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7/24/2019 Plan de experiencias

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Bio2042 Plans d'exprience et pseudorplication 1

Daniel BorcardDpartement de sciences biologiquesUniversit de Montral

Plans d'exprience et pseudorplication

1. Rigueur et logique d'un plan d'exprience

Rfrence: Underwood, A.J., 1997. Experiments in Ecology. Cambridge University Press.

Le but d'une exprience scientifique consiste tester formellement siles donnes sont compatibles avec une hypothse formule a prioriOn procde gnralement par le biais de manipulations destines isoler et faire varier un ou plusieurs facteurs postuls commemcanismes agissant sur un systme donn. Afin d'viter desinterprtations quivoques des rsultats, il est important:

- de btir l'hypothse principale (H0) et l'hypothse contraire (H1) dutest de manire logique et cohrente: l'hypothse contraire H1estissue du modle conceptuelqui est la base de l'exprimentation.

L'hypothse H0 est construite comme l'affirmation oppose l'hypothse H1, et le test formel va tenter de falsifier cettehypothse principale. En effet, la logique veut qu'on ne puisseprouver une hypothse qu' condition de dmontrer qu'elle est vraiedans toutes les situations possibles (ce qui n'est gnralement pasralisable), alors qu'il suffit de raliser une seule possibilitincompatible avec une hypothse pour l'avoir falsifie!

- de concevoir et raliser un plan d'exprience qui reflte cette

cohrence et qui permette effectivement de rpondre la questionpose;

- de rduire si possible toute source de variation autre que celle(s)due(s) au(x) facteur(s) sous investigation, afin de rendre l'exprienceplus sensible au(x) facteur(s) sous tude; on travaille donc souventdans un systme simplifi.


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Exemple: dans les Alpes (et ailleurs dans le monde), on observe queles arbres ne croissent pas au-dessus d'une certaine altitude. Plusieursexplications ont t avances: stress physiologique, comptition pard'autres plantes, broutage par les onguls, etc.

Si l'on s'arrte cette dernire explication (broutage), notre modleprdit que l'exclusion des onguls permettra la croissance des arbres.On peut donc imaginer une exprience o on place quelques parcellesde pelouse alpine sous enclos. On ajoute aussi un contrleconsistanten des enclos ouverts, afin de permettre aux onguls d'y accder touten provoquant la mme perturbation du paysage (pour exclure qued'ventuelles diffrences soient dues l'effet des enclos eux-mmes).L'hypothse H

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du test, issue du modle conceptuel, affirme que lesarbres vont pousser dans les enclos ferms, mais non dans les enclosouverts. L'hypothse H0, par consquent, affirme que les arbres nepousseront pas davantage dans les zones encloses que dans les zonesouvertes.

Ainsi construits, les hypothses et le dispositif exprimental nepermettront qu'une parmi deux issues possibles: soit les arbrespoussent dans les enclos, ce qui conduit au rejet de l'hypothse H0(quia t "falsifie"), soit les arbres n'y poussent pas, ce qui mne au rejet

(falsification) de l'hypothse H1. Remarquons que dans le premier cas(rejet de H0) l'exprience a permis de valider la thorie du broutage,alors que dans le deuxime cas (non-rejet de H0) on ne peut pasencore proposer d'explication l'absence d'arbres, puisque plusieursmcanismes autres que le broutage restent explorer.

Notons aussi qu'une telle dmarche n'est valide que pour autant quel'hypothse H1 (telle que teste dans le cadre du dispositifexprimental) soit une consquence exclusivedu modle tudi (ici:

le broutage), et ne puisse tre en mme temps la consquence d'unautre modle.

Ajoutons finalement que si cette exprience a t conduite sans avoireu recours une simplification outrancire du systme tudi, onassure une bonne gnralit aux rsultats.


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2. L'unit d'exprimentation

Dans l'exemple ci-dessus, il tait question d'enclos rpartir dans leterrain. Imaginons trois situations:

Situation 1: le dispositif exprimental consiste en deux grands

enclos, l'un ouvert et l'autre ferm. 15 quadrats sont rpartisalatoirement dans chacun des enclos, et les relevs de vgtationy sont pris.

