tétraèdre. Pour y parvenir, nous allons prendre exactement le même motif de la figure 6 et le faire glisser d’un quart de la longueur de la première diagonale du cube suivant cette première diagonale. Nous rencontrons alors les conditions de la figure 7.

Figure 7 : Structure cubique faces centrées décalée de ¼ suivant la première diagonale. Dans l’angle inférieur gauche de la figure, nous retrouvons maintenant le motif du tétraèdre. L’atome situé sur la première diagonale est relié à ses plus proches voisins.

Il est alors facile de détecter le tétraèdre (visible en bas à gauche sur la figure) construit à partir de l’origine du premier cube, de l’origine du deuxième cube et des trois atomes centrés sur les faces du premier cube, qui sont alors les plus proches voisins. La structure tétraédrique peut être ainsi construite pas à pas à partir de ce premier motif. Notons, que nous observons le début d’un tétraèdre équivalent à partir du deuxième sommet du premier cube (en bas à droite de la figure).

Une façon simplifier de décrire ce réseau consiste à dire que c’est réseau cubique face centrée avec un motif élémentaire comportant deux atomes distants d’un quart de la diagonale principale et dans sa direction.

De cette structure, il est alors possible de repérer les principaux axes cristallographiques qui seront utilisés en microélectronique.

Un plan réticulaire repéré par les indices (1,0,0) sera perpendiculaire au vecteur de coordonnées (1,0,0) et sera donc parallèle à la face du cube passant par l’origine et



perpendiculaire au plan du dessin. C’est dans ce plan que seront fabriqués préférentiellement les transistors MOS.

Un plan réticulaire repéré (1,1,1) passera par les trois sommets du cube les plus proches de l’origine, comme représenté figure 8. Ce plan passe aussi par les centres des trois faces construites sur l’origine.

Figure 8 : Repérage d’un plan d’indices (1,1,1). Ce plan est relativement dense puisqu’il comporte trois sommets du cube et trois atomes au centre des faces. Un calcul simple montre qu’il contient en moyenne 4 atomes pour la même surface.

Nous pouvons calculer la densité atomique de chaque plan. Dans le cas du plan (1,0,0), il contient 4 sommets appartenant à 4 mailles et le centre d’une

face appartenant à la maille. 4x(1/4) + 1x(1) = 2 ; il y a donc en moyenne un seul atome propre à ce plan réticulaire par maille.

Dans le cas du plan (1,1,1), l’approche est un peu plus complexe. Il faut se représenter la situation dans le plan où l’on retrouve un triangle équilatéral. Pour raisonner sur un même surface, il faut prendre deux triangles adjacents ; par rapport au cas (1,0,0), le rapport des surfaces est alors de 3/2 . Un atome de sommet appartient à 6 triangles alors que l’atome du

centre de face appartient à deux triangles. 2(3x(1/6) + 3x(1/2)) = 4. Ce plan (1,1,1) est donc en moyenne plus dense que le plan (1,0,0). Ce résultat aura de

grandes conséquences sur le plan technologique et électronique dans la suite.


Chapitre 2 Electrons dans un cristal

CHAPITRE II

ELECTRONS DANS UN CRISTAL Ce chapitre est destiné à apporter des notions utiles à la compréhension des comportements des

électrons dans les cristaux. La périodicité des cristaux implique une répartition des états énergétiques accessibles par les électrons propres à chaque cristal. Cette approche est nécessaire pour expliquer plus tard le comportement électrique des dispositifs électroniques.

I Potentiel d’un électron dans un cristal Les différents électrons de l’atome constituant un réseau cristallin subissent essentiellement

l’effet du potentiel coulombien attractif des noyaux des atomes. Dans une représentation en énergie potentielle, du fait de la périodicité du cristal, l’électron verra suivant une seule dimension une distribution périodique dont l’allure est donnée figure 9.

Nous supposons une périodicité de a, distance entre deux noyaux suivant l’orientation x. Ceci dans le cas le plus simple puisqu’il est possible d’avoir des noyaux d’atomes différents dans des cristaux binaires par exemple (cristaux ioniques tels que NaCl, KI, ou cristaux covalents tels que InP, GaAs, SiC, etc.).

Le potentiel énergétique est fortement influencé par les atomes voisins. Sachant qu’il faut raisonner en trois dimensions, il est clair que le problème devient très rapidement complexe et reste l’affaire de spécialistes.

atome°°°°°

aE

xatome

°°°°°

aE

x

Figure 9 : Représentation simplifiée d’un réseau cristallin suivant une direction cristallographique. Le potentiel énergétique est lui aussi périodique mais son expression analytique peut être très complexe du fait de la présence de voisins.

Par contre, il est possible de se donner une bonne idée des phénomènes physiques résultants en ne travaillant que suivant une seule dimension et en modélisant l’énergie potentielle d’une manière très simplifiée. Trois modèles simples sont pris en général pour appréhender le problème :

- Modèle de Morse : ( ) xaCosVxV oπ2=

- Modèle de Kronig-Penney : ( ) ( )∑ −−=n

o naxVxV δ

- Modèle de l’électron libre : dans le cristal, infini à l’extérieur ( ) 0=xV

Le dernier cas est le plus simple à traiter mais il ne tient pas compte de l’aspect périodique du potentiel énergétique. Nous allons cependant voir l’intérêt de cette approche.

II Modèle de l’électron libre dans un cristal. Modèle de Sommerfeld Nous allons résoudre le modèle de l’électron libre dans un cristal unidimensionnel. Pour

connaître les états énergétiques, il est alors nécessaire de résoudre l’équation de Schrödinger à une dimension :



( ) ( ) ( )xExxUxm ϕϕδϕδ

=+− .2 2

22h

Dans notre modèle très simplifié, U(x) = 0

( ) ( ) ( ) ( )ikxBikxAxxExm −+=⇒=− expexp.2 2

22

ϕϕδϕδh

En appelant L la dimension du cristal, nous nous retrouvons dans le cas du modèle de puits de

potentiel infini, c’est à dire que les conditions aux limites sont : ϕ(0) = 0 et ϕ(L) = 0

Donc avec ( ) SinkxAx =ϕ L

nk π= et 22

22

2 nLmEnπh

= avec 22hmEk =

Nous retrouvons bien évidemment que l’énergie de l’électron est quantifiée. Dans ce cas, c’est en raison des limites finies du cristal. Notons que si le cristal est suffisamment grand, donc L très grand, les états énergétiques représentent un pseudo-continuum. La quantité de mouvement de l’électron est liée à k. Ainsi :

22

2 kmELnkkp

hh === π (8)

Nous pouvons ainsi représenter E en fonction de k, qui est proportionnel à la quantité de mouvement, Figure 10. Nous dirons que E est représenté dans l’espace des phases (unidimensionnel dans ce cas). Nous trouvons ainsi des niveaux d’énergie discrets situés sur une parabole. Nous pouvons de plus noter que le changement de k en –k donne le même résultat pour le niveau d’énergie (même valeur propre). Ceci sera utile dans la suite.

k

E

Lnπ− L

nπ+Lπ− L

π

++

++++

++

k

E

Lnπ− L

nπ+Lπ− L

π

++

++++

++

Figure 10 : Energie en fonction de la quantité de mouvement (espace des phases). Les niveaux sont discrets et dépendent de la dimension du cristal. Plus le cristal est grand, plus les états énergétiques sont rapprochés.

Bien qu’intéressant comme première approche, ce modèle ne peut traduire avec suffisamment de fidélité les phénomènes observés en particulier les bandes d’énergie autorisées et interdites dans le cristal. Il faut donc tenir compte de la périodicité du potentiel énergétique.

III Modèle de l’électron quasi-libre dans un cristal

1°) Considération sur la forme du potentiel

Le potentiel énergétique n’est pas nul et périodique : U(x+a) = U(x) (9)

Du fait de la périodicité du potentiel, nous pouvons le décomposer en série de Fourrier comme suit :

( ) ( )iGxUxUG

G exp∑= avec alG π2= l étant un entier



Remarquons que U(x) est réel ce qui signifie que dans le développement en série les deux composantes imaginaires conjuguées existent simultanément : UG = U-G. Nous pouvons aussi écrire que : (10) ( ) CosGxUxU

GG∑=

2°) Considération sur la fonction d’onde

L’ensemble des fonctions d’onde vérifie l’équation de Schrödinger. A chaque fonction d’onde (constituant la base de l’espace vectoriel), on associe une énergie E qui correspond à une valeur propre de la résolution matricielle . Dans le cas d’un cristal fini, les conditions aux

limites sont périodiques et la fonction d’onde vérifie :

ψψ EH =

ψ(x+L) = ψ (x) (11) Nous pouvons donc trouver pour la fonction d’onde une décomposition en série de Fourrier.

( ) iKxCxK

K exp∑=ψ avec L

nK π2= et L =na avec n entier

3°) Méthode de calcul ( ) iKxCx

KK exp∑=ψ vérifie l’équation de Schrödinger. En calculant la dérivée seconde et en

l’introduisant dans l’équation, nous obtenons :

( ) ( )( ) ( ) xiKxCExGKiCUiKxCKm KK

KGG K

KK

∀=++ ∑∑∑∑ expexpexp.22

2h (12)

Par ailleurs, nous savons que si LnK π2= et L

nK π'2' = alors :

( )( ) '0.'exp0

KKsidxxKKiL

≠=−∫

( )( ) '.'exp0

KKsiLdxxKKiL

==−∫

Ainsi, en multipliant l’équation (12) par exp(-iK’x) et en l’intégrant entre 0 et L, nous obtenons :

( ) ( )( ) ( ) dxxKKiCEdxxKGKiCUdxxKKiCKm KK

L

KGG K

L

KK

L

.'exp.'exp.'exp.200

2

0

2

−=−++− ∑∫∑∑∫∑∫h

Puisque Lnl

nanl

alG πππ 222 === , G a la même forme que K et K’ en fonction de L. Les

intégrales de l’équation ci-dessus sont toutes nulles sauf dans le cas où K = K’ et K+G = K’. Cette équation devient après division par L :

''2

2

'2 KGKGG

K CECUCKm =+ −∑h et ( ) ( ) xGKiCx

GKGK −= ∑

−− 'exp

''ψ

Puisque K ou K’ varient de moins l’infini à plus l’infini, le changement de K en K’ ne change

pas la forme de la fonction d’onde. En posant de plus 22

2 KmKh

=λ l’équation se ramène à :

( ) 0=+− −∑ GKGG

KK CUCEλ et ( ) ( ) xGKiCxG

GKK −= ∑ − expψ (13)

A chaque valeur de G, correspond une fonction d’onde qui dépend de K et que nous noterons ψK(x). La forme de cette fonction est la suivante :



fonction périodique de a

ΨK(x) = CK−G exp (−iGx). exp (iKx)

fonction de l’électron libre

(14)

fonction périodique de a

ΨK(x) = CK−G exp (−iGx). exp (iKx)

fonction de l’électron libre

(14)

Cette expression montre que la fonction d’onde est le produit de deux exponentielles, la première étant périodique en a, la deuxième correspondant à la fonction d’onde de l’électron libre. La fonction périodique correspond à la modification apportée à la fonction de l’électron libre par le potentiel périodique. Pour mieux comprendre la suite de valeurs de K et G , traçons ces valeurs sur un axe, Figure 11 :

G

KL2π−

L2π

0 a2π

a−2π

L2(n−1)π

L2π

L4π

G1-G10

K1K200

Kn-1Kn

G

KL2π−

L2π

0 a2π

a−2π

L2(n−1)π

L2π

L4π

G1-G10

K1K200

Kn-1Kn

Figure 11 : représentation des différentes valeurs de K et G issus d’inverses de valeurs entières.

La périodicité de G est due à la périodicité du réseau cristallin alors que la périodicité de K est due aux dimensions du cristal (ici unidimensionnel).

4°) Résolution simplifiée dans le cas d’une perturbation de potentiel

L’équation (13) permet le calcul des CK-G et donc de déterminer les fonctions d’onde et donc les niveaux d’énergie solutions. Mais il y a une infinité d’équations ce qui est un peu long à résoudre ! Pour simplifier cette résolution nous commençons par supposer :

- seuls les premiers termes du développement de U(x) sont non nuls ; ;

en d’autres termes nous ne considérons que le fondamental du développement, les harmoniques étant choisis nuls,

xCosGUxU 112)( =

- le potentiel énergétique est faible, c’est à dire que U1 est faible devant l’énergie de l’électron libre correspondant à la fonction d’onde (théorie des perturbations).

Cela revient à avoir dans l’échelle des énergies la représentation suivante (Figure 12) :

atome°°°°°

aE

atome°°°°°

aE

Figure 12 : Modèle de l’électron quasi-libre : variation de l’énergie potentielle dans le cas de la méthode des perturbations. Le potentiel varie sinusoïdalement avec la période du réseau.

La fonction d’onde de l’électron libre n’est donc pas trop perturbée et à partir de l’équation (13), en prenant pour G les deux valeurs, 0 et G1 nous pouvons écrire :

( ) ( ) xGKiCxiKCx GKK 11 expexp −+= −ψ (15)



En se rappelant que UG1 = U-G1 = U1, et que ψΚ et ψ−Κ donnent la même valeur de l’énergie, nous pouvons établir les deux relations issues de (13) correspondant aux deux composantes de la fonction d’onde.

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−=+−

−−

−

00

111

11

KGKGK

GKKK

CUCECUCE

λλ avec

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

−

21

2

22

2

2

1GKm

Km

GK

K

h

h

λ

λ (16)

Ce système d’équations à 2 inconnues, CK et CK-G1, ne donne une solution non nulle que si son déterminant est nul.

002

11122

11 =−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⇒=−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − −−− UEEUEE GKKGKKGKK λλλλλλ

En remplaçant λK et λK-G1 en fonction de K2 et (K-G1)2, nous obtenons :

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+±−+=

−+

2

21

221

221

22 2422

1h

h mUGKKGKKmE (17)

A partir de cette relation (17), nous pouvons analyser les différents niveaux d’énergie, plus attentivement les valeurs particulières.

• si 12

21

11

222 UKmEGGKGK ±=⇒−=−⇒= ±h

(18)

Il y a donc un saut d’énergie de valeur égale à 2U1 avec un décalage de –U1 et +U1 par rapport au cas de l’électron libre.

• si 21GK << , comme U1 est faible, 2

1

2

212 GmU <<⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛h

. Un développement limité permet

d’obtenir : ( ) 222

1

2

22 KmEetGKmEhh

=−= −+ (19)

Ainsi, pour K faible, E- correspond à l’énergie de l’électron libre, pour K proche G1/2, E- se décale de -U1.

Pour K faible, G1 – K est proche de G1, E+ correspond à l’énergie de l’électron libre et pour K proche de G1/2, E+ se décale de +U1. Nous avons la représentation donnée figure 13.

K

E

aπ−

aπ+L

π− Lπ++

électron libre

2U1bande interdite

K

E

aπ−a

π−aπ+aπ+L

π− Lπ++

électron libre

2U1bande interdite

Figure 13 : Diagramme des phases, E(k), dans le cas d’un cristal unidimensionnel de périodicité a. Pour k = 2π/a, nous constatons un saut d’énergie, qui éloigne le pseudo-continuum de la courbe de l’électron libre. Cela signifie qu’il y a une bande d’énergies non permises ou bande interdite.



Tout l’intérêt de cette résolution réside dans le fait que nous avons démontré, dans le cas le plus simple possible, la présence d’une bande d’énergies non permises ou bande interdite et qui correspond à la réalité physique dans les cristaux. En général, L étant très grand devant a, les niveaux d’énergie discrets tendent vers un pseudo-continuum dans les zones autorisées. Nous parlons alors de bandes d’énergie permises ; notons que ces niveaux d’énergie sont accessibles mais pas forcément occupés.

Si nous supposons que l’analyse se situe au niveau des électrons de valence d’un cristal, donc des électrons permettant les liaisons chimiques, la bande d’énergie permise correspond à la première zone de Brillouin, zone d’influence des premiers voisins. Notons que dans notre modèle, nous avons supposé une influence simplifiée du premier voisin puisque nous avons pris pour potentiel, seulement le premier terme d’un développement en série. Cela laisse supposer, que dans une résolution plus complète, nous trouverons des formes plus complexes.

IV Conclusion

1°) diagramme des phases d’un cristal réel

Nous avons retrouvé le comportement d’un cristal réel à partir d’un modèle unidimensionnel, c’est-à-dire des bandes d’énergie permises et interdites. Nous devons aussi retrouver ce même aspect, bandes d’énergie, suivant les directions de l’espace dans un cristal réel.

Si nous analysons un cristal réel ayant des longueurs différentes de la maille élémentaire suivant les directions de l’espace (ou des périodicités différentes en fonction des directions comme par exemple suivant la diagonale dans le cas d’un réseau cubique centré), la forme de E(k) dépendra donc des directions cristallographiques. Si nous regardons plus attentivement le diagramme des phases dans un cristal réel, par exemple celui d’un semiconducteur, nous pouvons obtenir celui de la figure 14. Nous nous intéressons essentiellement aux énergies correspondant aux échanges possibles avec le réseau cristallin, à savoir le niveau de la bande de valence et le niveau de la bande de conduction. Nous voyons que suivant la direction k1 ou k2 les courbes sont différentes. Nous limitons la représentation à la première zone de Brillouin, c’est à dire, « à mi-chemin » avec les plus proches voisins.

E

k0

∆E

1ère zone de Brillouin

direction k1

direction k2

bande de conduction

direction k1

direction k2

bande de valence

bande interdite

aπ+

aπ−

E

k0

∆E

1ère zone de Brillouin

direction k1

direction k2

bande de conduction

direction k1

direction k2

bande de valence

bande interdite

aπ+aπ+

aπ−

Figure 14 : diagramme des phases dans la première zone de Brillouin d’un cristal. Suivant les directions cristallographiques, les états énergétiques accessibles sont différents. Suivant la direction k1, la périodicité du réseau est a. Une bande d’énergies non permises, la bande interdite de largeur ∆E, apparaît entre la bande de valence et la bande de conduction.



2°) Gap direct et indirect

Lors de l’interaction du semiconducteur avec un rayonnement électromagnétique, la forme du diagramme de phases a un rôle très important. Dans le diagramme de la figure 14, le maximum des courbes de la bande de valence se situe au-dessous du minimum des courbes de la bande de conduction. La distance énergétique entre ces extremums s’appelle la largeur de la bande interdite ou de façon plus condensée le gap. Lorsque les extremums correspondent à la même valeur de k, comme c’est le cas de la figure 14, c’est-à-dire à la même quantité de mouvement, nous dirons que le gap est direct. Un électron effectuant la transition de la bande de conduction vers la bande de valence, émettra un photon d’une énergie correspondant à ∆E. Notons, qu’au plus cette énergie sera importante, au plus la longueur d’onde associée sera courte.

Mais suivant les cristaux, les extremums peuvent être décalés. La figure 15 fait apparaître les deux situations.

E

k<111> <100>

- - - -- - - -

Eg

Vecteurs d’onde

Silicium

Gap indirect∆k

E

k<111> <100>

Eg

Vecteurs d’onde

GaAs

Gap direct

E

k<111> <100>

- - - -- - - -

Eg

Vecteurs d’onde

Silicium

Gap indirect∆k

E

k<111> <100>

Eg

Vecteurs d’onde

GaAs

Gap direct

Figure 15 : Exemple pour deux semiconducteurs différents de gap direct (cas du GaAs) et du Gap indirect (cas du silicium). La transition indirecte nécessite une modification de k donc de la quantité de mouvement. Cette modification est apportée par un échange de quantité de mouvement avec le réseau sous forme de vibration (phonons). Cette transition est donc progressive avec le réseau cristallin et l’émission de photon est multiple.

Le schéma de gauche montre le cas d’une transition directe ; ce cas se rencontre pour le GaAs. Lors de la transition, l’électron peut émettre un photon dont la longueur d’onde est directement liée à la distance énergétique. Ce phénomène est utilisé dans tous les composants optiques et émetteurs de lumière (par exemple les diodes électroluminescentes ou les diodes laser).

Le schéma de droite montre le cas d’une transition indirecte. Pour un électron transitant depuis le bas de la bande de conduction vers le haut de la bande de valence, il faut à la fois, une modification de l’énergie et de k. La transition indirecte nécessite donc une modification de la quantité de mouvement. Cette modification est apportée par un échange de quantité de mouvement avec le réseau sous forme de vibration (phonons). Cette transition est donc progressive avec le réseau



cristallin et l’émission de photons est multiple et non contrôlée, avec des longueurs d’onde beaucoup plus grandes que celle correspondant à une transition directe. Il n’y a donc pas de possibilité de réaliser des composants optiques performants avec ces matériaux. Toutefois nous verrons que dans le cas du silicium certaines de ses propriétés (essentiellement technologiques) lui ont permis un développement fulgurant en microélectronique sans pour autant bénéficier de propriétés optiques intéressantes.

3°) Remplissage des bandes d’énergie

Ces diagrammes d’énergie en fonction de k montrent les états énergétiques accessibles par les électrons au niveau des couches externes des atomes. Suivant la nature de l’atome, le nombre d’électrons de la couche externe varie (colonnes I à VIII du tableau de classification périodique). Par la mise en commun du nuage électronique dans un réseau cristallin, les niveaux de la bande de valence pourront être complètement remplis avec des électrons complémentaires dans la bande de conduction. Les électrons de la bande de conduction sont relativement peu liés à l’atome qui les génère et peuvent donc circuler dans le cristal. Ils participent de la sorte à la conduction du matériau.

Si la bande de conduction à l’état fondamental est vide d’électrons, sans excitation particulière notamment due à l’énergie thermique (température de 0K), le matériau est isolant puisque aucun électron ne peut circuler dans le cristal.

Dans le cas où la bande interdite est étroite (faible écart énergétique), nous verrons que les électrons peuvent passer statistiquement de la bande de valence à la bande de conduction par activation thermique et donc participer à la conduction à température ambiante ; c’est le cas des semiconducteurs. Nous analyserons plus en détail ces phénomènes dans un prochain chapitre.


Chapitre 3 Notions de statistique. Systèmes de particules

CHAPITRE III

NOTION DE STATISTIQUE. SYSTEMES DE PARTICULES Ce chapitre est destiné à apporter quelques notions de statistique qui seront indispensables à la

compréhension des distributions des porteurs de charge dans les dispositifs électroniques. De plus amples notions sont disponibles dans les ouvrages indiqués en référence.

I Pression et énergie d’une molécule dans un gaz parfait

1°) Introduction à la notion de statistique

Parmi les systèmes formés d’un grand nombre de particules, le système le plus simple à analyser est le gaz parfait. A toute température, T, différente du zéro absolu, les molécules du gaz sont animées de mouvements aléatoires, appelés aussi « agitation thermique ». Ces molécules ont un comportement en mouvement analogue à celui d’autres types de particules, atomes, etc.…quand ils sont en grand nombre

A une température donnée, la vitesse de déplacement et donc aussi l’énergie cinétique varient beaucoup d’une molécule à l’autre, mais les propriétés macroscopiques du gaz sont relativement bien décrites lorsque la valeur moyenne de l’énergie est connue. Cette description est fondée sur une approche statistique, c’est à dire sur un modèle de distribution des grandeurs à condition que le nombres de particules, ici de molécules, soit suffisamment grand.

La valeur moyenne de l’énergie peut être calculée à partir des fonctions de distribution des vitesses des molécules qui représentent la probabilité de trouver la molécule dans un domaine de vitesse ∆v (autour de v), en fonction de v.

Pour un système de molécule, l’énergie cinétique (donc la vitesse) peut être reliée à la pression, qui est une grandeur mesurable. La pression est le résultat des impacts des molécules sur les parois de l’enceinte comprenant le gaz.

2°) Calcul de la pression

On considère dans le gaz que les molécules sont toutes de masse M et qu’elles frappent une paroi avec un choc élastique, donc sans perte d’énergie cinétique, comme représenté sur la figure 16.

Cette figure est présentée dans le plan d’incidence d’une molécule, c’est à dire que la composante en z n’apparaît pas. En analysant les composantes de vitesse :

paroi

vx

-vx

vy

vy Force exercée

paroi

vx

-vx

vy

vy Force exercée

avant choc vx, après choc - vx

avant choc vy, après choc + vy

donc (non changé) La variation de la quantité de mouvement

est dans ce cas : ∆p = 2Mvx.

Figure 16 : Représentation simplifiée d’un choc élastique d’une molécule contre une paroi. La composant normale à la paroi change de signe.



Pendant le choc, d’une durée supposée ∆t, qui correspond en pratique au temps moyen entre deux chocs successifs de molécules avec la paroi, la molécule applique une force Fx, telle que :

xx MvtF 2. =∆ tMvF xx ∆= 2 (20)

A chaque instant, si Nv est le nombre moyen de molécules par unité de volume, Nv/2 arrivent vers la paroi et Nv/2 s’en éloignent (Figure 17). Si ce n’était pas le cas, il y aurait accumulation de molécules à la surface (adsorption par exemple). En appelant Nv le nombre de molécules ayant la même vitesse vx, par unité de surface, le nombre de chocs pendant ∆t s’exprime par :

tvNn xv ∆= 2

paroiNv/2

vx.∆t

Nv/2

paroiNv/2

vx.∆t

Nv/2

Figure 17 : Statistiquement la moitié des espèces s’approche de la paroi, l’autre moitié s’en éloigne. Le volume considéré a une épaisseur vx.∆t.

La force totale exercée par unité de surface sur la paroi (donc la pression) est :

tMvtvNnFP xxvv ∆∆== 2

2. 2xvv vNMP = (21)

Pour obtenir la pression totale, il faut considérer toutes les autres molécules ayant leur vitesse comprise entre 0 et l’infini. En appelant 2xv la valeur moyenne des vitesses et N le nombre total de molécules par unité de volume de molécules,

22 xvx vNvN ∑=

La pression totale étant égale à la somme des pressions partielles : 22 xxvV

N

vNMvNMPP =∑== ∑

Les expressions sont identiques sur les autres parois. Or P est la même sur chaque paroi, autrement dit nous retrouvons les mêmes expressions quelles que soient les orientations des parois.

222 zyx vvv == mais comme 2222 zyx vvvv ++= 32

2v

vx =

2..31 vNMP = (23)

Ainsi, nous voyons que la pression est directement reliée à la vitesse moyenne des particules normales à une paroi et qu’elle dépend du nombre de particules et de leur masse.

3°) Energie cinétique moyenne

Nous pouvons aussi retrouver des résultats classiques de la thermodynamique des gaz à partir de la relation des gaz parfaits.

En appelant VM le volume d’une môle de gaz, et No le nombre d’Avogadro :

NNVNVN o

MoM =⇒=. (attention, N est une concentration)

D’après l’équation dite des gaz parfaits :



kTTNRvMTRN

NvNMTRVPo

oM 2

3.23.2

1....31. 22 ==⇒=⇒=

k étant la constante de Boltzmann. Ainsi, l’énergie cinétique moyenne des molécules est :

kTvMEc 23.2

1 2== (24)

Nous avons supposé que les molécules pouvaient se déplacer suivant les trois dimensions de

l’espace géométrique, elles possèdent donc trois degrés de liberté. De la formule ci-dessus, il est habituel de dire que l’énergie dans un ensemble de particules animées par une excitation thermique

est de kT21 par degré de liberté.

II Distribution d’énergie des molécules dans un gaz parfait

1°) Probabilité des collisions

Comme nous l’avons mentionné précédemment, nous supposons que les molécules (ou les particules) peuvent prendre n’importe quelle énergie cinétique comprise entre 0 et l’infini et n’interagissent que durant les collisions mutuelles (ou sur les parois quand le milieu est limité). Au niveau des parois, un choc élastique n’implique pas de modification de l’énergie cinétique. Par contre le choc entre deux molécules (ou particules) entraîne des échanges entre elles et modifie l’état énergétique de chacune d’entre elles.

Ces énergies sont accessibles suivant une certaine probabilité que nous supposons exprimable par une relation entre le niveau d’énergie et le nombre de molécules (ou particules) se trouvant à ce niveau. S’il n’y a pas de réaction chimique, la conservation de l’énergie est respectée au moment du choc.

Nous considérons deux molécules (ou particules) aux niveaux d’énergie E1 et E2 respectivement et qui entrent en collision. Après le choc, ces deux molécules se trouvent à des niveaux d’énergie différents que nous appelons E’1 et E’2 respectivement.

)','(),( 2121 EEEE →

La conservation de l’énergie nous permet d’écrire :

2121 '' EEEE +=+

Considérons maintenant la probabilité pour qu’un tel choc se produise. Cette probabilité est proportionnelle à la probabilité d’avoir la première molécule au niveau d’énergie E1 et à la probabilité d’avoir la deuxième molécule à l’énergie E2. En effet, si les molécules ne sont pas présentes, le choc tel qu’il est imaginé ne peut pas se produire. Notons que nous n’imposons aucune condition pour atteindre les niveaux E’1 et E’2 puisque nous avons supposé que tous les niveaux étaient accessibles, a priori, quelle que soit la situation des molécules avant le choc. Nous appellerons a(E) la relation traduisant la probabilité d’être au niveau d’énergie E pour une molécule.

)().(. 21 EaEacp = (25)



avec c constante. Cette relation sous-entend qu’un certain nombre de molécules passent des énergies E1 et E2 à E’1 et E’2 . Mais les molécules à ces niveaux d’arrivée peuvent aussi avoir des collisions et passer au niveau d’énergie de « départ » après le choc. La probabilité d’un tel choc s’exprime par :

)'().'(.' 21 EaEacp =

Puisque nous ne pouvons pas discerner les chocs à des niveaux différents, les deux relations expriment le même phénomène et donc les constantes sont égales. De plus, si la probabilité p’ était différente de p cela signifierait que des niveaux d’énergie sont privilégiés et qu’au bout d’un certain temps, toutes les molécules se retrouveraient à ces niveaux, ce qui est en contradiction avec une distribution continue. Le processus inverse est donc égal au processus direct.

)'().'()().(' 2121 EaEaEaEapp =⇒=

En posant la conservation de l’énergie donne et ainsi : EEE ∆−= 11' EEE ∆+= 22'

)().()().( 2121 EEaEEaEaEa ∆+∆−=

soit encore

EcteEaEEa

EaEEa

EEaEa ∀=

∆+⇒

∆+=

∆− )()(

)()(

)()(

2

2

1

1

En dérivant cette expression et en annulant la dérivée, nous obtenons :

cteaaEaEEaEaEEa =⇒∆+=∆+ ')(').()().('

En intégrant cette dernière relation, nos en déduisons la forme générale de a(E) :

)(exp.)( EAEa β−= (26)

Le terme sous l’exponentiel est négatif afin que la probabilité reste finie quand l’énergie tend vers l’infini. β est un facteur universel et est le )(exp Eβ− facteur de Boltzmann.

2°) Calcul du facteur universel, β

L’énergie est considérée sous la forme d’énergie cinétique. ( )222

21 zyxC vvvMEE ++==

( ) ( )zyxzyx vvvfvvvMAEa ++=++−= 2222(exp.)( β

en intégrant a(E) sur l’ensemble des vitesses, nous devons retrouver une probabilité égale à 1 puisque nous sommes sûr de trouver la particule dans l’espace complet.

( ) ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=++−∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

23

222 211..2(exp. βπβ

MAdvdvdvvvvMA zyxzyx

23

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= π

βMA (27)

L’énergie t tale du système, en considérant No o molécules, est égale à ( )222

21. zyxoo vvvMNEN ++=



La fonction normalisée de distribution des vitesses est :

( ) ( )22223

2(exp.2 zyxzyx vvvMMvvvf ++−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=++ β

πβ (28)

Nous pouvons déduire les vitesses quadratiques moyennes en intégrant la vitesse quadratique multipliée par la fonction de distribution.

( ) Mdvdvdvvvvfvv zyxzyxxx β1..22 =++= ∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

Nous trouvons alors :

ββ 23

23. =⇒= ENEN oo

Ce résultat lié à l’équation (24) et (25) donne :

kT1=β (29) )1(exp.)( EkTAEa −= (30)

Cette relation (30) est la loi de Boltzmann. Cette loi reste valable pour tout système de particules dont l’ensemble des niveaux d’énergie est accessible sans condition restrictive. Nous verrons dans la suite que pour les électrons, le principe d’exclusion de Pauli rajoute une condition qui modifie notablement cette loi.

III Distribution de Maxwell

1°) Distribution maxwellienne des vitesses

La fonction de distribution normalisée des vitesses déduites des relations (28) et (29) s’écrit :

( ) ( ) ( )22223

2(exp.2 zyxzyx vvvkTM

kTMvvvf ++−=++ π

Nous pouvons décomposer cette fonction en un produit de trois fonctions normalisées :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zzyyxxzyx vfkTMvfkT

MvfkTMvvvf .2.2.2

21

21

21

πππ=++

avec ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

2(exp2(exp2(exp zzzyyyxxx vkTMvfvkT

MvfvkTMvf −=−=−=

La fonction ( )zyx vvvf ++ et chacune

des fonctions élémentaires dont elle est le produit sont appelées « distribution maxwellienne des vitesses » ou distribution de Maxwell-Boltzmann (Figure 18). Chacune des fonctions élémentaires normalisées s’exprime de façon analogue à :

( ) ( ) ( 221

2(exp2 xx vkTM

kTMv −=Φ π ) (31)

La représentation de φ(vx) est une gaussienne ; par définition elle est normalisée.

( )212MkT− ( )212

MkT

( )212 kTMπ

Φ

( )212MkT− ( )212

MkT

( )212 kTMπ

Φ ( )212 kTMπ

Φ

Figure 18 : Représentation Gaussienne de la fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann.



2°) Distribution des énergies

Des fonctions précédentes, d’après la relation (31), il est possible de déduire la fonction de distribution des énergies. Pour cela, nous calculons la probabilité de trouver la molécule (ou la particule) dont les vitesses sont comprises entre v et v + dv (module de la vitesse qui comporte trois composantes). L’élément de volume correspondant dans une représentation polaire est 4πv2dv. La probabilité d’avoir la particule dans cet élément de volume correspond au produit de ce volume par la fonction de distribution.

vy

vx

vz

v

vy

vx

vz

v

Figure 19 : Elément de volume des vitesses dont le module est compris entre v et v + dv.

( ) ( )dvvfdvvvvvfdP zyx .4. 2 =++= π

avec

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= 222

3222

3

211exp2

2(exp4.2 MvkTvkTMvkT

MvkTMvf πππ

Comme 221MvEC = dEMdvv 1. = et dEM

EMdvv 21.2 =

( ) ( ) ( ) ( )dEkTE

ME

MkTMdEEgdP .exp212. 2

123

−== π

d’où

( ) ( ) ( ) ( kTEE

kTEg −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= exp42 2

121

3ππ ) (32)

)( Eg

NdE

dN =kT21

kT41

kT kT23 kT2

CE

cinE0

particules

N

dN

dE

)( EgNdEdN =

kT21

kT41

kT kT23 kT2

CE

cinE0

particules

N

dN

dE

La fonction g(E) est appelée distribution de Maxwell ou distribution de Maxwell modifiée. Sa représentation est donnée figure 20. La fonction asymptotique est en exponentielle. A partir de g(E) nous pouvons calculer le nombre de molécules ou particules ayant leur énergie comprise entre E et E + dE, que nous appelons dN :

( ) dENEgdN ..=

où N est le nombre total de molécules.

Figure 20 : représentation de g(E), fonction de distribution de Maxwell modifiée



Remarque : g(E) = 0 pour E = 0 et g(E)° tend vers 0 quand E tend vers l’infini ; en effet, le terme en exponentiel

l’emporte largement sur le terme polynomial quand l’énergie E devient suffisamment grande. Si nous calculons la

valeur moyenne de EC par intégration de E.g(E) sur l’ensemble du domaine, nous retrouvons 3/2 kT.

3°) Conclusion

Tout système de particules : - comprenant un très grand nombre de particules indépendantes, - pour lequel les particules peuvent prendre toutes les énergies (de 0 à l’infini), - où la température est constante et uniforme, - non soumis à des forces extérieures (influence négligeable),

possède une distribution d’énergie cinétique de type Maxwell.

IV Fonction de distribution de Fermi-Dirac

1°) Statistique de Fermi-Dirac

Dans un solide ou dans un cristal, les électrons des couches externes des atomes peuvent se mouvoir relativement librement dans tout le volume. Nous pouvons alors les traiter comme constituant un gaz d’électrons libres enfermés dans une boîte que nous pouvons supposer cubique de volume V = L3. Le mouvement des électrons est soumis à deux lois :

- le caractère ondulatoire, qui réduit le nombre de niveaux d’énergie dans le domaine quelconque situé entre E et E + ∆E (quantification de l’énergie),

- le principe d’exclusion de Pauli, qui réduit à 2 le nombre maximal d’électrons par niveau d’énergie permis (électrons de spin différent).

a) Calcul du nombre d’états d’énergie dans le cristal A partir de la résolution de l’équation de Schrödinger dans un cube d’arrête L pour un électron,

nous trouvons l’expression de sa fonction d’onde par (cf. Cours Mécanique Quantique, O.

Bonnaud) : ( ) ( ) ( )tEizLnyL

nxLn

Ltxh

−= exp.sin.sin.sin2, 32

πππψ

avec ( ) 2

22222

2mLqpnEhπ

++= et 22222 2

hmEkkkk zyx =++=

Le terme en ( ) 32

2L provient de la

normalisation de la fonction d’onde. A partir de cette expression, nous pouvons calculer le nombre de niveaux d’énergie possibles dans le volume élémentaire correspondant à une variation dk de k. Cela revient à chercher le nombre de niveaux d’énergie comprise entre E et E + dE.

ky

kx

kz

k

ky

kx

kz

k

Figure 21 : Etats disponibles dans l’espace des phases (ou des k) liés à la quantification de l’énergie. Chaque incrément des composantes de k est π/L



Le nombre de valeurs de k est déduit du huitième de volume de la sphère de rayon k (Figure 21).

