PHYSIQUE - essa-tlemcen.dz · avec un rappel de cours. Le manuscrit est divisé en cinq chapitres. Le premier chapitre porte sur l’utilisation du formalisme de Lagrange pour décrire

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de La Recherche Scientifique

Ecole Préparatoire en Sciences et

Techniques de Tlemcen

PHYSIQUE VIBRATIONS

Cours et problèmes résolus Classes préparatoires en sciences et techniques

Présenté par Dr Fouad BOUKLI HACENE

Dr Mohamed MEBROUKI

Année Universitaire : 2015-2016

Deuxième édition

Avant propos

Ce document est destiné aux étudiants de la deuxième année des filières

scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il

répond au programme officiel du module « Vibrations» enseignés en deuxième année

des filières Sciences et techniques et Sciences de la matière.

Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations

avec un rappel de cours.

Le manuscrit est divisé en cinq chapitres. Le premier chapitre porte sur

l’utilisation du formalisme de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes

physiques. L’étude des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à

un degré de liberté est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le

mouvement amorti qui prend en compte les forces de frottement de type visqueux

proportionnelles à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux

oscillations forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite

les vibrations de systèmes à plusieurs degrés de liberté. Les analogies entre les

systèmes électriques et mécaniques sont présentées dans les cinq chapitres.

Chaque chapitre est suivi d’une série de problèmes avec solutions détaillées

permettant aux étudiants de mieux assimilés les phénomènes étudiés. Aussi, le

manuscrit est enrichi par deux travaux pratiques en relation avec les sujets traités.

SOMMAIRE

Chapitre 1 : Généralités sur les vibrations

1.1 Définitions

1.2 Exemples d’application

1.3 Modélisation physique

1.4 Nombre de degrés de liberté

1.5 Energie totale d’un système mécanique

1.5.1 Equilibre stable

1.5.2 Equilibre instable

1.6 Nature des forces appliquées aux systèmes mécaniques

1.7 Méthodes de détermination de la période d’oscillation

1.7.1 Principe de conservation de l’énergie mécanique

1.7.2 La loi de la dynamique de Newton

1.7.3 Formalisme de Lagrange

1.7.3.1 Genèse du principe de moindre action

1.7.3.2 Contraintes

1.7.3.3 Equations d’Euler-Lagrange

1.7.3.3.a Cas de systèmes conservatifs

1.7.3.3.b Cas de forces de frottement dépendant de la vitesse

1.7.3.3.c Fonction de dissipation de Rayleigh

1.7.3.3.d Cas d’une force extérieure dépendant du temps

Exercices

Travail pratique : Conservation de l’énergie mécanique – Roue de Maxwell

Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire à un degré de liberté

2.1 Définitions

2.2 Exemple d’oscillations mécaniques (masse+ ressort)

2.3 Bilan énergétique

2.4 Applications

2.4.1 La chute libre (Le Bungee)

2.4.2 Pendule simple

2.4.3 Oscillation non linéaire

2.4.4 Pendule pesant

2.4.5 Pendule de torsion

2.5 Oscillations électriques

Exercices

Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté

3.1 Définitions

3.2 Modélisation mathématique

3.2.1 Cas d’un amortissment fort

3.2.2 Cas d’un amortissment critique

3.2.3 Cas d’un amortissment faible

3.3 Aspects énergétiques

3.4 Système électrique équivalent

Exercices

Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé d’un système mécanique

à un degré de liberté

4.1 Définitions

4.2 Cas d’une force extérieure constante

4.2.1 Cas d’un amortissment faible

4.2.2 Cas d’un amortissment critique

4.2.3 Cas d’un amortissment fort

4.3 Cas d’une force extérieure sinusoïdale

4.3.1 Etude de l’amplitude en fonction de la pulsation extérieure

4.3.1.a Dangers de la résonance

4.3.2 Etude de la phase en fonction de la pulsation extérieure

4.4 Bande passante

4.5 Cas d’une force périodique non-sinusoïdale

4.6 Energies mises en jeu

4.7 Système électrique équivalent

4.8 Effet Pogo

4.9 Système électrodynamique : le haut parleur

Travail pratique : Système amorti forcé- Pendule de Pohl

Exercices

Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire forcé d’un système mécanique


5.1 Définitions

5.1.1 Système mécanique à plusieurs sous systèmes découplés

5.1.2 Système mécanique plusieurs sous systèmes couplés

5.2 Types de couplages

5.2.a Couplage par élasticité

5.2.b Couplage par viscosité

5.2.c Couplage par inertie

5.3 Battements

5.4 Oscillations forcées d’un système mécanique non amorti à deux degrés de liberté

5.5 Analogies électromécaniques

5.6 Modes propres de vibration d’un système mécanique à trois degrés de liberté

Exercices

Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations

PAGE 1

VIBRATIONS

Chapitre 1:

Généralités sur les oscillations


PAGE 2

1.1 Définitions:

La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement

autour de sa position d’équilibre. Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il

existe des mouvements qui se répètent : le mouvement d'une balançoire, le mouvement

alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Aussi, les ailes d'une moustique vibrent

à une cadence de 100 battement par seconde et produisent un son audible. Après un

tremblement de terre, celle-ci continue à vibrer à raison d'une oscillation par heure. Le

corps humain est le lieu de plusieurs phénomènes de vibrations: le coeur bat, les

poumons oscillent, on tremble lorsqu'on a froid, et on ne peut entendre ni parler que

grâce aux vibrations du tympan et des larynges. Tous ces mouvements ont un trait

commun : une répétition du mouvement sur un cycle.

Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se

renouvellent toujours dans le même ordre. Prenenos à titre d'exemple le cycle à quatre

temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre étapes (admission,

compression, explosion, échappement) qui se répètent durant un cycle moteur.

On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque cycle

se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période T, et mesurée en

seconde s. Aussi, on définit la fréquence d’oscillations f comme le nombre

d’oscillations qui ont lieu pendant la période T :

Tf

1 (1.1)

mesurée en s-1 ou en Hertz (Hz). En multipliant la fréquence f par 2 on obtient

l’expression de la pulsation :

f 2 (1.2)

mesurée en rad.s-1

Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la

mécanique est celui d'un objet qui se déplace à partir de sa position d'équilibre et y

revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.


PAGE 3

Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement oscillatoire.

Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un pendule ou les

vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de mouvements oscillatoires.

Il est à noter que les vibrations peuvent représenter un risque pour la santé des

salariés. On distingue deux modes d’exposition: les vibrations transmises à l’ensemble

du corps, notamment lors de la conduite d’engins, et les vibrations transmises aux

membres supérieurs, lors de l’utilisation de machines portatives.

En général les corps n'oscillent pas entre des limites précises à cause des forces

de frictions qui dissipent l'énergie du mouvement. On ne peut pas donc éliminer la

friction des mouvement périodiques mais on peut enlever son effet d'amortissement en

introduisant une force extérieure (une énergie compensatrice).

1.2 Exemples d’applications :

Les vibrations transmises à l’ensemble du corps par les véhicules et les engins

(chariots de manutention, engins de chantier…) et certaines machines industrielles

fixes (tables vibrantes, concasseurs…).

Figure 1.1 : Les vibrations dues aux engins mécaniques

Les vibrations transmises aux membres supérieurs par des machines portatives,

guidées à la main (pilonneuses, plaques vibrantes…) ou par des pièces travaillées

tenues à la main (polissage...).

http://www.inrs.fr/accueil/risques/phenomene-physique/vibration/vibration-corps-entier.html

http://www.inrs.fr/accueil/risques/phenomene-physique/vibration/vibration-corps-entier.html


PAGE 4

.Figure 1.2 : les vibrations transmises par les machines portatives

Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus

complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un amortisseur et

une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle mécanique", est décomposé à

la figure 1.3 en plusieurs sous-systèmes "masse-ressort-amortisseur" représentant la

tète, les épaules, la cage thoracique et les jambes ou les pieds.

Figure 1.3 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.

1.3 Modélisation physique :

Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes physiques un

système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle représentatif pour étudier

les oscillations (voir figure 1.4).


PAGE 5

Figure 1.4: Schéma masse-ressort

F(t) est la force de rappel proportionnelle à l’allongement x(t). La constante k est

appelée la constante de raideur.

Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, (voir figure 1.5):

Figure 1.5 : Différentes configurations pour le système masse-ressort

La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :

En parallèle, on a la figure (1.6):

Figure 1.6: Ressorts en parallèle

La constante de raideur équivalente est la somme des raideurs k1 et k2 telle que :

21// kkkeq

(1.3)


PAGE 6

En série, on a la figure (1.7):

Figure 1.7: Ressorts en série

La constante raideur équivalente pour les constantes k1 et k2 est telle que :

21

111

kkkeqs

(1.4)

1.4 Nombre de degrés de liberté:

On définit n le nombre de degrés de liberté comme étant le nombre de mouvements

indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations

différentielles du mouvement.