Situation 2: le dispositif exprimental consiste en 30 enclosrpartis alatoirement dans la rgion tudie. La distribution de lacaractristique "enclos ouvert" ou "enclos ferm" est alatoire(avec toutefois un nombre prtabli d'enclos ouverts et ferms: 15de chaque). Dans chaque enclos, on dfinit 1 quadrat dans lequel

les relevs de vgtation sont pris.Situation 3: le dispositif exprimental consiste en 10 enclosrpartis alatoirement dans la rgion tudie. La distribution de lacaractristique "enclos ouvert" ou "enclos ferm" est alatoire (5de chaque). Dans chaque enclos, on choisit alatoirement 3quadrats dans lesquels les relevs de vgtation sont pris.

Quelle est l'unit d'exprimentation dans chacune des trois situations?

La rponse peut surprendre: dans les trois cas, l'unitd'exprimentation est ________, car c'est lui que le traitement estappliqu. Les _______ sont des lments d'observation. Les troissituations ci-dessus varient selon le degr de rptition (on utilisesouvent l'anglicisme "rplication") des traitements ou des mesureslmentaires:

- situation 1: pas de rptition des traitements, mais rptition desmesures;

- situation 2: rptition des traitements, pas de rptition des mesures;- situation 3: rptition des traitements, et rptition des mesures pourchaque rptition de traitement.

La distinction entre unit d'exprimentation et lmentd'observation est essentielle dans la construction d'un pland'exprience. Voir l'article de Hurlbert (1984) sur la pseudorplication(discut plus bas; extrait disponible sur la page web du cours).


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Plan 1

Plan 2

Plan 3

Quadrat

Enclos ouvert

Enclos ferm


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3. Conception d'un plan d'exprience

Rfrence: Scherrer, B., 2007.Biostatistique. Gatan Morin. Chapitre 2

3.1 Deux mthodes opposes

Historiquement, deux approches principales ont t proposs pourdceler des relations de causalit:

- mthode des constances: observation des points communs entrediverses situations produisant le mme effet. Exemple: une personnecherche la cause de son brit. Le premier soir elle boit du scotch etde l'eau, le deuxime soir du cognac et de l'eau, le troisime soir de lavodka et de l'eau. L'eau tant l'lment commun aux trois situations,

la personne en dduit que l'eau est responsable de son brit! Donc:la mthode des constances est viter, car difficilement applicable etpeu fiable...

- mthode des diffrences: au contraire de la prcdente, cetteapproche consiste observer les diffrences apparaissant dans unphnomne Y(exemple: le broutage expos plus haut) dans une sriede situations o l'on permet (traitement) ou non (contrle)l'intervention d'un ou plusieurs facteurs Xiposs par hypothse. Cette

mthode est universellement accepte, mais ne fonctionne que si lavariance due aux traitements surpasse la variabilit intrinsque desdiffrentes units exprimentales. De plus, bien que a ne soit passtrictement indispensable (voir Hurlbert, 1984), on cherche en gnral rendre les units exprimentales aussi semblables que possible ou minimiser les effets des diffrences non dues aux facteurs tudis.

3.2 Groupes comparables et facteurs de confusion

Afin de mieux distinguer les effets des facteurs tudis de ceuxd'autres sources (facteurs de confusion), on peut procder de deuxmanires: (1) liminer des facteurs de confusion ou les rendreconstants, ou (2) attribuer les units exprimentales aux divers niveauxdes facteurs tudis en tenant compte de leurs caractristiques proprespouvant agir comme facteurs de confusion. Ces lments sont aussirepris la section "Allocation des traitements et pseudorlication").


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3.2.1 liminer ou rendre constants des facteurs de confusionpotentiels

- liminerdes facteurs (lorsque c'est possible; exemple: expriencesen aquarium: l'eau est filtre pour en liminer le chlore; elle est

garde une temprature identique dans tous les bassins; etc...); lalimite de cette approche est due au fait qu'une simplification troppousse d'un systme limite la porte des rsultats;

- s'assurer que leur niveau est constant d'une unit l'autre(exemple: dans une exprience portant sur des poissons enaquariums, masquage des vitres des aquariums pour empcher toutcontact visuel avec l'extrieur); ici encore, un contrle excessif peutrendre le systme trs artificiel.

3.2.2 Allocation optimale des traitementsD'une manire gnrale, cette approche consiste distribuertraitements et contrles sur l'ensemble du dispositif exprimental demanire optimiser la sensibilit des analyses tout en minimisant lerisque d'intrusion de facteurs de confusion.

