Portfolio Var[1]

8/8/2019 Portfolio Var[1]

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A C T U A R I A L R E S E A R C H C L E A R I N G H O U S E1 9 9 8 V O L . 1

Value-at-Risk for Risk PortfoliosWorking Paper

Julia Lynn Wirch

Department of Statistics and Actuarial ScienceUniversity of WaterlooWaterloo, Ontario, Canada, N2L [email protected] 1997

Abst rac tValue-at-Risk (VaR) methodologies are particularly useful to actuaries as

methods to quanti fy investment and portfolio risk. Despite the recent develop-ments in applica tion and theory, there remains the problem of aggregating VaRmeasures among risk portfolios. In this paper, we use simple risk portfolios todiscuss the abilities and shortcomings of the current methodologies for VaR,and suggest methodologies which can be used to facilitate the aggregation ofVaR measures.

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1 I n t r o d u c t i o nM u c h d e b a t e h a s f o c u s e d o n h o w t o m e a s u r e r is k. T h e g o a l f o r f i n a n c i al r e g u l a t o r s ist o fi n d a m e a s u r e t h a t is s i m p l e t o c a l c u l a t e , y e t a c c u r a t e l y i d e n t i fi e s t h e l e v e l o f r i skt h a t a c o m p a n y is e x p o s e d t o . V a l u e - a t -R i s k ( V a R ) is a r e c e n t a p p r o a c h t h a t h a s b e e ni m p l e m e n t e d i n t o t h e r is k m a n a g e n m n t p r o g r a m s o f m a n y f i n a n ci a l c o n s u l ti n g f ir m s.M o s t V a R t e c h n i q u e s u s e p r i ce s e n s i ti v i ty m e t h o d s t o t r a n s l a t e f i n a n c i al i n s t r u m e n t si n t o u n i t s o f r is k , o r p o t e n t i a l l o ss , b a s e d o n a s p e c if i e d h o l d i n g p e r i o d , o b s e r v a t i o np e r i o d , c o n f i d e n c e i n t e r v a l a n d v o l a t i l i ty o f r i sk f a c t o r s .

1 .1 Addi t iv i ty vs . S u b - A d d i t i v i t yT h e B a s le C a p i t a l A c c o r d p r o p o s e d a s et o f c a p i ta l r e q u i r e m e n t s f o r b a n k s a n d o t h e rf i n a n c i a l i n v e s t m e n t f i r m s b a s e d o n th e i n h e r e n t v o l a t i l i t y o f t h e i r i n d i v i d u a l a s se t s.T i le r e q u i r e I n e n t s w e r e d e t e r m i n e d s e p a r a t e l y f o r e a c h a s se t , a n d t h e n a d d e d t o o b t a i nt h e c a p it a l r e q u i r e m e n t s o f t h e p o rt fo l io . U n f o r t u n a t e l y , t h is m e t h o d d i d n o t p e r i n i t ar e d u c t i o n i n c a p i ta l r e q u i r e m e n t s f o r h e d g e d o r d i v er s if ie d p o r tf o l io s . T h u s , t o a c c o u n tf o r t h e s u b a d d i t i v i t y o f s u c h ri sk s , t h e C o m m i s s i o n a l l o w e d t h e u se o f c o m p u t e r m o d e l st o c a l c u l a te t h e r i sk o f a p o r tf o l io , a s l o n g a s th e m o d e l s c o m p l i e d w i t h C o m m i s s i o ns t a n d a r d s .

1 .2 O t h e r U s e s o f V a RT i l e i m p o r t a n c e o f a r is k m e a s u r e is a t t r i b u t a b l e t o it s a b il it y t o d i f f e r e n t ia t e b e t w e e nd i f fe r e n t t y p e s o f r i sk , a s w e ll a s i ts a b i l i t y t o c o m p a r e t h e s e v e r i t y o f d i f f e r e n t r i s kp o r tf o li o s. T h e a p p l i c a t i o n o f V a R a s a r is k m e a s u r e m e n t t e c t m i q u e h a s o f t e n b e e ns u g g e s t e d f o r u s e as a n a i d e t o e v a l u a t e i n v e s t m e n t r is k , t o id e n t i f y t h e o p t i m a l a ll o-c a t i o n o f a s se t s, t o d e v e l o p a n d e v a l u a t e p o r t fo l i o s t r a te g i e s , t o m e a s u r e t h e q u a l i t yo f a p o r t f o l i o , a n d t o e v a l u a t e p o r t f o l i o m a n a g e r s .

