Poutre Continu

8/13/2019 Poutre Continu

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Mcanique des structures Poutres continues Thorme des trois moments TS 2

Poutres continues

Thorme des trois moments

1 - Dfinitions et notations.

1.1 Dfinitions.

1.2 Notations.

2 - Poutre isostatique associe.

3 Thorme des trois moments.

4 Expression des sollicitations et actions de liaison.

5 - Formulaire des rotations usuelles.

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1 - Dfinitions et notations.

1.1 Dfinitions.

Une poutre continue est une poutre droite horizontale, reposant sur plus de deuxappuis simples, sans encastrement.

La poutre est soumise des charges verticales et les actions de liaisons sontverticales.

Soit par exemple la poutre continue suivante :

On remarque que les appuis sont constitus dune articulation et de n appuissimples.

1.2 Notations.

Les appuis sont numrots de 0 n : A0, , Ai, , AnLes traves sont numrotes de 1 n.On note i la trave situe entre les appuis A i-1 et A i.On note Li la porte ou longueur de la trave i.

A0

L1 L2 Li Ln

A1 A2

A i-1 Ai An-1 An

Il y a (n+1) ractions dappui et on peut crire 2 quations de la statique, donc ledegr dhyperstaticit est gal (n-1).

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2 - Poutre isostatique associe.

Une poutre continue comportant n traves peut tre dcompose en n poutresisostatiques sur lesquelles sappliquent les mmes charges que sur la poutre continue

avec en plus les moments aux appuis.

En fait, cela consiste prendre comme inconnues hyperstatiques les (n-1)moments flchissants sur appuis M 1, , Mi-1, Mi, Mi+1, , Mn-1 qui sexercent au droit desappuis A1, , A i-1, A i, A i+1, , A n-1 et que lon fait apparatre en reprsentant la structureisostatique associe la poutre continue.

Les valeurs de M0 et Mn sont nulles puisque A0 et A n sont des appuis simples etquil ny a pas de couple extrieur appliqu en ces points.

Par exemple, la poutre continue trois traves suivante peut tre dcompose entrois traves isostatiques :

A0 A1 A2 A3

p2

L1 L2 L3

p1 p3

A3L3

p3

A2

M2

A1 A2

p2

L2

M2M1

A0L1

p1

A1

M1

= + +

M0 et M 3 = 0

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De faon plus gnrale, considrons prsent la trave i dune poutre continue etses deux traves adjacentes, i-1 et i+1 :

Ai-2 Ai-1 Ai Ai+1

pi

Li-1 Li Li+1

pi-1 pi+1

Ai-1 Ai

pi

LiAi+1

Li+1

pi+1

AiAi-2Li-1

pi-1

Ai-1

Mi Mi Mi+1Mi-1Mi-1Mi-2

= + +

On appelle :Mi dsigne le moment sur lappui Ai (Mi < 0)Mi-1 dsigne le moment sur lappui Ai-1 (Mi-1 < 0)Mi(x) dsigne le moment flchissant dans la trave i de la poutre continueMoi(x) dsigne le moment flchissant dans la trave i isostatique associe etcharge seulement par p i(x) sans les moments sur appuis Mi et M i-1 i dsigne la rotation droite de la trave i, donc gauche de lappui Ai i dsigne la rotation gauche de la trave i, donc droite de lappui Ai-1 0i dsigne la rotation droite de la trave i, dans la trave i isostatiqueassocie 0i dsigne la rotation droite de la trave i, dans la trave i isostatiqueassocie

E Le module dYoung du matriau constitutif de la poutre I Le moment quadratique de la poutre suivant laxe de flexion concernLi La porte de la trave i

Pour que nos poutres isostatiques associes se comportent comme la poutrecontinue dorigine il faut crire lgalit des rotations sur les appuis :

Rotation gauche de lappui = Rotation droite de lappui

Soit pour lappui Ai : i = i+1

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3 Thorme des trois moments.

Ai-1 Ai

pi

Li

MiMi-1 Intressons nous la trave i :

Ai-1 Ai i iCalculons pour cette trave les rotations i et ien appliquant le principe de superposition :

Effet de M i :

Chargement Diagramme du moment Equation du moment

M(x) =

ii L

xM-

Rotation i droite de A i-1

MiM(x)

Thorme de la charge unitaire : i = EI

1 dx

i = - iiML6EI1

Rotation i gauche de A i


1 dx

i = iiML3EI1

Effet de M i-1 :


M(x) =

i1i L

x1M

Rotation i droite de A i-1


1 dx

i = -1iiML3EI1

A Aii-1 xLi

MiLi

1 - Mi

1 - Mi

Ai-1 AiLi

Mi-1 M(x)

Mi-1

Lix

1 Mi-1

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Rotation i gauche de A i


1 dx

i = - -1iiML6EI1

M-1

Effet de M 0i :


M(x) = M 0i(x)

piM(x)

xLi

Ai-1 AiLi

Rotation i 0i droite de A i-1

Rotation i 0i gauche de A i

Rotation i droite de A i-1 par superposition :

'ML3EI

1ML6EI

1' 0i1iiiii ++=

Rotation i gauche de A i par superposition :

''ML3EI

1ML6EI

1'' 0iii1-iii ++=

Egalit des rotations : i = i+1

'ML3EI

1ML6EI

1''ML3EI

1ML6EI

110ii1i

1i1i1i

1i0iii

i1-ii

i++

+++

+

++=++

''-'6EI

LMIL

IL

3EM

6EILM

0i10i1i

1i1i

1i

1i

i

ii

i

i1-i+

+

++

+

+ =+

+

Equation des 3 moments pour E = Cte et I diffrent selon les traves.

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Dans le cas o on a toujours E = Cte mais aussi I = Cte, lquation des troismoments se simplifie :

( ) ( )''-'6EILMLL2MLM 0i10i1i1i1iiii1-i ++++ =+++

4 Expression des sollicitations et actions de liaison.

Les sollicitations dans la trave hyperstatique sont dtermines parsuperposition des sollicitations dues au chargement extrieur et celles dues auxmoments sur appuis.

Soit, pour le moment flchissant, on peut crire :

ii

i1ii0i L

xMLx1M(x)M(x)M +

+=

De mme pour leffort tranchant :

i

i

i

1ii0i L

ML

M(x)V(x)V +=

On dduit les actions de liaisons des valeurs de leffort tranchant droite et gauche de lappui Ai :

( ) ( )0VLVY 1iiiA i +=

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5 - Formulaire des rotations usuelles.

Cas de poutre sur deux appuis simple de rigidit E.I = Cte

Cas de charge i

droite de A i-1 i

gauche de A i

16EIPL

16EIPL

P

Ai-1 Ai

6EILb)Pab(L+

6EILa)Pab(L+

24EIpL3

24EIpL3

24EILa)pa(2L

24EILa)pa(2L

Ai-1 Ai

p

L

Ai-1 Ai

P

ba

L

L/2L/2

L

Ai-1 Ai

p

ba

L

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