UNIVERSITÉ GRENOBLE I - JOSEPH FOURIERTHÈSEprésentée parAlexis BERNEpour obtenir le grade deDOCTEUR de l'UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIERSpé ialité : Mé anique des Milieux Géophysiques et EnvironnementÉ ole Do torale : Terre, Univers et Environnement

PRÉCIPITATIONS MÉDITERRANÉENNES INTENSES ENMILIEU URBAIN : INTERPRÉTATION PHYSIQUE ETANALYSE STATISTIQUE DE MESURES À FINES ÉCHELLESSPATIO-TEMPORELLES, IMPACT DE LA VARIABILITÉSPATIALE SUR LA RÉPONSE DE BASSINS VERSANTSSoutenue publiquement le 12 dé embre 2002 devant le jury omposé de :M. M. CAMPILLO Président Professeur UJF, GrenobleM. H. ANDRIEU Rapporteur Ingénieur divisionnaire LCPC, NantesM. R. UIJLENHOET Rapporteur Professeur asso ié, Wageningen (Pays Bas)M. C. OBLED Examinateur Professeur INPG, GrenobleM. J. TESTUD Examinateur Dire teur de Re her he CNRS, ParisM. G. DELRIEU Dire teur de thèse Chargé de Re her he CNRS, Grenoble

Thèse préparée au sein duLaboratoire d'étude des Transferts en Hydrologie et Environnement(LTHE, UMR 5564, CNRS, INPG, IRD, UJF)

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Remer iementsJe tiens à remer ier en premier lieu les membres du jury qui ont évalué e travail dethèse :- Mi hel Campillo, qui a a epté de présider le jury, a porté un regard extérieurmais néanmoins attentif sur e travail.- Les remarques pré ises et pertinentes de Ja ques Testud on ernant les radarsmétéorologiques ont beau oup apporté à e travail.- Hervé Andrieu m'a fait le plaisir de rapporter e mémoire. Nos nombreuses dis- ussions (parfois dans des pays très éloignés...) sur les PVR et les méthodes inversesont onsidérablement enri hi e travail.- Remko Uijlenhoet, ave sa gentillesse et sa bonne humeur habituelles, a examinéet rapporté e mémoire ave beau oup de rigueur et de pertinen e. J'espère que nos ollaborations futures me permettront de lui rendre une petite part de tout e qu'ilm'a apporté.- J'ai été heureux que Charles Obled ait a epté de faire partie du jury de ma sou-tenan e de thèse. Pour l'an ien élève, l'avis du professeur reste attendu et redouté !- En�n, je suis vivement re onnaissant à Guy Delrieu, qui a a epté de diriger montravail pendant es trois années, pour es onseils é lairés, sa disponibilité et sonsoutien.Le regard avisé ainsi que les ritiques, parfois inglantes mais toujours onstru tives,de Jean-Dominique Creutin ont grandement ontribué à e travail et je l'en remer ie sin- èrement. Les nombreux é hanges et dis ussions ave Thierry (Lebel), les Philippe (Boiset Belleudy), Sandrine, Marielle, Arona, Lu m'ont toujours enri hi, qu'ils en soient re-mer iés. Je ne peux que remer ier aussi Sylviane, Odette et Agnès qui m'ont si souventaidé dans les démar hes administratives parfois obs ures. De même, il m'est impossiblede ne pas iter les informati iens Bruno et Hervé, sans qui peu de hoses se ferait. L'aide,parfois plus sportive ou mé anique que s ienti�que, de Fred et Stéphane aura beau oup3

ompté aussi. Plus largement je voudrais remer ier l'ensemble des permanents du LTHEpour leur a ueil et leur onvivialité.Je tiens à saluer i i les thésard du labo, qu'ils fassent partie des � an iens � omme Béa-tri e, Céline, Emmanuelle, Héléna, Isabella, Stéphanie, Bertrand ou Fabien ; ou bien qu'ilsfassent partie de � ma génération � omme Anne-Julie (et Jér�me), Catherine, José (ditle Gringo) ou Wilfram ; ou en�n qu'ils fassent partie des � nouveaux � omme Marine,Guillaume (Bontron), Maud et Noémie (les inséparables), Abdou, Romain, Guillaume(Fourquet), David (mer i pour le squatt), Lætitia, Christophe, Théo, Matthieu, Eddy.Mer i à eux ave qui j'ai partagé de bons moments en montagne, que e soit à ski ou enparoi...L'évo ation de la montagne m'amène tout naturellement à remer ier Mi hel (et Mo-nique !) pour m'avoir � emmené � en montagne en général et en Chartreuse en parti ulier,ainsi que pour son a ueil toujours sympathique (et gastronomique) à Saint Pierre.En des endant de Saint Pierre, il m'est souvent arrivé de m'arrêter à Clémen ières hez Georges-Marie (et Floren e et la petite Jeanne). Autour d'un verre (ou plus ...),nous avons souvent débattu à propos de la modélisation hydrologique ou des aves deBeaunes, dans une ambian e toujours très ami ale. Je le remer ie haleureusement pour ela et pour d'autres hoses en ore...Je me dois de remer ier ami alement les malheureux thésards ave qui j'ai partagé unbureau au ours de es trois années : Du et Eduardo pour les plus ré ents, Thierry (le roidu monoski), Latif (le roi du Sidi Brahim) et Gaël (le roi des mé anos). Ils sont devenuspour moi plus des amis que de simples ollègues de bureau.En�n, je voudrais témoigner toute ma gratitude à Carine, qui a enduré les �ns desemaine sou ieuses ou studieuses, les mat hs de rugby et les heures de voitures sans seplaindre (ou presque), et grâ e à qui j'ai pu mener à son terme ette thèse.

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Table des matièresI Introdu tion 11II Contexte de l'étude 151 Éléments de météorologie en région méditerranéenne 171.1 Formation des pré ipitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Organisation des pré ipitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Prin ipaux systèmes pré ipitants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Systèmes pré ipitants onve tifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Systèmes pré ipitants orographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Systèmes pré ipitants y loniques ou frontaux . . . . . . . . . . . . 211.4 Pré ipitations méditerranéennes intenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 HIRE 98 292.1 Zone d'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 L'expérimentation HIRE 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Les apteurs et leur on�guration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Capteurs opérationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Capteurs re her hes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Des ription des épisodes pluvieux étudiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35III Interprétation physique des mesures de pluie par radar 393 Mesure de pluie par radar 413.1 Prin ipe de la mesure radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Volume de résolution radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

TABLE DES MATIÈRES3.2.1 Distribution de l'énergie dans le fais eau . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1.1 Fon tion de pondération radiale . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1.2 Fon tion de pondération angulaire . . . . . . . . . . . . . 463.2.1.3 Estimation du volume de résolution . . . . . . . . . . . . . 473.3 Équations radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.1 Équation radar pour une ible pon tuelle . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 Équation radar pour une ible distribuée dans un volume . . . . . . 483.3.3 Équation radar pour une ible distribuée sur une surfa e . . . . . . 513.4 Interprétation des mesures radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.1 Distribution granulométrique des gouttes . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.2 Modèles de di�usion et d'atténuation . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.3 Variables d'intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.3.1 L'intensité pluvieuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.3.2 Le fa teur de ré�e tivité équivalent . . . . . . . . . . . . . 533.4.3.3 Le oe� ient d'atténuation . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.4 Relations (Z,k,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Sour es d'erreurs a�e tant la mesure de pluie par radar . . . . . . . . . . . 573.5.1 Étalonnage éle tronique du radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5.2 Intera tions ondes-reliefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5.2.1 É hos �xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.2.2 e�ets de masque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.3 In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations . . . . . . . . . 594 Estimation du pro�l verti al de ré�e tivité 614.1 Étude des mesures radar brutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Corre tion de l'atténuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.1 Solution d'Hits hfeld-Bordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2 Méthode Dual Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.3 Algorithme de Marzoug et Amayen . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2.4 Algorithme hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.5 Méthode inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Appli ation aux données des radars X-Pointeur et X-RHI . . . . . . . . . . 734.3.1 Le radar X-RHI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

TABLE DES MATIÈRES4.3.1.1 Étalonnage du radar X-RHI ave la MRT . . . . . . . . . 744.3.1.2 Corre tion de l'atténuation . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.2 Le radar X-Pointeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.2.1 Co-étalonnage ave le radar X-RHI . . . . . . . . . . . . . 814.3.2.2 Corre tion de l'atténuation . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4 Comparaison des mesures radar orrigées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations sur la mesure radar 915.1 Équation radar et stru ture verti ale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2 Proto ole de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2.1 Cal ul des e�ets de masque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2.2 Cal ul du fa teur orre tif théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.3 Quanti� ation de l'in�uen e de la stru ture verti ale . . . . . . . . . . . . 965.4 Représentativité spatiale du PVR relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.5 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105IV Stru tures spatiales et temporelles des pré ipitations 1076 Notions de géostatistique 1096.1 Dé�nitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Hypothèse de stationnarité d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Hypothèse intrinsèque et variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4 Inféren e du variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4.1 Variogramme expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4.2 Modélisation du variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.5 Variable Régionalisée à support non pon tuel . . . . . . . . . . . . . . . . 1157 Analyse stru turale des hamps de pluie 1177.1 Analyse de la stru ture à petite é helle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1.1 Moyenne et variabilité temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1.2 Variogramme en fon tion de l'altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.1.2.1 Seuil bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.1.2.2 Seuil haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297

TABLE DES MATIÈRES7.1.3 Variogramme en deux dimensions dans le plan verti al . . . . . . . 1357.1.3.1 Seuil bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.1.3.2 Seuil haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.2 La ellule génératri e de pluie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.2.1 Formes ara téristiques des pré ipitations dans le plan verti al . . . 1467.2.2 Modèle de la ellule génératri e de pluie . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3 Analyse de la stru ture à grande é helle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.3.1 Mesures du réseau de pluviomètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.3.1.1 Moyenne et variabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3.1.2 Analyse stru turale des mesures pluviométriques . . . . . 1517.3.2 Mesures du radar de Nîmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.3.2.1 Moyenne et variabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.3.2.2 Analyse stru turale des mesures du radar de Nimes . . . . 1557.3.3 Cohéren e des variogrammes radar et pluviométrique . . . . . . . . 1677.4 De la petite à la grande é helle... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.4.1 Volume de résolution des mesures artésiennes . . . . . . . . . . . . 1697.4.2 Expression de la portée à grande é helle . . . . . . . . . . . . . . . 1707.4.3 Comparaison ave les portées expérimentales . . . . . . . . . . . . . 1727.5 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172V Impa t hydrologique de la variabilité spatiale des pré ipita-tions 1758 Modélisation des bassins versants 1798.1 Détermination des bassins versants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798.2 Étude du temps de réponse des bassins versants . . . . . . . . . . . . . . . 1818.3 Modélisation des bassins versants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.1 Présentation de CANOË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.2 Modélisation hydrologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.3.3 Modélisation hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.3.4 Calage des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.3.4.1 Paramètre de alage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.3.4.2 Critère de alage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878

TABLE DES MATIÈRES8.3.4.3 Choix des épisodes pluvieux . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879 In�uen e de la variabilité spatiale des pré ipitations 1899.1 Cal ul des lames d'eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.2 Lame d'eau moyenne sur la zone d'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.3 Lame d'eau moyenne sur les BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.4 Lame d'eau moyenne sur les SBV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949.5 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195VI Con lusions et perspe tives 197VII Annexes 209A Lien entre moments d'ordre 2 et variogramme 211B Interpolation par krigeage 213

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TABLE DES MATIÈRES

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Première partieIntrodu tion

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Introdu tionLes régions du pourtour méditerranéen sont régulièrement soumises à des pré ipita-tions intenses qui peuvent engendrer des rues et des inondations atastrophiques. En selimitant aux trois dernières années, des évènements météorologiques ex eptionnels se sontproduits par exemple en Italie (Val d'Aoste) et en Suisse (Valais) en O tobre 2000, enAlgérie (Alger, Bab El Oued) en Novembre 2001 et en Fran e (Gard) en Septembre 2002.Cette liste est loin d'être exhaustive mais montre d'une part que l'ensemble du bassinméditerranéen peut être tou hé et d'autre part que es phénomènes se produisent souventà l'automne.Cette limatologie parti ulière trouve son origine dans la on�guration spé i�que dela mer Méditerranée (Rivrain 1997). Du fait du peu d'é hanges ave l'o éan Atlantiqueet du rayonnement solaire intense, elle onstitue un gigantesque réservoir d'humidité etd'énergie pour les surfa es ontinentales qui la einturent. En outre, le pourtour médi-terranéen est a identé et les nombreux reliefs réent une ir ulation omplexe dans lesbasses ou hes de l'atmosphère, qui favorisent la formation de systèmes pluvieux intenses.Tous es pro essus s'organisent sur des distan es allant de la dizaine au millier de kilo-mètres, que l'on désigne par le terme de méso-é helle. La méso-é helle, ara téristiquede la météorologie méditerranéenne, se distingue de l'é helle synoptique (de l'ordre de ladizaine de milliers de kilomètres) qui est utilisée lassiquement pour dé rire la dynamiquede l'atmosphère pour les régions atlantiques par exemple.Les éléments généraux du ontexte météorologique propi e à l'apparition des systèmespré ipitants méditerranéens intenses sont onnus depuis une quarantaine d'années déjà etnotamment par l'apport de l'imagerie radar et satellitaire pour la déte tion, le suivi etl'étude des systèmes pré ipitants. Des e�orts importants sont menés pour la modélisationde es phénomènes (modèles à aire limitée par exemple), mais la simulation et surtoutla prévision des pré ipitations intenses restent di� iles. Pour mieux omprendre le fon -tionnement de es phénomènes météorologiques parti uliers, des ampagnes de mesureset d'expérimentation ont été (et sont toujours) menées.Ainsi, le programme international MAP (Mesos ale Alpine Programme) a été réalisédans le Nord de l'ar alpin (Binder et S här 1996), ave une période d'observations inten-sive (Bougeault et al. 2000). En fournissant un ensemble omplet de mesures ara térisantl'atmosphère au ours des évènements pluvieux intenses pour un site de validation rela-tivement vaste, MAP vise à améliorer la qualité des simulations des pré ipitations desmodèles météorologiques.Ave des obje tifs plus hydrométéorologiques et des moyens plus modestes, la am-pagne européenne HIRE 98 (pour HYDROMET Integrated Radar Experiment, Uijlen-hoet 1999a) a été menée pendant trois mois à l'automne 1998, à Marseille dans le Sud-Estde la Fran e. HIRE 98 avait pour but l'étude des pré ipitations méditerranéennes intenseset la modélisation du fon tionnement des hydrosystèmes urbains.Dans le adre de HIRE 98, le travail de thèse présenté dans e mémoire s'organiseautour de deux questions : 13

Introdu tion) Quelles sont les stru tures spatiales et temporelles ara téristiques des pré ipita-tions méditerranéennes intenses ?) Quel est l'impa t de l'organisation spatiale des pré ipitations sur la réponse hydro-logique de bassins versants en milieu urbain ?Les éléments de réponse que nous apportons s'arti ulent autour de trois points :1. L'analyse et la orre tion de l'atténuation des mesures de deux radars bande X a�nde déterminer l'organisation verti ale des pré ipitations.2. L'estimation des stru tures spatiales et temporelles moyennes des pré ipitationsméditerranéennes intenses à l'aide d'outils géostatistiques appliqués aux mesures dedi�érents apteurs.3. L'étude par simulation de l'in�uen e de la variabilité spatiale de la pluie sur le fon -tionnement hydrologique de bassins versants urbains et péri-urbains.Le mémoire est divisé en neuf hapitres :� Le hapitre 1 résume les prin ipaux éléments né essaires à la ompréhension de lamétéorologie méditerranéenne.� Le hapitre 2 présente la ampagne HIRE 98.� Le hapitre 3 explique le prin ipe de la mesure radar et les erreurs asso iées.� Le hapitre 4 détaille la méthode utilisée pour orriger les mesures radar atténuéeset estimer le pro�l verti al de ré�e tivité.� Le hapitre 5 quanti�e l'in�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations sur lamesure de pluie radar à longue distan e et valide le on ept de visibilité hydrologique.� Le hapitre 6 rappelle les notions théoriques utiles pour appliquer les outils géosta-tistiques.� Le hapitre 7 s'atta he à l'analyse stru turale spatiale et temporelle des hamps depluie .� Le hapitre 8 dé rit les bassins versants hoisis et les modélisations qui en ont étéfaites.� Le hapitre 9 présente une étude de l'impa t de la résolution spatiale de la lamed'eau sur la qualité du débit simulé à l'exutoire des bassins versants.

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Deuxième partieContexte de l'étude

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Chapitre 1Éléments de météorologie en régionméditerranéenneLes pré ipitations méditerranéennes onstituent l'objet d'étude de e travail de thèse.Nous dé rirons tout d'abord brièvement et simplement la formation des pré ipitationset les di�érents types de systèmes pré ipitants sous les latitudes moyennes. Puis nousnous intéresserons plus parti ulièrement aux pré ipitations intenses a�e tant les régionsméditerranéennes françaises.Pour des des riptions et des expli ations plus omplètes, le le teur pourra se référer auxouvrages de Triplet et Ro he (1986), Rogers et Yau (1989), Roux (1991), Houze (1993)ou Stull (1993).1.1 Formation des pré ipitationsLa pluie est un phénomène asso ié aux systèmes nuageux pré ipitants, qui dépend dela mi rophysique des nuages mais aussi des mouvements atmosphériques à plus grandeé helle. Les petites gouttes d'eau en suspension dans l'atmosphère onstituent les nuageset sont appelées gouttelettes nuageuses. Les gouttes d'eau su�samment grosses hutentet forment les gouttes de pluie.La formation des gouttes d'eau dépend des hangements d'état de l'eau présente dansl'atmosphère. La quantité d'eau présente et ses hangements d'état sont liés aux mou-vements verti aux au sein de l'atmosphère. Pour s hématiser, lorsqu'une parti ule d'airrelativement haud et humide monte en altitude, les transformations thermodynamiques(dépression, refroidissement) qu'elle subit peuvent onduire à la saturation de l'air et la ondensation de la vapeur d'eau. Cela se manifeste par l'apparition de gouttelettes d'eauengendrées par la déposition de vapeur d'eau dans un premier temps autour de mi ropar-ti ules qu'on appelle noyaux de ondensation, puis sur les gouttelettes déjà formées.Le grossissement de es gouttelettes se fait par deux mé anismes. À haute altitude, lesgouttelettes liquides ohabitent ave des ristaux de gla e. Ceux- i ont une pression devapeur saturante plus faible et un transfert d'eau s'opère entre les gouttelettes liquides et17

Chapitre 1. Éléments de météorologie en région méditerranéenneles ristaux de gla e ( 'est l'e�et Bergeron). Mais e pro essus est trop lent pour expliquerà lui seul la formation rapide des pré ipitations dans un orage par exemple. Le mé anismede oales en e explique le grossissement des gouttelettes par ollision (deux gouttelettess'entre hoquent et n'en forment plus qu'une) et olle tion (les plus grosses absorbent lesplus petites). L'ensemble des gouttelettes ainsi formées omposent le nuage. Dans le asdes nuages haud (pas de ristaux de gla e), seule la oales en e intervient.Lorsque les gouttelettes ont atteint une taille ritique, elles hutent et sont appeléesgouttes de pluie. Elles peuvent en ore grossir par olle tion de petites gouttelettes ensuspension dans le nuage. La �gure 1.1 s hématise es di�érents pro essus et la �gure 1.2donne les tailles ara téristiques de es gouttes et gouttelettes.

Fig. 1.1 � Formation des gouttelettes nuageuse et des gouttes de pluie (d'après Roux,1991)Limite conventionnelleentre gouttes nuageuseset gouttes de pluie

r = 100

Goutte nuageuse typique

r = 10v = 1

Noyau de condensation typiquer = 0.1v = 0.0001

.

v = 70

v = 27r = 50

Grande goutte nuageuse

Goutte de pluie typique r = 1000, v = 650

r : rayon en microns

v : vitesse de chute terminale en cm/s

Fig. 1.2 � Tailles ara téristiques des gouttelettes et gouttes (d'après Rogers and Yau,1989).18

1.2. Organisation des pré ipitations1.2 Organisation des pré ipitationsÀ partir de mesures radar, Austin et Houze (1972) ont montré que malgré leur aspe t haotique, les hamps de pré ipitations ont une ertaine organisation. Cette organisationrésulte de l'imbri ation de stru tures qui possèdent ha une leur durée de vie et leurextension spatiale spé i�que, et qui suivent ha une leur évolution propre. Ce s héma estillustré par la �gure 1.3 et le tableau 1.1.É helle synoptique grande méso-é helle petite méso-é helle elluleSurfa e (km2) � 104 103 à 104 102 à 103 10 à 30Durée de vie � 1 j. � 1 h. � 1 h. � 30 min.Intensité (mm=h) � 0:5 � 4 � 8 10 à 100Exemple perturbation y lonique front système ora-geux ellule onve tiveTab. 1.1 � É helles spatiales et temporelles ara téristiques des pré ipitations.

petite méso−échelle

grande méso−échelle

cellule

échelle synoptique

Fig. 1.3 � Des ription s hématique de l'organisation des pré ipitations (d'après Austinet Houze, 1972).En fon tion de l'intensité des mouvements verti aux, on peut aussi séparer la pluieen une omposante onve tive lorsque es mouvements verti aux sont intenses et une omposante stratiforme lorsqu'ils sont plus faibles.19

Chapitre 1. Éléments de météorologie en région méditerranéenne1.3 Prin ipaux systèmes pré ipitantsLes systèmes pré ipitants sont don le résultat de l'as endan e de masse d'air haud ethumide. On distingue prin ipalement trois types de mé anismes dé len hant es mouve-ments verti aux et don trois types de systèmes pré ipitants asso iés, qui sont présentéspar ordre roissant des é helles spatiales et temporelles qu'ils a�e tent.1.3.1 Systèmes pré ipitants onve tifsLes systèmes onve tifs se retrouvent lorsque deux masses d'air de températures di�é-rentes entrent en onta t, et plus parti ulièrement lorsque une masse d'air froid re ouvreun sol plus haud ou lorsque les basses ou hes sont su�sament hau�ées par les radiationssolaires. L'air des basses ou hes se dilate alors, s'allège, et s'élève sous l'e�et de la pousséed'Ar himède. Il s'élève en se refroidissant jusqu'au niveau de ondensation, altitude à la-quelle se forme la base du nuage. L'air ontinue de s'élever en se ondensant ainsi jusqu'auniveau d'équilibre thermique, altitude du sommet du nuage. Le sommet du nuage peutatteindre des altitudes de l'ordre de 12 km pour les situations les plus onve tives. Ons hématise la � vie � de la ellule onve tive ainsi dé rite par trois phases : développement,maturité et dissipation (voir �gure 1.4).

Fig. 1.4 � Di�érentes phases d'une ellule onve tive (d'après Roux, 1991). Les �è hesreprésentent les mouvements d'air au sein de la ellule.En fon tion de l'énergie onve tive potentielle, la onve tion s'organise en di�érentesstru tures spatiales et temporelles (Rogers et Yau 1989 ; Roux 1991).Le niveau élémentaire d'un système onve tif est la ellule orageuse ou ellule onve -tive, dont l'é helle spatiale ara téristique est de l'ordre de la dizaine de kilomètres et ladurée de vie de l'ordre de l'heure.Lorsque l'atmosphère présente une forte variation de la dire tion et de la for e du venten fon tion de l'altitude (on parle de fort isaillement de vent), il peut se réer des ellulesplus grosses possédant des mé anismes d'auto-entretien. On parle alors de super- ellule,de l'ordre de 30 à 50 km.Dans un environnement météorologique à isaillement de vent modéré, les ellules onve tives se groupent en systèmes organisés appelés systèmes multi- ellulaires ou multi-20

1.3. Prin ipaux systèmes pré ipitants ellules.En�n, dans ertaines onditions atmosphériques parti ulières que nous détailleronspour les régions méditerranéennes, les ellules onve tives s'organisent en systèmes plusétendus, à l'é helle de la entaine de kilomètres, appelés systèmes onve tifs de méso-é helle (SCME dans la suite).1.3.2 Systèmes pré ipitants orographiquesLa présen e d'un relief (une haîne de montagne par exemple) sur la traje toire d'unemasse d'air provoque l'élévation de elle- i. Le refroidissement induit peut entraîner laformation d'une ouverture nuageuse et dé len her des pré ipitations (voir �gure 1.5). Cetype de système est relié aux perturbations y loniques de plus grande é helle.

Fig. 1.5 � Pré ipitations orographiques.Ces pré ipitations, d'intensité et d'extension variables, tou hent prin ipalement le ver-sant situé au vent. Le versant sous le vent est au ontraire plus se , ar l'humidité relativede la masse d'air et don la pluie est moindre voire nulle lorsqu'elle redes end sur le ver-sant sous le vent. Le le teur intéressé par la météorologie des zones de montagnes pourrase reporter à Thillet (1997) par exemple.1.3.3 Systèmes pré ipitants y loniques ou frontauxCes systèmes pré ipitants sont engendrés au voisinage des surfa es de onta t entredeux masses d'air de température et d'humidité di�érentes, que l'on appelle un front. Lamasse d'air haud est toujours soulevée en altitude par la masse d'air froid. Suivant quela masse d'air haud suive ou pré ède la masse d'air froid, on trouve un front haud oufroid (voir �gure 1.6).Dans le as d'un front froid, les nuages ont un développement verti al important et lespré ipitations sont intenses. Dans le as d'un front haud, les nuages ont une extensionhorizontale plus importante et les pré ipitations sont plus faibles que pour le front froid.La �gure 1.7 illustre es deux as.Les omposantes onve tive et stratiforme de la pluie peuvent se retrouver simultané-ment dans les trois types de systèmes pré ipitants dé rits (Sempere-Torres et al. 1999 ;21

Chapitre 1. Éléments de météorologie en région méditerranéenne

Fig. 1.6 � Front haud et froid (d'après Réméniéras, 1965).San hez-Diezma et al. 2000).

22

1.3. Prin ipaux systèmes pré ipitants

Fig. 1.7 � Nuages et pré ipitations asso iés à un front haud et froid (d'après Réméniéras,1965).23

Chapitre 1. Éléments de météorologie en région méditerranéenne1.4 Pré ipitations méditerranéennes intensesLes régions méditerranéennes du Sud de la Fran e sont souvent a�e tées par des pré- ipitations intenses au ours de l'automne, qui est la saison à risque : 70% des épisodesayant donné un umul supérieur à 200 mm en 24 heures se sont produits entre le 25 aoûtet le 15 novembre (Barret et al. 1994). Nous allons tout d'abord dé rire le ontexte mé-téorologique synoptique favorable pour l'o uren e de es évènements intenses.La présen e en altitude d'un thalweg dépressionnaire asso ié à un enfon ement d'airfroid au Sud (sur le golfe de Gas ogne, l'Espagne ou le golfe du Lyon) engendre de puis-sants �ux d'altitude (appelés � jets �) de se teur Sud. Lorsque le fond du thalweg s'isoleet devient indépendant, on parle de goutte froide en altitude.L'orographie du poutour méditerranéen génère des onvergen es de basses ou hes quipeuvent dé len her la onve tion.L'existen e ou non d'une alimentation en air haud (on parle d'adve tion haude) dansles basses ou hes de l'atmosphères onditionne le type d'évènement pluvieux à venir (Bar-ret et al. 1994). Si les basses ou hes ne sont pas alimentées en air haud, il se produitun épisode � évenol � lassique, ara térisé par une pluie ontinue peu onve tive, ave des intensités modérées. Si l'alimentation en air haud existe, il se produit un évènementde type SCME, ara térisé par une onve tion très importante et des intensités de pluiestrès intenses, mais aussi par une durée de vie plus ourte (quelques heures).Nous allons nous intéresser en parti ulier à la formation des épisodes de type SCME� en forme de V �, qui engendrent des pré ipitations extrêmes. Les ellules onve tivesprennent naissan e à la pointe du V puis sont ensuite adve tées par le �ux de moyenne ouhaute troposphère. Elles forment alors un pana he dont les bran hes latérales onstituentle V (voir �gure 1.8). On parle de régénaration rétrograde des ellules, qui entraîne lastationnarité du phénomène.L'analyse de nombreux SCME en V ayant a�e tés le Sud-Est de la Fran e montre unesituation météorologique ara téristique à l'é helle synoptique et à la méso-é helle, arti- ulée autour des phénomènes météorologiques suivants (Barret et al. 1994 ; Rivrain 1997) :L'aspirationLes divergen es des jets produits par un thalweg d'air froid ou une goutte froide en alti-tude favorisent les mouvements verti aux dans les basses ou hes.Le � arburant �Un �ux de Sud bien établi dans les basses ou hes au-dessus de la Méditerranée rée unealimentation en air haud et humide des basses ou hes de l'atmosphère, qui deviennentpotentiellement instables et propi es à la onve tion.24

1.4. Pré ipitations méditerranéennes intenses

Fig. 1.8 � Exemple de SCME en V au ours de l'épisode du 07/09/1998, image du radarde Nîmes. Les traits rouges �gurent le � V �.

25

Chapitre 1. Éléments de météorologie en région méditerranéenneLe forçage de basses ou hesLes basses ou hes sont élevées brutalement par les mouvements verti aux engendrés parun relief, une limite de front ou une onvergen e de vents, et réunissent des onditionsfavorables pour le dé len hement de la onve tion. Le forçage de basses ou hes est ren-for é par la présen e d'un isaillement verti al de vent et d'air se en altitude (autour de3000 m), omme le montre la �gure 1.9. L'air se se refroidit et se densi�e en évaporantune partie des pré ipitations et rée des subsiden es violentes. Le isaillement verti al devent permet que es subsiden es ne détruisent pas les as endan es et ainsi le système peuts'auto-entretenir.La fo alisationSouvent, une faible dépression de méso-é helle entretient l'adve tion d'air haud et hu-mide et la fo alise en un point pré is où se régénèrent les ellules onve tives (la pointedu V). On quali�e e phénomène de régénération rétrograde.Le dé len hementLorsque toutes les onditions sont réunies, la onve tion intense des basses ou hes estgénéralement dé len hée par le passage d'une onde ourte froide, perpendi ulaire à la di-re tion du jet.Le ontexte météorologique propi e à la formation et au développement de SCME enV est résumé dans la �gure 1.9. En Fran e, les systèmes onve tifs de méso-é helle en Vne se retrouvent que dans les régions méditerranéennes. Mais des systèmes onve tifs de e type ont été observés dans d'autres régions du monde, par exemple en Amérique duSud (Rivrain 1997).

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1.4. Pré ipitations méditerranéennes intenses

Fig. 1.9 � Contextes synoptique et méso-é helle favorables à la formation de SCME en V(d'après Barret et al, 1994). Variations ave l'altitude : (1) vent (for e et dire tion) ; (2)température ; (3) température du thermomètre mouillé.

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Chapitre 1. Éléments de météorologie en région méditerranéenne

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Chapitre 2HIRE 98Les di�érentes études réalisées au ours de e travail s'appuie essentiellement sur lesdonnées olle tées dans le adre de l'expérimentation HIRE 98, menée en 1998 à Mar-seille (Fran e). Dans e hapitre, nous présenterons tout d'abord les ara téristiques géo-graphiques, topographiques et limatiques de notre zone d'étude. Puis la ampagne demesure et d'expérimentation HIRE 98 sera dé rite (obje tifs, moyens te hniques et hu-mains,...). Nous détaillerons alors la on�guration des apteurs que nous avons utilisés eten�n nous présenterons les évènements pluvieux que nous avons étudiés.2.1 Zone d'étudeLa ville de Marseille est située dans le Sud-Est de la Fran e, sur la �te méditerra-néenne. Elle est don soumise à un limat méditerranéen : un hiver doux et humide, unepériode haude et sè he l'été. Le umul annuel est de l'ordre de 550 mm, ave en moyenne50 jours et une entaine d'heures de pluie par an. Parmi es 50 jours de pluie, on trouveune dizaine d'épisodes ave des intensités dépassant les 100 mm.h-1 sur de ourtes périodeset une grande variabilité spatiale et temporelle de la pluie. Ces évènements intenses seproduisent le plus souvent entre le 15 Août et le 15 Novembre.La ommune de Marseille ouvre une super� ie de 24 000 he tares et regroupe 800 000habitants. Elle est einturée par un relief al aire d'altitude modérée (voir �g 2.1) : auNord les haînes de l'Estaque (280 m) et de l'Étoile (780 m), au Sud les massifs de Mar-seilleveyre (430 m) et de la Gineste (620 m) et en�n à l'Est le massif de Garlaban (710 m).La rade s'ouvre à l'Ouest. En partant de la mer, le relief est relativement plat puis se re-dresse brusquement en pénétrant vers l'intérieur des terres.Ce relief et e limat engendrent un fort risque de rue é lair pour la ville de Mar-seille (exemples du 22-23 Septembre 1993, du 07 Septembre 1998 et du 19-20 Septembre2000). Pour mieux onnaître et gérer e risque, la ville a mis en pla e et exploite un ré-seau de surveillan e et de télégestion entralisé. Il est onstitué d'une part d'un réseaude 25 pluviomètres ave un bas ulement à 0.2 mm et un pas de temps de 6 minutes, etd'autre part d'un réseau de 120 limnimètres ave un pas de temps de 6 minutes aussi. Ces29

Chapitre 2. HIRE 98deux types de mesures sont télétransmises en temps réel à un entre de ontr�le et degestion. Des stations de ré eption MÉTÉOTEL, qui entralise l'information satellitaire etradar, et SAFIR, qui fournit une mesure de l'a tivité intra-nuages, omplètent les réseauxde pluviomètres et limniètres. Le produit CALAMAR (CAl ul de LAMes d'eAu Radar,so iété RHÉA) permet également de ombiner en temps réel les images du radar de Nîmeset les mesures du réseau de pluviomètres de la Ville de Marseille a�n d'estimer et prévoirla répartition spatiale des pluies. L'ensemble de es éléments forment un dispositif ohé-rent de surveillan e du réseau d'assainissement de la ville et de mise en alerte éventuelledes servi es d'exploitation et d'entretien.

Fig. 2.1 � Lo alisation de Marseille et topographie.2.2 L'expérimentation HIRE 98Le projet de re her he HYDROMET, �nan é par le Programme Environnement dela Communauté Européenne, a rassemblé douze équipes s ienti�ques européennes. Sonprin ipal obje tif est de promouvoir les appli ations hydrologiques du radar météorolo-gique, qui vont de la modélisation atmosphérique jusqu'à la modélisation hydrologique ethydraulique.Une grande ampagne de mesure et d'expérimentation, permettant aux di�érents par-ti ipants de mettre en ommun leurs ompéten es et leurs apteurs pour améliorer lamesure de pluie par radar et la modélisation hydrologique urbaine, a été dé idée dans le adre d'HYDROMET.La fréquen e et l'intensité des évènements pluvieux ainsi que les réseaux de mesuresopérationnels existants faisaient de Marseille un site privilégié pour l'étude des pré ipi-tations méditerranéennes intenses en milieu urbain. L'expérimentation HIRE 98, pourHYDROMET Integrated Radar Experiment 98, s'y est déroulée du 1erSeptembre au 30Novembre 1998 (Uijlenhoet 1999a). 30

2.3. Les apteurs et leur on�gurationLes obje tifs s ienti�ques de HIRE 98 étaient (i) de permettre une amélioration si-gni� ative de la mesure des pré ipitations et de la onnaissan e de leur stru ture spatio-temporelle, en utilisant di�érents types de systèmes radar et di�érents types de apteurs ausol, et (ii) de onstruire et tester la sensibilité des modélisations hydrologiques s'appuyantsur es mesures de pluie améliorées, pour des bassins versants urbains et péri-urbains.2.3 Les apteurs et leur on�gurationNous pouvons distinguer deux atégories de apteurs : les apteurs opérationnels et les apteurs re her hes.2.3.1 Capteurs opérationnelsLe réseau de pluviomètres de la Ville de Marseille fournit des mesures de umul depluie au pas de temps de 6 minutes et la densité de pluviomètre est de l'ordre de 1 postepour 15 km2. La répartition des pluviomètres dans la zone d'étude est donnée dans la�gure 2.2b.Le réseau limnigraphique fournit de même des mesures de hauteur d'é oulement aupas de temps de 6 minutes. Les limnimètres utilisés dans e travail seront dé rits dans la inquième partie.En�n, les mesures du radar de Nîmes ont été olle tées tout au long de ette période.Il s'agit d'un radar bande S (10,7 m de longueur d'onde) qui fait partie du réseau opé-rationnel ARAMIS de Météo Fran e. Il est situé à environ 90 km au Nord-Ouest de laville de Marseille. L'antenne e�e tue trois tours omplet à trois angles de sites (in linai-son par rapport à l'horizontal) : 1.8, 1.2 et 0.6Æ. Les mesures sont fournies sous forme degrilles artésiennes qui ombinent les mesures aux trois angles de site pour fournir uneimage quasi-horizontale (proto ole Constant Altitude Plan Position Indi ator, CAPPI),ave une résolution spatiale de 1x1 km2 et au pas de temps de 5 minutes.Les mesures du réseau pluviométrique, du réseau limnigraphique et du radar de Nîmes onstituent l'ensemble des données opérationnelles olle tées dans le adre de l'expéri-mentation HIRE 98.2.3.2 Capteurs re her hesEn omplément des apteurs opérationnels, des apteurs de re her he ont fon tionnédans la zone d'étude, pour la durée de l'expérimentation. Deux sites d'implantation ont étéséle tionnés : le site de Vernet, Poste Central de surveillan e et de gestion du réseau d'as-sainissement, en entre ville, et le site du Vallon Dol, à environ 11 km au Nord-Nord-Est.Di�érents apteurs au sol ont été répartis entre es deux sites : (i) sur les deux sites, unestation météorologique omplète ave un pluviomètre (Université de Bristol), (ii) sur lesite de Vernet, deux pluviomètres haute résolution (15 s), deux spe tro-pluviomètres op-31

Chapitre 2. HIRE 98tiques (LCPC, LTHE) et un disdromètre a oustique (Université d'Au kland).En plus de es apteurs au sol, deux systèmes radar de on�guration légère ont été misen pla e : (i) un pointeur verti al bande X (3,2 m de longueur d'onde), au site de Vernet,géré par l'université de Bristol et (ii) un radar bande X (3,2 m de longueur d'onde) situéau Vallon Dol, géré par le LTHE. Le pointeur verti al sera dénommé dans la suite radarX-Pointeur. Il fournit des mesures de la ré�e tivité sur la verti ale en fon tion du temps,appelée Height Time Indi ator (HTI). Le radar implanté au Vallon Dol sera dénommédans la suite radar X-RHI. Il mesure la ré�e tivité dans un plan verti al dans la dire tiondu site de Vernet, suivant un proto ole de balayage Range Height Indi ator (RHI). La�gure 2.2 montre la lo alisation du radar de Nîmes, des sites de Vernet et du VallonDol, et elle des pluviomètres opérationnels. La on�guration relative des trois radars ests hématisée dans la �gure 2.3.

Fig. 2.2 � Lo alisation des apteurs : (a) présente la topographie et les positions relativesdu radar de Nîmes et de la zone d'étude. (b) montre les positions des pluviomètres de laville de Marseille et des deux radars lo aux.Il est intéressant de noter la omplémentarité des mesures des trois radars, en termesd'espa e é hantillonné et de résolution spatio-temporelle. Le radar de Nîmes balaie toutela zone, ave une résolution spatiale de 1x1 km2 et une résolution temporelle de 5 mi-nutes. Le radar du LTHE e�e tue une oupe verti ale de l'atmosphère au-dessus de toutel'agglomération, presque perpendi ulairement au fais eau du radar de Nîmes, ave unerésolution spatiale de 250 m et une résolution temporelle de 1 minute. Le pointeur verti- al est situé dans la zone de forte densité de pluviomètres et sa résolution spatiale est de7.5 m, ave un pas de temps de 4 s. La �gure 2.4 illustre ette omplémentarité, pour uninstant donné de l'épisode du 7 septembre 1998.Le tableau 2.1 ré apitule les ara téristiques te hniques des 3 radars utilisés.32

2.3. Les apteurs et leur on�guration

11,3 km

277 m

PointeurVertical

Radar RHI60.1°

-2°

1.8°

250 m

7.5 m

0

1.8°

(

=<

=<

=<

Pointeur Vertical

Pluviographes

)

=Radar de NîmesEffets de masques

~90 km

1.8°

0.6°

(a) (b)

Fig. 2.3 � Con�guration des 3 radars : (a) montre la on�guration relative du radar RHIet du pointeur verti al. (b) montre la on�guration relative du radar de Nimes et dupointeur verti al. Les ara téristiques géométriques des fais eaux des trois radars sontpré isées. Paramètre Nîmes Vernet Vallon DolBalayage CAPPI HTI RHIFréquen e (GHz) 2.8 9.4 9.4Longueur d'onde ( m) 10,7 3,2 3,2Puissan e de rête (kW) 700 25 40Durée d'impulsion (�s) 2 0.05-1 2PRF (Hz) 250 650-1300 500Diamètre d'antenne (m) 4 1.2 1.2Gain (dB) 40 38 38,8Ouverture 3 dB (deg) 1.8 1.8 1.8Tab. 2.1 � Cara téristiques te hniques des radars

33

Chapitre 2. HIRE 98

Fig. 2.4 � Complémentarité des radars : épisode du 07/09/1998, 13 h 30 TU. (a) mesure duradar de Nîmes, (b) mesure du radar X-RHI et ( ) mesure du radar X-Pointeur. Les traitspointillés �gurent le fais eau du radar RHI et elui du pointeur verti al respe tivement.

