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MATHÉMATIQUES
Pour bien débuter ma 1ère S
CORRECTION
SOMMAIRE
Partie 1 : CALCUL ALGÉBRIQUE
Partie 2 : FONCTIONS
Partie 3 : GÉOMÉTRIE
Partie 4 : PROBABILITÉS
Partie 5 : PROBLÈMES
PARTIE 1 : CALCUL ALGÉBRIQUE
EXERCICE 1 : DEVELOPPEMENT
2
2
2 2 3 2 3 4 6
2 7 6
A x x x x x x
x x
22 7 6A x x x
2 2
2
2
1 1 12 2 2 2
2 2 2
14 2
4
B x x x x
x x
2 14 2
4B x x x
5 3 2 4 5 3 3 2C x x x x x
2 210 20 6 12 15 10 9 6x x x x x x
2 210 14 12 15 19 6x x x x
25 5 18x x
25 5 18C x x x
2 2
1 11 1
3 4D x x x
2 21 2 1 11 1
9 3 16 2x x x x
216 9 4 3
9 16 3 2x x
27 1
144 6x x
27 1
144 6D x x x
2
3 2 2
3 2
3 1 5 2 3
15 6 9 5 2 3
15 11 7 3
E x x x x
x x x x x
x x x
3 215 11 7 3E x x x x
2
2
3 2 2
3 2
7 1 2 5 5 3
7 1 10 6 25 15
7 1 6 25 25
42 175 175 6 25 25
42 169 150 25
F x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x
3 242 169 150 25F x x x x
EXERCICE 2 : FACTORISATION
23 5 5 2 1
5 3 5 2 1
5 3 15 2 1
5 5 14
A x x x x
x x x
x x x
x x
5 5 14A x x x
22 24 1 2 1 2 1 2 1B x x x x x
2 1 2 1B x x x
2
2
3 4 5 4 3
3 4 5 3 4
3 4 3 4 5
3 4 3 9
C x x x
x x
x x
x x
3 4 3 9 3 3 4 3C x x x x x
22 2 1 1D t t t t
2
1D t t
24 4 3 4 3E x x x x x
4 3E x x x
2 2
2 23 5
3 5
2 2 2 23 5 3 5
3 5 3 5
17 13 13 17
3 5 3 5
F x x x
x x x x
x x
17 13 13 17
3 5 3 5F x x x
2 21 2 1 2
1 2 2 1 1 2
1 2 2 1
1 2 2 3
G x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
1 2 2 3G x x x x
23 2 25 10 5 5 2 1 5 1H x x x x x x x x x
2
5 1H x x x
3 2 24 49 9
5 5K x x x x x x x
2 49
5K x x x x
4
EXERCICE 3 : AVEC DES QUOTIENTS
4 7
2
2 74
2 2
4 14 2
2
3 10
2
x xA
x x
xx
x x
x x
x
x
x
3 10
2
xA
x
2
2
2 31
1 8
2 8 3 1
1 8 1 8
1 8
1 8
2 16 3 3 9 8
1 8
8 21
1 8
Bx x
x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
2 8 21
1 8
x xB
x x
2 2
2 2
a bC
a b a b
a a b b a b
a b a b a b a b
a ab ab b
a b a b
a b
a b a b
2 2a bC
a b a b
2
2 2
2
2
3 1 2
4 4
3 1 4 2
4 4
3 12 4 2
4
xD
x x
x x
x x
x x x
x
2
2
3 13 2
4
x xD
x
2 2 2 2
22
2
x y x yx yE
y x xy
x y x y
xy xy xy
y
xy
y
x
2yE
x
2 2
2
6 4 3 1
2 1 3
3 6 4 2 1 3 1
3 2 1 3 2 1
18 12 6 2 3 1
3 2 1
12 13 1
3 2 1
x xF
x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
212 13 1
3 2 1
x xF
x x
EXERCICE 4 : AVEC DES PUISSANCES
45 2 7 4 4 11 5A a a b ab a b a b a b
11 5A a b
2 2 22 2
22
4 4 44 4 16
2 42
n n nn n
nn nB
16B
2 3 1 2 35 2 5 2 2 25 8 2 2 200n n
n n n n nC
2 200nC
144 4nD
21
21
2 21 1
2 21 1
2 2 2 1 2
2 2 1 2 2
2 2
2 1 2
2
2
2
8 8
4 4
8 2 8 8 8
4 2 4 4 4
8 2 8 8
4 2 4 4
8 8 2 8 1
4 1 2 4 4
8 81
1 141 2
4 4
81 162 4 81 144 4
9 9
16
n n
n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n
n
n
n
n n n
D
5
EXERCICE 5 : AVEC DES RACINES
2 5 4 15 2 4 5 3 5 8 5 3 40 3A
40 3A
2
6 2 36 12 2 2 38 12 2B
38 12 2B
1 5 2 5 3 2 5 3 2 5 3 5 5 5 13C
5 5 13C
2
7 3 5 7 2 7 3 5 9 5 52 6 35D
52 6 35D
5 5 3 5 3
62 3 2 3 3E
5 3
6E
6 2 3 36 2 3
33
6 3 2 32 3 2
3
F
2 2 3F
EXERCICE 6 : RESOLUTION D’EQUATIONS
a.