( ) ( ) ( ) ( )33 /34

81

Lkkn ππ= qui est égal au rapport du volume de la sphère de rayon k divisé par le

volume occupé par une seule valeur de k ; deux valeurs successives de k diffèrent de π/L sur l’une de ses composantes kx, ky ou kz. C’est à dire :

( ) ( ) ( ) ( )EnmELk

Lkn =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛==

23

22

33

2

3 261

61

hππ

Calculons la densité d’états pour laquelle correspondant au nombre d’états dont l’énergie est comprise entre E et E + dE, par unité de volume :

( ) ( ) ( ) ( ) 3212

3

22

33

2

31

232

61

61

LEmLk

LdEd

dEEdnEs ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

hππρ

( ) 212

3

222

41 EmEs ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

hπρ

Ces états sont occupés par des électrons qui peuvent avoir deux spins différents. La densité d’états électroniques est ainsi :

( ) 212

3

222

21 EmE ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

hπρ (33)

b) Calcul de la probabilité a(E) Nous calculons ici la probabilité a(E) pour qu’un niveau d’énergie E soit occupé par un électron.

Les électrons libres subissent des chocs avec l’ensemble des particules lourdes constituant le réseau cristallin qui ont une énergie d’oscillation autour d’une position d’équilibre ; cette énergie d’oscillation traduit l’énergie d’agitation thermique pour ces atomes du réseau.

Les énergies pour les atomes du réseau sont considérées non quantifiées et l’occupation de ces niveaux obéit à la loi de Boltzmann par analogie aux molécules d’un gaz (relation (30)).

)1(exp.)( EkTBEb −=

Le principe d’exclusion de Pauli ne s’applique pas dans ce cas. En revanche, pour un électron la probabilité d’occupation d’un niveau d’énergie E, que nous noterons a(E), et le transfert à un autre niveau doit tenir compte de la probabilité de non-occupation du niveau à atteindre. Cette probabilité de non-occupation se note tout simplement 1 – a(E).

Considérons une collision entre un électron et le réseau faisant passer l’électron de l’énergie E1 à E’1 et l’atome de l’énergie E2 à E’2.

)','(),( 2121 EEEE →

La conservation de l’énergie nous permet d’écrire :

2121 '' EEEE +=+

En appelant p le nombre de collisions correspondant à ce transfert d’énergies, p est proportionnel à :



- la probabilité pour l’électron d’occuper le niveau d’énergie E1, a(E1), - la probabilité que le niveau E’1 ne soit pas occupé par un électron, 1 – a(E’1), - la probabilité que l’atome se trouve au niveau d’énergie E2, b(E2).

D’où (34) ( ) )(.)'(1).(. 211 EbEaEacp −=

Pour la transition inverse, ),()','( 2121 EEEE →

p’, le nombre de collisions s’exprime par : ( ) )'(.)(1).'(.' 211 EbEaEacp −= (35)

Pour les mêmes raisons que celles évoquées précédemment, les transitions directes et inverses se compensent et des relations (34) et (35) nous déduisons :

( ) ( ))'(1)'().'(

)(1)().(

1

21

1

21

EaEbEa

EaEbEa

−=

− ou encore ( ) ( ) ( ) ( )kT

EEa

EakTE

EaEa 2

1

12

1

1 'exp)'(1

)'(exp)(1

)( −−

=−−

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−=

− kTEE

EaEa

EaEa 22

1

1

1

1'

exp)'(1

)'()(1

)(

Mais d’après la conservation de l’énergie :

1122 '' EEEE −=−

( ) ( ) ( ) ( )kTE

EaEa

kTE

EaEa 1

1

11

1

1 'exp)'(1

)'(exp)(1

)( +−

=+−

Les expressions ci-dessus doivent être valables quelles que soient les énergies E1 et E’1 pour une température donnée. La forme proposée est donc constante. Cette constante peut se mettre par

commodité sous la forme : )(exp kTEA F−=

EF est appelé niveau d’énergie de Fermi. Nous donnerons des notions plus physiques de ce niveau dans la suite.

( ) ( ) ( )kTE

kTE

EaEa F+=+

−expexp

)(1).(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=

kTEE

EaF

exp1

1)( (36)

2°) Distribution de Fermi-Dirac

Pour obtenir la fonction de distribution des électrons, il faut multiplier le nombre d’états possibles par la probabilité d’occupation de ces états.

( ) dEEgEadEEdN ).()(.. == ρ

( ) dE

kTEE

EmdEEgdNF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

exp1

122

1. 212

3

22 hπ



( ) ( ) ( ) ( )23

212

3

2

2

2 ..

exp1

1.22

21. kTkT

dE

kTEEkT

Eh

mdEEgdN

F

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

ππ

( ) ( ) kTdE

kTEEkT

EmkThdNF

.exp1

1.224 2

123

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

= π

Le nombre d’électrons par unité de volume, dN ayant leur énergie comprise entre E et E + dE est donné par la fonction g(E). La distribution correspondante est appelée distribution de Fermi-Dirac. La constante EF est déterminée par la condition de normalisation.

( ) NdEEgdN == ∫∫∞

.0

avec N , le nombre total d’électrons libres par unité de volume (densité électronique qui sera plus tard exprimée en cm-3).

Le calcul de l’intégrale dans le cas général est complexe mais nous pouvons analyser la cas simple d’un métal à T = 0K . Dans ce cas limite,

Si E < EF alors a(E) = 1 et si E > EF alors a(E) = 0

Ainsi, ( ) ( ) ( )32221

023

3 83.2.22

4π

π Nm

hEdEkTEmhN F

FF =⇒= ∫ (37)

3°) Allure de la fonction de Fermi-Dirac

Nous allons représenter a(E) à différentes températures. Cette représentation sera d’une grande importance dans la suite d’une part pour bien comprendre le phénomène mais aussi pour pouvoir effecteur des approximations qui simplifieront grandement les calculs.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=

kTEE

EaF

exp1

1)(

0K

T2>T1T1

EEF

1

1/2

0

a(E)

0K

T2>T1T1

EEF

1

1/2

0

a(E)

Pour T ≈ O, a(E) = 1 si E<EF

a(E) = 0 si E>EF

Pour T ≠ O, a(EF) = 1/2 La courbe varie très fortement autour de EF. si E - EF < -3kT, a(E) ≈ 1 si E - EF > +3kT, a(E) ≈ 0 en se rappelant que kT = 26 meV à 300K.

Figure 22 : Représentation de la fonction de Fermi. La variation de la fonction se produit essentiellement autour de la valeur de EF.

Ainsi, EF traduit un niveau de remplissage par les électrons des différents niveaux d’énergie accessibles. Une notion de ce niveau est donnée par celle d’un niveau d’eau dans un récipient pour lequel le liquide se trouve presque à coup sûr au dessous-du niveau. S’il y a des vaguelettes à l’interface air-eau, qui traduiraient une agitation thermique, la probabilité de présence passe progressivement de 1 à 0.

Représentons maintenant de façon approchée cette fonction lorsque |E - EF| » kT



1expexp

1)( <<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=≈⇒>>− kT

EE

kTEE

EakTEEF

FF (38)

Cette courbe montre que pour des valeurs élevées de l’énergie situées au dessus de EF, la probabilité d’occupation de Fermi se ramène à celle de Boltzmann. Dans l’autre situation :

1expexp1

exp)(1 <<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=≈−⇒>>− kTEE

kTEE

kTEE

EakTEEF

F

F

F (39)

a(E)

EEF

1

1/2

0

Boltzmann⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −− kT

EE Fexp1 - a(E)

EEF

1

1/2

0


⎝⎛ −

kTEE Fexp

1 - a(E)

EEF

1

1/2

0


⎝⎛ −

kTEE Fexp

Figure 23 : approximation de Boltzmann pour des énergies supérieures à celle du niveau de Fermi.

Figure 24 : approximation de Boltzmann pour des énergies inférieures à celle du niveau de Fermi.

Dans la suite, nous essayerons au maximum de simplifier les calculs à partir de ces approximations, l’intégration mettant en oeuvre la relation (36) aboutissant à des fonctions tabulées. Les lois étant exponentielles, il suffira de quelques kT d’écart dans les énergies pour pouvoir appliquer avec une précision suffisante ces approximations.




Chapitre 4 Introduction à la physique du semiconducteur

O. Bonnaud, Physique des semiconducteurs et dispositifs, juin 2003 31

CHAPITRE IV

INTRODUCTION A LA PHYSIQUE DU SEMICONDUCTEUR

I Bandes d’énergie

1°) Semiconducteur parfait à T=0K

Nous avons vu que dans un cristal périodique parfait, que nous appellerons aussi monocristal, les électrons ne pouvaient occuper que certains niveaux d’énergie. Dans le cas d’un cristal périodique indéfini, les niveaux d’énergie accessibles sont regroupés en bandes d’énergie. Les niveaux de plus basse énergie (les énergies sont négatives) correspondent à des électrons fortement liés aux atomes du réseau cristallin, ces niveaux s’appellent aussi niveaux de cœur. Pour déplacer ces électrons (arracher à l’atome) il faudra leur fournir une énergie suffisamment forte, par exemple en envoyant des photons X. En pratique, nous nous intéresserons aux niveaux électroniques permettant un transfert relativement facile des électrons dans le matériau, c’est-à-dire aux niveaux d’énergie correspondant aux couches (ou bandes) externes ne nécessitant qu’un relativement faible échange énergétique (de l’ordre de grandeur de l’électron-volt). Ces couches externes constituent, soit la bande de valence, les électrons sont mis en commun avec ceux des atomes voisins pour constituer les liaisons chimiques, soit la bande de conduction ; dans ce dernier cas, les électrons sont liés au matériau mais pas à un atome particulier et peuvent circuler aisément à travers l’ensemble du réseau cristallin.

Dans le cas où la liaison chimique entre atomes, à 0K, mettrait en jeu tous les électrons disponibles, à T= 0K il n’y a pas d’apport d’énergie sous forme thermique permettant à un électron de quitter son état lié, tous les électrons de la couche périphérique sont donc dans la bande de valence et donc dans un état lié. C’est le cas des matériaux constitués à partir des éléments de la colonne IV du tableau de classification périodique des éléments de Mendéléev tel que le silicium.

Octet

Électrons liés

Noyau

Octet

Électrons liés

Noyau

Figure 25 : Représentation simplifiée coplanaire du remplissage des couches électroniques externes dans le cas d’un matériau cristallin covalent (colonne IV du tableau de Mendéléev).



De façon simplifiée, nous pouvons donner une image de la structure par une représentation coplanaire comme proposée figure 1, sachant qu’elle est en générale tridimensionnelle et dans ce cas tétraédrique.

Dans cette représentation, les atomes mettent en jeu pour chacun d’entre eux, quatre électrons de leur couche périphérique pour former un octet, structure électronique la plus stable. Dans ce cas, le diagramme d’énergie à l’aspect représenté figure 26, la bande de valence étant complètement pleine et la bande de conduction complètement vide ; tous les électrons sont impliqués dans les liaisons chimiques.

Éner

gie

Densité d’états d’énergie

Bande de conduction

Bande de valence

Niveaux de cœur

vide00

Éner

gie


Bande de conduction

Bande de valence

Niveaux de cœur

vide00

Figure 26 : Diagramme d’énergie simplifié d’un matériau cristallin formé d’éléments de la colonne IV, à 0K. Les énergies sont négatives.

On obtient ce même type de diagramme d’énergie pour des matériaux constitués de façon stœchiométrique à partir d’éléments de la colonne III et de la colonne V du tableau de Mendéléev ou de la colonne II et de la colonne VI. Il s’agit par exemple de GaAs, InP, CdS, ZnS, CdTe, etc… Puisque ces matériaux à T = 0K n’ont aucun électron disponible pour circuler dans le cristal, ces matériaux sont isolants.

Si la distance énergétique entre la bande de valence et la bande de conduction n’est pas trop grande, par excitation thermique (apport d’énergie) certains électrons pourront quitter la bande de valence et passer dans la bande de conduction, et donc participer à la conduction du matériau. Ces électrons quittent un état lié pour passer dans un état dit quasi-libre (les électrons restent à l’intérieur du matériau). Le matériau sera appelé semiconducteur si le gap, ou la distance énergétique entre la bas de la bande de conduction et le sommet de la bande de valence, n’est pas trop grand, c’est-à-dire inférieur à 2,5eV. C’est le cas des matériaux Ge, Si, GaAs, InP. Si le Gap est supérieur à 2,5eV, le matériau est considéré électriquement isolant.

En conclusion, le semiconducteur sera un matériau isolant à 0K mais qui pourra conduire à des températures voisines de la température ambiante.

2°) Statistique de remplissage des niveaux d’énergie

Lorsque l’on élève la température du matériau cristallin, en particulier du semiconducteur, on donne statistiquement une énergie cinétique aux électrons. Certains électrons peuvent quitter leur état lié et se déplacer dans le cristal. Ces électrons peuvent alors avoir des interactions avec les atomes du réseau. On crée ainsi des collisions entre les électrons et les atomes du réseau cristallin.



Pour connaître la distribution des états énergétiques des électrons, il faut analyser l’effet de ces collisions.

a) statistique de Fermi-Dirac Comme cela a été vu dans les chapitres précédents, nous allons rappeler la probabilité pour un

électron d’occuper un niveau d’énergie E. En considérant la statistique de collision entre les électrons et les atomes, en supposant qu’à

l’équilibre thermodynamique le processus direct, départ d’un électron de la bande de valence, vers la bande de conduction, est égal au processus inverse, retour de la bande de conduction vers la bande valence, et en tenant compte du fait que les électrons sont des Fermions qui obéissent au Principe d’exclusion de Pauli, nous avons démontré au chapitre III que la statistique de transfert s’exprime par :

( )kTEE

EfF−+

=exp1

1)( (36)

dans laquelle E est le niveau d’énergie considéré, EF est le niveau particulier appelé niveau de Fermi. EF correspond au niveau statistique moyen occupé à l’équilibre thermodynamique par l’ensemble des porteurs. La représentation de f(E) est celle donnée par la figure 27 (figure 22 du chapitre III). Si la température décroît, la variation autour de EF est d’autant plus abrupte. f(E) tend très rapidement vers 1 pour les énergies inférieures à EF et très rapidement vers 0 pour les énergies supérieures à EF. Notons que si E = EF, f(E) = 1/2

0K

T2>T1T1

EEF

1

1/2

0

f(E)

0K

T2>T1T1

EEF

1

1/2

0

f(E)

Figure 27 : Statistique de Fermi-Dirac : variations de f(E) en fonction de E pour différentes températures. A 0K, la fonction est en escalier.

b) Approximation de Maxwell-Boltzmann Nous verrons dans la suite que pour faire des calculs analytiques il est nécessaire de faire des

approximations de la fonction de Fermi que nous rappelons ici. Analysons le terme en kT

EE F− ;

Si > qq kT, FEE− ( kTEE F−exp ) >>1, ( ) ( ) ( )kT

EE

kTEE

kTEEEf F

FF−−≈−≈−+

= expexp

1exp1

1)( (38)

Si > qq kT, EEF− ( kTEE F−exp ) << 1, ( ) ( )kT

EE

kTEEEf F

F−−≈−+

= exp1exp1

1)( (39)



On voit ainsi que dès que la différence énergétique est de quelques kT par rapport à EF, la fonction de Fermi tend vers 0 ou vers 1 très rapidement puisque exponentiellement.

En première approximation (grossière), on dira que tous les niveaux d’énergie situés au-dessous du niveau de Fermi sont remplis alors que tous ceux au-dessus sont vides. Mais attention, une variation même apparemment très faible de la quantité de porteurs libres peut complètement changer le comportement électrique du matériau considéré. Il faudra donc connaître parfaitement le nombre absolu d’électrons dans les couches et leur variation relative pour appréhender les phénomènes de conduction.

3°) Semiconducteur à une température T≠0

L’acquisition d’énergie thermique permet à certains électrons de peupler des niveaux d’énergie supérieurs au niveau de Fermi au détriment des niveaux inférieurs. Dans le cas d’un matériau isolant à T = 0K, cette modification peut apporter une grande différence de comportement.

Considérons les deux bandes de valence et de conduction et considérons que le niveau de Fermi, EF, qui sera calculé plus tard, se situe à l’intérieur de la bande interdite du matériau. La figure 28 montre comment un électron quittant la bande de valence peut atteindre la bande de conduction en respectant la statistique de remplissage des niveaux énergétiques. On crée simultanément un déficit dans la bande de valence et un excès dans la bande de conduction. Les électrons situés à cette température dans la bande de conduction peuvent participer à la conduction du matériau ; dans la suite nous verrons que le déficit en électrons dans la bande de valence peut aussi contribuer à des phénomènes de conduction.

Transfert d’un électron

E

EF

11/20 f(E)

E


Bande de valence

Bande de conduction

déficit

EC

EV

apport

Transfert d’un électron

E

EF

11/20 f(E)

E


Bande de valence

Bande de conduction

déficit

EC

EV

apport

Figure 28 : Influence de la température sur la distribution des électrons dans les bandes de valence et de conduction. Les électrons ayant quitté la bande de valence, et donc leur état lié, atteignent la bande de conduction.

Si la distance énergétique Eg = Ec – Ev est grande (EC représentant le bas de la bande de conduction et EV le sommet de la bande de valence), la variation du nombre d’électrons dans la bande de conduction décroissant exponentiellement en fonction de la largeur de la bande interdite, le nombre des électrons dans cette bande de conduction restera négligeable et le matériau restera



isolant même à la température ambiante. Par contre, si Eg est inférieur à 2,5 eV, le nombre de porteurs de charge n’est plus vraiment négligeable et le matériau devient semiconducteur.

II Porteurs de charge

1°) Notion de trous

L’agitation thermique a créé un déficit d’électrons dans la bande de valence. En réalité, cette absence d’électrons va permettre un mécanisme de conduction au niveau de la bande de valence. En effet, un électron de cette bande va pouvoir se déplacer vers un emplacement libéré par un électron voisin qui est parti vers la bande de conduction. On peut aussi dire que l’électron qui est parti vers la bande de conduction a laissé une vacance ou lacune d’électron derrière lui, cette lacune pouvant être occupée par un électron de valence voisin, situé donc dans la même bande d’énergie. Cet électron de la bande de valence venant occuper la lacune a lui-même laissé derrière lui une lacune en faisant disparaître la première. Un nouvel électron de valence peut venir occuper cette nouvelle lacune et ainsi de suite. La figure 29 donne une idée du mécanisme mis en jeu. On retrouve un mécanisme similaire à celui des pièces d’un jeu de taquin ou « pousse-pousse ». On peut noter que si les électrons se déplacent de la droite vers la gauche, les lacunes se déplacent de la gauche vers la droite, c’est-à-dire dans le sens inverse.

+lacune initiale

lacune intermédiaire

lacune actuelle

déplacement global de la lacune

e-

e-

déplacement global des électrons

charge positive1

2+

lacune initiale

lacune intermédiaire

lacune actuelle

déplacement global de la lacune

e-

e-

déplacement global des électrons

charge positive1

2

Figure 29 : Représentation symbolique du mécanisme de déplacement des électrons dans la bande de valence. C’est en pratique un déplacement de lacunes d’électrons. Le premier électron a laissé sa place qui est prise par le second.

En faisant le bilan, cela revient à avoir déplacé la lacune d’électron. L’absence d’électron dans la bande de valence va s’appeler un trou et le phénomène s’appeler conduction par trous. En effet, sous l’action d’un champ électrique extérieur, l’électron va se déplacer dans le sens inverse du champ électrique. Ainsi, dans la bande de conduction, les électrons « remontent » le champ électrique. Dans la bande de valence, le matériau étant globalement neutre, l’absence d’un électron confère à la zone de départ (environnement de la lacune) une charge équivalent positive qui provient de la non-compensation de la charge du noyau due aux protons. Sous l’action du champ électrique, les électrons liés vont avoir tendance à se déplacer dans le sens de la remontée du champ électrique, en laissant derrière eux une charge positive correspondant à la lacune. Ainsi, les lacunes vont se déplacer dans le sens du champ et correspondent donc au déplacement d’une charge positive dans le même sens que le champ électrique.



En conclusion, la conduction par champ électrique dans le matériau pourra se faire à deux niveaux :

- pour les électrons de la bande de conduction qui remontent le champ électrique appliqué, - par les trous de la bande de valence qui se déplacent dans le même sens que le champ

électrique. Notons que du fait que les charges équivalentes sont de signe opposé, les courants équivalents

résultants seront dans le même sens en s’ajoutant. La figure 6 décrit très simplement ce phénomène.

+

e-Bande de conduction

Bande de valence

Jn

Jp

Champ électrique

déplacement

déplacement+

e-Bande de conduction

Bande de valence

Jn

Jp

Champ électrique

déplacement

déplacement

Figure 30 : Représentation symbolique du mécanisme de conduction dans les bandes de valence et de conduction. Les densités de courant résultantes sont dans le même sens.

2°) Masse effective des porteurs de charge

Les électrons ou les trous qui participent à la conduction doivent se déplacer dans le matériau. Intuitivement, le déplacement dans le matériau ne pourra se faire de la même façon que dans le vide en raison de l’interaction des porteurs avec les différents atomes constituant le réseau cristallin. Il apparaît aussi intuitif que suivant les directions de déplacement à l’intérieur du cristal les interactions seront différentes (pas la même périodicité des atomes par exemple) et donc que le comportement électrique sera différent. En réalité, ce phénomène a déjà été abordé dans le chapitre II (Electron dans un cristal), si l’on analyse le diagramme d’énergie dans l’espace des phases (vecteurs d’onde ou réseau réciproque). De façon habituelle, à partir de la résolution de l’équation de Schrödinger, les variables relatives aux vecteurs d’onde s’expriment par :

⇒=2

2hmEk 2

2

2 kmEh

= .

En considérant m constant, mkE 2

2

2 h=

∂

∂ et la masse m peut s’exprimer par :

22

2

/ kEm

∂∂=

h (40)

Si on analyse le bas de la bande de conduction, la concavité est orientée vers le haut, c’est-à-dire

que 2

2

kE

∂

∂ est positif. Ainsi, m est positif et dépend du rayon de courbure de la courbe E(k) au point

considéré. Suivant l’axe cristallographique considéré, la forme de la courbe est différente, la courbure aussi et donc m pourra varier. La figure 31 donne un exemple de diagramme de phase pour le silicium. Les courbures peuvent être différentes et les masses effectives associées aussi.



Si on analyse le sommet de la bande de valence, 2

2

kE

∂

∂ est négatif et la masse effective calculée

de l’électron est alors négative. En réalité, il faut corriger ce propos en se rappelant le principe fondamental de la dynamique : Fext=qζ=mγ. Changer le signe de m revient tout simplement à changer le signe de la charge électrique ; autrement dit, le déplacement d’un électron au sommet de la bande de valence, correspond au déplacement d’une charge positive de masse effective dépendant de l’orientation cristallographique du déplacement.

E

L XΓ<111> <100>

+ + + ++ + + +

- - - -- - - -

Eg

Vecteurs d’onde

Silicium

trous lourds

trous légers

électrons de conduction

E

L XΓ<111> <100>

+ + + ++ + + +

- - - -- - - -

Eg

Vecteurs d’onde

Silicium

trous lourds

trous légers

électrons de conduction

Figure 31 : Représentation schématique du diagramme des phases pour le silicium. On peut remarquer que suivant les orientations cristallographiques, les concavités sont différentes et donc les masses effectives. Dans le cas du silicium, le gap, Eg est indirect, c’est-à-dire que le bas de la bande de conduction et le sommet de la bande de valence ne coïncident pas (d’après Chelikowski and Cohen).

Dans le silicium, pour un déplacement des charges électrons et trous dans la direction <111>, la masse de l’électron au repos étant me, les masses effectives sont les suivantes :

- électrons : m*n = 0,9 me,

- trous : m*p = 0,5 me,

3°) Concentrations des porteurs quasi-libres dans les bandes d’énergie. Densités d’états électroniques.

Dans le cas de l’approximation parabolique des courbes E(k) au voisinage des extrema, c’est-à-dire au minimum de la bande de conduction et au maximum de la bande de valence, les densités d’états énergétiques (densité d’électrons ou de trous) ont déjà été calculées dans le cours de mécanique quantique et s’expriment par les relations suivantes :



B.C. ( ) dEEEmEdN CC

C2/1

2/3

2

*

22

21)( −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hπ (41)

B.V. ( ) dEEEmEdN VV

V2/1

2/3

2

*

22

21)( −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hπ (42)

en se rappelant que l’on a fait un changement d’origine pour les énergies, EC pour la bande de conduction et EV pour la bande de valence, et que le nombre total de places disponibles pour les électrons dans les bandes tient compte du fait que sur un même niveau d’énergie on peut placer deux électrons de spin différents.

Ces densités d’états énergétiques correspondent au nombre total de places disponibles dans chacune des bandes par unité de volume et par niveau d’énergie. Pour connaître le nombre effectif de porteurs qui occuperont les bandes, il faut tenir compte de la probabilité d’occupation de ces niveaux par les porteurs.

a) Cas de la bande de conduction Ainsi, pour la bande de conduction, on peut calculer la concentration en électrons (nombre

d’électrons par unité de volume exprimé en général en cm-3) ;

dEEfENn

CEC .)().(∫

∞=

où f(E) est la fonction de distribution de Fermi.

( ) ( ) dEkT

EEEEmnF

E

CC

C

−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞

exp112

21 2/1

2/3

2

*

2 hπ

Comme dans l’intégration, E>EC et qu’en général EV<EF<EC, on peut simplifier f(E) sous la forme :

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−−≈−≈−+

= kTEE

kTEE

kTEE

kTEE

kTEEEf FCCF

FFexp.expexp

exp1

exp11)(

ce qui donne pour n :

( ) dEkTEEEEkT

EEmn C

E

CFCC

C

.expexp2.21 2/1

2/3

2

*

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞

hπ

( ) )(.expexp2.21 2/1

2/3

2

*

2 CC

E

CFCC EEdkT

EEEEkTEEmn

C

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞

hπ

Remarque : sans la simplification de f(E), la résolution aboutit sur des fonctions elliptiques de Fermi qui ne sont pas

intégrables analytiquement et qui sont tabulées. La démonstration est alors beaucoup plus complexe. C’est ce qui se

passera quand les simplifications ne seront plus acceptables, par exemple lorsque EF devient égal ou supérieur à EC.



En posant kTEEx C−= avec x=0 pour E=EC, l’équation ci-dessus devient :

( ) ( )dxxxkTkTEEmn FCC .expexp2.2

10

2/12/32/3

2

*

2 −⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞

hπ

L’intégrale peut aussi s’écrire : ( ) ( )duuuduuuuI .exp.2.2.exp. 2

0

22

0−=−= ∫∫

∞∞

On peut remarquer que cette dernière intégrale est aussi le résultat de l’intégration par partie de :

( ) 2.exp 2

0

π=−= ∫∞

duuI

En remplaçant ce résultat dans l’expression de n on obtient :

( ) 2exp2.21 2/3

2/3

2

*

2π

π kTkTEEmn FCC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= kT

EEkTmn FCC exp2.22/3

2

*

hπ

Expression que l’on note aussi sous la forme :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅= kT

EENn FCC exp (43)

avec NC correspondant au nombre total de place par unité de volume effectivement occupées par les électrons au niveau d’énergie équivalent EC. NC est appelé densité d’états électroniques dans la bande de conduction et s’exprime donc par :

2/3

2

*

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hπC

CkTmN (44)

b) Cas de la bande de valence Nous allons nous intéresser au nombre de trous dans cette bande d’énergie, puisque nous avons

vu que les porteurs de charges utiles pour la conduction étaient les trous dans cette bande. Or les trous correspondent, comme nous l’avons vu, à une absence d’électrons. Nous allons donc considérer la probabilité de non-occupation d’un état énergétique par un électron pour déterminer la probabilité de présence d’un trou.

La probabilité de non-occupation correspond au complément à 1 de la probabilité d’occupation. Ainsi, nous pouvons exprimer la densité de trous dans le matériau, p, par :

dEEfENpVE

V .))(1).((∫∞−

−=

( ) ( ) dEkT

EEEEmpF

E

VV

V

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞− exp1112.2

1 2/12/3

2

*

2 hπ



Comme dans l’intégration, E < EV et qu’en général EV < EF < EC, on peut simplifier f(E) sous la forme :

( ) ( )kTEE

kTEE

Ef F

F

−−≈−+

= exp1exp1

1)(

et donc

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−≈− kT

EEkT

EEkT

EEEf VFVF expexpexp)(1

En remplaçant 1-f(E) par son expression ainsi que NV(E) nous obtenons :

( ) dEkTEE

EEkTEEmp V

E

VVFV

V

.expexp2.21 2/1

2/3

2

*

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞−hπ

En menant le calcul de la même façon que pour n, nous déduisons l’expression de p, après le

changement de variable : kTEEx V −−=

( ) ( )dxxxkTkTEEmp VFV .expexp2.2

10

2/12/32/3

2

*

2 −⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

∞

hπ

Nous retrouvons ainsi exactement la même intégrale que précédemment, et donc nous arrivons au résultat suivant :

( ) 2exp22

1 2/32/3

2

*

2π

π kTkTEEmp VFV ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= kT

EEkTmp VFV exp222/3

2

*

hπ

Expression que l’on note aussi sous la forme :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅= kT

EENp VFV exp (45)

avec NV correspondant au nombre total de places par unité de volume effectivement occupées par les trous au niveau d’énergie équivalent EV. NV est appelé densité d’états électroniques dans la bande de valence et s’exprime donc par :

2/3

2

*

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hπV

VkTmN (46)

On peut remarquer que les densités d’états électroniques dans les bandes ne dépendent que de la température et de la masse effective des porteurs électrons ou trous. Comme ces masses effectives ont toujours le même ordre de grandeur, cela signifie que NC et NV seront toujours du même ordre de grandeur à une température donnée quel que soit le matériau semiconducteur. En pratique, ces densités d’états on une valeur de quelques 1019cm-3 à 300K. Remarque : il ne faut pas confondre densités d’états énergétiques et densités d’états électroniques, ces dernières tenant

compte de l’occupation des niveaux d’énergie par les électrons.



4°) Concentration intrinsèque et niveau de Fermi à l’équilibre thermodynamique

Dans le matériau semiconducteur à une température non nulle, on peut considérer la création de porteurs électrons et trous comme le résultat de la réaction chimique :

e- + h+ ⇔ 0 qui peut donc se produire dans les deux sens, c’est-à-dire création d’une paire électron-trou ou disparition d’une telle paire.

Comme pour toute réaction chimique, on peut associer à cette réaction, une constante d’équilibre, K, mettant en jeu les concentrations des espèces, en l’occurrence, n et p :

K = n.p En remplaçant n et p par leur expression (5) et (7), nous obtenons :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= kT

EEkT

EENNK VFFCVC expexp

soit encore :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= kT

EENNK VCVC exp

Comme EC - EV est égal au gap du matériau, Eg, nous pouvons aussi exprimer K par :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= kT

ENNK gVC exp

Eg correspond dans ce cas à l’énergie de la réaction de création d’un électron et d’un trou (c’est-à-dire à la transition d’un électron lié de la bande de valence vers la bande de conduction).

a) Concentration intrinsèque Dans un semiconducteur parfait, pour T≠0, chaque fois qu’un électron part de la bande de

valence, et passe dans la bande de conduction, un trou apparaît dans la bande de valence. La quantité d’électrons est ainsi rigoureusement égale à la quantité de trous ; leur concentration commune est appelée concentration intrinsèque, ni. Le matériau est dit dans ce cas intrinsèque.

innp == (47)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==⋅= kT

ENNnnpK gVCi exp2 et donc 2

innp =⋅ (48)

Notons que cette relation reste toujours valable dans le matériau semiconducteur tant que celui-ci est à l’équilibre thermodynamique ; cette relation sera utilisée en permanence dans la suite. On peut donc exprimer la concentration intrinsèque par :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= kT

ENNn gVCi 2exp (49)

Dans cette relation on constate que la concentration intrinsèque dépend très fortement de la température. C’est la loi exponentielle qui l’emporte largement sachant que les densités d’états ne dépendent de la température qu’avec une puissance 3/2. Pour avoir des ordres de grandeur, dans le cas du silicium, à T = 0K, ni = 0 cm-3, à T = 300K, ni = 1,6.1010 cm-3 et à T = 1300K, ni = 2,5.1017 cm-3. Les variations sont donc très importantes ce qui explique le très grand



changement de comportement électrique de ces matériaux en fonction de la température. En pratique, dans les calculs, on utilise plus souvent le carré de la concentration intrinsèque, relation qu’il vaut mieux savoir en permanence et qui est la suivante :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= kT

ENNn gVCi exp2 (50)

b) Position du niveau de Fermi dans un matériau intrinsèque Pour déterminer la position du niveau de Fermi on repart des équations (43) et (45) donnant les

concentrations d’électrons et de trous :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅= kT

EENn FCC exp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅= kT

EENp VFV exp

puisque p = n, à partir de ces deux équations nous obtenons :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅ kT

EENkTEEN VF

VFC

C expexp

)2(1)(1ln FCVFCVFV

C EEEkTEEEEkTNN −+=−++−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ d’où

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

C

VCVF N

NkTEEE ln2 (51)

Ainsi, le niveau de Fermi intrinsèque

(correspondant au matériau intrinsèque), se trouve à peu près au milieu de la bande interdite du matériau, théoriquement au milieu à T = 0K. Pour T ≠ 0K, on peut déterminer le terme correctif à partir des expressions de NC et de NV (relations (44) et (46)).

E

EC

EV

EC + EV

2EF

E

EC

EV

EC + EV

2EC + EV

2EF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+=

*

*ln4

32 C

VCVF m

mkTEEE

Puisque k = 8,85.10-5 eV/K, à T = 300K, kT = 26meV. Pour le silicium, à 300K, Eg=1,12eV, et le rapport des masses effectives est de 0,55. Dans ce cas, EF = 560meV-11meV, ce qui est encore très proche du milieu de la bande interdite.

Figure 32 : position du niveau de Fermi intrinsèque dans un monocristal parfait. Il se situe approximativement au milieu de la bande interdite à température ambiante.

Il peut être noté que le niveau de fermi se trouve dans la bande interdite, c’est-à-dire à un niveau énergétique non accessible aux électrons. Le niveau de fermi traduit un niveau statistique et non pas un niveau effectivement occupé.



III Semiconducteur extrinsèque On peut modifier de façon considérable la concentration de porteurs de charge d’un

semiconducteur intrinsèque en lui ajoutant de faibles quantités d’atomes astucieusement choisis et que l’on appelle impuretés dopantes ou tout simplement dopants. On obtient alors un semiconducteur extrinsèque ou dopé.

Selon la nature des atomes introduits, soit le nombre d’électrons devient très supérieur au nombre de trous et le semiconducteur est appelé de type n, soit le nombre de trous devient très supérieur à celui des électrons et le semiconducteur est appelé de type p. Cette différence sera exploitée judicieusement dans la suite. Dans l’immédiat, nous allons expliquer le phénomène de dopage et ses conséquences sur le nombre d’électrons et de trous ainsi que sur la position du niveau de Fermi (niveau statistique moyen) dans le semiconducteur.

1°) Notion de dopage

Dans un cristal semiconducteur, il est possible d’introduire des atomes étrangers de valence 3 ou 5 par exemple (colonne III ou V du tableau de Mendéléev). Si tout va bien technologiquement (cf. cours de technologie microélectronique intégrée), les atomes vont prendre la place des atomes du réseau, c’est-à-dire se mettre en site substitutionnel comme représenté figures 9 et 10. Nous allons voir que cet apport va transformer considérablement l’état électronique du monocristal.

a) dopage de type n ou donneur Prenons le cas d’un atome de la colonne V, par exemple du phosphore. La couche externe de cet

atome comporte, a priori, 5 électrons, comme représenté figure 33. Inclus dans le réseau cristallin, cet atome va se retrouver avec 9 électrons sur sa couche externe. Dès que l’énergie thermique sera suffisante, cet électron va quitter son orbite pour circuler dans le cristal. Il rejoint dans ce cas la bande de conduction du cristal. Le noyau de l’atome de phosphore ayant une charge (due à ses protons) qui n’est plus compensée, cet atome va s’ioniser positivement. Cet atome a ainsi un comportement dopant et puisqu’il a fourni un électron au cristal (dans sa bande de conduction), on l’appelle atome donneur. Notons que la charge totale du cristal reste nulle, le cristal étant globalement neutre.

Electron libre

Atome dopantionisé positivement

Si Si Si

Si

SiSiSi

Si P + e-Octet

Electron libre

Atome dopantionisé positivement

Si Si Si

Si

SiSiSi

Si P + e-Octet

Figure 33 : Dopage d’un monocristal de silicium par un atome de phosphore. L’électron excédentaire autour de l’atome de phosphore, vis-à-vis de la situation la plus stable qu’est l’octet, quitte l’atome pour rejoindre la bande de conduction et ioniser l’atome positivement. On constitue un dopage donneur de type n.



Pour résumer, un atome dopant de type donneur : - donne un électron au réseau cristallin, - s’ionise positivement, - crée un dopage de type n.

b) dopage de type p ou accepteur Prenons le cas d’un atome de la colonne III, par exemple du bore. La couche externe de cet

atome comporte, a priori, 3 électrons, comme représenté figure 34. Inclus dans le réseau cristallin, cet atome va se retrouver avec 7 électrons sur sa couche externe. Dès que l’énergie thermique sera suffisante, un électron de valence voisin va quitter son orbite pour venir créer un octet autour de l’atome de bore. Il crée dans ce cas une lacune dans la bande de valence du cristal, c’est-à-dire qu’il crée un trou. Le noyau de l’atome de bore ayant une charge due à ses protons insuffisante, cet atome va s’ioniser négativement. Cet atome a ainsi un comportement dopant et puisqu’il a fourni un trou au cristal (dans sa bande de valence), on l’appelle atome accepteur, puisqu’il accepte un électron. Notons que la charge totale du cristal reste toujours nulle, le cristal étant globalement neutre.

trou libre


Si Si Si

Si

SiSiSi

SiB - e-

Octet

trou libre


Si Si Si

Si

SiSiSi

SiB - e-

Octet

Figure 34 : Dopage d’un monocristal de silicium par un atome de bore. L’électron déficitaire autour de l’atome de phosphore, vis-à-vis de la situation la plus stable qu’est l’octet, sera apporter par le réseau qui créera simultanément un trou. On constitue un dopage accepteur de type p.