34

2.4. Des ription des épisodes pluvieux étudiés2.4 Des ription des épisodes pluvieux étudiésNous avons limité notre étude aux épisodes pluvieux les plus importants (en intensitéet en umul) parmi eux enregistrés au ours de HIRE 98. Il s'agit du 07 Septembre 1998(dénommé par la suite épisode du 07/09), du 11 Septembre 1998 (épisode du 11/09) eten�n du 05 O tobre 1998 (épisode du 05/10). La �gure 2.5 montre les artes de umultotal sur la zone d'étude pour les trois épisodes. Ces artes ont été obtenues en interpolantles mesures pon tuelles du réseau de pluviomètres de la ville de Marseille.

Fig. 2.5 � Cartes des umuls des mesures pluviométriques pour les 3 épisodes étudiés.Les pluviomètres sont représentés par les (+).L'épisode du 07/09 est un évènement pluvieux intense : les pluviomètres ont enregistrédes umuls variant de 19.8 mm à 85.8 mm en 5 h 30 minutes, ave un pi d'intensitémaximum d'environ 160 mm.h-1 sur 6 minutes. Les gradients horizontaux maximum de umuls sont de l'ordre de 60 mm en 15 km. L'analyse des images du radar de Nîmesmontre qu'il s'agit d'un SCME en V (voir �gure 1.8).35

Chapitre 2. HIRE 98Pour l'épisode du 11/09, la durée d'étude est de 3 heures. Les umuls enregistrés varientde 16.4 à 40 mm, ave un pi d'intensité pluvieuse maximum d'environ 60 mm.h-1. Lesgradients horizontaux maximum de umuls sont de l'ordre de 15 mm en 10 km.Pour l'épisode du 05/10, la durée d'étude est de 4 heures 30 minutes. Les umulsenregistrés varient de 0 à 59.2 mm, ave plusieurs pi s d'intensité pluvieuse maximumd'environ 40 mm.h-1. Les gradients horizontaux maximum de umuls sont de l'ordre de40 mm en 5 km. Pour les épisode du 11/09 et du 05/10, la onve tion n'est pas organiséeà grande é helle, et es évènements sont de type multi- ellulaire.On peut noter que es trois épisodes sont des évènements pluvieux intenses, fortementvariables dans l'espa e et dans le temps (à l'é helle de l'épisode et d'un épisode à l'autre).Il faut aussi noter que l'interpolation réalisée pour tra er les artes de la �gure 2.5 lissele hamp de pluie et que l'on ne retrouve pas né essairement les valeurs extrêmes de umul ar les pluviomètres ne orrespondent généralement pas aux noeuds de la grilled'interpolation.En utilisant la � Mountain Referen e Te hnique � proposée pour la zone de Marseillepar Delrieu et al. (1997) et développée par Delrieu et al. (1999) et Serrar et al. (2000),l'atténuation totale subie par l'onde radar au ours de la traversée des pré ipitations (PathIntegrated Attenuation en anglais et dénommée par la suite PIA) a été estimée entre leradar X-RHI et un é ho de montagne de référen e, situé à une distan e d'environ 15 kmdu site d'implantation du radar. Cette méthode sera détaillée dans le paragraphe 4.3.1.1.La �gure 2.6 présente l'évolution de l'é ho de montagne et du PIA que l'on en déduit, enfon tion du temps et pour les trois épisodes pluvieux.Les fortes atténuations a�e tant les mesures du radar X-RHI au ours des évènementsdu 07/09 et du 11/09 sont lairement visibles. Pour l'épisode du 07/09, le PIA maximumest d'environ 30 dB, soit un fa teur de 1/1000 par rapport au signal de temps se . L'inten-sité de pluie moyenne orrespondante sur les 15 km, déduite des mesures des pluviomètres,est de l'ordre de 40 mm.h-1. Pour l'épisode du 11/09, le PIA maximum est d'environ 20dB et l'intensité de pluie moyenne orrespondante est de l'ordre de 30 mm.h-1. En�n pourl'épisode du 05/10, le PIA maximum est d'environ 15 dB pour une intensité de pluiemoyenne orrespondante de l'ordre de 20 mm.h-1. Ces valeurs sont ohérentes ave lesrelations atténuation / intensité de pluie présentées plus loin.

36

2.4. Des ription des épisodes pluvieux étudiés

Fig. 2.6 � Valeurs de l'é ho de montagne et du PIA déduit pour les 3 épisodes pluvieux.

37

Chapitre 2. HIRE 98

38

Troisième partieInterprétation physique des mesures depluie par radar

39

Chapitre 3Mesure de pluie par radarLes pré ipitations (pluie, neige et éventuellement grêle) peuvent être estimées ave un pluviomètre ou un radar météorologique. Un pluviomètre (de quelque type qu'il soit)fournit une mesure des hauteurs pré ipitées �able et robuste ar dire te, mais pon tuelle.L'élaboration d'informations spatialisées à partir de mesures de pluviomètres né essitedon le re ours à l'interpolation, ave toutes les in ertitudes et les erreurs asso iées. Àl'inverse, un radar météorologique fournit une mesure spatialisée, mais indire te et don a�e tée d'erreurs parfois importantes d'un point de vue quantitatif.Dans e hapitre, nous présenterons tout d'abord le prin ipe de la mesure de pluie parradar. Nous introduirons ensuite les éléments théoriques asso iés et en�n nous détaille-rons les di�érentes sour es d'erreurs a�e tant la mesure de pluie radar. Les paragraphessuivants s'inspirent de Sauvageot (1982), Ulaby, Moore et Fung (1986) et Doviak et Zrni (1993).3.1 Prin ipe de la mesure radarLe radar (a ronyme de RAdio Dete tion And Ranging) est un appareil de télédéte tionapparu pendant la se onde guerre mondiale, employé pour le repérage de ibles militaires.Mais dès ette époque, ave l'arrivée des générateurs d'ondes hyperfréquen es, il est ap-paru que les phénomènes météorologiques perturbaient les mesures, parfois grandement.Depuis, une ommunauté nombreuse travaille à l'amélioration de la mesure de divers phé-nomènes atmosphériques à l'aide du radar (Atlas et Ulbri h 1990).Un radar omprend trois prin ipaux éléments : un émetteur d'onde, une antenne et unré epteur. L'émetteur génère, pendant une durée très brève (� , de l'ordre de la mi rose- onde), des ondes éle tromagnétiques mono hromatiques de forte puissan e (de l'ordre dela entaine de kiloWatts), ave une période de l'ordre de la nanose onde (T).Une onde éle tromagnétique est omposée d'un hamp diéle trique (�!E ) et d'un hampmagnétique (�!B ). Les équations de Maxwell dé rivent la propagation d'une onde éle tro-41

Chapitre 3. Mesure de pluie par radarmagnétique et expli itent le lien entre es deux hamps. Pour une onde plane progressivesinusoïdale se propageant dans la dire tion (Ox), dans le sens des x roissants, les deux hamps seront de la forme :�!S (x; y; z) = 0S0y(x; y; z) os(�!k : x�!e x � !t+ y)S0z(x; y; z) os(�!k : x�!e x � !t+ z) (3.1)Ave : S0 : amplitude du hamp�!k : ve teur d'onde , �!k = ! �!e x! : pulsation , ! = 2�T : déphasageLe terme (�!k :x�!e x�!t+ ) est appelé phase de l'onde. Comme on onsidère une ondeplane, elle est ontenue dans un plan perpendi ulaire à la dire tion de propagation, i i leplan (yOz). Ce plan est appelé plan de polarisation. Les radars météorologiques utilisentdes ondes dans la gamme des mi ro-ondes et plus pré isément les bandes S, C et X (voir�gure 3.1).

100 103 106 109 1012 1015 1018 1021

108 105 102 10-1 10-4 10-7 10-10 10-13

Fréquence (Hz)

Longueur d’onde (m)

ondes radio

micro-ondes

infrarouge

visible

ultraviolet

rayons gamma

rayons cosmiques

Bande L S C X K

Fréquence (GHz)

Longueur d’onde (cm)

0.4 1.6 4 5.8 11 36

75 20 7.5 5 2.7 0.8Fig. 3.1 � Gammes de longueur d'onde des radars météorologiques et positions dans lespe tre éle tromagnétique (d'après Ulaby et al., 1986)Ces ondes sont ensuite a heminées vers l'antenne, d'où elles sont émises dans l'atmo-sphère. Elles se propagent dans un premier temps sous forme d'un fais eau ylindrique,puis sous l'e�et de la di�usion, sous forme d'un fais eau onique. D'autre part, du faitde la durée d'émission � , il y a une in ertitude sur la distan e radiale entre le radar et42

3.1. Prin ipe de la mesure radarune ible éventuelle. Elle orrespond à la distan e aller-retour que peut par ourir l'ondependant la durée � , soit �2 . Le signal qui arrive au ré epteur à un instant donné provientde l'ensemble des rétrodi�useurs ontenus dans un volume dé�ni par la distan e radiale �2 et l'ouverture angulaire du fais eau. Ce volume est appelé volume de résolution duradar (voir �gure 3.2). Ce point sera détaillé plus loin.

Fig. 3.2 � Émission d'un radar de longueur d'onde �, où est la élérité de la lumière et� la durée d'émission du radar.Les ondes suivent une traje toire légèrement in urvée vers la Terre du fait de la di-minution ave l'altitude de l'indi e de réfra tion de l'air (pro he de 1), en onditionsmétéorologiques normales. Il peut arriver que la traje toire soit di�érente, on parle alorsde propagation anormale. La �gure 3.3 montre le trajet d'une onde en atmosphère strati-�ée (l'indi e de réfra tion varie linéairement ave l'altitude) et l'approximation du rayonterrestre équivalent.

Fig. 3.3 � Trajet d'un fais eau radar en atmosphère strati�ée (a) et approximation durayon terrestre équivalent (b) (d'après Doviak et Zrni¢, 1993).43

Chapitre 3. Mesure de pluie par radarDans l'atmosphère, une ible illuminée par une onde éle tromagnétique absorbera unepartie du rayonnement sous forme de haleur et en ré-émettra l'autre partie. Les ibles(ou di�useurs) qui nous intéressent sont les hydrométéores, 'est à dire les gouttelettesnuageuses, la pluie, la neige ou la grêle. Pour dé rire l'absorption et la di�usion d'une ondeéle tromagnétique par un hydrométéore, on utilise la solution aux équations de Maxwellpour une sphère proposée par Mie en 1908. Nous reviendrons plus loin sur ette solution,mais on peut retenir que ette di�usion n'est pas isotrope.

Fig. 3.4 � Di�usion de l'onde in idente par une ibleLe ré epteur permet de mesurer l'onde rétrodi�usée, dont les ara téristiques dé-pendent de elles de l'onde in idente et de la taille, de la forme et des propriétés di-éle triques du di�useur. En général, l'antenne sert également pour la ré eption, pendantla durée entre deux émissions. On distingue deux types de ré epteurs :) les ré epteurs in ohérents, qui ne mesurent que l'amplitude du signal rétrodif-fusé. La puissan e rétrodi�usée est proportionnelle au arré de ette amplitude etelle est obtenue après ampli� ation logarithmique en général. Le ré epteur est a-ra térisé par le niveau de bruit minimum déte table et sa dynamique. Par exemple,le radar du LTHE a un niveau minimum déte table de -110 dBm et une dynamiquede 80 dB. Dans toute la suite, dB est l'opérateur �10 log10() et i i m fait référen eau milliWatt (unité de puissan e). La puissan e minimum déte table est don 10�11mW et la puissan e maximum déte table est 10�3 mW (10�11 � 108).) les ré epteurs ohérents, qui mesurent la phase en plus de l'amplitude. Or ladi�éren e de phase entre l'onde émise et l'onde rétrodi�usée est fon tion de la vitesseradiale du di�useur. Les radars Doppler permettent don de mesurer la vitesse desdi�useurs dans l'axe du fais eau radar, en plus de la puissan e rétrodi�usée.On peut rajouter la mesure d'une troisième ara téristique de l'onde rétrodi�usée auxdeux types de apteurs dé rits pré édemment : la polarisation. Les modi� ations de po-larisation peuvent être reliées aux ara téristiques des hydrométéores et au milieu quetraverse l'onde radar. Ces propriétés sont utilisées notamment pour la orre tion d'atté-nuation des ourtes longueurs d'onde, mais e point ne sera pas abordé dans e travail.44

3.2. Volume de résolution radar3.2 Volume de résolution radarLa représentativité spatiale et temporelle d'une mesure radar est liée à son volume derésolution. Il apparaît don important de dé�nir pré isemment le volume de résolution enfon tion des ara téristiques du radar. Nous détaillerons pour ela la distribution d'énergiedans le fais eau radar, qui permet d'estimer le volume de résolution. Dans toute la suitede e paragraphe, nous utiliserons les oordonnées sphériques (voir �gure 3.5).

x

z

y

θ

φ

M(r,θ,φ)

r

Fig. 3.5 � Coordonnées sphériques3.2.1 Distribution de l'énergie dans le fais eauLa répartition de l'énergie au sein du fais eau n'est pas uniforme et on dé�nit unefon tion de pondérationW0 qui est fon tion de la position relative d'un di�useurM(r; �; �)par rapport au entre du volume de résolutionM0(r0; �0; �0). Elle s'é rit omme le produitd'une fon tion de pondération radiale et d'une fon tion de pondération angulaire :W0(r; �; �) = jWr(r � r0)j2 Wa[(� � �0); (�� �0)℄ (3.2)3.2.1.1 Fon tion de pondération radialeLa durée d'émission � engendre une in ertitude sur la distan e de la ible au radar de �2 . Un ré epteur réel distord l'impulsion reçue en entrée ar sa bande passante n'est pasin�nie et la distribution radiale d'énergie n'est pas uniforme en sortie. Doviak et Zrni (1993) proposent le modèle suivant pour la fon tion de pondération radiale :jWr(r � r0)j2 = f12[erf(x+ b)� erf(x� b)℄g2 (3.3)erf est la fon tion erreur, dé�nie par :erf(t) = tZ0 e�u2 dx45

Chapitre 3. Mesure de pluie par radarave : x = 2aB6 (r � r0)a = �2pln(2)b = B6 � a2B6 : bande passante à 6 dB du ré epteur : vitesse de la lumière dans le vide3.2.1.2 Fon tion de pondération angulaireLa répartition angulaire de l'énergie autour de l'axe du fais eau est donnée par :Wa [(� � �0); (�� �0)℄ = G20 f 4 [(� � �0); (�� �0)℄ (3.4)Si l'antenne est un paraboloïde de révolution, on peut simpli�er l'équation 3.4 :Wa( ) = G20 f 4( ) (3.5)Ave : : distan e angulaire à l'axe du fais eauG0 : gain en puissan e de l'antenne pour l'axe du fais eau (dB)f 2 : distribution angulaire normée de l'énergie par rapport à l'axe du fais eauLa fon tion f 2 est onnue à travers le diagramme de rayonnement de l'antenne (voir�g 3.6). On observe un lobe prin ipal à proximité de l'axe du fais eau et des lobes se on-daires beau oup plus petits lorsque l'on s'éloigne (en distan e angulaire). La di�éren eentre les maxima des lobes se ondaires et du lobe prin ipal est de l'ordre de 30 dB, soitun rapport de 1000.Probert-Jones (1962) propose une modélisation du lobe prin ipal par une fon tiongaussienne : f 2( ) = e� 2 2 (3.6)Ave : 2 = 23dB4ln2 (3.7)La pertinen e de ette approximation est illustrée par la �gure 3.6.Le paramètre 3dB est appelé ouverture du fais eau à 3 dB et orrespond à la valeurde l'angle pour laquelle la puissan e est deux fois moindre que sur l'axe du fais eau. Un46

3.2. Volume de résolution radar

Angle (degré)

Pui

ssan

ce r

elat

ive

(dB

)

f ² mesurée

f ² modélisée

Fig. 3.6 � Diagramme de rayonnement de l'antenne du radar du LTHErapport de 2 équivaut à une di�éren e de 3 dB. 3dB dépend des ara téristiques du radaret notamment de la longueur d'onde � et du diamètre d de l'antenne. Sauvageot (1982)propose l'approximation suivante pour 3dB (en degré) : 3dB = 70�d (3.8)3.2.1.3 Estimation du volume de résolutionCes fon tions de pondération vont nous permettre de dé�nir le volume de résolution.D'après la formulation des équations 3.3 et 3.5, le volume de résolution est théoriquementin�ni. On dé�nit un paramètre seuil s, qui va imposer une distan e rs et un angle s orrespondant à e seuil. Le volume de résolution s'é rit alors :Vs = fM(r; �; �) 2 IR3 = jr � r0j � rs2 ; � s2 g (3.9)Le tableau 3.1 donne les di�érentes valeurs de rs, s et le pour entage d'énergie orres-pondant à di�érentes valeurs de seuil (s en dB) :s (dB) 3 6 12 24rs (m) 300 375 472 570 s (Æ) 1.8 2.54 3.60 5.09Énergie (%) 78.0 90.7 98.3 99.9Tab. 3.1 � Distan es radiales et angulaires pour di�érentes tron atures pour le radar deNîmes (d'après Pellarin, 2001)47

Chapitre 3. Mesure de pluie par radar3.3 Équations radarNous expli iterons dans un premier temps le lien entre la puissan e émise et la puissan ereçue par le radar pour une ible pon tuelle, puis pour une ible distribuée dans un volumeet en�n pour une ible distribuée sur une surfa e.3.3.1 Équation radar pour une ible pon tuelleLa puissan e rétrodi�usée par une ible pon tuelle lo alisée par M(r; �; �) s'é rit :Pr(r; �; �) = C1A2(r; �; �) �r(r; �; �)r4 (3.10)Ave : Pr : puissan e rétrodi�usée vers le radar par la ibleC1 : onstante dépendant des ara téristiques du radarA2 : fa teur d'atténuation sur le trajet aller-retour radar- ible�r : se tion e� a e de rétrodi�usion de la ibleLa se tion e� a e de rétrodi�usion �r se dé�nit omme la surfa e inter eptant unequantité de puissan e in idente égale à elle qui, rayonnée isotropiquement, orrespondà la puissan e qui est e�e tivement rétrodi�usée vers le radar. Plus simplement, elletraduit la apa ité d'une ible à di�user l'onde in idente vers le radar et dépend des ara téristiques diéle triques de la ible.Le fa teur d'atténuation A(r; �; �) représente la fra tion de la puissan e émise absorbéepar le milieu de propagation et par d'éventuelles autres ibles présentes entre le radar etla ible onsidérée, pour un trajet aller. Le fa teur d'atténuation total pour un trajetaller-retour est don A2(r; �; �), ar la vitesse des ondes est pro he de la vitesse de lalumière et don très grande devant la dynamique du milieu et des ibles.Le terme C1, appelé onstante radar, est fon tion des ara téristiques du radar etnotamment de la puissan e émise et de la longueur d'onde. Elle s'é rit :C1 = Pe �2Aar(4�)3 (3.11)Ave : Pe : puissan e de rête émise� : longueur d'ondeAar : fa teur de perte sur le trajet émetteur-antenne3.3.2 Équation radar pour une ible distribuée dans un volumeLorsqu'on utilise un radar météorologique, les di�useurs d'intérêt sont les hydromé-téores. Compte tenu des ordres de grandeurs de leurs tailles (de 0.1 à 10 mm) et de la48

3.3. Équations radartaille du volume de résolution (voir tab.3.1), l'ensemble des hydrométéores peut être onsi-déré omme une ible distribuée dans le volume de résolution et nous utiliserons dans lasuite des formulations intégrales.Le signal rétrodi�usé résulte de la superposition de nombreuses ondes élémentairesdi�usées par les hydrométéores présents dans le volume de résolution. La distributionaléatoire des positions, tailles et vitesses implique une analyse probabiliste du signal rétro-di�usé (Marshall et Hits hfeld 1953). On peut retenir que la puissan e totale rétrodi�uséeest la somme de deux termes :(i) Le premier orrespond à la somme des puissan es rétrodi�usées par les hydromé-téores, qui est un signal relativement stable d'un tir à l'autre ar l'é helle de tempsdes variations de omposition des hydrométéores est très supérieure à la durée entredeux tirs (de l'ordre de la millise onde).(ii) Le deuxième orrespond à la ombinaison des interféren es onstru tives et des-tru tives entre les ondes élémentaires prises deux à deux. Ce terme est sensible auxdépla ements relatifs des hydrométéores de l'ordre de la longueur d'onde. Il est don très variable et peut être important par rapport à (i). Il importe don de moyennerle signal rétrodi�usé sur plusieurs tirs pour réduire e deuxième terme.Les grandeurs seront ramenées à un volume élémentaire repéré par son entreM(r; �; �)(voir �gure 3.7).

x

y

z

M(r,θ,φ)

Mo(ro,θo,φo)

θ

φ

r

dV

Fig. 3.7 � Volume élémentaire dVOn dé�nit �, appelé ré�e tivité radar, omme la densité volumique de se tion e� a ede rétrodi�usion qui s'exprime en m-1 (m2.m-3). On peut alors généraliser l'équation radar(3.10) à un ensemble de ibles distribuées dans le volume de résolution, en tenant omptede la distribution d'énergie :Pr(Vr) = C1 ZVr W0(V ) A2(V ) �(V )r4 dV (3.12)49

Chapitre 3. Mesure de pluie par radarEn oordonnées sphériques, dV = r2 sin(�) dr d� d�, d'où :Pr(r0; �0; �0) = C1 Zr Z� Z� jWr(r)j2G20f 4(�; �)A2(r; �; �) �(r; �; �)r2 sin(�) dr d� d� (3.13)Dans la formulation lassique, � est onsidéré omme peu variable dans Vr. Les on�gu-rations dans lesquelles ette hypothèse n'est plus réaliste seront abordées plus loin. Nousallons don supposer dans un premier temps que � est uniforme dans Vr :Pr(r0; �0; �0) = C1G20 �(r0; �0; �0) Zr Z� Z� jWr(r)j2 f 4(�; �)A2(r; �; �)r2 sin(�) dr d� d� (3.14)Soit rs la longueur du volume de résolution (pour un seuil s �xé). Si l'on est assez éloignédu radar, alors r0 est grand devant rs et on peut supposer que A(r; �; �) est peu di�érentde A(r0; �0; �0), d'où :Pr(r0; �0; �0) = C1G20 A2(r0; �0; �0) �(r0; �0; �0)r20 r0+ 12 rsZ0 jWr(r)j2 dr �Z0 2�Z0 f 4(�; �) sin(�) d� d�(3.15)Pour une impulsion de durée � , on dé�nit le fa teur de perte lr due à la limitation de labande passante du ré epteur : lr = �2+1R0 jWr(r)j2 dr (3.16)Si r0 est su�samment grand, on peut supposer que (Doviak et Zrni 1993) :r0+ 12 rsZ0 jWr(r)j2 dr = �2 lr (3.17)Par ailleurs, si l'on adopte le modèle gaussien pour f 2(�; �), on montre que :�Z0 2�Z0 f 4(�; �) sin(�) d� d� = � 23dB8 ln2 (3.18)Où 3dB est l'ouverture à 3 dB du fais eau radar.En introduisant (3.11), (3.17) et (3.18) dans (3.15), on obtient :Pr(r0; �0; �0) = PeG20 23dB Aar � �21024 �2 ln2 lr A2(r0; �0; �0) �(r0; �0; �0)r20 (3.19)On peut remarquer que la puissan e rétrodi�usée vers le radar est proportionnelle à r�2pour une ible distribuée dans un volume, alors qu'elle est proportionnelle à r�4 pour une ible pon tuelle. 50

3.4. Interprétation des mesures radar3.3.3 Équation radar pour une ible distribuée sur une surfa eLes propriétés, et notamment l'amplitude, des ondes rétrodi�usées par un pan de mon-tagne dépendent de l'état de l'humidité, de la végétation par exemple et don de son étatde surfa e de manière générale. Par onséquent, le radar peut être utilisé pour ara tériserl'état d'une surfa e et l'équation radar pour une ible surfa ique s'é rit :Pr(r0; �0; �0) = Csol A2(r0; �0; �0) �0(r0; �0; �0)r40 (3.20)Où : Csol = PtG20 �2Aar(4�)3 (3.21)Et : �0(r0; �0; �0) = ZS W0 �0(S) dS (3.22)�0 est le oe� ient de rétrodi�usion pour une surfa e élémentaire dS, exprimé en m2:m�2.Ce oe� ient est l'analogue surfa ique de �. Il dépend de l'état de surfa e (rugosité, végéta-tion, humidité,et ...) et aussi de paramètres du radar (longueur d'onde, angle d'in iden e,polarisation, et ...).3.4 Interprétation des mesures radarL'équation radar expli ite le lien entre la puissan e reçue au radar, qui est le paramètremesurable, et la ible, qui est le paramètre d'intérêt. Nous détaillerons dans un premiertemps les paramètres qui in�uen ent l'intera tion ondes/hydrométéores, puis nous dé�ni-rons un ensemble de grandeurs d'intérêts pour interpréter les mesures radar en termes depluie ainsi que les relations qui les unissent.3.4.1 Distribution granulométrique des gouttesLes grandeurs ara térisant les hydrométéores dépendent en partie de la taille et dela répartition de eux- i. La distribution granulométrique (volumétrique) des gouttesN(D; r; �; �) (Drop Size Distribution en anglais et DSD dans la suite) est don une fon -tion essentielle pour l'interprétation des mesures radar. N(D; r; �; �) dD dV représente lenombre d'hydrométéores ayant un diamètre équivalent ompris entre D et D+dD, dans levolume élémentaire dV entré en M(r; �; �). Le diamètre équivalent est le diamètre d'unesphère d'eau liquide ayant la même masse que l'hydrométéore onsidéré. Il est à noter quele terme � distribution � est employé abusivement ar N(D; r; �; �) est analogue à unedensité de probabilité. Dans la suite, nous supposerons que N est uniforme dans l'espa eet nous é rirons don N(D). Sempere-Torres et al. (1994) proposent de dé rire N par uneloi d'é helle qui s'é rit, en utilisant une variable de référen e :N(D; ) = � g( ��D) (3.23)51

Chapitre 3. Mesure de pluie par radarLes oe� ients � et �, ainsi que la forme et les dimensions de g dépendent du hoix de ,mais ne dépendent pas de sa valeur (voir Sempere-Torres et al. 1994, Sempere-Torres et al.1998, Uijlenhoet 1999b).On suppose ouramment que g est de forme exponentielle :g(x) = a exp(b x)don : N(D; ) = �N0 exp �� ��D� (3.24)3.4.2 Modèles de di�usion et d'atténuationLa puissan e renvoyée vers le radar est fon tion de la DSD mais aussi de la se tione� a e de rétrodi�usion �r et de la se tion e� a e d'atténuation totale Qt. Nous allonsexpli iter es paramètres en fon tion des ara téristiques du radar et des hydrométéores.Mie propose une solution exa te aux équations de Maxwell pour une sphère et on endéduit les expressions générales de �r et Qt :�M = �24� j 1Xn=1(�1)n(2n+ 1)(an � bn)j2 (3.25)QtM = �24� Re" 1Xn=1(2n+ 1)(an + bn)# (3.26)où Re signi�e partie réelle. Les oe� ients an et bn sont les oe� ients de Mie. Ils sontfon tions entre autres de la longueur d'onde et du diamètre de la sphère.Lorsque la longueur d'onde est grande devant la taille des hydrométéores (� >> D),on est dans le adre de l'approximation de Rayleigh. La se tion e� a e de rétrodi�usionet d'atténuation totale s'é rivent alors :�R(D) = �5�4 jKj2D6 (3.27)QtR(D) = �2� Im(K)D3 (3.28)où Im signi�e partie imaginaire. K est un fa teur dépendant de l'indi e de réfra tion omplexe des hydrométéores, que l'on suppose par défaut omme étant sous forme liquide.�M est dire tement proportionnel au diamètre à la puissan e 6 et à l'inverse de la longeurd'onde à la puissan e 4. QtR est dire tement proportionnel au diamètre à la puissan e 3et à l'inverse de la longeur d'onde.L'approximation de Rayleigh est véri�ée dans le as de la bande S, mais elle onduit àde fortes erreurs dans le as de la bande X (Delrieu et al. 1991).52

3.4. Interprétation des mesures radar3.4.3 Variables d'intérêtLa grandeur qui nous intéresse en premier lieu pour la quanti� ation des systèmespré ipitants est l'intensité pluvieuse, que l'on désignera par R. En e�et, ette intensitépluvieuse onstitue la variable � d'entrée � pour l'hydrologie (et le radar fournit uneinformation spatialisée qui peut se révéler utile). Il faut don faire le lien entre la puissan erétrodi�usée par les hydrométéores et l'intensité de pluie. Nous allons dé�nir pour elale fa teur de ré�e tivité radar équivalent Z et le oe� ient d'atténuation k. Ces troisgrandeurs orrespondent à des valeurs intégrées sur le volume de résolution.3.4.3.1 L'intensité pluvieuseSi on la hoisit omme variable de référen e pour la loi d'é helle de la DSD, l'intensitéde pluie intégrée sur le volume de résolution peut s'é rire :R = CR ZD D3N(D;R)Vt(D) dD (3.29)où D représente la population des tailles de gouttes, Vt la vitesse terminale de hutedes gouttes, fon tion du diamètre et CR une onstante dépendant des unités. Si R est enmm:h�1, Vt en m:s�1, N(D;R) en m�4 et D en m, alors CR vaut 0; 6� 106 �.En supposant que g est de type exponentiel, alors on peut ontraindre (3.24) et ainsiassurer sa ohéren e ave l'intensité de pluie.3.4.3.2 Le fa teur de ré�e tivité équivalentLa ré�e tivité � est dé�nie omme la densité volumique de se tion e� a e de rétrodif-fusion. Elle s'é rit en fon tion de la DSD et de �r, pour le volume de résolution :�(R) = ZD �r(D)N(D;R) dD (3.30)� dépend de la position du volume de résolution à travers R.Dans le adre de l'approximation de Rayleigh et en ombinant (3.27) et (3.30), onobtient : �(R) = �5jKj2�4 ZD N(D;R)D6 dD (3.31)On dé�nit alors le fa teur de ré�e tivité radar équivalent Z par :Z(R) = ZD N(D;R)D6 dD (3.32)53

Chapitre 3. Mesure de pluie par radarZ ne dépend don que des ara téristiques des hydrométéores. Le terme � équivalent �vient de e que le terme jKj2 est al ulé pour l'eau à l'état liquide. Couramment, onparle de � ré�e tivité radar � pour désigner le fa teur de ré�e tivité radar équivalent.L'équation radar pour une ible distribuée en volume devient (voir équation 3.19) :Pr(r0; �0; �0) = C A2(r0; �0; �0) Z(R)r20 (3.33)où C est la onstante radar pluie, dé�nie par :C = PeG20 23dB Aar � �3 jKj21024 �2 ln2 lr �2 (3.34)Lorsque l'approximation de Rayleigh n'est pas appli able (par exemple pour la bandeX), on dé�nit le fa teur de ré�e tivité radar équivalent de manière à onserver l'expressionde la onstante radar pluie C (dé�nie dans le adre de l'approximation de Rayleigh) :Z(R) = CZ ZD �M(D)N(D;R) dD (3.35)où : CZ = �4�5 jKj2 (3.36)Si Z est en mm6:m�3, �M en m2, alors CZ vaut 0; 40� 1012.On remarque que le fa teur de ré�e tivité radar équivalent ainsi dé�ni dépend ettefois des ara téristiques du radar. Cependant, l'équation radar pour une ible distribuéeen volume reste identique à (3.33).Le fa teur de ré�e tivité radar équivalent est estimable ave un radar météorologiqueet permet de ara tériser les hydrométéores dans le volume de résolution ( omplètementdans le adre de l'approximation de Rayleigh et en fon tion des ara téristiques du radarsinon). On exprime généralement Z en mm6:m�3 ou en dBZ (10logZ).3.4.3.3 Le oe� ient d'atténuationPour les longueurs d'onde atténuées, l'atténuation du signal lors de la traversée despré ipitations est un phénomène essentiel pour l'interprétation des mesures radar. Ondé�nit le oe� ient d'atténuation omme la se tion e� a e d'atténuation totale moyennedans le volume de résolution :k(R) = Ck ZD Qt(D)N(D;R) dD (3.37)Si Qt est en m2, N(D;R) en m�4, alors C vaut 0:43� 106 et k s'exprime en dB:km�1.54

3.4. Interprétation des mesures radarLa �gure 3.8 montre la valeur de k en fon tion de la fréquen e du radar et de l'intensitédes pré ipitations. En bande S, l'atténuation est négligeable alors qu'elle peut être totaleen bande X.

Bande L Bande XBande S Bande XFig. 3.8 � Atténuation en fon tion de la fréquen e et de l'intensité de pluie (d'après Ulabyet al. , 1986)3.4.4 Relations (Z,k,R)Les variables Z, k et R sont des variables intégrales de la DSD. En hoisissant R ommevariable de référen e pour la DSD, nous avons dé�ni Z et k en fon tion de R. Dans eparagraphe, nous allons établir des relations entre es trois variables.Si on suppose que la DSD est orre tement dé rite par une loi d'é helle, on montre queles relations entre les moments pondérés de la DSD sont de type loi puissan e (Sempere-Torres et al. 1994). Dans le adre de l'approximation de Rayleigh, Z et k s'expriment omme des moments pondérés de la DSD (d'ordre 6 pour Z et 3 pour k). En adoptantune relation puissan e entre la vitesse terminale de hute et le diamètre des gouttes, alors55

Chapitre 3. Mesure de pluie par radarR s'exprime aussi omme un moment pondéré de la DSD (d'ordre 3.5 environ). On aalors : Z = aRb k = Rd Z = ekf (3.38)En parti ulier, de nombreuses paramétrisations de la relation Z-R ont été proposées dansla littérature. On ite lassiquement :- pluie onve tive : Z = 486R1:37 (Jones 1956)- pluie stratiforme : Z = 200R1:6 (Marshall et al. 1955)- neige : Z = 1780R2:21 (Sekhon et Srivastava 1970)Lorsque l'approximation de Rayleigh n'est pas valable, Z et k ne sont plus exa tementdes moments pondérés de la DSD. On appro he ependant ouramment les relations(Z,k,R) par des lois puissan e. Delrieu et al. (1995) proposent une méthode pour al ulerles oe� ients (a,b, ,d,e,f) des relations (Z,k,R) dans le as des longueurs d'onde ourtes,utilisant la solution de Mie. On modélise la vitesse terminale de hute en fon tion dudiamètre des gouttes, ave le modèle de Beard par exemple (Beard 1976). On suppose parailleurs que la DSD suit un modèle exponentiel don N(D;R) s'é rit :N(D;R) = R�N0 exp �� R��D� (3.39)Les paramètres de forme et � sont ajustés sur des valeurs mesurées de spe tres de taillede gouttes. On al ule ensuite la variable C(R) = N0R� sur une plage de valeurs de R(de 5 à 100 mm.h-1 dans notre as) de manière à respe ter l'expression intégrale de R enfon tion de la DSD (équation 3.29) :C(R) = R= 0�CR ZD D3 exp(� R��D)Vt(D) dD1A (3.40)Une relation de type puissan e ave N0 et � omme paramètres est alors ajustée entreles valeurs pré édemment al ulées de C(R) et de R. La DSD ainsi obtenue est ohérenteave l'équation intégrale de l'intensité de pluie.Une fois la DSD établie, on peut al uler les valeurs de Z et de k orrespondant à laplage de valeurs de R utilisées pré édemment, en utilisant les dé�nitions (3.35) et (3.37).Les oe� ients des relations (Z,k,R) sont ajustés sur les valeurs de R �xées et les va-leurs de Z et k obtenues. Ave ette pro édure, les relations (Z,k,R) sont ohérentes ave la distribution granulométrique et la gamme d'intensités de pluie hoisie.En outre, la DSD et le al ul de es oe� ients ne dépendent que des deux paramètres et �. Dans la suite, nous avons utilisé deux jeux de paramètres et � déterminés àpartir de mesures de spe tre granulométrique réalisées sur la même zone (Delrieu et al.1997 ; Salles et al. 1999). Leurs ara téristiques et les relations Z-R et k-R déduites sontprésentées dans le tableau 3.2.La paramétrisation DSD1 orrespond à une granulométrie plut�t moyenne, alors que laparamétrisation DSD2 orrespond plut�t à des évènements au ara tère onve tif marqué.56

3.5. Sour es d'erreurs a�e tant la mesure de pluie par radar � Z-R k-R Nom39.9 -0.195 Bande X Z = 236R1:53Bande S Z = 290R1:39 Bande X k = 7:3 10�3R1:25Bande S k = 0:38 10�3R1:004 DSD130.0 -0.18 Bande X Z = 620R1:41Bande S Z = 592R1:29 Bande X k = 11:3 10�3R1:19Bande S k = 0:35 10�3R1:04 DSD2Tab. 3.2 � Paramétrisations de la DSD et relations (Z,k,R) asso iées (Z est en mm6:m�3,k est en dB:km�1 et R est en mm:h�1), pour les longueurs d'onde 3.2 m et 10 m3.5 Sour es d'erreurs a�e tant la mesure de pluie parradarLe radar mesure la ré�e tivité des hydrométéores, que l'on relie à l'intensité pluvieuse.La mesure de pluie par radar est don une mesure indire te et de plus à distan e. Elleest a�e tée par diverses erreurs inhérentes aux apteurs de télédéte tion et à une mesureindire te. Nous évoquerons dans e paragraphe les erreurs liées tout d'abord à l'éle tro-nique du radar, puis aux intera tions ondes-reliefs et en�n à la stru ture verti ale despré ipitations.

3.5.1 Étalonnage éle tronique du radarLes paramètres dépendant des ara téristiques du radar sont regroupés dans la onstanteradar C. Pour avoir une mesure quantitative �able, il est don primordial d'étalonner leradar. Cette manipulation onsiste à véri�er que tous les omposants éle troniques et hy-perfréquen es du radar fon tionnent de manière nominale. Connaissant ainsi les valeursdes di�érents paramètres du radar, on pourra déterminer la onstante radar C de façonpré ise. Il est important de bien estimer ette onstante, ar elle onditionne la mesurede la ré�e tivité. Un étalonnage absolu est di� ile à réaliser, mais il faut au moins s'as-surer de la stabilité temporelle de et étalonnage pour des mesures hydrologiques (Joss etWaldvogel 1990).3.5.2 Intera tions ondes-reliefsLa présen e d'obsta les (montagne, bâtiments,...) dans la zone explorée par un radar vainduire deux types de phénomènes perturbateurs pour l'interprétation des mesures radaret la transformation de la ré�e tivité radar en intensité pluvieuse. Les deux phénomènessont les é hos �xes et les e�ets de masque (voir �gure 3.9).57

Chapitre 3. Mesure de pluie par radar

Fig. 3.9 � É hos �xes de temps se et masques. Les traits pointillés noirs délimitent la zoned'étude, les traits pointillés blan s entourent une zone où le fais eau radar est masqué.3.5.2.1 É hos �xesLorsqu'une onde émise par le radar vient frapper le relief (une montagne par exemple),la puissan e rétrodi�usée vers le radar est de l'ordre de grandeur de la puissan e rétro-di�usée par une forte pluie. Le relief va don engendrer une forte ré�e tivité radar, à uneposition toujours identique, d'où le nom d'é ho �xe. Cet é ho � pollue � l'image radar. Lesé hos �xes a�e tant les mesures du radar de Nîmes sont présentés sur l'image de gau hede la �gure 3.9. Cette arte a été obtenue en moyennant des mesures radar réalisées partemps se . On peut aussi noter la présen e de nombreux é hos �xes à proximité du radar(repéré par l'abs isse 774 et l'ordonnée 1870), qui sont engendrés par la ré�exion des lobesse ondaires du fais eau du radar.3.5.2.2 e�ets de masqueLe relief illuminé va inter epter tout ou partie du fais eau radar. La zone d'altitudeinférieure ou égale à elle du relief et située au-delà de elui- i ne sera pas illuminée parle fais eau radar. Ce blo age du fais eau radar par le relief est appelée e�et de masque.De tels e�ets de masque sont visibles sur l'image de droite de la �gure 3.9, notammentdans le quart Nord-Est de l'image. Cette zone est � derrière � le relief qui engendre lesforts é hos �xes visibles en � amont � de ette zone.58

3.5. Sour es d'erreurs a�e tant la mesure de pluie par radar3.5.3 In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitationsLes pré ipitations ont une variabilité horizontale (parallèlement au sol) mais aussi unevariabilité verti ale. Cette hétérogénéité verti ale peut provenir de la turbulen e atmo-sphérique ou des transitions de phase de l'eau dues à la grande variation de températureave l'altitude.Les hangements d'état de l'eau engendrent le phénomène de bande brillante. La neigeen fusion à l'altitude de l'isotherme 0ÆC a une ré�e tivité radar plus élevée que elle desgouttes. Par ailleurs les hydrométéores ralentissent à proximité de l'isotherme 0ÆC. Onobserve don une augmentation de la ré�e tivité à l'altitude du hangement d'état (voir�gure 3.10).

