1

Savoir factoriser

Bruno DELACOTE

Collège de MASEVAUX

Type d ’activité : leçon illustrée

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2

Conseils et méthode de travailUne feuille s’ouvre sur une série d’exercices :

A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.

Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement

Prépare l’exercice avant de visionner la solution.Vérifie (sans tricher !)

Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.

Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessousou le clic droit de la souris.

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3

Som

mai

reLes rudiments et le vocabulaire

Le facteur commun est une variable

Le facteur commun est une expression

Avec les identités remarquables.

Le facteur commun est caché

Factoriser pour résoudre une équation

4

3x + 6 est une expression développéePour retrouver la forme factorisée de 3x + 6 il suffit de remarquer que 3x + 6 = 3 x x + 3 x 2 d'où 3x + 6 = 3( x + 2)

3 est appelé le facteur commun

Pour factoriser les expressions suivantes

3x + 124x - 209 - 18x16x - 425x + 1512x -990x - 60y

On pense et On écrit

433 x )4(3 x

544 x )5(4 x

x299 )21(9 x1444 x )14(4 x5355 x )35(5 x3343 x )34(3 x

yx 230330 )23(30 yx

)4(3 x

)5(4 x

)21(9 x)14(4 x)35(5 x)34(3 x

)23(30 yx

5

x² + 6x est une expression développéePour retrouver la forme factorisée de x² + 6x il suffit de remarquer que x² + 6x = x x x + x x 6 d'où x² + 6x = x( x + 6)

x est le facteur commun

Pour factoriser les expressions suivantes

x² + 2x4x3 - 20x²9x - 8x²16x5 - 4x²

25x² + 15x12x7 - x5

90x3 - 60x

On pense et On écrit

2 xxx

xxxxx 454

xxx 891444 232 xxx

xx 5355 1²12 55 xxx

230²330 xxx

)2( xx

)5²(4 xx

)89( xx )14²(4 3 xx

)35(5 xx)112( 25 xx

)2²3(30 xx

résoudre l'équation x(x + 6) =0

6

Pour retrouver la forme factorisée de (x + 1)² + 2(x + 1) il suffit de remarquer que (x + 1 )² + 2(x +1) = (x + 1) x (x + 1) + (x + 1) x 2 d'où (x + 1 )² + 2(x +1) = (x + 1) x [(x + 1) + 2] = (x +1)(x+3)

x + 1 est le facteur commun

Méthode :On peut souligner le facteur commun Pour écrire

= (x +3)[x+2 - 2x + 5)]

= (x +3)[ -x+7]

Attention : pour enlever un couple de parenthèses précédé du signe - il faut changer les signes à l'intérieur du couple de parenthèses !

On peut vérifier la factorisation en développant les deux expressions. Les expressions développées sont identiques.

(x +3) x (x+2) - (x + 3) x (2x -5) = (x +3) x [(x+2) - (2x -5)]penser

(x +3)(x+2) - (x + 3)(2x -5) = (x +3)[(x+2) - (2x -5)]

résoudre l'équation...

7

Quelques exercices

)12()12)(63( xxx

)5()43(6

)5)(43(6

xx

xx

)2)(3()3)(54( xxxx

)]52()53)[(2( xxx

]5253)[2( xxx]10)[2( xx

Pas de problème !)52)(2()53)(2( xxxx

1)12()12)(63( xxx

]1)63)[(12( xx

)73)(12( xx

Attention !

)]5(6)23)[(43( xxx

]30623)[43( xxx

]323)[43( xx

)2)(3()3)(54( xxxx

)]2()54)[(3( xxx

]254)[3( xxx

]35)[3( xx

Attention !)5)(43(6)23)(43( xxxx

Attention !

)2)(3(soit

)]2)(3([devient

)2)(3 donc

)3(3

xx

xx

x-x-(

xx

Résoudre l'équation ...= 0

8

Mettre les expressions suivantes sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.

(Le facteur commun caché apparaît au premier clic)

xxx

xxxx

xxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

37)4)(37(

)3)(1()27)(1(

)7)(96()²32(

)3)(315()4)(210()5)(23(

)68)(7()2)(34(

)42)(13()5)(63()2( x

)34( x

)5( x

)32( x

)1( x)37( x

)133)(2( xx

)123)(43( xx

)192)(5( xx)18)(32( xx

)10)(1( xx

)3)(37( xx

9

Avec les identités remarquables

)14²4()23)(12( xxxx

(2x)² +2x2xx1+1²

)²12()23)(12( xxx

)12()12()23()12( xxxx

)]12()23)[(12( xxx

]1223)[12( xxx

)15)(12( xx

Il faut savoir reconnaître a² + 2ab + b² = (a + b)²

Ne pas oublier que (2x+1)² = (2x + 1)(2x + 1)