2 T h e M e t h o d o l o g i e sT h e d e f i n i t i o n o f a 9 5 % , n - d a y , V a l u e - a t - R i s k f o r p o r t f o l i o P , w i t h i n i t ia l v a l u e P o , isVaRgs~/o(Pu), s u c h t h a t

Pr(L, , < VaRgsr~(Po)) = 0 .95o r

P r ( L , , > VaRgs~(Po)) = 0 .05

2 ~


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w h e r e L , , i s t h e l o ss r a n d o m v a r i a b l e fo r t h e p o r t f o l i o , L ,, = P 0 - P , .M a r k e t f a c t o r s , s u c h a s , d o m e s t i c a n d f o r e i g n i n t e r e s t r a t e s t r u c t u r e s , e x c h a n g e r a t e s ,s t o c k p r ic e s a n d i n f la t io n r a t e s , a r e e x a m p l e s o f r i sk f a c t o r s w h i ch m a y h a v e a n i m p a c to n t h e f i n a n c ia l r is k s o f a p o r t f o li o . T h e r e a r e m a n y m e t h o d s w h i c h u s e t h e s e m a r k e tf a c t o rs t o d e t e r m i n e t h e d i s t r i b u t i o n o f L ,, . T h e s e m e t h o d s c a n b e c la s si fi ed i n t o t h r e em o d e l t y p e s : t h e h i s to r i c a l m o d e l , t h e a n a l y t i c m o d e l a n d t h e s im u l a t io n m o d e l .

2 . 1 H i s t o r i c a lI n t h e h i s t o r i c a l a p p r o a c h , u s i n g a o n e d a y h o l d i n g p e r i o d , p r e v i o u s o n e d a y f l u c t u -a t io n s i n m a rk e ~ f a c to r s a r e u s e d t o m o d e l p o s s i b l e f lu c t u a t i o n s t o c u r r e n t m a r k e tf a c t o r v al u es . A l t e r n a t i v e p r o f i t / l o s s r e a l i z a t i o n s a r e v a l u e d b a s e d o n t h e s e f l u ct u -a t i o n s a n d a d i s t r ib u t i o n f o r p r o f i t / l o s s c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e s e r e a l i z a t io n s t op r o d u c e a c o n f id e n c e in t e r v a l .

H i s t o r i c a l M o d e l :F a = ( f ( , , a ) , f ( 2 , d ) , . . . , f ( k , d ) ) ~ he v e c t o r o f o b s e r v e d r i s k f a c t o r v a l u e s o n d a yd = O , - 1 . . . . , - nP ( F ) = t h e v a l u e o f a p o r t f o l i o , u s i n g t h e f a c t o r v a l u e s F .

F o = t o d a y ' s r i s k f a c t o r v a lu e sA F a = F a - - F a - I O n e d a y f a c t o r c h a n g e s

P o : P ( F o )Pd = p ( Fo + A Fd)

V a R l - ~ , ( P o , n ) = P o - ( (( 1 - a ) n ) t h s m a l l e s t v a lu e o f Pal)

2 . 2 S i m u l a t i o nA n a l t e r n a t e m e t h o d , t h e s i m u l a t i o n m e t h o d r e q u i r e s a d i s t r ib u t i o n f or ch a n g e s ine a c h m a r k e t f a c t o r in c l u d in g c o r r e l a t i o n s b e t w e e n f a c t o rs . N o r m a l a n d l o g n o r m a ld i s t r i b u t i o n s a r e o f t e n u s e d , w i t h c o r r e l a t io n s d e r i v e d f r o m h i s t o r ic a l d a t a . G i v e nf a c t o r d i s t r ib u t i o n s , M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n is u s e d t o o b t a i n s i m u l a t e d c h a n g e s i nt h e m a r k e t f a c t o r s , w h i c h a r e u s e d t o o b t a i n a p r o f i t / l o s s d i s t r i b u t i o n a n d c o n f i d e n c ei n t e r v a l s i n t h e s a m e w a y a s i n t h e h i s t o r i c a l m e t h o d .