Pour résumer, un atome dopant de type accepteur : - donne un trou au réseau cristallin, - s’ionise négativement, - crée un dopage de type p.

2°) Concentration des porteurs quasi-libres dans un semiconducteur dopé

a) concentration des atomes ionisés Dans le cas d’un atome donneur, à condition que la température soit « suffisamment » élevée

comme nous le verrons dans la suite, nous pouvons écrire la relation de dissociation suivante :

−+ +⇔ eDD

Du point de vue statistique, si cette réaction se produit facilement dans le matériau considéré, c’est que l’énergie d’ionisation de l’atome donneur est relativement faible. En d’autres termes, l’écart



énergétique entre un électron lié à l’atome donneur et ce même électron quasi-libre dans le cristal, c’est-à-dire situé dans le bas de la bande de conduction, sera relativement faible. On peut alors exprimer le nombre d’atomes ionisés ou plus exactement leur concentration, en fonction du nombre total d’atomes ou de leur concentration, ND, introduits dans le cristal. Cette concentration tient compte de la statistique d’occupation d’un niveau d’énergie par un fermion et des échanges possibles entre le niveau de l’électron lié et celui de la bande de conduction. Cette concentration d’atomes donneurs ionisés, ND

+ s’exprime par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=+

kTEE

NNDF

DD

exp21

1 (52)

ED est le niveau d’énergie donneur, c’est-à-dire le niveau d’énergie statistique auquel se trouve l’électron lié à l’atome dopant. Le facteur pré-exponentiel, 2, est appelé facteur de dégénérescence et provient du choix possible ou non de spins différents dans l’échange énergétique : dans le cas d’un départ de l’atome, le spin de l’électron peut être quelconque, alors que pour le retour, le spin est imposé par le nuage électronique existant.

Dans le cas d’un atome accepteur, nous pouvons mener un raisonnement analogue, et nous pouvons écrire la relation d’ionisation suivante :

−⇔+ − AeA

Du point de vue statistique, si cette réaction se produit facilement dans le matériau considéré, c’est que l’énergie d’ionisation de l’atome accepteur est relativement faible. En d’autres termes, l’écart énergétique entre un électron lié à l’atome accepteur et ce même électron lié au cristal de semiconducteur, c’est-à-dire situé au sommet de la bande de valence, sera relativement faible. On peut alors exprimer la concentration des atomes ionisés en fonction de la concentration totale d’atome dans le cristal, NA. Cette concentration tient compte de la statistique d’occupation d’un niveau d’énergie par un fermion et des échanges possibles entre le niveau de l’électron lié et celui de la bande de valence. Cette concentration d’atomes donneurs ionisés, NA

- s’exprime par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=−

kTEE

NNFA

AA

exp21

1 (53)

EA est le niveau d’énergie accepteur, c’est-à-dire le niveau d’énergie statistique auquel se trouve l’électron lié à l’atome dopant. Le facteur pré-exponentiel, 2, est toujours le facteur de dégénérescence et provient du choix possible ou non de spins différents dans l’échange énergétique.

b) cas d’un semiconducteur de type n Le semiconducteur est globalement neutre : la somme des charges positives est égale à celle des

charges négatives. En faisant le bilan des charges présentes, il n’y a que des électrons, des trous et des ions donneurs.



nnD npN =++ (54)

En raisonnant à température ambiante, si l’élément ajouté a effectivement le comportement de dopant, pratiquement tous les atomes de cet élément sont ionisés, c’est-à-dire ND

+ ≈ ND. Par ailleurs, nous avons vu que le produit p.n était toujours égal au carré de la concentration intrinsèque, ni

2, à l’équilibre thermodynamique. Nous avons donc :

2. inn nnp =

L’équation de neutralité devient :

nn

iD n

nnN =+

2

4847648476−+ eschesch argarg

d’où

0. 22 =−− inDn nnNn

équation qui admet une solution du type :

24 22

iDDn

nNNn

++= (55)

Ainsi, si ND>>ni alors : Dn Nn = et D

inNnp

2= (56)

Pour donner un exemple classique à 300K, on suppose une concentration de dopant de 1017cm-3, la concentration intrinsèque étant de 1,6 1010cm-3 et la concentration totale d’atomes de silicium étant de 5.1022cm-3 ; ce dernier calcul se fait à partir du nombre d’Avogadro, de la masse molaire et de la densité du silicium (2,7g/cm3). La concentration en électrons est alors de 1017cm-3 et la concentration en trous de 1,6.103cm-3. On voit bien dans ce cas que le décalage des concentrations est énorme puisque les électrons sont cent trillions de fois plus nombreux que les trous alors qu’ils étaient en quantité identique au départ. En conclusion, dans un semiconducteur de type n affirmé,

- les électrons sont majoritaires, - la concentration en électrons est pratiquement égale à la concentration de dopant, - les trous sont minoritaires.

c) cas d’un semiconducteur de type p Le semiconducteur est globalement neutre : la somme des charges positives est égale à celle des

charges négatives. En faisant le bilan des charges présentes, il n’y a que des électrons, des trous et des ions accepteurs.

ppA pnN =+− (57)

En raisonnant à température ambiante, si l’élément ajouté a effectivement le comportement de dopant, pratiquement tous les atomes de cet élément sont ionisés, c’est-à-dire NA

- ≈ NA. Par ailleurs,



nous avons vu que le produit p.n était toujours égal au carré de la concentration intrinsèque, ni2, à

l’équilibre thermodynamique. Nous avons donc :

2. inn nnp =

L’équation de neutralité devient :

pp

iA p

pnN =+

2

4847648476+− eschesch argarg

d’où 0. 22 =−− ipAp npNp

équation qui admet une solution du type :

24 22

iAAp

nNNp

++= (58)

Ainsi, si NA>>ni alors : Ap Np = et A

ipNnn

2= (59)

En conclusion, dans un semiconducteur de type p affirmé, - les trous sont majoritaires, - la concentration en trous est pratiquement égale à la concentration de dopant, - les électrons sont minoritaires.

d) cas général Dans le cas général, les deux types de dopants peuvent exister simultanément dans le matériau.

C’est en fait ce qui se passe en pratique pour des raisons purement technologiques. Le semiconducteur est toujours globalement neutre et la somme des charges positives est égale à celle des charges négatives. En faisant le bilan des charges présentes, il y a des électrons, des trous et des ions accepteurs et donneurs.

+− +=+ DA NpnN (60)

4847648476+− eschesch argarg

Le semiconducteur sera de type n ou de type p , si à la température considérée, la concentration en donneurs ionisés ou en accepteurs ionisés respectivement est la plus grande (le plus nombreux l’emporte).

Si ND>NA ( ) ( )

24 2

2

iADADn

nNNNNn

+−+−= (61)

Si NA>ND ( ) ( )

24 2

2

iDADAp

nNNNNp

+−+−= (62)

Nous pouvons remarquer que si les concentrations des donneurs et accepteurs sont identiques, le matériau à un comportement intrinsèque. Si mathématiquement ce résultat est facilement



Il faut se rappeler qu’à 300K, kT=26meV, et que le niveau de Fermi se décale donc de 60meV chaque fois que le dopage est multiplié par 10 (nous dirons que la variation est de 60meV par décade).

d’où l’on déduit aisément :

accessible, physiquement il est quasi impossible puisqu’il faudrait des précisions énormes sur les concentrations des atomes dopants pour espérer avoir un comportement intrinsèque. Puisque la concentration d’atomes de silicium est de 5.1022cm-3, pour avoir un comportement intrinsèque il faut que la différence des concentrations soit inférieure à ni, c’est-à-dire à 1010cm-3. Il faut donc une précision ou une pureté chimique du silicium supérieure à mille milliardièmes pour espérer contrôler le procédé, ce qui n’est jamais atteint !

Pour déterminer la position du niveau de Fermi à l’équilibre thermodynamique, il faut partir des relations (5) et (7), c’est-à-dire :

Dans le cas d’un matériau de type n affirmé, à température ambiante, n ≈ ND, et l’équation (43) devient :

Le niveau de Fermi se décale donc progressivement du milieu de la bande interdite vers la bande de conduction lorsque le dopage de type n augmente comme représenté figure 35.

En appelant Ei, la position du niveau de Fermi dans le cas où le matériau serait intrinsèque, nous aurions la relation suivante :

Fii

C

D

CFiiC EE

nN

kTNN

kTEEEE −+==−+− lnln

i

DiF n

NkTEE ln=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅= kT

EENn iCCi exp

a) cas d’un semiconducteur de type n, affirmé

3°) Position du niveau de Fermi – Diagrammes d’énergie

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= kT

EENn FCC exp

et iC kTEE =−

D

CFC N

NkTEE ln=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= kT

EENN FCCD exp

i

C

nNln

(43) et

Figure 35 : Position du niveau de Fermi et valeur correspondante des concentrations de dopants de type n à température ambiante. EF est d’autant plus proche de la bande de conduction que le dopage est élevé. On se limitera dans ce cours aux cas pour lesquels EF reste situé dans la bande interdite. A température ambiante (300K) le décalage est de 60meV par décade de concentration.

(63)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= kT

EENp VFV exp

(45)

E

EC

EV

iE

EF

Eg

NC

ni

ND

E

EC

EV

iE

EF

Eg

NC

ni

ND


b) cas d’un semiconducteur de type p, affirmé Dans le cas où le matériau est de type p affirmé de concentration de dopant accepteur, NA, à

partir de la relation (45), nous obtenons :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= kT

EENN VFVA exp

d’où l’on déduit aisément :

A

VVF N

NkTEE ln=− (64)

Ainsi, dans le cas d’un semiconducteur dopé de type p, le niveau de Fermi se trouvera d’autant plus près du sommet de la bande de valence, que le matériau sera plus dopé.

Il peut être noté que dans ce cours, nous nous limiterons au cas où le niveau de Fermi

E

EC

EV

Ei

EF

Eg

NV

ni

NA

E

EC

EV

Ei

EF

Eg

NV

ni

NA

Figure 36 : Position du niveau de Fermi et valeur correspondante de la concentration des dopants dans un semiconducteur de type p affirmé, à température ambiante. Au plus le dopage est fort, au plus le niveau de Fermi s’approche de la bande de valence.

reste dans la bande interdite, c’est-à-dire que le dopage reste inférieur à la densité d’états électroniques dans les bandes (NC et NV) ; dans le cas contraire, on dit que le semiconducteur est dégénéré.

c) cas général en fonction de la température Dans un cas plus général, il faut tenir compte du fait que les atomes dopants sont ionisés en

fonction de la température, cette température d’ionisation intervenant aux environs de la température de liquéfaction de l’azote liquide, et que l’activité de création de porteurs dans le semiconducteur devient très importante à des températures de plusieurs centaines de degrés Celsius. Si nous souhaitons comprendre les phénomènes physiques dans les dispositifs dans une large gamme de température d’utilisation, il faut analyser ces effets.

Nous pouvons re-écrire l’équation d’électro-neutralité (60) en tenant compte de toutes les charges en présence (équations 43, 45, 52 et 53).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅= kT

EENn FCC exp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅= kT

EENp VFV exp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=+

kTEE

NNDF

DD

exp21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=−

kTEE

NNFA

AA

exp21

1



+− +=+ DA NpnN (60) La détermination de EF peut alors se faire graphiquement dans un diagramme semi-

logarithmique pour aller rapidement, sachant qu’un calcul analytique est toujours possible. Les équations ci-dessus s’écrivent aussi :

kTEENp VF

V−

−= lnln

kTEE

Nn FCC

−−= lnln

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

+−=+kT

EENN DFDD exp21lnlnln

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

+−=−kT

EENN FAAA exp21lnlnln

Dans ce diagramme, l’échelle étant semi-logarithmique, on raisonne comme dans le cas d’un diagramme de Bode (somme des courbes asymptotiques).

NCNV

ni

NA

ln[ ]

ND

ECEi EFEV EA ED

npND

+

NA-

neutralitéNCNV

ni

NA

ln[ ]

ND

ECEi EFEV EA ED

npND

+

NA-

neutralité

Figure 37 : détermination graphique de la position du niveau de Fermi dans un semiconducteur. En vérifiant l’équation d’électro-neutralité, on détermine facilement EF. Les droites inclinées ont une pente proportionnelle à 1/kT

Les pentes des courbes résultantes dans les domaines où elles varient exponentiellement sont en

1/kT et dépendent donc directement de la température. On peut résoudre l’équation de neutralité directement sur le graphe en cherchant l’intersection des courbes de la somme des charges positives (p et ND

+) et de la somme des charges négatives (n et NA-). Nous constatons aisément que la

position de EF dépendra de la température, les pentes variant en 1/kT. Nous pouvons noter que si le dopage de type N est prépondérant, c’est le cas de la figure 37, le

niveau de Fermi se trouve proche de la bande de conduction. Le niveau de Fermi se retrouvera au niveau ED lorsque la température sera égale à la température de Fermi, TF, située autour de 100K. Pour des températures élevées, plusieurs centaines de degrés Celsius (autour de 1000K), les pentes diminuant, le niveau de Fermi se déplace vers le milieu de la bande interdite. Lorsque n et p atteignent la valeur supérieure de ND et NA, le matériau retrouve un comportement intrinsèque (température Ti). Cet aspect sera très important dans la fabrication des circuits intégrés mais aussi dans les dispositifs fonctionnant à très haute température (tête de forage par exemple).

d°) Variations du niveau de Fermi en fonction du type de dopage à température ambiante Dans la figure qui suit nous présentons les différentes situations obtenues lorsque le matériau est

intrinsèque ou dopé de type n puis de type p. Pour les besoins de la figure, les représentations des concentrations dans les bandes d’énergie ne sont absolument pas à l’échelle, les variations pouvant être de 10 ordre de grandeurs. Le niveau de Fermi se déplace vers la bande de valence lorsque le matériau est de type p, vers la bande de conduction lorsqu’il est de type n.



EF

11/20 f(E)

E


Bande de valence

Bande de conduction

EC

EV

B.C.

B.V.

e-

h+

intrinsèqueEF

11/20 f(E)

E


Bande de valence

Bande de conduction

EC

EV

B.C.

B.V.

e-

h+

intrinsèque

EF

11/20 f(E)

E


Bande de valence

Bande de conduction

EC

EV

B.C.

B.V.

e-

h+ Type n

e-

h+

EF

11/20 f(E)

E


Bande de valence

Bande de conduction

EC

EV

B.C.

B.V.

e-

h+

e-

h+ Type n

e-

h+

EF

11/20 f(E)

E


Bande de valence

Bande de conduction

EC

EV

B.C.

B.V.

e-

h+

Type pEF

11/20 f(E)

E


Bande de valence

Bande de conduction

EC

EV

B.C.

B.V.

e-

h+

Type p

Figure 38 : Evolution du nombre de porteurs dans les bandes d’énergie en fonction de la nature du dopage et de la concentration des porteurs. La première figure correspond au semiconducteur intrinsèque, la deuxième au dopage de type n et la dernière au dopage de type p. Lorsque le niveau de Fermi est près de la bande de conduction, la concentration des électrons augmente et celle des trous diminue. Le phénomène est contraire du coté de la bande de valence. La distribution des porteurs dans les bandes obéit toujours à la statistique de Fermi-Dirac.

IV Génération –recombinaison – Durée de vie des porteurs

1°) Génération-recombinaison thermique

Nous avons vu qu’à 0K, il n’y avait aucun porteur libre (ou quasi-libre) dans le semiconducteur. Le fait de chauffer le matériau permet de donner une énergie suffisante à une fraction des électrons de valence pour quitter l’état lié et atteindre le bande de conduction. Ce départ d’un électron correspond à la création simultanée d’une paire électron-trou, phénomène appelé génération thermique d’une paire électron-trou. Si ce processus n’était pas réversible, au bout d’un certain temps, tous les électrons de valence se retrouveraient dans la bande de conduction. Or nous savons que leur nombre est limité à ni, ce qui signifie que statistiquement, il y a autant de création que de disparition de ces paires, l’équilibre étant atteint, à température fixée à la valeur de ni correspondante. Le processus global s’appelle génération-recombinaison thermique. A l’équilibre thermodynamique, ce phénomène se traduit par la constance du produit p.n (relation 48).



2°) Génération-lumineuse

En envoyant des photons d’énergie suffisante, au moins égale à celle du gap, on peut créer une paire électron-trou (cf. cours de mécanique quantique). On peut alors définir un terme de génération lumineuse par GL, qui est une concentration de porteurs créés par unité de volume et unité de temps (cm-3.s-1). Nous allons ainsi imposer un excès de porteurs dans le cristal par rapport à l’équilibre thermodynamique tant que cette génération se produira. En stoppant l’envoi de photons, le matériau aura tendance à retourner progressivement à l’équilibre thermodynamique.

Dans un élément de volume donné, si ce phénomène est seul à intervenir, nous pouvons écrire :

LGtn +=∂∂ (65) LGt

p +=∂∂ (66)

3°) Niveaux pièges dans un semiconducteur

Dans un cristal parfait, il n’existe aucun état électronique dans le gap (bande interdite). Mais tout cristal perd son aspect idéal dès que l’on y introduit des impuretés, qu’elles soient dopantes ou non dopantes, ou dès que le matériau présente des défauts cristallographiques (dislocations, macles).

Ces perturbations détruisent la périodicité parfaite du cristal et entraînent la création d’états énergétiques dans le gap qui vont pouvoir être électriquement actifs, c’est-à-dire permettre des échanges entre les bandes de valence et de conduction et ces états. La figure 39 met en évidence que ces états peuvent servir d’intermédiaire entre la bande de valence et la bande de conduction et vont modifier en particulier la cinétique de ces échanges par rapport à l’effet thermique pur.

E

EC

EV

Et Eg

E

EC

EV

Et Eg

Figure 39 : effet des niveaux pièges sur le transfert des électrons entre les bandes de valence et de conduction. Le niveau piège sert de marche intermédiaire.

La figure 40 montre de façon détaillée les différents mécanismes possibles. Un piège peut capturer un électron de la bande de conduction ou émettre un électron vers cette bande. Un piège peut capturer un trou en envoyant un électron vers la bande de valence ou émettre un trou en récupérant un électron de valence qui laisse un trou derrière lui. Ces échanges se font en obéissant à la statistique de Fermi-Dirac. Le processus complet de génération met en jeu une émission d’un trou et une émission d’un électron (transit de la bande de valence vers la bande de conduction) alors que la recombinaison met en jeu la capture d’un électron puis d’un trou (transit de la bande de conduction vers la bande de valence).

4°) Résultats de la théorie simplifiée de Schockley-Read-Hall

Tels que représentés figure 40, les niveaux pièges vont servir d’étapes intermédiaires pour les phénomènes de génération et recombinaison. La statistique des porteurs obéit à une loi exponentielle de la probabilité de transfert entre deux niveaux d’énergie ; pour avoir une transition



complète entre les bandes de valence et de conduction, le trajet se fera par les niveaux pièges puisque la probabilité de transiter entre les bandes et les pièges est sans commune mesure supérieure à la transition directe bande à bande. Les niveaux pièges vont donc servir de marche-pied aux porteurs. La position la plus efficace pour les pièges pour permettre cette transition sera située en milieu de bande interdite ; pour comprendre simplement ceci, 2 marches de moyenne hauteur sont plus faciles à gravir par un être humain qu’une très petite et une très grande, cette dernière représentant la difficulté !

B.C.

B.V.

e-

h+

B.C.

B.V.

e-

h+

e- e-

e-

e- e-

avant

après

Capture d’unélectron

Capture d’untrou

Emission d’unélectron

Emission d’untrou

EC

Et

EV

EC

Et

EV

B.C.

B.V.

e-

h+

B.C.

B.V.

e-

h+

e- e-

e-

e- e-

avant

après

Capture d’unélectron

Capture d’untrou

Emission d’unélectron

Emission d’untrou

EC

Et

EV

EC

Et

EV

Figure 40 : Mécanismes de génération-recombinaison assistés par pièges. La transition s’effectue via un piège qui échange un électron avec la bande de conduction ou avec la bande de valence. Dans ce dernier cas l’électron se recombine avec un trou ou crée un trou en quittant la bande de valence. Ces échanges sont conditionnés par la statistique de Fermi-Dirac. Pour avoir une probabilité importante de transfert, le niveau piège doit être situé en milieu de bande interdite. Pour déterminer le taux de recombinaison génération, il faut exprimer les quatre processus présentés, émissions et captures des trous et électrons.

Ainsi, en ne considérant que les pièges situés en milieu de bande interdite, qui seront les plus efficaces, on peut déterminer le taux de recombinaison-génération résultant, U, qui traduit la variation de la concentration de porteurs (électrons ou trous) par unité de temps ; il faut pour cela exprimer les quatre processus présentés, émissions et captures des trous et électrons. Nous ne donnons ici que les résultats de ce calcul relativement long qui suppose des simplifications supplémentaires et qui aboutit à :

i

io

nnp

nnpU2

.1 2

++

−= τ (67)

avec τo, durée de vie des porteurs,



p, concentration des trous, n, concentration des électrons, ni, concentration intrinsèque.

Nous allons analyser dans ce qui suit les différentes situations rencontrées dans le semiconducteur qui aboutissent à des comportements différents.

a) cas d’un semiconducteur à l’équilibre thermodynamique Nous avons vu qu’à l’équilibre thermodynamique, l’activité thermique imposait p.n=ni

2. En reportant ce résultat dans l’équation (67), on aboutit à :

U = 0

Cela signifie que la génération thermique est compensée par la recombinaison et donc que le bilan de la recombinaison-génération est nul.

b) cas d’un excès d’électrons et de trous dans le matériau Nous allons analyser le cas d’un matériau de type n, à température ambiante. En utilisant les

relations (18) : et Dn Nn =D

inNnop

2= et en supposant un excès de paires électron-trou,

∆pn = ∆nn, tel que ND >> ∆pn >> pno, alors : nn ≈ ND et pn >> pno puisque pn = ∆pn + pno, ainsi, d’après la relation (29) :

iDn

iDno

nNp

nNpU2

.1 2

++

−= τ

comme ND >> pn et ND >> ni

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Din

o NnpU

2.1τ ou encore

onon ppU τ

−= (68)

Ceci signifie que la disparition des porteurs en excès est proportionnelle à l’écart des concentrations par rapport à l’équilibre thermodynamique. On peut donner un exemple pratique :

ND = 1017 cm-3, τo = 10-7 s, ni2 = 2.1020 cm-6, pno = 2.103 cm-3, pn = 1010 cm-3,

alors U = 1017 cm-3.s-1

c) déficit d’électrons et de trous dans le matériau Dans certaines conditions que nous verrons plus loin, le semiconducteur peut être déserté par les

électrons et les trous. En supposant, pour simplifier que : n << ni et p << ni :

io nn

U i..2

2

τ−= , ou encore o

in

U τ.2−= (69)

Dans cette expression, le signe moins (U négatif) traduit le phénomène de génération de paires électron-trou alors que dans la formule (68) le signe plus (U positif) traduit un phénomène de recombinaison.

Dans le chapitre suivant, nous allons utiliser et appliquer l’ensemble de ces résultats pour analyser les phénomènes de transport dans un semiconducteur.


Chapitre 5 : Phénomènes de transport

CHAPITRE V

PHENOMENES DE TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS

I Conductivité – Dérive dans un champ électrique

1°) Mobilité - Conductivité

De façon générale, lorsque l’on applique un champ électrique, on a tendance à déplacer les porteurs de charge, électrons et trous. En réalité, le mécanisme physique d’entraînement par un champ électrique se produit sur des porteurs qui se déplacent de façon aléatoire, dans toutes les directions de l’espace, dans le matériau, en raison de l’agitation thermique (aux températures normales de fonctionnement) et qui effectuent un libre parcourt moyen sans choc. Ce libre parcourt moyen est de l’ordre de grandeur de 200 Å, soit environ une centaine de distances atomiques. Au niveau du choc, un échange d’électrons peut se produire, comme dans le cas d’un relais. Le champ électrique va agir entre ces chocs. La vitesse thermique est très grande (107 cm.s-1 à 300K). Les porteurs ont ainsi une vitesse thermique moyenne, orientée dans toutes les directions de l’espace qui est légèrement modifiée en imposant une direction statistique préférentielle par la présence du champ électrique.

La figure 41 montre de façon très schématique ces phénomènes. Nous ne rentrerons pas dans les détails au niveau phénoménologique et microscopique et nous n’allons considérer dans la suite que l’aspect moyenne statistique.

trajectoire linéaire entre choc

E

e-e-

trajectoire incurvée entre choc

déplacementeffectif

trajectoire linéaire entre choc

E

e-e-

trajectoire incurvée entre choc

déplacementeffectif

Figure 41 : Déplacement statistique des électrons dans le semiconducteur et effet du champ électrique sur ces déplacements. Le mouvement erratique est perturbé par la présence du champ. Le déplacement effectif peut être de plusieurs ordres de grandeurs plus faible que le déplacement réel des électrons.

La densité de courant d’électrons s’exprime de façon la plus simple par :

nn vnqj rr.).(−=

avec, n, concentration des électrons, , vitesse moyenne des électrons, nvr

, densité de courant exprimée en général en Ampères par cmnjr 2.

O. Bonnaud, Physique des Composants et Dispositifs, juin 2003 55


Si, dans un semiconducteur, nous traçons

la vitesse des électrons en fonction du champ électrique, nous obtenons alors la courbe représentée figure 42. Pour les forts champs électriques, la vitesse sature et tend en pratique vers la vitesse thermique. L’explication simplifiée de cette limite est que les trajectoires entre chocs sont suffisamment incurvées pour prendre la direction du champ mais que l’énergie apportée entre ces chocs (et donc sur le libre parcourt moyen) est négligeable par rapport à l’énergie thermique. Pour les très forts champs électriques, nous verrons que d’autres phénomènes interviennent.

pente µ

Silicium

Champ électrique (kV/cm)

Vite

sse

(cm

/s) vth

GaAs

107

104102105

106

106 pente µ

Silicium

Champ électrique (kV/cm)

Vite

sse

(cm

/s) vth

GaAs

107

104102105

106

106

Figure 42 : variation de la vitesse des électrons dans le silicium et le germanium. Pour les champ faible, la pente correspond à la mobilité. Pour les champs forts, la vitesse tend vers une limite qui est la vitesse thermique. Il peut être noté que le GaAs présente une meilleure mobilité (rapport 5 environ) et une survitesse qui est exploitée dans certains composants très rapides (HF) (d’après Jacobini et al., Smith et al., Ruch et al.).

Pour les faibles champs électriques, la courbe réelle est linéarisée et la pente définit la mobilité des électrons, µn.

Eµv nrr .= Ev n

rr .µ−=

Ainsi,

Enqj nnrr

.).().( µ−−=

Eqnj nnrr

.µ= (70)

De façon tout à fait analogue, il est possible de définir la mobilité des trous (déplacement des électrons liés). L’expression de la densité de courant de trous est alors la suivante en se rappelant que les trous se déplacent dans le même sens que le champ électrique :

Eqpj pprr

.µ= (71)

Ces deux densités de courant sont en fait des courants de dérive dans le champ électrique. Dans certains ouvrages, ces densités de courant sont appelées courant de conduction, ce qui est un pléonasme et une terminologie non appropriée pour traduire le phénomène. Nous verrons dans ce chapitre que d’autres phénomènes permettent la conduction.

Il peut être noté que nous retrouvons la loi d’Ohm, pour chacun des deux types de

porteur. σ est la conductivité.

Ejrr

.σ=

On peut donc définir une conductivité pour les électrons, σn, et une conductivité pour les trous, σp, comme suit :

nn qnµσ = pp qpµσ =



Puisque la mobilité est liée au libre parcourt sans choc, il est évident que toute perturbation du réseau cristallin va entraîner une modification de la mobilité. Tout particulièrement, l’ajout d’atomes dopants crée des distorsions dans le cristal et affecte la mobilité qui diminue lorsque le niveau de dopage augmente. La figure 43 montre la variation des mobilités des électrons et des trous en fonction du niveau de concentration d’impureté ou de dopage, dans le silicium. Notons que c’est la quantité totale d’atomes dopants qui intervient et non pas le dopage effectif (après compensation éventuelle). Dans un cristal de silicium quasi-pur, à 300K, la mobilité des électrons est de 1.350 cm2/Vs et la mobilité des trous de 480 cm2/Vs.

concentration d’impuretés (cm-3)

mob

ilité

(cm

2 /Vs)

1014 10191016 10181015 1017102

103

104

µn Silicium

µp

300K

concentration d’impuretés (cm-3)

mob

ilité

(cm

2 /Vs)

1014 10191016 10181015 10171014 10191016 10181015 1017102

103

104

102

103

104

µn Silicium

µp

300K

µn Silicium

µp

300K

Figure 43 : Variation de la mobilité des électrons et des trous dans le silicium à 300K en fonction de la concentration d’impuretés ou de dopants. La mobilité décroît avec le niveau de dopage. Notons que c’est la concentration totale d’impuretés dans le cristal qui doit intervenir en pratique (d’après Beadle, Plummer, and Tsai).

2°) Densité totale de courant de dérive dans un champ électrique. Résistivité

L’application d’un champ électrique au semiconducteur induit la conduction des deux types de porteurs, simultanément. Les électrons se déplacent au niveau de la bande de conduction, les trous (et donc les électrons liés) au niveau de la bande de valence La densité de courant totale est donc la somme des deux densités de courant.

pndér jjjrrr

+=

EqpEqnj pndérrrr

µµ +=

EEqpqnj pndérrrr

σµµ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (72)

Puisque σρ 1= , la résistivité du matériau s’exprime par :

( )pn pnq µµρ += 1 (73)

Cette mobilité dépend très fortement de la concentration de dopant puisque celle-ci varie jusqu’à 6 ordres de grandeur. Les mobilités, quant à elles, bien que dépendantes du niveau de dopage, seront donc beaucoup moins influentes sur l’amplitude de variation de la résistivité.

Exemples numériques : Pour du silicium intrinsèque, µn = 1.350cm2/Vs, µp = 480cm2/Vs, ni = n = p = 1,5.1010cm-3, alors σ = 2,9.10-6 Ω-1.cm-1 et ρ = 3,4.105 Ω.cm Pour du silicium dopé, n = ND = 1018 cm-3, pno = 2,2.102 cm-3, µn = 280cm2/V.s, µp = 90cm2/V.s, alors σ = 48 Ω-1.cm-1 et ρ = 2,2.10-2 Ω.cm



Il peut être noté, que même pour des très forts dopages, la résistivité du semiconducteur, bien qu’ayant fortement diminué, reste très supérieure à celle d’un métal dont l’ordre de grandeur est le µΩ.cm.

La figure 44 montre la variation de la résistivité en fonction du niveau de dopage. L’écart à la linéarité en échelle logarithmique est due à la variation des mobilités en fonction du niveau de dopage. Lorsque le dopage atteint le niveau 1016 cm-3, la probabilité d’une interaction avec un atome dopant durant le libre parcourt moyen augmente fortement ; en effet, à ces niveaux, on trouve un atome dopant à peu près tous les 100 atomes du réseau soit autour de 200 Å, qui est l’ordre de grandeur du libre parcourt moyen.

concentration de dopants (cm-3)ré

sist

ivité

(Ω.c

m)

1012 1016 10201014 101810-4

100

104

type-n

Silicium

300K

10-2

10-2type-p

concentration de dopants (cm-3)ré

sist

ivité

(Ω.c

m)

1012 1016 10201014 101810-4

100

104

type-n

Silicium

300K

10-2

10-2type-p

rési

stiv

ité (Ω

.cm

)

1012 1016 10201014 10181012 1016 10201014 101810-4

100

104

type-n

Silicium

300K

10-2

10-2type-p

Figure 44 : variation de la résistivité en fonction du niveau de dopage pour le silicium à 300K. La non-linéarité en échelle logarithmique est due à la modification des mobilités lorsque le dopage atteint 1016 cm-3 (d’après Beadle, Plummer, and Tsai).

II Diffusion des porteurs

1°) Loi de Fick. Coefficient de diffusion

Le phénomène de diffusion dans son sens le plus général, est un phénomène thermodynamique résultant de l’accroissement de l’entropie ; ceci signifie que la nature tend toujours vers la désorganisation maximale, globalement. Si nous considérons des porteurs de charges, leur mouvement s’effectuera dans une direction qui à tendance à uniformiser leur distribution spatiale ; ce phénomène est équivalent à celui de l’équilibre de la pression d’un gaz dans un enceinte, par exemple. La loi de Fick traduit cette tendance ; cette loi s’écrit dans un repère mono-dimensionnel correspondant à la direction de l’étalement par :

Loi de Fick dxdCDF −= (74)

F, est le flux de l’espèce considérée, C, la concentration de l’espèce, D, coefficient de proportionnalité aussi appelé coefficient de diffusion, ce qui s’énonce par : le flux est proportionnel au gradient de concentration. Le signe moins vient du fait que pour qu’il y ait étalement, le gradient doit être négatif, comme cela est indiqué sur la figure 45.

xdx

C

dCdC/dx

mouvement

xdx

C

dCdC/dx

mouvement

Figure 45 : Mouvement des espèces dans le cas d’un gradient de concentration. La tendance est toujours à l’étalement maximal, c’est-à-dire à la disparition du gradient de concentration.

O. Bonnaud, Physique des Composants et Dispositifs, février 2003 58


Cette loi est très générale et s’applique aussi bien aux électrons et trous qu’aux atomes ou aux ions (cf. cours de technologie microélectronique intégrée, O. Bonnaud)

2°) Densités de courant de diffusion

En considérant macroscopiquement la diffusion des électrons et des trous, leur déplacement est équivalent à un courant. Nous pouvons ainsi exprimer les densités de courant des électrons et des trous en multipliant le flux des porteurs par la charge élémentaire, négative pour les électrons et positive pour les trous.

a°) Cas des électrons : La figure 46 met en évidence le

déplacement des électrons par diffusion.

JqF 1−=

La densité de courant s’exprime par :

dxdnqDj nn += (75)

Dn est le coefficient de diffusion des électrons. Ce coefficient est positif. Par convention, la densité de courant est de sens opposé au déplacement des électrons.

mouvementdes électrons

xdx

n

dndn/dx <0

jn

mouvementdes électrons

xdx

n

dndn/dx <0

jn

xdx

n

dndn/dx <0

jn

Figure 46 : Mouvement des électrons par mécanisme de diffusion. La densité de courant est de sens opposé à celui des électrons.

Les électrons se déplaçant vers les x positifs, la charge étant négative, et le gradient de

concentration étant négatif, la densité de courant est négative.

b°) Cas des trous : La figure 47 met en évidence le déplacement des trous par diffusion. La densité de courant

s’exprime par :

dxdpqDpjp −= (76)

Dp est le coefficient de diffusion des trous. Ce coefficient est positif. Par convention, la densité de courant est de même sens que celui du déplacement des trous. Les trous se déplaçant vers les x positifs, le gradient de concentration étant négatif, et la charge étant positive, la densité de courant résultante est positive.

xdx

p

dpdp/dx <0

mouvementdes trous

jp

xdx

p

dpdp/dx <0

mouvementdes trous

jp

Figure 47 : Mouvement des trous par mécanisme de diffusion. La densité de courant de trous est dans le même sens que celui du déplacement des trous.

Les coefficients de diffusion, Dn et Dp, s’expriment en général en cm2/s. Dans ces unités, elles sont de l’ordre de grandeur de l’unité, Dn étant toujours un peu supérieur à Dp. Nous expliquerons ce résultat plus loin dans ce chapitre.



III Densités de courant totales dans un semiconducteur Nous avons vu que dans un semiconducteur nous pouvions avoir des courants de dérive

d’électrons et de trous et que la diffusion concernait aussi ces deux types de porteurs. Nous pouvons ainsi exprimer, dans un modèle unidimensionnel, la densité de courant totale d’électrons, la densité de courant totale de trous et la densité de courant totale (incluant les deux types de porteurs de charge).

EqndxdnqDj nnn .µ++= (77)

EqpdxdpqDpj pp .µ+−= (78)

pn jjj += (79)

Remarques : ces équations restent valables tant que le matériau semiconducteur reste homogène, et la température constante à travers la structure. Elles sont modifiées quand le dopage, le gap ou la température varient. Le modèle est ici unidimensionnel ; il permet des calculs analytiques pas trop complexes. Il est bien évidemment possible de créer un gradient vectoriel.

IV Relation d’Einstein Il s’agit d’établir une relation entre le coefficient de diffusion des porteurs et leur mobilité. Cette

corrélation est intuitive puisque les phénomènes ont une origine commune, à la fois thermique et statistique.

A l’équilibre thermodynamique, le courant total, pour un type de porteur, est obligatoirement nul

(sinon nous pourrions créer du courant sans fournir d’énergie !). Considérons le courant total d’électrons exprimé par la relation (77) :

dxDndnEqndx

dnqDjnn

nnn .0. ξµµ −=⇒=++=

dx.ξ− est homogène à un potentiel électrostatique, que nous appellerons dϕ, qui est en fait interne

au matériau et "appliqué" sur l’élément de longueur dx.

ϕµξϕ dDndndxd

nn=⇒−= .

Par ailleurs, à partir de l’expression de la concentration en électron en fonction de la position du niveau de Fermi (formule (43)), nous pouvons déduire dn/n par dérivation logarithmique. A l’équilibre thermodynamique, EF est constant par définition, la variation se retrouve donc portée par EC, comme cela est indiqué sur la figure 48.




CFCC dEkTn

dnkT

EENn 1exp −=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅=

La variation de EC, est directement reliée à la variation du potentiel électrostatique (l’énergie est le produit de la charge par le potentiel).

Nous obtenons ainsi :

ϕϕ dkTq

ndnqddEC =⇒−=

dϕdx

B.C.

B.V.

EC(x)

EV(x)

x

EF

dϕdx

B.C.

B.V.

EC(x)

EV(x)

x

EF

Figure 48 : Variation de potentiel dans le matériau. Le niveau d Fermi étant constant à l’équilibre thermodynamique, toute la variation se retrouve au niveau des bandes de valence et de conduction. Du point de vue schématique, les bandes sont "inclinées".

