POIRET Aurélien MPSITD no 15 F

Structures algébriques usuelles1 Loi de composition interne

Exercice No 1 : On définit une loi de composition interne ? sur R par

∀a, b ∈ R, a ? b = ln(ea + eb).

Quelles en sont les propriétés ?

Exercice No 2 : Soit E = [0, 1]. On définit une loi ? sur E par

∀x, y ∈ E, x ? y = x+ y − xy.

1. Montrer que ? est une loi de composition interne commutative et associative.2. Montrer que ? possède un neutre.3. Quels sont les éléments inversibles ?

Exercice No 3 : Soit ? une loi de composition interne sur E.Pour A,B ∈ P(E) on pose

A ⊥ B = {a ? b / a ∈ A, b ∈ B} .

1. Étudier les propriétés de ? sur E (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conser-vées par ⊥ sur P(E).

2. Étudier les propriétés de ⊥ sur P(E) (commutativité, associativité, existence d’un neutre)conservées par ? sur E.

3. La loi ⊥ est-elle distributive par rapport l’union ? par rapport à l’intersection ?

Exercice No 4 : Soit E un ensemble munit d’une loi ? de composition interne associative et possédantun élément neutre et fixons a ∈ E.Montrer que a est inversible si, et seulement si, l’application f : E → E définie par f(x) = a ? x estbijective.

Exercice No 5 : Soit E et F deux ensembles et ϕ : E → F une application bijective.On suppose E muni d’une loi de composition interne ? et on définit une loi > sur F par :

∀x, y ∈ F, x> y = ϕ(ϕ−1(x) ? ϕ−1(y)).

1. Montrer que si ? est commutative (respectivement associative) alors > l’est aussi.Étudier la réciproque.

2. Montrer que si ? possède un neutre e alors > possède aussi un neutre à préciser.Étudier la réciproque.

Exercice No 6 : Soit ? une loi de composition interne associative sur E.On suppose qu’il existe a ∈ E tel que l’application f : E → E définie par f(x) = a ? x ? a soitsurjective et on note b un antécédent de a par f .

1. Montrer que e = a ? b (respectivement e′ = b ? a) est élément neutre à gauche (respectivementà droite) puis que e = e′.

1

2. Montrer que a est inversible et f bijective.

Exercice No 7 : Soit > la loi de composition interne définie sur [−1, 1] par

x>y = x√1− y2 + y

√1− x2.

Étudier les propriétés de la loi >.Indication : On pourra montrer que 1 admet plusieurs inverses.

2 Groupe

Exercice No 8 : Soit (G, ? ) un groupe tel que

∀x ∈ G, x2 = e.

Montrer que G est commutatif.

Exercice No 9 : Soient G = R? × R et ? la loi de composition interne définie sur G par

(x, y) ? (x′, y′) = (xx′, xy′ + y).

1. Montrer que (G, ? ) est un groupe non commutatif.

2. Montrer que R+? × R est un sous-groupe de (G, ? ).

Exercice No 10 : Addition des vitesses en théorie de la relativitéSoient c > 0 et I = ]−c, c[.

1. Montrer∀(x, y) ∈ I2, x ? y =

x+ y

1 + xyc2∈ I.

2. Montrer que la loi ? munit I d’une structure de groupe abélien.

Cette loi ? correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité.

Exercice No 11 : Soit > la loi de composition interne définie sur R par

x>y = x√1 + y2 + y

√1 + x2.

Montrer que (R,>) est un groupe abélien.

3 Sous-groupe

Exercice No 12 : Soient ω ∈ C et H = {a+ ωb / a, b ∈ Z}. Montrer que H est un sous-groupe de(C,+).

Exercice No 13 : Soient a ∈ C? et H = {an / n ∈ Z}. Montrer que H est un sous-groupe de (C?,×).

Exercice No 14 : Soit a un élément d’un ensemble E. On forme H = {f ∈ SE / f(a) = a}. Montrerque H est un sous-groupe de (SE , ◦).

Exercice No 15 : Soient (G,×) un groupe, H un sous-groupe de (G,×) et a ∈ G.

1. Montrer que aHa−1 ={axa−1 / x ∈ H

}est un sous-groupe de (G,×).

2

2. A quelle condition simple aH = {ax / x ∈ H} est un sous-groupe de (G,×) ?

Exercice No 16 : On appelle centre d’un groupe (G, ? ), la partie C de G définie par

Z(G) = {x ∈ G / ∀y ∈ G, x ? y = y ? x} .

Montrer que Z(G) est un sous-groupe de (G, ? ).

Exercice No 17 : Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe (G, ?).

1. Montrer que H ∩ K est un sous-groupe de G. Ce résultat subsiste-t-il pour une intersectionquelconque de sous-groupes ?

2. Montrer que H ∪K est un sous-groupe de (G, ?) si, et seulement si, H ⊂ K ou K ⊂ H.

Exercice No 18 : Soit (G, ? ) un groupe et A une partie finie non vide de G stable pour ? .

1. Soit x ∈ A et ϕ : N→ G l’application définie par ϕ(n) = xn. Montrer que ϕ n’est pas injective.

2. En déduire que x−1 ∈ A puis que A est un sous-groupe de (G, ? ).

Exercice No 19 :

1. Montrer que l’ensemble des similitudes directes du plan complexe est un groupe pour la com-position.

2. Que dire de l’ensemble des translations ? De l’ensemble des homothéties ? Et de l’ensemble desrotations ?

3. Soit A un point quelconque du plan complexe. Reprendre la question précédente avec l’ensembledes homothéties fixant A et l’ensemble des rotations fixant A.