A chaque degré de liberté du système mécanique on fait correspondre une coordonnée

généralisée q qui peut s’identifier à une distance comme elle peut être représentée par

un angle.

1.5 Energie totale d’un système mécanique:

L’énergie totale du système est définie par la somme de deux types d’énergie.

L’énergie cinétique d’un système mécanique qui s’écrit sous la forme :

n

i

jiiijc qqqmE1 2

1

(1.5)

où iij qm sont les coefficients d’inertie qui dépendent généralement des coordonnées

générales. Dans une première approximation, il est possible de faire en sorte que les

coefficients d’inerties soient constants. Cela permet de déboucher sur un système

d’équations linéaire de mouvement.

L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir d’un développement

limité de la fonction énergie potentielle autour de sa valeur à l’équilibre :


PAGE 7

...2

10,,0,,

2

1,1

1

ji

eqji

pn

ji

i

n

i eqi

p

pnp qqqq

Eq

q

EEqqE

(1.6)

0,,0 pE est une constante qu’on peut prendre nulle en choisissant convenable une

référence pour l’énergie potentielles. Aussi, l’équilibre du système est caractérisé par:

0

0

iqi

p

q

E (1.7)

Ce sont là des conditions d’équilibre qui servent à simplifier l’expression de l’énergie

potentielle.

Un mouvement oscillatoire est dit harmonique si l’allongement est faible. A cet effet,

on se contente des termes quadratiques dans l’énergie potentielle :

ji

eqji

pn

ji

np qqqq

EqqE

2

1,

12

1,, (1.8)

où

eqji

p

ijqq

Ek

2

sont les coefficients de rigidité.

On distingue pour les systèmes mécaniques deux types d’équilibre :

1.5.1 Equilibre stable:

Un système mécanique une fois déplacé de sa position d’équilibre tend à la

retrouver en faisant des oscillations. Il est représenté par la figure 1.8. Dans le cas d’un

système à un seul degré de liberté, l’équilibre stable est mathématiquement obtenu

lorsque

02

2

eq

p

q

E

(1.9)

Ceci est aussi la condition d’oscillation du système autour de sa position d’équilibre.

Dans le cas d’un système à n degré de liberté, la condition d’oscillation est obtenue

lorsque la matrice construite à partir des dérivées deuxièmes de l’énergie potentielle


PAGE 8

par rapport aux coordonnées généralisées prises à l’équilibre est définie positive

(toutes ses valeurs propres sont réelles positives).

eqn

p

eqn

p

eqn

p

eq

p

q

E

qq

E

qq

E

q

E

2

2

1

2

1

2

2

1

2

(1.10)

Figure 1.8: équilibre stable

1.5.2 Equilibre instable : si cette condition n’est pas remplie le système une fois

écarté de cette position s’écroulera. On dit qu’on est en présence d’un équilibre

instable, représenté sur la figure 1.9.

Figure 1.9: équilibre instable


PAGE 9

Dans ce cas, la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement et

s’oppose au mouvement telle que:

n

j

j

eqji

p

i

p

q qqq

E

q

EF

i

1

2

2

1 (1.11)

Dans le cas d’un système simple à un degré de liberté, l’énergie potentielle s’écrit sous

la forme suivante:

2

2

1kxE p (1.12)

où k est la constante de raideur du ressort, et la force de rappel s’écrit :

kxF (1.13)

C’est la loi de Hooke.

Pour le pendule de torsion l’énergie de potentielle s’écrit alors :

2

2

1DE p (1.14)

où D est la constante de torsion. Ainsi, le moment de rappel s’écrit alors :

tDtM )( (1.15)

1.6 Nature des forces appliquées aux systèmes mécaniques:

On démontre qu'un champ de force F

est conservatif si et seulement si le rotationnel

du champ vectoriel F

est nul. Ceci vient du fait que le rotationnel d'un gradient est

toujours nul

0

U (1.16)

où U est un potentiel à l’origine de la force F

, telle que

UF

(1.17)

Le travail d'une force conservative est indépendant de la trajectoire et ne dépend que

de la valeur du potentiel U aux points de départ et d'arrivée et est égal au gain

d'énergie cinétique de la particule (énergie cinétique finale moins énergie cinétique

initiale) alors que le travail des forces non conservatives est égal au gain d'énergie

totale de la particule.


PAGE 10

Toute force qui dépend de la vitesse n'est pas conservative. C'est le cas d'une force

de résistance au mouvement, causée soit par la viscosité, la turbulence ou le

frottement. On peut définir deux types de forces non conservatives:

- Les forces dites dissipatives, qui s'opposent au mouvement, comme celles

causées par la viscosité, la turbulence et le frottement dynamique.

- Les forces de contrainte, qui sont toujours perpendiculaires à la vitesse de

l'objet.

Comme les forces dissipatives sont grosso modo opposées à la vitesse, et leur travail

est négatif et elles ne peuvent que diminuer l'énergie mécanique de la particule. Par

contre, les forces de contrainte ne peuvent exercer aucun travail, car elles sont toujours

perpendiculaires au déplacement.

La force magnétique

BvqF

, (1.18)

quoiqu'elle ne soit pas considérée habituellement comme une force de contrainte, entre

dans cette catégorie. La force de frottement statique entre aussi dans cette catégorie,

car elle s'applique en l'absence de déplacement. En résumé, les forces dissipatives vont

diminuer l'énergie totale d'un objet, alors que les forces de contrainte (incluant la force

magnétique) vont la conserver (même si elles ne sont pas appelées conservatives.)

1.7 Méthodes de détermination de la période d’oscillation:

Le calcul de l’équation du mouvement pour un système conservatif peut être

déterminé par trois méthodes :

1.7.1 Principe de la conservation d’énergie totale :

0tan dt

dEteConsEEE T

pcT

(1.19)

où TE est l’énergie totale du système.

1.7.2 La loi de la dynamique de Newton :

La seconde loi de la dynamique s’écrit sous la forme:

1i

ii

dt

pdF

(1.20)


PAGE 11

Où ip

est la quantité de mouvement de la masse im . Une équation importante

(théorème du moment cinétique) découlant de cette même équation est la suivante:

1

//

i

i

Oi

Odt

JdM

(1.21)

où i

OM /

est le moment de la force appliquée sur la masse im et

iJ

le moment cinétique

associé à la masse im .

1.7.3 Méthode de Lagrange-Euler:

1.7.3.1 Genèse du principe de moindre action :

La dynamique de Newton repose sur l'idée que l'action d'une force agissant sur un

objet consiste à changer sa quantité de mouvement. Leibniz, un contemporain de

Newton, avait plutôt tendance à mesurer le changement en énergie causé par la force,

et a, de ce fait, déplacé l'intérêt en la quantité de mouvement et le travail vers l'énergie

cinétique et l'énergie potentielle.

Les méthodes variationnelles établies par Lagrange et Hamilton, sont basées sur

l'analyse de l'énergie, et le système est traité comme un ensemble au lieu de parties

isolées. Il s'est avéré qu'il est plus facile de suivre l'évolution de l'énergie, quantité

scalaire, que de suivre des quantités cinématiques telles que les vitesses ou les

accélérations.

Prenons le cas d'un objet lancé en l'air et repérons deux points de sa trajectoire en deux

instants quelconques. Une infinité de courbes passent entre ces deux points et pourtant

la nature n'en choisit qu'une seule. Qu'est ce qui distingue cette courbe- la trajectoire

physique- de toutes les autres?

En 1744, Pierre-Louis Moreau de Maupertuis se posa cette question. Intuitivement il

pressentit que les phénomènes physiques répondaient à un premier, fondamental, selon

lequel la nature choisissait toujours, parmi toutes les possibilités qui s'offraient à elle,

celle qui était la plus efficace qui s'exprimait par un minimum de vitesse pour un

minimum de chemin parcouru. Il baptisa ce principe, le principe de moindre action.


PAGE 12

Mathématiquement, Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit. Si

l'on considère le mouvement d'un corps entre deux points A au temps At et B au

temps Bt . Pour une énergie totale E donnée, la trajectoire sélectionnée par la nature

est celle pour laquelle la grandeur

B

A

t

t

B

A rdvmK

. (1.22)

est minimale.

En remarquant que

dtvrd .

on obtient alors:

B

A

B

A

t

t

t

t

B

A dttvTdtvvmK ,2..

(1.23)

où tvT ,

est l'énergie cinétique du corps.

Quelques années plus tard, et à partir d'une intuition semblable à celle de Mapertuis,

Euler parvient à un énoncé très similaire de l'action mais en partant de l'idée que les

corps tendent à adopter un état où l'énergie potentielle est minimale. L'action d'Euler

s'exprimait en fonction de l'énergie potentielle trU ,

au lieu de l'énergie cinétique.