Des deux expressions de dn/n, nous déduisons alors aisément la relation d’Einstein :

qkT

µD

nn =

On peut appliquer, par analogie, strictement le même raisonnement pour la densité de courant de trous, et retrouver la même formule entre Dp et µp.

Relation d’Einstein : Tp

nn Vq

kTµpD

µD === (80)

VT est le potentiel thermodynamique.

V Equations de continuité Dans un semiconducteur, hors équilibre thermodynamique, nous pouvons déterminer dans un

modèle unidimensionnel, en un point, le taux de variation de la concentration des porteurs (électrons et trous) en fonction du temps.

Dans l’élément de volume d’épaisseur dx, représenté figure 49, si le flux entrant F(x) est supérieur au flux sortant F(x+dx), la concentration de porteurs augmente (le niveau monte dans le réservoir si l’apport par le robinet est supérieur au débit de la bonde de sortie !). De plus, dans cet élément de volume, il est possible de générer des paires de porteurs par des photons, de taux de génération GL.ou d’en faire disparaître sur place par recombinaison, de taux U.

dx

F(x) F(x+dx)

dx

F(x) F(x+dx)

Figure 49 : Principe de variation de concentration dans un élément de volume décrivant l’équation de continuité.

C’est l’équivalent de la pluie et de l’évaporation, respectivement, quand nous considérons un réservoir. Ainsi, l’expression générale de la variation de flux d’une espèce donnée est la suivante :


( ) UGdxdF

tC L −+−=∂∂

variation de concentration

variation de flux

génération taux de recombinaison

(81)( ) UGdxdF

tC L −+−=∂∂

variation de concentration

variation de flux

génération taux de recombinaison

(81)

Sachant que pour les électrons, Jn = -qFn et que pour les trous, Jp = +qFp, on en déduit les

équations de continuité pour les électrons et pour les trous en remplaçant U par son expression en fonction de τn pour les électrons et τp pour les trous :

( )n

poLn nnGdx

dJqt

nτ−−++=∂

∂ 1

pppGdx

dJqt

p noL

pτ−−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=∂

∂ 1

En remplaçant Jn et Jp par leurs expressions, nous obtenons : Equation de continuité pour les électrons

( )n

poLnn

nnGnxµxnDt

nτξ −−+∂

∂+∂∂+=∂

∂2

2

(82)

Equation de continuité pour les trous

( )p

noLpp

ppGpxµxpDt

pτξ −−+∂

∂−∂∂+=∂

∂2

2

(83)

L’intégration de ces équations différentielles permet de déterminer en tout point et en fonction du temps la concentration des porteurs dans le matériau ou le dispositif étudié. Il est clair que pour avoir des solutions simples et analytiques, il faudra chercher à simplifier au maximum ces expressions par la suppression de termes. La recherche de simplifications constituera la difficulté principale dans la suite, et une analyse sérieuse sera nécessaire avant d’aborder tout calcul. Dans les dispositifs, nous travaillerons essentiellement en régime stationnaire.

VI Equation de Poisson Dans un semiconducteur, l’équation de Poisson, issue des équations de Maxwell, reste bien

évidemment valable. Nous nous limiterons au modèle unidimensionnel :

orxV

εερ−=

∂∂

2

2 concentration de charge en C/cm3

permittivité du semiconducteur en F/cm

Laplacien en V/cm2

(84) orx

Vεερ−=

∂∂

2

2 concentration de charge en C/cm3

permittivité du semiconducteur en F/cm

Laplacien en V/cm2

(84)

Dans cette équation, ρ est une concentration de charges totales, exprimée en coulomb par centimètre cube. Dans un semiconducteur, dopé par les deux types de dopant, la concentration de charge totale tient compte des porteurs libres et des atomes ou impuretés ionisés :

ρ = q(p – n + ND+ - NA

-) (85)



Dans de nombreux cas, pour aboutir à une solution analytique, il faudra simplifier cette expression en comparant les différentes concentrations. Remarque : Des charges dues à des pièges peuvent être incorporées dans cette équation. Dans le cas de pièges à

électrons, ils sont neutres ou chargés négativement lorsqu’ils sont actifs ; les pièges à trous seront quant à eux neutres

ou chargés positivement.

VII Densités de courant généralisées Le flux de charge peut être exprimé de la façon la plus générale possible à partir du gradient du

niveau de Fermi. Hors équilibre thermodynamique, on peut définir un pseudo-niveau de Fermi pour les électrons et pour les trous, ce qui signifie que les électrons sont en équilibre entre eux, les trous aussi (à condition de considérer des temps supérieurs au temps de relaxation du matériau qui est de l’ordre de la fraction de pico-seconde), mais un déséquilibre peut exister entre les deux populations ; ceci se produira dans les dispositifs en conduction par exemple. Ces pseudo-niveaux de Fermi sont définis très simplement à partir des équations (5) et (7), sachant que le produit p.n. n’est plus forcément égal à ni

2 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅= kT

EENn FnCC exp

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−⋅= kT

EENp VFp

V exp

Dans un modèle unidimensionnel, les densités de courant s’expriment alors sous la forme :

dxdEnµj Fnnn ..= (86)

dxdEpµj Fp

pp ..= (87)

Il faut remarquer dans ces équations, que le courant est directement proportionnel à la mobilité,

à la concentration de porteurs mis en jeu, et au gradient de potentiel de Fermi. Ce gradient tient compte à la fois d’une possible variation du potentiel électrostatique créant un champ électrique (composante de conduction), mais aussi d’un gradient de concentration (composante de dérive). L’avantage de cette formulation est importante pour traiter les semiconducteurs non homogènes, les hétéro-jonctions, super-réseaux, etc….qui ne pourront pas être étudier de façon approfondie dans le cadre de ce cours.

Il faut remarquer, qu’à l’équilibre thermodynamique EFn = EFp, ce qui signifie que les deux populations sont en équilibre entre elles.

Les équations présentées dans ce chapitre vont être toutes mises en œuvre pour traiter les

composants de base que sont les diodes et les transistors bipolaires et à effet de champ. Comme nous l’avons déjà annoncé, il s’agira de simplifier au maximum leur résolution et la connaissance des ordres de grandeurs des différentes composantes constituera une approche nouvelle et nécessaire mais pas toujours facile à mettre en œuvre.




Chapitre 6 : Jonction pn – Diodes à jonctions

CHAPITRE VI

JONCTION PN – DIODES A JONCTION

I Constitution

1°) Réalisation physique et définitions

La jonction PN est physiquement la juxtaposition de deux régions dopées différemment dans un même cristal semiconducteur. La zone frontière de passage de la région de type n à la région de type p s’appelle la jonction métallurgique. Lorsque le matériau semiconducteur est le même pour les deux zones dopées différemment, par exemple du silicium, cette jonction est appelée homojonction. Quand les matériaux sont différents, c’est le cas dans des composants à base de composés semiconducteur III-V, on parle d’hétérojonction. Dans ce dernier cas, il faut une compatibilité des réseaux cristallins, paramètres de maille voisins, pour considérer qu’il y ait continuité du cristal. Nous nous limiterons dans le cadre de ce cours aux homojonctions.

On supposera dans ce qui suit que : - les dopages sont constants de part et

d’autre, - la transition du type n au type p est

brutale, - il n’y a pas de rupture du réseau

cristallin ; nous définirons dans ce cas une jonction dite abrupte (variation de profil abrupte), les profils étant de plus constants dans chacune des zones. La figure 50 montre un schéma simplifié d’une telle structure.

monocristal

n p+

e-e-

e-

e-

e-

e-

h+

h+

h+

h+h+

ND+

NA-

Jonction métallurgique

++

+

++

-

-

-

--

monocristal

n p++

e-e-e-e-

e-e-

e-e-

e-e-

e-e-

h+h+

h+h+

h+h+

h+h+h+h+

ND+

NA-


++++

++

++++

--

--

--

----

Figure 50 : Structure schématique d’une jonction pn. La jonction métallurgique est la zone frontière entre les deux types de dopage réalisés en pratique dans un même cristal.

Bien évidemment cette hypothèse est simplificatrice et permettra de mener des calculs analytiques pas trop compliqués.

Nous retrouvons dans notre structure les quatre types de charges que sont les électrons et les trous ainsi que les atomes dopants ionisés accepteurs et donneurs.

Nous pourrons considérer un modèle unidimensionnel pour déterminer les grandeurs physiques et électriques, l’axe d’étude étant perpendiculaire à la jonction physique, c’est-à-dire à la jonction métallurgique. La jonction a donc une surface indéterminée dans les calculs.

2°) Concentrations et types de porteurs dans la jonction

Nous considérons la jonction abrupte et donc les concentrations constantes de part et d’autre de la jonction métallurgique. ND est la concentration de dopant dans la zone n, NA, la concentration de dopant de la zone p. Nous avons vu précédemment que dans des conditions normales de



fonctionnement, autour de la température ambiante, tous les atomes dopants sont ionisés et que les concentrations des porteurs libres dans les zones dopées de type affirmé (vraiment n ou vraiment p), étaient quasiment égales aux concentrations des atomes dopants ionisés.

Ainsi, à l’équilibre thermodynamique, Région n : les électrons sont les porteurs majoritaires, nno = ND, les trous sont les porteurs minoritaires, pno = ni

2/ND, les dopants sont ionisés positivement, Région p : les trous sont les porteurs majoritaires, ppo = NA, les électrons sont les porteurs minoritaires, npo = ni

2/NA, les dopants sont ionisés négativement.

La figure 51 fait apparaître ces concentrations, au moment de la mise en contact fictive et met en évidence qu’une analyse approfondie doit être effectuée au niveau de la jonction métallurgique.

Nous allons analyser dans un premier temps l’effet de la présence de charges de signe opposé au niveau de la jonction métallurgique, à l’équilibre thermodyna-mique, c’est-à-dire sans aucune application d’un champ électrique extérieur.

monocristaln p

+ e-e-

e-

e- e-e-h+ h+ h+h+ h+

n=ND p=NA


+ + ++

- - - --

p=ni2/NDh+

n=ni2/NA

monocristaln p

++ e-e-e-e-

e-e-

e-e- e-e-e-e-h+h+ h+h+ h+h+h+h+ h+h+

n=ND p=NA


++ ++ ++++

-- -- -- ----

p=ni2/NDh+h+

n=ni2/NA

Figure 51 : Charges en présence dans la jonction pn. Les électrons sont majoritaires en zone n et minoritaires en zone p. Les trous sont majoritaires en zone p et minoritaires en zone n

Nous dirons dans ce cas que la jonction n’est pas polarisée.

II Etude de la jonction pn à l’équilibre thermodynamique

1°) Mouvement de charges au contact

En adoptant le modèle abrupt, la juxtaposition de deux zones dopées différemment entraînerait un phénomène de diffusion infini puisque le gradient des concentrations de porteurs serait infini. La structure va évoluer instantanément vers une situation acceptable physiquement. Il y a donc obligatoirement un phénomène de diffusion des porteurs depuis les zones où ils sont majoritaires vers les zones où ils sont minoritaires, le rapport étant immense, c’est-à-dire départ des électrons de la région n vers la région p et réciproquement pour les trous. Mais tout départ des porteurs libres entraîne une modification de charge locale puisque les ions qui ont engendré ces porteurs sont fixes dans le cristal à température ambiante. Dans la zone de contact, les électrons vont laisser derrière eux des ions positifs alors que les trous des ions négatifs, comme représenté sur la figure 52. Ces charges non compensées de part et d’autre de la jonction créent deux régions spatialement chargées et simultanément un champ électrique orienté depuis la région n vers la région p, obligatoirement. Cette zone, s’appelle zone de charge d’espace de la jonction ou zone de transition. Nous créons de la sorte un champ électrique qui va avoir tendance à renvoyer les électrons de la zone p vers la zone n et les trous de la zone n vers la zone p. Très rapidement, le



système va tendre vers un équilibre entre le phénomène de diffusion et le phénomène de dérive. Si cela n’était pas le cas, il serait possible de créer un courant sans apport d’énergie, et cela serait exploité depuis longtemps !

monocristaln p

+

e-e-

e-e- e-

e-

h+

h+h+

h+

+

+

+

+

-

--

--

h+

+

+

++

+

h+

h+

e-

e-e-

e-

++

+

e-

--

-

- h+

h+

h+

-e-

-

monocristaln p

++

e-e-e-e-

e-e-e-e- e-e-

e-e-

h+h+

h+h+h+h+

h+h+

++

++

++

++

--

----

----

h+h+

++

++

++++

++

h+h+

h+h+

e-e-

e-e-e-e-

e-e-

++++

++

e-e-

----

--

-- h+h+

h+h+

h+h+

--e-e-

--

Figure 52 : Mouvement des charges au niveau de la jonction. Les électrons très nombreux en zone n diffusent vers la zone p ou ils sont minoritaires. Les trous de la zone p diffusent vers la zone n. Les ions immobiles de part et d’autre de la jonction ne sont plus compensés électriquement par les porteurs libres. Ils créent une zone de charge d’espace.

En supposant que dans la zone de charge d’espace, la concentration de porteurs libres est négligeable devant la concentration des atomes dopants ionisés, et en appelant xn et xp les abscisses des limites auxquelles on retrouve le matériau neutre (type n coté n et type p coté p), la neutralité globale de la structure permet d’écrire :

Q+ = q.S.ND+.xn

Q- = -q.S.NA-.xp

en appelant S, la surface de la jonction étudiée, Q+, la charge totale de la zone de charge d’espace coté n, Q-, la charge totale de la zone de charge d’espace coté p,

Comme la charge totale est nulle, Q+ + Q- = 0 c’est-à-dire que :

pAnD xNxN .. = (88)

Cette relation fait apparaître clairement que l’extension de la zone de charge d’espace de part et d’autre de la jonction métallurgique est dans le rapport inverse des concentrations de dopants. Ainsi, si la jonction est dissymétrique (dopages de niveau différent), ce qui est très fréquent dans les dispositifs, la zone de charge d’espace s’étend principalement du coté le moins dopé.

A l’équilibre thermodynamique, le courant total pour chaque type de porteur est nul. Les relations (88) et (89) donnent :

0. =++= EqndxdnqDj nnn µ (89)

0. =+−= EqpdxdpqDpj pp µ (90)

Pour chaque type de porteur, la composante de diffusion compense la composante de dérive. Rappelons aussi qu’en limite de zone de charge d’espace, la concentration des électrons du coté

n, nno, est égale à ND, et que la concentration du coté p, npo, est égale à ni2/NA. Par analogie, nous

déduisons facilement les concentrations des trous aux limites.



2°) Tension de contact ou tension de diffusion

Des formules (89) et (90), en considérant soit les électrons, soit les trous, on peut déduire la variation du potentiel induit correspondant à l’intégrale du champ électrique dans la zone de charge d’espace.

( ) dVDµdxD

µn

dnEndxdnD

nn

nn

nn ... =−=⇒−= ξµ

[ ] ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===⇒= ∫∫ DA

iTno

poT

n

nTp

nnn

ZCE NNnV

nnVnVVn

dnµDdV

po

no1lnlnln

2)(

)(

2.lni

DATn

NNVV −=

La tension calculée, est la tension de diffusion ou tension de contact, non mesurable extérieurement, que l’on donne habituellement sous la forme de sa valeur absolue (ne dépend donc pas de l’orientation choisie pour l’axe des x). Cette tension est toujours orientée de la zone n vers la zone p. Dans le cas de notre calcul, le signe négatif provient du choix de l’orientation initiale de la zone n vers la zone p.

2.lni

DATbioDn

NNVVV == (91)

Nous pouvons déduire bien évidemment la même tension de diffusion en partant du calcul du courant de trous. Remarque : compte tenu des ordres de grandeurs de ni, NA, ND, et sachant que VT est égal à 26 mV à 300K, cette tension

est comprise en 0,7V et 1,1V dans le silicium. La notation Vbio vient de l’anglais « built-in potential ».

3°) Diagramme d’énergie

L’analyse du diagramme d’énergie est en pratique un élément très pratique et très puissant pour comprendre ou prédire le fonctionnement d’un dispositif. Nous verrons ceci plus particulièrement dans l’étude des transistors.

E

EC

EV

EF

EgqVD

n

EC

EV

EC- EF

EF- EV

qVD

p

E

EC

EV

EF

EgqVD

n

EC

EV

EC- EF

EF- EV

qVD

p

Figure 53 : Diagramme d’énergie de la jonction à l’équilibre thermodynamique. L’écart énergétique entre les deux zones, ou hauteur de barrière, est égal à la tension de contact multipliée par la charge élémentaire. Cette hauteur de barrière dans ce cas simple (homojonction) est identique pour les électrons et pour les trous.



A l’équilibre thermodynamique, le niveau de Fermi est toujours constant ou plat. C’est donc EF la première grandeur à tracer et qui va servir de référence pour les autres niveaux (Figure 53).

L’écart entre les bandes de conduction et de valence reste dans notre modèle en permanence égal au gap. Il suffit donc de tracer la variation de EC à travers la structure pour en déduire EV, par exemple. Puisque nous avons vu qu’il existait une différence de potentiel à l’équilibre thermodynamique, l’écart entre la position de la bande de conduction de part et d’autre (et donc de la bande de valence) est égal à qVD.

Le diagramme de la figure 28 fait apparaître la hauteur de barrière d’énergie pour les deux types de porteurs, qui correspond à qVD et qui devront être franchies par les porteurs.

Intuitivement, si l’on souhaite créer un régime de conduction, il faudra abaisser la barrière d’énergie pour chacun des types de porteur.

4°) Champ électrique et dimension de la zone de charge d’espace

Nous pouvons déterminer en tout point de la zone de charge d’espace le champ électrique en intégrant l’équation de Poisson dans un modèle unidimensionnel.

orxV

εερ−=

∂∂

2

2

comme dxdVradVg −=−=

rrξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−== AD

ororNNnpq

dxd

εεεερξ

Pour intégrer cette équation différentielle, nous allons nous placer successivement du coté n et du coté p dans la zone de charge d’espace. A la limite de cette zone, la neutralité étant assurée, le champ électrique est nul (pas de champ extérieur).

Comme représenté sur la figure 54, nous supposons que dans la zone de charge d’espace coté n, ne subsistent que les charges apportées par les ions donneurs, toutes les autres étant négligeables, et que du coté p, ne subsistent que les ions accepteurs. Ceci ne peut être qu’une approximation, puisqu’il n’y a pas de gradient infini de concentration de porteurs libres et qu’en limite de zone de charge d’espace le passage se fait progressivement.

pn

Q+

Q-x

ρ

-xn

+qND

-qNA

0xp

pn

Q+

Q-x

ρ

-xn

+qND

-qNA

0xp

Figure 54 : Charges de la zone de charge d’espace. La neutralité électrique globale est respectée, les charges en vis-à-vis étant de même valeur absolue mais de signe opposé.

Nous verrons plus tard que cette transition se fait suivant une loi exponentielle, et qu’après calcul complet et complexe, cette approximation est tout à fait acceptable. Cette approximation s’appelle l’approximation de Schockley.

La figure 54 fait apparaître la répartition des charges dans la zone de charge d’espace appelée aussi zone désertée.



Coté n : ctexqNxqNdxd

orD

orD

or++=⇒+== εεξεεεε

ρξ )(

puisque ξ(-xn) = 0

( norD xxqNx ++= εεξ )( ) (92)

Coté p : ctexqNxqNdxd

orA

orA

or+−=⇒−== εεξεεεε

ρξ )(

puisque ξ(+xp) = 0

( )por

A xxqNx −−= εεξ )( (93)

A partir du profil de charge de la figure 54,

la figure 55 montre la variation du champ électrique qui, dans ce cas simplifié, varie linéairement dans chacune des deux zones.

En x = 0, à la jonction métallurgique, le champ électrique est maximal.

orpAxqN

εεξ =)0( or

nDxqNεεξ =)0(

pn

x

ξ

-xn

qNDxn/ερεο

0

ξmax qNAxp/ερεο

xp

pn

x

ξ

-xn

qNDxn/ερεο

0

ξmax qNAxp/ερεο

xp Figure 55 : Variation du champ électrique dans la zone de charge d’espace de la jonction pn. Le champ est maximum à la jonction métallurgique.

Comme NA.xp = ND.xn, les deux valeurs calculées sont égales :

orpA

ornD xqNxqN

εεεεξ ==max (94)

L’intégrale du champ électrique correspond à une différence de potentiel qui est en fait la tension de diffusion, VD.

dxVxp

xnD .ξ∫

+

−−=

Ainsi, à partir des équations (22) et (93), nous obtenons : xp

porA

xnn

orD

Dx

xxqNxxxqNV

0

202

2.2.⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

− εεεε

2222 p

orAn

orD

DxqNxqNV εεεε += avec NA.xp = ND.xn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

pnpor

Anp

norD

D xxxqN

xxxqNV 1212

22εεεε

On en déduit aisément :

D

DAA

orp V

NNqNx

+=

1

12 εε

D

ADD

orn V

NNqNx

+=

1

12 εε



L’extension de la zone de charge d’espace totale, W, est égale à la somme des deux zones en vis-à-vis. W peut être exprimé en fonction de xp et des dopages :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

ADpp

npnp NNxx

xxxxW 11

DDA

DAor VNNNN

qW .2 += εε (95)

Si ND >> NA, xn << xp, alors :

DA

or VNqW 12 εε= avec pxW ≈ et D

An N

NWx .≈ (96)

Ces expressions (56) ci-dessus, montrent qu’il est possible de faire une évaluation rapide de

l’extension de la zone de charge d’espace en ne considérant que la zone la moins dopée. L’erreur est simplement dans le rapport des concentrations de dopants (par exemple 1%). Une évaluation rapide montre qu’en fonction du niveau de dopage qui varie entre 1014 et 1020 cm-3, W varie à l’équilibre thermodynamique entre une centaine d’Angström et quelques microns.

Notons que si une tension, Vapp, est appliquée aux bornes de la jonction, la tension aux bornes de la zone de charge d’espace devient la somme algébrique de la tension appliquée et de la tension de diffusion, VD + Vapp. Pour connaître la nouvelle extension de la zone de charge d’espace, il suffit alors de remplacer dans les expressions (95) ou (96) |VD| par |VD| - Vapp, sachant que Vapp sera négatif si l’on applique une tension positive sur la zone n et négative sur la zone p (tendance à augmenter le champ électrique).

III Etude de la jonction pn polarisée

1°) Analyse physique du problème

L’application d’une différence de potentiel sur les contacts aux extrémités des couches n et p, va se reporter au niveau de la zone de charge d’espace qui s’étend de part et d’autre de la jonction métallurgique, la conduction des zones dopées étant suffisante. En d’autres termes, cela signifie que les couches quasi-neutres n et p se comportent comme des équipotentielles. Cela sera vrai tant que la densité totale de courant drainée restera "faible" vis-à-vis de la résistance des couches. Autrement dit, tant que la chute de potentiel dans les couches quasi-neutres reste négligeable vis-à-vis de la tension appliquée.

Si la différence de potentiel appliquée a tendance à diminuer le champ électrique existant à l’équilibre thermodynamique, elle facilitera le phénomène de diffusion aux dépens du phénomène de dérive dans le champ électrique. Le gradient de concentration de part et d’autre de la zone de charge d’espace est alors important et le courant de diffusion correspondant peut être important. Une autre façon de présenter le phénomène consiste à considérer que la barrière de potentiel est abaissée celle-ci s’opposant moins au transfert des porteurs par diffusion.

Dans le cas où la différence de potentiel aurait tendance à augmenter le champ électrique, le phénomène de diffusion est défavorisé aux dépens du phénomène de dérive dans le champ



électrique. Mais le champ électrique, même de très grande amplitude, ne draine que des porteurs minoritaires depuis les couches quasi-neutres (électrons dans la zone p et trous dans la zone n), qui sont comme nous l’avons vu précédemment en quantité extrêmement plus faible que celle des majoritaires. Les densités de courants résultant ne pourront donc qu’être très faibles, toute autre considération mise à part.

En conclusion : - une diminution du champ électrique par application d’une tension positive sur la zone p,

peut créer un courant important : la jonction est polarisée en direct - une augmentation du champ électrique par application d’une tension positive sur la zone n,

ne crée qu’un très faible courant :la jonction est polarisée en inverse.

2°) Polarisation directe et inverse

De l’analyse précédente, nous pouvons représenter sur la figure 56 les conditions de polarisation directe : pour la polarisation inverse, il suffit d’inverser le sens du générateur continue.

n p

ξ initialξ appliqué

VF

+-n p

n p

ξ initialξ appliqué

VF

+-

Figure 56 : Polarisation directe de la jonction pn. Une tension positive est appliquée sur la zone p. Le champ interne à la jonction est alors diminué. Le courant peut devenir important en raison de la possibilité de diffusion des porteurs.

Polarisation directe : borne + sur la zone p, borne – sur la zone n, le champ électrique appliqué diminue le champ interne initial, moyen mnémotechnique : positif sur p, négatif sur n

Polarisation inverse : borne - sur la zone p, borne + sur la zone n, le champ électrique appliqué augmente le champ interne initial.

3°) Profils de concentrations des porteurs dans les zones quasi-neutres – Densités de courant

A l’équilibre thermodynamique, nous avons vu que les concentrations des porteurs dans chacune des deux zones étaient :

coté n : ; Dno Nn ≈D

ino Nnp

2≈ coté p : ; Apo Np ≈

A

ipo Nnn

2≈



a) Approximation de Boltzmann Si nous polarisons en direct la jonction, nous favorisons le phénomène de diffusion et donc,

intuitivement, nous augmentons la concentration de porteurs de part et d’autre de la jonction. En effet, un transit important de porteurs impose une augmentation de niveau (telle une rivière au pied d’un barrage lorsque le débit de celui-ci augmente). L’augmentation ne sera prépondérante que pour les porteurs minoritaires, la variation de la concentration des porteurs majoritaires ne pouvant être que négligeable dans un régime de fonctionnement normal (le niveau supérieur du barrage n’est pas modifié sensiblement lorsque les turbines fonctionnent).

Le problème va consister à évaluer les concentrations de porteurs minoritaires en limite de zone de charge d’espace, sous polarisation. Pour cela, nous allons de nouveau partir des équations des densités de courant (89) et (90) valables à l’équilibre thermodynamique.

0. =++= EqndxdnqDj nnn µ (89)

0. =+−= EqpdxdpqDpj pp µ (90)

Analysons par exemple les deux termes intervenant dans l’équation de la densité de courant d’électrons en effectuant une évaluation numérique simplifiée.

dxdnqDJ nndiff += et EqnJ nndér .µ=

Il suffit de calculer l’un des deux termes. Supposons la jonction en silicium telle que : NA = 1017 cm-3, ND = 1019 cm-3, Dn = 10 cm2/s, µn = 260cm2/Vs, ni

2 = 2.1020 cm-6, εrεο = 10-12 F/cm On déduit des différentes relations : VD = 0,96V, W = 0,11µm, ξmax = 1,6.104 V/cm. En supposant que le gradient de concentration soit le gradient moyen entre –xn et + xp :

dn/dx # ∆n/∆x = (ND-npo)/W mais (ND-npo)/W # ND/W = 1019/1,1.10-5 = 9.1023 cm-4 dans ces conditions :

Jndiff = 1,5.106 A/cm2 = Jnder

Nous constatons ainsi que les composantes de diffusion et de dérive, qui sont antagonistes, sont énormes. Un très léger déséquilibre entre les deux composantes peut entraîner un courant résultant important à travers la structure. Nous pouvons alors faire une approximation qui est appelée approximation de Boltzmann :

Le courant résultant reste négligeable devant les composantes de chacun des courants de porteurs en régime de conduction.

Même sous polarisation les équations (89) et (90) restent ainsi valables :

En conduction En conduction

0. ≈++= EqndxdnqDj nnn µ (97)

0. ≈+−= EqpdxdpqDpj pp µ (98)



b) Concentrations dans les zones quasi-neutres Des équations (97) et (98), nous pouvons calculer la différence de potentiel aux bornes de la

zone de charge d’espace.

ndnVdxdxn

dnµD

p

nT

ZCEnn ∫∫ =−⇒−=

)(

)(.. ξξ

avec VT, potentiel thermodynamique : qkTVT = VT est égale à 26mV à 300K.

L’intégrale du champ électrique sur la zone de charge d’espace est égale à la différence de potentiel |VD| - Vapp. En appelant VF, la tension directe appliquée,

[ ] )0(

lnp

D

n

NTFD ndnVVV =−

en appelant np(0), la concentration des électrons en limite de zone de charge d’espace du coté p (cela revient à décaler l’origine de l’axe des abscisses en x = xp).

( )D

pTFD N

nVVV 0ln=− et compte tenu de la relation (91) onNVV

pDTD ln=

TFpop V

Vnn exp)0( = (99)

De façon analogue, nous pouvons déterminer la concentration de trous en limite de zone de charge d’espace du coté n :

TFnon V

Vpp exp)0( = (100)

La figure 57 montre la situation au niveau de concentrations des porteurs majoritaires et minoritaires.

n p


n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

x expVF/VTx expVF/VT

n p


n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

x expVF/VTx expVF/VT

Figure 57 : Porteurs majoritaires et minoritaires dans la jonction pn sous polarisation directe. Les concentrations des porteurs minoritaires de l’équilibre thermodynamique ont été multipliées par exp(VF/VT) aux limites de la zone de charge d’espace.

Remarquons qu’à 300K, l’application de 60mV en polarisation directe multiplie par 10 la concentration des porteurs aux limites de la zone de charge d’espace. L’application de 600mV multiplie ces concentrations par 1010. Ces concentrations varient donc très fortement en fonction de la tension appliquée.



Ayant déterminé les concentrations aux limites, il faut alors déterminer le profil de concentration des porteurs dans les zones quasi-neutres. Pour y parvenir, il faut considérer les équations de continuité pour les électrons et pour les trous.

Dans un premier temps, nous allons simplifier l’approche en considérant les hypothèses simplificatrices suivantes :

- pas de génération lumineuse, GL = 0, - les recombinaisons sont négligeables, U = 0, - le champ électrique est nul à l’extérieur de la zone de charge d’espace, c’est-à-dire dans les

zones quasi-neutres, ξ = 0, - le régime est stationnaire ; pas de variation en fonction du temps.

Les équations de continuité pour les électrons et les trous, relations (82) et (83), se simplifient fortement et deviennent :

02

2

=∂∂+=∂

∂xnDt

n n 02

2=

∂

∂⇒

xn

02

2

=∂∂+=∂

∂xpDt

pp 02

2=

∂

∂⇒

xp

Il faut intégrer ces deux dernières équations différentielles du second ordre (très simples !). Pour cela il faut connaître deux conditions limites pour chacune d’elles. Nous savons ce qui se passe en limite de zone de charge d’espace, il faut donc une autre condition limite pour chacune d’elle.

Nous allons considérer qu’au niveau des contacts avec les zones quasi-neutres qui correspondent aux connexions avec la source de polarisation, donc aux limites extérieures des zones n et p, la concentration des porteurs minoritaires correspond à celle de l’équilibre thermodynamique. Une autre façon de présenter cette hypothèse est de considérer que les contacts métalliques avec le semiconducteurs sont infiniment recombinants ; en d’autres termes cela signifie que si le contact est ohmique, les échanges entre le métal, qui contient une concentration de porteurs très supérieure au semiconducteur, et les zones n et p sont quasiment instantanée.

En appelant Wn et Wp la largeur des zones quasi-neutres, respectivement, comme indiqué sur la figure 58, nous pouvons très rapidement intégrer les équations différentielles.

Ainsi, baxxnctedxdn

dxnd

+=⇒=⇒= )(02

2 (équation d’une droite).

Ce segment de droite passe par deux points déjà déterminés. En effectuant le changement de variable adéquat, x = 0 en x = xp, l’équation de la droite devient :

)0()0()( pp

ppo nxW

nnxn +−

=

En modifiant l’axe des x de façon appropriée, il est possible de la même manière de déduire le profil de concentration des trous dans la région n (translation de W).

)0()0()( nn

non pxW

ppxp +−=




Connaissant le profil de concentration des deux types de porteurs, il est possible d’en déduire les densités de courant, puisque dans les zones quasi-neutres, la composante de dérive est nulle (champ nul) et que seule subsiste la composante de diffusion (Figure 58).

Figure 58 : Profils de concentration des porteurs dans la jonction polarisée en direct en considérant les recombinaisons négligeables dans les zones quasi-neutres. Dans une échelle linéaire, le profil de concentration est linéaire. Attention, cette représentation est trompeuse ! puisque pour pouvoir les représenter, les niveaux des concentrations sont supposés être en échelle logarithmique. Il y a donc superposition de deux échelles différentes, l’une logarithmique, l’autre linéaire !

c) Densités de courant injectées Il suffit d’exprimer les courants de diffusion dans chacune des deux zones comme suit :

[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

−=

== 1exp

00

TVFV

pW

ponnqD

pW

)(pnponnqD

xdxdnnqDnJ (101)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

−−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−= 1exp)0(

0 TVFV

nWnop

pqDnW

nopnppDq

xdxdp

pqDpJ (102)

Le signe négatif provient de l’orientation de l’axe des abscisses, les électrons se déplaçant vers les x positifs, la densité de courant est orientée vers les x négatifs. Ainsi, il est habituel de donner les expressions des densités de courant en valeur absolue. Nous rappelons aussi que nous avons translaté les axes pour simplifier l’expression des profils de concentrations des porteurs minoritaires.

La densité de courant totale est la somme des deux types de courants injectés (les porteurs se " croisent " dans la zone de charge d’espace). En appelant JBF B la densité de courant totale :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−=+= 1exp

TVFV

nWnop

pDpW

ponnDqpJnJJF

expression qui peut aussi s’écrire sous la forme :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+= 1exp

22

TVFV

NnWin

pDNpWin

nDqJDA

F

n p

n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

expVF/VT

pn(x) np(x)

WpWn

x-xn +xp

n p

n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

expVF/VT

pn(x) np(x)

WpWn

x-xn +xp



en multipliant par la surface de la jonction, on obtient l’expression du courant total :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+= 1exp

22

TVFV

NnWin

pDNpWin

nDqSIDA

F (103)

ou encore

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

TVFV

IIF σ avec ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

DA NnWin

pDNpWin

nDqSI22

σ (104)

Ainsi, la densité de courant (ou le courant total) circulant à travers la jonction pn varie exponentiellement en fonction de la tension appliquée. L’aspect exponentiel provient de la variation exponentielle des concentrations injectées en limite de zone de charge d’espace qui évoluent comme la statistique de Boltzmann.

Nous n’avons fait aucune hypothèse particulière sur le signe de la polarisation VBF B. Si VBF B est négatif, tout le raisonnement effectué reste valable, mais dans ce cas l’exponentielle (d’un nombre négatif) tend vers 0. Les concentrations en limite de zone de charge d’espace deviennent inférieures aux concentrations de l’équilibre thermodynamique, et les pentes étant inversées, les densités de courant sont aussi inversées. Très rapidement, le courant total tend vers IBσB et l’expression (104) devient :

σIIF −=

IBσB est appelé courant de saturation ; c’est le courant inverse de la diode à jonction pn sous polarisation inverse lorsque cette dernière n’est pas trop élevée.

La situation des profils de concentrations de porteurs correspond à la figure 59. n p

n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

expVF/VT

pn(x) np(x)

WpWn

x-xn +xp

n p

n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

expVF/VT

pn(x) np(x)

WpWn

x-xn +xp

Figure 59 : Profils de concentrations des porteurs dans la jonction pn polarisée en inverse. Par rapport à la polarisation directe, les pentes sont inversées. Il faut se rendre compte dans cette représentation que nBpB(0) et p BnB(0) sont pratiquement nuls (échelle logarithmique pour les valeurs de concentrations). Attention, là encore le profil linéaire correspond à une représentation modifiée des échelles.

Nous pouvons écrire les équations (101) et (102) sous une autre forme qui sera utilisée notamment dans l’étude du transistor bipolaire.



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

21exp

2

. TVFV

Gin

qTVFV

pWNin

nqDnJBA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

21exp

2

. TVFV

Gin

qTVFV

nWNin

pqDpJED

GBE B et GBB B sont appelés nombres de Gummel respectivement pour les régions n et p qui s’appelleront plus tard émetteur et base.

p

nDE D

WNG .=

n

pAB D

WNG .= (103)

Ces nombres de Gummel font intervenir la quantité totale de dopant par unité de surface dans chacune des couches quasi-neutres. Ils auront de l’importance dans les propriétés des transistors bipolaires puisqu’ils permettront de calculer très rapidement le gain en courant du transistor.

4°) Effet de la recombinaison : diode courte et diode longue

Dans les équations de continuité, nous avons considéré que les recombinaisons étaient négligeables pour mener à bien le calcul précédent. Dans le cas plus général, il n’est pas possible d’éliminer ce phénomène puisque la durée de vie des porteurs dépend fortement du niveau de dopage des couches qui sont, pour des raisons technologiques d’intégration de plus en plus dopées !. Nous allons reprendre le calcul avec les hypothèses précédentes, champ nul, génération lumineuse nulle, et régime stationnaire mais en tenant compte des recombinaisons, c’est-à-dire U différent de 0.

02

2=

−−

n

pon

nndx

ndD

τ

nn

po

Dnn

dxnd

τ.2

2 −=

02

2=−− p

ppdx

pdD no

p τ pp

no

Dpp

dxpd

τ.2

2 −=

DBn Bτ Bn B et DBp Bτ Bp B au dénominateur du second terme sont homogènes à une longueur au carré. Nous définissons par L Bn B et L Bp B les longueurs de diffusion des électrons et des trous respectivement dans les zones où ils sont minoritaires. Ainsi :

nnn DL τ=2

d’où nnn DL τ= (104)

ppp DL τ=2

d’où ppp DL τ= (105)

Nous verrons plus tard la signification physique de ces longueurs. Les équations différentielles deviennent :



22

2

22

2

nn

po

L

udx

ud

Lnn

dxnd

=⇒−=

22

2

22

2

pp

no

L

vdx

vd

L

ppdx

pd=⇒−=

Ces équations différentielles s’intègrent en tenant compte des deux conditions limites déjà rencontrées dans la résolution précédente, à savoir :

TFpop V

Vnn exp)0( = et n Bp B(WBp B) = nBpo B

TFnon V

Vpp exp)0( = et pBn B(-WBn B) = pBno B

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

nn LxB

LxAu exp.exp.