- une mthode courante pour atteindre ce but est l'allocationalatoire des traitements (on entend souvent l'anglicisme"randomisation"). Cette mthode consiste distribuer alatoirement

les units exprimentales dans les divers groupes correspondant chacune des situations (combinaisons de niveaux des facteurstudis). Les effets de la multitude de facteurs externes qui peuventagir sur le phnomne tudi se trouvent ainsi rpartis de manirehomogne sur l'ensemble des groupes constitus; p.ex., si on tudieles effets de trois dites sur des poissons, on ne regroupera pas tousles aquariums de la dite 1 du mme ct de la salle, et ceux desautres dites dans deux autres endroits, on attribuera pluttalatoirement les aquariums aux dites;

- toute recherche de constance pour les variables propres (celles quicaractrisent l'lment proprement dit) aboutit la restriction de laporte des rsultats: on change la population statistique; parexemple, les rsultats d'une tude de trois dites sur l'omble defontaine ralise avec des individus mles d'ge gal ne pourront treappliqus que sur les ombles mles du mme ge. Pour viter de


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telles restrictions, tout en contrlant les sources de variabilit quesont le sexe et l'ge, on cre des blocs(groupes d'units) contenantdes units de mmes caractristiques (p.ex. 1 bloc de juvnilesmles, 1 bloc de juvniles femelles, 1 bloc de mles de 1-2 ans, etc.),on slectionne alatoirement des individus dans chaque bloc, et on

s'arrange pour que tous les niveaux des traitements soientreprsents dans chaque bloc (on s'assure que les trois dites sontreprsentes dans le bloc des mles juvniles, des femelles juvniles,etc.). Lors de l'analyse statistique, le facteur "bloc" doit tre pris enconsidration (comme facteur alatoire en ANOVA);

- la dernire faon d'amliorer l'quivalence des situations estl'appariement("matching"), qui consiste rpartir dans les diversgroupes des lments qui ont au moins un point commun entre eux.

Ex.: les divers membres d'une mme famille seront rpartis chacundans un groupe; l'extrme, le mme individu peut appartenir deux groupes, s'il est observ avant, puis aprs un traitement. Ondoit tenir compte de l'appariement dans les analyses statistiques.

Remarquons enfin qu'il est illusoire d'imaginer que les diverses unitsd'exprimentation peuvent tre rendues parfaitement identiques, et ce,mme en laboratoire. Cette croyance serait d'autant plus dangereuse sielle menait l'ide qu'on peut se passer de rpter les traitements.

L'homognisation des situations permet de rduire les variationsalatoires des donnes, et donc d'amliorer la sensibilit del'exprience, mais n'en affecte pas la validit gnrale.

4. Allocation des traitements et pseudorplication

Rfrence: Hurlbert, S. H. 1984. Pseudoreplication and the design of ecological field

experiments. Ecological Monographs54: 187-211.

Parmi les tapes dterminantes pour la qualit d'une exprimentationfigurent la dfinition de l'unit d'exprimentation, la manire dont lestraitements sont allous ces units, et la conduite proprement dite del'exprience.


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Une mauvaise dfinition de l'unit d'exprimentation peut conduire des interprtations statistiques errones (par exemple pseudo-rplication).

Une mauvaise allocation des traitements risque d'aboutir au test d'une

hypothse autre que celle prvue.Une mauvaise conduite de l'exprience peut introduire des biaissystmatiques dans les rsultats.

Les paragraphes ci-dessous reprennent quelques points importants del'article de Hurlbert.

1. Description des objectifs d'une exprience: devrait comprendre lanature de l'unit exprimentale, le nombre et le type de traitements (ycompris les contrles), et les proprits ou rponses des unitsexprimentales qui seront mesures.

Ex.: dans la situation 3 de l'exprience d'exclusion voque plushaut, l'unit exprimentale est un enclos carr de 10x10m, le typede traitement est "enclos ouvert" (contrle) et "enclos ferm" (il ya donc deux traitements), la variable rponse mesure dans chaqueunit est la moyenne sur 3 quadrats du nombre de jeunes arbrespar quadrat aprs (par exemple!) 5 ans d'exprience.

2. Mode d'assignation des traitements aux units exprimentales,nombre de rptitions ( = units exprimentales recevant le mmetraitement), et arrangement physique (spatial et temporel) desunits. Parfois aussi squence temporelle d'application destraitements.

Ex.: dans le cas 3 repris ci-dessus, on a slectionn alatoirementles enclos qui seront ouverts et ceux qui seront ferms, il y a 5

units par traitement, et les enclos ont t distribus alatoirementdans les 5 hectares de la pelouse alpine tudie.