En faisant la synthèse de ces deux démarches, Lagrange a eu l’idée de proposer une

nouvelle action qui s’écrivait sous la forme :

B

A

t

t

B

A dttrUtvrTS ,,,

(1.24)

où la quantité

trUtvrTtvrL ,,,,,

est connue sous le nom de Lagrangien dus sytème.

La méthode de Lagrange compare les actions correspondant à différentes trajectoires

possibles et choisit le chemin pour lequel l’action est minimale. Ce critère débouche, à

l’aide du calcul variationnel, aux équations dites d’Euler-Lagrange gouvernant le

mouvement des corps rigides.

1.7.3.2 Contraintes :

En dehors des forces agissant sur un système lors de son mouvement, il existe dans la

plupart des problèmes de la dynamique des restrictions sur le mouvement, connues


PAGE 13

sous le nom de contraintes, et qui sont dues à la nature du système et de son

environnement. Ces contraintes sont exprimées sous formes de relations entre

certaines coordonnées, leurs taux de variation, etc.

Ces contraintes exercent des forces sur le système et ainsi vont affecter l'évolution

dans le temps des coordonnées du système. Ce sont là des forces de contraintes ou

réactions. Dans la formulation du mouvement, basée sur les lois de Newton, les forces

appliquées sur le système ainsi que les forces de contraintes doivent toutes

incorporées. Ces dernières ne sont pas connues au préalable, puisque leurs valeurs

dépendent du mouvement lui-même. C'est précisément cela qui fait que les équations

du mouvement dans le formalisme de Newton sont difficiles à résoudre.

1.7.3.3 Equations d’Euler-Lagrange

Considérons une particule ponctuelle de masse m se déplaçant sans frottement sur une

courbe plane comprise dans le plan xOy et dont les coordonnées vérifient les

conditions suivantes :

0),(

0

yxf

z

Cette particule possède un seul degré de liberté. On choisit une variable q ; appelée

coordonnée généralisée pour repérer sa position.

Soit r

le vecteur de position de la particule qui s’exprime en fonction de q comme

suit : )(qrr

On considère F

la résultante de toutes les forces s’exerçant sur la particule. La relation

fondamentale de la dynamique s’écrit alors :dt

vdmF

, où

dt

rdv

est le vecteur de la

vitesse de la particule.

Soit dw le travail fournie par la force F

lors d’un déplacement infinitésimale rd

comme suit :

rdFdw

.

Le déplacement rd

peut s’écrire comme suit :


PAGE 14

dqq

rrd

Dans ce cas dw peut se mettre sous la forme :

dqq

r

dt

vdmdq

q

rFdw

.

(1.25)

On appelle qF la force généralisée conjuguée de q ; où q-composante de la force, la

quantité qF définie par :

dq

dw

q

rFFq

D’où :

dqFdw q

(1.26)

D’autre part, on a :

q

r

dt

dv

q

r

dt

vd

q

rv

dt

d

Sachant que :

q

v

dt

rd

qq

r

dt

d

On obtient alors :

dq

vdv

q

rv

dt

d

q

r

dt

vd

(1.27)

On a :

qq

r

dt

q

q

r

dt

rd

On obtient alors :

q

vv

q

vv

dt

d

q

r

dt

vdet

qd

v

q

r

Sachant maintenant que :


PAGE 15

q

vvvv

qv

q

et

q

vvvv

qv

q

..2

1

2

1

..2

1

2

1

2

2

On obtient :

22

2

1

2

1. v

qv

qdt

d

q

r

dt

vd

L’expression du travail peut alors s’écrire comme suit :

dqvq

vqdt

dmdw

22

2

1

2

1

(1.28)

avec : 2

2

1mvEc est l’énergie cinétique de la masse m ; on obtient finalement :

dqFdqq

E

q

E

dt

detdq

q

E

q

E

dt

ddw q

cccc

On en déduit l’équation de d’Alembert pour un système à un degré de liberté :

q

cc Fq

E

q

E

dt

d

(1.29)

1.7.3.3.a Cas de systèmes conservatifs :

Pour les systèmes conservatifs, la force appliquée au système dérive d’un potentiel pE

et elle s’écrit :

q

EF

p

q

(1.30)

L’équation d’Euler- Lagrange devient alors :

q

E

q

E

q

E

dt

d pcc

(1.31)

Sachant que l’énergie potentielle pE ne dépend pas de la vitesse tel que :

0

q

E p

Finalement l’équation d’Euler-Lagrange peut alors s’écrire sous la forme suivante:

pc EELavecq

L

q

L

dt

d

0

(1.32)


PAGE 16

où on a introduit la fonction de Lagrange (ou lagrangien du système) qui est la

différence de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.

Pour un système conservatif à plusieurs degrés de liberté (nombre n), l’équation

d’Euler-Lagrange s’écrit comme suit :

niq

L

q

L

dt

d

ii

,...10

(1.33)

1.7.3.3.b Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse :

Considérons une situation physique dans laquelle la particule est soumise à des

forces de frottement de viscosité dont la résultante frf

est de la forme :

vf fr

(1.34)

où est le coefficient de frottement et v

le vecteur vitesse de la particule.

Pour calculer la force généralisée pF

correspondante, nous utilisons la définition du

paragraphe précédent :

22

.

q

ravecq

t

q

q

r

q

rfF frp

Si en plus des forces qui dérivent d’un potentiel, le système est soumis à des forces de

frottement de viscosité, l’équation d’Euler-Lagrange s’écrit alors :

pc EELavecqq

L

q

L

dt

d

(1.34)

Pour un système dissipatif (non conservatif) de plusieurs degrés de liberté l’équation

du mouvement déterminée comme suit :

o Système en translation :

niFq

L

q

L

dt

dext

ii

,...1

(1.35)

où extF

sont les forces extérieures appliquées au système.


PAGE 17

o Système en rotation

niMq

L

q

L

dt

dext

ii

,...1

(1.36)

où extM

sont les moments extérieurs appliqués au système. Dans ce cas les forces

extérieures ne dérivent pas d’un potentiel.

1.7.3.3.c Fonction de dissipation de Rayleigh:

Calculons le travail frdw fourni par la force de frottement pendant un intervalle de

temps dt lors d’un déplacement rd

:

dtvrdfdw frfr

2

(1.37)

La quantité de chaleur dQ gagnée par le système en interaction avec la particule est

telle que :

dtvdQ 2 (1.38)

On définit dP la puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de chaleur

comme suit :

22 xvPd (1.39)

Cette puissance dissipée peut être exprimée en fonction de q par :

2

22

2 qt

q

q

r

dt

rdvPd

(1.40)

Par définition, la fonction dissipation est égale à la demi-puissance dissipée et s’écrit

comme suit :

2

2

1

2

1qPD d (1.41)

En général, et pour un système à n degré de liberté, la fonction de dissipation pour

des frottements de type visqueux (vitesses faibles) a la forme quadratique des vitesses

généralisées :

j

n

ji

iij qqD

1,2

1 (1.42)

où ij sont appelés les coefficients de frottements visqueux.


PAGE 18

La iq -composante iqF de la force de frottement peut alors s’écrire :

i

qq

DF

i

(1.43)

Finalement, l’équation d’Euler- Lagrange s’écrit alors :

niq

D

q

L

q

L

dt

d

iii

,,1

(1.44)

1.7.3.3.d Cas d’une force extérieure dépendant du temps

Considérons le cas plus général d’une force extérieure dépendant du temps agissant sur

un système soumis à des forces de frottement ‘dérivant ‘ d’une fonction dissipation D.

Soit extF la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l’équation d’Euler-

Lagrange peut s’écrire sous la forme suivante:

pcext EELavecFq

D

q

L

q

L

dt

d

(1.45)

Dans le cas général d’un système à plusieurs degrés de liberté, il y a autant d’équations

de Lagrange que de degrés de liberté. Ainsi, si le système possède n degrés de liberté,

il est nécessaire d’avoir n coordonnées généralisées pi (i = 1, 2, ...., n). Nous aurons

ainsi n équations d’Euler-Lagrange comme suit :

ext

i

iii

Fq

D

q

L

q

L

dt

d

(1.46)

où ext

iF est la force extérieure qui fait varier la coordonnée généralisée iq .


PAGE 19

Applications


PAGE 20

Exercice de rappels mathématiques:

1- donner le module et la direction du nombre complexe 354 j .

2- Donner les parties réelle et imaginaire du nombre

54

2

j

Aetj

sachant que A et sont réels.

3- écrire les nombres complexes suivants sous la forme jba : jjZ et

83.0jZ .

