1

F1

A

l, C1

l, C2

y

x O B

F2

F1

F2

k k2

O

k

k1

x1 x2

m2 m1 h2

h1

L.P.S.

Semestre 5– Module M 26 - Filière SMP Année universitaire 2017/2018-2019/2020

Cours en ligne : Site : www.fsdmfes.ac.ma

(Voir ressources pédagogiques/filière SMP/S5/Rezzouk)

Réalisé par :

PPrr.. RREEZZZZOOUUKK AAbbddeellllaahh

http://www.fsdmfes.ac.ma/

2

1/2 Module : Mécanique classique avancée : Mécanique Analytique (M 26)

Volumes d'heures : 18h cours et 18h TD et 10h de TPs.

Intervenants : A. REZZOUK et A. SABRI (cours et TD).

Prérequis : Module Mécanique 1 et mécanique 2

Évaluation :

- C. C : ¼ de la note - Examen Final : 3/4 de la note

Documents.

- Polycopié de cours - Travaux Dirigés

Mots-clés : PTV, ELS, ELM, PMA, ELL, Oscillateurs harmoniques et anharmoniques.

Cours en ligne :

Site : www.fsdmfes.ac.ma ((Voir ressources pédagogiques/filière SMP/S5/Rezzouk)

Objectif

Ce cours à pour objectif d’initier les étudiants à la mécanique analytique et vibrations

pour obtenir des solutions analytiques à un problème mécanique. Acquérir un esprit critique sur

les performances et les limites de la mécanique analytique.

Ce cours contient l’essentiel du matériel couvert dans le cours de mécanique analytique et

vibrations et prend inspiration comme il est coutume de plusieurs livres de références. Les notes

couvrent la mécanique analytique et vibrations, soit le formalisme de Lagrange, le formalisme

canonique et le principe de travaux virtuels (P.T.V). Les théorèmes généraux de mécanique ainsi

que le P.T.V sont rappelées dans le chapitre 1. Le formalisme de Lagrange est introduit au

chapitre 2, suivent le formalisme canonique les oscillateurs harmoniques à un ou plusieurs degrés

de liberté et anharmonique (chapitres 3 et 4).et finalement équilibre et stabilité sont rappelées au

chapitre 5

Enfin, j’espère que les étudiants de S5 de la filière SMP trouveront dans ce support un

bon outil de travail qui leur permettra de bien maîtriser cette partie du cours de la mécanique

analytique et vibrations.

http://www.fsdmfes.ac.ma/

3

I- RAPPELS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX 4

a) P.F.D 4

b) THÉORÈME DE MOMENT CINÉTIQUE

c) THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE

d) LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE POUR UN SOLIDE 4

II- DESCRIPTION DU SYSTÈME MATÉRIEL 5

II.1- INDÉPENDANCE DES COORDONNÉES GÉNÉRALISÉES 6

II.2- LIAISONS 6

II.3 - CLASSIFICATION DES LIAISONS 6

II.4- NOMBRE DE DEGRÉ DE LIBERTÉ 8

II.6- FORMES DES ÉQUATIONS DE LIAISONS 8

II.7- NOTION DE FORCES OU D’EFFORTS 9

III- PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS : P.T.V 9

III.1- MOUVEMENT VIRTUEL D’UN SYSTÈME MATÉRIEL 10

III.2. LIAISON PARFAITE DANS UN M.V.C.

III.3- DÉPLACEMENTS VIRTUELS (D.V.) 10

III.4- TRAVAUX VIRTUEL (T.V.) 12

III.5. PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS (P.T.V.) 12

III.6- FORCES GÉNÉRALISÉES 15

IV- DÉCOMPOSITION DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE 16

4

I- RAPPELS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX

1- P.F.D (2ÈME LOIS DE NEWTON = THÉORÈME DE CENTRE DE MASSE)

(M) point matériel : )(MmFext =

.

{Mi} système discret : ==i

i

iiiiext

dt

pdMmF

)( avec

dt

VdetVmp iiiii

== .

(S) solide : )(GmFext =

.

2- THÉORÈME DE MOMENT CINÉTIQUE

(M) point matériel : ( ) ( )RMOdt

RMdFn OextO /,

)/(

== .

{Mi} système discret : ( ) ( ) ( )ii

OiOOextO Mdt

dM

dt

dFnFn ==+

int avec

( ) AAO FOARFn

=/ .

(S) solide : ( ) ( )RSOFn extO /,

= .

3- THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE

(M) point matériel : )/(2

1)/()/()( 2 RMVmRMTetRMdTFdW ext

== .

{Mi} système discret : ==i i

i

i

iim

pVmT

22

2

1

2

1

avec extWWdT += int .

(S) solide : )/()( RSdTFdW ext =

.

Remarque : Si toutes les forces dérivent d’une énergie potentielle Ep

csteEdEUTdRSdTdUFdW mmext ===+=−= 0)()/()(

, donc Em est conservé.

4- LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE POUR UN SOLIDE

( ) ( )( )

→=

→==

dynamiquemomentdeThéorèmeRSGFn

massedecentreThéorèmeRGmFSF

extG

ext

GOGe/,

/

5

II- DESCRIPTION DU SYSTÈME MATÉRIELS

Système matériel : Un ensemble de solide et de point matériels tout a fait général {Si,

Mj} i = 1 à N et j = 1 à M.

Les particules Mj sont caractérisées par 3 paramètres Mj(xj, yj, zj) par contre le solide doit

avoir 6 paramètres Si(xGi, yGi, zGi, i, i, i). Donc on a 3M+6N = n (coordonnées généralisées)

paramètres primitifs.

Remarque : Un solide libre peut effectuer 3 translations indépendantes et 3 rotations

indépendantes toutes les 6 à la fois, il y a donc 6 d.d.L : les 3 translations sont repérés par les

coordonnées du centre de masse et les 3 rotations sont repérées par les 3 angle d’Euler et

: précision, : mutation, : rotation propre.

Espace de configuration :

On va remplacer les (x1, y1, z1,…., xj, yj, zj, xG1, yG1, zG1, 1, 1, 1, ……, xGi, yGi, zGi, i,

i, i) , et on va les appeler, par (q1, q2, q3,…., qn, qn, qn) = {qi} et i = 1 à n = 6N+3M.

nàii

q1=

sont appelés coordonnées généralisées.

Considérons un système matériel dont la position est déterminée par n variables

indépendantes, ou degrés de liberté, q1, q2, …….,qi, ……,qn, notés nàiiq 1= . On appelle espace

de configuration l’espace à n dimensions tel que la position du système soit caractérisée par un

point de coordonnées nàii

q1=

. Au cours du temps, ce point iqq = décrit une trajectoire dans

cet espace, ie ( ) ( )tqOMOMSM ,= .

Exemple : Pour un point matériel évoluant dans l’espace physique habituel, l’espace de

configuration s’identifie à cet espace (Fig. 1a). En revanche, il n’en est pas de même pour un

pendule simple, dont la position est caractérisée par l’angle qu’il fait avec la verticale

descendante (Fig. 1b) ou pour un ensemble de 2 particules couplées par un ressort de raideur k

évoluant sur un même axe Ox (Fig. 1c).

z

y

x (a)

(b) k k2

O Ok

k1 k

m

1

m

2

x1 x2

m2 m1

(c)

Fig. 1

6

Pour un système constitué de N particules, en mouvement quelconque les unes par rapport

aux autres, le nombre de degrés de liberté est n = 3N. L’espace de configuration a donc dans ce

cas 3N dimensions.

Notons qu’un point de l’espace de configuration détermine la position du système et non

son état mécanique, lequel exige, en outre, la connaissance de l’ensemble des vitesses ou mieux

des quantités de mouvement.

II.1. INDÉPENDANCES DES COORDONNÉES GÉNÉRALISÉES

• Si tous les qi sont indépendantes alors dim(S) = n.

• Si il y a ’’m’’ relations entre les qi alors dim(S) = n-m.

Exemple :

Prenons le cas où 2 points M1 et M2 sont indépendantes (Fig. 2a) donc obligatoirement

on a un système à 6 dimensions.

M1 M2 M1 M2

(a) dim = 6

(b) dim = 6-1 = 5

Fig. 2

Si M1 et M2 sont liés par la relation M1M2 = l (Fig. 2b) donc on aura un système à 5

dimensions car la 6ème sera relié par une équation M1M2 = l d’où dim = d.d.l = 6-1 = 5.

II.2. LIAISONS

Définition 1 : Un solide est soumis à une liaison si les positions qu’il doit prendre doivent

satisfaire à certaine condition.

Définition 2 : Une liaison pour un système (S) : toute relation (ou système de relation) imposée,

à priori, et indépendamment de toute conséquence des lois de la dynamique, aux paramètres

inconnues iqq = . Définition 3 : Donc une liaison est une limitation de l’indépendance du mouvement d’une partie

ou plusieurs de système imposé par une autre partie ou bien d’autre obstacles extérieurs.

II.3. CLASSIFICATION DES LIAISONS

Toute liaison (contact, glissement nul, frottement nul, ……, etc) est caractérisée par une

relation entre les différentes coordonnées généralisées ou certaines d’entre elles et d’autre

paramètre le temps. On exprime une liaison par des relations dt

dqqoutqqF kkkk = 0),,( :

vitesse généralisée. Toute relation de ce genre traduit une liaison ou contrainte. Soit m le nombre

de telle relation (m n), le nombre de coordonnées généralisées indépendantes : n–m = s = d.d.l.

7

Définition 4 : Une liaison exprimée par une égalité sera dite une liaison bilatérale. Bilatérale :

traduit par une équation F = 0 ie agit sans interruption.

Définition 5 : Une liaison exprimée par une inégalité sera dite une liaison unilatérale.

Unilatérale : traduit par une inéquation F 0 ie peut agir ou ne peut pas agir.

Exemple :

Prenons le cas où 2 points M1 et M2 sont liés par la relation M1M2 = l (Fig. 3b ci

dessous) donc on est en présence d’une liaison bilatérale traduit par la relation M1M2 = l.