Nous obtenons une expression analogue pour v. Ces expressions se transforment après remplacement de A et B et quelques manipulations par :

np

np

poppop

LWsh

LxWsh

nnnxnu−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= )0()(

LpWsh

LxWsh

pppxpvn

pn

nonnon

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= )0()(

En tenant compte des expressions de nBp B(0) et de pBn B(0) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=− 1exp)(T

F

np

np

popopVV

LWsh

LxWsh

nnxn

(106)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=− 1exp)(T

F

n

n

nononVV

LpWsh

LpxWsh

ppxp (107)

Le profil de concentration des porteurs est donc dans le cas le plus général en fonction "chaînette" qui donnerait dans une échelle linéaire l’aspect de la figure 60. Sur cette figure, le profil représenté est tracé dans une échelle linéaire, pour simplifier la représentation. Il faut toujours avoir à l’esprit que la variation des valeurs absolues est de plusieurs décades ; c’est ce qui justifie la combinaison des deux types d’échelle.



n p

n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

expVF/VT

pn(x) np(x)

WpWn

x-xn +xp

n p

n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

expVF/VT

pn(x) np(x)

WpWn

x-xn +xp

Figure 60 : Profil de concentration de porteurs dans une jonction pn polarisée en direct et pour laquelle les recombinaisons interviennent dans les régions quasi-neutres. L’aspect en chaînette présenté correspond à une représentation en échelle linéaire de la variation.

A partir de ces profils de concentration, nous pouvons calculer les densités de courant de diffusion comme précédemment en faisant l’hypothèse que seule subsiste la composante de dérive pour chaque type de porteur.

[ ]0=

=xdx

dnnqDnJ

0=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

xdxdp

pqDpJ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 1expcoth

T

Fnp

npo

nVV

LW

LnqDJn

(108)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 1expcoth

T

Fnnop

VV

LpW

LppqDJp (109)

Expressions qui peuvent être écrites en faisant apparaître les nombres de Gummel GBE B et GBB B.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

2

TVFV

Gin

qnJB

n

p

n

nAB L

WthD

LNG .=

(110)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

2

TVFV

Gin

qpJE

p

n

p

pDE L

WthD

LNG .=

(111)

Pour les relations (108) à (111) deux cas limite peuvent se présenter : - la longueur de diffusion est grande devant les dimensions de la zone considérée, - la longueur de diffusion est petite devant les dimensions de la zone considérée. Il faut noter que les lois sont exponentielles ; la notion de grand et petit dans ce cas signifie

qu’un rapport 3 à 5 dans un sens ou dans l’autre est suffisant !



a) Longueur de diffusion grande – hypothèse de diode courte C’est le cas où L Bn B > 3WBp B, ou L Bp B > 3WBn B.

Nous pouvons alors considérer que les recombinaisons sont négligeables. Nous retrouvons (figure 61) alors les résultats des formules (101) et (102). Nous pouvons retrouver le résultat en partant des relations (110) ou (111).

n

pA

n

p

n

nA

n

p

n

nAB D

WNL

WD

LNL

WthD

LNG ...=≈=

n

pAB D

WNG .=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

2

TVFV

NpWin

nqDJA

n (112)

xWp0

npo

np(0)

np(x)

⎜Jn⎜

xWp0

npo

np(0)

np(x)

⎜Jn⎜

Figure 61 : profil de concentration dans le modèle diode courte pour les électrons. La variation est linéaire. La densité de courant est proportionnelle à la pente et est donc constante dans la couche considérée.

b) Longueur de diffusion petite – hypothèse de diode longue C’est le cas où L Bn B < 3WBp B, ou L Bp B < 3WBn B. Nous pouvons alors considérer que les recombinaisons

sont importantes. Le terme en thWBp B/L Bn B tend vers 1.

n

nA

n

p

n

nAB D

LNL

WthD

LNG ..≈=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

2

TVFV

NnLin

nqDJA

n (113)

Remarquons que l’on passe très

simplement de l’équation (112) à (113) en remplaçant WBp B par L Bn B. Le profil se ramène à une exponentielle décroissante (figure 62), la tangente à l’origine coupant l’asymptote en L Bn B. Nous pourrions aussi rapidement retrouver ce profil en partant de l’équation de continuité. La solution du type :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

nn LxB

LxAu exp.exp.

a son second terme qui n’est plus physique si L Bn B est très petit. Nous retrouvons ainsi la variation exponentielle décroissante.

xWp0

npo

np(0)

np(x)

⎜Jn⎜

Ln xWp0

npo

np(0)

np(x)

⎜Jn⎜

Ln Figure 62 : profil de concentration dans le modèle de diode longue ; la zone est longue comparée à la longueur de diffusion. Le profil est exponentiel décroissant (représentation dans une échelle linéaire) ; nBpB(0) et nBpo B peuvent être dans un rapport 10 P

12P.

popn

nxnLxAu −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= )(exp.

expression qui permet de retrouver le profil. Nous retrouvons facilement l’expression de la densité de courant d’électrons.


Dans le cas de la diode longue, la densité de courant est calculée en x = 0. En effet, puisqu’il y a recombinaison dans la couche, les électrons disparaissent progressivement et sont remplacés par des trous. La densité de courant totale injectée étant due aux électrons en x = 0 se retrouve entièrement sous forme d’une densité de courant de trous au contact, en x =Wp La pente étant l’image de la densité de courant de diffusion, il est clair sur la figure 62 que la densité de courant d’électrons diminue quand x augmente et qu’elle tend vers 0.

La notion de diode courte, diode longue ou ni courte ni longue est à appliquer aux deux types de

porteurs. Il est ainsi possible d’avoir une diode courte pour les électrons et une diode longue pour les trous, par exemple. La figure 63 montre cette situation.

xWp0

pno

np(x)

⎜Jn⎜

Wn

npo

pn(x)

⎜Jp⎜

Ln

diode courtediode longue

xWp0

pno

np(x)

⎜Jn⎜

Wn

npo

pn(x)

⎜Jp⎜

Ln

diode courtediode longue

Figure 63 : profils des concentrations d’électrons et de trous dans le cas du modèle diode courte pour les électrons et diode longue pour les trous.

En pratique, il faudra systématiquement évaluer les longueurs de diffusion afin de savoir quel est le modèle le mieux approprié : la résolution devient alors très rapide.

Dans le cas de la figure 63, les recombinaisons sont importantes dans l’émetteur. Il y a donc variation de la densité de courant de trous qui est compensée par la densité de courant d’électrons, la densité de courant totale restant constante en régime stationnaire à travers la structure. La variation des densités de courant est représentée figure 64.

Jn

Jp

Jtot = Jn + Jp

Figure 64 : variation des densités de courant à travers la structure en régime stationnaire. La densité totale de courant est constante et la zone de type n est dans cet exemple fortement recombinante. En se rapprochant du contact de la zone de type n, la densité de courant de trous tend vers 0, compensée par la densité de courant d’électrons.



5°) Caractéristique – Résistance différentielle

Que la diode soit courte, longue ou ni l’une ni l’autre, les densités de courant s’expriment toujours

par le produit d’un terme exponentiel en 1exp −

TVFV

et d’un terme pré-exponentiel.

Ainsi, dans tous les cas, il est possible d’écrire :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

TVFV

JJF σ (114)

Dès que la polarisation est supérieure à 3VT, le terme exponentiel est très supérieur à 1 qui devient négligeable. Le courant total s’exprime donc par :

TVFV

IIF expσ=

VF

IF

pente en 1/rd

VF

IF

pente en 1/rd

Figure 65 : caractéristique exponentielle de la diode à jonction pn. La pente est proportionnelle au courant et inversement proportionnelle à la résistance différentielle.

La caractéristique de la jonction pn représentée figure 65, qui est celle de la diode correspondante, est alors purement exponentielle. En un point de cette caractéristique, la pente se calcule par dérivation logarithmique :

T

F

F

F

T

F

T

F

F

FVI

dVdI

VdV

VdV

IdI

IdI

=⇒=+=σ

σ

La pente de la caractéristique IF(VF) est l’inverse d’une résistance appelée résistance différentielle et qui ne dépend que de la polarisation de la jonction et du potentiel thermodynamique.

F

Td I

Vr = (115)

6°) Capacité de la jonction

Nous avons vu précédemment que l’extension de la zone de charge d’espace s’exprimait en fonction de la tension de diffusion et de la tension appliquée lorsque celle-ci existe.

La présence des deux charges de type opposé situées de part et d’autre de la jonction métallurgique crée un effet équivalent à celui de deux plaques d’un condensateur dont la distance correspond à l’extension de la zone de charge d’espace, W.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= FDA

or VVNqW 12 εε ou encore ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= RDA

or VVNqW 12 εε

lorsque la tension appliquée est inverse et pour une zone p moins dopée. Nous définissons alors la capacité par unité de surface par :

RD

orAor

S

VVqNWC

+

== 121 εεεε en F/cm2 (116)



Cette capacité varie en VR-1/2 dès que VR>> VD. Cette capacité est celle qui apparaît dans le

schéma électrique équivalent de la diode à jonction pn. Cette variation est exploitée dans la réalisation des diodes "varicap".

7°) Jonction fortement polarisée en inverse

Lorsque la tension appliquée en inverse augmente, le champ électrique maximum (à la jonction métallurgique) devient suffisamment fort pour créer deux nouveaux effets :

- ionisation par impact – effet d’avalanche. - effet Zener a) Effet d’avalanche Dans une zone de champ électrique élevé (autour de 300kV/cm pour le silicium) et suffisamment

étendu (sur une distance d’au moins 100Å) un porteur (électron ou trou) accéléré par ce champ peut acquérir suffisamment d’énergie pour casser une liaison entre atomes du réseau cristallin et de ce fait créer une paire électron-trou.

Cette paire est discriminée par le champ (déplacement opposé) et les nouveaux électron et trou sont aussi accélérés par le champ et peuvent à leur tour créer une nouvelle paire, et ainsi de suite. L’effet est cumulatif comme représenté figure 66. Les courants d’électrons et de trous peuvent devenir très importants et ne sont limités que par le circuit électrique extérieur. Ce phénomène est appelé avalanche par multiplication par impact. Il peut être contrôlé en ajustant les dopages et donc la valeur du champ électrique dans la zone de charge d’espace.

ξ champ électrique

e-+

e-

+

e-+

e-

électron précurseur

ξ champ électrique

e-+

e-

+

e-+

e-

électron précurseur

Figure 66 : Phénomène d’ionisation par impact. L’électron précurseur accéléré crée une paire électron-trou (à gauche de la figure) qui discriminée par le champ permet une nouvelle ionisation par le trou accéléré partant à droite et ainsi de suite. L’effet cumulatif s’appelle avalanche par multiplication (par impact).

b) Effet Zener Dans le cas où l’étendue de la zone de fort champ électrique est plus faible que dans le cas

précédent (inférieure à 100 Å), le champ électrique peut être plus élevé sans générer une ionisation par impact. Mais lorsque le champ atteint 1MV/cm, il y a alors rupture des liaisons par effet tunnel entre atomes voisins et donc émission d’une paire électron-trou. Le nombre de paires peut croître très fortement et les courants générés aussi. C’est aussi un phénomène cumulatif.

Dans les diodes au silicium la transition effet Zener/effet d’avalanche se produit pour des tensions autour de 6V, cette transition dépendant des niveaux de dopage des deux couches n et p. Les faibles tensions correspondent à l’effet Zener pur, les fortes à l’avalanche. Expérimentalement, les deux effets dépendent différemment de la température.



Remarque : les électroniciens ont pris l’habitude d’appeler diode Zener des diodes qui servent de référence de tension

lorsqu’elles sont suffisamment polarisées en inverse. Pour les fortes tensions, ce n’est pas en réalité l’effet Zener qui

intervient mais l’effet d’avalanche.

IV Jonctions dans les applications particulières de diode

1°) Diodes varicap

C’est une diode à jonction pn pour laquelle la capacité statique CS en fonction de la tension inverse est exploitée. Cette propriété est optimisée par le choix des dopages. Ces diodes sont par exemple utilisées dans les oscillateurs pour commander un fréquence à partir d’une différence de potentiel.

2

1.

−= RS VKC

Diode varicap : schéma et loi de variation

2°) Diode tunnel (Esaki)

Ces diodes sont fabriquées à partir de jonctions pn très dopées des deux cotés. Le passage des porteurs peut se produire à travers la barrière de potentiel qui devient extrêmement fine, comme représenté figure 67. L’effet tunnel, qui est iso-énergétique ne peut se produire que tant qu’une place est disponible de l’autre coté de la jonction. A très faible polarisation, la conduction tunnel est possible : dès que la polarisation atteint de l’ordre de 100mV, le décalage des bandes d’énergie est suffisant pour bloquer le phénomène tunnel. La diode retrouve sa caractéristique typique en loi exponentielle (figure 68). Ainsi, il se crée entre les deux régimes une zone à pente négative qui est exploitée dans les oscillateurs à très haute fréquence.

E

EC

EV

EF

EC

EV

effet tunnel

E

EC

EV

EF

EC

EV

effet tunnel

E

EC

EV

EF

EC

EV

effet tunnel

Figure 67 : Diagramme d’énergie à l’équilibre thermodynamique d’une diode tunnel. Les deux zones sont très dopées et le niveau de Fermi se retrouve dans les bandes d’énergie. A faible polarisation, la conduction peut se produire par effet tunnel.

VF

IF

pente négative

0

effet tunnel

diode «classique»

VF

IF

pente négative

0

effet tunnel

diode «classique»

Figure 68 : caractéristique électrique de la diode tunnel. Sous faible polarisation la conduction est importante. Quand la barrière d’énergie est suffisamment abaissée, la transition tunnel n’est plus possible et la caractéristique prend une forme de diode classique. Le changement de régime crée une zone à résistance dynamique négative.



3°) Photodiodes

La jonction pn est mise en conduction par génération lumineuse apportée par un faisceau de photons d’énergie suffisante pour créer des porteurs (cf. figure 69). Les paires électron-trou sont discriminées par le champ électrique de la zone de charge d’espace. Les porteurs sont alors drainés vers le circuit extérieur. La lumière est alors convertie en courant. L’application la plus connue est la cellule photovoltaïque. Il faudra bien sûr optimiser la capture des photons et la récupération des porteurs de charge pour obtenir un rendement de conversion acceptable.

n+

p+

ZCE n-

n+

p+

ZCE n-

Figure 69 : Coupe simplifiée et symbole d’une photodiode. Le champ électrique présent dans la zone de charge d’espace permet de discriminer les porteurs générés depuis la surface et de les drainer vers les contacts (zone hachurées sur la figure).

4°) Diodes électroluminescentes

En choisissant le matériau semiconducteur avec un gap suffisant, la transition entre les deux zones se fait avec une différence énergétique suffisante pour créer un photon dans la gamme des longueurs d’onde visible. L’injection dans la base de la diode (la zone la moins dopée), crée un excès de porteurs minoritaires qui se recombinent sous forme radiative. La figure 70 montre le diagramme d’énergie dans cette situation. Il est bien sûr utile d’utiliser des matériaux à gap direct s’il l’on souhaite obtenir un rayonnement dans le domaine visible. C’est le domaine privilégié des semiconducteurs composés III-V. La conception de ces diodes doit aussi tenir compte de l’efficacité d’émission (il faut récupérer au maximum les photons).

n

ECq(VD1-VA)

p

EmetteurBase

n

ECq(VD1-VA)

p

EmetteurBase

Figure 70 : Injection d’électrons dans la zone p et recombinaisons radiatives des électrons. Il faut bien sûr contrôler la sortie des photons pour obtenir une bonne efficacité.


2ème PARTIE

Chapitre 7 : Le transistor bipolaire

CHAPITRE VII

LE TRANSISTOR BIPOLAIRE

I Constitution

1°) Réalisation physique et définitions

Le transistor bipolaire correspond physiquement à la juxtaposition de deux jonctions pn réalisées dans un même cristal semiconducteur. Le transistor bipolaire est donc le premier dispositif que nous appellerons "actif", constitué à base de jonctions pn. La connaissance sérieuse du fonctionnement d’une diode à jonction pn est donc strictement nécessaire pour en comprendre le fonctionnement.

Il existe donc deux types de transistor en fonction de la zone commune aux jonctions, la structure nommée npn et la structure pnp. La figure 71, donne une représentation extrêmement schématique de la structure de base.

n p n

ou

pp n

J1 J2

n p n

ou

pp n

J1 J2

Figure 71 : Représentation très schématique d’un transistor bipolaire. Les deux types de structures npn ou pnp sont possibles. La partie centrale est appelée la base.

Le fait d’avoir deux jonctions très rapprochées confère à la structure des propriétés autres que la simple juxtaposition de deux jonctions pn tête-bêche. Pour cela il faut s’assurer qu’il n’y a pas rupture du réseau cristallin et que la distance entre les jonctions métallurgiques soit de l’ordre de grandeur ou plus faible que la longueur de diffusion des porteurs dans la couche centrale. Cela va imposer des contraintes technologiques et donner un rôle spécifique à chacune des zones encadrant la zone centrale appelée la base. En d’autres termes, la structure bipolaire n’est pas simplement réversible. En technologie silicium classique, une coupe de la structure peut être celle représentée figure 72.

pp Base

n+

n Collecteur

Emetteur

pp Base

n+

n Collecteur

Emetteur

Figure 72 : Représentation très schématique d’une coupe d’un transistor bipolaire au niveau des jonctions. La zone en surface est appelée émetteur et la zone profonde, collecteur, terminologie qui sera justifié plus loin.



La zone en surface qui sera en général très dopée est appelée émetteur. La zone située au-dessous de la base est appelée collecteur. Nous justifierons simplement cette terminologie plus loin dans le chapitre. Emetteur et collecteur sont donc réalisés dans un même cristal et ont le même type de dopage, mais pas forcément le même type de dopant ni le même niveau de concentration. Les deux jonctions sont respectivement appelées émetteur-base et base-collecteur.

Dans les circuits électroniques, les symboles utilisés pour les deux types de transistors sont donnés figure 73. La flèche indiquée entre la base et l’émetteur est orientée dans le sens passant de la jonction pn correspondante, donc toujours orientée de p vers n.

n

nnp

p

pEE

B B

C C

NPN PNP

n

nnp

p

pEE

B B

C C

NPN PNP

Figure 73 : Représentation des transistors npn et pnp. La flèche entre l’émetteur et la base est dans le sens passant de la jonction émetteur-base.

2°) Profil de dopage

Compte tenu des contraintes déjà évoquées, le profil de dopage typique dans une technologie de transistor bipolaire intégré (cf. cours de technologie microélectronique intégrée, http://gmv.spm.univ-rennes1.fr) est celui représenté figure 74 et correspond à :

- un émetteur très dopé, - une base moyennement dopée, - un collecteur constitué de deux zones, la première faiblement dopée la seconde très dopée.

Profondeur (x 0,1µm)

Con

cent

ratio

n cm

-3

N+N+

N-

P

Bas

e

Col

lect

eur

Em

ette

ur

1014

1016

1018

1020

0 1 2 4 5 6

Profondeur (x 0,1µm)

Con

cent

ratio

n cm

-3

N+N+

N-

P

Bas

e

Col

lect

eur

Em

ette

ur

1014

1016

1018

1020

Em

ette

ur

1014

1016

1018

1020

0 1 2 4 50 1 2 4 5 66

Figure 74 : Profils de dopage. Les dopages sont très différents dans les différentes zones. En général, l émetteur est très dopé, la base moins dopée et le collecteur dopé en deux parties au moins.

La zone très dopée du collecteur se justifie par la minimisation de la résistance interne de cette couche, les performances électriques du transistor dans ses applications en dépendant très fortement. En effet, dans les circuits intégrés à base de transistors bipolaires, pour éviter les courts-circuits entre les différents transistors et pour isoler les couches entre elles, la structure est assez complexe et ressemble à celle présentée figure 75. Le contact collecteur est "remonté" en surface et



nécessite donc une zone d’accès très dopée pour minimiser les pertes dans le circuit électronique du collecteur.

n+

p

p p+

B E C

n+

p

p p+

B E C

Figure 75 : Représentation schématique d’une coupe d’un transistor dans un circuit intégré. L’agencement des zones est lié aux besoins d’isolation électrique et d’interconnexion des composants.

Ainsi, la structure est essentiellement tridimensionnelle, mais pour simplifier l’étude théorique et bien comprendre les mécanismes fondamentaux, nous nous limiterons à un modèle unidimensionnel dont l’orientation est perpendiculaire aux plans parallèles des jonctions métallurgiques émetteur-base et base-collecteur.

3°) Diagramme d’énergie de la structure à l’équilibre thermodynamique

Le diagramme d’énergie est tracé figure 76 dans ce cas à l’équilibre thermodynamique en supposant une coupe allant de l’émetteur vers le collecteur perpendiculairement aux jonctions. La position du niveau de Fermi dans chacune des zones correspond à des niveaux de dopage de la structure représentée figure 74.

EC

EV

EF

Eg

n

ECqVD1

p

EF

n

Eg

qVD2

Eg

EC

EV


EC

EV

EF

Eg

n

ECqVD1

p

EF

n

Eg

Eg

qVD2

Eg

EC

EV


Figure 76 : Diagramme d’énergie à l’équilibre thermodynamique. Le collecteur comporte deux zones de dopage différent.

Pour simplifier, nous considérons les dopages constants ce qui signifie que les jonctions seront considérées abruptes. Ce diagramme d’énergie représenté figure 76 sera exploité plus loin en régime de conduction.

II Principe de fonctionnement

1°) Régime de conduction

En régime dit "normal" de fonctionnement,



- la jonction émetteur-base est polarisée dans le sens direct, - la jonction collecteur-base est polarisée en sens inverse. Connaissant les résultats de la diode à jonction pn, dans le cas des transistors à base de silicium,

la tension appliquée à la jonction émetteur-base se situera autour de 0,7 V alors que la tension appliquée à la jonction collecteur-base pourra s’étendre de quelques volts à quelques milliers de volt en adaptant les niveaux de dopage pour ajuster la valeur de la tension de claquage par avalanche.

La jonction émetteur-base étant polarisée en direct, il y aura une injection de porteurs depuis la base vers l’émetteur et depuis l’émetteur vers la base, ces deux injections étant pilotées par la polarisation de la jonction émetteur-base.

La jonction collecteur-base étant polarisée en inverse, les injections de porteurs dues à cette polarisation sont très faibles et le champ électrique dans la zone de charge d’espace de la jonction très élevée.

Nous allons analyser, dans la suite, les phénomènes se produisant dans un transistor bipolaire de type npn, sachant que pour un transistor pnp, le raisonnement sera dual.

2°) Diagramme d’énergie en conduction normale

Le diagramme d’énergie sous polarisation est obtenu à partir du diagramme d’énergie à l’équilibre thermodynamique, figure 77.

EC

EV

EF

EFp

n

ECq(VD1-VBE)

p

EF

n

q(VD2+VCB)

EFn

EC

EV

EmetteurBase

Collecteur

EFp

EFn

Figure 77 : Digramme d’énergie sous polarisation normale du transistor bipolaire. La jonction émetteur-base est polarisée en direct, la jonction collecteur-base en inverse. Les pseudo- niveau de Fermi pour les électrons et les trous sont séparés. Dans l’émetteur et la base, les porteurs étant en excès ; EFn est au-dessus de EFp. La situation est contraire au niveau du collecteur (génération dans la ZCE).

Attention, dans ce cas, les niveaux de Fermi pour les électrons et les trous ne sont plus identiques. Nous allons toujours supposer qu’au niveau des contacts (émetteur et collecteur) le matériau semiconducteur retrouve l’équilibre thermodynamique grâce aux échanges de porteurs avec le métal. Cela signifie que les pseudo-niveaux de Fermi se rejoignent. Dans la zone de charge d’espace de la jonction émetteur-base, l’injection crée des excès de porteurs, ce qui laisse supposer que le niveau EFn est au-dessus du niveau EFp (chacun des niveaux se rapproche de la bande des



porteurs respectifs). Dans le cas de la jonction collecteur-base, c’est l’effet contraire qui se produit (désertion accentuée par la polarisation inverse).

La variation des pseudo-niveaux de Fermi se fera essentiellement dans les zones où les porteurs sont en faible quantité, donc dans les zones où ils sont minoritaires (le courant étant constant, la diminution de la concentration est compensée par la variation du gradient du pseudo-niveau de Fermi (formules (86) et (87)).

La différence entre les deux niveaux de Fermi des majoritaires correspond à la polarisation externe appliquée. Dans le diagramme de la figure 50, le potentiel (ou l’énergie) de l’émetteur est pris comme référence. La différence totale (entre les deux contacts extrêmes) correspond à la somme algébrique des différences de potentiel appliquées à la jonction émetteur-base et à la jonction collecteur-base.

Ce diagramme d’énergie fait clairement apparaître la diminution de la hauteur de barrière d’énergie pour les électrons injectés dans la base et l’augmentation de la chute d’énergie pour les mêmes électrons au niveau de la jonction collecteur-base. Par contre, pour les trous de la base, la hauteur de barrière a fortement augmenté. Pratiquement aucun trou de la base ne pourra, a priori, rejoindre le collecteur.

3°) Effet transistor. Bilan des injections. Nécessité d’une base courte.

Nous avons vu que dans le cas de la jonction pn polarisée en direct que si celle-ci est dissymétrique, (par exemple de type n+p, alors la densité de courant injectée dans la région p est très supérieure à celle injectée dans la région n. Le but de la structure est de récupérer cette densité de courant injectée par l’émetteur dans la base, par l’intermédiaire d’un champ électrique(créé par la polarisation inverse de la jonction collecteur-base) dans le collecteur.

Emetteur Base

n=ND p=NA

pno=ni2/ND

npo=ni2/NA

np(0)pn(0)

Collecteur

n=NDCξchamp

pnoC=ni2/NDC

Figure 78 : Densités de courant injectées dans un transistor npn en régime normal de conduction. La densité de courant d’électrons injectée dans la base atteint la jonction collecteur-base où le champ électrique happe les porteurs et les propulsent dans le collecteur.

Donc si tout va bien, dans le cas d’un transistor npn, le courant collecteur va être très voisin du courant d’électrons injecté par l’émetteur. La figure 78 donne un aperçu du phénomène. Dans la suite nous allons analyser les principaux phénomènes et paramètres limitant ce transfert.

Sur la figure 78, JpE est la densité de courant injectée dans l’émetteur, JnB injectée dans la base et JnC dans le collecteur. La jonction collecteur-base étant polarisée en inverse, la densité de courant



qui la traverse est négligeable lorsqu’il n’y a pas d’injection JnC. Si cette dernière existe (injection pilotée), le champ électrique capte (ou happe) tous les électrons pour les propulser (ou envoyer) vers le collecteur, qui les collecte (origine du nom !), l’émetteur ayant émis ces porteurs.

La densité de courant de trous injectée dans l’émetteur ne peut provenir que de la base, puisque le collecteur n’injecte pas de trous dans la base.

Ainsi, l’effet transistor consiste à : - injecter un faible courant dans la base depuis l’extérieur qui polarise la jonction émetteur-

base, - injecter des électrons dans la base depuis l’émetteur, la densité de courant étant beaucoup

plus grande que celle des trous injectés dans l’émetteur, - récupérer la majeure partie des électrons dans le collecteur grâce au champ électrique et donc

piloter un courant fort dans le collecteur. On appellera gain en courant le rapport entre le courant collecteur et celui injecté depuis le

contact de base dans la base. Cet effet ne sera possible que si la base est suffisamment courte. En effet, la densité de

courant de diffusion, JnB augmente lorsque les dimensions de la base diminue. De plus, si la base est trop, longue, par rapport à la longueur de diffusion des porteurs (ici les électrons), la densité de courant disparaît dans la base sans atteindre le collecteur. Le courant collecteur (et donc JnC) est alors quasiment nul.

Pour résumer, l’effet transistor apparaît lorsque : - la jonction émetteur-base est dissymétrique, l’émetteur étant beaucoup plus dopé que la

base, - l’épaisseur de la base est faible par rapport à la longueur de diffusion des porteurs dans la

base, - la jonction émetteur-base est polarisée en direct, - la jonction collecteur-base est polarisée en inverse.

Remarques : sur la figure 51 nous n’avons pas fait apparaître explicitement l’effet de la polarisation inverse de la

jonction collecteur-base. Cette polarisation a tendance à diminuer la concentration en électrons minoritaires à la limite

de la ZCE du coté base. Mais il faut se rappeler que nous combinons sur ce graphe des échelles linéaires et

logarithmiques. En fait la pente donnée dans une échelle linéaire n’est pas affectée par cette polarisation qui diminue la

valeur de npo. Que cette concentration soit égale par exemple à 104cm-3 ou à 10-20cm-3 ne modifie en rien la valeur

effective de la pente qui est par exemple de (1014 – 104) / WB, soit 1014 / WB.

4°) Effet des recombinaisons

Nous avons vu que le but du jeu est de n’avoir aucune perte sur le parcourt entre émetteur et collecteur. Les recombinaisons vont jouer un rôle important dans ces limitations

a) Recombinaison dans l’émetteur Si l’émetteur est le siège de recombinaisons importantes, le modèle pour les porteurs injectés

dans l’émetteur sera celui de la diode longue. Seulement la densité de courant Jp sera récupérer au



contact à comparer à JpE injecté. Le modèle diode longue a ainsi tendance à accroître la pente du profil et donc à augmenter le courant base sans pour autant augmenter le courant collecteur.

b) Recombinaison dans la zone de charge d’espace de la jonction émetteur-base Dans cette zone nous avons un excès de porteurs dû aux injections par rapport à l’équilibre

thermodynamique. La tendance est donc à la recombinaison, ce qui signifie que certains des porteurs quittant la zone quasi neutre de l’émetteur n’atteindront pas la zone de base. Sur le parcourt, c’est l’injection de la base qui prend le relais, et donc le courant base est augmenté. Cette densité de courant est appelée Jrec.

c) Recombinaison dans la base ; facteur de transport dans la base Si la recombinaison intervient dans la base, une fraction des porteurs injectés de puis l’émetteur

et pénétrant dans la base disparaît dans cette zone. Ces porteurs sont compensés par des trous arrivant du contact de base. La recombinaison augmente donc le courant de base sans augmenter le courant collecteur ; il affecte donc le gain. La différence s’exprime par : JnE - JnC.

d) Courant inverse collecteur-base Ce courant inverse, a priori très faible, peut être fortement augmenté par la présence de

génération dans la zone de charge d’espace de la jonction collecteur-base. Le champ électrique y est très fort et tout porteur généré est évacué. Dans la cas du transistor npn, les électrons générés sont envoyés vers le collecteur et les trous vers l’émetteur. L’effet est donc de diminuer le courant injecté depuis le contact de base et d’augmenter le courant collecteur. Il y a donc augmentation du gain. Cet effet apparemment bénéfique a ses limites puisque ce courant n’est pas piloté par la polarisation de la jonction émetteur-base.

5°) Bilan des courants

Pour mieux comprendre les différents effets présentés ci-dessus, la figure 79 présente les densités de courant dans le cas d’un transistor npn polarisé dans des conditions normales.

Figure 79 : Représentation schématique des différentes densités de courant prenant en compte les recombinaisons et générations dans les différentes zones du transistor npn en régime normal de conduction. Les densités de courant d’émetteur, collecteur et base correspondent à la somme algébrique de ces courants.

Une autre façon de représenter les différentes densités de courant et la variation de leur amplitude relative est donnée par la figure 80. Il faut être attentif au fait que les électrons se

Emetteur

Base

Collecteur

ξchamp JnC

JnoC

JpoC

JG

Jne Jn

Jpe

Jrec

Jne- JnC



déplacent dans le sens contraire de celui des densités de courant. Au contact d’émetteur, la densité de courant totale est maximale. Les électrons injectés par l’émetteur traversent toute la structure avec des pertes dues essentiellement aux recombinaisons des trous dans l’émetteur, des porteurs dans la jonction émetteur-base, des électrons dans la base. La densité de courant au contact de base correspond à l’ensemble des flux de trous qui alimentent les recombinaisons et qui sont injectés dans l’émetteur. Une petite fraction provient du collecteur et diminue légèrement la densité totale fournie par le contact de base.

EmetteurIE

BaseIB

CollecteurIC

I nC

I noC IpoC

IG

I n

I ne

I rec

pe I

I ne- I nC

EmetteurIE

BaseIB

CollecteurIC

I nC I nC

I noC IpoC I noC I noC IpoC

IG IG

I n I n

I ne I ne

I rec I rec

pe Ipe I

I ne- I nC I ne- I nC

Figure 80 : Représentation schématique des différentes densités de courant circulant dans le transistor. Le flux supérieur correspond au flux des électrons, l’inférieur aux trous.

IE = InE + IpE + Irec

IB = IpE + Irec + (InE - InC) – ICo avec ICo = (IpoC + InoC) (117) IC = InE + ICo

Sachant par ailleurs que dans le circuit électrique extérieur IE = IC + IB

6°) Gain en courant du transistor

Par définition, le gain classique du transistor bipolaire est le gain en émetteur commun qui signifie que l’émetteur est la borne commune au quadripôle équivalent comme représenté sur la figure 81. Le gain, β,

s’exprime par le rapport suivant : B

C

II=β , soit

encore : ( ) ConCnErecpE

ConC

IIIIIII

−−+++=β (118)

CollecteurBase

Emetteur

IB IC

CollecteurBase

Emetteur

IB IC

Figure 81 : quadripôle équivalent au transistor bipolaire. Dans ce cas la borne commune à l’entrée et la sortie est l’émetteur, le montage est dit en émetteur commun.

Si l’ensemble des recombinaisons est négligeable et si le courant inverse de la jonction collecteur-base est négligeable, alors :

pE

nE

II

=β (119)



Ainsi, pour obtenir un grand gain en courant, il est nécessaire d’avoir une jonction émetteur-base très dissymétrique de manière à obtenir un rapport d’injection important.

7°) Efficacité d’injection

Par définition, l’efficacité d’injection de la jonction émetteur-base est :

recpEnE

nE

IIII

++=γ (120)

c’est-à-dire le rapport du courant injecté par l’émetteur dans la base au courant total traversant la jonction émetteur-base. Si Irec est négligeable,

pEnE

nE

III+

=γ

Or, nous avons vu dans le chapitre sur la diode, que :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

2

TVFV

GiBn

qnEJB

et ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1exp

2

TVFV

GiEn

qpEJE

en appelant niE et niB les concentrations intrinsèques des porteurs dans l’émetteur et la base respectivement ; nous verrons plus tard pourquoi cette différence existe. Dans ces conditions en appelant toujours GE et GB les nombres de Gummel dans les zones d’émetteur et de base :

EiB

BiE

GnGn

2

21

1+

=γ (121)

8°) Caractéristiques en fonctionnement normal

Les caractéristiques électriques du transistor bipolaire sont données systématiquement dans le montage émetteur-commun, comme représenté sur la figure 82.

Elles sont principalement constituées de la

caractéristique IC(VCE) avec IB comme paramètre, et de IC (IB) avec VCE comme paramètre. Au premier ordre, ces caractéristiques ont l’aspect de la figure 83. Notons que les constructeurs rajoutent en général les paramètres hybrides associés (h21 et h22 principalement) qui correspondent aux pentes des caractéristiques en basse fréquence.

IB

IC

IE

VBE

VCE

BC

E

IB

IC

IE

VBE

VCE

BC

E

Figure 82 : Grandeurs électriques à considérer dans un montage en émetteur-commun. L’émetteur est la borne commune.

. Le courant IC est piloté par le courant IB. Le transistor ayant des caractéristiques « plates » en

sortie, il se comporte comme une source de courant, puisque IC ne dépend pas de VCE.



IBVCE

IB3>IB2

IB2>IB1

IB1

pente β

IE

IBVCE

IB3>IB2

IB2>IB1

IB1

pente β

IE

Figure 83 : Caractéristiques électriques typiques d’un transistor bipolaire npn. Le courant IB pilote le courant IC. Le transistor se comporte en sortie comme une source de courant.

Ces caractéristiques sont en effet idéalisées, les caractéristiques réelles doivent tenir compte des effets physiques tels que :

- la génération- recombinaison dans les différentes zones, - le courant inverse de la jonction collecteur-base, - la modulation des extensions des zones de charge d’espace qui modifie notamment

l’épaisseur de la base effective et donc de l’injection dans la base, - la quantité de porteurs injectés par rapport aux porteurs majoritaires déjà présents (dopage), - l’influence du champ électrique dans les zones de charge d’espace, - la température : la puissance dissipée dans les transistors provoque un échauffement

important au niveau des jonctions ; cet échauffement modifie les propriétés du matériau semi-conducteur.

La suite du cours va consister à analyser quelques-uns uns de ces effets.

III Effets des recombinaisons

1°) Recombinaison dans l’émetteur

Ce cas a déjà été analysé dans le cours sur la jonction pn. Il correspond au modèle de diode longue et modifie le nombre de Gummel dans l’émetteur suivant la formule (111) dans le cas d’un transistor npn

p

E

p

pDE L

WthD

LNG .=

Ce cas est fréquemment rencontré dans les transistors bipolaires intégrés puisque l’émetteur est en général très dopé, la durée de vie des porteurs minoritaires y est très faible et donc la longueur de diffusion souvent du même ordre de grandeur, voire plus faible, que l’épaisseur de l’émetteur.

2°) Recombinaison dans la base – facteur de transport

La recombinaison des porteurs minoritaires dans la base intervient déjà au niveau de l’injection. En effet, le nombre de Gummel dans la base a l’expression (110) dans le cas d’un transistor npn :

n

B

n

nAB L

WthD

LNG .=



Ainsi, le courant injecté est augmenté (la pente augmente) mais l’aspect au moins aussi important vient du fait qu’une partie du courant injecté par l’émetteur vers le collecteur disparaît sur le parcours.