Exercice No 20 : Montrer que H est un sous-groupe fini de (C?,×) si, et seulement si, il existen ∈ N? tel que H = Un.

4 Anneau et sous-anneau

Exercice No 21 : On définit sur Z2 deux lois de compositions internes notées + et ? par :(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) et (a, b) ? (c, d) = (ac, ad+ bc).

1. Montrer que (Z2,+, ? ) est un anneau commutatif.

2. Montrer que A = {(a, 0) / a ∈ Z} est un sous-anneau de (Z2,+, ? ).

Exercice No 22 : Soit x et y deux éléments d’un anneau (A,+,×).1. Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent.

2. Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x+ y est nilpotent.

3. Montrer que si xy est nilpotent, alors yx l’est aussi.

4. Montrer que si x est nilpotent alors 1− x est inversible. Préciser (1− x)−1.

Exercice No 23 : Soit d ∈ N, on note

Z[√

d]={a+ b

√d / (a, b) ∈ Z2

}.

Montrer que Z[√

d]est un sous-anneau de (R,+,×).

3

Exercice No 24 : On noteD =

{ n

10k/ n ∈ Z, k ∈ N

}l’ensemble des nombres décimaux.Montrer que D est un sous-anneau de (Q,+,×).

Exercice No 25 : Anneau des entiers de GaussOn note

Z [i] ={a+ ib / (a, b) ∈ Z2

}.

1. Montrer que Z [i] est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombrescomplexes.

2. Déterminer les éléments inversibles de l’anneau Z [i].

Exercice No 26 : SoitA =

{mn

/ m ∈ Z et n ∈ N?, impair}.

1. Montrer que A est un sous anneau de (Q,+,×).2. Quels en sont les éléments inversibles ?

5 Corps

Exercice No 27 : Pour a, b ∈ R, on pose a>b = a + b − 1 et a ? b = ab − a − b + 2. Montrer que(R,>, ?) est un corps commutatif.

Exercice No 28 : Soit d ∈ N tel que√d /∈ Q, on note

Q[√

d]={a+ b

√d / (a, b) ∈ Q2

}.

Montrer que (Q[√

d],+,×) est un corps.

Exercice No 29 : Soit F un sous-corps de (Q,+,×). Montrer que F = Q.

4

Correction des exercicesSolution Exercice No 1 :� Soient a, b ∈ R. a ? b = ln(ea + eb) = ln(eb + ea) = b ? a.Ainsi ? est commutative.� Soient a, b, c ∈ R. (a ? b) ? c = ln(eln(e

a+eb) + ec) = ln(ea + eb + ec) = ln(ea + eln(eb+ec)) = a ? (b ? c).

Ainsi ? est associative.� On suppose que ? possède un élément neutre.Il existe E ∈ R tel que, pour tout x ∈ R, x ? E = x.Pour x = 0, on obtient eE . C’est absurde puisque exp ne s’annule jamais. Ainsi ? ne possède pas d’élément neutre.

Solution Exercice No 2 :1. � Soient x, y ∈ [0, 1].

x ? y = x+ y − xy = x(1− y) + y > 0 et x ? y = x+ y − xy = x(1− y) + y 6 1− y + 1 = 1.Ainsi ? est bien une loi de composition interne sur [0, 1].� Soient x, y ∈ E. x ? y = x+ y − xy = y + x− yx = y ? x. Ainsi ? est commutative.� Soient x, y, z,∈ E.

(x ? y) ? z = (x+ y − xy) ? z = (x+ y − xy) + z + (x+ y − xy)z = x+ y + z − xy − xz − yz + xyz.

De même,

x ? (y ? z) = x ? (y + z − yz) = x+ y + z − yz − x(y + z − yz) = x+ y + z − xy − xz − yz + xyz.

Ainsi (x ? y) ? z = x ? (y ? z) et donc la loi ? est donc associative.2. Pour tout x ∈ E, x ? 0 = x+ 0− x× 0 = x.

Comme la loi ? est commutative alors 0 est l’élément neutre de la loi ?.3. Cherchons les éléments inversible de (E, ?) par analyse-synthèse.

Analyse.Soit x ∈ E inversible pour la loi ?. Alors il existe y ∈ E tel que x ? y = 0, c’est-à-dire x+ y−xy = 0. Ainsi y(1−x) = −x.Nécessairement x = 6= 1 (car sinon 0 = −1) et donc y = − x

1−x 6 0.Comme y ∈ E alors y = 0 puis x = 0.Synthèse.0 est inversible car 0 ? 0 = 0.Le seul élément inversible de (E, ?) est 0.

Solution Exercice No 3 :1. � On suppose que ? est commutative sur E.

Soient A,B ∈ P(E). On a :

A ⊥ B = {a ? b / a ∈ A, b ∈ B}= {b ? a / a ∈ A, b ∈ B} = B ⊥ A.

Ainsi ⊥ est commutative sur P(E).� On suppose que ? est associative sur E.Soient A,B,C ∈ P(E). On a :

(A ⊥ B) ⊥ C = {(a ? b) ? c / a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}= {a ? (b ? c) / a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} = A ⊥ (B ⊥ C).

Ainsi ⊥ est associative sur P(E).� On suppose que ? possède un élément neutre sur E, notons-le e.On pose E = {e}.Soit A ∈ P(E). On a :

A ⊥ E = {a ? e / a ∈ A} = {a/ a ∈ A} = A.