Prenons le cas d’un point matériel ‘’A’’ qui se déplace dans un plan (Oxy) (Fig. 3a) : la

liaison n’agit pas quand z>0 et elle agit quand z = 0 donc on est présence d’une liaison unilatérale

traduit par la relation z 0

A M1 M2

(b) dim = 6-1 = 5 (a)

Fig. 3

Définition 6 : Une liaison est dite holonome si elle se traduit par une relation entre les seuls

paramètres (qk)k = 1 à n (ie à l’exclusion de toute intervention de leurs dérivés) et ‘’t’’ : F(qk,t) = 0.

Une liaison holonome sera, donc, traduit par ( ) kq

FettqF

k

k =

= 00,

. C’est le cas des

conditions géométriques.

Une liaison non - holonome sera, donc, traduit par ( ) 00,,

=

k

kkq

FtqktqqF

. C’est

le cas des conditions cinématiques (font intervenir les vitesses généralisées dqk/dt).

Définition 7 : Une liaison est dite non - holonome si elle se traduit par les kk qq , et le temps t,

cette relation étant linéaire : nktqbqtqa kjk

m

j

kj →==+=

1;0),().,(1

.

Définition 8 : Une liaison est dite semi - holonome si elle est non - holonome intégrable ie

paramétrable, autrement dit c’est une liaison qui peut se ramener au moyen d’intégrale à une

liaison holonome.

Exemple :

Roulement sans glissement d’une sphère sur un plan :

=++

=−−==

0)sinsincos(

0)cossinsin(0)/()/(

Ry

RxSIVSV

G

G

g , liaisons (bilatérales) non

holonomes.

Roulement d’une roue sur une droite : csteRxRx =+=+ 0 , liaison semi - holonome.

Définition 9 : Une liaison est dite scléronome si elle est indépendante explicitement du temps.

Elle est dite rhéonome dans le cas contraire.

8

Une liaison scléronome sera, donc, traduit par ( ) kt

FetqqF kk =

= 00, . C’est le cas

des obstacles fixes.

Une liaison rhéonome sera, donc, traduit par ( ) kt

FettqqF kk

= 00,, . C’est le cas

des obstacles mobiles.

Définition 10 : Une liaison est dite parfaite si elle est holonome, paramétrable (ou résoluble)

bilatéral tel que le travail de la force de liaison est nul. Elle est dite dissipative dans le cas ou il y

a perte d’énergie.

Définition 11 : On appellera liaisons principales (L.P.), des liaisons arbitrairement choisies parmi

toutes les liaisons imposées à (S) qui vérifient les 2 points suivants :

1- ( ) kq

FettqF

k

k =

= 00,

ie elles sont holonomes.

2- le système est résoluble ou plus généralement paramétrable ie que l’on peut effectivement les

résoudre (ou les paramétrer).

Cas particulier :

Si toutes les liaisons principales sont indépendantes du temps ie ( ) 00 =

=

t

FqF k , alors les

L.P sont scléronomes ===

=

=

+

=

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

dqq

MMddq

q

OMdt

t

OMdq

q

OMOMd

111

.

Définition 12 : Si il existe des liaisons autres que les liaisons principales, on les appellera liaisons

supplémentaires (L.S.).

II.4. NOMBRE DE DEGRÉS DE LIBERTÉ : d.d.l = n

Si (S) est soumis qu’aux ‘’p’’ liaisons principales (L.P) d.d.l = n = N – p.

Si (S) est soumis en plus à ‘’s’’ liaisons supplémentaires (L.S) d.d.l = n = N – p – s= N - m.

Où ‘’N’’ : c’est le nombre de paramètres primitifs, ‘’n’’ : c’est le nombre de coordonnées

généralisées et ‘’m’’ c’est le nombre d’équation de liaisons.

II.5. FORMES DES ÉQUATIONS DE LIAISONS

Liaison holonome ( ) ( ) 10,,........,, 21 == tqqqFtqF nk . C’est une fonction scalaire de n+1 variables (qk, t) ; une telle relation est appelée équation de liaison holonome (elle

ne fait pas intervenir les dérivées kq ) entre les paramètres.

Pour une liaison holonome ( )( ) 00,01

=

+

==

= t

Fq

q

FtqFcar

qd

dF n

k

k

k

k

k

. Soit,

20),().,(1

=+=

tqbqtqa klk

n

k

kkl , une fonction scalaire affine, ie linéaire, en kq , avec akl et bl

sont des fonction de (qk, t) supposées continues et liaisondeindiceml :1→= .

S’il est possible par intégration de ramener (2) à une relation de la forme (1), la relation

(2) est alors qualifiée d’équation de liaison semi - holonome ; dans le cas contraire elle est dite

non – holonome. La liaison (1) est dite indépendante du temps si F(qk, t) est fonction des seuls qk

9

, à l’exclusion de t ; la liaison (2) est dite indépendante du temps si tous les akl sont fonctions des

seuls qk et si la fonction bl est identiquement nulle.

Une liaison holonome (éventuellement obtenue par intégration d’une équation de liaison

semi - holonome) de la forme (1) est qualifiée de principale, ou primitive, lorsque résolue en l’un

des qk elle est utilisée pour remplacer ce qk par sa valeur en fonction des autres paramètres et

donc diminuer le paramétrage d’une unité, de telle sorte que le mouvement réelle (M.R) ou le

mouvement virtuelle (M.V) qui s’en déduit soient exprimés avec ce paramétrage réduit ; le M.V

est alors dit compatible avec la liaison principale. Une équation de liaison qui n’est pas utilisée

pour effectuer la réduction de paramétrage qui vient d’être indiquée est qualifiée de

supplémentaire, ou complémentaire, (ceci aussi bien dans le cas d’une liaison non – holonome,

que dans celui d’une liaison pouvant se mettre sous forme holonome).

Définition 13 : Un mouvement virtuel de (S) compatible avec les liaisons principales choisies est

un M.V tenant compte uniquement des relations imposées par ces liaisons à l’instant considéré.

On dira simplement mouvement virtuel compatible (M.V.C). Le champ de déplacement virtuel

compatible correspondant s’écrit : =

=

n

i

i

i

qq

MM

1

. On rapprochera cette relation de celle

obtenue en écrivant (1) sous forme semi – holonome (2) :

01

=

+

=

dtt

OMdq

q

OMn

i

i

i

01

=

+

= t

Fq

q

Fn

k

k

k

Remarque : Une liaison non holonome ne peut donc en aucun cas être une liaison principale. Car

son équation de liaison est non intégrable, non résoluble.

II.6. NOTIONS DE FORCES OU D’EFFORTS

On distingue 2 types de forces :

Les forces extérieurs à (S) qui sont des forces exercées sur des éléments de (S) par des

systèmes n’appartenant pas à (S). En général, il s’agit des forces actives ou données.

Les forces intérieures qui sont des forces exercées par des éléments de (S) sur d’autres

éléments de (S) (force de liaison).

Exemple

• Force à distance (gravité) • force données.

• Force de contact (frottement) • force de liaison.

• Force conservative (gravité) dérive d’une énergie potentielle Ep = U.

• Force non conservative (frottement) ne dérive pas d’une Ep = U.

F

est conservative si ( ) ( )rUgradrF

−= .

( )rU

: énergie potentiel associe à la force ( )rF

. dUrdrUgradrdFdW −=−==

).(. .

III- PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS (NOTÉ P.T.V.)

Cette méthode des travaux virtuels, qui est à l’origine de la formulation lagrangienne de la

mécanique (cf. chapitre 2), s’appuie sur la notion de déplacement virtuel (noté D.V.). Elle

présente l’avantage de ne pas exiger le calcul de toutes les réactions entre les différentes parties

des systèmes considérés et donc d’être plus efficace.

10

III.1. MOUVEMENT VIRTUEL (M.V) D’UN SYSTÈME MATÉRIEL

Le déplacement réel (D.R) infinitésimal d’un point quelconque M de (S) pendant

l’intervalle dt est MdOMdMM

== )(' .

Définition 14 : À un instant t arbitraire mais fixe, on appellera mouvement virtuel (noté M.V.) du

système (S) la donnée d’un certain champ de vecteur )(Mu

: MOMMuSM

==→ )()( .

Ce champ de vecteur sera interprété comme étant un déplacement virtuel infinitésimal à l’instant t

et on le notera M

.

Notation: Le D.R et le D.V seront, donc, notés respectivement MetMd

.

Définition 15 : On appelle mouvement virtuel compatible (noté M.V.C.) tout mouvement virtuel

de (S) compatibles avec les liaisons principales à l’instant t fixé. Le champs de déplacement

virtuel compatible (noté D.V.C. ) s’écrit : i

n

i i

qq

MM .

1

=

=

.

III.2. LIAISON PARFAITE DANS UN M.V.C.

Définition 16 : Une liaison entre 2 solides de système (S) (ou entre un solide de (S) et un

obstacle) est dite parfaite si, et seulement si, quel que soit t, le travail virtuel (ou la puissance

virtuelle) des inter - efforts de liaison est nulle pour tout M.V.C. à cette liaison.

Définition 17 : On dit qu’une liaison vérifie la condition des travaux virtuels (noté C.T.V.) si le

travail des forces de liaison, pour tout M.V.C. avec la liaison, est nul.

III.3. DÉPLACEMENT VIRTUEL (NOTÉ D.V.) ÉLÉMENTAIRE

Définition 18 : On appelle D.V. élémentaire tout déplacement élémentaire arbitraire, de

l’ensemble d’un système ou de certain de ces parties, à une date fixée, compatible avec les

liaisons qui définissent le système considéré. On notera ce déplacement M

ou rdMd vv

= .

Remarques :

Dans un D.V. tout est permis : mouvement d’un corps en équilibre, pénétration dans des

obstacles impénétrables.

Un D.V. s’effectue à temps fixe : c’est une déformation de la configuration (image) réel

de système à un instant donné.