C'est ici que menace le spectre de la pseudorplication. On peutessayer de rsumer le problme ainsi:


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- lorsque les traitements ne sont pas rpts sur plusieurs unitsd'exprimentation (et non seulement sur plusieurs lments l'intrieur d'une seule unit!); ou

- si les units d'exprimentation ne sont pas statistiquement

indpendantes(autocorrlation spatiale ou temporelle);- et qu'on applique nanmoins des statistiques infrentiellessur lesunits non-indpendantes ou sur les lments d'une seule unit commesi ces objets taient eux-mmes des units indpendantes, il y apseudorplication.

La pseudorplication rsulte donc d'une confusion des sources devariationdu plan exprimental.

Les deux manires fondamentales d'viter la confusion des sourcesde variation dans une exprience sont l'usage de contrles etl'allocation judicieuse des traitements.

L'avantage d'une exprience par manipulationssur une expriencepar mesures (mensurative experiment) est la possibilit d'alloueralatoirement ou disperser les traitementssur les rptitions selonles besoins. Par contraste, lorsque le plan requiert l'examen d'objetsnaturels dont la caractristique d'intrt (qui forme le "traitement" del'exprience par mesures) ne peut tre choisie par l'usager (exemple:une espce d'arbre par rapport une autre dans une fort), on doitchoisir les objets en fonction d'une caractristique prexistante (on nepeut pas faire une carte de tous les arbres et dcider ensuite quelleespce les attribuer!). Le choix ne peut donc pas tre alatoire.

Le tableau 1 de Hurlbert donne un aperu des sources possibles deconfusion et des mthodes appliquer pour les viter ou en minimiserles effets. En rsum:

- les contrlesservent viter la confusionentre facteurs observs etchangements temporels dans le systme, ou encore effets propres dudispositif exprimental (ex.: l'effet "enclos");

- l'allocation optimale des traitements aux units exprimentalesprmunit des biais et fluctuations alatoires dus l'exprimentateur, dela variabilit intrinsque au systme observ, et de l'occurrence


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d'vnements stochastiques durant une exprience ("nondemonicintrusion").

Par "allocation optimale", on doit comprendre en gnral uneallocation qui disperse les traitements sur toutes les units

disponibles sans gard leurs proprits intrinsques(afin d'viterd'introduire une corrlation entre niveau de traitement etcaractristiques propres du systme). Par exemple, en agronomie,diviser un champ en deux, mme aprs avoir plac les unitsexprimentales au hasard dans le champ, pour ensuite attribuer tous lescontrles une moiti du champ et tous les autres traitements l'autren'est pas optimal, car cette mthode se base sur une caractristiquepropre du champ sans lien avec l'exprience (p. ex. l'est et l'ouest duchamp) et introduit une confusion entre l'effet des traitements et l'effet

d'une possible diffrence prexistante entre les deux moitis duchamp.

Les moyens de parvenir une allocation optimale font encore l'objetde dbats entre:

- les tenants de l'alatoire "pur et dur", pour lesquels une allocationalatoire des traitements aux units est la seule manire valided'obtenir le seuil dsir d'erreur de type I;

- ceux qui estiment qu'une allocation strictement alatoire peut parfoisaboutir une agrgation des traitements nuisible (surtout lorsque lenombre de rptitions est faible).

L'argument des premiers est que sur une "population d'expriences"suffisamment nombreuse, l'allocation strictement alatoire destraitements est la seule technique qui garantit la probabilitasymptotiqued'erreur de type I dsire (p. ex. 0.05). L'argument desseconds est que le but vis par l'exprimentateur est d'obtenir le seuilvis (ou ventuellement un risque infrieur, mais pas suprieur) pourl'exprience qu'il ralise, parce qu'il sait qu'il ne la ralisera qu'unefois!

Le concept de dispersiondes traitements est donc plus important quecelui d'allocation alatoire, qui n'est qu'un moyen d'obtenir cettedispersion. La figure 1 de Hurlbert donne quelques exemples de plansacceptables ou non.


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5. Quelques plans d'exprience courants

Les trois plans considrs comme acceptables par Hurlbert sont lessuivants:

5.1. Randomisation totale (completely randomized design)Ce plan prvoit une allocation totalement alatoire des traitements auxunits exprimentales. Comme dit plus haut, bien que thoriquementexcellent, il implique le risque d'obtenir des distributions de traitementsplus agrges qu'il n'est souhaitable, surtout lorsque le nombred'units et de rptitions est faible (ce qui est frquent en cologie).

