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MATHÉMATIQUES
Pour bien débuter ma 1èreES/L
CORRECTION
SOMMAIRE
Partie 1 : CALCUL ALGÉBRIQUE
Partie 2 : FONCTIONS
Partie 3 : PROBABILITÉS
Partie 4 : PROBLÈMES
PARTIE 1 : CALCUL ALGÉBRIQUE
EXERCICE 1 : DEVELOPPEMENT
2
2
2 2 3 2 3 4 6
2 7 6
A x x x x x x
x x
22 7 6A x x x
2 2
2
2
1 1 12 2 2 2
2 2 2
14 2
4
B x x x x
x x
2 14 2
4B x x x
5 3 2 4 5 3 3 2C x x x x x
2 210 20 6 12 15 10 9 6x x x x x x
2 210 14 12 15 19 6x x x x
25 5 18x x
25 5 18C x x x
2 2
1 11 1
3 4D x x x
2 21 2 1 11 1
9 3 16 2x x x x
216 9 4 3
9 16 3 2x x
27 1
144 6x x
27 1
144 6D x x x
2
3 2 2
3 2
3 1 5 2 3
15 6 9 5 2 3
15 11 7 3
E x x x x
x x x x x
x x x
3 215 11 7 3E x x x x
2
2
3 2 2
3 2
7 1 2 5 5 3
7 1 10 6 25 15
7 1 6 25 25
42 175 175 6 25 25
42 169 150 25
F x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x
3 242 169 150 25F x x x x
EXERCICE 2 : FACTORISATION
23 5 5 2 1
5 3 5 2 1
5 3 15 2 1
5 5 14
A x x x x
x x x
x x x
x x
5 5 14A x x x
22 24 1 2 1 2 1 2 1B x x x x x
2 1 2 1B x x x
2
2
3 4 5 4 3
3 4 5 3 4
3 4 3 4 5
3 4 3 9
C x x x
x x
x x
x x
3 4 3 9 3 3 4 3C x x x x x
22 2 1 1D t t t t
2
1D t t
24 4 3 4 3E x x x x x
4 3E x x x
2 2
2 23 5
3 5
2 2 2 23 5 3 5
3 5 3 5
17 13 13 17
3 5 3 5
F x x x
x x x x
x x
17 13 13 17
3 5 3 5F x x x
2 21 2 1 2
1 2 2 1 1 2
1 2 2 1
1 2 2 3
G x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
1 2 2 3G x x x x
23 2 25 10 5 5 2 1 5 1H x x x x x x x x x
2
5 1H x x x
3 2 24 49 9
5 5K x x x x x x x
2 49
5K x x x x
4
EXERCICE 3 : AVEC DES QUOTIENTS
4 7
2
2 74
2 2
4 14 2
2
3 10
2
x xA
x x
xx
x x
x x
x
x
x
3 10
2
xA
x
2
2
2 31
1 8
2 8 3 1
1 8 1 8
1 8
1 8
2 16 3 3 9 8
1 8
8 21
1 8
Bx x
x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
2 8 21
1 8
x xB
x x
2 2
2 2
a bC
a b a b
a a b b a b
a b a b a b a b
a ab ab b
a b a b
a b
a b a b
2 2a bC
a b a b
2
2 2
2
2
3 1 2
4 4
3 1 4 2
4 4
3 12 4 2
4
xD
x x
x x
x x
x x x
x
2
2
3 13 2
4
x xD
x
2 2 2 2
22
2
x y x yx yE
y x xy
x y x y
xy xy xy
y
xy
y
x
2yE
x
2 2
2
6 4 3 1
2 1 3
3 6 4 2 1 3 1
3 2 1 3 2 1
18 12 6 2 3 1
3 2 1
12 13 1
3 2 1
x xF
x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
212 13 1
3 2 1
x xF
x x
EXERCICE 4 : AVEC DES PUISSANCES
45 2 7 4 4 11 5A a a b ab a b a b a b
11 5A a b
2 2 22 2
22
4 4 44 4 16
2 42
n n nn n
nn nB
16B
2 3 1 2 35 2 5 2 2 25 8 2 2 200n n
n n n n nC
2 200nC
144 4nD
21
21
2 21 1
2 21 1
2 2 2 1 2
2 2 1 2 2
2 2
2 1 2
2
2
2
8 8
4 4
8 2 8 8 8
4 2 4 4 4
8 2 8 8
4 2 4 4
8 8 2 8 1
4 1 2 4 4
8 81
1 141 2
4 4
81 162 4 81 144 4
9 9
16
n n
n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n
n
n
n
n n n
D
5
EXERCICE 5 : RESOLUTION D’EQUATIONS
a.