11 1 1 1 1 142 2 22 4 4 2 4 2 8
x x x x x
1
8S
b. 2 2 2 22 2 1 2 2 2 23 0 0
3 3 3 9 9 3 3x x x x x x
2 2 2 20 0
3 3 3 3 ou ou x x x x
2 2;
3 3S
c. 2 5
3 2 4 5 0 3 2 0 4 5 03 4
ou ou x x x x x x
2 5
;3 4
S
d. 2 22 3 5 1 1 0 2 3 0 5 1 0 1 0 ou ou x x x x x x
3 1
2 5 ou x x car pour tout x ,
201x
3 1;
2 5S
e. 2 5 0 5 0 0 5 0 0 5 ou ou x x x x x x x x 0; 5S
f. 21 1 3
2 3 0 2 3 0 02 2 2
car x x x
3
2S
g. 2 2
2 3 5 7 0 2 3 5 7 2 3 5 7 0 7 10 3 4 0x x x x x x x x
7 10 0 3 4 0
10 4
7 3
ou
ou
x x
x x
10 4
;7 3
S
h. 24 9 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 0 2 3 2 3 2 0x x x x x x x x x x
3
2 3 5 0 2 3 0 5 0 52
ou ou x x x x x x
3;5
2S
6
i. 4 3
02 2
x
x
2 2 0 1x x donc 1 est la valeur interdite, on suppose donc 1x
4 3 30 4 3 0 1
2 2 4
xx x
x
3
4S
j. 2
24
x
x
4 0 4x x donc 4 est la valeur interdite, on suppose donc 4x
2 2 42 2 3 62 2 0 0 0 3 6 0 2 4
4 4 4 4
x xx x xx x
x x x x
2S
k. 1
11 2
x
x x
1 0 1x x et 2 0 0x x donc 0 et 1 sont les valeurs interdites,
on suppose donc 1x et 0x
2 2
2 2 11 1 11 1 0 0
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 2 10 0 1 0 1
2 1 2 1
x x x xx x x
x x x x x x x x x x
x x x x xx x
x x x x
1 n’est pas une valeur interdite
1S
l. 1 2 1
3 2 6 2
x
x x
3 0 3x x et 2 6 2 3x x donc 3 est la valeur interdite,
on suppose donc 3x
1 2 1 1 2 1 2 2 3
0 03 2 6 2 3 2 6 2 2 3 2 3 2 3
x x x x
x x x x x x x
2 2 3 2 3 3
0 0 2 3 0 32 3 2 3 2
x x xx x
x x
3
2S
m. 2 3 3
2 1
x x
x x
2 0 2x x et 1 0 1x x donc 2 et 1 sont les valeurs interdites,
on suppose donc 2x et 1x
2 2
22
2 3 1 3 22 3 3 2 3 30 0
2 1 2 1 1 2
2 2 3 3 2 3 60
1 2
30 3 0
1 2
x x x xx x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
xx
x x
Or, pour tout \ 1;2x , 2 3 0x donc
2 3 0x n’a pas de solution
Donc S
7
EXERCICE 7 : RESOLUTION D’INEQUATIONS
a. 3 5 2 2 3 2 15 3 2 2 3 2 0 14 6 2 2 0x x x x x
6 2 2 3 2 1
14 7x x
3 2 1;
7S
b. 4 2 5 3 12 3 1 20 10 4 8 15 5 20 10
1 0 05 4 2 20 20 20 20 20
x xx x x x x x x
170 17 0 17 17
20
xx x x
17;S
c. 2 2 3 3 2 72 3 2 7 4 6 6 21 25
3 3 3 3 25 183 2 6 6 6 6
x xx x x x
25 18 donc S
d. 3 1 4 0x x Dressons le tableau de signes de 3 1 4x x :
13 1 0
3x x
4 0 4x x
1
4;3
S
e. 2
4 1 9 0 4 1 3 4 1 3 0 4 4 4 2 0x x x x x
4 4 0 1x x
14 2 0
2x x
1
; 1;2
S
f. 2 7
03
x
x
3 0 3x x donc 3 est la valeur interdite
72 7 0
2x x
7
3 ;2
S
8
g. 2 0 2x x donc 2 est la valeur interdite
Transformons l’inéquation : 2 1 33
0 02 2
x xx x
x x
0x
11 3 0
3x x
1
2;0 ;3
S
h. 2 225 5 3 1 25 5 3 1 0 5 5 5 3 1 0x x x x x x x x x x
5 5 3 1 0 5 2 4 0x x x x x
5 0 5x x
2 4 0 2x x
;2 5;S
i. 2 4
14
x
x
4 0 4x x donc 4 est la valeur interdite
Transformons l’inéquation : 2 4 2 4 2 4 4
1 1 0 0 04 4 4 4 4
x x x x x
x x x x x
0x
0;4S
j. 03 1 2 1x x x
13 1 0
3x x / 2 0 2x x / 1 0 1x x
9
1
; 1;23
S
k. 3 2 5 3 2 5 0 3 2 5 0 2 0x x x x x x x x x x x x x
0x
2 0 2x x
; 2 0;S
l. 2 1 3
12 4 2
x
x x
2 0 2x x et 4 2 2 2x x donc 2 est la valeur interdite
Transformons l’inéquation : 2 2 12 1 3 3 4 2 6 5
1 0 02 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2
xx x x
x x x x x x
56 5 0
6x x
5
;26
S
m.
21
23
x
x
3 0 3x x donc 3 est la valeur interdite
Transformons l’inéquation :
2 21 1
2 2 03 3
x x
x x
2 22 32 1 70 0
3 3 3
xx x x
x x x
3;S
10
PARTIE 2 : FONCTIONS
EXERCICE 1
1. On cherche l’abscisse des points d’intersection de
fC avec la droite d’équation 3y .