9x² + 24x + 16 = (3x)² + 2 x 3x x4 + 4²= (3x + 4)²

donc

Résoudre l'équation0)15)(12( xx

10

Avec les identités remarquables

)14)(23()412²9( xxxx

(3x)² - 2x3xx2+ 2²

)14)(23()²23( xxx

)14()23()23()23( xxxx

)]14()23)[(23( xxx

]1423)[23( xxx

)3)(23( xx

Reconnaître a² - 2ab + b² = (a - b)²

Ne pas oublier que (3x-2)² = (3x - 2)(3x - 2)

Attention au signe - placé devant la

parenthèse

Résoudre l'équation0)3)(23( xx

11

Avec les identités remarquables

)14)(43()16²9( xxx

(3x)² - 4²

)14)(43()43)(43( xxxx

)14()43()43()43( xxxx

)]14()43)[(43( xxx

]1443)[43( xxx

)3)(43( xx

Reconnaître a² - b² = (a - b)( a+ b)

Attention au signe - placé devant la

parenthèse

Résoudre l'équation0)3)(43( xx

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Mettre les expressions suivantes sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré. (Reconnaître une identité remarquable dans l'expression encadrée)

)12²(1²

²449)27)(1(

)7)(96()912²4(

²)1025()5)(23(

)68)(2(²)4(

)42)(13()16²9(

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

)²13( x

)2)(2( xx

)²5( x

)²32( x

)27)(27( xx

)²1( x

)3)(13( xx

)65)(2( xx

)72)(5( xx

)24)(32( xx

)6)(72( xx

)1(2 xx

13

On utilise le théorème :Pour qu'un produit soit nul il faut et

il suffit que l'un des facteurs soit nul.

METHODEPour résoudre certaines équations il faut mettre l'expression sous forme d'un produit égal à zéro.

(2x +3)(x - 5) = x² - 10x + 25

(2x +3)(x - 5) = (x - 5)²

(2x +3)(x - 5) - (x - 5)² = 0

(x - 5)[(2x + 3) - (x - 5)] = 0

(x - 5)[2x + 3 - x + 5] = 0

(x - 5)(x + 8 ) = 0

(x - 5) = 0 ou (x + 8 ) = 0

L' équation admet deux solutions qui sont x = 5 et x = - 8

On cherche un facteur commun

On regroupe tous les termes dans un membre et on factorise

14

Résoudre les équations suivantes (un clic sur l'équation permet de revoir la factorisation)

0)12()12)(63( xxx

0)2)(3()3)(54( xxxx

0)52)(2()53)(2( xxxx

0)5)(43(6)23)(43( xxxx

x² + 6x = 0(x + 1)² + 2(x + 1) = 0(x + 3)(x+ 2) - (x + 3)(2x -5) = 0

0)14²4()23)(12( xxxx

0)14)(23()412²9( xxxx

0)14)(43()16²9( xxx

x = 0 et x = - 6 x = - 1 et x = -3 x = -3 et x = 7

x = 2 et x = 10

x = 0,5 et x = - 7/3

x = - 4/3 et x = - 32/3

x = 3 et x = 0,6

x = - 0,5 et x = 0,2

x = 2/3 et x = - 3

x = 4/3 et x =3

Revoir la méthode

15

0)12()12)(63( xxx

0)2)(3()3)(54( xxxx

0)52)(2()53)(2( xxxx

0)5)(43(6)23)(43( xxxx

x² + 6x = 0(x + 1)² + 2(x + 1) = 0(x + 3)(x+ 2) - (x + 3)(2x -5) = 0

0)14²4()23)(12( xxxx

0)14)(23()412²9( xxxx

0)14)(43()16²9( xxx

Revoir la méthode

Résoudre les équations suivantes après avoir mis les expressions sous forme d'un produit de facteurs du

premier degré.

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On utilise le théorème :Pour qu'un produit soit nul il faut et

il suffit que l'un des facteurs soit nul.

METHODEPour résoudre certaines équations il faut mettre l'expression sous forme d'un produit égal à zéro.

(2x +3)(x - 5) = x² - 10x + 25

(2x +3)(x - 5) = (x - 5)²

(2x +3)(x - 5) - (x - 5)² = 0

(x - 5)[(2x + 3) - (x - 5)] = 0

(x - 5)[2x + 3 - x + 5] = 0

(x - 5)(x + 8 ) = 0

(x - 5) = 0 ou (x + 8 ) = 0

L' équation admet deux solutions qui sont x = 5 et x = - 8

On cherche un facteur commun

On regroupe tous les termes dans un membre et on factorise