Fig. 3.10 � Exemple de bande brillante : épisode du 05/10/1998.Si l'on s'intéresse à des appli ations hydrologiques du radar météorologique, l'hétéro-généité verti ale des pré ipitations peut être sour e d'une erreur supplémentaire. Pourl'hydrologie, la variable d'intérêt est la pluie au niveau du sol. L'ouverture du fais eau ra-dar fait qu'à longue distan e du radar, le volume de résolution est très étendue en hauteur(de l'ordre de 3 km à 100 km de distan e). L'intensité de pluie déduite de telles mesuressera représentative d'une tran he d'altitude importante, or la pluie au sol peut être trèsdi�érente de la pluie en altitude.Nous reviendrons plus en détail sur la quanti� ation de l'in�uen e de la stru tureverti ale des pré ipitations dans le hapitre 5.59

Chapitre 3. Mesure de pluie par radar

60

Chapitre 4Estimation du pro�l verti al deré�e tivitéL'un des obje tifs de e travail est l'analyse des stru tures spatiales et temporelles despré ipitations. Une partie de ette analyse repose sur l'étude du PVR. Dans le adre deHIRE 98, les radars X-RHI et X-Pointeur étaient dans une on�guration parti ulière etoriginale qui permettait d'explorer une même région de l'atmosphère sous deux anglesde vue. Dans les paragraphes suivants, nous nous intéresserons tout d'abord aux mesuresbrutes de es radars pour les trois épisodes pluvieux retenus. Puis les di�érentes te hniquesde orre tion de l'atténuation a�e tant es mesures radar seront dé rites. En�n une inter- omparaison des PVR ainsi obtenus sera e�e tuée, a�n de juger de la pertinen e des orre tions appliquées.4.1 Étude des mesures radar brutesLes deux systèmes radar fournissent deux mesures di�érentes de la même région del'atmosphère. Le radar X-Pointeur fournit des HTI, qui orrespondent à l'évolution duPVR en fon tion du temps. Comme le fais eau du radar X-Pointeur est ompris dans leplan verti al qu'explore le radar X-RHI, il est possible d'extraire des mesures RHI le PVRau dessus du site de Vernet.Le radar X-RHI n'ayant fon tionné que pendant une partie de l'épisode du 07/09, lesanalyses reposant sur les mesures de e radar ne seront onduites que sur une durée de142 minutes pour et épisode. Les pluviomètres ont enregistré des umuls variant de 2.8à 38.6 mm (voir �gure 4.1), ave un pi d'intensité pluvieuse maximum de l'ordre de70 mm.h-1 sur 6 minutes. Les gradients horizontaux maximum sont de l'ordre de 30 mmen 10 km.Une première étape onsiste en la omparaison des HTI bruts obtenus à partir desdeux radars, a�n de mettre en éviden e les similitudes et les di�éren es entre les deuxjeux de données. Pour réaliser une telle omparaison, il faut d'abord homogénéiser es61

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivité

Fig. 4.1 � Carte de umul de pluie pour l'épisode du 07/09 tronqué.données, en terme de résolution spatiale et temporelle. Les mesures du radar X-Pointeuront une résolution spatiale de 7,5 m et temporelle de 4 s. Les HTI déduits des mesures duradar X-RHI ont une résolution spatiale de 125 m et temporelle de 1 minute. Les mesuresdu radar X-Pointeur ont don été moyennées a�n d'avoir la même résolution spatiale ettemporelle que les mesures du radar X-RHI, 'est-à-dire 125 m et 1 min. La �gure 4.2présente les HTI pour les trois épisodes pluvieux étudiés.Pour quanti�er es omparaisons entre es deux jeux de données, nous avons utilisé les ritères suivants :� Le oe� ient de détermination : i.e le arré du oe� ient de orrélation.� Le ritère de Nash (ou e� ien e) : N = 1� nPi=1(Yi �Xi)2nPi=1(Xi �X)2� Erreur quadratique moyenne (RMSE en anglais) : rmse =s 1n� 1 nXi=1 (Yi �Xi)2où X est la variable de référen e, X sa moyenne et Y la variable testée. La �gure 4.3montre les nuages de points pour les épisodes pluvieux onsidérés. Les mesures du radarX-Pointeur ont été arbitrairement hoisies omme référen e. L'analyse des mesures desdeux radars, omplétée par les valeurs des ritères présentés i-dessus, fournit des infor-mations sur la stru ture des épisodes pluvieux et aussi sur les erreurs a�e tant les mesuresdes deux radars. Les ritères ont été al ulés sur les valeurs supérieures à un seuil �xé à10 dBZ ( e qui orrespond à environ 0.1 mm.h-1).Les HTI mettent en éviden e les di�éren es de stru ture entre les trois évènementspluvieux onsidérés. L'épisode du 07/09 apparaît omme onve tif, ave des développe-62

4.1. Étude des mesures radar brutes

Fig. 4.2 � HTI brut pour les 3 épisodes étudiés.

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Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivité

Fig. 4.3 � Nuages de points et ritères de omparaison pour les HTI bruts pour les pas detemps 1 minute ( olonne de gau he) et 5 minutes ( olonne de droite), pour les 3 épisodesétudiés.64

4.1. Étude des mesures radar brutesments verti aux élevés (jusqu'à des altitudes de 7-8 km) et la présen e de ellules intensesbien identi�ées. Il ne ressort pas d'organisation temporelle bien laire. En omparaison,les développements verti aux de l'épisode du 11/09 et du 05/10 sont moins importants, etils semblent plus stru turés temporellement. On peut noter une légère bande brillante àune altitude d'environ 4 km pour l'épisode du 11/09 et une bande brillante bien marquéepour l'épisode du 05/10 à une altitude d'environ 3 km. Comme expliqué au paragraphe2.2.4.3, la bande brillante est la � signature � d'une transition de phase entre l'eau solideet l'eau liquide. L'hypothèse d'uniformité de la granulométrie est alors mise en défaut.Les similarités globales entre les mesures des deux radars sont illustrées par la �-gure 4.2. Pour les trois évènements pluvieux, les deux radars mesurent la même stru turegénérale pour les HTI, notamment en terme de dynamique temporelle des PVR. Cette o-�u tuation est on�rmée par les valeurs du oe� ient de détermination de 0.18 pourl'épisode du 07/09, de 0.51 pour elui du 11/09 et de 0.79 pour elui du 05/10. Nous avonspro édé à l'intégration temporelle sur 5 minutes (voir �gure 4.3) qui permet d'a roîtresensiblement la o-�u tuation entre les HTI issues des deux radars puisque le oe� ientde détermination devient 0.27 pour l'épisode du 07/09, 0.67 pour elui du 11/09 et 0.91pour elui du 05/10. Ce i est prin ipalement dû au lissage des e�ets de syn hronisation� impré ise � des deux mesures. Cependant, pour les épisodes du 07/09 et du 11/09,l'e� ien e et le rmse, bien qu'améliorés par ette intégration temporelle, n'atteignent pasdes valeurs traduisant une similarité signi� ative : l'e� ien e est de 0.05 pour le 07/09et de 0.4 pour le 11/09 (respe tivement de 0.15 et 0.49 au pas de temps 5 minutes) ; lermse est de 11.93 pour le 07/09 et de 8.22 pour le 11/09 (respe tivement 10.82 et 7.64au pas de temps 5 minutes). Le fait que l'intégration temporelle sur 5 minutes n'éliminepas toutes les dissemblan es entre les mesures des deux radars laisse supposer les e�etsd'autres sour es d'erreur.Ces �gures montrent aussi des di�éren es entre les deux mesures radar. Une premièredi�éren e apparaît dans les valeurs globales de ré�e tivités mesurées : le radar X-Pointeurfournit des mesures toujours plus fortes que le radar X-RHI, pour les deux épisodes. Pourl'épisode du 07/09, le maximum de ré�e tivité mesuré par le radar X-Pointeur est de68 dBZ alors qu'il est de 50 dBZ pour le radar X-RHI. Pour l'épisode du 11/09, il estde 65 dBZ pour le radar X-Pointeur et de 47 dBZ pour le radar X-RHI. Pour l'épisodedu 05/10, il est de 53 dBZ pour le radar X-Pointeur et de 48 dBZ pour le radar X-RHI.Ces ré�e tivités globalement plus élevées mesurées par le radar X-Pointeur soulèvent leproblème de l'étalonnage des radars, en parti ulier pour le radar X-Pointeur.Une autre di�éren e vient du fait que ertaines ellules pluvieuses ne sont pas � vues �ou sont signi� ativement sous-estimées par l'un des deux radars. Par exemple, au oursde l'épisode du 07/09, autour du pas de temps 100 min., le radar X-Pointeur déte te une ellule intense, alors que le radar X-RHI ne déte te quasiment rien. Á l'inverse, entre lespas de temps 70 et 90 min., le développement verti al de la ellule de pluie est d'environ6-7 km pour le radar X-Pointeur, alors qu'il est d'environ 8-9 km pour le radar X-RHI.On retrouve le même phénomène au ours de l'épisode du 11/09 : autour du pas detemps 180 min., le radar X-Pointeur mesure une ellule intense, alors que le radar X-RHImesure une ellule bien moins intense. Entre les pas de temps 225 et 300 min., le dévelop-65

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitépement verti al des ellules est de l'ordre de 6 km pour le radar X-Pointeur, alors qu'ilest de l'ordre de 7.5 km pour le radar X-RHI. Pour l'épisode du 05/10, les ré�e tivitéssont moins fortes et les HTI des deux radars sont très pro hes (les valeurs des ritèresde omparaisons pour le 05/10 montrent une similarité signi� ative). Toutefois, le radarX-RHI mesure à nouveau un développement verti al plus élevé que le radar X-Pointeur.On peut remarquer sur la �gure 4.3 que les nuages de points ont une ertaine ourbureentre 10 et 20 dBZ, plus marquée pour les épisodes du 11/09 et du 05/10. Le niveaumoyen de ré�e tivité plus élevé pour les mesures du radar X-Pointeur explique les pointssitués en-dessous de la première bisse tri e. L'extension verti ale plus élevée mesurée parle radar X-RHI explique quant à elle les points situés au-dessus de la première bisse tri e,même si une partie des points n'est pas prise en ompte quand la ré�e tivité passe sousle seuil de déte tion d'un des deux radars.Ces deux radars fon tionnent ave des ourtes longueurs d'onde (bande X) et leurs me-sures peuvent don être atténuées par les pré ipitations, et plus fortement par lorsqu'ellessont intenses. Cela explique en partie les di�éren es observées entre les HTI obtenus àpartir des deux radars. On peut notamment remarquer que la dispersion des nuages depoints est roissante ave l'atténuation totale déduite des é hos de montagne (�gure 2.6).En e�et, le PIA estimé pour l'épisode du 05/10 est bien inférieur à elui de l'épisode du07/09 et le oe� ient de détermination diminue onsidérablement entre es deux épisodes(il passe de 0.79 à 0.18) alors que le rmse augmente lui onsidérablement entre es deuxépisodes (il passe de 5.83 à 11.93).En�n, la omparaison des HTI issus des mesures radar brutes met en éviden e que lesmesures du radar X-RHI sont a�e tées par des e�ets de masque pour les faibles angles desites. Ces e�ets de masque sont dus à une petite olline située à proximité du site radardu Vallon Dol. Par onséquent, les HTI obtenus à partir des mesures du radar X-RHIne ommen ent qu'à une altitude de 500 m, a�n d'éviter es problèmes de masquage dufais eau radar. La �gure 4.2 montre que le radar X-Pointeur mesure un renfor ement si-gni� atif de la ré�e tivité dans les basses ou hes de l'atmosphère. Ce renfor ement nepeut hélas pas être on�rmé ou in�rmé par les mesures du radar X-RHI, à ause des e�etsde masques. Il faut aussi noter la présen e de valeurs aberrantes isolées (supérieures à80 dBZ) dans les HTI mesurés par le radar X-Pointeur. Ces valeurs ont été déte tées enutilisant les gradients d'un point par rapport à son voisinage et �ltrées.Cette analyse des PVR bruts mesurés par les deux radars a permis d'une part demontrer la o-�u tuation d'ensemble des mesures et d'autre part de mettre en éviden eles erreurs a�e tant haque apteur. Les paragraphes suivants présentent les méthodesutilisées pour les orriger, a�n d'obtenir une estimation �able du PVR.4.2 Corre tion de l'atténuationDans e paragraphe, nous présenterons di�érentes méthodes de orre tion de l'atténua-tion qu'il est possible de mettre en ÷uvre sur les données des radars X-RHI et X-Pointeur.Il s'agit : (i) de l'algorithme lassique issu de la solution analytique proposée par Hits h-66

4.2. Corre tion de l'atténuationfeld et Bordan (1954) (dénommée par la suite algorithme HB), (ii) de l'algorithme DualBeam proposé par Testud et Oury (1997) (algorithme DB) qui permet de ombiner lesmesures de deux radars, (iii) d'un algorithme proposé par Marzoug et Amayen (1994)(algorithme MA) qui utilise le PIA éventuellement disponible à une ertaine distan e et(iv) d'un algorithme qui repose sur une méthode inverse, proposé par Vignal et al. (2002)(algorithme MI). Ces méthodes s'appliquent pour des mesures de radar à ré epteur in o-hérent et fon tionnant en mono-fréquen e. Il existe en e�et des algorithmes qui reposentsur la mesure de diversité de polarisation ou sur la diversité de fréquen e, mais nous netraiterons pas dans e mémoire de tels algorithmes.4.2.1 Solution d'Hits hfeld-BordanLa ré�e tivité e�e tivement mesurée (ou plus exa tement le fa teur de ré�e tivité radaréquivalent mesuré) est dé�nie omme suit :Zm(r) = Pr r2C (4.1)où Pr est la puissan e reçue par le radar et C est la onstante radar pluie. On dé�nit aussila ré�e tivité apparente qui n'est a�e tée que par les erreurs dues à l'atténuation et à unéventuel défaut d'étalonnage : Za(r) = Z(r) � A(r) (4.2)où Z est la ré�e tivité vraie, � représente le fa teur d'erreur dû à un éventuel défautd'étalonnage du radar. A(r) est le fa teur d'atténuation aller-retour entre le radar et la ible : A(r) = exp0��2ln(10)10 rZ0 k(s) ds1A (4.3)On peut remarquer que le PIA (exprimée en dB) auquel on fait référen e dans le texteest dé�ni par : PIAdB(r) = rZ0 k(s) ds = �10 log10[A(r)℄Dans (4.3), k est le oe� ient d'atténuation, exprimé en dB.km-1. Dans la suite, 2ln(10)=10sera appro hé par 0.46. Si on suppose que le défaut d'étalonnage et l'atténuation sont lessour es d'erreur prépondérantes a�e tant les mesures radar, alors on peut onsidérer queZa = Zm. Si l'on suppose par ailleurs que les grandeurs (Z,k,R) sont liées par des lois detype puissan e : Z = aRb Z = kd k = eRf (4.4)alors (4.3) peut s'é rire : A(r) = exp0��0:46 rZ0 �Z(s) �1=d ds1A (4.5)67

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitéEn dérivant (4.5) et en utilisant (4.2), on obtient l'équation di�érentielle suivante (Mar-zoug et Amayen 1994) : dA(r)1=ddr = �0:46d �Zm(r)� �1=d (4.6)On peut onsidérer la distan e r0 à laquelle la mesure de la ré�e tivité radar ommen eou à laquelle elle n'est plus a�e tée par des é hos de sol dus aux lobes se ondaires dufais eau radar. Dans la suite, l'intervalle [0,r0℄ sera appelé la zone aveugle. Intégrer (4.6)entre r0 et r onduit à : A(r) = �A(r0)1=d � S(r0; r)�1=d �d (4.7)où : S(r0; r) = 0:46d rZr0 �Zm(s) �1=d ds (4.8)A(r0) représente l'atténuation aller-retour dans la zone aveugle et sera dénommée dans lasuite atténuation préliminaire. En ombinant (4.2) ave (4.7) et (4.8), on obtient :Z(r) = Zm(r)8<:[A(r0)� ℄1=d � 0:46d rZr0 [Zm(s)= ℄1=d ds9=;d (4.9)

Cette formulation est très semblable à elle proposée par Hits hfeld et Bordan (1954), àlaquelle on se réfèrera dans la suite omme � la solution HB � ou quand il sera né essairede l'utiliser numériquement omme � l'algorithme HB �. Cette solution analytique estinstable, du fait du dénominateur qui peut s'annuler (Hits hfeld et Bordan 1954). Pourdes radars bande X, Delrieu et al. (1999) ont montré que l'utilisation de l'algorithme HBrequiert à la fois un étalonnage pré is du radar et des valeurs de PIA inférieures à 10 dB,pour fournir des résultats �ables.4.2.2 Méthode Dual BeamLa on�guration relative parti ulière des radars X-RHI et X-Pointeur, qui explorentla même région de l'espa e, ainsi que l'instabilité de la solution HB pour de fortes atté-nuations nous ont onduit à nous intéresser aux méthodes qui permettent de ombinerles mesures atténuées de deux radars pour déterminer la ré�e tivité non-atténuée. Testudet Amayen (1989) et Kabè he et Testud (1995) ont proposé la te hnique du � stéréo-radar �. Cette te hnique, bien que puissante, est de mise en ÷uvre di� ile et né essitedes onditions aux limites pré ises. Testud et Oury (1997) ont alors proposé l'algorithme� Dual Beam �, un algorithme qui s'inspire du stéréoradar, mais plus simple à appliquer.On suppose toujours que k et Z sont liés par une relation de type puissan e, dont lesparamètres sont 0 et d0 : k = 0 Zd0 (4.10)68

4.2. Corre tion de l'atténuation 0 et d0 sont reliés à et d de (4.4) : 0 = �1=d et d0 = 1=d. On é rit la solution HB pour ha un des deux radars : Z(r) = Zm(r)n[A(r0)� ℄d0 � 0I(r0; r)o1=d0 (4.11)où : I(r0; r) = 0:46d0 rZr0 Zm(s)d0 ds (4.12)Zm1 et Zm2 désignent les ré�e tivités mesurées par le radar X-Pointeur et par le radarX-RHI respe tivement, et Z1 et Z2 les ré�e tivités orrespondantes orrigées par (4.11).De même, I1 (I2), A1 (A2) et � 1 (� 2) désigneront le terme I, l'atténuation préliminairea�e tant les mesures du radar X-Pointeur et son fa teur de défaut d'étalonnage (respe -tivement pour le radar X-RHI). On souhaite que les ré�e tivités Z1 et Z2 soient égales.On peut alors déduire de (4.11) une expression analytique de 0 : 0 = (Zm2A1� 1)d0 � (Zm1A2� 2)d0�I1Zd0m2 � I2Zd0m1� (4.13)En introduisant (4.13) dans (4.11), on obtient une expression de la ré�e tivité non-atténuée : Z = Z1 = Z2 = ( I1Zd0m2 � I2Zd0m1I1 (A2� 2)d0 � I2 (A1� 1)d0)1=d0 (4.14)La formulation originale proposée par Testud et Oury (1997) a été développée pour dessystèmes radars embarqués à bord d'avions ou de satellites. Pour de tels radars, l'atté-nuation préliminaire est négligeable et le fa teur de défaut d'étalonnage identique pourles deux fais eaux onsidérés. Cet algorithme a été validé (Testud et Oury 1997), no-tamment par rapport à la te hnique du stéréoradar (Guyot et Testud 1999). Pour notre on�guration ave deux systèmes radars distin ts au sol, nous avons introduit dans laformulation de l'algorithme DB les termes d'atténuation préliminaire et de fa teurs de orre tion d'étalonnage de haque radar.Cette formulation o�re l'avantage par rapport à la solution HB de n'avoir à fournirla valeur que du seul paramètre d0 (ou d) de la relation k-Z (ou Z-k). Le paramètre 0(ou ) est déterminé par l'algorithme. Cependant, ette formulation est potentiellementinstable ar le dénominateur est une di�éren e qui peut s'annuler (le numérateur peuts'annuler aussi, mais d0 étant toujours positif, Z est toujours dé�nie). Ces instabilités sontfon tion de l'atténuation préliminaire, du fa teur de défaut d'étalonnage et du terme I.Si on suppose l'atténuation préliminaire négligeable et le radar bien étalonné, alors ledénominateur de (4.14) devient I1 � I2 et il su�t que les deux termes soient très pro hespour que la solution diverge. Contrairement à la formulation HB, la formulation DB n'estpas plus instable pour de fortes atténuations. Ces problèmes d'instabilité ont été évoquéspar Guyot et Testud (1999).Par ailleurs, les problèmes d'étalonnage que montrent l'analyse des mesures radar69

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitébrutes et les hypothèses faites sur l'atténuation préliminaire et le fa teur de défaut d'éta-lonnage pour la formulation initiale soulèvent la question de la sensibilité de et algorithmeà l'atténuation préliminaire et aux défauts d'étalonnage (représentés par les termes A1� 1et A2� 2). Nous avons testé ette sensibilité par simulation numérique. Pour e faire, nousavons modélisé une ellule de pluie par un emboîtement de 4 parallélépipèdes orrespon-dant ha un à une intensité de pluie di�érente (1, 5, 10 et 100 mm.h-1), omme le montrela �gure 4.4. En utilisant les paramètres des relations Z-R al ulés suivant la méthode

Fig. 4.4 � Cellule de pluie modélisée utilisée pour tester l'algorithme DB.présentée au paragraphe 3.4.4, e modèle de ellule de pluie fournit un hamp de ré�e ti-vité � vrai �. Puis l'atténuation a�e tant les mesures des radars X-Pointeur et X-RHI aété simulée, en utilisant (4.5) ave les paramètres des relations Z-k. En première approxi-mation, nous avons négligé l'ouverture du fais eau radar. Les mesures � atténuées � ainsiobtenues ont été orrigées ave l'algorithme DB et omparées aux mesures � vraies �.On peut �xer une valeur arbitraire pour les termes A1� 1 et A2� 2, sa hant que la valeur� vraie � est 0 pour les deux radars. Le ouple (A1� 1, A2� 2) représente don l'� erreur �entre la valeur vraie (0) et la valeur utilisée pour le al ul du hamp de ré�e tivité simulé.La �gure 4.5 présente l'évolution de l'e� ien e de Nash et du nombre de points de diver-gen es ainsi obtenus, en fon tion du ouple (A1� 1 , A2� 2). Ces simulations montrent quel'algorithme DB est moins e� a e et plus instable lorsque l'on estime mal un des deuxtermes A1� 1 ou A2� 2 : la valeur de l'e� ien e (respe tivement le nombre de divergen es)diminue (respe tivement augmente) rapidement lorsque l'on s'éloigne du point (0,0). Onpeut toutefois remarquer que l'algorithme est moins sensible à une erreur d'étalonnage oud'estimation de l'atténuation préliminaire si A1� 1 et A2� 2 sont identiques pour les deuxradars : l'e� ien e (respe tivement le nombre de divergen es) reste élevée (respe tivementfaible) autour de la première bisse tri e. L'algorithme DB né essite don au moins un o-étalonnage rigoureux des deux systèmes radar que l'on veut ombiner et une attentionparti ulière à l'estimation des atténuations préliminaires pour donner des résultats �ables70

4.2. Corre tion de l'atténuation

Fig. 4.5 � Valeur de l'e� ien e et nombre de points de divergen e de l'algorithme DB,en fon tion de A1� 1 et A2� 2.et stables.Nous avons appliqué et algorithme aux mesures des deux radars X-Pointeur et X-RHIet les résultats ont été peu probants, du fait des problèmes d'instabilité, de la grandesensibilité à l'étalonnage et des � limites de déte tion � des deux radars. Pour orriger es mesures radar de l'atténuation, nous avons don utilisé d'autres algorithmes, qui sontprésentés dans les paragraphes suivants.4.2.3 Algorithme de Marzoug et Amayen Pour résoudre les problèmes d'instabilité de la solution HB, di�érents algorithmesutilisant le PIA omme ontrainte ont été développés, notamment dans le ontexte demesure radar embarquée (avion ou satellite). Nous présenterons dans la suite le prin ipede l'algorithme proposé par Marzoug et Amayen (1994). Comme pré édemment, noussupposerons que le défaut d'étalonnage et l'atténuation onstituent les prin ipales sour esd'erreurs pour la mesure radar et don Za = Zm.Intégrer (4.6) entre une distan e r et une distan e rm à laquelle le PIA est onnu onduit à : A(r) = �A(rm)1=d + S(r; rm)�1=d �d (4.15)(4.15) ombiné ave (4.3) amène à la formulation de l'algorithme MA :Z(r) = Zm(r)n[A(rm)� ℄1=d + S(r; rm)od (4.16)Contrairement à la solution HB, ette formulation est stable ar le dénominateur ne peutpas s'annuler. Par ailleurs, la orre tion est plus e� a e quand l'atténuation est forte et71

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitéelle est moins �able quand l'atténuation est faible. Cependant l'in onvénient majeur de ette solution par rapport à la solution HB est qu'elle né esite la onnaissan e du PIA àune ertaine distan e et ette grandeur n'est pas aisément a essible.4.2.4 Algorithme hybrideLe PIA utilisé pour ontraindre la orre tion d'atténuation ave l'algorithme MA estestimé en utilisant la Mountain Referen e Te hnique qui sera détaillée plus loin. La pré- ision de ette méthode est de l'ordre de 2.5 dB (Delrieu et al. 1999). Comme expliquépré édemment, l'algorithme HB est ine� a e pour de forts PIA et l'algorithme MA estmoins e� a e ave de faibles PIA. Nous avons don dé�ni un algorithme hybride (algo-rithme HY dans la suite) qui ombine l'algorithme HB pour les faibles valeurs de PIAet l'algorithme MA pour les valeurs plus fortes. Le seuil de PIA a été �xé à 2.5 dB. Cetalgorithme donne des orre tions �ables pour toute la gamme de valeur de PIA possibles.Cependant, il né essite, omme l'algorithme MA, une estimation du PIA, e qui n'estpas toujours possible dans toutes les dire tions ave un radar météorologique terrestre onventionnel.4.2.5 Méthode inverseVignal et al. (2002) proposent un nouvel algorithme de orre tion de l'atténuation quirepose sur la théorie inverse. Cet algorithme, qui s'inspire des travaux de Menke (1989), deAndrieu et Creutin (1995) et de Vignal (1998), est brièvement dé rit dans e paragraphe.En utilisant (4.4) et (4.5), (4.2) peut s'é rire pour une intensité pluvieuse R donnée :Za(r) = � aRb(r)A(r0) exp0��0:46 rZr0 eRf(r) ds1A (4.17)(4.17) onstitue e que nous appellerons par la suite le modèle d'atténuation, 'est-à-direque ette équation exprime le lien entre la variable d'intérêt (l'intensité pluvieuse R) etles données (la ré�e tivité apparente Za). Du fait du système d'a quisition du radar, esvariables sont exprimées de manière dis rète, sous forme de ve teurs omposées de npvaleurs. On dé�nit ainsi Za = fZa(i); i = i0::npg et R = fR(i); i = i0::npg où i0 orrespondà la �n de la zone aveugle. Le modèle d'atténuation peut être dis rétisé (Vignal 1998) etil est alors possible d'exprimer (4.17) sous une forme générale :Za = m(R) (4.18)où m représente le modèle dis ret liant Za et R. La formulation (4.18) onstitue le pro-blème dire t. Le problème inverse onsiste à estimer le pro�l de pluie le long d'un pro�l ra-dar (on appelle pro�l radar l'ensemble des mesures pour une dire tion �xée) en onnaissantle modèle d'atténuation et la ré�e tivité mesurée Zm= fZm(i); i = i0; npg. Généralement,le modèle m est di� ile (voire impossible) à inverser. Les méthodes inverses permettent72

4.3. Appli ation aux données des radars X-Pointeur et X-RHIde déterminer une solution optimale par rapport à un ritère hoisi (par exemple lesmoindres arrés ou le maximum de vraisemblan e). Ces méthodes permettent de plus de ontraindre la solution par de l'information additionnelle que l'on appelle l'information apriori. Le poids donné à ette information a priori dans la pro édure d'estimation de lasolution dépend de la stru ture du problème inverse. Comme la orre tion d'atténuationne peut s'a�ran hir d'une ertaine ambigüité (Haddad et al. 1995), le problème inversequi nous intéresse est sous-déterminé. De plus, le modèle m est non linéaire. Dans e ontexte, l'information a priori devient essentielle pour obtenir une solution �able (Vi-gnal 1998). Menke (1989) a montré que le ve teur solution R�, au sens du maximum devraisemblan e, satisfaisait la relation suivante :R� = R0 +CovRMt(MCovRMt +CovZ)�1 [Zm �m(R�) +M(R� �R0)℄ (4.19)où t est l'opérateur de transposition matri ielle. R0 représente le ve teur d'information apriori, CovR et CovZ sont les matri es de ovarian e des é arts (R� R0) et (Za � Zm).On suppose que es é arts suivent une distribution gaussienne (ou au moins unimodale etsymétrique) et qu'ils ne sont pas biaisés (stationnarité d'ordre 1 de l'espéran e). Contrai-rement aux hypothèses faites pour les autres algorithmes, l'erreur de mesure du radarest prise en ompte, à travers l'é art(Za � Zm). M est la matri e des dérivées partiellesdu modèle m, évaluées en R�. Comme le modèle m est non-linéaire, il faut utiliser uneméthode itérative pour trouver R� et l'algorithme MI s'exprime :Rk+1 = R0 +CovRMkt(MkCovRMkt +CovZ)�1 [Zm �m(Rk) +Mk(Rk �R0)℄(4.20)où Rk est le résultat de la ke itération et Mk est la matri e des dérivées partielles éva-luées en Rk. L'algorithme MI fournit le meilleur pro�l d'intensité pluvieuse au sens dumaximum de vraisemblan e, en supposant un modèle d'atténuation donné et ertaines a-ra téristiques statistiques pour les é arts (R�R0) et (Za � Zm) (distribution unimodaleet symétrique, non-biais).4.3 Appli ation aux données des radars X-Pointeur etX-RHIPour analyser quantitativement des mesures indire tes telles que des mesures radar, ilest essentiel de s'assurer d'un étalonnage orre t des apteurs et de orriger l'atténuationa�e tant leurs mesures. Pour ela, nous utiliserons les algorithmes présentés dans lesparagraphes pré édents.4.3.1 Le radar X-RHILa première étape onsiste à véri�er et éventuellement orriger les défauts d'étalonnagedu radar X-RHI, puis ensuite de orriger l'atténuation. Le massif montagneux de Mar-seilleveyre, distant d'une quinzaine de kilomètres du site du Vallon Dol (voir �gure 2.2),73

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitéengendre un é ho �xe dans les mesures du radar X-RHI. Cet é ho de montagne nouspermet d'appliquer la � Mountain Referen e Te hnique � (MRT dans la suite) dé rite parSerrar et al. (2000) et d'appliquer aussi l'algorithme MA, au moins pour les angles de siteles plus rasants.Dans les paragraphes suivants, la MRT sera tout d'abord brièvement dé rite, puisnous expliquerons omment nous avons pro édé pour orriger l'atténuation a�e tant lesmesures du radar X-RHI.4.3.1.1 Étalonnage du radar X-RHI ave la MRTLa MRT repose sur la variation d'amplitude du signal rétrodi�usé par un é ho �xelorsque des pré ipitations interviennent entre le radar et ette ible de référen e. Le PIAà un ertain pas de temps de l'épisode pluvieux est al ulé omme la di�éren e (en dB)entre la valeur moyenne de ré�e tivité de l'é ho par temps se et la valeur observée à epas de temps pendant l'épisode pluvieux. La �gure 2.6 montre l'évolution de la valeurde l'é ho au ours des trois épisodes pluvieux étudiés et les valeurs de PIA que l'onen déduit. On peut remarquer que le signal est bruité et e bruit fait que le minimumdéte table pour le PIA est de l'ordre de 2 dB et une pré ision de l'estimation de l'ordre de2.5 dB (Delrieu et al. 1999). Une fois que le PIA a été estimé, nous pouvons utiliser etteinformation additionnelle pour véri�er l'étalonnage du radar. En intégrant (4.6) entre r0et rm, on obtient l'équation de ontrainte du PIA :Am(rm)1=d = A(r0)1=d � S(r0; rm)�1=d (4.21)Où Am(rm) est le fa teur d'atténuation totale mesuré. Le fa teur de défaut d'étalonnage� est hoisi de manière à maximiser la ohéren e de (4.21) en terme d'e� ien e pour unensemble de pro�ls, à des pas de temps di�érents et éventuellement dans des dire tionsdi�érentes. Pour éliminer le problème de l'atténuation préliminaire, nous n'avons al ulél'e� ien e que sur les pas de temps pour lesquels la pluie était nulle ou très faible ausite du radar X-RHI et pour lesquels don A(r0) ' 1. Cette pro édure d'estimation dufa teur de défaut d'étalonnage du radar orrespond à un ajustement global qui prenden ompte le défaut d'étalonnage éle tronique mais aussi une partie de l'erreur due auxhypothèses adoptées pour modéliser la granulométrie et les propriétés éle tromagnétiquesdes hydrométéores. Cet ajustement est réalisé sur les ré�e tivités mesurées le long dupro�l radar tel qu'il soit su�samment au-dessus de l'é ho de montagne pour ne pas êtrea�e té par e bruit parasite, mais su�samment pro he aussi pour que le PIA al ulé soitreprésentatif. Dans notre étude, le sommet de la montagne a une altitude d'environ 450 met l'angle de site hoisi pour le radar X-RHI est de 2.8Æ. Ce pro�l radar sera appelé lepro�l bas (bien qu'il n'ait rien à se repro her...). Le tableau 4.1 donne les valeurs de � et d'e� ien e obtenues pour les trois épisodes pluvieux et pour les deux DSD hoisies.Les valeurs d'e� ien e ne montrent pas vraiment si l'une des deux paramétrisations de lagranulométrie est plus adaptée pour ha un des trois épisodes. La paramétrisation DSD2semble onvenir un peu mieux pour l'épisode du 07/09 et au ontraire la paramétrisation74

4.3. Appli ation aux données des radars X-Pointeur et X-RHIDate DSD1 DSD207/09/1998 � =0.661 (-1.8 dB)e� ien e=0.41 � =0.468 (-3.3 dB)e� ien e=0.4411/09/1998 � =0.468 (-3.3 dB)e� ien e=0.69 � =0.363 (-4.4 dB)e� ien e=0.6505/10/1998 � =0.479 (-3.2 dB)e� ien e=0.28 � =0.380 (-4.2 dB)e� ien e=0.21Tab. 4.1 � fa teur de défaut d'étalonnage du radar X-RHI et e� ien e de l'ajustement,pour les DSD hoisies et pour les trois épisodes pluvieux.DSD1 un peu mieux pour les épisodes du 11/09 et du 05/10, e qui serait ohérent ave l'analyse des mesures radar brutes faite au paragraphe 2.2.1.Les valeurs trouvées pour le fa teur de défaut d'étalonnage pour les épisodes du 11/09et du 05/10 sont pro hes : -3.3 et -3.2 dB pour la DSD1 ; -4.4 et -4.2 dB pour la DSD2.Par ontre es valeurs di�èrent de elles trouvées pour l'épisode du 07/09 : -1.8 pour laDSD1 et -3.3 dB pour la DSD2. Il faut garder à l'esprit que l'on réalise un ajustementglobal, qui ompense le défaut d'étalonnage éle tronique du radar mais aussi les défautsde la modélisation de la DSD, qui peuvent di�érer d'un épisode à l'autre.Une fois que le radar X-RHI a été � ré-étalonné �, nous pouvons nous attaquer à la orre tion de l'atténuation de ses mesures.4.3.1.2 Corre tion de l'atténuationCompte tenu des fortes valeurs de PIA estimées (10 à 30 dB, voir �gure 2.6), l'algo-rithme HB est inappli able pour la orre tion des données du radar X-RHI (Delrieu et al.1999). Nous avons don adopté la stratégie suivante : l'algorithme HY est utilisé quandune mesure de PIA est disponible (i.e pour les sites rasants) et l'algorithme MI est utilisépour étendre la orre tion en altitude.L'algorithme HY n'est don appliqué que sur le pro�l bas. Le pro�l de ré�e tivité or-rigé ainsi obtenu est transformé en pro�l d'intensité pluvieuse en utilisant la relation Z-Rdéduite des paramétrisations DSD1 ou DSD2. La pertinen e de la orre tion appliquéeest ensuite véri�ée en omparant e pro�l d'intensité pluvieuse radar ave les mesures despluviomètres situés à proximité de l'axe du RHI. Nous avons retenu 3 pluviomètres, situésde 7 à 11 km de distan e par rapport au site du Vallon Dol. La �gure 4.6 présente lesnuages de points entre l'intensité pluvieuse déduite des mesures du radar X-RHI orrigéeset des pluviomètres situés à proximité. Le oe� ient de détermination passe de 0.09 à0.65 pour l'épisode du 07/09, de 0.41 à 0.66 pour elui du 11/09 et de 0.73 à 0.78 pour elui du 05/10. De même, l'e� ien e passe de -0.50 à 0.50 pour l'épisode du 07/09, de-0.32 à 0.51 pour elui du 11/09 et de 0.19 à 0.75 pour elui du 05/10. En�n, le RMSEpasse de 26.28 à 14.51 pour l'épisode du 07/09, de 12.14 à 7.30 pour elui du 11/09 etde 4.82 à 2.67 pour elui du 05/10. Il y a une ertaine dispersion des points, aussi bien75

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivité

Fig. 4.6 � Comparaison des intensités pluvieuses déduites des mesures du radar X-RHI orrigées par l'algorithme HY et brutes, ave elles mesurées par les pluviomètres situésà proximité de l'axe du RHI, pour les 3 épisodes étudiés.76

4.3. Appli ation aux données des radars X-Pointeur et X-RHIpour les mesures radar brutes que orrigées. Mais il est di� ile de séparer la dispersiondue aux erreurs a�e tant les mesures radar (même orrigées) et la dispersion due au faitque le fais eau du radar X-RHI ne passe pas exa tement au-dessus des pluviomètres etque le pro�l onsidéré est à une altitude omprise entre 300 m et 800 m environ. Cesvaleurs montrent toutefois lairement l'apport et la pertinen e de la orre tion appliquéeen utilisant l'algorithme HY.Elles permettent d'autre part de onstater que la paramétrisation DSD1 semble plusadaptée pour les trois épisodes étudiés : les ritères ( oe� ient de détermination, e� ien eet rmse) sont légèrement meilleurs pour la paramétrisation DSD1 que pour la paramé-trisation DSD2. C'est pourquoi la �gure 4.6 ne montre les nuages de points que pour laparamétrisation DSD1 et il en sera fait de même dans la suite.L'algorithme MI a ensuite été mis en ÷uvre pour orriger les pro�ls aux angles desites supérieurs. L'hypothèse d'unimodalité et de symétrie de la distribution et l'hypo-thèse de non-biais pour les é arts (Za�Zm), qui sont requises pour appliquer l'algorithmeMI, ont été véri�ées pour des pré ipitations méditerranéennes intenses par Vignal (1998).Nous supposerons qu'elles sont véri�ées aussi pour les évènements pluvieux qui nous inté-ressent. Comme nous l'avons expliqué au paragraphe 2.2.2.5, l'information a priori revêtune importan e apitale ar le problème est non-linéaire. Comme le pro�l bas orrigé estpertinent en omparaison de mesure pluviométrique, nous l'utiliserons omme informationa priori pour le pro�l radar juste au-dessus en angle de site. Une fois e pro�l orrigé,il deviendra à son tour l'information a priori pour le pro�l suivant, et ainsi de suite.Mais il existe un biais dû à la dé roissan e naturelle de la pluie ave l'altitude. Ce biaisest mis en éviden e par le pro�l verti al moyen d'intensité pluvieuse. Ce pro�l verti almoyen d'intensité de pluie est al ulé en utilisant les mesures brutes (don atténuées) deré�e tivité du radar X-RHI et la relation Z-R (�gure 4.7).