Solution:

1- on calcule directement :

543454.54.54543

jjjjj

Le module du nombre complexe est égal à :

23.965434542

23

j

L’argument du nombre complexe est égal à :

4

543arctg

2-

)54(2

sin2

cos4154

2

jtjtA

j

Aetj

)54()cos()sin(4154

2

jtjtA

j

Aetj

La partie réelle du nombre complexe est égale à :

)cos(5)sin(441

ttA

La partie imaginaire du nombre complexe est égale à :


PAGE 21

)sin(5)cos(441

ttA

3- Le nombre complexe

k

j

kjj eejZ

22

22

est

kjkj

eejZ

2

283.0

83.0

2283.0

Problème 1:

Soient les systèmes physiquses représentés sur les figures 1.10 (A-B-C)

(A)

(B)


PAGE 22

(C)

Figure 1.10 : Différents types de systèmes mécaniques.

Déterminer pour chaque système :

Le nombre de degré de liberté

L’énergie cinétique et l’énergie potentielle

En déduire le Lagrangien totale.

Solution

Figure 10.1-A :

Le système possède trois coordonnées ,, 21 xx et on a sin2 lx . Ce qui veut

dire que les composantes ,2x sont dépendantes. Donc, Le nombre de degrés

de liberté de ce système est égal à 2.

L’énergie cinétique s’écrit :

22

1 2

1i

i

ic xmE

L’énergie potentielle se calcule comme suit :


PAGE 23

2

1

22

212

1cos)(

2

1

i

iip xkmglxxkE

Le Lagrangien s’écrit alors :

2

1

22

21

22

1 2

1cos)(

2

1

2

1

i

iii

i

ipc xkmglxxkxmEEL

Les coordonnées de ce système sont 21, qui sont indépendantes. D’où le

nombre de degré de liberté est égal à 2.

Le Lagrangien du système :


2m2

2m1c 21

Vm2

1Vm

2

1E

En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :

))sinsin(ly

)coscos(lx(V)

)cos(cosly

)sin(sinlx(mO

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

2211m

2211mm

21m

21m

2

11m

11mm

1m

1m

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

D’où :

2m

2m

2m

2m

2m

2m

222

111

yxV

yxV

Après calcul, l’énergie cinétique s’écrit alors:

)cos(lmlm2

1l)mm(

2

1E 2121

22

22

22

21

221c

Pour l’énergie potentielle on a :

)cos(cosglmcosglmE 21211p

Le Lagrangien devient alors:

)cos(cosglmcosglm

)cos(lmlm2

1l)mm(

2

1L

21211

21212

222

22

21

221


PAGE 24

Figure 10.1-C :

Le nombre de degré de liberté :

On définit les petits déplacements comme suit :

dépendantssontx,x,xlx,lx,lx 321332211

Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ

Pour l’énergie cinétique on a :

2233

2222

2211

2ii

1i

c lm2

1lm

2

1lm

2

1xm

2

1E

L’énergie potentielle s’exprime:

cosglmkl2

1kl

2

1E 33

222

221p


cosglm)l(k2

1lm

2

1EEL 33

22

1i

i

3

1i

2i

2iipc


PAGE 25

Problème 2 :

Soient deux systèmes physiques représentés par la figure 11.1

Figure 1.11: pendule simple et pendule oscillant

Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du pendule simple.

En déduire l’énergie totale du système.

En appliquant le principe de conservation de l’énergie totale, déterminer

l’équation différentielle du mouvement.

En appliquant la loi dynamique de Newton, déterminer l’équation

différentielle du mouvement du ressort.

Solutions :

Pour le pendule simple : Figue 1.12-A:

Le vecteur de position s’exprime comme suit:

sinly

coslxv

cosly

sinlxmo

D’où :

2222lyxv


222c ml

2

1mv

2

1E

Pour l’énergie potentielle on a:


PAGE 26

cosmglEp

Alors, l’énergie totale du système s’écrit :

cos2

1 22 mglmlEEE pcT

En appliquant le principe de conservation de l’énergie totale pour un

système conservatif ; on a :

0cos2

10 22

mglml

dt

d

dt

dET

D’où :

0sin0sin2 glmglml

On obtient alors l’équation différentielle pour des petites oscillations

comme suit :

sin0)( avectl

g

Pour le ressort ; (Figure 1.12-B) on applique la loi dynamique de

Newton :

amF

Figure 1.12 -B : Etat du système en équilibre et en mouvement


PAGE 27

En appliquant les différentes forces au système ; on obtient :

amFp

En projection sur l’axe Ox ; on obtient :

xmkxkxmgxmxxkmg

0

00 )(

Finalement l’équation différentielle du mouvement pour des petites oscillations

s’écrit :

0)( txm

kx

Problème 3 :

Une poulie de masse M, de moment d’inertie J, et de rayon R, suspendue au

point O par un ressort de raideur k. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans

frottement relié par une masse m (voir figure 1.13.)

Déterminer le nombre de degré de liberté

Etablir l’énergie cinétique et l’énergie potentielle

En déduire le Lagrangien du système

Etablir l’équation différentielle du système par le principe de Lagrange

Figure 1.13: Mouvement oscillatoire de la polie


PAGE 28

La figure 1.13-a représente l’état d’équilibre du système et la figure 1.14-b

représente l’état du système en mouvement.

Les paramètres, (X01, X02) et (X1, X2) représentent respectivement les positions

des masses M et m en état d’équilibre et en mouvement.


La longueur du fil l est la même en mouvement et en équilibre tel que:

En équilibre :

)XX(RXDl 010201

En mouvement :

)XX(RXDl 121

Apres l’égalité des deux équations, on obtient :

dépendantssontx,xx2x 2112

Le nombre de degré de liberté est alors égal à 1 qui est représenté par x1.

L’énergie cinétique s’exprime:

22

21

21c xm

2

1J

2

1xM

2

1E


PAGE 29

Pour l’énergie potentielle:

21p kx

2

1E


21

212pc kx

2

1x)

R

Jm2M(

2

1EEL

L’équation différentielle s’exprime comme suit:

0x)

R

Jm4M

k(x0

x

L)

x

L(

dt

d1

2

111

D’où l’équation du mouvement s’écrit :

0xx0x)

R

Jm4M

k(x 1

2011

2

1

Avec :

2

20

R

Jm4M

k


PAGE 30

TRAVAIL PRATIQUE

Conservation de l'énergie mécanique –


PAGE 31

Roue de Maxwell

Mots clés :

Roue de Maxwell, énergies cinétiques de translation et de rotation, énergie potentielle,

énergie mécanique, moment d'inertie, vitesse angulaire, vitesse instantanée.

Principe de l'expérience :

Une roue massique, pouvant se dérouler avec son axe le long de deux cordes, est

en mouvement dans le champ gravitationnel. Les énergies potentielle, de translation et

de rotation sont converties les unes aux autres et sont déterminées en fonction du

temps.

Liste du matériel:

Pied de support en A

Tige carrée , l = 1000 mm

Noix double

Mètre de démonstration, l = 1000 x 27 mm

Curseur pour mètre, rouge, plastique, la paire Roue de Maxwell

Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A, rouge, l = 100 cm

Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A, bleu, l = 100 cm

Barrière optique avec compteur

Dispositif d´arrêt avec déclenchement Bowden

Porte-plaque, ouverture 0...10 mm

Adaptateur, fiche BNC / douille 4 mm

Condensateur 100 nF/250 V

Alimentation 5 V DC/2,4 A avec fiches 4 mm

Objectifs :

1- Déterminer le moment d'inertie du disque de Maxwell.

2- A l'aide de la roue de Maxwell, déterminer, en fonction du temps:

a- l'énergie potentielle,

b- l'énergie de mouvement,

c- l'énergie de rotation.


PAGE 32

Montage:

Le dispositif expérimental est indiqué sur la figure ci-dessus. L'axe de la roue de

Maxwell est attaché de part et d'autre à deux fils qui peuvent s'enrouler pendant que la

roue ait un mouvement vers le bas. A l'état déroulé, l'axe doit être aligné

horizontalement. Une broche reliée à un commutateur de déverrouillage et pouvant

s'introduire dans un trou de la circonférence du disque, est utilisée pour libérer le

disque mécaniquement et ainsi démarrer le compteur afin de déterminer la distance et

le temps du mouvement de la roue. La densité d'enroulement doit être à peu près égale

des deux côtés. En outre, le fil doit toujours être enroulé dans le même sens pour le

démarrage.

Étude théorique:

L'énergie totale E de la roue de Maxwell, de masse m et de moment d'inertie autour de

l'axe de rotation zI , est la somme des énergies suivantes: potentielle pE , de

translation tE et de rotation rE .