De même,

E ⊥ A = {e ? a / a ∈ A} = {a/ a ∈ A} = A.

Ainsi E est l’élément neutre de ⊥ sur P(E).2. � On suppose que ⊥ est commutative sur P(E).

On sait donc que, pour tous A,B ∈ P(E), A ⊥ B = B ⊥ A.Soient a, b ∈ E. En choisissant A = {a} et B = {b}, on obtient a ? b = b ? a.Ainsi ? est commutative sur E.� On suppose que ⊥ est associative sur P(E).On sait donc que, pour tous A,B,C ∈ P(E), (A ⊥ B) ⊥ C = A ⊥ (B ⊥ C).Soient a, b, c ∈ E. En choisissant A = {a}, B = {b} et C = {c}, on obtient (a ? b) ? c = a ? (b ? c).Ainsi ? est associative sur E.� On suppose que ⊥ possède un élément neutre sur P(E). Notons-le E.On sait donc que, pour tous A ∈ P(E), A ⊥ E = E ⊥ A = A.On observe que E est nécessairement non vide.Soit a ∈ E. Choisissons A = {a}. On obtient que, pour tout e ∈ E, a ? e = e ? a = a.On en déduit que E est réduit à un élément et que ? possède un élément neutre.

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3. Soient A,B,C ∈ P(E).x ∈ A ⊥ (B ∪ C) si, et seulement si, il existe a ∈ A et u ∈ B ∪ C tels que x = a ? u si, et seulement si, il existe a ∈ A etu ∈ B tels que x = a ? u ou il existe a ∈ A et u ∈ C tels que x = a ? u si, et seulement si, x ∈ A ⊥ B ou x ∈ A ⊥ C si, etseulement si, x ∈ (A ⊥ B) ∪ (A ⊥ C).Ainsi, par double inclusion, A ⊥ (B ∪ C) = (A ⊥ B) ∪ (A ⊥ C).De même, on montre que (A ∪B) ⊥ C = (A ⊥ C) ∪ (B ⊥ C).Ainsi ⊥ est distributive par rapport à ∪.En revanche, ⊥ n’est pas distributive par rapport à ∩.Considérons E = R, ? = + et A = R, B = R+ et C = R−?.Alors A ⊥ (B ∩ C) = ∅ et (A ∩B) ⊥ (A ∩ C) = R+R = R.

Solution Exercice No 4 :” ⇒ : Si a est inversible alors il existe b ∈ E tel que a ? b = b ? a = e.On pose g : E → E définie par g(x) = b ? x.On vérifie alors que g ◦ f = f ◦ g = IdE . Ainsi f est bijective.” ⇐ : Comme f est bijective alors e admet un antécédent par f . Il existe b ∈ E tel que a ? b = e.Or f(e) = a ? e = a et f(b ? a) = a ? (b ? a) = (a ? b) ? a = e ? b = b.Par injectivité de f , on en déduit que e = b ? aAinsi a est inversible.

Solution Exercice No 5 :1. � On suppose que ? est commutative sur E.

Soient x, y ∈ F .x>y = ϕ(ϕ−1(x) ? ϕ−1(y)) = ϕ(ϕ−1(y) ? ϕ−1(x)) = y>x.

Ainsi > est commutative sur F .� On suppose que ? est associative sur E.Soient x, y, z ∈ F .

(x>y)>z = ϕ(ϕ−1(ϕ(ϕ−1(x) ? ϕ−1(y))) ? ϕ−1(z))

)= ϕ(ϕ−1(x) ? ϕ−1(y) ? ϕ−1(z)).

Et, de même,x>(y>z) = ϕ(ϕ−1(x) ? ϕ−1(ϕ(ϕ−1(y) ? ϕ−1(z)))) = ϕ(ϕ−1(x) ? ϕ−1(y) ? ϕ−1(z)).

Ainsi > est associative sur F .

On observe que, pour tout x, y ∈ E, x ? y = ϕ−1(ϕ(x)>ϕ(y)).2. � On suppose que ? possède un élément neutre noté e. Notons f = ϕ(e). Montrons que f est élément neutre de >.

Pour tout x ∈ F ,

x>f = ϕ(ϕ−1(x) ? ϕ−1(f)) = ϕ(ϕ−1(x) ? ϕ−1(ϕ(e))) = ϕ(ϕ−1(x) ? e) = ϕ(ϕ−1(x) = x.

De même, on montre que, pour tout x ∈ F , f>x = x.Ainsi f est élément neutre de >.

Comme précédemment, quitte à remplacer ϕ par ϕ−1, on en déduit que la réciproque est vraie.

Solution Exercice No 6 :1. On a a = a ? b ? a.

Notons e = a ? b.Soit x ∈ E. Par surjectivité de f , il existe y ∈ E tel que x = f(y).

e ? x = a ? b ? a ? y ? a = a ? y ? a = x.

Notons e′ = b ? x.Soit x ∈ E. Par surjectivité de f , il existe y ∈ E tel que x = f(y).

x ? e′ = a ? y ? a ? b ? a = a ? y ? a = x.

En particulier, e′ = e ? e′ = e.2. On en déduit que e est élément neutre de E et a est inversible d’inverse b.

Soient x, y ∈ E tel que f(x) = f(y). Alors a ? x ? a = a ? y ? a. En multipliant à gauche et à droite par a−1, on endéduit que x = y.Ainsi f est injective et, étant surjective, elle est donc bijective.