Fig. 4.7 � Pro�l verti al d'intensité pluvieuse moyen estimé à partir des mesures atténuées,pour les trois épisodes.Il faut noter que l'altitude minimum prise en ompte dans les mesures RHI est de500 m, à ause des e�ets de masque montrés par l'analyse des mesures brutes. La valeur77

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitédu pro�l moyen à 500 m a ensuite été extrapolée jusqu'au niveau du sol.Les pro�l verti aux moyens de la �gure 4.7 mettent en exergue une fois en ore la dif-féren e de stru ture entre les trois épisodes étudiés : pour l'épisode du 07/09, le pro�lmonte haut (plus de 8 km d'altitude) et dé roît de manière relativement régulière ave l'altitude. Pour l'épisode du 11/09, le pro�l monte moins haut et montre un léger e�et dela bande brillante intermittente que l'on voit sur les images HTI (voir �gure 4.2). En�n,pour l'épisode du 05/10, l'e�et de la bande brillante est très marqué, et le pro�l dé roîttrès vite au dessus de elle- i.Nous supposerons que les pro�ls verti aux moyens al ulés rendent ompte de la stru -ture verti ale moyenne des épisodes pluvieux onsidérés (mais seulement de la stru tureverti ale moyenne) et don de la dé roissan e moyenne de la pluie ave l'altitude, et emalgré les e�ets de l'atténuation.Pour satisfaire la ondition de non-biais sur les é arts (R�R0) et pour avoir l'informa-tion a priori la plus pro he possible de la réalité, il s'est avéré impératif de onditionnerl'information a priori en fon tion de la stru ture verti ale instantannée des pré ipitations,qui peut di�érer grandement de la stru ture verti ale moyenne (dans le as d'une ellulede pluie en altitude par exemple). Nous appellerons � pro�l (k) � le pro�l radar atténuéque nous souhaitons orriger, � pro�l (k-1) � le pro�l radar pré édent le pro�l (k) (enterme d'élévation), � pro�l orrigé (k-1) � le pro�l (k-1) orrigé de l'atténuation et en�n� pro�l a priori (k) � le pro�l radar qui onstitue l'information a priori pour le pro�l (k).La ie porte du pro�l a priori (k) est obtenue en multipliant la ie porte du pro�l orrigé(k-1) par un fa teur de orre tion de biais. Ce fa teur de orre tion de biais est déterminé omme suit : 8>><>>: f = R(i; k)R(i; k � 1) si� R(i; k � 1) > seuilR(i; k) > seuilf = Rm(i; k)Rm(i; k � 1) sinonoù R(i; k�1) et R(i; k) sont les intensités pluvieuses à la ie porte du pro�l (k-1) et du pro�l(k). Rm(i; k�1) et Rm(i; k) sont les intensités pluvieuses déduites du pro�l verti al moyen orrespondant aux altitudes des portes (i,k-1) et (i,k). La stru ture verti ale instantannéeest ainsi prise en ompte pour le onditionnement du pro�l a priori, lorsque les intensitéspluvieuses sont supérieures à un seuil (que nous avons �xé à 5 mm.h-1). Lorsque lesintensités pluvieuses sont inférieures à e seuil, le pro�l verti al moyen est utilisé ar le� bruit � des valeurs instantannées peut engendrer des valeurs aberrantes du fa teur de orre tion de biais. Le onditionnement réalisé repose sur les mesures atténuées du radarX-RHI, mais nous pensons que ela in�ue peu sur la onvergen e de l'algorithme.Contrairement à l'algorithme MA, l'algorithme MI né essite de onnaître l'atténuationpréliminaire. Elle est estimée en utilisant les mesures du pluviomètre situé au pied duradar X-RHI et la relation k-R, selon la pro édure utilisée par Delrieu et al. (1997). Lazone aveugle asso iée au radar X-RHI est de l'ordre de 1 km.Pour illustrer l'ampleur des orre tions appliquées, les mesures radar X-RHI bruteset orrigées pour les trois épisodes sont présentées sur la �gure 4.8, pour un pas detemps pour lequel le PIA est élevé. Les e�ets des orre tions appliquées sont manifestes78

4.3. Appli ation aux données des radars X-Pointeur et X-RHI

Fig. 4.8 � Exemple d'images RHI brutes et orrigées, pour les 3 épisodes étudiés. Le PIAentre radar et montagne (située à 15 km) est de 22.2 dB pour le RHI de l'épisode du07/09, de 21.8 dB pour elui du 11/09 et de 15.0 dB pour elui du 05/10.79

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitéet montrent lairement l'importan e de l'atténuation qui a�e tent les mesures du radarX-RHI. Au une valeur aberrante n'a été déte tée en regardant attentivement toutes lesimages RHI orrigées pour les trois épisodes. Cependant, pour mieux évaluer la pertinen edes orre tions données par les di�érents algorithmes que nous avons mis en ÷uvre, il nousfaut omparer les HTI déduits de es mesures RHI orrigées ave les HTI issus des mesures orrigées du radar X-Pointeur.

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4.3. Appli ation aux données des radars X-Pointeur et X-RHI4.3.2 Le radar X-PointeurLe o-étalonnage est une ondition né essaire pour la omposition de mesures de plu-sieurs radar di�érents, qu'il faut impérativement véri�er. Dans les paragraphes qui suivent,nous utiliserons le ré-étalonnage e�e tué pour les mesures du radar X-RHI (réalisé enappliquant la MRT et validé par omparaison ave des données pluviométriques) pour o-étalonner elles du radar X-Pointeur qui présentent un défaut manifeste sur e point(voir l'analyse des mesures brutes). Dans un deuxième temps, nous pourrons orrigerl'atténuation a�e tant es mesures radar.4.3.2.1 Co-étalonnage ave le radar X-RHID'après Clu kie et al. (2000), un défaut d'étalonnage du radar X-Pointeur peut être ompensé par une orre tion linéaire :Z m = AZm +B (4.22)où A et B sont des oe� ients onstants, Zm et Z m sont respe tivement la ré�e tivitémesurée et la ré�e tivité étalonnée, exprimée en dBZ. Cette formulation permet de prendreen ompte une éventuelle erreur due à une mauvaise estimation de l'ordonnée à l'origineet de la pente du ré epteur logarithmique du radar. Les mesures du radar X-RHI ontété ré-étalonnées en utilisant la MRT sur le pro�l bas, qui sert de pro�l de référen e. La omparaison des mesures des radars X-RHI et X-Pointeur au point d'interse tion du pro�lbas et de l'axe du fais eau du radar X-Pointeur, à une altitude d'environ 800 m, a permisle o-étalonnage des deux radars. Nous avons omparé (i) le pro�l bas X-RHI ré-étalonnéet orrigé de l'atténuation ave (ii) les mesures du X-Pointeur o-étalonnées ave un ouple(A,B) et orrigées de l'atténuation en appliquant l'algorithme HB. Nous avons véri�é quela stabilité de l'algorithme HB est assurée, au moins sur les 800 premiers mètres au-dessusdu sol. Nous avons supposé que l'atténuation préliminaire était négligeable pour le radarX-Pointeur, ar la zone aveugle est de l'ordre de 100 m (bien inférieure à elle du radarX-RHI). Les mesures du radar X-Pointeur ont été �nalement o-étalonnées ave le ouple(A,B) qui engendre la plus grande proximité entre la première omposante prin ipale dunuage et la première bisse tri e. Pour estimer la proximité, nous avons utilisé la première omposante prin ipale et non la droite de régression en raison de l'in ertitude sur les deuxjeux de données. Le tableau 4.2 présente les di�érentes valeurs de A et B obtenues pourles trois épisodes.Les mesures o-étalonnées et orrigées peuvent don être omparées à elles du pro�lbas.Selon es valeurs des oe� ients A et B, la orre tion de o-étalonnage est signi� ative.Les valeurs des pentes sont de l'ordre de 0.8 (et 0.9 pour l' épisode du 05/10), e qui semble on�rmer un défaut important dans l'étalonnage du ré epteur du radar X-Pointeur. Deplus, on trouve une erreur systématique variant entre 1 et 6 dBZ. Ces analyses doiventêtre tempérées par la on�an e relative dans l'étalonnage du radar X-RHI qui englobe des81

Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitéDate DSD1 DSD207/09/1998 Z m = 0:81Zm + 2:1 Z m = 0:8Zm + 3:511/09/1998 Z m = 0:8Zm + 5:5 Z m = 0:79Zm + 6:405/10/1998 Z m = 0:89Zm + 1:3 Z m = 0:89Zm + 2:3Tab. 4.2 � Fa teur de o-étalonnage du radar X-Pointeur ave le radar X-RHI, pour les2 DSD hoisies et pour les trois épisodes pluvieux.erreurs de modélisation de la granulométrie, e qui peut expliquer les di�éren es onstatéesentre les valeurs A et B pour les trois épisodes.4.3.2.2 Corre tion de l'atténuationComme le radar X-Pointeur est un pointeur verti al, il n'est pas possible d'obtenir uneestimation du PIA ; les algorithmes MA ou HY ne peuvent don pas être appliqués. Maisdu fait de la dé roisan e de la pluie ave l'altitude (qui dépasse rarement 12 km), nousavons supposé que le PIA asso ié aux pro�ls verti aux était su�samment bas pour pouvoirappliquer l'algorithme HB dans des onditions de stabilité satisfaisantes. Comme pour le o-étalonnage, nous supposons également que l'atténuation préliminaire et l'atténuationdue au radom sont négligeables. La �gure 4.9 montre les PIA déduits des mesures orrigéesdu radar X-Pointeur à l'altitude de 10 km, en fon tion du temps.

Fig. 4.9 � PIA à l'altitude 10 km déduits des mesures orrigées du radar X-Pointeur ave l'algorithme HB. 82

4.4. Comparaison des mesures radar orrigéesLa valeur maximum du PIA est de 3.2 dB pour l'épisode du 07/09, de 3.9 dB pour elui du 11/09 et de 6.9 pour elui du 05/10. Ces valeurs restent bien inférieures à 10dB et la stabilité de l'algorithme HB nous semble don assurée. Par ontre, les résultatspeuvent être enta hés d'une erreur plus ou moins grande en fon tion de l'é art entre lemodèle de la granulométrie hoisi et la réalité. C'est notamment le as pour l'épisodedu 05/10, au ours duquel une bande brillante est lairement visible et don au oursduquel l'hypothèse d'uniformité spatiale de la granulométrie est mise en défaut. Cettehétérogénéité de la granulométrie n'a�e te ependant pas le o-étalonnage réalisé, arla bande brillante se trouve à une altitude de l'ordre de 2 km, don bien au-dessus del'altitude 800 m à laquelle s'est e�e tué le o-étalonnage des deux radars.En�n, on peut remarquer que l'atténuation a�e tant les mesures d'un pointeur verti aln'est pas négligeable, ar elle peut atteindre des valeurs de l'ordre de 5 dB.4.4 Comparaison des mesures radar orrigéesNous disposons maintenant des mesures orrigées des radars X-RHI et X-Pointeur.Comme nous ne disposons pas de mesures de référen e, nous ne pouvons qu'utiliser lesmesures orrigées des deux radars pour appré ier la qualité et la pertinen e des orre tionse�e tuées. Nous allons don omparer es mesures radar orrigées et voir l'évolution des ritères de omparaison hoisis par rapport à la omparaison des mesures radar brutes(voir �gure 4.3). Dans la suite, Le terme HTI X-Pointeur désignera les HTI obtenus àpartir des mesures du radar X-Pointeur et de même le terme HTI X-RHI désignera lesHTI obtenus à partir des mesures du radar X-RHI.Pour distinguer les améliorations dues au o-étalonnage de elles dues à la orre tionde l'atténuation, nous avons tout d'abord omparé les HTI X-Pointeur o-étalonnés et lesHTI X-RHI bruts (voir �gure 4.11). Le o-étalonnage des deux radars permet de ramenerà un même niveau les ré�e tivités moyennes des HTI.La �gure 4.10 présente les nuages de points et les ritères de omparaison pour esdonnées. Le o-étalonnage réduit manifestement la dispersion : le rmse diminue de 11.93à 9.91 pour l'épisode du 07/09, de 8.22 à 6.97 pour elui du 11/09 et de 5.83 à 4.26 pour elui du 05/10. Il permet aussi de orriger une partie du biais : les nuages se rappro hentde la première bisse tri e et l'e� ien e augmente (sauf pour l'épisode du 07/09). Il reste ependant un biais non négligeable, omme le montrent lairement les nuages de pointsintégrés sur 5 minutes.

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Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivité

Fig. 4.10 � Nuages de points et ritères de omparaison pour les HTI X-RHI et les HTIX-Pointeur bruts et o-étalonnés, pour les pas de temps 1 minute ( olonne de gau he) et5 minutes ( olonne de droite), pour les 3 épisodes étudiés.84

4.4. Comparaison des mesures radar orrigées

Fig. 4.11 � HTI X-RHI et HTI X-Pointeur bruts et o-étalonnés, pour les 3 épisodes.

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Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivitéNous allons maintenant analyser les HTI obtenus à partir des mesures des deux radars orrigées de l'atténuation (HTI X-Pointeur orrigés et HTI X-RHI orrigés). Le pro�l RHIle plus bas en angle de site est le pro�l bas, qui oupe la verti ale au dessus du radar X-Pointeur à environ 800 m d'altitude. Les HTI X-RHI orrigés ommen ent don à l'altitude800 m. Pour ne pas biaiser visuellement la omparaison, les HTI X-Pointeur orrigés ontété tronqués à 800 m pour les représentations graphiques et le al ul des ritères de omparaison. Ce faisant, l'information intéressante sur le renfor ement des pré ipitationsdans les basses ou hes que montrent les HTI X-Pointeur n'est plus visible. La �gure 4.12présente es HTI pour les trois épisodes. Les HTI X-RHI sont les plus modi�és par la

Fig. 4.12 � HTI X-Pointeur orrigés et HTI X-RHI orrigés, pour les 3 épisodes. orre tion de l'atténuation, e qui est ohérent ave le fait que les PIA estimés sont plusimportants pour les mesures X-RHI que pour les mesures X-Pointeur. Les orre tions86

4.4. Comparaison des mesures radar orrigéesappliquées semblent bien adaptées. On remarque notamment que les HTI X-RHI orrigésmontrent une bande brillante plus marquée pour les épisodes du 11/09 et du 05/10.Pour l'épisode du 11/09, la ellule situé entre les pas de temps 175 et 200 et entre 1 et3 km d'altitude, apparaît plus intense et devient tout à fait omparable e que montrentles HTI X-Pointeur orrigés. On retrouve la même tendan e pour l'épisode du 05/10,notamment pour la ellule au pas de temps 375. Con ernant l'épisode du 07/09, les deuxpremières ellules (autour du pas de temps 25) sont plus ressemblantes après orre tion.L'atténuation a�e tant les mesures X-Pointeur n'est pour autant pas négligeable : auxenvirons du pas de tmps 500 pour l'épisode du 05/10, deux ellules intenses et très brèvessont ampli�ées par la orre tion d'atténuation et deviennent très similaires à e que montreles HTI X-RHI orrigés.Mais il reste des di�éren es, parfois marquées. De manière globale, on retrouve uneextension verti ale nettement moins élevée pour les HTI X-Pointeur orrigés pour lestrois épisodes, e qui met en éviden e les limites de la orre tion d'atténuation quand lesvaleurs de ré�e tivités sont inférieures au seuil de déte tion des radars. Pour l'épisodedu 07/09, les orre tions d'atténuation n'ont pas pu ompenser toutes les erreurs. Si l'onregarde la période autour du pas de temps 100, les HTI X-RHI orrigés ne montrenttoujours pas une ellule aussi intense (malgré l'ampleur des orre tions) que elle vue parle radar X-Pointeur. De même, si l'on regarde la période autour du pas de temps 75, lesHTI X-Pointeur orrigés ne montrent pas la ellule vue par le radar X-RHI, entre 5 et7 km d'altitude.Ces analyses qualitatives sont on�rmées par les ritères de omparaison al ulés entreles HTI X-Pointeur orrigés et X-RHI orrigés. Les nuages de points entre les HTI sontprésentés sur la �gure 4.13. La orre tion de l'atténuation augmente la o-�u tuation : le oe� ient de détermination passe de 0.18 à 0.32 pour l'épisode du 07/09, de 0.52 à 0.66pour elui du 11/09 et reste in hangé à 0.79 pour l'épisode du 05/10. Elle diminue aussi,mais dans une moindre mesure, la dispersion (le rmse diminue, sauf pour l'épisode du05/10). En�n, elle élimine le biais entre les HTI X-Pointeur et les HTI X-RHI pour lesépisodes du 11/09 et du 05/10 : les nuages de points sont entrés sur la première bisse tri epour es deux épisodes (l'intégration sur 5 minutes le montre lairement). L'e� ien eaugmente e�e tivement pour l'épisode du 11/09 (elle passe de 0.37 à 0.60). Elle diminuepar ontre légérement pour le 05/10 (elle passe de 0.74 à 0.72). Cette diminution s'expliquepar l'extension verti ale moindre des HTI X-Pointeur orrigés, qui fait que les ré�e tivitésRHI sont plus élevées autour de 20 dBZ. Con ernant l'épisode du 07/09, il reste un biaisqui montre que les orre tions appliquées restent insatisfaisantes.

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Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivité

Fig. 4.13 � Nuages de points et ritères de omparaison pour les HTI orrigées pour lespas de temps 1 minute ( olonne de gau he) et 5 minutes ( olonne de droite), pour les 3épisodes étudiés.88

4.5. Con lusion4.5 Con lusionDans e hapitre, nous nous sommes intéressés à l'estimation du pro�l verti al de ré-�e tivité au pas de temps de la minute pour des pré ipitations méditerranéennes intenses.Nous avons her hé à estimer le PVR en ombinant les mesures réalisées par deux radarsbande X sur la ville de Marseille. L'un des deux radars fon tionnait ave un proto olede balayage RHI et l'autre était un pointeur verti al. Une première analyse des donnéesbrutes a montré que les prin ipales sour es d'erreur étaient le défaut d'étalonnage et l'at-ténuation du signal radar par les pré ipitations. Nous avons don dans un premier tempsré-étalonné le radar X-RHI en utilisant la � Mountain Referen e Te hnique � ave l'é ho�xe engendré par le sommet de Marseilleveyre. Nous avons alors orrigé l'atténuationen utilisant su essivement une méthode lassique (l'algorithme HY) qui né essite uneestimation de l'atténuation totale, et une méthode plus originale reposant sur la théorieinverse (l'algorithme MI). Le radar X-Pointeur a été o-étalonné ave le radar X-RHIpuis l'atténuation a été orrigée en appliquant un autre algorithme lassique (l'algorithmeHB), dont la stabilité a été véri�ée. La pertinen e et la �abilité des mesures radar orrigéesont été montrées. Nous avons pour ela omparé les mesures orrigées des deux radarset mis en éviden e que le o-étalonnage et la orre tion d'atténuation avaient augmentésigni� ativement la similarité des mesures des deux radars, en dépit d'in ertitudes rési-duelles liées à l'étalonnage des apteurs et à l'ambigüité inhérente à l'atténuation par lespré ipitations.

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Chapitre 4. Estimation du pro�l verti al de ré�e tivité

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Chapitre 5In�uen e de la stru ture verti ale despré ipitations sur la mesure radarL'hétérogénéité de la stru ture verti ale des pré ipitations est une sour e d'erreur ma-jeure pour la mesure de pluie par radar (Joss et Waldvogel 1990), d'autant plus importanteque le lieu de mesure est éloigné. En e�et, l'altitude et la taille du volume de résolutionaugmentent ave la distan e. La pluie en altitude peut alors être di�érente de la pluie ausol et l'hypothèse d'uniformité du remplissage du volume de résolution admise au hapitre3 est mise en défaut. En région montagneuse, es phénomènes sont a entués par l'utili-sation d'angles de site élevés pour la mesure radar a�n de limiter le blo age du fais eaupar le relief. L'estimation de l'intensité de pluie par radar né essite don de orriger eserreurs.De nombreuses méthodes de orre tion de l'in�uen e de la stru ture spatiale des pré i-pitations s'organisent en deux étapes : le PVR est tout d'abord estimé (Andrieu et Creutin1995 ; Vignal et al. 1999), puis les mesures radar orrigées à l'aide de e PVR (Borga et al.1997 ; Vignal et al. 1999).L'obje tif de e hapitre est de quanti�er l'e�et de la stru ture verti ale des pré i-pitations sur la mesure de pluie par un radar lointain. Ave les données de HIRE 98,nous disposons, en plus des mesures du radar de Nîmes, d'une estimation de la stru tureverti ale au moyen des radars bande X et de mesures de pluie de référen e à l'aide despluviomètres de la ville de Marseille. Nous avons ainsi l'opportunité de quanti�er l'in-�uen e de la stru ture verti ale sur des mesures radar à longue distan e et de valider le on ept de visibilité hydrologique développé par Pellarin (2001) et Pellarin et al. (2002).Nous détaillerons le al ul de l'erreur théorique a�e tant la mesure de pluie par radarinduite par l'hétérogénéité de la stru ture verti ale des pré ipitations et par les e�ets demasque sur la ville de Marseille. Puis les odes SURFILLUM et VISHYDRO seront briè-vement dé rits et en�n les résultats seront présentés autour de deux axes : la validationdu al ul de l'erreur théorique et la représentativité spatiale et temporelle du PVR.

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In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations5.1 Équation radar et stru ture verti aleNous utiliserons les oordonnées sphériques (r; �; �) et artésiennes (x; y; h) dans lasuite. Considérons un volume de résolution du radar de Nîmes au dessus de Vernet, entréen M0(r0; �0; �0) ou M0(x0; y0; h0). M(r; �; �) ou M(x; y; h) repère un volume élémentaireau sein du volume de résolution (voir �gure 3.7). L'hypothèse majeure de e hapitreest de onsidérer que la ré�e tivité Z peut s'é rire omme le produit de deux termesindépendants (Andrieu et Creutin 1995) :Z(r; �; �) = Z(x; y; h) = Zref(x; y) z(h) (5.1)Zref représente la ré�e tivité à un niveau de référen e donné href . On suppose que l'é hellede la variabilité de Z au niveau de référen e est grande par rapport à la proje tion auniveau de référen e du volume de résolution, et on é rit don que Zref(x; y) = Zref(x0; y0).La variable z, appelée PVR relatif, représente les variations de la ré�e tivité en fon tionde l'altitude. On suppose aussi que z est uniforme à l'é helle de la proje tion au niveaude référen e du volume de résolution radar.La puissan e rétrodi�usée vers le radar par l'ensemble des hydrométéores présents dansle volume de résolution s'é rit, en reprenant les notations du hapitre 3 :Pr(r0; �0; �0) = C1�5jKj2�4 Zr Z� Z� I(r; �; �)Wr(rd)G20f 4(�d; �d)Z(r; �; �)r2 sin � d� d� dr(5.2)ave rd = r � r0 , �d = � � �0 et �d = �� �0. La fon tion I représente l'inter eption quipeut se produire sur le trajet entre le radar et la ible. Elle provient de deux sour es : (i)les e�ets de masque dus au relief et/ou (ii) à l'atténuation du signal. Nous onsidéreronsun radar bande S, l'atténuation est don négligée dans la suite. La fon tion I prend don la valeur 0 si le fais eau est masqué entre le radar et le point M et la valeur 1 sinon.Nous dé�nissons la ré�e tivité mesurée par :Zm(r0; �0; �0) = Pr(r0; �0; �0) r20C (5.3)où C est la onstante radar pluie (3.34).En supposant r0 grand devant l'extension du volume de résolution et en utilisant (3.17),(5.2) s'é rit en dé ouplant les intégrales sur r et sur � et � :Pr(r0; �0; �0) = C1G20�5jKj2�4r20 �2lr Z� Z� I(r0; �; �) f 4(�d; �d)Z(r0; �; �) sin � d� d� (5.4)En utilisant 5.1, on obtient :Pr(r0; �0; �0) = C Zref(x0; y0)r20 24 1C 0 Z� Z� I(r0; �; �) f 4(�d; �d) z(r0 os �) sin � d� d�35 (5.5)92

5.2. Proto ole de validationOù C est la onstante radar pluie :C = PeG20 23dBAar ��3jKj21024 ln2 lr�2 (5.6)et C 0 = 23dB�8 ln 2 (5.7)représente la valeur de l'intégrale de l'intégrale double du terme de droite de (5.5) si laré�e tivité est uniforme, s'il n'y a pas d'inter eption et si la pondération angulaire nor-malisée est supposée gaussienne.La ré�e tivité mesurée peut don s'é rire :Zm(r0; �0; �0) = Zref(x0; y0)f Z(r0; �0; �0) (5.8)ave : f Z(r0; �0; �0) = 1C 0 Z� Z� I(r0; �; �) f 4(�d; �d) z(r0 os �) sin �d� d� (5.9)f Z peut être onsidéré omme un fa teur orre tif de la ré�e tivité mesurée Zm pourestimer la ré�e tivité au niveau de référen e Zref . Si l'on suppose que Z = aRb, alorson peut dé�nir un fa teur orre tif f R pour estimer l'intensité de pluie au niveau deréféren e : f R = [a f Z(r0; �0; �0)℄�1=b (5.10)Rref(x0; y0) = �Zm(r0; �0; �0)a �1=b f R(r0; �0; �0) (5.11)Dans notre on�guration, le radar de Nîmes fournit la ré�e tivité mesurée, le radar X-Pointeur fournit le PVR relatif et le réseau de pluviomètres fournit les mesures d'intensitéde pluie de référen e. Il faut maintenant dé�nir omment nous allons valider le al ul del'erreur � théorique � présentée i-dessus.5.2 Proto ole de validationLes al uls des e�ets de masque puis du fa teur orre tif théorique seront brièvementprésentés, ainsi que les ritères de omparaison entre les mesures du réseau de pluviomètreset les mesures orrigées du radar de Nîmes.5.2.1 Cal ul des e�ets de masqueLe ode de al ul SURFILLUM a été développé au LTHE pour la simulation numériquedes e�ets de masque et des é hos de sol (Delrieu et al. 1995). Nous n'exposerons que les93

In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitationsprin ipes de es al uls, on pourra se reporter à Delrieu et al. (1995) ou Pellarin (2001)pour plus de détails sur e ode.SURFILLUM simule la propagation d'un fais eau radar sur un Modèle Numérique deTerrain (MNT). On suppose onnues les ara téristiques du radar : site d'implantation,longueur d'onde, ouverture du fais eau, angle de site ... Le volume de résolution orres-pondant à e radar est ensuite déterminé, en utilisant le modèle proposé par Doviak etZrni (1993) pour la pondération radiale, le modèle gaussien pour la pondération angu-laire et un modèle linéaire (en dB) en fon tion de l'angle d'in iden e pour le oe� ientde rétrodi�usion surfa ique �0. Le seuil de oupure pour dé�nir la taille du volume derésolution est une variable du ode. En partant du radar (r = 0), les éventuels e�ets demasque et é hos �xes sont simulés, jusqu'à une distan e donnée et ave un pas angulairedonné.La �gure 5.1 montre les e�ets de masque géométrique (pour entage du fais eau mas-qué) et les é hos �xes simulés a�e tant les mesures du radar de Nîmes pour une oupureà 36 dB, sur notre zone d'étude.

Fig. 5.1 � Masques géométriques et é hos �xes simulés par SURFILLUM entre Nîmes etMarseille. La zone d'étude est �gurée par les traits interrompus.5.2.2 Cal ul du fa teur orre tif théoriqueLes mesures des pluviomètres onstituent les mesures de référen e. Le niveau de réfé-ren e est don le niveau du sol et nous travaillerons ave l'intensité de pluie.À partir des masques et des é hos �xes simulés par SURFILLUM et du PVR relatif, le ode de al ul VISHYDRO, développé par Pellarin (2001), permet de al uler le fa teur orre tif (en Z ou en R) dé rit pré édemment. Pour plus de détails sur le ode, on pourrase reporter aux travaux de Pellarin (2001) et Pellarin et al. (2002).Le PVR relatif est obtenu ave les mesures du radar X-Pointeur orrigées de l'atténua-tion. Le radar X-RHI n'a pas fon tionné pendant la période la plus intense de l'épisode94

5.2. Proto ole de validationdu 07/09, nous avons don hoisi de n'utiliser que les mesures du radar X-Pointeur. Pourré-étalonner elles- i, nous avons utilisé un pluviomètre à pas de temps de 2 minutes,situé à Vernet. Les relations de ré-étalonnage ont été obtenues par régression linéaireentre les ré�e tivités (exprimées en dBZ) mesurées par le radar X-Pointeur sur les 100premiers mètres et les intensités pluvieuses mesurées par le pluviomètre et onverties enré�e tivités en dBZ à l'aide des relations Z-R issues des deux DSD. Pour limiter les e�etsd'é hantillonnage, nous avons mélangé les données des trois épisodes et don estimé unerelation de ré-étalonnage moyenne pour les trois épisodes.Puis nous avons appliqué l'algorithme HB pour la orre tion d'atténuation. Le PVRrelatif obtenu in �ne est sans doute enta hé d'une ertaine erreur, mais nous onsidéronsqu'il est représentatif de la stru ture verti ale des pré ipitations au-dessus de Vernet.Le pas de temps de mesure des pluviomètres est de 6 minutes. Nous avons ré-é hantillonnéles mesures du radar de Nîmes à la minute puis nous avons moyenné les mesures radar(Nîmes et X-Pointeur) sur 6 minutes, puis sur 15 et 30 minutes a�n d'étudier l'in�uen ede la durée du pas de temps de mesure. Pour estimer la variabilité du PVR relatif au ours de haque épisode, les moyennes et les quantiles 10, 20, 50, 80 et 90% ont été tra éspour les trois épisodes et pour les durées d'intégration temporelle de 6 et 30 minutes, surla �gure 5.2. Pour limiter la plage de valeur, le PVR relatif est tra é en dB.Pour l'épisode du 07/09, la moyenne est fortement in�uen ée par quelques PVR relatifspour lesquels le rapport Z=Z0 est de l'ordre de 100 alors qu'il est inférieur à 1 en général, e qui explique que la moyenne se situe au-delà du quantile 90% pour et épisode.On retrouve une variabilité dé roissante de l'épisode du 07/09 au 05/10. Elle diminuede même lorsque la durée d'intégration temporelle augmente. Par ontre, omme les va-leurs maximales du PVR sont le plus souvent aux basses altitudes, la variabilité du PVRrelatif augmente ave l'altitude. Lorsqu'une bande brillante existe, la stru ture verti aleest relativement uniforme entre le sol et l'altitude de elle- i. Comme la distribution desPVR (en mm6.m-3), la distribution des PVR relatifs est asymétrique.En multipliant les mesures du radar de Nîmes par les fa teurs orre tifs issus de VI-SHYDRO, nous obtenons une estimation de la pluie au sol pour des pas de temps de 6,15 et 30 minutes, que nous pouvons omparer aux mesures des pluviomètres.Nous avons hoisi d'utiliser trois ritères de omparaison : le rapport des moyennes, quimet en éviden e un éventuel biais entre les séries omparées, la orrélation (le oe� ientde détermination en fait) pour estimer la qualité de la o-�u tuation des séries et en�nl'e� ien e de Nash. Ces ritères seront al ulés sur les valeurs supérieures à 1 mm.h-1.

95

In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations

médianemoyenne quant. 10 et 90% quant. 20 et 80%Fig. 5.2 � Moyenne et quantiles 10, 20, 50, 80 et 90% du PVR relatif exprimé en dB.5.3 Quanti� ation de l'in�uen e de la stru ture verti- aleNous analyserons les valeurs des di�érents ritères en fon tion de la durée du pas detemps entre la pluie mesurée par le pluviomètre et la mesure de pluie orrigée du radarde Nîmes, uniquement pour le site de Vernet.Les hyétogrammes de pluie obtenus à partir des mesures du pluviomètre de Vernetet à partir des mesures du radar de Nîmes brutes et orrigées par les fa teurs orre -tifs al ulés à l'aide VISHYDRO sont présentées dans les �gures 5.3, 5.4 et 5.5, pour lesdeux DSD, les trois durées d'intégration temporelle et pour haque épisode. On peuttout d'abord remarquer que le hoix de la distribution granulométrique est important.En e�et, la DSD2 semble plus adaptée à l'épisode du 07/09, alors que la DSD1 sembleplus adaptée pour les épisodes du 11/09 et 05/10. Il ne faut ependant pas oublier que96

5.3. Quanti� ation de l'in�uen e de la stru ture verti ale

brutecorrigéemesuréeFig. 5.3 � Hyétogrammes de pluie mesurée (trait plein), de pluie radar brute (trait poin-tillé) et orrigée (trait interrompu) pour l'épisode du 07/09.nous avons utilisé des relations de ré-étalonnage moyennes pour les trois épisodes, qui onduisent vraisemblablement à une sur-estimation des ré�e tivités pour le 07/09 et unesous-estimation pour le 11/09 et le 05/10. Ces é arts entre la ré�e tivité orrigée et laré�e tivité � vraie � expliquent que la DSD2 semble plus adéquate pour l'épisode du07/09 et la DSD1 plus adéquate pour le 11/09 et le 05/10, ar à ré�e tivité égale la DSD1donne une valeur d'intensité pluvieuse plus faible que la DSD2. Dans la suite, les valeurs97

In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations

brutecorrigéemesuréeFig. 5.4 � Hyétogrammes de pluie mesurée (trait plein), de pluie radar brute (trait poin-tillé) et orrigée (trait interrompu) pour l'épisode du 11/09.numériques données dans le texte orrespondront à la DSD2 pour l'épisode du 07/09 et àla DSD1 pour les deux autres.L'épisode du 07/09 est elui pour lequel les mesures de pluie radar brutes sont lesplus pro hes des mesures des pluviomètres. Le oe� ient de détermination ( ompris entre0.73 et 0.91) montre une très bonne o-�u tuation des deux séries. L'e� ien e (entre-0.22 et 0.02) et le rapport des moyennes (de l'ordre de 0.30) traduisent toutefois une98

5.3. Quanti� ation de l'in�uen e de la stru ture verti ale

brutecorrigéemesuréeFig. 5.5 � Hyétogrammes de pluie mesurée (trait plein), de pluie radar brute (trait poin-tillé) et orrigée (trait interrompu) pour l'épisode du 05/10.sous-estimation importante dans les intensités pluvieuses. L'amélioration pour les me-sures radar orrigées est signi� ative puisque le oe� ient de détermination varie entre0.72 et 0.99, l'e� ien e entre 0.62 et 0.95, et le rapport des moyennes entre 0.82 et 0.90.L'augmentation de la durée du pas de temps améliore par ailleurs nettement les mesuresradar orrigées, omme le montre l'augmentation du oe� ient de détermination et del'e� ien e. La prise en ompte de la stru ture verti ale permet de orriger quasiment99

In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitationstoute l'erreur a�e tant les mesures du radar de Nîmes pour l'épisode du 07/09.Du fait du nombre très limité de points disponibles pour le pas de temps de 30 minutespour l'épisode du 11/09, nous n'analyserons pas les valeurs des ritères pour e pas detemps. Les mesures radar brutes di�èrent plus grandement des mesures sol que pour l'épi-sode du 07/09. En e�et, le oe� ient de détermination est ompris entre 0.03 (6 minutes)et 0.39 (15 minutes). L'e� ien e est négative et omprise entre -1.05 et -0.71. Le rapportdes moyennes est de l'ordre de 0.35. Les orre tions apportées améliorent signi� ative-ment la qualité des mesures de pluie radar. Le oe� ient de détermination varie entre0.64 et 0.76, l'e� ien e devient positive et varie entre 0.34 et 0.51. En�n le rapport desmoyennes varie entre 0.66 et 0.79. Même si les valeurs des ritères atteintes sont moindresque pour l'épisode du 07/09, l'amélioration entre les mesures radar brutes et orrigées esttrès nette.Pour l'épisode du 05/10, l'amélioration est toute aussi signi� ative. Le oe� ient dedétermination des mesures radar brutes est ompris entre 0.62 et 0.83, l'e� ien e entre-0.57 et -0.46 et le rapport des moyennes est de 0.31. Ces valeurs s'améliorent pour lesmesures radar orrigées. Le oe� ient de détermination varie de 0.78 à 0.95, l'e� ien ede 0.64 à 0.76 et le rapport des moyennes est de l'ordre de 0.75. L'augmentation de ladurée du pas de temps améliore aussi la qualité des mesures radar orrigées.L'ensemble des ritères montre une amélioration très signi� ative de la qualité de l'in-tensité pluvieuse estimée par le radar de Nîmes lorsque l'on prend en ompte la stru tureverti ale des pré ipitations. Il reste des di�éren es qui peuvent être dues à d'autres sour esd'erreur non prises en ompte (l'étalonnage du radar de Nîmes par exemple) ou à l'in erti-tude a�e tant les relations de ré-étalonnage et les distributions granulométriques utilisées.Par ailleurs, la qualité des intensités pluvieuses radar est nettement meilleure pour desdurées de pas de temps roissantes, omme le montre l'augmentation du oe� ient dedétermination et de l'e� ien e pour les épisodes du 07/09 et du 05/10.Ces résultats montrent d'une part l'in�uen e prépondérante de la stru ture verti aledes pré ipitations sur la mesure de pluie par radar, y ompris pour des pas de temps ourts,et d'autre part valident le on ept de visibilité hydrologique proposée par (Pellarin 2001).5.4 Représentativité spatiale du PVR relatifLes résultats pré édents ont été établis pour le seul site de Vernet. Il se pose mainte-nant la question de la représentativité du PVR relatif : à quelle é helle spatiale le PVRrelatif estimé par le radar X-Pointeur est-il représentatif de la stru ture verti ale des pré- ipitations, en fon tion de la durée du pas de temps ?Le réseau de pluviomètres fournit une mesure de la pluie au sol en 25 points répartisirrégulièrement sur toute la zone d'étude. Les mesures de pluie radar ont été extraites audroit de haque pluviomètre et ensuite orrigées d'une erreur due à la stru ture verti aledes pré ipitations donnée par le PVR estimé à Vernet. Nous disposons ainsi de séries de100

5.4. Représentativité spatiale du PVR relatifmesures de pluie au sol et de mesures de pluie radar brutes et orrigées sur lesquelles ilest possible de al uler les ritères de omparaison hoisis.Pour déterminer la représentativité spatiale et temporelle du PVR relatif, nous allonsanalyser l'évolution de es ritères en fon tion de la distan e et du pas de temps d'intégra-tion. Le nombre de pluviomètres est trop limité pour permettre une analyse en fon tionde la distan e et de la dire tion, nous supposerons don que le PVR relatif ne varie qu'enfon tion de la distan e. A�n de garantir une ertaine robustesse, nous avons d'une partgroupé les mesures des trois épisodes pour limiter les e�ets d'é hantillonnage, notammentpour le pas de temps 30 minutes, et d'autre part nous avons al ulé les ritères par lassede distan e. Les �gures 5.6, 5.7, 5.8 présentent les trois ritères en fon tion de la distan eau site de Vernet.Les orre tions apportées n'améliorent le oe� ient de détermination que pour les dis-tan es pro hes de Vernet et le font huter pour des distan es plus grandes. Globalement,le oe� ient de détermination a la même évolution pour les mesures radar brutes et or-rigées. Il est plus élevé pour Vernet que pour les pluviomètres éloignés, même pour lesmesures brutes. L'augmentation de la durée du pas de temps tend à améliorer le oe� ientde détermination pour toutes les distan es.La di�éren e d'évolution en fon tion de la distan e est plus nette pour l'e� ien e.L'e� ien e des mesures brutes est globalement onstante autour de 0.1. L'e� ien e desmesures orrigées est d'abord nettement plus élevée, puis diminue fortement ave la dis-tan e. La distan e à laquelle l'e� ien e des mesures orrigées devient inférieure à elledes mesures brutes est d'environ 2 km pour le pas de temps de 6 minutes, de 5 km pour15 minutes et de 10 km pour 30 minutes.Le rapport des moyennes des mesures brutes est aussi onstant autour de 0.3. Le rap-port des moyennes des mesures orrigées est plus variable et il est entré autour de 1.Cette variabilité diminue ave l'augmentation de la durée du pas de temps et la distan eà laquelle il s'éloigne nettement de 1 est de l'ordre de 2 km pour le pas de temps de6 minutes, de 9 km pour 15 minutes et de 14 km pour 30 minutes.Pour les mesures radar brutes, l'uniformité de l'e� ien e et du rapport des moyennesen fon tion de la distan e indique que la diminution du oe� ient de détermination estliée aux e�ets d'é hantillonnage.La rapide dégradation de la orre tion ave la distan e notamment pour le pas detemps �n sous-entend une grande variabilité spatiale du fa teur orre tif, e qui montredon que la représentativité spatiale de la orre tion déduite du PVR relatif mesurée enun point est faible.Au vu de l'évolution des trois ritères hoisis, il apparaît que la représentativité spa-tiale du PVR relatif augmente ave la durée du pas de temps de mesure. L'e� ien e et lerapport des moyennes montrent une distan e ara téristique pour la représentativité duPVR relatif qui est de l'ordre de 2 km pour un pas de temps de 6 minutes, de 7 km (entre5 et 9 km) pour un pas de temps de 15 minutes et en�n de 12 km (entre 10 et 14 km)pour un pas de temps de 30 minutes. 101

In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations

Fig. 5.6 � Évolution du oe� ient de détermination en fon tion de la distan e pour les pasde temps de 6, 15 et 30 minutes. Les traits plein représentent le oe� ient de déterminationdes mesures de pluie radar orrigées et les traits pointillés elui des mesures de pluie radarbrutes.102

5.4. Représentativité spatiale du PVR relatif

Fig. 5.7 � Évolution de l'e� ien e en fon tion de la distan e pour les pas de temps de6, 15 et 30 minutes. Les traits plein représentent l'e� ien e des mesures de pluie radar orrigées et les traits pointillés elle des mesures de pluie radar brutes.103

In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations

Fig. 5.8 � Évolution du rapport des moyennes en fon tion de la distan e pour les pas detemsp de 6, 15 et 30 minutes. Les traits plein représentent le rapport des moyennes desmesures de pluie radar orrigées et les traits pointillés elui des mesures de pluie radarbrutes.104

5.5. Con lusion5.5 Con lusionL'obje tif de e hapitre était double. Tout d'abord nous voulions montrer que l'hé-térogénéité de la stru ture verti ale des pré ipitations est une sour e d'erreur majeurepour la mesure de pluie par radar à longue distan e, tout en validant les odes de al ulSURFILLUM et VISHYDRO développés pour évaluer et orriger ette erreur. En�n, ilnous apparaissait né essaire d'estimer la représentativité spatiale du PVR relatif, qui a-ra térise la stru ture verti ale de la pluie.Ave les données de l'expérimentation HIRE 98, nous disposons des mesures d'un ré-seau de pluviomètres qui onstituent les mesures d'intensité de pluie de référen e, desmesures d'un radar lointain (Nîmes, à 90 km) et en�n des mesures d'un pointeur verti alpour estimer le PVR.En omparant les mesures d'intensité de pluie de référen e et les mesures d'intensitéde pluie radar orrigées au site de Vernet (lieu d'implantation du radar X-Pointeur), nousavons en premier lieu montré l'amélioration très signi� ative apportée par la orre tionde l'in�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations, et ainsi validé les odes de al ulutilisés. Nous avons aussi montré que l'augmentation de la durée du pas de temps demesure améliore la qualité de la pluie estimée par radar.Nous avons ensuite estimé la représentativité spatiale du PVR relatif en analysantl'évolution de ritères de omparaison entre l'intensité de pluie de référen e et l'intensitéde pluie radar orrigée pour haque pluviomètre du réseau, en fon tion de la distan e ausite de Vernet. Les surfa es ara téristiques asso iées au PVR relatif sont de l'ordre de15 km2 pour un pas de temps de 6 minutes, de 150 km2 pour 15 minutes et 300 km2 pour30 minutes.Ces résultats ont été obtenus en supposant que la variabilité verti ale des pré ipita-tions est indépendante de la variabilité horizontale. Les distan es ara téristiques obtenuespour la représentativité spatiale du PVR relatif fournissent une indi ation de la limite devalidité de ette hypothèse.