1- Montrer que l'énergie totale s'écrit comme:

22

2

1

2

1zImvlgmE


PAGE 33

où g

est l'accélération due à la gravité, l

la hauteur du centre de la roue par rapport à

un point choisi, v

la vitesse linéaire du centre de la roue et

la vitesse angulaire

parallèle à l'axe de rotation.

2- Montrer que rv

où r

est le vecteur position d'un point sur la

circonférence de l'axe de rotation de la roue relatif à son centre.

3- En faisant la projection sur un axe approprié, montrer que l'énergie totale s'écrit:

2

22

1v

r

ImmglE z

En supposant que l'énergie totale est conservée et en utilisant les conditions initiales

appropriées, montrer que :

t

r

Im

mgtv

z

2

et

2

2

t

r

Im

mgtl

z

Étude expérimentale:

On donne la masse de la roue m=0.436 kg et le rayon de son axe r =2.5 mm.

a- Étude de la variation de la hauteur en fonction du temps:

Pour différentes valeurs de tl , mesurer les temps moyens de parcours et reportez-les

sur le tableau suivant:

st

22 st

ml

1- Tracer sur un papier millimétré lln en fonction de tln .

2- En se proposant une loi de puissance entre la hauteur tl et le temps t sous la

forme,

kttl .


PAGE 34

en déduire les valeurs de et de l'exposant de l'équation, k.

3- Quelle est la nature du mouvement?

4- Tracer sur un papier millimétrique la courbe tl en fonction de 2t et déterminer

la pente de la courbe (n'oubliez pas les rectangles d'erreur!).

5- En déduire la valeur de l'accélération a et le moment d'inertie de la roue zI

(n'oubliez pas les unités). On prend 2.81.9 smg .

6- Conclusion

a- Étude de la vitesse en fonction du temps:

Pour différentes valeurs de tl , mesurer les temps moyens de passage t de

l'axe de la roue et reportez-les dans le tableau suivant:

st

ml

st

1. smv

1- Tracer sur un papier millimétrique la courbe tv en fonction de t et

déterminer la pente de la courbe.

2- En déduire la valeur de l'accélération a et le moment d'inertie de la roue zI

(n'oubliez pas les unités).

3- Que peut-on conclure?

Étude de la conservation de l'énergie totale:

En utilisant les résultats précédents, remplissez le tableau suivant pour différentes

valeurs de tl .

avec ;

l'énergie potentielle: lgmE p ..

L'énergie de translation: 2.2

1vmEt

l'énergie de rotation: 2

2.

2

1v

r

IE z

r

et l'énergie totale rtp EEEE


PAGE 35

ml

st

12 . smv

mNE p .

mNEt .

mNEr .

mNE .

1- Comparer les valeurs des énergies tE et rE .

2- Tracer sur un papier millimétré les courbes des énergies pE , rt EE et

E en fonction de t.

3- Comparer les courbes pE et rt EE .

4- Que peut-on conclure à propos de l'énergie totale E .

5- Si on abandonne la roue en mouvement d'une hauteur fixe pendant un temps

plus long, va-t-elle s'arrêter? Expliquer.

Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté

PAGE 36

Chapitre 2 :

Mouvement oscillatoire libre



PAGE 37

2.1 Définitions:

Un système isolé oscillant à un degré de liberté est déterminé par la coordonnée

généralisée q(t) représentant l’écart d’amplitude par rapport à l’équilibre stable.

On définit l’oscillation harmonique par l’équation différentielle linéaire du second

ordre à coefficients constants suivante :

0)()( 2

0 tqtq

(2.1)

où ω0 est la pulsation propre du système.

On définit la période propre T0 comme suit :

0

0

2T

(2.2)

La solution de cette équation différentielle est de la forme sinusoïdale telle que :

)sin()cos()( 0201 tAtAtq (2.3)

dont la forme souligne que les solutions forment un espace vectoriel, et permet plus

facilement de mettre en place les conditions initiales.

L’équation horaire ci-dessus peut aussi se mettre sous la forme :

)cos()( 0 tAtq (2.4) où les constantes A et ϕ représentent respectivement l’amplitude des oscillations et le

déphasage qui sont déterminées par les conditions initiales suivantes :

0

0

)0(

)0(

qtq

qtq

L’allure de la solution q(t) ainsi que la vitesse du mobile sont représentées dans la

figure 2.1. Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la

position d’équilibre peuvent être assimilées à des mouvements linéaires et l’énergie

potentielle peut s’exprimer sous forme quadratique de la coordonnée généralisée q.

En revanche, au-delà d’une certaine amplitude l’oscillation devient non linéaire.


PAGE 38

Figure 2.1: Mouvement oscillatoire harmonique

2.2 Exemple d’oscillations mécanique (masse + ressort)

Un ressort étiré, dont la longueur passe de l à l+x , exerce une force pour revenir à sa

longueur initiale proportionnelle à l’allongement algébrique x.

Le vecteur de position est égal à :

ixvixmo


22c xm

2

1mv

2

1E

(2 .5)

Figure 2.2 : Mouvement rectiligne oscillatoire horizontal d’un ressort


PAGE 39

L’énergie potentielle pour des petites oscillations s’écrit sous la forme:

22c xm

2

1mv

2

1E

(2.6)

Le Lagrangien du système prend donc la forme suivante:

22

2

1

2

1kxxmEEL pc

(2.7)

L’équation de mouvement est de la forme :

kxx

Lxm

x

L

x

L

x

L

dt

d

0

D’où

00 2

0 xxmkxxm (2.8)

La pulsation propre est égale :

m

k0 (2.9)

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :

)cos()( 0 tAtx

1.2.3 Bilan énergétique :

L’approche par l’énergie est très importante pour la compréhension du phénomène

physique. En effet, l’énergie totale du système ci-dessus s’écrit comme suit :

teconskxxmEEE pcT tan2

1

2

1 22

(2.10)

Au cours d’une oscillations harmonique, l’énergie totale se partage en proportions

variables entre l’énergie potentielle Ep et l’énergie cinétique Ec. C’est une propriété de

tout mouvement sous l’effet d’une force qui dérive d’un potentiel. L’allure de

l’énergie totale en fonction de x(t) est représentée sur la figure (2.3).


PAGE 40

Figure 2.3 : Energie potentielle et cinétique d’un oscillateur harmonique libre en

fonction de l’écart x par rapport à sa position d’équilibre

2.4 Applications :

2.4.1 La chute libre (Le Bungee ):

Le saut à l'élastique, aussi appelé benji, bungie, bungy jumping ou encore bungee, est

une activité ludique et sportive de plein air qui consiste à se jeter dans le vide avec une

corde élastique accrochée aux chevilles ou au torse, destinée à ralentir puis stopper la

chute. L’objectif visé est de restituer les sensations "fortes" ressenties lors d'une chute

libre.

On considère un fil élastique de longueur l en équilibre. Lors de la chute libre le fil

s’allonge jusqu’à la longueur l1 telle que la nouvelle position est y(t) ; comme le

montre la figure 2.4:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corde

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lastique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chute_%28accident%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chute_libre_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chute_libre_%28physique%29


PAGE 41

Figure 2.4: La chute libre : Le Bungee

Il est possible de modéliser le problème par un ressort de raideur k et une masse m

comme le montre la figure 2.5:

Figure 2.5: Modèle physique de la chute libre

En effet, il est facile d’obtient l’équation différentielle suivante :

0)()( tXm

ktX

(2.11)


PAGE 42

A l’équilibre on a :

k

mgll 1

Avec les conditions suivantes initiales

000

0

2)0(

)0(0

glvetvX

lXetlxt

2.4.2 Pendule simple :

Le pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle m attachée à un fil

inextensible et de masse négligeable. L’amplitude des oscillations est repérée par

l’angle θ(t) que fait le fil avec la position verticale. La position d’équilibre correspond

à θ=0. On écarte la masse d’un angle θ(t) et on la lâche sans vitesse initiale. On

cherche l’équation différentielle vérifiée par θ(t) .

Le pendule simple a une importance historique du fait que Galilée l'a étudié de

façon détaillée et scientifique.

Figure 2.6 : Mouvement oscillatoire d’un pendule simple

Pour écrire son équation de mouvement, nous utilisons un repère local en coordonnées

polaires planes (c.-à-d. cylindriques) avec comme origine le point d'attache de la tige.

La tige pointe alors dans la direction ru

, l'angle entre la tige et la verticale est et le

pendule est en mouvement alternativement dans la direction u

. La position du

pendule est alors rulr

. L'équation du mouvement est

gmTrm

(2.12)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_%28savant%29


PAGE 43

Rappelons que les vecteurs unitaires ru

et u

s'écrivent dans le système de

coordonnées cartésiennes comme

jiur

cossin

(2.13)

et

jiu

sincos

(2.14)

D’autre part, on a

ul

dt

udlr r

(2.15)

et

rululr 2

(2.16)

Aussi, on a

ruTT

(2.17)

et

uumggm r

sincos (2.18)

Par identification, deux équations différentielles apparaissent

cos

sin22 mgTml

mgml

(2.19)

Il faut souligner que le mouvement oscillatoire du pendule simple est régi par le

moment de rappel

)( mgl .