Exemples :

Sur une tige, le D.V. d’une masselotte est x alors que son D.R. élémentaire est

dtxdtvdx x .. == . On note ainsi que x est arbitraire et donc indépendant de la vitesse,

contrairement à dx (Fig. 4a).

11

O A

dx

x x

(a)

y

O

r rd

A dr

r

r

rd

(b)

x

rd

(c)

y

O x

rd

A

dr r

Fig. 4

Dans le plan Oxy, le déplacement du point A est (Fig. 4b) : ererr r

.. += avec r

et arbitraires, alors que le D.R. élémentaire est erdedrrd r

.. += . Contrairement au D.R.

élémentaire, pour lequel, dtdetdtrdr .. == , le D.V. élémentaire n’est pas, a priori,

tangent à la trajectoire.

Si un point A coulisse sans frottement sur un tige en mouvement (Fig. 4c), la liaison

dépend de temps. Par conséquent le D.V. de A, compatible avec cette liaison à l’instant t fixé, ne

comporte pas de contribution angulaire, d’où rerr

. = .

Définition 19 : Un D.V. est dit licite (noté D.V.L.) lorsqu’il respecte toutes les liaisons dans leur

configuration à un instant donné. Il est dit non licite (noté D.V.nonL.) s’il ne respecte pas toutes

les liaisons dans leur configuration à un instant donné.

Remarques :

Il y’a un unique D.R. mais il y’a une infinité de D.V., donc nous disons que le D.R. est

un cas particulier de D.V.

Un D.V.L. respecte les liaisons dans leur état à l’instant t fixé, par contre un D.R.

respecte les liaisons dans le mouvement entre t et t+dt.

Le D.R. peut coïncider avec le D.V.L. si les obstacles sont fixes ie toutes les liaisons

sont scléronomes.

Exemples :

Soit 2 boules liées par une tige rigide. Ce déplacement est non réalisable D.V.nonL.

M N

l

Une particule M, qui se déplace sur une courbe Ct, dans un plan. Soit Ct se déplace

(obstacle mobil liaison rhéonome) et rd

déplacement réel de point M qui respecte M dans son

12

mouvement : (1) D.V.L. car il respecte la liaison et (2) D.V.nonL. car il ne respecte pas la liaison

(Fig. 5a).

y

x

M(t+dt)

M(t)

Ct+dt

Ct 1r

2r

D.V.nonL.

D.V.L

. rd

Ct fixe

rrd

,

(a) (b) Fig. 5

Dans le cas de la Fig. 5a, le D.R. de M est un D.V.nonL., par contre dans le cas de la

figure 5b ie à obstacle fixe le D.R. = D.V.L.

III.4. TRAVAIL VIRTUEL ÉLÉMENTAIRE (T.V.)

Définition 20 : À une date quelconque t, on appelle travail virtuel élémentaire (noté T.V.) d’une

force F, appliquée à un point M d’un système, le travail élémentaire de F dans un déplacement

virtuel élémentaire, M, à cette date : MFW

.= .

Remarques :

Attirons l’attention sur le travail non nul de la force de Coriolis, dans un déplacement

virtuel élémentaire ; en effet, M n’est pas a priori tangent à la trajectoire dans le référentiel non

galiléen.

0.)( ==⊥ MdFdWCF

par contre 0. = MFW

. Voir figure ci-dessous.

(C), D.R.

(D.V.) F

M

Md

III.5. PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS (P.T.V.)

Soit un système (S) formé de particules niii

rm→=1

,

et chaque mi est soumis à des

forces de résultante int,, iextii FFR

+= .

P.F.D pour mi : iiiiiiiiiii amFoùFRamRamR

−==+=−= "" 00 c’est la

force d’inertie. D’autre part ( ) ( )liaisonFceFdonnéeFceFFFR iiiextii ..'

int,,

+=+= . D’où pour

chaque mi on aura :

( ) ( ) 0).(..0 "'" =++=+ inertieFceFliaisonFceFdonnéeFceFFR iiiii

(1)

13

Soit un D.V appliqué à (S) et qui fait passer chaque iii rrr

+→ . Pour ce D.V nous

allons calculer le T.V des Forces :

Pour mi donné : ( ) 0...0)1( "'"' =++=++ iiiiiiiiii rFrFrFrFFF

.

Pour l’ensemble des mi : 00..."'

1

"

1

'

1

=++=++ ===

WWWrFrFrF d

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

P.T.V = Principe D’Alembert.

Enoncé : P.T.V. (Principe d’Alembert) pour un point matériel

Le travail virtuel de la quantité d’accélération d’un point matériel, dans tout D.V, est égale

à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au point matériel.

Enoncé : P.T.V. (Principe d’Alembert) pour un système S

Pour un repère Galiléen et avec une chronologie absolue, pour un système S, pour tout

M.V. et à tout instant t, le travail virtuel élémentaire, de toutes les forces exercées sur S

(extérieure et intérieure), est égale au travail virtuel élémentaire de l’ensemble des quantités

d’accélération.

Cas particuliers :

Système à liaison parfaite pour un D.V.L 0' =W donc le P.T.V. se réduit à 0" =+ WWd

Si en plus (S) est en équilibre on a 0" =W d’où P.T.V, se réduit à 0=dW .

Théorème des T.V. relatif à la statique (équilibre) : Ainsi, pour qu’un système matériel S, à

liaisons parfaites, initialement immobile, demeure au repos (ie en équilibre), il faut et il suffit que

la somme des T.V. élémentaires des forces données soit nulle.

Remarque : L’attrait de ce théorème est directement lié à la simplicité des relations géométriques

entre les paramètres au cours de D.V. élémentaire.

Soit (S) un système à liaison scléronome parfaite et à forces données (Fd) conservatives, donc

le D.R. entre t et t+dt est un D.V.L. 00"" =+=+ dWdWWW dd :

Fd conservative dUdWW dd −== .

Avec dt

rdra iii

==

( ) dTdtrmdt

ddtr

dt

rdmrd

dt

rdmrdamdW

n

i

iii

in

i

ii

in

i

iii

n

i

i −=

−=−=−=−=

==== 1

2

111

"

2

1....

D’où CsteEUTdTdUWW md ==+=−−=+ 00" énergie mécanique.

Pour un système à liaison scléronome, parfaite, et à forces données (Fd) conservatives et à

D.R. = D.V.L., l’énergie mécanique est une constante de mouvement. On dit qu’on est en

présence d’un système conservatif.

Remarques :

Écrivons le P.T.V. pour le mouvement réel )()()( int" FdWFdWdWamdW extii

+=−=

14

Or ( ) ( ) dTdtrmdt

ddtr

dt

rdmdtramrdamamdW iii

i

iiiiiiiii =

====

2

2

1.....)(

.

D’où 21'

int )()( TTdWdWFdWFdWdT ldext −=+=+=

Dans le cas où le repère R n’est pas galiléen, le P.T.V. s’écrit donc :

)()()()()()()/( intint FWFWFWFWFdWFdWamW ecrextii

+++=+=

Où ec FetF

désignent les torseurs des forces fictives de Coriolis et d’entraînement

respectivement.

Exemples : Théorème des T.V. relatif à la statique (équilibre)

Exercice 1 : Levier à pression

On appelle levier à pression le système de 2

tiges (de même masse m) articulées identiques

dont l’une a une extrémité immobile O et l’autre

une extrémité B qui peut se déplacer suivant un

axe (Fig. 6). On exerce en A une force verticale

jFF

.11 −= dirigée vers le bas. Afin de calculer

la force iFF.22 −= qui doit exercer le bâti en B

pour que le système soit en équilibre. Limitons-

nous au cas particulier important où les liaisons

en O, A et B sont parfaites. Rappelons qu’il en

est ainsi dans 2 cas importants, en l’absence de

frottement et en l’absence de glissement même

s’il y a frottement, donc 0' =lW .

F1

A

l, C1

l, C2

y

x O B

F2

Fig. 6

Réponse 1 :

Considérons un déplacement angulaire virtuel élémentaire .

Comme : cos.2sin.2

,sin.2

,sin.21

lxetl

yl

yly BCCA ==== .

Il vient : dldxetdl

dydl

dydldy BCCA .sin.2.cos.2

,.cos.2

,.cos.21

−==== .

On en déduit, puisque .sin2..cos. 2211 lFBFetlFAF =−=

:

( ) 0.sin2coscos0... 21 =+−−= lFmgllFWVTP d d’où tan2

12

mgFF

+=

On voit aisément l’intérêt du système : pour F1 donné et faible, F2 peut être très grand,

ce qui permet de comprimer des objets en B.

15

Exercice 2 :

Équilibre d’un pendule double pesant

Un pendule double, constitué de deux tiges

identiques (Fig. 7), de masse m, de longueur l, est

écarté de sa position d’équilibre verticale, grâce à

une force horizontale F appliquée à l’extrémité de

la tige inférieure. Les liaisons aux 2 articulations

sont parfaites. Trouver les valeurs des angles 1 et

2 que font, avec la verticale descendante, ces

deux tiges à l’équilibre.

O y

x

g

G1

G2

F

1

2

Fig. 7

Réponse 2 :

Le T.V. de l’ensemble des forces qui s’exercent sur le système doit être nul :

0"' =++ WWWd or forces de liaisons parfaites et système en équilibre :

0..0,0 "' === dl WVTPWW 0... 21 =++= yFxmgxmgW GGd

Comme : 2121211 sinsin.cos.2

cos,cos.2

llyetl

lxl

x GG +=+== .

Il vient :

221121112111 .cos.cos..sin.2

.sin,.sin.2

llyetl

lxl

x GG +=−−=−= .

Par conséquent : 0.sin.2

cos.cossin.2

3222111 =

−+

+−=

mglFlFl

mglWd

On en déduit, la relation : 12212

tan3

2tan ==

mg

Fet

mg

F.