105

In�uen e de la stru ture verti ale des pré ipitations

106

Quatrième partieStru tures spatiales et temporelles despré ipitations

107

Chapitre 6Notions de géostatistiqueLa pluie est un phénomène variable dans l'espa e et dans le temps, mais ave une ertaine ohéren e qui dé�nit sa stru ture. Aux é helles su�samment grande pour quela pluie puisse être vue omme un pro essus ontinu, elle entre don dans le adre de lathéorie des variables régionalisées (ou géostatistique) proposée par Matheron (1965). Cetteappro he était destinée à l'origine au domaine minier, mais son hamp d'appli ation s'estétendu à di�érents domaines, dont les s ien es de l'eau (Delhomme 1976). De nombreusesétudes sur son appli ation à l'hydrologie et à l'hydrométéorologie ont été menées depuisune vingtaine d'années au LTHE, et on peut iter notamment les travaux de Creutin(1979), Lebel (1984), Delrieu (1986), Munoz-Pardo (1987) ou Gelbert-Baran ourt (1990).Ce hapitre onstitue un bref rappel théorique des outils apportés par ette théorie desvariables régionalisées et s'inspire largement des travaux de Matheron (1965), Journel etHuijbregts (1978), Creutin et Obled (1982) et Obled (1997).6.1 Dé�nitions et notationsOn peut dé�nir une variable régionalisée (V.R en abrégé dans la suite) omme unegrandeur variant dans l'espa e ave une ertaine stru ture. Cette stru ture empê he quela grandeur onsidérée puisse être dé rite orre tement omme une variable aléatoire, etrend don la statistique lassique inadaptée pour dé rire ette grandeur et sa stru tureasso iée.Considérons une V.R z (le umul de pluie par exemple) dans un espa e à deux dimen-sions. Soit x le ve teur position permettant de se repérer dans et espa e. En un pointrepéré par le ve teur x, la V.R vaut z(x) (le umul en un point). Le hamp géométriquede la V.R orrespond à la zone dans laquelle elle prend ses valeurs (la zone intéressée parles pré ipitations au ours de l'évènement pluvieux). Le domaine sur lequel on étudie laV.R peut être tout ou partie du hamp géométrique. Le support géométrique de ette V.Rest fon tion du type de mesure réalisée pour é hantillonner la V.R : il peut être quasi-pon tuel pour un pluviomètre ou volumique pour un radar météorologique. La �gure 6.1illustre es dé�nitions. 109

Chapitre 6. Notions de géostatistique���������������

���������������

w1

w2

w3

V

z(SG)=Z(w3,SG)

D

CG

Fig. 6.1 � Champ géométrique CG, support géométrique V et domaine d'étude D dela variable régionalisée z, et fon tion aléatoire Z orrespondante pour une réalisationparti ulière.Pour fa iliter la ompréhension des on epts et outils dé rits i-après, nous onsidére-rons dans un premier temps que la V.R est à support pon tuel.La V.R ainsi dé�nie est onsidérée omme la réalisation parti ulière ! d'une fon tionaléatoire Z = z(x) = Z(!; x). On désigne par l'ensemble des réalisations. On parle de ontexte de mono-réalisation quand on dispose d'un é hantillon de valeurs ne orrespon-dant qu'à une seule réalisation, de ontexte multi-réalisations sinon. Une fon tion aléatoire(F.A en abrégé dans la suite) peut être dé�nie omme la juxtaposition d'une in�nité devariables aléatoires : Z = fZ(!; x) j x 2 D ; ! 2 g (6.1)Soit k points repérés par fx1; x2; ::; xkg, appelés points de support. On peut leur asso ierle ve teur de k variables aléatoires suivant :fZ(x1); Z(x2); ::; Z(xk)gCe ve teur est dé rit par sa fon tion de répartition :Fx1x2::xk(Z1; Z2; ::; Zk) = Prob [Z(x1) � Z1; Z(x2) � Z2; ::; Z(xk) � Zk℄ (6.2)La généralisation de (6.2) à tous les k � 0 et tous les points de supports possibles dé�nitla fon tion de répartition asso iée à une fon tion aléatoire.L'inféren e statistique de la fon tion de répartition, i.e son estimation à partir demesures, est impossible du fait de l'in�nité du nombre de ses � omposantes �. Cetteimpossibilité peut être partiellement levée au prix d'hypothèses sur les ara téristiquesstatistiques de la F.A, qui restreignent la lasse de fon tions aléatoires sur lesquelles onpeut travailler. 110

6.2. Hypothèse de stationnarité d'ordre 26.2 Hypothèse de stationnarité d'ordre 2Les moments d'ordre 1 et 2 de la F.A Z que nous onsidérerons sont (la réalisation !est sous-entendue par la suite) :L'espéran e : E[Z(x)℄ = R Z dF (Z; x)La ovarian e entrée : Cov[Z(x); Z(x0)℄ = E f[Z(x)� E(Z(x))℄ [Z(x0)� E(Z(x0))℄gCes moments sont al ulés sur la population des réalisations . Dans la grande majoritédes as, on ne onnaît pas ette population. On ne peut don qu'estimer es moments,en gardant à l'esprit qu'ils peuvent être a�e tés d'une erreur non négligeable due à l'e�etd'é hantillonnage.Une F.A est dite stationnaire d'ordre 2 si ses moments d'ordre 1 et 2 sont invariantspar une translation quel onque du ve teur position. Z est don stationnaire d'ordre 2 si :E [Z(x)℄ = E [Z(x0)℄ 8 x; x0 (6.3)Cov [Z(x); Z(x0)℄ = Cov(x� x0) 8 x; x0 (6.4)On se limite aux moments d'ordre 2 ar la ovarian e permet de ara tériser la stru turespatiale de la variable régionalisée.En toute rigueur, l'hypothèse d'existen e des moments d'ordre 1 et 2 su�t pour quela ovarian e puisse être dé�nie en tout point du hamp géométrique. Mais l'inféren ede la ovarian e est impossible en une in�nité de points. L'hypothèse de stationnaritéd'ordre 2 permet de s'a�ran hir de e problème et permet don d'estimer l'espéran e etla ovarian e sur le domaine d'étude, à partir de mesures de la V.R.Dans un ontexte de mono-réalisation, l'hypothèse de stationnarité d'ordre 2 doit être omplétée par l'hypothèse d'ergodi ité d'ordre 2. L'hypothèse d'ergodi ité stipule que lesmoments al ulés sur la population des réalisations sont égaux aux moments al uléssur le hamp géométrique de la V.R ou, autrement dit, que la réalisation onsidérée estreprésentative de la population des réalisations. On peut ainsi avoir une estimation desmoments qui nous intéressent.Cependant, la stationnarité d'ordre 2 est une hypothèse forte. Matheron (1965) proposed'utiliser une autre lasse de fon tions pouvant ara tériser la stru ture spatiale d'une F.Aet ne né essitant pas une hypothèse aussi forte.6.3 Hypothèse intrinsèque et variogrammeL'hypothèse intrinsèque suppose que les a roissements de la F.A sont stationnairesd'ordre 2. Pour le moment d'ordre 1, on a don :E [Z(x)� Z(x0)℄ = f(x� x0) 8 x; x0 (6.5)12E �[Z(x)� Z(x0)℄2 = (x� x0) 8 x; x0 (6.6)111

Chapitre 6. Notions de géostatistiqueCette dé�nition des a roissements entraîne une relation de fermeture :[Z(x1)� Z(x3)℄ = [Z(x1)� Z(x2)℄ + [Z(x2)� Z(x3)℄ 8 x1; x2; x3Cette relation permet de montrer que f est une forme linéaire relativement à x. On peutl'é rire omme le produit s alaire d'un ve teur onstant � ave le ve teur x (Matheron1965) : f(x) = � : xOn supposera par la suite que ette � dérive � linéaire a été soustraite à Z et on se ramèneainsi à la stationnarité d'ordre 1 pour Z :E [Z(x)� Z(x0)℄ = 0 8 x; x0 (6.7) est appelée fon tion semi-variogramme (par abus de langage, variogramme dans lasuite) et permet de ara tériser la stru ture spatiale de la F.A. Il ne dépend que du ve teur(x � x0). On peut remarquer que est une fon tion paire, non négative et qui s'annulleen 0 : (x) = (�x) � 0 8 x (6.8) (0) = 0 (6.9)De plus, est une fon tion de type positif si la ovarian e existe, pour assurer une varian epositive pour toute ombinaison linéaire de la fon tion aléatoire. Elle est de type positif onditionnel sinon pour assurer une varian e positive pour toute ombinaison linéaired'a roissements de la fon tion aléatoire (Journel et Huijbregts 1978).Lorsque le variogramme ne dépend que de la norme du ve teur (x�x0), qui représentela distan e entre les points x et x0, on parle de fon tion aléatoire isotrope. Lorsque ladire tion du ve teur (x � x0) in�ue sur le variogramme, on parle de fon tion aléatoireanisotrope.Le omportement à l'origine du variogramme est utile pour onnaître la représentativitéd'une mesure : moins le variogramme augmente vite et plus la mesure est représentativede la V.R autour. Même si (0) = 0, il se peut que (dx) > 0 pour un dx très faible, equi témoigne de l'existen e d'une zone de transition très rapide aux faibles distan es (voir�gure 6.2). C'est l'e�et de pépite, nom hérité de la tradition minière de la géostatistique.On peut distinguer deux types de omportement du variogramme au-delà du voisinagede l'origine. Pour le premier type, la ovarian e est dé�nie. Il existe alors un lien entre levariogramme et la ovarian e : (x) = Cov(0)� Cov(x) (6.10)9 d0 = (x) = Cov(0) 8 x = jjxjj � d0 (6.11)Le variogramme atteint don la valeur limite Cov(0) qu'on appelle le palier, à partir de ladistan e ara téristique d0 qu'on appelle la portée (voir �gure 6.2). Au-delà de la portée,les valeurs de la V.R ne sont plus orrélées.112

6.4. Inféren e du variogrammePour le deuxième type, la ovarian e n'est pas dé�nie. Le variogramme augmente ave la distan e et tend vers l'in�ni (voir �gure 6.2). Toutes les valeurs de la V.R sur son hampgéométrique sont orrélées ave un poids qui dépend de l'évolution du variogramme ave la distan e.

d

γ

p

do

ν

v1v2

Fig. 6.2 � S hématisation du variogramme : do représente la portée, � la pépite et p lepalier ; v1 atteint un palier, v2 non.Il est à noter que le moment d'ordre 1 n'intervient plus dans l'expression du vario-gramme. Celui- i est don plus robuste que la ovarian e, tout en né essitant des hypo-thèses moins fortes.6.4 Inféren e du variogramme6.4.1 Variogramme expérimentalLa V.R qui nous intéresse est é hantillonnée par un réseau de mesure. Ces mesuresvont permettre de al uler le variogramme expérimental (appelé aussi variogramme em-pirique). Si l'on est dans un ontexte de mono-réalisation, l'espéran e est al ulée ommela moyenne arithmétique des valeurs mesurées sur le domaine d'étude (hypothèse d'ergo-di ité). Si l'on est dans un ontexte de multi-réalisations, l'espéran e est al ulée ommela moyenne arithmétique sur l'é hantillon des réalisations. Du fait du nombre limité depoints de mesures dont on dispose généralement, le variogramme est al ulé omme lamoyenne arithmétique de tous les a roissements par lasse de distan e. On appellera�dk la largeur de la ke lasse de distan e et le variogramme expérimental s'é rit pour ette lasse de distan e, en supposant la F.A isotrope : (k�dk) = 12N(k) Xi;j�Ck [Z(xi)� Z(xj)℄2 (6.12)ave : 113

Chapitre 6. Notions de géostatistiqueN(k) : e�e tif de la lasse kCk : ensemble des ouples (i; j) = jjxi � xjjj 2 ℄(k�d� �dk2 ); (k�kd+ �dk2 )℄Les lasses de distan e peuvent être onstituées de deux manières : soit on �xe unelargeur de lasse onstante et l'e�e tif est variable dans haque lasse, soit on �xe une�e tif onstant et la largeur de la lasse varie. Nous avons adopté la première méthode, ar elle permet d'avoir des valeurs du variogramme expérimental pour des interdistan esrégulières. Pour limiter les e�ets d'é hantillonnage et à ause de la non-indépendan e des ouples entre eux, l'e�e tif d'une lasse doit être au moins de l'ordre d'une trentaine de ouples (Journel et Huijbregts 1978).Si le phénomène étudié est anisotrope, le variogramme expérimental doit être al ulédans di�érentes dire tions. On ne séle tionne alors pour le al ul que les ouples de pointsorientés dans la dire tion hoisie. Si l'on dispose de su�samment de points, on peut tra erune arte des valeurs du variogramme et obtenir un variogramme en deux dimensions (parexemple le plan horizontal) qui met en éviden e l'éventuelle anisotropie du phénomèneétudié (Isaaks et Srivastava 1989 ; Goovaerts 1997).Il est important de noter que la relation (6.12) qui dé�nit le variogramme expérimentalinduit une varian e d'é hantillonnage sur les valeurs du variogramme expérimental, à lafois sur la distan e par le positionnement du entre de gravité des lasses et sur par ladispersion des valeurs au sein des lasses. Cette varian e d'é hantillonnage augmente ave la distan e et le variogramme expérimental n'est représentatif du variogramme qu'auvoisinage de l'origine (Matheron 1965). Journel et Huijbregts (1978) re ommandent den'estimer le variogramme que jusqu'à des distan es de l'ordre de la moitié de la longueur ara téristique du domaine d'étude.De plus, la relation (6.12) est peu robuste et don l'éventuelle asymétrie de la distribu-tion des valeurs de l'é hantillon peut in�uen er grandement l'inféren e du variogramme(Cressie 1993), qui peut être biaisée par la présen e de points � extrêmes � dans l'é han-tillon.6.4.2 Modélisation du variogrammeL'outil variogramme ne sert pas seulement à l'analyse stru turale : il intervient aussidans l'interpolation par krigeage. La méthode du krigegage est présentée dans l'annexeA. Dans le ontexte d'interpolation, la modélisation du variogramme est né essaire et lesfon tions utilisées omme modèles doivent posséder les propriétés dé rites au paragraphe2.1.3 (équations (6.8), (6.9) et type positif ou positif onditionnel). Dans la suite, d serala norme du ve teur dx = x � x0, soit la distan e entre x et x0. Nous avons utilisé deuxmodèles parmi les plus lassiques :� lorsque le palier existe, le modèle sphérique :8<: (dx) = C0 + (C1 � C0)32 dd0 � 12 d3a3 8 dx = d 2 [0; d0℄ (dx) = C1 8 dx = d � d0 (6.13)114

6.5. Variable Régionalisée à support non pon tueloù C0 représente l'éventuel e�et de pépite, C1 le palier et d0 la portée.� lorsque le palier n'existe pas, le modèle puissan e : (dx) = C0 + � d� � > 0 (6.14)où C0 représente l'éventuel e�et de pépite, � et � sont des onstantes s alaires.On peut ombiner es fon tions pour obtenir des modèles de variogramme plus om-plexes. L'ajustement d'un modèle peut se faire manuellement ou automatiquement. Nousavons hoisi dans ette étude d'ajuster manuellement les modèles, e qui permet de ontr�-ler les ajustements réalisés, notamment dans les as ambigus.6.5 Variable Régionalisée à support non pon tuelTous les outils et relations dé rites dans les paragraphes pré édents, pour des V.R etles F.A à support pon tuel, peuvent être régularisés (généralisés) a�n de orrespondre àdes V.R et F.A à support non pon tuel. Ce paragraphe s'atta he à la régularisation duvariogramme.À partir de la F.A Z à support pon tuel, on dé�nit la F.A Zr régularisée sur le supportnon pon tuel V par : Zr(x) = ZV (x) p(s)Z(s)ds (6.15)où p est une densité de probabilité sur V (x) telle que :ZV (x) p(s) ds = 1Il faut noter que les intégrales sont é rites omme des intégrales simples pour fa iliterl'é riture, mais elles peuvent être doubles ou plus suivant le nombre de dimensions dusupport.Si Z véri�e l'hypothèse intrinsèque, on montre que Zr la véri�e aussi (Journel et Huij-bregts 1978). Le variogramme régularisé r se dé�nit de manière similaire au as pon tuel : r(x� x0) = Ef[Zr(x)� Zr(x0)℄2g (6.16)On souhaite relier le variogramme régularisé au variogramme pon tuel. Pour e faire,on utilise la notion de varian e d'extension. Soient deux variables intégrées Y et Y 0 surles domaines V et V 0 : 8>>>><>>>>: Y (V ) = ZV p(s)Z(s)dsY 0(V 0) = ZV 0 p0(s)Z(s)ds115

Chapitre 6. Notions de géostatistiqueoù p et p0 sont des fon tions de pondération sur les domaines V et V 0 :8>>>><>>>>:

ZV p(s)ds = 1ZV 0 p0(s)ds = 1La varian e d'extension de Y à Y 0 est la varian e de l'erreur ommise en estimant Y 0par Y et onstitue une généralisation de la varian e d'estimation (voir annexe A.2). Elles'é rit :V ar[Y � Y 0℄ = 2 ZV ZV 0 p(s)p0(s0) (s� s0) ds ds0 � ZV ZV p(s)p(s0) (s� s0) ds ds0� ZV 0 ZV 0 p0(s)p0(s0) (s� s0) ds ds0 (6.17)Dans les intégrales � doubles � de la relation (6.17), s et s0 dé rivent indépendammentles domaines V et V 0, et représente le variogramme pon tuel.En prenant : � Y (V ) = Zr(x)Y 0(V 0) = Zr(x + dx)le variogramme régularisé r est égal à la moitié de la varian e d'extension de Y à Y 0 : r(dx) = ZV (x) ZV (x+dx) p(s)p(s0) (s� s0) ds ds0�12 264 ZV (x) ZV (x) p(s)p(s0) (s� s0) ds ds0+ ZV (x+dx) ZV (x+dx) p(s)p(s0) (s� s0) ds ds0375 (6.18)Si le domaine V (u) est le translaté du domaine V (0) par u et p(u) le translaté de p(0) paru, alors (6.18) se simpli�e en : r(dx) = ZV ZV p(s)p(s0) (s� s0 � dx) ds ds0� ZV ZV p(s)p(s0) (s� s0) ds ds0 (6.19)Le variogramme régularisé s'é rit don en fon tion du variogramme pon tuel et de lafon tion de pondération sur le support géométrique.116

Chapitre 7Analyse stru turale des hamps de pluieL'obje tif de ette partie est d'étudier omment les pré ipitations, et en parti ulierles pré ipitations intenses, s'organisent dans le temps et dans l'espa e. Plus pré isément,nous souhaitons mettre en éviden e et ara tériser une stru ture spatiale et temporellereprésentative des pluies intenses méditerranéennes.L'analyse stru turale de es données sera e�e tuée à l'aide de l'outil variogramme dé�nidans les paragraphes pré édents. Nous ommen erons par étudier les mesures des radarsX-Pointeur et X-RHI orrigées au hapitre 4 pour ara tériser la stru ture spatiale ettemporelle des pré ipitations à petite é helle, dans le plan verti al. Ensuite, l'analyse desmesures du réseau pluviométrique et du radar de Nîmes permettra d'étudier l'organisationdes pré ipitations à plus grande é helle et de dé rire l'intégration de ette stru ture ave l'augmentation du pas d'espa e et du pas de temps.7.1 Analyse de la stru ture à petite é helleSous le terme petite é helle, nous regroupons à la fois la résolution et le domained'étude. Comme il l'a été dé rit au hapitre 1, la résolution des mesures des radars X-Pointeur et X-RHI est de 125 m et 1 minute. Le domaine de mesure est d'environ 9 kmd'altitude pour le radar X-Pointeur et de 80 km2 pour le radar X-RHI, dans le planverti al et sur une durée totale allant de 2 heures à 5 heures. Ave le radar X-Pointeur,nous avons travaillé sur l'épisode du 07/09 dans son ensemble. Ave le radar X-RHI, nousavons travaillé sur l'épisode tronqué, du fait des pannes ayant a�e té et appareil au ours de et épisode. De plus, nous avons utilisé les mesures RHI projetées dans une grille artésienne, pour avoir un dé oupage en fon tion de l'altitude.7.1.1 Moyenne et variabilité temporellesAvant de mettre en oeuvre des outils et méthodes relativement élaborés, nous avons al ulé les valeurs moyennes des mesures et leur variabilité à travers l'é art-type à l'é helle117

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluiede l'épisode. Nous avons onsidéré que la pluie était e�e tive pour des ré�e tivités supé-rieures à 10 dBZ (environ 0.1 mm.h-1). Les al uls sont don e�e tués sur les valeurssupérieures à 10 dBZ, dans e paragraphe.Nous avons dans un premier temps al ulé la moyenne temporelle et les quantiles 10, 20,50, 80 et 90% des ré�e tivités mesurées par le radar X-Pointeur exprimées en mm6.m-3,à haque altitude. Cette appro he statistique de la variabilité en fon tion de l'altitudes'inspire du diagramme de ontours de fréquen e par altitude proposé par Yuter et Houze(1995) et repris par Steiner et al. (1995). Il est à noter que le al ul des quantiles, au ontraire de la moyenne et de l'é art-type, n'est pas in�uen é par l'unité dans laquelleest exprimée la ré�e tivité. La moyenne et les quantiles, exprimés en dBZ, sont tra éssur la �gure 7.1. La moyenne di�ère de la médiane (quantile 50%) et et é art montre lairement l'asymétrie de la distribution des ré�e tivités exprimées en mm6.m-3, pour lestrois épisodes. Cette asymétrie peut s'expliquer par le grand nombre de valeurs faibles etla plage de variation des valeurs de ré�e tivité en mm6.m-3.

médiane quant. 20% et 80%quant.10% et 90%moyenneFig. 7.1 � Quantiles de ré�e tivité en fon tion de l'altitude pour les mesures du radarX-Pointeur exprimées en mm6.m-3, pour les 3 épisodes.La moyenne temporelle des ré�e tivités exprimées en dBZ montre par ontre une dis-tribution quasiment symétrique (voir �gure 7.2).Nous avons vu au paragraphe 2.1.4.1 que le variogramme expérimental tel que nousl'avons dé�ni est peu robuste. En extrapolant la symétrie de la distribution de la ré�e ti-vité en dBZ mesurée par le radar X-Pointeur aux autres mesures radar, il nous apparaîtpréférable d'analyser les hamps de ré�e tivité en dBZ pour limiter les e�ets d'é han-tillonnage sur l'inféren e du variogramme. Tout d'abord, travailler ave les ré�e tivitésé arte le problème du hoix de la relation Z-R et des paramètres de la distribution granu-lométrique. De plus, les radars on ernés fon tionnent ave des ré epteurs logarithmiques,118

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

médiane quant. 20% et 80%quant.10% et 90%moyenneFig. 7.2 � Quantiles de ré�e tivité en fon tion de l'altitude pour les mesures du radarX-Pointeur exprimées en dBZ, pour les 3 épisodes. e qui pousse à utiliser les ré�e tivités exprimées en dBZ. Ce hoix de travailler ave laré�e tivité en dBZ a aussi été fait par Germann et Joss (2001) pour étudier la stru turespatiale des pré ipitations en région montagneuse.Cependant, la ré�e tivité di�ère de l'intensité de pluie, ar elle dépend aussi entreautres de la vitesse de hute des hydrométéores et de leurs formes. Nous supposeronstoutefois dans la suite que la stru ture spatiale et temporelle du hamp de ré�e tivité estsemblable à elle du hamp d'intensité pluvieuse.La �gure 7.2 montre par ailleurs que la variabilité globale varie d'un épisode à l'autre : ontrouve par ordre de variabilité dé roissante l'épisode du 07/09, puis le 11/09 et en�n le05/10. On remarque que la variabilité diminue ave l'altitude, en gardant à l'esprit que lenombre de valeurs supérieures au seuil diminue lui aussi ave l'altitude, e qui in�ue sansdoute sur la variabilité.La bande brillante est lairement visible pour les épisodes du 11/09 et du 05/10, etla variabilité diminue fortement au-dessus de elle- i. Pour es deux épisodes, on peutremarquer également que le PVR moyen reste à des valeurs élevées même à des altitudesimportantes (de l'ordre de 20 dBZ en moyenne à 6 km d'altitude). Ces fortes valeursmettent en éviden e les limites de la orre tion d'atténuation mise en ÷uvre, notammentdu fait du hangement d'état des hydrométéores au-dessus de la bande brillante non prisen ompte dans la paramétrisation des relations (Z,k,R).En e qui on erne les mesures du radar X-RHI, nous avons al ulé la moyenne etl'é art-type temporels en haque point de l'image RHI (plan verti al) et pour haqueépisode pluvieux (voir �gure 7.3). On remarque que les valeurs moyennes maximales de119

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.3 � RHI moyen et é art-type temporels des ré�e tivités supérieures à 10 dBZ, pourles 3 épisodes.120

7.1. Analyse de la stru ture à petite é hellel'épisode du 07/09 sont inférieures à elles du 11/09 et du 05/10, e qui pourrait paraîtreen ontradi tion ave la hiérar hisation des épisodes en fon tion des intensités et des umuls de pluie. Mais il s'agit de la moyenne temporelle et il faut noter que la variabilitéest par ontre nettement plus importante pour l'épisode du 07/09 que pour le 11/09 et le05/10.D'autre part, on onstate une diminution de la moyenne ave l'altitude semblable à elle de la moyenne des HTI. Cette diminution est là aussi plus marquée au-dessus de labande brillante bien visible pour les épisodes du 11/09 et du 05/10.L'image RHI amène une dimension supplémentaire par rapport au PVR et nous permetde onstater que la variabilité (à l'é helle de l'épisode) de la moyenne et de l'é art-typeest plus forte par rapport à la verti ale que par rapport à l'horizontale.Les artes d'é art-type nous indiquent pour haque épisode une altitude limite au-delàde laquelle la variabilité temporelle de la pluie hute : elle est d'environ 7 km pour le07/09, d'environ 4 km pour le 11/09 et 3 km pour le 05/10. Cette altitude limite est liéeà l'altitude maximum des ellules de pluie intense au ours des épisodes.7.1.2 Variogramme en fon tion de l'altitudeLes moyennes et les é arts-type temporels montrent que l'altitude in�ue sur la varia-bilité et don sur la stru ture des pré ipitations. Nous allons par onséquent regarderdans un premier temps l'évolution du variogramme temporel et spatial dans la dimensionhorizontale en fon tion de l'altitude, ave les mesures du radar X-Pointeur et les mesuresdu radar X-RHI. La résolution des radars nous permet de le faire ave un pas d'espa e de250 m et un pas de temps de 1 minute, tous les 125 m en altitude.L'existen e et le al ul du variogramme sont liés à une variable régionalisée (ou à unefon tion aléatoire) et ne sont assurés que dans la adre de l'hypothèse intrinsèque. Nousallons don dé�nir les fon tions aléatoires qui nous intéressent, ainsi que les espa es danslesquels elles prennent leurs valeurs et en�n quelles hypothèses nous avons adoptées.Nous avons onsidéré que ha un des HTI orrespondant aux épisodes était une réa-lisation unique d'une fon tion aléatoire qui prend ses valeurs dans un espa e à deuxdimensions qui sont l'altitude et le temps. Nous sommes don dans un ontexte de mono-réalisation pour le variogramme temporel, e qui implique l'adoption de l'hypothèse d'er-godi ité.Par ontre, nous avons supposé que haque mesure RHI était une réalisation d'uneseule fon tion aléatoire, qui prend ses valeurs dans l'espa e à deux dimensions que onsti-tue le plan verti al de mesure du radar X-RHI. Nous sommes don dans un ontexte demulti-réalisations pour le variogramme horizontal.Ensuite, nous avons supposé que les volumes de résolution des deux radars étaient suf-�samment petits par rapport aux é helles de variation des pré ipitations pour onsidérerdes fon tions aléatoires à support pon tuel.En�n, nous avons supposé que la dérive (temporelle ou spatiale) pour une altitude �xée121

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluieétait peu signi� ative.Nous avons utilisé deux seuils pour les mesures de ré�e tivité : un seuil � bas � à10 dBZ (environ 0.1 mm.h-1) et un seuil � haut � à 35 dBZ (environ 5.5 mm.h-1). Leseuil bas (10 dBZ) orrespond à la valeur de ré�e tivité minimale que nous avons �xée omme limite pour une pluie e�e tive. Le seuil bas permet don de travailler ave toutela zone pluvieuse. Nous avons ensuite utilisé un seuil haut a�n d'étudier spé i�quementla stru ture des pré ipitations plus intenses. La valeur de e seuil haut a été hoisie demanière à faire ressortir ette stru ture dans les di�érentes mesures des di�érents radars.On peut distinguer deux niveaux de variabilité lorsque l'on travaille ave des valeursseuillées : l'intermitten e et la variabilité en soi (Gelbert-Baran ourt 1990). L'intermit-ten e orrespond à la variabilité de la transition d'une valeur inférieure à une valeursupérieure au seuil dans le domaine d'étude ou inversément à ause de la symétrie. Lavariabilité en soi orrespond à la variabilité du phénomène étudié à l'intérieur des zonesde valeurs supérieures au seuil.Pour étudier l'intermitten e, nous avons hoisi d'utiliser la fon tion indi atri e propo-sée par Journel (1983) et appliquée aux hamps de pluie par Baran ourt et al. (1992). Enun point donné, ette fon tion prend la valeur 1 si la fon tion aléatoire est supérieure auseuil �xé et prend la valeur 0 sinon. Le variogramme al ulé sur ette fon tion indi atri edonne la probabilité de transition d'une zone de valeurs inférieures à une zone de valeurssupérieures au seuil, ou l'inverse ar ette formulation est symétrique (Journel 1983). Levariogramme de l'indi atri e re�ète don la forme et la répartition dans le domaine d'étudedes zones de valeurs supérieures (ou inférieures) au seuil hoisi.La variabilité en soi est analysée en al ulant le variogramme des valeurs supérieuresau seuil (appelé variogramme des mesures dans la suite) et il faut noter que les valeursinférieures au seuil ne sont pas prises en ompte. On s'intéresse à la variabilité du pro es-sus étudié au sein des zones de valeurs supérieures au seuil �xé.Nous avons hoisi de limiter l'analyse à une altitude de 5 km ar au-delà le nombrede points disponibles pour l'inféren e du variogramme est faible. L'e�et d'é hantillonnagea�e tant le variogramme expérimental des mesures est alors trop important, notammentpour les épisodes du 11/09 et du 05/10. Pour fa iliter la visualisation des ara téristiquesdu variogramme, elui- i a été extrait à 1, 2, 3 et 4 km d'altitude et tra é en fon tion dela distan e. Lorsque l'évènement pluvieux omporte une bande brillante, le variogrammea été extrait en plus à l'altitude moyenne de la bande brillante (environ 3.5 km pour l'épi-sode du 11/09 et 2.5 km pour le 05/10). Cependant, pour ne pas sur harger e mémoire,nous présenterons le variogramme de l'indi atri e et des mesures sur les mêmes �gures.De plus, les variogrammes extraits ne seront présentés que pour l'épisode du 07/09. Pourles épisodes du 11/09 et du 05/10, nous présenterons seulement le variogramme de l'indi- atri e et des mesures en fon tion de l'altitude.

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7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle7.1.2.1 Seuil basVariogramme temporelLa �gure 7.4 montre les HTI X-Pointeur pour un seuil à 10 dBZ. Pour l'épisode du05/10 et dans une moindre mesure pour elui du 11/09, la ré�e tivité est supérieure à10 dBZ jusqu'à 4 km d'altitude. L'indi atri e n'est don pas très informative dans ettezone d'altitude pour es deux épisodes. Par ontre, le nombre de transitions au ours desépisodes du 07/09 est su�sant pour que le variogramme de l'indi atri e soit signi� atif.

Fig. 7.4 � HTI X-Pointeur pour les 3 épisodes et pour un seuil à 10 dBZ.La �gure 7.5 présente le variogramme temporel de l'indi atri e et des mesures à haquealtitude al ulé ave les mesures du radar X-Pointeur seuillées à 10 dBZ, ainsi que les va-riogrammes temporels extraits aux altitudes données pré édemment. La �gure 7.6 ne pré-sente que le variogramme temporel de l'indi atri e et des mesures en fon tion de l'altitude,pour les épisodes du 11/09 et du 05/10.L'uniformité de l'indi atri e pour l'épisode du 05/10 génère un variogramme quasimentnul jusqu'à 3.5 km d'altitude. Le variogramme de l'indi atri e montre plus de transitionspour l'épisode du 07/09 que pour le 11/09. On onstate pour es deux épisodes unediminution du variogramme de l'indi atri e sous 1 km d'altitude, e qui montre une ho-mogénéisation dans les basses ou hes. De même, la signature de la bande brillante enterme d'indi atri e est une diminution du variogramme à l'altitude de elle- i.Le variogramme des mesures quant à lui n'est pas soumis aux mêmes limitations aril est al ulé sur les valeurs elles-mêmes. Par ontre, le nombre de points de al ul estmoindre et le variogramme des mesures apparaît moins lisse que elui de l'indi atri e.123

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.5 � Variogramme temporel de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) enfon tion de l'altitude pour l'épisode du 07/09 et variogrammes extraits aux altitudes 1,2, 3 et 4 km, pour un seuil à 10 dBZ.

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7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.6 � Variogramme temporel de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) enfon tion de l'altitude pour les épisodes du 11/09 et du 05/10, pour un seuil à 10 dBZ.

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Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluieComme le montrent les artes d'é arts-type, la variabilité (à travers le variogrammedes mesures) de l'épisode du 07/09 est globalement plus élevée que elle du 11/09 et du05/10. On retrouve aussi la strati� ation par rapport à l'altitude, ave une variabilité as-sez homogène sous la bande brillante puis une diminution très forte au-dessus. La bandebrillante est entourée de deux bandes de fortes variabilités (surtout visible pour le 05/10),qui sont sans doute dues aux variations d'altitude de elle- i.Pour déterminer la portée, nous avons privilégié le omportement au voisinage del'origine, où le variogramme expérimental est le plus semblable au variogramme ( f para-graphe 3.1.4.1). Le tableau 7.1 regroupe les portées (en minute) obtenues aux altitudesd'extra tion (voir �gure 7.5) du variogramme de l'indi atri e et des mesures.Variogramme PPPPPPPPPPDate Alt.(km) 1 2 2.5 3 3.5 4Indi atri e 07/0911/0905/10 66� 46� ��� 44� �6� 477Mesure 07/0911/0905/10 696 586 ��5 475 �7� 466Tab. 7.1 � Portées temporelles en minutes à di�érentes altitudes, à partir du variogrammetemporel de l'indi atri e et des mesures, pour un seuil à 10 dBZ. Le signe � � � signi�eque la portée n'a pas été al ulée et le signe� � � que la portée n'a pas pu être identi�ée.Les portées temporelles sont omprises entre 4 et 7 minutes pour le variogramme del'indi atri e et entre 4 et 9 minutes pour le variogrammme des mesures. Les portées tem-porelles du variogramme de l'indi atri e et des mesures sont du même ordre de grandeurpour l'épisode du 07/09. Les portées du variogramme des mesures sont par ontre plusgrandes pour les épisodes du 11/09 et du 05/10, mais il faut se souvenir que l'indi atri eest peu représentative de la stru ture pour un seuil à 10 dBZ pour es deux épisodes.On peut remarquer d'autre part que les portées du variogramme des mesures sont plusgrandes pour les épisodes du 11/09 et du 05/10 que pour le 07/09. En�n, la portée tem-porelle des deux types de variogramme diminue ave l'altitude.Variogramme spatialLa �gure 7.7 présente le variogramme spatial de l'indi atri e et des mesures pour haque altitude et les variogrammes extraits pour l'épisode du 07/09, al ulés à partir desdonnées du radar X-RHI. La �gure 7.8 présente le variogramme spatial de l'indi atri e etdes mesures pour haque altitude pour les épisodes du 11/09 et du 05/10.126

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.7 � Variogramme spatial de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pour haque altitude pour l'épisode du 07/09 et variogammes extraits aux altitudes 1, 2, 3 et4 km, pour un seuil à 10 dBZ.

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Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.8 � Variogramme spatial de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pour haque altitude pour les épisodes du 11/09 et du 05/10, pour un seuil à 10 dBZ.Le même problème d'homogénéité des valeurs se pose pour l'épisode du 05/10 et en-traîne que le variogramme spatial de l'indi atri e est quasiment nul jusqu'à une altitudede 3.5 km environ.Les variations du variogramme spatial (de l'indi atri e et des mesures) sont plus ré-gulières que elles du variogramme temporel, mais les deux sont pro hes. On retrouveune organisation similaire : strati� ation en fon tion de l'altitude et in�uen e de la bandebrillante.Le tableau 7.2 regroupe les portées (en km) obtenues aux altitudes d'extra tion duvariogramme de l'indi atri e et des mesures.Les portées spatiales sont omprises entre 4 et 7 km pour le variogramme de l'indi atri eet entre 3.5 et 8 km, pour un seuil à 10 dBZ. Elles sont les plus grandes pour l'épisode du11/09. Comme pour les portées temporelles, on observe une diminution ave l'altitude.Le rapport portée spatiale sur portée temporelle est lié pour partie à la vitesse dedépla ement des pré ipitations dans le plan de mesure RHI. Les valeurs de e rapportsont globalement ohérentes ave les vitesses moyennes de dépla ement, déterminées àpartir des animations des mesures du radar RHI et qui sont de l'ordre de 50 km.h-1(0.8 km.min-1). 128

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helleVariogramme PPPPPPPPPPDate Alt.(km) 1 2 2.5 3 3.5 4Indi atri e 07/0911/0905/10 6�� 47� ��� 46� �5� 444Mesure 07/0911/0905/10 6.586 686 ��5 46.56 �6� 3.554Tab. 7.2 � Portées spatiales en km à di�érentes altitudes, à partir du variogramme spatialde l'indi atri e et des mesures, pour un seuil à 10 dBZ. Le signe � � � signi�e que laportée n'a pas été al ulée et le signe� � � que la portée n'a pas pu être identi�ée.7.1.2.2 Seuil hautVariogramme temporelLe seuil a été dé�ni de manière à faire ressortir les stru tures de la pluie qui nousintéressent. L'indi atri e pour e seuil joue alors pleinement son r�le dans l'estimation dela forme et de la répartition des zones de valeurs supérieures au seuil.La �gure 7.9 montre les HTI X-Pointeur pour un seuil à 35 dBZ. L'épisode du 5/10montre à nouveau une zone très homogène et supérieure à 35 dBZ, sous une altitude de1 km environ.