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Solution Exercice No 7 :� Soient x, y ∈ [−1, 1]. Il existe u, v ∈ R tel que x = sin(u) et y = sin(v).Ainsi x>y = sin(u)

√1− sin(v)2 + sin(v)

√1− sin(u)2 = ± sin(u) cos(v)± sin(v) cos(u) = ± sin(u± v) ∈ [−1, 1].

Ainsi > est bien une loi interne sur [−1, 1].� Soient x, y ∈ [−1, 1]. x>y = x

√1− y2 + y

√1− x2 = y

√1− x2 + x

√1− y2 = y>x. Ainsi > est commutative sur R.

� Pour tout x ∈ R, x>0 = 0. Comme > est commutative alors > possède un élément neutre : 0.� 1>1 = 1>(−1) = 0. Comme la loi > est commutative, on en déduit que 1 possède, au moins, deux inverses : 1 et −1. On endéduit que > n’est pas associative.

Solution Exercice No 8 : L’hypothèse donne que, pour tout x ∈ G, x = x−1.Soient x, y ∈ G.

x ? y = x−1 ? y−1 = (y ? x)−1 = y ? x.

Ainsi G est un groupe abélien.

Solution Exercice No 9 :1. � ? est une loi de composition interne sur G.� Soient (x, y), (x′, y′), (x′′, y′′) ∈ G. On a

(x, y) ? ((x′, y′) ? (x′′, y′′)) = (x, y) ? (x′x′′, x′y′′ + y′) = (xx′x′′, x(x′y′′ + y′) + y = (xx′x′′, xx′y′′ + xy′ + y).

De même

((x, y) ? (x′, y′)) ? (x′′, y′′) = (xx′, xy′ + y) ? (x′′, y′′) = (xx′x′′, xx′y′′ + xy′ + y).

Ainsi ? est associative.� Soit (x, y) ∈ G.

(x, y) ? (1, 0) = (x, y) et (1, 0) ? (x, y) = (x, y).

Ainsi ? possède un élément neutre.� Soit (x, y) ∈ G.

(x, y) ?

(1

x,−

y

x

)= (1, 0) et

(1

x,−

y

x

)? (x, y) = (1, 0).

Ainsi (x, y) est inversible dans (G, ?).

(G, ?) est donc un groupe.Comme (2, 1) ? (1,−2) = (2,−3) 6= (2,−1) = (1,−2) ? (2, 1) alors (G, ?) n’est pas commutatif.

2. R+? × R ⊂ G et (G, ? ) est un groupe.Montrons que R+? × R est un sous-groupe de (G, ?) par caractérisation.(1, 0) ∈ R+? × R donc R+? × R est non vide.Soient (x, y), (x′, y′) ∈ R+? × R.(x, y) ?

(1x′ ,−

y′

x′

)=(xx′ ,

yx′−xy′x′

)∈ R+? × R.

Solution Exercice No 10 : � Soient x, y ∈ I.1 + xy

c26= −1 et donc la quantité x+y

1+ xy

c2est bien définie.

y − c < 0 donc x(y − c) < −c(y − c). Ainsi c(x+ y) < c2 + xy puis x+y1+ xy

c2< c.

De même, y − c < 0 donc x(y − c) > c(y − c). Ainsi c(x+ y) > −c2 + xy puis x+y1+ xy

c2> −c.

Ainsi x ? y ∈ I et, par conséquent, ? est une loi de composition interne sur G.� Soient x, y ∈ I.

x ? y =x+ y

1 + xyc2

=y + x

1 + yxc2

= y ? x.

Ainsi ? est commutative.� Soient x, y, z ∈ I.

(x ? y) ? z =x+ y

1 + xyc2

? z =

x+y1+ xy

c2+ z

1 +

(x+y

1+xy

c2

)z

c2

=x+ y + z + xyz

c2

1 + xy+yz+xzc2

.

De même

x ? (y ? z) = x ?y + z

1 + yzc2

=

x+ y+z1+ yz

c2

1 +

x

(y+z

1+yz

c2

)c2

=x+ y + z + xyz

c2

1 + xy+yz+xzc2

.

Ainsi ? est associative.� Soit x ∈ I.

x ? 0 = x et 0 ? x = x.

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Ainsi 0 est l’élément neutre de (I, ?).� Soit x ∈ I. −x ∈ I et

x ? (−x) = (−x) ? x = 0.

Ainsi x est inversible dans (I, ?). Tous les éléments de (I, ?) sont donc inversibles.

Ainsi (I, ?) est un groupe abélien.

Solution Exercice No 11 : > est clairement une loi interne sur R.La fonction sh étant strictement croissante et continue sur R, elle induit une bijection de R dans sh(R) = R.Soient x, y ∈ R. Il existe u, v ∈ R tel que x = sh(u) et y = sh(v).Ainsi x>y = sh(u)

√1 + sh(v)2 + sh(v)

√1 + sh(u)2 = sh(u) ch(v) + sh(v) ch(u) = sh(u+ v) = sh(sh−1(x) + sh−1(y)).

L’exercice No 5 permet de conclure à l’associativité de >, la commutativité de > et à l’existence d’un élément neutre 0 = sh(0).Soit x ∈ R. On observe que x>(−x) = 0. Par commutativité de la loi >, on en déduit que x est inversible.On peut donc conclure que (R,>) est un groupe abélien.

