Position et vitesse d’une particule quantique

L’équation de Schrödinger générale

Chapitre 2

Joseph Fourier 1768-1830

William R. Hamilton 1805-1865

La particule libre en mécanique quantique

En mécanique quantique, l’état d’une particule ponctuelle est décrit par une fonction d’onde (on se limitera ici au cas à une dimension)

Description probabiliste : Une mesure de position donnera le résultat à près avec la probabilité

Si la particule est libre, c’est-à-dire n’est soumise à aucune force, ni aucune mesure, l’évolution de est donnée par

Evolution dans le temps :

�(x, t)

x

�(x, t)

i�⇥�

⇥t= � �2

2m

⇥2�

⇥x2

dP = |�(x, t)|2 dx

dx

P(x, t) = |�(x, t)|2densité de probabilité :

Questions centrales du cours d’aujourd’hui

Que trouve-t-on quand on mesure la vitesse ou l’impulsion d’une particule ?

Les relations d'incertitude de Heisenberg.

Notion d’opérateur position et d’opérateur impulsion

Equation de Schrödinger en présence d’un potentiel V (x)

Il s’agit également d’un résultat probabiliste, avec une densité de probabilité reliée à la transformée de Fourier de �(x, t)

Peut-on connaître à la fois la position et l’impulsion d’une particule ?

1.

La transformation de Fourier

propagation de la chaleur

⇥u(x, t)⇥t

= D⇥2u(x, t)

⇥x2

Des séries de Fourier à la transformation de Fourier

Fonction périodique de classe g(t)

g(t) C2T

⇥0 =2�

T

Convergence uniforme,

g(t) =+⇥�

n=�⇥fn e�in�0t

fn =1T

� T

0e�in�0t g(t) dt

t

g(t)

t

Si oui, comment trouver connaissant ?

Peut-on exprimer comme une somme « continue » d’exponentielles oscillantes ? e�i�t

g(t)

g(t) =� +⇥

�⇥f(�) e�i�t d�

?

f(�) g(t)

La transformation de Fourier, du cours de maths au cours de physique

Maths en tronc commun : la TF est définie dans L1 (fonctions sommables)

f �⇥ f f(�) :=�

RN

e�i�·x f(x) dx

Physique : la TF est défini dans L2 (fonctions de carré sommable)

1D :

On utilise aussi l’espace S de Schwartz : fonctions décroissant plus vite que toute puissance de x à l’infini

⇤(p) :=1�2��

� +⇥

�⇥e�ixp/� ⇥(x) dx

C�

� �⇥ ⇥

xp/� : sans dimension, x = longueur, = Joule.seconde p = impulsion �

Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (I)

Connaissant , on calcule en utilisant

Inversement, peut-on reconstruire si on connaît sa TF ?

OUI !

⇤(p) =1�2��

� +⇥

�⇥e�ixp/� ⇥(x) dx

⇥(x) =1�2��

� +⇥

�⇥eixp/� ⇤(p) dp

�(x) �(p)

�(p)�(x)

même s’il faut se souvenir de la valeur du signe dans On dit pour simplifier que et sont TF l’une de l’autre,

TF

�(x) �(p)

�(x) �(p)

e±ixp/�

Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (II)

La TF est une isométrie pour l’espace L2

TF TF

Notation compacte: ��1|�2⇥ = �⇥1|⇥2⇥

�1(x) �2(x) �2(p)�1(p)

���

1(x) �2(x) dx =�

⇥�1(p) ⇥2(p) dp

Si est normée, alors l’est également :

1 = ��|�⇥ = �⇥|⇥⇥Notation compacte:

1 =�

|�(x)|2 dx =�

|⇥(p)|2 dp

�(x) �(p)

d⇥(x)dx

=1�2��

�eixp/� ip

� ⇤(p) dp

Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (III)

On en déduit la TF de la dérivée de par rapport à x :

Dérivation par rapport à x dans l’espace des positions =

multiplication par p dans l’espace des impulsions

Dérivation et transformée de Fourier

On part de

et on suppose qu’on peut dériver sous le signe intégral (OK dans l’espace S)

TF

[ ]

�(x) �(p)

⇥(x) =1�2��

�eixp/� ⇤(p) dp

TF d�(x)dx

ip� �(p)

2.