Fig. 7.9 � HTI X-Pointeur pour les 3 épisodes et pour un seuil à 35 dBZ.De la même manière que pré édemment, la �gure 7.10 présente le variogramme tem-129

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluieporel de l'indi atri e et des mesures pour haque altitude et les variogrammes temporelsextraits pour l'épisode du 07/09. La �gure 7.11 présente le variogramme temporel de l'in-di atri e et des mesures pour haque altitude pour les épisodes du 11/09 et du 05/10.

Fig. 7.10 � Variogramme temporel de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite)pour haque altitude pour l'épisode du 07/09 et variogrammes extraits aux altitudes 1,2, 3 et 4 km, pour un seuil à 35 dBZ.La strati� ation en fon tion de l'altitude du variogramme de l'indi atri e se révèle plus lairement que pour un seuil à 10 dBZ. Une altitude maximale apparaît pour la présen ede pré ipitation signi� ative (supérieure à 35 dBZ) : environ 4 km pour le 07/09, 3.5 kmpour le 11/09 et 2.5 km pour le 05/10. Il faut noter que ette altitude est elle de la bandebrillante pour les deux derniers épisodes. Par ailleurs, la signature de la bande brillanteressort nettement pour les épisodes du 11/09 et du 05/10. Pour l'épisode du 05/10, levariogramme de l'indi atri e sous l'altitude 1km montre l'homogénéité de la ré�e tivitédans ette zone. En�n, il ne semble pas que l'on retrouve l'homogénéisation dans les basses ou hes observée pour un seuil à 10 dBZ. 130

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.11 � Variogramme temporel de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite)pour haque altitude pour les épisodes du 11/09 et du 05/10, pour un seuil à 35 dBZ.

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Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluieL'utilisation d'un seuil plus élevé réduit signi� ativement le nombre de points de al- uls du variogramme des mesures et les e�ets d'é hantillonnage sont plus sensibles. Unealtitude maximale apparaît aussi pour le variogramme des mesures. Elle est plus basse etest moins signi� ative que elle du variogramme de l'indi atri e ar le nombre de pointslimité engendre un e�et d'é hantillonage très important.Le tableau 7.3 regroupe les portées obtenues aux altitudes d'extra tion du variogrammede l'indi atri e et des mesures.Variogramme PPPPPPPPPPDate Alt.(km) 1 2 2.5 3 3.5 4Indi atri e 07/0911/0905/10 67� 563.5 ��3 45� �4� 2.5��Mesure 07/0911/0905/10 442.5 432 ��1.5 3�� ��� ���Tab. 7.3 � Portées temporelles en minutes à di�érentes altitudes, à partir du variogrammetemporel de l'indi atri e et des mesures, pour un seuil à 35 dBZ. Le signe � � � signi�eque la portée n'a pas été al ulée et le signe� � � que la portée n'a pas pu être identi�ée.Les portées temporelles sont omprises entre 2.5 et 7 minutes pour le variogramme del'indi atri e et sont supérieures à elles du variogramme des mesures, omprises entre 1.5et 4 minutes.Les portées temporelles, plus petites que pour seuil à 10 dBZ, diminuent aussi ave l'altitude. C'est pour l'épisode du 07/09 que les portées (temporelles et spatiales) sont lesplus grandes.Variogramme spatialLa �gure 7.12 présente le variogramme spatial de l'indi atri e et des mesures pour haque altitude et les variogrammes extraits pour l'épisode du 07/09. La �gure 7.13 pré-sente le variogramme spatial de l'indi atri e et des mesures pour haque altitude pour lesépisodes du 11/09 et du 05/10.De la même manière que pour le variogramme temporel, e seuil élevé augmente lese�ets d'é hantillonnage pour le variogramme des mesures. L'altitude maximale est supé-rieure à 5 km pour l'épisode du 07/09, 4 km pour le 11/09 et 3 km pour le 05/10. Cesvaleurs sont supérieures à elles obtenues pour le variogramme temporel ar nous sommesdans un ontexte de multi-réalisations ave les mesures du radar X-RHI.On retrouve pour e seuil élevé une bonne similarité entre le variogramme spatial et le132

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.12 � Variogramme spatial de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pour haque altitude pour l'épisode du 07/09 et variogrammes extraits aux altitudes 1,2,3 et4 km, pour un seuil à 35 dBZ.

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Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.13 � Variogramme spatial de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pour haque altitude pour les épisodes du 11/09 et du 05/10, pour un seuil à 35 dBZ.

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7.1. Analyse de la stru ture à petite é hellevariogramme temporel.Le tableau 7.4 regroupe les portées (en km) obtenues aux altitudes d'extra tion duvariogramme de l'indi atri e et des mesures.Variogramme PPPPPPPPPPDate Alt.(km) 1 2 2.5 3 3.5 4Indi atri e 07/0911/0905/10 533 532 ��1.5 42.5� �2� 3.5��Mesure 07/0911/0905/10 32.53 322.5 ��2 2.51.5� ��� 2.5��Tab. 7.4 � Portées spatiales en km à di�érentes altitudes, à partir du variogramme spatialde l'indi atri e et des mesures, pour un seuil à 35 dBZ. Le signe � � � signi�e que laportée n'a pas été al ulée et le signe� � � que la portée n'a pas pu être identi�ée.La portée spatiale est omprise entre 1.5 et 5 km pour le variogramme de l'indi atri eet entre 1.5 et 3 km pour le variogramme des mesures. La portée spatiale du variogrammede l'indi atri e est plus grande que elle du variogramme des mesures. Les portées les plusgrandes sont pour l'épisode du 07/09. Le rapport portée spatiale sur portée temporellereste ohérent ave les vitesses moyennes de dépla ement.L'analyse stru turale des mesures des radars X-Pointeur et X-RHI en fon tion de l'al-titude, qui s'appuie notamment sur les variogrammes de l'indi atri e et des mesures, apermis de montrer que la variabilité des pré ipitations diminue ave l'altitude et forte-ment au-dessus de la bande brillante lorsqu'elle existe. De même, les portées temporelleset spatiales diminuent ave l'altitude. L'existen e d'une bande brillante ne modi�e passigni� ativement la portée spatiale ou temporelle, mais la variabilité augmente sensible-ment en-dessous et au-desus de la bande brillante du fait de ses �u tuations d'altitude.Si l'on ne s'intéresse qu'aux zones de forte ré�e tivité (supérieure à 35 dBZ), le ompor-tement reste semblable, ave une diminution des portées.Mais le variogramme al ulé pour une altitude donnée ne permet pas de ara tériserl'organisation de la pluie dans le plan verti al en deux dimensions.7.1.3 Variogramme en deux dimensions dans le plan verti alPour étudier la stru ture des pré ipitations dans le plan verti al, nous allons utiliser levariogramme en deux dimensions (variogramme 2D dans la suite) de l'indi atri e et desmesures du radar X-RHI, ave les deux seuils à 10 et 35 dBZ. Les hypothèses sont lesmêmes que pré édemment, mais la dé roissan e des pré ipitations ave l'altitude induit135

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluieune dérive � verti ale � (voir �gure 7.2). Nous avons toutefois supposé que ette dériveétait peu sensible jusqu'à des inter-distan es de l'ordre de 2 km, e qui revient à supposerque la fon tion aléatoire véri�e l'hypothèse intrinsèque lo alement. Nous avons don res-treint le al ul du variogramme 2D à des distan es verti ales de 2 km au maximum. Nousavons onstaté par la suite qu'une distan e horizontale maximum de 5 km était adaptéepour la représentation du variogramme 2D, et il sera don donné pour une fenêtre de -5à +5 km en horizontal et de -2 à +2 km en verti al.Dans la suite, les angles des dire tions d'anisotropie seront exprimés en degré parrapport à la verti ale et dans le sens anti-trigonométrique.7.1.3.1 Seuil basLe seuil bas est à 10 dBZ omme pré édemment et permet de prendre en ompte lapluie dans son ensemble. La �gure 7.14 montre le variogramme 2D de l'indi atri e pourles trois épisodes.Le variogramme 2D de l'indi atri e est anisotrope. La dire tion dans laquelle la varia-bilité est moindre sera désignée par dire tion prin ipale de l'anisotropie dans la suite.10 dBZ est un seuil bas et tout le domaine d'étude (l'image RHI) est globalement supé-rieure à e seuil au-dessous d'une ertaine altitude, qui varie pour les trois épisodes. Cetteorganisation en fon tion de l'altitude donne ette orientation horizontale à l'anisotropie.Les variogrammes 1D extraits dans la dire tion prin ipale de l'anisotropie présententun e�et de pépite signi� atif pour les trois épisodes et roissant du 07/09 au 05/10. Ce omportement pépitique du variogramme est lié au fait que le domaine d'étude (l'imageRHI) est quasiment uniformément supérieure au seuil 10 dBZ au-dessous d'une ertainealtitude, qui varie pour les trois épisodes. Les transitions se font prin ipalement à ettealtitude limite, e qui donne ette orientation horizontale à l'anisotropie.La �gure 7.15 montre le variogramme 2D des mesures pour les trois épisodes. On peutremarquer que ontrairement au variogramme 2D de l'indi atri e, il n'y a plus d'e�et depépite à l'origine pour les trois épisodes.Le variogramme 2D des mesures montre pour l'épisode du 07/09 une dire tion prin ipalede l'anisotropie qui fait un angle de -42Æ, di�érente de elle donnée par le variogramme2D de l'indi atri e qui est horizontale.Le variogramme 2D des mesures pour les épisodes 11/09 et 05/10 montre une dire tionprin ipale pour l'anisotropie semblable à elle donnée par le variogramme 2D de l'indi- atri e. La stru ture spatiale dominante semble être la bande brillante. Pour véri�er que ette hypothèse est orre te, nous avons limité le al ul du variogramme 2D à la zoned'environ 2 km d'altitude située sous la bande brillante pour les deux épisodes du 11/09et du 05/10. Le variogramme 2D de l'indi atri e ne donne au une information pour ettezone ar les valeurs sont quasiment toutes supérieures à 10 dBZ. Nous ne présentons don que les variogrammes 2D des mesures (�gure 7.16).136

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.14 � Variogramme 2D de l'indi atri e pour les 3 épisodes, pour un seuil à 10 dBZ.137

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.15 � Variogramme 2D des mesures et variogrammes 1D extraits, pour les 3 épisodes,pour un seuil à 10 dBZ.138

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.16 � Variogramme 2D des mesures sous la bande brillante, pour un seuil à 10 dBZ.

139

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluieCes variogrammes montrent que l'orientation de l'anisotropie se redresse. Pour l'épi-sode du 11/09, elle reste toutefois pro he de l'horizontale (-72Æ). Pour l'épisode du 05/10,l'orientation est de -54Æ et devient omparable à elle de l'épisode du 07/09 (-42Æ). C'estdon bien la bande brillante qui onditionne la stru ture spatiale dans le plan verti alpour les épisodes du 11/09 et du 05/10.Le tableau 7.5 regroupe les dire tions prin ipales de l'anisotropie pour le variogramme2D de l'indi atri e et des mesures, pour un seuil à 10 dBZ.Date 07/09/1998 11/09/1998 05/10/1998Indi atri e -90 -83 -90Mesure -42 -83 (-72) -90 (-54)Tab. 7.5 � Dire tions prin ipales de l'anisotropie du variogramme 2D de l'indi atri e etdes mesures pour un seuil de 10 dBZ, pour les 3 épisodes. On trouve entre parenthèses ladire tion prin ipale sous la bande brillante.Du fait des dimensions réduites de la fenêtre d'analyse du variogramme 2D (4x5x2 km2),les variogrammes 1D extraits dans ha une des dire tions prin ipales ne permettent pasd'identi�er les portées. Il faut noter que le variogramme 1D horizontal extrait du vario-gramme 2D orrespond à une moyenne du variogramme spatial 1D par altitude présentéau paragraphe 3.2.1.2.Le variogramme 2D de l'indi atri e montre que la ré�e tivité est uniformément supé-rieure au seuil de 10 dBZ jusqu'à une altitude limite, au-dessus de laquelle les pré ipita-tions diminuent rapidement. Le variogramme 2D al ulé sur les valeurs seuillées à 10 dBZmontre que la stru ture de la pluie sous ette altitude limite est anisotrope. Pour unseuil bas, les épisodes présentant une bande brillante montre une stru ture globalementhorizontale, in�uen ée par la zone de hangement d'état des hydrométéores (qui engendrela bande brillante). Mais la stru ture sous la bande brillante est plus verti ale et devient omparable à elle d'un épisode plus onve tif omme elui du 07/09.7.1.3.2 Seuil hautLe seuil à 35 dBZ va nous permettre d'étudier plus spé i�quement les stru tures despré ipitations plus intenses. La �gure 7.17 présente le variogramme 2D de l'indi atri eave un seuil à 35 dBZ, pour les trois épisodes.On remarque que le variogramme 2D de l'indi atri e montre une anisotropie marquéeet di�érente pour les trois épisodes pour un seuil à 35 dBZ. L'orientation globale deszones de fortes ré�e tivités est de -47Æ pour l'épisode du 07/09, de -70Æ pour le 11/09et toujours horizontale (-90Æ) pour le 05/10. Nous avons pro édé omme pré édemmentpour analyser l'in�uen e de la bande brillante, en restreignant le al ul du variogramme140

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.17 � Variogramme 2D de l'indi atri e pour les 3 épisodes, pour un seuil à 35 dBZ.141

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie2D de l'indi atri e à une zone de 2 km d'altitude située sous la bande brillante pour lesépisodes du 11/09 et du 05/10. Il est présenté dans la �gure 7.18. On onstate, omme

Fig. 7.18 � Variogramme 2D de l'indi atri e sous la bande brillante pour un seuil à35 dBZ.pour le seuil à 10 dBZ, que l'in linaison de l'anisotropie se redresse pour atteindre -66Æpour l'épisode du 11/09 et -49Æ pour le 05/10. Pour un seuil à 35 dBZ, la bande brillantein�ue toujours sur la stru ture des pré ipitations.Une fois la répartition et la forme des zones de forte ré�e tivité déterminée, nous pou-vons analyser la variabilité en soi des pré ipitations supérieures à 35 dBZ. La �gure 7.19présente le variogramme 2D des mesures RHI pour un seuil à 35 dBZ, pour les troisépisodes.Pour l'épisode du 05/10, l'orientation de l'anisotropie (+71Æ) est très di�érente de elledu variogramme 2D de l'indi atri e. Elle est engendrée par une ellule onve tive intense(sans doute générée par le relief de Marseilleveyre) qui apparaît pendant une vingtainede minutes dans les mesures RHI et qui a une in linaison pro he de +70Æ. La �gure 7.20présente une image RHI ara téristique de ette ellule.Pour les épisodes du 07/09 et du 11/09, on retrouve une anisotropie pro he de elle duvariogramme de l'indi atri e. Les variogrammes 2D de l'indi atri e et des mesures révèlentune orientation des stru tures spatiales semblable pour un seuil à 35 dBZ.142

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.19 � Variogramme 2D pour les 3 épisodes, pour un seuil à 35 dBZ.143

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.20 � Bande brillante (2.5 km d'altitude) et ellule onve tive (à environ 15 km duradar) au ours de l'épisode du 05/10.Pour déterminer la stru ture moyenne des ellules de pluie intense sous la bandebrillante, nous avons aussi al ulé le variogramme 2D dans la zone de 2 km d'altitudesituée sous la bande brillante, pour les épisodes du 11/09 et du 05/10 (voir �gure 7.21).On retrouve une stru ture équivalente à elle donnée par le variogramme 2D pour un seuilà 10 dBZ. Les dire tions prin ipales sont de -68Æ pour l'épisode du 11/09 et de -45Æ pourle 05/10. La ellule onve tive intense n'in�uen e plus le variogramme 2D sous la bandebrillante.Le tableau 7.6 regroupe les dire tions prin ipales de l'anisotropie du variogramme 2Dde l'indi atri e et des mesures pour les trois épisodes et pour un seuil à 35 dBZ.Date 07/09/1998 11/09/1998 05/10/1998Indi atri e -47 -70 (-66) -90 (-49)Mesure -60 -73 (-68) +71 (-45)Tab. 7.6 � Dire tions prin ipales de l'anisotropie du variogramme 2D de l'indi atri e etdes mesures pour un seuil à 35 dBZ, pour les 3 épisodes. On trouve entre parenthèses ladire tion prin ipale sous la bande brillante.L'analyse du variogramme 2D de l'indi atri e et des mesures du radar X-RHI pour unseuil à 35 dBZ a permis d'estimer l'orientation moyenne de la stru ture des pré ipitationsintenses, qui est plus marquée et plus verti ale que pour un seuil à 10 dBZ.144

7.1. Analyse de la stru ture à petite é helle

Fig. 7.21 � Variogramme 2D sous la bande brillante pour un seuil à 35 dBZ.

145

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie7.2 La ellule génératri e de pluieL'analyse des mesures haute résolution des deux radars lo aux ave un seuil à 35 dBZmet en éviden e une ertaine stru ture dans le plan verti al pour les pré ipitations rela-tivement intenses. Toutes es informations stru turales peuvent être regroupées dans unmodèle simple de ellule de pluie.7.2.1 Formes ara téristiques des pré ipitations dans le plan ver-ti alNous nous intéressons à la forme, il faut don prendre en ompte les informations don-nées par l'analyse du variogramme de l'indi atri e.La dire tion prin ipale de l'anisotropie du variogramme 2D de l'indi atri e donnel'orientation moyenne (pour haque épisode) de la stru ture et ses valeurs sont regroupéesdans le tableau 7.6. Pour voir l'évolution de l'orientation en fon tion de l'altitude, le va-riogramme 2D de l'indi atri e a été al ulé pour les tran hes d'altitude de 1 km, entre 0.5et 4.5 km (voir �gure 7.22). Les variogrammes 2D montrent lairement que l'orientationse rappro he de la verti ale lorsque l'altitude augmente. On peut aussi remarquer quel'orientation hange brusquement lorsque l'on passe au-dessus de la bande brillante pourles épisodes du 11/06 et du 05/10.La portée du variogramme 1D de l'indi atri e à une ertaine altitude donne une dis-tan e horizontale ara téristique de la stru ture, qui dépend de la taille moyenne des ellules mais aussi de l'interdistan e moyenne entre deux ellules, et dé�nit e que l'onpourrait appeler la � zone d'in�uen e de la ellule �.L'altitude maximale de variation du variogramme 1D de l'indi atri e fournit un ordrede grandeur de l'altitude maximale moyenne atteinte par les pré ipitations. Pour les épi-sodes du 11/09 et du 05/10 qui présentent une bande brillante, l'altitude maximale despré ipitations est elle de la bande brillante.La �gure 7.23 résume l'ensemble des ara téristiques spatiales obtenues, pour les troisépisodes.7.2.2 Modèle de la ellule génératri e de pluieCe modèle a été proposé par Marshall et Hits hfeld (1953) et Gunn et Marshall (1955),puis repris notamment par Wexler et Atlas (1959) et Fabry (1993). On onsidère une el-lule qui produit des gouttes de pluie suivant une ertaine distribution granulométrique.Lorsque ette ellule est adve tée à une altitude onstante, on montre (Marshall et Hits h-feld 1953 ; Fabry 1993) qu'il se forme une queue de pré ipitation dont la ourbure dépenddes variations du rapport entre la vitesse horizontale et la vitesse de hute, en fon tionde l'altitude (voir �gure 7.24). En prenant l'altitude du noyau générateur omme origine146

7.2. La ellule génératri e de pluie4 km

3 km

2 km

1 km

4 km

3 km

2 km

1 km

4 km

3 km

2 km

1 kmFig. 7.22 � Variogamme 2D de l'indi atri e par tran he d'altitude de 1 km, pour lesépisodes du 07/09, 11/09 et 05/10. L'axe pointillé blan représente l'orientation.147

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

5 km

4 km

3.5 km

5 km

−47°

h=4 km

−66°

2 km

2.5 km

3 km

3 km

h=3.5 km

−49°

2 km

h=2.5 km

1.5 km

3 km

Fig. 7.23 � In linaison, distan e et altitude maximale ara téristiques pour les trois épi-sodes.

148

7.2. La ellule génératri e de pluieu

Fig. 7.24 � Cellule génératri e de pluie adve tée à une altitude onstante et pré ipitationsasso iées. Le ve teur u représente la vitesse horizontale par rapport au sol, à l'altitude onsidérée. Les traits pointillés forts �gurent les grosses gouttes, les traits pointillées �nsles petites.de l'axe des ordonnées (orienté vers le bas), on peut é rire :� dx = u dtdz = v dt ) dxdz = uvLa traje toire d'une goutte s'é rit don :x(z1)� x(z0) = z1Z0 u(z)v(z) dz (7.1)En supposant la vitesse de hute v onstante et le gradient de vitesse horizontale dudz = a onstant, alors on montre (Marshall et Hits hfeld 1953) que l'équation de la traje toired'une goutte est une parabole et s'é rit :x(z1)� x(z0) = a2v z21 (7.2)Il s'opère un tri granulométrique du fait des vitesses de hute di�érentes suivant lediamètre des gouttes de pluie (Sauvageot et Ko� 2000). On trouvera don les gouttes deplus grands diamètres avant les autres. Dans la suite, le terme ellule génératri e de pluiedésignera le noyau générateur proprement dit et la queue de pré ipitation asso iée.Cette modélisation de la stru ture des pré ipitations est tout à fait ohérente ave les ara téristiques stru turales montrées dans la �gure 7.23. On retrouve en e�et une formesimilaire, ave une in linaison dans le sens de l'adve tion des ellules dans le plan de mesureRHI et une ourbure de la queue de pré ipitation. Par ailleurs, les mesures du pointeurverti al à très haute résolution montrent le tri granulométrique, si l'on suppose que les ellules génératri es restent relativement uniformes dans le temps (voir �gure 7.40). Il faut149

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluiese souvenir que les stru tures présentées dans la �gure 7.23 orrespondent à une enveloppemaximum entrée sur la ellule génératri e. La �gure 7.25 présente un exemple de ellulegénératri e de pluie mesurée par le radar X-RHI. Toutes es onstatations montrent lavraisemblan e du modèle hoisi.

Fig. 7.25 � Exemple de ellule génératri e de pluie (entre 10 et 15 km par rapport auradar) mesurée par le radar X-RHI, au ours de l'épisode du 11/09.7.3 Analyse de la stru ture à grande é helleL'analyse stru turale des mesures des radars X-Pointeur et X-RHI a mis en éviden eune organisation spatiale et temporelle ara téristique des pré ipitations dans le planverti al. Nous allons maintenant étudier la stru ture des pré ipitations à une é helle plusgrande et véri�er qu'elle résulte de l'intégration spatiale et temporelle du modèle de ellulegénératri e de pluie adoptée pour la stru ture à petite é helle. Nous disposons pour elades mesures du réseau de pluviomètres et des mesures du radar de Nîmes, que nous allonsanalyser en utilisant à nouveau le variogramme.7.3.1 Mesures du réseau de pluviomètresNous ommen erons par étudier la moyenne et la variabilité des mesures des pluvio-mètres, puis nous ara tériserons la stru ture spatiale des hamps de pluie vue par leréseau de pluviomètres, en utilisant le variogramme.150

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helle7.3.1.1 Moyenne et variabilitéLe réseau pluviométrique totalise 25 pluviomètres, répartis irrégulièrement sur la zoned'étude (voir �gure 2.2). Ces pluviomètres umulent la pluie sur une durée de 6 minutesave une pré ision de 0.2 mm (bas ulement de l'auget). Les artes de umul de pluie pourles trois épisodes sont présentées au hapitre 2 dans la �gure 2.5. Elles ont été obtenuesen krigeant ( f annexe A) les mesures pon tuelles. La �gure 7.26 présente la variabilitétemporelle en quelques pluviomètres que l'on pense représentatifs, pour la durée totale de haque épisode.

07/09/1998 05/10/199811/09/1998

Vernet

Luminy

Chaillan

La Valentine

+ quant. 10 et 90%médianemoyenneFig. 7.26 � Moyenne, médiane et quantiles 10 et 90% des mesures (en mm.h-1) des plu-viomètres de Chaillan, La Valentine, Vernet et Luminy, pour les 3 épisodes pluvieux.A�n d'étudier l'in�uen e de la durée du pas de temps sur la détermination de la stru -ture des pré ipitations, les mesures des pluviomètres ont été intégrées sur une durée de 6,18 et 30 minutes.La distribution des mesures de umul sur 6 minutes présente une ertaine asymétrie,plus marquée lorsque la plage de variation est grande. Si l'on admet que les quatre plu-viomètres hoisis sont représentatifs de l'ensemble des pluviomètres et que la distributiondes mesures reste similaire ave l'intégration temporelle, il apparaît que l'inféren e duvariogramme expérimental sera biaisée par les fortes valeurs d'intensité (ou de umul).Mais les pluviomètres ont l'avantage de réaliser une mesure dire te des pré ipitations etpermettent ainsi une analyse dire te des hamps de pré ipitations.7.3.1.2 Analyse stru turale des mesures pluviométriquesNous avons onsidéré que haque mesure pluviométrique était la réalisation d'une seulefon tion aléatoire à support pon tuel. Nous sommes don dans un ontexte de multi-réalisations, ave un domaine d'étude de l'ordre de 1000 km2. Nous avons supposé de plus151

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluieque l'hypothèse intrinsèque était lo alement véri�ée.Le nombre de pluviomètres est trop faible pour pouvoir al uler un variogramme 2D.Nous avons don al ulé un variogramme 1D moyen sur toute la zone, e qui revientà négliger une éventuelle anisotropie. Le seuil de déte tion des pluviomètres est de 2mm.h-1 soit environ 30 dBZ, e qui orrespond au seuil haut utilisé pré édemment pourles mesures radar. La �gure 7.27 présente les variogrammes 1D inférés à partir des mesuresdes pluviomètres en mm.h-1 sur la durée d'intégration.

Fig. 7.27 � Variogramme 1D des mesures pluviométriques pour les 3 durées d'intégrationtemporelle (lignes) et pour les 3 épisodes ( olonnes).Le tableau 7.7 donne les portées identi�ées sur es variogrammes.XXXXXXXXXXXXXDate Durée int. 06 min 18 min 30 min07/09/1998 11 15 �11/09/1998 12 17 �05/10/1998 5 5 6Tab. 7.7 � Portées spatiales (en km) des variogrammes des mesures pluviométriques pourles 3 durées d'intégration temporelle et les 3 épisodes. Le signe � � � signi�e que nousn'avons pas pu identi�er de portée.Lebel et al. (1987) ont proposé la relation p = 25 t0:3, pour lier la portée p (en km)et le pas de temps t (en heure). Elle a été obtenue sur la zone des Cévennes, pour despas de temps allant de 1 h à 24 h. Ave ette formule, on obtient des portées de 12.5,152

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helle17.4 et 20.3 km pour les pas de temps de 6, 18 et 30 minutes. Les portées identi�ées pourles épisodes du 07/09 et du 11/09 sont don ohérentes ave les valeurs données par larelation, en extrapolant sa validité à la région marseillaise et à des pas de temps allantde 6 à 30 minutes. L'e�et d'é hantillonnage et la on�guration du réseau de pluviomètrespeuvent expliquer les portées plus ourtes pour l'épisode du 05/10.Le réseau semble avoir une extension spatiale trop petite pour pouvoir identi�er laportée à 30 minutes. La formule pré édente donne une portée de l'ordre de 20 km pour unpas de temps de 30 minutes, e qui est e�e tivement grand pour le réseau de pluviomètresmarseillais.Les informations sur la stru ture des hamps de pluie fournies par le réseau de pluvio-mètres (prin ipalement les portées) onstituent une référen e � sol � pour la validationdes analyses onduites sur les mesures radar.7.3.2 Mesures du radar de NîmesNous pro éderons de la même manière qu'ave les mesures du réseau de pluviomètres,en étudiant dans un premier temps la moyenne et la variabilité des mesures radar, puisen estimant une stru ture spatiale à l'aide du variogramme.7.3.2.1 Moyenne et variabilitéLe radar de Nîmes est situé à environ 90 km au Nord-Ouest de Marseille. Il fournitune image de la zone d'étude toutes les 5 minutes. Les mesures sont réalisées pour troisangles de sites et la zone d'étude est ouverte par le plus bas (0.6Æ). L'antenne e�e tueun tour omplet en 72 se ondes ave un pas angulaire de 0.5Æ. On peut don estimer letemps de passage du fais eau radar sur la zone d'étude à environ 15 se ondes. Nous avonsvu au hapitre 5 que le relief entre Nîmes et Marseille inter epte environ 40 % du fais eaugéométrique, masqué don entre 0 et 1 km d'altitude environ. La �gure 7.28 montre levolume de résolution moyen du radar de Nîmes sur la zone d'étude. Il est di� ile d'a�e terune représentativité temporelle pré ise en terme de pluie au sol à la mesure radar, quiest fon tion du volume de résolution, de la distribution granulométrique, des vitesses de hute et de l'homogénéité du remplissage du volume de résolution. La �gure 7.29 s hé-matise la représentativité temporelle du volume de résolution radar. Si on onsidère unremplissage uniforme du volume de résolution et une vitesse de hute moyenne de 5 m.s-1,alors le temps que met une goutte au sommet du volume pour le traverser (temps deré-essuyage du volume de résolution) est de 20005 = 400 se ondes, soit 7 minutes envi-ron. Cette valeur onstitue une limite supérieure pour la représentativté temporelle au sold'une mesure radar sur la zone d'étude. Par ailleurs, un pluviomètre ave une position�xe au sol intègre la pluie ontenue dans un volume qui dépend de la vitesse de hute etde la vitesse d'adve tion horizontale. Ce volume est ins rit dans 5 volumes de résolutionradar su essifs dans le s héma de la �gure 7.29.153

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

L=3 km

d=1 km

l=0.3 kmFig. 7.28 � Volume de résolution polaire moyen.

vu

Volume de résolution radar

t=(l+L(u/v))/u

l

L

Fig. 7.29 � Représentativité temporelle du volume de résolution radar. u est la vitessed'adve tion horizontale et v la vitese de hute.154

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helleLes images dont nous disposons sont la proje tion sur une grille en oordonnées ar-tésiennes des mesures radar en oordonnées polaires. La résolution hoisie pour etteproje tion est de 1x1 km2, mais le volume de résolution du radar varie en réalité ave ladistan e et il est en moyenne de 3 km de diamètre pour une profondeur de 300 m sur lazone d'étude, pour une ouverture à 3 dB. Les noeuds de la grille artésienne ne sont don pas indépendants de leurs pro hes voisins.Nous avons extrait une grille de 32x32 km2, qui est du même ordre de grandeur que lazone d'étude onsidérée pour les pluviomètres et qui fournit un nombre su�sant de pointsde mesures (1024) pour al uler des variogrammes 2D.Les zones a�e tées par des é hos �xes (seuillés à 10 dBZ), déterminées à partir desimages de temps se , ont été �ltrées. De plus, nous avons onsidéré que le hamp de ré-�e tivité radar possède une stru ture spatiale et temporelle semblable à elle du hampde pluie au sol, et e malgré les e�ets de la stru ture verti ale des pré ipitations et desmasques signi� atifs sur la zone.En�n et pour les raisons exposées pré édemment, l'analyse des mesures radar se feraave les ré�e tivités exprimées en dBZ.La �gure 7.30 montre la arte de la moyenne et de l'é art-type des mesures radar pourles trois épisodes et permet de visualiser les zones d'é hos �xes. On remarque tout d'abordque les valeurs maximales des moyennes de ré�e tivité en dBZ orrespondent à des in-tensités de pluie inférieures aux valeurs moyennes données par les pluviomètres. Cettedi�éren e vient de e que le dBZ est une unité logarithmique.La moyenne et l'é art-type de la ré�e tivité (exprimée en dBZ) sont relativement ho-mogènes sur toute la zone d'étude pour les épisodes du 07/09 et du 11/09. Pour l'épisodedu 05/10, on remarque une zone de moyenne et d'é art-type plus élevés dans le quart infé-rieur gau he des artes. La variabilité de la ré�e tivité est globalement moindre que elledes mesures RHI. L'é helle spatiale de variation des pré ipitations est don plus grandedans le plan horizontal que dans le plan verti al.Par ailleurs, la proportion de la zone d'étude a�e tée par des é hos �xes a été déter-minée en analysant les images radar par temps se . Elle varie d'un épisode à l'autre maisreste signi� ative pour les trois. Le �ltrage des mesures radar dans es zones d'é hos �xesengendre des � trous � dans l'ensemble des mesures radar, qui peuvent biaiser le al uldu variogramme.En�n, les mesures radar ont aussi été intégrées sur des durées roissantes, a�n d'étu-dier les e�ets de l'intégration temporelle sur l'estimation de la stru ture des pré ipitations.Nous disposons de mesures radar moyennées sur 5, 15 et 30 minutes. Les ré�e tivités radarsont moyennées en mm6.m-3 puis re onvertie en dBZ.7.3.2.2 Analyse stru turale des mesures du radar de NimesNous avons onsidéré que haque mesure radar était la réalisation d'une seule fon tionaléatoire à support volumique. Nous sommes don dans un ontexte de multi-réalisations,155

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.30 � Moyenne et é art-type des mesures du radar de Nîmes pour les 3 épisodes.156

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helleave un domaine d'étude de l'ordre de 1000 km2 pro he de elui du réseau de pluvio-mètres. L'estimation du volume de résolution asso ié aux valeurs de la grille artésienne,qui dé�nit le support de la fon tion aléatoire, sera détaillé plus loin. De plus, nous avonssupposé que l'hypothèse intrinsèque était lo alement véri�ée.Nous disposons d'au moins 800 mesures radar qui ouvrent une zone de 32x32 km2, e qui est su�sant pour inférer des variogrammes 2D. Comme pour le variogramme 2Dsur les mesures du radar X-RHI, nous travaillons ave deux seuils : le seuil bas à 10 dBZpour étudier le hamp de pluie dans son ensemble et le seuil haut à 35 dBZ pour étudierla stru ture des pré ipitations plus intenses.Seuil basNous avons adopté la même démar he que pour l'analyse des mesures du radar X-RHI,en al ulant le variogramme 2D de l'indi atri e puis le variogramme 2D des mesures elles-mêmes. Nous avons rassemblé sur les mêmes �gures les variogrammes 2D de l'indi atri eet des mesures, pour haque épisode (voir �gures 7.31, 7.32 et 7.33). Ces variogrammessont tra és sur une zone de 20x20 km2, ar l'e�et d'é hantillonnage est trop importantpour des distan es supérieures.Pour un seuil à 10 dBZ, la ré�e tivité sur la zone d'étude est globalement supérieureau seuil. Les transitions zone inférieure/zone supérieure sont don peu nombreuses et peureprésentatives de l'organisation de la pluie. Nous n'analyserons le variogramme 2D del'indi atri e pour un seuil à 10 dBZ que de manière qualitative et notamment nous n'étu-dierons pas les portées.La variabilité de l'indi atri e, don la probabilité de transition, diminue lorsque la du-rée de l'intégration temporelle augmente, e qui signi�e que la taille des zones de valeurssupérieures au seuil augmente.De même, l'intégration temporelle diminue la variabilité des hamps de pluie, pour lestrois épisodes. En e�et, les intensités de pluie maximales, don les ré�e tivités maximales,se produisent sur de ourtes durées. L'intégration temporelle diminue es valeurs maxi-males et lisse le hamp de pluie.Le variogramme 2D (de l'indi atri e ou des mesures) montre très souvent une dire -tion prin ipale de l'anisotropie dont l'orientation se modi�e suivant la distan e que l'on onsidère. Cette on�guration suggère l'existen e de stru tures spatiales � emboîtées �, ha une représentative d'� objets � parti uliers.Les systèmes pré ipitants se dépla ent dans le plan horizontal. La variabilité est don plus faible dans la dire tion de l'adve tion et e d'autant plus que la durée d'intégra-tion temporelle est longue. En analysant l'évolution des dire tions prin ipales des vario-grammes 2D en fon tion de l'intégration temporelle et à l'aide des mesures PPI animées,nous avons déterminé les dire tions et les vitesses d'adve tion globales pour un seuil à10 dBZ et pour les trois épisodes (voir tableau 7.8). Les dire tions sont exprimées en degrépar rapport au Nord, dans le sens anti-trigonométrique.

157

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.31 � Variogrammes 2D de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pourles 3 durées d'intégration temporelle ave un seuil à 10 dBZ, pour l'épisode du 07/09.Date 07/09/1998 11/09/1998 05/10/1998Dire tion (degré) 60 50 8Vitesse (km.h-1) 45 40 50Tab. 7.8 � Dire tions et vitesses de l'adve tion pour un seuil à 10 dBZ et pour les 3épisodes.

158

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helle

Fig. 7.32 � Variogrammes 2D de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pourles 3 durées d'intégration temporelle ave un seuil à 10 dBZ, pour l'épisode du 11/09.

159

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.33 � Variogrammes 2D de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à doite) pourles 3 durées d'intégration temporelle ave un seuil à 10 dBZ, pour l'épisode du 05/10.

160

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helleNous avons hoisi de nous intéresser à la dire tion prin ipale de l'anisotropie pour les ourtes distan es (appelée dire tion 1) et à la dire tion �xe orrespondant au plan de me-sure du radar X-RHI (appelée dire tion 2). Les variogrammes 1D ont été extraits dans esdeux dire tions pour haque durée d'intégration temporelle (voir �gures 7.31, 7.32, 7.33).Ces deux dire tions prin ipales identi�ées sur le variogramme 2D et les portées des va-riogrammes 1D extraits dans es dire tions sont regroupées dans le tableau 7.9 pour levariograme 2D de l'indi atri e et dans le tableau 7.10 pour le variogramme 2D des me-sures.XXXXXXXXXXXXXDate Durée int. 5 min 15 min 30 min07/09/1998 d1=+61Æ p=13d2=+08Æ p=13 d1=+55Æ p=16d2=+08Æ p=15 d1=+50Æ p=20d2=+08Æ p=1511/09/1998 d1=+40Æ �d2=+08Æ � d1=+48Æ p=17d2=+08Æ � d1=+57Æ �d2=+08Æ �05/10/1998 d1=+27Æ p=11d2=+08Æ p=07 d1=+14Æ �d2=+08Æ � d1=+09Æ �d2=+08Æ �Tab. 7.9 � Dire tion prin ipale de l'anisotropie (d1), dire tion de l'axe RHI (d2) en degréet portées spatiales en km déduites du variogramme 2D de l'indi atri e pour un seuil à10 dBZ, pour les 3 durées d'intégration temporelle et les 3 épisodes. Le signe � � � signi�eque la portée n'a pas pu être identi�ée.XXXXXXXXXXXXXDate Durée int. 5 min 15 min 30 min07/09/1998 d1=+37Æ p=13d2=+08Æ p=11 d1=+39Æ p=18d2=+08Æ p=14 d1=+40Æ p=22d2=+08Æ �11/09/1998 d1=+23Æ p=13d2=+08Æ p=13 d1=+37Æ p=17d2=+08Æ p=16 d1=+44Æ �d2=+08Æ �05/10/1998 d1=+29Æ �d2=+08Æ p=13 d1=+24Æ �d2=+08Æ p=16 d1=+22Æ �d2=+08Æ p=17Tab. 7.10 � Dire tion prin ipale de l'anisotropie (d1), dire tion de l'axe RHI (d2) endegré et portées spatiales en km déduites du variogramme 2D des mesures pour un seuilà 10 dBZ, pour les 3 durées d'intégration temporelle et les 3 épisodes. Le signe � � �signi�e que la portée n'a pas pu être identi�ée.Les dire tions prin ipales sont similaires pour les deux types de variogrammes. On peutremarquer que la première dire tion prin ipale tend vers la dire tion de l'adve tion lorsquela durée d'intégration temporelle augmente, pour les deux types de variogrammes. Cete�et est d'autant plus sensible que l'anisotropie est peu marquée aux petits pas de temps,161

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie omme pour l'épisode du 11/09. L'adve tion modi�e la stru ture spatiale du hamp depré ipitation lorsqu'on augmente la durée du pas de temps de mesure.Les portées sont omprises entre 10 et 15 km pour le pas de temps de 5 minutes, entre16 et 22 km pour 15 minutes et entre 16 et 23 km pour 30 minutes. Les variogrammes neprésentent au un e�et de pépite.Seuil hautLe seuil haut à 35 dBZ augmente l'e�et d'é hantillonnage pour les épisodes du 11/09et du 05/10.Le tableau 7.11 regroupe les dire tions et les vitesses d'adve tion estimées pour unseuil à 35 dZ et pour les trois épisodes.Date 07/09/1998 11/09/1998 05/10/1998Dire tion (degré) 40 45 �Vitesse (km.h-1) 40 40 0Tab. 7.11 � Dire tions et vitesses de l'adve tion pour un seuil à 35 dBZ et pour les 3épisodes.Pour l'épisode du 07/09, la vitesse et surtout la dire tion de l'adve tion sont di�érentesde elles pour un seuil à 10 dBZ.Pour l'épisode du 11/09, la dire tion et la vitesse d'adve tion sont très pro hes de ellespour un seuil à 10 dBZ.Pour l'épisode du 05/10, la zone prin ipale de valeurs supérieures à 35 dBZ orres-pond à une ellule relativement intense qui semble être dé len hée et entretenue par lerelief présent au Sud de la zone d'étude. Elle est quasiment stationnaire dans le temps etnous avons don onsidéré sa vitesse d'adve tion omme nulle et sa dire tion d'adve tion omme non dé�nie.De même que pour le seuil à 10 dBZ, nous avons identi�é la dire tion prin ipale pour les ourtes distan es et extrait le variogramme 1D dans ette dire tion et dans la dire tion duplan de mesure du radar X-RHI. Les �gures 7.34, 7.35 et 7.36 présentent le variogramme2D de l'indi atri e et des mesures pour le seuil haut et pour les trois épisodes.