Solution Exercice No 12 : H ⊂ C et (C,+) est un groupe.Montrons que H est un sous-groupe de (C,+) par caractérisation.0 ∈ H donc H 6= ∅.Soient x, y ∈ H. Il existe a, b, a′, b′ ∈ Z tels que x = a+ ωb et y = a′ + ωb′.Ainsi x− y = (a− a′) + ω(b− b′) ∈ H.

Solution Exercice No 13 : H ⊂ C? et (C?,×) est un groupe.Montrons que H est un sous-groupe de (C?,×) par caractérisation.1 ∈ H donc H 6= ∅.Soient x, y ∈ H. Il existe n, n′ ∈ Z tels que x = an et y = an

′.

Ainsi xy= an−n

′ ∈ H.

Solution Exercice No 14 : H ⊂ SE et (SE , ◦) est un groupe.Montrons que H est un sous-groupe de (SE , ◦) par caractérisation.IdE ∈ H donc H 6= ∅.Soient f, g ∈ H. f(a) = a et g(a) = a donc g−1(a) = a.f ◦ g−1(a) = f(g−1(a)) = f(a) = a. Ainsi f ◦ g ∈ H.

Solution Exercice No 15 :1. aHa−1 ⊂ G et (G,×) est un groupe.

Montrons que aHa−1 est un sous-groupe de (G,×) par caractérisation.e = aea−1 ∈ aHa−1 donc aHa−1 6= ∅.Soient x, y ∈ aHa−1. Il existe h, h′ ∈ H tels que x = aha−1 et y = ah′a−1. Ainsi y−1 = ah

′−1a−1 et donc xy−1 =

ahh′−1a−1. Comme hh

′−1 ∈ H alors xy−1 ∈ H.2. Si aH est un sous-groupe de (G,×) alors e ∈ aH. Ainsi il existe h ∈ H tel que e = ah. On en déduit que a = h−1 ∈ H.

Réciproquement, si a ∈ H alors aH = H et donc aH est un sous-groupe de (G,×).La condition nécessaire et suffisante recherchée est a ∈ H.

Solution Exercice No 16 : Z(G) ⊂ G et (G, ?) est un groupe.Montrons que Z(G) est un sous-groupe de (G, ?) par caractérisation.e ∈ Z(G) puisque, pour tout x ∈ G, x ? e = e ? x = e, et donc Z(G) 6= ∅.Soient x, y ∈ Z(G).Soit u ∈ G. Comme x ∈ Z(G) alors x ? u = u ? x. Comme y ∈ Z(G) alors y ? u = u ? y puis u ? y−1 = y−1 ? u.

(x ? y−1) ? u = x ? (y−1 ? u) = x ? (u ? y−1) = (x ? u) ? y−1 = (u ? x) ? y−1 = u ? (x ? y−1).

Ainsi x ? y−1 ∈ Z(G).

Solution Exercice No 17 :1. H ∩K ⊂ G et (G, ?) est un groupe.

Montrons que H ∩K est un sous-groupe de (G, ?) par caractérisation.e ∈ H et e ∈ K donc e ∈ H ∩K et donc H ∩K∅.Soient x, y ∈ H ∩K. Comme H est un sous-groupe de (G, ?) alors x ? y−1 ∈ H. Comme H est un sous-groupe de (G, ?)alors x ? y−1 ∈ K. Ainsi x ? y−1 ∈ H ∩K.

Bien évidemment, ce résultat subsiste pour une intersection quelconque de sous-groupes.2. ” ⇐ : Si H ⊂ K alors H ∪K = K et si K ⊂ H alors H ∪K = H.

Dans le deux cas, H ∪K est un sous-groupe de (G, ?).” ⇒ ” Par contraposée. On suppose que H 6⊂ K et que K 6⊂ H.Ainsi il existe h ∈ H tel que h /∈ K et il existe k ∈ K tel que k /∈ H.De ce fait h ∈ H ∪K et k ∈ H ∪K.Si h ? k ∈ H alors k = h−1 ? (h ? k) ∈ H. C’est absurde.On fait de même su h ? k ∈ K.Ainsi h ? k /∈ H ∪K.H ∪K n’est pas stable par ?, ce n’est donc pas un sous-groupe de (G, ?).

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Solution Exercice No 18 :1. Comme A est fini puisque inclus dans G alors il existe n < k ∈ N tels que xk = xn.

Ainsi l’application ϕ n’est pas injective.2. Comme xk = xn alors xk−n = 1. Ainsi x est inversible d’inverse xk−n−1.

A est une partie de G et (G, ?) est un groupe.Montrons que A est un sous-groupe de (G, ?) par caractérisation.A est non vide par hypothèse.Soient x, y ∈ A. Par ce qui précède y−1 ∈ A.G est stable pour ? donc x ? y−1 ∈ A.

Solution Exercice No 19 :1. Notons sC l’ensemble des similitude directes du plan complexe.

On a : sC = {fa,b : z 7→ az + b / a ∈ C?, b ∈ C}.Soit fa,b ∈ sC. On observe que fa,b est bijective et que f−1

a,b = f 1a,− ba.

Ainsi sC ⊂ SC et (SC , ◦) est un groupe.Montrons que sC est un sous-groupe de (SC, ◦) par caractérisation.IdC = f1,0 ∈ sC donc sC est non vide.Soient fa,b, fa′,b′ ∈ sC .On a fa,b ◦ f−1

a′,b′ = f aa′ ,

ba′−ab′a′

∈ sC.

