Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER

Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER


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2nde 10, lycée les eaux claires

November 7, 2019



Dans ce chapitre

1) Rappels, définitions

2) Facteur commun

3) Double distributivité

4) Identités remarquables


Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER1) Rappels, définitions

Plan du cours


2) Facteur commun





DéfinitionOn dit qu’une expresson est factorisée lorsqu’elle est écrite sousla forme d’un produit.Chacun des éléments du produit est appelé un facteur.

Exemples d’expressions factorisées :

• 3a est composée de deux facteurs : 3 et a• 2(x + 4) avec deux facteurs : 2 et x + 4• −5(x + 1)(2x − 3) avec trois facteurs : −5 et x + 1 et 2x − 3• (3x + 2)2 avec deux facteurs égaux: 3x + 2



DéfinitionOn dit qu’une expression est développée lorsqu’elle est écritesous la forme d’une somme.Chacun des éléments de la somme est appelé un terme.

Exemples d’expressions développées :

• 3 + a est composée de deux termes : 3 et a• x2 + 3x + 5 avec trois termes : x2, 3x et 5• 4x − 7 avec deux termes : 4x et −7


Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER2) Facteur commun

Plan du cours


2) Facteur commun





Egalité de référence

k, a et b sont trois nombres ou expressions

Alors :k × a + k × b = k × (a + b)

k × a + k × b est une écriture développée

k×(a + b) est une écriture factorisée

k est appelé facteur commun



De même :

k × a − k × b = k × (a − b)



Exemples

Développer (écrire l’expression sous forme de somme ou différence)

• A = 3 × (x + 5)

• B = 4 × (x − 3)

• C = 7 × (2x + 3y − 1)

• D = −2 × (4 + t)

• E = 3x × (2x + 3)

• F = −(3x − 4)



Remarque

Un signe - devant une parenthèse est équivalent à une mul-tiplication par -1

ExempleF = −(3x − 4)

F = (−1) × (3x − 4)

F = (−1) × 3x − (−1) × 4

F = −3x + 4



Factoriser : exemples

Factoriser (écrire l’expression sous forme de produit)

• K = 4x + 8y

• L = 12 + 4y

• M = 7x2 − 14x

• N = 10a + 5

• P = −2a − 4b

• R = 35x2 + 15x

• S = 6a2 − 18a


Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER3) Double distributivité

Plan du cours


2) Facteur commun





Egalité de référence

a, b, c et d sont quatre nombres ou expressions

Alors :(a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd

ac + ad + bc + bd est une écriture développée

(a + b) × (c + d) est une écriture factorisée



Exemples

Développer et réduire

• T = (3a + 2) × (4 + 5a)

• U = (b − 4) × (3b + 7)

• V = (−b − 3) × (4 − b)

• W = (−3a + 2) × (5 − b)

• Y = (2a + 5)2

• Z = (4a − 3) × (4a + 3)



Exercice


• A = 2 × (3t + 2) × (1 + 2t)

• B = −(y − 4) × (3y + 2)

• C = 3t − (5t + 3)2

• D = (t + 1) × (t + 2) × (t + 3)

• E = (t + 1)2 + (t − 1)2

• Z = 3 × (2a + 1) + (2a + 1) × (−a + 2)


Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquables

Plan du cours


2) Facteur commun





Première identité remarquable

a et b sont deux nombres ou expressions

Développer (a + b)2 :

(a + b)2 = (a + b) × (a + b)

(a + b)2 = a × a + a × b + b × a + b × b

(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

La première identité remarquable :• a pour écriture factorisée : (a + b)2

• a pour écriture développée : a2 + 2ab + b2



Exemples


• G = (t + 2)2

• H = (4c + 5)2

• J = (3 + 2y)2

• K = (−t + 2)2

• L = (y − 3)2

• M = (−5a + 3)2



Seconde identité remarquable


Développer (a − b)2 :

Donc

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2



Troisième identité remarquable


Développer (a − b) × (a + b) :

Donc

(a − b) × (a + b) = a2 − b2



Exemples


• P = (2t − 5)2

• R = (4 − 3c)2

• S = (t − 3) × (t + 3)

• T = (3 + 2y) × (3 − 2y)

• U = (3 − 4z) × (3 + 4z)

• V = (−5a + 3) × (−5a − 3)


Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquablesFactoriser en utilisant une identitéremarquable

• C = x2 − 2x + 1

• D = x2 + 4x + 4

• E = 16 − 4x2

• F = 4x2 + 16x + 16

• G = x2 + 9 − 6x

• H = 2x2 + 20x + 50

• K = −x2 + 14x − 49

• L = −3x2 + 752nde 10, lycée les eaux claires

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