En se rappelant que le courant est un courant de diffusion, nous avons :

[ ]0=

=xdx

dnnqDnJ avec ( )

n

p

n

p

poppop

LWshL

xWshnxnnxn

−

−=− )()(

et avec JnE = Jn(x=0) et JnC = Jn(x=WB), on définit le facteur de transport dans la base par :

nE

nCT J

J=α

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

−

−==n

n

p

n

p

popnnnL

LWshL

xWchnxnqDdx

dnqDJ 1)(

ainsi

n

BE

BnT

LWchJ

WJ 1)0()( ==α

(122)

3°) effet des recombinaisons sur le gain en base commune

Il est plus facile de montrer l’effet combiné des l’efficacité d’injection de la jonction émetteur-base et du facteur de transport dans la base en prenant le gain en courant en base commune défini par le rapport du courant collecteur au courant d’émetteur.

recpEnE

nC

IIII

++=α

d’où

T

recpEnE

nE

nE

nC

IIII

II γαα =

++=

ainsi

Tγαα =

(123)

4°) recombinaisons dans la zone de charge d’espace de la jonction émetteur-base

La jonction émetteur-base est polarisée en direct. Il y a injection de porteurs, électrons et trous, qui sont donc en excès par rapport à l’équilibre thermodynamique.

La zone de charge d’espace est donc le siège de recombinaisons de type Shockley-Read-Hall. Avec l’approximation de Boltzmann sur le niveau d’injection, on peut faire l’hypothèse qu’en tout point de la zone de charge d’espace, le produit pn reste constant. Or en limite de zones, de part et d’autre, on démontre facilement qu’en remplaçant n et p par leurs expressions :

T

BEi V

Vnpn exp2=

La figure 84 permet de visualiser simplement les raisons de ce résultat.

n p

ND NA

pno

npo

np(0)pn(0)

expVF/VTexpVF/VT

W

n p

ND NA

pno

npo

np(0)pn(0)

expVF/VTexpVF/VT

W Figure 84 : Profils de concentration des porteurs en limite et dans la zone de charge d’espace de la jonction émetteur-base polarisée en direct. Le produit pn peut être considéré constant à travers la zone.



En fait, une autre approche pour expliquer ce résultat est de considérer que les pseudo-niveaux de Fermi restent constants dans la zone de charge d’espace, ce qui correspond à l’approximation de Boltzmann. En utilisant l’expression du taux de génération-recombinaison de la formule (67), nous obtenons :

i

io

nnp

nnpU2

.1 2

++

−= τ

Nous allons nous situer dans le cas le plus défavorable pour la recombinaison, à savoir une valeur maximale pour U. Au dénominateur, nous avons la somme de deux termes dont le produit est constant. Ce dénominateur sera minimal et donc U maximal, lorsque ces deux termes seront égaux. Ainsi :

T

BEi V

Vnnp2

exp==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

12

exp2

1exp1 2

T

BEi

T

BE

io

VVn

VV

nU τ

Dès que la tension appliquée à la jonction, VBE, est supérieure à quelques VT,

T

BEi

o VVnU2

exp21

max τ= (124)

La densité de courant associée à cette recombinaison s’exprime par le produit du taux de recombinaison par le volume considéré, WqUJrec max=

T

BEo

irec

VVWqnJ2

exp2τ= (125)

Remarque : W, l’extension de la zone de charge d’espace, varie aussi en fonction de la tension appliquée (en racine carré) mais la loi exponentielle est prépondérante dans le comportement de cette densité de courant. Cela est vérifié expérimentalement.

5°) Conséquences sur les courants – caractéristique bas niveau

Les densités de courant InE et IpE varient suivant une loi exp(V/VT) alors que le courant de recombinaison suivant une loi exp(V/2VT). Pour le domaine de la tension base-émetteur, VBE, compris entre quelques VT et environ 0,5V pour les transistors réalisés en technologie silicium, le courant Irec va avoir un rôle prépondérant sur la valeur du gain en courant, β.

En effet, si nous considérons β comme simplement : recpE

nE

III+

=β , nous constatons à l’aide de

la figure 85, que pour des valeurs inférieures au point d’égalisation des composantes de courant IpE et Irec, seul ce dernier intervient. Le gain β décroît très fortement. De façon classique, on trace la courbe logβ=f(IC), IC étant aussi pris en échelle logarithmique et qui correspond en réalité à VBE en raison de la loi exponentielle.



Jne Jpe

Jrec

Potentiel appliqué (VBE)

Den

sité

s de

cour

ant (

log)

Gai

n en

cou

rant

(β)

Jne Jpe

Jrec


Den

sité

s de

cour

ant (

log)

Gai

n en

cou

rant

(β)

Figure 85 : Variation des densités de courant d’électron, de trous et de recombinaisons dans la jonction émetteur-base. A bas niveau de polarisation, le courant injecté par l’émetteur dans la base est du même ordre de grandeur que celui de recombinaison. Le gain est alors très faible. La transition se produit lorsque les deux composantes principales du courant base s’égalisent. En dessous de cette valeur, nous dirons que le transistor fonctionne à bas niveau.

IV Autres effets et limites physiques principales

1°) Effet de la polarisation collecteur-base : effet Early

La modification de la polarisation de la jonction collecteur-base, donc en inverse, modifie l’extension de la zone de charge d’espace de cette jonction. Cela entraîne en particulier une modification de la largeur effective de la base, donc de WB. Il y a donc aussi modification de la densité de courant de porteurs injectés par l’émetteur dans la base et donc modification du courant collecteur.

Ainsi, pour VBE constant, ∆WB = WB – WB’ = f(VCB) = g (VCE) JnC = αTJnE = αT(WB) JnE(WB) ==> ∆VCE ==> ∆IC Effet Early JnC = α’TJ’nE = α’T(W’B) JnE(W’B)

La figure 86 représente schématiquement la modification du profil de concentration dans la

base. Cet effet se traduit sur les caractéristiques IC(VCE) par une pente non nulle, c’est-à-dire que la source de courant équivalente n’est pas parfaite. Dans les transistors intégrés, cette pente qui est l’inverse de la résistance de sortie est habituellement de l’ordre de quelques 100kΩ−1.

La tension Early correspond au point d'intersection de la caractéristique de sortie avec l’axe des tensions ; elle correspond à une tension hypothétique qui ferait disparaître complètement la zone de base par l’extension de la zone de charge d’espace.



WW’

JneJ’ne

WB’

WB

np(0)

∆WB

Base Collecteur

npo

VCE

IB3

IB2

IB1

ICEffet EarlyW

W’JneJ’ne

WB’

WB

np(0)

∆WB

Base Collecteur

npo

WW’

JneJ’ne

WB’

WB

np(0)

∆WB

Base Collecteur

npo

VCE

IB3

IB2

IB1

ICEffet Early

Figure 86 : La modification de l’extension de la zone de charge d’espace du coté base, modifie le gradient de concentration et donc l’injection des électrons (dans ce cas). Cet effet se traduit sur la caractéristique de sortie par une pente positive.

2°) Tension de claquage de la jonction collecteur-base

Comme indiqué dans le cas de la jonction pn, le phénomène d’ionisation par champ électrique peut se produire pour des champs électriques élevés, de l’ordre de 300.000V/cm dans le silicium, et la jonction pn peut alors conduire très fortement.

Sans la polarisation de la jonction

émetteur-base, le phénomène d’avalanche se produit à une tension appliquée nommée LVCBo (claquage par une tension appliquée à la jonction collecteur-base).

Si la base du transistor npn est non connectée (en l’air), l’injection dans la base des trous créée par le champ électrique, polarise la jonction émetteur-base (effet de charge de la base).

x

ξ

-xB 0

ξmax

xC

Base Collecteur

LVCBo

x

ξ

-xB 0

ξmax

xC

Base Collecteur

LVCBo

Figure 87 : champ électrique à la jonction collecteur-base. Lorsque le champ maximal atteint le champ critique de claquage, la jonction part en avalanche, similairement à une diode classique. La valeur observée est appelée LVCBo.

La jonction émetteur-base polarisée en direct va alors injecter des électrons en retour dans la base qu’ils traversent pour atteindre la zone de champ électrique élevé de la jonction collecteur-base. La conservation du courant total dans la structure imposé par le circuit extérieur, fait que le champ électrique peut alors être plus faible, la quantité de porteurs ayant très fortement augmenté.

Il y a en fait un phénomène d’amplification du courant au niveau de la jonction émetteur-base. Le champ électrique plus faible conduit extérieurement à une tension plus faible, appelée LVCEo. C’est cette valeur qui est observée sur la caractéristique de sortie du transistor en forte polarisation.

En connectant la base à une source de courant extérieure fournissant un courant IB, le phénomène s’entretient pour une tension encore plus faible comme le montre la caractéristique IC(VCE) de la figure 88. Pour augmenter la tenue en tension du transistor, il faut modifier le profil du



champ électrique de manière à augmenter l’intégrale (donc la tension) tout en évitant de dépasser la valeur critique du champ maximal.

Comme le gradient du champ électrique

est proportionnel à la densité de charges (et donc au dopage) d’après l’équation de Poisson, en diminuant le dopage de la zone la moins dopée, l’intégrale est bien augmentée comme le montre la figure 89. Le dopage diminuant, on augmente les dimensions de la zone la moins dopée pour permettre l’augmentation de l’extension de la zone de charge d’espace.

Cette zone dopée à environ 1014cm-3

(dopage très faible) peut atteindre plusieurs centaines de microns dans le cas des transistors de puissance haute tension (quelques milliers de Volts). Afin d’éviter des problèmes liés à la résistance série d’une zone très peu dopée, le collecteur est alors constitué de deux zones dopées différemment. La dimension de la zone la moins dopée est définie par les besoins de l’utilisation en fonctionnement nominal (la zone de charge d’espace atteint la limite du fort dopage).

VCE

IB3

IB2

IB1

IE

LVCBoLVCEoLVCE

IB=0

VCE

IB3

IB2

IB1

IE

LVCBoLVCEoLVCE

IB=0

Figure 88 : Evolution de la caractéristique de sortie pour des fortes tensions. Pour IB=0, le claquage se produit à une tension LVCBo, beaucoup plus grande que la valeur de LVCEo dès que le phénomène s’entretient par injection depuis l’émetteur.

x

ξ

-xB 0

ξmax=ξc

xC-

Base Collecteur

peu dopé

très dopéNDC

-

NDC++

NA

x

ξ

-xB 0

ξmax=ξc

xC-

Base Collecteur

peu dopé

très dopéNDC

-

NDC++

NA

Figure 89 : Profil du champ électrique de la jonction collecteur-base pour laquelle le collecteur est constitué de deux zones dopées différemment. La zone faiblement dopée permet d’augmenter la tenue en tension (intégrale plus grande).

3°) Effet de la forte injection

La forte injection apparaît lorsque la concentration en porteurs minoritaires injectés atteint le niveau de dopage de la zone considérée. Au niveau de la jonction collecteur-base, c’est du coté le moins dopé, donc dans la base, que ce phénomène va apparaître en premier. Le figure 90 donne un aperçu du phénomène.

Nous pouvons alors définir un seuil de la forte injection par :

AT

pop NVVnn == exp)0( (cas du npn)

ND NA

pno

npo

np(0)

pn(0)

W

expVinj/VT

Emetteur Base

Figure 90 : Apparition de la forte injection dans un transistor bipolaire de type npn. Le niveau d’injection dans la base atteint le niveau de dopage.



2

22lnexp

i

ATinjA

TA

i

nNVVN

VV

Nn =⇒= (126)

Exemple numérique : ni2 = 2,5.1020cm-6, VT = 26 mV

si NA = 1,6.1018cm-3, Vinj = 0,90 V si NA = 1,6.1016cm-3, Vinj = 0,78 V


Gai

n en

cou

rant

(β) bas

niveauforte

injectionnominal

VinjVbn


Gai

n en

cou

rant

(β) bas

niveauforte

injectionnominal

VinjVbn

Figure 91 : Variation du gain en courant en fonction du niveau de tension base-émetteur appliquée. A bas niveau, le phénomène prépondérant est la recombinaison dans la jonction émetteur-base, à fort niveau , la forte injection dans la base.

A ce niveau d’injection, il n’est plus possible de considérer la concentration des porteurs majoritaires comme constante et égale au dopage. La concentration des porteurs majoritaires va augmenter simultanément, ce qui va augmenter l’injection de la base vers l’émetteur sans augmenter l’injection de l’émetteur vers la base dans le même rapport. Cela entraîne une chute du gain. La courbe du gain en fonction de la tension émetteur-base a alors l’allure donnée sur la figure 91. A bas niveau, l’effet des recombinaisons est prépondérant, à fort niveau, l’effet de la forte injection. Le fonctionnement dit nominal se trouve situé entre ce deux limites.

4°) Effet du dopage de la base et de l’émetteur

En première approximation, il semble intéressant d’avoir l’émetteur le plus dopé possible et la base la moins dopée possible pour obtenir un grand gain. Mais la base ne doit pas être entièrement désertée par la polarisation collecteur-base, il faut limiter aussi l’effet Early. Pour cela , il faudrait fortement doper la base ce qui est contradictoire. Des considérations fréquentielles montrent par ailleurs la nécessité de fortement doper la base pour diminuer la résistance d’accès intervenant dans le schéma équivalent de Giacoletto. Mais une base très fortement dopée implique une très faible tenue en tension de la jonction émetteur-base. Ces quelques considérations montrent qu’il faut impérativement trouver un compromis.

L’exemple donné sur la figure 92 correspond à un transistor bipolaire npn moyennement intégré dont les épaisseurs d’émetteur et de base sont de 0,2µm. Le gain en courant mentionné correspond au domaine nominal, c’est-à-dire ni à bas niveau, ni en forte injection et en basse fréquence (paramètre h21 des caractéristiques).



10211018 10201019

0

20

40

60

80

100NA=4.1017cm-3

5.1017

7.1017

1018Gai

n en

cou

rant

(β)

Dopage d’émetteur ND (cm-3)10211018 10201019 10211018 10201019

0

20

40

60

80

100NA=4.1017cm-3

5.1017

7.1017

1018Gai

n en

cou

rant

(β)

Dopage d’émetteur ND (cm-3) Figure 92 : Variation du gain d’un transistor bipolaire npn en fonction du dopage d’émetteur, le dopage de base étant pris comme paramètre. Le maximum du gain est toujours obtenu pour des dopages d’émetteur voisins de 1020cm-3, c’est-à-dire en début de dégénérescence (d’après O. Bonnaud et al., SSED, 1983).

Compte tenu des variations des paramètres en fonction du dopage tels que la mobilité, la durée de vie des porteurs et la variation de la largeur de la bande interdite (pour les très forts dopages), la figure 65 montre qu’il existe en général un dopage optimal pour lequel le gain est maximal pour un dopage d’émetteur voisin de 1020cm-3. Cette dernière valeur sera en général celle choisie dans les transistors fortement intégrés. Pour ces niveaux de dopage il faut remarquer que l’approximation de Boltzmann n’est plus valable puisque le semiconducteur est dégénéré. Toutefois c’est un terme correctif qu’il faut apporter.

A ce même niveau de dopage, la relation d’Einstein devient aussi une approximation. Il faudrait utiliser, pour être plus précis, un développement limité du rapport Dn/µn en fonction du dopage.

Le dopage de la base conditionne la valeur du gain sur la figure 92. Attention, un faible dopage et donc un fort gain en courant aura des conséquences sur d’autres grandeurs électriques telles que le claquage, l’effet Early, la réponse en fréquence, etc…

En conséquence, en fonction de l’application, c’est-à-dire du cahier des charges, les niveaux de dopages et les épaisseurs des couches seront prédéterminées. Il ne sera effectivement pas possible d’atteindre simultanément, une forte tension, une forte puissance, un fort gain et une réponse en très haute fréquence


Chapitre 8 : Le transistor à effet de champ à grille isolée

CHAPITRE VIII

LE TRANSISTOR A EFFET DE CHAMP A GRILLE ISOLEE TRANSISTOR MOS : METAL/OXYDE/SEMICONDUCTEUR

Nous allons étudier dans ce chapitre le transistor MOS. Ce type de transistor apparut réellement

au début des années 1960 bien que son principe ait été proposé dès le début du 20ème siècle. C’est la maîtrise technologique des procédés appliqués au silicium à la place du germanium et plus particulièrement la mise en œuvre des oxydes minces de silicium qui a permis le développement fabuleux de cette technologie.

I Constitution

1°) Réalisation physique

La structure Métal/Isolant/Semiconducteur ou Métal/Oxyde/Semiconducteur, que l’on nomme plus communément MOS, est basée sur la commande par une polarisation sur une électrode isolée de porteurs libres dans une zone peu dopée (a priori). La modulation du nombre de porteurs permet d’établir un canal de conduction entre deux zones conductrices correspondant à des zones semiconductrices très dopées.

La figure 93 présente une coupe schématique de la structure. L’électrode de commande s’appelle grille, les deux autres source et drain. Cette terminologie sera justifiée dans la suite. La grille est constituée d’une couche isolante de très faible épaisseur, en général de l’oxyde de silicium, SiO2, surmontée d’une couche très conductrice telle qu’un métal ou dans le cas des circuits intégrés du silicium très dopé (cf. cours de technologie microélectronique, O. Bonnaud). Les zones de semiconducteur de source et drain sont recouvertes d’une couche métallique permettant d’établir un bon contact électrique avec les circuits extérieurs.

N+ N+

source grille drain

substrat p

canal n induit par le champ

Isolant de grille / oxyde

Figure 93 : Coupe schématique d’un transistor MOS à canal n. Au repos, c’est-à-dire sans application d’une tension sur la grille, aucun courant significatif ne circule entre la source et le drain. Le transistor est dit normalement non-conducteur.

Pour que sans polarisation de grille le courant circulant entre les deux électrodes source et drain soit négligeable, la zone de canal à l’équilibre thermodynamique doit être de type opposé aux zones de source et drain afin d’avoir, quel que soit le sens de la polarisation entre ces deux zones, une jonction polarisée en inverse et qui est donc bloquante ; la structure est équivalente à deux diodes



tête-bêche. Ainsi, si les source et drain sont de type n comme représentées figure 93, alors la zone sous la grille isolée est de type p.

Par l’action d’une polarisation sur le contact de grille par rapport à la zone semiconducteur, il se crée un champ électrique qui va agir sur la zone semiconductrice sous l’oxyde. Pour assurer une conduction, il faut dans l’exemple de la figure 93 que des électrons viennent prendre la place des trous. Il se crée dans ces conditions un canal induit de type n. L’application d’une polarisation positive sur la grille conduira à cet effet. Le transistor est nommé dans ces conditions MOS de type n ou plus simplement NMOS.

Puisque au repos le transistor de la figure 93 ne conduit pas, nous dirons qu’il est de type normalement non-conducteur, normally off en anglais.

2°) Différents types de structures de base

Telle que nous l’avons décrite ci-dessus, la structure ne conduit pas entre la source et le drain au repos, c’est-à-dire lorsque aucune tension n’est appliquée sur la grille ; en pratique, il est possible de réaliser une couche très fine et suffisamment dopée juste sous l’isolant de même type que les zones de sources et de drain afin de permettre une conduction au repos : trois zones dopées du même type sont en série. Par contre, l’application d’un champ électrique peut « chasser » les électrons de ce canal existant au repos et donc peut entraîner le blocage de la conduction. La figure 94 montre la coupe schématique d’une telle structure. Ce transistor est alors appelé transistor NMOS normalement conducteur, normally on, en anglais.

N+ N+

source grille drain

substrat p

canal n existant au repos

canal nN+ N+N+ N+

source grille drain

substrat p

canal n existant au repos

canal n

Figure 94 : Coupe schématique d’un transistor NMOS normalement conducteur. La présence d’une couche dopée n de très faible épaisseur sous l’oxyde de grille permet d’assurer la conduction lorsque aucune tension n’est appliquée sur la grille.

Les figures 93 et 94 concernent des transistors à canal n. Nous pouvons remplacer par analogie le dopage de type n des zones de sources et de drain par un dopage de type p, et le dopage du substrat de type p par du type n et éventuellement celui du canal en surface par du type p. Nous créons dans ce cas des transistors PMOS soit normalement non-conducteur, soit normalement conducteur. Il existe donc 4 types de transistors MOS.

3°) Symboles des différentes structures de base

Les quatre types possibles de transistors sont représentés ci-dessous avec leurs symboles conventionnels. Il faut noter que pour des simplicités graphiques certains catalogues et ouvrages utilisent des formes légèrement différentes. Le figure 95 recense ces structures.



De façon symbolique, une flèche apparaît entre le substrat et le canal. Cette flèche est orientée dans le sens passant de la jonction pn fictive substrat-canal. Par exemple, dans le cas du NMOS normally off, la flèche est orientée dans le sens substrat-canal.

N+ N+

source grille drain

substrat p S

DG

N+ N+

source grille drain

substrat p

canal nS

DG

S

DG

source grille drain

substrat n

canal p P+P+

PMOS normalement conducteur

S

DGP+ P+

source grille drain

substrat n

canal p

PMOS normalement

non conducteur

NMOS normalement conducteur

NMOS normalement

non conducteur

N+ N+

source grille drain

substrat p S

DG

S

DG

N+ N+N+ N+

source grille drain

substrat p

canal nS

DG

S

DG

S

DG

S

DG

source grille drain

substrat n

canal p P+P+

PMOS normalement conducteur

S

DG

S

DGP+ P+

source grille drain

substrat n

canal p

PMOS normalement

non conducteur

NMOS normalement conducteur

NMOS normalement

non conducteur

Figure 95 : Coupes et représentations symboliques des différents types de transistors MOS.

II Principe de fonctionnement Nous allons analyser le principe de fonctionnement des transistors à grille isolée en prenant

l’exemple d’un transistor MOS normalement non-conducteur et en considérant les couches idéales. Nous verrons plus loin en détail ce que cela signifie.

1°) Sans polarisation de grille par rapport au substrat

Le circuit électrique entre la source et le drain est toujours constitué de deux diodes à jonction pn montées tête-bêche. Quel que soit le signe d’une polarisation drain-source, automatiquement, l’une des deux diodes est polarisée en inverse ce qui signifie que le courant dit drain-source, IDS peut être considéré nul ou tout au moins négligeable.



A l’équilibre thermodynamique, il existe en permanence une zone de charge d’espace entre le drain et la zone de substrat, ainsi qu’entre la source et le substrat (figure 96).

Il faudra être attentif aux extensions de ces zones qui doivent bien sûr être inférieures à la distance entre les jonctions métallurgiques pour éviter de mettre en court-circuit les zones de source et de drain.

N+ N+

S G D

substrat p

N+ N+

S G D

substrat p

Figure 96 : Transistor NMOS à l’équilibre thermodynamique. Les deux diodes présentent des zones de charges d’espace habituelles.

Remarque : au niveau du substrat, la structure source-substrat-drain (npn) a l’aspect d’un transistor bipolaire. Puisqu’il

n’y a aucune polarisation directe des jonctions source-substrat ou drain- substrat, le substrat qui pourrait jouer le rôle de

la base n’est pas alimenté et ne provoque donc aucune injection ; il n’y a donc pas d’effet transistor bipolaire, dans ces

conditions.

2°) La grille est polarisée positivement par rapport au substrat

Le circuit électrique entre la source et le drain est toujours constitué de deux diodes à jonction. L’application d’un potentiel, VG>0, sur la grille entraîne la création d’un champ électrique,, orienté vers le substrat à la fois dans l’oxyde et dans le semiconducteur. En général, la référence est la source, si bien que nous noterons dans la suite VGS>0.

Ce champ dans le semiconducteur a tendance à chasser les trous près de l’interface et donc à déserter la zone sous la grille tel que représenter figure 97 puisque les ions accepteurs sont immobiles. Il se crée ainsi une zone de charge d’espace (ZCE) sous la grille qui prolonge les deux zones latérales préexistantes. Pour un champ électrique pas trop fort, la zone de charge d’espace correspond essentiellement à l’évacuation de trous qui sont majoritaires dans cette zone dopée de type p.

ZCE

N+ N+

S G D

substrat p

ξ

ZCE

N+ N+

S G D

substrat p

ξ

Figure 97 : création de la zone de charge d’espace sous la grille par la présence d’un champ électrique qui chasse les porteurs majoritaires (les trous dans ce cas).

Si le champ dans le semiconducteur augmente, intuitivement, celui-ci peut devenir suffisant pour attirer les porteurs minoritaires qui viennent « s’agglutiner » contre l’oxyde. Il se forme alors progressivement un canal d’électrons contre l’oxyde. La transition entre la source et le drain devient possible et un faible courant IDS peut commencer à circuler.

3°) La polarisation de la grille atteint la tension de seuil : VGS>Vth

En augmentant VGS, on augmente le champ électrique dans le substrat près de l’interface oxyde substrat et la concentration en électrons continue à augmenter. A l’interface oxyde-substrat, coté semiconducteur, la concentration en électrons peut atteindre la valeur du dopage, c’est-à-dire la



concentration en trous initiale du substrat : partie foncée du canal entre les deux zones dopées N+ sur la figure 98.

Dans ces conditions, nous dirons qu’il y a inversion de population de porteurs et que la tension de grille a atteint la tension de seuil du transistor, Vth.

Nous dirons aussi que le canal est créé. La conduction entre source et drain peut devenir importante et le transistor sera dit en régime de conduction. Ainsi, par application d’une tension positive sur la grille, il est possible de commander un courant entre la source et le drain.

canal d’électrons

N+ N+

S G D

substrat p

ξ


N+ N+

S G D

substrat p

ξ

Figure 98 : Création du canal lorsque la tension de grille devient supérieure ou égale à la tension de seuil. Dans ce cas, un canal d’électrons est formé.

En régime continu ou aux basses fréquences, le courant traversant la grille peut être considérer nul. Le dispositif est donc un convertisseur tension-courant (entrée-sortie) qui sera d’autant meilleur qu’une faible tension pilote un fort courant (transconductance élevée). La suite va consister à établir la forme de la caractéristique électrique de sortie en tenant compte des contraintes physiques et de l’influence des différents paramètres physiques et électriques.

4°) Caractéristique IDS(VDS) d’un transistor NMOS normally on.

a) La tension drain-source VDS est faible. Dès que la tension de grille a atteint Vth, le

canal d’électrons est formé. Lorsque la tension VGS est encore augmentée, la densité d’électrons dans la zone de canal augmente et la résistance équivalente du canal diminue. La pente IDS/VGS augmente. Tant que la tension VDS est faible, elle ne modifie sensiblement pas cette distribution de concentration d’électrons. Le dispositif est dit en régime ohmique ; le transistor se comporte comme une résistance pilotée par la tension de grille (figure 99).

IDS

VDS

VGS2 > VGS1

faible

VGS1 > Vth

VGS= Vth

IDS

VDS

VGS2 > VGS1

faible

VGS1 > Vth

VGS= Vth

Figure 99 : La variation de VGS fait varier la résistance interne du transistor vue entre le drain et la source. Les courbes sont linéaires tant que la tension VDS reste faible. Le transistor se comporte comme une résistance commandée.

b) La tension de grille VGS>Vth et la tension drain-source VDS non négligeable. VGS>Vth signifie que pour la tension VDS très faible, le canal d’électrons existe en tout point

compris entre les zones de drain et de source. Pour une valeur de VDS positive et non négligeable, la différence de potentiel entre la grille et le

substrat (dans la zone de canal) coté drain diminue.



Cela revient à diminuer le champ électrique dans la zone de canal sous la grille, coté drain. La concentration dans le canal, du coté drain, a alors tendance à diminuer (figure 100). La résistance du canal coté drain augmente puisque le nombre de porteurs diminue, ce qui signifie que la pente de la courbe IDS(VDS) diminue.

Nous dirons que nous sommes dans la zone de caractéristique intermédiaire, telle que représentée figure 101.


N+ N+

S G D

substrat p

ξ


N+ N+

S G D

substrat p

ξ

Figure 100 : Modification de la forme du canal d’électron lorsque pour une tension de grille supérieure à la tension de seuil, la tension de drain augmente. Le canal est beaucoup plus étroit du coté drain, jusqu’à ce qu’il disparaisse.

Si la tension drain continue à augmenter, la différence de potentiel entre la grille et le substrat (VGD) devient égale voire inférieure à la tension de seuil. Le canal a donc tendance à disparaître du coté drain.

Nous dirons que le canal est pincé. Dans ces conditions, toute la chute de potentiel est absorbée par la zone de charge d’espace comprise entre le drain et l’extrémité du canal.

IDS

VDS

VGS>Vth

IDS

VDS

VGS>Vth

Figure 101 : Evolution de la caractéristique IDS(VGS) lorsque la tension de drain augmente, pour une tension de grille supérieure à la tension de seuil. La pente de la caractéristique diminue dans la zone dite intermédiaire.

La conduction est alors assurée par le champ électrique transverse tel que présenté figure 102. Notons que ce champ peut être calculé par intégration de l’équation de Poisson dans ce domaine compris entre l’extrémité du canal et la zone de drain.

Si la concentration de dopant dans la zone de canal n’est pas trop faible, l’extension de cette zone est faible et la variation relative de la longueur totale du canal est faible. Le canal existant n’est alors pas modifié sensiblement et sa résistance entre la source et le point de pincement est pratiquement constante. Le potentiel du point de pincement correspond à VGS – Vth qui est constante pour une valeur donnée de VGS. Ainsi, la différence de potentiel entre le point de pincement et la source est constante.


N+ N+

S G D

substrat p

ξ

pincement du canal

champ transverse

ξ


N+ N+

S G D

substrat p

ξ

pincement du canal

champ transverse

ξ

Figure 102 : Lorsque la tension de drain rend la différence de potentiel entre grille et drain inférieure à la tension de seuil, le point de pincement se déplace sous la grille. La conduction est alors assurée par le champ électrique transverse entre le drain et le point de pincement



Différence de potentiel et résistance fixées, signifient que le courant traversant le canal, IDS, est constant à VGS donnée (I = U/R). La caractéristique électrique est alors horizontale et a l’allure de la figure 103. Nous dirons que le transistor est en régime de saturation.

Pour un VGS donné, la caractéristique de sortie comprend ainsi trois zones significatives :

- le régime ohmique, - le régime intermédiaire, - la saturation. Le point de saturation dépend de la valeur

de VGS puisqu’il apparaît pour VGS – VDS = Vth. Cette valeur de VDS s’appelle tension de saturation VDSsat.

IDS

VDS

VGS>Vth

IDS

VDS

VGS>Vth

Figure 103 : Lorsque la tension de drain rend la différence de potentiel entre grille et drain inférieure à la tension de seuil, le courant sature.

c) Caractéristique de sortie du transistor IDS(VDS, VGS). La figure 103 a été tracée pour une

tension appliquée sur la grille bien définie et supérieure à la tension de seuil.

La modification de VGS : - modifie la pente en régime ohmique, - déplace la tension de saturation, VDSsat, - modifie l’amplitude du courant de

saturation. On retrouve de la sorte un réseau de

courbes représenté figure 104, semblable à celui d’un transistor bipolaire mais la grandeur de contrôle est dans ce cas le potentiel de grille à la place du courant base.

IDS

VDS

limite de saturationVGS - Vth

VGS1 > Vth

VGS2 > VGS1

Vth

IDS

VDS

limite de saturationVGS - Vth

VGS1 > Vth

VGS2 > VGS1

Vth

Figure 104 : Caractéristique de sortie du transistor MOS. La saturation apparaît lorsque la tension de drain atteint la valeur VGS-Vth représentée par la courbe en pointillée.

III Analyse physique de la structure métal/oxyde/semiconducteur idéale

1°) Diagramme d’énergie à l’équilibre thermodynamique

La structure Métal/Oxyde/Semiconducteur est donc un sandwich de couches constituées de matériaux de nature différente : conducteur, isolant et semiconducteur. Nous allons pour simplifier l’étude considérer que ces matériaux sont homogènes et ont des travaux de sortie identiques.

En d’autres termes, l’écart énergétique entre le niveau du vide et le niveau de Fermi du métal est égal à celui du semiconducteur dopé constituant le substrat. A l’équilibre thermodynamique, il n’y a donc pas de différence de potentiel et donc pas de champ électrique local entre le conducteur et le semiconducteur.

La figure 105 montre les diagrammes d’énergie avant et après contact entre les différents matériaux. Nous considérerons toujours un modèle unidimensionnel : l’orientation est perpendiculaire aux interfaces.



EC

EF

EV

EF

EC

EV

métal oxyde semiconducteur

vide vide vide

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide

EE

structure après contact

E

matériaux avant contact

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide vide vide

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide

EE

structure après contact

E

matériaux avant contact Figure 105 : diagrammes d’énergie à l’équilibre thermodynamique des différents matériaux de la structure MOS avant contact puis après contact. Le niveau de Fermi est dans la bande de conduction pour le métal. La largeur de la bande interdite de l’oxyde est très grande devant celle du semiconducteur. Le semiconducteur est dopé p dans cet exemple, le niveau de Fermi se trouve donc proche de la bande de valence

A l’équilibre thermodynamique, le métal et le semiconducteur sont au même potentiel, les niveaux de Fermi sont donc alignés. Nous allons prendre comme potentiel de référence le potentiel du semiconducteur loin d l’interface oxyde/semiconducteur.

2°) Régime d’accumulation

Pour ce régime, une tension est appliquée sur le métal par rapport au semiconducteur qui correspond à la tension de grille appliquée par rapport au substrat.

La chute de potentiel va se répartir entre l’oxyde et le semiconducteur près de l‘interface. L’oxyde étant supposé idéal, il n’existe aucune charge à l’intérieur, ni statiques, ni en transit. D’après l’équation de Poisson, le champ électrique y est constant la variation de potentiel linéaire. Puisqu’il existe une charge d’espace possible dans le semiconducteur, le champ peut varier dans cette zone, le potentiel aussi.

La figure 106 montre de façon qualitative la variation du potentiel dans la structure, et donc la variation du niveau du vide.

Sur cette figure, nous appelons : - -ψs le potentiel à l’interface, - Vo, la chute de potentiel dans l’oxyde, - ψ le potentiel à l’abscisse x. Lorsque VG est négatif, ψ l’est aussi. Le

niveau de Fermi dans la zone considérée se rapproche de la bande de valence.

Notons la relation : VG = Vo + ψs.


VG

Vo

Ψs Ψx0-d


VG

Vo

Ψs Ψx0-d

Figure 106 : variation du potentiel à travers la structure. La variation est linéaire dans l’oxyde. ψs est le potentiel à l’interface. Le potentiel de la grille est égal à la somme des potentiels dans l’oxyde et le semiconducteur.

Comme ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−= kT

EENp VF

v exp. , le semiconducteur s’enrichit en trous majoritaires. Nous

appelons ce régime, le régime d’accumulation.



La zone de charge d’espace est alors remplie par des trous majoritaires et les concentrations des autres types de charges deviennent négligeables. La figure 107 montre le diagramme d’énergie dans ce régime. Dans le cas présenté, le potentiel du métal est plus faible que celui du semiconducteur (sens inverse des énergies). La courbure de bande est dite « vers le haut ».

Ce régime sera mis en oeuvre dans certaines structures particulières pour enrichir la zone de canal.

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide

E

Ψs

VG<0

accumulation

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide

E

Ψs

VG<0

accumulation

Figure 107 : diagramme d’énergie de la structure en régime d’accumulation. Au niveau de l’interface oxyde/semiconducteur, le niveau de Fermi est plus proche de la bande de valence.

3°) Régime de désertion

Dans ces conditions, la tension appliquée sur le métal est positive : VG>0, mais pas trop élevée. La courbure des bandes d’énergie est changée de sens par rapport au cas précédent. Le potentiel de surface, ψs, est positif et donc le niveau de Fermi à l’interface s’éloigne de la bande de valence et se rapproche du milieu de la bande interdite, c’est-à-dire du niveau de Fermi intrinsèque. Il y a appauvrissement de porteurs, en trous dans cet exemple. La zone de charge d’espace contient principalement des atomes dopants ionisés (accepteurs dans ce cas).

La figure 108 montre le diagramme d’énergie dans ces conditions. Il faut analyser la position du niveau de Fermi à l’interface oxyde-semiconducteur. Dans ce cas, |qψs| < |qϕp|, ce qui signifie que le niveau de Fermi reste dans la partie inférieure de la bande interdite. La concentration en trous est très inférieure à la concentration en dopant et la concentration en électrons reste complètement négligeable. La zone de charge d’espace s’étend en fonction de la tension appliquée sur la grille. Quand la courbure augmente, l’extension augmente.

EC

EF EV

EF

EC

EV


vide

E

qΨs

VG>0

désertion

Eiqϕp

qVG

Figure 108 : Diagramme d’énergie de la structure en régime de désertion pour un substrat dopé p. La courbure est dans ce cas vers le bas et le niveau de Fermi à l’interface s’écarte de la bande de valence et se rapproche du niveau de Fermi intrinsèque.

4°) Régime de faible inversion

La tension appliquée sur le métal est plus élevée de manière à ce que le potentiel de surface (en énergie) soit supérieur à l’écart énergétique entre le niveau de Fermi et le niveau de Fermi intrinsèque dans le substrat semiconducteur initial, qϕp.



Dans ces conditions, telles que représentées figure 109, la courbure est « vers le bas », le niveau de Fermi à l’interface est passé au-dessus du niveau de Fermi intrinsèque ; le niveau de Fermi à l’interface est plus proche de la bande de conduction que de la bande de valence. Les électrons sont alors plus nombreux que les trous mais restent néanmoins en concentration négligeable par rapport aux atomes dopants ionisés. La population de porteurs s’est inversée à l’interface. Nous appelons ce régime la faible inversion.

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide

E

Ψs

VG>0

inversion Ei

qVG>0

qϕp

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide

E

Ψs

VG>0

inversion Ei

qVG>0

qϕp

Figure 109 : Diagramme d’énergie de la structure en régime d’inversion pour un substrat dopé p. La courbure est dans ce cas vers le bas et le niveau de Fermi à l’interface est passé au-dessus du niveau de Fermi intrinsèque.