Il y a deux points d’abscisses respectives 1
2 et 1.
L’ensemble des solutions est donc ;1S 1
2.
2. On cherche l’abscisse des points d’intersection de
𝐶𝑓 avec la droite d’équation 0y .
Il y a un seul point d’abscisse 1,8.
L’ensemble des solutions est donc un
intervalle 𝑆 =]1,8;+∞[.
EXERCICE 2
a. 1/ 𝑆 = {−2} ; 2/ 𝑆 = {−3; 3} ; 3/ 𝑆 = {−3} ; 4/ 𝑆 = {−4;−0,9;−0,1}. b. 1/ 𝑆 = {−3,2; 3} ; 2/ 𝑆 = {−0,5;−1,8} ; 3/ 𝑆 = {−2;−1,5,2,3} ; 4/ 𝑆 = {−3;−2; 1}. c. 1/ 𝑆 =] − ∞;−1]𝑈[2;+∞[ ; 2/ 𝑆 = [−3; 3] ; 3/ 𝑆 =] − 3;+∞[ 4/ 𝑆 =] − ∞;−0,9]𝑈[−0,2;+∞[
d. 1/ 𝑆 =] − ∞;−3,2[𝑈]3; +∞[ ; 2/ 𝑆 =] − ∞;−1,7]𝑈[−0,5;+∞[ ; 3/ 𝑆 =] − ∞;−2[𝑈]2,5;+∞[
4/ 𝑆 =] − ∞;−3]𝑈[−2; 1]
e. Tableau de signe de 𝑓 : Tableau de signe de 𝑔 :
EXERCICE 3
a. On veut résoudre sur ℝ l’équation 𝑓(𝑥) = −2 Soit −6𝑥 − 7 = −2 Donc −6𝑥 = 7 − 2 Donc −6𝑥 = 5.
On obtient x 5
6 .
-1 a pour seul antécédent par 𝑓 le nombre 5
6.
On veut résoudre sur ℝ l’équation 𝑓(𝑥) = 3 Soit −6𝑥 − 7 = 3 Donc −6𝑥 = 10
On obtient 5
3x
10
6.
-1 a pour seul antécédent par 𝑓 le nombre 5
3 .
b. On calcule 𝑓(0) : 𝑓(0) =2
3×0 + 2 = 2 . L’image de 0 par 𝑓 est 2.
On calcule 𝑓(4) : 𝑓(4) =2
3×4 + 2 =
8
3+
6
3=
14
3.
11
EXERCICE 4
1. f(x) = 3x + 1 m =3 p =1 Tableau de valeurs de 𝒇 :
x -2 -1 0 1 2
f(x) -5 -2 1 4 7
Tableau de variations de 𝒇 :
2. h(x) = -2x m = -2 p =0 Tableau de valeurs de h:
x -2 -1 0 1 2
h(x) 4 2 0 -2 -4
Tableau de variations de h :
EXERCICE 5
f est la fonction définie sur ℝ par 2 2 3f x x x
1. Calculons 𝑓(1).
𝑓(1) = 12 − 2×1 − 3 = −4. Comme 𝑓(1) = −4, le point A(1 ;-4) appartient à la courbe de 𝑓.
Calculons 𝑓(−3).
𝑓(−3) = (−3)2 − 2×(−3) − 3 = 9 + 6 − 3 = 12. Comme 𝑓(−3) = 12, le point B(-3 ;12) n’appartient pas à la
courbe fC
2. Le point D appartient à la courbe de 𝑓.
Son abscisse vaut 4 donc son ordonnée vaut 𝑓(4). Or 𝑓(4) = 42 − 2×4 − 3 = 16 − 8 − 3 = 5.
Ainsi l’ordonnée de D est 5.
EXERCICE 6
a. La fonction 𝑓 est une fonction affine donc elle est définie sur ℝ.
b. Les fonctions du second degré sont définies sur ℝ donc 𝑔 est définie sur IR.
c. ℎ(𝑥) existe si et seulement si 3 − 2𝑥 ≥ 0. Si 3 − 2𝑥 ≥ 0 alors −2𝑥 ≥ −3 donc 𝑥 ≤3
2.
Ainsi les solutions de l’inéquation sont dans l’ensemble 𝑆 = ] − ∞ ;3
2[ et a fonction ℎ est définie sur ] − ∞ ;
3
2[.
12
d. La fonction 𝑘 est définie lorsque 2𝑥 − 4 ≠ 0. Si 2𝑥 − 4 0 alors 2𝑥 4 donc 𝑥 2.
La fonction 𝑘 est donc définie sur ] − ∞; 2[ ]2;+∞[.
e. l( x) existe si et seulement si 𝑥 ≥ 0 et 𝑥 − 5 ≠ 0. Soit 𝑥 ≥ 0 et 𝑥 5.
La fonction 𝑙 est donc définie sur [0; 5[ ]5;+∞[.