5.2. Randomisation par blocs (randomized block design)Avant l'allocation des traitements, l'ensemble des units d'exprienceest divis en blocs selon le critre intrinsque qui risque le plusd'introduire de la confusion dans les rsultats (trs souvent l'espace).Une fois les blocs dfinis, on alloue alatoirement les traitements l'intrieurde chaque bloc. On s'assure ainsi que tous les niveaux detraitement sont reprsents sur l'ensemble de l'espace occup par lesunits exprimentales, tout en permettant une allocation alatoire une

chelle plus fine. Ce plan est trs commun en cologie, o il offresouvent le meilleur compromis entre les risques d'une randomisationcomplte (avec peu d'units) et ceux d'une allocation strictementrgulire. Les blocs constituent un facteur alatoire dans une anova.

5.3. Plan d'allocation systmatique (systematic design)Les niveaux de traitement sont distribus en alternance rgulire auxunits. Ce plan fournit une excellente distribution des traitements et estcommode appliquer, mais fait courir le risque que la priodicit del'attribution des traitements concide avec celle d'une propritintrinsque du terrain exprimental (dans la pratique, le risque esttoutefois assez faible).


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Les autres plans montrs par Hurlbert (sgrgation simple et agrge)font courir un grand risque d'erreur de type I parce que des diffrencesinhrentes aux sites (et non dues aux traitements) existent avantl'exprimentation ou apparaissent pendant la dure de l'exprience. Lasgrgation par isolation (p. ex. dans des chambres atmosphre

contrle) prsente tous les dangers de la sgrgation simple, mais defaon plus aigu.

A-1

A-2

A-3

B-1

B-2

B-3

B-4

B-5

Reprsentation schmatique de 3 plans d'exprience acceptables au niveau de la dispersiondes traitements (A) et de plusieurs faons de faire violant le principe de dispersion (B). Lesbotes reprsentent les units d'exprimentation, les couleurs (noir, blanc) deux traitements.A-1: allocation compltement alatoire; A-2: blocs randomiss; A-3: systmatique; B-1:sgrgation simple; B-2: sgrgation agrge; B-3: sgrgation isolative; B-4: allocationalatoire mais avec rptitions non-indpendantes; B-5: pas de rptition. D'aprs Hurlbert(1984).


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Certains plans ont t proposs pour contrer certaines propritsconnues mais indsirables du terrain d'exprimentation. Sokal & Rohlf(1981, 1995) et Scherrer (2007 p. 81) citent un exemple de carrlatin, un plan dans lequel on distribue les traitements de manire n'avoir qu'une seule rptition de chaque niveau par ligne ou colonne.

Le but est de distribuer les traitements de manire gale sur deuxgradients orthogonaux connus d'avance dans le terrain.

Exemple de carr latin. 4 traitements, comportant chacun 4rplications, sont arrrangs de manire contrler deux gradients, unsur chaque axe du carr (p.ex. un gradient d'humidit de gauche droite et un gradient de contenu en azote de haut en bas). Modifd'aprs Sokal & Rohlf (1991, p.394).


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6. Plans d'analyse de variance

Rfrences: Scherrer (1984) paragraphes 13.4, 19.1, 19.2; Scherrer (2007) chap. 14; Sokal

& Rohlf (1981, 1995) chap. 8-13; Zar, J. H. (1999): Biostatistical analysis. Prentice Hall,

chap. 10, 12, 14, 15, 16. Underwood, A. J. (1997) Experiments in ecology. Their logical

design and interpretation using analysis of variance. Cambridge University Press.

Le cadre formel de l'analyse de variance est la fois suffisammentlarge, polyvalent et rigoureux pour aider concevoir et raliser desexpriences simples ou complexes, et en analyser les rsultats enaccord avec les rgles nonces ci-dessus. Quelques plans d'analyseimportants seront abords ici, mais leur discussion mathmatiquedpasse le cadre de cette introduction.

6.1. Facteurs alatoires et contrls

Avant de passer en revue quelques plans d'anova, une dfinitions'impose, difficile trouver sous une forme claire dans la littrature. Enexprimentation, il faut faire la distinction entre un facteur contrl(fixed factor) et un facteur alatoire (random factor).Un facteur contrl est un facteur pour lequel tous les niveauxintressants dans le cadre de l'exprience y ont t inclus (ex.: 4 types

d'engrais, 3 doses de mdicament). Autre exemple: je pose unehypothse selon laquelle: "H1: la richesse spcifique de la communautanimale que j'tudie est diffrente au moins dans une saison parrapport aux trois autres". Je vais donc faire mes prlvements pourrpondre spcifiquement cette question, ce qui m'oblige chantillonner au printemps, en t, en automne et en hiver. Le facteur"saison" est contrl: j'y inclus tous les niveaux qui m'intressent.