11 1 1 1 1 142 2 22 4 4 2 4 2 8
x x x x x
1
8S
b. 2 2 2 22 2 1 2 2 2 2
3 0 03 3 3 9 9 3 3
x x x x x x
2 2 2 20 0
3 3 3 3 ou ou x x x x
2 2;
3 3S
c. 2 5
3 2 4 5 0 3 2 0 4 5 03 4
ou ou x x x x x x
2 5
;3 4
S
d. 2 22 3 5 1 1 0 2 3 0 5 1 0 1 0 ou ou x x x x x x
3 1
2 5 ou x x car pour tout x ,
201x
3 1;
2 5S
e. 2 5 0 5 0 0 5 0 0 5 ou ou x x x x x x x x 0; 5S
f. 21 1 3
2 3 0 2 3 0 02 2 2
car x x x
3
2S
g. 2 2
2 3 5 7 0 2 3 5 7 2 3 5 7 0 7 10 3 4 0x x x x x x x x
7 10 0 3 4 0
10 4
7 3
ou
ou
x x
x x
10 4;
7 3S
h. 24 9 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 0 2 3 2 3 2 0x x x x x x x x x x
3
2 3 5 0 2 3 0 5 0 52
ou ou x x x x x x
3;5
2S
i. 4 3
02 2
x
x
2 2 0 1x x donc 1 est la valeur interdite, on suppose donc 1x
4 3 30 4 3 0 1
2 2 4
xx x
x
3
4S
j. 2
24
x
x
4 0 4x x donc 4 est la valeur interdite, on suppose donc 4x
2 2 42 2 3 62 2 0 0 0 3 6 0 2 4
4 4 4 4
x xx x xx x
x x x x
2S
6
k. 1
11 2
x
x x
1 0 1x x et 2 0 0x x donc 0 et 1 sont les valeurs interdites,
on suppose donc 1x et 0x
2 2
2 2 11 1 11 1 0 0
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 2 10 0 1 0 1
2 1 2 1
x x x xx x x
x x x x x x x x x x
x x x x xx x
x x x x
1 n’est pas une valeur interdite 1S
l. 1 2 1
3 2 6 2
x
x x
3 0 3x x et 2 6 2 3x x donc 3 est la valeur interdite,
on suppose donc 3x
1 2 1 1 2 1 2 2 3
0 03 2 6 2 3 2 6 2 2 3 2 3 2 3
x x x x
x x x x x x x
2 2 3 2 3 3
0 0 2 3 0 32 3 2 3 2
x x xx x
x x
3
2S
m. 2 3 3
2 1
x x
x x
2 0 2x x et 1 0 1x x donc 2 et 1 sont les valeurs interdites,
on suppose donc 2x et 1x
2 2
22
2 3 1 3 22 3 3 2 3 30 0
2 1 2 1 1 2
2 2 3 3 2 3 60
1 2
30 3 0
1 2
x x x xx x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
xx
x x
Or, pour tout \ 1;2x , 2 3 0x donc
2 3 0x n’a pas de solution
Donc S
EXERCICE 6 : RESOLUTION D’INEQUATIONS
7
a. 3 5 2 2 3 2 15 3 2 2 3 2 0 14 6 2 2 0x x x x x
6 2 2 3 2 1
14 7x x
3 2 1;
7S
b. 4 2 5 3 12 3 1 20 10 4 8 15 5 20 10
1 0 05 4 2 20 20 20 20 20
x xx x x x x x x
170 17 0 17 17
20
xx x x
17;S
c. 2 2 3 3 2 72 3 2 7 4 6 6 21 25
3 3 3 3 25 183 2 6 6 6 6
x xx x x x
25 18 donc S
d. 3 1 4 0x x Dressons le tableau de signes de 3 1 4x x :
13 1 0
3x x
4 0 4x x
1
4;3
S
e. 2
4 1 9 0 4 1 3 4 1 3 0 4 4 4 2 0x x x x x
4 4 0 1x x
14 2 0
2x x
1
; 1;2
S
f. 2 7
03
x
x
3 0 3x x donc 3 est la valeur interdite
72 7 0
2x x
73 ;
2S
8
g. 2 0 2x x donc 2 est la valeur interdite
Transformons l’inéquation : 2 1 33
0 02 2
x xx x
x x
0x
11 3 0
3x x
1
2;0 ;3
S
h. 2 225 5 3 1 25 5 3 1 0 5 5 5 3 1 0x x x x x x x x x x