EXERCICE 7
1. a) Vrai. En effet : 0,5 ∈ [0; 1] et 0 ≤ 1 ≤ 𝑓(0,5) ≤ 2 (𝑓 est croissante)
b) Faux. Il en possède deux : un sur l’intervalle [-3 ;0] et en 1
c) Vrai. La fonction 𝑓 est décroissante sur [1 ;2,5] : comme 1,5 ≤ 2on sait que 𝑓(1,5) ≥ 𝑓(2)
d) Faux. La fonction 𝑓 est croissante sur [0 ;1] : comme 0,5 ≤ 0,7on sait que 𝑓(0,5) ≤ 𝑓(0,7)
e) On ne sait pas.
f) Faux. En effet, 𝑓(1) = 2 ≠ 0.
2. Courbe représentative de f
EXERCICE 8
1.
𝑥 -5 -4 -2 0 1 6
f(x) 5 11 7 3 -1 4
2. Cet algorithme sert à calculer les images de la
fonction 𝑓.
3.
𝑓(𝑥) = {
5 sur [−6;−4[−2𝑥 + 3 sur [−4; 1[
𝑥 − 2 sur [1; 8[
EXERCICE 9
a. Si 3 ≤ 𝑥 ≤ 4 alors 32 ≤ 𝑥2 ≤ 42 car la fonction carrée est croissante sur [0;+∞[. Donc 𝟗 ≤ 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟔 .
b. Si −6 ≤ 𝑥 ≤ −4 alors (−6)2 ≥ −𝑥 ≥ (−4)² car la fonction carrée est décroissante sur ] − ∞; 0]. Ainsi 𝟑𝟔 ≥
𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟔.
c. Si −5 ≤ 𝑥 ≤ 9 alors 0 ≤ 𝑥2 ≤ max((−5)2, 92) = 81. Donc 𝟎 ≤ 𝒙𝟐 ≤ 𝟖𝟏.
EXERCICE 10
a. Comme 2
3< 𝑥 ≤
5
4 et la fonction inverse étant décroissante sur ]0;+∞[ , on a
𝟒
𝟓≤
𝟏
𝒙≤
𝟑
𝟐.
b. Comme −3
4≤ 𝑥 < −
1
2, et la fonction inverse étant décroissante sur ]0;+∞[ , on a −𝟐 <
𝟏
𝒙< −
𝟒
𝟑.
c. Comme −2 < 𝑥 < 1 alors −𝟏
𝟐<
𝟏
𝒙< 1 car lun nombre et son inverse sont du même signe .
2 3-1-2-3
2
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
13
EXERCICE 11
Si 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 alors 4 ≤ 2𝑥 ≤ 6 donc 1 ≤ 2𝑥 − 3 ≤ 3.
Comme la fonction carrée est croissante sur ]0;+∞[, alors 1 ≤ (2𝑥 − 3)2 ≤ 32.
Puis 5 ≤ 5(2𝑥 − 3)2 ≤ 45.
Enfin 𝟒 ≤ 𝟓(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐 − 𝟏 ≤ 𝟒𝟒.
EXERCICE 12
On considère la fonction f définie sur ℝ par 2
3 4f x x .
1. f(x) = (x 5)(x 1) ; f(1) = f(5) = 0 ; La courbe de f coupe l’axe des abscisses en 1 et 5.
2. f(x) = x² 6x + 5 ; f(0) = 5 ; La courbe de f coupe l’axe des ordonnées en y = 5.
3. f(4) = 45 ; f( 2
3 ) =
13
9 ; f(√5) = 14 6√5.
4. f(x) =4 si et seulement si x = 3 ; f(x) = 5 si et seulement si x = 0 ou x = 6.
5. f(x) ≤ 12 ⇔ (x 3)² 4 ≤ 12 ⇔ (x 3)² 16 ≤ 0 ⇔ (x 3)² 4² ≤ 0 ⇔ (x 3 4)(x 3 + 4) ≤ 0 ⇔ (x 7)(x + 1) ≤ 0
Signe de (x 7)(x + 1) : comme x 7 = 0 ⇔ x = 7 et x + 1 = 0 ⇔ x = 1 alors
x 1 7
x 7 0 +
x + 1 0 + +
(x 7)(x +
1) + 0 0 +
S = [1 ; 7]
6. f(x) (4) = (x 3)² ≥ 0 et f(3) = 4(a 3)² > (b 3)² ≥ 0
7. Si a < b ≤ 3 alors a 3< b 3 ≤ 0. Or la fonction carré est croissante sur ;3 donc (a 3)² > (b 3)² ≥ 0
d’où (a 3)²4 > (b 3)² 4 ≥ 4 ainsi f(a) > f(b) ≥ 4 et Si 3 ≤ a < b … 4 ≤ f(a) < f(b)
ainsi 4 est le minimum de f sur ℝ.
8. 0,8 ≤ x ≤ 0,9 alors f(0,8) ≥ f(x) ≥ f(0,9) car f est décroissante donc 4 ≥ f(x) ≥ 0,41.
9. Voir calculatrice.
EXERCICE 13
La fonction f définie par 2 1
1
xf x
x
.
1. x 1, Df = ]∞ ; 1[∪]1 ; +∞[ 2. f(4) = 3 et f(3
5) =
1
8
3. f(1
2) = 0 et f(2) = 1 4. f(x) ≥ 2 si et seulement si x∈]∞ ; 1[∪]3 ; +∞[
5. Réduction au même dénominateur.
6. Si a < b < 1 …. f(a) < f(b) ainsi f est croissante sur ; 1 ; si 1 < a < b … f(a) < f(b) ainsi f est croissante sur 1; .