La distribution en impulsion d’une particule quantique

Comment faire une mesure de vitesse ou d’impulsion ?

A l’instant , la particule a pour fonction d’onde t = 0 �(x, 0)

x

|�(x, 0)|2

�x⇥0

Méthode de temps de vol : la particule évolue pendant un temps t suffisamment long de sorte que (on peut montrer que quand ) �xt � �x0

x

Probabilité pour que la particule parcourt la distance pendant le temps t ? � L

�xt

L

L’analyse rigoureuse de ce problème est faite au chapitre 2, §6 (hors programme)

�x0

�x⇥0 x = �x⇥0 + L

�xt � t t�⇥

La densité de probabilité pour l’impulsion

Proposition : si une particule est dans l’état , alors la distribution de probabilité pour son impulsion est :

TF P(p) = |�(p)|2

�(x)

�(x) �(p)

Est-ce mathématiquement possible ?

On a vu que est normée si est normée, donc

peut donc bien être une densité de probabilité

�(p) �(x)�P(p) dp = 1

P(p)

Classiquement, une fois connue la trajectoire de la particule, on définit l’impulsion de la particule par :

Retrouve-t-on ce résultat au niveau quantique pour les valeurs moyennes ?

Est-ce physiquement réaliste?

x(t)

p = mdx

dt

Impulsion moyenne d’une particule libre quantique

Au niveau quantique, on sait calculer l’évolution de la position moyenne de la particule en fonction du temps :

x x

Trouve-t-on si on définit

par ?

�p⇥t

|�(x, 0)|2 |�(x, t)|2

�x⇥0 �x⇥t

�x⇥t =�

x |�(x, t)|2 dx�x⇥0 =�

x |�(x, 0)|2 dx

�p⇥t =�

p |�(p, t)|2 dp

�p⇥t = md�x⇥t

dt

Un résultat utile pour la suite du cours

Comment s’exprime en fonction de ? �(x)

�(x)�(p) TF

�p⇥ =�

p |�(p)|2 dp

On réécrit cette valeur moyenne sous la forme :

isométrie :

�p⇥ =�

��(p) p �(p) dp

�⇥�

1(p) ⇥2(p) dp =�

��1(x) �2(x) dx

dérivation :

d’où le résultat:

�2(p) = p �(p) TF �2(x) =�i

d�(x)dx

�p⇥ =�

��(x)�i

d�(x)dx

dx

TF '1( p ) = '( p ) 1(x) = (x)

Retour à la question : ?

L’évolution de la position moyenne de la particule est donnée par

�

Question résolue !

= �p⇥t (cf. diapo précédente)

�p⇥t = md�x⇥t

dt

d�x⇥t

dt=

ddt

�x ��(x, t) �(x, t) dx =

�x �� ⇥�

⇥tdx +

�x

⇥��

⇥t� dx

Intégrations par parties en supposant que tend vers 0 quand

On injecte alors l’évolution donnée par l’équation de Schrödinger

i�⇥�

⇥t= � �2

2m

⇥2�

⇥x2�i�⇥��

⇥t= � �2

2m

⇥2��

⇥x2

|x|�⇥

à vérifier en exercice md⇥x⇤t

dt= �i�

��� ⇥�

⇥xdx

3.

Opérateurs position, impulsion, énergie

et

l’équation de Schrödinger générale

Position et impulsion en mécanique quantique

Valeur moyenne de la position :

Valeur moyenne de l’impulsion :

multiplication par x

Structure commune en terme d’opérateur :

�(x) x�⇥ x �(x)

dérivation par rapport à x (à près)

Nous généraliserons plus tard cette structure à toute quantité physique

=�

��(x) x �(x) dx�x⇥ =�

x |�(x)|2 dx

�p⇥ =�

p |�(p)|2 dp

�p⇥ =�

��(x) [p �(x)] dx

�x⇥ =�

��(x) [x �(x)] dx

=�

��(x)�i

d�

dxdx

�(x) p�⇥ �i

d�(x)dx

Retour sur l’équation de Schrödinger pour une particule libre

Nous avons que l’évolution de la fonction d’onde d’une particule libre était régie à une dimension par l’équation :

i�⇥�

⇥t= � �2

2m

⇥2�

⇥x2

�(x, t)

