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Épiode 5: IsométriesDéplacer sans transformer …
1. Isométries
1.1 Les figures isométriques
On s’intéresse ici à deux figures superposables. L’idée est donc
qu’en décalquant par exemple une des figures, on peut amener le
calque à se superposer à l’autre.On dit alors que ces figures sont
isométriques. ( “iso”: égal , “métrique”: mesure).Illustration: On
a représenté ci-dessous, 2 figures isométriques.
Note: on lit aussi “figures égales”.
Définition: Les éléments constitutifs de deux figures
isométriques (sommets, côtés, …) se correspondent 2 à 2: ils sont
dits homologues.
Propriété: 2 éléments homologues ont les mêmes
caractéristiques.Ainsi une paire de côtés homologues ont même
longueur, une paire d’angles homologues ont même mesure.
Conséquence: 2 figures isométriques ont même périmètre, même
aire.
1.2 Les isométriesIl s’agit d’étudier les transformations du
plan, qui permettent d’obtenir des figures isométriques. Une
transformation du plan qui conserve les longueurs, sera appelée une
isométrie.Note: les transformations du plan sont les fonctions du
plan qui à un point du plan associe un autre point, son image.On
connaît aussi les projections ou les agrandissements-réductions qui
ne conservent pas les longueurs.Nous connaissons déjà les symétries
centrales et les symétries axiales.
On décrit 2 autres isométries de référence (rotations et
translations). Ces 4 isométries permettent en les enchaînant
d’amener le calque à se superposer quand 2 figures sont
isométriques.Autrement dit, toute isométrie peut être décomposée en
une ou plusieurs des 4 isométries décrites dans le para-graphe
suivant.Il est souvent compliqué de déterminer les éléments
caractéristiques d’une isométrie, i.e. son découpage, pas
nécessaire-ment unique avec les isométries de référence.On va se
donner quelques outils fondamentaux, principalement les triangles,
qui vont nous permettre de ne pas tenir compte au besoin de
l’isométrie dans le détail. On utilise juste les éléments
homologues des figures.
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2. Les 4 isométries de référence
Isométrie: Symétrie axiale Symétrie centraleDescription: Le
miroir Le retournement
Définition:
Un point M′ est image du point Mpar la symétrie d'axe Δsi et
seulement si Δ est lamédiatrice du segment [M M′]
Un point M′ est image du point Mpar la symétrie de centre Osi et
seulement si Δ est lamilieu du segment [M M′]
Illustration:
ÉlémentsCaractéristiques
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PropriétésSpécifiques
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…………………………………………………………
Isométrie: Translation RotationDescription: On glisse … On
tourne
Définition:
Un point M′ est image du point Mpar la translation qui
transformeA en B si et seulement siA B M′ M est
unparallélogramme
Un point M′ est image du point Mpar la rotation de centre Oet
d'angle α si et seulement siO M = O M′
et
M OM′⋀ =α (dans le bon sens)
Illustration:
ÉlémentsCaractéristiques
…………………………………………………………
…………………………………………………………
PropriétésSpécifiques
…………………………………………………………
…………………………………………………………
2 Troisième, Isométries
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3. Triangles isométriques
Nous recherchons ici les conditions minimales qui permettent
d’assurer que 2 triangles sont bien isométriques.
Les critères correspondent aux conditions minimales pour
construire un triangle, on parlait alors de triangles
constructibles.On obtient les critères pour reconnaître des
triangles isométriques:
Règle Illustration Commentaires
SSS:3 longueurségales
SSA:• 2 longueurs égales,• angle adjacentde même mesure
Il faut absolument l'angleadjacent aux 2 côtés
SAA:• 1 longueur égale• 2 anglesde même mesure
Dans un trianglequand on connaît 2 angles,on connaît le
3ième
ATTENTION: on peut être tenter d’utiliser 3 angles de même
mesure (AAA). Cela ne suffit pas pour des triangles
isométriques.Par exemple, il suffit de comparer 2 triangles
équilatéraux de côtés de longueurs différentes. Ils ont des angles
égaux à 60º, ils sont semblables mais pas isométriques. C’est une
autre transformation. On reconnaît un agrandissement-réduction.
4. Propriétés de conservation
La propriété fondamentale des isométries, i.e. de garder les
longueurs intactes, est une propriété contraignante. Elle permet de
conserver toutes les autres propriétés des figures
concernées.Théorème:
Toute isométrie (en particulier toue symétrie axiale, toute
symétrie centrale, toute translation et toute rotation)
conserve:
• les longueurs: l’image d’un segment est un segment de même
longueur; en particulier, l’image d’un cercle est un cercle de même
rayon.
• les alignements: les images de points alignés sont alignés, en
particulier l’image d’une droite est une droite;• les milieux:
l’image du milieu d’un segment est le milieu de l’image de ce
segment;• les mesures d’angles: l’image d’un angle est un angle de
même mesure;• le parallélisme: les images de deux droites
parallèles sont parallèles;• l’orthogonalité: les images de deux
droites perpendiculaires sont perpendiculaires;• les aires …
Troisième, Isométries 3
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