7. Voir calculatrice.
14
PARTIE 3 : GÉOMÉTRIE
EXERCICE 1
1. Figure :
Conjectures :
Il semblerait que le triangle ABC soit équilatéral, le triangle ABD isocèle (voire perpendiculaire) en A et le triangle ABE isocèle en A.
2. Calculer les distances , , et :
Propriété : (rappel de seconde)
Soit (𝑂, 𝐼, 𝐽) , un repère orthonormé du plan.
Si A a pour coordonnées ( 𝒙A ; 𝒚A ), et si B a pour coordonnées ( 𝒙B ; 𝒚B ), alors la distance AB
est égale à 𝑨𝑩 = √(𝒙𝑩 − 𝒙𝑨)² + (𝒚𝑩 − 𝒚𝑨)𝟐
➢ AB :
𝑨𝑩 = √(𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟐√𝟑 − 𝟎, 𝟔)² + (−𝟎, 𝟒 + 𝟏, 𝟔)𝟐 donc 𝑨𝑩 = 𝟐, 𝟒
➢ AC :
𝑨𝑪 = √(𝟎, 𝟔 − 𝟎, 𝟔)² + (𝟎, 𝟖 + 𝟏, 𝟔)𝟐 donc 𝑨𝑪 = 𝟐, 𝟒 ➢ AD :
𝑨𝑩 = √(𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟐√𝟑 − 𝟎, 𝟔)² + (−𝟎, 𝟒 + 𝟏, 𝟔)𝟐 donc 𝑨𝑫 = 𝟐, 𝟒
➢ AE :
𝑨𝑩 = √(−𝟏, 𝟖 − 𝟎, 𝟔)² + (−𝟏, 𝟔 + 𝟏, 𝟔)𝟐 donc 𝑨𝑬 = 𝟐, 𝟒
AB AC AD AE
15
3. Déterminons la nature précise des triangles , et :
➢ Pour ABC :
Dans le triangle ABC, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Le triangle ABC est donc au moins isocèle en A.
De plus, nous constatons (après calcul) que 𝐵𝐶 = 2,4 aussi.
𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 = 𝑩𝑪. Le triangle ABC est donc équilatéral.
➢ Pour ABD :
Dans le triangle ABD, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷. Le triangle ABC est donc au moins isocèle en A.
Il semblerait que ce triangle est aussi rectangle en A. Vérifions-le :
D’une part : 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 = 2,42 + 2,42 = 11,52
D’autre part : 𝐵𝐷2 = (−0,6 − 0,6 − 1,2√3)2+ (1,2√3 − 1,6 + 0,4)
2= 11,52
𝑨𝑩𝟐 + 𝑨𝑫𝟐 = 𝑩𝑫𝟐 et 𝑨𝑩 = 𝑨𝑫. Le triangle ABD est donc rectangle et isocèle en A.
➢ Pour ABE :
𝑨𝑩 = 𝑨𝑬. Le triangle ABE est donc isocèle en A.
EXERCICE 2
1. Figure :
Conjecture : Il semblerait que (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) soient parallèles.
ABC ABD ABE
16
2. Démontrons que les droites et (𝐶𝐷) sont parallèles :
Les droites et (𝐶𝐷) sont parallèles si, et seulement si, leurs coefficients directeurs
respectifs sont égaux.
Propriété :
On munit le plan d’un repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽).
𝐴 et 𝐵 sont deux points distincts du plan.
La droite (d) passant par les points 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴) et 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵) a pour coefficient directeur le
nombre réel 𝑚 défini par :
𝒎 =𝒚𝑩−𝒚𝑨
𝒙𝑩−𝒙𝑨
Après calcul, nous voyons que les coefficients directeurs de (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) sont égaux. (𝑚 = 1,6). Ces droites sont donc bien parallèles.
EXERCICE 3
1. Calcul des coordonnées de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ :
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (−3
−6) et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
−2
−4)
2. Nous constatons que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ =2
3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ sont colinéaires.
Les point 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont donc bien alignés.
EXERCICE 4
Dans le plan muni d’un repère , on donne les points 𝐴 (2 ; 4), 𝐵 (4 ; −1) et 𝐶 (−2 ; −2).
1. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗( 2−5
).
2. I étant le milieu de AB, alors :
𝐼 (4+2
2 ;
−1+4
2) donc 𝐼 (3 ;
3
2).
3. 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme si, et seulement si, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (−2−𝑥𝐷−2−𝑦𝐷
) et 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗( 2−5
) d’où le système d’équation ci-dessous :
{−2 − 𝑥𝐷 = 2 −2 − 𝑦𝐷 = −5
⇔ {𝑥𝐷 = −4𝑦𝐷 = 3
On en conclut que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme si, et seulement si, 𝐷(−4 ; 3).
4. Soit 𝐸(𝑥 ; 1,5). 𝐴, 𝐵 et 𝐸 sont alignés si, et seulement si, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ sont colinéaires.
𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( 𝑥−21,5−4
) et 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗( 2−5
) d’où l’équation ci-dessous :
−5(𝑥 − 2) = −5 ⇔ 𝑥 = 3
On en conclut que 𝐴, 𝐵 et 𝐸 sont alignés si, et seulement si, 𝐸(1 ; 1,5).
AB
AB
; ,O I J
17
EXERCICE 5
EXERCICE 6
1.
a. �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗
D’après la relation de Chasles, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0⃗
On en déduit que �⃗� = 0⃗
b. 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗
D’après la relation de Chasles, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
De plus, −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ et −𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.