III.6. FORCES GÉNÉRALISÉES

Pour les forces données ( ) tt

rq

q

rrtqrrorrFW

n

k

i

k

k

i

ikiii

N

i

id ==

+

===

11

,.

car

D.V. t fixe. n : nombre de coordonnées généralisées et N : nombre de particule de système.

k

iN

i

ik

n

k

kkk

n

k k

iN

i

i

n

k

k

k

iN

i

idq

rFQqQq

q

rFq

q

rFW

==

=

=

=== ===

....

111 111

{Qk} est appelé ensemble des forces données généralisées tel que k

iN

i

ikq

rFQ

=

=

.

1

Le même traitement peut se faire pour les forces de liaison Fl et les forces d’inertie F’’.

{ kQ' } est appelé ensemble des forces de liaisons généralisées tel que

k

iN

i

ik

q

rFQ

=

=

.

1

'' .

16

{ kQ" } est appelé ensemble des forces d’inertie généralisées tel que

k

iN

i

ik

q

rFQ

=

=

."

1

" .

( ) ( ) )1(0).(.. "' iinertieFceFliaisonFceFdonnéeFceF iii =++

. Or :

( ) )1(0."."..1

'

11

'

1

"'' carq

rFFF

q

rF

q

rF

q

rFQQQ

k

iN

i

iii

k

iN

i

i

k

iN

i

i

k

iN

i

ikkk =

++=

+

+

=++

====

D’où )2(0"' kQQQ kkk =++

Donc k la somme de toutes les forces généralisées est nul Donc on vient de monter que (1)(2)

Les coordonnées qk sont quelconque et pas forcément indépendantes. Donc partant de P.T.V. :

0...01

"

1

'

1

"' =++=++ ===

n

k

kk

n

k

kk

n

k

kkd qQqQqQWWW

( ) liéessontqsiQQQqQQQ kkkkk

kkkk 00"'"' =++=++

( ) tsindépendansontqsiQQQqQQQ kkkkk

kkkk )2(00"'"' =++=++

Mais la relation est vérifiée les coordonnées {qk}.

IV- DÉCOMPOSITION DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE

),(2

1

11

2 tqrcart

rq

q

rrremplaconsnousrmT ki

n

k

i

k

k

i

i

N

i

ii

==

+

==

On trouve avecTTTt

rq

q

rmT

n

k

i

k

k

iN

i

i 210

2

112

1++=

+

=

==

2

11

2

11

1

2

1

02

1

=

=

=

=====

n

k

k

k

iN

i

i

n

k

k

iiN

i

i

iN

i

i qq

rmTetq

t

r

t

rmTet

t

rmT

Cas particuliers :

Cas d’un système à liaison scléronome

( ) 21

0'

0

00 TToùd

T

T

t

rqrr ikii =

=

==

=

, on dit que dans le cas d’un système à liaison

scléronome, l’énergie cinétique est une forme quadratique de vitesse généralisée : l. scl. T = T2

On peut montrer aisément, en utilisant le rappel ci-dessous, que 21 2TTqq

Tk

k k

+=

Rappel

Si ( )nxxxff ,,, 21 = est de degré n alors nfxx

fk

k k

=

d’où :

22 2Tq

q

Tk

k k

=

puisque T2 est de degré 2

Comme T1 est de degré 1 alors 11 Tq

q

Tk

k k

=

.

17

I. ÉQUATION DE LAGRANGE SIMPLE (Noté E.L.S.) 17

I.1. CALCUL DE Qk 17

I.2. CALCUL DE "kQ 17

I.3. CALCUL DE "kQ EN FONCTION DE T (ÉNERGIE CINÉTIQUE) 18

I.4. LAGRANGIEN 18

I.5. ÉQUATION DE LAGRANGIEN 19

I.6. ÉQUIVALENCES 20

II. EXTENSIONS 20

II.1. Cas d’un système (S) à l.h, l.p, Fd conservatives et non conservatives :

II.2. Cas d’un système (S) à l.h, semi h., parfaites + dissipatives, Fd cons. et non cons. :

II.3. Système lagrangien utilisant les moments conjugués 21

III. ÉQUATION DE LAGRANGE AVEC MULTIPLICATEURS (Noté E.L.M.) 22

III.1. Force généralisée de liaison 'kQ 22

III.2. E.L.M 23

IV. HAMILTON ET ÉQUATIONS CANONIQUES 25

IV.1. ESPACE DES PHASES 25

IV.2. HAMILTONIEN 26

IV.3. ÉQUATIONS CANONIQUES (E.C.) 27

IV.4. LOIS DE CONSERVATION 28

V. PRINCIPE D’HAMILTON OU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION (P.M.A.) 31

V.1. ACTION LAGRANGIEN 31

V.2. CALCUL DE LA VARIATION DE A : A 32

V.3. ACTION HAMILTONIENNE: 32

V.4. APPLICATION 33

VI. ÉQUATION DE LAGRANGE LINÉARISÉ (E.L.L.) 35

VI.1. DÉFINITION ET CONDITIONS D’ÉQUILIBRE 35

VI.2. CAS DES SYSTÈMES CANONOQUES 37

VI.3. INFLUENCES DES FORCES DISIPATIVES 41

VI.4. INFLUENCES DES FORCES GYROSCOPIQUES 43

VI.5. CE QU’IL FAUT SAVOIR 44

18

Dans cette introduction, nous considérons les systèmes pour lesquelles toutes les forces

qui travaillent dérivent d’une énergie potentielle. En outre ces système seront naturels, c’est – à -

dire que les contraintes ou liaisons, ainsi que l’énergie potentielle, ne dépendent pas

explicitement du temps ; dans ces conditions, comme nous le verrons, l’hamiltonien H s’identifie

à l’énergie du système

Le mouvement d’une particule et plus généralement d’un système matériel, peut être

étudié à partir d’un formalisme dit analytique développé par les mathématiciens français A.

Lagrange et écossais W. hamilton. Ce formalisme s’appuie principalement sur deux fonctions

scalaires ayant la dimension physique d’une énergie : le lagrangien L et l’hamiltonien H. Son

intérêt principal est d’une part qu’il se prête mieux à l’extension de la mécanique aux autres

domaines de la physique (optique, physique quantique, etc.) et d’autre part qu’il permet de

trouver plus facilement les grandeurs physiques qui se conservent dans le problème considéré.

I. ÉQUATION DE LAGRANGE SIMPLE (Noté E.L.S.)

Définition 1 : Soit un système (S) à liaisons parfaites (1) et holonomes (2), et à forces données

conservatives (3). Un tel système est appelé système lagrangien.

Soit les coordonnées généralisées {qk} qui sont indépendantes car (2), et on choisit un

D.V.L. {qk}. Pour une position ir

de (S) ( )kii qrr

= car D.V. temps fixé et donc :

( )

+

=

=

=

=

=

dtt

rdq

q

rrd

qq

rr

qrrn

k

i

k

k

i

i

n

k

k

k

i

i

kii

1

1

Système à liaison parfaite (1) pour un D.V.L. 0' =W donc le P.T.V. se réduit à

0" =+ WWd .

I.1. CALCUL DE Qk

( ) ( ) ( )kiikikn

k k

n

k

kkd qrretqUrUcarqq

UdUcardUqQW

==

=−==

==

11

)3(.

Donc on aura k

kk

n

k k

n

k

kkdq

UQq

q

UqQW

−=

−==

==

11

. (4)

I.2. CALCUL DE "

kQ

== ====

=

−=

−=−=

n

k

kkk

n

k k

i

i

N

i

ik

n

k k

i

i

N

i

iii

N

i

i qQqq

rrmq

q

rrmramW

1

"

1 1111

" ...

.

Comme qk est indépendantes donc k

i

i

N

i

ik

q

rrmQ

−=

=

1

" (5)

(5) est la définition générale de "kQ même si les qk sont liées.

19

I.3. CALCUL DE "kQ EN FONCTION DE T (ÉNERGIE CINÉTIQUE)

===

=

=

=

N

i

i

k

ii

N

i k

i

ii

k

N

i

iidt

rd

qrm

q

rrm

q

TrmT

111

2

2

1

=

=

=

=

N

i k

i

ii

k

i

kk

i

k

i

q

r

dt

drm

q

T

dt

rd

qq

r

dt

d

q

rOr

1

Rappels

Pour tout fonction ( )tqq kk ,....,, = :

=

dt

d

qqdt

d

kk

=

= dm

tdm

tetdm

dt

ddm

dt

d....

k

i

k

i

q

r

q

r

=

règle de simplification par le point.

Donc ===

=

=

=

N

i k

i

ii

N

i k

i

ii

k

N

i

iiq

rrm

q

rrm

q

TrmT

111

2

2

1

car règle de simplification par le

point. Puisque par hypothèse k

i

k

i

ki

n

k

i

k

k

i

iq

r

q

rtqrcar

t

rq

q

rr

=

+

=

=

),(1

.

Or

−=

−

+−=

+

=

+

=

===

)6("

"

111

k

kk

k

k

k

N

i k

i

ii

N

i k

i

ii

N

i k

i

ii

k

Qq

T

q

T

dt

d

q

TQ

q

T

q

rrm

q

r

dt

drm

q

rrm

q

T

dt

d

(6)

Donc (5)(6) expression de la force généralisée d’inertie en fonction T.

I.4. LAGRANGIEN

Définition 2 : Considérons un système matériel en mouvement par rapport à un référentiel

galiléen R , sous l’action de forces extérieures et intérieures qui dérivent d’une énergie potentielle

totale U. Le lagrangien du système est la fonction suivante, dépendant des paramètres de position

{qk}, de leurs dérivées par rapport au temps { kq } et éventuellement du temps :

( ) UTtqqLL kk −== ,, .

Remarque : Cette définition n’est valable qu’en mécanique newtonienne et pour des particules

chargées qui ne sont pas en interaction magnétique. En effet, le lagrangien associé au mouvement

d’une particule chargée (charge q), plongée dans un champ électromagnétique (E, B), comporte

un terme supplémentaire : AqvqVTL .+−= . q étant la charge électrique, v la vitesse et (V, A)

le potentiel électromagnétique (cf. Électromagnétisme S3).