On en déduit que (sC, ◦) est un groupe en tant que sous-groupe d’un groupe.2. � Notons tC = {f1,b / b ∈ C} l’ensemble des translations de sC.

On a tC ⊂ sC et (sC, ◦) est un groupe.Montrons que tC est un sous-groupe de (sC, ◦) par caractérisation.IdC = f1,0 ∈ tC donc tC est non vide.Soient f1,b, f1,b′ ∈ tC.On a f1,b ◦ f−1

1,b′ = f1,b−b′ ∈ tC.

� Notons hC l’ensemble des homothéties de sC.f2,2 ∈ hC et f1/2,1 ∈ hC alors que f2,2 ◦ f1/2,1 = f1,2 /∈ hC.Ainsi hC n’est pas un sous-groupe de (sC, ◦).

� Notons rC l’ensemble des homothéties de rC.f−1,2 ∈ rC et f−1,1 ∈ rC alors que f−1,2 ◦ f−1,1 = f1,1 /∈ rC.Ainsi rC n’est pas un sous-groupe de (sC, ◦).

3. Notons a l’affixe de A.

� Notons hAC = {fλ,a(1−λ) / a ∈ R?} l’ensemble des homothéties de sC de centre A.Montrons que hAC est un sous-groupe de (sC, ◦) par caractérisation.IdC = f1,0 ∈ hAC et donc hAC 6= ∅.Soient fλ,a(1−λ), fµ,a(1−µ) ∈ hAC . Alors

fλ,a(1−λ) ◦ f−1µ,a(1−µ) = fλ

µ,a(1−λ

µ)∈ hAC .

Ainsi hAC est un sous-groupe de (sC, ◦).

� Notons rAC = {feiθ,a(1−eiθ) / θ ∈ R} l’ensemble des rotations de sC de centre A.Montrons que rAC est un sous-groupe de (sC, ◦) par caractérisation.IdC = f1,0 ∈ rAC et donc rAC 6= ∅.Soient fλ,a(1−λ), fµ,a(1−µ) ∈ hAC . Alors

feiθ,a(1−eiθ) ◦ f−1

eiθ′,a(1−eiθ′ )

= feiθ−θ′ ,a(1−eiθ−θ′ ) ∈ r

AC .

Ainsi rAC est un sous-groupe de (sC, ◦).

Solution Exercice No 20 :” ⇐ : D’après le cours, Un est un sous-groupe de (C?,×). De plus, Un contient n élément donc est un sous-groupe fini de (C?,×).” ⇒ : Soit H un sous-groupe fini de (C?,×).� Notons n le nombre d’élément de G. Si n = 1 alors le résultat est banal. On suppose donc n > 2.� Soit z ∈ H. Pour tout k ∈ N, zk ∈ H. Comme H est fini donc il existe k < ` ∈ N tels que zk = z` = 1. Ainsi z`−k = 1. Enparticulier, tous les éléments de H sont racine de l’unité. En particulier, tous les éléments de H sont de module 1.� On écrit H = {1, eiθ1 , · · · , eiθn−1} avec 0 < θ1 < · · · < θn−1 < 2π.� Montrons que H = {eiθ1k / k ∈ N} par double inclusion.” ⊃ ” : Cette inclusion est claire car eiθ1k =

(eiθ1

)k, que eiθ1 ∈ H et que H est un sous-groupe de (C?,×).

9

” ⊂ ” : Soit 1 6 i 6 n− 1. On note k =⌊θiθ1

⌋∈ N et r = θi − kθ1 de sorte que θi = kθ1 + r avec 0 6 r < θ1.

Alors eir = eiθi ×(eiθ1

)−k ∈ H. Par conséquent r = 0 puis θi = kθ1 avec k ∈ N.Cela prouve la seconde inclusion et on a bien

H = {eiθ1k / k ∈ N}.

� Comme eiθ1 est une racine de l’unité alors il existe deux entiers a et b tels que a ∧ b = 1, 1 6 a < b et eiθ1 = e2iπab . Ainsi

H = {e2iπakb / k ∈ N}.

� Soit k ∈ N.On note u =

⌊kab

⌋∈ N et r = ka− bu de sorte que ka = bu+ r avec 0 6 r < b. Alors

e2iπakb = e

2iπ(bu+r)b = e

2iπrb .

AinsiH = {e

2iπarb / 0 6 r 6 b− 1}.

� Les éléments(e

2iπarb

)06r6b−1

sont deux à deux distincts et, par conséquent, b = n. On en déduit que H = Un.

Solution Exercice No 21 :1. � + et ? sont les lois de composition internes sur Z2.� Soient (a, b), (c, d) ∈ Z2.

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) = (c+ a, d+ b) = (c, d) + (a, b).

Donc + est commutative sur Z2.� Soient (a, b), (c, d) ∈ Z2.

(a, b) ? (c, d) = (ac, ad+ bc) = (ca, cb+ da) = (c, d) ? (a, b).

Donc ? est commutative sur Z2.� Soient (a, b), (c, d), (e, f) ∈ Z2.

((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a+ c, b+ d) + (e, f) = (a+ b+ e, c+ d+ f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f)).

Donc + est associative sur Z2.� Soient (a, b), (c, d), (e, f) ∈ Z2.

((a, b) ? (c, d)) ? (e, f) = (ac, ad+ bc) ? (e, f) = (ace, acf + (ad+ bc)e) = (ace, acf + ade+ bce).