5 5 3 1 0 5 2 4 0x x x x x
5 0 5x x
2 4 0 2x x
;2 5;S
i. 2 4
14
x
x
4 0 4x x donc 4 est la valeur interdite
Transformons l’inéquation : 2 4 2 4 2 4 4
1 1 0 0 04 4 4 4 4
x x x x x
x x x x x
0x
0;4S
j. 03 1 2 1x x x
13 1 0
3x x / 2 0 2x x / 1 0 1x x
1; 1;23
S
9
k. 3 2 5 3 2 5 0 3 2 5 0 2 0x x x x x x x x x x x x x
0x
2 0 2x x
; 2 0;S
l. 2 1 3
12 4 2
x
x x
2 0 2x x et 4 2 2 2x x donc 2 est la valeur interdite
Transformons l’inéquation : 2 2 12 1 3 3 4 2 6 5
1 0 02 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2
xx x x
x x x x x x
56 5 0
6x x
5
;26
S
m.
21
23
x
x
3 0 3x x donc 3 est la valeur interdite
Transformons l’inéquation :
2 2
1 12 2 0
3 3
x x
x x
2 22 32 1 70 0
3 3 3
xx x x
x x x
3;S
EXERCICE 7 : AVEC DES POURCENTAGES
1. Dans un club de sport, il y a 450 adhérents. 54 d’entre eux pratiquent le volley-ball.
a. 54
100 12450
. Il y a 12 % d’adhérents qui pratiquent le volley-ball.
b. 100 – 12 = 86. Il y a 86 % d’adhérents qui ne pratiquent pas le volley-ball.
10
2. En 2013, les résultats du baccalauréat ont été les suivants :
- en série L, 91 % d’admis sur 55 324 candidats;
- en série ES, 97 729 admis parmi 106 801 candidats;
- en série S, 92,6 % d’admis p50our 169 869 candidats.
a. 91
55324 50345100
. Il y a 50 345 admis en série L . 92,6
169869 157299100
. Il y a 157 299 admis en S.
b. 97729
100 91,5106801
. Il y a 91,5 % d’admis en série ES.
c. 50345 97729 157299
100 9255324 106801 169869
. Il y a globalement 92 % d’admis sur l’ensemble des trois séries.
11
PARTIE 2 :FONCTIONS
EXERCICE 1
1. On cherche l’abscisse des points d’intersection de
fC avec la droite d’équation 3y .
Il y a deux points d’abscisses respectives 1
2 et 1.
L’ensemble des solutions est donc ;1S 1
2.
2. On cherche l’abscisse des points d’intersection de
𝐶𝑓 avec la droite d’équation 0y .
Il y a un seul point d’abscisse 1,8.
L’ensemble des solutions est donc un
intervalle 𝑆 =]1,8; +∞[.
EXERCICE 2
a. 1/𝑆 = {−2} ; 2/𝑆 = {−3; 3} ; 3/𝑆 = {−3} ; 4/𝑆 = {−4; −0,9; −0,1}. b. 1/𝑆 = {−3,2; 3} ; 2/𝑆 = {−0,5; −1,8} ; 3/𝑆 = {−2; −1,5,2,3} ; 4/𝑆 = {−3; −2; 1}. c. 1/𝑆 =] − ∞; −1]𝑈[2; +∞[ ; 2/𝑆 = [−3; 3] ; 3/𝑆 =] − 3; +∞[ 4/𝑆 =] − ∞; −0,9]𝑈[−0,2; +∞[
d. 1/𝑆 =] − ∞; −3,2[𝑈]3; +∞[ ; 2/𝑆 =] − ∞; −1,7]𝑈[−0,5; +∞[ ; 3/𝑆 =] − ∞; −2[𝑈]2,5; +∞[
4/𝑆 =] − ∞; −3]𝑈[−2; 1]
e. Tableau de signe de 𝑓 : Tableau de signe de 𝑔 :
EXERCICE 3
a. On veut résoudre sur ℝ l’équation 𝑓(𝑥) = −2 Soit −6𝑥 − 7 = −2 Donc −6𝑥 = 7 − 2 Donc −6𝑥 = 5.