20

Exemples

Lagrangien d’un oscillateur harmonique

unidimensionnel. On a :

( ) 22222

1

2

1,

2

1

2

1kxxmxxLkxUxmT −===

, x étant l’allongement du ressort de raideur k.

k m

Fig.1

Lagrangien point matériel en chute libre. On a :

( ) mgzzmzzLmgzUzmT −=== 222

1,

2

1 , z

étant la coordonnée suivant la verticale ascendante.

z

O Fig.2

Lagrangien d’un pendule simple. On a :

( ) cos2

1,cos

2

1 2222 mglmlLmglUmlT +=−== ,

désignant l’angle que fait le pendule avec la verticale descendante.

Fig.3

I.5. ÉQUATION DE LAGRANGE SIMPLE (E.L.S)

P.T.V. 0" =+ WWd (car 0' =W puisque (1) l.p.) ( ) kk

k

kk qqQQ =+ 0"

car liaison holonome. qk indépendants.

( ) ( ) hlcarkQQqqQQ kkkkk

kk .00"" =+=+

Or (4) k

kk

n

k k

n

k

kkdq

UQq

q

UqQW

−=

−==

==

11

. et (6) "kkk

Qq

T

q

T

dt

d−=

−

Donc ( )

000)6()4(" =

−−

=

−

+

−⎯⎯⎯ →=+

kkkkk

et

kkq

UT

q

T

dt

d

q

T

dt

d

q

T

q

UQQ

.

Donc si l’on introduit le lagrangien de (S) : ( ) UTtqqLL kk −== ,, , on dit qu’on parle

de formalisme lagrangien ie nous travaillons, avec ( )tqq kk ,, , dans l’espace de configuration En

dont les {qk} sont les coordonnées généralisées de cette espace. Or ( ) 0, =

=

k

kq

UtqUU

.

( )0:0 =

−

=

−−

kk

k

kk q

L

q

L

dt

dL

q

UT

q

T

dt

d

E.L.S.

E.L.S. se sont les équations de Lagrange simple d’un système lagrangien.

21

Remarques

• Un système S possédant un lagrangien est dit conservatif si 0=

t

L ie système lagrangien à

liaison scléronome système conservatif. L’implication dans l’autre sens n’est pas tjrs valable

car un système conservatif est à hamiltonien H (voir cf. IV) conservé H = cste/t.

• Un système Lagrangien à l. scl., est à énergie mécanique totale conservée : Em = T + U = cste.

I.6. ÉQUIVALENCES

Nous avons montré que : L.F.D. P.T.V. E.L.S., montrons donc les implications dans

l’autre sens. En effet :

P.T.V. ( ) iN

i

iiiid rrFFFWWW

=++=++ =

0.01

"'"' pour j donne rij=0 et

rj0 ( ) ( ) jjjjjjjjjjjjj RFFamFFFFrrFFF

=+==−=++=++ '""'"' 00.

d’où P.F.D.

E.L.S. 000 ")6()4(

=+⎯⎯⎯ →⎯=

+

−

=

−

kk

et

kkkkk

QQq

U

q

T

q

T

dt

d

q

L

q

L

dt

d

( ) ( ) ( ) 0000 """" =+=+=+=+ dkkk

kkkkkkk WWqqQQkqQQQQ d’où

P.T.V. D’où on aura L.F.D. P.T.V. E.L.S.

Remarque

Pour les E.L.S. on ne peut pas avoir l’équivalence avec le P.T.V. que pour un système

lagrangien qui obéit à des conditions citées précédemment mais L.F.D. P.T.V. le système.

II. EXTENSIONS

II.1. Cas d’un système (S) à l.h, l.p, Fd conservatives et non conservatives :

- Pour les forces conservatives on associe U tel que k

cons

kq

UQ

−= et on peut définir le

lagrangien L = T – U.

- Pour les forces non conservatives on associe U tel que ( )consnk

consn

k QQ ,, =

- Tout le traitement sera le même que précédemment sauf que :

( ) 0,"",

=+++=+=

−

consnk

cons

kkkkconsnk

kk

QQQQQpuisqueQq

L

q

L

dt

d

II.2. Cas d’un système (S) à l.h, semi h., parfaites + dissipatives, Fd conservatives et non

conservatives :

- ( ) ',

'" 0 kconsnkkk

kkk QQq

L

q

L

dt

dQQQk +=

−

=++

Avec (4) k

cons

kk

n

k k

n

k

k

cons

kdq

UQq

q

UqQW

−=

−==

==

11

. et (6) "kkk

Qq

T

q

T

dt

d−=

−

d.d.l. = s équations de Lagrange simple.

22

Cas particuliers

Système à liaison parfaite ( )consnk

kk

k Qq

L

q

L

dt

dQsk

,

' 01 =

−

=→=

.

Système à liaison parfaite et force donnée conservative (ie système lagrangien) :

( ) 00,0,

' =

−

==

kk

consnkkq

L

q

L

dt

dQQk

s éqs. E.L.S

Exemple :

Trouver l’équation de mouvement du pendule

simple : une masse m fixé à l’extrémité d’une tige

OM de longueur l et de masse négligeable. En

coordonnées polaires on a :

=

−=

=

=

cos

sin

sin

cos

ly

lx

ly

lx

Que devient cette équation dans le cas de petit angle.

O y

x

g

G

re

e

gm

m

T

Réponse

Le Lagrangien du pendule simple à pour expression :

( ) KmglmlLcstemglUmlEc ++=+−== cos2

1,cos

2

1 2222 . , coordonnée

généralisée, désignant l’angle que fait le pendule avec la verticale descendante.

On montre aisément qu’il s’agit d’un système lagrangien à liaison scléronome donc

conservatif E.L.S./ = équation du mouvement noté

L ( ) 0sin.0 =+=

−

lg

LL

dt

d

Or pour ( ) 0.: =+ lgL

II.3. Système lagrangien utilisant les moments conjugués

• Moments conjugués ou généralisés :

Le moment conjugué pi, associé à la variable qi, est la quantité suivante : i

iq

Lp

= .

Pour un point matériel en chute libre (Fig. 2 page 20), le moment conjugué est zmpz = ;

c’est donc sa quantité de mouvement, d’où le nom de moment linéaire donné parfois à ce

concept.

Pour un pendule simple (Fig. 3 page 20), le moment conjugué est 2mlp = ; c’est donc

son moment cinétique, d’où le nom de moment angulaire donné parfois à ce concept.

• Expression des équations de Lagrange :

Les équations de Lagrange d’un système, soumis uniquement à des forces qui dérivent

d’une énergie potentielle (ie Forces conservatives), sont les n équations différentielles suivantes

M

23

du mouvement d’un système à n paramètres de configuration : i

i

i

i

q

L

dt

dp

q

L

dt

d

dt

dp

=

=

.

Dans cette présentation, nous admettons les équations de Lagrange comme nous avons

admis la Loi Fondamentale de la Dynamique (L.F.D.) sous forme vectorielle.

Exemples:

Lagrangien d’un oscillateur harmonique unidimensionnel (Fig. 1 page 20)

Comme ( ) ( )m

kavecxx

x

Lp

dt

dxmpkxxmxxL xx ==+

==−= 20

2

0

22 0,2

1

2

1,

Lagrangien d’un pendule simple (Fig. 3 page 20)

( ) ( )l

gavec

Lp

dt

dmlpmglmlL ==+

==+= 20

2

0

222 0sin,cos2

1,

III. ÉQUATION DE LAGRANGE AVEC MULTIPLICATEURS (Noté E.L.M.)

Soit un système matériel à liaison parfaite décrit par les coordonnées nkk

q→=1

, liées par

m relation de forme non holonome : 0),().,(1

=+=

tqbqtqa klk

n

k

kkl (voir chapitre I, cf. II.5)

liaisondeindiceml :1→= et m = n - s

24

• kq obéit aux éqs 0

10

0

1 1

'

1

1

'

=

−

→==

=

= =

=

=k

n

k

m

l

kllk

lk

n

k

kl

k

n

k

k

qaQ

mlavecqa

qQ

.

l : multiplicateur de Lagrange (Que l’on introduit dans les équations de liaisons).

• 01 1

'

1 1

'

1 1

' =

−+

−=

−

+= == == =

n

mk

k

m

l

kllk

m

k

k

m

l

kllk

n

k

k

m

l

kllk qaQqaQqaQ

• On choisit donc l tel que màkpouraQm

l

kllk 101

' ==− =

.

Donc il reste 01 1

' =

−

+= =

n

mk

k

m

l

kllk qaQ , Or nkkq →=1 sont liées par m équations de

liaison, donc on peut choisir (n - m) coordonnées qk indépendantes (k = m+1 à n)

nkmpouraQm

l

kllk +=− =

101

' .

• En conclusion : nkavecaQnkpouraQm

l

kllk

m

l

kllk →===− ==

1101

'

1

'

• Interprétation géométrique :

Soit l’espace vectoriel n

Les vecteurs mnengendre

k Eq −⎯⎯⎯ →⎯ (sous espace vectoriel de n) de dimension (n-m), avec

les mengendre

kl Ea ⎯⎯⎯ →⎯ (sous espace vectoriel de n) de dimension (m) avec

mmnk

m

l

kkl EEqqa ⊥= −=

01

, on dit que mmn EetE − sont orthogonaux et forme une

partition de n.

nkavecaQEQEQqQ klm

l

lklmkmnkk

n

k

k →==⊥= =

−

=

1/01

'''

1

'

III.2. E.L.M

Partant de P.T.V. :

( ) 0.0 "'1

"'"' =++++=++ =

kkk

n

k

kkkkd QQQqQQQWWW kq liées.