Un facteur alatoire est un facteur dont les niveaux inclus

l'exprience sont un sous-ensemble alatoire d'une population plusvaste de niveaux possibles. Par exemple, si je connais assez mall'cologie de la communaut animale que j'tudie, je pourrais noncerune hypothse trs gnrale, disant: "H1: la richesse spcifique de lacommunaut varie en fonction du temps". Pour tester cette hypothse(ou plutt l'hypothse nulle correspondante!), je peux dcider de fairedes prlvements divers moments de l'anne ou de la saison


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considre, puis de faire une ANOVA avec le temps pour critre declassification (niveaux: temps 1, temps 2, etc.). Ici, le moment prciso j'ai fait mes prlvements importe peu, ce qui conpte, c'est d'avoirun chantillonnage qui me permettre de vrifier si la richesse spcifiquevarie avec le temps. Le temps est donc un facteur alatoire: j'ai choisi

quelques priodes pour chantillonner, mais j'aurais pu en choisird'autres.

Cette distinction est importante car elle affecte la manire dont lesanalyses de variance plus d'un critre de classification sont conueset calcules. Lorsqu'un facteur est contrl (anova de modle I), onconsidre que d'ventuelles diffrences entre les moyennes desgroupes (un groupe est l'ensemble des rptitions du mme traitement)sont dues au traitement appliqu par l'exprimentateur. Le but de

l'anova est d'estimer la vraie diffrence entre les moyennes desgroupes. Lorsque le facteur est alatoire, l'effet n'est pas le mmed'une unit l'autre. Il est donc futile de vouloir en estimer lamagnitude pour un groupe donn, mais on peut en estimer l'effet quise manifeste par l'ajout de variance entre les groupes.

Les plans d'analyse de variance suivantssont abords dans d'autresdocuments de ce cours ou au cours Bio2041:

6.2. Une seule variable explicative (critre de classification)

6.2.1.Anova un critre de classification (one-way anova)6.2.2.Anova hirarchique (nested anova)

6.3. Deux critres de classification

6.3.1 Anova deux critres de classification croiss sans rptitions(two-way anova without replication)

6.3.2. Anova factorielle deux critres de classification avecrptitions, modes I, II et mixte.


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6.4.Autres plans

Le plan d'anova factorielle deux critres de classification peut tretendu plus de deux facteurs. Par exemple, pour 3 facteurs contrlsavec rplication de toutes les combinaisons, la structure de variance

est:

Yijkl = + i+ j+ k+ ( )ij + (a )ik+ ( )jk+ ( )ijk+ ijkl

o i, iet isont les effets contrls des trois traitements; ()ij..etc.sont les interactions de premier ordreau niveau des sous-groupesreprsents par les combinaisons du i-ime groupe du facteurA,j-imegroupe du facteur B, et k-ime groupe du facteur C; ( )ijk estl'interaction du second ordredans le sous-groupe reprsentant le i-ime, j-ime et k-ime groupe des facteurs A, B et C, et ijkl est leterme d'erreur du l-ime lment du sous-groupe ijk.Il est impossible d'tre complet dans un expos si rsum. Pourconclure, mentionnons encore trois plans utiles (et parfois complexes):

- anova avec mesures rptes (plusieurs mesures sur les mmessujets; voir Zar (1999: p.255);

- anova traitant plusieurs variables dpendantes simultanment:

analyse de variance multivariable (multivariate anova) ou MANOVA;- ancova, analysant simultanment l'effet d'un ou de plusieurs critresde classification et d'une variable indpendante quantitative sur lavariable dpendante.

Des lments cruciaux de l'analyse de variance n'ont pas t voqusdans ce document. Le premier d'entre eux est l'allocation des degrsde libert aux diffrentes composantes de la variance. Les ouvrages destatistiques cits (Sokal & Rohlf, Zar, Scherrer) traitent de ce point dela manire classique, en montrant une slection de plans et en lesdveloppant avec toutes leurs caractristiques, alors qu'Underwood(1997) propose une mthode permettant de crer ses plans d'analysede variance et d'en calculer toutes les composantes.

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