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S i m u l a t i o n M o d e l :P , . ( F = ( f ~ , f 2 , . - . , f k ) ) --= t h e j o i n t d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e r i s k f a c t o r s .P = t h e p o r t f o l i o v a lu e .D e r i v e P r ( P = p ) , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e p o r t f o l i o v a l ue u s in g s i m u l a t i o nt e c h n i q u e s a n d u s e th i s to d e t e r m i n e VaR(I_~ , ) (Po) .

2 . 3 A n a l y t i cA m o r e r e s t r i c t i v e a p p r o a c h , t h e a n a l y t i c m e t h o d d e c o m p o s e s t h e p o r t f o l i o i n t o e l -e m e n t a l i n s t r u m e n t s e a c h o f w h i c h is e x p o s e d t o o n l y o n e m a r k e t f a c t o r . A s e t o fd i s t r i b u t i o n s f o r c h a n g e s in t h e m a r k e t f a c t o r s is u s e d t o c a lc u l a t e t h e V a R a n d t h ep o r t f o l i o v a r i a n c e . S i n c e ti le p o r t f o li o is t h e s u m o f t h e e l e m e n t a l i n s t r u m e n t s , i f t h em a r k e t f a c t o r s h a v e a j o i n t n o r m a l d i s t ri b u t i o n , t h e n t h e p o r tf o l io is a ls o n o r m a U yd i s t r i b u t e d .

A n a l y t i c / V a r i a n c e - C o v a r i a n c e M o d e l :Let. P I, , Pt~ . . . . , PS~ b e t h e d e c o m p o s i t io n o f P o r t fo l io P i n to c o m p o n e n ts e c u r i t i e s .T h e n , k

i=lA s s u m i n g t h a t t h e c o m p o n e n t s e cu r it ie s a re r e la t e d t h r o u g h a k n o w n c o -v a r i a n c e s t r u c t u r e , u s i n g m u l t iv a r i a t e N o r m a l te c h n i q u e s , t h e p o r t f o l i od i s t ri b u t i o n c a n b e a p p r o x i m a t e d , a n d V a R o _ ~ ) ( P o ) c a l c u l a t e d .

3 T h e P r o b l e m sE v e n t h o u g h t h e s e m o d e l s s e e m i n tu i t iv e l y r e a s o n a b l e a n d t h e y a r e e a s y t o e x p l a in ,t h e i r t r a c t a b i l i t y is b a s e d o n th e a s s u m p t i o n t h a t t h e p e r c e n t il e V a R m e a s u r e iss u b a d d i t i v e . U n f o r t u n a t e l y , i t i s p o s s ib l e to s h o w t h a t V a R , as w i t h a ll p e r c e n t i l em e a s u r e s , c a n b e s u p e r a d d i t i v e . T h i s l e ad s to t h e c o n cl u si o n t h a t V a R i s n o t ac o n s i s t e n t m e a s u r e , a n d s h o u l d b e u s e d w i t h c a u t io n .

3 .1 Super -Addi t iv i tyC o n s i d e r t w o r i s k s P 1 a n d P ~, w i t h l o ss r a n d o m v a r i ab l e s L t a n d L 2 r e s p e c t i v e l y .S u p p o s e t h a t t h e s u p p o r t o f e a c h l os s c o v er s m o r e t h a n t h r e e p e r c e n t , b u t l es s t h a n

2~2


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f iv e p e r c e n t o f t h e r is k f a c t o r d i s t ri b u t i o n , a n d t h a t t h e s u p p o r t o f t h e t w o lo s se s a r ed i s jo i n t . E q u i v a l e n t l y , s u p p o s e t h a t t h e f o l lo w i n g t h r e e c o n d i t i o n s h o l d :