On obtient x 5
6 .
-1 a pour seul antécédent par 𝑓 le nombre 5
6.
On veut résoudre sur ℝ l’équation 𝑓(𝑥) = 3 Soit −6𝑥 − 7 = 3 Donc −6𝑥 = 10
On obtient 5
3x
10
6.
-1 a pour seul antécédent par 𝑓 le nombre 5
3 .
b. On calcule 𝑓(0) : 𝑓(0) =2
3×0 + 2 = 2 . L’image de 0 par 𝑓 est 2.
12
On calcule 𝑓(4) : 𝑓(4) =2
3×4 + 2 =
8
3+
6
3=
14
3.
EXERCICE 4
1. f(x) = 3x + 1 m =3 p =1 Tableau de valeurs de 𝒇 :
x -2 -1 0 1 2
f(x) -5 -2 1 4 7
Tableau de variations de 𝒇 :
2.h(x) = -2x m = -2 p =0 Tableau de valeurs de h:
x -2 -1 0 1 2
h(x) 4 2 0 -2 -4
Tableau de variations de h :
EXERCICE 5
f est la fonction définie sur ℝ par 2 2 3f x x x
1. Calculons 𝑓(1).
𝑓(1) = 12 − 2×1 − 3 = −4. Comme 𝑓(1) = −4, le point A(1 ;-4) appartient à la courbe de 𝑓.
Calculons 𝑓(−3).
𝑓(−3) = (−3)2 − 2×(−3) − 3 = 9 + 6 − 3 = 12. Comme 𝑓(−3) = 12, le point B(-3 ;12) n’appartient pas à la
courbe fC
2. Le point D appartient à la courbe de 𝑓.
Son abscisse vaut 4 donc son ordonnée vaut 𝑓(4). Or 𝑓(4) = 42 − 2×4 − 3 = 16 − 8 − 3 = 5.
Ainsi l’ordonnée de D est 5.
EXERCICE 6
a. La fonction 𝑓 est une fonction affine donc elle est définie sur ℝ.
b. Les fonctions du second degré sont définies sur ℝ donc 𝑔 est définie sur IR.
c. ℎ(𝑥) existe si et seulement si 3 − 2𝑥 ≥ 0. Si 3 − 2𝑥 ≥ 0 alors −2𝑥 ≥ −3 donc 𝑥 ≤3
2.
Ainsi les solutions de l’inéquation sont dans l’ensemble 𝑆 = ] − ∞ ;3
2[ et a fonction ℎ est définie sur ] − ∞ ;
3
2[.
13
d. La fonction 𝑘 est définie lorsque 2𝑥 − 4 ≠ 0. Si 2𝑥 − 4 0 alors 2𝑥 4 donc 𝑥 2.
La fonction 𝑘 est donc définie sur ] − ∞; 2[]2; +∞[.
e. l( x) existe si et seulement si 𝑥 ≥ 0 et 𝑥 − 5 ≠ 0. Soit 𝑥 ≥ 0 et 𝑥 5.
La fonction 𝑙 est donc définie sur [0; 5[]5; +∞[.
EXERCICE 7
1. a)Vrai. En effet : 0,5 ∈ [0; 1] et 0 ≤ 1 ≤ 𝑓(0,5) ≤ 2 (𝑓 est croissante)
b) Faux. Il en possède deux : un sur l’intervalle [-3 ;0] et en 1
c) Vrai. La fonction 𝑓 est décroissante sur [1 ;2,5] : comme 1,5 ≤ 2on sait que 𝑓(1,5) ≥ 𝑓(2)
d)Faux. La fonction 𝑓 est croissante sur [0 ;1] : comme 0,5 ≤ 0,7on sait que 𝑓(0,5) ≤ 𝑓(0,7)
e)On ne sait pas.
f)Faux. En effet, 𝑓(1) = 2 ≠ 0.
2. Courbe représentative de f
EXERCICE 8
1.
𝑥 -5 -4 -2 0 1 6
f(x) 5 11 7 3 -1 4
2. Cet algorithme sert à calculer les images par la
fonction 𝑓.
3.