De même,

(a, b) ? ((c, d) ? (e, f)) = (a, b) ? (ce, cf + de) = (ace, a(cf + de) + bce) = (ace, acf + ade+ bce).

Donc ? est associative sur Z2.� Soit (a, b) ∈ Z2.

(a, b) + (0, 0) = (a+ 0, b+ 0) = (a, b).

Par commutativité de +, on en déduit que + possède un élément neutre.� Soit (a, b) ∈ Z2.

(a, b) ? (1, 0) = (a× 1, a× 0 + b× 1) = (a, b).

Par commutativité de ?, on en déduit que ? possède un élément neutre.� Soit (a, b) ∈ Z2.

(a, b) + (−a,−b) = (0, 0).

Par commutativité de +, on en déduit que (a, b) est inversible pour la loi +.� Soient (a, b), (c, d), (e, f) ∈ Z2.

(a, b) ? ((c, d) + (e, f)) = (a, b) ? (c+ e, d+ f) = (a(c+ e), a(d+ f) + b(c+ e)) = (ac+ ae, ad+ af + bc+ be).

De même((a, b) ? (c, d)) + ((a, b) ? (e, f)) = (ac, ad+ bc) + (ae, af + be) = (ac+ ae, ad+ bc+ af + be).

Ainsi, par commutativité de + et ?, on en déduit que ? est distributive par rapport à +.

(Z2,+, ? ) est un anneau commutatif.

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2. A ⊂ Z2 et (Z2,+, ? ) est un anneau commutatif.Montrons que A est un sous-anneau de (Z2,+, ? ) par caractérisation.� (1, 0) ∈ A.� Soient (a, 0), (a′, 0) ∈ A.

(a, 0)− (a′, 0) = (a− a′, 0) ∈ A.

� Soient (a, 0), (a′, 0) ∈ A.(a, 0) ? (a′, 0) = (aa′, a× 0 + a′ × 0) = (aa′, 0).

Solution Exercice No 22 :1. Comme x et y commutent alors, par une récurrence immédiate, pour tout n ∈ N, (xy)n = xnyn.

En choisissant un n ∈ N vérifiant xn = 0 alors on obtient que (xy)n = 0.Ainsi xy est nilpotent.

2. Considérons p ∈ N tel que xp = 0 et n ∈ N tel que yn = 0.Par la formule du binôme de Newton (applicable puisque x et y commutent), on obtient

(x+ y)p+n =

p+n∑k=0

(p+ n

k

)xkyp+n−k =

n−1∑k=0

(p+ n

k

)xkyp+n−k.

En effectuant le changement d’indice i = p+ n− k, on obtient

(x+ y)p+n =

p+n∑i=p+1

( p+ n

i+ p+ 1

)xp+n−iyi = 0.

Ainsi x+ y est nilpotent.3. Par une récurrence immédiate, pour tout n ∈ N?, (yx)n = y(xy)n−1x.

En considérant n tel que (xy)n = 0, on obtient (yx)n+1 = 0.Ainsi yx est nilpotent.

4. Soit n ∈ N tel que xn = 0. Posons

y =n∑k=0

xk.

Par télescopage, on obtient

(1− x)y = y − xy =

n∑k=0

xk −n∑k=0

xk+1 =

n∑k=0

(xk − xk+1) = 1− xn+1 = 1.

De même, on montre que y(1− x) = 1.Ainsi 1− x est inversible et

(1− x)−1 =

n∑k=0

xk =

+∞∑k=0

xk.

Solution Exercice No 23 : Z[√d]est une partie de R et (R,+,×) est un anneau commutatif.

Montrons que Z[√d]est un sous-anneau de (R,+,×) par caractérisation.

— 1 = 1 + 0×√d ∈ Z

[√d].

— Soient a+ b√d, a′ + b′

√d ∈ Z

[√d].

a+ b√d− (a′ + b′

√d) = a− a′ +

√d(b− b′) ∈ Z

[√d].

— Soient a+ b√d, a′ + b′

√d ∈ Z

[√d].

(a+ b√d)× (a′ + b′

√d) = aa′ + dbb′ +

√d(ab′ + a′b) ∈ Z

[√d].

Solution Exercice No 24 : D ⊂ Q et (Q,+,×) est un anneau.Montrons que D est un sous-anneau de (Q,+,×) par caractérisation.

— 1 = 1100∈ D.

— Soient n10k

, n′

10k′ ∈ D.

n

10k−

n′

10k′=

10k′n− 10kn′

10k+k′∈ D.

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— Soient n10k

, n′

10k′ ∈ D.

n

10k×

n′

10k′=

nn′

10k+k′∈ D.

Solution Exercice No 25 :1. Z [i] est une partie de C et (C,+,×) est un anneau commutatif.

Montrons que Z [i] est un sous-anneau de (C,+,×) par caractérisation.— 1 = 1 + 0× i ∈ Z [i].— Soient a+ ib, a′ + ib′ ∈ Z [i].

a+ ib− (a′ + ib′) = a− a′ + i(b− b′) ∈ Z [i] .

— Soient a+ ib, a′ + ib′ ∈ Z [i].

(a+ ib)× (a′ + ib′) = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b) ∈ Z [i] .