0 .03 < Pr(L1 > 0) < 0 .05 ,0 .03 < Pr(L~ > 0) < 0 .05 ,

Pr(L1 > 0 and L2 > 0)=0.T h e f i r s t t w o c o n d i t i o n s i m p l y t h a t VaRgs%(PI) = 0 a n d VaRzs%(P2) = 0. A s wel l ,t h e t h r e e c o n d i t i o n s t o g e t h e r i m p l y t h a t

0 . 0 6 < P r ( L l + L 2 > 0 ) < 0 . 1 0a n d t h e r e f o r , VaRg~%(P1 + P=) > O.I n t h e c o m b i n e d p o r t f o li o ( P1 + P 2) , t h e s u p p o r t c o v e rs m o r e t h a n f iv e p e r c e n t o f t h er is k fa c t o r d i s t ri b u t i o n , a n d t h e 9 5 % V a R v a l u e is p o s i t iv e , a n d g r e a t e r t h a n t h e s u mo f t h e t w o i n d i v i d u a l V a R v a l u es . T h u s , V a R a s a p e r c e n t i le m e a s u r e is s u p e r a d d i t i v e .

3 . 2 Manipulating VaRT o sh o w t h a t t h is m e t h o d a ll ow s t h e 9 5 % V a R v a l u e t o b e r e d u c e d f o r a n y a r b i t r a r yp o r t f o l i o , it m u s t b e p o s si b l e t o p a r t i t i o n t h e p o r t f o l i o s o t h a t e a c h p a r t i t i o n h a s a lo s sd i s t r i b u t i o n w i t h a s u p p o r t w h i c h c o v e r s l es s t h a n 5 % o f t h e j o i n t r i s k d i s t r i b u t i o n .U s i n g d e r i v a t i v e s , s i m p l e c o m b i n a t i o n s o f c a ll s a n d p u t s , i t i s p o s s i b l e t o p a r t i t i o n a n yp o r t f o l io , a s l o n g a s t h e j o i n t r i s k d i s t r i b u t i o n i s k I t o w n in a d v a n c e . I n t h i s w a y , i t isp o s s i b le t o d e c o m p o s e a n y r is k p o r tf o l i o , w i t h p o s i t i v e V a R v a l u e , i n t o s u b - p o r t f o l i o s ,e a c h h a v i n g a V a R v a l u e o f z e ro , A s t h e p e r c e n t i l e f o r th e V a R v a l u e in c r e a s e s, m o r es u b - p o r t f o l i o s m a y b e n e e d e d ; h o w e v e r , i t is a l w a y s p o s s i b l e t o o b t a i n a z e r o v a l u ef o r V a R . A s a r e s u lt , k n o w i n g t h e d i s t r ib u t i o n o f r i sk f a c t o r s , t h e v a l u e fo r V a R m a yb e a r b i t r a r i l y c h o s e n .

E v e n i f V a R m u s t b e e v a l u a t e d f o r a n e n ti r e p o r t fo l i o , t h e r e w o u l d b e i n c e n t i v e t of in d o t h e r p o r t fo l io s t h a t w o u l d a l s o b e n e f i t f r o m t r a d i n g r is k p a r t i t i o n s , s o t h a t e a c hp o r t f o l i o w o u l d s h o w a l a r g e l o ss o v e r a v e r y s m a l l p a r t i t i o n o f t h e r i s k f a c t o r s d is -t r i b u t i o n . F o r e x a m p l e , w h e n i t is u s e d as a r e g u l a t i o n r e q u i r e m e n t , o r a n e v a l u a t io nc r it e r io n , t h e r e is a n in c e n t i v e t o o b t a i n a s p e c if ic V a R v a l u e b y m a n i p u l a t i n g t h ep o r tf o li o . U n f o r t u n a t e l y , t h is m a y w o r k a g a i n st t h e o r ig i u a l p u r p o s e f o r h a v i n g a r is km e a s u r e , a n d t h e re s u l ts m a y b e to p r o m o t e p o r t fo l i o s w i t h e x t r e m e , b u t l o c al iz e dr i s k , a s o p p o s e d t o d i v e r s i f i e d p o r t f o l i o s w i t h r e d u c e d t a i l r i s k .