5°) Régime de forte inversion

Ce régime débute lorsque le canal tel que nous l’avons défini commence à exister, c’est-à-dire dans le cas proposé, lorsque la concentration en électrons devient égale en surface du semiconducteur à la concentration d’atome dopants ionisés, ce qui correspond à la concentration en trous dans le volume neutre (loin de l’interface). Dans ces conditions, l’écart énergétique entre le niveau de Fermi de surface et le niveau de Fermi intrinsèque est égal en valeur absolue à celui du volume neutre. Autrement dit, le potentiel en surface est égal ou supérieur à 2 fois ϕp.

Nous noterons : ps ϕψ 2≥

Lorsque thGps VValors == ϕψ 2

c’est-à-dire que la tension de grille est égale à la tension de seuil. La figure 110 montre cette situation. La courbure de bande a augmenté et la zone de charge d’espace atteint pratiquement un maximum.

En effet, la zone de charge d’espace comporte deux parties chargées avec des éléments portant le même signe :

- la zone désertée de concentration, NA dans notre cas,

- la zone de canal de concentration n très élevée et supérieure à NA.

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide

E

Ψs

forteinversion

Ei

qVG>qVth

2qϕp

EC

EF

EV

EF

EC

EV


vide

E

Ψs

forteinversion

Ei

qVG>qVth

2qϕp

Figure 110 : diagramme d’énergie de la structure en forte inversion. Le niveau de Fermi à l’interface est au moins aussi proche de la bande de conduction qu’il n’est de la bande de valence dans le volume neutre.



La zone de canal est en fait très fine (quelques Angström à quelques dizaines d’Angström) puisque les porteurs « s’agglutinent » contre la paroi d’oxyde. La charge totale de ces deux contributions se retrouve de signe opposé sur la grille comme le montre la figure 111.

Sur cette figure, très schématisée, il est possible de se rendre compte de la faible épaisseur du canal. Du coté du métal, la concentration en électrons est tellement forte que l’épaisseur concernée, correspondant à un déficit d’électrons est presque nulle.

x0-d

-qn

-qNA

W

Q


x0-d

-qn

-qNA

W

Q


Figure 111 : Représentation de la distribution des charges dans la structure en régime de forte inversion. La concentration en électrons à l’interface oxyde-semiconducteur est très élevée, l’épaisseur de cette zone est très faible. Il en est de même du coté métal.

6°) Résolution de l’équation de Poisson

L’intégration de l’équation de Poisson est plus compliquée dans ce cas puisqu’il n’est pas possible, a priori, de négliger les différents types de charges devant les autres dans la mesure où suivant le régime l’importance relative de leur concentration est modifiée fondamentalement.

or

AD

or

npNNqdxd

εεεερψ )(

2

2 −+−−=−=

−+

(85)

Dans le volume neutre du substrat, à l’équilibre thermodynamique, en considérant les dopages constants, et en notant no et po les concentrations des porteurs, nous avons :

ooADooAD pnNNnpNN −=−⇒=−+− −+ 0

En appliquant la statistique de Boltzmann, le niveau de Fermi est situé entre la bande de valence et la bande de conduction :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅= kT

qnn oψexp et ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= kT

qpp oψexp (127)

le changement de signe provenant de l’orientation des énergies. En remplaçant les expressions précédentes dans l’équation de Poisson, nous obtenons :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+−−= kT

qnkTqppnq

dxd

ooooor

ψψεε

ψexpexp2

2

Il est clair que la résolution de cette équation n’est pas triviale. Il faut utiliser un facteur

intégrant, dxdψ , sachant que

2

2

2

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= dx

ddxd

dxd

dxd ψψψ . De plus, sachant que le champ dérive du

potentiel, dxdψξ −=

dxd

kTq

pn

kTqqp

dxd

dxd

o

o

or

o ψψψεε

ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1exp1exp22



Cette équation peut être alors intégrée entre les limites de la zone de charge d’espace, donc de 0 à W.

( )[ ])(

)0(0

22

expexp2W

o

o

or

oW

kTq

kTq

pn

kTq

kTqkTp

dxd

ψ

ψ

ψψψψεε

ξψ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

or en x = W, ψ = 0 et ξψ =− dxd = 0

et en x = 0, ψ = ψs et sdxd ξψ =−

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=− kT

qkT

qpn

kTq

kTqkTp ss

o

oss

or

os

ψψψψεε

ξ exp11exp22 (128)

Le terme en or

okTpεε

2 peut s’écrire sous la forme ( )

kTqqp

qkTkTp

or

o

or

o

εεεε 222

2

2

=

Le deuxième terme de cette égalité contient l’expression kTqqp

or

o

εε2 qui est homogène à

l’inverse d’une longueur au carré. Nous noterons :

qkT

qpL

o

orD

εε2= (129)

appelée longueur de Debye. Notons que cette longueur a exactement la même forme que celle d’une extension de zone de charge d’espace pour laquelle le potentiel serait le potentiel thermodynamique.

Remarque : dans certains ouvrages, la longueur de Debye est définie sans le nombre 2. La différence est dans le rapport

racine de 2 et perd en partie son analogie. Nous verrons l’aspect intéressant de notre choix un peu plus loin.

Des expressions (88) et (89) nous pouvons exprimer le champ électrique à l’interface oxyde-semiconducteur, en valeur absolue :

21

exp11exp2⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−= kT

qkT

qpn

kTq

kTq

qLkT ss

o

oss

Ds

ψψψψξ (130)

qui se note aussi :

),(2o

os

Ds

pnF

qLkT ψξ = (131)

F(ψs, no/po) étant la fonction de Kingston-Neustader.

21

exp1exp1, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

kTq

kTq

pn

kTq

kTq

pnF ss

o

oss

o

os

ψψψψψ (132)



Cette expression du champ électrique en surface (relation 91) est très importante car elle va permettre d’évaluer la valeur de la charge en surface en appliquant le théorème de Gauss et en déduire dans la suite la capacité équivalente vue depuis la grille de la structure MOS.

A partir du théorème de Gauss nous pouvons exprimer la charge par unité de surface :

),(2o

os

D

orssors

pnF

qLkTQQ ψεεξεε ±=⇒−=

Nous allons analyser dans la suite en fonction des différents régimes imposés par la tension de grille l’expression de cette charge.

Remarque : dans la fonction F, le rapport no/po est une valeur très faible qui correspond au rapport des concentrations

des porteurs minoritaires à celui des majoritaires. Si NA = 1016cm-3, po = 1016cm-3 et no = ni2/NA~ 104 cm-3, no/po ~ 10-14.

Le terme exponentiel en facteur dans F, deviendra du même ordre de grandeur quand kTq sψ− sera égal à 1014, c’est-à-

dire en pratique pour ps ϕψ 2= . Autrement dit ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−== kT

qNn

pn p

A

i

o

o ϕ2exp2

2

7°) Variation de la concentration de charge en surface en fonction de la polarisation de grille

Nous allons exprimer puis tracer Qs dans les différents régimes dans le cas d’un substrat de type p pour lequel les trous sont majoritaires et les électrons minoritaires à l’équilibre thermodynamique.

a) Régime d’accumulation

Dans l’expression de Qs, ψs > 0, Qs > 0, seul le terme en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− kT

q sψexp subsiste dans F. Ainsi :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+= kT

qqL

kTQ s

D

ors 2exp2 ψεε (133)

En appelant ps la concentration en surface, c’est-à-dire à l’interface oxyde-semiconducteur,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= kT

qpp sos

ψexp l’expression de la charge devient en remplaçant LD par son expression :

sors pqkTqQ εε2+= (134)

Cette forme est intéressante car elle met en évidence l’importance de la concentration en surface dans l’expression de la charge qui traduit aussi une loi exponentielle en fonction du potentiel de surface.

b) Régime de désertion ou d’appauvrissement

Dans l’expression de Qs, ψs > 0, Qs < 0, avec 0 < | ψs |< |ϕp|, seul le terme en 1−kTq sψ subsiste

dans F. Ainsi :

12 −−= kTq

qLkTQ s

D

ors

ψεε (135)

Expression qui s’écrit encore :



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 12 kT

qqpQ soors

ψεε (136)

Remarque : Qs = - qNAW donne ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= q

kTqN

W sA

or ψεε2 . Nous retrouvons ainsi l’expression de l’extension de

la zone de charge d’espace habituelle. En fait, le calcul complet que nous venons de mener amène une correction égale au potentiel thermodynamique, VT. Cela signifie qu’en faisant l’approximation de Schockley, l’erreur est très faible. La modification apparaît sur la longueur de Debye, distance sur laquelle nous n’aurions pas le droit de faire l’approximation que la concentration en porteurs est négligeable devant la concentration en atomes dopants ionisés.

c) Régime de faible inversion Dans l’expression de Qs, ψs > 0, Qs < 0, avec |ϕp| < | ψs |< 2|ϕp|, le terme incluant le facteur no/po

est toujours négligeable et donc l’expression de cette charge reste identique au cas précédent :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 12 kT

qqpQ soors

ψεε (137)

d) Régime de forte inversion Dans l’expression de Qs, ψs > 0, Qs < 0, avec | ψs |> 2|ϕp|, le terme facteur de no/po devient alors

supérieur à ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

kTq pϕ2exp et cette partie de l’expression de F devient prépondérante. Ainsi :

o

os

D

ors

pn

kTq

qLkTQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 2exp2 ψεε (138)

Sachant que ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= kT

qnn sos

ψexp ,

sors nqkTqQ εε2+= (139)

L’aspect intéressant de cette dernière expression est que nous retrouvons exactement le même type d’expression que dans la cas de l’accumulation (formule 94) mais en changeant le type de porteurs de charge ; dans notre exemple d’une structure sur substrat p, nous changeons ps en ns. Il est clair que la structure a été inversée par rapport à la situation de départ.

e) Variations de Qs en fonction de ψs

La figure 84 montre la variation de la charge en fonction du potentiel de surface. Il faut se rappeler que celui-ci dépend directement de la polarisation appliquée sur la grille. Cette charge augmente très fortement en valeur absolue dans les régimes d’accumulation et de forte inversion et varie très peu entre. Puisque cette charge compense l’effet de la tension appliquée sur la grille, cela aura pour conséquence que dans les régimes extrêmes, la tension appliquée sur la grille pourra être relativement importante.



8°) Variation de ψs en fonction de la polarisation de grille

La tension appliquée sur la grille par rapport au substrat est la somme de la chute de potentiel dans l’oxyde, Vo, et de la chute de potentiel dans le semiconducteur ψs.

VG = Vo + ψs La chute de potentiel dans l’oxyde

considéré parfait correspond à la circulation du champ électrique, c’est-à-dire :

|Vo| = |d.ξox|

Qs

Ψs2qϕpϕp 0

accumulation

inversiondésertion

exp(-qΨs/2kT)

-exp(qΨs/2kT)forte inversion

EFs=Ei

Qs

Ψs2qϕpϕp 0

accumulation

inversiondésertion

exp(-qΨs/2kT)

-exp(qΨs/2kT)forte inversion

EFs=Ei

Figure 112 : Variation de la charge en fonction du potentiel à l’interface oxyde semiconducteur dans le cas d’un substrat de type p. En régime d’accumulation ou de forte inversion la variation est très rapide.

A l’interface oxyde-semiconducteur, le vecteur déplacement électrique est continu.

εox.ξox = εSi.ξs

VG = Vo + ψs sdVG ψξεε S

ox

Si +=

Le problème est alors d’évaluer le champ électrique à l’interface. Soit nous utilisons le résultat de l’intégration de l’équation de Poisson complète, soit nous utilisons l’approche simplifiée qui tient compte de l’approximation de Schockley.

forte inversion

Ψs

0

ϕp

2qϕp

VGVthVGinv

désertion

inversionforte inversion

Ψs

0

ϕp

2qϕp

VGVthVGinv

désertion

inversion

Figure 113 : Variation du potentiel de surface en fonction de la tension de grille. Pour des tensions de grille suffisantes, le potentiel de surface varie linéairement en fonction de la tension grille jusqu’à la tension de seuil.

Cette approximation consiste à considérer que la concentration en électrons, même si elle est égale à la concentration de dopants ionisés exactement à l’interface pour la tension de seuil, est très vite négligeable à quelques distances atomiques de l’interface.

En supposant le dopage constant, le champ à l’interface oxyde-semiconducteur correspond à la valeur maximale (en module) du champ électrique qui s’exprime par :

sor

As

A

or

or

As

qNqN

qN ψεε

ψεεεε

ξ 22 ==

sqNdV sor

AG ψψ

εεεε 2

ox

Si +=

La figure 85 donne une idée de la variation du potentiel de surface en fonction de la tension de grille.

La tension de seuil est définie pour ψs = 2ϕp. Ainsi, la tension de seuil s’exprime par :

ppor

Ath

qNdV ϕϕεεε

ε 2 22ox

Si += (140)

Nous pouvons donner un exemple numérique dans le cas où : d = 200 Å, εSi, = 10-12 F/cm εox = 1/3 εSi, NA = 3.1016 cm-3,



ainsi, 2ϕp = 0,76V et Vth = 1,28V Nous pouvons remarquer que si d diminue la tension de seuil diminue aussi ; c’est l’une des

raisons de la diminution des épaisseurs d’oxyde dans les technologies fortement intégrées très basse consommation.

9°) Capacité équivalente de la structure MOS

On associe la variation de charge totale de la zone de charge d’espace à la variation de la tension de grille, VG, par l’équivalence d’une capacité :

G

s

dVdQC =

Or nous avons vu que VG = Vo + ψs et donc dVG = dVo + dψs

s

s

s

oso

s

dQd

dQdVddV

dQCψψ +

=+

= 1

Le premier terme du dénominateur correspond à la capacité de l’oxyde, Cox. Le second à la capacité équivalente de la zone de charge d’espace du semiconducteur, Cd.

do

do

do

CCCC

CC

C+

=+

=11

1 (141)

La capacité totale est équivalente à la mis en série des deux capacités Co et Cd.

s

s

ddQψ

peut être déduit de l’étude de

Qs(ψs), pente de la courbe. Ainsi, si nous supposons que la variation de Vg est suffisamment lente pour considérer que l’équilibre est atteint en permanence, le forme de C(VG) est celle représentée sur la figure 114. Pour effectuer la mesure il faut en général superposer à VG un signal variable. En « haute fréquence », les porteurs minoritaires ne peuvent pas suivre la variation imposée, puisqu’ils sont trop peu nombreux pour permettre d’atteindre l’équilibre. Pour des zones de substrat de très bonne qualité (grande durée de vie), le domaine de « haute fréquence » peut débuter à quelques dizaines de Hertz.

forte inversion

0 VGVth

accumulation

C/Co1

VG substrat

Co Cd

réponse HF

forte inversion

0 VGVth

accumulation

C/Co1

VG substrat

Co Cd

VG substrat

Co Cd

réponse HF

Figure 114 : Variation de la capacité normalisée en fonction de la tension de grille ; la capacité totale est la mise en série des deux capacités Co et Cd. Si la fréquence est très basse, les porteurs minoritaires ont le temps de répondre et la capacité remonte vers Co en forte inversion. En haute fréquence, nous obtenons la courbe en pointillés pour les tensions de grille positives.



IV Caractéristique de transistor MOS idéal Il s’agit de retrouver les expressions analytiques ID(VDS, VGS) correspondant à la forme de la

caractéristique présentée au paragraphe 2. Cela va nécessiter un certain nombre d’approximations en fonction du régime de fonctionnement. Nous nous limiterons à ce stade, à la caractéristique en conduction, c’est-à-dire pour des tensions de grille au moins égales, en valeur absolue, à la tension de seuil.

1°) Expression de la charge dans le canal

La charge totale dans le semiconducteur, Qs, est la somme de la charge correspondant aux atomes dopants ionisés dans la zone de charge d’espace, QB, et de la charge équivalente des porteurs libres dans le canal, QI. Ainsi :

Qs = QI + QB

La tension de grille, VG > Vth est appliquée sur une face de l’isolant. En raisonnant à l’aide d’un condensateur équivalent, la charge totale Qs se retrouve en vis-à-vis aux bornes de l’isolant. La tension aux bornes de l’isolant s’exprime alors par :

o

so C

QV −= et donc so

sG C

QV ψ+−=

Lorsque VG = Vth , nous pouvons supposer que QI est encore négligeable puisque le canal commence tout juste à se former ; même si la concentration des porteurs atteint celle du dopage, l’épaisseur du canal est encore suffisamment faible pour être négligeable devant l’extension de la zone de charge d’espace ; ceci est bien sûr une approximation importante. Alors :

po

Bth C

QV ϕ2+−= (142)

Ainsi, en tout point du canal, le potentiel est VG – Vth - ∆ψ, ce dernier terme représentant le potentiel local dans la zone de canal à l’interface oxyde-semiconducteur.

o

I

o

BsthG C

QC

QQVV −=

−−=∆−− ψ

Notons que QI = QI(y) puisque ψ = ψ(y) et donc

( ))(yVVCQ thGoI ψ−−−= (143)

Cette charge par unité de surface dans la zone de canal dépend donc de la position (fonction de l’abscisse y) et va nous permettre d’évaluer la résistance globale du canal entre les contacts de source et de drain, en supposant que ces zones sont parfaites (résistance nulle).


N+ N+

S G D

substrat p

ξ

dy

y

dQI

0

Ψ(y)

L


N+ N+

S G D

substrat p

ξ

dy

y

dQI

0

Ψ(y)

L

Figure 115 : Représentation schématique de la structure MOS en régime de conduction non saturée. La canal existe partout sous la grille. Le potentiel de surface varie en fonction de la position y ; il en est de même pour la charge d’interface QI. L’intégrale de la résistance entre 0 et L permet de déterminer le courant total drain-source traversant le transistor. La résistance augmente lorsque la polarisation drain-source augmente.

2°) Calcul du courant



Dans la zone de canal quand celui-ci existe, nous supposons que le mécanisme de conduction prépondérant est de type dérive dans le champ électrique transverse, ξy. L’expression du courant inclue donc le champ électrique, la mobilité des porteurs, la charge du canal par unité de surface, et la largeur du canal, Z (non visible sur la coupe de la figure 115). La longueur du canal est L.

dydetQZI yyInD

ψζζµ −=−=

( ) dydyVVCZI thGonD

ψψµ )(−−=

En intégrant cette équation tout le long du canal entre 0 et L, le potentiel variant de 0 à VD,

( ) ψψµ dVVCZdyI thG

V

onD

L D

−−= ∫∫00

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= 2

2D

DthGonDVVVVCZLI µ

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= 2

2D

DthGonDVVVVCL

ZI µ (144)

L’expression du courant trouvée ici est très simplifiée mais donne un bon aperçu de l’équation de la caractéristique du transistor. Sans les approximations, la résolution est beaucoup plus compliquées.

Dans le calcul ci-dessus, nous avons supposé que le canal existe sur toute la longueur L en régime limite. Lorsque VDS = VGS – Vth, le point de pincement du canal apparaît au niveau du drain. Cette situation correspond au début de la saturation du courant ; le courant de saturation sera noté IDsat.

VDsat = VG – Vth

( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−= 2

2

2 thG

thGonDsat

VVVVCL

ZI µ

( )2

2

thGonDsat

VVCL

ZI−

= µ (145)

Ainsi, nous déterminons le courant de saturation qui ne dépend que de la différence entre la tension de grille et la tension de seuil.

Il faut cependant remarquer que pour la tension de grille très légèrement inférieure ou égale à la tension de seuil, le courant n’est pas nul. Pour connaître le comportement électrique au-dessous du seuil, il faut reprendre les équations qui déterminent la quantité effective des porteurs (dans notre cas les électrons) dont la concentration est inférieure à la concentration de dopant mais est loin d’être nulle (1017cm-3 par exemple). Dans ces conditions, nous déterminons la caractéristique de transfert sous le seuil, le courant pouvant varier sur une bonne dizaine de décades pour atteindre la valeur du courant inverse d’une des deux jonctions drain-canal ou source-canal.



Le forme de cette caractéristique et plus particulièrement sa pente dans une échelle logarithmique est directement liée à l’épaisseur d’oxyde, au dopage de la zone de canal et à la densité de charge parasite liées essentiellement aux défauts d’interface oxyde/zone canal (figure 116).

Le cours de limites physiques des composants et dispositifs commun à la 3ème année et au DEA Electronique pourra donner des détails sur ce comportement.

VGS(V)

IDS(A)

« pente » S en V/décade

10-10

10-8

10-6

10-4

10-12

-2 -1 0 1 2 310-14

VGS(V)

IDS(A)

« pente » S en V/décade

10-10

10-8

10-6

10-4

10-12

-2 -1 0 1 2 3-2 -1 0 1 2 310-14

Figure 116 : Caractéristique de transfert typique d’un transistor NMOS intégré. Le courant drain-source varie sur une dizaine de décade pour une variation de l’ordre du volt pour la tension de grille.

V Défauts cristallins et de surface Dans la majorité des composants microélectronique et plus particulièrement dans les transistors

MOS, les surfaces et interfaces vont jouer un très grand rôle sur le comportement électrique. Toute rupture du réseau cristallin va apporter des perturbations sur les liaisons et donc sur les énergies.

1°) Différents types de défauts

Ces défauts peuvent être : - des dislocations dans le cristal lui-même, - des lacunes créées par des déplacements d’atomes dans le cristal, - des écarts à la stœchiométrie dans le cas des semiconducteur composés (III-V), - rupture du réseau au niveau d’une surface. La surface est une zone de transition entre deux phases, deux matériaux de morphologie différente (amorphe, vitreuse, polycristalline). Les contraintes variant d’une phase à l’autre : - des atomes peuvent être déplacés, - des atomes n’ont pas de liaisons ; il se crée des liaisons dites pendantes qui peuvent être

électriquement active par piégeage d’électron par exemple, - des hybridations électroniques peuvent se produire par changement de l’environnement

atomique, - des atomes peuvent être impliqués dans une marche en surface, dans une terrasse, ou dans u

cran (modèle dit TKL).



De plus en surface, certaines espèces peuvent réagir avec l’autre phase. Dans le cas de l’air, des réactions d’oxydation, d’adsorption d’atomes (carbone, etc.) ou de molécules (eau, composés organiques, etc.) sont possibles.

2°) Etats énergétiques

Tous ces défauts vont créer des états énergétiques qui dans beaucoup de cas vont apparaître dans la bande interdite du semiconducteur. Ces niveaux énergétiques se distribuent dans la bande interdite en fonction de la nature du semiconducteur et de la nature de la deuxième phase. Suivant leur position dans le gap, ils peuvent être de types donneur ou accepteur.

La présence de ces états aura une très grande importance sur le comportement électrique final du dispositif en jouant sur :

- le piégeage des porteurs libres, - la mobilité des porteurs libres, - la recombinaison. Localisés énergétiquement en grande quantité, ils peuvent « verrouiller » le niveau de Fermi.

Par exemple, dans le cas d’un transistor de type MOS, au lieu de moduler le nombre de porteurs libres dans le canal par la polarisation de grille, le nombre de porteurs piégés varient seulement sans modification de la conduction du canal. C’est à cause de ce phénomène qu’il n’a pas été possible de fabriquer des transistors de type MOS performants (M.I.S. métal-isolant-semiconducteur) avec l’InP ou la GaAs.

Il est possible d’évaluer le nombre de défauts ou d’états énergétiques par unité de surface. Le nombre total d’atomes étant d’environ 5.1022cm-3, le nombre de liaisons pendantes peut être de :

(5.1022)2/3 = 1015cm-2

Un bon traitement de surface et un bon contrôle de l’interface entre le semiconducteur et l’oxyde de grille dans les transistors MOS submicroniques aboutissent à une densité d’états, Nss, de l’ordre de 109cm-2, soit un défaut par million d’atomes en surface. Cela laisse supposer une maîtrise technologique remarquable.

La présence de ces défauts affecte bien sûr les caractéristiques des transistors MOS, tension de seuil, pente sous le seuil, transconductance, etc.. Les phénomènes associés ne seront pas abordés dans le cadre de ce cours.


Chapitre 9 : Le transistor à effet de champ à jonction

CHAPITRE IX

LE TRANSISTOR A EFFET DE CHAMP A JONCTION TRANSISTORS JFET

Nous allons étudier dans ce chapitre le transistor à effet de champ à jonction : Junction Field

Effect Transistor (JFET). Cette structure est de la même famille que le transistor MOS à savoir que le courant est piloté par une polarisation sur une électrode qui sera aussi dans ce cas la grille du dispositif. Le principe est alors la modulation de l’épaisseur d’une zone conductrice constituée par un matériau semiconducteur qui peut être désertée par l’extension d’une zone de charge d’espace pilotée par l’application d’une tension. Cette zone de charge d’espace existe par la présence d’une jonction pn. Cette jonction sera polarisée en inverse pour jouer sur l’extension de la zone de charge d’espace.

I Constitution La partie conductrice du transistor est constituée d’un barreau semiconducteur de type n ou p. Si

cette zone est de type n, nous dirons que le transistor est à canal n, si elle est de type p, à canal p. La figure 89 donne l’exemple d’un transistor à canal n. La zone conductrice, le canal, est limitée du coté supérieur par la zone de charge d’espace de la jonction grille/canal et du coté substrat par une jonction. Le canal est donc confiné entre deux zones de type opposé. En technologie silicium, pour laquelle il est très difficile d’obtenir un substrat isolant, il faudra s’assurer que cette jonction inférieure reste polarisée négativement afin de minimiser tout courant de fuite par le substrat.

De façon analogue au transistor MOS, nous définissons les trois électrodes par source (S), grille (G) et drain (D). Nous justifierons plus loin l’origine de ces dénominations. Pour minimiser les effets de résistance en série avec les électrodes les extrémités du canal sont en général très dopées. Il faudra donc réaliser technologiquement cet assemblage de couches dans des dimensions suffisamment faibles pour permettre un bon pilotage de la conduction. La grille commande par effet de champ (électrostatique) la largeur du canal et donc la section de conduction de ce canal. Il est alors clair que la résistance équivalente entre la source et le drain va être modulée par la polarisation de grille.

S G

N+ N+

D

P+

substrat P

Z.C.E. N

Z.C.E.canal

S G

N+ N+

D

P+

substrat P

Z.C.E. N

Z.C.E.canal

Figure 117 : Coupe schématique d’un transistor à effet de champ à jonction à canal N. La jonction grille-canal est très dissymétrique pour permettre de commander l’extension de la zone de charge d’espace (Z.C.E.) dans la zone de canal, et donc de moduler la section de conduction. Sous les contacts de source et de drain, le semiconducteur est très dopé afin de minimiser la résistance de ces zones. Le substrat de type P dans ce cas est moins dopé que la zone de canal pour que la Z.C.E. s’étende essentiellement du coté du substrat. Ce substrat peut être épitaxié (P+/P-)

O. Bonnaud, Physique des semiconducteurs et dispositifs, Juin 2003 125


Le substrat de type P dans ce cas est moins dopé que la zone de canal pour que la Z.C.E. s’étende essentiellement du coté du substrat. L’effet de la polarisation de drain, qui intervient comme une polarisation inverse de la jonction drain substrat, est alors minimisé dans la région du canal. En pratique, le substrat est constitué de deux zones, la première relativement bien dopée et la deuxième, en surface, peu dopée par la technique de croissance épitaxiale (cf. cours de technologie microélectronique intégrée).

II Symboles Pour le tracé des circuits électroniques impliquant des JFET, les conventions adoptées sont les

suivantes. La flèche apparaissant sur la connexion de grille est orientée dans le sens passant de la jonction pn ; vers le canal (depuis la grille) pour un canal n, depuis le canal (vers la grille) pour un canal p.

Canal n

SDGSDG

Canal

SDGSDG

III Principe de fonctionnement

1°) La tension drain-source est maintenue très faible

Considérons le cas d’un transistor à canal n. Pour que l’extension de la zone de charge d’espace se produise essentiellement du coté du canal, il faut une jonction pn très dissymétrique, dans ce cas p+ n. La zone p, qui constitue la zone de grille est donc très dopée. L’application d’une tension négative sur la grille, donc sur la zone de type p de la jonction pn, produit une augmentation de l’extension de la zone de charge d’espace visible sur la figure 90. Lorsque la polarisation de grille varie, la zone désertée du canal est ainsi modulée et donc la section de conduction l’est aussi (figure 118). La résistance équivalente entre la source et le drain va donc varier.

Pour une très faible valeur de la différence de potentiel appliquée entre la source et le drain, le courant est directement lié à la valeur de la résistance modulée par la tension de grille.

La structure se comporte donc dans ces conditions comme une résistance pilotée par une tension. Pour être plus précis, elle est pilotée par le champ électrique interne, d’où le nom donné au transistor.

La tension appliquée entre la source et le drain étant faible, le champ le long du canal est négligeable.

S G D

N+ N+P+

Z.C.E.

N

VGS

canal

S G D

N+ N+P+

Z.C.E.

N

VGS

canal Figure 118 : Evolution de la largeur du canal lorsqu’une tension est appliquée sur la grille. La section du canal diminue lorsque la polarisation inverse de la jonction augmente. Pour une polarisation nulle, la largeur du canal est déterminée par l’extension de la Z.C.E. de la jonction grille canal au repos.



Si la tension appliquée sur la grille atteint une valeur telle que la zone de charge d’espace s’étende jusqu’en limite de la zone de canal, la résistance du canal devient alors très élevée et la conduction est bloquée. Cette situation correspond au blocage complet du transistor appelé «cut-off ». La tension appliquée sur la grille correspondante est la tension de cut-off, ou Vp. Cette tension correspond aussi à la tension de pincement du canal. La caractéristique de sortie représentée figure 119 montre le comportement du transistor en résistance commandée.

⎜IDS⎜

VDS

⎜VGS2⎜>⎜VGS1⎜

⎜VGS1⎜= 0

faible

⎜VGS3⎜=⎜Vp⎜

⎜IDS⎜

VDS

⎜VGS2⎜>⎜VGS1⎜

⎜VGS1⎜= 0

faible

⎜VGS3⎜=⎜Vp⎜

Figure 119 : évolution de la caractéristique de sortie à faible tension de drain lorsque la polarisation inverse de la grille évolue. Le transistor se comporte comme une résistance commandée. Pour une polarisation nulle, la section du canal est maximale et la résistance associée minimale. La pente de la caractéristique est donc maximale. Pour une polarisation négative, la conductance diminue et la résistance augmente jusqu’à être quasi infinie pour la tension Vp (pincement du canal).

2°) La tension drain-source polarise en inverse la jonction drain-grille

La figure 120 montre l’évolution de la zone de charge d’espace et donc de la largeur du canal. La polarisation inverse augmentant du coté du drain, la section de conduction du canal diminue de façon plus importante du coté du drain, l’extension n’étant pas modifiée du coté source.

A tension de grille fixée, la tension de drain augmentant, la pente de la caractéristique IDS (VGS) qui correspond à l’inverse de la résistance équivalente de la zone de canal, diminue. La caractéristique de sortie s’incurve de façon tout à fait similaire à celle du transistor MOS lorsque le canal se pince progressivement. Il faut noter que l’extension de la zone de charge d’espace variant de façon quadratique en fonction de la tension appliquée à la jonction (lorsque le dopage est constant), cette évolution n’est pas linéaire. Les calculs menés plus loin dans le chapitre justifieront cette évolution.

La caractéristique de sortie, représentée figure 93, montre cette évolution du courant lorsque pour une tension de grille fixée, la tension appliquée sur le drain augmente.

S G D

N+ N+P+

Z.C.E.

N

VGS

canal

VDS

S G D

N+ N+P+

Z.C.E.

N

VGS

canal

VDS

Figure 120 : évolution de la zone de canal lorsque le drain est polarisé. La section du canal diminue du coté du drain, ce qui entraîne une augmentation de la résistance vue depuis le drain.

IDS

VDS

VGS>Vth

IDS

VDS

VGS>Vth

Figure 121 : caractéristique de sortie à plus grand VDS.



La pente diminue jusqu’à la disparition du canal du coté du drain. La structure atteint le régime de pincement du canal. Cette situation se produit lorsque la différence de potentiel totale entre le drain et la grille atteint la valeur de la tension de cut-off, notée Vp.. A partir de cette limite, il faut analyser comment est assurée la conduction du transistor .

3°) La tension drain-grille dépasse la tension de pincement

La figure 94 montre l’évolution de la zone de charge d’espace et donc du canal lorsque la polarisation du drain par rapport à la grille dépasse la tension de pincement (VDS - VGS > Vp). Le canal a disparu du coté du drain mais une différence de potentiel longitudinale dans la partie pincée permet d’assurer la conduction. Au point P de la figure 122, le potentiel par rapport à la source est juste égal à la tension de pincement, Vp.

Le phénomène est tout à fait similaire à celui déjà observé dans le cas du transistor MOS. Si l’extension de la zone de charge d’espace le long du canal reste faible devant la longueur du canal, la résistance équivalente du canal est pratiquement constante ne dépendant que de sa longueur effective et de sa largeur en première approximation. Au point de pincement, le potentiel est toujours le même. Ainsi, pour une même différence de potentiel, la résistance étant constante, le courant circulant est alors constant (U=RI). La caractéristique de sortie devient donc horizontale et le transistor se comporte comme une source de courant. Ce régime est dit saturé, autrement dit le courant entre le drain et la source sature.

S G D

N+ N+P+

Z.C.E.

N

VGS

courant

VDS

ξ

champ électrique

Vp

IDS

canal

ξ

P

S G D

N+ N+P+

Z.C.E.

N

VGS

courant

VDS

ξ

champ électrique

Vp

IDS

canal

ξ

P

Figure 122 : Situation du transistor en régime saturé. La zone de charge d’espace atteint le « fond » de la structure. La conduction est assurée par le champ électrique situé entre la zone de drain et la zone de canal non désertée. La géométrie du canal restant presque constante, sa résistance équivalent l’est aussi.

Les porteurs mis en jeu étant ceux de la zone de canal, la conduction est donc assurée par porteurs majoritaires. La conduction sera donc plus élevée pour des types N que pour des types P.

La figure 95 présente la caractéristique de sortie complète. Nous retrouvons à faible VGS le régime dit ohmique, en régime intermédiaire une variation notable de la résistance équivalente, en régime saturé, un courant quasi-constant. La pente du courant permet de déterminer l’admittance de sortie liée à l’effet Early. En effet, le point de pincement n’est pas strictement immobile lorsque la tension drain-source augmente mais se déplace légèrement en direction de la source. La détermination de cette position est faite à l’aide de la résolution de l’équation de Poisson. La résistance diminue un peu et donc le courant augmente légèrement, la différence de potentiel étant toujours la même. Nous obtenons l’équivalence de l’effet Early du transistor MOS ou bipolaire. Cet effet se traduit par une pente positive sur la caractéristique de sortie présentée figure 123.



La tension de Early est définie de façon similaire au transistor bipolaire par l’intersection de la caractéristique avec l’axe des tensions. Pour une même dimension, au plus le dopage sera grand, au moins la zone de charge d’espace s’étendra. Mais attention, d’autres phénomènes rentreront en jeu si le dopage est trop élevé (extension du coté grille, claquage par champ électrique, diminution de la mobilité des porteurs, etc…).

IDS

VDS

limite de saturation VGS = 0

VGS1 < 0

VGS2 < VGS1

Effet Early

IDS

VDS

limite de saturation VGS = 0

VGS1 < 0

VGS2 < VGS1

Effet Early Figure 123 : caractéristique de sortie. En saturation le courant drain-source est pratiquement constant. L’effet Early crée une pente légèrement positive

4°) Conclusion sur le comportement

Le transistor JFET est contrôlé par champs électriques qui sont dépendant directement de la tension de grille et de la tension de drain. La conduction s’effectue par porteurs majoritaires, les porteurs libres du canal. Il n’y a donc pas de problème de charge stockée comme dans le cas du transistor bipolaire par effet d’injection de porteurs minoritaires qui sont automatiquement compensés par des majoritaires pour assurer la quasi-neutralité.

Le courant de grille peut être très faible en régime statique puisqu’il est constitué principalement du courant inverse de la jonction grille-canal. La densité de courant et la section étant très faibles, le courant sera très faible aussi.

La drain collecte les électrons du canal qui sont envoyés par la source. Cela explique l’origine du nom des électrodes.

La caractéristique, IDS(VDS) ressemble à celle d’un transistor bipolaire ou d’un transistor MOS, la grandeur de commande étant dans ce cas la tension de grille. En régime saturé, le transistor se comporte comme une source de courant commandée par une tension.

Le comportement en fréquence du transistor fera intervenir la capacité de jonction grille-substrat (zone de canal) au premier ordre ainsi que la mobilité des porteurs du canal. Un transistor à canal N sera plus rapide que celui à canal P pour un même courant drainé.

Tous les résultats sur la jonction PN et la méthodologie appliquée à l’étude des transistors MOS peuvent être appliqués à l’étude théorique de ce transistor.

IV Modélisation simplifiée de la structure Dans cette partie, nous allons modéliser la conduction en régime statique dans un transistor

JFET à canal N. Nous allons supposer que le dopage est constant dans chacune des couches (sone de grille et zone de canal) ce qui nous permettra de mener des calculs analytiques relativement simples. Nous supposerons aussi que la mobilité dans la zone de canal est constante malgré la forte valeur du champ électrique dans le zone de pincement en régime saturé. Nous supposerons aussi la température uniforme.



1°) La tension drain-source est maintenue très faible : régime linéaire

Si la tension drain-source est très faible, le canal peut être considéré comme une équipotentielle. Nous pouvons ainsi calculer l’extension

de la zone de charge d’espace, h, dans la couche de type n d’épaisseur a. En appelant ND la concentration en dopant dans le canal et VD la tension de diffusion de la jonction grille-substrat la conductance du canal s’écrit alors :

( haLZqNL

SG nDn −== µσ ) (146)

Dans cette expression, Z représente la largeur du canal, non visible sur la figure 124.

S G D

N+ N+P+Z.C.E.

N

VGS

canal

VDS

y

xL

0ah(x)

S G D

N+ N+P+Z.C.E.

N

VGS

canal

VDS

y

xL

0ah(x)

Figure 124 : Schéma de la structure faisant apparaître les grandeurs intervenant dans la modélisation simplifiée.