Partant de L.F.D. :

L.F.D. nkQQQ kkk →==++ 10"' en plus ( ) '

, kconsnk

kk

QQq

L

q

L

dt

d+=

−

à

ce niveau nous allons tenir compte des m liaisons :

Rappelons ( )

===

=

= .0

10

...

0..

'

'

1

'

kk

kk

n

k

kk

QéqsmparliéessontqOr

tsindépendanqsnssinkQ

LVDpour

qQpl

25

En générale : ( )

=

→==+

==

=

=

==

n

l

kkl

klk

n

l

kl

m

l k

l

l

m

l

kllk

LVDpourqa

mlavectqbqa

q

rFaQ

1

1

1

'

1

'

...0

10,

où les m l sont les multiplicateurs de

Lagrange relatives à m liaisons. Il s’ensuit que :

( )

+=

−

=sn

nk

nm

avecaQq

L

q

L

dt

dMLE

m

l

kllconsnk

kk

1:...1

,

Les l permettent de calculer effectivement les forces de liaisons. Ces ‘’n’’ E.L.M. combinées avec ‘’m’’ équations de liaison.

( )

( )

=+

+=

−

=

=

0,

1

1

1,

tqbqa

sn

nk

nm

avecaQq

L

q

L

dt

d

klk

n

l

kl

m

l

kllconsnk

kk

(n + m) équations à (n + m) inconnues qui sont {l, qk}.

Remarque

- En éliminant les l, entre ses équations, on retrouve les ‘’s’’ équations du mouvement i.e. les E.L.S.

Cas particulier

Système Lagrangien =

=

−

=

= m

l

kll

kk

conn

d

consn

k aq

L

q

L

dt

d

dW

Q

1,

,

0

0

.

Exemple E.L.M.

Un système matériel S est constitué par

deux charges ponctuelles M1 et M2 de

masses respectives m1 et m2 reliées par

un fil inextensible sans masses passant

par la gorge d’une poulie fixe P non -

pesante.

En négligeant tout frottement, déterminer l’accélération

de S par application :

1°/ Du principe des travaux virtuels. 2°/ D’une équation de Lagrange simple

3°/ De deux équations de Lagrange avec un multiplicateur correspondant à la relation

entre les positions y1 et x2 de M1 et M2 dans le repère non orthogonal (O, x, y).

4°/ Les équations : E.H et E.C Réponse :

21

2121

sin

mm

mmxy

+

−===

26

IV. HAMILTON ET ÉQUATIONS CANONIQUES

IV.1. ESPACE DES PHASES

Dans la théorie des équations de Lagrange, les variables étaient les n coordonnées

généralisées {qk} du point représentatif du système (S) matériel dans l’espace de configuration

En. Les n équations différentielles du 2ème ordre relatives à ces variables formaient alors les

équations de mouvements.

Dans la théorie d’Hamilton, on s’intéresse plutôt à l’état mécanique du système, lequel

dépend de 2n variables indépendantes : les n coordonnées {qk} de l’espace de configuration En et

les n moments, généralisées, conjuguées,

=

k

kq

Lp

.

On appelle espace des phases l’espace à 2n dimensions dans lequel un point figuratif

représente l’état mécanique du système. Ce nombre de variables coïncide évidement avec le

nombre des conditions initiales qui caractérisent l’état initial du système : généralement n

paramètres de position qk et n paramètres de quantité de mouvement pk.

On parle de formalisme Lagrangien lorsque nous travaillons, avec ( )tqq kk ,, , dans l’e.V de configuration En dont {qk} sont les coordonnées généralisées de cette espace.

On parle de formalisme Hamiltonien lorsque nous travaillons, avec ( )tpq kk ,, , dans l’espace de phase kk pq , ie l’e.V de configuration E2n.

Exemples

Oscillateur harmonique unidimensionnel.

On a : ( ) 22222

1

2

1,

2

1

2

1kxxmxxLkxUxmT −=== , x étant l’allongement du ressort.

Là, xmpetxq == 11 (Fig.1, page 19). Ces variables xmppetq x ==11 sont reliées

par l’équation de la conservation de l’énergie mécanique

12222

2222

=+=+=mm

xx

mE

kx

mE

pcste

kx

m

pE

Dans l’espace des phases, la trajectoire décrite par le point représentatif de l’état

mécanique est donc une ellipse dont les demi-axes ( ) ( ) 2121 /22 kEetmE mm qui dépendent de Em représentent les valeurs maximales xm et pm de l’élongation et de la quantité du mouvement (Fig.

4a). Il est commode de réécrire l’équation précédente en faisant apparaître ces quantités :

1122

2222

=

+

=+

mm

x

mm

x

x

x

p

p

E

kx

mE

pavec ( ) ( ) 2121 /22 kExetmEp mmmm ==

Lagrangien point matériel en chute libre. On a :

( ) mgzzmzzLmgzUzmT −=== 222

1,

2

1 , z étant la coordonnée généralisée.

Là, zmppetzq z === 11 (Fig.2, page 20) sont reliées par l’équation de la

conservation de l’énergie mécanique mghcstemgzm

pE zm ==+=

2

2

si initialement pz=0 et z=h.

27

Ainsi dans l’espace des phases, la courbe décrite par le point représentatif de l’état

mécanique du système est la portion de parabole pour laquelle pz0) correspond à la trajectoire décrite réversiblement, ie en changeant le signe de

paramètre d’évolution : le point matériel remonte l’axe vertical à partir de sa position la plus

basse avec une vitesse initiale non nulle jusqu, à la hauteur h où sa vitesse est nulle (Fig. 4b). px

pm x

xm

Em

E’m>Em

O

(a)

z

pz

h

(b)

Fig. 4

IV.2. HAMILTONIEN

a. Définition 3 : Pour un système matériel en mouvement par rapport à un référentiel galiléen R,

sous l’action de forces extérieurs et intérieures qui dérivent d’une énergie potentiel U(qk, t),

l’hamiltonien est la fonction suivante, dépendant des paramètres de position {qk}, des moments

conjugués {pk}, et éventuellement du temps t : ( )tpqHLqq

LLqpH kk

k

k

kk

kk ,, =−

=−=

[7]

En effet :

( ) ( ) ( )tqqLtqUtqqTL kkkkk ,,,,, =−= et

=

k

kq

Lp

pk est une fonction linéaire, de

premier degré, de ( ) ( )tpqqqtqqppq kkkkkkkkk ,,,, == car il y’a des relations linéaire

entre kq et pk. D’où ( ) ( )( ) ( )tpqHttpqqqLtpqqpH kkk

kkkkkkkk ,,,,,,,, =−= donc H dépend

essentiellement de ( )tpq kk ,, . Cette transformation, très utilisée en thermodynamique, est connue sous le nom de

transformation de Legendre (cf. Thermodynamique). Elle permet de passer du Lagrangien,

fonction associée aux variables ( )tqq kk ,, , à l’hamiltonien, fonction d’état des variables ( )tpq kk ,, . En effet :

• ( ) dtt

Lqdpdqpdt

t

Lqd

q

Ldq

q

LdL

k

kkkk

k

k

k

k

k

++=

+

+

=

et

• dtt

Lqd

q

Ldq

q

LdpqqdpdLqpddH

k

k

k

k

kk

kkkk

k

kk

−

+

−+=−=

• Soit, puisque ( ) dtt

LdqpdpqdH

q

Lpet

q

Lp

k

kkkk

k

k

k

k

−−=

=

=

[8]

28

b. Cas des systèmes naturels :

Un système est dit naturel si l’énergie potentielle et les contraintes qui lui sont imposées

ne dépendent pas explicitement du temps (il s’agit d’un système lagrangien à liaison scléronome

donc conservatif. Il en résulte que les coordonnées d’un point M quelconque du système ne sont

fonctions que des paramètres de configuration {qk} : )( kqrOM

= .

On en déduit l’expression de la vitesse de M : )(1

k

n

k

k

k

i

M qrOMcarqq

rrv

=

==

=

et la forme quadratique suivante de l’énergie cinétique :

ji

ijjiijji

jM i j iM

MMq

OM

q

OMaoùqqaqq

q

OM

q

OMvmT

==

== ..

2

1 2

T ne dépend donc pas explicitement du temps. Comme en outre U(qk, t) = U, il vient :

m

k

kk

i i j

jiijii

j

jij

ii

i EUTLqpHTqqaqpetqaq

T

q

Lp =+=−====

=

=

2.2.2

Ainsi, l’hamiltonien d’un système naturel s’identifie à son énergie.

IV.3. ÉQUATIONS CANONIQUES (E.C.)

Évaluons, de deux façons, la différentielle de la fonction d’hamiltonien. En considérant H

comme une fonction des 2n variables {qk, pk} et de temps t, on a :

dtt

Hdp

p

Hdq

q

HdH

k

k

k

k

k

+

+

=

Si l’on identifie H à l’expression (8) établie précédemment :

( ) dtt

LdqpdpqdH

k

kkkk

−−=

on en déduit : t

L

t

Het

q

Hp

p

Hq

k

k

k

k

−=

−=

= ,

Les 2n premières équations du premier ordre en qk et pk sont appelées les équations

canoniques du mouvement : k

k

k

kq

Hpet

p

Hq

−=

= [9]

Résumé

Dans le formalisme lagrangien on a :

( ) kkk qtqqLL →= ,,

n variables qk et n eqs. de 2ème ordre

0=

−

kk q

L

q

L

dt

d

i

i

i

i

q

L

dt

dp

q

L

dt

d

dt

dp

=

=

E.L.S

Ds le formalisme Hamiltonien on

a : ( ) kkkk pqtpqHH ,,, →=

2n variables qk et pk et 2n eqs de 1er ordre

k

k

k

k

k

kq

Lp

q

Hpet

p

Hq

=

−=

= ,

k

k

k

kq

L

dt

dp

q

L

dt

dp

=

=

E.C

29

Remarque : t

L

t

H

dt

dHdt

t

Hdp

p

Hdq

q

HdH

k

k

k

k

k

−=

=

+

+

=

Exemples

Particule soumise à une force en une dimension.