Cette équation peut se réécrire en utilisant l’opérateur impulsion

i�⇥�

⇥t=

p2

2m� avec

ou encore i�⇥�

⇥t= H� avec H =

p2

2m

est l’opérateur « énergie cinétique », qui coïncide ici avec l’énergie totale car aucun potentiel n’est pris en compte H

Equation de Schrödinger = lien temps - énergie

�(x) p�⇥ �i

⇥�(x)⇥x

L’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel

V(x)

x

Nous allons garder la structure i�⇥�

⇥t= H�

en incluant dans toutes les contributions à l’énergie de la particule : cinétique et potentielle

H

avec

Equivalent quantique du principe fondamental de la dynamique (Newton)

L’équation de Schrödinger qui régit l’évolution de la fonction d’onde d’une particule de masse m en mouvement dans le potentiel V(x) s’écrit :

Principe 2 (cas général)

�(x, t)

i�⇥�

⇥t= H� H =

p2

2m+ V (x)

H�(x, t) = � �2

2m

⇤2�(x, t)⇤x2

+ V (x)�(x, t)Ecriture explicite :

: opérateur énergie totale ou « Hamiltonien » H

4.

Paquets d’ondes et

inégalité de Heisenberg

Interprétation « physique » de la TF

est une superposition d’ondes de de Broglie

Premier amphi : on a vu l’onde de de Broglie associée à une particule d’impulsion , mais cette onde n’est pas normalisée

Aujourd’hui : toute fonction d’onde normalisée peut s’écrire

représente l’amplitude de l’onde dans ce développement

+ + =

paquet d’ondes

p0

⇥(x) =1�2��

�eixp/� ⇤(p) dp

�(x)

�(p) eixp/�

�(x) = eixp0/�

eixp/�

Développement d’un vecteur sur une base orthonormée

La TF est similaire au développement sur une base

somme discrète intégrale

⇥A { ⇥un }

⌅A =�

n

�n ⌅un à relier à ⇥(x) =1�2��

�eixp/� ⇤(p) dp

up(x) = eixp/�/�

2��⇥un

vecteur ⇥A fonction �(x)Élément à développer

Type de somme

Vecteurs de base

« poids » d’un vecteur de base

normalisation

Hors programme pour ce cours (bases hilbertiennes dans l’amphi 5) On peut formaliser cette analogie en introduisant la notion de base continue.

�|�(p)|2 dp = 1

�

n

|�n|2 = 1

|�n|2 |�(p)|2

L’exemple d’un paquet d’ondes « gaussien »

Les calculs de TF peuvent être menés analytiquement avec les gaussiennes

�p⇥ = p0

�p = q

moyenne : écart-type :

Quelle est la fonction d’onde correspondante ? �(x)

p

p0

P(p)

2�p

moyenne : écart-type :

�x⇥ = 0�x =

�2q

Pour ce paquet d’ondes gaussien, on a toujours : �x �p =�2

Re(�)

x

2�x

h/p0

�(x) � eip0x/� e�q2x2/�2

P(x) � e�2q2x2/�2

�(p) � e�(p�p0)2/(4q2) P(p) � e�(p�p0)

2/(2q2)

Deux cas limites intéressants du paquet gaussien

Le paquet quasi-monocinétique : �p� p0

Il y a alors beaucoup d’oscillations de avec une amplitude similaire car

� =h

p0� �x =

�2 �p

�(x)

Le paquet bien localisé : �x � �

L’impulsion est alors mal définie : �p � p0

Re(�)

: un paquet ne peut pas être à la fois bien localisé et quasi-monocinétique �x �p =�2

Re(�)

x

x

�x

�On retrouve une onde plane dans la limite �p� 0

L’inégalité de Heisenberg dans le cas général

On se donne une fonction d’onde normalisée , de TF �(x) �(p)

P(p) = |�(p)|2

P(x) = |�(x)|2

�x =�⇥x2⇤ � ⇥x⇤2

⇥1/2

Distribution de probabilité pour la position de la particule :