𝑓(𝑥) = {
5 sur [−6; −4[−2𝑥 + 3 sur [−4; 1[
𝑥 − 2 sur [1; 8[
EXERCICE 9
a. Si 3 ≤ 𝑥 ≤ 4 alors 32 ≤ 𝑥2 ≤ 42 car la fonction carrée est croissante sur [0; +∞[. Donc 𝟗 ≤ 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟔 .
b. Si −6 ≤ 𝑥 ≤ −4 alors (−6)2 ≥ −𝑥 ≥ (−4)² car la fonction carrée est décroissante sur ] − ∞; 0]. Ainsi 𝟑𝟔 ≥
𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟔.
c. Si −5 ≤ 𝑥 ≤ 9 alors 0 ≤ 𝑥2 ≤ max((−5)2, 92) = 81. Donc 𝟎 ≤ 𝒙𝟐 ≤ 𝟖𝟏.
EXERCICE 10
a. Comme 2
3< 𝑥 ≤
5
4 et la fonction inverse étant décroissante sur ]0; +∞[ , on a
𝟒
𝟓≤
𝟏
𝒙≤
𝟑
𝟐.
b. Comme −3
4≤ 𝑥 < −
1
2, et la fonction inverse étant décroissante sur ]0; +∞[ , on a −𝟐 <
𝟏
𝒙< −
𝟒
𝟑.
c. Comme −2 < 𝑥 < 1 alors −𝟏
𝟐<
𝟏
𝒙<1 car lun nombre et son inverse sont du même signe .
2 3-1-2-3
2
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
14
EXERCICE 11
Si 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 alors 4 ≤ 2𝑥 ≤ 6 donc 1 ≤ 2𝑥 − 3 ≤ 3.
Comme la fonction carrée est croissante sur ]0; +∞[, alors 1 ≤ (2𝑥 − 3)2 ≤ 32.
Puis 5 ≤ 5(2𝑥 − 3)2 ≤ 45.
Enfin 𝟒 ≤ 𝟓(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐 − 𝟏 ≤ 𝟒𝟒.
EXERCICE 12
On considère la fonction f définie sur ℝ par 2
3 4f x x .
1. f(x) = (x 5)(x 1) ; f(1) = f(5) = 0 ; La courbe de f coupe l’axe des abscisses en 1 et 5.
2.f(x) = x² 6x + 5 ; f(0) = 5 ; La courbe de f coupe l’axe des ordonnées en y = 5.
3. f(4) = 45 ; f( 2
3) =
13
9 ; f(√5) = 14 6√5.
4.f(x) =4 si et seulement si x = 3 ; f(x) = 5 si et seulement si x = 0 ou x = 6.
5.f(x)≤12 ⇔ (x3)² 4≤12 ⇔ (x 3)² 16≤0 ⇔ (x 3)² 4²≤0 ⇔ (x 3 4)(x3 + 4)≤0 ⇔ (x 7)(x + 1)≤0
Signe de (x 7)(x + 1) : comme x7 = 0 ⇔x = 7 et x + 1 = 0 ⇔x = 1 alors
x 1 7
x 7 0 +
x + 1 0 + +
(x 7)(x +
1) + 0 0 +
S = [1 ; 7]
6.f(x) (4) = (x3)² ≥0 et f(3) = 4(a 3)² > (b 3)²≥0
7. Si a <b≤3 alors a 3<b 3≤0. Or la fonction carré est croissante sur ;3 donc (a 3)² > (b 3)²≥0
d’où (a 3)²4 > (b 3)² 4 ≥4 ainsi f(a) >f(b) ≥4 et Si 3 ≤a<b … 4 ≤f(a) <f(b)
ainsi 4 est le minimum de f surℝ.
8. 0,8 ≤x ≤0,9 alors f(0,8)≥f(x)≥f(0,9) car f est décroissante donc 4 ≥f(x)≥ 0,41.
9. Voir calculatrice.
EXERCICE 13
La fonction f définie par 2 1
1
xf x
x
.
1.x1, Df= ]∞ ; 1[∪]1 ; +∞[ 2.f(4) = 3 et f(3
5) =
1
8
3.f(1
2) = 0 et f(2) = 1 4.f(x) ≥2 si et seulement si x∈]∞ ; 1[∪]3 ; +∞[
5. Réduction au même dénominateur.
6. Si a< b <1 …. f(a) <f(b) ainsi f est croissante sur ; 1 ; si 1 <a<b … f(a) <f(b) ainsi f est croissante sur 1; .
7. Voir calculatrice.
15
PARTIE 3 :PROBABILITÉS
EXERCICE 1
Une urne contient des boules numérotées 1, 2 ou 3.