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4 P o s s i b l e S o l u t i o n sA s V a R h a s b e e n a c c e p t e d b y t i l e m a j o r i t y o f r is k m a n a g e r s , a n d h a s d e v e l o p e d a l a r g ef o l l o w i n g , i t w o u l d b e d i f f i c u l t t o r a d i c a l l y c h a n g e t h e r i s k m e a s u r e m e n t p r o c e d u r e .A l t h o u g h a c h a n g e m i g h t m e a d v a n t a g e o u s , t h e r e a r e t o o ls a v a i l a b le t o i n v e s t i g a t et i l e v a l id i t y o f t h e v a l u e p r o d u c e d b y V a R . T h e s e t o o ls s t u d y t h e t a i l ri s k o f a lo s sd i s t r i b u t i o n a n d b y u s i n g v a r i a t i o n s o n t h e s e t o o l s , i t m i g h t b e p o s s i b le t o a s c e r t a i nt h e v a l i d i ty o f a V a R m e a s u r e .

4 . 1 T h e E x t r e m e Value Measu re [ 2 ]V a R i s a n e x t r e m e v a lu e s t a t i s t i c . A s s u c h , i t is i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d t h e p r o p e r -t ie s o f t h is t y p e o f s t a t is t i c i n o r d e r t o i m p r o v e o u r u n d e r s t a n d i n g o f o u r V a R r e s u l ts .T h e d e f i n i t i o n o f a p - p e r c e n t i l e , x v i s:

x p = F - X ( p ) = i , d { ~ r < F ( x ) > p } ,B a s e d o n a s a m p l e o f n d a t a p o i n t s , X 1 , . .. , X , , , t h e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h er a n d o m v a r i a b l e X i s d e f i n e d a s :

# { i : 1 < i < n a n d X i x ( = ) ,, , >_ . .. >_ x( , , ) . , , = m i , ~ ( x ~ , . .. , x , , ) ,

t h e n x v c a n b e a p p r o x i m a t e d b yn - k n - k + 1~p,,, = E T ' ( v ) = x ( ~ ) , , , , - -


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4 . 2 M e a n E x c e s s F u n c t i o nR e l a t e d t o t h e m e a n f u t u r e l i fe t im e r a n d o m v a r i a b l e o f a c t u a r i a l s c i e n ce , t h e M e a nE x c e s s F u n c t i o n ( M E F ) i s a f u n c t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t a il o f the l o s s d i s t r i b u -t i o n . U s i n g t h i s f u n c t i o n , i t is p o s s ib l e t o i d e n t i f y f a t t ai ls a n d a n o m a l i e s t h a t o c c u ri n t h e t a i l o f t h e a g g r e g a t e l o ss d i s t r ib u t i o n .T h e M e a n E x c e s s F u n c t i o n ( M E F ) [ 2 ] i s d e f i n e d a s

~(~,) : ~ ( x - ~ , ) x > ~ ) ,a n d t h e E m p i r i c a l M e a n E x c e s s F u n c t i o n i s d e f i n e d a s

E ? - ~ ( X i - ~ ) +~ . ( ~ ) = Ei~=l l{x,>u}B y p l o t t in g t h e M E F f o r s o m e c o m m o n di s tr ib u t io n s t h a t h a v e t h e s a m e m e a n a n d9 5 t h p e r c e n t i l e , i t is e a s y t o s ee h o w t h e M E F c a n b e u s e d t o i d e n t i f y l o n g t a i l e dd i s t r ib u t i o n s . T h e P a r e t o i s h a s t h e f a t te s t t ai l, a n d t h e L o g n o r m a l is a ls o k n o w n f o r

Me a n E x c e ss Func tions ( Me a n a nd 9 5 % i le Cons ta n t

e l

N 0 r m al [4 . S , 4 . 9 0 5 g ~ - - - ~ - . ~ . ~

o2' 4 6 8 10

v a l u e

F i g u r e 1 : M E F f o r t w o p a r a m e t e r d i s tr i b u t io n s w i t h Mean = 4 .5 a nd x05% - - 8 .143i ts h e a v i e r t ai l, t h e G a m m a h a s a l ig h t e r t ai l, a n d t h e N o r m a l d i s t r i b u t i o n is k n o w nf o r i ts s h o r t t ai l. T h u s , t h e s l o p e o f t h e M E F i n th e t a il o f t h e d i s t r i b u t i o n c a n b cu s e d t o e v a l u a t e t h e s e v e r i t y o f t h e t a il ri sk .