L’extension de la zone de charge d’espace, en conservant l’hypothèse de Shockley et en considérant que la tension appliquée est négative en fonctionnement normal (polarisation inverse), s’exprime par :

( )GSDD

or VVNq

h −= εε2 (147)

En remplaçant h dans l’expression 106, nous obtenons :

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−= GSD

D

ornD VV

NaqLZa

qNG2

21 εεµ (148)

Il est clair qu’à partir de cette expression, la conductance décroît quand VGS est de plus en plus négative, jusqu’à atteindre une valeur nulle lorsque le terme sous la racine est égal à 1. Cette situation correspond à VGS = Vp. En effet, si h = a,

or

DDp

aNqVV

εε2

2

−= avec 2lni

DAD n

NNq

kTV = (149)

NA est dans cette expression le dopage de la zone P de grille. La relation (147) indique que la conductance est indépendante de la tension drain-source, et

l’application de la relation linéaire d’Ohm entre IDS et VDS permet d’écrire tout simplement :

( ) DSGSDD

ornDDSDS VVV

NaqLZa

qNVGI ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−==

221 εεµ

En utilisant la relation (109), nous simplifions la notation de cette équation :

( )( ) DS

pD

GSDnDDSDS V

VVVV

LZa

qNVGI⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−== 1µ (150)

Nous avons ainsi pu rendre compte de la région linéaire correspondant aux courbes de la figure 91, le transistor se comportant comme une résistance ajustable. Cette propriété est exploitée dans



les circuits pour réaliser des résistances qui occupent une surface beaucoup plus faible qu’avec une couche simplement dopée sur laquelle des contacts sont réalisés.

Le courant de grille, peut être considéré comme nul dans le circuit puisqu’il correspond au courant inverse de la jonction grille-canal.

2°) Caractéristique statique jusqu’au régime de saturation

Lorsque la tension drain-source augmente, il n’est plus réaliste de négliger la chute de potentiel le long du canal entre le drain et la source. La polarisation locale de jonction est alors notée VG(x). Du coté source, x = 0, VG(0) = VGS alors que du coté drain, x = L, VG(L) = VGD.

L’extension de la zone de charge d’espace, h, évolue le long du canal (cf. figure 92). Pour déterminer son expression, il suffit d’intégrer l’équation de Poisson en l’abscisse x, correspondant au potentiel V(x).

L’expression de h, relation (147) est modifiée comme suit :

( ) ( )( )xVVVNq

xh GGSDD

or +−= εε2

qui peut aussi s’écrire :

( ) ( )( )pD

GGSD

VVxVVV

axh−

+−= (151)

Remarque : Le canal est toujours pincé si h(L) = a, pour un Vp donné. Notons que si nous voulons conserver la valeur

de Vp, il faudra augmenter le dopage de la couche si l’épaisseur du canal diminue. Ceci sera rechercher dans les

structures fortement intégrées.

Le long du canal, la densité de courant suivant la direction x, s’exprime en fonction de du champ transversal ξx par :

( ) ( ) ( ) ( )xqNxxxJ xnDxx ξµξσ ==

Le courant total traversant la zone de canal, en régime stationnaire tient compte de la section de conduction qui varie le long du canal :

( ) ( )( ) ( )( ) ZxhaxVqNxhaxJI nDxDS −

∂∂=−−= µ

Dans cette expression, le courant est compté positivement lorsqu’il est dirigé du drain vers la source. En remplaçant h(x) de l’expression (111), nous obtenons :

( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−∂

∂= xVVVNqx

VNZaqI GGSDD

ornDDS

εεµ 21

Les valeurs limites de VG(x) sont connues. Le courant étant supposé constant à travers la structure en régime stationnaire, il est possible d’intégrer cette équation par rapport à x pour le terme de gauche et par rapport à V pour le terme de droite.



( )( )DSVV

V

GGSDD

ornDDS xVVV

NqVNZaqLI

=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

0

23

232 εεµ

Cette équation peut être transformée en faisant apparaître Vp et en remplaçant VG(x) par ses limites :

( )( )

( )( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=21

23

21

23

32

32

pD

GSDSD

pD

GSD

DSnDDS

VV

VVV

VV

VVV

LZaNqI µ (152)

Cette expression, un peu lourde quoique très simplifiée quant aux hypothèses, indique clairement la perte de linéarité dès que VDS n’est plus négligeable devant les autres tensions appliquées. Nous retrouvons ainsi le comportement de la figure 93. Un développement limité permet de revenir à l’expression (110).

3°) Pincement et saturation du courant

Pour une tension de grille donnée, nous avons un courant maximum IDsat qui correspond au début du pincement du canal du coté du drain, c’est à dire lorsque la zone de charge d’espace atteint le « fond » de la zone de canal. A la limite, la tension VDS correspond à la condition :

VD – Vp = VD – VGS + VDSsat

soit encore V - V V pGSDSsat = (VGS et Vp négatifs) (153)

expression qu’il est aussi possible d’écrire sous la forme de valeur absolues des tensions :

GSpDSsat V-VV = (154)

( ) ( )( ) ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−−+=

21

23

21

32

32

pD

pDSsatDpDDSsanDDS

VV

VVVVVtV

LZaNqI µ

En remplaçant VDSsat par son expression en fonction de VD et Vp, nous transformons cette relation :

( ) ( )( ) ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+

−

−−−=

23

32

31

pD

GSD

pD

GSDpDnDDS

VV

VV

VVVV

VVLZaNqI µ (155)

Cette dernière relation donne la valeur du courant de saturation correspondant aux conditions de

la figure 123. Pour des tensions de drain supérieures, cette équation peut être modifiée en tenant compte du déplacement de la zone de pincement dans le canal. Par ce biais, il est possible de déterminer l’admittance de sortie et l’effet Early.



Remarque : toute la théorie proposée est fondée sur la modulation de la zone de charge d’espace d’une jonction PN. En

pratique, il est aussi possible de réaliser une jonction à partir d’un contact métal sur un semi-conducteur. Si la tension de

diffusion (built-in potential en anglais) est en général plus faible, et le courant inverse plus élevé, le principe reste

strictement identique. Cela correspond aux transistors dits MESFET, MEtal Semiconductor Field Effect Transistor,

utilisés en électronique rapide, notamment à base de GaAs en raison de l’absence de charges stockées de porteurs

minoritaires comme dans le cas des transistors bipolaires.




Chapitre 6 : La diode métal-semiconducteur : la diode Schottky

CHAPITRE X

LA DIODE METAL-SEMICONDUCTEUR DIODE SCHOTTKY

Nous allons étudier dans ce chapitre le contact métal-semiconducteur qui est très utilisé dans

tous les dispositifs microélectroniques. Suivant la nature du métal et du semiconducteur, ce contact peut aboutir soit à un contact dit ohmique, autrement dit dont la résistance est négligeable par rapport à celles des couches mises en jeu, soit à un contact redresseur. C’est la maîtrise de ces deux aspects principaux, mettant en jeu des phénomènes physiques très différents qui va conduire notre approche.

I Constitution La diode métal semiconducteur est constituée d’un contact établi entre un métal et un

semiconducteur, en général dopé. C’est le plus vieux dispositif électronique connu, datant de la fin du 19ème siècle, les premiers redresseurs solides et les premiers postes à galène étant par exemple basés sur cette structure. La première théorie de fonctionnement, proposée par Bethe, ne remonte cependant qu’à 1938.

La structure de base est un contact direct entre un métal et un semiconducteur, peu dopé, tel que représenté figure 97.

Dans les diodes intégrées, la couche de semiconducteur est en général peu dopée et crue par la technique de croissance épitaxiale (. (cf. cours de technologie microélectronique intégrée) sur un substrat très dopé ou sur une couche très dopée enterrée afin de minimiser les effets de résistance série, l’effet diode se produisant essentiellement à proximité du contact réalisé sur la couche peu dopée. Dans ce cas les couches métalliques peuvent être constituées du même métal. Pour des effets spécifiques, les métaux peuvent aussi être différents mais cela complique le procédé de fabrication.

N- N+

semiconducteur

métal

N- N+

semiconducteur

métal

Figure 97 : Coupe schématique d’une diode métal semiconducteur. Pour minimiser l’effet de résistance série.

Métal contact ohmique

substrat p

Métal

N-N+

N+

Métal contact ohmique

substrat p

Métal

N-N+

N+

Figure 98 : Coupe d’une diode métal-semiconducteur intégrée. Le contact du métal sur le zone N+ constitue un contact ohmique (pas d’effet notable de barrière)..

Le contact électrique du semiconducteur est aussi réalisé avec un métal. Dans ce cas, il faut un contact ohmique. La présence des deux types de contacts sur la même structure fait apparaître la différence de comportement, a priori. Nous allons en premier lieu ne nous intéresser qu’à la structure simple entre un métal et un semiconducteur, moyennement dopé.

135


II Diagramme des bandes d’énergie Pour comprendre le diagramme d’énergie des jonctions métal semiconducteur, il faut tout

d’abord tracer le diagramme des deux matériaux indépendamment. La figure 98 (avant contact) présente le diagramme d’un métal, le niveau de Fermi étant situé dans la bande de conductionk, et d’un semiconducteur, par exemple faiblement dopé n dans ce cas. Nous supposons la structure idéale, c’est à dire sans perturbation au niveau des liaisons chimiques du contact métal-semiconducteur.

EF

EV

métalsemiconducteur

videvide

E


EC

EF

métal

vide

E

matériaux après contact

EV

semiconducteur

videEC

EF

EV

métalsemiconducteur

videvide

E


EC

EF

métal

vide

E


EV

semiconducteur

videEC

EF

métal

vide

E


EV

semiconducteur

videEC

Figure 98 : Diagramme d’énergie d’un métal et d’un semiconducteur de type n faiblement dopé avant contact et après contact. Après contact, si les niveaux du vide sont décalé, une courbure de bande apparaît.

Le contact est ensuite réalisé comme présenté figure 98. Le principe qui en régit l’établissement physique est l’alignement des niveaux de Fermi du métal et du semiconducteur, puisque la structure est à l’équilibre thermodynamique.

Loin du contact, aussi appelé jonction, du coté semiconducteur, les niveaux des bandes de valence, de conduction et du vide, Ev, Ec et Evide conservent leur position respective par rapport à EF. Le métal, restant une équipotentielle, approximation toujours valable si les densités de courant circulant dans la diode ne sont pas trop élevées, le niveau d’énergie du vide est continu au contact. Mais si les niveaux de départ du métal et du semiconducteur sont différents, c’est-à-dire, si les travaux de sortie respectifs, Φm et Φs, sont différents, ce qui est le cas en général, une courbure de bande apparaît essentiellement dans le semiconducteur, prés de la zone de contact. Remarque : La continuité du niveau du vide admet l’hypothèse qu’il n’existe aucune charge à l’interface, qui pourraient

être due à des pièges. Les charges surfaciques pourraient créer une discontinuité du potentiel.

Deux situations peuvent alors se rencontrer en fonction de la différence des travaux de sortie, comme analysé ci-dessous.

1°) Cas ou Φm > Φs.

Au voisinage de la jonction, le niveau de Fermi s’éloigne de Ec et se rapproche donc de Ev. Il y a donc appauvrissement du semiconducteur de type n dans la zone de contact et création d’une zone de charge d’espace de largeur W. Cette charge positive est compensée à la surface du m étal par une charge négative, donc très près de la jonction métallurgique. Du fait de la très forte concentration

136


électronique dans le métal, l’extension de la zone de charge d’espace coté métal s’effectue sur une fraction de monocouche atomique.

EF

métal

vide

E

EV

semiconducteur

videEC

qΦm qΦs

qΦbEF

métal

vide

E

EV

semiconducteur

videEC

qΦm qΦs

qΦb

Figure 99 : Diagramme des bandes d’énergie dans le cas d’une diode Schottky. Le travail de sorite du métal est supérieur à celui du semiconducteur. Une hauteur de barrière, qFb, se crée au contact métal-semiconducteur.

Nous définissons la hauteur de barrière énergétique de la diode Schottky par :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=Φ Fscb EEq à la jonction métallurgique (116)

Il est clair que, d’une part la désertion du semiconducteur, et d’autre part la création d’une barrière d’énergie vont limiter la conduction à travers la structure. Un effet diode peut être attendu.

2°) Cas ou Φm < Φs.

Dans ce cas, le niveau de Fermi près du contact métallurgique se rapproche de la bande conduction. Il y a donc accumulation d’électrons à l’interface et le semiconducteur se comporte alors comme un matériau très dopé.

EF

métal

vide

E

EV

semiconducteurvide

EC

qΦmqΦs

EF

métal

vide

E

EV

semiconducteurvide

EC

qΦmqΦs

Figure 100 : Diagramme des bandes d’énergie dans le cas où le travail de sorite du métal est supérieur à celui du semiconducteur. Une hauteur de barrière, qFb, se crée au contact métal-semiconducteur.

L’absence de barrière de potentiel et de zone désertée ne limite pas le transport au contact et nous avons dans ce cas un contact électrique qui peut être considéré « ohmique ». Ceci signifie que

137


la conduction est limitée par le volume du semiconducteur et non pas par le contact. Nous n’étudierons pas en détail ce cas dans la suite puisque le contact ne limite pas la conduction.

III Etude du contact Schottky : zone de charge d’espace La courbure des bandes d’énergie se produit dans une zone d’énergie variant de qVbio tel que

représenté sur la figure 101. Vbio correspond au potentiel interne à l’équilibre thermodynamique ou encore « built-in potential » en anglais puisqu’il est créé par fabrication. C’est cette barrière de potentiel que doivent vaincre les électrons de la bande de conduction du semiconducteur pour passer dans le métal. Ce potentiel Vbio est compté positivement dans le sens métal-semiconducteur. Dans le cas de la figure, Vbio est négatif (mais attention à l’orientation de l’axe des x par rapport aux zones.

EF

métalE

EV

semiconducteur

vide

ECqVbio

V

qΦBEF

métalE

EV

semiconducteur

vide

ECqVbio

V

qΦB

Figure 101 : Diagramme des bandes d’énergie faisant apparaître la tension de diffusion Vbio. Cette différence de potentiel correspond à la hauteur de barrière vue par les électrons de la bande de conduction pour passer dans le métal. La hauteur de barrière effective est qΦB.

1°) Zone désertée

Pour déterminer cette zone, nous repartons comme dans les cas précédents de l’équation de Poisson. Dans un modèle unidimensionnel, et en supposant les dopages constants, nous pouvons écrire :

orxV

εερ−=

∂∂

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−== D

ororNnpq

dxd

εεεερξ

En première approximation nous pouvons négliger dans la zone de charge d’espace p et n devant ND.

Remarque : Cette hypothèse est bien évidemment fausse en limite de zone lorsque la concentration des porteurs libres

avoisine celle des ions dopants. Dans ce cas il faut intégrer complètement l’équation et nous retrouvons la formule (92)

de Kingston Neustader (cf. chap 8)

( WxqNxor

A −+= εεξ )( ) (117)

138


ctex

xWqNxVor

D +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 2.)(

2

εε

2

2WqNVor

Dbio εε= bio

Dor VqNW εε2=

En ne négligeant plus la concentration des porteurs libres dans la zone de charge d’espace, l’application de la fonction Kingston-Neustader (92) permet d’ajouter le terme correctif et d’arriver à :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= q

kTVqNW bioD

orεε2 (118)

Remarque : Ce terme correctif peut prendre de l’importance lorsque la hauteur de barrière Vbio est relativement faible,

c’est à dire inférieure à 0,3V à 300K.

La valeur de cette extension de zone de charge d’espace est du même ordre de grandeur que dans le cas d’une jonction pn puisque les tensions de diffusion restent en général autour de quelques dixièmes de volts : elle dépend aussi très fortement du dopage. Elle s’étend ainsi entre quelques dizaine de nanomètres et quelques microns

Dans le cas d’une polarisation de la structure, en appliquant une tension V sur le métal par rapport au semiconducteur, nous supposons que tout le raisonnement précédent reste valable, notamment que la concentration équivalente de porteurs traversant la structure reste faible par rapport à la concentration d’atomes dopants ionisés. Si la tension appliquée, V, est positive, cela revient à diminuer le champ interne et donc à diminuer la différence de potentiel totale. La formule (118) devient simplement :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= q

kTVVqNW bioDorεε2 (119)

Ainsi, de façon analogue à la jonction pn, l’extension de la zone de charge d’espace diminue si une tension négative est appliquée sur la zone n.

2°) Charge totale de la zone de charge d’espace dans le semiconducteur

En considérant que la charge d’espace est essentiellement due aux atomes dopants ionisés, la densité de charge par unité de surface à l’équilibre thermodynamique s’exprime par :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== q

kTVqNqNWqNQ bioDor

DDsc εε2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= q

kTVqNQ bioDorsc εε2 (120)

Dans du silicium, pour ND = 1017cm-3 et Vbio = 0,5 Volt, QSC ≈ 10-7 C/cm2

3°) Capacité de la zone de charge d’espace

Nous définissons la capacité équivalente par unité de surface du semiconducteur par :

scmétal

métal

scmétal

sc

scmétal

métalSC dV

dWdW

dQdV

dQdVdQC

///−=−==

De la formule (119) nous pouvons déduire :

139


WVV

qNC or

bio

orDSC

εεεε =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=2

(121)

A partir de cette expression, nous pouvons extraire la variation de l’inverse du carré de la capacité en fonction de la tension appliquée, V.

orD

bio

SCqN

VV

C εε

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=2

12 (122)

Cette formule est importante car elle montre qu’en traçant l’inverse du carré de la capacité en fonction de la tension, (qu’il est possible de faire varier), la variation de la pente de la courbe est directement proportionnelle au dopage (Figure 102).

1/CSC2

VVbio

pente –2/qNDεrεo

Figure 102 : Variation du carré de l’inverse de la capacité en fonction de la tension. La pente de la courbe permet de déterminer la valeur de la concentration de dopant et la hauteur de barrière à l’équilibre thermodynamique.

Dans le cas d’une concentration variable de dopage, ce qui est très souvent le cas, il est possible de tracer l’inverse de la variation de cette pente.

dVCdqN

SCor

D//1

122⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−=

εε (123)

Cette technique est appliquée pour la détermination ou la vérification des profils de dopage en cours de fabrication des composants et circuits. La réalisation d’un simple contact sur des cellules de test incluses dans les plaquettes permet cette vérification.

IV Effet d’abaissement de barrière : effet Schottky La présence d’un électron participant à la conduction dans le semiconducteur se trouve subir

une force attractive par la création par effet électrostatique d’un porteur image (de signe opposé) et donc d’un champ électrique. Intégré au voisinage de l’interface, ce champ induit une différence de potentiel et donc une variation du diagramme d’énergie. La force électrostatique induite étant attractive, la différence de potentiel énergétique créée est donc négative et correspond à un abaissement de la barrière existante. Nous allons analyser en détail ce phénomène qui aura des conséquences sur la conduction du dispositif. Pour faciliter l’approche, nous allons d’abord considérer un électron dans le vide face à plan métallique.

140


1°) Electron dans le vide devant un plan métallique

Un électron face à un plan conducteur, à

la distance x de celui-ci, est soumis à une force attractive coulombienne (figure 103).

( ) 2

2

2

21

1621

4 xq

xq

Foo πεπε

−=−=

Le travail (et donc l’énergie) fourni par cet électron pour arriver de l’infini jusqu’à la position x, est :

xF e-

E(x)

0mét

al

xF e-

E(x)

0mét

al

Figure 103 : Electron devant un plan métallique. F est la force coulombienne.

( ) 2

21

16 xq

FdxxEo

x

πε+==− ∫∞ ( ) x

qxE

o

116

2

πε−=

Cette énergie correspond à l’énergie potentielle de l’électron, référencé à l’infini. Sous l’action d’un champ électrique appliqué, ξ(x), l’énergie potentielle totale est :

( ) ( )dxxqxq

xEx

op ∫+−=

0

21

16ξ

πε

En considérant, pour simplifier le calcul, le champ appliqué constant, et orienté suivant les x négatifs, l’énergie potentielle devient :

( ) xqxq

xEo

p ξπε

+−= 116

2

Cette énergie est la somme de deux termes. Il est ainsi possible de représenter sa variation en fonction de x (figure 104).

pente –qxξ

xE

type -1/x

∆E

Ep(x)

xm0

pente –qxξ

xE

type -1/x

∆E

Ep(x)

xm0

Figure 104 : Variation de l’énergie potentielle de l’électron devant un plan métallique et en présence d’un champ électrique interne (ou appliqué) constant.

Par rapport à la hauteur de barrière d’énergie maximale, la présence d’un électron devant le plan entraîne un abaissement de barrière ∆E. Cet abaissement de barrière peut être calculé simplement dans les conditions simplificatrices présentées. A partir de la détermination de la position du maximum de Ep(x), il est possible de déduire sa valeur et donc ∆E.

( ) xqxq

xEo

p ξπε

+−= 116

2

( ) 0=dxxdEp

en x = xm 0116 2

2=− xqx

q

oξ

πε

ξπεom

qx16

=

o

mmm

qxxEπεξξ

4).(2 ==∆ (124)

141


Cet abaissement de barrière va bien évidemment se retrouver lorsque l’électron est localisé dans le semiconducteur devant le métal.

2°) Abaissement de barrière ; effet Schottky

Dans le cas d’un contact métal-semiconducteur, la différence des travaux de sortie aboutie à une hauteur de barrière pour les électrons devant passer du métal vers le semiconducteur, qΦB, (cf. figure 99). Dans le cas d’un dopage constant dans le semiconducteur, le champ électrique dans la zone de charge d’espace généré par la charge liée aux dopants ionisés a été exprimé par l’équation 117. Le champ électrique varie linéairement en fonction de x. Dans ce cas, le calcul de l’abaissement de barrière se complique beaucoup. Il suffit par contre de faire l’hypothèse que la valeur de xm est suffisamment faible devant W pour que le champ électrique puisse être considéré constant et pratiquement égal à sa valeur maximale, à l’interface métal semiconducteur, ξmax.

WqNxor

Dmεε

ξξ =≈ max)(

Nous en déduisons la valeur de l’abaissement de barrière de potentiel, ∆Φ :

WqNqx

or

D

orm

εεεπεξ

4.2 max ==∆Φ

(125) Cet abaissement de barrière en présence d’une interface métal-semiconducteur est appelé effet Schottky. Exemple numérique : ND = 1016cm-3, εrεο = 10-12F/cm, qVbio = 0,4V W = 0,22µm, ξmax = 3,6.104V/cm, xm = 31Å q∆Φ = 22meV

pente –qxξmax

xE

type -1/x

q∆Φ

Ep(x)

qΦB

0 xm

pente –qxξmax

xE

type -1/x

q∆Φ

Ep(x)

qΦB

0 xm

Figure 105 : Variation de la hauteur de la barrière d’énergie due à la présence du plan conducteur. L’abaissement peut rester faible devant la barrière elle-même..

Cette valeur de 22meV est à comparer à la hauteur elle-même qui peut-être de 0,3 à 0,5 eV en général. Dans beaucoup de cas, il sera possible de négliger cette correction., excepté pour la détermination des courants qui nous le verrons, varient exponentiellement en fonction de cette hauteur (approximation de Boltzmann).

Une analyse de l’erreur de la valeur du champ électrique montre qu’en prenant xm = 0 au lieu de 31 Å, l’erreur est de 1,4% pour le champ électrique au maximum de l’énergie potentielle et de 0,7% sur l’abaissement de barrière qui est déjà un terme correctif. L’approximation est ainsi tout à fait acceptable.

V Transport à travers la jonction

1°) Considérations générales

142


Nous pouvons distinguer 4 processus de transport à travers la jonction. Nous les présentons dans le cas d’un semiconducteur de type n, c’est à dire que nous allons analyser principalement le transfert des électrons qui sont les porteurs majoritaires depuis la zone de type n vers le métal.

142


a) Franchissement de la barrière par les électrons de la bande de conduction C’est le processus le plus fréquent qui est représenté figure 106. Intuitivement, plus la hauteur de barrière

sera faible, plus les électrons pourront passer. Nous pouvons abaisser cette barrière en polarisant positivement le métal par rapport au semiconducteur (diminution du niveau d’énergie coté métal). Cela revient aussi à diminuer le champ électrique préexistant dans la zone de charge d’espace.

EF

métalE

EV

semiconducteur

ECEF

métalE

EV

semiconducteur

EC

Figure 106 : Franchissement de la barrière d’énergie par les électrons de la bande de conduction du semiconducteur ayant une énergie supérieure.

b) Franchissement de la barrière par effet tunnel Les électrons de la bande de conduction traversent la barrière par effet tunnel. Ce phénomène ne

peut se produire que lorsque la largeur de la barrière est suffisamment faible, c’est à dire lorsque la zone de charge d’espace s’étend peu. Cela correspond au cas des dopages élevés pour le semiconducteur. Par exemple, si ND = 5. 1018cm-3, pour qΦB = 0,4eV, W ≈ 80Å, ξmax ≈ 106V/cm. Du fait de la variation quadratique de V(x), la largeur de la barrière se rétrécit dans la zone proche de l’interface comme visualisé sur la figure 107.

Les porteurs peuvent traverser par effet tunnel et la conduction peut être importante. C’est la situation qui est en général contrôlée pour réaliser des contacts ohmiques, la conduction étant alors essentiellement limitée par la résistivité de la zone quasi-neutre du semiconducteur. Ceci explique la présence du surdopage au niveau du contact de la figure 98.

métalE

EV

semiconducteur

EC

métalE

EV

semiconducteur

EC

Figure 107 : Franchissement de la barrière d’énergie par les électrons de la bande de conduction du semiconducteur par effet tunnel.

L’effet tunnel agissant dans les deux sens, la caractéristique électrique sera symétrique, d’où la terminologie « ohmique ». c) Processus de génération-recombinaison dans la zone de charge d’espace Un électron de la bande de valence passe

dans le métal et laisse derrière lui un trou dans le semiconducteur. Ce trou s’éloigne du métal dans la zone de charge d’espace, et se recombine avec un électron de la bande de conduction (figure 108). En effectuant un bilan de déplacement des charges, cela revient à avoir fait transiter un électron depuis le semiconducteur vers le métal avec un échange intermédiaire du type de porteur.

métalE

EV

semiconducteur

EC-

+

métalE

EV

semiconducteur

EC-

+ Figure 108 : Processus de recombinaison dans la zone de charge d’espace du semiconducteur. La conduction assurée par la combinaison des deux types de porteurs

143


d) Processus de génération-recombinaison dans le volume neutre Ce processus est similaire au précédent,

mais dans ce cas, la recombinaison se produit dans le volume neutre du semiconducteur (figure 109), hors de la zone de charge d’espace. Ce processus étant principalement lié aux trous qui transitent dans toute la zone de charge d’espace, la contribution à la conduction sera faible dans ce cas.

métalE

EV

semiconducteur

EC-

+

métalE

EV

semiconducteur

EC-

+ Figure 109 : Processus de recombinaison dans la zone neutre du semiconducteur.

De tous ces quatre processus, celui auquel nous allons le plus nous intéresser est le premier, puisqu’il sera dominant en régime de conduction direct lorsque l’effet tunnel est négligeable.

2°) Conduction des porteurs majoritaires

Le transport suivant le processus a) est le fait des porteurs majoritaires. Il peut être décrit par deux théories dont l’application dépendra des propriétés du semiconducteur :

- théorie thermoïonique, - théorie de la diffusion. La théorie thermoïonique situe la limitation des phénomènes de transport à l’interface métal-

semiconducteur. Il n’y a pas de contribution à la conduction, ni du volume neutre, ni de la zone de charge d’espace. Dans ces deux régions, le pseudo-niveau de Fermi des électrons est considéré quasi-constant (puisque non limitant). La variation du pseudo niveau de Fermi est ainsi localisée à l’interface et présente donc une discontinuité (figure 110). Le franchissement de barrière est alors fondé sur la probabilité d’avoir des porteurs dont l’énergie, due à l’agitation thermique, est statistiquement supérieure à la hauteur de barrière qu’ils doivent franchir et dont la composante des vitesses, normale au plan du métal, est orientée vers le métal. Nous devons retrouver une statistique de type Boltzmann dans la valeur du courant.

La théorie de la diffusion situe la limitation du transport dans la zone de charge d’espace de la structure, coté semiconducteur, et non plus à l’interface. Ainsi, le pseudo-niveau de Fermi n’est plus discontinu à l’interface mais varie progressivement dans toute la zone de charge d’espace (cf figure 110). En résumé, les deux théories diffèrent sur la localisation du goulot d’étranglement qui limite les échanges de porteurs entre le métal et la semiconducteur.

EF

métalE

EV

semiconducteurEC

EFqV diffusion

thermoionique

EF

métalE

EV

semiconducteurEC

EFqV diffusion

thermoionique

Figure 110 : Représentation des pseudo-niveaux de Fermi dans le cas de la théorie thermoionique et de la théorie de la diffusion. Pour le modèle thermoionique les pseudo-niveaux sont discontinus à l’interface. Pour la diffusion, le pseudo-niveau de Fermi varie dans la zone de charge d’espace.

De façon pratique, la théorie thermoïonique s’applique plus aux cas où les électrons ont une forte mobilité dans le semiconducteur, la théorie de la diffusion aux cas où les électrons ont une

144


faible mobilité dans le semiconducteur (goulot d’étranglement !). Dans le cas le plus général, nous pourrons appliquer une combinaison des deux, appelée théorie mixte.

3°) Théorie thermoïonique

La théorie de l’émission thermoïnique part des hypothèses suivantes : - la hauteur de barrière d’énergie est grande devant kT, - l’équilibre thermique est établi, - l’existence d’un courant n’affecte pas sensiblement cet équilibre ; cette hypothèse est

analogue à l’approximation de Boltzmann pour une jonction pn. - nous pouvons supposer l’existence de deux courants indépendants, l’un injecté par le métal

dans le semiconducteur, l’autre injecté par le semiconducteur dans le métal. Nous allons tout d’abord exprimer la densité de courant injectée par le semiconducteur dans le

métal. Cela revient à ne considérer que les électrons dont l’énergie est supérieure à la hauteur de barrière et dont la composante de vitesse, vx, est orientée vers le métal.

dnvqJ xqE

mSCBF

∫∞

Φ+→ =

dn est la concentration en électrons déduite de la formule 41 (chapitre IV).

avec ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== kT

EEEEkTmdEEfENdn F

CC exp2

21 2/1

2/3

2*

2 hπ

où f(E) est la statistique de remplissage des niveaux (approximation de Boltzmann dans ce cas). vx, est la composante de vitesse suivant la direction x (normale à l’interface).

En appelant V la tension appliquée sur le métal par rapport au semiconducteur, à l’interface : EF = EC – qΦB + qV

En se rappelant de plus que : 2*21 vmEE C =− et que , nous retrouvons après

intégration :

2222ZYx vvvv ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−=→ kTqV

kTqT

kqmJ BC

mSC expexp4

23

2*

h

π

qui s’écrit aussi : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−=→ kTqV

kTqTAJ B

mSC expexp2* (126)

La constante A* correspond à la constante de Richardson, déjà vue dans le cas d’une émission par une cathode chauffée (cas d’un tube électronique).

Ce calcul peut être mené différemment, si nous acceptons d’emblée, la statistique de Boltzmann en exprimant directement la densité de courant en fonction des porteurs d’énergie supérieure ou égale au sommet de la barrière.

Considérons l’équilibre thermodynamique. La concentration s’exprime à partir de la statistique de Boltzmann en se référençant au bas de la bande de conduction et en considérant que la densité d’états électroniques dans la bande de conduction est NC. Dans la zone quasi neutre, no = ND, expression qui permet de déterminer la position du niveau de Fermi.

145


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−== kT

EENNn FC

CDo exp

Dans la zone de charge d’espace, avec une courbure vers le haut, la concentration diminue en fonction de la variation du potentiel énergétique :

Cette concentration peut être reliée à la concentration en électrons sans polarisation, à l’équilibre thermodynamique, au même point, nso. A l’équilibre thermodynamique, la hauteur de barrière est qΦB, éventuellement corrigée de q∆ΦB, pour les électrons situés au niveau de Fermi (cf figure 111).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−= kTqNn B

Cso exp

La concentration au même point de la structure, ns, sous la polarisation « directe » de potentiel, V, qui aura donc tendance à abaisser la barrière (figure 112), va suivre aussi la loi de Boltzmann et s’écrire :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= kT

qVnn sos exp

EF

métalE

EV

semiconducteur

ECqVbioqΦB

Con

cent

ratio

n

ND

nso

vth

EF

EF

métalE

EV

semiconducteur

ECqVbioqΦB

Con

cent

ratio

n

ND

nso

vth

EF

Figure 111 : Concentrations des électrons en fonction du niveau énergétique à l’équilibre thermodynamique. A l’interface, la concentration est nso qui correspond à un écart énergétique de qΦB.

EF

métalE

EV

semiconducteur

ECqΦB

ND

nso

vth

EFqV

qV ns

EF

métalE

EV

semiconducteur

ECqΦB

ND

nso

vth

EFqV

qV ns

Figure 111 : Concentrations des électrons en fonction du niveau énergétique sous polarisation directe. La barrière s’est abaissée de qV.

La densité de courant injectée par le semiconducteur vers le métal peut s’exprimer par :

thsmSC vnqJ =→

avec vth, la vitesse thermique suivant la direction x, ns la concentration en électrons en surface, du coté du semiconducteur, c’est à dire au sommet de la courbure de bande en limite de zone de charge d’espace, sous polarisation. Cette concentration est celle qui correspond aux porteurs dont l’énergie est au moins égale à celle du sommet de la barrière et donc la composante de vitesse vx orientée vers le métal permet le transfert.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−=→ kTqV

kTqNvqJ B

CthmSC expexp (127)

Notons qu’en remplaçant vth et NC par leurs expressions, nous retrouvons l’expression de la formule (126).

A l’équilibre thermodynamique, le courant total est nul, c’est à dire que le flux d’électrons injecté par le semiconducteur vers le métal doit être égal au flux inverse. Cela donne pour les densités de courant :

146


0=+ →→ SCmmSC JJ

Nous avons donc la valeur de la densité de courant injectée par le métal à partir de la formule (127) en prenant V=0. Cette valeur va rester la même sous polarisation compte tenu des hypothèses initiales. Ainsi, nous pouvons exprimer le courant total de la diode par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−= 1expexp kTqV

kTqNvqJ B

Cth (128)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−= 1expexp2*kTqV

kTqTAJ B (129)

Dans cette expression, il est clair que plus la hauteur de barrière sera importante, plus le courant inverse (ou de saturation) sera faible, plus le courant direct sera faible pour une même polarisation.

Notons que A* = 120A/cm2 à 300K si nous considérons m* = me (masse de l’électron au repos).

4°) Théorie de la diffusion

Dans ce cas, ce n’est plus l’interface qui est bloquante mais la zone de charge d’espace du semiconducteur. Les porteurs doivent transiter par cette zone, et la densité de courant peut s’écrire directement en fonction de la variation du pseudo niveau de Fermi dans cette zone et de la mobilité des porteurs (formule 86) :

dxdEnµj Fnnn ..=

Il s’agit alors de déterminer le gradient de EFn. Sa variation totale correspond à qV. Par ailleurs, de la formule 43 (ou 45), nous pouvons exprimer n en fonction de EFn.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅= kT

EENn FnCC exp d’où ( )( ) ( ) ( )

dxxdE

dxdn

nkTdxxdE

dxNndkTdx

dE CCCFn −=−= 1/ln

La variation de EC(x) est directement liée au champ électrique dans la zone de charge d’espace. Nous pouvons calculer le courant à l’interface métal semiconducteur en appelant ξs le champ à la surface du semiconducteur.

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ss

surfnn qndx

dnkTµj ξ.

nous retrouvons les deux composantes du courant. A l’interface, la concentration étant relativement faible, le gradient l’est aussi. Nous considérons dans ce cas la composante de dérive avec le champ électrique maximal très prés de l’interface (en xm), la concentration étant ns qui s’exprime en fonction de nso. Si nous rajoutons la densité de courant injectée par le métal, la densité totale de courant est alors :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1exp kT

qVnqµj ssonn ξ

(130)

5°) Théorie mixte, thermoionique-diffusion

Dans ce cas, la conduction est contrôlée à la fois par l’interface et le volume ; la variation du niveau de Fermi est mixte, c’est à dire varie dans la zone de charge d’espace et présente une

147


discontinuité à l’interface comme représenté figure 112. Nous pouvons prendre une vitesse de collection équivalente, vc, et la densité de courant s’exprime par :

cos vnnqJ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

La vitesse de collection est inférieure à la vitesse thermique. Les phénomènes intervenants dans cette limitation sont la mobilité dans la Z.C.E. mais aussi la réflexion quantique, la présence d’oxyde natif d’interface, etc….).

EF

métalE

EV

semiconducteurEC

EFqV diffusion

thermoionique

EF

métalE

EV

semiconducteurEC

EFqV diffusion

thermoionique

Figure 112 : Variation du niveau de Fermi dans la cas d’une conduction mixte ; variation dans la zone de charge d’espace et discontinuité à l’interface.

6°) Porteurs minoritaires

La conduction des minoritaires est due dans le cas d’un semiconducteur de type n aux trous. L’échange entre le métal et le semiconducteur à l’interface est en général très rapide. Dans la zone de charge d’espace, les trous sont un peu plus nombreux que dans le volume neutre ; ainsi, le pseudo-niveau de Fermi des trous est à peu près constant dans cette zone. Le gradient du niveau de Fermi est donc supporté par le volume neutre sur une épaisseur de quelques longueurs de diffusion ; nous avons l’équivalent d’une jonction pn polarisée en inverse avec un courant d diffusion de minoritaires. Nous pouvons ainsi écrire directement sont expression.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1exp kT

qVpLDqj no

p

pp

Cette densité de courant est en général très faible devant la densité de courant des porteurs majoritaires.

Remarque : nous n’aborderons pas dans le cadre de ce cours les problèmes liés aux états d’interface. Il est clair que leur

présence peut affecter fortement les phénomènes de conduction comme il l’a été mentionné pour les transistors MOS.

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Documents

Physique des Solides, des Semiconducteurs et Dispositifs · Atome dopant ionisé égativement Si Si Si Si Si Si Si Si B - e po no ca EC EV EF Eg n C E qVD1 p EF n Eg qVD2 Eg E C EV