La deuxième des deux équations ci-haut n'est donc pas immédiatement utile, alors que

la première peut s'écrire comme suit:

0sin l

g (2.20)

C’est une équation différentielle du second ordre non linéaire à coefficients constants.

Il est possible d’obtenir cette même équation de mouvement en utilisant le formalisme

de Lagrange.


PAGE 44

En effet, l’énergie cinétique du pendule simple s’écrit :

222c ml

2

1mv

2

1E

(2.21)

et l’énergie potentielle s’exprime:

cosmglEp

(2.22)

ce qui permet d’écrire le Lagrangien du système sous la fomre:

cosmglml2

1EEL 22

pc

(2.23)

L’équation différentielle du mouvement s’écrit :

sinmglL

mlL

0L

)L

(dt

d 2

(2.24)

Ce qui après réarrangement, donne

0sin l

g (2.25)

Dans la limite de petites oscillations on a :

sin

Finalement l’équation du mouvement devient:

0)( tl

gt (2.26)

dont la solution, appelée équation horaire, est de la forme :

)cos()( 0 tAt

(2.27)

où l

g0

est la pulsation propre du mouvement dont l’expression est indépendante

de l’amplitude. C’est une caractéristique des oscillateures dit isochrone.

A

et

sont des constantes à définir par les conditions initiales.


PAGE 45

2.4.3 Oscillation non linéaire:

Cependant, pour des amplitudes assez grandes, la pulsation n’est plus indépendante de

l’amplitude du mouvement. Pour la calculer, on fait un bilan énergétique tout en

profitant de la conservation de l’énergie totale du système (elle est la même en tout

point de la trajectoire). En effet,

teconsmglmlEEE pcT tancos2

1 22

(2.28)

Figure 2.7: Mouvement oscillatoire du pendule simple pour les

grandes amplitudes

On choisit deux points particuliers sur le chemin de la masse : le point à partir duquel

on lâche la masse sans vitesse initiale

00

et auquel correspond l’énergie totale

lT mglE cos

(2.29)

et un point quelconque du chemin auquel corrspond l’énergie totale suivante :

cos2

1 22 mglmlET

(2.30)

Les deux expressions sont donc égales, ce qui donne

lmglml coscos2

1 22

ou encore

)cos(cos2 2

0

2

l

(2.31)


PAGE 46

Avec

dt

dtet

l

g )(2

0

On obtient alors :

l

l

l

l

T

ddt

)cos(cos2

2

0

0

(2.32)

Après calcul, on obtient :

l

l l

l dT

2sin

2sin

2

1

222

0

(2.33)

En introduisant le changement variable suivant :

2sinsin

2sin l

On trouve alors :

2

0 22

0

sin2

sin14

l

l dT

(2.34)

L’intégrale de cette formule est régulière et se prête aux développements en série.

On trouve après calcul la formule de la période de grandes amplitudes donnée comme

suit :

..

161

2

0l

l TT

(2.35)

Cette expression est appellée la formule de BORDA.

2.4.4 Pendule pesant :

On appelle pendule pesant tout solide mobile de masse M autour d'un axe (en

principe horizontal) ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de

pesanteur (voir la figure 2.8). Déplacé de sa position d'équilibre (stable) dans laquelle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pesanteur


PAGE 47

le centre de gravité est à la verticale de l'axe, le solide se met à osciller de part et

d'autre de cette position dite d'équilibre.

Quelques exemples dans la pratique quotidienne constituent des pendules

pesants : un balancier d'horloge, une balançoire, etc. Le pendule simple est le cas

particulier du pendule pesant.

Figure 2.8: Mouvement oscillatoire du pendule pesant

Pour un pendule pesant quelconque, l'effet de l'inertie sur la rotation ne peut pas

être ramenée à une masse ponctuelle placée au centre de gravité. C’est l'ensemble du

solide qui tourne, et son inertie est caractérisée par son moment d'inertie par rapport à

l’axe de rotation (trace en O ) noté OI et la distance L0 du centre de gravité à l'axe de

rotation.

Si la seule force externe en présence provient d'un champ gravitationnel uniforme g

,

alors le couple total s'exerçant sur le système est

1i

ii gmr

(2.36)

où ir

et im sont le vecteur position par rapport à l’origine et la masse d’un élément de

la grande masse M du pendule pesant.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Oscillation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27inertie


PAGE 48

Puisque le vecteur g

est le même partout sur la masse M, on peut écrire

grmi

ii

1

gRM cm

(2.37)

où cmR

est le vecteur position du centre de masse par rapport à l'axe de rotation.

Autrement dit, la gravité produit un couple sur l'objet comme si toute la masse de

l'objet était concentrée en son centre de masse. Ceci n'est valable que parce que le

champ gravitationnel est le même partout dans l'objet. Autrement dit, pour fins de

calcul du couple, on peut considérer que la force gravitationnelle agit à la position du

centre de masse, pourvu que g

soit uniforme.

La grandeur de ce couple, par rapport au pivot (axe des z sortant de la page), est donc

sin0MgLz (2.38)

où est l'angle d'inclinaison entre la verticale et la position du centre de masse par

rapport au pivot. La composante zJ du moment cinétique évaluée au pivot O est

donnée par :

Oz IJ (2.39)

où OI est le moment d’inertie de la masse M par rapport au point de pivot O , qui,

selon le théorème de Huygens (Steiner), est égal à

2

0MLII GO (2.40)

où GI est le moment d’inertie de la masse M par rapport à son centre de masse G .

L'équation du mouvement est donnée par

zz

dt

dJ (2.41)

ou encore

sin0MgLIO (2.42)

Ce qui donne

sin0

OI

MgL (2.43)

Ce résultat peut être obtenu en utilisant le formalisme de Lagrange.


PAGE 49

En effet, l’énergie cinétique est donnée par :

2

2

1Oc IE

(2.44)

alors que l’énergie potentielle s’écrit :

mgzE p

(2.45)

où :

)cos1(0 Lz

(2.46)

Le Lagrangien est alors égal à:

)cos1(2

10

2 mgLIEEL Opc

(2.47)

L’équation différentielle du mouvement du système est écrite comme suit :

00 2

00

OI

mgL (2.48)

La pulsation propre est indépendante de l’amplitude est égale à :

OI

mgL02

0

La solution de l’équation différentielle a la forme :

)cos()( 0 tAt

(2.49)

2.4.5 Pendule de torsion :

Un corps rigide de moment d’inertie 0J

oscille autour d’un axe avec une constante de

Torsion tk

(voir figure 2.9). L’énergie cinétique s’écrit :

20c J

2

1E (2.50)

L’énergie potentielle est donnée par:

2tp k

2

1E

(2.51)


PAGE 50

Figure 2.9: Mouvement oscillatoire de torsion

Le Lagrangien du système s’écrit alors:

2t

20pc k

2

1J

2

1EEL

(2.52)

L’équation différentielle du mouvement du système s’écrit :

t0 kL

JL

0L

)L

(dt

d

d’où :

0)(0

tJ

kt (2.53)

La pulsation propre s’écrit alors :

0

t20

J

k (2.54)

La solution de l’équation différentielle est de la forme :

)tcos(A)t( 0

(2.55)

Quelques exemples d’applications qui décrivent les oscillations de torsion reportés

dans la figure 2.10


PAGE 51

Figure 2.10: Mouvement oscillatoire de torsion

du pont de Tacoma aux U.S.A –Le 7 novembre 1940.

2.5 Oscillations électriques

On considère un circuit (Lind, Cap) parcouru par un courant i(t) représenté par la figure

comme suit :

Figure 2.11: Circuit (Lind, Cap) oscillant.

D’après la loi des mailles du Kirchhoff , le bilan de tension s’écrit comme suit :

0)()(

ap

indC

tq

dt

tdiL

(2.56)

Sachant que le courant i(t) pendant un temps dt apporte une charge dq tel que :

dt

tdqti

)()(

On obtient alors l’équation différentielle du mouvement comme suit :


PAGE 52

0)(

)( ap

indC

tqtqL

(2.57)

On remarque que cette équation est équivalente à l’équation d’un mouvement

oscillatoire harmonique.