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5 C o n c l u s i o n sI t m a y b e n i ce to h a v e a r i sk m e a s u r e t h a t e v e r y o n e is w illin g t o i m p l e i n e n t ; h o w e v e r ,t h e r e is n o p o i n t t o h a v in g t h a t r is k m e a s u r e if i t c a n b c m a n i p u l a t e d . T h u s w e m u s tf in d s o m e w a y t o v e r if y t h e r i sk m e a s u r e , o r d e v el o p a n ew m e a s u r e t h a t d o e s n o ta llo w i ts e f f t o b e m a n i p u l a t e d . E x t r e m e V a l ue t h e o r y a n d t h e M e a n E x c e s s F u n c t i o na r e s u g g e s t e d a s w a y s t o s u p p l e m e n t t h e c u r r e n t V a R te c h n i q u e s . T h e s e s u g g e s t i o n sl n a y im p r o v e t h e c u r r e n t t e c h n iq u e s ; h o w e v e r , i t is e x t r e m e l y i m p o r t a n t t h a t w e s ti lls eaa 'ch for cons i s ten t r i sk measures [1] .R e f e r e n c e s[1] P h i l i p p e A r t z n e r , F r e d d y D e l b a el , J e a n - M a r c E b e r , a n d D a v i d H e a t h . A c h a r -

a c t e r iz a t i o n o f m e a s u r e s o f r is k . P r e s e n t e d a t U n i v e r s i ty o f W a t e r lo o , F e b r u a r y1996.

[2] F r a n c o B a s s i, P a u l E m b r e e h t s , a n d M a r i a K a f c t z a k i . A su r v i v a l k i t o n q u a n t i l ee s t i m a t i o n . P r e s e n t e d a t U n i v e r s i t y o f W a t e r l o o , 1 9 97 .

[ 3 ] N e w t o n L . B o w e r s , H a n s U . G e r b e r , J a m e s C . H i c k m a n , D o n a l d A . J o n e s , a n dC e c i l J . N e s b i t . A c t u a r i a l M a t h e m a t i c s . Ti l e S oc i e t y o f A c t ua r i e s , I t a s c a , I l li no i s ,f i r s t ed i t ion , 1986.

[4] D a r r e l l D uf f le a nd J u n P a n . A n o ve rv i e w o f va l ue a t r is k . T h e J o u r n a l o f D e r i v a -t i ves , 4(3) :7 48 , Spr ing 1997 .

[5 ] R obe r t V . H ogg a nd A l l e n T . C ra i g , I n t r o d u c t i o n t o M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s .P re n t i c e H a l l , En g l e w ood C lif fs , N e w J e r s e y , f i f th e d i t i on , 1995 .

[6] John C . Hul l . O p t i o n s , F u t u r e s , a n d O t h e r D e r i v a t i v e s . P r e n t i c e H a l l , U p p e rS a dd l e R i ve r , N e w J e r s e y , t h i rd e d i t i on , 1997 .

[7 ] S ha y l e R . S e a r l e , G e orge C a s e U a , a nd C ha r l e s E . Mc C ul l oc h . V a r i a n c e C o m p o -tzcnts. J oh n W i l e y a nd S ons , IN C . , N e w Y ork , f i rs t e d i t i on , 1997.

[8] M o r g a n G u a r a n t y T r u s t C o m p a n y : R i s k M a n a g e m e n t S e rv ic e s. I n t r o d u c t i o n t or i sk m e t r i c s . T e c h n i c a l r e p o r t , J P M o r g a n , r is k m e t r i c s @ j p m o r g a n . c o m , N e w Y o r k ,1995.

[ 9 1 S h a u n W a n g . A n a c t u a r i a l i n d e x o f t h e ri g h t - t a i l r is k . T e c h n i c a l R e p o r t 9 7 - 0 7,U n i v e r s i t y o f W a t e r lo o : I n s t i t u t e o f I n s u r a n c e a n d P e n s i o n R e s e a r c h , 1 99 7.

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Portfolio Var[1]