Soit une particule de masse m se déplaçant en une dimension (disons x) et soumise à une force

x

UF

−= . Nous savons que son lagrangien est ( )

m

pxxm

x

LpxUxmL xx ==

=−=

2

2

1.

On en déduit l’hamiltonien : mxx

x

x

x EUTxUm

pHU

m

pp

m

pLpxH =+=+=+−

=−= )(

22

22

où T est l’énergie cinétique exprimée en fonction des moments. Ici H est, indépendant de temps

et est égal à l’énergie mécanique totale, une constante de temps.

• Ainsi, les Eqs.Canonique donneront x

U

x

Hpet

p

H

m

pxxm

x

Lp x

x

x

x

−=

−=

===

=

.

• Trivialement Fx

Uxm

x

U

mm

px x =

−=

−==

1 qui n’est autre que l’éq. de Newton.

Particule soumise à une force en 3 dimensions.

Calculons les équations canoniques d’une particule de masse m se déplaçant en 3

dimensions sous l’influence d’une force )(rUF −= .

•Nous obtiendrons de son lagrangien ( ) ( )zyxUzyxmL ,,2

1 222 −++= que :

• Son hamiltonien : ( ) mzyx EUTrUpppm

H =+=+++= )(2

1 222

• Ainsi, les E.C. donneront (nous regardons celle en x seulement) x

U

x

Hpet

p

Hx x

x

−=

−=

= .

• Trivialement ( ) xxx FUxm

x

U

mm

px =−=

−==

1 qui n’est autre que l’équation de

Newton. On vérifie trivialement la même chose pour y et z.

TD - Série 2

IV.4. LOIS DE CONSERVATION

a. Conservation de l’énergie : Pour un système matériel naturel, en mouvement par rapport à un référentiel galiléen R,

l’hamiltonien H ne dépend pas explicitement du temps. On en déduit :

csteEHt

L

t

H

dt

dHm ===

−=

= 0

Ainsi, la conservation de l’énergie d’un système naturel est reliée à l’invariance par

rapport au temps de l’hamiltonien (ou du lagrangien ou de l’énergie potentielle).

b. Conservation des moments conjuguées : b.1. Variables ignorables

30

Définition 4 : Lorsque l’une des variables qk n’apparaît pas dans l’hamiltonien H, le

lagrangien L ou l’énergie potentielle, on dit que cette variable est cyclique ou ignorable ou

cachée. D’après les équations de Lagrange E.L.S., le moment pk associé est alors une constante

du mouvement :

→===

→=

==

=

−=

=

=

nhamiltonieFormcsteppq

H

lagFormcsteq

Lp

q

L

dt

d

q

L

q

H

q

Lpet

q

Lp

kk

k

k

k

kk

kk

k

k

k

.00

..00

On peut supprimer les 2 équations relatives à une variable ignorable. Le système de 2n

E.C. se réduit à un système à (2n-2) E.C. (ou (n-1) E.L.S.).

Exemples

Particule soumise à une force en 3 dimensions. (2ème exemple de la page 29)

Dans cette exemple, si l’énergie potentielle U(x, y, z) = U(y, z) ne dépendait pas de la

variable x ; le moment conjugué px, qui s’identifie à la quantité de mouvement de la particule

suivant Ox, est donc une constante : cstepxmx

U

mm

px x

x ===

−==

0

1.

Pendule sphérique (Voir TD)

Un point matériel M de masse m, attaché à une tige OM sans masse de longueur l, se

déplace sans frottement dans, un champs de force dérive d’une énergie potentielle Up, une sphère

(O, l) avec une vitesse angulaire = suivant l’axe Oz.

1. Déterminer H(M). 2. Écrire ces E.C. en coordonnées sphérique.

Exercices Série 4 (voir solution en TD)

b.2. Intégrale première

Définition 5 : Une fonction scalaire ( )tqqff kk ,, = est une intégrale première du mouvement de S (noté I.P.) si, et seulement si, elle est constante pour tout solution qk(t) des

équations de mouvements du S ie ( ) cstetqqff kk == ,, . On vient de montrer que la conservation de l’énergie d’un système naturel est reliée à

l’invariance par rapport au temps de l’hamiltonien (ou du lagrangien ou de l’énergie potentielle)

ie csteHt

L

t

H

dt

dH==

−=

= 0 donc pour un système conservatif, l’hamiltonien est une

cste de mouvement.

Système conservatif H = cste donc csteLqpHk

kk =−= c’est ce qu’on appelle

Intégrale de Jacobi ou encore Intégrale première généralisée.

Remarque : cette propriété s’applique même si ( )tqqUU kk ,, =

Dans le cas où Lqq

TLqpHet

q

T

q

LqUU k

k kk

kk

kk

k −

=−=

=

=

)(

or ( )IVcfIchapvoirTTTTavecTTqq

Tk

k k

.,.2 21021 ++=+=

d’où csteUTTH =+−= 02 c’est ce qu’on appelle Intégrale de Painlevé (I.P.P.).

31

Si en plus les liaisons sont scléronomes (indépendantes de temps)

mk

k k

EUTHUTTHTTTqq

TTT =+=−−==+=

= )(222 222212

c’est ce

qu’on appelle Intégrale première de l’énergie cinétique (notée I.P.Ec.)

Condition d’existence de l’intégrale de Painlevé

L’intégrale de Painlevé existe si :

i. Toutes les liaisons sont parfaites. ii. Les forces qui travaillent dérivent d’un potentiel U(S).

iii. 0)()(

0)(

0)(

;0)(

=

==

=

=

t

SH

dt

SdH

t

SL

t

SU

t

ST

iv. De plus si les liaisons sont scléronomes (indépendantes de temps) cela entraîne que l’intégrale de Painlevé coïncide avec l’intégrale première de l’énergie

cinétique.

Remarques :

i. Un système lagrangien à l.scl. est à énergie mécanique totale conservée Em=T+U=cste.

ii. Un système conservatif est à hamiltonien conservé csteUTTH =+−= 02 .

iii. L’hamiltonien se réduit à l’Em que dans le cas où les liaisons sont scléronomes. Exemples :

i. Un système S à pour lagrangien :

( ) CmgzxmBABAzmxmL −−++++++= 2cossin)(2 22222222 . A, B, C, sont des constantes données. Existe-t-il une intégrale première de Painlevé?

Réponse

( ) 022...'0 210 =−++=

UTTTPPIuned

t

L, d’où

( )...

2cossin)(

02

22222222

PPIcsteUTTH

csteHmgzxmBABAzmxm

→=+−=

==+++++++

ii. Un système S à pour lagrangien L = T – U avec :

)sincos)((2)()/(2 22222 RtVRtVRRMRST ++++= ( ) csteRRtyMgRSU O +++= sin)()/( 1

Existe-t-il une intégrale de Painlevé ? Sinon, existe-t-il une intégrale première ? Donner son

expression. Que peut-on dire de la variable .

Réponse

)'(...

0

00 pasexistenPPI

t

Tt

U

puisquet

L

, or ( ) = ,,LL variable

cyclique ( ) ..sin22 PIcsteRRMcsteTLp →=+=

=

=

32

iii. Reprenons le cas du pendule sphérique, on a montré que le lagrangien s’écrit de la

forme : ( )

( )

+=−−+=

−=+++=

UTcstemglmlH

UTcstemglmlL

cossin2

1

cossin2

1

2222

2222

, car T=T2 l.scl.

T=T2 l.scl. H = Em = cste c’est l’intégrale première de l’Ec. En plus ( ) = ,,LL

variable cyclique ...sin 22 PPIcstemlcsteL

p →==

=

V. PRINCIPE D’HAMILTON OU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION (P.M.A.)

Les n équations de Lagrange auxquelles satisfait un système matériel conservatif à n

d.d.l. peuvent être formulées de façon variationnelle, comme l’est le principe de Fermat en

optique géométrique (cf. Optique). Cette formulation est connue en mécanique sous le nom de

principe d’Hamilton. Son énoncé est le suivant :

V.1. ACTION LAGRANGIEN

Définition 6 : On définit l’action Lagrangienne par ( )dttqqLAt

tii=

2

1

,, .

Définition 7 : entre deux instants t1 et t2, le mouvement d’un système matériel est celui qui

réalise une valeur stationnaire de l’action lagrangienne A : ( )dttqqLAavecAt

tii==

2

1

,,0 .

Le mot stationnaire a la même signification que dans le principe de Fermat. Retenons

que, pour toute partie suffisamment petite de la trajectoire réelle, l’action est minimale. Ainsi, ce

principe est – il généralement connu sous le nom de principe de moindre action (noté P.M.A.)

Définition 8 : P.M.A. : Pour un système Lagrangien, l’action lagrangienne est stationnaire dans

le mouvement réel.

Remarque : L’avantage de cette présentation, qui est équivalente aux précédentes vectorielle ou

Lagrangienne, est précisément d’établir des liens étroits entre les différentes disciplines de la

physique, ici entre la mécanique newtonienne et l’optique géométrique (cf. Optique).

V.2. CALCUL DE LA VARIATION DE A : A

( )dttqqLAt

tii=

2

1

,, or tt

Lq

q

Lq

q

LL

k

k

k

k

k

+

+

=

or D.V. temps fixe t=0.

D’où

+

=

k

k

k

k

k

qq

Lq

q

LL

( )

+

=

+

=

k

t

tk

t

tk

k

k

kk

t

t

t

tk

k

k

k

dtqdt

d

q

Ldtq

q

Ldtq

q

Ldtq

q

LA

2

1

2

1

2

1

2

1

Or ( ) ( ) ( ) ( )

−=

−

=

k

t

tk

kk

t

tk

k

t

tk

k

kk

t

tk

k

dtqq

L

dt

ddtq

q

L

dt

dq

q

Ldtq

dt

d

q

L 2

1

2

1

2

1

2

1

..

