Polynômes irréductibles

Exercice 1. Factorisation sur R de X8 + X4 + 1Factoriser X8 + X4 + 1 sur R.

Exercice 2. Polynôme irréductible sur QDémontrer que 1 + (X − 1)2(X − 3)2 est irréductible dans Q[X].

Exercice 3. Polynômes positifs sur RSoit E = {P ∈ R[X] tq ∃ Q, R ∈ R[X] tq P = Q2 + R2}.1) Montrer que E est stable par multiplication.2) Montrer que E = {P ∈ R[X] tq ∀ x ∈ R, P (x) > 0}.3) (Centrale MP 2000, avec Maple) P = 65X4 − 134X3 + 190X2 − 70X + 29. Trouver A et B dans Z[X]

tels que P = A2 + B2.

Exercice 4. Lemme de GaussSoit P ∈ Z[X]. On appelle contenu de P le pgcd des coefficients de P (notation : cont(P )).1) Soient P, Q ∈ Z[X] avec cont(P ) = 1, et R = PQ. Soit p un facteur premier de cont(R).

a) Si p est premier avec le coefficient constant de P , Démontrer que p divise tous les coefficients de Q.b) Si p divise le coefficient constant de P , se ramener au cas précédent.c) En déduire que cont(Q) = cont(R).

2) Lorsque cont(P ) 6= 1, trouver cont(PQ).3) Application : Soit R ∈ Z[X], et P, Q ∈ Q[X] tels que R = PQ. Montrer qu’il existe P1, Q1 ∈ Z[X]

proportionnels à P et Q et tels que R = P1Q1 (cad : un polynôme à coefficients entiers réductible surQ est aussi réductible sur Z.)

Exercice 5. Polynômes irréductibles sur ZDémontrer que X4 + X + 1 et X6 + X2 + 1 sont irréductibles dans Z[X].

Exercice 6. Polynômes irréductibles sur ZSoient a1, . . . , an ∈ Z distincts.1) Montrer que (X − a1) . . . (X − an) − 1 est irréductible dans Z[X].2) Même question avec (X − a1) . . . (X − an) + 1, n impair.

Exercice 7. Critère d’irréductibilité d’EisensteinSoit P ∈ Z[X], P = Xn + an−1Xn−1 + . . . + a0X0 et p un nombre premier tel que : a0 ≡ 0 (mod p), . . . ,an−1 ≡ 0 (mod p), a0 6≡ 0 (mod p2). Montrer que P est irréductible dans Z[X].

Exercice 8. Irréductibilité de Xp − aSoit K un sous-corps de C, a ∈ K et p ∈ N premier. Montrer que le polynôme Xp − a est irréductiblesur K si et seulement s’il n’a pas de racine dans K. Indication : si Xp − a = PQ avec P, Q ∈ K[X]unitaires non constants, factoriser P dans C et considérer P (0).

Exercice 9. Polynômes sans facteur carréSoit K un corps fini de cardinal k et d ∈ N∗. On note Ud l’ensemble des polynômes de K[X] unitairesde degré d et Vd le sous-ensemble des ces polynômes sans facteur carré (il n’existe pas Q ∈ K[X] nonconstant tel que Q2 divise le polynôme considéré). Soient ud, vd les cardinaux de ces ensembles.1) Montrer : ud =

∑2q+r=d uqvr.

2) Calculer ud puis vd.

irreduc.tex – mercredi 1er juin 2016

solutions

Exercice 1.(X2 − X + 1)(X2 + X + 1)(X2 − X

√3 + 1)(X2 + X

√3 + 1).

Exercice 2.

racines : α = 2 +√√

2 + 12 + i

√√2 − 12 , β = 2 −

√√2 + 12 − i

√√2 − 12 , α, β.

Factorisation de P sur R : P = (X2−2<(α)X+|α|2)(X2−2<(β)X+|β|2) et les facteurs sont irrationnels.Exercice 3.

1) P = |Q + iR|2.2) Factoriser P .3) Avec Maple : P = 1

65 QQ avec Q = 65X2 + (49i − 67)X + (42 + 11i) et Q est irréductible sur Q[i].Donc si P = A2 + B2 = (A + iB)(A − iB) avec A, B polynômes à coefficients entiers alors, quitte àchanger B en −B, il existe λ ∈ Q[i] tel que : A + iB = λQ et A − iB = λQ d’où :

2A = 65(λ + λ)X2 + ((49i − 67)λ − (49i + 67)λ)X + ((42 + 11i)λ + (42 − 11i)λ)2iB = 65(λ − λ)X2 + ((49i − 67)λ + (49i + 67)λ)X + ((42 + 11i)λ − (42 − 11i)λ)λλ = 65.

En particulier 65λ ∈ Z[i], écrivons λ = u + iv65 avec u, v ∈ Z :

A = uX2 − 67u + 49v

65X + 42u − 11v

65

B = vX2 + 49u − 67v

65X + 11u + 42v

65u2 + v2 = 65.

67u + 49v est divisible par 65 si et seulement si u ≡ 8v (mod 65) et dans ce cas les autres numérateurssont aussi multiples de 65. La condition u2 + v2 = 65 donne alors v = ±1, u = ±8 d’où :

A = ±(8X2 − 9X + 5), B = ±(X2 + 5X + 2).

Exercice 6.1) Si P = QR alors Q(ai)R(ai) = −1 ⇒ Q(ai) = −R(ai) = ±1, donc Q + R a n racines, donc est nul, et

P = −Q2 : contradiction pour x → ∞.2) Même raisonnement : P = Q2, donc Q2 − 1 = (Q − 1)(Q + 1) = (X − a1) . . . (X − an).

On répartit les facteurs entre Q − 1 et Q + 1 : n = 2p, contradiction.Exercice 7.

Soit P = QR avec Q = Xn1 + bn1−1Xn1−1 + . . . + b0X0 et R = Xn2 + cn2−1Xn2−1 + . . . + c0X0.Par hypothèse sur a0 = b0c0, p divise un et un seul des entiers b0, c0. Supposons que p diviseb0, b1, . . . , bk−1 : alors ak ≡ bkc0 (mod p) donc p divise bk. On aboutit à «p divise le coefficient dom-inant de Q», ce qui est absurde.

Exercice 8.On suppose a 6= 0 et Xp −a = PQ avec P, Q ∈ K[X] unitaires non constants. Soit n = deg(P ) ∈ [[1, p−1]]et b = (−1)nP (0) ∈ K. b est le produit de certaines racines p-èmes de a, donc bp = an. De plus n∧p = 1 ;soit nu+pv = 1 une relation de Bézout. On a alors bpu = anu = a1−pv d’où a = (bu/av)p donc bu/av ∈ Kest racine de Xp − a.

Exercice 9.1) Tout polynôme P unitaire de degré d se décompose de manière unique en P = Q2R avec Q, R unitaires

et R sans facteur carré.2) On a ud = kd et ud+2 = kud + vd+2, d’où v0 = 1, v1 = k, vd = kd − kd−1 si d > 2.

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