Un quart des boules porte le numéro 1, un tiers le numéro 2.
On tire au hasard une boule dans l’urne.
p(1) = 1
4 , p(2) =
1
3 et p(3) = 1
1
4
1
3=
5
12
Loi de probabilité sur l’ensemble 1, 2, 3 des issues :
Issues 1 2 3
Probabilités 1
4
1
3
5
12
• La droite C1 a pour équation 𝑦 = 5𝑥
• La droite C2 a pour équation 𝑦 = 2𝑥 − 2
• La droite C3 a pour équation 𝑦 = −1
3𝑥 + 3
16
P
,,,
P
,,,
P,,,
F,,,
F
,,, P,,,
F,,
F
,,, P
,,,
P,,,
F,,,
F
,,, P,,,
F,,,
EXERCICE 2
On lance deux dés équilibrés, l’un vert l’autre rouge.
Une issue de l’expérience est un couple (𝑣 ; 𝑟) où 𝑣 est le numéro obtenu avec le dé vert et 𝑟 est le numéro obtenu
avec le dé rouge.
1. On peut modéliser cette expérience par une loi d’équiprobabilité car toutes les issues ont la même probabilité
d’être réalisée.
2. L’expérience compte 6 6 soit 36 issues.
3. La probabilité de l’issue 1;5 est 1
36 .
4. La probabilité de l’évènement A : « Obtenir le nombre 2 avec le dé rouge » est 6
36 soit
1
6.
EXERCICE 3
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et on note la face visible.
Soient les événement P : « Obtenir la face PILE » et F : « Obtenir la face FACE ».
a. l’arbre pondéré donner l’ensemble des issues de cette expérience aléatoire.
Arbre pondéré
Issues
(P; P; P)
(P; P; F)
(P; F; P)
(P; F; F)
(F; P; P)
(F; P; F)
(F; F; P)
(F; F; F)
b. La probabilité d’obtenir exactement deux fois la face PILE est p({ (P; P; F); (P; F; P); (F; P; P) }) = 3
8.
c. La probabilité d’obtenir au moins deux fois la face FACE est p({ (P; F; F); (F; F; P); (F; P; F); (F; F; F) }) = 4
8=
1
2.
EXERCICE 4
Dans une classe de 30 élèves, 20 adhèrent au foyer socio-éducatif, 10 à l’association sportive et 8 ne sont membre ni de
l’un ni de l’autre.
On choisit un élève au hasard et on s’intéresse aux évènements :
A : « L’élève adhère au foyer socio-éducatif» et B : « l’élève adhère à l’association sportive »
1. A : « L’élève n’adhère pas au foyer socio-éducatif »
A B : « L’élève adhère au foyer socio-éducatif ou à l’association sportive »
A B : « L’élève adhère au foyer socio-éducatif et à l’association sportive »
17
2. p(A) = 20 2
30 3 ; p(B) =
10 1
30 3 ; p( A ) = 1
2 1
3 3 ; p( A B ) =
8 22 11
30 30 151 ;
p( A B ) = p(A) + p(B) p( A B ) = 20
30
10
30
22
30=
8 4
30 15 .
EXERCICE 5
Une urne contient 4 boules numérotées 1, 2, 3 et 4.
1. On tire au hasard une boule de l’urne, sans la remettre, puis on en tire une seconde.
a. Arbre pondéré.
Somme
3
4
5
3
5
6
4
5
7
5
6
7
Produit
2
3
4
2
6
8
3
6
12
4
8
12
b. Donner la probabilité des évènements suivants :
A : « On a obtenu au plus un 1 » ; p(A) = 12
121 .
B : « On a obtenu au moins un nombre pair » ; p(B) = 10 5
12 2 .
C : « La somme de deux nombres est supérieure ou égale à leur produit » ; p(C) = 6 1
12 2 .
D : « Le produit de deux nombres est strictement supérieur à 7 » ; p(D) = 4 1
12 3 .
2. On tire au hasard une boule de l’urne, puis on la remet dans l’urne, ensuite on en tire une seconde boule. a. Arbre pondéré.