0)()(0)(

)( txm

ktx

CL

tqtq

apind

(2.58)

On obtient ainsi la pulsation propre et la période propre comme suit :

apind

pind

CLTetCL

21

0

2

0

La solution générale de l’équation s’écrit alors:

)cos()( 0 tAtq

(2.59)

En faisant l’analogie entre le système mécanique et le système électrique, on aura :

kc

1

)t(x)t(q

mL

ap

ind

Il faut retenir que :

L’oscillation harmonique est régie par

0)()( 2

0 tqtq

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

)sin()cos()( 0201 tAtAtq

La période propre T0 est donnée comme suit :

0

0

2T

où ω0 est la pulsation propre du système.

Il faut signaler que l’énergie totale du système conservatif est

constante dans le temps.


PAGE 53

Applications


PAGE 54

Problème 1:

Un système hydraulique de forme U constitué de deux tuyaux cylindriques de sections

S1, S3 reliés par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui contient un liquide

de masse volumique. Le système est équivalent à un ressort de raideur ke et de masse

Me. A l’équilibre le liquide a la hauteur H, figure 12.2.

Figure 12.2: Mouvement oscillatoire d’un liquide dans un tube

Dans le cas des oscillations linéaires, déterminer pour chaque système :

Le nombre de degré de liberté.

L’énergie cinétique, l’énergie potentielle.

En déduire le Lagrangien.

L’équation différentielle du mouvement.

La période propre.

Solution:

Le système en équilibre se présente comme suit:


On a la conservation du volume d’eau déplacé dans le tube en forme U

D’où,

sdépendantesontxxxscoordonnéelesxSxSxS 321332211 ,,

Donc le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par x1.


PAGE 55

Le Lagrangien du système:

A partir de L’énergie cinétique, on calcule la masse équivalente

du système:

21e

3

1i

2iic xM

2

1xm

2

1E

D’où :

2

1

2

33

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1xMxmxmxmE ec


PAGE 56

Avec

332211

2

1

3

1

2

11

2

1

,,

)1(

HSmBSmHSm

et

xMS

S

S

S

H

BHSx e

Après l’identité, on déduit la masse équivalente du système comme suit :

)1(3

1

2

11

S

S

S

S

H

BHSM e

On calcule la constante de rappelle à partir de l’énergie

potentielle, on a alors :

PSxkFxkE eep 11

2

12

1

Avec

h

xxgSF )( 311

D’ou

1

3

11 )1( x

S

SgSF

Après l’identité, on détermine la constante de raideur équivalente

du système comme suit :

)1(3

11

S

SgSke

Le Lagrangien du système s’écrit alors :

21e

21e

1i

2ii

2ii

1i

pc

xk2

1xM

2

1xk

2

1xm

2

1L

EEL

L’équation différentielle est de la forme :

0)(0)()( 1

2

0111 txxtxM

kx

e

e

La pulsation propre ω0 est égale à :


PAGE 57

)1(

)1(

3

1

2

1

3

1

2

0

S

S

S

S

H

BH

S

Sg

M

k

e

e

Problème 2:

La résonance de Helmholtz est un phénomène de résonance de l’air dans une

cavité. Les constructeurs automobiles peuvent utiliser ce dispositif à des fins

cosmétiques, pour rendre le bruit d'un véhicule plus sportif lors des accélérations.

On définit le système par un gaz parfait de pression P0, de volume V0 à l’équilibre

thermique, enfermé dans une enceinte reliée par un piston de masse m qui oscille sans

frottement suivant l’axe Ox comme le montre la figure (13.2) ci-dessous :

Figure 2.13: Modélisation physique du mouvement-Résonateur d’Helmholtz

L’ensemble du système évolue en opération adiabatique.

Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant la loi

fondamentale de la dynamique.

En déduire la pulsation propre du système et la solution générale.

Solution:


PAGE 58

En appliquant la méthode des forces on obtient :

1i

rapixmPS

Ox:SuramFPamF

Puisque l’opération est adiabatique, on a:

SxV

PP

V

V

P

PtetanconscPV

0

0

00

L’équation différentielle s’écrit alors :

0xx0x)mV

SP(x 2

00

20

La pulsation propre est de la forme :

mV

SP

0

2

02

0

La solution générale est de la forme:

)tcos(A)t(x 0

Problème 3 :

Calculer la pulsation d'oscillation du système mécanique constitué d’une plaque

de masse M et de longueur L (sa largeur est très petite devant sa longueur)

pivotant autour d'un axe passant par son extrémité.

Figure 2.14: Plaque oscillante

Solution:

Rappelons que si la seule force externe en présence provient d’un champ

gravitationnel uniforme g, alors le couple total s’exerçant sur un pendule réel

est donné par :

gRMM cmo

/


PAGE 59

où cmR

est le vecteur position du centre de masse par rapport à l’axe de

rotation. Par projection sur l’axe Oz, considéré normal à la page, on obtient :

sin2

LMgM z

Ce moment de force donne lieu à une variation dans le temps du moment

cinétique du système donné par :

0IJ z

où 0I est le moment d’inertie de la plaque par rapport à l’axe de rotation,

donné par :

2

02

LMII G

où GI est le moment d’inertie de la plaque par rapport à son centre de masse

donné par :

. 2

12

1MLIG

Le calcul donne enfin

2

03

1MLI

L’équation du mouvement s’écrit donc :

sin23

1 2 LMgMLM

dt

dJz

z

où encore

0sin2

3

L

g

On peut faire l’approximation des faibles oscillations et remplacer sin par ;

ce qui débouche sur l’équation du mouvement linéaire suivante:

02

3

L

g

et la pulsation propre du système s‘écrit

L

g

2

30


PAGE 60

Problème 4:

Une masse ponctuelle m est astreinte à se déplacer sur une courbe dans un plan

vertical d’équation

2axy

1- Énumérer les contraintes appliquées sur le mouvement de la masse.

2- En déduire le nombre de degré de liberté du système, et la coordonnée

généralisée correspondante.

3- Calculer les énergies cinétique et potentielle du système, et en déduire le

Lagrangien du système.

4- Écrire l'équation différentielle de son mouvement, en supposant les

frottements négligeables.

5- Faire l'approximation des déplacements de faibles amplitudes pour linéariser

cette équation et la résoudre.

6- Donner alors la période de ce mouvement.

Solution:

Puisque la masse se déplace dans le plan Oxy , sa coordonnée suivant z est constante.

C'est une première contrainte.

Les coordonnées x et y sont reliées par la fonction 02 axy , ce qui représente une

seconde contrainte.

Le système peut être représenté par 3 coordonnées cartésiennes, avec deux contraintes.

On dit donc que le système est 1 degré de liberté. On peut choisir la coordonnée

cartésienne x comme coordonnée généralisée.

Le Lagrangien du système s'écrit donc:

2222412

1mgaxxxamUTL

Puisque le système est libre (sans frottement ni force extérieure), l'équation d'Euler-

Lagrange pour une seule coordonnée généralisée x s'écrit:

0

x

L

x

L

dt

d

Aprés dérivation, on trouve

02441 2222 mgaxxxmaxxam


PAGE 61

Pour des oscillations de trés faibles amplitudes (x petit), on pourrait négliger les termes

d'ordre supérieur à 2dans l'équation différentielle, qui devient alors linéaire:

02 mgaxxm

La solution se présente sous la forme:

tCtx 0cos

où C et sont des constantes à définir par les conditions initiales, et

ga20

la pulsation propre du système. La période propre du système est donné par :

gaT

2

22

0

0

Problème 5:

Soient les systèmes mécaniques constitués par une tige de masse négligeable, de

longueur l reliée par un ressort de raideur k représentés dans la figure 13.2 : A-B-C

comme suit:

Figure 2.16: Couplage pendule ressort

Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système de la figure (13.2):

Le Lagrangien.


La pulsation propre et la solution générale.

Interpréter les résultats.


PAGE 62

Solutions:

Système A :

Pour les faibles oscillations, on a la relation suivante :

ax

Les deux variables x, θ sont linéairement indépendant, d’où le nombre de degré de

liberté est égale à 1, représenté par la variable θ

L’énergie cinétique :

On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m


222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle s’exprime comme suit :

axaveccosmglkx2

1E 2

p


cosmgl)a(k2

1ml

2

1EEL 222

pc


PAGE 63

L’équation différentielle du mouvement est :

0)ml

mglka(0

L)

L(

dt

d2

2

La pulsation propre est égale à :

2

22

0ml

mglka


)tcos(A)t( 0

Système B :

L’énergie cinétique

On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m

D’où l’énergie cinétique s’exprime comme suit :

222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle pour le deuxième système est égale à :

axaveccosmglkx2

1E 2

p



PAGE 64

cosmgl)a(k2

1ml

2

1EE),(L 222

pc


0)ml

mglka(0

L)

L(

dt

d2

2

La pulsation propre est :

2

220

ml

mglka


)tcos(A)t( 0

Système C:

L’énergie cinétique

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m

D’où l’énergie cinétique s’écrit comme suit :

222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle s’écrit :

2p kx

2

1E


PAGE 65


222pc )sina(k

2

1ml

2

1EEL


0ml

ka0

L)

L(

dt

d2

2

La pulsation propre est :

2

220

ml

ka


)tcos(A)t( 0

Problème 6:

Le fléau est un instrument agricole utilise pour le battage des céréales. On

modélise le système par une tige métallique de masse négligeable, de longueur l

portant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au point fixe

O comme le montre la figure 14.2. A l’équilibre la barre est horizontale.