Car M1 et M2 sont fixes (par hypothèse) qk(t1)= qk(t2)=0 ( ) ( ) ..021 VDtqtq kk ==

33

D’où ...0...02

1

AMPASLEcarkdtqq

L

dt

d

q

LA

k

t

tk

kk

==

−

=

Réciproquement si ( ) ......;,0 21 SLEAMPqttA k =

P.M.A. : Pour S Lagrangien, l’action lagrangienne est stationnaire dans le mouvement réel. A

est nulle dans le mouvement réel signifie que A est minimum.

Enfin, soulignons que : P.F.DE.L.SP.M.A.

V.3. ACTION HAMILTONIENNE:

( ) ( ) dtHpqqpAdttpqHqpdttqqLAt

tk

kkkk

t

tkk

k

kk

t

tkk

−+=

−==

2

1

2

1

2

1

,,,,

Or ( ) ( ) ( )( ) fixeMcardtqpdtqpdt

dqpdtq

dt

dpdtqp

k

t

tkk

t

tkk

t

tkk

t

tkk

t

tkk −=−==

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

..

Et ..VDcarpp

Hq

q

Ht

t

Hp

p

Hq

q

HH

k

k

k

k

kk

k

k

k

k

+

=

+

+

=

dtpqp

Hqp

q

Hdtp

p

Hqqp

q

HA

t

tk

kk

k

kk

k

t

tk

k

k

kkk

k

..2

1

2

1

−

+

+

−=

−+

−

−=

HCEq

Hpet

p

HqA

k

k

k

k ..,0

−=

== se sont les équations canonique d’Hamilton.

E.C. A = 0 ; P.M.A. dans l’espace des phases.

Enfin, soulignons que : P.F.D.P.T.V. E.L.S. E.C.H.P.M.A.

V.4. APPLICATION

Équation d’Euler

En mathématique, il se pose souvent le problème suivant :

Trouver une courbe (C) d’équation y=y(x), avec y’=dy/dx, reliant deux points fixes A et B, qui

rend extrémale l’intégrale définie par ( )dxxyxyxFIx

x=2

1

)('),(, dans laquelle F est une fonction

de la variable x, de la fonction y(x) et de y’(x) la dérivée de y par rapport à x.

Il est évident que l’intégrale I, après évaluation du membre de droite ne dépend plus de x.

L’intégrale I ne dépend que de la fonction y(x) c-à-d du chemin choisi dans le plan xOy

pour aller du point A(x=x1) au point B(x=x2).

À chaque chemin y1, y2, ….est associée une valeur I1, I2, …de l’intégrale. Cherchons

donc, parmi l’ensemble des courbes y=y(x) qui mène de A à B, celle pour laquelle I est maximale

ou minimale ie I=0 et précisons les conditions que doit vérifier la fonction F pour que I soit

extrémale. On montre qu’une Condition Nécessaire et Suffisante (C.N.S.) pour que I=0 est que

0...0'

==

−

IquepourSNC

y

F

y

F

dx

d cette équation porte le nom d’Équation d’Euler.

Courbe brachistochrone = courbe d’une cycloïde

34

Plus petite distance dans un plan = Géodésique

Lois de Descartes (la lumière prend toujours le chemin le plus court)

Cas particulier système scléronomique

35

Système scléronomique liaisons et énergie potentielle indépendants de temps.

mm ETLUTLetcsteEUTH −=−===+= 2

( ) 0.20.2.2

1

2

1

2

1

===== Mt

t

t

tM

t

tAdtTAposeondtTdtLA

AM Action manperérisienne.

P.M.A. : L’action manperérisienne est stationnaire. AM pour un système lagrangien

scléronomique.

VI. ÉQUATION DE LAGRANGE LINÉARISÉ (E.L.L.)

VI.1. DÉFINITION ET CONDITIONS D’ÉQUILIBRE

Définition : On dit qu’un système (S) décrit par les coordonnées généralisées {qk} est en équilibre/repère (R). si toutes les qk sont des constantes au cours de temps.

- lorsqu’on parle de qk ie on a choisit un repère donc la notation d’équilibre est relative / repère

(R).

En générale dans un repère Galiléen ; l’équilibre est dit absolu.

Dans un repère qlq (en mouvement/repère absolu) on parlera d’équilibre relatif.

- Il existe une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour l’équilibre d’un système :

C.N.S. : le torseur des forces extérieur est nul à toute partie de (S) :

=

==

0

0

exto

extoe

Fn

FF

C.N. : il est nécessaire, pour que (S) soit en équilibre, que :

- les obstacles (auxquels S est en contact) sont fixes.

- les liaisons scléronomes (ie indépendantes de temps).

- les liaisons holonomes (ie liaisons géométriques).

- S décrit par {qk} indépendants.

a- SYSTÈME À LIAISONS PARFAITES

- P.T.V : 0"' =++ WWW ld . Or (S) en équilibre 0" =W et liaison parfaite

(l.p) 0' =lW d’où d’après le P.T.V ( ) kk

kkd qqQFW == 0 .

- (S en équilibre et à l.p) Qk = 0 k C.N.S. pour l’équilibre (1)

- (1)

( )

( )

( )

=

=

=

0,.....,

0,.....,

0,.....,

1

12

11

nn

n

n

qqQ

qqQ

qqQ

système à n équations à n inconnues avec

k

i

i

ikq

rFQ

= .

En générale, nous avons un nombre fini de solutions {qk} qui sont les positions d’équilibre.

36

Dans certain cas, on peut avoir un ensemble infini de solutions : dans ce cas on parle

d’équilibre indifférent.

Exemple :

une seule position d’équilibre

une infinité des positions

d’équilibre

2 positions d’équilibre

- Lorsque les forces données dérivent d'un potentiel U : 0=

−=

kk

q

UQ donc les positions

d’équilibre rendent U stationnaire. 0=

kq

U (2) → qk (C.N.S)

Exemple :

- 1er cas d’une seule coordonnée généralisée x U = U(x).

x1

x2

U(x)

x

On a 2 valeurs de x qui rendent U

stationnaire 2 positions d’équilibres.

- 2ème cas U = cste (qk) 0=

kq

U donc toutes les positions d’équilibre qk sont des

positions d’équilibres. On dit qu’il y a des positions d’équilibre indifférent : .

Ce qu’il faut savoir

2 méthodes pour déterminer les positions d’équilibre eq d’un système S décrit par les {qk} :

1- qk = cste dans les équations du mouvement de S → eq

2- eq solution de l’équation 0=

kq

U, lorsqu’on dispose de l’expression de l’énergie potentiel.

37

b- SYSTÈME AVEC FROTTEMENTS : - (S) soumis à des forces de résistances passives

- si il y’a frottement sur les parois, on aura une plage de position d’équilibre.

- L’effet de frottement est d’élargir la plage des positions d’équilibre.

SS frottement avec frottement

1a position d’équilibre plage de position d’équilibre

- on a 2 type de frottement : solide - solide où fluide – solide.

Exemple : Pendule d’une horloge.

- Pendule soumis à 2 types de frottement :

• L’effet de la résistance de l’air (qui

a pour effet de freiné le mouvement de

pendule) frottement visqueux.

• Frottement solide – solide qui a

pour effet d’élargir les positions d’équilibres

en O.

O

VI.2. CAS DES SYSTEMES CANONIQUES

On suppose que l’origine est une position d’équilibre 0=eq .

VI.2.1. DÉFINITION ET LINÉARISATION DES ÉQUATIONS DE LAGRANGE

Soit (S) un système mécanique à liaison holonomes (l.h), scléronomes (Scl.), parfaites et à forces

conservatives avec le lagrangien indépendant explicitement de temps ( 0=

t

L). Un tel système, est un système

canonique.

- Nous choisissons n coordonnées généralisées qk indépendantes.

- Soit le mouvement de (S) décrit par les qk indépendantes.

- Considérons maintenant l’Ec : ( ) jji

iij qqTqqT ==,

22

1, (c’est une forme quadratique des

vitesses généralisées car l. Scl). ( )qijij = car ij est une fonction de qk d’autre part

jiij = donc ( ) ( ) jji

iij qqqqqT =,2

1, .

38

- On suppose que ( ) 00 =U , i.e. l’origine 0 est position d’équilibre stable i.e. M.L.S., et on va s’intéresser aux petits mouvements (P.M) du système au voisinage de sa position d’équilibre

(V 0 ). Pour cela on choisit tel que :

• Soit >0 / qq , . ( )qU dépend de q et ij aussi. • Développement de Taylor :

- ( ) ( ) ( ) += 0ijij q

- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,

2

.02

1.00 +

+

+= ji

ji jii

i i

qqqq

Uq

q

UUqU

car U stationnaire =0 =0 car 0 position d’équilibre - D’où :

• ( ) ( ) ( )3,

02

1, += j

jiiij qqqqT , on pose ( ) ijij a=0

• ( ) ( ) ( )3,

2

.02

1+

= ji

ji ji

qqqq

UqU , on pose ( ) ij

ji

bqq

U=

0

2

• Soient :

- jji

iij qqaT =,2

1~ énergie cinétique réduite.

- jji

iij qqbU =,2

1~ énergie potentielle réduite.

- On définit le lagrangien réduit par UTL~~~

−= .

- On choisit ijaA = matrice symétrique définit positive et ijbB = matrice symétrique. ( ) ( ) ( )3,~, += qqLqqL

( ) ( ) 00~~

: 3

11

3 =++=+

−

=

−

==

n

jjij

n

jjij

iiiii qbqa

q

L

q

L

dt

d

q

L

q

L

dt

dL

La linéarisation des équations de Lagrange consiste à se limiter à des termes de 1er ordre : (A.P.M) on obtient

donc ==

=+n

jjij

n

jjiji qbqaL

11

0: i fixe et j = 1→n. ( ) ( )ijij bBetaA ==

Approximation des Petits Mouvements (A.P.M) : LLEqBqA ..0 →=+ (1)

VI.2.2. RÉDUCTION À LA FORME CANONIQUE DES E.L.L

VI.2.2.1. RAPPE