162

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helle

Fig. 7.34 � Variogrammes 2D de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pourles 3 durées d'intégration temporelle ave un seuil à 35 dBZ, pour l'épisode du 07/09, etvariogrammes 1D dans les dire tions étudiées.

163

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.35 � Variogrammes 2D de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pourles 3 durées d'intégration temporelle ave un seuil à 35 dBZ, pour l'épisode du 11/09, etvariogrammes 1D dans les dire tions étudiées.

164

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helle

Fig. 7.36 � Variogrammes 2D de l'indi atri e (à gau he) et des mesures (à droite) pourles 3 durées d'intégration temporelle ave un seuil à 35 dBZ, pour l'épisode du 05/10, etvariogrammes 1D dans les dire tions étudiées.

165

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie35 dBZ est un seuil élevé et l'e�et d'é hantillonnage est lairement visible pour lesépisodes du 11/09 et du 05/10.À nouveau, on remarque que la variabilité de l'indi atri e et des mesures diminuelorsque la durée d'intégration temporelle augmente. La taille des zones de ré�e tivité su-périeure à 35 dBZ augmente et le hamp de pluie est lissé ave l'augmentation de la duréedu pas de temps de mesure.Pour les épisodes du 07/09 et du 11/09 et dans une moindre mesure elui du 05/10,le variogramme 2D de l'indi atri e et des mesures présente toujours une dire tion prin i-pale qui varie en fon tion de la distan e et résulte don de l'emboîtement de di�érentesstru tures spatiales.Les dire tions prin ipales et les portées inférées sont regroupées dans le tableau 7.12pour le variograme 2D de l'indi atri e et dans le tableau 7.13 pour le variogramme 2Dsur les mesures.XXXXXXXXXXXXXDate Durée int. 5 min 15 min 30 min07/09/1998 d1=+49Æ p=13d2=+08Æ p=09 d1=+37Æ p=17d2=+08Æ � d1=+34Æ �d2=+08Æ �11/09/1998 d1=+25Æ p=08d2=+08Æ p=08 d1=+41Æ p=12d2=+08Æ p=08 d1=+45Æ p=13d2=+08Æ p=0905/10/1998 d1=+34Æ p=07d2=+08Æ p=07 d1=+22Æ p=07d2=+08Æ p=08 d1=+15Æ p=07d2=+08Æ p=07Tab. 7.12 � Dire tion prin ipale de l'anisotropie (d1), dire tion de l'axe RHI (d2) en degréet portées spatiales en km déduites du variogramme 2D de l'indi atri e pour un seuil à35 dBZ, pour les 3 durées d'intégration temporelle et les 3 épisodes. Le signe � � � signi�eque la portée n'a pas pu être identi�ée.XXXXXXXXXXXXXDate Durée int. 5 min 15 min 30 min07/09/1998 d1=+28Æ p=10d2=+08Æ p=09 d1=+34Æ p=13d2=+08Æ p=10 d1=+41Æ p=14d2=+08Æ �11/09/1998 d1=-15Æ p=06d2=+08Æ p=07 d1=+34Æ p=07d2=+08Æ p=06 d1=+41Æ p=08d2=+08Æ p=0705/10/1998 d1=+15Æ p=06d2=+08Æ p=07 d1=-22Æ p=08d2=+08Æ p=07 d1=-18Æ �d2=+08Æ �Tab. 7.13 � Dire tion prin ipale de l'anisotropie (d1), dire tion de l'axe RHI (d2) endegré et portées spatiales en km déduites du variogramme 2D des mesures pour un seuilà 35 dBZ, pour les 3 durées d'intégration temporelle et les 3 épisodes. Le signe � � �signi�e que la portée n'a pas pu être identi�ée.166

7.3. Analyse de la stru ture à grande é helleLes dire tions prin ipales de l'anisotropie du variogramme 2D de l'indi atri e et desmesures (dé�nies pré édemment) sont pro hes. La dire tion 1 tend à se rappro her de ladire tion de l'adve tion lorsque la durée de l'intégration temporelle augmente. Globale-ment, les dire tions prin ipales sont orientées plus au Nord que pour un seuil à 10 dBZ.Ces variations de dire tions ave le seuil orroborent l'idée de stru tures spatiales emboî-tées orrespondant à des � objets � distin ts. Pour l'épisode du 07/09, la dire tion del'adve tion identi�ée est di�érente de elle identi�ée pour un seuil à 10 dBZ. Ces di�é-ren es montrent que es � objets � peuvent avoir des dynamiques di�érentes.Les portées du variogramme 2D de l'indi atri e sont omprises entre 8 et 12 km pour5 minutes, entre 8 et 18 km pour 15 minutes et entre 8 et 12 km (et supérieure à 20 kmpour le 07/09) pour 30 minutes.En�n, les variogrammes 1D de l'indi atri e extraits présentent systématiquement une�et de pépite, au ontraire des variogrammes 1D des mesures extraits qui n'en montrentpas. Il existe don une é helle de variabilité des zones de valeurs supérieures à 35 dBZque la résolution du radar ne permet pas de voir.La zone d'étude d'environ 1000 km2 est bien ouverte par les mesures du radar deNîmes. Nous avons pu utiliser le variogramme 2D omme outil d'analyse de la stru -ture spatiale des hamps de pluie, pour des pas de temsp de 5, 15 et 30éminutes etpour un seuil bas à 10 dBZ et un seuil haut à 35 dBZ. La pluie apparaît globalementsupérieure au seuil bas sur la zone d'étude et montre un eorganisation spatiale plus mar-quée pour un seuil à 35 dBZ. Le variogramme 2D montre que les pré ipitations peuventêtre vues omme l'emboîtement de di�érentes stru tures spatiales à di�érentes é helles.L'in�uen e de l'adve tion des systèmes pré ipitants sur leurs stru tures est sensible, no-tamment quand l'intégration temporelle de la mesure augmente. En�n, la dynamique des ellules intenses au sein du hamp de pluie peut di�érer de la dynamique globale. Toutes es informations stru turales ont été déduites des mesures radar et nous allons véri�erqu'elles sont omparables à elles déduites des mesures des pluviomètres.7.3.3 Cohéren e des variogrammes radar et pluviométriqueA�n de valider les analyses stru turales onduites sur les mesures du radar de Nîmes,nous avons al ulé un variogramme 1D omparable au variogramme 1D al ulé sur lesmesures pluviométriques. Pour e faire, nous avons extrait les mesures radar expriméesen mm.h-1 au droit des 25 pluviomètres. Puis le variogramme 1D moyen a été al ulésur es 25 valeurs. La �gure 7.37 montre le variogramme pour les trois épisodes, pour lesmesures radar au pas de temps 5, 20 et 30 minutes (à mettre en parallèle de la �gure 7.27).Les portées identi�ées sur es variogrammes sont regroupées dans le tableau 7.14.Les portées inférées à partir des mesures radar sont semblables à elles inférées àpartir des mesures des pluviomètres, pour les trois durées d'intégration temporelle, equi � valide � les analyses stru turales onduites pré édemment sur les mesures radar eta rédite l'hypothèse d'une représentativité temporelle des mesures radar de l'ordre du167

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.37 � Variogramme 1D moyen des mesures à 5, 20 et 30 minutes, pour les 3 épisodes.XXXXXXXXXXXXXDate Durée int. 05 min 20 min 30 min07/09/1998 10 (11) 13 (15) 15 (�)11/09/1998 10 (12) 17 (17) � (�)05/10/1998 5 (5) 6 (5) 6 (6)Tab. 7.14 � Portées spatiales en km du variogramme 1D des mesures radar exprimées enmm.h-1, pour les 3 épisodes. Les portées du variogramme 1D des mesures des pluviomètres orrespondantes sont rappelées entre parenthèses. Le signe � � � signi�e que la portéen'a pas pu être identi�ée.

168

7.4. De la petite à la grande é helle...temps de revisite, soit 5 minutes.7.4 De la petite à la grande é helle...L'analyse des mesures des radars X-Pointeur et X-RHI a permis d'estimer à petiteé helle une stru ture moyenne ara téristique des pré ipitations étudiées, ohérente ave lemodèle de ellule génératri e de pluie (Marshall et Hits hfeld 1953). L'analyse des mesuresdu radar de Nîmes a ensuite permis d'estimer une stru ture moyenne ara téristique àplus grande é helle. Nous allons maintenant montrer que ette stru ture à plus grandeé helle résulte de l'intégration spatiale et temporelle des ellules génératri es de petiteé helle. Nous nous atta herons en parti ulier à montrer le lien entre la portée à petiteé helle et elle à plus grande é helle.7.4.1 Volume de résolution des mesures artésiennesAvant de détailler le lien entre le variogramme à petite é helle et elui à grande é helle,il faut dé�nir les supports des fon tions aléatoires asso iées aux mesures du radar X-RHIet du radar de Nîmes. Il nous apparaît don né essaire de onnaître les volumes de réso-lution des deux mesures.Nous allons tout d'abord estimer le volume de résolution asso ié aux mesures arté-siennes du radar de Nîmes. Le volume de résolution des mesures polaires est dé rit dansla �gure 7.28. Le fais eau radar fait un angle moyen de +123Æ ave le Nord sur la zoned'étude, qui dé�nit l'orientation du volume de résolution polaire moyen. La maille asso iéeà un noeud de la grille artésienne est un arré de 1 km de �té, orienté Nord-Sud. Lepas angulaire étant de 0.5Æ pour les mesures polaires, on peut onsidérer que la on�gu-ration relative de la maille artésienne et du volume de résolution polaire est pro he de elle montrée dans la �gure 7.38. Le volume de résolution de la maille artésienne est lajuxtaposition de 5 volumes de résolution polaire et onstitue le support de la fon tionaléatoire asso iée aux mesures artésiennes du radar de Nîmes.Pour le volume de résolution des mesures du radar X-RHI, la démar he est identique.Mais la maille artésienne (250�125 m2) et le volume de résolution polaire (300�300 m2)sont très petits devant le volume de résolution artésien du radar de Nîmes et nous suppo-serons don que la fon tion aléatoire asso iée aux mesures du radar X-RHI est à supportpon tuel. 169

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

123°

8°Direction du plan de mesuredu radar X−RHI

Maille cartésienne

Direction de l’axe du faisceau

du radar de Nîmes

Volume de résolution polaire

1 km

1 km

3 km

Fig. 7.38 � Vue de dessus de la maille artésienne, de son volume de résolution (trait fort)et du volume de résolution polaire (trait pointillé).7.4.2 Expression de la portée à grande é helleDe manière générale, (6.19) expli ite le lien entre le variogramme pon tuel et levariogramme régularisé r, que l'on rappelle : r(dx) = ZV ZV p(s)p(s0 + dx) (s� s0 � dx) ds ds0 � 2 ZV ZV p(s)p(s0) (s� s0) ds ds0On suppose que admet une portée d0 : (dx) = 0 8dx = jjdxjj � d0 (7.3)Si est anisotrope, alors d0 est la portée la plus grande.Si d0 est supérieure à l'extension maximale au sein du volume de résolution dm, onmontre que : r(dx) = 0 ZV ZV p(s)p(s0) ds ds0 � 2 ZV ZV p(s)p(s0) (s� s0) ds ds0 (7.4)8dx = jjdxjj � (d0 + dm)Les termes du membre de droite de (7.4) ne dépendent plus de la distan e jjdxjj. La portéedu variogramme régularisé est don la somme de la distan e maximale au sein du volumede résolution et de la portée du variogramme pon tuel.170

7.4. De la petite à la grande é helle...Dans le ontexte de notre étude, le support est le volume de résolution des mesures artésiennes du radar de Nîmes. Il nous faut don tout d'abord déterminer la distan emaximale au sein de e volume, qui se déduit simplement de la �gure 7.38 par des al ulstrigonométriques. On obtient une valeur de 3.3 km, qui orrespond à une valeur moyennesur la zone d'étude.Comme nous ne disposons du variogramme pon tuel à petite é helle que dans le planRHI, nous limiterons l'étude à la portée dans la dire tion de e plan. Il nous faut alorsdéterminer la portée maximale du variogramme 2D des mesures du radar X-RHI. Nousavons supposé que ette portée maximale était égale à la moitié de l'allongement maximaldes ellules de pluie au sein du volume de résolution. La portée ainsi dé�nie est un majorantde la portée maximale réelle du variogramme 2D. La �gure 7.39 montre omment est al ulé l'allongementmaximal des ellules de pluie en fon tion de leurs portées horizontaleset de leurs altitudes maximales. Le tableau 7.15 regroupe les valeurs de la portée maximaleainsi dé�nie pour les trois épisodes.

p1p2

hmamam =ph2m + (p1 + p2 + hm tan �)2

�Fig. 7.39 � Allongement maximal am d'une ellule génératri e de pluie en fon tion de ses ara téristiques (voir �gure 7.23).

Date 07/09/1998 11/09/1998 05/10/1998Indi atri e 5.7 5.1 3.2Mesure 4.6 4.6 3.3Tab. 7.15 � Portées maximales en km du variogramme 2D de l'indi atri e et des mesuresdu radar X-RHI pour un seuil à 35 dBZ, pour les 3 épisodes.Comme expliqué pré édemment, les mesures polaire des deux radars sont quasi instan-tannées et nous négligerons les e�ets de l'adve tion sur elles- i.171

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie7.4.3 Comparaison ave les portées expérimentalesNous avons détaillé au paragraphe pré édent omment la stru ture mesurée à petiteé helle s'intègre pour une résolution plus faible. Nous pouvons don maintenant omparerles valeurs de ette portée � théorique � à grande é helle ave les portées inférées à partirdes mesures du radar de Nîmes. Le tableau 7.16 regroupe les valeurs théoriques et mesuréesde la portée pour les trois épisodes.Date 07/09/1998 11/09/1998 05/10/1998Indi atri e théoriquemesurée 99 8.48 6.57Mesure théoriquemesurée 7.99 7.97 6.67Tab. 7.16 � Portées théoriques et mesurées en km du variogramme 2D de l'indi atri e etdes mesures du radar de Nîmes pour un seuil à 35 dBZ, pour les 3 épisodes.Les portées théoriques sont pro hes des portées mesurées aussi bien pour l'indi atri eque pour les mesures. L'intermitten e et la varibilité en soi � théoriques � sont don pro hes de l'intermitten e et de la variabilité en soi � mesurées �, e qui montre la o-héren e et la validité des mesures des deux radars et de la modélisation de la ellule depluie génératri e.7.5 Con lusionAprès quelques rappels sur la théorie des variables régionalisées et notamment sur levariogramme, nous avons analysé les mesures des deux radars lo aux, du réseau de plu-viomètre et du radar de Nîmes a�n de faire ressortir les stru tures spatiales et temporelles ara téristiques des pré ipitations étudiées.Nous avons dans un premier temps étudié la stru ture à petite é helle à l'aide des me-sures des deux radars lo aux. Nous avons pour ela utilisé prin ipalement le variogrammeen une ou deux dimensions, al ulé sur les hamps de ré�e tivité exprimée en dBZ pourlimiter les e�ets dus à l'asymétrie de la distribution des intensités pluvieuses. Nous avonsd'un �té étudié la forme des ellules de pluie en analysant la stru ture de la fon tionindi atri e et de l'autre étudié la variabilité au sein de es ellules de pluie en analysantla stru ture des mesures radar proprement dites. Ces analyses stru turales ont été menéespour un seuil bas permettant de prendre en ompte toute la pluie e�e tive et pour unseuil haut qui met en avant les stru tures des ellules plus intenses. Nous avons ainsimontré que la stru ture à petite é helle pouvait être dé rite orre tement par le modèle on eptuel simple de la ellule génératri e de pluie.172

7.5. Con lusionDans un deuxième temps, nous avons pro édé à une analyse stru turale semblable surles mesures du réseau de pluviomètres et du radar de Nîmes, qui ont une résolution plusfaible mais qui portent sur un domaine d'étude plus grand. Les stru tures ara téristiquesobtenues à partir des mesures des pluviomètres sont en a ord ave des études antérieuressur des pré ipitations évenoles et ont servi de référen e pour la validation des fon tionsde stru ture inférées à partir des mesures radar. Le plus grand nombre de mesures radardisponibles sur la zone d'étude a permis de al uler des variogrammes en deux dimensionsqui montrent que la stru ture spatiale des pré ipitations à l'é helle de 1000 km2 résultesouvent de l'emboîtement d'objets distin ts à di�érentes é helles spatiales.En�n, nous avons montré que la ohéren e des stru tures aux deux é helles et du mo-dèle de ellule génératri e en montrant que les ellules de pluie intégrées à la résolutiondu radar de Nîmes donnent une stru ture semblable à elle inférée.Toutes les analyses pré édentes portent sur la stru ture moyenne du hamp de pluie quenous avons supposée représentative de l'épisode pluvieux. La validité de ette hypothèsedépend de l'é helle temporelle onsidérée mais aussi de la résolution des mesures. Ene�et, il est possible de � dé ouper � des périodes de � omportement � di�érent au seinde haque épisode et e d'autant plus que la résolution est �ne. La �gure 7.40 présente lesmesures à haute résolution (7.5 m et 4 s) du radar X-Pointeur pour une partie de haqueépisode et montre une organisation plus omplexe qu'ave une résolution moindre.

173

Chapitre 7. Analyse stru turale des hamps de pluie

Fig. 7.40 � Mesures HTI du radar X-Pointeur à très �ne résolution (4s et 7.5 m) pourune partie de ha un des 3 épisodes. 174

Cinquième partieImpa t hydrologique de la variabilitéspatiale des pré ipitations

175

Les pré ipitations ont une organisation spatiale, que nous avons étudiée dans la partiepré édente. Arrivées au sol, elles engendrent des é oulements qui résultent de l'intera tionde nombreux pro essus omplexes omme l'in�ltration, la saturation du sol ou le ruisselle-ment. La pluie onditionne don le fon tionnement des hydrosystèmes et notamment parsa variabilité spatiale et temporelle (Dawdy et Bergmann 1969 ; Berndtsson et Niem zy-nowi z 1988 ; O'Connell et Todini 1996). Le hamp de pluie estimé à partir de mesures(dire tes ou indire tes) est toujours a�e té d'une in ertitude qui onstitue une sour e d'er-reur pour les modèles hydrologiques qui simulent le fon tionnement d'un bassin versant.De nombreux travaux ont été menés pour étudier et quanti�er l'impa t de la variabi-lité spatiale des pré ipitations sur la qualité des simulations des modèles hydrologiques(Wood et al. 1988 ; Obled et al. 1994 ; Shah et al. 1996 ; Arnaud et al. 2002). L'é hellespatiale minimum a�e tée par la variabilité spatiale de la pluie dépend de l'é helle tem-porelle à laquelle les mesures sont réalisées. Faurès et al. (1995) ont ainsi montré que lavariabilité spatiale des pré ipitations engendrées des erreurs non négligeables pour desbassins versants de surfa e inférieure à 5 ha à des é helles de temps inférieures à 5 mi-nutes. Des travaux portent plus pré isemment sur les régions méditerranéennes, ommeDatin (1998) ou Saulnier et Datin (2002).Dans ette partie, nous allons étudier l'in�uen e de la variabilité spatiale de la pluieen milieu urbain. Pour ela, nous simulerons à l'aide du logi iel CANOË le fon tionne-ment hydrologique d'un ensemble de bassins versant urbains et péri-urbains marseillais,qui possèdent des surfa es et des ara téristiques géomorphologiques di�érentes, pour despluies de di�érentes résolutions.Nous dé rirons tout d'abord les bassins versants hoisis, puis les modélisations e�e -tuées pour simuler la relation pluie-débit. Après avoir détaillé la méthode de alage rete-nue, nous étudierons ensuite l'impa t de la variabilité de la pluie en utilisant des lamesd'eau moyennes à di�érentes é helles spatiales.

177

178

Chapitre 8Modélisation des bassins versantsParmi les nombreux apteurs limnimétriques du réseau marseillais, il faudra en premierlieu séle tionner les plus �ables pour dé�nir les bassins versants que nous étudierons.Ensuite, les modèles de bassins versants que nous allons onstruire doivent être adaptésau milieu urbain, don à des imperméabilisations fortes, et à l'existen e d'un réseau dedrainage. En�n, nous voulons étudier l'impa t de la variabilité spatiale de la pluie, il fautdon que les modèles puissent prendre en ompte une information pluie spatialisée.8.1 Détermination des bassins versantsLa SERAM, so iété en harge de l'exploitation et de l'entretien du réseau d'assainis-sement de la ville de Marseille, gère un réseau d'une entaine de apteurs limnimétriques.La grande majorité de es apteurs est destinée à la gestion opérationnelle des ouvragesdu réseau d'assainissement (pilotage de vannes, de stations de pompage, dé len hementd'alerte, ...). Nous avons don séle tionné parmi l'ensemble de es apteurs eux qui four-nissent une mesure de hauteur d'é oulement sus eptible d'être onvertie en une mesure�able de débit. Il faut notamment s'assurer que (i) le apteur soit �able et don régu-lièrement véri�é et étalonné, (ii) la se tion de mesure soit stable dans le temps (érosionou sédimentation négligeable), (iii) l'é oulement soit relativement établi dans la se tionde mesure et en�n (iv) la se tion ne soit pas sous in�uen e aval. Toutes es ontraintesréduisent drastiquement le nombre de apteurs disponibles pour notre étude. Après on er-tation ave le servi e en harge des apteurs à la SERAM, nous avons retenu �nalement 8 apteurs. Les huit bassins versants asso iés à es huit apteurs sont tra és sur la �gure 8.1.La liste suivante donne le nom, la surfa e, le nom du ruisseau ou du olle teur et le typed'o upation des sols pour haque bassin :� Figuier, 291 ha, sur le ruisseau de la Pelouque, faiblement urbanisé dans le haut,urbanisé dans le bas.� Les Aygalades, 2840 ha, sur la rivière des Aygalades, rural dans le haut, urbanisédans le bas. 179

Chapitre 8. Modélisation des bassins versants

Fig. 8.1 � Bassins versants asso iés aux apteurs retenus.� La Bonnaude, 1550 ha, sur le ruisseau de La Gou�onne, rural dans le haut, urbanisédans le bas.� Périer, 38 ha, sur le olle teur pluvial nÆ17, très urbanisé.� La Grave, 2357 ha, sur le ruisseau de La Grave, rural dans le haut, moyennementurbanisé dans le bas.� Malpassé, 8219 ha, sur la rivière du Jarret, rural dans le haut, urbanisé dans le bas.Ce bassin versant ontient elui de La Grave.� La Bégude, 9440 ha, sur la rivière du Jarret, rural dans le haut et urbanisé dans lebas. Ce bassin ontient elui de Malpassé.� La Pugette, 10494 ha, sur la rivière du Jarret à la on�uen e ave l'Huveaune, ruraldans le haut et très urbanisé dans le bas. Ce bassin ontient elui de La Bégude.Les bassins versants se répartissent sur une large gamme de surfa es (de 38 ha à100 km2) et de taux d'urbanisation (de totalement urbanisé à quasiment rural). Parailleurs, il faut noter que les bassins versants de La Grave, Malpassé, La Bégude et LaPugette sont emboîtés et s'é helonnent de l'amont vers l'aval sur la même rivière, le Jarret.Pour étudier l'impa t de la variabilité spatiale, la modélisation des bassins versantsque nous détaillerons plus loin doit pouvoir intégrer une pluie spatialisée. Nous devonsdon � dé ouper � les bassins versants (BV dans la suite) en sous-bassins versants (SBVdans la suite). Nous avons utilisé le dé oupage � hydrologique � réalisé par les servi esde la ville de Marseille et qui divise les BV en SBV. De plus, une base de données est180

8.2. Étude du temps de réponse des bassins versantsasso iée à es entités hydrologiques et nous fournit les ara téristiques géomorphologiquesdes BV et des SBV. La �gure 8.2 montre les SBV. Le dé oupage est aussi fon tion de

Fig. 8.2 � Dé oupage des bassins versants.l'o upation des sols : les zones fortement urbanisées sont dé oupées plus �nement queles zones plus rurales. Les SBV n'ont don pas une surfa e homogène. En adoptant edé oupage, nous faisons impli itement l'hypothèse que l'é helle à laquelle la variabilité dela pluie in�ue sur le débit généré est plus petite pour les surfa es urbanisées que pour lessurfa es naturelles. Cette hypothèse sera dis utée plus loin.8.2 Étude du temps de réponse des bassins versantsLe temps de réponse ara térise le omportement intégrateur d'un bassin versant et �xedon les é helles de temps représentatives du fon tionnement du bassin versant. Dans eparagraphe, nous présentons une ourte synthèse de résultats obtenus au ours de travauxantérieurs (Berne 1998), qui avaient pour but d'étudier le temps de réponse de bassinsversants urbains en fon tion de divers paramètres géomorphologiques et hydrométéorolo-giques. Pour ette étude, les données du réseau pluviométrique et du réseau limnimétriqueétaient su�santes.Le temps de réponse a été dé�ni omme le dé alage temporel entre le entre de gravitédu hyétogramme orrespondant à une impulsion de pluie (moyenne à l'é helle du bassin)181

Chapitre 8. Modélisation des bassins versantset le entre de gravité de l'hydrogramme généré à l'exutoire du bassin (voir �gure 8.3).

Q (m3/s)

I (mm/h)

temps

+

temps de réponse

Composante rapide

Composante lente

+

Fig. 8.3 � Dé�nition du temps de réponse d'un bassin versant.Plus pré isemment, seule la omposante � rapide � de l'hydrogramme est prise en ompte. En supposant que la dé rue suit une loi exponentielle ave des paramètres di�é-rents entre la réponse hydrologique rapide et lente d'un bassin, le hangement de pentede l'hydrogramme tra é sur des é helles logarithmiques marque la �n de la omposanterapide de la réponse.A�n de se rappro her le plus possible d'une impulsion de pluie, nous avons séle tionnépour haque bassin un ensemble d'épisodes de durées brèves, intenses (de umuls supé-rieurs à 20 mm) et surtout monopi s (en terme de pluie moyenne à l'é helle du bassin).À partir des � rapports d'orage � qui sont systématiquement établis après un évènementpluvieux ayant né essité une intervention des servi es de la SERAM, nous avons pu ob-tenir un é hantillon d'environ 5 épisodes pluvieux intenses et monopi s par bassin versant.La �gure 8.4 présente l'ensemble des temps de réponse obtenus en fon tion de la sur-fa e des bassins versants. Pour les situer par rapport à la littérature, des valeurs tirées deS haake et al. (1967) ont été ajoutées. Les temps de réponse s'é helonnent de 13 minutespour Périer et Figuier jusqu'à 1 heure pour La Pugette. Une analyse en orrélation mul-tiple a permis de montrer que la surfa e et la longueur du heminement hydraulique sontles variables les plus expli atives du temps de réponse. Une relation de type puissan esemble par ailleurs bien adaptée pour dé rire e lien.Cette appro he � empiriste � du fon tionnement hydrologique et hydraulique permetde dé�nir la gamme d'é helles temporelles (et don spatiales) dans laquelle nous allonstravailler pour la modélisation des bassins versants étudiés .182

8.3. Modélisation des bassins versants

1

10

100

1 10 100 1000 10000 100000

Marseille

Schaake

Temps de réponse en fonction de la surfacet (min)

S (ha)Fig. 8.4 � Temps de réponse en fon tion de la surfa e des bassins versants. Des valeursissues des travaux de S haake (1967) sur de petits bassins urbains ont été ajoutées.8.3 Modélisation des bassins versantsNous avons déterminé les bassins versants dont nous voulons étudier la réponse hy-drologique à une pluie donnée. Nous onnaissons aussi leurs ara téristiques géomorpho-logiques. Nous avons hoisi de modéliser la relation pluie-débit sur es bassins versants àl'aide du logi iel CANOË.8.3.1 Présentation de CANOËLe logi iel CANOË s'adresse en priorité aux gestionnaires de réseau d'assainissement. Ilrésulte du mariage entre deux des logi iels les plus utilisés dans e domaine en Fran e : CEDRE(INSA Lyon) et CAREDAS (SOGREAH). Ce n'est don pas un ode de al ul destiné àla re her he.La modélisation de la relation pluie-débit di�ère en milieu rural et en milieu urbain.En e�et, le réseau de drainage e�e tif des bassins versants peut être très di�érent du ré-seau de drainage topographique. De plus, on trouve de nombreux ouvrages hydrauliquesde omplexité variable au sein d'un réseau d'assainissement (seuil, vanne, hangement dese tion, pompe, ..) et il faut pouvoir les modéliser ar ils onditionnent fortement les é ou-lements. En�n, le modèle doit être apable de simuler à la fois les é oulements à surfa elibre et les é oulements en harge qui peuvent se produire au ours d'un épisode pluvieux,parti ulièrement s'il est intense.Nous avons hoisi le logi iel CANOË ar il est bien adapté à la modélisation hydrolo-gique et hydraulique en milieu urbain, malgré le manque de souplesse dans l'utilisationd'un logi iel ommer ial. Nous divisons la modélisation en deux parties distin tes : d'une183

Chapitre 8. Modélisation des bassins versantspart la modélisation hydrologique, qui simule les débits générés par une pluie sur un bas-sin versant, et d'autre part la modélisation hydraulique qui simule la propagation desé oulements dans le réseau d'assainissement.8.3.2 Modélisation hydrologiqueLa relation pluie-débit est onsidérée omme le produit de onvolution d'une fon tionde produ tion qui donne le ruissellement et d'une fon tion de transfert qui transformele ruissellement en débit à l'exutoire du bassin versant. Parmi l'ensemble des possibilitéso�ertes par CANOË, nous avons hoisi d'utiliser des fon tion de produ tion et de trans-fert simples, pour limiter le nombre de paramètres et les temps de al ul. La modélisationhydrologique porte sur les SBV, qui onstituent l'entité hydrologique élémentaire dansnotre des ription des BV.Pour des surfa es relativement limitées et une forte imperméabilisation des sols, nousavons supposé que la fon tion de produ tion pouvait être modélisée par un oe� ient deruissellement onstant : Reff(t) = CrRbrut(t) (8.1)où t représente le temps, Reff la pluie e� a e (qui ruisselle), Cr le oe� ient de ruissel-lement onstant au ours de l'épisode et Rbrut la pluie brute qui tombe sur le bassin. Leslames d'eau sont généralement exprimées en mm.De même, le modèle du réservoir linéaire (Dooge 1959) est hoisi omme fon tion detransfert : dVs(t)dt = Qe(t)�Qs(t) (8.2)Vs(t) = KQs(t) (8.3)ave Vs : volume sto ké dans le bassin versant (assimilé à un réservoir)Qe : débit de pluie e� a e à l'entrée du réservoirQs : débit à l'exutoire du réservoirK : paramètre unique du modèle, appelé lag time et homogène à un temps(8.2) est une équation de ontinuité qui dé rit l'évolution du volume sto ké sur le bassinet (8.3) représente l'équation de sto kage. En ombinant es deux équations, on obtientune équation di�érentielle que l'on résoud fa ilement et qui donne :Qs(t) = Qs(t0) + 1K tZt0 Qe(�) exp � � tK d� (8.4)Pour simuler des amortissements plus omplexes, il est possible de mettre en série plu-sieurs réservoirs linéaires. 184

8.3. Modélisation des bassins versantsLa modélisation hydrologique établie permet de déterminer le débit généré par une pluietombant sur un SBV, dans le adre des hypothèses faites. Pour les SBV des parties rurales,qui sont de grandes tailles et peu imperméabilisés, nous avons utilisé les mêmes modèlesen sa hant que ette modélisation n'est pas adaptée et peu physique. Nous supposonsdon que la ontribution en débit des zones urbanisées est prépondérante par rapport à elles des zones rurales.8.3.3 Modélisation hydrauliqueLe réseau d'assainissement olle te l'ensemble des débits générés sur tous les SBV. Ilfaut don modéliser la propagation de es é oulements dans le réseau jusqu'à l'exutoiredu BV. CANOË permet de modéliser des réseaux omplexes, omprenant des se tions de olle teurs et des ouvrages hydrauliques omplexes. Du fait de la topologie du réseau etde la résolution temporelle �ne, nous avons hoisi de modéliser les é oulements de manièrenon permanente en utilisant les équations de Barré de Saint Venant unidimensionnelles :�Q�t � QBA �h�t + �QA �Q�x � �Q2A2 �A�x + gA�h�x + gAQjQjD2 = 0 (8.5)1B �Q�x + �h�t = 0 (8.6)ave x : abs isse longitudinalet : tempsh : ote de la surfa e libreQ : débitB : largeur au miroirA : se tion mouilléeD : débitan eg : pesanteur� : oe� ient de répartition des vitessesCes équations dé rivent un é oulement unidimensionnel. Nous supposerons que les ara téristiques des é oulements que nous voulons modéliser sont pro hes des valeursmoyennes dans les se tions. Nous supposerons de plus que la on�guration du réseau esttelle qu'il n'y a pas de surélévation brusque de la ligne d'eau ou du fond pour pouvoirnégliger la omposante verti ale de la vitesse de l'é oulement.Ces équations dé rivent un é oulement à surfa e libre et nous avons pré isé en intro-du tion que le modèle devait permettre la modélisation d'un é oulement en harge sur ertains tronçons. Pour ela, on utilise l'arti� e de la fente de Preismann : on onsidèreque toutes les analisations sont reliées à l'air libre par une fente très min e qui ne per-turbe pas l'é oulement et qui assure la validité des équations pré édentes.En�n, les simulations des é oulements en régime non permanent nous ont permis de185

Chapitre 8. Modélisation des bassins versantsvéri�er que les e�ets d'instationnarité étaient négligeables dans les se tions de ontr�ledes apteurs et don que le débit pouvait être déduit des mesures de hauteurs en utilisantune ourbe de tarage (Berne 1998).Pour résumer, le modèle de ha un des huit BV retenus est omposé des modèleshydrologiques de l'ensemble des SBV qui le omposent puis du modèle hydraulique duréseau de drainage du BV (voir �gure 8.5).

Modélisation hydrologique

SBV

Réseau de drainageModélisation hydraulique

Fig. 8.5 � S héma adopté pour la modélisation des bassins versants.8.3.4 Calage des modèles8.3.4.1 Paramètre de alageLe modèle de BV omprend 5 paramètres prin ipaux : le oe� ient de ruissellement etle lag time pour l'hydrologie d'un �té et la se tion, la pente et la rugosité des olle teurspour l'hydraulique de l'autre.Les données des riptives du réseau disponibles à la SERAM et à la division Hydrologieet Urbanisme de la Ville de Marseille permettent d'estimer la se tion ara téristique, lapente et la rugosité des tronçons de réseau. De plus, es paramètres peuvent être onsi-dérés omme onstants au ours du temps.186

8.3. Modélisation des bassins versantsPar ailleurs, il existe de nombreuses formules empiriques qui donnent le lag time enfon tion des ara téristiques géomorphologiques du bassin. On peut iter par exemple :Nash : 29:6 (A=I)0:3Passini : t = 0:14 (A:L)1=3:I�0:5Ventura : 0:763 (A=I)0:5Il est don possible d'estimer le lag time à partir des données géomorphologiques des SBV.Il reste en�n le oe� ient de ruissellement que nous avons hoisi omme paramètre de alage. Nous ne disposons ependant que d'une seule mesure à l'exutoire de haque BV. Ilfaut réduire autant que possible le nombre de paramètres à ajuster. Nous avons supposéque la distribution dans l'espa e du oe� ient de ruissellement est identique à elle du oe� ient d'imperméabilisation, plus fa ilement mesurable. Le paramètre de alage hoisiest le oe� ient de ruissellement moyen à l'é helle du BV, qui est spatialisé à l'é helle desSBV ave la distribution du oe� ient d'imperméabilisation. Nous avons don �nalementun seul paramètre de alage pour une seule mesure à l'exutoire de haque BV.8.3.4.2 Critère de alageLe ritère hoisi pour quali�er et quanti�er le rapport entre les séries de valeurs simuléeset mesurées est à nouveau le ritère de Nash. En e�et, il permet de juger à la fois de la o-�u tuation des séries et de l'existen e d'un éventuel biais. Dans le adre de la omparaisonde séries de débit, e ritère permet d'évaluer la dynamique et le volume d'é oulementsimulés.8.3.4.3 Choix des épisodes pluvieuxPour réaliser le alage des modèles, il faut se donner un é hantillon d'épisodes pluvieux.Lorsque e alage a été réalisé, l'épisode du 05/10 n'avait pas été retenu (pour de mauvaisesraisons), mais nous avions séle tioné en plus des épisodes du 07/09 et du 11/09 deux autresévènements moins intenses : le 04 et le 30 Septembre 1998. Les artes de umul total depluie sont présentées sur la �gure 8.6.Bien que moins intenses que les épisodes du 07/09 et du 11/09, eux du 04/09 et du30/09 montrent une ertaine variabilité spatiale. Cet é hantillon de 4 épisodes pluvieuxservira à l'étude de l'in�uen e de la variabilité spatiale des pré ipitations.

187

Chapitre 8. Modélisation des bassins versants

Fig. 8.6 � Cumul total de pluie pour les épisodes du 04/09 et du 30/09.