2. Soit z = a+ ib ∈ Z [i]?.Il existe u = α+ iβ ∈ Z [i]? tel que uz = 1.En particulier |u|2 × |z|2 = 1.Comme |u|2 ∈ Z et |z|2 ∈ Z alors |u|2 ∈ Z? = {±1}.Comme |z|2 > 0 alors |z|2 = 1 puis a2 + b2 = 1.Ainsi (a, b) ∈ {(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0,−1)} puis z ∈ {1,−1, i,−i}.Réciproquement 1× 1 = 1, (−1)× (−1) = 1 et i× (−i) = 1 et donc 1,−1, i et −i sont inversibles dans Z [i].Ainsi Z [i] = {1,−1, i,−i}.

Solution Exercice No 26 :1. A est une partie de Q et (Q,+,×) est un anneau commutatif.

Montrons que A est un sous-anneau de (Q,+,×) par caractérisation.— 1 = 1

1∈ A.

— Soient mn, m′

n′ ∈ A.m

n−m′

n′=mn′ −m′n

nn′∈ A

puisque nn′ est impair.— Soient m

n, m′

n′ ∈ A.m

n×m′

n′=mm′

nn′∈ A

puisque nn′ est impair.2. Soient m

n∈ A. Avec m ∧ n = 1 et n impair.

L’inverse de mn

dans Q est nm. Cet inverse est dans A si, et seulement si, m est impair.

Ainsi A? = {mn/ m ∧ n = 1 et m,n impairs}.

Solution Exercice No 27 :� > et ? sont des lois de composition internes sur R.� Soient a, b ∈ R.

a>b = a+ b− 1 = b+ a− 1 = b>a.

> est donc commutative sur R.� Soient a, b ∈ R.

a ? b = ab− a− b+ 2 = ba− b− a+ 2 = b ? a.

? est donc commutative sur R.� Soient a, b, c ∈ R.

(a>b)>c = (a+ b− 1)>c = a+ b− 1 + c− 1 = a+ (b+ c− 1)− 1 = a>(b+ c− 1) = a>(b>c).

Ainsi > est associative sur R.� Soient a, b, c ∈ R.

(a ? b) ? c = (ab− a− b+ 2) ? c = (ab− a− b+ 2)c− (ab− a− b+ 2)− c+ 2 = abc− ac− bc− ab+ a+ b+ c.

De même

a ? (b ? c) = a ? (bc− b− c+ 2) = a(bc− b− c+ 2)− a− (bc− b− c+ 2) + 2 = abc− ab− ac− bc+ a+ b+ c.

Ainsi ? est associative sur R.� Soit a ∈ R

a>1 = a+ 1− 1 = a.

Par commutativité de >, on en déduit que > possède un élément neutre qui est 1.� Soit a ∈ R

a>(2− a) = a+ (2− a)− 1 = 1

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Par commutativité de >, on en déduit que a est inversible dans (R,>).� Soit a ∈ R

a ? 2 = 2a− a− 2 + 2 = a.

Par commutativité de ?, on en déduit que ? possède un élément neutre qui est 2.� Soit a ∈ R \ {1}

a>a

a− 1= a

a

a− 1−

a

a− 1− a+ 2 = 2

Par commutativité de >, on en déduit que a est inversible dans (R, ?).� Soient a, b, c ∈ R.

a ? (b>c) = a ? (b+ c− 1) = a(b+ c− 1)− a− (b+ c− 1) + 2 = ab+ ac− 2a− b− c+ 3.

De même,

(a ? b)>(a ? c) = (ab− a− b+ 2)>(ac− a− c+ 2) = ab− a− b+ 2 + ac− a− c+ 2− 1 = ab+ ac− 2a− b− c+ 3.

Par commutativité de > et ?, on en déduit que ? est distributive par rapport à >.

(R,>, ?) est un corps commutatif.

Solution Exercice No 28 : Q[√d]est une partie de R et (R,+,×) est un anneau commutatif.

Montrons que Q[√d]est un sous-anneau de (R,+,×) par caractérisation.

— 1 = 1 + 0×√d ∈ Q

[√d].

— Soient a+ b√d, a′ + b′

√d ∈ Q

[√d].

a+ b√d− (a′ + b′

√d) = a− a′ +

√d(b− b′) ∈ Q

[√d].

— Soient a+ b√d, a′ + b′

√d ∈ Q

[√d].

(a+ b√d)× (a′ + b′

√d) = aa′ + dbb′ +

√d(ab′ + a′b) ∈ Q

[√d].

— Soit a+ b√d ∈ Q

[√d]\ {0}.

1

a+b√d= a−b

√d

a2−db2 = aa2−db2 −

ba2−db2

√d ∈ Q

[√d].

Ainsi (a+ b√d)−1 ∈ Q

[√d].

Solution Exercice No 29 : Soit F un sous-corps de (Q,+,×).Nécessairement 0 ∈ F et 1 ∈ F .Montrons par récurrence que, pour tout n ∈ N, n ∈ F .

— La propriété est vrai au rang n = 0 puisque 0 ∈ F .— Supposons donné n ∈ N tel que n ∈ F . Montrons que n+ 1 ∈ F .

n ∈ F , 1 ∈ F et F est stable par addition. Ainsi n+ 1 ∈ F .La récurrence est achevée.Soit n ∈ Z \N. Par ce qui précède −n ∈ N. Comme F est stable par passage à l’opposée, on en déduit que n ∈ F .On en déduit que, pour tout n ∈ Z, n ∈ F .Enfin comme F est stable par produit et par passage à l’inverse, on en déduit que, pour tout n ∈ Z, pour tout m ∈ N?, m

n∈ F .

On en déduit alors que Q ⊂ F .Comme F est une partie de Q alors Q = F .

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