Figure 2.17: Modèle physique du Fléau

Déterminer dans le cas des petites oscillations:

Le Lagrangien du système

L’équation différentielle du mouvement,

La pulsation propre et la période propre.


PAGE 66

La solution générale avec les conditions initiales suivantes :

0)0( t et 0)0( t

Application numérique :

On prend : m=M=1Kg, k=20N/m

Solution:

Le Lagrangien :

On a les déplacements infinitésimaux comme suit :

dépandantssontx,x4

l3x,

4

lx 2121

On a donc un seul degré de liberté représenté par θ(t).

L’énergie cinétique s’exprime :

4

l3x,

4

lxavec)l

4

3(M

2

1)l

4

1(m

2

1xM

2

1xm

2

1E 21

2222

21c


22p )

4

l(k

2

1)

4

l(k

2

1E


222pc )

4

l(k)l

4

3(M

2

1)l

4

1(m

2

1EEL

D’où :

222

)4

l(k)mM9(

16

l

2

1),(L

L’équation différentielle du mouvement :

0M9m

k20

L)

L(

dt

d

Respectivement, la pulsation propre ω0 et la période propre T0 sont de la

forme :

M9m

k2

2Tet

M9m

k2O

20


)tcos(A)t( 0


PAGE 67

Problème 7 :

En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale,

de longueur l de moment d’inertie J0, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de

torsion. Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion. On

appelle D la constante de torsion du fil. Sur la barre, on positionne deux masselottes

identiques m de façon symétrique comme le montre la figure 15.2.

Figure 2.18: Mouvement oscillatoire d’un Pendule de Torsion

On considère les petites oscillations. A l’équilibre l’angle θ=0

Déterminer le Lagrangien du système

Etablir l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre et la solution générale

Solution:



4

lm2JJavecJ

2

1E

2

02

c

Pour l’énergie potentielle on a:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Acier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Couple_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Angle


PAGE 68

2p D

2

1E


22

2

1

2

1),( DJEEL pc

L’équation du mouvement est de la forme:

0)(00)( 2

0

t

J

DLL

dt

d


J

D20

La solution générale est de la forme :

)tcos(A)t( 0

Problème 8 :

Soit un disque de masse M, de moment d’inertie J lié par deux ressorts, l’un au centre

O, l’autre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant

l’axe Ox comme le montre la figure 16.2 :

Figure 2.19: Mouvement oscillatoire d’un disque

Etablir le Lagrangien du système.

Déterminer l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre du système ainsi que la solution générale

Solution:


PAGE 69

Le degré de liberté :

On a le déplacement infinitésimal comme suit :

dépendantssont,xRx

Le système a un seul degré de liberté représenté par x



RxavecxM2

1J

2

1E 22

c


22p )

2

Rx(k

2

1)x(k

2

1E

Le Lagrangien du système s’écrit alors comme suit :

22

2kx

4

13

2

1x)

R

JM(

2

1)x,x(L


PAGE 70

L’équation différentielle s’écrit sous la forme :

0)(0)(4

13

0)( 2

0

2

txxtx

R

JM

k

xx

L

x

L

dt

d


2

20

R

JM

k4

13

La solution générale s’écrit alors :

)tcos(A)t(x 0

Problème 9 :

Soit un système électrique (Lind, Cap) en série représenté dans la figure 2.19 comme

suit :

Figure 2.19: Circuit L.C Libre

A partir des lois du Kirchhoff, établir l’équation différentielle du mouvement.

En déduire la pulsation propre du mouvement.

Solution:

La loi des mailles :


PAGE 71

indLap

L

i

i jLZavec0C

q)t(iZ0V

indind

D’où l’équation du mouvement s’écrit :

0C

q

dt

)t(diL

apind

L’équation différentielle devient alors :

dt

dq)t(iavec0)t(q

C

1qL

ap

ind

On a l’équivalence du système mécanique-électricité comme suit :

0)t(kxxm0)t(qC

1qL

apind

D’où :

kc

1

)t(x)t(q

mL

ap

ind

La pulsation propre du mouvement s’écrit sous la forme :

apind

2

0CL

1

Problème 10 :

Soit un ressort de constante de raideur k , de longueur au repos b , et un point matériel

de masse m (voir figure 2.20). La masse est fixée à l'extrémité du ressort et peut

coulisser sans frottement sur l'axe horizontal des x .

La masse est abandonnée sans vitesse initiale à la distance a de O , tel que ba .

1- établir une équation différentielle du premier ordre relative au mouvement de la

masse.

2- calculer la période T du mouvement de la masse en fonction de a , b , m et k .

3- montrer en quoi les oscillations de la masse sont différentes de celles d'un

oscillateur harmonique.

On donne l'intégrale définie :


PAGE 72

311.1

sin1

2

02

0

x

dxI

Figure 2.20: Oscillateur anharmonique

Solution:

Pour une x quelconque on a :

2222

2

1

2

1xxbkxmET

pour ax on a 0x et

222

2

1aabkET

Puisque l'énergie totale est supposée conservée, on écrit

2222

222

2

1

2

1

2

1aabkxxbkxm

Puisque ba et donc bx , on peut faire l'approximation suivante

b

ab

b

abab

2

111

2

22

Ce qui est aussi vrai pour 22 xb .

Après réarrangement on trouve

042

1

2

1442

2

b

a

b

xkbxm

Ou encore

44

2

2

4

1xa

m

k

bx


PAGE 73

Ce qui permet d’écrire

44

2

1xa

m

k

bdt

dx

On inverse l’équation ci-dessus

44

12

xak

mb

dx

dt

On fait l'intégration 4

0T

t et 0 ax ; pour cela on choisit le signe moins car en

lâchant la masse du point ax la masse se déplace dans la dirction négative de l’axe

x :

a

a

T

xa

dx

k

mb

xa

dx

k

mbdt

044

0

44

4

0

22

En utilisant le changement de variable ua

xsin , on tombe sur l’équation suivante :

a

u

du

k

m

a

bT

02sin1

2

4

Ou encore, la période du mouvement

k

m

a

bT 48.10

On voit clairement que la période T dépend de l'amplitude du mouvement, a , ce qui

n'est pas le cas des oscillations harmoniques. Ce sont là des oscillations

anharmoniques.


PAGE 74

Problèmes supplémentaires

Problème 11 :

Déterminer la fréquence propre à partir de l’écrasement x0 du système de la

suspension.

Figure 2.21: Fréquence propre des plots anti-vibratiles

Problème 12:

Soient deux ressorts de même raideur k ont une longueur à vide l0. La figure 19.2

représente une masse m reliée à leurs extrémités peut glisser sans frottement suivant

l’axe Ox

Figure 2.22: Mouvement oscillatoire transversal

Déterminer dans le cas des petites oscillations:

Le Lagrangien du système.



PAGE 75

La pulsation propre, la période propre et la solution générale.

Problème 13:

On considère un gaz ionisé, un plasma, formé d’ions et d’électrons ayant une

charge globale nulle. On négligera les mouvements des ions beaucoup plus

lourds que les électrons. On suppose que les électrons ne se déplacent que

parallèlement à l’axe Ox. Au repos, le plasma est homogène et contient n0,

nombre d’électron par unité de volume. On considère une tranche de plasma dx,

les électrons situés respectivement en position x et x +dx se déplacent par les

quantités s(x, t) et s(x+dx), la figure 20.2:

Figure 2.23: Mouvement Oscillatoire du plasma

En utilisant l’équation de poisson, déterminer l’équation différentielle du

mouvement.

En déduire la pulsation propre du système.

Problème 14:

On se propose d’étudier la stabilité vibratoire d’un pendule inversé. On considère un

pendule simple constitué d’une tige indéformable, de masse négligeable et de longueur


PAGE 76

l. cette tige est fixée à une extrémité sur un ressort de torsion de constante de raideur K

permettant une liaison rotoide parfaite. A l’autre extrémité une masse m. Le système

est illustrée dans la figure 2.23.

Figure 2.24: Pendule simple inversé-Ressort de torsion

Etablir le Lagrangien du système

Déterminer l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre ω0

Documents

PHYSIQUE - essa-tlemcen.dz · avec un rappel de cours. Le manuscrit est divisé en cinq chapitres. Le premier chapitre porte sur l’utilisation du formalisme de Lagrange pour décrire