188

Chapitre 9In�uen e de la variabilité spatiale despré ipitationsNous avons onstruit des modèles qui permettent de simuler la relation pluie-débit pourun ensemble de bassins versants qui ont des ara téristiques de surfa es et d'o upationdes sols variées.La omparaison de la réponse hydrologique simulée de et ensemble de bassins à desentrées pluie de di�érentes résolutions spatiales ave les mesures de débit va permettred'étudier l'in�uen e de la variabilité spatiale des pré ipitations.Nous détaillerons tout d'abord le al ul des lames d'eau à di�érentes résolutions spa-tiales. Puis nous analyserons la qualité des simulations par rapport aux mesures.9.1 Cal ul des lames d'eauLe dé oupage utilisé in ite à al uler les lames d'eau qui serviront d'entrée aux modèlesde BV pour trois résolutions spatiales : une lame d'eau moyenne à l'é helle de la zoned'étude, une lame d'eau moyenne à l'é helle du BV et en�n une lame d'eau moyenne àl'é helle du SBV. Ces lames d'eau ont été al ulées pour les 4 épisodes pluvieux présentéspré édemment.La lame d'eau moyenne à l'é helle de la zone d'étude est al ulée en moyennant lesmesures de tous les pluviomètres du réseau. Il faut noter que la taille de la zone d'étude(autour de 250 km2) est de l'ordre d'une maille de modèle atmosphérique régional et bienplus petite qu'une maille de modèle de ir ulation générale (10000 km2).Pour al uler les lames d'eau moyennes à l'é helles des BV et des SBV, nous avons aupréalable interpolé par krigeage les mesures des pluviomètres sur une grille de 1x1 km2. Enraison du nombre limité de pluviomètres, le variogramme a été onsidéré omme isotropebien que l'analyse stru turale menée dans la deuxième partie ait montrée une anisotropie189

Chapitre 9. In�uen e de la variabilité spatiale des pré ipitationssensible des hamps de pluie.Nous avons alors moyenné les valeurs de pluie aux noeuds de grille ontenus dans lesBV pour les lames d'eau moyennes à l'é helle des BV et ontenus dans les SBV pour leslames d'eau moyennes à l'é helle des SBV.9.2 Lame d'eau moyenne sur la zone d'étudeLes modèles de BV ont été alés en suivant la pro édure expliquée plus haut. Le oe� ient de ruissellement moyen est initialisé ave la valeur du oe� ient d'imperméa-bilisation moyen. On obtient don un oe� ient de ruissellement moyen optimum pour haque épisode de pluie. Cette valeur optimale peut varier d'un épisode à l'autre pour unmême BV, mais reste globalement pro he d'une valeur moyenne, que nous avons hoisipour paramètre du modèle du BV. Cette stabilité du oe� ient de ruissellement moyenmontre que e paramètre a un ertain sens physique.La �gure 9.1 présente les valeurs d'e� ien e obtenues en omparant les débits mesuréset les débits simulés ave les lames d'eau moyennes sur la zone d'étude, pour les quatreépisodes. Les valeurs d'e� ien e négatives ont été ramenées à 0 pour la lisibilité de la�gure.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 10 100 1000 10000 100000S (ha)

Efficience Lame d'eau moyenne sur la zone

Fig. 9.1 � Valeurs d'e� ien e en fon tion de la surfa e pour les débits simulés ave leslames d'eau moyennes sur la zone d'étude, pour les 8 BV et les 4 épisodes.La majorité des valeurs d'e� ien e est supérieure à 0.6, mais la dispersion varie suivantles BV et elle semble moins importante pour les BV de grande surfa e. Par ailleurs, ladensité du réseau de pluviomètres n'est pas uniforme sur toute le domaine d'étude et lamoyenne des mesures est plus représentative de la zone de forte densité de pluviomètres(le entre ville et le Sud de l'agglomération). L'é art entre la lame d'eau utilisée en entrée190

9.2. Lame d'eau moyenne sur la zone d'étudedes modèles et la lame d'eau réelle est don sans doute moins important pour les BVsitués dans ette zone.Les BV pour lesquels la qualité des simulations est la moins bonne sont Figuier, LesAygalades et La Grave. Figuier et les Aygalades sont situés dans le Nord-Est de la zoned'étude. En fon tion du sens de dépla ement des systèmes pré ipitants, es deux BVpeuvent être tou hés par la pluie plus t�t ou plus tard que la zone de forte densité depluviomètres. L'hydrogramme simulé à partir de la lame d'eau moyenne à l'é helle de lazone d'étude pourra être en avan e ou en retard par rapport à l'hydrogramme mesuré, omme l'illustre la �gure 9.2 qui montre les hydrogrammes mesurés et simulés pour le BVde Figuier pour l'épisode du 04/09 et elui des Aygalades pour l'épisode du 30/09.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 20 40 60 80 100 120 140

Qmes

Qsim

temsp (min)

Q (m3/s) Figuier, 04/09/1998

0

2

4

6

8

10

12

0 100 200 300 400

Qmes

Qsim

temps (min)

Q(m3/s) Les Aygalades , 30/09/1998

Fig. 9.2 � Dé alage de la pluie moyenne sur la zone pour les BV de Figuier et desAygalades. Les hydrogrammes présentés sont au pas de temps 6 minutes.Pour le BV de La Grave, qui est situé de même en-dehors de la zone de forte densitéde pluviomètres, les défauts de la simulation semblent provenir du dé alage de la pluiemoyenne mais aussi d'un modélisation inadéquate des pro essus. La �gure 9.3 illustre esdéfauts pour l'épisode du 04/09.0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 100 200 300

Qmes

Qsim

temps (min)

Q(m3/s) La Grave , 04/09/1998

Fig. 9.3 � Débit simulé ave la lame d'eau moyenne sur la zone d'étude et mesuré pourLa Grave, pour l'épisode du 04/09 et au pas de temps 6 minutes.La lame d'eau moyenne sur la zone d'étude permet de re onstituer des hydrogrammes ohérents ave les mesures sauf pour les BV situés en périphérie du réseau de pluviomètres.191

Chapitre 9. In�uen e de la variabilité spatiale des pré ipitations9.3 Lame d'eau moyenne sur les BVLe proto ole suivi est identique. La �gure 9.4 présente les valeurs d'e� ien e obtenuesen omparant les débits mesurés et les débits simulés ave les lames d'eau moyennes àl'é helle des BV en entrée, pour les quatre épisodes.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 10 100 1000 10000 100000S (ha)

Efficience Lame d'eau moyenne sur les BV

Fig. 9.4 � Valeurs d'e� ien e en fon tion de la surfa e pour les débits simulés ave leslames d'eau moyennes sur les BV, pour les 8 BV et les 4 épisodes.L'augmentation des valeurs d'e� ien e est signi� ative, notamment pour les BV de pe-tites surfa es. L'e� ien e est globalement supérieure à 0.7 pour les lames d'eau moyennessur les BV.La qualité des simulations de débit pour les BV de Figuier et des Aygalades s'améliorentnettement, omme le montre la �gure 9.5.0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 20 40 60 80 100 120 140

Qmes

Qsim

temps (min)

Q (m3/s) Figuier , 04/09/1998

02468

10121416

0 100 200 300 400

QmesQsim

temps (min)

Q (m3/s) Les Aygalades , 30/09/1998

Fig. 9.5 � Débits simulés et mesurés ave les lames d'eau moyennes sur les BV, pourFiguier (04/09) et les Aygalades (30/09), au pas de temps 6 minutes.Le al ul de la lame d'eau moyenne sur les BV n'engendre plus le dé alage temporel192

9.3. Lame d'eau moyenne sur les BV onstaté pour les simulations réalisées à partir de la lame d'eau moyenne sur la zoned'étude.En revan he, la qualité ne s'améliore guère pour le BV de La Grave. Les défauts de lamodélisation restent visibles, omme le montre la �gure 9.6.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 50 100 150 200 250 300

Qmes

Qsim

temps (min)

Q (m3/s) La Grave , 04/09/1998

Fig. 9.6 � Débit simulé ave la lame d'eau moyenne sur le BV et mesuré pour La Grave,pour l'épisode du 04/09 et au pas de temps 6 minutes.A�n d'analyser plus spé i�quement l'apport de la spatialisation des lames d'eau àl'é helle des BV par rapport à une moyenne globale, nous avons simulé le débit des BVave la lame d'eau moyenne sur les BV et omme paramètre le oe� ient de ruissellementmoyen déduit du alage des modèles ave la lame d'eau moyenne sur la zone d'étude. La�gure 9.7 présente l'é art entre ette valeur d'e� ien e et elle obtenue ave la lame d'eaumoyenne sur la zone d'étude.

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1 10 100 1000 10000 100000S (ha)

Diff. efficience

Fig. 9.7 � É art d'e� ien e en fon tion de la surfa e, pour les 8 BV et les 4 épisodes.Les é arts sont globalement positifs, e qui signi�e que les débits simulés ave les lamesd'eau moyennes sur les BV et les oe� ents de ruissellement obtenus par alage ave les193

Chapitre 9. In�uen e de la variabilité spatiale des pré ipitationslames d'eau moyennes sur la zone d'étude sont plus pro hes des débits mesurés. L'apportde la spatialisation de la pluie à l'é helle des BV en terme de qualité des simulations dedébit à l'exutoire est ainsi mis en éviden e. De plus, les valeurs des é arts on�rment quel'amélioration signi� ative onstatée pour les BV de petites surfa es est bien due à laspatialisation de la pluie.9.4 Lame d'eau moyenne sur les SBVDe la même manière que pré édemment, la �gure 9.8 présente les valeurs d'e� ien eobtenues entre les débits simulés ave les lames d'eau moyennes sur les SBV et les débitsmesurés, pour un oe� ient de ruissellement moyen alé sur les quatre épisodes.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 10 100 1000 10000 100000S (ha)

Efficience Lame d'eau moyenne sur les SBV

Fig. 9.8 � Valeurs d'e� ien e en fon tion de la surfa e pour les débits simulés ave leslames d'eau moyennes sur les SBV, pour les 8 BV et les 4 épisodes.Les valeurs d'e� ien e augmentent par rapport à elles al ulées ave les lames d'eaumoyennes sur les BV, mais d'un se ond ordre de grandeur devant l'augmentation onstatéeà la se tion pré édente. On remarque que la valeur moyenne de l'e� ien e se situe autourde 0.8, sauf pour les BV de La Grave et des Aygalades. Les débits sont don orre tementsimulés pour la majorité des BV.Pour quanti�er l'apport de la spatialisation de la pluie à l'intérieur des BV, les é artsd'e� ien e sont présentés sur la �gure 9.9.Les é arts sont globalement positifs pour les BV de grande surfa e, mais sont plusfaibles que les é arts présentés pré édemment. Ils restent négligeables pour les BV depetite surfa e.La spatialisation de la pluie à l'é helle des SBV n'améliore don pas signi� ativement194

9.5. Con lusion

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1 10 100 1000 10000 100000S (ha)

Diff. efficience

Fig. 9.9 � É art d'e� ien e en fon tion de la surfa e, pour les 8 BV (dé oupés en SBV)et les 4 épisodes.la qualité des simulations de débits en omparaison de la spatialisation à l'é helle des BV,ex epté pour les grands BV.9.5 Con lusionDans ette dernière partie, nous avons étudié l'in�uen e de la spatialisation de la pluieà di�érentes é helles sur la qualité de simulation du débit pour un ensemble varié de bas-sins versants urbains et péri-urbains.Pour ela, nous avons dans un premier temps dé oupé les bassins versants en sous bas-sins versants, dont nous avons modélisé le fon tionnement hydrologique et hydrauliqueen adoptant des hypothèses fortes qui permettent des formulations simples. Puis, a�n den'avoir qu'un seul paramètre à ajuster, nous avons dé�ni un oe� ient de ruissellementmoyen à l'é helle des bassins.Après avoir séle tionné un é hantillon d'épisodes pluvieux, nous avons alé les modèlesde bassins versants pour trois résolutions spatiales de lame d'eau : à l'é helle de la zoned'étude, à l'é helle des bassins et en�n à l'é helle des sous bassins. Les valeurs du o-e� ient de ruissellement moyen obtenues sont relativement stables autour d'une valeurmoyenne pour haque bassin, que nous avons retenue omme valeur ajustée du paramètredes modèles.L'analyse de l'e� ien e entre les valeurs de débit simulées pour les trois résolutionsspatiales et les valeurs de débit mesurées a montré l'apport de la spatialisation des pré i-195

Chapitre 9. In�uen e de la variabilité spatiale des pré ipitationspitations en terme de qualité de simulation de débit à pas de temps �n, pour un ensemblede bassins versants urbains et péri-urbains de tailles réduites, omme l'ont montré pourdes bassins plus petits Faurès et al. (1995). D'autre part, le modèle simple de bassin uti-lisé a montré sa apa ité à re onstituer orre tement le débit, e qui valide en partie leshypothèses et les modélisations adoptées.Ces résultats sont toutefois soumis aux limitations dues à la taille limitée et à la spé i-� ité de l'é hantillon de bassins versants et d'épisodes pluvieux utilisés. Les lames d'eauspatialisées al ulées sont par ailleurs très dépendantes de la répartition spatiale des plu-viomètres au sein de la zone d'étude. Nous aurions souhaité utiliser l'imagerie radar pourétudier la spatialisation des lames d'eau, mais nous avons montré la faible qualité en termed'intensité pluvieuse des images du radar de Nîmes sur la zone d'étude et la portée limitéede la orre tion de l'in�uen e de la stru ture verti ale à l'aide du PVR estimé à Vernetpour le pas de temps de 6 minutes. L'élaboration d'un ritère de qualité spatiale des lamesd'eau qui ombine l'information pluviométrique et l'information radar onstitue une pistepour quanti�er l'in�uen e de l'é hantillonnage du réseau de pluviomètres.

196

Sixième partieCon lusions et perspe tives

197

Con lusions et perspe tivesCon lusionsLe travail présenté dans e mémoire a pour but prin ipal de ontribuer à une meilleure ompréhension et une meilleure onnaissan e du fon tionnement des pré ipitations mé-diterranéennes intenses. Il s'appuie sur les données olle tées au ours de la ampagneHIRE 98 qui s'est déroulée à Marseille.Nous avons dans un premier temps travaillé à l'estimation du PVR à partir des mesuresdes deux radars bande X, pour lesquelles les défauts d'étalonnage et l'atténuation sont lesprin ipales sour es d'erreur. La présen e d'un é ho de montagne a permis de o-étalonnerles deux radars et de orriger l'atténuation pour les sites rasants. La orre tion a ensuiteété étendue en altitude en appliquant une te hnique originale qui repose sur une méthodeinverse. L'e� a ité de es orre tions est toutefois limitée, notamment à ause de l'am-bigüité intrinsèque de l'atténuation.À l'aide des PVR ainsi estimés, nous avons alors étudié l'in�uen e de l'hétérogénéitéde la stru ture verti ale des pré ipitations sur la mesure de pluie par un radar lointain.Le al ul de l'erreur théorique induite a été validé par omparaison des hyétogrammesmesurés au sol et déduits des données radar pour le site de Vernet. Nous avons ensuite dé-terminé la représentativité spatiale du PVR relatif en analysant la qualité des orre tions,estimées ave le PVR relatif à Vernet, appliquées à l'ensemble des pluviomètres du réseau.Ave les mesures orrigées de l'atténuation des deux radars bande X, nous avons ana-lysé l'organisation des pré ipitations à petite é helle dans le plan verti al. La stru turemoyenne (pour la durée de l'épisode) est in linée dans le sens de l'adve tion et a uneextension spatiale et temporelle qui diminue ave l'altitude. Cette forme orrespond aumodèle simple de ellule génératri e de pluie. Les mesures du réseau de pluviomètres etdu radar de Nîmes nous ont permis d'étudier la stru ture des pré ipitations à une plusgrande é helle, ave toutefois une résolution plus grossière. La stru ture moyenne (pourla durée de l'épisode) est anisotrope et résulte de l'emboîtement de di�érentes stru turesspatiales pour la gamme d'é helles explorée. Elle est de plus ohérente ave l'intégrationtemporelle et spatiale du modèle de ellule génératri e de pluie. L'analyse struturale a étémenée sur la globalité des épisodes, mais les mesures de très haute résolution du radarX-Pointeur en parti ulier montrent que des phénomènes de di�érentes stru tures se su - èdent ou o-existent au ours d'un même évènement pluvieux.Nous avons en�n étudié l'impa t de ette organisation spatiale parti ulière en terme dedébit générés sur un ensemble de bassins versants urbains et péri-urbains. Le fon tionne-ment de es bassins a été simulé ave une modélisation on eptuelle simple de la relationpluie-débit et une modélisation plus omplexe de la propagation des é oulements, pourdes lames d'eau de di�érentes résolutions spatiales en entrée. L'apport de la spatialisationde la pluie dans la qualité des simulations de débit pour des bassins versants de taille omprise entre 38 ha et 100 km2 et diversement urbanisés a ainsi pu être montrée. La199

Con lusions et perspe tivesrelation entre la surfa e du bassin versant et la qualité des simulations est di� ile à éta-blir ar les bassins, bien que tous urbanisés, ont des ara téristiques géomorphologiquesdi�érentes et sont instrumentés di�éremment.Perspe tivesÉtude des mesures radarIl est apparu que l'étalonnage des apteurs radar est primordial pour l'étude quan-titative des mesures de pluie par radar et pour la orre tion de l'atténuation. Il seraitopportun d'assurer la robustesse des oe� ients d'étalonnage obtenus, et en parti ulierles relations de ré-étalonnage utilisées pour les mesures du radar X-Pointeur.Analyse stru turale des hamps de pluieL'étude �ne des spe tres de distributions des tailles de gouttes à l'aide des mesures desspe tropluviomètres optiques et du disdromètre pourrait permettre de valider le modèlede ellule de pluie génératri e adopté, en montrant le tri granulométrique asso ié à emodèle.L'analyse de l'intermitten e et de la variabilité en soi pour un seuil sur les ré�e tivitésvariable pourrait par ailleurs permettre de mieux ara tériser les di�érentes stru turesspatiales et temporelles emboîtées mises en éviden es par l'analyse des variogrammes 2D.Les mesures à haute dé�nition du radar X-Pointeur in itent à isoler des périodes homo-gènes au sein des épisodes et à onduire les analyses stru turales spatiales et temporellesà des résolutions plus �nes.Impa t hydrologique de la variabilité spatiale des pré ipitationsLa inquième partie de e mémoire onstitue une première étape que nous souhaite-rions poursuivre en dé�nissant un ritère de qualité spatiale des lames d'eau obtenues parkrigeage. Ce ritère permettrait de quanti�er l'e�et de l'é hantillonnage dû à la réparti-tion des pluviomètres sur la zone d'étude.Il nous semble intéressant aussi d'étudier d'une part l'évolution de la qualité des simu-lations de débits en fon tion de e ritère de qualité spatiale des lames d'eau et d'autrepart d'estimer l'in�uen e de la surfa e sur la relation pluie-débit en analysant l'évolutionde es deux ritères en fon tion de la surfa e des bassins versants.À plus long termeLa prin ipale limitation à la généralisation des résultats obtenus vient de l'é hantillonlimité d'épisodes pluvieux, qui représentent environ 12 heures au total. Une première200

Con lusions et perspe tivesétape né essaire à la poursuite de e travail serait don d'augmenter le nombre d'épisodespluvieux analysés et d'étendre la région d'étude. Il s'agit d'un des prin ipaux obje tifsde l'Observatoire Hydrométéorologique Méditerranéen Cévennes-Vivarais (OHM-CV) quivise à fédérer les e�orts des her heurs en hydrologie et météorologie pour une meilleure onnaissan e des pro essus qui gouvernent les épisodes pluvieux méditerranéens intenses.

201

Con lusions et perspe tives

202

Référen esAndrieu H. et J. Creutin (1995). Identi� ation of verti al pro�les of radar re�e tivityfor hydrologi al appli ations using an inverse method. Part I : formulation. Journal ofApplied Meteorology 34(1), pp. 225�239.Arnaud P., C. Bouvier, L. Cisneros et R. Dominguez (2002). In�uen e of rainfallspatial variability on �ood predi tion. Journal of Hydrology 260(1-4), pp. 216�230.Atlas D. et C. Ulbri h (1990). Early foundations of the measurement of rainfall by radar.In D. Atlas (Ed.), Radar Meteorology, pp. 86�97. Ameri an Meteorologi al So iety.Austin P. et R. Houze (1972). Analysis of the stru ture of pre ipitation patterns in NewEngland. Journal of Applied Meteorology 11, pp. 926�935.Baran ourt C., J.-D. Creutin et J. Rivoirard (1992). A method for delineating andestimating rainfall �elds. Water Resour es Resear h 28(4), pp. 1133�1144.Barret I., V. Ja q et J.-C. Rivrain (1994). Une situation à l'origine de pluies diluviennesen région méditerranéennes. l'épisode orageux du 22 et 23 septembre 1993 sur le Sud-Estde la fran e. La Météorologie, huitième série, 7, pp. 38�60.Beard K. (1976). Terminal velo ity and shape of loud and pre ipitation drops aloft. Jour-nal of the Atmosheri S ien es 33, pp. 851�864.Berndtsson R. et J. Niem zynowi z (1988). Spatial and temporal s ales in rainfallanalysis, some aspe t and future perspe tives. Journal of Hydrology 100(1-4), pp. 293�313.Berne A. (1998). Vers une analyse spatiale de la relation pluie-débit en milieu urbain : pre-miers résultats de l'expérien e HIRE 98 à Marseille. mémoire de DEA, Université JosephFourier, Grenoble.Binder P. et C. S här (1996). Mesos ale Alpine Programme : design proposal. Züri h :Swiss Meteorologi al Institut.Borga M., E. Anagnostou et W. Krajewski (1997). A simulation approa h for vali-dation of a bright band orre tion method. Journal of Applied Meteorology 36(11), pp.1507�1518.Bougeault P., P. Binder, A. Buzzi, R. Dirks, R. Houze, J. Kuettner, R. Smith,R. Steina ker et H. Volkert (2000). The MAP spe ial observing period. Bulletin ofthe Ameri an Meteorologi al So iety 82(3), pp. 433�462.Clu kie I., R. Gri�th, A. Lane et K. Tilford (2000). Radar hydrometeorology usinga verti ally pointing radar. Hydrology and Earth System S ien es 4(4), pp. 565�580.203

Référen esCressie N. (1993). Statisti s for spatial data. Probability and Mathemati al Statisti s.Wiley, pp. 900.Creutin J.-D. (1979). Méthodes d'interpolation optimale de hamps hydrométéorologiques.Comparaison et appli ation à une série d'épisode pluvieux évenols. Thèse de do teur-ingénieur, Institut National Polyte hnique de Grenoble, Grenoble, pp. 178.Creutin J.-D. et C. Obled (1982). Obje tive analyses and mapping te hniques for rainfall�elds : an obje tive omparison. Water Resour es Resear h 18(2), pp. 413�431.Datin R. (1998). Outils opérationnels pour la prévision des rues rapides : traitement desin ertitudes et intégration des prévisions météorologiques. Développement de TOPMO-DEL pour la prise en ompte de la variabilité spatiale de la pluie. Appli ation au bassinversant de l'Ardè he. Thèse de do torat, Institut National Polyte hnique de Grenoble,pp. 369.Dawdy D. et J. Bergmann (1969). E�e t of rainfall variability on stream�ow simulation.Water Resour es Resear h 5(5), pp. 958�966.Delhomme J. (1976). Appli ations de la théorie des variables régionalisées dans les s ien esde l'eau. Thèse de do teur-ingénieur, Université Pierre et Matie Curie, Paris VI, pp. 130.Delrieu G. (1986). Évaluation d'un radar météorologique pour la mesure des pré ipita-tions : validation et étalonnage par te hnique géostatistique ; appli ation au bassin pari-sien. Thèse de do teur-ingénieur, Institut National Polyte hnique de Grenoble, Grenoble,pp. 200.Delrieu G., S. Caoudal et J.-D. Creutin (1997). Feasibility of using mountain returnfor the orre tion of ground-based X-band weather radar data. Journal of Atmospheri and O eani Te hnology 14(3), pp. 368�385.Delrieu G., J.-D. Creutin et H. Andrieu (1995). Simulation of radar mountain returnsusing a Digitized Terrain Model. Journal of Atmospheri and O eani Te hnology 12(5),pp. 1038�1049.Delrieu G., J.-D. Creutin et I. Saint André (1991). Mean k-R relationships : pra ti- al results for typi al weather radar wavelengths. Journal of Atmospheri and O eani Te hnology 8(4), pp. 467�476.Delrieu G., L. Hu ke et J.-D. Creutin (1999). Attenuation in rain for X-band andC-band weather radar systems : sensitivity with respe t to the drop size distribution.Journal of Applied Meteorology 38(1), pp. 57�68.Delrieu G., S. Serrar, E. Guardo et J.-D. Creutin (1999). Rain measurement in hillyterrain with X-band weather radar systems : a ura y of path-integrated attenuationestimates derived from mountain returns. Journal of Atmospheri and O eani Te h-nolgy 16(4), pp. 405�415.Dooge J. (1959). A general theory of the unit hydrograph. Journal of Geophysi al Re-sear h 64(2), pp. 241�256.Doviak R. et D. Zrni (1993). Doppler radar and weather observations, se ond edition.San Diego : A ademi Press, pp. 562.Fabry F. (1993). Wind-pro�le estimation by onventional radars. Journal of Applied Me-teorology 32(1), pp. 40�49. 204

Référen esFaurès J., D. Goodri h, D. Woolhiser et S. Sorooshian (1995). Impa t of small-s ale spatial rainfall variability on runo� modeling. Journal of Hydrology 173(1-4), pp.309�326.Gelbert-Baran ourt C. (1990). Étude de l'intermitten e et de la variabilité des hampsde pré ipitation par une appro he sto hastique. Thèse de do torat, Université JosephFourier, Grenoble, pp. 271.Germann U. et J. Joss (2001). Variograms of radar re�e tivity to des ribe the spatial ontinuity of alpine pre ipitation. Journal of Applied Meteorology 40(6), pp. 1042�1059.Goovaerts P. (1997). Geostatisti s for natural resour es evaluation. Applied Geostatisti sSeries. Oxford University Press, pp. 483.Gunn R. et J. Marshall (1955). The e�e t of wind shear on falling pre ipitation. Journalof Meteorology 12(4), pp. 339�349.Guyot A. et J. Testud (1999). The dual beam te hnique applied to airborne loud radar.Journal of Atmospheri and O eani Te hnology 16(7), pp. 924�938.Haddad Z., E. Im et S. Durden (1995). Intrinsi ambiguities in the retrieval of rain ratesfrom radar returns at attenuating wavelengths. Journal of Applied Meteorology 34, pp.2667�2679.Hits hfeld W. et J. Bordan (1954). Errors inherent in the radar measurements of rainfallat attenuating wavelengths. Journal of Meteorology 11, pp. 58�67.Houze R. (1993). Cloud dynami s. San Diego : A ademi Press, pp. 573.Isaaks E. et R. Srivastava (1989). An introdu tion to applied geostatisti s. New York :Oxford Univeristy Press, pp. 561.Jones D. (1956). Rainfall drop-size distribution and radar re�e tivity. Illinois State WaterSurvey.Joss J. et A. Waldvogel (1990). Pre ipitation measurement and hydrology. In D. Atlas(Ed.), Radar in Meteorology, pp. 577�606. Ameri an Meteorology So iety.Journel A. (1983). Non parametri estimation of spatial distributions. Mathemati al Geo-logy 15(3), pp. 445�467.Journel A. et C. Huijbregts (1978). Mining geostatisti s. London : A ademi Press, pp.600.Kabè he A. et J. Testud (1995). Stereoradar meteorology : a new uni�ed approa h topro ess data from airborne or ground-based meteorologi al radars. Journal of Atmos-pheri and O eani Te hnology 12, pp. 783�800.Lebel T. (1984). Moyenne spatiale de la pluie sur un bassin versant : estimation optimale,génération sto hastique et gradex des valeurs extrêmes. Thèse de do teur-ingénieur, Ins-titut National Polyte hnique de Grenoble, Grenoble, pp. 347.Lebel T., G. Bastin, C. Obled et J.-D. Creutin (1987). On the a ura y of arealrainfall estimation : a ase study. Water Resour es Resear h 23(11), pp. 2123�2134.Marshall J. et W. Hits hfeld (1953). Interpretation of the �u tuating e ho from ran-domly distributed s atterers. Part I. Canadian Journal of Physi s 31, pp. 962�994.205

Référen esMarshall J., W. Hits hfeld et K. Gunn (1955). Advan es in radar weather. Advan esin Geophysi s 2, pp. 1�56.Marzoug M. et P. Amayen (1994). A lass of single and dual frequen y algorithms forrain-rate pro�ling from a spa e born radar. Part i : prin iple and tests from numeri alsimulations. Journal of Atmospheri and O eani Te hnology 11(6), pp. 1480�1506.Matheron G. (1965). Les variables régionalisées et leur estimation. Paris : Masson et Cie,pp. 305.Menke W. (1989). Geophysi al Data Analysis : Dis rete Inverse Theory. InternationalGeophysi s Series. A ademi Press, pp. 289.Munoz-Pardo J. (1987). Appro he géostatistique de la variabilité spatiale des milieux géo-physiques. Appli ation à l'é hantillonnage de phénomènes bidimensionnels par simula-tion d'une fon tion aléatoire. Thèse de do torat, INPG, pp. 254.Obled C. (1997). Cours d'initiation à la géostatistique.Obled C., J. Wendling et K. Beven (1994). The sensitivity of hydrologi al models tospatial rainfall patterns : an evaluation using observed data. Journal of Hydrology 159(1-4), pp. 305�333.O'Connell P. et E. Todini (1996). Modelling of rainfall, �ow and mass transport inhydrologi al systems : an overview. Journal of Hydrology 175(1), pp. 3�16.Pellarin T. (2001). Visibilité hydrologique de radars météorologiques opérant en régionmontagneuses : appli ation au bassin versant de l'Ardè he. Thèse de do torat, UJF, pp.200.Pellarin T., G. Delrieu, G.-M. Saulnier, H. Andrieu, B. Vignal et J.-D. Creutin(2002). Hydrologi visibility of weather radars operating in mountainous regions, asestudy for the Ardè he at hment (Fran e). Journal of Hydrometeorology 3(5), pp. 539�555.Probert-Jones J. (1962). The radar equation in meteorology. Quaterly Journal of theRoyal Meteorologi al So iety 88, pp. 485�495.Rivrain J.-C. (1997). Les épisodes orageux à pré ipitations extrêmes sur les régions mé-diterranéennes de la fran e. Phénomènes remarquables 4, Météo Fran e.Rogers R. et M. Yau (1989). Cloud physi s (Troisième ed.). Pergamon Press, pp. 293.Roux F. (1991). Les orages. Météorologie des grains, de la grêle et des é lairs. Paris : Payot,pp. 354.Salles C., D. Sempere-Torres et J.-D. Creutin (1999). Chara terisation of raindropsize ditribution in mediterranean limate : analysis of the variations on the Z-R rela-tionship. In 29th Conferen e on Radar Meteorology, Montréal, Canada, pp. 670�673.Ameri an Meteorologi al So iety.San hez-Diezma R., I. Zawadzki et D. Sempere-Torres (2000). Identi� ation of thebright band through the analysis of volumetri radar data. Journal of the Atmospheri S ien es 27, pp. 299�307.Saulnier G.-M. et R. Datin (2002). Analyti al solving of a bias in the topmodel frame-work water balan e. Hydrologi al Pro esses , sous presse.206

Référen esSauvageot H. (1982). Radarmétéorologie, télédéte tion a tive de l'atmosphère. Eyrolles,pp. 296.Sauvageot H. et M. Ko� (2000). Multimodal raindrop size distributions. Journal of theAtmospheri S ien es 57(15), pp. 2480�2492.S haake J., J. Geyer et J. Knapa (1967). Experimental evaluation of the rationalmethod. Pro . of ASCE, Journal of the Hydrauli s Division 93(HY6), pp. 335�369.Sekhon R. et R. Srivastava (1970). Snow size spe tra and radar re�e tivity. Journal ofthe Atmospheri S ien es 27, pp. 299�307.Sempere-Torres D., J. Porrà et J.-D. Creutin (1994). A general formulation for rain-drop size distribution. Journal of Applied Meteorology 33, pp. 1494�1502.Sempere-Torres D., J. Porrà et J.-D. Creutin (1998). Experimental eviden e of ageneral des ription for raindrop size distribution properties. Journal of Geophysi al Re-sear h 103(D2), pp. 1785�1797.Sempere-Torres D., R. San hez-Diezma, I. Zawadzki et J.-D. Creutin (1999).DSD identi� ation following a pre- alssi� ation of rainfall type from radar analysis.In 29th Conferen e on Radar Meteorology, Montréal, Canada, pp. 632�635. Ameri anMeteorologi al So iety.Serrar S., G. Delrieu, J.-D. Creutin et R. Uijlenhoet (2000). Mountain referen ete hnique : use of mountain returns to alibrate weather radars operating at attenuatingwavelengths. Journal of Geophysi al Resear h 105(D2), pp. 2281�2290.Shah S., P. O'Connel et J. Hosking (1996). Modelling the e�e ts of spatial variabilityin rainfall on at hment response. 1. Formulation and alibration of a sto hasti rainfall�eld model. Journal of Hydrology 175(1), pp. 67�88.Steiner M., R. Houze et S. Yuter (1995). Climatologi al hara terization of three-dimensional storm stru ture from operational radar and rain gauge data. Journal ofApplied Meteorology 34(10), pp. 1978�2007.Stull R. (1993). An introdu tion to boundary layer meteorology. Kluwer A ademi , pp. 666.Testud J. et P. Amayen (1989). Stereoradar meteorology : a promising te hnique forobservationof pre ipitation from a mobile platform. Journal of Atmospheri and O eani Te hnology 6(1), pp. 89�108.Testud J. et S. Oury (1997). An algorithm to orre t weather radar data for attenuation.Compte-Rendu de l'A adémie des S ien es, Paris 324(IIa), pp. 705�710.Thillet J.-J. (1997). La météo de montagne. Les guides du Club Alpin Français. Seuil, pp.189.Triplet J.-P. et G. Ro he (1986). Météorologie générale (Troisième ed.). Météo Fran e,pp. 317.Uijlenhoet R. (1999a). Hydromet Integrated Radar Experiment (HIRE) : experimentalsetup and �rst results. In 29th Conferen e on Radar Meteorology, Montréal, Canada, pp.926�930. Ameri an Meteorologi al So iety.Uijlenhoet R. (1999b). Parametrization of rainfall mi rostru ture for radar meteorologyand hydrology. Thèse de do torat, Wageningen University, The Netherlands, pp. 279.207

Référen esUlaby F., R. Moore et A. Fung (1986). Mi rowave remote sensing, a tive and passive.Volume I : mi rowave remote sensing fundamentals and radiometry. Arte h House, pp.456.Vignal B. (1998). Appli ation d'une méthode de résolution de problèmes inverses à la orre tion d'erreurs a�e tants la mesure de pluie par radar. Thèse de do torat, INPG,pp. 236.Vignal B., H. Andrieu et J.-D. Creutin (1999). Identi� ation of verti al pro�les ofre�e tivity from volume s an radar data. Journal of Applied Meteorology 39(8), pp.1214�1228.Vignal B., H. Andrieu, G. Delrieu et J.-D. Creutin (2002). Identi� ation of rainrate pro�les from radar returns at attenuating wavelengths using an inverse method : afeasibility study. Submitted to Journal of Applied Meteorology .Wexler R. et D. Atlas (1959). Pre ipitation generating ells. Journal of Meteoro-logy 16(3), pp. 327�332.Wood E., M. Sivapalan, K. Beven et L. Band (1988). E�e ts of spatial varibilityand s ale with impli ations to hydrologi modeling. Journal of Hydrology 102(1-4), pp.29�47.Yuter S. et R. Houze (1995). Three-dimensional kinemati and mi rophysi al evolutionof Florida umulonimbus. PartII : frequen y distributions of verti al velo ity, re�e tivityand di�erential re�e tivity. Monthly Weather Review 115(7), pp. 1941�1963.

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Septième partieAnnexes

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Annexe ALien entre moments d'ordre 2 etvariogrammeNous reprenons dans ette annexe les al uls développés par Matheron (1965).On onsidère une F.A Z à support pon tuelle et le ve teur position x. Pour simpli�erles é ritures, nous poserons :8>><>>: �ij = Z(xi)� Z(xj) ij = (xi; xj) = 12E(�2ij)E(ij; kl) = E(�ij�kl)Par dé�nition de �, on a : �ij + �jk = �ikEn al ulant la varian e de es deux membres, on obtient :E(ji; jk) = �E(ij; jk) = ij + jk � ik (A.1)Considérons maintenant : �ij + �jk + �kl = �ilDe même, en al ulant la varian e des deux membres, on obtient : il = ij + jk + kl + E(ij; jk) + E(jk; kl) + E(ij; kl)En ombinant ette dernière égalité ave (A.1), on obtient :E(ij; kl) = il + jk � ik � jl (A.2)Cette relation montre que l'on peut exprimer tous les moments d'ordre 2 (qui existent)de la F.A Z en fon tion du variogramme.

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Annexe A. Lien entre moments d'ordre 2 et variogramme

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Annexe BInterpolation par krigeageLe variogramme a été hoisi omme outil d'analyse de la stru ture spatiale du phé-nomène étudié ar il sert aussi de base à la méthode du krigeage. Le krigeage est uninterpolateur linéaire, sans biais et d'erreur quadratique moyenne minimale.On onsidère la F.A Z, à support géométrique pon tuel, dont on onnaît la valeur en npoints : fZ1; Z2; :::; Zng. On note Z0 la valeur de Z en un point x0. Comme l'interpolateurest linéaire, l'estimation de Z en x0, que l'on désigne par Z�0 s'é rit :Z�0 = nXi=1 �i(x0)Zi (B.1)Les oe� ients pondérateurs �i dépendent de x0. Pour alléger les é ritures, ils seront notéssimplement �i dans la suite.La ondition de non-biais s'exprime omme :E[Z�0 � Z0℄ = 0 (B.2)(B.1) ombiné ave (B.2) et la stationnarité d'ordre 1 des a roissements onduisent à :nXi=1 �i = 1 (B.3)Minimiser l'erreur quadratique moyenne revient à minimiser la varian e de l'é art � =Z�0 � Z0, appelée varian e d'estimation. Elle s'exprime omme :V ar(�) = Ef[(Z�0 � Z0)� E(Z�0 � Z0)℄2g (B.4)En ombinant (B.2) et (B.3), on obtient :V ar(�) = E "( nXi=1 �iZi � Z0)2#= E " nXi=1 nXj=1 �i�j(Zi � Z0)(Zj � Z0)#= nXi=1 nXj=1 �i�jE[(Zi � Z0)(Zj � Z0)℄ (B.5)213

Annexe B. Interpolation par krigeageEn utilisant (A.2), (B.5) peut s'é rire :V ar(�) = nXi=1 nXj=1 �i�j( i0 + j0 � ij � 00)= nXi=1 nXj=1 �i�j( i0 + j0)� 00 nXi=1 nXj=1 �i�j � nXi=1 nXj=1 �i�j ij (B.6)D'après (B.3), (B.6) se simpli�e �nalement en :V ar(�) = 2 nXi=1 �i i0 � 00 � nXi=1 nXj=1 �i�j ij (B.7)où : 8<: i0 = (xi; x0) 00 = (x0; x0) = (0) = 0 ij = (xi; xj) (B.8)Lorsque l'estimation ne se fait plus en un point mais sur un domaine D, la varian ed'estimation s'exprime de manière similaire, ave :8>>>>>><>>>>>>: i0 = 1D ZD (xi; x) dx 00 = 1D2 ZD ZD (x; x0) dx dx0 ij = (xi; xj) (B.9) i0 peut se voir omme la moyenne du variogramme lorsqu'une des extrémités du ve teur(xi � x) est �xée en xi et l'autre dé rit librement le domaine D. 00 peut se voir ommela moyenne du variogramme lorsque les ve teurs x et x0 dé rivent indépendamment ledomaine D.En introduisant �0 = �1 dans (B.7), on simpli�e son expression et on obtient :V ar(�) = � nXi=0 nXj=0 �i�j ij (B.10)Les oe� ients pondérateurs �i doivent être al ulés de sorte à minimiser la varian ed'estimation mais aussi de sorte à respe ter la ontrainte (B.3). Pour résoudre e systèmesurdéterminé, on introduit un paramètre arbitraire �2�, le multipli ateur de Lagrange,et on minimise le terme � nXi=0 nXj=0 �i�j ij � 2� nXi=0 �i (B.11)en annulant ses dérivés partielles par rapport aux �i et à �. On obtient ainsi un systèmelinéaire de n+1 équations à n+1 in onnues, qui orrespond à la formulation du krigegage214

Annexe B. Interpolation par krigeagesimple : 8><>: nPi=1 ij�i + � = j0 8j 2 [1; n℄nPi=1�i = 1 (B.12)Ce système s'é rit sous forme matri ielle :0BBBBB� 11 : : 1n 1: : :: : : n1 : : nn 11 : : 1 0

1CCCCCA : 0BBBBB� �1::�n�1CCCCCA = 0BBBBB� 10:: n01

1CCCCCA (B.13)ou plus simplement : �� = �0 (B.14)De la même manière que pour le al ul de la varian e d'estimation, les omposantes i0 de �0 sont dé�nies par (B.8) ou (B.9) suivant que l'on estime une valeur pon tuelleou sur un domaine D.Le fait que soit de type positif ou positif onditionnel assure que � est inversible. Lasolution �� s'é rit don : �� = ��1 �0 (B.15)Il est à noter que les �i ainsi obtenus ne dépendent pas des valeurs Zi, mais seulement dupoint d'appui x0 et du variogramme. Pour assurer les propriétés de positivité né essaireset la ohéren e de es al uls, on utilise le variogramme modélisé et non pas le vario-gramme expérimental pour l'interpolation.En ombinant (B.7) ave (B.12), la varian e d'estimation optimale s'é rit :V ar(�) = nXi=1 �i i0 � 00 + � (B.16)La varian e obtenue est une varian e d'erreur théorique, qui sera d'autant plus pro he dela varian e � vraie� que le modèle de variogramme ajusté sera pro he du variogramme� vrai �.La solution obtenue par krigeage n'est optimum que pour des valeurs distribuées suivantune loi normale. En e�et, minimiser la varian e d'estimation revient à minimiser unesomme de arrés et la distribution gaussienne garantit le moins de valeurs � extrêmes �au sein d'un é hantillon. Par ailleurs, un interpolateur linéaire ( atégorie dans laquellerentre le krigeage) n'est l'interpolateur optimum que si la distribution est gaussienne(Cressie 1993).215