Ainsi :
𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
c. �⃗⃗� = 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ �⃗⃗� = −(−𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗)
�⃗⃗� = −(𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗)
�⃗⃗� = 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ �⃗⃗� = −2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
2. Pour tous points 𝑂, 𝐴, 𝐵 et 𝐶 du plan on a : 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
3. ABCD est un parallélogramme et un point quelconque.
𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐷𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐷𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
Or, dans le parallélogramme ABCD, 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
Ainsi, 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑀𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0⃗
M
18
EXERCICE 7
Dans un repère, on donne les points 𝐴 (1; −1), 𝐵(−1; −2) et 𝐶(−2; 2).
1. Déterminons les coordonnées du points 𝐷 à partir de l’égalité vectorielle 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
Posons 𝐷(𝑥𝐷 ; 𝑦𝐷). On a alors :
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐷+1𝑦𝐷+2
) ; 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗(21) et 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗(−1
4).
D'où le système d'équation ci−dessous :
{𝑥𝐷 + 1 = 2 − 1𝑦𝐷 + 2 = 1 + 4
{𝑥𝐷 = 0𝑦𝐷 = 3
Donc 𝐷(0 ; 3)
2. Déterminons les coordonnées du point 𝐺 vérifiant 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 2𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0⃗ .
Posons 𝐺(𝑥𝐺 ; 𝑦𝐺). On a alors :
𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( 1−𝑥𝐺−1−𝑦𝐺
) ; 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (−1−𝑥𝐺−2−𝑦𝐺
) et 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (−2−𝑥𝐺−2−𝑦𝐺
).
D'où le système d'équation ci−dessous :
{1 − 𝑥𝐺 + 2(−1 − 𝑥𝐺) + (−2 − 𝑥𝐺) = 0
−1 − 𝑦𝐺 + 2(−2 − 𝑦𝐺) + (−2 − 𝑦𝐺) = 0 {
𝑥𝐺 = −3
4
𝑦𝐺 = −7
4
Donc 𝐺(−3
4 ; −
7
4)
EXERCICE 8
• La droite C1 a pour équation 𝑦 = 5𝑥
• La droite C2 a pour équation 𝑦 = 2𝑥 − 2
• La droite C3 a pour équation 𝑦 = −1
3𝑥 + 3
19
EXERCICE 9
Dans un repère du plan, on considère les fonctions 𝑓 ∶ 𝑥 ↦1
2− 𝑥 et 𝑔 ∶ 𝑥 ⟼ 2𝑥 −
8
5.
Appelons 𝑀(𝑥 ; 𝑦) le point d’intersection des courbes représentatives des fonctions 𝑓 et 𝑔.
• 𝑀 ∈ 𝐶𝑓, ses coordonnées vérifient donc l’égalité 𝑦 = 𝑓(𝑥).
• 𝑀 ∈ 𝐶𝑔, ses coordonnées vérifient donc l’égalité 𝑦 = 𝑔(𝑥).
On peut donc en déduire que l’abscisse du point d’intersection entre 𝐶𝑓 et 𝐶𝑔 est la solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 1
2− 𝑥 = 2𝑥 −
8
5
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑥 =7
10
𝑓 (7
10) = 𝑔 (
7
10) = −
1
5.
Donc 𝑀(7
10 ;
1
5)
EXERCICE 10
𝐴(– 4 ; 2) 𝐵(2 ; – 6) 𝐶(3 ; 6) 𝐷(1 ; 2).
On remarque que :
• Les points A et D ont la même ordonnée ;
• Les points B et C ont des abscisses opposées.
On déduit de ces remarques le repère (O ; I ; J) donné ci-dessous.
; ,O I J
20
P
,,,
P
,,,
P,,,
F,,,
F
,,, P,,,
F,,
F
,,, P
,,,
P,,,
F,,,
F
,,, P,,,
F,,,
PARTIE 4 : PROBABILITÉS
EXERCICE 1
Une urne contient des boules numérotées 1, 2 ou 3.
Un quart des boules porte le numéro 1, un tiers le numéro 2.
On tire au hasard une boule dans l’urne.
p(1) = 1
4 , p(2) =
1
3 et p(3) = 1
1
4
1
3=
5
12
Loi de probabilité sur l’ensemble 1, 2, 3 des issues :
Issues 1 2 3
Probabilités 1
4
1
3
5
12
EXERCICE 2
On lance deux dés équilibrés, l’un vert l’autre rouge.
Une issue de l’expérience est un couple (𝑣 ; 𝑟) où 𝑣 est le numéro obtenu avec le dé vert et 𝑟 est le numéro obtenu
avec le dé rouge.
1. On peut modéliser cette expérience par une loi d’équiprobabilité car toutes les issues ont la même probabilité
d’être réalisée.
2. L’expérience compte 6 6 soit 36 issues.
3. La probabilité de l’issue 1;5 est 1
36 .
4. La probabilité de l’évènement A : « Obtenir le nombre 2 avec le dé rouge » est 6
36 soit
1
6.
EXERCICE 3
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et on note la face visible.
Soient les événement P : « Obtenir la face PILE » et F : « Obtenir la face FACE ».
a. l’arbre pondéré donner l’ensemble des issues de cette expérience aléatoire.
Arbre pondéré
Issues
(P; P; P)
(P; P; F)
(P; F; P)
(P; F; F)
(F; P; P)
(F; P; F)
(F; F; P)
(F; F; F)
21
b. La probabilité d’obtenir exactement deux fois la face PILE est p({ (P; P; F); (P; F; P); (F; P; P) }) = 3
8.
c. La probabilité d’obtenir au moins deux fois la face FACE est p({ (P; F; F); (F; F; P); (F; P; F); (F; F; F) }) = 4
8=
1
2.