Distribution de probabilité pour l’impulsion de la particule :

�p =�⇥p2⇤ � ⇥p⇤2

⇥1/2

On a toujours : �x �p � �2

égalité atteinte seulement pour les gaussiennes

cf. PC

�p⇥ =�

p |�(p)|2 dp

�x⇥ =�

x |�(x)|2 dx

Signification physique de l’inégalité de Heisenberg

Il est impossible de préparer une particule dans un état tel que la position et l’impulsion de la particule soient simultanément arbitrairement bien définies

On considère 2N particules toutes préparées dans le même état

Mesure de la position sur N particules Mesure de l’impulsion sur N particules

�(x) TF�⇥ ⇥(p)

x p

n(p)n(x)

�x⇥�x �p

�p⇥

�x �p � �2

Ces histogrammes ne peuvent pas être simultanément arbitrairement étroits

Cette relation d'incertitude n'a rien à voir avec la résolution des appareils de mesure, c'est-à-dire la largeur des canaux des histogrammes

5.

La catastrophe classique de l’effondrement de la matière par rayonnement

L’instabilité de la matière « classique » (1)

La « catastrophe » du rayonnement classique pour un atome :

une charge accélérée rayonne.

un électron tournant autour d’un noyau est accéléré,

Dans le modèle planétaire classique, l’électron en rotation autour du noyau finit par « tomber » sur ce noyau.

Un électron en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de pulsation

équilibre des forces :

énergie cinétique :

énergie totale : Etot ⇥ �⇤r � 0

énergie potentielle : V (r) = �e2/r e2 =q2

4⇡"0

!

m!2r = e2/r2

Ecin =e2

2r

Etot

= Ecin

+ V (r) = � e2

2r

L’instabilité de la matière « classique » (2)

Puissance rayonnée par une charge accélérée (cf. cours d’électromagnétisme antérieur) :

P ⇠ e2a2

c3

a = !2r : accélération c : vitesse de la lumière

Perte relative d’énergie sur un tour :

Valeur typiques : r = 1 A ! ⇡ 2 1016 s�1

La perte relative d’énergie par tour est faible ( ), mais l’électron fait tours par seconde…

En un temps de l’ordre de , l’électron devrait tomber sur le noyau !

�E

|Etot

| ⇠ 4⇡

✓e2/r

mc2

◆3/2

e2/r

mc2⇡ 3 10�5

!/(2⇡) ⇡ 3 1015

m2c3r3/e4 ⇡ 0.4 ns

⇡ 10�6

On a ici et donc

La stabilité de la matière « quantique »

Les atomes sauvés par l’inégalité de Heisenberg…

Confiner une particule dans une région d’étendue L « coûte » de l’énergie cinétique :

�x � L �p � �2L

Quand la taille L de « l’orbite » tend vers 0, ce coût en énergie cinétique l’emporte sur le gain en énergie potentielle

L

classique quantique

Ecin =�p2

2m� ~2

8mL2hpi = 0

/ 1/L2

/ �1/L

La taille de « l’orbite » de l’électron qui minimise son énergie totale

Minimum de atteint pour

Raisonnement non rigoureux, mais qui donne bien (à un facteur numérique près) le rayon de Bohr, c’est-à-dire la taille de l’état fondamental de l’atome d’hydrogène

Etot

= Ecin

+ Epot

Ecin ⇠~2

8mL2

Epot

⇠ V (L) = �e2

L

~2

8mL2� e2

L

Etot

LLmin

Lmin =~2

4me2

Dans cet état fondamental, l’atome ne peut pas rayonner d’énergie

En résumé

Distribution de probabilité pour la position et pour l’impulsion |�(x)|2 |�(p)|2

TF �x�p � �2

Equation de Schrödinger générale :

H =p2

2m+ V (x)Opérateur énergie ou « Hamiltonien »

i�⇥�

⇥t= H�

Structure opératorielle :

�(x) x�⇥ x �(x)Opérateur position :

Opérateur impulsion : �p⇥ =�

��(x) [p �(x)] dx

�x⇥ =�

��(x) [x �(x)] dx

�(x) p�⇥ �i

⇥�(x)⇥x