1
0,25
2
0,25
30,25
4
0,25
2
0,25
1
0,25
30,25
4
0,25
3
0,25 1
0,25
20,25
4
0,25
4
0,25
1
0,25
20,25
3
0,25
18
Somme
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
Produit
1
2
3
4
2
4
6
8
3
6
9
12
4
8
12
16
b. Donner la probabilité des évènements suivants :
A : « On a obtenu au plus un 1 » ; p(A) = 15
16 .
B : « On a obtenu au moins un nombre pair » ; p(B) = 12 3
16 4 .
C : « La somme de deux nombres est supérieure ou égale à leur produit » ;. p(C) = 8 1
16 2 .
D : « Le produit de deux nombres est strictement supérieur à 7 » ; p(D) = 6 3
16 8 .
1
0,25
10,25
20,25
3
0,25
4
0,25
2
0,25
10,25
20,25
30,25
4
0,25
3
0,251
0,2520,25
3
0,25
4
0,25
4
0,25
10,25
20,25
30,25
4
0,25
19
PARTIE 4 :PROBLÈMES
PROBLEME 1
On considère le trapèze rectangle ABCD
tel que 6cmAB , 4cmAD et 2cmDC .
M est un point du segment AD et N un
point du segment AB tels que :
AM BN x .
1. x AM où M AD et 4AD cm
donc 0;4x . ( AB AD donc on se restreint à AD )
2.
a. 4 4
4 2 8 8 162 2
ABCD ADCH BCH
CH HBA A A AD DC
. Donc 16ABCDA cm2.
b. 2
26 6
3 0,52 2 2
AMN
x xAM AN x xA x x x
. Donc 23 0,5AMNA x x x .
c. 2 4
42 2
DCM
xDC DMA x x
. Donc 4DCMA x x .
d. BCMN ABCD AMN DCMA x A A x A x
2 2 216 3 0,5 4 16 3 0,5 4 0,5 2 12x x x x x x x x
Donc 20,5 2 12BCMNA x x x .
On note f la fonction représentant l’aire de BCMN en fonction de x .
Ainsi 20,5 2 12f x x x pour tout 0;4x .
3. On souhaite résoudre le problème suivant : pour quelle valeur de x l’aire de BCMN est minimale et
quelle est cette aire minimale.
a. Pour tout 0;4x , 2 2 2 20,5 2 10 0,5 4 4 10 0,5 2 2 10 0,5 2 12x x x x x x x .
Donc, pour tout 0;4x , 2
0,5 2 10f x x .
b. On en déduit le tableau de variation de f :
Ainsi le minimum de f est10 , atteint pour 2x .
L’aire de BCMN est donc minimale pour 2x cm et l’aire vaut alors 10 cm2.
20
4. On souhaite résoudre le problème suivant : pour quelles valeurs de x l’aire de BCMN est strictement
supérieure ou égale à 10,5 .
a. Pour tout 0;4x , 2 20,5 1 3 0,5 3 3 0,5 2 1,5x x x x x x x et
2 210,5 0,5 2 12 10,5 0,5 2 1,5f x x x x x
Donc pour tout 0;4x , 10,5 0,5 1 3f x x x
b. Tableau de signe 0,5 1 3x x :
c. 10,5 10,5 0 0;1 3;4f x f x x
Donc l’aire de BCMN est strictement supérieure ou égale à 10,5 lorsque 0;1 3;4x .
PROBLEME 2
Une société veut imprimer un catalogue. Elle loue une machine 800 euros et chaque catalogue lui coûte 3
euros de matières premières.
1. Si la société imprime 100 catalogues, le coût total est 800 3 100 1100 euros.
Donc le coût d’un catalogue est 1100
11100
euros.
Si la société imprime 500 catalogues, le coût total est 800 3 500 2300 euros.
Donc le coût d’un catalogue est 2300
4,6500
euros.
2. Notons x le nombre de catalogues produits, 0x .
Le coût d’un catalogue est alors : 800 3x
x
.
On résous donc 800 3
5x
x
.
800 3 800 3 800 3 5 800 25 5 0 0 0 800 2 0
x x x x xx
x x x x
car 0x
2 800 400x x
Ainsi l’entreprise doit produire plus de 400 catalogues pour avoir un coût inférieur à 5 euros par
catalogue.