EXERCICE 4
Dans une classe de 30 élèves, 20 adhèrent au foyer socio-éducatif, 10 à l’association sportive et 8 ne sont membre ni de
l’un ni de l’autre.
On choisit un élève au hasard et on s’intéresse aux évènements :
A : « L’élève adhère au foyer socio-éducatif» et B : « l’élève adhère à l’association sportive »
1. A : « L’élève n’adhère pas au foyer socio-éducatif »
A B : « L’élève adhère au foyer socio-éducatif ou à l’association sportive »
A B : « L’élève adhère au foyer socio-éducatif et à l’association sportive »
2. p(A) = 20 2
30 3 ; p(B) =
10 1
30 3 ; p( A ) = 1
2 1
3 3 ; p( A B ) =
8 22 11
30 30 151 ;
p( A B ) = p(A) + p(B) p( A B ) = 20
30
10
30
22
30=
8 4
30 15 .
EXERCICE 5
Une urne contient 4 boules numérotées 1, 2, 3 et 4.
1. On tire au hasard une boule de l’urne, sans la remettre, puis on en tire une seconde.
a. Arbre pondéré.
Somme
3
4
5
3
5
6
4
5
7
5
6
7
Produit
2
3
4
2
6
8
3
6
12
4
8
12
1
0,25
2
0,25
30,25
4
0,25
2
0,25
1
0,25
30,25
4
0,25
3
0,25 1
0,25
20,25
4
0,25
4
0,25
1
0,25
20,25
3
0,25
22
b. Donner la probabilité des évènements suivants :
A : « On a obtenu au plus un 1 » ; p(A) = 12
121 .
B : « On a obtenu au moins un nombre pair » ; p(B) = 10 5
12 2 .
C : « La somme de deux nombres est supérieure ou égale à leur produit » ; p(C) = 6 1
12 2 .
D : « Le produit de deux nombres est strictement supérieur à 7 » ; p(D) = 4 1
12 3 .
2. On tire au hasard une boule de l’urne, puis on la remet dans l’urne, ensuite on en tire une seconde boule. a. Arbre pondéré.
Somme
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
Produit
1
2
3
4
2
4
6
8
3
6
9
12
4
8
12
16
b. Donner la probabilité des évènements suivants :
A : « On a obtenu au plus un 1 » ; p(A) = 15
16 .
B : « On a obtenu au moins un nombre pair » ; p(B) = 12 3
16 4 .
C : « La somme de deux nombres est supérieure ou égale à leur produit » ;. p(C) = 8 1
16 2 .
D : « Le produit de deux nombres est strictement supérieur à 7 » ; p(D) = 6 3
16 8 .
1
0,25
10,25
20,25
3
0,25
4
0,25
2
0,25
10,25
20,25
30,25
4
0,25
3
0,251
0,2520,25
3
0,25
4
0,25
4
0,25
10,25
20,25
30,25
4
0,25
23
PARTIE 5 : PROBLÈMES
PROBLEME 1
On considère un parallélogramme ABCD .
1. Construction des points M et N
définis par : 3AM AD et 1
2BN AB
2. CM CA AM d’après la relation de Chasles
Or
- CA CB BA CB AB
Comme ABCD est un parallélogramme,
CB DA AD
Ainsi CA AB AD .
- 3AM AD
Donc 3CM AB AD AD soit 2CM AB AD .
3. CN CB BN d’après la relation de Chasles
Or
- CB DA AD car ANCD est un parallélogramme
- 1
2BN AB
Donc 1
2CN AB AD .
4. On a 1
2 2 22
CN AB AD AB AD CM
.
Donc CN et CM sont colinéaires.
D’où C , M et N sont alignés.
PROBLEME 2
Dans un repère orthonormé ; ,O I J ,
on donne les points 1;7A , 5; 5B
et 7; 1C .
24
1. a. '
5 71
2 2
B CA
x xx
et
'
5 13
2 2
B CA
y yy
D’où ' 1; 3A .
'
1 74
2 2
A CB
x xx
et
'
7 13
2 2
A CB
y yy
D’où ' 4;3B .
'
1 52
2 2
A BC
x xx
et '
7 51
2 2
A BC
y yy
D’où ' 2;1C .
b. ' 1A Ax x d’où ' : 1AA x
' :BB y mx p avec '
'
3 5 8
4 5 9
B B
B B
y ym
x x
d’où
8' :
9BB y x p
De plus, ' 'B BB donc ' '
8
9B By x p soit
83 4
9p ainsi
8 53 4
9 9p
Donc 8 5
' :9 9
BB y x
c. ' 'G AA BB
1
8 5
9 9
G
G G
x
y x
1
8 5 1
9 9 3
G
G
x
y
Donc 1
1;3
G
.
d.
7 1 6
1 41
3 3
C G
C G
x xGC GC GC
y y
et '
'
2 7 9' ' '
1 1 2
C C
C C
x xCC CC CC
y y
' '
46 2 9 12 12 0
3GC CC CC GCx y x y
Donc GC et 'CC sont colinéaires d’où 'G CC .
e. On a démontré que les trois médianes du triangle ABC sont concourantes en un point G appelée
le centre de gravité du triangle ABC .
2. 2 2 2 2
1 0 7 0 50 5 2A O A OOA x x y y
2 2 2 2
5 0 5 0 50 5 2B O B OOB x x y y
2 2 2 2
7 0 1 0 50 5 2C O C OOC x x y y
Ainsi 5 2OA OB OC d’où le point O est équidistant des trois sommets du triangle ABC
Donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .
3. On considère le point 3;1H .
a. Soit 1 4; 2A . On admet que 1A appartient à BC .
3 1 2
1 7 6
H A
H A
x xAH AH AH
y y
et 1
1
1 1 1
3 4 1
1 2 3
H A
H A
x xA H A H A H
y y
On remarque facilement que 12AH A H d’où AH et 1A H sont colinéaires.
Donc ,A H et 1A sont alignés.
b. Soit 1 1;3C . On admet que 1C appartient à AB .
3 7 4
1 1 2
H C
H C
x xCH CH CH
y y
et 1
1
1 1 1
3 1 4
1 3 2
H C
H C
x xC H C H C H
y y
25
On remarque facilement que 1CH C H d’où CH et 1C H sont colinéaires.
Donc ,C H et 1C sont alignés.
c. On calcule les longueurs des trois côtés du triangle 1AAC :
1 90 3 10AA 100 10AC 1 10AC
2 2 2
1 1 90 10 100AA AC AC
Ainsi d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 1AAC est rectangle en 1A .
On calcule les longueurs des trois côtés du triangle 1CC A :
1 80 4 5CC 100 10AC 1 20 2 5AC
2 2 2
1 1 80 20 100CC AC AC
Ainsi d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 1CC A est rectangle en 1C .
d. Le point H est donc le point d’intersection de deux hauteurs 1AA et 1CC du triangle ABC .
Donc H est l’orthocentre du triangle ABC .
4.
1 0 1
1 10
3 3
G O
G O
x xOG OG OG
y y
et 3 0 3
1 0 1
H O
H O
x xOH OH OH
y y
On remarque facilement que 3OH OG
D’où OG et OH sont colinéaires.
Donc O , G et H sont alignés.
5. Droite d’Euler : Droite qui, pour un triangle donné, contient son centre de gravité, son orthocentre et
le centre de son cercle circonscrit.
PROBLEME 3
On considère le trapèze rectangle ABCD
tel que 6cmAB , 4cmAD et 2cmDC .
M est un point du segment AD et N un
point du segment AB tels que :
AM BN x .
1. x AM où M AD et 4AD cm
donc 0;4x . ( AB AD donc on se restreint à AD )
2.
a. 4 4
4 2 8 8 162 2
ABCD ADCH BCH
CH HBA A A AD DC
. Donc 16ABCDA cm2.
b. 2
26 6
3 0,52 2 2
AMN
x xAM AN x xA x x x
. Donc 23 0,5AMNA x x x .
26
c. 2 4
42 2
DCM
xDC DMA x x
. Donc 4DCMA x x .
d. BCMN ABCD AMN DCMA x A A x A x
2 2 216 3 0,5 4 16 3 0,5 4 0,5 2 12x x x x x x x x
Donc 20,5 2 12BCMNA x x x .
On note f la fonction représentant l’aire de BCMN en fonction de x .
Ainsi 20,5 2 12f x x x pour tout 0;4x .
3. On souhaite résoudre le problème suivant : pour quelle valeur de x l’aire de BCMN est minimale et
quelle est cette aire minimale.
a. Pour tout 0;4x , 2 2 2 20,5 2 10 0,5 4 4 10 0,5 2 2 10 0,5 2 12x x x x x x x .
Donc, pour tout 0;4x , 2
0,5 2 10f x x .
b. On en déduit le tableau de variation de f :
Ainsi le minimum de f est 10 , atteint pour 2x .
L’aire de BCMN est donc minimale pour 2x cm et l’aire vaut alors 10 cm2.
4. On souhaite résoudre le problème suivant : pour quelles valeurs de x l’aire de BCMN est strictement
supérieure ou égale à 10,5 .
a. Pour tout 0;4x , 2 20,5 1 3 0,5 3 3 0,5 2 1,5x x x x x x x et
2 210,5 0,5 2 12 10,5 0,5 2 1,5f x x x x x
Donc pour tout 0;4x , 10,5 0,5 1 3f x x x
b. Tableau de signe 0,5 1 3x x :
c. 10,5 10,5 0 0;1 3;4f x f x x
Donc l’aire de BCMN est strictement supérieure ou égale à 10,5 lorsque 0;1 3;4x .
27
PROBLEME 4
Une société veut imprimer un catalogue. Elle loue une machine 800 euros et chaque catalogue lui coûte 3
euros de matières premières.
1. Si la société imprime 100 catalogues, le coût total est 800 3 100 1100 euros.
Donc le coût d’un catalogue est 1100
11100
euros.
Si la société imprime 500 catalogues, le coût total est 800 3 500 2300 euros.
Donc le coût d’un catalogue est 2300
4,6500
euros.
2. Notons x le nombre de catalogues produits, 0x .
Le coût d’un catalogue est alors : 800 3x
x
.
On résoud donc 800 3
5x
x
.
800 3 800 3 800 3 5 800 25 5 0 0 0 800 2 0
x x x x xx
x x x x
car 0x
2 800 400x x
Ainsi l’entreprise doit produire plus de 400 catalogues pour avoir un coût inférieur à 5 euros par
catalogue.
